Aula 05 Eixos

5/24/2018

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Disciplina : Elementos de Máquinas

5ª AULA EIXOS E EIXOS-ÁRVORES 5.1 Conceitos Gerais 5.2 Fabricação 5.3 Esforços nas Transmissões http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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Eixos e árvores


Os eixos são elementos de máquinas que têm função de suporte de outros componentes mecânicos girantes como engrenagens, rodas rotativas, polias, etc com a finalidade de transmitir movimento. As árvores, além de suporte, transmitem potência por meio do movimento de rotação que gira transmitindo potência. Uma “Árvore de transmissão” é a que é acionada por uma máquina motriz; a potência é retirada da árvore através de correias ou correntes, geralmente em diversos pontos ao longo de sua extensão. Geralmente, na prática, usa-se apenas o termo eixo para denominar estes componentes. http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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Material de fabricação


Quando se trata de eixo-árvore giratório, o eixo se movimenta juntamente com seus elementos ou independentemente deles como, por exemplo, eixos de afiadores (esmeris), rodas de trole (trilhos), eixos de máquinas-ferramenta, eixos sobre mancais. Os eixos e árvores são fabricados em sua grande maioria de aço ou ligas de aço, pois os materiais metálicos apresentam melhores propriedades mecanicas do que os outros materiais. São utilizados com baixo e medio teor de carbono; os eixos com médio teor de carbono exigem um tratamento térmico superficial, pois estarão em contato permanente com buchas, rolamentos e materiais de vedação. Existem, também, eixos fabricados com aços-liga, altamente resistentes. http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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Material de fabricação

Pelo fato do aço ou liga de aço apresentarem melhores propriedades mecanicas , são mais adequados para a fabricação de elementos de transmissão: · eixos com pequena solicitação mecânica são fabricados em aço carbono; · eixo-árvore de máquinas e automóveis são fabricados em aço-níquel; · eixo-árvore para altas rotações ou para bombas e turbinas são fabricados em aço cromo-níquel; · eixo para vagões são fabricados em aço-manganês. Quando os eixos e árvores têm finalidades específicas, podem ser fabricados em cobre, alumínio, latão. Portanto, o material de fabricação varia de acordo com a função dos eixos e árvores.

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Os eixos, devido à sua própria função, são solicitados a Flexão simples, Torção simples, Porém, há casos em que o cisalhamento, a tração ouFlexo-torção. a compressão pode ser desprezado. Os eixos, devido à sua própria função, são solicitados a flexotorção e quase sempre há predominância de uma das solicitações componentes. Dificilmente os valores de Momento Torçor ( Mt ) e Momento Fletor (Mf ) são da mesma ordem de grandeza.


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Para dimensionar um eixo submetido a Flexo-torção, utiliza-se a seqüência apresentada em seguida: 1. Torque no eixo; 2. Esforço na transmissão; 3. Momento Fletor no Plano Vertical (PV ); 4. Momento Fletor no Plano Horivontal (PH ); 5. Momento Fletor Resultante (Mr ); 6. Momento Ideal (Mi ); 7. Diâmetro da Árvore.


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A figura 4.72 mostra uma barra com seção transversal circular de diâmetro “d”, solicitada por um momento fletor M e um momento de torção T.

Tipos e características de árvores Conforme sua funções, uma árvore pode ser de engrenagens (em que são montados mancais e rolamentos) ou de manivelas, que transforma movimentos circulares em movimentos retilíneos. Quanto ao tipo, os eixos podem ser : maçiços, vazados, conicos, roscados, ranhurados, estriados, cujas caracterisiticas estão descritas a seguir.


