ARITMÉTICA TEMA 14
RACIONALES II SNII2A14
DESARROLLO DEL TEMA I. NÚMEROS DECIMALES A. Número Decimal Es una expresión en forma lineal de una fracción; la cual posee una parte entera y otra parte no entera, separados por una coma: 24 , 7531 Parte entera
Parte no entera Coma decimal
B. Clasificación de los números decimales 1. Decimal exacto Presenta un número limitado de cifras en la parte no entera. Ejemplo: 0,14 0,3152
32,005
Observaciones:: • Una fracción propia irreductible, dará origen a un decimal exacto; cuando el denominador es una potencia de 2 de 5 o del producto de potencias de 2 y 5 únicamente. • La cantidad de cifras decimales está dada por el mayor exponente de 2 ó 5 contenido en el denominador de la fracción irreductible. Ejemplo: Las siguientes fracciones propias son irreductibles:
La cantidad de cifras periódicas está dado por el menor número formado únicamente por cifras “nueve”, que contiene exactamente al denominador de la fracción irreductible. Tabla de los Nueves
9 = 32 99 = 32 × 11 999 = 33 × 37 9999 = 32 × 11 × 101 99999 = 32 × 41 × 271 999999 = 33 × 7 × 11 × 13 × 37
Las siguientes fracciones son irreductibles; entonces: N • Origina 2 cifras periódicas (33 está en 99). 33 ↓ 2 cifras N • Origina 4 cifras periódicas (101 está en 9999) 101 ↓ 4 cifras
N ; origina 2 cifras decimales: 0, ab. 22 N • ; origina 4 cifras decimales: 0, abcd. 54 N • 2452 ; origina 4 cifras decimales: 0, abcd.
•
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2. Decimal inexacto Posee infinita cantidad de cifras en la parte no entera. Se presentan dos casos: a. Periódico puro Presenta el período, inmediatamente después de la coma decimal. Ejemplo: 0,6 = 0,666 ... 12,35 = 12,353535 ... Observaciones: Estos números decimales son originados por fracciones irreductibles cuyo denominador está formado por factores primos diferentes a 2 y 5. Ejemplos: 23 4 • = 1,3 • = 2,09 11 3 35 • 333 = 0, 105
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RACIONALES II
Si el denominador de la fracción irreductible es el producto de varios factores primos diferentes, el número de cifras periódicas está dada por el MCM de la cantidad de cifras de los menores números formados por cifras 9, que contengan a los factores primos indicados. Ejemplo: 5 7 × 11 × 101
C. Fracción generatriz Fracción común e irreductible equivalente a un número decimal. • Para un decimal exacto: 0, abcd =
abcd 10000
Si posee parte entera:
7 → 6 cifras periódicas 11 → 2 cifras periódicas
E, abcd = E + 0, abcd
Entonces la fracción señalada tendrá: MCM (6, 2, 4) = 12 cifras periódicas.
• Para un decimal inexacto periódico puro: = 0, abcd
b. Periódico mixto Presenta el periodo luego de una cifra o grupo de cifras después de la coma decimal. Ejemplo: 0, 12 = 0,1222... 2,4357 = 2,435757...
abcd 9999
• Para un decimal inexacto periódico mixto: = 0, abxyz
abxyz – ab 99900
Si posee parte entera:
Observaciones: Las fracciones irreductibles que originan estos números decimales, poseen en el denominador producto de potencias de 2 ó 5 y además factores primos diferentes a 2 y 5. Ejemplo: 2 7 • = = 0,085365 2 × 41 82 13 13 = 2 = 0,2954 • 2 × 11 44 Para encontrar la cantidad de cifras periódicas y no periódicas se procede según como se indica en los casos anteriores. Ejemplo: La fracción es irreductible:
E, ab xyz = E + 0,ab xyz
3 cifras no periódicas N 5 cifras periódicas • 23 × 5 × 41
Denominador
Cantidad de cifras
3; 9
1
11
2
27; 37
3
101
4
41; 271
5
7; 13
6
239; 4649
7
73; 137
8
Nota: Si hay 2 o más factores se calculará el MCM de las cantidades de cifras
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1
Resolución:
Un estudiante tiene que resolver ciertos
Sea la cantidad problemas: P
problemas de ciencias en tres días. El
primer día resuelve 3/10 del total, al día
1.er día:
siguiente 4/7 del resto y el último día los 27 problemas restantes. ¿Cuál fue
2.° día:
la cantidad de problemas que resolvió en los tres días?
