Introducción Los arcos son uno de los tres elementos estructurales de forma activa. Por ello, a continuación se indica las propiedades del arco como elemento estructural sometido a flexocompresión, con el propósito de indicar el comportamiento que rige el elemento, así como las unidades adicionales requeridas para el diseño con elementos tipo arco, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de la sección transversal del arco requerido para el diseño arquitectónico. Para distinguir las propiedades del arco primero se define el elemento donde se indica las ventajas, comportamiento ante las cargas que se aplican, relación con el cable, materiales empleados para la construcción, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se señala la geometría ideal, las relaciones entre las cargas que se aplican, las tablas para resolver los arcos y las cargas de diseño.
Propiedades de los arcos Definición Cuando no es necesaria una cubierta plana para satisfacer las exigencias funcionales de la estructura, generalmente resulta que una cubierta de elementos con simples o doble curvaturas tales como los arcos o las cáscaras delgadas resultan más económicas en consumo de materiales, debido a la capacidad de absorber las cargas con intervención mínima de flexión y corte. Este sistema es el método estructural más antiguo utilizado para puentes cuando las luces son demasiado grandes para poder p oder utilizar vigas rectas. Los esfuerzos en los arcos son proporcionales a las cargas y a la luz, e inversamente proporcionales a la altura del arco. Para minimizar los esfuerzos a una luz entre apoyos dada, el arco debe ser lo más liviano posible y tener una altura tan alta como sea económicamente posible. (Salvadori y Heller, 1963; Winter y Nilson, 1977)
Comportamiento Si se invierte la forma parabólica que toma un cable sobre el cual actúan cargas uniformemente distribuidas según una horizontal, se obtiene la forma ideal de un arco que sometido a ese tipo de carga desarrolla sólo compresión, los momentos flectores y las fuerzas cortantes se reducen al mínimo e incluso, en algunas estructuras, se eliminan completamente.
Figura 1. Arco funicular de carga La forma de un arco debe ser funicular para las cargas más pesadas a fin de minimizar el momento. Los arcos funiculares ocupan un extremo de la escala de tensiones, con ausencia de flexión; las vigas ocupan el extremo opuesto, trabajando sólo a la flexión. La carga permanente es la usada para dar forma al arco, así no produce momento por ser funicular a esta carga, el momento introducido es debido a la carga variable.
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Ventajas El arco es en esencia una estructura de compresión utilizado para cubrir grandes luces. Un arco lleva una combinación de compresión y flexión debido a no puede cambiar su forma para los tipos de carga, por lo que el material a usar debe soportar algo de flexión además de la compresión que se genera por la forma curva. (Salvadori y Heller, 1963, 1998; Winter y Nilson ,1977).
Materiales Pueden ser de concreto armado, acero, mampostería (piedra o ladrillos).
(a)
(b)
(c)
Figura 2. Tipos de arcos
Elementos En los apoyos los arcos generan un empuje hacia fuera que debe ser absorbido por los cimientos o mediante contrafuertes, cuando esto no es posible, se coloca un tensor para resistir el empuje que en algunos casos puede estar enterrado. Los arcos pueden ser doblemente empotrados (empotrados Fig. 2.a) o doblemente articulados (articulados Fig. 2b.). Los últimos permiten la rotación de los contrafuertes ante la acción de las cargas y de las variaciones de temperatura; son relativamente flexibles, y ante variaciones de temperatura o asentamientos del suelo, no desarrollan tensiones elevadas de flexión. Si los cambios de temperaturas causan muchos problemas se puede introducir una tercera articulación en el tramo (véase Fig. 2.c), el cual permite deformaciones y no introduce esfuerzos adicionales. Por otra parte, los arcos empotrados son más rígidos y en consecuencia, más sensibles a las tensiones provocadas por variaciones de temperatura y por asentamiento de los apoyos pero las cargas debido a las acciones verticales son menores. (Salvadori y Heller, 1963, 1998)
Figura 3. Esquema de sistemas de arcos paralelos, radiales y diagonales. Nota. De Sistemas de Estructuras, por Engel, H., 2001, Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A.
