ARITMÉTICA TEMA 11
NÚMEROS PRIMOS SNII2A11
DESARROLLO DEL TEMA I. INTRODUCCIÓN
B. Números primos
Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia aparecen numerosos estudios. Los pitagóricos tuvieron gran interés por ellos debido a que pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y "mágicas". Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser "adorados" por los discípulos de Pitágoras. En el libro "Los Elementos" de Euclides (300 a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, ya aparecen estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos: • Teorema HAY INFINITOS NÚMEROS PRIMOS. Si quieres puedes ver la prueba que hace Euclides de este teorema. Se trata, posiblemente, de la primera demostración conocida mediante el método de reducción al absurdo; y este método consiste en suponer cierto lo contrario de lo que se quiere probar para llegar a una contradicción descubriendo falsa la suposición hecha. Hubo, y sigue habiendo muchos intentos para determinar qué números son primos. Uno de los primeros que se conocen es un procedimiento heurístico debido a otro importante matemático griego llamado ERATÓSTENES.
II. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE DIVISORES A. El número uno (Caso particular)
2
1
3 Divisores Divisores
C. Los Números compuestos Son aquellos números que tienen 3 o más divisores. Así: 4, 6, 1
2
4
1
2
3
6 Divisores Divisores
D. Números primos relativos Es aquella serie de números en la cual todos ellos admiten como único divisor común a la unidad; aunque que independientemente sean compuestos: 4, 11, 21, 35 144424443 1 Divisor común
E. Números primos entre sí (2 a 2) (PESI 2 a 2) Es toda serie de números primos relativos o absolutos, en la cual se cumple que tomando los números de 2 en 2, admiten como único divisor común a la unidad Así: 8, 13, 15 8 y 13 son PESI 14243
13 y 15 son PESI 14243 1 Divisor común
Uno es número primo
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1
1 Divisor común
Tiene un sólo divisor: Él mismo. Así: 1 1 Divisor
Son aquellos números que tienen únicamente 2 divisores: Ellos mismos y la Unidad. Así: 2 3
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NÚMEROS PRIMOS
8 y 15 son PESI 14243
C. Suma de divisores de un número Sea el número: N Donde: N = aa × bb ×cg
1 Divisor común Por lo tanto 8, 13 y 15 son PESI 2 a 2.
SD(N) =
III. DESCOMPOSICIÓN DE UNA NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS. (DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA)
Ejm.: Sea el número: 90 90 45 15 5 1
Ejm.: 7200 7200 3600 1800 900 450 225 75 25 5 1
2 ⇒ 7200 = 25 × 35 × 52 donde 2, 2 3 y 5 son números diferentes 2 2 2 2 3 5 5
6
SD(90) = 3 × 13 × 6 = 234
D. Producto de los divisores de un número PD(N) = NCD(N) Ejm.: Sea el número 60 ⇒ CD(60) = 12
E. Suma de las inversas de los divisores de un número
Ejm.: Sea el número: 60 Donde: 60 = 22 × 31 × 51
SID(N) =
⇒ Cd(60) = (2+1)(1+1) (1+1)
13
Luego: PD(60) = 6012 = 606
⇒ CD(N) = (a+1)(b+1)(g+1)
2 2 2 5
21+1 – 1 32+1 – 1 51+1 – 1 × × – 1 – 1 – 1 2 3 5 3
Sea el número: N Donde: N = aa × bb ×cg
60 30 15 5 1
2 ⇒ Donde: 90 = 21 × 32 × 51 3 3 5
SD(90) =
A. Cantidad de divisores de un número
aa+1 – 1 bb+1 – 1 c g +1 – 1 × × a –1 b –1 c –1
142431424314243
3
2
2
SD(N) N
Ejm.: Sea el número 90 ⇒ SD(90) = 234
Cd(60) = 12 divisores
Luego: SID(90) = 234/90 = 2.6
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Indique el valor de verdad I. 221 no es primo II. 2 y 3 son los únicos números consecutivos y primos a la vez III. Todo número que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de ellos. A) FFV B) FVV C) VVF D) VFF E) VVV
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NIVEL FÁCIL UNMSM 2005 – II
Resolución: I. Se extrae la raíz cuadrada de 221
221 = 14, 8
Verificamos si 221 es múltiplo de los primos menores que 14,8 221 = 13 × 17 Entonces vemos que 221 no es número primo ............... (V) II. 2 y 3 son los únicos números primos consecutivos.............. (V)
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III. Verificamos mediante un ejemplo 30 divide a N, donde N=12×15×42 Pero 30 no divide a 12, no divide a 15, ni tampoco divide a 42 En consecuencia no divide a algún factor de N................ (F)
Respuesta: C Problema 2 Si n=28×32×54, ¿cuántos son los divisores positivos de n que son múltiplos 225?
