Introducción Los arcos son uno de los tres elementos estructurales de forma activa. Por ello, a continuación se indica las propiedades del arco como elemento estructural sometido a flexocompresión, con el propósito de indicar el comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con elementos tipo arco, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección transversal del arco requerido para el diseño arquitectónico. Para distinguir las propiedades del arco primero se define el elemento donde se indica las ventajas, comportamiento ante las cargas que se aplican, relación con el cable, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala la geometría ideal, las relaciones entre las cargas que se aplican, las tablas para resolver los arcos y las cargas de diseño.
Propiedades de los arcos Definición Cuando no es necesaria una cubierta plana para satisfacer las exigencias funcionales de la estructura, generalmente resulta que una cubierta de elementos con simples o doble curvaturas tales como los arcos o las cáscaras delgadas resultan más económicas en consumo de materiales, debido a la capacidad de absorber las cargas con intervención mínima de flexión y corte. Este sistema es el método estructural más antiguo utilizado para puentes cuando las luces son demasiado grandes para poder p oder utilizar vigas rectas. Los esfuerzos en los arcos son proporcionales a las cargas y a la luz, e inversamente proporcionales a la altura del arco. Para minimizar los esfuerzos a una luz entre apoyos dada, el arco debe ser lo más liviano posible y tener una altura tan alta como sea económicamente posible. (Salvadori (Salvadori y Heller, 1963; Winter y Nilson, 1977)
Comportamiento Si se invierte la forma parabólica que toma un cable sobre el cual actúan cargas uniformemente distribuidas según una horizontal, se obtiene la forma ideal de un arco que sometido a ese tipo de carga desarrolla sólo compresión, los momentos flectores y las fuerzas cortantes se reducen al mínimo e incluso, en algunas estructuras, se eliminan completamente.
Figura 1. Arco funicular de carga La forma de un arco debe ser funicular para las cargas más pesadas a fin de minimizar el momento. Los arcos funiculares ocupan un extremo de la escala de tensiones, con ausencia de flexión; las vigas ocupan el extremo opuesto, trabajando sólo a la flexión. La carga permanente es la usada para dar forma al arco, así no produce momento por ser funicular a esta carga, el momento introducido es debido a la carga variable.
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 1
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Ventajas El arco es en esencia una estructura de compresión utilizado para cubrir grandes luces. Un arco lleva una combinación de compresión y flexión debido a no puede cambiar su forma para los tipos de carga, por lo que el material a usar debe soportar algo de flexión además de la compresión que se genera por la forma curva. (Salvadori y Heller, 1963, 1998; Winter y Nilson ,1977).
Materiales Pueden ser de concreto armado, acero, mampostería (piedra o ladrillos).
(a)
(b)
(c)
Figura 2. Tipos de arcos
Elementos En los apoyos los arcos generan un empuje hacia fuera que debe ser absorbido por los cimientos o mediante contrafuertes, cuando esto no es posible, se coloca un tensor para resistir el empuje que en algunos casos puede estar enterrado. Los arcos pueden ser doblemente empotrados (empotrados Fig. 2.a) o doblemente articulados (articulados Fig. 2b.). Los últimos permiten la rotación de los contrafuertes ante la acción de las cargas y de las variaciones de temperatura; son relativamente flexibles, y ante variaciones de temperatura o asentamientos del suelo, no desarrollan tensiones elevadas de flexión. Si los cambios de temperaturas causan muchos problemas se puede introducir una tercera articulación en el tramo (véase Fig. 2.c), el cual permite deformaciones y no introduce esfuerzos adicionales. Por otra parte, los arcos empotrados son más rígidos y en consecuencia, más sensibles a las tensiones provocadas por variaciones de temperatura y por asentamiento de los apoyos pero las cargas debido a las acciones verticales son menores. (Salvadori y Heller, 1963, 1998)
Figura 3. Esquema de sistemas de arcos paralelos, radiales y diagonales. Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.