Usos Los arcos son usados en una variedad de combinaciones para techos curvos, uno de las más simples es la de los techos con arcos paralelos con elementos transversales y placas como techo. Pueden ser colocados de forma diagonal y radial (véase Figura 3). En estos tipos de techos los elementos de conexión de los arcos Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela
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trasmiten la carga del techo a los arcos por acciones de flexión o de arcos y los arcos llevan la carga al suelo. Los rangos de luces para el uso de arcos son de 25 a 70 m. (Engel, 2001; Salvadori y Heller, 1963)
Predimensionado Geometría ideal Generalmente, se hace que coincida el eje del arco con el funicular de las cargas permanentes (parábola). Procediendo así, los momentos flectores que aparezcan se deberían a la sobrecarga exclusivamente.
r = donde:
h L
; c=
x L
2
; y = 4 rLc ; tan θ = 8rc ; s =
L 2
(1 +
8 3
r 2 )
(1)
r ≡ Parámetro adimensional de la relación de altura; c≡ Parámetro adimensional de la distancia horizontal; L≡ Luz entre apoyos del arco (véase Figura 4); θ≡ Angulo con respecto a la horizontal en cualquier punto del arco (véase Figura 4); x, y≡ Coordenadas con respecto al origen (véase Fi gura 4); s≡ Longitud en la directriz del arco.
x y
h θ
L
Figura 4. Geometría del arco
Cargas La carga permanente (g) suele estar casi uniformemente repartida a los largo de la directriz. La carga por metro lineal de luz se distribuirá, por tanto, en la forma representada de la figura
g
Figura 5. Distribución del peso propio g en la dirección del arco (directriz).
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g θ
V
Figura 6. Proyección vertical del peso propio en el extremo del arco.
g ′
g
=
cosθ
− g
(2)
donde: g ´ carga por metro en la dirección horizontal.
g’
V
g
Figura 7. Esquema de la distribución de carga del peso propio La sobrecarga tendrá que ser colocada de forma que dé lugar a los máximos momentos flectores o esfuerzos, condición que se cumplirá generalmente cuando el arco se halle parcialmente cargado. Los momentos se obtienen por superposición de la tabla de momentos para arcos (Winter y Nilson, 1977).
Cargas de diseño del arco Las cargas de diseño en un arco son la carga axial P y el momento flector M en la sección señalada. Por lo tanto la obtención de las dimensiones del arco sigue el esquema de diseño de un elemento sometido a compresión, (específicamente diseño a flexocompresión) debido a que la dirección de la carga axial es tangente al arco, este valor varia tanto de dirección como de magnitud. El valor de la carga axial es según la Ecuación 3 que se basa en el esquema de la Figura 9.
P = V sin θ + H cosθ θ
(3)
H V P
Figura 9. Esquema de la carga axial.
Tabla de arcos Con las magnitudes de las cargas se usa la tabla de momentos y reacciones, para determinar los valores de diseño del arco según el tipo de apoyo (biarticulado y empotrado) (Winter y Nilson, 1977).
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g
g´
h h
L L
Caso I
Caso II p
p
αl
αl
αl
L L
Caso III
Caso IV p αl
h
L
Caso V1
Figura 8. Esquema de la posición de la carga en arco. Tabla 1. Momentos y reacciones para arcos biarticulados.
R l
R r
H
Caso I
Caso II
gl
g ′l
2
6
gl
g ′l
2
6
gl 2 8h 0
Mc
Ml/4
0
Caso III
Caso IV
Caso V
0,35 pl
0,15 pl
0,335 pl
0,35 pl
61,3 *10−3 pl
90,3 *10−3 pl
g ′l 2
68,49 *10−3 pl 2
56,5 *10−3 pl 2
48 *10−3 pl 2
42h
h
h
h
7,25 *10−3 pl 2
0
0
16,4 *10−3 pl 2
−
g ′l 2 338
g ′l 2 234
− 7,25 * 10
−3
0
pl 2
Nota. De Proyecto de Estructuras de Hormigón (p. 526), por Winter, G. y Nilson, A., 1977, Bogotá, Colombia: Editorial Re verté Colombiana, S.A.
1
Los casos hacen referencia a la tabla de momentos (Véase Tabla 1 y Tabla 2).
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Tabla 2. Momentos y reacciones para arcos doblemente empotrados. Caso I
Caso II
gl
g ′l
2
6
gl
g ′l
2
6
H
gl 2 8h
g ′l 2 56h
Ml
0
R l
R r
−
0
Mc
0
Caso IV
Caso V
0,375 pl
0,125 pl
0,35 pl
0,375 pl
0,125 pl
0,05 pl
68,8 *10−3 pl 2
56,2 *10−3 pl 2
39,7 *10−3 pl 2
h
h
h
− 6,9 *10
210
Caso I
Mr
g ′l 2
Caso III
Caso II
−
−3
pl 2
Caso III
g ′l 2 210
g ′l 2 560
pl 2
6,9 *10−3 pl 2
− 17,3 *10
−3
Caso IV
Caso V
pl 2
− 6,9 *10
−3
6,9 *10−3 pl 2
11,5 *10−3 pl 2
− 5,4 *10
−3
5,4 *10−3 pl 2
− 2,6 *10
pl 2
−3
pl 2
Nota. De Proyecto de Estructuras de Hormigón (p. 527), por Winter, G. y Nilson, A., 1977, Bogotá, Colombia: Editorial Reverté Colombiana, S.A.
