Compendio Compendio de Ci encias encias I-D
A ri tmética
CAPÍTULO
01 OBJETIVOS – Poder realizar las operaciones operaciones de comprensión comprensión y extensión extensión y diferirlos. diferirlos. – Poder diferir las relaciones de pertenenc pertenencia ia e inclusión inclusión.. – Relacionar Relacionar los concepto conceptoss obtenidos obtenidos en la teoría de los conjun conjuntos tos con la vida real.
MOTIVACIÓN: Al desarrolla desarrollarr adecuadamente adecuadamente el tema tendremos tendremos en forma clara y sencilla sencilla las distintas distintas relaciones relaciones que entre los conjuntos se puede realizar: así como conocer los fundamentos para poder ampliarle luego en el tema siguiente.
TEORÍA DE CONJUNTOS Noción: Se entiende por conjuntos que es una colec-
a)
I nc lu lu si ó n ( ⊂ ): Es la relación entre ................. y .................
b)
Per te tene nc ncia (∈): Es la relación entre ................. y .................
ción, agrupación o reunión de .............................
I.
DETE DETERM RMIN INA ACIÓN CIÓN DE DE UN CON CONJU JUNT NTO: O: 1. Por Por compre comprens nsió ión n o ....... .......... ....... ........ ....... ...... ...
Ejemplo: Si A = {1;2;{3}}
Es cuando se enuncia una propiedad común; que reúna a todos los elementos elem entos de una propiedad en una sola condición.
∈ A { 3 } ∈ A ∈ A 2 1
Ejemplos: A = { B = {
2.
2.
Por Por exten extensió sión n o ........ ............ ........ ....... ....... ...... Es cuando se enuncia a todos y cada uno de los elementos que conforman el conjunto. conj unto. Ejemplos: A = { B = {
Con Conjun juntos tos igu igual ales es Dos conjuntos A y B son iguales si: A = B ⇔ A ⊂ B ∧B
⊂A
Ejemplo 1: A = {a + 2; 7}
B = {11;b – 6}
Si: A = B. B. Hallar: (a + b)
II . RELA RELACI CION ONES ES ENTRE ENTRE CONJ CONJUNT UNTOS OS 1. Inclu Inclusi sión ón o Sub Subco conj nju unto nto Se dice que el conjunto A está ..................... en otro B; cuando todo elemento del primer conjunto sea elemento del segundo conjunto: A⊂ B ⇔ x∈A
⊂A {2} ⊂ A {{3}}⊂ A {1}
→
x ∈B
Se cumple: a + 2 = 11
y
b–6=7
a=9
b = 13
∴ a + b = 22 Ejemplo 2: A = {4, 5, 6, 7} B = {α/x∈Z 16
≤ x2 < 64}
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II I. CONJUN CONJUNTO TOS S NOTA NOTABLES BLES 1.
5.
Con Conjun junto po poten tencia cia P( A) : Se denomina conjunto potencia de A a la familia de todos los subconjuntos de A y se denota P(A).
Conj Conju unto vac acío ío o nu nulo Carece de elemento; está ........................... en todo conjunto y es .......................... notación.
Ejemplo: 0/
A = {1; 2; 3}
; {} {}
n(A) = cardinal cardinal de de A o número número de de elementos elementos de A donde: n(A) = 3
Además: ∅ _ _ _ A; ∀ A
P(A) = potencia potencia de A o número número de sub sub conjunconjun-
2.
Conj Conjun unto to un unitario itario o sin single gletó tón: n:
tos donde:
= 2 n(A)
P (A)
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Entonces: 23 = 8 sub conjuntos Ejemplo: {2} ; {1} ; { ∅ } ; {a}
Los subconjuntos de A son: {1} {2} {3} {1:2} {1:3} {2:3}
3.
Conj Conju unto univ univer ersa sal: l:
{1;2;3}
Es un conjunto referencial, se encarga del estudio de una situación particular y contiene a todos los conjuntos conj untos en uno solo.
∅
Los subconjuntos propios de A son aquellos sub conjuntos diferentes al conjunto A.
Notación: U
Del ejemplo anterior: {1} {2} {3} {1:2} {1:3} {2.3} {1:2:3}
Ejemplo: A = {los leones}
En general:
B = {los gatos} 2 n(A) – 1
Conjuntos universales posibles U1 = {los felinos}
6.
U2 = {los felinos domésticos}
4.
Es aquel conjunto que posee dos elementos no necesariamente diferentes, y donde sí importa el orden de ellos:
Conj Conju unto de con conju junt ntos os:: Denominado también familia de conjuntos y es aquel cuyos elementos son todos conjuntos.
Notación: (x;y) “par ordenado ordenado x ; y”
Donde: x es la primera componente
Ejemplos:
y es la segunda componente
A = {{ 5} ; {8 }} los elementos son: {5}
Prod Produ ucto cto ca cart rtes esian iano o (A× B)
∈ A
{8 }
∈ A
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Pregunta Desarrollada
Pregunta por desarrollar
1 . Demostrar que: F ⊂ E ⇔ F ∩ E = F
1 . Demostrar que: E ∩ F = F ∩ E
Resolución:
Resolución:
Partimos que F ⊂ E y se probará F ∩ E = F, luego se realizará el camino inverso. Sea x∈(F
∩ E); por
definición x∈F (se cumple también x∈E pero es una relación que no interesa) luego, por la definición de inclusión resulta F ⊃ E
∩ F. Sea ahora x∈F, como por hipótesis F ⊂ E se tiene x∈E, por lo tanto x∈(E ∩ F), con lo cual F ⊂ (E ∩ F).
1 . Sabiendo que:
subconjuntos del conjunto formado f ormado 4 . Hallar todos los subconjuntos 2
{
A = 2x + 1 / x ∈
+
∧
5
≤ x ≤ 13 }
Hallar la suma de los elementos del conjunto A. Rpta.: .................................................................
2 . Se sabe que a y b ∈ + . Además A y B son conjuntos unitarios, donde:
{
A = a2 B = {a
por las cifras que tiene el resultado de 325 . Rpta.: .................................................................
5 . Si: A = {1; 2; {1}; {1;3}; { φ}} ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son falsas?
{1} ∈ A φ∈A
+ 2 b ; b 2 + 1}
3∈A
{1, {1}} ∈ A
+ 4 b ; b + 3 − 3a }
Calcule: a + b.
{2} ⊂ A n(A) = 6
{φ} ⊂ A {1; 2} ∈ A
Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
6 . Si: A = {x / x ∈ ∧ 1 0 < x < 20} 3 . Dado: x = {2; {4;5}; 4}. Indicar cuántas de las siguientes siguientes afirmaciones afirm aciones son falsas.
{2, {5}} ⊂ x {4, 5} ∈ x {4, 5} ⊂ x
{{4}} ⊂ x {{4} , 2} ∈ x {5} ∈ x
{5} ⊂ x
{{3}} ⊂ x {4 } ⊂ x
{
B= y+5/
(
y
+ 15 1 5 ) ∈ A}
Calcular la suma de los elementos de B.
Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
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7.
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Sean los conjuntos: A = {x 1 < x < 10
∧
Hallar: a 2
= {x
x
2
Rpta.: .................................................................
− 8 x + 12 = 0 ∧
{
D= x 1
2
< 10 ∧
x
x ∈
}
12. Dados: A = {4}, B = {3; 4}, C = {1; 2; 3},
> 0}
D = {1; 2}, E = {1; 2; 4}. Indicar cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas.
Indicar la relación de ∈ y ⊂ para completar las siguientes afirmaciones. C.....A
3.....C
A.....D
D.....A
G.....C
B... ..C
C. ....D
8 .....D
A.....A
B... ..D
G.....D
φ.....B
x
+
y
}
B
={
x
−
y; 4
}
Rpta.: .................................................................
3x − 1 ∈ + 16 ≤ x 2 ≤ 144 ∧ x ∈ 9. Si: A = 5 2x + 5 ∈ 4 ≤ x < 20 ∧ x ∈ B= 6
Hallar: n(A)+n(B) Rpta.: .................................................................
10. Dados los conjuntos:
{
B=
x
A⊄D C
∈ ∧ x < 100 }
x + 1 ∈ −9 ≤ x < 11 2
Hallar: n(A)–n(B) Rpta.: .................................................................
11. Si los conjuntos A y B son unitarios e iguales;
=B
⊃A D ⊄E B ⊄D E
13. Dados:
{ 2 + b 2 + c 2 ; d + e} B = {c 2 + 1; d − e + 4 ; 5 }
Rpta.: .................................................................
14. Si:
P
= {x 2
Q
= {z 2
x
= n 2 − 1; n ∈ ; 3 < n ≤ 5 } z +1
= m ∧ m ∈ # ∧m ≤ 4}
Hallar: n(P)+n(Q) Rpta.: .................................................................
15. Dados los conjuntos:
{ − 1 0 < (n − 1)2 < 81 ∧ n ∈ } Q = {(m − 1)2 0 < m 2 − 1 < 81 ∧ m ∈ } A = n2
Hallar: n(P(A) )+nP(P(B) ) Rpta.: .................................................................
16. Sea el conjunto: A = {1; 3; 13; 31;
φ, {φ}; {3; 1}; {3}; φ; {1; φ}}
Construir los conjuntos:
donde:
M = {x {x} ∈ A}
{ + b 2 − 5 ; − 4 a + 8} B = {b − 2c − 3 ; a 2 + 4 }
Hallar: n(M) +n (N)
A = a2
≠E A⊂C B ⊃E
B
Si: A = B; A es unitario c > a > b y son enteros no negativos. Hallar: a+b+c+d × e
Hallar: x+y
A = 2x
⊄A E ⊄C B⊂D B
A= a
8. Dados los conjuntos unitarios:
{
D⊂C
Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
A = 8;
Si: {a ; b ; c} ⊂
x ∈!}
B = {2x x ∈ " } C
+ 2b − 3c 2
N
= {x
x ∈A ∧ x
∈ P(A)}
Rpta.: .................................................................
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17. Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario:
A ri tmética
19. Sean los conjuntos:
A = {3m–3n+2; m+n; 14}
3n + 1 ∈ n ∈ + ∧ 0 < n ≤ 10 5 3n + 1 ∈ + n ∈ ∧ 2 ≤ n ≤ 10 B= 5 A=
Hallar el número de subconjuntos propios de: B = {m, 2m, n, 2n–1}
Rpta.: .................................................................
A = {a
18. Sean:
B=
Hallar:
+ b ; 6 ; a − b ; 16 }
a 2 + b 2 ; cd ; c + d 2
Rpta.: .................................................................
20. Si el número de elementos de un conjunto excede
M, si: M = a × c + b × d
al cardinal de otro en 2, si el número de subconjuntos de uno excede al número de subconjuntos del otro en 768. Hallar la suma de los cardinales de ambos conjuntos.
Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
Si A y B son dos conjuntos binarios. Hallar la suma de todos los posibles valores que puede tomar
1.
¿Cuántos elementos tiene A, si:
Dado: R = {2; 4; 5; {8}; {10; 11}}
A) 2
B) 1
C) 4
D) 3
¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
{
x ∈ $ (3x + 1) ∈
%
E) 0 Dados los conjuntos A y B iguales, donde:
+ 2; a + 1} B = {7 − a ; 8 − a} Hallar: a 2
Si: a ∈
{13 ; 15} ⊄ S A) 3
B) 4
C) 5
D) 2
13 ∈ S
{8} ⊂ S
+
B) 16
C) 25
D) 9
5 . Si:
U = {x ∈ B
E) 49 Si los conjuntos M y N son unitarios.
+ 1; 3b}
{1 0 ; 1 1} ∈ ' ∈S
E) 1
A) 4
M = { 2a
S = {13; {15; 17}}
{{8}} ∈ &
A = {a
3.
4.
∧ x < 10} ?
A=
2.
n(P(A)) + n(P(B)) − n (A) + n(B)
N
= {2a ; b + 7 }
Calcular: Q
− 1 ≤ x ≤ 4}
= x ∈ U
2x
2
=
24 x 8
Hallar: N[P(B) ] A) 50
B) 60
C) 80
D) 40
E) 70
A) 8
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
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CAPÍTULO
02 OBJETIVOS – Poder realizar las distintas operaciones de unión; intersección; diferencia, etc. – Poder diferir dichas operaciones. – Diferenciar una operación de Venn, Euler y Carroll. MOTIVACIÓN Conocida las nociones básicas en teoría de conjuntos I, podremos ampliar esos conocimientos en este tema, adicionando a ellos los diversos puntos que nos llevarán a poder resolver problem as y ejercicios de mayor nivel y complejidad.
TEORÍA DE CONJUNTOS II I.
UNIÓN O REUNIÓN (U)
Propiedades:
Se considera a todos los elementos comunes y no comunes sin repetir ningún elemento.
AU A = ... ... ... .... AUB = .............
(AU B) = { x x ∈ A
y/o
x
AUU = ............. AU(BUC) = ............. AU∅ = .............
∈ B}
Si A y B son disjuntos: n(A UB) =
Gráficas:
a.
Si A y B son no disjuntos:
Gráfica Intersectada: A
n(A UB) =
B
2 . IN TE RS EC CIÓN (I ) Se considera los elementos comunes a ambos con juntos.
(AUB)
(AI B) = { x x ∈ A ∧ x ∈ B}
Gráficas:
b. Gráfica Incluida: A
a.
B
Gráfica Intersectada: A
B
Obs. (AUB)= B (AI B)
c.
Gráfica Disjunta: A
b. Gráfica Incluida: B
B A
(AUB)
Obs. (AI B)= A
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c.
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Gráfica Disjunta:
c.
Gráfica Disjunta: A
A
B
B (A–B) AI B =
∅ Propiedades: A–A = ..... ..... ...
Propiedades:
A–∅ = .............
AI A = ... ... ... .... (AI B) = .............
A–B
AI U = ............. AI (BI C) = ............. AI ∅ = .............
4.
≠ .............
DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆ )
{
}
(A ∆ B) = x x ∈ (A – B) ∧ x ∈ (B – A)
Si A y B son disjuntos: n(A UB) =
A
Si A y B son no disjuntos:
B
n(A UB) =
3 . DIFERE NCIA
(A ∆B) = ...........................................................
Se considera a aquellos elementos propios del primer conjunto: (A– B) = { x x ∈ A ∧ x ∉ B}
(A ∆B) = ...........................................................
5 . C OM PLE ME NTAC IÓ N Se considera todos los elementos que faltan al con junto A para el universo.
Gráficas:
a.
Notación: Ac
Gráfica Intersectada:
= A' = A
Entonces: A' = U – A
A
={x
x ∈∪
∧ ∉ A}
B U A
(A–B) A’
b. Gráfica Incluida: Propiedades: B A (A–B)= ∅
B A
B–A
A–B = A I B
( Ac )
c
c
A I A' = ............
= .............
∅ ' = ............
A'UA = .............
U' = ............
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Pregunta Desarrollada
ii)
1. Demostrar que los conjuntos A y B cumplen que: C
A – B = A ∩ B
C
Sabemos que: M = N A – B ⊂ A ∩ B
↔M⊂N ∧ N ⊂M
que: A ⊂ A
C
Resolución:
(diferentes del vacío). Simplificar: C
[(A ∪ B) ∩ B ] [B ∩ (B – A)] B) A ∪ B E) B – A
C) A
∆B
A = {x x
= 3n − 2 < 6 ; n ∈ ( }
{
= p2 − 1 < 7 ; p ∈ }
A) 1 C) 4 E) 16
B) 2 D) 8
¿Cuántos subconjuntos binarios posee R? A) 15 B) 16 C) 16 D) 21 E) 24
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. A ∩ B ≠ φ
∆ B = A ∪ B
III. A – B = A IV. A ∪ B ≠ φ V. n(A × B) = 6 B) 2 E) 5
Halle: n[P(E) ]
4. Dado el conjunto: R = {ab 8 a + b = 7}
2. Dados los conjuntos:
A) 1 D) 4
C
1. Demostrar que para todo conjunto A se cumple
1. Si A y B denotan dos conjuntos cualquiera
A) A ∩ B D) A – B
Finalmente de (i) ∧ (ii) (A – B) = A ∩ B
Pregunta por desarrollar
∴ (A – B) ⊂ A ∩ B
II. A
C
C
∀ x ∈ (A − B) → x ∈ A ∧ x ∉ B → x ∈ A ∧ x ∈ BC → x ∈ (A ∩ BC )
B= y y
∀ x ∈ (A ∩ BC ) → x ∈ A ∧ x ∈ BC → x ∈ A ∧ x ∉B → x ∈ (A − B) ∴ (A ∩ B ) ⊂ A – B
Resolución:
i)
C
A ∩ B ⊂ A – B
C) 3
5. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U, además: * A – B = A * n(C – A) = n(C – B) = 11 * n(C) = 16 Calcule: n(B ∩ C) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 12
6. Si se cumple que: 3. Si se cumple que:
{ 3 x ∈ ) ∧ 1 < 2x − 3 ≤ 9} N = {x − x 4 x ∈ ∧ 2 < x < 5 } M= x
{
A = x x2
− 13x + 40 = 0}
B = {2 +1x 1 ≤ x C
= {(x2 − 1)
< 6 ∧ x ∈ }
x∈B
E = (A ∪ C) − B
∧ x < 5}
¿Cuántos subconjuntos propios tiene (M ∆ N)? A) 7 B) 15 C) 31 D) 63 E) 127
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7. Dadas las siguientes proposiciones, indicar cuántas son siempre verdaderas:
12. De los conjuntos A y B se sabe que: * n[P(A)] – n[P(B)] = 224
I.
x ∈ (A − B) → x ∈ (A ∩ B C )
*
II .
x ∈ (A ∆ B) → x ∈ (A ∪ B)C
Calcule: n[P(B–A)] A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
III. x ∈ (A ∩ B) → x ∈ P(A) IV. A = { } → n P(A) = 1 V.
B
E) 64
= {φ} → n P(B) = 2
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
n[P (A∩C)] = 1
13. Se tienen tres conj untos A, B y C contenidos en U, C) 3
8. Dados los conjuntos A, B y C contenidos en U, donde se cumple: * P(B) ⊂ P(A) C * B ⊂ C
tales que: * A ∩C =C C C * n(A ∩ B ) = 50 C * n(C ) = 92 * n[(A ∪ B) – C] = 6n(C) Halle: n(U) A) 78
B) 88 D) 103
*
n(B × C) = 75
C) 99
* *
n(A) = 10 P(A∩C) < 10
E) 107
Calcule n[A – (B ∪ C)], si es mínimo. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. Sean los conjuntos: A = x ∈ + x
{
< 10 ∧ x tiene 2 divisores}
∧ 1 ≤ x ≤ 5} S = {(x , y) ∈ A × B x + 1 = 2n − 1}
n(A) = n(B) + 2 C n(A – B) = n[(A ∪ B) ]
Calcule cuántos subconjuntos ternarios tiene A . A) 110 B) 120 C) 125
D) 130
E) 132
15. Si A, B y C son conjuntos que cumplen: B) 4 E) 7
C) 5
10. Sean los conjuntos:
n(C – B) = 0
*
n [ A × (B ∪ C)] = 60
*
n(A × B) = 2n(A × C)
A) 10 D) 25
B) 15 E) 30
C) 20
16. Indicar V o F según corresponda:
∆ B) + n(A ∩ B) B) 11 E) 14
*
Calcule: n(A × C)
x 2 − 25 A= x ∈ , 0 < x ≤ 6 x − 5 3x + 1 ∈ −1 ≤ x ≤ 8 B= 2 Calcule: n(A A) 10 D) 13
* *
C
B = { 2x − 1 x ∈
Calcule: n(S) A) 3 D) 6
14. Con los conjuntos A y B se tiene que: * n(A ∪ B) = 15 * n(A ∩ B) = 5
× B C ⊂ (A × B)C II . (A × B) × C = A ×(B × C) III. (A × B) ∩ (A × C) = A ×(B ∩ C) IV. A × (B − C) = (A × B) − (A × C) I.
C) 12
11. Si el conjunto A tiene (x+1) elementos y tiene (2x+3) subconjuntos propios. ¿Cuántos subconjuntos tiene A? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 4
C
A
A) VVVF
B) FVFV
C) VFVV
D) FVVF
E) VVFV
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17. Con los conjuntos A, B y C se cumple que: * * * *
A y B son comparables n(B) =
A = {x x es número primo de una cifra}
n(C − B)
= 15 2 n(A) > n(B) n(A ∪ B ∪ C) = 70
Halle: n[A – (B A) 10
R = {x ∈ A x < 5 → x
> 2} S = {x ∈ A x = 2 ↔ x = 7} L =R∩S ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto L?
∪ C )]
C) 20
B) 15
A) 4
B) 8
D) 25
C) 16
D) 32
E) 30
18. Si:
19. Dados los conjuntos:
E) 14
A ∆ B = A ∪ B n(A ∩ C) = 8 n(A – C) = n[C – (A n(A ∪ B ∪ C) = 30
20. Si se cumple que:
∪ B)] = 5
n(A ∩ B) = n(B) n(A ∩ C) = 0
* *
C
Reducir la expresión: [(A – B ) ∪ C] – [(A – B) ∩ C]
Calcule: n(B) A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
∪ B C) B ∪ C E) B ∩ C
∪ C D) A ∩ B
A) A
E) 15
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas?
* *
B) A
n(A) = n(B) + 1 C n(A – B) = n[(A ∪ B) ]
C
I. A – B = A ∩ B I I. A – B = B – A
III. A ∩ B = φ → A ∪ B C
C
Calcule cuántos subconjuntos propios tiene A . A) 3 B) 7
= BC
C) 15
IV. A ⊂ B =→ A ∪ (B − A) = B C A) I y II D) I y IV
B) I y III E) II y IV
E) 63 C) II y III
4. Dados los conjuntos:
{
A = x ∈ 0
2. De tres conjuntos A, B y C contenidos en un universo U, se cumple que: *
n(A – B) = 7
*
n(B ) = 15
*
n(U) = 34
Calcule: n(A A) 11 D) 14
B = {2 x x ∈ A}
Halle: n(R) A) 7 D) 10
C
n(A ) = 14
B) 8 E) 11
C) 9
5. Se tienen dos conjuntos comparables, cuyos
∩ B) B) 12 E) 15
≤ x 2 − 1 ≤ 15}
R = {(x, y) ∈ A × B x + y = 2K}
C
*
D) 31
C) 13
3. Con los conjuntos A y B se tiene que: * n(A ∪ B) = 12 * n(A ∩ B) = 7
cardinales son números consecutivos, además la diferencia de la cantidad de subconjuntos que tienen es 496. Calcule el cardinal de uno de los conjuntos. A) 2 B) 3 C) 5
D) 6
E) 8
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CAPÍTULO
03 OBJETIVOS – – – –
Resolver problemas y diferenciarlos utilizando los diagramas de Venn, Euler y Carroll. Entender su utilidad y sencillez en los distintos problemas a analizar. Emplear los conocimientos empleados en los dos temas anteriores. Completar adecuadamente el análisis de la teoría de conjuntos.
MOTIVACIÓN: Después de haber planteado nuestros objetivos y teorías en las teorías anteriores, nos queda complementar esos conocimientos con esta tercera parte en la cual podremos resolver problemas sólo de determinación; relaciones u operaciones entre los conjuntos y sus componentes sino problemas de aplicación en la vida real y la diversidad que en ellos podemos encontrar.
TEORÍA DE CONJUNTOS III
Problema Desarrollado
φ⊂ A
644 47 4 4 4 8
1. Demostrar que: φ ⊂ A; siendo A subconjunto del
(x ∈ φ) → (x ∈ A)
conjunto Universal "U".
Como el conjunto vacío no tiene elementos, entonces: (x∈φ) es falso.
Resolución:
Luego: Independientemente de que (x ∈ A), sea verdadero o falso; (φ⊂ A) es siempre verdadero.
Por lógica proposicional, sabemos que el valor de verdad de (p → q) es verdadero cuando, ambos p y q son verdaderos; también cuando "p" es falso y "q" verdadero o falso.
Problema por desarrollar
1 . Demostrar que: A⊂ A, siendo A un conjunto.
Así:
Resolución: p
q
p →q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Demostrando que: φ⊂ A Por definición de la relación de inclusión:
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A ri tmética
1. De un grupo de 40 personas se sabe que 20 cantan
7. Un alumno lleva todos los días a casa de su
y bailan, 12 solo cantan. ¿Cuántas personas del
abuelita manzanas y/o naranjas; si durante el mes
grupo solo están bailando?
de abril 18 mañanas manzanas y 25 mañanas naranjas. ¿Cuántas mañanas llevó ambas frutas
Rpta.: ..................................................................
2. De un grupo de 50 ambulantes se observa que: 28 venden tamales, 30 venden chicharrón y 12 venden tamales y chicharrón. ¿Cuántos ambulantes no
a su abuelita?
Rpta.: ..................................................................
8. Walter sale a pasear con Pamela y/o Laura ciertos
venden esos dos productos?
días durante el mes de abril. Si 21 días salió con
Rpta.: ..................................................................
Pamela y 17 días salió con Laura. ¿Cuántos días solo salió con ambas a la vez?
3. En un salón de 45 alumnos se observó que: 15
Rpta.: ..................................................................
aprobaron aritmética y álgebra. ¿Cuántos alumnos aprobaron solo uno de ambos cursos?
9. En una encuesta a 100 personas sobre el consumo del jamón y el queso en el desayuno, se obtuvo la
Rpta.: ..................................................................
siguiente información: 15 consumen jamón solamente, los que consumen
4. En un salón de 4to. año de secundaria conformado por 42 alumnos, se sabe que a 30 les gusta la Inca Kola y a 28 les gusta la Coca Cola. Calcule a cuántos
jamón y queso son la tercera parte de los que consumen queso y 13 no consumen ni jamón ni queso. ¿Cuántos consumen jamón y queso?
alumnos del salón les gusta ambas bebidas. Rpta.: .................................................................. Rpta.: ..................................................................