Usos Los arcos son usados en una variedad de combinaciones para techos curvos, uno de las más simples es la de los techos con arcos paralelos con elementos transversales y placas como techo. Pueden ser colocados de forma diagonal y radial (véase Figura 3). En estos tipos de techos los elementos de conexión de los arcos
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 2
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
trasmiten la carga del techo a los arcos por acciones de flexión o de arcos y los arcos llevan la carga al suelo. Los rangos de luces para el uso de arcos son de 25 a 70 m. (Engel, 2001; Salvadori y Heller, 1963)
Predimensionado Geometría ideal Generalmente, se hace que coincida el eje del arco con el funicular de las cargas permanentes (parábola). Procediendo así, los momentos flectores que aparezcan se deberían a la sobrecarga exclusivamente.
r = donde:
h L
; c=
x L
2
; y = 4 rLc ; tan θ = 8rc ; s =
L 2
(1 +
8 3
r 2 )
(1)
r ≡ Parámetro adimensional de la relación de altura; c≡ Parámetro adimensional de la distancia horizontal; L≡ Luz entre apoyos del arco (véase Figura 4); θ≡ Angulo con respecto a la horizontal en cualquier punto del arco (véase Figura 4); x, y≡ Coordenadas con respecto al origen (véase Figura 4); s≡ Longitud en la directriz del arco.
x y
h θ
L
Figura 4. Geometría del arco
Cargas La carga permanente ( g) suele estar casi uniformemente repartida a los largo de la directriz. La carga por metro lineal de luz se distribuirá, por tanto, en la forma representada de la figura
g
Figura 5. Distribución del peso propio g en la dirección del arco (directriz).
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 3
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
g θ
V
Figura 6. Proyección vertical del peso propio en el extremo del arco.
g ′
g
=
cosθ
− g
(2)
donde: g´ carga por metro en la dirección horizontal.
g’
V
g
Figura 7. Esquema de la distribución de carga del peso propio La sobrecarga tendrá que ser colocada de forma que dé lugar a los máximos momentos flectores o esfuerzos, condición que se cumplirá generalmente cuando el arco se halle parcialmente cargado. Los momentos se obtienen por superposición de la tabla de momentos para arcos (Winter y Nilson, 1977).
Cargas de dis eño del arco Las cargas de diseño en un arco son la carga axial P y el momento flector M en la sección señalada. Por lo tanto la obtención de las dimensiones del arco sigue el esquema de diseño de un elemento sometido a compresión, (específicamente diseño a flexocompresión) debido a que la dirección de la carga axial es tangente al arco, este valor varia tanto de dirección como de magnitud. El valor de la carga axial es según la Ecuación 3 que se basa en el esquema de la Figura 9.
P = V sen θ + H cosθ θ
(3)
H
P
Figura 9. Esquema de la carga axial.
Tabla de arcos Con las magnitudes de las cargas se usa la tabla de momentos y reacciones, para determinar los valores de diseño del arco según el tipo de apoyo (biarticulado y empotrado) (Winter y Nilson, 1977).
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 4
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
g
g´
h h
L
L
Caso I
Caso II p
p α
αl
l
α
l
L
L
Caso III
Caso IV p l
α
h
L
Caso V1
Figura 8. Esquema de la posición de la carga en arco. Tabla 1. Momentos y reacciones para arcos biarticulados.
R l
R r
H
Mc
Caso I
Caso II
gl
g ′l
2
6
gl
g ′l
2
6
gl 2 8h 0
Ml/4
0
Caso III
Caso IV
Caso V
0,35 pl
0,15 pl
0,335 pl
0,35 pl
61,3 *10−3 pl
90,3 *10−3 pl
g ′l 2
68,49 *10−3 pl 2
56,5 *10−3 pl 2
48 *10−3 pl 2
42h
h
h
h
7,25 *10−3 pl 2
0
0
16,4 *10−3 pl 2
−
g ′l 2 338
g ′l 2 234
− 7,25 * 10
0
−3
2
pl
Nota. De Proyecto de Estructuras de Hormigón (p. 526), por Winter, G. y Nilson, A., 1977, Bogotá, Colombia: Editorial Re verté Colombiana, S.A.