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1 Eixos Maciços

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Apresentam a seção transversal circular e maciça, com degraus ou apoios para ajuste das peças montadas sobre eles. Suas extremidades são chanfradas para evitar o rebarbamento e suas arestas internas são arredondadas para evitar a concentração de esforços localizados. Figura 1 – Eixo Maciço

2 Eixos vazados São mais resistentes aos esforços de torção e flexão que os maciços. Empregam-se esses eixos quando há necessidade de sistemas mais leves e resistentes, como os motores de aviões. Figura 2 – Eixo Vazado


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3. Eixos cônicos

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Devem ser ajustados num componente que possua furo de encaixe cônico. A parte ajustável tem formato cônico e é firmemente fixada por meio de uma porca. Uma chaveta é utilizada para evitar a rotação relativa. Figura 3 – Eixo Conico

4 Eixos roscados Possuem algumas partes roscadas que podem receber porcas capazes de prenderem outros componentes ao conjunto. Figura 4 – Eixo Roscado http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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5 Eixos ranhurados


Apresentam uma série de ranhuras longitudinais em torno de sua circunferência. As ranhuras engrenam-se com os sulcos correspondentes das peças a serem montadas neles. Os eixos ranhurados são utilizados quando È necessário transmitir grandes esforços.

Figura 5 – Eixo Ranhurado


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6 Eixos estriados

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Assim como os eixos cônicos, como chavetas, caracterizamse por garantir uma boa concentricidade com boa fixação, os eixosárvore estriados também são utilizados para evitar rotação relativa em barras de direção de automóveis, alavancas de máquinas etc.


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Danos sofridos por Eixos

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Os eixos sofrem dois tipos de danos: quebra e desgaste. A quebra é causada por sobrecarga ou fadiga. A sobrecarga é o resultado de um trabalho realizado além da capacidade de resistência do eixo. A fadiga é a perda de resistência sofrida pelo material do eixo, devido às solicitações no decorrer do tempo. O desgaste de um eixo é causado pelos seguintes fatores:

• Engripamento do rolamento; • Óleo lubrificante contaminado; • Excesso de tensão na correia, no caso de eixos-árvore acionados por correias; • Perda de dureza por superaquecimento; • Falta de lubrificante.


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Conexões e Concentrações de Tensões Degraus e ressaltos são necessários para prover precisão e uma localização axial consistente dos elementos fixados, bem como para criar um diâmetro apropriado para alojar peças padronizadas, tais como mancais. Chavetas, anéis retentores ou pinos transversais são usados para segurar elementos fixados ao eixo a fim de transmitir o torque requerido ou para prender a parte axialmente, cada uma dessas mudanças no contorno contribuirão para alguma concentração de tensões. Chavetas e pinos podem ser evitados usando-se o atrito para fixar elementos ao eixo (colares de engaste).


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EIXOS E EIXOS-ÁRVORES – O CONCEITO TEÓRICO Aula05Eixos-slidepdf.com

1) CONCEITOS GERAIS Eix os s ão elem ent o s d e c o ns tr u ção m ecân ic a, qu e s e d est in am

a suportar outros elementos de construção (polias, engrenagens, rolamentos, rodas de atrito etc.) São classificados em dois tipos:

Eixos (trabalham fixos). Exemplo: o eixo dianteiro de um veículo com tração traseira. Eixos- árvore ( trabalham em movimento). Exemplo : eixos que compõem a caixa de mudanças de um veículo.


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4.2 FABRICAÇÃO


Os eixos-árvore com d < 150 mm são torneados ou trefilados a frio. Os materiais indicados são :

Aço – Carbono

(DIN 1611)

Aço – Liga


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Tensões (DIN 1611) Aços para construção de máquinas (eixos e eixos-árvore)

Aço Liga (DIN 17210)


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Para St5011 (ABNT 1035), recomenda-se a utilização das tensões admissíveis: σfad= 40 a 50 N/mm² (flexão) ζ tad=30 a 50 N/mm² (torção)

Para os demais segurança (K): aços, utilizar os seguintes coeficientes de 5≤ K ≤ 7 (flexão) 6 ≤ k ≤ 9 (torção)

Fatores que serão aplicados em relação à tensão de escoamento do material σe.


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5.3.0) Esforços nas Transmissões


5.3.1) Engrenagens Cilíndricas 5.3.1.1) Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos


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Força Tangencial (Ft) A força tangencial que atua na transmissão é a carga responsável pelo movimento, sendo definida por meio de: 2Mt

Ft 

Ft 

do

P Vp

Em que: Ft - força tangencial [N] Mt - torque [Nmm] Do - diâmetro primitivo [mm] P - potência [W] Vp - velocidade primitiva [m/s]


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Torque


30000 P Mt  . 

n

Sendo: Mt - torque[Nmm] P - potência [W] N – rotação[rpm] π – constante 3,1415...


