2011
SISTEMA DE NÚMEROS REALES AXIOMAS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACI MULTIPLICACIÓN ÓN Demostración de los axiomas y ejercicios aplicativos usando los axiomas de adición y multiplicación
POR ELVIS JHORDY MAMANI USCAMAYTA Y ALFREDO ALDAZABAL AL DAZABAL BALLARTA Universidad Peruana Unión 30/06/2011
SISTEMA DE NÚMEROS REALES PRÓLOGO
En el presente documento tiene la finalidad de dar a conocer conocimientos matemáticos que están basados en afirmaciones desarrollados por personas que tuvieron la voluntad de incursionar en el “mundo de las matemáticas”.
Los números reales son parte esencial entre las matemáticas, es así que hoy en día se están aplicando muchos ejercicios en las escuelas, institutos y universidades para el desarrollo de la humanidad. Sin embargo, las matemáticas no solo se basan en la lógica y la razón, sino que también se basa en principios que de no existir las matemáticas serian solamente suposiciones. Los principios del cual se habla son llamados “axiomas”, a partir de ellos nacen las demás operaciones matemáticas como por ejemplo: la sustracción, raíces, entre otros. No obstante es necesario demostrar dichos axiomas, y es por esa razón que la presente producción es dedicada para su lectura y su aprendizaje mediante la resolución de ejercicios. Con todo, esperamos su aprendizaje mediante la siguiente producción.
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES ÍNDICE CAPITULO I 1. Definición de sistema de números reales 2. Definición de axioma 3. Tipos de axioma Axioma de adición Axioma de multiplicación CAPITULO II 1. EJERCICIOS APLICATIVOS DESARROLLADOS. 2. EJERCICIOS PROPUESTOS
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO I 1. DEFINICIÓN DE SISTEMA DE NÚMEROS REALES. Un sistema de números reales es un conjunto real que se basa en dos operaciones esenciales que son la adición al cual denotaremos mediante el símbolo “+” y la operación de la multiplicación al cual denotaremos con el símbolo de “.”; estas operaciones están sujetas a un orden
verídico, al cual llamaremos relación de orden. 2. DEFINICIÓN DE AXIOMA. Los axiomas son operaciones básicas que aseguran cualquier otra operación, son procedimientos que respaldan cada paso lógico mediante algunas afirmaciones, estas afirmaciones son los axiomas que son aceptadas como verdaderas debido a su trivialidad. 3. TIPOS DE AXIOMAS. Tenemos varios tipos de axiomas, estos son: 1) Axiomas algebraicos. Aquí tenemos solo dos clases de axiomas, entre los cuales mencionamos:
Axiomas de la adición. Axiomas de la multiplicación.
2) Axiomas de Orden. Estos axiomas se encargan de ordenar los números dependiendo de su cantidad o valor en el sistema real. 3) Axiomas topológicos. Estos axiomas no son tan usados, pero son usadas para los números irracionales. 2.1 AXIOMA DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN. Tenemos varios axiomas entre las cuales están: los axiomas de adición y los axiomas de multiplicación.
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1) Axioma de adición: Los axiomas de adición están basados en las operaciones aditivas. Además de ello tienen que cumplir con una ley interna la cual esta denotada por:
Para esta ley deben cumplirse los siguientes axiomas:
Axioma de cerradura o clausura ( ): Este axioma denota que la suma de dos o más números que pertenecen al Sistema de números reales siempre dará como resultado un número que también pertenezca al sistema de números reales. Y esta denotado por la siguiente representación:
Esto nos quiere decir que: para la suma de números cualesquiera pertenecientes al sistema de números reales nos dará como resultado otro número perteneciente a R.
Axioma de conmutatividad
:
Este axioma denota que la suma de dos o más números es siempre igual a la suma de los mismos pero en otro orden. Y esta denotado por la siguiente representación:
Esto nos quiere decir que para la suma de dos números reales siempre dará como resultado el mismo pero en otro orden.
Axioma de asociatividad
Este axioma denota que la suma un número con la suma de otros dos, pertenecientes a R, es la misma que los mismo pero en otro orden. Y esta denotado por la siguiente representación:
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES Esto nos quiere decir que la suma de un sistema de operaciones aditivas, es la misma cuando este en otro orden, esto para todo número real.
:
Axioma de identidad aditiva(
Este axioma denota que la suma de un numero real que no sea cero, con el número cero siempre dará como resultado el número real. Y esta denotado por la siguiente representación:
Esto nos indica que existe un cero en el sistema de números reales. Si sumamos un número real que no es cero con cero dará como resultado el numero que no es cero.
:
Axioma de opuesto aditivo(
Este axioma denota que la suma de un número real, con el mismo número real pero con signo negativo, es cero. Y esta denotado por la siguiente representación:
⁄ Esto señala que en el sistema de números reales existe un único número negativo. Si sumamos un número real con su negativo dará como resultado el número cero. 2) Axiomas de multiplicación: Los axiomas de multiplicación están basados en operaciones multiplicativas y para ello debe cumplir con la siguiente ley interna la cual esta denotada por:
Y para esta ley deben cumplirse los siguientes axiomas:
Axioma de cerradura(
:
Este axioma denota que la multiplicación de dos o más números reales siempre dará como producto otro número real. Y esta denotado por la siguiente representación:
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Esto nos quiere decir la multiplicación de números reales siempre dará como producto otro número real.
