B1_Comunidad Matematica Guia

Secundaria 1er grado

COMUNIDAD

Matemática

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DIRECCIÓN DE CONTENIDOS Y SERVICIOS EDUCATIVOS Elisa Bonilla Rius GERENCIA DE PUBLICACIONES ESCOLARES Felipe Ricardo Valdez González AUTORES Apolo Castrejón Villar Alicia Vicuña Guante Martha Lilia Reyes Salgador Ortos Soyuz Castrejón Torres COORDINACIÓN EDITORIAL Ernesto Manuel Espinosa Asuar EDICIÓN César Jiménez Espinosa COORDINACIÓN DE CORRECCIÓN Abdel López Cruz CORRECCIÓN Mónica Nelly Terán Méndez Beatriz Mackenzie Ramírez Laura Martínez García

DISEÑO DE PORTADA José Manuel Calvillo Torices

Comunidad matemática 1. Secundaria Primera edición, 2011 D. R. © SM de Ediciones, S. A. de C. V., 2011 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D. F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx

COORDINACIÓN DE DIAGRAMACIÓN Jesús Arana Trejo y César Leyva

ISBN 978-607-24-0430-4

DIRECCIÓN DE ARTE Y DISEÑO Quetzatl León Calixto

DIAGRAMACIÓN María Elena Amaro Guzmán COORDINACIÓN DE ICONOGRAFÍA E IMAGEN Ricardo Tapia ICONOGRAFÍA Penélope Graciela Ubaldo Jurado FOTOGRAFÍA © Thinkstock, 2011 Archivo SM DIGITALIZACIÓN E IMAGEN Carlos A. López Uriel Flores Moreno Dónovan Popoca Jiménez Eliana Castro Fernández PRODUCCIÓN Carlos Olvera, Teresa Amaya

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S.A. de C.V. Prohibida su reproducción total o parcial. Impreso en México/Printed in Mexico

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Presentación

El propósito de este libro es ayudar a que los alumnos aprendan matemá-

ticas por medio de actividades de construcción del conocimiento, al mismo tiempo que desarrollen competencias que los capaciten para responder ante problemas de la vida real. Los contenidos se organizan en cinco bloques; a la entrada de cada uno se presenta una imagen y un texto que plantean los problemas detonadores. Se recomienda una lectura grupal o por equipo de estos a fin de que los alumnos propongan y compartan estrategias de solución donde apliquen conocimientos previos. Estas sesiones son medulares para que los estudiantes asimilen que los conocimientos adquiridos sirven para resolver problemas. En cada bloque se encuentra la sección “Juegos y retos” cuya finalidad es atraer la atención de los alumnos y permitir una aproximación lúdica e interesante a los conocimientos y procedimientos matemáticos que se estudiarán en las lecciones siguientes. Las lecciones, de dos páginas, se pueden resolver en una o dos sesiones. En ellas se plantean preguntas y ejercicios para que los alumnos expresen, con sus palabras, lo que han aprendido, y expongan argumentos. Asimismo, incluyen recuadros de información para contrastar y complementar los conceptos y las estrategias de solución. Al final de cada bloque se encuentran la secciones “TIC”, ideada para aplicar las tecnologías de la información y la comunicación en la enseñanza de las matemáticas, y “Matemáticas para la vida”, que permite a los alumnos aplicar los conocimientos adquiridos en una situación real. Apoyamos el logro de los aprendizajes esperados con tres elementos.

• • •

Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones. Para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades que se trabajarán en las lecciones. Para la evaluación final, enriquecimos el libro con reactivos de opción múltiple que permitirán detectar, por bloque, el nivel de logro de los aprendizajes esperados.

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P resentaciones para el alumno y el profesor Alumno: ¿Has notado todas las cosas maravillosas que existen a tu alrededor y cuánto tienen que ver con las matemáticas? Incluso tú tienes que ver con ellas. ¿Has visto un arcoíris? Es un espectáculo fabuloso, ¿verdad? Ese evento puede explicarse gracias a la geometría: los rayos de luz sufren una desviación al atravesar las gotas de agua y se descomponen en los distintos colores que vemos. El reloj también está lleno de matemáticas. ¿A quién se le habrá ocurrido medir el tiempo? Sin duda, su idea nos ha sido muy útil… Imagina que en tu escuela dijeran “Mañana la entrada será por la mañana”. ¿A qué hora llegarías? ¿Y tus compañeros? Como puedes ver, las matemáticas son algo que conoces y utilizas todos los días. Con este texto seguirás aprendiéndolas, pero es importante que te involucres en las actividades que se plantean. Así te enfrentarás a situaciones en las que deberás reflexionar, analizar, argumentar y comprobar tus respuestas. Las actividades grupales, en pareja o en equipo están diseñadas para que discutas y comentes con tus compañeros. Esta es una manera de descubrir tus errores y aprender estrategias diferentes frente a un problema. Por eso es importante que participes en las discusiones y expongas tus puntos de vista. Además, el texto contiene juegos que te ayudarán a seguir desarrollando el gusto por la asignatura y por observar las matemáticas en la naturaleza y en tu vida. Está hecho especialmente para ti. ¡Disfrútalo!