5. En una reunión al cual asistieron 90 personas, se
10. En un conjunto de músicos, se sabe que a 30 les
y 10 no beben ni fuman. Calcule cuántas personas
gusta tocar los instrumentos de percusión y a 37 los instrumentos de viento; si son en total 50 músicos, ¿a cuántos les gusta tocar ambos tipos
en la reunión están fumando y bebiendo.
de instrumentos?
observa que 58 están bebiendo, 52 están formando
Rpta.: ..................................................................
6. La encuestadora DATUM realiza los últimos sondeos de opinión respecto a la conformación de la plancha presidencial; 140 opinan que la plancha la deben conformar solo hombres; 100 opinan que debe estar conformada solo por mujeres y 560 opinan que debe estar conformado por hombres y mujeres. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Rpta.: ..................................................................
Rpta.: ..................................................................
11. Se hizo una encuesta a dos canales de televisión A y B; observándose que los que ven los dos canales son la mitad de los que ven solo A; la tercera parte de los que ven solo B y la cuarta parte de los que no ven ninguno de los dos canales. Si 15 ven el canal A, ¿cuántas personas fueron encuestadas?
Rpta.: ..................................................................
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Compendio de Ci encias I-D
12. La coordinación del colegio proporcionó los
A ri tmética
17. De un grupo de 95 personas se observó que:
siguientes datos respecto a 300 alumnos del turno mañana:
-
15 son atletas que practican el fútbol y la natación.
-
155 juegan fútbol, 170 básquet y 110 vóley.
-
52 son atletas.
-
85 juegan fútbol y básquet, 70 básquet y vóley y 50 fútbol y vóley.
-
55 son nadador es.
-
Todos los futbolistas son atletas y 12 son deportistas que solo practican el atletismo.
-
15 personas no practicaban los deportes mencionados.
-
35 los tres deportes.
Determinar el número de alumnos que juegan otros deportes.
¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores pero no futbolistas?
Rpta.: .................................................................. Rpta.: ..................................................................
13. En una reunión de personas el 80% hablan inglés, 65 personas hablan alemán y el 5% hablan los dos idiomas. ¿Cuántas personas asistieron a dicha reunión?
Rpta.: ..................................................................
18. En una reunión donde hay 100 personas se sabe de ellas: -
40 personas no tienen hijos.
-
60 son hombres.
-
10 mujeres están casadas.
-
25 personas casadas tienen hijos.
-
Hay 5 madres solteras.
14. De un total de 55 alumnos, 32 estudian ciencias, 25 estudian letras y 48 estudian computación. 5 alumnos estudian los tres cursos, entonces el
¿Cuántos hombres son padres solteros?
número de alumnos que estudian sólo dos de estos cursos referidos es:
Rpta.: ..................................................................
Rpta.: ..................................................................
15. De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 70 eran cantantes, 60 eran mudos y 90 ciegos, de estos últimos 20 eran mudos y 30 eran cantantes. ¿Cuántos de los que no son cantantes no eran mudos ni ciegos?
19. En un salón de la academia 40 alumnos tienen el libro de aritmética, 30 el libro de física y 30 el de geometría. A 12 de ellos les falta solo el libro de física, a 8 sólo les falta el libro de geometría y a solo 6 alumnos el libro de aritmética. Además 5 alumnos tienen los tres libros y 6 no tienen libros. ¿Cuántos alumnos hay en el salón? Rpta.: ..................................................................
Rpta.: ..................................................................
16. A un conjunto A se le disminuye dos elementos y resultan 96 subconjuntos menos que el conjunto potencia inicial. Si aumentamos tres elementos al conjunto original, ¿cuántos subconjuntos se obtienen?
Rpta.: ..................................................................
20. En un grupo de amigas se observó los siguientes datos: el 50% practican el deporte A, el 40% el deporte B y el 30% el deporte C. Además el 15% practican A y B, el 15% practican B y C, el 22% practican A y C y el 10% practican los tres deportes. ¿Qué porcentaje de este grupo de personas no practica ninguno de estos deportes? Rpta.: ..................................................................
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A ri tmética
1. De un grupo de 80 universitarios: 70 leen la revista
4. De 190 personalidades entre americanos y europeos
B, 30 leen la revista A y 25 leen las dos revistas. ¿Cuántos no leen ninguna de dicha revista? A) 0
B) 5
que asistieron a un congreso se supo que 110 eran varones, 100 eran americanos y 16 mujeres eran europeos. ¿Cuántos varones europeos asistieron?
C) 10
D) 15
A) 86
B) 84
C) 80
D) 76
E) 20
E) 74
2. En un avión hay 100 personas, de las cuales 50 no fuman y 30 no beben, ¿cuántas personas hay que fuman y beben sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman?
5. Si 6000 postulantes rinden tres exámenes, notándose que: -
4600 aprobaron los tres exámenes.
A) 20
B) 30
-
1000 aprobaron solo dos exámenes.
C) 40
D) 50
-
285 aprobaron solo un examen.
E) 60 ¿Cuántos no aprobaron examen alguno?
3. En un salón de 50 alumnos, 30 son hinchas de Universitario, 25 del Alianza y 21 son hincha de ambos equipos. ¿Cuántos no son hincha de ninguno de dichos equipos? A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
A) 95
B) 105
C) 115
D) 125
E) 135
E) 19
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A ri tmética
CAPÍTULO
04 DEFINICIÓN Es parte de la teoría de los números que nos enseña a expresar y representar a los números, de una manera sencilla y con una determinada cantidad de símbolos. I.
PRINCIPIOS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN a.
y n>1
2.
se cumple: n > m
a menor valor aparente la base es mayor y a mayor valor aparente le corresponde menor base. –
+
Se cumple:
n
243 (5) =2 ×5 2+4 ×5+3 = 73
*
1342 (6) =1 ×6 3+3 × 62+4 × 61+2 = 350
Descomposición polinómica por bloques:
= abc(n) × n 3 + abc (n)
B. De base 10 a base “m” Divisiones sucesivas: De los ejemplos anteriores *
+
73 a base 5 73 5
= 147 (m) –
3 14 4
5 2
⇒ 73 =
243(5)
>m
base
cifras
deno mina ción
2
0 ;1
binario
3
0 ;1; 2
ternario
4
0 ;1; 2; 3
cuaternario
5
0 ;......; 4
quinario
6
0 ;........;5
senario
7
0 ;.........;6
heptanario
n
= ab (n ) × n 2 + ab (n)
203 203 203 (5) = 203 (5) × 5 6 + 203 (5) × 5 3 + 203 (5)
En base “n” existen “n” cifras diferentes, siendo la mayor cifra (n–1), un dígito menos que la base.
M
abab (n)
abc abc (n)
* d.
= an 3 + bn 2 + cn 1 + d
*
Si:
A mayor número de cifras le corresponde menor base y a menor número de cifras le corresponde mayor base.
105 (n)
abcd (n )
Ejemplo:
Si: abc (n )
Si: abc(n) = defg(m)
Descomposición polinómica: Dado:
donde: a, b y c son llamados cifras; dígitos o guarismos siendo a; b y c diferentes y menores a la base. c.
1.
Si: a bc (n ) donde: “n” es base Cumple: n ∈ +
b.
A. De base “n” a base 10:
M
0 ;....;(n–1)
M
350 a base 6 350 6 2 58 4
6 9 3
6 1
⇒ 350 =
1342(6)
II I. CASOS ESPECIALES a.
De base K a base Kn : Ejemplo (1): 110111010111101(2) a base 8.
I I . CAMB IO S D E B AS E Convertido a pdf por Eddier J. Cuela Humpire
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2
1
; 21 ; 2 0 { {
2 8=2 3 potencias menores { 4
2
3 9=3 2 potencias menores { 3
1
Como el exponente es 3 separamos el número en grupos de tres cifras. 110
111
010
111
101
421
421
421
421
421
420
421
020
421
401
6
7
2
7
5
⊕ →
; 30 { 1
Como el exponente es 2 separamos el número en grupos de dos cifras:
↓⊗
⊕ →
02
12
10
11
21
12
12
31
31
31
31
31
31
31
02
32
30
31
61
32
32
2
5
3
4
7
5
5
∴ 67 275(8)
↓⊗
∴ 253 4755 (9)
Ejemplo (2): 2121011211212 (3) a base 9.
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Demostrar que un numeral cualquiera siempre es igual a un múltiplo de su base más su última cifra.
1. Probar que la suma de todos los números de tres cifras que se pueden formar con las cifras a, b y c es igual a 3864. Si además se comprueba que:
Resolución:
7 1(d − 6 ) = a bc d(8 )
Sea: N = a 1 a 2 a 3 .... . an(k) Descomponiendo polinómicamente: N = a 1 k
n −1
↓ o
R esolución:
+ a 2 kn − 2 + a 3 kn −3 + .. .. . + a n −1 k + a n ↓ ↓ ↓
o
o
o
o
k
k
k
k
o
o
o
N = k + k + k + .... . + k + a n o
N = k + a n
Lqq d
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1. Calcular la suma de: a + b + c + d + e + f + n Si: 112 2(3) = a bcd ef(n ) Rpta.: .................................................................
A ri tmética
8 . Si: mnn (9) = 10 m 3 (7 ) Calcular: m . n. Rpta.: .................................................................
9 . Calcular: a + b + c, si:
2. Hallar: a + b. Si: abab(5) = (a + b)aa (8 ) Rpta.: .................................................................
6aa (c )
= 4 bb (8 )
Rpta.: .................................................................
10. Si se cumple:
= bb 43 (n) a 50 (m) = bb44 (n) a 45(m)
3. Un ciclista viaja por la carretera a velocidad constante si parte del km a 0 b y una hora después
Calcular: a + b + m + n.
pasa por el km aa b . Si en la primera media hora llegó al km ab0 . Calcular: (a + b). Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
11. Si: a(2a)b( a +b ) = a bb
2
4. Si:
a 3a (9)
= b1b (5 )
Rpta.: .................................................................
Hallar: a + b. Rpta.: .................................................................
5. Hallar en qué sistema de numeración el número 16000 se escribe como 1003000. Rpta.: .................................................................
6. Hallar: x . y, si se cumple que: xyy(9 )
Hallar: a . b.
= (y + 1)(y + 1)x(7)
Rpta.: .................................................................
12. Si: 5a 0 (7 ) = bcd 5 (a ) Calcular: b + c + d. Rpta.: .................................................................
13. Hallar el valor de "n", si se cumple:
n n n = n n 2 2 2 (n ) 2 Rpta.: .................................................................
14. Si: (2 a )( 2a )( 2a )(8 ) = a 0 6(n−1) Hallar: a + n.
7. Un vendedor tiene una colección de pesas de 1 gr, 4 gr, 16 gr, 64 gr, ....., etc. ¿Cuántas pesas deberá utilizar como mínimo para pesar una masa de 831 gr, si se sabe que no posee más de tres pesas del mismo peso? Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
15. Si el numeral 1457 (n) se expresa en base (n + 1). ¿Cuánto suman sus cifras? Rpta.: .................................................................
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16. Calcular: a + b + c + d + e. Si: 1abcde . 3 = abcde1
19. Si:
nn 1n
= 828 1n
1n ...
n veces
Rpta.: .................................................................
17. Si se cumple: ( n − 1) (n 3 )(n + 3) = a bc(8 ) Calcule: E = ca ca ca
A ri tmética
1n
Calcular: n. Rpta.: .................................................................
20. Si el número: mm 1m
(b )
= 600 1m . ..
.. (m+ 1) veces
Rpta.: .................................................................
1m
3
Calcular: m .
18. Calcular: a + b . p Si: abc a b
ab
= 9c(11)
Rpta.: .................................................................
ab (p )
Rpta.: .................................................................
1. Si: a 89(m ) = 81m(n ) = 6mp(12) Hallar: m + n + p + a.
4. Hallar: a + b, si: a 2b(9) = a72(n) A) 5
B) 7 D) 8
A) 23
B) 29
C) 6
C) 35 E) 26
D) 37
E) 9
2. Calcular el valor de: a + b, si se cumple que: abbb (6 )
A) 2 C) 4
= 5 ba (8 ) B) 5 D) 6
5. En un pueblo habitan ba niños, bca adultos y ba c ancianos. Si la población tiene ab c habitan-
tes. ¿Cuántos no son ancianos? A) 255
B) 260
C) 279
D) 524
E) 487
E) 3
3. Al expresar un número en diferentes bases se tiene: 23a (9) ; 27 b(m) ; 36a (p)
Determinar el valor de: b – a + m + p. A) C)
B) D)
E)
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CAPÍTULO
05
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Probar que se cumple:
1 . Probar que se cumple:
S =1+ 3 +5 +7
+ ..... +(2n − 1) = n 2
S =1
2
+ 2 2 + 3 2 + ..... + n 2 =
n(n + 1)(2n
+ 1)
6
Resolución: Resolución:
=1 2 S2 = 1 + 3 = 4 = 2 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3 2 S1
M
= 1 + 3 + 5 + ..... + (2 n − 1) = n2 (Hipó te sis) S n +1 = 1 + 3 + 5 + ..... + (2n − 1) + (2n + 1) = . ....? Sn
Por hipótesis: S n +1
= n 2 + (2n + 1) = (n + 1)2
Se cumple para todo n ≥ 1 , n ∈
1. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras existen, tal que la suma de sus cifras es un número impar? Rpta.: .................................................................
2. En el sistema de numeración de base "n" existen 120 números de 4 cifras significativas, todas pares y diferentes. Calcule el valor de "n".
4 . Calcule la cantidad de cifras usadas en la numeración de las páginas impares, de un libro de 316 páginas. Rpta.: .................................................................
5 . En las 52 últimas páginas de un libro se ha utilizado 132 cifras más que en la primera parte. ¿Cuántas páginas del libro terminan en la cifra 7? Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
3. Determine la cantidad de números de la forma: (2a
+ 1)(2b − 1)ab(3a − 1)(13) que existen.
Rpta.: .................................................................
6 . De un libro de 225 páginas se arrancaron cierto número de hojas del principio notándose que en las páginas que han quedado se utilizaron 432 cifras. ¿Cuántas cifras se arrancaron? Rpta.: .................................................................
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A ri tmética
7. En las siguientes progresiones: *
11; 18; 25; 32; ...
*
14; 25; 36; 47; ...
14. En las 274 páginas de un libro, ¿cuántas de éstas utilizan al menos una cifra 2?
Halle el quinto término común que tienen. Rpta.: .................................................................
8. ¿Cuántas cifras se utilizan en la enumeración de los siguientes números: 20; 33; 46; 59; .....; 800?
Rpta.: .................................................................
15. El primer y último término de una progresión aritmética son a b y 42 a respectivamente. Si la razón es "a" y el número de términos es 51. Calcule el cuadragésimo tercer término. Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
16. Si en la progresión aritmética: 9. Calcule la suma de los 20 últimos términos de la siguiente progresión: 12; 29; 46; 63; .....; 869.
a0 b ; aad ; ..... ; b0a se tienen 89 términos. Halle:
a + b + d. Rpta.: .................................................................
10. Halle la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 23(n); 32(n); 41(n); 50(n); ......
Rpta.: .................................................................
17. Determinar cuántos números de la forma: (2 a )(a
Rpta.: .................................................................
11. ¿Cuántos números de tres cifras tienen una y sola una cifra no significativa en su escritura? Rpta.: .................................................................
− 2 )(b + 4 )( b − 6 ) existen en el sistema de
numeración de base 15; cuyas cifras sean significativas. Rpta.: .................................................................
18. Al enumerar las 1abc páginas de un libro se han empleado 4abc cifras. Calcule: a + b + c.
12. En un sistema de numeración de base par existen 1470 números de 4 cifras diferentes. ¿Cuántos números capicúas de tres cifras existen en dicho sistema?
Rpta.: .................................................................
19. Si la secuencia an es definida por: a1
Rpta.: .................................................................
13. Cuántos tipos de imprenta se usan en la siguiente secuencia: 1 2 ; 3 4 ; 5 6 ; 7 8 ; . .. .. ; a bc
a b c +1
Siendo abc el trigésimo cuarto término de la sucesión: 12; 19; 26; 33; ..... Rpta.: .................................................................
=3
a n +1
= a n+ 3 n
(para : n ≥ 1)
Calcule el valor numérico de a 2006. Rpta.: .................................................................
20. Determinar la suma de los 20 primeros términos de la serie siguiente, en la que cada término viene indicado por un paréntesis: S = (1) + (2 + 3) + (4
+ 5 + 6) + (7 + 8 + 9 + 10) +. ....
Rpta.: .................................................................
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1. ¿Cuántos números de la forma: (2a )b a (3 b) 2 existen en el sistema duodecimal? Rpta.: .................................................................
2. ¿Cuántos términos tiene la sucesión aritmética:
A ri tmética
4 . Si consideramos los números: 3; 13; 23; 33; ... y todos los números que terminan en 3. ¿Cuál será la cifra que ocupa el lugar 290? Rpta.: .................................................................
5 . ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión terminan en la cifra 5?
aa , ....., (2a)b , 54, ba ?
13; 22; 31; 40; .....; 904
Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
3. De un libro de 186 páginas se arrancaron cierto número de hojas del principio, notándose que en las páginas que quedan se emplearon 391 cifras. ¿Cuántas hojas se arrancaron? Rpta.: .................................................................
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A ri tmética
CAPÍTULO
06 I.
SUMA O ADICIÓN Fórmula General de la Suma: Dada la suma en progresión aritmética S = a 1 +a 2 +a 3+.....+a n donde:
S
d)
S
(a n + a1 ) n
=
Suma de primeros números al cuadrado: S = 1 2 +2 3 +3 2 +.....+n2
=
n (n
⇒
296 – 16
n
=
( 296 + 23 ) × 40
= 6380
2
e)
Fórmulas Notables: a) Suma de primeros números enteros positivos: S = 1+2+3+4+.....+n S
n n + 1) = (
S
=
b)
30 × 31 2
80
2
=
3
f)
n
=
S
an 2
= n 2 donde:
n
=
an
+1 2
Ejemplo: S = 1 + 3 + 5 + .... + 37 n
=
37
+1
2
18
=
(
k kn – 1
n
=3
an
3
= 18
= 19
S =192 = 361
)
k –1
Ejemplo: S = 2 1 + 22 + 23 + .... + 2 12
(2 S=
Suma de primeros números impares: S = 1+3+5+7+.....+(2n–1) S
donde:
Suma de primeras potencias: S = k 1 +k 2 +k 3 +.....+k n
12
–1
2 –1
S = 40 × 41 = 1640 c)
2
2
= 40
2
= 2870
18 × 19 = 29241 S= 2
Ejemplo: S = 2 + 4 + 6 + .... + 80
=
6
= 465
= n ( n + 1 ) donde:
n
2
= 20 20 × 21 × 41 20
n (n + 1)
n
Suma de primeros números pares: S = 2+4+6+8+.....+2n S
an
Ejemplo: S = 1 3 + 23 +3 3 + .... + 183
Ejemplo: S = 1 + 2 + 3 + .... + 30 n = 30 S=
=
Suma de primeros números al cubo: S = 1 3 +2 3 +3 3 +.....+n3
donde: n = an
2
=
S=
= 40
7 S
n
Ejemplo: S = 1 2 + 22 + 32 + .... + 20 2
2
=
donde:
6
Ejemplo: S = 23 + 30 + 37 + .... + 296 n
+ 1) (2 n + 1)
g)
) = 8190
Suma de primeros productos consecutivos: S = 1 × 2+2 × 3+3 × 4+.....+n(n+1) S
=
n (n
+ 1)(n + 2) 3
Ejemplo: S = 1 ×2 + 2×3 + 3×4 + .... + 30×31 n = 30 S=
30 × 31 × 32 3
= 9920
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A ri tmética
II . RESTA O SUSTRACCIÓN
9
=D
Sabemos:
M– S
además:
M + S+ D = 2 M
donde:
Ejemplos: 10
! C A [2435436543 6]
∴
75645634564 6
M: minuendo
7
" C A [53164326324 (7)]
∴
S: sustraendo D: diferencia
En general:
a) Complemento aritmético (C.A.) El complemento aritmético de un número natural es lo que falta a dicho número para ser una unidad del orden inmediato superior al mayor orden de dicho número natural.
n
N(n)
C A N(n) = n K – N (n)
En general:
(n)
8 3 4 –
7 5 2 –
438
25 7
396
495
⊕
⊕
Observamos que las cifras extremas su suma es igual a la cifra central. En general:
Ejemplos: C A(25)
↓Ö
b) Resta Notable
k
C.A. [N(n)]
n
CA a1 a 2 K a k
Sea: N(n) el cual tiene “K” cifras. n
↓Ö
13502340343 (7)
n–1
k–1
↓Ö
abc – cba
= 10 2 – 25 = 75
C A(650)
= 10 3 – 650 = 350
C A 23(6) = 6 2 – 23 (6)
= 33 (6)
3 C A 315(8) = 8 – 315 (8)
= 463 (8)
donde: Si:
= xyz
x+z= y
abc(n) – cba (n)
=9
= xyz(n)
x + z = y = (n – 1)
Regla práctica: A la prim era cif ra signif icativa de la derecha se le resta de la base y el resto de las cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base.
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A ri tmética
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Dado:
1. Sea:
S = 1 + 2 + 3 + ..... + n Demostrar: S=
A = 1 + 3 + 5 + ..... + (2n – 1) Demostrar que:
A = n2
n (n + 1) 2
Resolución: Resolución:
i)
"Ley Conmutativa" a + b = b + a
ii)
"Ley de la uniformidad" a= b c= d
+
a + c= b + d
Luego: S=
1
+
2
+
3 + ..... + (n - 2) + (n - 1) + n
S = n + (n - 1) + (n - 2) + ..... + 3 + 2 + 1
+
2S = (n+ 1)+ (n+ 1)+ (n+ 1)+ ..... +(n+ 1)+ (n+ 1)+ (n+ 1)
÷2
2S = n(n+1) S=
n(n+ 1) 2
1. Calcular la suma de las 4 últimas cifras que se obtiene al sumar: 4 + 4 3 + 4 34
43 + 4 34 3 + . ... . + 41344432. ..4.. 4 3 20 cifras
3. Luego de calcular la suma A y la suma B.
A = 9 + 9 9 + 9 99 + 9 99 9 + . ... . + 9 9 . .. .. 9 9 142 43 10 cifras
Rpta.: .................................................................
B = 9 + 9 9 + 9 99 + 9 99 9 + . .. .. + 9 9 . ... . 9 9 142 43 8 cifras
2. Si se tiene sobre el piso cierto número de bolas de billar ordenados del modo siguiente: 1 en la primera fila, 2 en la segunda fila, 3 en la tercera fila, así sucesivamente (siempre en contacto). Si en la última fila hay 15 esferas, ¿cuántos puntos en contacto entre esferas se podrán contar como máximo?
Calcule la diferencia que se obtiene al restar, la suma de cifras de A con la suma de cifras de B.
Rpta.: ................................................................. Rpta.: .................................................................
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4. Se tiene una suma de 15 números todos mayores que cero, si a 9 de ellos se les aumenta 7 unidades a cada uno y a los 6 restantes se les disminuye a cada uno tres unidades se obtiene el doble de la suma inicial de los números. Calcular la suma inicial.
A ri tmética
10. Calcular la suma de cifras del minuendo de una sustracción, si al sumar el minuendo con el sustraendo y el minuendo con la diferencia se obtiene como suma total 1215. Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
5. Tres cilindros tienen cada uno cierta cantidad de litros de vino, los cuales son: ab , cd y da , si todo se reúne en un solo cilindro se obtendría: cda litros. Si la cantidad cda es el menor posible, calcular cuántos litros tiene el segundo cilindro. Rpta.: .................................................................
11. Si:
a bc − cb a
= xy(x + 3)
Calcular: xy + yx + xx + yy Rpta.: .................................................................
12. Si: pq r = 3yx + rqp ;
p + r = 10
Calcular: (p – r)
6. Calcular la suma de todos los números de 10 cifras cuya suma de cifras sea 89. Indicar como respuesta, la suma de cifras de la suma. Rpta.: .................................................................
7. En una sustracción se sabe que, el sustraendo es igual al complemento aritmético de la diferencia. Si la diferencia tiene tres cifras. Calcular el valor del minuendo. Rpta.: .................................................................
8. Si en una sustracción, al minuendo se le agrega 4 unidades en las centenas y al sustraendo se le agrega 7 unidades enlas decenas. ¿Cómo varía la diferencia? * Aumenta en 470. * Disminuye en 330. * Aumenta en 330. * Disminuye en 100. * Aumenta en 100. Rpta.: .................................................................
9. Si los términos de una sustracción son sumados de 2 en 2, se obtiene las siguientes sumas: 580; 450 y 770. Calcular el valor del minuendo. Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
13. Si: CA(m) + CA(mm)+ CA(mmm) = ...... 4 Calcular: m. Rpta.: .................................................................
14. Escribiendo una cifra cero a la derecha de un número y una cifra 5 a su izquierda, el número aumenta en 29 veces su valor inicial. Si el número es de tres cifras. Calcular la suma de sus cifras. Rpta.: .................................................................
15. En una sustracción se cumple que el sustraendo es 7 veces el valor de la diferencia, si la suma de los tres términos es 1680. Calcular el valor de la diferencia. Rpta.: .................................................................
16. Calcular la suma de todos los números capicúas de tres cifras. Rpta.: .................................................................
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Compendio de C iencias II-D
A ri tmética
17. Calcular: A1 + A2 + A3 + ..... + A10
19. Una persona debe recorrer 3275m y lo hace de la siguiente manera: en el primer minuto recorre "a" m, en el segundo minuto recorre "2a" m y retrocede 10m, en el tercer minuto recorre "3a" m y retrocede 10m, así sucesivamente, llegando a la meta en 21 minutos exactamente. Calcule: a.