1
Los casos hacen referencia a la tabla de momentos (Véase Tabla 1 y Tabla 2).
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 5
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Tabla 2. Momentos y reacciones para arcos doblemente empotrados.
R l
R r
H
Ml
Caso I
Caso II
gl
g ′l
2
6
gl
g ′l
2
6
gl 2 8h
Mc
0
Caso V
0,375 pl
0,125 pl
0,35 pl
0,375 pl
0,125 pl
0,05 pl
g ′l 2
68,8 *10−3 pl 2
56,2 *10−3 pl 2
39,7 *10−3 pl 2
56h
h
h
h
g ′l 2
− 6,9 *10
210
Caso I
0
Caso IV
−
0
Mr
Caso III
Caso II
−
−3
pl 2
Caso III
g ′l 2 210
6,9 *10−3 pl 2
− 17,3 *10
−3
Caso IV
Caso V
pl 2
− 6,9 *10
−3
pl 2
6,9 *10−3 pl 2
11,5 *10−3 pl 2
− 5,4 *10
−3
pl 2
5,4 *10−3 pl 2
− 2,6 *10
2
g ′l
560
−3
pl 2
Nota. De Proyecto de Estructuras de Hormigón (p. 527), por Winter, G. y Nilson, A., 1977, Bogotá, Colombia: Editorial Reverté Colombiana, S.A.
Ejemplo 1 Predimensionar el arco de la figura w
h
l l = 80 m; h= 25m; w cp= 600 kgf/m; w cv = 350 kgf/m
Los datos adaptados a la Tabla de arcos son: w cp= g y w cv= p, es decir g = 660 kgf/m y p= 350 kgf/m
Cálculo de g’ Aplicando la Ecuación 1
r =
h L
tenemos
r =
25 80
tan θ = 8rc ; para determinar θ en el apoyo c=0,5; tenemos tan θ = 8 * 0,31* 0,5
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 6
r
0,31
tanθ
1,25
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
θ = tan −1 (8rc) ; tenemos
si
g ′
g
=
cosθ
Aplicando la Ecuación 2
600
g ′ =
− g
cos 51,34
; tenemos
− 600
θ g´ (kgf/m)
51,3401917 360,47
Resol uci ón de casos de la Tabla de arcos De la Tabla 2 (Momentos y reacciones para arcos doblemente empotrados), se aplica las fórmulas indicadas, tenemos:
Caso I 19200
24000
Figura 8. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso I. Reacción vertical R =
gl 2
Reacción Horizontal H =
; tenemos R =
gl 2 8h
600 * 80 2
; tenemos H =
R
24000
H M l =M r
19200 0
600 * 80 2 8 * 25
Momento en el apoyo izquierdo ( l ) o derecho (r )
Caso II Reacción vertical R =
g ′l 6
Reacción Horizontal H =
; tenemos R =
g ′l 2
6
; tenemos H =
56h g ′l 2
Momento en el apoyo M = −
360,47 * 80
210
360,47 * 80 2 56 * 25 360,47 * 80 2
; tenemos M = −
R
4806,25
H
1647,86
M l =M r
-10985,7
210 10985,7
1647,9
4806,25
Figura 9. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso II.
Caso V Para resolver la carga viva solo se aplica el caso V por ser el más desfavorable. De cada fórmula se escoge la que proporcione el mayor valor. Reacción vertical R= 0,35 pl ; tenemos R =
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
0,35 * 350 * 80
enero 2013 7
R
9800
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Reacción
h
;
tenemos
39,7 *10 −3 * 350 * 80 2
H =
H
3557,12
M l
-38752
25
Momento
en
el
= −17,3 *10
M l
H =
Horizontal
39,7 *10 −3 pl 2
−3
M l
apoyo
= −17,3 *10
−3
pl 2 ;
tenemos
* 350 * 80 2 38752 3557,12
9800
Figura 10. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso V.