Estimado profesor: La intención de este material es facilitar la planeación de situaciones didácticas que despierten interés en los alumnos y los involucren en actividades de aprendizaje. Para ello se plantean juegos, retos, situaciones problemáticas y preguntas que invitan al análisis y a la reflexión. El papel del docente en este trabajo es clave, ya que debe guiar a los alumnos para que desarrollen por sí mismos procesos de solución. Esto se logra mediante preguntas enfocadas a descubrir cuál es el proceso de pensamiento que siguen y con indicaciones que permiten superar dificultades, pero sin externar la solución del problema. También es importante cerciorarse de que los alumnos hayan comprendido la situación problemática, aunque debe auspiciarse que se acostumbren a leer con cuidado para interpretar correctamente el texto. El trabajo grupal, ya sea en parejas, en equipos o en plenaria, es fundamental para que los alumnos pongan a prueba sus procedimientos de solución y los mejoren. Además, el diálogo con sus compañeros permite al estudiante desarrollar competencias argumentativas. En el libro se presenta información de dos tipos: una que proporciona términos convencionales y otra que permite formalizar el conocimiento. Esta última nunca debe usarse como punto de partida, sino como forma de comprobar que la construcción de un concepto o procedimiento a partir de las actividades llevadas a cabo es correcta o completa. Propiciar que los alumnos expliquen sus procedimientos y los conceptos adquiridos le permitirá obtener información sobre las ideas, los conceptos y las dificultades que tienen. No debe temerse que los alumnos resuelvan problemas con métodos propios. La mejor forma de provocar una evolución hacia los procedimientos formales es plantearles problemas con un grado de dificultad que provoque la búsqueda de nuevas estrategias. Atentamente Los autores

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Dosificación Semana

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sesión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Bloque 1

Lecciones Entrada de bloque Fracciones y cuadrados 1 Números decimales y fracciones decimales

Páginas 18 y 19 20 y 21 22 y 23

2 Números decimales y fracciones comunes

24 y 25

3 Orden de fracciones en la recta numérica

26 y 27

4 Ubicación de fracciones en la recta numérica

28 y 29

5 Escala en la recta numérica

30 y 31

6 Densidad en la recta numérica

32 y 33

7 Números decimales en la recta numérica 8 Problemas aditivos con fracciones I 9 Problemas aditivos con fracciones II

34 y 35 36 y 37 38 y 39

10 Sucesiones I

40 y 41

11 Sucesiones II

42 y 43

12 Sucesiones III Triángulos y más triángulos 13 Figuras geométricas I 14 Figuras geométricas II

44 y 45 46 y 47 48 y 49 50 y 51

15 Trazado de triángulos I

52 y 53

16 Trazado de triángulos II

54 y 55

17 18 19 20

56 y 57 58 y 59 60 y 61 62 y 63

Construcción de cuadriláteros I Construcción de cuadriláteros II Alturas de triángulos Mediatrices de triángulos

21 Bisectrices y medianas de triángulos

64 y 65

22 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo Repartos y juegos 23 Reparto proporcional

66 y 67 68 y 69 70 y 71

24 Juegos de azar I

72 y 73

25 Juegos de azar II

74 y 75 76 77

TIC Matemáticas para la vida Repaso y Primera evaluación bimestral

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Bloque 2 Semana

10 11 12 13 14 15 16 17

Sesión 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

Lecciones Entrada de bloque Números divisibles

Páginas 80 y 81 82 y 83

26 Divisibilidad

84 y 85

27 28 29 30

86 y 87 88 y 89 90 y 91 92 y 93

Criterios de divisibilidad I Criterios de divisibilidad II Números primos y compuestos Factorización

31 Problemas de máximo común divisor

94 y 95

32 Problemas de mínimo común múltiplo

96 y 97

33 Problemas aditivos con fracciones y decimales I

98 y 99

34 Problemas aditivos con fracciones y decimales II

100 y 101

35 Multiplicación de fracciones I 36 Multiplicación de fracciones II 37 Multiplicación de fracciones III

102 y 103 104 y 105 106 y 107

38 División de fracciones

108 y 109

39 Multiplicación y división de fracciones

110 y 111

El tangram

112 y 113

40 Problemas geométricos I

114 y 115

41 Problemas geométricos II 42 Problemas geométricos III 43 Perímetro y área de polígonos regulares La altura de la pirámide

