¿CÓMO CALCULAR LOS ESFUERZOS AXIALES EN LOS ARCOS PARABÓLICOS O CIRCULARES CON SAP2000? Para calcular los esfuerzos axiales en los arcos parabólicos y circulares de tipo articulada en sus dos apoyos y empotradas , hoy en día hay demasiados programas de software comerciales de diversas empresas de informática informática que se exponen en los medios informáticos del del internet ,que son desarrollados desarrollados por los técnicos e ingenieros estructurales y las cuales podemos mencionar los programas muy poderosos por sus cálculos matemáticos como Robot Millenium Millenium , Sofistik, Stad Pro , Sap 2000, Axis, Risa 2D,Cosmos y algunos muchos otros pequeños softwares ; pero no existe ningún programa dedicado exclusivamente exclusivament e para calculo de arcos, y además como usuario final nunca sabremos los códigos de ensamble del programa, a menos que seamos matemáticos e ingenieros estructurales y tal vez ahí de alguna manera hayamos participado en el desarrollo de los programas indicados. Amigos foristas escribo estas líneas para atender a los usuarios como el que habla ,en vista de que la pregunta de arriba ha sido visitada por mas de 2400 usuarios en periodo de 30 meses, es decir diariamente el tema ha sido buscado por mas dos usuarios distintos. Tal igual que Uds., tampoco he podido encontrar encontrar en este medio académico el tema de mi persistencia persistencia e inquietud acerca de armadura parabólica o arco parabólica tipo celosía. Antes que nada quiero aclarar y advertir a los foristas y usuarios de este medio , que este pequeño documento de aprendizaje ,no pretende ser un alcance general, sino mas bien se busca elaborar cerchas caladas tipo celosia para resolver los ejercicios de estática estática básica, básica, ni tampoco se menciona menciona el el uso bien bien adecuado de análisis análisis estructural, sino que partimos partimos de un nivel básico hacia un análisis convencional de estructuras. En vista vist a que se ha tenido un tiempo en demasía en exponerse la pregunta en este medio , aquí pongo un ejemplo simple de interés educativo educativ o en donde deseo diseñar una nave industrial con estructura de arco parabólico y circular ( dos opciones) .
Local Industrial Se requiere cubrir con cobertura metálica un local o infraestructura infraestru ctura para albergar personal trabajador ye instalación de equipos industriales industriales para fabricación (taller de Estructuras Estructuras metálicas). Ubicación : Zona Industrial Ruta Av. ,” C “ . Distrito : Villa El Salvador . Departamento: Departamento: Lima ( Región Lima) Área de Terreno Largo : L = 48.00m Ancho = 12.50m. Área : A = 600.00 m 2. Materiales a Usar El material a usar es acero A-36, las bridas superiores e inferiores deben ser de ángulos o perfiles tipo L , las diagonales y las montantes con uso de barras redondas lisas. Coberturas : Eternit 1.00m x 2.40m x 5mm. Cargas Carga Puntual concentrada : P = 1000Kg. Columnas Pre-dimensionamiento Pre-dimensionamiento de columnas principales : 1. Sección 0.30m 0.30m x 0.45m( 0.45m( el mayor ancho ancho en sentido perpendicular perpendicular a los muros muros perimetrales). perimetrales). 2. Separació Separación n entre entre columna columna y column columna a a 3.00m 3.00m , y una altura altura 4.80m. 4.80m. 3. Separación entre Columnas principales para la armadura principal ( Arco parabólico o Circular) a cada 6.00m. Armadura Parabólica Tipo de arco : Circular o Parabólica Parabólica ( emplear las dos opciones) opciones) 1. El arco parabólico parabólico considerado considerado tiene tiene dos apoyos articulados y para realizar los cálculos cálculos de de esfuerzos con el programa Sap200 ,tiene que emplearse las siete cargas concentradas ver el modelo adjunto. 2. La luz luz entre entre columna columnass de arco arco ( ejes) L = 12.42 12.427m. 7m. 3. la altu altura ra de de la flecha flecha : f = 2.0711 2.071166m 66m.. 4. Rela Relaci ción ón : n = L / f = 6 5. Radio Radio del del arco arco : R = 10.3 10.3558 558m. m.
