ARITMÉTICA TEMA 1
RAZONES Y PROPORCIONES MAGNITUDES PROPORCIONALES SNI3A1
DESARROLLO DEL TEMA
1. MAGNITUD
Gráficamente:
Es todo aquello que puede ser medido; ejemplo: el área de un terreno, la edad de una persona, etc.
A Costo (S/.) 10
2. MAG MAGNIT NITUD UDES ES PRO PROPO PORC RCIO IONA NALE LESS Dos magnitudes serán proporcionales si son dependientes entre sí, es decir, si una de ellas varía, la otra también varía.
6 4 2
3. CL CLAS ASES ES DE MA MAGN GNIT ITUD UDES ES
1 2 3 4 5
A) Magnitud Magn itudes es Dire Directa ctamente mente Prop Proporc orciona ionales les (DP) También denominadas simplemente proporcionales. Las magnitudes «A» y «B» son directamente proporcionales (D.P.), cuando el cociente entre sus valores correspondientes es una constante. Es decir: A D.P.B ↔
A = k (constante) B
Esta gráfica nos indica que a medida que «B» (Nº de Kgs de arroz) aumenta; también «A» costo aumenta, o si «B» disminuye también «A» disminuye.
B) MAGNITUDES MAGNITUDES INVERSAMENT INVERSAMENTE E PROPORCIONALES (I. P.) Dos magnitudes «A» y «B» son inversamente proporcionales cuando el producto entre sus valores correspondientes es una constante. Es decir:
o también A = BK Se denota: denota: A a B Si una magnitud se duplica, triplica, cuadruplica, etc. la otra magnitud lo realiza en la misma relación. Ejemplo: Sean las magnitudes «costo» del kg. de arroz y «cantidad» de arroz. Valoress corresp correspondien ondientes tes Magnitudes Valore Costo
2
4
6
10
...
Kgs. arroz
1
2
3
5
...
Del cuadro, observamos que si dividimos el costo entre el número de kgs de arroz se obtiene una cantidad constante.
SAN MARCOS REPASO 2014 – I
B (kg. de arroz)
1
A IP B ↔ A.B = k (constante (constante)) o también: A =
k B
Se denota: A 1 B α Esto significa que al duplicarse «A», «B» se reduce a su mitad, si «A» se cuadruplica «B» si reduce a la cuarta parte, etc. Ejemplo: Un móvil al recorrer un tramo con una velocidad de 20 km/h se demoró 8 horas, si duplica su velocidad, entonces se demorará: Como duplica su
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TEMA 1
RAZONES Y PROPORCIONES - MAGNITUDES PROPORCIONALES
b) RAZÓN GEOMÉTRICA
velocidad se demorará menos tiempo en recorrer el mismo tramo específicamente la mitad del tiempo; es decir
Es la comparación de dos cantidades mediante la división de dichas cantidades. Sean a y b los números, entonces:
8 horas = 4 horas. 2
Observamos:
a k = b
Valores correspondientes
Magnitudes Velocidad Tiempo
20
40
80
...
8
4
2
...
Donde: a: Antecedente b: Consecuente k : Valor de la razón
RECUERDA:
Del cuadro, observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtienen siempre, para este cuadro, 160 una cantidad constante.
a partir de aquí en adelante al término razón y no especificar de que clase es, hablaremos de la razón geométrica.
Gráficamente:
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (SRGE)
A (velocidad) 80
Es un conjunto de razones todas iguales entre s í que poseen el mismo valor el cual se convierte en el valor de toda la serie.
60 40
a c m = = ........ = =k b d n
20
Se cumple.
B 2
4
6
a + c + ...... + m = k b + d + ...... + n
8 (tiempo)
4. PROPIEDADES A) Si
A D.P. B A D.P. C
B) Si
A D.P. B A I.P. C
a × c × ...... × m númeroderazones = k b × d × ....... × n ⇒
A = K B.C
a) SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES CONTINUAS a b c = = = k b c d
⇒ A.C = K B.D
Luego:
D.P. D
c = dk b = dk 2 a = dk 3
RAZÓN Es la comparación entre dos cantidades, la misma que se establece a través de dos operaciones matemáticas lo cual determina las dos clases de razones.
PROPORCIÓN Es el resultado de tener dos razones de igual valor. Pueden ser:
a) RAZÓN ARITMÉTICA Es la comparación de dos cantidades mediante una diferencia. Sean a y b los números, con a mayor que b, tenemos:
a) PROPORCIÓN ARITMÉTICA * DISCRETA:
Cuando los términos medios son diferentes entre si, al último término se le llama cuarta diferencial. a – b = c – d a y d : extremos b y c : medios d : cuarta diferencial
a – b = r
Donde: a: Antecedente b: Consecuente r : Valor de la razón
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ARITMÉTICA
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RAZONES Y PROPORCIONES - MAGNITUDES PROPORCIONALES
* CONTINUA:
a y d : extremos
Cuando los términos medios son iguales y a cada uno de ellos se les llama media diferencial o media aritmética y al último término se le llama tercera diferencial. a – b = b – c a y c : extremos c : tercera diferencial b : media diferencial ó aritmética
b y c : medios d
: cuarta proporcional
* CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales y a cada uno de ellos se les llama media proporcional o media geométrica y al último término se le llama tercia o tercera proporcional.