Cargas de dis eño La carga axial se determina por P = V sin θ + H cosθ y sabiendo que los Casos I y II corresponden a la carga permanente (CP ) y el Caso V a la carga variable ( CV ), sumamos las componentes verticales ( R) y horizontales ( H ).
CP La vertical carga permanente La
horizontal
H cp
V cp
= R I + R II ; tenemos
carga
V cp
H cp
permanente
=
24000 + 4806,25
= H I +
H II ;
P = V sin θ + H cosθ P cp = 28806,28 * sin 51,34 + 20847,86 * cos 51,34 θ =51,3401917
El
momento
M cp
=
de
28806,25
H
20847,9
P cp
35517,5
M emp
-10985,7
tenemos
= 19200 + 1647,86
Si
V
y
empotramiento
por
carga
permanente
M cp
= M I + M II
0 − 10985,71
CV La vertical carga variable
V cv
=
RV ; tenemos V cv
La horizontal carga variable H cv =
=
9800
H V ; tenemos H cp
Si
=
9800
H
3557,12
P cv
9874,63
M emp
-38752
Pu (kgf)
49724,4
Mu (kgf*m)
15380,0
Pu (kgf)
47 558,3
Mu (kgf*m)
32 558,9
3557,12
θ =51,3401917
P = V sin θ + H cos θ ⇒ P cv
V
y
= 9800 * sin 51,34 + 3557,12 * cos 51,34
El momento de empotramiento por carga variable M cv = M V ⇒
M cv
= −38752
Carga mayorada
U 1
= 1,4CP ; P U = 1,4 P CP ⇒ 1
M U 1
U 2 P U 2
P U 1
= 1, 4 * 35517,5
= 1, 4 M CP ⇒ M U = 1,4 *10985 ,7 1
= 1,2CP + 0,5CV t ; = 1,2 P CP + 0,5 P CV ⇒
M U 2
t
P U 2
= 1,2 * 35517 ,5 + 0,5 * 9874,6
= 1,2 M CP + 0,5 M CV ⇒ M U = 1, 2 *10985 ,7 + 0,5 * 38752
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
t
2
enero 2013 8
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
U 3 P U 3
= 1,2CP + 1,6CV t ; = 1, 2 P CP + 1,6 P CV ⇒
P U 3
t
M U 3
Pu (kgf)
58 420,4
Mu (kgf*m)
75 186,1
= 1,2 * 35517,5 + 1,6 * 9874,6
= 1,2 M CP + 1,6 M CV ⇒ M U = 1,2 *10985 ,7 + 1,6 * 38752 t
3
Diseño del arco Ac ero Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m; k = 0,65 y l tomado como 3,2 m (longitud de arriostrado del arco) y siguiendo el procedimiento de elementos sometidos a fuerzas de compresión, tenemos: a.
Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil W12x152) del cual se obtiene las propiedades geométricas A, Z max y r min, para luego comprobar que
kL r min
≤ 200 ;
para el perfil, las propiedades geométricas son Perfil
A (cm2)
Zy (cm3)
Zz (cm3)
r y (cm)
r z (cm)
KL/rmin
289,00
3980
1840
14,40
8,09
25,7
W 12x152
(
)
b. Se calculó øc F cr kL r min ⎯ ⎯ ⎯ →φ c F cr y øc P n (φ c P n = φ c F cr A) para el perfil de tanteo con tabla
el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras tenemos; KL/r min
ØP n 2
26
c.
ØF cr 2054 kgf/cm
593606 kgf
El perfil de tanteo se revisa con la formula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. Fórmula de Interacción
si
si
P u
≥
φ c P n P u φ c P n
<
0,2 ⇒
0,2
P u
+
φ c P n P u
⇒
2φ c P n
8 M u 9 φ b M n +
M u
≤1
≤
φ b M n
1
Pu/ØPn Interaccion 0,10
0,89
Según la segunda ecuación
El perfil W12x152 cumple para el arco.