116 y 117 118 y 119 120 y 121 122 y 123

44 Proporcionalidad directa I

124 y 125

45 Proporcionalidad directa II

126 y 127

46 Proporcionalidad directa III

128 y 129 130 131

TIC Matemáticas para la vida Repaso y Segunda evaluación bimestral

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Bloque 3 Semana

18 19 20 21 22 23 24 25 26

Sesión 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

Lecciones Entrada de bloque Operaciones fáciles

Páginas 134 y 135 136 y 137

47 Multiplicación de números decimales I

138 y 139

48 Multiplicación de números decimales II

140 y 141

49 División de números decimales I

142 y 143

50 División de números decimales II

144 y 145

51 Planteamiento de ecuaciones

146 y 147

52 Solución de ecuaciones I

148 y 149

53 Solución de ecuaciones II

150 y 151

54 Solución de ecuaciones III

152 y 153

55 Solución de ecuaciones IV

154 y 155

56 Solución de ecuaciones V

156 y 157

57 Problemas con ecuaciones

158 y 159

Figuras de papel

160 y 161

58 Trazo de polígonos I

162 y 163

59 Trazo de polígonos II

164 y 165

60 Polígonos inscritos

166 y 167

61 Problemas de perímetro y área de polígonos regulares

168 y 169

Los engranes

170 y 171

62 Factores de proporcionalidad I

172 y 173

63 Factores de proporcionalidad II

174 y 175

64 Resultados de una experiencia aleatoria I

176 y 177

65 Resultados de una experiencia aleatoria II

178 y 179

66 Frecuencia absoluta y relativa

180 y 181

TIC Matemáticas para la vida

182 183

Repaso y Tercera evaluación bimestral

7


4/2/12 7:12 PM

Bloque 4 Semana

27 28 29 30 31 32 33

Sesión 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

Lecciones Entrada de bloque La línea del tiempo

Páginas 186 y 187 188 y 189

67 Números con signo

190 y 191

68 Valor absoluto

192 y 193 194 y 195

Los círculos mentirosos 69 Construcción de círculos

196 y 197

70 Longitud de la circunferencia

198 y 199

71 Área del círculo

200 y 201 Di cuántos de cada color

202 y 203

72 Problemas de proporcionalidad I

204 y 205

73 Problemas de proporcionalidad II 74 Factor inverso de proporcionalidad I

206 y 207 208 y 209

75 Factor inverso de proporcionalidad II

210 y 211

76 Problemas de conteo I

212 y 213

77 Problemas de conteo II

214 y 215

78 Gráficas I

216 y 217

79 Gráficas II

218 y 219

80 Gráficas III

220 y 221

81 Gráficas IV

222 y 223 TIC Matemáticas para la vida

224 225

Repaso y Cuarta evaluación bimestral

8


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Bloque 5 Semana

34 35 36 37 38 39 40

Sesión 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

Lecciones Entrada de bloque Carrera al estacionamiento

Páginas 228 y 229 230 y 231

82 Suma y resta de números positivos y negativos I

232 y 233

83 Suma y resta de números positivos y negativos II

234 y 235

84 Suma y resta de números positivos y negativos III

236 y 237

85 Suma y resta de números positivos y negativos IV La leyenda del ajedrez

238 y 239 240 y 241

86 Raíz cuadrada I

242 y 243

87 Raíz cuadrada II

244 y 245

88 Potencias

246 y 247

89 Notación científica

248 y 249

90 Cálculos con notación científica

250 y 251

Cuadrados y cubos

252 y 253

91 Sucesiones aritméticas I

254 y 255

92 Sucesiones aritméticas II

256 y 257

93 Problemas de perímetro y área de círculos

258 y 259

94 Proporcionalidad múltiple I

260 y 261

95 Proporcionalidad múltiple II

262 y 263

TIC Matemáticas para la vida

264 265

Repaso y Quinta evaluación bimestral

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Guía de uso A continuación mostramos cómo está estructurado el libro. Está dividido en cinco bloques y cada uno se inicia con dos páginas. Se enuncian los aprendizajes esperados, esto se hace con la finalidad de tener presente lo que se desea que el estudiante aprenda al término del bloque.

BLOQUE

Los Juegos Olímpicos se celebraron por primera vez en el año 776 a. n. e. (antes de nuestra era) en la antigua Grecia. En 1886 se retomó su concepto, lo que dio lugar a las olimpiadas modernas. Actualmente se llevan a cabo cada cuatro años en dos modalidades: Juegos Olímpicos de Verano y Juegos Olímpicos de Invierno.

2

Trabajen en equipo. Lean la información, discútanla y planteen cómo responder cada pregunta. Si no pueden contestar, no se preocupen; lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que poseen. a) En 2008 se celebraron los Juegos Olímpicos de Verano. Si se llevan a cabo cada cuatro años sin interrupción, ¿habrá juegos en 2034? b) En la antigüedad, muchas pruebas consistían en carreras a pie dando vueltas al estadio. En el estadio de Olimpia, la distancia de una vuelta era 1741 m. ¿Qué 8 distancia recorrían los atletas si daban cinco vueltas al estadio?

Aprendizajes esperados • •

c) El símbolo principal de los Juegos Olímpicos son cinco aros entrelazados. ¿Podrías encontrar el centro de cada circunferencia?

Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

83

80

Problemas detonadores para que reflexiones y conozcas el tipo de problemas que vas a estudiar en el bloque.

Imagen que junto con un breve texto plantean una situación de la que se desprenden problemas detonadores. Dentro del bloque encontrarás frecuentemente dos páginas de la sección Juegos y retos. Tienen el propósito de introducir el estudio de los contenidos de una manera lúdica.

Juegos y retos La altura de la pirámide Tales fue uno de los siete sabios de la antigua Grecia. Nació en Mileto (hoy Turquía) alrededor del año 624 a. n. e. y murió en el mismo lugar aproximadamente en el año 547 a. n. e. Se volvió famoso por predecir un eclipse de Sol el 28 de mayo de 585 a. n. e.