= 1 + 2 + 3 + . .... + 10 A2 = 2 + 3 + 4 + . .... + 11 A3 = 3 + 4 + 5 + ..... + 12 A1
M
A10
= 10 + 11 + 12 +..... + 19 Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
18. Si el complemento aritmético de Calcular: a + b + c – m – n.
a7b5c
es 3m4n6 .
20. La suma de los complementos aritméticos de los números: 1a1; 2a2 ; 3a3 ;.....; 9a9 es 3915. Hallar el valor de: a. Rpta.: .................................................................
Rpta.: .................................................................
1. Si: 6 a 2b + c 4d 8 = 15 222 Calcular: (a + b) – (c + d). A) –1 B) –2 C) –4 D) –6 E) –8
4. Si:
a bc − cb a
= p(2 + q )(p + 1)
Calcular: p + q. A) 9 C) 11 E) 13
B) 10 D) 12
2
2. Si: (a + b + c + d) = 169 Calcular: a bcd + b ad c + cd ab + d cb a ç A) 13333 B) 14444 C) 14443 D) 13334 E) 14343
5. Si:
C A(a b cd ) = 4 × a b cd
Calcular: a + b + c + d. A) 2 B) 3 C) 4 E) 6
D) 5
3. En una sustracción se cumple que la suma de sus términos es 1624. Calcular el sustraendo, si la diferencia es 508. A) 296 B) 300 C) 304 D) 308 E) 312
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A ritméti ca
CAPÍTULO
07 OBJETIVOS – – – –
Conocer las operaciones fundamentales de multiplicación. Conocer las operaciones fundamentales de división. Aprender la aplicación de las propiedades. Identificar y resolver los problemas sobre multiplicación y división.
MOTIVACIÓN: Una curiosidad es la división con uno de los términos negativos, es dec ir: 100
–3
1
–33
entonces 100 = (–3) (–33) + 1
¿Cómo será el resultado por defecto y exceso? 1 (–33)(–3)
2 100
res. defecto
(–34)(–3) res. exceso
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN I.
MU LTIPLIC ACIÓN Esta se origina de una suma abreviada:
+ M+4K 4 +43M = P M 1+ 4M 442 “m” veces
Luego: donde:
M × m = P M : multiplicando m : multiplicador P : producto
Entonces se puede afirmar que es aquella operación en la cual dada dos cantidades multiplicando y multiplicador, se determina una tercera llamada producto.
Particularidades: (# impar) (# impar) = (# entero) (# par) = (# impar) (....5) = (# par) (....5) =
(# impar) (# par) ....5 ....0
Producto de dos números consecutivos:
K 0 n(n+1) K 2 K 6 I I. DIV IS IÓN Es aquella operación inversa a la multiplicación, la cual tiene por objeto dadas dos cantidades: Dividendo(D) y divisor (d) se determina una tercera
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A ritméti ca
llamado cociente (q) y algunos casos un cuarto término llamado residuo (r), algoritmo general de una división entera: D
d
en to n ce s :
r
q
donde :
D= d q + r
D
d
re (q+ 1)
⇒
49
5
1
(9+ 1)
49= 5(9+ 1)– 1 1=
residuo por exceso
0< r< d
donde:
A. Clases de división: 1. División entera exacta D
d
entonces :
0 q
2.
D = d(q
D= dq
División entera inexacta Considerando divisores positivos. a. Por defecto: D
d
rd
q
49
5
4
9
⇒
49= 5 × 9+ 4 4=
residuo por defecto
donde: D = dq
b.
+ rd y 0 ≤ r d < d
Por exceso:
+ 1) – re y 0 ≤ r e < d
Propiedades: Suma de residuos: * r d + r e = d * Restos máximo y mínimo: (r d ; r e) min = 1 (r d ; r e) máx = d–1 * E s una d ivi si ón e nt er a si multiplicáramos el dividendo y el divisor por un número entero, entonces el residuo también queda multiplicado por el mismo número entero, sin alterar al cociente. Sabemos:
D = dq
+r
Donde: D× n = (d × n)q + r × n
Problema desarrollado 1. Demostrar que en una división inexacta se cumple que la suma del residuo por defect o y por exceso es igual al divisor y siempre mayor que cero. De las ecuaciones fundamentales de la división inexacta por def ecto y por exceso se cumple: D
= d × q + r ... (I) Pe ro : D= d × qe qe
− r e ... (II)
= q +1
... (III)
Reemplazando tenemos: (III) en (II) D = d ( q + 1 ) − r e
... (IV)
Igualando (IV) y (I) Tenemos: dq + r
= d ( q + 1 ) − re dq + r = dq + d − r e r + re = d
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A ritméti ca
Problema para desarrollar: 2. Demostrar que en toda división inexacta el residuo es menor que el divisor y siempre mayor que cero. Resolución:
1 . Si: 19 N = ...541 y 13 N = ...107 . Hallar la suma de las 3 últimas cifras de multiplicar N por 42.
5 . Si se cumple que:
xy ⋅ 9
= x 0y
Hallar (2 x + 3y)
Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................
2 . Hallar un número que al ser agregado en 2 ceros a su derecha, dicho número aumenta en 32175 unidades.
6 . Hallar un número de 4 cifras tal que m ultplicado por 29 da un producto que termina en 1573, dar como respuesta la suma de sus cifras.
Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................
7 . Si a × abc = 1916; 3 . Calcular un número que al ser añadido en un cero a su derecha, dicho número aumenta en 3789 unidades.
Hallar abc
abc × b = 3353 y c × abc
= 4311
2
Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................
4 . Hallar la suma de las cifras del resultado de: 999...9 1 42 4 3 ×7
8 . Determinar la suma de todas las cifras de un número que al ser multiplicado por 4 se obt iene por resultado el mismo número pero con las cifras invertidas.
66 cifras
Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................
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9. Al efectuar la división de 2 números por defecto y por exceso se obtuvo como residuos 31 y 21 respectivamente. Si la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el dividendo. Rpta.: ..............................................................
10. Si se divide el número 209 entre determinado número; el cociente es igual a este mismo número cuando el residuo por defecto es el máximo posible. Calcule la suma de todos los elementos de dicha división inexacta. Rpta.: ..............................................................
11. La diferencia entre 2 números es 164 y la división entre ellos provoca 7 de cociente y 2 de residuo. Calcular la suma de dichos números.
A ritméti ca
15. En una división, el cociente es 8 y el residuo 20. Sumando el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo se obtiene un total de 336. Hallar el dividendo. Rpta.: ..............................................................
16. ¿Cuántos números enteros positivos al ser divididos entre 70 dejan un residuo el cual es el triple del cociente respectivo? Rpta.: ..............................................................
17. Al realizar una división sabemos que al residuo le faltan 8 unidades para ser máximo y le sobran 3 unidades para ser mínimo. Además el cociente es el doble del residuo. Hallar el dividendo. Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
12. Hallar el mayor número entero positivo tal que al dividirlo entre 137, se obtiene por residuo un número que es el cuádruple del cociente respectivo. Rpta.: ..............................................................
13. La diferencia de 2 números es 64 y la división entre ellos es 3 y dejando un residuo de 18. Calcular el producto de am bos números.
18. Hallar un número de 3 cif ras tal que dividido entre su complemento aritmético da 75 de cociente siendo su residuo el máximo posible. Dar por respuesta la suma de las cifras de dicho número. Rpta.: ..............................................................
19. En una división donde el dividendo es 1081 el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor? Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
14. La suma de 2 números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el más grande posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números?
20. La suma de 3 números es 24 y el cociente de 2 de ellos es 3 y la suma de estos dividido entre el tercero es igual a 5. Hallar el tercer número. Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
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1 . Hallar el producto total de la siguiente multiplicación sabiendo que la difer encia de sus productos parciales es 45. ( a + 2 )( a + 3 ) × a ( a + 1 ) A) 1308 C) 1035 E) 1672
B) 1435 D) 3466
A ritméti ca
4 . En una división inexacta, la suma de los 4 términos es 423. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 3 la nueva suma es 1225. Halle el divisor. A) 11 C) 15 E) 22
B) 13 D) 17
2 . Sabiendo que: 9 × nn ( 2n ) es
igual al producto de 4 números consecutivos. Hallar n. A) 1 C) 3 E) 5
B) 2 D) 4
5 . Determinar un número N si es el mayor posible además al dividirlo entre 50 se obtiene por residuo el triple del cociente respectivo. A) 1079 C) 750 E) 890
B) 913 D) 848
3 . El cociente de dividir el producto de 3 números consecutivos entre la suma de estos es 16 ¿ Cuál es el número intermedio? A) 6 C) 7 E) 8
B) 9 D) 10
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A ritméti ca
CAPÍTULO
08 OBJETIVOS – Repasar las propiedades y fundamentos aprendidas en adición y sustracción. – Repasar las propiedades y fundamentos aprendidas en multiplicación y división.
INTRODUCCIÓN: Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantee puede ser modesto; pero, si pone aprueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por sus propios m edios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. (...) “Cómo plantear y resolver problemas” Pág 5 G. Polya
Problema desarrollado
Problema para desarrollar
1. Demostrar que la suma de los "n" primeros números naturales es n(n + 1)/2.
2. Demostar que la suma de los "n" primeros números impares es igual a n 2 .
Desarrollo : Se sabe que en una progresión aritmética: Suma de términos = (Primer término + Último término) (Número de términos) / 2. Los "n" primeros números naturales forman una progresión aritmética de razón 1, donde el primer término es 1 el último es n. Por lo tanto; Suma: n(n + 1) / 2
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1. Si a la cantidad que tienes le multiplicas por 6 y luego la divides por 10, el cociente lo multiplicas por 3, luego añades 36 finalmente obtendrás 180. ¿Cuál era tu cantidad inicial?
A ritméti ca
7. Si compro 7 cuadernos me sobrarían S/. 5; pero si compro 10 cuadernos me faltarían S/. 40. ¿De cuánto dinero dispongo? Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
2. A la cantidad de soles que tengo le añado 5; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 4; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado le sumo 3, para finalmente dividirlo entre 2 y obtener 5 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? Rpta.: ..............................................................
3. Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 8, lo divido luego por 10; al cociente lo multiplico por 3 añado 36, entonces tendré 180 soles. ¿Cuánto tenía inicialmente? Rpta.: ..............................................................
4. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero que los devotos le presentan a condición de dejar 80 monedas por cada milagro; un devoto después de 3 milagros se quedó sin nada. ¿Cuánto tenía al inicio? Rpta.: ..............................................................
5. Se tiene 48 fósforos repartidos en tres grupos diferentes. Si del 1er grupo paso al 2do. tantos fósforos como hay en éste; luego del segundo pasó al 3ro. tantos fósforos hay en el 3ro, y por últim o del 3ro. pasó al 1ro. resulta que habrá el mismo número de fósforos en cada grupo. ¿Cuántos fósforos había al principio en cada grupo?
8. Para ganar S/.600 en la rifa de un reloj se imprimieron 170 boletos, vendiéndose únicamente 120 boletos, perdiéndose S/.900. ¿Cuánto cuesta el reloj? Rpta.: ..............................................................
9. En una granja donde existen conejos y gallinas se cuentan 60 cabezas y 150 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay? Rpta.: ..............................................................
10. Se desea pagar una deuda de S/. 147 con 39 monedas de S/. 5 y S/. 2 ¿Cuántas monedas de S/. 5 y cuántas de S/. 2 se tendrá? Rpta.: ..............................................................
11. Un postulante en un examen de 25 preguntas obtiene 4 puntos por respuesta correcta y perderá un punto por respuesta errada. ¿Cuántas respuestas erradas tuvo, si contestando todas las preguntas obtuvo 70 puntos? Rpta.: ..............................................................
12. Un litro de leche pesa 1,03 kg. Un lechero entrega 55 litros de leche con peso de 56,5 kg. ¿Le agregó agua en la leche? si la respuesta es positiva ¿En qué volumen (1 litro de agua pesa 1 Kg.)
Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................
6. Si pago S/. 7000 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 4000 pero si les pago S/. 5500, me sobran S/. 56000. ¿Cuántos empleados tengo? Rpta.: ..............................................................
13. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros de cuero y que 2 metros de cuero cuestan S/. 4 ¿Cuánto costarán 12 varas de paño? Rpta.: ..............................................................
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14. ¿Cuánto costarán 6 metros de casimir, sabiendo que 4 metros de éste cuestan lo mismo que 25 metros de lana y que 10 metros de lana cuestan S/. 6? Rpta.: ..............................................................
15. Un herrero toma una aprendiz y además de mantenerlo, promete darle 2 años de trabajo S/. 74 y un pantalón, al cabo de 1 año y 4 meses lo despide dándole S/. 42 y el pantalón. ¿Cuánto vale el pantalón? Rpta.: ..............................................................
16. Por 90 días de trabajo, un patrón promete a un obrero S/. 120 y un traje. Al cabo de 60 días el patrón despide al obrero y le da S/. 120, en el traje. ¿Cuánto vale el traje? Rpta.: ..............................................................
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18. Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? Rpta.: ..............................................................
19. En un examen por cada respuesta bien contestada, ganan un punto y por cada respuesta incorrecta pierde un punto. Si la nota de un alumno en 20 preguntas fue de 10. ¿Cuántas preguntas contestó mal? Rpta.: ..............................................................
20. Un estudiante escribe en su cuaderno cada día la mitad de hojas en blanco que posee ese día más 5 hojas, si al cabo de 4 días ha gastado todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno? Rpta.: ..............................................................
17. En un zoológico hay leones y gorriones. Si en total hay 20 cabezas y 62 patas. ¿Cuántos leones hay? Rpta.: ..............................................................
1. Se quiere cubrir una superficie de losetas y se observa que si se quiere formar un cuadrado faltan 8 losetas, pero si a este cuadrado se agrega una loseta por lado, faltan 23. ¿Cuántas losetas tienen? A) 25 B) 23 C) 24 D) 41 E) 50 2. Cuatro jugadores A, B, C y D convienen que en cada partida, el que pierde duplicará el dinero que le queda a cada uno de los otros tres. Cada uno pierde una partida en el orden indicado por sus letras. ¿Cuánto tenía cada uno al iniciar el juego si al f inal cada uno tenía S/. 32? A) 15; 35; 40; 32 B) 18; 42; 33; 22 C) 70; 28; 12; 6 D) 66; 34; 18; 10 E) 10; 28; 8; 70
4. Un frutero debía vender 300 naranjas a razón de 5 por un sol y otras 300 naranjas a razón de 3 por un sol; las vendió todas a razón de 4 por un sol. ¿Ganó o perdió? y ¿Cuánto? A) No gana ni pierde B) Gana 30 C) Pierde 30 D) Gana 10 E) Pierde 10 5. Se contrata un obrero por 63 días con la condición de que se abonará 40 por cada día de trabaj o y que él entregará 50 por cada día que deje de trabajar. Si debe recibir 1440 soles. ¿Cuántos días tendrá que trabajar? A) 50 B) 51 C) 53 D) 40 E) 55
3. Se contrató a un profesor por un año y al final del cual se tenía que abonar S/. 24 000 y un reloj. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo sólo S/. 3 700 y el reloj. ¿Cuánto vale el reloj? A) 11 000 B) 5 300 C) 10 800 D) 12 500 E) 15 000
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CAPÍTULO
09 OBJETIVOS – Realizar operaciones en forma rápida y sencilla con los múltiplos de un mismo módulo. – Poder determinar el residuo de una operación sin efectuar la operación. – Encontrar los múltiplos de un número.
INTRODUCCIÓN: Para los aparatos contadores la serie de los números se cierra en un cierto punto sobre si misma y vuelve a empezar, cuando el dispositivo llega a la máxima capacidad vuelve al 0, si la manecilla del reloj señala las 3 pueden también ser las 15; y volverá a las 3 después de 27 horas o 39, los números 3; 15; 27; 3 9 divididos por 12 dan todos el mismo resto: 3, se llaman módulos congruentes entre sí de módulo 12.
DIVISIBILIDAD I.
Donde: 30 es número entero. 6 es número entero positivo (módulo). 5 es número entero. Entonces: 30 es múltiplo de 6. 6 es submúltiplo de 30. 6 es factor a 30.
MULTIPLICIDAD Y DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS ENTEROS a. Divisibilidad de Números: Un número entero positivo es divisible entre otro positivo (módulo) cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo es cero. 20 0
5 4
Donde: 20 es número entero. 5 es número entero positivo (módulo). 4 número entero. Entonces: 20 es divisible entre 5. 5 es divisor de 20. 5 divide a 20.
b.
Multiplicidad de Números Un número entero es múltiplo de otr o positivo (módulo) cuando es el resultado de multiplicar dicho número entero positivo por uno entero cualquiera. 30 = 6·5
II . MUTACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE LOS MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO a. Si A es múltiplo de n.
⇒
A
=
mn ó A
=
nº ó A
º
=n
Donde: mn
o
= n = n = nk , ∀ n º
y k ∈ +
Ejm: º
7
= 7k ⇒ Si k = ... − 1;0;1;2;3...
º
7 e s {... − 7; 0;7;1 4; 21; 28 ...}
b.
Si A no es múltiplo de n o no es divisible por n.
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A ritméti ca
sabemos: A=nk +r d (por defecto) A=n( k+1)–r e (por exceso) Donde: º
A = n + rd
º
= n – re
f.
Si:
aº ± r o ⇒ M Co M(a, b, c) ± r N = b º c ± r
Si: rd
g.
+ re = n (módulo)
Ejemplo: º
7+ 3 º
Entonces: nº + r1 × r2 × r3 × ... × rk º
obs.
=7–4
13 – 7 º
Si: nº + r1 nº + r2 nº + r3 ... nº + rk
= 13 + 6
30 – 18
º
= 30 + 12
3+4 = 7
h.
º
obs.
7+6 = 13
obs.
18+12 = 30
Teorema de Arquímedes Euclides: En el producto de dos factores igual a cierto módulo, uno de los factores necesariamente es múltiplo del módulo. Ejemplo:
III. PROPIEDADES Y PRINCIPIOS FUNDAMENTALES a. La suma de varios módulos iguales seguirá siendo múltiplo del mismo módulo: º
n
b.
+ n + n + ... + n = n º
º
º
º
–
3A = 7
–
13 B
–
4(A + 1) = 9
–
12(B – 2) = 17
º
= 15 º
º
⇒
A=7
⇒
B
⇒
A = 9–1
⇒
B
º
= 15 º
º
La resta de dos módulos iguales seguirá siendo múltiplo del mismo módulo:
º
º
= 17 + 2
n − n =n º
c.
º
º
Si: nº k = nº k
d. Si nº = nº e.
k ∈ +
Obs :
Todo entero es múltiplo de los factores positivos que lo forman o de las combinaciones de estos factores.
2 6 3 180 4 20 5 º
º
º
º
....120
º
º
º
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Compendio de Ciencias III-D
A ritméti ca
1 . Calcule la suma de los 12 primeros números enteros positivos múltiplos de 15. Rpta.: ..................................................................
8. Carlos al contar todos sus libros de 7 en 7 le sobra 3, al contarlos de 5 en 5 le sobra 1, y al contarlos de 5 en 5 le sobra 1, y al contarlos de 9 en 9 le sobra 5. ¿Cuántos libros tiene carlos, si son más de 800 y menos de 1000?
2 . Considerando los números enteros desde 1 hasta el 250 ¿Cuántos son múltiplos de 7 ó de 12? Rpta.: ..................................................................
3 . Calcule cuántos números enteros de tres cifras son múltiplos de 18.
Rpta.: ..................................................................
9 . Calcule la cantidad de números de 4 cifras que son múltiplos de 13 y cuya representación literal termina en 4. Rpta.: ..................................................................
Rpta.: ..................................................................
4 . Desde el número 1 hasta el número 400 ¿Cuántos son múltiplos de 5 y de 8?
10. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 8 y de 6 pero no de 5? Rpta.: ..................................................................
Rpta.: ..................................................................
o
o
o
o
11. Si
5 . Si: N = 7 + 2 7 − 4 − 7 + 3 7 − 4
6 . Siendo A, B y C números enteros positivos determine que proposiciones son falsas. I.
II.
A× B =
o
8
o
o
B = 6; C = 9 ⇒ B+ 2 C
o
cd = 7 + 2
. Calcular el residuo que
Rpta.: ..................................................................
12. Si H + 1 es un número entero positivo. H
Calcule: ( H + 2 )10 × ( H − 1) 20 − (H + 3 )11 − (H − 3 )15 Rpta.: ..................................................................
o ∧ B ≠ 8 ⇒ A = 8 o
13. Si para un número P se cumple:
o o o = + − ⇒ × = −1 A 7 1; C= 7 1 A C 7 o = A 8;
= 7 + 3;
se obtiene al dividir: abcd entre 7.
Indique el residuo que se obtiene al dividir N entre 7. Rpta.: ..................................................................
o
ab
o
P
= 7+ 3
P
= 4−1
P
=3
o
= 3A
o
Rpta.: .................................................................. o
7 . ¿Cuántos números de 4 cif ras son 7 y terminan en cifra 3?
Calcular el mayor valor de P si este no llega a tener 4 cifras. Rpta.: ..................................................................
Rpta.: ..................................................................
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Compendio de Ciencias III-D
A ritméti ca
14. Un número de la forma: ababab no siempre es divisible por: Rpta.: ..................................................................
15. Considerando la siguiente sucesión numérica: 3, 7, 11, 15, .... , 207 Calcule cuántos números son múltiplos de: Rpta.: ..................................................................
16. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión son múltiplos de 5 pero no de 10. 4, 7, 10, 13, ..., 241 Rpta.: ..................................................................
17. Si A = ( 2 2 + 1)( 4 2 − 1 )(6 2 + 1 )(8 2 − 1 )... ( 34 2 − 1 ) Calcular el residuo que se obtiene al dividir A entre 4. Rpta.: ..................................................................
18. En una reunión se observa que 1/8 de los hombres son casados y 1/11 de las mujeres tienen zapatos rojos, si en total están reunidos 124 personas ¿Cuántas son las mujeres? Rpta.: ..................................................................
19. En una empresa el número total de em pleados es 188; si de las mujeres se sabe que 3/7 son casados y de los hombres 5/8 son solteros. Calcule el número de mujeres solteras si además se sabe que 30 mujeres y 50 hombres están en planilla. Rpta.: ..................................................................
20. Durante la celebración del "Día de la Madre" se observó que habían asistido un total de 150 madres de las cuales unas tenían cabello largo y otras cabello corto; de las que tenían cabello largo se observó que, los 387 tenían ojos par dos y 2/5 de las que tenían el cabello corto, usaban vestidos claros. ¿Cuántas madres tenían el cabello largo? (Nro de madres de cabello largo es menor al número de madres de cabello corto) Rpta.: ..................................................................
1. Calcule la suma de los 16 primeros números enteros positivos múltiplos de 12. A) 1596 D) 1632
B) 1608 E) 1644
C) 1620
C) 122
3. Si consideramos todos los números enteros positivos de 3 cifras, calcule cuántos de estos son múltiplos de 15. A) 40 D) 70
B) 50 E) 80
o
B = 7+ 5 o
I. Cuántos son múltiplos de 5. II. Cuántos no son múltiplos de 4. Dé como respuesta la suma de ambos resultados. B) 121 E) 124
o
A = 7+ 2
C = 7+ 1
2. Considerando los 129 primeros números enteros positivos, determine:
A) 120 D) 123
4. Si:
C) 60
Calcular el residuo que se obtiene al dividir: A × B × C entre 7. A) 2 D) 5
B) 3 E) 6
C) 4
5. Un comerciante de pantalones observa que si los cuenta de 10 en 10 sobra 3 pero si los cuenta de 12 en 12 faltarían 9 para completar otra docena. Si la mercadería que tiene es más de 350 pero menos de 400. ¿Cuántos pantalones tiene para vender? A) 351 D) 375
B) 363 E) 381
C) 372
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
CAPÍTULO
10 OBJETIVOS
• • •
Determinar en forma sencilla al residuo de dividir una potencia entre cierto módulo. Poder determinar las soluciones en una ecuación diofántica de dos o tres variables. Aprender la utilidad y la aplicación del binomio de Newton en esta parte de la divisibilidad.
MOTIVACIÓN La famosa ecuación pitagórica: a2 + b2 = c 2 tiene infinitas soluciones: pero si la convertimos en ecuación “diofántica” , es decir, buscamos la solución en números enteros positivos hay una regla que la demuestra Rey Pastor. Esto consiste, en que un número impar se debe descomponer en producto de dos númer os también impares:
Por ejemplo: 7 (impar) el cual se puede descomponer como 7 × 1 dos factores impares, entonces: 2 2 2 2 el 7, con 7 − 1 = 24 y 7 + 1 = 25
2
2
Luego los números naturales 7, 24 y 25 son números que verifican la relación pitagórica: ya que, 7 2 + 242 = 252
BINOMIO APLICADO A LA DIVISIBILIDAD Observamos que:
Luego:
º 2 º 2 º 2 º º 2 º 2 * (n + r) = (n ) + 2(n )r + r = n + n + r = n + r
*
º
3
(n + r)
(n − r) º
= ( nº )2 + 3 ( nº )2 r + 3 ( nº ) r 2 + r3 = nº + nº + nº + r3 = ºn + r3
Generalizando:
k
º k n + r ↔ nº − rk ↔
k es número par k es número impar
Ejemplo: º
k
( n + r)
= nº + r k ↔ k ∈ +
Pero si el residuo fuera por exceso: ( nº – r)k = [ nº + (–r)]k ;
º
º
* ( 16 + 7)10 = 16 + 710 º
º
º
º
* ( 19 – 3) 20 = 19 + 320 * ( 17 – 2) 31 = 17 – 2 31
donde tenemos: nº + (–r)k entonces esto depende de k
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
ECUACIÓN DIOFÁNTICA Se denomina así por el matemático griego Diofanto; en la cual sus constantes son números enter os y sus incógnitas representan también números enteros, estas pueden ser de dos o más incógnitas y de primer gra do. En este caso particular estudiaremos la resolución las ecuaciones diofánticas lineal de dos incognitas donde:
Ejemplo: Resolver la ecuación 52 x + 68y = 3816 w w
al simplificar: 13 x + 17y = 954 expresando en función del módulo del menor coeficiente: º
A x w
13 x +
+ By = C
º
luego:
(A, B, C, x , y ) ∈
13
º
º
( 13 +4) y = 13 + 5
º
º
+ 13 + 4y – 5 = 13 º
º
4y – 5 + 13 = 13 ⇒ 4(y + 2) = 13 Luego: x o ; y o es una solución particular:
º
⇒ (y + 2) = 13
tendremos la solución general. x
= xo + B t
(Teorema de Arquímedes – Euclides)
e
d
donde: d = MC D ( A, B ) y t ∈
= yo − A t
y
d
En particular si A y B son PESI (d = 1) x
= x o + Bt
e
= y o − At
y
1 . Calcular el residuo de di vidir
38
28
entre 7.