6. 7. 8. 9. 10.
Longitud del arco Lc = 13.3280m ( arco circular) Sección del arco Circular o parabólica : 0.15m x 0.40m ( Ver sección del arco). Sección del arco Circular o parabólica : 0.15m x 0.40m ( Ver sección del arco). separación entre montantes y montantes del arco a cada 0.3064m A una distancia 2.2213 m. Sobre el arco se aplica una carga concentrada P = 1000Kg, en el nudo entre brida superior, diagonal y la montante . 11. separación entre montantes y montantes del arco a cada 0.3173m
Viguetas 12. La separación entre viguetas ( correas ) a cada 2.2213m. Cargas 1. El peso ultimo mayorado de diseño se aplica una carga Puntual concentrada P = 1000Kg, que es el peso puntual de la correa o vigueta sobre el arco. 2. Número total de siete cargas concentradas sobre un solo arco. 3. el área tributaria de diseño para el arco es 6.00m x 12.50 = 75.00m 2 .( repartido ambos flancos del arco) 4. para un diseño reglamentario y constructivo necesariamente tenemos hacer metrados respectivos de la cargas muertas, vivas , viento , horizontal ( sismo) y de cargas de temperatura del material utilizado, dependiendo al lugar de la edificación y a la zona geográfica del medio, aquí he llegado a un calculo aproximado de P =1000kg. 5. el área tributaria de diseño para el arco es 6.00m x 12.00 = 72.00m 2 .( repartido ambos flancos del arco)
Esfuerzos 1. Con los datos útiles ya se podrían emplear algunos programas especializados como sap 2000 para obtener los cálculos necesarios, además aquí no voy hacer procedimiento de operaciones a Sap2000. 2. Sabemos que los esfuerzos axiales bien necesarios en este tipos de arcos es que sus elementos estructurales que están sujetos a compresión y tracción para bridas superior e inferios, los esfuerzos en las diagonales y en la montantes. 3. La fuerzas verticales , reacciones horizontales ( empujes) , las resultantes máximas ( Rx ) , las fuerzas máximas cortantes ( Qx) , la normales máximas( Nx),y los esfuerzos tangenciales (Tx), en todos diseño estructural, cada elemento axial se diseñan con los máximos esfuerzos. Interrogantes sobre los esfuerzos 1. 2. 3. 4.
¿Cuál es el esfuerzo máximo cortante radial que soporte una barra montante?. ¿Cuál es el esfuerzo de empuje Horizontal en los apoyos?. ¿Cuál es el esfuerzo máximo de las bridas superiores e inferiores?. ¿Cuál es el esfuerzo máximo de la barra en diagonal soportada en el arco?
Comentario Cuando se diseña cualquiera estructura sea de concreto armado, estructura metálica , lo que principalmente al diseñador le interesa son los resultados finales de esfuerzos de la estructura, a fin de emplear el material de construcción , en este arco armadura de arco, siempre se menciona los esfuerzos máximos a que están sometidos cada elemento individuales del conjunto del arco parabólico. El modelo adjunto es una viga de arco cuadrangular tipo warren con verticales, es la bien usada en las construcciones, por que las fuerzas Puntuales y las distribuidas son absorbidas directamente por las barras montantes y contenidas por las barra Radiales llamadas (Montantes) y por lo tanto disminuyen grandemente los esfuerzos en las barras diagonales, también se aminoran los esfuerzos en las bridas sometidos a la tensión y compresión y en cual se ahorra el material empleada en la bridas. Solución Mayoría de los calculistas y estudiantes de ingeniería civil, cuando desean calcular los esfuerzos en cada tipo de arcos aplican sobre dicha estructura unas cargas distribuidas uniformemente a lo largo de toda la longitud, ya obteniendo los valores casi exactos en forma manual y para esto existen algunas tablas de diversos autores , que aquí no las mencionaré y de hecho por ahí deben haber otras muchas mas; pero muchos estamos de acuerdo con este método de calculo. Hasta ahora personalmente no visto ni veré cálculos realizadas con cargas concentradas sobre el arco, y este pequeño procedimiento nos lleva directamente a este método.
