ARITMÉTICA tema 10
DIVISIBILIDAD II SnIi2a10
DESARROLLO DEL TEMA I. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Llamamos Criterios de Divisibilidad a ciertas
reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.
A. Criterios de divisibilidad entre potencias de 2 • Un numeral es divisible entre 2(21) si y solo sí su última cifra es par. • Un numeral es divisible entre 4(22) si y solo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 4. • Un numeral es divisible entre 8(23) si y solo si el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 8. ° ° abcde = 2 ⇔ e = 0 ó 2 ° ° abcde = 4⇔ de = 00 ó 4 abcde = 8° ⇔ cde = 000 ó 8°
B. Criterios de divisibilidad entre 3 ó 9 Un numeral es divisible entre 3 (o entre 9) si y solo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9) ° ° abcd = 3 ⇔ a + b + c + d = 3
° ° abcde = 5 ⇔ e = 0 ó 5
° ⇔ de = 00 ó ° abcde = 25 25
° ⇔ cde = 000 ó ° abcde = 125 125
D. Criterios de divisibilidad entre 11 Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11. ° → a + c + e – (b + d) = ° N = a b c d e = 11 11 +–+–+ Tambien:
° ∑ Lugar impar – ∑ lugar par = 11
E. Criterios de divisibilidad entre 7 Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1, 3, 2, –1, –3, –2, 1, 3, … y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7. ° → g + 3f + 2e – b – 3c – 2d + a = ° N=a b c d e f g= 7 7 1231231 + –
° ° abcd = 9 ⇔ a + b + c + d = 9
+
F. Criterios de divisibilidad entre 13
C. Criterios de divisibilidad entre potencias de 5 • Un numeral es divisible entre 5 si y solo sí su última cifra es 0 ó 5.
Un numeral es divisible entre 13 y si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) 1, –3, –4, –1, 3, 4, 1, –3, –4, … y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13.
• Un numeral es divisible entre 25 si y solo si su última cifra es el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 25.
1 4 3 1 4 3 1
• Un numeral es divisible entre 125 si y solo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 125.
+ – + ° a + 4b + 3c – d – 4e – 3f + g = 13
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11
a b c d e f g
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Tema 10
DIVISIBILIDAD II
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Problema 2
Calcular el valor de «x» sabiendo que 67 × 414 es divisible entre 9.
Cuál es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a «M» y «N» en el numeral 87653MN para que sea divisible entre 125?
A) 5 B) 2
A) 15
C) 6
B) 12
D) 9
C) 16
E) 4
NIVEL FÁCIL
D) 13 E) 14
Nivel Fácil
Resolución: ° 67 × 414 = 9
° Entonces: 6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 = 9 ° 22 + x = 9 x=5
Problema 3 ¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral 14y17 sea divisible entre 11? A) 7 B) 4 C) 5 D) 9 E) 8 Nivel Fácil
Resolución
° 87653MN = 125
° Como 125 = 53 3MN = 125 = 375
Luego: M = 7 ; N = 5
Respuesta: A) 5
Respuesta: B) 12
Resolución
° 14y17 = 11 +–+–+
Entonces: ° 1 – 4 + y – 1 + 7 = 11 ° 3 + y = 11 y=8
Respuesta: E) 8
PROBLEMAS de clase EJERCITACIÓN 1. Si el numeral 532a4 es múltiplo de 4; entonces, la suma de los valores que puede tener “a” es: A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 2. Si el numeral 3a3aa es múltiplo de 8; entonces, la cantidad de valores que puede tener “a” es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. Si el numeral 582a5 es múltiplo de 25, entonces, la suma de los valores que tiene “a” es: A) 9 B) 14 c) 10 D) 8 E) 12 4. Si el numeral: aa32aa es múltiplo de tres; entonces, la suma de los valores que tiene “a” es: A) 12 B) 11 C) 9 D) 15 E) 6
Tema 10
5. Si el numeral a23abb es múltiplo de 7; entonces, el valor de “b” es: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
PROFUNDIZACIÓN ° 6. Hallar (a + b), si 2aa3b = 99 A) 7 B) 6 C) 10 D) 4 E) 5 7. Sabiendo que: ° 4ab58a = 56 Hallar: a + b A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 8. Calcular “a – b” si el número 4a4bab es divisible entre 63. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Determine el máximo valor de (x + y) para que el numeral 28x75y sea divisible por 33
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A) 9 D) 12
B) 10 E) 13
C) 11
SISTEMATIZACIÓN 10. ¿Cuál es el resto de dividir 4 4 4 ... 44 entre 7? (20 cifras) A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. En la siguiente sucesión: 3 + 7(1); 3 + 7(2); 3 + 7(3); ... ; 3 + 7(431) ¿Cuántos términos no son divisibles por 15? A) 420 B) 404 C) 403 D) 402 E) 345 12. ¿Cuántas cifras 5, como máximo hay que colocar a la derecha del número 2143 para que el resultado sea múltiplo de 9; sabiendo además, que dicha cantidad de cifras es menor que 87? A) 70 B) 75 C) 79 D) 85 E) 90
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