Otras versiones de la historia cuentan que Tales no necesitó esperar a que la altura de la vara y su sombra fueran iguales, sino que, una vez conocida la longitud de la vara, solo midió la de su sombra y la de la sombra de la pirámide. Observa el dibujo. Supón que Tales determinó las medidas que se presentan enseguida.

Tales de Mileto

A Se sabe que viajó mucho: visitó Egipto hacia el año 600 a. n. e., cuando las pirámides cumplieron dos mil años de haber sido construidas. El faraón, quien conocía la fama del sabio griego, lo llamó para pedirle que determinara la altura de la gran pirámide de Kéops.

La sección Pistas y estrategias se incluye frecuentemente al final de Juegos y retos. En ella, hallarás ayudas para resolver los desafíos planteados.

220.5 m

B

1m 1.5 m

RETO

Determina cuál es la altura de la gran pirámide. PISTAS Y ESTRATEGIAS

Reúnete con un compañero. Observen el esquema anterior, lean el planteamiento y contesten las preguntas. Supongan que la vara mide 1 m. a) Si la sombra de la vara mide 2 m, ¿qué relación habrá entre la longitud de AB y la altura de la pirámide? b) Si la sombra de la vara mide 3 m, ¿qué relación habrá entre la longitud de AB y la altura de la pirámide? c) Si la sombra de la vara mide 1.5 m, ¿qué relación habrá entre la longitud de AB y la Pirámide de Kéops

Tales apoyó una vara en el suelo y esperó. Cuando la sombra de la vara tuvo la misma longitud que esta, pidió que midieran la sombra de la pirámide. Así determinó que, en ese momento, la longitud de la sombra era igual que la altura de la pirámide.

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altura de la pirámide? Empleen el método de Tales para determinar la altura aproximada de postes, árboles, astas y otros objetos similares.

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Todas las lecciones del bloque se componen de dos páginas.

Información Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

Título de la lección Los títulos de cada lección dan cuenta de los conceptos que se estudiarán.

Eje y tema Se indica el eje y tema que corresponden al contenido

Pregunta inicial Con ella te darás cuenta de lo que estudiarás en la lección y lo que sabes del tema. Lección 91

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Patrones y ecuaciones

Sucesiones aritméticas I

a) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 1? PREGUNTA INICI A L

¿Qué relación hay entre la sucesión y la expresión algebraica? 1, 8, 15, 22, 29, 36… 1

b) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 2? c) ¿Cuál es el valor de 4n cuando n vale 5?

7n − 6

d) Completa la tabla.

Lee el planteamiento y contesta.

Durante la celebración de la fiesta de un pueblo, se adornó el lugar con cadenas de papel. En la imagen se muestra una cadena de diez eslabones.

Valor de n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Valor de 4n ¿Obtuviste los mismos valores que en la tabla anterior?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a) Observa que los eslabones están numerados; ¿qué números tienen los de color amarillo?

1, 5,

e) Anota, con una expresión algebraica, las reglas de sucesión de los eslabones de cada color y completa las tablas. Regla de la sucesión de eslabones rojos: Valor de n

b) ¿Qué números tienen los eslabones de color verde?

1

2

3

4

5

20

28

40

50

100

4

5

15

18

25

30

95

10

17

20

28

64

70

100

Valor de

c) ¿Qué eslabones son de color rojo?

Regla de la sucesión de eslabones verdes:

d) ¿Qué eslabones son de color azul? e) ¿Cómo es la secuencia de colores en la cadena?

Valor de n

1

2

3

Valor de

f) Si la cadena tuviera doce eslabones, ¿cuál sería el color del último? g) Si la cadena tuviera 18 eslabones, ¿cuál sería el color del último? h) Si la cadena tuviera 27 eslabones, ¿cuál sería el color del último? 2

Considera que la cadena de la actividad anterior tiene más eslabones, completa la tabla y haz lo que se pide. Color del eslabón

Recuerda

La expresión 4n es igual que 4 × n. En las expresiones algebraicas, se puede omitir el signo × para evitar confundirlo con la letra x.

Número de eslabón

Amarillo

1

5

9

Verde

2

6

10

Rojo

3

7

11

Azul

4

8

12

Regla de la sucesión de eslabones amarillos: Valor de n

1

3

,

b) 2, 5, 8, 11, 14,

,

d) 1, 6, 11, 16, 21, Observa

Una expresión algebraica es aquella en que se relacionan números y literales con operaciones aritméticas.

254

Actividades de construcción del conocimiento Actividades que presentan situaciones problemáticas para que las enfrentes con los conocimientos que ya tienes al mismo tiempo que desarrollas nuevas técnicas y conceptos para resolver problemas similares.

3

Escribe dos términos más en cada sucesión numérica y su regla.

a) 3, 6, 9, 12, 15,

Regla: Regla:

c) 7, 11, 15, 19, 23,

Los números que corresponden a los eslabones azules forman una sucesión. La regla para determinar el número de la posición n en esta sucesión numérica es 4 × n.