Solución y resolución típica
Nota: esta estructura no es un arco parabólico ni circular porque un de sus apoyos es móvil, sino mas bien es una viga curva.
Arco Biartaticulado parabólico o Circular: bien usado en las construcciones o naves industriales.
Área tributaria y metrado de cargas
Cargas Concentradas : P =1000Kg. Aquí ha sido incluido las cargas: CM, CV, cargas de temperatura, viento y el empuje horizontal por sismo ( Zona Lima -Perú) Las cargas puntuales están aplicadas a una distancia de 2.1448 m., medidos entre vigueta a vigueta y cuya carga concentrada es: P = 1000Kg, además es la carga de diseño ultimo en el nudo entre brida superior, diagonal y la montante. La separación entre montantes radiales y montantes del arco a cada 0.3064m
Idealización estructural Arco circular .- la curva directriz esta gobernada por la relación : R =
L2
+
f
, donde L = Luz = 124.27m. 8 f 2 f = flecha = 2.011667m, la luz y la altura de la flecha pasa por el eje del arco circular. Ya teniendo estos datos fácilmente se logra obtener mas datos con Angulo de abertura del arco, longitud de la curva y las coordenadas correspondientes.
Arco Parabólica .- esta curva de la forma parabólica se obtiene de la relación :
y =
4 fx ( L − x ) L2
Donde :L = Luz = 124.27m. f = flecha = 2.011667m, la luz y la altura de la flecha pasa por el eje del arco parabólico .
Tabla de coordenadas de trazado : División de la luz en 42 partes. 4 fx ( L − x ) 4 fx ( L − x ) Numero Numero de Coordenadas : y = y = Coordenadas : 2 de L L2 Divisiones Divisiones x y x y 0 0.0000 0.0000 11 32.5469 16.0151 1 2.9588 1.9255 12 35.5057 16.9044 2 5.9176 3.7572 13 38.4645 17.7058 3 8.8764 5.4961 14 41.4233 18.4104 4 11.8352 7.1387 15 44.3821 19.0209 5 14.7940 8.6885 16 47.3409 19.5375 6 17.7540 10.1444 17 50.2917 19.9592 7 20.71166 11.5064 18 53.2585 20.2897 8 23.6765 12.8291 19 56.2174 20.5238 9 26.6293 13.9486 20 59.1762 20.6647 10 29.5880 15.0288 21 62.1350 20.711667
Observación : La carga de diseño puntual por encima de los apoyos articulado siempre es la mitad de los medios, la idealización de la carga en este ejemplo fue homogenizada para ver el conjunto de las cargas puntuales actuantes.
Modelo Estructural por su Rigidez Armadura Cuadrangular Warren sin Montantes
Armadura Cuadrangular Warren con doble diagonales.
Armadura Cuadrangular Warren con Montantes Radiales y doble diagonal
Armadura Cuadrangular Warren con diagonales y Montantes Radiales: Es la armadura económica en el diseño de arcos .
Calculo de esfuerzos : Cargas Concentradas Arco Circular con una carga concentrada Cargas Verticales : V1 = 0.50P = 500Kg. Carga Empuje Horizontal : Ha =
P RL2 − 2LeS
4
+ 8 Re( R − e) , reemplazando los valores S ( R 2 + 2e 2 ) − 3RLe
Fuerza resultante: R = 1.05426P = 1054.26Kg. Donde : n = L / f = 6 Radio de curvatura : L= 12.427m. f = 2.07116667m.
Ha
= 928.15Kg .
R =
L2 8 f
+
f 2
= 10.3558m.
C
f
C
B
A
α
R
R
X
A B = longitud del arco AB A B = longitud e de la cuerda ( C ). f = flecha o altura de la cuerda R = radio de curvatura de la Brida
/
α 2
R-f
Sen( α / 2 ) = C/2R, donde R = 1,valor unitario. C= 2R sen ( α / 2 ).
β
X
f = R ( 1- Cos( α/ 2 )).