Rpta.: ..... .......................................................
º
Si: 13 = 13 y o = 11 ⇒ x o = 59 la solución general es: y = 11 + 13t x = 59 – 17t al reemplazar valores enteros a t, tenemos sus posibles soluciones: t ............... –1 0 1 2 .... –2 11 24 37 .... x ............... 76 59 42 25 .... y ...............
5 . Efectuar y reducir la expresión E 3
º º º si E = 7 + 1 + 7 + 4 7 + 3
Rpta.: ..... .......................................................
2 . Hallar el residuo de dividir
7
3000
entre 5.
Rpta.: ..... .......................................................
6 . Hallar el residuo de dividir 5 47 entre 8 Rpta.: ..... .......................................................
3 . Al efectuar la división de 428 su residuo?
18
entre 7, ¿cuál es
Rpta.: ..... .......................................................
7 . Calcular el residuo de 4365 43 entre 8. Rpta.: ..... .......................................................
4 . Al reducir la expresion E
º
3
º
4
º
2
si E = 11 + 2 11 + 3 11+ 6 Rpta.: ..... .......................................................
8 . Divida
2
20 0
entre 7. Dar por respuesta el residuo.
Rpta.: ..... .......................................................
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
9 . Hallar la última cifra del número E,
16. Si x e y son números enteros positivos, donde se cumple que 4 x + 7 y = 225
si E = 476 497 + 181 821 + 265 625 Rpta.: ..... .......................................................
Hallar x 2 − y 2 Rpta.: ..... .......................................................
10. ¿En qué cifra terminará el resultado de
13
56 7
?
Rpta.: ..... .......................................................
11. Si x e y ∈ + y se cumple que: 6 x + 17 y
= 315
17. Un comercianre compra pantalones a S/. 38 c/u y camisas a 17 c/u. Si en total gasto en la compra S/. 241 al venderlas se sabe que por cada pantalón gana 7 soles y por camisa 4 soles. ¿Cuánto ganó en esta mercadería? Rpta.: ..... .......................................................
Hallar cuántas soluciones permite. Rpta.: ..... .......................................................
12. Si x e y son números enteros positivos, ¿cuántas soluciones posee la ecuación: 7 x + 3 y = 431 ?
18. Se compró 10 0 aves entre pavos a 50 soles c/u, patos a 10 soles c/u y pollos a 1 sol c/u. Si se gastó S/. 500 en total. ¿Cuántas aves de cada clase se compró?
Rpta.: ..... .......................................................
Rpta.: ..... .......................................................
13. Si x e y ∈ + y se cumple: 21 x
+ 49 y = 4368
Determinar el menor número x de 3 cifras que satisface las condiciones. Rpta.: ..... .......................................................
14. Una señora va de compras al mercado y en frutas gasta S/. 68, entre papayas a S/. 6 el kilogramo y fresas a S/. 8 el kilogramo, siendo las fresas el número de kilogramos el mayor posible. ¿Cuál es este valor? Rpta.: ..... .......................................................
15. Si A + B = 55 y además A – B.
º
A = 13
19. Un comerciante compra S/. 1001 en relojes de 2 calidades: de S/. 45 y S/. 28 por unidad. Si se sabe que adquirió el mayor número posible de relojes. ¿Cuánto ganó si en lo más costosos gana S/. 7 cada uno y en los otros S/. 4 cada uno? Rpta.: ..... .......................................................
20. En un club se compra pelotas a S/. 21 la unidad; medias a S/. 15 la unidad y gorros a S/. 35 la unidad, si se desea gastar S/. 209. ¿Cuántos artículos se pudo comprar? Rpta.: ..... .......................................................
º
y B = 4. Hallar
Rpta.: ..... .......................................................
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Compendio de C iencias IV- D
1 . Hallar el resto al dividir: 200 34 entre 5. A) 1 B) 0 D) 3 E) 4
A ritméti ca
C) 2
A) 8 D) 12
2 . Calcular el residuo que se obtiene al efect uar la división de: 58 320 entre 7. A) 0 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4 3 . Se ha comprado S/. 500 entre libros, revistas y folletos si sus precios unitarios son S/. 50, S/. 10 y S/. 1, respectivamente. Hallar cuántos libros y revistas se compraron, si se sabe que fueron 100 ejemplares que se compraron en total. A) 39 D) 41
B) 40 E) 45
4 . Se ha comprado cuadernos de S/. 3 ,80 cada uno y lapiceros a S/. 1,70 la unidad, ¿cuántos artículos he comprado si gasté S/. 24,10? B) 6 E) 10
C) 9
5. En cierto país del África hay billetes de 9 peniques y monedas de 6 peniques, un ávaro cuenta su dinero y descubre que tiene en total 78 peniques, ¿cuántos billetes posee sabiendo que la diferencia entre monedas y billetes (o al revés) es la menor posible? A) 2 D) 4
B) 3 E) 8
C) 6
C) 42
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
CAPÍTULO
11 OBJETIVOS
• • •
Reconocer si un número es múltiplo de 2, 4, 5, 7, ... etc. Calcular el residuo de una división sin efectuar la operación. Extender los criterios de divisibilidad a otros sistemas de numeración.
MOTIVACIÓN: Cuando se da la alarma para un simulacro de incendio, cada alumno sale con un compañero. La profesora Pérez, quien tiene treinta y dos alumnos, nota inmediatamente, sín contar, que falta por lo menos uno de sus alumnos. ¿Cómo lo sabe?... Hay alguna manera rápida de saber si el número 5 678 901 234 es divisible entre tres, supóngase que los dígitos se reacomodan de la siguiente manera 5 768 901 324. Si uno de los números es divisible entre tres, ¿el otro también lo es? Las respuestas de las preguntas anteriores están relacionadas con ciertas propiedades de los números naturales, en los capítulos anteriores éstas y otras propiedades fueron estudiadas.
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD POR: 1. 2; 4; 8; .....; (2n)
Si:
N = abcde =
º 2
, e es par
º 4
º , de = 4
º 8
º , cde = 8
2. 5, 25; 125; ......; (5n)
Si:
N = abcde =
º 5
, e= 0ó5
º 25
º , de = 25
º º 125 , cde = 125
3. 3 y 9: Si: N = abcde =
º º 3 , a + b+ c + d + e = 3 º º 9 , a + b+ c + d + e = 9
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
4. 7: º
º
Si: N = a b c d e f g = 7 g g + 3 f + 2 e – d – 3 c – 2b + a = 7 1 2 3 1 2 3 1
+
+
5. 11: º º Si: N = a b c d e = 11 g a + c + e – (b + d) = 11 +
+
+
6. 13: º º Si: N = a b c d e f g = 13 g g – 3 f – 4e – d + 3 c + 4 b + a = 13 1 4 3 1 4 3 1
+
+
7. 33 y 99: Si: N = a b c d e f = + +
+
º º 33 , ab + cd + ef = 33 º º 99 , ab + cd + ef = 99
º
1. ¿Cuántos valores puede tener n, si: 527n 32 = 3 Rpta.: ............................................................
º
4. Si: 647 m 5 = 11 Hallar ( m 2 + 1 ) Rpta.: ............................................................
2. Hallar la suma de valores a, si:
b 53 a 2
º
=4
Rpta.: ............................................................
º
3. Hallar a, si 4 a57 = 9 Rpta.: ............................................................
º
5. Si 2n72 = 7 Hallar ( n + 3 )
2
Rpta.: ............................................................
6. Si
4 b 38
º
= 13
Hallar b 3 Rpta.: ............................................................
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Compendio de C iencias IV- D º
7. Si: 11b 63 = 7
y 372 a4
A ritméti ca
15. ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras son
º
= 11
divisibles por 63?
Hallar ( a + b ) Rpta.: ............................................................
8. Si:
Rpta.: ............................................................
º
358 ab = 125
Hallar ( a − b )
º
16. Hallar ( x – y ) si: xy yx = 72
2
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
17. ¿Cuál es el número de tres cifras múltiplos de 45, cuyas cifras de las centenas, decenas y unidades están
º
9. Si 5 a10b = 72 . Hallar a.b Rpta.: ............................................................
10. Sabiendo que el numeral x 97 y es múltiplo de 88,
en progresión aritmética creciente? Rpta.: ............................................................
hallar ( x – y )
18. Si: abcde × 11 = c12345 Rpta.: ............................................................ Hallar el valor de: 3 c + 5 a − 3b +
2 de e9
11. Hallar a.b º
º
Si: a ( a + 1 ) a = 7 y ( a + 1 ) b1 = 9
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
19. Si: 12. Hallar (a + b) para que el número aab 8 b sea múltiplo de 5, 8 y 9 al mismo tiempo. Rpta.: ............................................................
13. Si el numeral xy x 2 y es divisible por 99.
abcd ( 8 )
× 55 ( 8 ) = nm m 3n
Hallar el valor de: (a + b + c + d + m + n )
Rpta.: ............................................................
Hallar ( x + y ) º
Rpta.: ............................................................
14. Se tiene un número de tres cifras múltiplo de 9, si se
20. Si: 21a 5 = 7 . Hallar ( a 2 − 7 ) Rpta.: ............................................................
invierten las cifras el número obtenido, es múltiplo de 5. El número total de decenas es múltiplo de 8. ¿Cuál es el producto de las cifras? Rpta.: ............................................................
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
1. Si 7abx es múltiplo de 5 más 2. Hallar la suma de todos los valores de x . A) 7 D) 3
B) 9 E) 4
C) 5
2. ¿Cuál es la suma de las cifras que deben sustituir al 2 y 3 del número 52103 para que sea divisible por 72? A) 12 D) 15
B) 13 E) 16
C) 14
4. Si el C º A 1 x 4 x 6 es divisible por 11. hallar x A) 9 D) 7
5. Si:
ab
B) 5 E) 0
º
= 5;
º
ba = 9; abc
C) 6
º
=8
Hallar c. A) 8 D) 2
B) 6 E) 0
C) 4
3. Se tiene N = 8 a3 b . Determinar a y b si se sabe que N es divisible entre 4 y entre 9. A) 2 y 5 D) 6 y 1
B) 5 y 2 C) 1 y 6 E) B y C son correctas
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
CAPÍTULO
12 OBJETIVOS
• • • •
Definir un número primo de un número compuesto. Identificar los números primos entre sí (PESI). Determinar la cantidad de divisores de un número. Aprender a descomponer canónicamente y su aplicación.
MOTIVACIÓN: El estudio de los números primos ha despertado la curiosidad de muchos estudiosos por saber cual es el m ás grande número primo a continuación algunos descubrimientos: *
Lucas en 1877 publicó: 2127 – 1 número primo de 39 cifras
*
Robinson en 1958: 81 × 2324 + 1 ; 63 × 2 326 +1 ; 35 × 2 327 +1 Cada uno de ellos son números con 100 cifras
*
La universidad de Illions (EE.UU) en 1963. 211213 – 1 , que tiene 3376 cifras
*
En 1971 en New York (EE. UU) se publicó el número primo 219937 – 1 que tiene 6 002 cifras que fuera calculada en una computadora en 40 minutos aproximadamente.
NÚMEROS PRIMOS „
CONCEPTO: Parte de la teoría de números; cuya aplicación es a los números enteros positivos.
I.
CONCEPTOS BÁSICOS. 1. Número primo o primo absoluto: Son aquellos números que admiten solamente dos divisores las cuales son la unidad y el mismo número: Estos son: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ....; etc
a)
La unidad (1) tiene un s olo divis or que es el mis mo.
2. Todo número primo mayor que 3 es º
Números Simples: Son todos los primos y la unidad, estos son: 1; 2; 3, 5; 7; 11, 13; ..... etc.
Números compuestos: Son aquellos números que admiten más de dos divisores estos son: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; ..... etc
de la forma ( 6 ± 1 ): lo contrario no s iempr e se cumple.
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
Si analizamos al número 12: 12:6 y 4 son divisores 1 compuestos. 12 2 2 y 3 son divisores primos. 3 D12 (divisores de 12) = 3 4 div. comp + 2div. primos 12 6 + 1 Entonces podemos afirmar, si N es un número compuesto. D N
3.
= D( com pue stos ) + D( primo s ) + 1
Números primos Relativos; coprimos o primos entre sí (PESI) Si tenemos un conjunto de dos o más números, estos serán primos entre sí, cuando el único divisor común que comparten todos ellos es la unidad. Ejemplo: Divisor Común
g
38
45
24
1
1
1
2
3
3
19
5
8
9
12
15
24
desc canónica
Divisores
II. MÉTODOS PARA DETERMINAR UN NÚMERO PRIMO: 1. Se divide un numeral entre cada uno de los números que conforman la serie de los primeros números primos, hasta que el cociente sea menor que el divisor utilizado, si en ningún caso es exacto la división entonces el número será primo. Ejemplo: ¿149 es primo? 1
74
149 7 2
21
149 3 2
49
149 11 6
13
III . TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo número entero mayor que la unidad, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es único y se le denomina “descomposición canónica” Ejemplo: 12 = 22 × 31 142 = 21 × 711 1400 = 23 × 52 × 71 En general: α β γ N = a .b2 .c43... 14
45
149 2
Ejemplo: ¿149 es primo? Entonces 149 = 12 ,... factores primos menores a 12; ... son: 2; 3; 5; 7; 11 Luego: º º º º º 149 = 2 +1, 3 +2; 5 +4; 7 +2; 11 +6 Como en ningun caso es múltiplo exacto; entonces 149 es primo.
Si a; b y c son números primos. y α; β y γ ∈ +
IV. ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO: Cantidad de divisores de un número: Conocida la descomposición canónica del número: 2
12 = 2 0 2 1 2 2 2 3
×3 ×3 ×3 × 4
149 5
11
2. Otro método para saber si es primo o no, es extrayendo la raíz cuadrada aproximada del numeral; luego aplicamos la multiplicidad por cada uno de los primos menores o iguales a dicha aproximación.
divisores de cada columna
2 = 6 divisores
×3 ×5
0
29
Luego 11 < 13 Como en ningún caso la división es exacta 149 es primo.
1
2 1 2 2 2 3 2 4 2
149 13 6
0
D12 = (2+1) (1+1) = 6 divisores 240 = 2
4
1
5
1
1
0
5 1 5
3 1 3
×
2
0
×
divisores de cada columna
2 = 20 divisores
D240 = (4+1) (1+1)(1+1) = 20 divisores de lo anterior podemos observar que si a cada exponente de la descomposición canónica le aumentamos la unidad y multiplicamos los resultados se obtiene el número total de divisores, entonces: D N
= ( α + 1 ) (β + 1 ) ( γ + 1 )K
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Demostrar que dos números consecutivos son primos entre sí.
1. Demostrar que todo número primo impar es
Resolución:
Sean los números a y a+1.
º
º
º
( 4 + 1 ), 0 y ( 4 − 1 ). Resolución:
„ Suponemos que son divisibles por m
= mº º a +1 = m a
„ Efectuando la sustracción º
º
( a + 1) − a = m → 1 = m es decir m = 1
∴ a y ( a + 1 ) son primos entre sí ya que sólo, admiten a la unidad como único divisor común.
1. ¿Cuántos de los siguientes números son primos 12 ;13 ; 23 ; 41 ;53 7
7
7
4
7
Rpta.: ............................................................
2. ¿Cuántos triángulos rectángulos cuyos catetos tiene como medida un número entero, existen tal que tiene un área igual a 50 m 2 ? Rpta.: ............................................................
5. Si el número P tiene 253 divisores compuestos. P
= 10 × 10 2 × 10 3 × ... × 10 n
Calcule el valor de n. Rpta.: ............................................................
6. Si al número 5720 se le suprime la cifra “cero”, ¿cuántos divisores se eliminan? Rpta.: ............................................................
3. Calcule el menor número entero positivo que admita 18 divisores. Indicar la suma de sus cifras. Rpta.: ............................................................
7. Calcule el valor de n si el número 59 divisores compuestos.
15
n
× 14 posee
Rpta.: ............................................................
4. ¿Cuántas cifras cero hay que ubicar a la derecha del número 4, para que el número resultante tenga 12 divisores más?
8. Indicar, cuántos divisores compuestos tiene el número 5200.
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
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Compendio de C iencias IV- D
9. Si el número primo P es multiplicado por 24 entonces su cantidad de divisores aumenta en 10 divisores. Calcule el valor de P. Rpta.: ............................................................
10. ¿Cuántos divisores múltiplo de 15 tiene el número 2700? Rpta.: ............................................................
A ritméti ca
16. Calcule la suma dado entre el menor y el mayor número primo de dos cifras. Rpta.: ............................................................
17. Dado los números: P
= 22 × 3 2 × 5 4
Q
= 23 × 34 × 5 2
R=2
4
× 32 × 55
¿Cuál de estos tiene más divisores múltiplos de 6?
11. Si al número 250 le suprimimos la cifra cero, ¿cuántos divisores se eliminan?
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
12. ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene el número 210?
18. ¿Cuántos números de 1 al 50 son primos relativos con 24?
Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................
13. Descomponer canónicamente el número 2 400 e indicar respecto de sus divisores.
19. Dados los números: 240;270;300;320;360
i) Cuántos son primos
Indicar, cuál de estos tiene más divisores.
ii) Cuántos son compuestos
Rpta.: ............................................................
iii) Cuántos son simples iv) Cuántos son pares v) Cuántos son impares. Rpta.: ............................................................
14. ¿Cuántos números de tres cifras tienen 16 divisores y además son múltiplos de 40?
20. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 720? Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
15. Dados los siguientes números: 137; 159; 213; 251; 327 determine cuántos de estos son números primos absolutos. Rpta.: ............................................................
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Compendio de C iencias IV- D
A ritméti ca
1. Usando la criba de Eratóstenes, determine cuántos números primos absolutos existen desde el 1 al 50. A) 13 D) 16
B) 14 E) 17
C) 15
2. ¿Cuántos divisores propios tiene el número 3 400? A) 24 D) 21
B) 23 E) 1
C) 22
4. ¿Cuántos divisores propios tiene 540? A) 20 D) 23
B) 21 E) 24
C) 22
5. Luego de descomponer canónicamente c/u de los siguientes números: 240, 350 y 451. Calcule la suma de todos los divisores primos obtenidos. A) 65 D) 71
B) 67 E) 73
C) 69
3. ¿Cuántos números primos relativos con 30 son menores de 40 y mayores de 12? A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
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Compendio de Ciencias V- D CAPÍTULO
A r i tmética tméti ca
13 OBJETIVOS Al terminar el presente capítulo el alumno debe contar con la capacidad de: • Deducir Deducir y aplicar las propiedad propiedades es de los números números primos. • Aplicar Aplicar a ejemplos concre concretos tos las propiedades propiedades que que sean sean necesarias necesarias de los números números primos. INTRODUCCIÓN: Dos buenos amigos se encuentran después de muchos años sin verse. Se abrazan; y se preguntan por las familias. El mayor le dice al otro: “Me casé y tengo tres hijas”. “¿Y qué edades tienen?”, pregunta el otro, y contesta el primero: primer o: “La edades de mis hijas suman el número de la casa de enfrente , que estamos viendo”. Y el producto de las edades es 36. Después de pensar un poco el otro replica: “falta un dato”. “¿!Ah si¡ tienes razón”, dice el padre, y añade: “La mayor de mis hijas toca el piano”. El otro sonrió con la salida. Y preguntamos ¿Qué edades tenían?. Bueno: Descompongamos el 36, único dato claro; 36 = 2 2 . 3 2; su cantidad de divisores es: (2+1)(2+1)=9 Luego:
Divisores de 36
2
2 2
2 2 2 2
2 = .3 = 2 3 = . 3= . 32 = . 32 =
Producto de los tres divisores que dan 36
Suma de esos tres divisores
1 . 1 . 36 1 . 2 . 18 1 . 3 . 12 1.4. 9 1.6. 6 2.2. 9 2.3. 6 3.3. 4
1+1+ 36 = 38 1+2+ 18 = 21 1+3+ 12 = 16 1+ 4+ 9 = 14 1+ 6+ 6 = 13 2+ 2+ 9 = 13 2+ 3+ 6 = 11 3+ 3+ 4 = 10
1 2 3 4 6 9 12 18 18 36
Como vemos vem os hay dos valores valores que suman 13 por ello se solicitó un dato más, que fue: “la may or de mis hijos toca el piano”, i.e. *
1 3 = 1 +6 +6 +6 +6
no sirve; pues hay dos hijas mayores
*
1 3 = 2 +2 +2 +9 +9
da la solución pues solo hay una mayor 9 años y dos mellizas.
En General: Si N = aα . bβ . c θ con a, b y c números primos a3 + K + aα ) (1 + b + b 2 + K + bβ ) (1 + c + c 2 + K + cθ ) (1 4 4 4+42 4 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 4 3 1 4 4 4 2 4 4 4 3
S D( N ) = 1 + a2
=
aα+1 – 1 a – 1
•
b β+1 – 1 b – 1
•
cθ+ 1 – 1 c – 1
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Compendio de Ciencias V- D
A r i tmética tméti ca
Ejemplo: Sea N = 360; calcular:
NÚMEROS PRIMOS II
a) b) c) d) e)
Recordemos lo siguiente: N = 21600 = 2 5 . 33 . 52 (descomposición canónica) canónica) luego la CD(N) (cantidad de divisores) será; el número núme ro de maneras en e n que puede puede combinarse cada uno de sus factores, i.e.
La suma suma de de divis divisores ores La suma suma de diviso divisores res simple simples s La suma suma de divisore divisores s compues compuestos tos La suma suma de de diviso divisores res m4 La suma suma de los divi divisores sores cuadrados cuadrados perfectos.
N = 25 . 33 . 52
Resolución: Sabemos: N = 23 · 3 2 · 5
(∗)
(1 4 442 4 +4243 ) (11 4+ 32+433 ) (1 + 5 )
a) SD(N) = 1 + 2 + 2
=
2
3
×
15
b) SDS(N) =
2
+
1 { La unidad
× 6 = 1170
13
2+3+5
142 43
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
1 3 2 3 3 3
4
×
1 5 2 5
×
3 = 72 Cantidad total de divisores Tres maneras de 2 descomponer el factor 5
= 11
Los divisores primo s
c) SDC(N) = SD(N) SD(N) – SDS(N) SDS(N) = 1170 1170 – 11 11 = 1159 1159
Cuatro maneras de descomponer el factor 3 3
d) 360 = 23 . 32 . 5 = 4(2 . 32 . 5) S D(N
Seis maneras de descomponer 5 el factor 2
= m 4 ) = 4 (1 + 2 ) (1 + 3 + 3 2 ) (1 + 5 )
De esto último t enemos: enemos:
= 4(3 . 13 . 6) = 936 e) 36 0
= 23
3
2
5
= ( 22 )
Luego: SDC P(N) = 1 + 2
(
( )
2 3 2
2
6= 5 + 1
5
4= 3 + 1 3= 2 + 1
) 1 + ( 3 2 )
Ejemplo: Calcular la cantidad de números menores que 36 y primos con él.
CD 2 = 18 ; CD 3 = 12 ; CD 6 = 6
12
6
5
α β θ B = a b c ,entonces CD ( N) = ( α + 1) ( β + 1) ( θ + 1) ·
Donde: a, b, c son números primos.
Resolución: 36 = 2 2 . 3 2
3 (12)
3
dell factor de factor
En general:
= 5 . 10 = 50
2 (18)
2
Exponente
Si deseamos calcular la suma de estos divisores de N = 21600 = 2 5 . 33 . 52, cada uno de estos términos los podemos expresar como de ( ∗):
36
6
5
2 : 1+2+4+8+16+32 = 63 =
6
2 –1 2–1
4
3 –1
33: 1+3+9+27 = 40 =
3–1 3
6
5 2: 1+5+25 1+5+25 = 31 =
5 –1 5–1
Luego: Luego: Cantidad de Cantidad # s m e n o re s d e = 3 6 – (18 ) + (1 2 ) – (6 ) 36 primos con él
26 – 1 3 4 – 1 5 3 – 1 SD(21600) = 63 . 40 . 31 = 2 – 1 3 – 1 5 – 1
= 12
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Compendio de Ciencias V- D
A r i tmética tméti ca
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1 . Demostrar que “ p” p” es un número primo y “n “n” es un
1 . Sabiendo que un número posee únicamente 2
exponente de él y pertenece a los números enteros positivos. Se cumple:
factores primos prim os y la suma de sus divisores es 403. Probar que el número es 225 ó 144.