2

Valor de

, ,

Regla: Regla:

e) 8, 17, 26, 35, 44,

,

Regla:

f) 4, 10, 16, 22, 28,

,

Regla:

Si la regla de una sucesión está enunciada con una expresión algebraica, los términos pueden encontrarse asignando valores a la(s) literal(es) y evaluando dicha expresión. 4 Revisa tu respuesta de la pregunta inicial. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

Contenido Se indica el contenido del programa que trabajará en la lección

255

En las actividades se busca que: • observes e interpretes, • organices resultados, • discutas y analices, • encuentres regularidades, • reflexiones, • profundices en las ideas básicas.

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TIC y Matemáticas para la vida. En la primera se aplica la tecnología para aprender Matemáticas y en la segunda podrás aplicar los conocimientos adquiridos en una situación real. Matemáticas para la vida

TIC Gráficas circulares en la hoja de cálculo

La agricultura

Puedes elaborar gráficas circulares usando una hoja de cálculo. Supongamos que quieres hacer una gráfica con estos datos: Edad (años) Frecuencia absoluta

15 5

16 8

17 2

18 20

19 5

1 Abre la hoja y registra los datos.

2 Selecciona lo datos que quieres graficar.

3

Limón Chile verde 2% 2%

La agricultura es el cultivo de la tierra para obtener vegetales con el fin de proveer al ser humano o al ganado de alimentos, y a la industria de materia prima. Puesto que en México hay gran diversidad de climas, se cultiva una amplia variedad de especies. En la gráfica, se muestran los diez principales vegetales producidos en 2007.

En el menú escoge Insertar>Gráfico y aparecerá el asistente para gráficos. En el tipo de gráfico escoge la opción Circular.

Jitomate 2% Trigo 3%

papa 1%

Sorgo 5%

Caña de azucar 44%

Plátano 17%

Maíz 02%

Reúnete con un compañero y respondan las preguntas en su cuaderno.

4 Presiona los botones Siguiente y Finalizar; la gráfica aparecerá en la hoja.

1. ¿Qué producto agrícola se produjo más en 2007? 2. Si la producción total de caña de azúcar en 2007 fue de 52 089 356 t, ¿cuál fue la de los diez vegetales? 3. ¿Cuántas millones de toneladas de plátano se produjeron en 2007? Investiguen qué es la agricultura sustentable y cuáles son los programas que se llevan a cabo en México con este fin. Comenten, en grupo, los resultados de su investigación.

225

224

Cada bloque se cierra con una evaluación de opción múltiple.

Evaluación Subraya la respuesta correcta. 1

¿Qué operación se representa en la recta numérica?

−10 A. 7 − (−13) 2

Anexo Uso de la hoja de cálculo Una hoja de cálculo es un programa de computadora que sirve para trabajar con datos, es decir, efectuar cálculos, ordenarlos, contarlos, buscarlos o dibujar gráficas de distintos tipos. En una hoja de cálculo los datos organizan en tablas. Las tablas están compuestas de celdas que se identifican con un número y una letra. La letra indica la columna y el número, la fila. Por ejemplo:

En las páginas 268 y 269 podrás encontrar una breve guía de inicio para trabajar con hojas de cálculo.

B. −1

C. 1

D. −9

B. 23 × 106

C. 2.3 × 107

D. 0.23 × 108

B. 3.0625 cm

C. 3.5 cm

D. 3 cm

C. 32

D. 3−2

3 ¿Cuál es el resultado de 35 ? 3

A. 38 6

B. 3−8

¿Qué sucesión tiene una regla de la forma y = 3x − 1?

A. 2, 5, 8, 11, 14…

B. 3, 5, 7, 9, 11…

C. 4, 6, 8, 10, 11…

D. 3, 6, 12, 24, 48…

7

10 D. −6 + 13

¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es de 12.25 cm2?

A. 6.125 cm 5

5 C. 7 − 13

¿Cuál es la notación científica de 23 000 000?

A. 2.3 × 10−7 4

B. 7 + 13

¿Cuál es el resultado de −5 − (−4)?

A. −9 3

0

−5

En un café-internet, cobran las tarifas indicadas en la tabla. Tiempo (h) Precio ($)

1 10.00

2 15.00

3 20.00

4 25.00

5 30.00

6 35.00

¿Qué expresión relaciona las horas (h) con el precio (p)? A. p = 5h

B. p = 5h + 5

C. h = 5p + 5

D. p = h + 5

272

Celda E4 Celda A1 Celda C2

Los datos se introducen seleccionando la celda deseada, tecleando el dato y presionando la tecla Para efectuar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación o división, se selecciona una celda, se escribe = y luego la operación que deseamos realizar indicando el nombre de las celdas donde están los datos con los que se desea operar. Luego se presiona . Por ejemplo:

La expresión: = A1 + B1 arroja como resultado la suma de los datos que están en las celdas A1 y B1. Para efectuar las operaciones de multiplicación y división se utilizan los símbolos * y / respectivamente en vez de × y ÷. Por ejemplo:

268

12


4/2/12 7:12 PM

Í ndice Presentación

3

Presentaciones para el alumno y el profesor

4

Dosificación

5

Guía de uso

10

Bloque 1

18 Juegos y retos Fracciones y cuadrados

20

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

1 Números decimales y fracciones decimales 2 Números decimales y fracciones comunes

22 24

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

3 4 5 6 7

26 28 30 32 34

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

8 Problemas aditivos con fracciones I 9 Problemas aditivos con fracciones II

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Orden de fracciones en la recta numérica Ubicación de fracciones en la recta numérica Escala en la recta numérica Densidad en la recta numérica Números decimales en la recta numérica Q

10 Sucesiones I 11 Sucesiones II 12 Sucesiones III

36 38

40 42 44

R Juegos y retos Triángulos y más triángulos

46

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

13 Fórmulas geométricas I 14 Fórmulas geométricas II

48 50

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

15 16 17 18

Trazado de triángulos I Trazado de triángulos II Construcción de cuadriláteros I Construcción de cuadriláteros II

52 54 56 58

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

19 20 21 22

Alturas de triángulos Mediatrices de triángulos Bisectrices y medianas de triángulos Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo

60 62 64 66

Juegos y retos Repartos y juegos

68

Resolución de problemas de reparto proporcional.

P

23 Reparto proporcional

70

13


4/2/12 7:12 PM

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

24 Juegos de azar I 25 Juegos de azar II

72 74

TIC Juegos de azar en la hoja de cálculo

76

Matemáticas para la vida Electricidad

77

Evaluación

78

Bloque 2

80 Juegos y retos Números divisibles

82

Divisibilidad Criterios de divisibilidad I Criterios de divisibilidad II Números primos y compuestos Factorización

84 86 88 90 92

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.

26 27 28 29 30

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

31 Problemas de máximo común divisor 32 Problemas de mínimo común múltiplo

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

33 Problemas aditivos con fracciones y decimales I 34 Problemas aditivos con fracciones y decimales II

98 100

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

35 36 37 38 39

Multiplicación de fracciones I Multiplicación de fracciones II Multiplicación de fracciones III División de fracciones Multiplicación y división de fracciones

102 104 106 108 110

Juegos y retos El tangram

112

94 96

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

40 Problemas geométricos I 41 Problemas geométricos II 42 Problemas geométricos III

114 116 118

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

43 Perímetro y área de polígonos regulares

120

Juegos y retos La altura de la pirámide Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios

122

44 Proporcionalidad directa I 45 Proporcionalidad directa II 46 Proporcionalidad directa III

h

124 126 128

TIC Tablas de variación proporcional en la hoja de cálculo

130

Matemáticas para la vida Uso del agua

131

Evaluación

B

132

14


4/2/12 7:13 PM

Bloqu e 3

134 Juegos y retos Operaciones fáciles

136

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

47 Multiplicación de números decimales I 48 Multiplicación de números decimales II

138 140

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

49 División de números decimales I 50 División de números decimales II

142 144

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

51 52 53 54 55 56 57

146 148 150 152 154 156 158

Planteamiento de ecuaciones Solución de ecuaciones I Solución de ecuaciones II Solución de ecuaciones III Solución de ecuaciones IV Solución de ecuaciones V Problemas con ecuaciones

Juegos y retos Figuras de papel

Q

160

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

58 Trazo de polígonos I 59 Trazo de polígonos II 60 Polígonos inscritos

162 164 166

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

61 Problemas de perímetro y área de polígonos regulares

168

R Juegos y retos Los engranes

170

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

62 Factores de proporcionalidad I 63 Factores de proporcionalidad II

172 174

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

64 Resultados de una experiencia aleatoria I 65 Resultados de una experiencia aleatoria II

176 178

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

66 Frecuencia absoluta y relativa

180

P

TIC Geometría en la computadora

182

Matemáticas para la vida Población mexicana

183

Evaluación

184

15


4/2/12 7:13 PM

Bloque 4

186 Juegos y retos La línea del tiempo

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

188

67 Números con signo 68 Valor absoluto

190 192

Juegos y retos Los círculos mentirosos

194

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

69 Construcción de círculos

196

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número ϖ (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

70 Longitud de la circunferencia 71 Área del círculo

198 200

Juegos y retos Di cuántos de cada color

202

Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

72 Problemas de proporcionalidad I 73 Problemas de proporcionalidad II

204 206

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

74 Factor inverso de proporcionalidad I 75 Factor inverso de proporcionalidad II

208 210

76 Problemas de conteo I 77 Problemas de conteo II

212 214

78 79 80 81

216 218 220 222

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados. Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Gráficas I Gráficas II Gráficas III Gráficas IV

TIC Gráficas circulares en la hoja de cálculo

224

Matemáticas para la vida La agricultura

225

Evaluación

226

h

B

16


4/2/12 7:13 PM

Bloqu e 5 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

228 82 83 84 85

Juegos y retos Carrera al estacionamiento

230

Suma y resta de números positivos y negativos I Suma y resta de números positivos y negativos II Suma y resta de números positivos y negativos III Suma y resta de números positivos y negativos IV

232 234 236 238

Juegos y retos La leyenda del ajedrez

240

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

86 Raíz cuadrada I 87 Raíz cuadrada II 88 Potencias

242 244 246

Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

89 Notación científica 90 Cálculos con notación científica

248 250

Juegos y retos Cuadrados y cubos Q

252

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

91 Sucesiones aritméticas I 92 Sucesiones aritméticas II

254 256

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

93 Problemas de perímetro y área de círculos

258

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

94 Proporcionalidad múltiple I 95 Proporcionalidad múltiple II

260 262

TIC Áreas en la hoja de cálculo

264

Matemáticas para la vida Los microscopios

265

Evaluación

P

R

266

Anexo: Uso de la hoja de cálculo

268

Bibliografía

270

17


4/2/12 7:13 PM

BLOQUE

El reciclado de basura se ha desarrollado mucho en los últimos años y es muy importante para proteger el medio ambiente. Sin embargo, el éxito de esta tarea depende de la labor de todos los ciudadanos.