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Velocidade Periférica Vp   .do .n 60.1000

Em que: P – potência [w] N – rotação [rpm] do – diâmetro primitivo [mm] Vp – celocidde periférica [m/s] Π – constante 3,1415....


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Carga Radial (Fr ) O acionamento da engrenagem motora origem a uma carga radial na engrenagem movida que,dápor sua vez, reage na motora com uma carga de mesma intensidade e sentido contrário. A relaçãodo entre a carga radial e αa. tangencial resulta na tangente ângulo de pressão Fr Ft

 tg

→ Fr = Ft. tg α

Em que: Fr – carga radial [N] Ft – força tangencial [N] α - ângulo de pressão [graus]


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Carga Resultante (Fn)


É a resultante das cargas radial e axial, que se obtém por meio de: Fn  Ft 2  Fr 2 

Fn  Ft cos

ou

Fn  Fr sen

Em que : Fn – carga resultante [N] Ft – carga tangencial [N] Fr – carga radial [N]

Esquematização dos esforços nas engrenagens e mancais , como mostra a figura:

α – ângulo de pressão [graus]


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Eixo-Árvore Plano vertical (PV) Na figura anterior, tem-se que: O momento fletor no plano vertical é determinado em função da carga radial que atua no mecanismo. Como as fibras do eixo sofrem esforços alternados ( tração e compressão), admite-se o giro de 180° e a utilização da representação ao lado:


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Quando se utilizam engrenagens helicoidais, cônicas ou parafuso sem fim, surge outro esforço na transmissão que é a carga axial, originada pela inclinação do ângulo da hélice.


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Tem-se então: Esforço axial Fa Ft

 tg 0


Fa= Ft. tg β0

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Esforços tangencial e radial Força tangencial 2Mt

Ft 

do

Força radial: Fr = FT. tg α Em que: Fa – carga axial [N] Ft – carga tangenciaL [N] Fr – carga radial [N] α - ângulo de pressão – ân ulo de inclina ão da hélice


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Momento fletor no PV Esforços nos mancais: ∑M A = O RVB (a + b) + Fr .a + f a.r o = 0 R VB 

Fr .a  Fa .ro

∑MB= 0

(a  b)

R A. (a+b) – Fr .b + Fa. r o = 0 R AV 

Fr .b  Fa .ro (a  b)


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Momento fletor 0

M = R AV.x x >0 →M= 0 x = a → M= R AV. a

a < x < a+b M=a →M = R Av.a + Fa. r o – Fr (x – a) x=a →M= R AV.a + Fa.r o x = a+b → M=0


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Momento fletor no PH 5/24/2018


Esforços nos mancais: RBH ( a+b) = FT.a

∑M A =0 F T .a R B H  a  b  R AH 

R AH .(a+b) = FT.b


F T .b

a  b  30/65

Momento fletor

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0
a < x < a+b M = R AH.x – FT(x – a) x = a+b → M=0

Momento fletor resultante M R  http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

M

2

vmáx

 M 2 Hmáx  31/65

Momento fletor resultante é aquele que será utilizado

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para determinar o momento ideal, visando dimensionar o eixo.

Dimensionamento Para dimensionar um eixo submetido à flexão-Torção, utiliza-se a sequência apresentada em seguida:

1) Determinam-se as grandezas: 1.1) Torque no eixo 1.2 ) Esforços na transmissão 1.3) Momento fletor no PV 1.4) Momento fletor no PH 1.5) Momento fletor resultante (Mr )

 M R http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

2

M

vmáx



2

M

Hmáx



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1.6) Momento ideal (Mi)


2  a    T M i   M r2   .M   2    

1.6.1Coeficiente de Bach (a)

a

σfadm ζtadm

1.7) Diâmetro da árvore

d  2,173


b.Mi  fadm

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1.7.1) Fator de forma (b) b =1 →Eixo maciço b