( ) =1 + p + p
SD p
n
2
+ K p
n −1
n
+p =
p
n +1
−1
p
−1
n +1
−1
Resolución:
Resolución: S D (7 ) = 1 + 7
=8 S D ( 9 ) = 1 +3 + 9 = 13 S D (1 2 5 ) = 1 + 5 + 2 5 + 12 5 = 1 56 S D (1 6 ) = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 = 3 1 En general:
(
S D p
n
) = 1 + p + p 2 + p 3 + ... p n =
p
p − 1
6 . Calcule el valor de “n”si “n”si sabemos que 4 × 18 2 n tiene
1 . Sea el número 360 donde: A es la cantida cantidad d de de sus sus divisores divisores primos. B es la cantidad de sus divisores simples. C es la cantidad c antidad de sus divisores compuestos. D es la cantidad de sus divisores totales Hallar A + B + C + D Rpta.: ............................................................ “n” si 2 . Halle el valor de “n”
n 3 5 × 1 4 tiene 111 divisores
33 divisores más que 5 × 12 n . Rpta.: ............................................................
7 . Si el número
4
× 3 a × 7 tiene
4 x divisores propios. Calcule la suma de todos t odos los divisores que 2
tienen más de una cifra. Rpta.: ............................................................
propios. Rpta.: ............................................................
3 . Calcule la cantidad de divisores compuestos que tendrá la diferencia de 16 6
− 16 4 .
8 . Hallar el valor de “n” “n” para que el número de divisores de N = 30 n sea el doble del número de d e divisores de n M = 15 × 1 8 . Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
4 . Si A tiene 44 divisores más que n, si A = 18 18
n
3
5
+3
3
. Determine
× 27 .
Rpta.: ............................................................
9 . Si el número
7
a+2
+ 7 9 tiene 12 divisores pares. 7
Hallar cuántos divisores tiene a . Rpta.: ............................................................
5 . Hallar la menor cantidad de divisores que tiene el
multiplicar al mayor mayor número de 2 cifras por 20. 1 0 . Al multiplicar
número N si: A = 1 8 × N 2 tiene 60 divisores de los cuales 3 son primos absolutos. a bsolutos.
¿En cuánto aumenta la cantidad de sus divisores? Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
11. ¿Cuántos valores tomará x sabiendo que es menor
16. Un número está conformado en su descomposición
que 20?. Además x ; 32 y 15 son números primos entre sí 2 a 2.
canónica por 3 factores los cuales son 3 números impares consecutivos. Calcular la suma de todos sus divisores.
Rpta.: ............................................................
12. Si N = 2 2 × 3 2 × 7 n tiene 48 divisores. ¿Cuál es la suma de los divisores compuestos de nn ? Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
17. Si se sabe que
k +3
+ 7 k tiene
28 divisores compuestos. Hallar cuántos divisores tiene 2 k + k + 1 . 7
Rpta.: ............................................................
13. ¿Cuántos ceros debemos colocar a la derecha del 7 para que dicho número posea un número de dos
18. Si el número A = 14 n × 21 tiene 56 divisores
cifras cuya cifra de las decenas es 7?
compuestos. ¿Cuántos divisores múltiplos de 6 tiene?
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
14. La suma de 4 potencias enteras y consecutivas de 7 posee 75 divisores. Si se extrae la raíz cuadrada a dicha suma ¿Cuántos divisores posee?
n 7 × 12 posee 132 divisores.
19. Sabemos que
¿Cuántos divisores compuestos más tiene x que y ⋅ 27 ⋅ 72 ⋅ 724K 472 si x = 72 1 4⋅ 27 4 2 4 K 4 27 3 . 1 4 42 3 e y = 27 n factores
n factores
Rpta.: ............................................................
15. ¿Cuántos de los divisores de a2b son múltiplos de
Rpta.: ............................................................
20. Hallar la suma de los divisores del menor número
4, si de sus 14 divisores 2 son impares?
impar que tenga 15 divisores.
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
1. ¿Cuántos de los divisores de 2880 son múltiplos de 12? A) 18
B) 24
D) 20
E) 12
2. Halle “n” si
A = 15
n
C) 16
⋅ 10 n +1 tiene 147 divisores.
A) 7
B) 8
D) 6
E) 10
C) 5
4. Cuántos números primos hay en: 12
(7 )
;14
( 9)
;12
(5)
;14
( 13)
A) 1
B) 2
D) 4
E)5
;12
( 8)
C) 3
5. Calcular la cantidad de divisores compuestos en: 156 –154.
3. ¿Cuántas veces se está multiplicando el 36 en A = 36 × 36 × 36 K × 36 para que A tenga 169
A) 300
B) 295
D) 297
E) 298
C) 296
divisores. A) 5
B) 6
D) 8
E) 9
C) 7
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Compendio de Ciencias V- D CAPÍTULO
A ritmética
14 OBJETIVOS • Calcular el MCD. • Relacionar las propiedades del MCD. INTRODUCCIÓN: A continuación mostraremos una regla que nos permite calcular el máximo común divisor de varios números: “El máximo común divisor de varios números: A; B; C; D; ....; Z; el menor de los cuales es A, es igual al máximo común divisor de los números A; RB; RC; RD; ....; RZ, siendo; RB; RC; ....; RZ; los restos de las divisiones por A de los números B; C; D; ....; Z”. En efecto por propiedad de divisibilidad, los divisores comunes de A y B son divisores comunes de A y R C y recíprocamente, etc, los divisores comunes de (A, B, C, ...., Z) son, pues, los divisores comunes de (A; RB; RC; ....; Rz) y, por lo tanto, ambos grupos de números tienen el mismo máximo común divisor. Ejemplo: MCD (2520; 3060; 2790; 4545) Hagamos:
2520
3060 –2520
2520
540
–2430
–540
90
0
2790 –2520
4545 –2520
270
2025
Obs.: 2520 es el menor
–1890 270
135
–270
–90
0
45
90
Obs.: 210 es el menor
–90 0
45 = MCD
Este método es conocido como la regla de Sturm.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Supongamos que deseamos obtener una representación más simple de la fracción
18
; para ello precisamos 24 encontrar el mayor númer o que sea divisor de 18 y 24, para ello haremos: i) Calcular los divisores de los números 18 y 24, lo cual llamaremos A y B respectivamente: A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} y B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} ii) Observando que tienen elementos comunes los
cuales serán llamados divisores comunes: 1; 2; 3; 6, lo que es lo mismo: A I B = {1; 2; 3; 6} De este último el mayor elemento es 6, el cual será llamado máximo común divisor y lo denotaremos por: MCD (18, 24) = 6 En general: Si A y B representan los conjuntos de divisores de dos número enteros y positivos, entonces el máximo común divisor de estos será el mayor elemento de la intersección de los conjuntos A y B.
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
Supongamos que deseamos obtener una representación más simple de la fracción
MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD:
18
; para ello 24 precisamos encontrar el mayor número que sea divisor de 18 y 24, para ello haremos:
1.
DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA Ejemplo: Hallar el MCD de 540; 630 y 810 entonces:
i)
Calcular los divisores de los números 18 y 24, lo cual llamaremos A y B respectivamente:
540
A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} y B = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} ii)
Observando que tienen elementos comunes los cuales serán llamados divisores comunes: 1; 2; 3; 6, lo que es lo mismo: A I B = {1; 2; 3; 6}
De este último el mayor elemento es 6, el cual será llamado máximo común divisor y lo denotaremos por: MCD (18, 24) = 6 En general: Si A y B representan los conjuntos de divisores de dos número enteros y positivos, entonces el máximo común divisor de estos será el mayor elemento de la intersección de los conjuntos A y B.
–
630
810 2
–
3
270
315
405 3 MCD
90
105
135
30
35
45
1 4 4 4 42 4 4 4 43 Núm eros PESI
2.
DESCOMPOSICIÓN PRIMA O CANÓNICA Cuando los números están expresados en sus factores primos o canónica, el MCD va a estar dado por el producto de los factores primos comunes elevados al menor o igual exponente. Ejemplo: A =2 B
3
3
4
3
2
·
= 25
·
·
·
5
5
2
13
2
11 13
2
7
1
·
3 ·
·
·
Luego MCD(A;B) = 23 · 32 · 52 · 13 2
1.
Todo divisor común de un conjunto de varios números s erá también divis or de s u MC D .
3. ALGORITMO DE EUCLIDES DIVISIONES SUCESIVOS
O
Para calcular MCD de dos números. Sean: A y B, A>B
2 .
S i dos o más números s on PE S I, entonces MC D de ellos s erá uno. E jemplo: 14 y 9 son PESI, entonces: MCD(14,9) = 1
q1
q2
q3
q3
A
B
r1
r2
r3
r1
r2
r3
0
Residuos
entonces: MCD(A;B) = r 3
3 .
S i uno de los númer os divide a los demás, entonces el MCD de ellos s erá aquel divisor. E jemplo: Hallar el MCD de 9, 27, 63 y 81. Resolución: C omo 27, 63 y 81 = ⇒
MC D(9 , 27, 63, 81) =
Ejemplo: Calcular 2
3
MCD(525;231) (Cocientes)
1
2
525 231 63 42 21 63 42 21 0
º
9
º
9
Residuos
entonces: MCD(525;231) = 21
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
2. MCD(Aα;Bα) = dα
Propiedades: Sea MCD(A;B) = d
1.
MCD A B = α ; α
A = dp donde :
B = dq p y q son PESI
sea:
α∈
d
α
3. Sean: A; B; C ∈
+
!
+
"
MCD( A;B;C ) = MCD MCD
1. Calcular el MCD de 90, 60 y 120.
= MCD A;MCD( B;C )
( A;B ) ;C
8. ¿Cuántos divisores de 60 20 son divisores de 7030 y 11040?
Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................
2. Si
MCD ( A;B ) = 20
B=2
4
y
A=2
n
×3 m ×54
y
× 5 m × 7 2 . Calcular m + n.
Rpta.: ............................................................
3. Calcular el MCD de 296 y 999 mediante divisiones sucesivas. Rpta.: ............................................................
4. Se sabe que A y B son PESI y MCD (A;B) + A = 21. ¿Cuántos valores menores que 10 toma B? Rpta.: ............................................................
5. Se sabe que MCD (N;20) = N y MCD (N; 30) = N además N>1. ¿Cuántos valores toma N? Rpta.: ............................................................
6. Si MCD (3A; B) = 40 y MCD (4A; C) = 60. Calcular MCD (A; B; C). Rpta.: ............................................................
7. Se han colocado árboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 182; 234 y 260 respectivamente. Sabiendo que hay un poste en cada vértice y que la distancia entre árboles está comprendida entre 4 y 20 metros ¿Cuántos árboles se colocaron?
9. Si el MCD de 2a2 y N es 17. ¿Cuántos valores puede tomar N, si se sabe que es menor que 500 pero mayor que 200? Rpta.: ............................................................
10. Calcular n si el MCD de n ( n + 1 )( n + 2 ) y ( n + 3 ) ( n + 4 )( n + 5 ) es 9. Rpta.: ............................................................
11. ¿Cuál es el menor número de ladrillos cúbicos que se necesitan para formar un sólido concreto, cuyas dimensiones sean 180, 126 y 252 cm.? Rpta.: ............................................................
12. Si se cumple: MCD ( a ( 2b ) b ( 4 c ); c 0 a ( 2b ) ) = 126 . Calcular: a + b + c. Rpta.: ............................................................
13. Se tienen 3 números A; B y C al calcular el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2 y al calcular el MCD de A y C por el mismo método se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2. Hallar el menor de dichos números si A + B + C = 1053 si se sabe que A > B > C. Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
14. Si A = 15 y MCD (A; B)=18. Calcular A+B. B
18. Al calcular el MCD dos númer os mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como tercer y último cociente a 2 y como suma de sus residuos
Rpta.: .......................................................
15. Si: MCD(15A, 25B) = 560; MCD(25A, 15B) = 480. Calcular MCD(A, B).
3060. Determinar dicho MCD. Rpta.: ............................................................
19. Se han colocado postes igualmente espaciados en
Rpta.: .......................................................
el contorno de un campo triangular, cuyos lados miden 210, 270 y 300m respectivamente. Sabiendo
16. Si los cocientes sucesivos obtenidos en la determinación del MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, han salido 14; 1; 1; 1; y 2 respectivamente y si ambos números son primos entre sí. ¿Cuál es la suma de éstos?
que hay postes está comprendido entre 10m y 20m. Calcular cuántos postes se colocaron. Rpta.: ............................................................
20. Las dimensiones de un terreno rectangular son 882
Rpta.: ............................................................
y 336 m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el
17. Se desea elegir un recipiente cuya capacidad sea un número entero de litros de modo que con este se pueda extraer de 3 cilindros diferentes (cuyos volúmenes son 144; 168; 216 litros y están llenos con agua) el agua que contiene en el menor número de extracciones con el recipiente lleno y sin desperdicios líquido. ¿Cuál será la capacidad del recipiente?
menor número de parcelas. ¿Cuántas parcelas cuadradas resultarán? Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
1. Calcular el MCD de 180, 150 y 120. A) 20 D) 50
B) 30 E) 60
4. Se sabe que A y B son PESI y MCD (A; B) + A=31. ¿Cuántos valores menores que 10 toma B?
C) 40
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
2. Si MCD (A; B) = 20 y A = 2 P × 3 q × 5 4 y B=2
4
5. Se sabe que MCD (N; 25) = N y MCD(N; 30) = N,
× 5 q × 7 2 . Calcular q + p.
A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
además N>1. ¿Cuántos valores toma N?
C) 5
A) 1
B) 2
C)
3
3. Al calcular el MCD de dos números A y B por el algoritmo de Euclides los residuos sucesivos fueron: 3; 5; 2; 1 y 2. Si A y B son PESI. Calcular el mayor número. A) 147 D) 143
B) 137 E) 131
C)
133
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Compendio de Ciencias V- D CAPÍTULO
A ritmética
15 OBJETIVOS • Aplicar el MCD y MCM a los problemas concretos. • Relacionar las propiedades del MCD. • Manejar el algoritmio de Euclides. INTRODUCCIÓN: A continuación veamos un ejemplo: La media armónica de dos números es igual a la cuarta parte de su MCM y la media aritmética de su MCM y MCD es 32. Hallar la diferencia entre dichos números. Resolución: Sea MCD(A;B) = d y MCM(A;B) = m 2 A B A + B
=
1 4
m
m K (1)
+ d = 32 K
2
A = dq1 ; B = dq2 ....(3)
(2)
m = dq1q2
.... (4)
De (3) y (4) y (1): 2dq1 q2d d ( q1 + q 2 )
=
=7 q1 = 5
1 4
m
⇒
2 d (d q 1q 2 ) d ( q1
+ q2 )
=1m 4
= ( q1 + q2 ) m q1 + q 2 = 8
8m
=1 ....(5) q2 = 3
Si: q1
q2
De (2) dq1q 2
+d
2 d =
= 32 → ( dq1q2 + d ) = 64 ⇒ d ( q1q 2 + 1 ) = 64
64
+1
q1q 2
K
(6)
(5) en (6):
= 8 7 1 + 1 en (3) 64 d = = 4 5 3 + 1 d =
ó
64
A = 8 7
= 56 B = 8 1 = 8 A – B = 48
A = 4 5
ó
= 20 B = 4 3 = 12 A–B = 8
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Si queremos sumar dos fracciones como: 7
11 15
y
MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCM 1. Descomposición Simultánea Ejemplo:
; para ello necesitamos tener un común denomi-
20 nador, éste número debe ser múltiplo de 15 y 20, por ejemplo 120 pues 120 = 15 . 8 = 20 . 6, luego: 11 15 11 15
= +
88 120 7 20
=
y
7 20
88 120
+
=
42 120
42 120
Hallar el MCM de 540; 630 y 810 entonces: 540 – 630 – 810 270 315 405 90 105 135 30 35 45 6 7 9 3 7 9 1 7 3 1 7 1 1 1 1
; entonces
= 130 120
Ahora veamos el conjunto de múltiplos de 15 y 20 a los cuales llamaremos P y Q: P = {15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; ....} Q = {20; 40; 60; 80; 100; 120; ....} Luego observamos múltiplos comunes entre P y Q como: 60; 120; 180; etc., lo cual expresamos:
2.
2 3 3 5 2 3 3 7
MCM
Descomposición Prima o Canónica Cuando los números están expresados en sus factores primos o canónica, el MCM va a estar dado por el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor o igual exponente.
PI Q = {60; 120; 180 ....} donde 60 es el elemento mínimo al que llamaremos mínimo común múltiplo y lo denotamos por: MCM (15, 20) = 60.
Ejemplo: En general:
A = 23 . 34 . 5 2 . 7 . 132
Si P y Q son dos conjuntos de múltiplos de dos números enteros positivos, entonces el mínimo común múltiplo de los números será el menor elementos de la intersección de los conjuntos P y Q.
B = 25 . 32 . 5 3 . 11 . 132 Luego: MCM (A,B) = 25 . 3 4 . 53 . 7 . 11 . 132
PROPIEDADES 1.
2 .
3 .
T od o m ú lt i plo c om ú n d e d o s o más números es múltiplo del mínimo común múltiplo. S i dos númer os s on P E S I, entonc es el MC M de ellos s er á el pr oduc to de los números. E jemplo: 11 y 24 son PESI, entonces: MC M (11, 24 ) = 264 S i en un co njunto de núm er os uno de ellos es múltiplo de los demás , entonces dicho númer o es el mcm del conjunto de números antes dicho. E jemplo: Hallar el MCM de: 5, 4, 6, 60 entonces: MCM(5; 4; 6; 60) = 60
1.
A = dp Donde: B = dq p y q son PESI m = AS Donde: m = Bt s y t son PESI
2. MCD (Aα,Bα) = d α ; MCD
A , B = d α α α
3. Sean A, B, C ∈
;
MCM (Aα,Bα) = mα
A , B = m ; α ≠ 0 α α α
MCM
#+
MCD ( A,B,C ) = MCD (MCD ( A,B ) ,C )
= MCD ( A,MCD (B,C ) )
MCM( A,B,C ) = MCM (MCM ( A,B ) ,C )
= MCM (A,MCM (B,C ) )
4. MCD(A,B) . MCM(A,B) = A . B
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
Problema desarrollado
Problema por desarrollar 1. Si tenemos que:
1. Si tenemos que: A = dp
B = dq
d = MCD (A; B)
A = dp ; B
= dq;
d = M C D ( A;B )
Demostrar:
Demostrar: M C M ( A, B ) × M C D ( A, B )
= A× B... ( I )
Resolución: * Sacando MCM de A y B
A } dp
1
Observación:
B } dq
A× B
= M C M ( A, B ) entonces “A” es pesi con “B”.
Resolución: d
q
p
1
q
d al ser el MCM, entonces p y q serán números primos entre si.
∴ M C M ( A, B ) = dpq d ×d
× p ×q = d × d × p×q Ley conmutativa: d × p × q × d = d × p × d × q Ley asociativa dpq × d = dp × dq Finalmente: M C M( A, B ) × M C D ( A, B ) = A× B De la igualdad:
lqqd.
1. Calcular el valor del mínimo común múltiplo de
°
M = 7+ 1 y M
1 200; 1 500 y 4 900. Rpta.: ............................................................
N
°
= 9+ 8
yN
°
= 5+1 °
= 4+ 3
Rpta.: ............................................................
2. Dados los números: 6. ¿Cuáles son los dos números primos entre si, cuyo
× 34 ×7 9 10 9 13 B = 2 ×3 ×5 A=2
7
MCM es 408 y su suma es 41?
Se obtiene que el MCM de A y B es: 2
a
b
c
× 3 ×5 ×7
d
Calcular: a + b + c + d
Rpta.: ............................................................
7. Si R y T son dos números primos entre si, cuyo
Rpta.: ............................................................
MCM es 4 400. Calcule el valor de: (R–T) siendo R mayor que T.
3. Si el MCM de 12a; 15a y 20a es igual a 840, calcule
Rpta.: ............................................................
el valor de a. Rpta.: ............................................................
4. Si 2 números A y B cumplen que: MCM (A,B) es 420 además: A–B=1. Calcular: A + B Rpta.: ............................................................
5. Cuáles son los mayores números M y N ambos de 3 cifras que cumplen:
8. Siendo A y B enteros positivos se cumple: A
= 0, 8 ; M C D ( A, B ) + M C M ( A, B) = 840 B Calcule: MCM (A; B) Rpta.: ............................................................
9. Si el MCM de 24m y 72m es 1080. Calcule el MCM de 20m y 45m. Rpta.: ............................................................
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Compendio de Ciencias V- D
A ritmética
10. Si el MCM de 24a y 18a es igual a 792. Calcule el MCM de 15a y 12a. Rpta.: ............................................................
metros de alto, si desea poner locetas en vez de pintarlo cuántas tendrá que utilizar si estas serán cuadradas y las más grandes posibles. Rpta.: ............................................................
11. La suma de 2 números es 341 y su MCM es 28 veces su MCD. Calcule la diferencia entre ambos números. Rpta.: ............................................................
12. Dados los números:
× 3 x × 5 4 y B = 3 × 5 ×7 A=2
2
18. Un terreno rectangular de 200m de largo y 180m
Rpta.: ............................................................
13. Al multiplicar el MCM por el MCD de los números 2 ab y abab se obtiene 25856. Calcule ( b − a ) Rpta.: ............................................................ °
°
14. Si N = 8 + 3 y N = 3 + 2 ; hallar “N” si es el menor número de 3 cifras que cumple dicha condición. Rpta.: ............................................................
15. Se desea empaquetar 1800 jabones en barra de 8; 6 y 4 cm de largo; ancho y alto respectivamente en cajas cúbicas de volumen mínimo. ¿Cuántos cajas tendrá que usar? Rpta.: ............................................................
16. La fachada de la casa de una persona es rectangular teniendo como dimensiones 10 metros de largo y 4
1. Calcular el MCD de 240; 320 y 210. Dar como respuesta la suma de sus dos primeras cifras. B) 11
C) 12
D) 13
17
E) 14
× 5 12 × 7 10
B) 50
13
C) 60
Rpta.: ............................................................ 19. Dos ruedas engranadas tienen 120 y 300 dientes respectivamente además, se requiere averiguar al estar en contacto en un mismo sistema. ¿Cuántas vueltas habrá dado c/u al coincidir nuevamente los puntos iniciales en contacto? Rpta.: ............................................................
20. En el terminal de Fiori, hay 3 empresas de transporte: A; B y C. Si los vehículos que pertenecen a A salen del terminal cada 12 minutos, los que pertenecen a B salen cada 15 minutos y los de C cada 18 minutos. ¿Cada cuántos minutos las 3 empresas coinciden en la salida de sus vehículos? Rpta.: ............................................................
4. Si 2 números P y Q cumplen que MCM(P;Q) es
A) 47 22
15
B = 2 ×3 ×5 Se obtuvo que el MCM de A y B es: p q r t 2 × 3 ×5 ×7 Calcular: p + q + r + t
A) 40
de ancho debe ser dividido en parcelas cuadradas de área máxima. ¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela?
600. Además: A – B = 1. Calcular: P + Q
2. Dados los números: A=3
ubicado al costado de la vía un captús, además cada 8 metros se hallaba un tronco de árbol seco. Si está vía está abandonada y alguien la recorre caminando 2 km; al encontrar un captús y un tronco a la vez ¿Cuántos metros debe seguir caminando para encontrarse con ambos otra vez? Rpta.: ............................................................
Se tiene que el MCM de A y B es 170100. Calcular: 3 x + 5 y
A) 10
17. En una vía férrea se observa que cada 60cm se ha
D) 70
E) 80
B) 48
C) 49
D) 50
E) 51
5. Joel cria conejos en su terreno si los cuenta de 5 en 5 le sobra 4, si los cuenta de 7 en 7 le sobra 6, y si los cuenta de 9 en 9 le sobra 8 si tiene menos de 1000 conejos. ¿Cuántos tendrá como máximo? A) 819 B) 882
C) 915
D) 945
E) 1008
3. Si el MCM de 8p; 18p y 32p es 1152. Calcule el valor de “ p”. A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
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Compendio de Ci encias VI- D
A ritméti ca
OBJETIVOS • Identificar e interpretar fracciones. • Construir el conjunto de los números racionales a partir de la relación de equivalencia. • Obtener números avales e interpretarlas.
MOTIVACIÓN: “Un hindú sintiéndose muy enfermo llamó a tres hombres buenos como testigos a dictar su testamento: Dijo, a mi hijo mayor se le dará la mitad de los elefantes, a mi segundo hijo la cuarta parte de ellos y al menor la sexta parte del total que son 11 elefantes, y dicho esto se murió. Los tres hombres buenos no pudieron hacer el reparto propuesto en el testamento. El número 11 no es múltiplo de 2, ni de 4, ni de 6 ... ” hasta que llega un derviche (sabio) y mandó poner su elef ante junto a los 11, ahora eran 12: • • •
Al primero le dio la mitad de 12: 6 Al segundo le dio la cuarta parte de 12: 3 Al menor le dió la sexta parte de 12: 2 Total: 11 y el derviche tomó su elefante y se mar chó. La clave en este problema es el siguiente: todo número real es igual a la suma de: su mitad, más su tercera parte, más su sexta parte. Ejemplo: x 2
+ x + 3
x 6
= x
Ahora veamos que el problema dice: 1 2
;
1 4
;
1 6
; i.e
1 4
<
1 3
por ello el derviche agrega un elefante má s, pues ya sabía que le iba a sobrar uno.
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Compendio de Ci encias VI- D
A ritméti ca
FRACCIONES 1.
Sea:
a a, b ∈ × ( ( ) b
Q=
–
{0})
Por la comparación de su valor respecto a la unidad. a.
Donde:
Propia: 1
a = c b d
c d
;
9 5
;
;
14
2 10 15 7 10
a
;
!
3
;
;
2
25 10
;
3
13
;
75
15 125
<1
En general:
b
llamamos: numerador a “ a” y denominador a “b”.