1

Aprendizajes esperados • • •

Convierte números fraccionarios a decimales y viceversa. Conoce y utiliza las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Representa sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.

18

SDAMAT1-B1-018-029.indd 18

3/29/12 12:44 PM

0p8,504

En equipos lean lo siguiente, discutan al respecto y planteen cómo responder cada pregunta. Si no pueden contestar, no se preocupen, lo importante es recordar y compartir los conocimientos matemáticos que ya poseen. a) Un depósito de basura se encuentra en el kilómetro 103 de una carretera y otro 4 en el kilómetro 151. Si un camión de basura se encuentra entre los dos depósi2 tos, ¿en qué kilómetro podría estar? b) Se calcula que 1 del peso de la basura es papel y cartón, 4 son plásticos, 1 es 5 7 12 vidrio, 1 son metales y el resto son otros materiales entre los que se encuen25 tran productos tóxicos como medicinas, baterías, pinturas, etcétera. ¿Qué parte de la basura pertenece a este grupo? c) ¿Es cierto que 0.2 del peso de la basura es papel y cartón? ¿Por qué? ¿Con qué número decimal puedes expresar el peso de los plásticos en la basura?

19


3/29/12 12:44 PM

Juegos y retos Fracciones y cuadrados Dividir en partes iguales ¿Cómo dividirías el segmento de 0 a 1 en la recta numérica siguiente para representar 1 3 7 5, 8 y 13? 0

•

1

Comenten en grupo sus estrategias y, con ayuda de su profesor, elijan las mejores.

Cuadrados mágicos Este es un cuadrado mágico de 3 × 3. En realidad, este cuadrado no tiene nada que ver con la magia, pero se llama así porque tiene una propiedad interesante.

8

1

6

3

5

7

4

9

2

Observa que si sumas cualquier grupo de tres números en la misma fila, columna o diagonal, obtienes el mismo número que es la constante del cuadrado; en este caso la constante es 15. Completa el cuadrado mágico de fracciones. Recuerda: al sumar cualquier grupo de tres cifras en la misma fila, columna o diagonal se debe obtener el mismo resultado.

7 5

8 _ 5

3 5

2 _ 5

1.2

2

9 _ 5

4 _ 5

1

Una vez que hayas completado el cuadrado, ordena los números de menor a mayor. ¿Cuál es la diferencia entre el primer número y el segundo? ¿Y entre el segundo y el tercero? ¿Sucede lo mismo con la diferencia entre el tercero y el cuarto? ¿Sucede lo mismo con las diferencias de los números consecutivos de la sucesión?

20


3/29/12 12:44 PM

PISTAS Y ESTRATEGIAS

Dividir en partes iguales A continuación se describe un método para dividir segmentos en partes iguales, lee las instrucciones y efectúa lo que se pide.

•

•

Consigue una hoja de papel traslúcido, como el albanene, o de un material transparente, como el celofán o el hule cristal. Con plumín, calca las líneas de una hoja rayada de manera que se parezca a la del dibujo.

Ahora utiliza la hoja que elaboraste y divide un segmento en las partes iguales que desees. Para hacerlo, colócala sobre él de manera que las líneas lo dividan en las partes que necesitas. Usa la punta de tu compás para hacer las marcas. Observa en el ejemplo cómo se divide el segmento en ocho partes iguales.

Reúnete con un compañero. Traza un segmento en tu cuaderno y pídele que lo divida en partes iguales (entre cinco y diez). Cuadrados mágicos Para resolver este reto, puedes expresar los números únicamente con fracciones o solamente con decimales. Después, determina cuál es la suma de las filas, columnas y diagonales.

21


3/29/12 12:44 PM

Lección 1 Números decimales y fracciones decimales

PREGUNTA INICI A L

2 ¿Qué medida, 3 4 m o 3 m, no puede expresarse con centímetros completos? 1

Lee la situación y completa la tabla.