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NÚMEROS PRIMOS
A) 64 D) 4
B) 24 E) 22
C) 27
Resolución:
CD = 27
Respuesta: 27
NIVEL FÁCIL UNMSM 2005 – II
Resolución: Si queremos los divisores múltiplos de 225, separamos el factor 225 de la descomposición canónica: n = 32×52×(28×52) Luego aplicamos cantidad de divisores a los factores que están entre paréntesis n = 32 × 52 × (28 × 52) 1442443 CD = (8+1)(2+1)
A = 32(6) × 6n = 20 × 6n A = 22 × 5 × 2n × 3n A = 2n+2 × 3n × 5 CD(A) = 444 + 4
Problema 3 Sea
A = 32 000...00 n cifras
Divisores no compuestos
CD(A) = 448 (6)
CD(A) = (n+3)×(n+1)(1+1) = 448
Calcule “n” si A tiene 444 divisores compuestos.
CD(A) = (n+3)(n+1) = 224
A) 13
B) 11
∴ n = 13
D) 15
E) 16
C) 12
= (13+3) (13+1)
Respuesta: 13
NIVEL FÁCIL
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
PROFUNDIZACIÓN
SISTEMATIZACIÓN
1. ¿Cuántos divisores de 720 no son múltiplos de 6? A) 30 B) 16 C) 14 D) 10 E) 20
6. Sabiendo que un número: N = 25 × 34 × p × q es los 3/11 de la suma de sus divisores. Hallar (p + q) si p y q son primos absolutos. A) 17 B) 18 C) 14 D) 9 E) 22
10. Si A = 9 × 14n y B = 126n, además, la cantidad de divisores de A es a la cantidad de divisores de B como 3 es a 11, calcule la cantidad de divisores de (2n)n. A) 15 B) 12 C) 10 D) 11 E) 9
2. ¿Cuántos divisores de 215 × 320 no son divisores de 28 ni 35? A) 105 B) 128 C) 321 D) 322 E) 800 3. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1, 3, 7, ó 9? A) 5 B) 8 C) 10 D) 9 E) 12 4. Sabiendo que 12 × 30n tiene el doble de la cantidad de divisores de 12n × 30. Hallar “n”. A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 12 5. Se sabe que N = 22a.3b tiene aa divisores. ¿Cuántos divisores tendrá abba, dar de respuesta la suma de cifras? A) 18 B) 9 C) 12 D) 45 E) 27
7. ¿Cuál es el menor número que tiene 14 divisores y es múltiplo de 14? Indicar la suma de sus cifras. A) 12 B) 14 C) 16 D) 48 E) 7 8. Hallar la suma de todos los números de cuatro cifras, tales que sean divisibles por 11 y posean 15 divisores. A) 9801 B) 1936 C) 2441 D) 11 737 E) 7137 9. Hallar la suma de cifras del número abc, sabiendo que a + c = b y que dicho número tiene 9 divisores. A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
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11. Si M = 24m × 15m+n × 25n tiene 616 divisores múltiplos de 5 y 462 divisores múltiplos de 45, calcule el valor de m × n. A) 8 B) 6 C) 9 D) 12 E) 10 12. Si tenemos que: (b – a)
b a N = a × (a + 1) × ab Desc.canónica
y además tiene 20 divisores compuestos, calcule la suma de los divisores de N y dé como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 24 B) 18 C) 30 D) 12 E) 6
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