Si: A < 1 ⇒ A < B B
Ejemplo:
2 – = K 3
;
–4
;
–6
4 6
b.
; K
Impropia: 4 3
Además:
24
;
15
2.
Por su denominador a. Decimal: 3
3 Ζ
2 4
10k con k ∈
B=
7
E l conjunto Q es tá formado por clases de equivalencia (también conjuntos ).
por el orig en y cuy a pendiente es
b a
.
B≠
3.
;
14 10
2
;
2
;
7 3
15
;
9 2
;
;
7
;
25 10
3
10
;
; 13 15
15
;
; 30 13
5 7
;
3
30 13
10k
con k ∈ Z+
Por la cantidad de divisores comunes de sus términos a.
Irreductible: 3
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES * Sean las siguientes fracciones: 9
;
B
4
3
7
;
Luego si A es una fracción ordinaria entonces
a L a g r áf ic a de c ualqui er c las e s on b puntos que pertenec en a la rec ta que pasa
Z+
Ordinaria: 9
9
10 3
B
b.
24
10
25
;
2
Luego si A es una fracción decimal; entonces
–3
1
14
;
10
–2
3
> 1
13
B
6
4
7
Si: A > 1 ⇒ A > B
Ζ*
*
30
;
En general:
2 3 ; es el número racional.
*
9
;
;
1 2
;
9 7
;
3
;
10
5 7
;
9 2
;
13 15
;
30 13
En general, si A es irreductible, entonces B
MCD (A,B) = 1, lo que es lo mismo A y B son PESI.
; 75 125
agrupándolas según una característica entre ellas:
b.
Reductible: 24 15
;
9 15
;
14 10
2
;
25 10
3
;
75 125
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Compendio Compendio de Ci encias encias VI- D
A r i tméti c a
En general, si A es reductible si MCD (A,B) ≠ 1 B
*
24
*
15
A1
9
;
2
*
2
;
13
;
15
10
;
3
14 10
2
;
30 13
5
;
7
; ...
Donde las fracciones no tienen los denominadores iguales en general:
Por Por gru grupo po de de fra fracc ccio ion nes es.. a. Homogéneas: 1
Heterogéneas: 25
lo que es lo mismo A y B no son PESI.
4.
b.
9
*
15
9 7 4 3
; ;
5 7 7 3
B1
A2
; B ; ... ; 2
A B
n n
entonces serán heterogéneas si: B1 ≠ B2 ≠ B3 ≠ ... ≠ Bn
Se observa que cada grupo tiene el mismo denominador; en general: A1 B1
A
A2
n
; B ; ... ; B 2 n
serán homogéneas si: B1 = B2 = B3 = ... = Bn
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1 . Demostrar que si a y b son números racionales entonces existe un número c, también racional tal que, a < c < b.
1 . Demostrar que
2
no es un número racional.
Resolución:
Resolución: C omo: a < b
→a + a
También: a < b
→
a+b
a + b < 2b a+b 2
Luego: c =
a+b 2
∈"
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Compendio Compendio de Ci encias encias VI- D
A r i tméti c a
mitad ad de los 2 de 24 para ser 7 . ¿Cuánto le falta a la mit 3 igual a la tercera parte de 36?
1 . Hallar las fracciones fra cciones equivalentes a: a) 5 , cuyo denominador sea 21. 7
Rpta.: ............................................................
b) 10 , cuyo denominador sea 18. 12
c)
8 . Luego de simplificar:
8 ; cuyo numerador sea 24. 9
Dar la suma del numerador y el denominador, luego de sumar las fracciones f racciones halladas. Rpta.: ............................................................
2 . ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 24, existen?
2 1 3 5 5 1 3 − 3 − 6 2 4 2 E= 1 1 1 + + 12
20
30
Hallar la suma del numerador y denominador. Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
3 . Halle una fracción equivalente a 2 de modo que la
9 . De los 60 soles que tenía Carlos, Carl os, gastó 1 de lo que 3
3
suma de sus términos sea el menor cuadrado
no gastó. ¿Cuánto gastó?
perfecto. Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................
4 . ¿Cuántas fracciones irreductibles con denominador
5
12 existen entre 1 y 2?
no se extrae. ¿Cuántos litros de agua aún queda en el depósito?
2
Rpta.: ............................................................
5 . ¿En cuántos doceavos es menor la fracción fracció n 1 que que la fracción f racción
3
1 0 . De un depósito de 24 litros se extrae 1 de lo que
3
?
4
Rpta.: ............................................................
1 1 . Un albañil puede terminar una obra en 10 días y su ayudante podría terminarla en 15 días, si trabajan juntos. juntos. ¿En qué tiempo terminan terminan la obra?
Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................
6 . ¿Cuál es la fracción irreductible que dividida por su inversa de como resultado 25 . Dar la suma del 49
numerador y el denominador de dicha fracción.
Rpta.: ............................................................
1 2 . Una secretaria puede tipear un trabajo en 20 horas y otra puede hacer lo mismo en 30 horas. ¿En cuánto tiempo (en horas y minutos) podrían terminar la mitad del trabajo, si laboran juntos? Rpta.: ............................................................
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A r i tméti c a
1 3 . Al pregunta preguntarr la hora hora un matemático matemático me respondi respondió ó
1 7 . Si de una piscina que está llena 1 de lo que no esta
“Las horas transcurridas del día son los 5 de las
3 lleno, se extrae 1 de lo que no se extrae. ¿Qué parte
7
4
horas que faltan por transcurrir, tr anscurrir, ¿qué hora es?
del volumen de la piscina queda llena?
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
una obra en 10 días. Si Si 1 4 . Dos personas pueden hacer una después de hacer la mitad de la obra se retira una de ellas y la otra termina la obra en 30 días más. En cuántos días la primera persona terminaría toda la obra? Rpta.: ............................................................
1 8 . Un caño llena lle na un tanque en 6 horas y un desagüe lo puede dejar vacío en la mitad del tiempo. tiem po. Si funciona solamente el caño hasta llenar la mitad m itad del tanque y luego se abre el desagüe ¿Cuántas horas demoraría el quedar vacío el tanque, desde que se abrió el caño?
1 5 . ¿Qué hora es, si la mitad del tiempo tiemp o que ha pasado desde las 10 a.m es la sexta parte del tiempo que falta para las 6p.m? Rpta.: ............................................................ e n 3 horas. Si en cada 1 6 . El agua de un pozo se acaba en hora se agota la mitad de lo que había al empezar esa hora más 10 litros. ¿Cuántos litros había inicialmente en el pozo? Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
1 9 . ¿Cuántas fracciones equivalentes a 24 tienen como 40
denominador a un número de 2 cifras múltiplo m últiplo de 7?. Rpta.: ............................................................
2 0 . Se tiene una fracción impropia impr opia cuyos términos son consecutivos donde el denominador es el mayor número par de 2 cifras. Calcular la suma del numerador y el denominador. Rpta.: ............................................................
3 . Halle a × b si las fracciones
1 . Hallar (a + b) si:
ab
y 52 son
ba
ab
2 2 2 2 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + ... 1 + 1 3 5 7 73
A) 10 D) 11
B) 12 E) 14
C) 13
2 . Hallar la suma de los términos de la fracción resultante de: 1 12
A) 20
+
1 20 20
+
1 30 30
B) 20
75
D) 22
+
E)
22
1 42 42
+ K +
equivalente, a y b son los mayores posibles. A) 16 D) 8
6 00
C) 22 75
B) 4 E) 32
C) 48
4 . ¿Cuántas fracciones equivalentes a 35 tienen por 145
denominador a un número de 2 cifras? A) 1 D) 2
1
91
B) 3 E) 4
C) 5
5 . Hallar cuántas fracciones de términos consecutivos y propias son menores que 5 . 6
15
A) 3 D) 4
B) 5 E) 6
C) 7
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A ritméti ca
DEFINICIÓN: Es la expresión lineal de una fracción, el cual se obtiene al dividir los teoremas de una fracción irreductible. La expresión lineal de una fracción en cualquier sistema de numeración, se denomina número aval. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES Se clasifican de acuerdo al número de cifras en la parte decimal:
Núm ero
I.
Exacto o limitado de cima l Periódico puro Inexacto o ilimitado Periódico mixto
Decimal Exacto o Limitado: Una fracción irreductible dará origen a un decimal exacto cuando su denominador sea potencia de 2 y/o 5. Ejemplos: 1
=
4
1
= 0,25
22
El exponente de 2 es 2 y el número de cifras decimales es 2. 3
3
=
25
52
= 0,12
El exponente de 5 es 2 y el número de cifras decimales es 2. 7 8
=
7
= 0,875
23
El exponente de 2 es 3 y el número de cifras decimales es 3. 13 1 24
× 53
= 0,0655
El mayor exponente es 4 y el número de cif ras decimales es 4. Entonces el número de cifras decimales va a estar dada por el mayor exponente de 2 y/o 5 contenidos en el exponente del denominador de la fracción irreductible.
II
Decimal Inexacto o Ilimitado: 1. Decimal periódica pura: Una fracción irreductible clara origen a un decimal periódico puro cuando su denominador sea diferente de un múltiplo de 2 ó 5. Ejemplos: 7 9
)
= 0,777 K = 0,7 = 0, [7 ]
Observamos que el 9 origina una cifra periódica pura
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72 99
<>
8 11
A ritméti ca
# = 0, 727272 K = 0, 72 = 0, [72 ]
Observamos que el 11 origina dos cifras periódicas puras. 351 999
<>
13 37
$ = 0,351351351K = 0,351 = 0,[351]
Observamos que el 37 origina tres cifras periódicas puras. Entonces el número de cifras periódicas puras va a estar dada por el menor número de nueves contenidos en el denominador como factor. Tabla de Nueves: 9 = 3
2 2
× 11 9 9 9 = 3 × 27 9 9 9 9 = 3 × 11 × 101 9 9 9 9 9 = 3 × 41 × 271 9 9 9 9 9 9 = 3 × 7 × 11 × 13 × 37 9 9 9 9 9 9 9 = 3 × 239 × 4649 9 9 = 3
3
2
2
3
2
2. Decimal periódico mixto: Una fracción irreductible dará origen a un decimal periódico mixto cuando al descomponer el denominador en sus factores primos se encuentren potencias de 2 y/o 5 y algún otro factor diferente a los indicados. Ejemplos: 7 22 × 3
)
= 0, 58333 K = 0, 58 3 = 0, 58 [3 ]
Que el exponente de 2 es 2 por ende 2 cifras no periódicas y 3 origina una cifra periódica. 41 5
3
× 27
% = 0,012148148148 K = 0,012148
= 0,012 [148 ] Observamos que el exponente de 5 es 3 por ende 3 cifras no periódicas y 27 origina tres cifras periódicas. Fracción Generatriz: Clase
Base: n= 10
Base n ≠ 10
Decimal exacto
abcde 100000
abcde ( n ) 100000 ( n )
D. periódico puro
abcde
abcde ( n )
& 0,abcde (n)
99999
(n – 1)(n – 1)(n – 1)(n – 1)(n – 1)( n )
D. Periód ico m ixto
abcde – abc
abcde ( n ) – abc ( n )
99000
(n – 1)(n – 1)000 ( n )
0,abcde
(n)
' 0,abcde ( n)
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Ejemplos: •
0,34
=
34
0,431 (7 )
•
0,31( 5 )
•
=
( 0,37
•
=
)
=
31 (5 ) 10 0 ( 5 )
37
=
941 (1 )
Rpta.: ............................................................
2. Simplificar:
=
•
) 0,43
43 – 4
•
, 0,6131 (7 )
=
•
- = 0,8331
8331 – 83
•
. 3,3151 (8 )
=
=
666 ( 7 )
99 90 6 13 1( 7 ) – 6 ( 7 ) 6660 (7 )
9900 3 31 51( 8 ) – 3 31 ( 8 ) 7700 ( 8 )
5. Calcule el valor de F. F
= 7, 3 + 0, 0 41 + 0, 0 004 1 + 0, 0 00 004 1 + ...
Rpta.: ............................................................ 3 6. Halle la generatriz de 0,231 (5)
0, 2 + 0, 3 + K + 0,7 ) ) ) 0, 32 + 0, 43 + K + 0, 87
Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
7. Calcule (a + b) si: 4 0, ab
3. Calcule el valor de S si: S
321 – 3
=
(10 )(10 )(10 )(11 )
1. ¿Cuánto le falta a 0,3737... para ser igual a 1,313131... ?
E
+ = 3,21
99
0,941(11 )
•
•
1000 (7 )
9851 9,851 = 1000
•
* 0,431 (7 )
100 431(7 )
431 (7 )
•
1 / 2 0 + 0, 12 = 0, 10 + 0, 11 + K + 0, 98 +1
Rpta.: ............................................................
5 + 0, ba = 1, 64
Rpta.: ............................................................
8. Calcule la generatriz de 0,23 . (6 )
4. Halle el valor de E donde: E=
(
0, 91666 K
+
3, 666 K
Rpta.: ............................................................
)
2
Rpta.: ............................................................
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9. Halle a si: 5 27
a
+
37
= 0, a739
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15. Calcule la menor fracción equivalente a diferencia de términos sea 228.
; 0,23
cuya
Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................
16. Si: 4 = 0, 5
N
Halle (N+a+b+c+d+e).
Calcule (a + b + c + d + e). Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................
11. Si a y b son números naturales. Halle la suma de todos los posibles valores de a de modo que: a 9
+ b = 3,0666 K 5
Rpta.: ............................................................
12. Si se cumple: 17 N
5 > = 17. Si 2 = 0, abcdef y = 0, defabc x
x
Halle x . Rpta.: ............................................................
18. Calcule el valor de E, si: E
= 1 + 0, 999 K 0, 333 K 3
= 0, 49abcd
Calcule (N+ a + b + c + d) Rpta.: ............................................................
Rpta.: ............................................................
19. Cuanto le falta a
0,8787 K
para ser igual a
1, 2121 K
13. Si a y b son números naturales tal que. a 11
b
+ = 1,03636 K
Rpta.: ............................................................
5
Calcule ( 4 a + 3b ).
? 20. Si 15 = 2, abcdef
N
Rpta.: ............................................................
14. Calcule a si: 8 27
+
a 37
Hallar (N + a + b + c + d + e + f ). Rpta.: ............................................................
= 0, (: a − 1 ) a8
Rpta.: ............................................................
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4. Si a y b son números naturales tales que:
@ y b = 0,407 1. Si: a = 0,189 A
37
a
27
Calcule (a + b). A) 16 D) 14
11
B) 17 E) 15
C) 18
A) 10
B) 11
C) 11
3
3
4
D) 13
E) 14
4
3
27
+
A) 2 D) 5
37
C = 0,266
B) 11 E) 14
C) 12
5. Calcule el valor de N, si: 1,0 E1 F 0,09
A) 10 D) 13 B) 3 E) 6
9
= 1 , 3D4
Halle el menor valor de ( a + b)
N =
3. Halle a, si: 3
b
A) 10 D) 13
B 2. Calcule la generatriz de 4,31 (5 )
a
+
5 3 7 14
B) 11 E) 11
4 90
C) 11
11 90
8 9
C) 4
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OBJETIVOS • Comparar cantidades de diferentes magnitudes. • Establecer relaciones entre las razones. • Deducir propiedades que se representan las proporciones.
MOTIVACIÓN: Un destacado hombre de negocios va de caza acompañado de un bracero. Él se pierde, separándose del bracero y al tener hambre ofrece a dos pastores repartir sus panes, uno da 5 y otro da 3 después el empresario entrega 8 monedas de plata, ¿cuántos debe llevarse cada uno? Resolución
Aparentemente el que dio 5 panes debería recibir 5 monedas y 3 monedas el que dio 3 panes, pero no es así: veamos, cada uno comió lo mismo o sea que cada pan se dividió en tres partes: Panes
Pedazos
Comió
Da
1er Pastor
5
×3 →
15
8 pedazos
7
2do Pastor
3
×3 →
9
8 pedazos
1
Luego:
C1 7
= C2
donde: C1 + C2 = 8 monedas
1
Sumando antecedentes: Sumando consecuentes:
8 8
= 1 → co nsta n te
C1 = 7⋅1 = 7 monedas y C 2 = 1⋅1 = 1 moneda
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RAZONES Y PROPORCIONES I.
RAZÓN Llamaremos razón a la comparación de dos cantidades a través de una diferencia o una división. Ejemplo: Comparar la edad de Jorge y su abuelo que es 15 y 60 años respectivamente • 60 – 15 = 45 → Razón Aritmética 60
•
15
=4
→
•
32 = 8 8
Tercera Diferen cial Media Diferencial
2
PROPIEDADES DE UNA PROPORCIÓN 1) Proporción Aritmética: de términos de términos ( SumaMedios ) = (SumaExtremos )
Razón Geométrica
Donde: 60 es llamado antecedente 15 es llamado consecuente 45 y 4 son llamados valor de la razón
Proporción Geométrica: ( Productos de Medios ) = (Productos de Extremos )
I I . P ROP ORC IÓN: Llamamos proporción cuando dos razones tienen el mismo valor.
2) La media diferencial = Suma de medios 2
Ejemplo: 20 5
=4 y
8 2
Donde: 20 y 8 5 y2 20 y 2 5 y8 2 •
= 4 ⇒ 20 = 8 = 4 5
La med ia proporciona l =
2
son antecedentes son consecuentes son términos extremos son términos medios es la cuarta proporcional
19 – 7 = 15 – 3 = 12 Donde: 19 y 3 son extremos (términos) 7 y 15 son medios (términos) 3 es la cuarta diferencial
3)
Suma de antecedentes Suma de consecuentes
También puede ocurrir que la proporción sea continua i.e. que sus términos medios sean iguales. Ejemplo:
= k
Serie de Razones Equivalentes: Cuando más de dos razones tienen el m ismo valor. 10 5
= 2;
En general:
40
= 2; 12 = 2 ⇒ 10 = 40 = 12
20
6
a
1
b
a
=
b
1
•
produ cto de los med ios
También se cumple:
5
=L =
2 2
a b
n
20
6
= k
n
× a2 × L × an n = k b × b ×L × b 1 2 n a
1
25 – 18 = 18 – 11 Tercera Diferencial Media Diferencial
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Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Demostrar que la media diferencial de dos números equivale a la semisuma de los mismos.
1. Demostrar que la media proporcional de dos números equivale a la raíz cuadrada del producto de dichos números.
Resolución:
La media diferencial de a y b es el término medio de una proporción aritmética continua donde los extremos son a y b.
Resolución:
Sea la media diferencial : x , entonces a – x = x – b , en una proporción aritmética la suma
de términos extremos es igual a las suma de términos medios, luego: a + b = 2 x . Por lo tanto: x = ( a + b )/ 2
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumentan 175 a uno de ellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor? A) 90 B) 75 C) 60 D) 40 E) 45
5. Calcular la suma de los términos de una proporción continua, conociendo la suma 15 de los 2 primeros términos y la suma 13 del primer y último término.
2. En las aulas A, B y C la cantidad de estudiantes están en la relación de 10; 7 y 11 respectivamente. Al efectuarse un reordenamiento luego del simulacro, del aula C y A pasan 22 estudiantes al aula B. Con lo cual la relación es de 6; 8 y 7. ¿Cuántos alumnos han salido del aula A? (ningún alumno se retiró. A) 10 B) 12 C) 13 D) 11 E) 9
6. Si la razón de la suma con la diferencia de 2 números
3. En la Academia la relación entre el número de hombres y mujeres es como 7 es a 5 y en el colegio como 13 es a 1, de manera que en el colegio hay 87 mujeres menos que en la Academia. ¿Cuántos estudiantes hay en la Academia si ambos grupos tienen la misma cantidad de personas? A) 218 D) 252
B) 226 E) 173
C) 244
4. Un pescador en una jornada de trabajo pesca « n» peces entre jurel y bonitos. Si la cantidad de bonitos y n están en la relación de 9 a 11. Encontrar el número de jureles si se sabe que la jornada duró 15 días y cada día se pescaban 270 bonitos. A) 750 B) 810 C) 900 D) 940 E) 1050
A) 28 D) 25
B) 22 E) 30
C) 20
enteros positivos es 5 . ¿Cuál es el número mayor,, 3
si su producto es 64? A) 4 D) 32
B) 8 E) 64
C) 16
7. El valor de la razón geométrica de 2 números queda invertido cuando al antecedente se le suma 40 y al consecuente se le suma 85. Si la diferencia de los números es 10. Calcule el producto de ellos si la razón geométrica inicial es mayor que uno. A) 600 D) 750
B) 500 E) 450
C) 900
8. En una proporción geométrica se observa que la diferencia entre los términos de cada razón son 9 y 12 respectivamente. Determine la suma de los antecedentes si la diferencia de los cuadrados de los antecedentes es 700. A) 70 D) 180
B) 100 E) 160
C) 140
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9. La relación de edades de dos personas es de 3 a 5. Si hace n años la relación de sus edades era como 1 es a 2 y dentro de m años será como 8 es a 13. Calcular en que relación se encuentran n y m. A) 2 a 3 D) 8 a 9
B) 5 a 1 E) 1 a 3
C) 7 a 3
B) 20 E) 25
C) 21
11. De un edificio de 45 habitaciones y de 4 pisos, se sabe que el número de habitaciones del primero es al del segundo piso como del tercer piso es al del cuarto, siendo como 2 es a 3. Si en el primer y tercer piso juntos por cada 2 hombres adultos hay 3 mujeres adultas y por cada 8 niños hay 6 mujeres adultas. ¿Cuántos hombres hay en los 2 pisos mencionados?. Sabiendo que en cada habitación hay 4 personas? A) 20 D) 16
B) 24 E) 8
primero, segundo y tercer examen es 10 , 3 y 1 7 5
10. Calcular la suma de los términos de una proporción cuyos términos están en forma decreciente, en el cual se cumple que la diferencia de los términos extremos es 5 y la diferencia de los medios es 2. A) 18 D) 24
14. Se tomó a un grupo de estudiantes tres exámenes eliminatorios cada uno, siendo condición el aprobar un examen para poder rendir el siguiente. Si la relación de los que aprobaron y no aprobaron en el
C) 32
2
respectivamente. Determinar cuántos rindieron el primer examen si sólo 10 aprobaron el tercer examen. A) 130 B) 136 C) 80 D) 36 E) 106
15. Si se aumenta una misma cantidad a los números 20; 50 y 100 se forma una proporción geométrica cuya razón es: A) 1
B) 4
2 1
3 5
D)
3
E)
C) 2
3
16. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5; 3 y 16. Determine los números. A) 6 y 12 D) 2 y 8
B) 8 y 14 E) 6 y 18
C) 4 y 16
12. La razón geométrica de las velocidades de M y N vale 5 , además M y N están separados una distancia 3
d y parten simultáneamente para ir al encuentro. Si
cuando están separados 240 metros luego del encuentro, a N la falta x metros para llegar al otro extremo. Calcule x si el tiempo que transcurrió desde el encuentro hasta la separación de los 240 metros es mitad del tiempo que emplearon en encontrarse. A) 150 B) 120 C) 90 D) 180 E) 210
13. Si se tiene un aula con tres filas A; B y C en donde la cantidad de varones con la cantidad de mujeres en la fila A, en la fila B y en la fila C están en la relación de 2 a 3, de 3 a 4 y de 5 a 2 respectivamente. Determinar el total de alumnos si los varones de la fila A son tantos como las mujeres de la fila C y además la cantidad de varones de la fila C excede a la cantidad de mujeres de la fila B en 12. En la fila A y B la cantidad de alumnos están en la relación de 10 a 7. A) 62 B) 65 C) 70 D) 80 E) 85
17. Dos atletas se proponen recorrer 3 600 metros. Se sabe que la rapidez del primero es a la del segundo como 9 es a 5, cuando el más veloz recorre la mitad de la distancia se sienta a esperar al otro atleta, quien llega luego de 40 minutos, inmediatamente los dos continúan el recorrido, pero ahora el mas veloz duplica su rapidez y el otro reduce a la mitad. El primero llega a la meta. ¿Después de que tiempo llega el otro atleta? A) 150 minutos B) 155 minutos C) 160 minutos D) 145 minutos E) 125 minutos
18. Se tienen dos recipientes y se observa que la relación de vino y agua en el primer recipiente es de 5 a 2 y en el segundo recipiente es de 3 a 1 respectivamente. Si se sabe que el volumen del primer recipiente es al del segundo recipiente como 1 es a 2. Calcular el volumen del vino del primer recipiente, si el volumen total de agua es de 33 litros. A) 10 litros D) 40 litros
B) 20 litros E) 35 litros
C) 30 litros
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19. Un coyote y un perro están juntos a 900 metros de la casa de su dueño. Parten simultáneamente y se observa que por cada 3 metros que avanza el coyote, el perro avanza 2 metros. Cuando se encuentran separados por 100 metros, el coyote se sienta a esperar al perro y éste llega después de 5 minutos y sin demorar parten de nuevo juntos, llegando el coyote a la casa de su dueño a las 8:45 p.m. Determinar a que hora partieron por primera vez. A) 8:00 p.m. B) 8:10 p.m. C) 8:15 p.m. D) 8:20 p.m. E) 8: 05 p.m.
20. Felipe y Marco conversaron sobre sus edades:
1. En una caja se tienen bolas verdes y rojas. Se saca 20 bolas verdes y se observa que la relación de las bolas de la caja es 7 rojas por cada 10 verdes. Enseguida se saca 10 bolas rojas y la relación es 3 verdes por cada 2 rojas. ¿Cuántas bolas había inicialmente en la caja?
4. En una serie de cuatro razones geométricas equivalentes, la suma de los términos de cada razón son 8; 12; 16 y 20 respectivamente y la suma de los cuadrados de los consecuentes es 486. Determinar la suma de los antecedentes.