Concreto armado Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m y materiales a emplear de ᇱ = 250 kgf/cm2 ; f y= 4200 kgf/cm2. Para elemento de concreto armado a flexocompresión se siguen las indicaciones señaladas en el diseño de elementos sujetos a cargas axiales. i.
Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular ω = ρ=0,025 y la cuantía mecánica es ω =
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
0,025 * 4200 0,85 * 250
enero 2013 9
⇒ ω =
ρ f y 0,85 f c′
, por ello se escoge
0,49 .
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
ii. Se escoger como valor tentativo para h, 70 cm γ =
γ =
70 − 2 * 5 70
⇒ γ =
h − 2r h
por lo que la relación de forma queda
0,85 , se escoge el ábaco γ=0,90.
Figura 12. Abaco seleccionado. iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.
e = M u P u ⇒ e = 75186,05 58420,5 ⇒ e = 1,287 m; e
=
128,7cm
h
70cm
escoge
ν
⇒
e h
=
ν=0,1
e h
por
lo
= 1,839 . Para trazar la línea radial se aplica la relación
para
establecer
el
valor
correspondiente
de
μ
tanto
e h
=
μ ν
para
y se 0,1;
μ ⇒ 0,1*1,839 = μ ⇒ μ = 0,184 . El punto señalado en la Figura 13 corresponde a las
coordenadas ( μ=0,184; ν=0,1). Este punto se une con el origen para obtener la línea radial e/h=1,839.
Figura 13. Trazado de la línea radial e/h=1,839. iv. Donde corta la línea radial e/h= 1,839 con la curva ω =0,49 se lee el correspondiente valor de ν de 0,09 (véase la Figura14).
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 10
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Figura 14. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=1,839 con la curva ω=0,49. v. Se calcula el área requerida A g con el valor obtenido de ν, según la relación ν =
tenemos A g =
58420,5
⇒
0,65 * 0,85 * 250 * 0,09
vi. Se determina b =
Ag h
b
=
h
′ g φ 0,85 f c A
,
A g = 4699,49 cm2.
con el área obtenida y altura h establecida b =
vii. Se revisa la proporción de la sección
P u
0,70 0,70
4699,49 70
⇒b=
67,1 cm.
= 1 que está dentro del rango [0,6; 1].
Las dimensiones del arco son 70x70 cm.
Ejemplo 2 Predimensionar el arco de la figura.
w
h
l l = 80 m; h= 25m; w cp= 600 kgf/m; w cv = 350 kgf/m
Los datos adaptados a la Tabla de arcos son: w cp= g y w cv= p, es decir g = 660 kgf/m y p= 350 kgf/m
Cálculo de g’ Aplicando la Ecuación 1
r =
h L
tenemos
r =
25 80
tan θ = 8 rc ; para determinar θ en el apoyo c=0,5; tenemos tan θ = 8 * 0,31* 0,5 si
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
θ = tan
enero 2013 11
−1
(8rc) ; tenemos
r
0,31
tanθ
1,25
θ
51,3401917
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
g ′
g
=
cosθ
Aplicando la Ecuación 2
g ′ =
− g ; tenemos
600 cos 51,34
− 600
g´ (kgf/m)
360,47
Resol uci ón de casos de la Tabla de arcos De la Tabla 1 (Momentos y reacciones para arcos biarticulados), se aplica las fórmulas indicadas:
Caso I
19200
24000
Figura 15. Esquema de las reacciones en el apoyo, Caso I. Reacción vertical R =
gl 2
; tenemos R =
600 * 80 2
2
Reacción Horizontal H =
gl
8h
; tenemos H =
600 * 80
R
24000
H M l/4 =M c
19200 0
2
8 * 25
Momento en el centro (l /2)y un cuarto (l /4)
Caso II Reacción vertical R =
g ′l
360,47 * 80
R=
⇒
6
Reacción horizontal H =
⇒
H =
42h
Momento a un cuarto M l / 4 =
g ′l
⇒
338 g ′l 2
⇒
234
H
2197,14
M c
-6825,4
M l/4
9859,0
360,47 * 80 2
2
Momento en el centro M c = −
4806,25
6
2
g ′l
R
M c
42 * 25 360,47 * 80 2
M l / 4
=−
=
338 360,47 * 80 2 234
2197,14
9859 6825,4
4806,25 Figura 16. Esquema de las reacciones en el apoyo y momentos en el tramo Caso II.