1

 d  4

1 

  D 

→ Eixo vazado

b=1,065 quando d/D = 0,5 Em que: D - diâmetro externo da árvore vazada [mm] d - diâmetro interno da árvore vazada ou diâmetro externo da árvore maciça [mm] http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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b - fator de forma [adimensional] Mi - momento ideal [Nmm] δfadm - tensão admissível de pressão[N/mm²] ζ fadm - tensão admissível na torção [N/mm²]

MT - torque na árvore [Nmm] Mr - momentpo fletor resultante [Nmm] MVmáx – momento fletor máximo no PV [Nmm] MHmáx – momento fletor no PH [Nmm] a - coeficiente de bach [adimensional]


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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de indução, trifásico, potência P=3KW (~4cv) e rotação n = 1730 rpm.com Dimensionar o diâmetro da árvore da transmissão, sabendo-se que o material a ser utilizado é o ABNT 1035 (st 5011). As engrenagens são ECDR e possuem as seguintes características geométricas: pinhão 1 → Z1 = 25 dentes coroa 2 → Z2 = 64 dentes ângulo de pressão: α = 20° módulo: m = 2mm Para o ABNT1035 (st 5011) são indicadas as seguintes tensões admissíveis:


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σ f adm = 50N/mm² (50 MPa) ζtadm = 40 N/mm² (40 MPa)

Desprezar as perdas Resolução:

1) Torque na árvore 1 Como a árvore 1 está acoplada ao eixo do motor, conclui-se que o torque do motor é o torque da árvore 1 , pois as perdas estão desprezadas. A potência do motor30000 é P =P 3KW, portanto P = 3000W. 30000 3000 M t1  M Tmotor 



.

n

M t1  M Tmotor 



.

1730

MT1=MTmotor Ξ16.560Nmm http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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2) Esforços na transmissão 2.1) Força tangencial FT  2M T1 d o1

2.1.1)Diâmetro primitivo do pinhão 1 do1 = m.Z1

do1 = 2.25

do1 = 50mm

2.1.2) Cálculo da força tangencial FT 

2.16560 50


FTΞ 662N

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2.2) Força radial (Fr )


Fr = FT. Tgα Fr =FT. tg 20° Fr= 662. tg 20° Fr =240N 2.3) Força resultante (Fn)



Fn  Ft  Fr 2

2



Fn 

662  240  2

2

FnΞ 704N

3) Momento Fletor 3.1) Momento fletor resultante (Mr) Como a transmissão está construída com um único par de engrenagens, podemos partir direto para determinar o momento resultante por meio da força resultante (Fn) http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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3.1.1)Reações de apoio 5/24/2018


∑MA = 0

180.RB= 704.60 RB = 235 N ∑FY = 0

R A + RB = 704 R A Ξ 469 N 3.1.2) calculo do momento fletor resultante (Mr) 0
28140Nmm 40/65

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60

Q = R A-704 Q=-235 N M= R A.x - 704.(x-60) X= 180 →Mr= 0

Observação No ponto x = 180 →Mr=0, pois o desvio observado no desenvolvimento da equação (para caso -60Nmm) foi originado pelo arredondamento das reações 4)Momento Ideal(Mi) 2  2  a    M i  M r (máx )   .M T   2  

 http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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4.1) Coeficiente de Bach


a

 fadm

a= 50/40

a=1,25

 fadm

2  2 a     M i  M r ( máx )   .M T  2    

2   1 , 25   2  M i  28140   .16560    2    

Mi=29.983 Nmm

5)Diâmetro da árvore (1) d  2,173

b.Mi  fadm

b =1 eixo maciço http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

d  2,17 1.29983 50

d≥18,3 mm

A árvore possuirá d = 20 mm 42/65

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EXERCÍCIO


2) A transmissão na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de indução, trifásico, competência P = 3,7 KW (~5cv) e rotação n = 1140 rpm. Dimensionar o diâmetro da árvore (II), sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado é o ABNT 1045 (st60.11). As engrenagens são ECDR e possuem as seguintes características geométricas: Z1= 23 dentes Z2= 49 dentes Z3= 28 dentes Z4= 47 dentes http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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M= 2,5 mm (módulo)