A) 140 D) 530
B) 260
C) 370 E) 680
2. De una reunión se retiran 3 hombres por cada 4 mujeres, quedando 7 hombres por cada 2 mujeres. Si a continuación llegan cierto número de parej as, se observa que el número de hombres es igual al inicial y por cada 2 hombres hay una mujer. ¿En qué relación se encontraban el número de hombres y el número de mujeres al inicio? A) 1 a 1 D) 5 a 3
B) 2 a 3 E) 3 a 5
Marco: La relación de nuestras edades hace «m» años era de 4 a 5. Felipe: Pero hace n años era de 6 a 5. Marco: Pero dentro de ( m – n + 12) años será de 12 a 13. Felipe: No olvides que la diferencia de nuestras edades es de 3 años. Según lo dicho en esta conversación, calcular la relación de sus edades dentro de ( m + n + 12) años. A) 7a 9 B) 16 a 17 C) 17 a 19 D) 20 a 23 E) 13 a 14
A) 14 D) 12
B) 15 E) 10
C) 16
5. Dos números están en la relación de 2 a 5. Si la cuarta parte del mayor es la tercera proporcional entre 12 y la mitad del otro número. Determinar la suma de dichos números. A) 28 D) 45
B) 35 E) 30
C) 56
C) 3 a 2
3. En una proporción geométrica continua la mayor diferencia entre dos de sus términos es igual a la menor suma que se tiene entre dos de ellos. Si el extremo mayor excede en 8 a la media proporcional. Calcula la media aritmética de los términos de la proporción, si la constante es mayor que 1. A) 5 D) 1
B) 9 E) 4
C) 12
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A ritméti ca
OBJETIVOS • Comparar cantidades de diferentes magnitudes. • Establecer relaciones entre las razones. • Deducir propiedades que presentan las proporciones.
MOTIVACIÓN: Un destacado hombre de negocios va de caza acompañado de un bracero. Él se pierde, separándose del bracero y al tener hambre ofrece a dos pastores repartir sus panes, uno da 5 y otro da 3 después el empresario entrega 8 monedas de plata, ¿cuántos debe llevarse cada uno?
Resolución
Aparentemente el que dio 5 panes debería recibir 5 monedas y 3 monedas el que dio 3 panes, pero no es así: veamos, cada uno comió lo mismo o sea que cada pan se dividió en tres partes: Panes
Pedazos
Comió
Da
1er Pastor
5
×3 →
15
8 pedazos
7
2do Pastor
3
×3 →
9
8 pedazos
1
Luego:
C1 7
= C2
donde: C1 + C 2 = 8 monedas
1
Sumando antecedentes: Sumando consecuentes:
8 8
= 1 → constante
C1 = 7⋅1 = 7 monedas y C 2 = 1⋅1 = 1 moneda
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Compendio de Ciencias VII-D
A ritméti ca
RAZONES Y PROPORCIONES I.
RAZÓN Llamaremos razón a la comparación de dos cantidades a través de una sustracción o una división. Ejemplo: Comparar la edad de Jorge y su abuelo que es 15 y 60 años respectivamente. → Razón Aritmética • 60 – 15 = 45 60
•
15
=4
→
•
8
1 ) Proporción Aritmética: de términos de términos ( SumaMedios ) = (SumaExtremos )
Razón Geométrica
I I . PRO PORCIÓN: Llamamos proporción cuando dos razones de la misma clase tienen el mismo valor.
Proporción Geométrica: ( Pr oductos de Medios ) = (Productos de Extremos )
2 ) La media diferencial = Suma de medios 2
La media proporcional =
Ejemplo: 5
=4 y
8 2
Donde: 20 y 8 5y2 20 y 2 5 y8 2
= 4 ⇒ 20 = 8 = 4 5
2
Son antecedentes. Son consecuentes. Son términos extremos. Son términos medios. Es la cuarta proporcional.
3)
Suma de antecedentes Suma d e consecuentes
19 – 7 = 15 – 3 = 12 Donde: 19 y 3 Son extremos (términos). 7 y 15 Son medios (términos). 3 Es la cuarta diferencial.
También puede ocurrir que la proporción sea continua cuando sus términos medios sean iguales. Ejemplo: •
producto de los medios
= K
Serie de Razones Equivalentes: Cuando más de dos razones tienen el mismo valor. 10
•
Tercera Prop orcion al Media Proporciona l
2
PROPIEDADES DE UNA PROPORCIÓN
Donde: 60 Es llamado antecedente. 15 Es llamado consecuente. 45,4 Es llamado valor de la razón.
20
32 = 8 =
5
= 2;
En general:
40
= 2; 12 = 2 ⇒ 10 = 40 = 12
20
6
a
1
b
1
=
a b
También se cumple:
5
=L =
2 2
a
n
b
20
6
= K
n
× a 2 ×L × an = K n b × b ×L × b 1 2 n a
1
25 – 18 = 18 – 11 Tercera diferencial Media diferencial
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Compendio de Ciencias VII-D
1. Si
a
1
c
=
1
a c
2
=
2
a
3
c
= K =
3
a
n
c
A ritméti ca
2. Si:
= K
2 1 2 c 1
1
c
n
=
1
a c
2
=
2
a c
= K =
3 3
a c
n
= K
n
Demostrar que:
Demostrar que: a
a
+ a 22 + a 32 + K + a n2 = K 2 2 2 2 + c 2 + c 3 + K + c n
5 1 5 c 1
a
Resolución:
=
5 2 5 c 2
a
=
5 3 5 c 3
a
=
5 n K 5 c n
a
= K 5
Resolución: 2
2
2
2
2
2
De la serie: ( a ) = ( c K ) 1 1
( a2 ) = ( c 2 K ) ( a3 ) = ( c 3 K ) M 2
( an ) = ( cn K )
2
Sumando: 2 1
a
+ a 22 + a 32 + K + a n2 = (c 12 + c 22 + c 32 + K + c n2 ) K 2
Luego: 2 1 2 c 1
a
+ a 22 + a32 + K + an2 = K 2 2 2 2 + c 2 + c 3 + K + cn
L.q.q.d.
1. José, Raúl y Luis tienen canicas en la relación de 4, 5 y 9. Si la mayor diferencia que tienen dos de ellos es 60. Halle el total de canicas. Rpta.: ..............................................................
2. Si: a = b = 20 = 4 5
8
3. Sabiendo que: •
a 4
=
b 12 − x
=
c x
+6
=d
7
• a + b + c = 330 Calcule d Rpta.: ..............................................................
n
Calcule (a + b + n)
4. Si: 8 = a = c = 32 a
Rpta.: ..............................................................
b
128
n
Halle ( a + b + c + n ) Rpta.: ..............................................................
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Compendio de Ciencias VII-D
5. Sabiendo que: P
•
3
=
E 5
R
=
U
=
6
7
• P + E + R + U = 504 Calcule E + R Rpta.: ..............................................................
A ritméti ca
11. En una serie de razones geométricas continuas equivalentes, el primer consecuente es 27 veces el tercer consecuente. Además la suma de los 3 primeros antecedentes es 468. Calcule la suma de los dos primeros consecuentes. Rpta.: ..............................................................
12. En la serie de razones iguales. 6. Dada la serie de razones
a b
a
b
c
d
n
p
q
d
=
d e
=
f g
Se cumple:
= = = = K
m
c
=
Halle K
= 12 e + g = 15 b + d = 75 E = ab +
Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
a
2
m
a+c
+ b 2 + c 2 + d 2 = 296
2
+ n 2 + p 2 + q 2 = 1850
m 8
n
=
18
+
de
+
fg
13. Sabemos que:
7. Se tiene que: •
cd
=
p
a
50
m
b
c
n
p
= =
= K,
K ∈
+
Además
3 3 3 • m + n + p = 1120
Halle ( m + n + p )
•
Rpta.: ..............................................................
•
− + 2 b c = 48 m−n n − p m + n + p = 80 ab
Calcule (a + b +c )
8. Si:
a b − 12
= b = a + 15 = 2a 9 b −3 a +1
Calcule a ⋅ b Rpta.: ..............................................................
9. Se tiene
ab 8
=
ac 15
=
bc 10
= K
Halle ( a + b + c + k ) si mínimo {a, b, c, k } ⊂ +
Rpta.: ..............................................................
14. Si: a = b = x 4
a
b
4 Además a + ax = 4!3!2!
16
Calcule el valor de b. Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
10. Es una serie de 4 razones geométricas equivalentes la suma de antecedentes es 140 y la suma de consecuentes 210. Calcule el valor, del producto de los antecedentes entre el producto de consecuentes. Rpta.: ..............................................................
15. Si: a = b = c 4
16
9
Además: ab + bc + ac = 104 Calcule ( a + b + c ). Rpta.: ..............................................................
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A ritméti ca
16. En un colegio los que practican sólo uno de los siguientes deportes fútbol, básquet, tenis y voley son proporcionales a los números 7; 5; 3 y 4 respectivamente. Además hay 370 futbolistas más que tenistas. ¿Cuántos alumnos hay en el colegio?
19. Si:
a b+3
=
c
2
8
=
4b
n
C
=
80 A + 60 B + 40 C
y
p
A
20 m
+ 15 n + 10 p
=
1 2
3
+ B3
Rpta.: .............................................................. C 972
c
B
3 3 Determine: m + n
20.
y b ⋅c = 8
=
m
Rpta.: ..............................................................
17. Si:
A
=R= C
I R
=
S I
=4
S
Calcular ( a + b + c ).
Calcule (C + R + I + S).
Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
18. En una serie de tres razones geométricas continuas la suma del primer antecedente y del último consecuente es 196. Hallar la suma de los antecedentes, si el producto de las tres razones es 1 . 27
Rpta.: ..............................................................
1. Si a = b = c = d y 2
b
3
3
5
7
4. Si:
+ c = 1216
Calcule: (a + d ). B) 63 E) 99
C) 72
2. Se tiene la serie: a = b = c = d 5
9
4
7
B) 260 E) 320
c
n
p
= K
Además a ⋅ b ⋅ c = 512 ∧ m ⋅ n ⋅ p = 1728. Halle el valor de K A) 1/2 D) 4/5
B) 2/3 E) 5/6
C) 3/4
5. Si se cumple que:
Además a + b + c = 100 Calcule a ⋅ b ⋅ c A) 250 D) 300
b
= =
m
3
A) 54 D) 81
a
a+2 a−2
C) 280
+5 c+7 = = K b −5 c −7
=b
Además a + b + c − 1 = K Halle el valor de K. A) 2 D) 7/2
3. Si 40 = a = b = c a
b
135
21
B) 5/2 E) 4
C) 3
Calcule (a + b + c ). A) 164 D) 184
B) 170 E) 186
C) 172
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A ritméti ca
CAPÍTULO
20 OBJETIVOS • Saber para que sirven los promedios. • Poder interpretar y recopilar datos y calcular el promedio. • Aplicar las propiedades de los promedios.
MOTIVACIÓN: Durante un año la razón entre los precios de 2 kg de arroz y un litro de leche fue de 2 y el siguiente año de 2,5. • Calculemos la media aritmética de las razones: MA =
1 2
( 2 + 2, 5 ) = 2, 25 Arroz a leche
• Ahora la media de las razones de la leche con respecto al arroz: Como arroz a leche es 2 → leche a arroz es 0,50 y también 0,40. Luego: MA =
0, 4 0 + 0, 5 0 2
= 0, 45 Leche a arroz
• Debería ocurrir que dichas medias son recíprocas sin embargo: 1
= 2,11 ≠ 142,22543 0,45 1 44 2 4 4 3 Arroz− Leche Leche − Arroz Esto demuestra que la media aritmética no es la adecuada para promediar razones.
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A ritméti ca
PROMEDIOS DEFINICIÓN Sean los valores a1; a2; a3; ......; an. Si deseamos hallar el promedio de todos ellos será: un valor P que ha de estar entre el menor valor y el mayor valor del grupo de elementos.
Ejemplo: Si las edades de tres personas es 18; 12 y 16. Hallar su promedio armónico. MH
=
1 8
menor ≤ valor
P {
12
+
1
= 11, 08
16
≤ mayor valor
Promedio
PROPIEDADES 1 ) MH ≤ MG ≤ MA y son iguales: todos los datos son iguales.
1) Media Aritmética
MH= MG= MA ,
si
2 ) Sólo para dos datos:
Suma de datos
MA =
+
3 1
2 ( MG) = MA.MH
número de datos
3 ) Sólo para dos datos: Ejemplo: Las notas de un alumno fueron: 16; 15; 10 y 08, hallar el promedio MA =
16 + 15 + 10 + 08 4
(
(a – b )2 = 4 MA MA 2
2
)
= 12, 25 ≈ 12
2) Media Geométrica: Mide índices y tasas de crecimiento número de datos
MG=
Producto de datos
Ejemplo: El siguiente cuadro refleja crecimiento poblacional de los pueblos jóvenes en Lima. Año
2003 2002 2001 2000
Crecimiento%
16
81
256
625
Luego la tasa anual de crecimiento promedio será: MG = 4 16 ⋅ 81 ⋅ 256 ⋅ 625
= 120
3) Promedio Armónico MH
=
número de datos Suma de inversas de los datos
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Compendio de Ciencias VII-D
1. Si a y b son dos números
+
A ritméti ca
. Demostrar que:
MA ( a, b ) ≥ MG ( a, b ).
2. Si a y b son números MA ( a, b )
≥
+
. Demostrar que:
MH ( a, b )
Resolución:
Resolución: a≥b a−b
≥0 2 (a − b ) ≥ 0 a
2
+ b 2 − 2ab ≥ 0
a
2
+ b 2 ≥ 2ab
a
2
+ b 2 + 2ab ≥ 4 ab
2 ( a + b ) ≥ 4 ab
a+b
≥2
ab
a+b
≥1 2ab 3 2 { M A ( a, b ) ≥ MG ( a, b )
1. Calcular la
MH
de 4; 12 y 24
5. Si para 2 números se cumple:
MA MH
Rpta.: ..............................................................
=
49 25
Calcular: M A MG
x
2. El promedio geométrico de 2 ; 2 Calcular x .
2x
y8
x
es 1024.
Rpta.: ..............................................................
3. El promedio de 4 números es 72, si se considera un quinto número el promedio diminuye en 2 unidades. ¿Cuál es el quinto número? Rpta.: ............................................................
4. La media armónica de 2 números es 160 y su media geométrica es 200. ¿Cuál es su media aritmética?
Rpta.: ..............................................................
6. El promedio de 5 números es 85 si se considera un sexto número el promedio aumenta en 15 unidades. ¿Cuál es el sexto número? Rpta.: ..............................................................
7. La media aritmética de 20 números diferentes es 50 y la media aritmética de otros 30 números diferentes es 80. Halle la media aritmética de los 50 números. Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
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Compendio de Ciencias VII-D
8. 50 alumnos rindieron una prueba de matemática, el promedio de notas de todos fue 14,4. Si 20 alumnos obtuvieron un promedio de 16. ¿Cuál f ue el promedio de los otros 30 alumnos? Rpta.: ..............................................................
9. El promedio armónico de 10 números es 5, el promedio armónico de otros 20 números es 10 y el promedio armónico de otros 30 números es 6. Halle el promedio armónico de los 60 alumnos.
A ritméti ca
15. El mayor promedio de 2 números es 18 mientras que su menor promedio es 10. Halle la diferencia de dichos números. Rpta.: ..............................................................
16. La MA y la MG de dos números son dos números consecutivos. Halle la diferencia de las raíces cuadradas de dichos números. Rpta.: ..............................................................
Rpta.: ..............................................................
10. El promedio aritmético de las edades de 4 hombres es 48. Ninguno de ellos es menor de 45 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? Rpta.: ..............................................................
11. El promedio aritmético de 8 números es 12. Si se aumenta a dichos números 1, 2, 3,... respectivamente. ¿Cuál será el promedio aritmético de los nuevos números? Rpta.: ..............................................................
12. El promedio geométrico de 20 números es 8 y el promedio geométrico de otros 20 números es 18. Calcule el promedio geométrico de los 40 números. Rpta.: ..............................................................
13. El promedio aritmético de 30 números es 20. Si se quita dos de ellos cuyo promedio es 48. ¿En cuánto disminuye el promedio aritmético? Rpta.: ..............................................................
14. El promedio aritmético de 5 números pares consecutivos es 24. Hallar el promedio geométrico de la quinta parte del menor y la séptima parte del mayor.
17. En un salón de clases de 50 alumnos se ha obtenido el promedio de notas bimestrales de los varones y de las mujeres los cuales son 17,5 y 16. ¿Cuántos son los varones, si el promedio de los 50 notas es 16,6? Rpta.: ..............................................................
18. Si para dos 2 números se cumple: MA = 18,5 = 17,5 Calcular la diferencia de ambos números. MG
Rpta.: ..............................................................
19. El promedio aritmético de 3 números es 14, la MG es par e igual a uno de los números además la MH es 72/7. Halle el mayor de los números. Rpta.: ..............................................................
20. Si para 2 números se cumple que: MG MH
= 1,8
Calcular: MA MH
Rpta.: ....................................................... Rpta.: ..............................................................
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A ritméti ca
1. Halle el promedio aritmético de 24; 30; 36; ...; 618 A) 320 D) 325
B) 321 E) 330
2. Calcule el promedio geométrico de A) 32 D) 256
B) 64 E) 512
C) 324
2
3
2;2 ;2 ;... ;2
15
B) 13 E) 18
A) 52 D) 56
B) 54 E) 58
C) 55
C) 128
3. El promedio aritmético de las notas de 36; 54 y 90 estudiantes son 15;20 y 10 respectivamente. Calcule el promedio aritmético de las 180 notas. A) 12 D) 16
4. La edad promedio de 5 estudiantes es 18 años, al juntarse con ellos el profesor, la edad promedio sería seis años mayor que el anterior. Halle la edad del profesor.
5. El promedio aritmético de dos números es 15 y el promedio geométrico es 12. Halle la diferencia de los números. A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
C) 17
C) 14
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A ritméti ca
CAPÍTULO
21 OBJETIVOS • • • •
Identificar una magnitud y diferenciales. Determinar el tipo de proporcionalidad existente entre dos magnitudes. Aprender la importancia de las magnitudes y su aplicación en otros cursos de ciencias. La facilidad de su aplicación en la deducción e inducción de fórmulas.
MOTIVACIÓN:
Foco Foco h h' x
d – x
P''
P
P'
Problema: Averiguar el punto del segmento PP ' igualmente iluminado por dichos foc os en la figura de al lado. Resolución:
La luz recibida por un foco en un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco: i.e. I h
2
+x
2
=
I ' 2
2 (d − x ) + h
operando: 2 '2 2 2 ( I − I ' ) x − 2dIx + I ( h + d ) − I ' h = 0
• •
Si las intensidades son iguales (I = I') sería una lineal (ecuación). Si las alturas fueran cero ocurre lo mismo. i.e. I ( d
− x )2 = I ' x 2
x
=
d I I
+
I '
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A ritméti ca
MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUDES PROPORCIONALES Se entiende por magnitud, como todo aquello cuya intensidad puede variar (aumentar o disminuir), entonces dicha intensidad es suceptible de ser medido o contado. Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra también variarán en la misma proporción.
CLASES DE MAGNITUDES 1 ) Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de uno de ellas o disminuir los valores correspondientes de la otra también aumentarán o disminuirán en la misma proporción. Además para que dos magnitudes sean directamente proporcionales es necesario y suficiente, que los cocientes de cada par de sus valores correspondientes sea iguales. En general: Si A es D.P. a B ⇒
A B
= K
donde las magnitudes A y B cumplen: Magnitudes
Va lores Correspondiente s
A
A1
A2
A3
....
An
B
B1
B2
B3
....
Bn
Luego si son directamente proporcionales, se cumple que: A1 B1
=
A2 B2
=
A3 B3
=L =
An Bn
= K
Donde K es la constante de proporcionalidad Ejemplo: Magnitudes
Valores Correspondientes
Espacio (km)
20
32
44
56
Velocidad (km/h)
5
8
11
14
Luego: 20 = 32 = 44 = 56 = 4 5
8
11
14
entonces espacio es D.P a la velocidad La gráfica del ejemplo anterior es:
Espacio Recta
56 44 32 20
Velocidad 5
8
11
14 Convertido a pdf por Eddier J. Cuela Humpire
Compendio de Ciencias VII-D
A ritméti ca
2 ) Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar uno de ellas en sus valores o disminuir, los valores correspondientes de la otra disminuirán o aumentarán en la misma proporción. Además para que dos magnitudes sean inversamente proporcionales es necesario y suficiente que los productos de cada par de sus valores correspondientes sean iguales. En general: Si A es I.P. a B ⇒ AB = P donde las magnitudes A y B cumplan: Ma gnitud es
Valore s Correspondientes
A
A1
A2
A3
....
An
B
B1
B2
B3
....
Bn
Luego si son inversamente proporcionales, se cumple que: A1 ⋅ B1
= A2 ⋅ B2 = A3 ⋅ B3 = L = An ⋅ Bn = P
Donde P es la constante de proporcionalidad Ejemplo: Magnitudes
Valores Correspondientes
Masa
12
24
8
16
Aceleración
4
2
6
3
Luego: 12 × 4 = 24 × 2 = 8 × 6 = 16 × 3 = 48 Entonces masa es I.P a la aceleración La gráfica del ejemplo anterior es Masa 24 16
Hipérbola equilátera
12 8 2
3
4
6
Aceleración
PROPIEDADES A ) Si: A I.P. B ⇔ A D.P 1/B B)
Si : A D.P. B ( C constante )
⇒ A D.P. B × C
Si : A D.P. C ( B constante )
C)
Si : A I.P. B (C constante )
⇒ A I.P. B × C
Si : A I.P. C (B constante )
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1. Si A es DP a B , siendo A y B magnitudes demostrar que An será DP a B n R esolución:
A ritméti ca
2. Si A y B son 2 magnitudes. Demostrar que: A IP B ⇒ A DP
1 B
R esolución:
Sabemos que Si: A DP B ⇒ A = K n
B
Luego A = Kn = constante n B
Luego: An es D.P. a Bn
1. Se sabe que la magnitud A es directamente proporcional a B 2 . Si A es 48 cuando B es 4. ¿Qué valor deberá tomar A cuando B = 3. Rpta.: ..............................................................
5. De la siguiente tabla de valores para las magnitudes M y N, las cuales varían proporcionalmente. Determine ( x + y + z ). Mag M 24 Mag N
2. Una magnitud A es inversamente proporcional de 2 B . Si A es m y B = 10 y cuando A aumenta en 9 unidades entonces B en 2 unidades. Hallar m. Rpta.: ..............................................................
3. Si A y B son magnitudes inversamente proporcionales tales que A es 24 cuando B es 15. ¿Qué valor le corresponde a la magnitud A cuando B aumenta 3 unidades? Rpta.: ..............................................................
4. Si 2 magnitudes directamente proporcionales A y B son tales que A es 24, cuando B es 18 ¿Qué valor toma B, si A aumenta 6 unidades? Rpta.: ..............................................................
x
48
96
z
y + 10
36
3x
Rpta.: ..............................................................
6. Se sabe que m y n son 2 magnitudes inversamente proporcionales y de la siguiente tabla de valores. Mag M 24 Mag N
a
18
b
36
a+6
2a
c
Calcular ( a+ b+c ). Rpta.: ..............................................................
7. A es directamente proporcional a B 2 y C. Cuando A=24; B=2 y C=3. Hallar A cuando B=3; C=2. Rpta.: ..............................................................
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Compendio de Ciencias VII-D
A ritméti ca
8. Una magnitud M es D.P. a la magnitud N e I.P. a 3 Q . Si cuando M=4; N=16 y Q=3. Hallar Q cuando M y N son 2 y 4 respectivamente. Rpta.: ..............................................................
9. Un administrador de una tienda, ha comprobado que el tiempo de atención a los clientes varía proporcionalmente al número de clientes que son atendidos. Si 4 clientes son atendidos en 12 minutos menos, que si hubiese 7 clientes. ¿Cuánto tiempo se demoraría en atender 9 clientes? Rpta.: ..............................................................
10. Se sabe que A es DP a B 2 y B es IP a C 2 . De la siguiente tabla. Hallar ( x + y ). A
1
3
2
y
B
2 2
x
2
2/5
C
4
81
256
625
11. La siguiente tabla muesta la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Hallar ( x + y ). 36 100 y
B
3
2
x
4
Rpta.: ......................................................
15. La eficiencia de un empleado es I.P. al número de días trabajados. Si el empleado realiza un trabajo en 24 horas. ¿Cuánto demoraría en hacer dicha obra si aumenta su rendimiento en 1 ? 3
Rpta.: ......................................................
16. Se sabe que las magnitudes A y B guardan cierta relación proporcionalidad. Conocida la siguiente tabla. Hallar ( x + y ). A 16
36 100 y
B
3
2
x
4
196 7
Rpta.: ......................................................
Rpta.: ..............................................................
A 16
14. El precio de un diamante varía directamente proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante que costó 800 se partió en 2 partes iguales. ¿Cuánto cuesta cada parte y cuánto se perdió?
196 7
17. Si la magnitud A es I.P. a; B2 ; A es 48 cuando B es 6. ¿Qué valor toma B (positivo) cuando A es 72? Rpta.: ......................................................
18. Las magnitudes A y B guardan cierta proporcionalidad cuyos valores se muestran en la siguiente tabla. Hallar ( x + y ). A
Rpta.: ..............................................................
12. El proceso de un artículo varía en forma IP al número de artículos producidos. Con una producción de 500 artículos estos cuestan S/. 2 menos que si se producen sólo 300. ¿Cuántos deberá producirse para que su costo unitario sea S/. 2,50? Rpta.: ..............................................................
2
3
x
6
B 12
27
48 y
10 300
Rpta.: ......................................................