Se observa b = a + c ; c < b < a 2
a b = b c
b) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA * DISCRETA:
Es cuando los términos medios son diferentes entre sí, al último término se le llama cuarta proporcional.
ayc :
a c = b d
extremos
c
: tercera proporcional
b
: media proporcional
se observa: b = a.c
PROBLEMAS R ESUELTOS
Problema 1
Problema 2
Una obra la pueden hacer 28 hombres en cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se necesitarán aumentar para hacer 1/4 de la obra en un tiempo 2/7 del anterior, trabajando la mitad de las horas diarias? A) 24 B) 23 C) 21 D) 22 E) 18 Nivel Intermedio
NIVEL INTERMEDIO
Si dos personas tienen 40 y 30 años. ¿Dentro de cuántos años la relación de sus edades será de 6 a 5? A) 10 B) 15 C) 20 D) 22 E) 30
UNMSM 2008-II
Resolución:
NIVEL FÁCIL UNMSM 2006-II
Sea: H: cantidad de hombres M: cantidad de mujeres
Resolución: H M = 8 15 H+M H M = = 8 + 15 8 15 H = 240 M = 450
Sea X el número de años
Resolución:
40 + x 30 + x = 6 5 x = 20
# Obreros Obra # días.h / d 28 4 7.2 28 + x 1 2.1 # OBREROS D.P OBRA # OBREROS I.P #DIAS.h/d OBREROS × TIEMPO = K OBRA 28 × 7 × 2 ( 28 + x ) 2 × 1 = 4 1 49 = 28 + x x = 21
Respuesta:
C) 20
Si llegan 30 mujeres Problema 3
M = 450 + 30 = 480
Antes que empiece una asamblea había 690 personas y por cada 8 varones había 15 damas. Iniciada la asamblea llegaron 30 damas. Hallar la nueva relación de los varones con respecto a las damas. A) 24/25 B) 1/2 C) 1/3 Respuesta: C) 21 D) 8/45 E) 7/16
SAN MARCOS REPASO 2014 – I
3
H = 240 Entonces la nueva relación será: H 240 1 = = M 480 2
Respuesta:
ARITMÉTICA
B) 1/2
TEMA 1
RAZONES Y PROPORCIONES - MAGNITUDES PROPORCIONALES
PROBLEMAS DE CLASE
NIVEL I 1.
7.
Si a, b y c ∈ Z +; a – 1 = b – 2 = c – 3 y a +1 b + 2 c + 3 c2 – b2 = 125, hallar a. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
2.
3.
4.
5.
6.
La relación geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de dichos números? A) 24 B) 26 C) 32 D) 36 E) 1 8 Una rueda A de 90 dientes engrana con otra rueda B de 18 dientes. Fija al eje de B se encuentra otra rueda C de 114 dientes que engrana con otra rueda D de 19 dientes. ¿Cuántas vueltas habrá dado D cuando A haya dado 245 vueltas? A) 7350 B) 7375 C) 7400 D) 7425 E) 7450 Un burro sujeto a un árbol por medio de una cuerda de 3m de longitud, se demora dos días en comer toda la hierba que está a su alcance. ¿Cuánto tiempo se demorará si la cuerda tuviera 9m? A) 6 B) 12 C) 15 D) 21 E) 1 8
2 2 calcular: E = a + b – 2ab b2 – 2cb + bd A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16
8.
9.
En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3 patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aumentaran 33 gallinas la cantidad de éstas sería igual a la cantidad de gansos, calcular cuántos patos hay en el corral. A ) 15 B) 13 C) 12 D) 1 6 E) 18
TEMA 1
Para pintar una esfera de 40 cm de diámetro se gastó 64 soles. ¿Cuánto se gastará para pintar una esfera de 50 cm de diámetro? A) S/.80 B) S/.160 C) S/.100 D) S/.74 E) S/.90
10.
11.
12.
ARITMÉTICA
13.
En una joyería, se sabe que el precio de cualquier diamante es proporcional al cuadrado de su peso; un diamante que cuesta 2500 dólares se rompe en dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es 2/3 de la otra. Si las dos partes son vendidas, entonces podemos afirmar que: A) Se perdió 1300 dólares B) Se ganó 1200 dólares C) Se perdió 1200 dólares D) Se ganó 3800 dólares E) No se ganó ni se perdió
14.