Ejemplo Predimensionar el arco de la figura w
h
l l = 80 m; h= 25m; w cp= 600 kgf/m; w cv = 350 kgf/m
Los datos adaptados a la Tabla de arcos son: w cp= g y w cv= p, es decir g = 660 kgf/m y p= 350 kgf/m
Cálculo de g’ Aplicando la Ecuación 1
r =
h L
tenemos
r =
25 80
tan θ = 8rc ; para determinar θ en el apoyo c=0,5; tenemos tan θ = 8 * 0,31* 0,5 Facultad de Arquitectura y Diseño Universidad de Los Andes Venezuela
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r
0,31
tanθ
1,25
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si
g ′
g
=
cosθ
Aplicando la Ecuación 2
θ = tan −1 (8rc) ; tenemos
600
g ′ =
− g
cos 51,34
; tenemos
− 600
θ g´ (kgf/m)
51,3401917 360,47
Resolución de casos de la Tabla de arcos De la Tabla 2 (Momentos y reacciones para arcos doblemente empotrados), se aplica las fórmulas indicadas, tenemos:
Caso I 19200
24000
Figura 8. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso I. Reacción vertical R =
gl 2
Reacción Horizontal H =
; tenemos R =
gl 2 8h
600 * 80 2
; tenemos H =
R
24000
H M l=M r
19200 0
600 * 80 2 8 * 25
Momento en el apoyo izquierdo ( l ) o derecho ( r )
Caso II Reacción vertical R =
g ′l 360,47 * 80 ; tenemos R = 6 6
Reacción Horizontal H =
g ′l 2
; tenemos H =
56h g ′l 2
Momento en el apoyo M = −
210
360,47 * 80 2 56 * 25 360,47 * 80 2
; tenemos M = −
R
4806,25
H
1647,86
M l=M r
-10985,7
210 10985,7
1647,9
4806,25
Figura 9. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso II.
Caso V Para resolver la carga viva solo se aplica el caso V por ser el más desfavorable. De cada fórmula se escoge la que proporcione el mayor valor. Reacción vertical R= 0,35 pl ; tenemos R =
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0,35 * 350 * 80
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R
9800
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Reacción
;
tenemos
39,7 *10 −3 * 350 * 80 2
H =
H
3557,12
M l
-38752
25
Momento
en
el
= −17,3 *10
M l
H =
Horizontal
39,7 *10 −3 pl 2 h
−3
M l
apoyo
= −17,3 *10
−3
pl 2 ;
tenemos
* 350 * 80 2 38752 3557,12
9800
Figura 10. Esquema de las reacciones en el apoyo Caso V.
Cargas de diseño La carga axial se determina por P = V sin θ + H cosθ y sabiendo que los Casos I y II corresponden a la carga permanente (CP ) y el Caso V a la carga variable ( CV ), sumamos las componentes verticales ( R) y horizontales ( H ).
CP La vertical carga permanente La
horizontal
V cp
= R I + R II ; tenemos V cp =
carga
H cp
permanente
24000 + 4806,25
= H I + H II ;
P = V sin θ + H cosθ P cp = 28806,28 * sin 51,34 + 20847,86 * cos 51,34 Si
θ =51,3401917
El
momento
=
M cp
de
28806,25
H
20847,9
P cp
35517,5
M emp
-10985,7
tenemos
= 19200 + 1647,86
H cp
V
y
empotramiento
por
carga
permanente
M cp
= M I + M II
0 − 10985,71
CV La vertical carga variable
V cv
= RV ; tenemos
V cv
= 9800
La horizontal carga variable H cv = H V ; tenemos H cp = Si
9800
H
3557,12
P cv
9874,63
M emp
-38752
Pu (kgf)
49724,4
Mu (kgf*m)
15380,0
Pu (kgf)
47 558,3
Mu (kgf*m)
32 558,9
3557,12
θ =51,3401917
P = V sin θ + H cos θ ⇒ P cv
V
= 9800 * sin 51,34 + 3557,12 * cos 51,34
El momento de empotramiento por carga variable M cv = M V ⇒ M cv = −38752
y
Carga mayorada
U 1
= 1,4CP ; P U = 1, 4 P CP ⇒ P U = 1, 4 * 35517,5 1
M U 1
1
= 1,4 M CP ⇒ M U = 1,4 *10985 ,7 1
U 2
= 1,2CP + 0,5CV t ;
P U 2
= 1,2 P CP + 0,5 P CV ⇒ P U = 1,2 * 35517,5 + 0,5 * 9874,6
M U 2
t
2
= 1,2 M CP + 0,5 M CV ⇒ M U = 1,2 *10985 ,7 + 0,5 * 38752
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t
2
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U 3
= 1,2CP + 1,6CV t ;
Pu (kgf)
58 420,4
Mu (kgf*m)
75 186,1
= 1,2 P CP + 1,6 P CV ⇒ P U = 1, 2 * 35517,5 + 1,6 * 9874,6
P U 3
t
M U 3
3
= 1,2 M CP + 1,6 M CV ⇒ M U = 1,2 *10985 ,7 + 1,6 * 38752 t
3
Diseño del arco Ac ero Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m; k = 0,65 y l tomado como 3,2 m (longitud de arriostrado del arco) y siguiendo el procedimiento de elementos sometidos a fuerzas de compresión, tenemos: a.