19. El precio de una colección de libros varía proporcionalmente al número de libros que la componen. Si la colección consta de 6 libros su precio es de S/. 150. ¿Cuánto costará una colección que posee 2 libros más? Rpta.: ......................................................
13. Dos ruedas se encuentran engranadas, la primera posee 80 dientes y la segunda 72 dientes. Si la primera da cierto número de vueltas en un minuto, la segunda da 3 vueltas más. ¿Cuántas revoluciones por minuto da la segunda rueda? Rpta.: ..............................................................
20. El sueldo de un empleado varía proporcionalmente al cuadrado del número de horas trabaj adas. Si su sueldo mensual asciende a S/. 450. ¿Cuánto dejará de ganar si sólo trabaja los 3/5 de las horas normales? Rpta.: ......................................................
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Compendio de Ciencias VII-D
A ritméti ca
1. Una magnitud A es D.P. al cuadrado de la magnitud B. Hallar el valor de A cuando B es 2, si cuando B se incrementa en una unidad A aumenta en 35. A) 24 D) 35
B) 28 E) 42
C) 32
2. Si las magnitudes A y B 2 son IP. Si cuando A es 24, B es 6 encontrar B cuando A es 54. A) 6 D) 12
B) 4 E) 9
C) 12
3. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Se sabe que un diamante cuesta 1000 doláres, ¿cuánto costará si se parte en 2 pedazos que son proporcionales a 2 y 3? A) 480 D) 680
B) 640 E) 360
4. Se sabe que A es DP a 3 B . Hallar (a+b). Si se muestra los siguientes datos.
A) 195 D) 15
A
a
3
4
B
81
24
b
B) 192 E) 65
C) 12
5. El precio de un objeto varía en forma DP en su peso. Si para 240 gramos de peso su precio es 36 soles. ¿Cuánto costará otro objeto que pesa 60 gramos más? A) S/. 40 D) S/. 48
B) S/. 42 E) S/. 50
C) S/. 45
C) 520
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Compendio CAPÍTULOde Ciencias VIII-D
A ri tmétic a
22 OBJETIVOS • Aprender a repartir en forma proporcional a los distintos casos que le puedan presentar. • Aprender a repartir en forma asociada o compuesta. • Reconocer la explicación de una regla de compañía.
MOTIVACIÓN: ALCUINO DE YORK (735–840) Era considerado uno de los hombres más sabios de su tiempo y fue el asesor cultural del emperador Carlomagno. Su obra principal es una colección de problemas titulada. Para desarrollar el ingenio de los jóvenes. A continuación uno de los problemas de York sobre el reparto proporcional de la edad media: Un hombre, cuya esposa está por dar a luz, muere dejando en testamento las siguientes instrucciones: Si nace un varón, éste heredará 2/3 de la herencia y la madre 1/3 restante; si nace una niña, ésta heredará 1/3 y la viuda 2/3 de la herencia. Nacen mellizos de sexo distinto. ¿Cómo deben repartirse la herencia?
Solución: Hay varias interpretaciones, la intención del padre era que la madre recibiera dos veces más que la hija, y el hijo dos veces más que la madre; por lo tanto hay que dividir la herencia en 7 partes iguales: 2 para la madre; 4 para el hijo y 1 para la hija. Otra interpretación: con la solución anterior, la madre sólo recibiría 2/7 de la herencia, no 1/3 como indicaba el testamento; la solución será entonces dar 1/3 a la madre y dividir el resto en dos partes proporcionales a 1 y 4, en este caso se divide la herencia en 15 partes iguales: 5 para la madre; 8 para el hijo y 2 para la hija
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Compendio de Ciencias VIII-D
A ri tmétic a
REPARTO PROPORCIONAL DEFINICIÓN:
Aplicaciones:
Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, la cual consiste en repartir una cantidad en partes directas o inversamente proporcionales a otras cantidades llamadas indicadores o índices.
Ejemplo 1:
Problema aplicativo: Repartir “N” en partes n1; n2; n3; ....; nQ en forma directamente proporcional a m1; m2; m3; ....; mQ e indicar cada una de las partes obtenidas.
sabemos: K =
Solución: Observamos que: n1+n2+n3+....+nQ = N (total) y ... (I) m1+m2+m3+ ... mQ = ∑i (suma de indicadores) ... (II) Como el reparto es directamente proporcional: n1
=
m1
n2 m2
=
n3 m3
= K
nQ mQ
= K
K = constante de reparto
Repartir 5000 en forma D.P. a 2, 3 y 5 e indicar cada parte: Luego tenemos: 5000 2+3+5
⇒ K = 500
luego: 2(500) = 1000 3(500) = 1500 5(500) = 2500
Ejemplo 2 :
Repartir 4800 en forma I.P. a 2; 3 y 6 e indicar cada parte.
E l reparto debe ser I .P. entonces cada indicador se invierte. Luego: Si resulta fracción se multiplica cada una por el MCM de los denominadores.
Aplicando propiedad de razones y proporcionaes:
+ n2 + n3 + K + nQ = K m1 + m 2 + m 3 + K + mQ n1
Reemplanzando (I) y (II): K=
N
∑i
o
K =
tota l suma de indicadores
entonces: MCM(2; 3; 6) = 6
1 6 ⇒ 3 2 1 6 ⇒ 2 3 1 6 ⇒ 1 6
cada una de las partes es: n1 = m1 K n2 = m2 K n3 = m3 K M
nQ = mQ K
Sabemos: K =
4800 3 + 2+1
⇒
K = 800
Luego: 3(800) = 2400 2(800) = 1600 1(800) = 800
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A ri tmétic a
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Demostrar que si la cantidad N se reparte en 2 partes
1. Demostrar que si la cantidad N se reparte en 2 partes
P 1 y P 2 en forma I.P. a los números a y b respectivamente, las partes son:
P1 y P2 en forma D.P. a los números a y b respectiva-
P1
b .N
=
a+b
y P2 =
mente, las partes son: P1 =
aN a+ b
a N a+b
y P2
=
bN a+b
Resolución:
Resolución: N = P1 + P2 . Además:
P1 I. P . a ∧ P 2 I P b
P1 ⋅ a
P1 b
= P2 . b ( por concepto ) P P +P N = 2= 1 2= a a+b a +b
∴ P1 =
bN a
+b
P2
=
a N a
+b
01. Repartir 480 en tres partes D.P. a los números 3; 4 y 5 e indicar la suma de cifras de la menor parte.
06. Repartir 620 en forma I.P. a los números 27 y
12 ,
75 . Indicar la diferencia entre la parte
mayor y menor. Rpta.: ........................................................
02. Repartir 750 en forma D.P. a los números 30, 35 y 60. Indicar el valor de la menor parte obtenida. Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
07. Repartir 1 500 en tres partes que sean D.P. a: 2 20 , 22 3 y 2 24 e indicar la menor cantidad
obtenido luego del reparto.
03. Repartir 740 en tres partes I.P. a los números 4, 5 y 6. Indicar el valor del menor.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
04. Repartir 624 en forma I.P. a los números: 14; 35 y 42. Indicar el valor de la mayor parte obtenida. Rpta.: ........................................................
05. Repartir 432 en forma D.P. a los números 48 y
27 ,
08. Dividir 1 220 en forma I.P. a los números 2 4 ; 4 3 y 6 2 indicar la menor cantidad obtenida
después del reparto. Rpta.: ........................................................
09. Dividir 500 en forma D.P. a los números 8!; 9! y
75 . Indicar la mayor parte.
10!. Indicar la suma de las dos menores partes.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
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A ri tmétic a
10. Al repartir 5 000 en forma IP a los números: 5!, 6!
16. La tienda HIRAOKA del distrito de independencia
y 7!, ¿cuál es la menor parte que se obtiene luego del reparto?
realizó durante 3 días de campaña navideña, la venta de 870 artefactos entre televisores, DVD y computadoras. Si el número de artefactos vendidos de cada tipo fue inversamente proporcional a los números 5; 4 y 1 de computadoras.
Rpta.: ........................................................
11. Dividir 215 en tres partes tales que la primera sea a la segunda como 2 es a 5 y la segunda sea a la tercera como 4 es a 3. Indicar la menor parte. Rpta.: ........................................................
12. Dividir 1110 dólares en tres partes que sean D.P. a los números: 10 10 ;10 11 y 10 12 . Indicar la tercera parte obtenida en el reparto. Rpta.: ........................................................
13. Repartir 585 en forma D.P. a los números 4 3, 4 ! y
4 . Indicar la menor parte obtenida.
Rpta.: ........................................................
14. Se reparte cierta cantidad “M” en partes directamente proporcionales a 38 2; 57 2 y76 2. Si al menor le ha tocado 720. Hallar el valor de M. Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
17. 3 amigos fueron a un restaurante y pidieron un conejo, uno de ellos pidio el lomo, el otro las piernas y el tercero el resto. A los pocos minutos los 3 amigos se intoxicaron y por ello el dueño los indemnizo con 7 200 soles. Si el lomo era la tercera parte del conejo y las piernas la cuarta parte ¿Cuánto de la indemnización le toco al tercero?P Rpta.: ........................................................
18. Se compra una tarjeta de bingo entre 3 amigos, si el costo fue de 6 soles, además se sabe que uno de los amigos aportó 1 sol, el otro 2 soles y el tercero el resto; si con dicha tarjeta se ganaron el “apagón” el cual ascendia a S/. 9 000 libre de impuestos. ¿Cuánto le correspondera al que puso 2 soles? Rpta.: ........................................................
19. Tres comerciantes desean transportar el mismo número de sacos de arroz. El primero a 50 km, el segundo a 65 km, y el tercero a 75 km. Con este objeto alquilan un camión pagando entre los tres 266 soles. ¿Cuánto más paga el tercer comerciante que el primero? Rpta.: ........................................................
15. Se va a realizar el reparto de 600 computadoras entre 3 institutos A, B y C, el reparto se hara D.P. a los números: 8 ; 32 y 50 . Indicar cuántas computadoras recibe el instituto A. Rpta.: ........................................................
20. La suma de tres números equivale a 3 veces la mitad del mayor de dichos números. Si se reparte 423 proporcionalmente a tales números. Calcular la suma de las dos menores partes. Rpta.: ........................................................
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A ri tmétic a
01. Repartir 1200 en partes D.P. a los números 2, 3 y 7. Indicar como respuesta la suma de cifras de la mayor parte obtenida. A) 6 D) 8
B) 7 E) 9
C) 5
02. Repartir 720 en forma D.P. a los números: 2, 3 y 4. Indicar la parte mayor. A) 312
B) 316
D) 324
E) 328
C) 320
04. Repartir 117 en forma D.P. a los números 12 ,
27 y
48 . Hallar la menor parte obtenida.
A) 13
B) 26
D) 40
E) 58
C) 39
05. Al dividir 222 en tres partes tales que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y la segunda sea a la tercera como 5 es a 4. La parte menor es: A) 60
B) 70
D) 90
E) 100
C) 80
03. Repartir 440 en forma I.P. a los números 1, 2 y 3. Indicar la parte mayor. A) 230
B) 240
D) 260
E) 270
C) 250
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A ri tmétic a
23 OBJETIVOS • • • •
Diferenciar los problemas de regla de tres simple: inversa y directa. Aplicación de las magnitudes en este tema. Aprender la resolución de un problema de regla de tres compuesta aplicando estas ideas. Su aplicación en hechos reales de la vida cotidiana.
MOTIVACIÓN: Este antiquísimo método de cálculo permite encontrar el cuarto término de una proporción cuando se conocen tres magnitudes proporcionales. Si: a cosas cuestan b; ¿Cuánto ( x ) costarán c cosas? En el libro Arya bhatiya, un breve volumen sobre astronomía y matemáticas escrito en verso por Aryabhata en el año 499, esta fam osa regla se presenta así: “En la regla de tres; multiplicar el fruto por el deseo y dividir por la medida; el resultado es el fruto del deseo”
a
En otras palabras, si: b
=
c
será x x
=
bc a
donde: a
es la “medida”
b
es el “fruto”
c
es el “deseo”
x
es el “fruto del deseo”
El siguiente es un ejemplo de dicho libro: Si dos medidas y media de azafrán cuesta 3/7 de una moneda ¿Cuántas medidas de azafrán se podrán comprar con nueve monedas? Solución: Con la terminología india de la época se tendría 5/2 es el f ruto; 9 es el deseo y 3/7 es la medida, el fruto del deseo será: ( 9 ) (5 / 2) ( 3 / 7 ) = 52 1 2
Hoy se resolvería el problema con la siguiente proporción: x 9
= 5 /2 3 /7
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A ri tmétic a
REGLA DE TRES DEFINICIÓN
Eficiencia
Es una aplicación de las magnitudes proporcionales donde al comparar dos o más magnitudes se determina un valor desconocido. Considerado como magnitud dependiente a la magnitud que contiene a la incógnita.
CLASES DE REGLA DE TRES
2.
Estas son dos:
1.
∴
REGLA DE TRES SIMPLE Se obtiene al comparar dos magnitudes directamente o inversamente proporcionales
Días
– 80%
60 +
+ 120%
x –
⇒ x 120 = 80 × 60
x = 40 días
REGLA DE TRES COMPUESTA Se obtiene al comparar más de dos magnitudes; debe rsstscrstde compararse por separado la magnitud dependiente con cada una de las otras magnitudes. Si: tenemos las magnitudes
a.
Regla de Tres Simple directamente proporcional:
a b
Si tenemos las magnitudes:
+a
b+
– c
x –
I. P
c x
d e
D. P
f g
I. P
entonces se cumple: x
⇒
c
=
b
x b g
a
e
=
c af d
Ejemplo:
Si 30 obreros hacen una carretera de 100 km ¿Cuántos obreros se necesitan para hacer 70 km de carretera? Obreros Obra
+ 30 – x
100 + 70 –
∴
⇒
x 70
=
30 100
x = 21 obreros
b. Regla de Tres Simple inversamente proporcional:
x
b –
– c
x
+
xc
= ab
min 18
36
D. P
carbón parrilla 15 1 D.P
x
Ejemplo:
Con una eficiencia del 80% un obrero hace un trabajo en 60 días. ¿Qué cantidad de días necesitará otro obrero de 120% de eficiencia?
bgd
chorizos 120 x
⇒
cafe
Ejemplo: En una parrilla se pueden cocinar 120 chorizos en 18 minutos consumiendo 15kg de carbón de madera. ¿Cuántos chorizos se podrán cocinar en 2 parrillas de iguales tamaños en 36 minutos con 45kg de carbón de madera?
Si tenemos las magnitudes:
+a
=
36
∴
× 45 × 2
=
45
D.P
2
126 18
× 15
x = 1440 chorizos
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A ri tmétic a
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Deducir que sucede con el área y el radio de un
1. Deducir que sucede con la superfie del cuadrado y
círculo.
el lado del cuadrado.
Resolución: Sabemos que: área círculo =
Resolución:
π ( radio )
2
Luego: área círculo ( radio ) 2
= π = CONSTANTE
Por teoría de magnitudes la superficie del círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio del círculo.
01. Si 12 soldados tienen víveres para 20 días, si el
06. En un taller se ha cobrado S/. 1 078 por el lavado
número de soldados aumenta en 3, ¿para cuántos días le alcanzarán los víveres?
de 22 motores durante 7 horas. ¿Cuánto se cobrará por el lavado de 14 motores durante 5 horas?
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
02. Una torre de 42m de altura proyecta sobre el piso una sombra de 70m. si a la misma hora y cerca del lugar, una persona proyecta sobre el piso una sombra de 3m. Halle la altura de la persona. Rpta.: ........................................................
03. En una granja hay 24 conejos, para los cuales se tiene comida para 21 días, ¿cuántos conejos se tendrá que vender si se quiere que la comida dure 28 días? Rpta.: ........................................................
04. Un obrero puede realizar los 2/5 de una obra en 10 días. ¿En cuánto días podrá hacer toda la obra? Rpta.: ........................................................
05. Una vaca atada a una cuerda de 2m puede comer
07. En una fábrica 12 máquinas pueden producir 56000 envases en 14 horas, ¿cuántos envases podrán producir 24 máquinas en 16 horas? Rpta.: ........................................................
08. Para realizar una obra de 180m2 han tardado 12 horas de 10 horas diarias 15 obreros, ¿cuántos días tardaron 25 obreros para hacer 120m 2 del mismo trabajo en 6 horas diarias? Rpta.: ........................................................
09. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas, se desea tejer 60 chompas en 25 días, ¿cuántos artesanos doblemente hábiles se deben contratar además de los que ya están?. Rpta.: ........................................................
10. Se tiene 280 kg de alimentos para un contingente
todo el pasto que esta a su alcance en 5 horas. ¿En cuántas horas podrá consumir el pasto que esta a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera 8m?
de 45 hombres durante 28 días. Si se incorporan 15 obreros, ¿cuántos kilos de alimentos deben aumentarse, para satisfacer a todos durantes 27 días?
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
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Compendio de Ciencias VIII-D
A ri tmétic a
11. Un automóvil demora 3 horas en recorrer 5/7 de la
16. 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos
distancia que hay entre dos pueblos. ¿En qué tiempo recorrera la distancia total?
en 18 días, ¿cuántos operarios podrán producir 160 pares de zapatos en 24 días?
Rpta.: ........................................................
12. Un caño arroja 20 litros en 3 segundos. ¿Qué
Rpta.: ........................................................
17. Con S/. 180 se pueden pintar 3 cubos de 9 cm de
volumen arrojará en una hora y cuarto?
arista. ¿Cuántos cubos de 27cm de lado se podrá pintar con S/. 540?
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
13. A una velocidad de 40 km/h un automóvil emplea
18. 20 obreros trabajando 9 días pueden realizar los 3/
6 1/4 de hora en ir de una ciudad a otra, ¿cuánto tiempo se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido el triple?
5 de una obra. Si se retiran 12 hombres. ¿Cuántos días emplearan los restantes para terminar la obra?
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
19. Una empresa posee 3 máquinas de 70% de
tarda 21 horas en comerse todo el pasto que esta a su alcance. ¿Cuánto tardará si la cuerda fuera 3 m?
rendimiento para producir 1 600 envases en 6 días de 8 horas diarias. Si se desea producir 3600 envases en 4 días trabajando 7 horas diarias ¿Cuántas máquinas de 90% se requieren?
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
14. A una vaca atada a una cuerda de 1,5 m de largo
15. Si 24 hombres tardan 18 días en realizar una obra. ¿Cuántos días tardaron 27 hombres en hacer el mismo trabajo?. Rpta.: ........................................................
20. Una cuadrilla de obreros cobró S/. 2400 por 20 días de horas diarias. ¿Cuántas horas habrá empleado diariamente, en otra obra la misma cuadrilla trabajando 30 días y por el cual recibieron S/. 4 500? Rpta.: ........................................................
01. 7 vacas tienen comida para 15 días, si dos de ellas
04. ¿Cuál es la altura de una torre que da 110m de
son vendidas. Para cuántos días alcanzará la comida anterior.
sombra, si en dicho momento una estaca de 2 m proyecta una sombra de 5 m?
A) 16 D) 21
A) 24 m D) 44 m
B) 18 E) 24
C) 20
02. José hace un trabajo en 42 días, Pedro es 30% menos eficiente. ¿En cuántos días hará la obra Pedro? A) 50 D) 64
B) 60 E) 56
C) 54
03. Si por 24 pantalones se paga S/. 96, ¿cuántos se
B) 40 m E) 14 m
C) 110 m
05. En una imprenta 10 máquinas imprimen 12 millares de papel en 4 horas. ¿Cuántas horas necesitarán 20 máquinas de la misma eficiencia para imprimir el triple de millares de papel? A) 6 D) 30
B) 8 E) 2
C) 9
pagará por los 7/8 de millar de pantalones? A) S/. 3 500 D) S/. 3 800
B) S/. 3 200 E) S/. 3 600
C) S/. 3 100
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Compendio CAPÍTULOde Ciencias VIII-D
A ri tmétic a
24 OBJETIVOS • Reconocer qué magnitudes intervienen en el cálculo del interés. • Poder tener una idea de qué tipo de interés aplican las entidades financieras y cómo elegir un mejor pago. • Manejar en distintos periodos la tasa y el tiempo.
MOTIVACIÓN: “La señora Lucha compra un artículo por el valor de S/.500 y como no entiende mucho de esto que son los créditos, prefire pagar la deuda en 6 cuotas fijas mensuales, a pesar que el cajero de la tienda le ofrece el pago rotativo (monto ÷ 24 = Pago mínimo)”. ¿Eligió bien la señora Lucha o no? (tasa: 5% men).
Veamos la siguiente tabla
MES 1 2 3 4 5 6
CAPITAL S/. 500,00 S/. 375,00 S/. 293,75 S/. 208,44 S/. 118,86 S/. 18,86
TASA=
5%
INTERÉS S/. 25,00 S/. 18,75 S/. 14,69 S/. 10,42 S/. 5,94 S/. 0,94
MONTO PAGO ÓPTIMO PAGO FIJO PAGO MÍNIMO S/. 525,00 S/. 150 S/. 98,51 S/. 21,88 S/. 393,75 S/. 100 S/. 98,51 S/. 16,41 S/. 308,44 S/. 100 S/. 98,51 S/. 12,85 S/. 218,86 S/. 100 S/. 98,51 S/. 9,12 S/. 124,80 S/. 100 S/. 98,51 S/. 5,20 S/. 19,80 S/. 20 S/. 98,51 S/. 0,83 TOTAL= S/. 570 S/. 591,05 MENSUAL DIFERENCIA S/. 21,05 A FAVOR DEL CLIENTE
En ella vemos que el crédito rotativo o pago mínimo es rentable cuando se paga más de lo que nos dice el recibo y a su vez mejor que pagar cuotas fijas. Esta diferencia de S/. 21,05 sería mayor si la primera u otras de las cuotas fueran mayores en la columna de pago óptimo. ¿Por qué?.
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A ri tmétic a
REGLA DE INTERÉS SIMPLE DEFINICIÓN
Tasas Equivalentes:
Llamamos interés al beneficio generado por un bien o capital, que ha sido prestado o depositado durante un periodo de tiempo a una cierta condición financiera (tasas).
Diremos que:
I=C
r
%t
4% mensual
Elementos que intervienen en el Cálculo del Interés 1 . CAPITAL Lo denotaremos con la letra “C” y es el dinero invertido o el bien prestado.
4.
M=C+I=C
+ Cr% t = C ( 1 + r%t )
Donde por lo general la tasa se encuentra en años.
FÓRMULAS DEL INTERÉS 1.
3. TASA O rédito, la denotamos con el símbolo “r%”, quiere decir r partes de cada 100 unidades prestadas en una unidad de tiempo. Ejemplo: * 6% mensual <> C ada m es se r ecibe 6 partes de cada 100 partes del capital prestado. * 12% trimestral <> Cada tres meses se recibe 12 partes de cada 100 partes del capital prestado. * 35% semestral <> Cada 6 meses se recibe 35 partes de cada 100 partes del capital prestado.
MONTO Lo denotamos con la letra “M” y es igual a la cantidad final de cada periodo o la suma del capital y los intereses generados o producidos por el mismo.
2. TIEMPO Es el período durante el cual se entra el capital y lo denotamos con la letra “t”. Tomaremos en consideración: * 1 mes comercial < > 30 días * 1 año comercial < > 360 días * 1 año común < > 365 días * 1 año bisiesto < > 366 días
8% Bimestral 12% Trimestral 16% Cuatrimestral 24% Semestral 48% Anual 4 % Diario 30
Si la tasa y el tiempo están en un mismo periodo: I = C × r% t
2.
Si la tasa está en años y el tiempo en meses: I=
3.
C × r% t 12
Si la tasa está en años y el tiempo en días: I=
C × r% × t 360
Convertido a pdf por Eddier J. Cuela Humpire
Compendio de Ciencias VIII-D
A ri tmétic a
Problema desarrollado
Problema por desarrollar
1. Demostrar que:
1. Demostrar que
Interés= Capital × tiempo
espacio= velocidad
× tasa
× tiempo
Resolución:
Resolución: Usando magnitudes directo o inversamente proporcional tenemos:
DP. capital S/. 1 C
interés S/. 1 I 1 1.1.100%
=
DP. tasa 100% R%
Interés Capital × tiempo × tasa c
∴
DP. tiempo 1 año t
t
R%
Interes = Capital × tiempo × tasa
01. Calcule el interés producido por S/. 4 800 que se
06. ¿Cuál es el capital que se coloca al 25% durante
han impuesto al 30% durante 3 años.
3 años, para obtener un interés de S/. 1 620?
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
02. ¿A qué tasa debo imponer mi capital de S/. 6 000
07. Calcule el interés producido por S/. 3 600 al 5%
para que en 7 meses el monto sea S/. 8 100?
trimestral durante 7 meses.
Rpta.: ........................................................
Rpta.: ........................................................
03. Halle el capital que colocado al 6% quincenal produce en 2 meses un monto de S/. 6 200. Rpta.: ........................................................
04. Se deposita S/. 720 a una tasa del 30% anual produciendo un interés de S/. 36. ¿Cuánto tiempo estuvo el capital depositado? Rpta.: ........................................................
05. ¿Cuál es el monto que se tendrá por un capital de S/. 7 200 colocados al 48% durante 2 años y 3 meses? Rpta.: ........................................................
08. A qué tasa de interés la suma de S/. 20 000 genera un monto de S/. 28 000 colocado a interés simple durante 1 año 4 meses. Rpta.: ........................................................
09. La cuarta parte de un capital se presta al 20% y el resto al 16%. Si en 8 meses se obtuvo un monto total de S/. 16 700. Calcule el capital. Rpta.: ........................................................
10. Los 2/7 de un capital se impone al 20% y el resto al 40%. Si luego de 9 meses el monto es S/. 7 040. Halle el capital. Rpta.: ........................................................ Convertido a pdf por Eddier J. Cuela Humpire