R-f = e = 8.2846m. Sin(α/2) = L / 2R = 0.6000 α/2 = 37º, α = 74º Longitud del arco :S = Rϕ = 10.3558 x 74x 3.1416/180 = 13.3750m. Tabla de Esfuerzos: La semi-abertura dividida en 10 partes Ángulo Abertura central:
α/2 = 37º α 37.00º 33.30º 29.60º 28.3026º 25.90º 22.20º 18.50º 14.80º 11.10º 7.40º 3.70º 0.00º
Coordenadas X = R(Sinα/2 -Sinθ)
0.000 0.4827 1.09832 1.30350 1.69005 2.30064 2.92754 3.5681 4.21976 4.8797 5.5452 6.2135
Y=R(Cosθ - Cosα/2)
0.000 0..3708 0.7196 0.8332 1.03100 1.3035 1.5360 1.7276 1.8774 1.9849 2.04957 2.071166
Momentos ( Mx) Mx = 500x –Ha y
-----------0.0000 -102.80802 -118.7367 -121.5846 -111.8976 -59.5235 38.1316 180.5781 367.3712 597.5651 870.2916 1184.3973
Fuerzas Normales (Nx)
Fuerzas cortantes ( Qx)
Nx =V1Sinα+HaCosα
Qx =V1Cosα-
---------------1042.5200 1050.2660 1053.9927 1054.2592 1053.3254 1048.2672 1038.8390 1025.0800 1007.0478 984.8174 958.4815 928.1500
HaSinα -------------------156.8900 -91.67185 -19.4728 0.0000 44.3613 112.2424 179.6555 246.3197 311.9570 376.2940 439.0621 500.0000
Conclusión : A decir verdad una armadura en arco circular, podría reemplazar técnicamente en techos a los diseños de arco parabólico ,por que los esfuerzos ofrecidos en la circular son bastante mínimos con respecto a los a los parabólicos . Qx Máx.= -316.0604Kg. Arco parabólico con una carga concentrada Cargas Verticales : V1 = 0.50P = 500Kg. 25 Pn Carga Empuje Horizontal : Ha = = 1.171875P = 1171.875Kg. 128 Fuerza resultante R = 1.274P = 1274.08Kg. Donde : n = L / f = 6, es la relación de peralte o rebajamiento de la curva. L = 12.427m. f = 2.071166m.
Tabla : Esfuerzos. Ángulo 4 f ( L − 2 x ) Fuerzas Normales (Nx) Fuerzas cortantes ( Qx) Tg α = 2 ( Mx) L Coordenadas Momentos Mx = 500x –Ha y Nx =V1Sinα+HaCosα Qx =V1Cosα- HaSinα 2( L − 2 x ) Tg α = 3 L x y --------------------------------------------α 33.690067º 0.000 0.000 0.0000 1252.4090 -234.0141 29.2215º 1.000 0.6130 -218.3594 1266.8345 -135.7248 24.3267º 2.000 1.1187 -310.9765 1273.7953 -27.1353 23.1066º 2.2368 1.2228 -314.5687 1274.0844 00.00000 19.0235º 3.000 1.5171 -277.8516 1270.8510 90.7128 713.3598º 4.000 1.8083 -119.1015 1253.2882 215.6894 7.4182º 5.000 1.9922 165.3906 1226.6220 344.5136 1.3122º 6.000 2.0687 575.7422 1183.0178 473.0327 0.0000º 6.2135 2.071166 679.6015 Ha = 1171.8750 V1 = 500.00 Observaciones : Momentos :El máximo momento negativo se ubica a X = 2.2368m, y el máximo positivo en la corona. Fuerzas Normales : Nx máx. = 1274.0844Kg, tambien a x= 2.2368m. Fuerza Cortantes: Qx máx. = ........?,obviamente la Qx máx. No la encontramos en el cuadro, para exista la fuerza máxima siempre debe encontrarse los valores en la forma resaltada de verde(Qx = 0). La Qx máx. se obtiene de la forma expresada : V 1 − Ha Nxmáx. = 500 −1171.875 1274.0844 = −512.0152 Kg. Qx m á x = 500 + 1171.875 V 1 + Ha Otra forma de convertir es : cos23.1066º = 0.9197, Sin 23.1066 = 0.3924, se suman el sin y cos, luego tenemos otro nuevo valor angular Sec β= 1.3121, β = 40.3470º, consecuencia de esto tenemos otros valores siguientes :Cosβ= 0.7621 =sinβ = 0.7621. Estos datos lo reemplazamos en la igualdad de fuerzas Qx y tenemos como sigue : Q x máx. =( V1- Ha) Cosα = (500-1171.875)x 0.7621 = -512.0360Kg.