Caso V Para resolver la carga viva solo se aplica el caso V por ser el más desfavorable. De cada fórmula se escoge la que proporcione el mayor valor. Reacción vertical R =
0,335 pl ⇒ R = 0,335 * 350 * 80
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 12
R
9380
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Reacción horizontal H =
48 *10 −3 pl 2
⇒
h
H =
48 *10 −3 * 350 * 80 2
H
4300,8
M c
0
M l/4
36736
25
Momento en el centro M=0 Momento a un cuarto
M l / 4
= 16,4 * 10
−3
2
pl
⇒
M l / 4
= 16, 4 *10
4300,8
−3
* 350 * 80
2
36736
9380
Figura 17. Esquema de las reacciones en el apoyo y momentos en el tramo Caso V.
Cargas de dis eño La carga axial se determina por P = V sinθ + H cosθ y sabiendo que los Casos I y II corresponden a la carga permanente (CP ) y el Caso V a la carga variable ( CV ), sumamos las componentes verticales ( R) y horizontales ( H ). Se plantea entonces el problema que la fuerza P se calcula en el centro y a un cuarto del arco (l /4) en contraste con los arcos doblemente empotrados, en la Figura 18 se observa que el valor de P en el centro es el mismo valor de H , mientras que a l /4 la componente vertical de la fuerza no es la reacción en el apoyo sino la fuerza cortante en esa sección. La Figura 19 señala que la fuerza cortante a l /4 es la diferencia de R menos la resultante de la carga aplicada por lo que la Ecuación 4 indica los valores de esta fuerza para los tres casos que se analizan.
P
P
Figura 18. Esquema de la fuerza axial en el centro y a l /4.
V = R I − g V = R II −
l
4 g ′ l
Caso I
Caso II 2 4 l V = RV − p Caso V 4
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 13
(4)
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
g’/2*l/4
g*l/4
p*l/4 g’
g V
p V
V
l/4
l/4
l/4
R
R
R
(a)
(b)
(c)
Figura 19. Esquema de la fuerza cortante a l /4.
CP La reacción por carga permanente Rcp = R I +
R II ; tenemos Rcp
La horizontal carga permanente H cp = H I +
H II ; tenemos H cp
=
24000
+
4806 , 25
= 19200 +
2197 ,14
Para el centro tenemos P cp=H cp El momento en el centro por carga permanente M cp = M I +
M II M cp
=
0 − 10985 ,71
R
28806,25
H
21397,14
P cp
21397,14
Mc
-6825.44
Vcp
13201,6
Para l /4 tenemos La carga vertical es
tenemos
V cp = Rcp − g
−
4 2 4; V cp = 28806 , 25 − 12000 − 3604 ,69
Para l /4 c=0,25 y el ángulo es Con
P cp
l g ′ l
θ = tan −1 (8rc ) ; tenemos θ = tan −1 (8 * 0,31* 0,25)
θ =32,0053832
= 13201 ,6 * sin 32 ,005 +
El momento a l /4 es M cp = M I +
P = V sinθ + H cosθ ;
y
θ
tenemos
21397 ,14 * cos 32 ,005
M II
; tenemos