α = 20° (ângulo de pressão)

As tensões admissíveis são: σfadm =60N/mm² (60MPa) ζtadm =50N/mm² (50 MPa)

Desprezar as perdas

1) Torque da árvore (I) M T2

M T2

3000 p Z 2  . .  n Z1

3000 3700 49  . .  1140 23

A potência do motor P=3,7KW= 3700 W,portanto:

MT2 = 66.030 Nmm http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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2.1.2) Força tangencial ( segundo par) F 

2M T 2 d o3

T2

Diâmetro primitivo (d03) Do3=m.Z3

Do3=2,5.28

Do3=70mm

portanto, FT 2 

2.66030


70

2.2) Força radial (Fr)

FT2= 1887N

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2.2.1)Força radial (primeiro par) Fr1= FT1. tg20°

Fr1=1078. tg 20°

2.2.2) Força radial (segundo par) Fr2= FT2.tg 20° Fr2= 1887.tg 20° 3.0)Momento Fletor 3.1)Plano vertical (PV)

Fr1=392 N Fr2= 687N

3.1.1)Reações de apoio ∑MA = 0 600.RBV= 687.500+392.100 RBV≡638N ∑FY = 0

R AV+ RBV = 392 + 687 R AV≡ 441 N http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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3.1.2)Momento Fletor 0
Q = R AV = 441N M= R AV. X { x=0→M=0 x=100 →M=44100 Nmm

100

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0

Q=- RBV = -638 N M = RBV. x ‘ x ‘ = 00→M=0 x ‘ = 100→ M=63800 Nmm

Observe que o ponto x= 500 e o mesmo ponto x ‘ = 100, a desvio de 100 Nmm entre os resultados, foi originado pelo arredondamento das reações. Para o nosso caso utiliza-se por opção Mv(máx) = 63700 Nmm


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3.2 Plano horizontal (PH)



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3.2.1) Reações de apoio


∑MA = 0

600 RBH = 1887.500+ 1078.100 RBH ≡1752 N ∑FY = 0

R AH + RBH = 1078 + 1887 R AH = 1213 N 3.2.2) Momento fletor no (PH) 0
X = 0→M= 0

M= R AH. X

X=100 →M=121300 Nmm


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0

Q= RBH= -1752 N M=RBH.x‘ x ‘= 0 →M= 0 x ‘ = 100→MH(máx) =175200Nmm

3.3 Momento fletor resultante (Mr)



M r (máx )  M r2(máx  M 2H (máx ) 2

M r (máx ) 

 2

 175200  63700

Mr (máx) =186420 Nmm


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4} Momento ideal(Mi)

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2  2  a    M i   M r (máx )   .M T     2  

Coeficiente de Bach (a)  a = 60/50 a  fadm  fadm

a = 1,2

2   1 , 2   2 M i  186420   .66030      2  

Mi =190583 Nmm


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5) Diâmetro da árvore (II)

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d  2,173

b.Mi  fadm

b=1 →eixo maciço


d  2,17 1. 3

190583 60

d≥31,89 mm

A árvore possuirá d = 32 mm

Exercício Dimensionar o eixo-árvore de entrada da transmissão representada na figura; o acionamento será efetuado por meio de um motor elétrico de potência P= 7,5 KW (~10cv) e rotação n = 1150 rpm. As engrenagens são cilíndricas de dentes helicoidais (ECDH) e possuem as seguintes características geométricas:


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Z1 = 21; Z2 = 49 5/24/2018


Mn = 3 mm ferramenta α0 = 20° ( ângulo de pressão) β0 =20° (ângulo de hélice)

O material a ser utilizado è o ABNT 1035 (st 50.11) e as tensões admissíveis indicadas são: σfadm =50N/mm² (50 MPa) ζTadm = 40N/mm² (40MPa)

Desprezar as perdas


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1)Torque da árvore (I)

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Como as perdas estão desprezadas e a árvore (I) está acoplada ao motor, conclui-se que o torque do motor é o torque do eixo-árvore (I) 30000 p MT1  .  n