Se selecciona un perfil de tanteo (en este caso un perfil W12x152) del cual se obtiene las propiedades geométricas A, Z max y r min, para luego comprobar que kL r min ≤ 200 ; para el perfil, las propiedades geométricas son Perfil
A (cm2)
Zy (cm3)
Zz (cm3)
r y (cm)
r z (cm)
KL/rmin
289,00
3980
1840
14,40
8,09
25,7
W 12x152
(
)
b. Se calculó øc F cr kL r min ⎯ ⎯ ⎯ →φ c F cr y øc P n (φ c P n = φ c F cr A) para el perfil de tanteo con tabla
el coeficiente de esbeltez redondeado a cero cifras tenemos; KL/r min
ØP n 2
26
c.
ØF cr 2054 kgf/cm
593606 kgf
El perfil de tanteo se revisa con la formula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. Fórmula de Interacción
si
si
P u
≥
φ c P n P u φ c P n
<
0,2 ⇒
0,2
P u
+
φ c P n
⇒
P u 2φ c P n
8 M u 9 φ b M n +
M u
≤1
≤
φ b M n
1
Pu/ØPn Interaccion 0,10
0,89
Según la segunda ecuación
El perfil W12x152 cumple para el arco.
Concreto armado Con los valores de las cargas mayoradas Pu =58420,35 kgf; Mu = 75186,05 kgf*m y materiales a emplear de = 250 kgf/cm2 ; f y= 4200 kgf/cm2. Para elemento de concreto armado a flexocompresión se siguen las indicaciones señaladas en el diseño de elementos sujetos a cargas axiales. i.
Se selecciona la cuantía de acero ρ entre [0,02; 0,03] y calcular ω =
ρ=0,025 y la cuantía mecánica es
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ω =
0,025 * 4200 0,85 * 250
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f y 0,85 f c′
, por ello se escoge
⇒ ω = 0,49 .
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ii. Se escoger como valor tentativo para h, 60 cm γ =
γ =
60 − 2 * 5 60
⇒ γ =
h − 2r h
por lo que la relación de forma queda
0,83 , se escoge el ábaco γ=0,80.
Figura 12. Abaco seleccionado. iii. Calcular el valor e/h y trazar una línea radial que represente este valor.
e = M u P u ⇒ e = 75186,05 58420,5 ⇒ e = 1,287 m; e
=
128,7cm 60cm
h escoge
ν
⇒
e h
=
ν=0,1
e
=
h para
por
lo
2,145 . Para trazar la línea radial se aplica la relación establecer
el
valor
correspondiente
de
μ
tanto
e
=
h
μ ν
para
y se 0,1;
μ ⇒ 0,1* 2,145 = μ ⇒ μ = 0,215 . El punto señalado en la figura corresponde a estas
coordenadas ( μ=0,215; ν=0,1). Este punto se une con el origen para obtener la línea radial.
Figura 13. Trazado de la línea radial e/h=2,145. iv. Donde corta la línea radial e/h= 2,145 con la curva ω =0,49 se lee el correspondiente valor de ν de 0,078 (véase la Figura14).
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Figura 14. Valor de ν obtenido del corte de la línea radial e/h=2,145 con la curva ω=0,49. v. Se calcula el área requerida A g con el valor obtenido de ν, según la relación ν =
tenemos A g =
P u 0,85 f c′ A g
,
58420,5 2 ⇒ A g = 3524,62 cm . 0,85 * 250 * 0,078
vi. Se determina b =
A g h
con el área obtenida y altura h establecida b =
vii. Se revisa la proporción de la sección bien proporcionada
b h
=
0,60 0,60
3524,62 60
⇒ b = 58,7 cm.
= 1 que está dentro del rango
[0,6; 1]. Las dimensiones del arco son 60x60 cm.
Bibliografía Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, España: Editorial Gustavo Gili, S.A Salvadori, M. y Heller, R. (1963). Structure in Architecture. s/d: Prentice-Hall. Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para Arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher. Winter, G. y Nilson, A. (1977). Proyecto de Estructuras de Hormigón. Bogotá, Colombia: Editorial Reverté Colombiana, S.A.
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