M cp
=
0 + 9858 ,97
32,0053832
Pcp
25141,55
Ml/4
9858,97
CV Los valores para carga variable son iguales a los resultados del caso V, entonces Rcv=9380; H cv=4300,8; M l /4 = 36736 y M c=0 en consecuencia las cargas de diseño son
V cv
= Rcv − p
La carga vertical a l /4
l 4 ; tenemos
V cv
= 9380 − 350
80
Vcv 2380,00
4
Hcv 4300,80 Con
P cv
θ =32,0053832
=
P = V sinθ + H cosθ ;
y
2380 * sin 32 ,005 + 4300 ,8 * cos 32 ,005
tenemos
P 4908,47 Ml /4 36736,00
En el centro P cv=H cv
Pcv 4300,8 Mc 0
Carga mayorada En el centro tenemos:
U 1
= 1,4CP ; P U = 1, 4 P CP ⇒ 1
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
P U 1
= 1, 4 * 21397 ,14
enero 2013 14
Pu (kgf)
29956,0
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
M U 1
= 1, 4 M CP ⇒
U 2
= 1,2CP + 0,5CV t ;
P U 2
= 1, 2 P CP +
M U 2
0,5 P CV t
= 1, 2 M CP +
⇒
0,5 M CV t
U 3
= 1,2CP + 1,6CV t ;
P U 3
= 1, 2 P CP + 1,6 P CV ⇒
M U 3
= 1, 4 * − 6825 , 44
P U 2
= 1, 2 * 21397 ,14 +
⇒
M U 2
P U 3
t
M U 1
0,5 * 4300 ,8
= 1, 2 * −6825 , 44 +
0,5 * 0
= 1, 2 * 21397 ,14 + 1,6 * 4300 ,8
= 1, 2 M CP + 1,6 M CV ⇒
M U 3
t
= 1, 2 * − 6825 , 44 + 1,6 * 0
Mu (kgf*m)
-9555,6
Pu (kgf)
27827,0
Mu (kgf*m)
-8190,5
Pu (kgf)
32557,9
Mu (kgf*m)
-8190,5
Pu (kgf)
35198,2
Mu (kgf*m)
13802,6
Pu (kgf)
32624,1
Mu (kgf*m)
30198,8
Pu (kgf)
53884,0
Mu (kgf*m)
70608,4
En l /4 tenemos:
U 1
= 1,4CP
;
M U 1
P U 1
= 1, 4 P CP ⇒
= 1, 4 M CP ⇒
M U 1
U 2
= 1,2CP + 0,5CV t
P U 2
= 1, 2 P CP +
M U 2
0,5 P CV t
= 1, 2 M CP +
= 1, 4 * 25141 ,55
= 1, 4 * 9858 ,97
;
P U 2
⇒
0,5 M CV t
U 3
= 1,2CP + 1,6CV t
P U 3
= 1, 2 P CP + 1,6 P CV ⇒
⇒
= 1, 2 * 25141,55 +
M U 2
0,5 * 4908 ,47
= 1, 2 * 9858 ,97 +
0,5 * 36736
;
P U 3
t
M U 3
P U 1
= 1, 2 * 25141,55 + 1,6 * 4908 , 47
= 1, 2 M CP + 1,6 M CV ⇒
M U 3
t
= 1, 2 * 9858 ,97 + 1,6 * 36736
Ac ero Con los valores de las cargas mayoradas Pu = 53884,0 kgf; Mu = 70608,4 kgf*m; k = 0,65 y l tomado como 3,2 m (longitud de arriostrado del arco) y siguiendo el procedimiento de elementos sometidos a fuerzas de compresión, tenemos: a.
Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil W12x152) del cual se obtiene las propiedades geométricas A, Z max y r min, para luego comprobar que
kL r min
≤ 200 ; para el perfil,
las propiedades geométricas son: Perfil W 12x152
A (cm2)
Zy (cm3)
Zz (cm3)
r y (cm)
r z (cm)
KL/rmin
289,00
3980
1840
14,40
8,09
25,7
(
)
b. Se calculó øc F cr kL r min ⎯ ⎯ ⎯ → φ c F cr y øc P n (φ c P n = φ c F cr A) para el perfil de tanteo con tabla
el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras tenemos;
c.