30000 7500 MT1  . 1150 

MT1= 62.678 Nmm

2) Esforços na tramsmissão 2.1) Diâmetro primitivo do pinhão (I) d o1  m s .Z1 

mn

cos 0

.Z1

d o1 

3

.21

cos 20

d01 = 67 mm


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2.2) Força Tangencial (FT)

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FT 

2M T1



2.62278

d 01

FT = 1859 Nmm

67

2.3) Força Radial (Fr) Fr = FT.tg α = 1859 . Tg 20° 2.4) Força Resultante(Fn) Fn   FT2  Fr2  Fn 

F r= 677N

1859  677  2

2

Fn= 1978N

2.5) Força Axial (Fa) Fa=FT. tg βo Fa= 1859. tg 20°


Fa = 677N

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3) Momento fletor resultante 5/24/2018


3.1 )Reações de apoio ∑Fx = 0

R AX = 677 N

RAX não influi na determinação do Momento fletor ∑MA = 0 160 RB= 1978.80 + 677.33,5 RB = 1.130 N ∑Fx = 0

R AV + RB = 1978 R AV= 1978 - 1130 R AV = 848 N http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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3.2)Momento fletor (mr)

5/24/2018


0

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4)Momento ideal (Mi) 5/24/2018


2  2  a    M i   M r (máx )   .M T     2  

4.1) Coeficiente de bach a

 fadm

a=50/40 a=1,25

 fadm

4.1)Momento ideal no eixo-árvore 2   1 , 25   2 Mi   90520   .62278    2  




Mi≡98534 Nmm



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5)Diâmetro do eixo-árvore

5/24/2018

d  2,17

3 b.Mi  fadm


d  2,17 3 1.

98534

B=1, pois a árvore é maciça

50

d ≥27,2 mm O eixo-árvore possuirá d= 28 mm

EXERCÍCIO PROPOSTO 1)Dimensionar o eixo-árvore (II) da transmissão representada na figura. O materail a ser utilizado é o st 5011 (ABNT 1035). As engrenagens são cilíndricas de dentes retos (ECDR) e possuem as seguintes características geométricas: Z1 = 21; Z2 = 49; Z3 = 25; Z4 = 57 M = 3mm α =20° http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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As polias possuem: 5/24/2018


d1 = 200 mm d2 = 500 mm O motor que aciona a transmissão possui potência P=15 kw (~20cv) e rotação n = 1140 rpm. σ fadm=50N/mm² (50MPA) ζtadm=40N/mm² (40 MPA)

Desprezar as perdas.


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Respostas 5/24/2018


MT≡ 732950 Nmm

FT1 ≡ 9972 N

FT2 ≡ 19545 N Fr2 ≡ 7114 N MHmáx ≡ 1.364.200 Nmm (PH)

Fr1 ≡ 3630N

Mi ≡ 1.563.110 Nmm

MVmáx= 496.500 Nmm (PV) Mrmáx ≡1.451.742 Nmm(PR) d ≡ 68 mm

Observação As respostas estão arredondadas, podendo ocorrer desvio nos resultados


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2) Dimensionar o eixo-árvore (II) da transmissão 5/24/2018


Representada na figura. O material a ser utilizado é o st5011 (ABNT 1035)

As engrenagens são cilíndricas de dentes helicoidais (ECDH) e possuem as seguintes características geométricas: Z1 = 25; Z2 =51;Z3= 27; Z4 = 63 Mn = 4 mm α = 20° (ângulo de pressão) http://slidepdf.com/reader/full/aula-05-eixos

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βo=20° (ângulo de hélice)

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O motor elétrico que aciona a transmissão possui potência P=18,5 KW(~25 cv) e rotação n = 1740 rpm. As tensões admissíveis são: σfadm = 50 N/mm² (50 MPa) ζtadm = 40 N/mm² (40 MPa)

Respostas: d= 45 mm

Mi= 417.500 Nmm

MT2= 210.000 Nmm

FT1=1940N

FT2 = 3.660 N Fr2 = 1.330 N

Fr1= 700 N Fa1= 700 N

Fa2 = 1.330 N

MVmáx = 136300 Nmm


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Aula 05 Eixos

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