Trescientos pantalones de doble costura pueden ser remallados por 24 varones o 32 mujeres en 20 días trabajando 9h/d, ¿cuántas mujeres deben reforzar a 21 varones que van a remallar 200 pantalones de triple costura en 18 días trabajando 8 horas diarias? A) 12 B) 15 C) 13 D) 20 E) 1 8
15.
Para las magnitudes M y N se tiene que en el intervalo ]0; a] presenta proporcionalidad inversa y en [a; u] proporcionalidad directa. Si P = (2; 7), determinar el punto Q, (Ver figura).
Si 24 obreros pueden fabricar 100 carpetas en t días, 5 días después de haber iniciado el trabajo, 6 de ellos se enferman y reducen su eficiencia a la mitad, de ese modo el trabajo se entrega con 6 días de retraso. Halle el valor de t. A) 41 B) 43 C) 45 D) 47 E) 42
NIVEL II
2
Si: E = k. D ¿en qué fracción C aumenta C si E disminuye a sus 3/4 partes y D aumenta en su cuarta parte? A) 13/12 B) 1/12 C) 1/13 D) 12/ 13 E) 3/4
valorizada en S/.60 000). ¿Qué precio tendrá un terreno de forma cuadrada cuyo perímetro es los 3/4 del anterior y está ubicado a 7 km de Lima? A) S/. 270 000 B) S/. 135 000 C) S/. 45 000 D) S/. 90 000 E) S/. 180 000
Si: a = b = c , además: a – c = b c d 12; b – d = 6,
Las edades de Verónica y Elmer son como 5 es a 7, respectivamente. Hace cuatro años la suma de sus edades era 28 años. Si dentro de «a» años sus edades serán como «a» es a «a +1». ¿Cuál será la edad de Verónica dentro de «3a» años? A) 15 B) 19 C) 24 D) 25 E) 27 Jaimito pintó la cara de un cubo en 40 minutos, si ahora está pintando otro cubo cuya arista es el triple del anterior. ¿ A qué hora terminará si empezó a las 10:40 a.m.? A) 4:40 p.m. B) 12:40 p.m. C) 2:40 p.m. D) 6:10 p.m. E) 8:20 p.m. Suponiendo que el costo de los terrenos es D.P a su área e I.P a la distancia que lo separa de Lima. Un terreno de forma cuadrada a 28 km al sur de Lima está 4
N
R
P
7 Q
b
O
2
a
10
u
M
SAN MARCOS REPASO 2014 – I
RAZONES Y PROPORCIONES - MAGNITUDES PROPORCIONALES
7 5 A ) 2; 5 5 C) 5; 5
D)
(2
5; 7
)
1 E) 5; 7 16.
17.
A) B) C) D) E)
7 5 B) 2 5; 5
Las llantas delanteras de un tractor tienen 180 cm de longitud de circunferencia y las llantas traseras 300 cm. Calcule la distancia que necesita recorrer el tractor para que la rueda delantera de 360 vueltas más que la trasera. A ) 1860 m B) 1620 m C) 1500 m D) 1280 m E ) 1320 m
A ) 376 0
Sobrarán 45 Faltarán 45 Sobraran 35 Faltarán 35 Faltarán 15
B) 3780 C) 3770 D) 37 90 E) 3800
18.
19.
Al pintar las caras de dos cubos iguales, me sobraron 60 tarros de pintura y al pintar otros tres cubos iguales de volúmenes 19/8 más que los anteriores, me sobraron 3 tarros. ¿Cuántos tarros me sobrarán o faltarán al pintar un cubo de cada tipo?
SAN MARCOS REPASO 2014 – I
Diez obreros pueden hacer una obra en 12 días, trabajando 6h/d luego de iniciado el trabajo se quiere terminar en solo 8 días disminuyendo 1/6 de la obra y aumentando a 8h/d el trabajo. ¿Cuántos días trabajaron 8h/d? A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 5 En un barco pesquero se observa que la cantidad de peces atrapados por hora, es D.P al tiempo transcurrido hasta la hora 6 de trabajo, a partir de allí en adelante es I.P al tiempo total transcurrido hasta la hora 10 de trabajo, de donde a partir de allí regresó a su normalidad. Si hasta la hora 3 de trabajo se extrajo 2100 peces. Calcule la cantidad de peces que se extrajo en la hora 15.
5
20.
Edgard y Leticia asisten a una fiesta donde solo ingresan docentes, a la salida de la fiesta Edgard le dice a Leticia, observé, que el número de colegas varones y mujeres están en la relación de 5 a 3 respectivamente y Leticia le comenta a Edgard que ella observó que la relación entre el número de colegas varones y mujeres es de 13 a 7 respectivamente. Halle la suma de las cifras de la cantidad de docentes que asistieron a la fiesta. A ) 9 B) 5 C) 11 D) 8 E) 7
ARITMÉTICA
TEMA 1