KL/r min
ØF cr
ØP n
26
2054 593606
El perfil de tanteo se revisa con la formula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. Fórmula de Interacción
si
si
P u
≥
φ c P n
P u φ c P n
<
0,2 ⇒
0,2
P u
+
φ c P n
⇒
P u 2φ c P n
8 M u 9 φ b M n +
M u
≤1
≤
φ b M n
1
Pu/ØPn Interaccion 0,09
0,83
Según la segunda ecuación
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 15
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
El perfil W12x152 cumple para el arco, así como el W12x136; interacción 0,94 Para los demás casos de carga la fórmula de interacción para el perfil W12x136 es: W
A (cm2)
Zy (cm3)
Zz (cm3)
r y (cm)
r z (cm)
KL/rmin
KL/rmin
12x136
258,00
3510
1620
14,20
8,02
25,9
26
øFcr 2054
Caso
Pu (kgf)
Mu (kgf*m)
Pu/Pn
Interacción
Centro U1 Centro U2 Centro U3 l /4 U1 l /4 U2
29956
9556
0,06
0,15
27827
8191
0,05
0,13
32558
8191
0,06
0,13
35198
13803
0,07
0,21
32624
30199
0,06
0,41
Concreto armado Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m y materiales a emplear de ᇱ = 250 kgf/cm2 ; f y= 4200 kgf/cm2. Para elemento de concreto armado a flexocompresión se siguen las indicaciones señaladas en el diseño de elementos sujetos a cargas axiales. i.
Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular ω = ρ=0,025 y la cuantía mecánica es ω =
0,025 * 4200 0,85 * 250
ii. Se escoger como valor tentativo para h, 70 cm γ =
γ =
70 − 2 * 5 70
⇒ γ =
⇒ ω =
h − 2r h
ρ f y 0,85 f c′
, por ello se escoge
0,49 .
por lo que la relación de forma queda
0,85 , se escoge el ábaco γ=0,90.
Figura 20. Abaco seleccionado. iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.
e = M u P u ⇒ e = 70608,4 53884 ⇒ e = 1,31 m; e
=
131,03cm
h
70cm
escoge
ν
⇒
e h
=
ν=0,1
e h
por
lo
= 1,871 . Para trazar la línea radial se aplica la relación
para
establecer
el
valor
correspondiente
de
μ
tanto
e h
=
μ ν
para
y se 0,1;
μ ⇒ 0,1*1,871 = μ ⇒ μ = 0,187 . El punto señalado en la Figura 21 corresponde a
estas coordenadas ( μ=0,187; ν=0,1). Este punto se une con el origen para obtener la línea radial e/h=1,871.
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 16
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Figura 21. Trazado de la línea radial e/h=1,87. iv. Donde corta la línea radial e/h= 1,87 con la curva ω =0,49 se lee el correspondiente valor de ν de 0,09 (véase la Figura 22).
Figura 22. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=1,87 con la curva ω=0,49. v. Se calcula el área requerida A g con el valor obtenido de ν, según la relación ν =
tenemos A g =
53884
⇒
0,65 * 0,85 * 250 * 0,09
vi. Se determina b =
Ag h
P u ′ g φ 0,85 f c A
,
A g = 4334,6 cm2.
con el área obtenida y altura h establecida b =
vii. Se revisa la proporción de la sección bien proporcionada
b h
=
0,65 0,70
4334,6 70 =
⇒b=
61,9 cm.
0,93 que está dentro del
rango [0,6; 1]. Las dimensiones del arco son 65x70 cm.
Bibliografía Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall. Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 17
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina
Winter, G. y Nilson, A. (1977). Proyecto de Estructuras de Hormigón. Bogotá, Colombia: Editorial Reverté Colombiana, S.A.
Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela.
enero 2013 18
Sistemas Estructurales 30 Prof. Jorge O. Medina