Axioma conmutativo(
:
Este axioma denota que la multiplicación de dos o más números reales es la misma si estuvieran en otro orden. Este denotado por la siguiente representación:
Esto nos indica que si multiplicamos dos o mas numeros reales, nos dará un producto que sería el mismo si estos números estarían en otro orden,
Axioma de asociatividad(
:
Este axioma denota que la multiplicación de un sistema de operaciones multiplicativas es la misma si estuvieran en otro orden. Y esta denotado por la siguiente representación:
Esto nos quiere decir que su multiplicamos un conjunto de números que contengan corchetes, podemos mover los corchetes sin alterar el producto.
Axioma de identidad multiplicativa(
:
Este axioma denota al multiplicar un numero real con el numero uno, nos dará como producto el numero que no es uno. Y esta denotado por la siguiente representación:
Esto indica que al multiplicar cualquier numero real por uno nos dara como producto el numero que es diferente de uno.
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES
Axioma de inverso multiplicativo(
Este axioma denota que la multiplicación de un numero real por su inversa dará como producto el numero uno. El cual esta denotado por la siguiente representación:
⁄ Esto indica que existe un opuesto para cada número (excepto 0) real. Si multiplicamos un numero real con su opuesto dará como producto el numero 1.
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES CAPÍTULO II 1. EJERCICIOS APLICATIVOS DESARROLLADOS. 1) Demostrar que a + a = 2.a
a = a.1
Con
a + a = a.1 + a.1
Con otro axioma distributivo
a + a=a (1+1)
Con otro axioma
a + a= a.2
Con
a + a= 2.a
Con
2) Demostrar que a.0 = 0 a.0 = a.0 + 0 a.0 = a.0 + (a +(-a) ) a.0 =(a.0 + a) + (-a) a.0 = (a.0 + a.1) + (-a) a.0 = a(0 + 1) + (-a)
Por otro axioma
a.0 = a.1 + (-a)
Por
a.0 = a +(-a) a.0 = 0
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Por Con Por Con
Por Por
SISTEMA DE NÚMEROS REALES 3) Demostrar que –a = (-1)a En este caso podemos demostrarlo mediante: a + (-1)a =0, debido a que (-1) .a y –a son inversos aditivos de a… por .
Entonces: a + (-1).a = 1.a + (-1)a
Por axioma de sustiución
a + (-1)a = (1 + (-1))a
Por axioma de sustitución
a + (-1)a = 0.a
Por
a + (-1)a = 0
Mediante el ejercicio 2
4) Demostrar que -(-a) = a
(-a) + (-(-a)) = 0
Con
(-a) + (-(-a)) = a + (-a)
De 1 y 2
-(-a) = a
De 3 y teorema de igualdad para la multiplicación.
a + (-a) = 0
Por
5) Demostrar que (-a).(-b) = a.b
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(-a). (-b) = [(-1)a] [(-1)b]
Mediante el ejercicio 3
(-a).(-b) = (-1) [a((-1)b)]
Por
(-a).(-b) = (-1)[(-1)a]. b
Con y
(-a).(-b) = (-1)[(-a)]. b
Por ejercicio 3
(-a).(-b) = [(-1)(-a)].b
Con
(-a).(-b) = a.b
Con ejercicio 4
SISTEMA DE NÚMEROS REALES 6) Demostrar que a.(-b) = -(a.b) a.(-b) = a.((-1).b)
Mediante el ejercicio 3
a.(-b) = ((-1)a).b
Con
a.(-b) = (-1)(a.b)
Con Con
a.(-b) = -(a.b)
Mediante el ejercicio 3
-(a - b)= (-1)(a.b)
Mediante el ejercicio 3
-(a.b) = ((-1)a).b
Con
-(ab) = (-a).b
Mediante el ejercicio 3
a(-b) = -(ab) = (-a).b
Usando los pasos 5 y 8
a.(-b) = ((-1)a).b
7) Demostrar que a.(b-c) = a.b – a.c a.(b-c) = a.(b+ (-c))
Definición de sustracción
a.(b-c) = a.b + a.(-c)
Axioma de sustitución
a(b – c) = a.b + (-(a.c))
Mediante el ejercicio 6
a.(b - c)=a.b – a.c
Definición de sustracción
8) Demostrar que a 0, entonces
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= Por Por
Definición de división
SISTEMA DE NÚMEROS REALES 9) Demostrar que
d (a.b). (a.b).( ) (a.b).( (a.b).( (a.b). (a.b). ( .
Por
(a.b).
10) Se tiene
Definición de división Por
y definición de división Por Por
Del paso 5 Del paso 2 y 6 De teorema 1.7
( ) ( )
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Por definición de división
Por
Por definición de división Por
Viendo el ejercicio 9 Por sustitución Por definición de división
SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1. Ejercicios propuestos: a) Demostrar la siguiente afirmación:
b) Demostrar la siguiente afirmación:
() c) Demostrar la siguiente afirmación:
() () d) Demostrar que :
e) Demostrar que:
f) Demostrar que :
g) Demostrar que:
h) Demostrar que:
i) Demostrar que :
⁄ ⁄
j) Demuestre que:
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SISTEMA DE NÚMEROS REALES REFERENCIAS:
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Ricardo Figueroa, MATEMÁTICA BÁSICA I, 2011.LIMA PERÚ. Eduardo Espinoza, MATEMATICA BÁSICA I PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA. 2011. LIMA –PERÚ. Eduardo Espinoza. ANALISIS MATEMATICO, 2011.LIMA-PERÚ Enciclopedia en línea, wiki pedía matemáticas. Axiomas en los números reales. Disponible en : www.wikipedia.com/matematicas/numerosreales/axiomas de los números reales.