3.er día:
A) 90
B) 80
C) 70
D) 60
3/10 P
Queda 7/10 P
( ) 3 7 p = 27 7 ( 10 ) 4 7 p 7 10
( )
3 7 p 7 10
UNMSM 2004
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A) 3 h C) 2 h D) 5 h
Respuesta: P = 90
22
horas se llenará el tanque? B) 4 h
P = 90
E) 50
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Resuelve
Problema 2 Un caño llena un tanque vacío en 4 horas y otro llena el mismo tanque en 12 horas. Si se abren ambos caños a la vez estando el tanque vacío, ¿en cuántas
E) 1 h UNMSM 1999
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Resolución: En 1 hora
En 1 hora A y B
1 A⇒ 1 1 4 1 + = 12 3 1 4 B⇒ 12
Los dos caños juntos llenarán el tanque
A) 40 B) 60 C) 50 D) 70 E) 90
5
NIVEL INTERMEDIO
5
x escalones
Resolución: N° de pasos = x 5 En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo caso; por lo tanto: x x = +3 4 5
en 3 horas
Respuesta: 3h 4 Problema 3 Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones, ¿cuántos escalones tiene la escalera?
x escalones
4
Resolviendo: x = 60
N° de pasos = x 4
Respuesta: 60
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
A) 49
m ; hallar: (m + a)2 11 B) 64 C) 81
D) 100
E) 121
1. Si: 0,1a =
PROFUNDIZACIÓN
SISTEMATIZACIÓN
6. Halle la suma de la cantidad de cifras periódicas y no periódicas del decimal que genera.
10. Si la fracción irreductible
M=
2. Hallar “a” si: A) 7 D) 4
7 0,a 3 = 30 B) 1 C) 2 E) 9
3. Calcular (a + n) en: na = 0,83 an A) 7 B) 8 C) 9 D) 10
E) 6
900 27 × 56 × 11 × 37
A) 12
B) 9
D) 11
E) 5
la forma: 0,cb(a + 1).
C) 7
7. Si a = 0,763 donde a y b son b números enteros positivos y el M.C.M(a; b) = 6930; entonces el M.C.D (a;b) es: A) 2 B) 6 C) 3 D) 8 E) 5 8. Hallar la suma de las cifras de la
4. Halla a sabiendo que: 9 2 3,8 a = – 2 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
E) 5
5. ¿Cuántos valores puede tomar N si;
A) 1
N = 0,0ab 37 B) 2 C) 3
D) 4
E) 5
parte entera de N.
N = 0,2 + 0,23 + 0,26 + 0,3 + ... + 11,26 + 11,3 + 11,3 A) 12
B) 14
D) 15
E) 10
9. Hallar a + b, si:
B) 8
D) 12
E) 14
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Calcular: "a + b + c + m + n". A) 16
B) 19
D) 11
E) 15
C) 13
11. ¿Cuántas cifras tiene la parte no periódica de la fracción?
F=
800 31! – 21!
A) 17
B) 18
D) 13
E) 5
C) 15
12. Halle la suma de cifras del periodo que origina la fracción "M": M=
C) 16
26K+1 (k ∈ Z+) 7
A) 31
a b + = 0,9696... 11 3
A) 6
mn a(3a + 1) da origen a un número decimal de
C) 9
B) 25 C) 27 D) 29 E) 23
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