Comparación con Programa Thales ( www.portalsedna.com.ar )
Una carga concentrada ( Solo forma parabólica) Un ejemplo típico de calculo realizado con el Programa Thales . con los datos de cálculo siguientes: Luz = 12.427m., flecha = 2.071166, P = 1000Kg. Aplicado a 6.2135m en el centro del claro.
Dos cargas concentradas
En principio aquí digo, que los esfuerzos axiales entre un arco circular y parabólico no son iguales, hay mucha diferencia entre ellos , especialmente en las fuerzas de empuje horizontal en los apoyos ( Ha) y las cortante (Qx). Falta determinar para 3, 4 5,6 y 7 cargas concentradas, tal conforme arriba expuesta, estos cálculos previos deben tener dos alternativas ( circular y parabólica), y que posteriormente podrían generalizar para “ n” carga concentradas , por eso que invito a todos ustedes que hagan sus análisis de esfuerzos respectiv os con el Sap2000 , este programa automáticamente agrega el peso total de la estructura por el tipo de material utilizado en el diseño preliminar, lo que finalmente nuestros cálculos hechos por este programa deberían concordar con los cálculos manuales realizados( Restar peso del material agregado por sap). Después de terminar los procedimientos de cálculos de esfuerzos se estarían ingresando a otra etapa de análisis que se llama diseño de área de perfiles angulares o diámetros de las barras redondas. Además, en los cálculos de ingeniería hecho para las obras, es obvio que se cometería un grave técnico en la construcción, porque en un diseño estructural la armadura principal es diseñada como Arco parabólico y luego se construye como arco circular y /o viceversa, a excepción del arco circular tiene mucha gran ventaja por minimizar los esfuerzos externos.
Esfuerzos : Cargas Uniformemente Distribuidas He visto en algunos textos entendidos las propuestas de cómo hallar y calcular los esfuerzos en los arcos con dos articulados en sus extremos, aplicando una carga uniformemente distribuida , por supuesto que es muy correcto y lo hacen para acelerar el análisis matemático ; pero también lo podemos hacer con cargas concentradas a una distancia o distancias equidistantes a los apoyos ,a mi criterio personal este método de calculo es la mas rigurosa porque así obtenemos los esfuerzos máximos cortantes ( Qx), ésta es la verdadera fuerza de compresión a que se encuentra sometida las barras montantes ( cortantes radiales ).
Arco parabólico simétrico Carga : W = CV+ CM Cargas Verticales : V1 = V2 = W * L /2 en Kg. WL2 Carga Empuje Horizontal :Hb = Ha = , en Kg. 8 f
Fuerza resultante : R =
WL 8
Donde : n = L / f = 6 L = 12.427m. h = f = 2.071166m.
n 2 + 16 ,en Kg.
Esfuerzos : Cargas Uniformemente Distribuidas +Carga viento ( diseño típico para techos ,efectos de vientos por el lado izquierdo). Carga : W = CV+ CM Cargas Verticales : V1 =
Carga Empuje Horizontal L2 Ha = [ 2Cm + Cv ] 16 f Fuerza resultante : R =
L 16
L(4CM
+ 3CV )
8
, V 2 =
L (2CM
+ CV )
8
4(4Cm + Cv ) 2 + n 2 (2Cm + Cv ) 2 , la mayor fuerza resul tan te.
Momentos en apoyos todos cero, en este modelado también consiste en encontrar la Qx máxima para barra montante y bien similar a los de la carga concentrada. Muchas gracias a todos ustedes por la atención prestada, espero haber dado la idea del por qué y para qué necesitamos emplear arcos, a menos que alguien escriba un manual de cómo calcular arcos por Sap2000 y casos de arcos bi-articulados y empotrados. Cesar Flores H.