Un artesano está haciendo piezas de ajedrez. El juego tiene seis piezas distintas: rey, dama, alfil, caballo, torre y peón. El rey es el más alto y las alturas de las demás son las fracciones de la altura del rey que se indican. Rey

•

•

2

Dama

Torre

Alfil

Caballo

Peón

9 10

7 10

4 5

3 4

63 100

Si el rey mide 1 dm, ¿cuáles deben ser las medidas de las piezas en decímetros y centímetros? Anótalas con números decimales o enteros según sea el caso. Pieza

Rey

Dama

Torre

Tamaño (dm)

1

0.9

0.7

Tamaño (cm)

10

9

7

Caballo

Peón

0.8

0.75

0.63

8

7.5

6.3

Compara tus respuestas con las de tus compañeros de grupo y comenten cuáles pudieron encontrar más fácilmente y por qué. Discutan sus procedimientos en grupo y elijan los que les parezcan más adecuados. Comenta con tu compañero qué relación hay entre cada pareja de medidas. 3 10 m y 0.3 m

•

Alfil

65 100 m y 0.65 m

1 203 1 000 m y 1.203 m

Expongan sus conclusiones ante el grupo.

Las fracciones decimales tienen como denominador 10, 100, 1 000, 10 000…, etcétera. 3

Conviertan los números decimales en fracciones decimales.

a) 0.4 =

•

4 10

b) 0.04 =

4 4 40 c) 0.004 = d) 0.40 = 100 1000 100

400 1000

e) 0.400 =

Expliquen en sus cuadernos un procedimiento para expresar una fracción decimal como número decimal y otro para expresar lo contrario. Comparen los procedimientos en grupo y, con ayuda de su profesor, elijan los más adecuados.

22


3/29/12 12:44 PM

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Números y sistemas de numeración

4

En parejas respondan en sus cuadernos las preguntas.

a) ¿Por qué los números decimales 0.6 y 0.60 son iguales?R.P. 3 b) ¿Cuántos centímetros son 4 de metro? 75cm 3 _ 75 ? c) ¿Qué fracción decimal es equivalente a 4

100

1 d) ¿Cuántos milímetros son 8 de metro? 125mm 1 _ 125 e) ¿Qué fracción decimal es equivalente a 8 ?

1000

5

Recuerden la situación de la actividad 1. Conviertan las fracciones en fracciones decimales equivalentes.

4 8 5 = 10

75 3 4 = 100

Comenten en grupo las estrategias que emplearon para hallar las fracciones decimales. 6

En parejas lean la situación y contesten.

Al artesano le pidieron que hiciera un ajedrez con rey de 1 dm y que las piezas guardaran la siguiente relación. 7 Dama: 8

•

7

3 Alfil: 4

2 Caballo: 3

3 Peón: 5

Expresa las fracciones anteriores con una fracción decimal cuando sea posible.

7 = 875 8 1000

•

6 Torre: 7

6= 7

75 3 4 = 100

2 3=

6 3 5 = 10

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comenten por qué algunas fracciones no pudieron expresarse con fracciones decimales. Anoten en sus cuadernos las fracciones que se indican.

a) Dos fracciones que sean equivalentes a otra con denominador 10. b) Dos fracciones que sean equivalentes a otra con denominador 100, pero a ninguna con denominador 10. c) Dos fracciones que sean equivalentes a otra con denominador 1 000, pero a ninguna con denominador 100. d) Dos fracciones que sean equivalentes a otra con denominador 10 000, pero a ninguna con denominador 100.

• 8

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y busquen juntos más fracciones de cada caso.

Observa

En el bloque 2 analizaremos con más cuidado los denominadores que pueden convertirse en fracciones decimales.

De manera individual, trata de resolver el cuadrado mágico de la página 20 convirtiendo las fracciones en número decimal. Después, revisa tu respuesta de la pregunta inicial.



23

3/29/12 12:44 PM

Lección 2 Números decimales y fracciones comunes

PREGUNTA INICI A L

¿Un recipiente de 0.250 L puede contener 2 L? 9 1

Reúnete con un compañero, lean el texto y efectúen lo que se pide.

Isabel y sus amigos miden la longitud de sus pasos en fracciones de metro, pero como solo tienen un palo de 1 m de largo, dibujaron en el piso una línea de 12 m dividida en metros y caminaron con pasos iguales hasta llegar a una de las marcas. Por ejemplo, Isabel dio cuatro y llegó a la marca de 3 m. a) ¿Cuánto mide cada paso de Isabel? Justifiquen su respuesta. R.T.Mide 3 m

porquetresvecesesacantidadson3m.

4

b) Completen la tabla con las medidas en fracciones de metro. Después comprueben sus respuestas. Niño

Isabel

Hugo

María

Juan

Gina

José

Sara

Julia

Núm. de pasos

4

5

8

7

3

8

3

9

Marca de llegada

3

2

3

5

1

5

2

4

Medida del paso (m)

3 4

2 5

3 8

5 7

1 3

5 8

2 3

4 9

3 c) Si los pasos de un niño miden 5 m, ¿a qué marca llegará primero y con cuántos pasos? Alamarcade3mconcincopasos. 7 d) Si los pasos de un niño miden 10 m, ¿a qué marca llegará primero y con cuántos pasos? Alamarcade7mcondiezpasos.

•

Comparen sus respuestas con las del resto del grupo. Con ayuda de su profesor determinen cómo se calcula la longitud de cada paso. Anótenlo en sus cuadernos.

La fracción 3 puede considerarse como el resultado de: 4 o

3 4

3 4

dividir un entero en cuatro partes iguales y tomar tres de ellas

dividir tres enteros en cuatro partes iguales y tomar una de cada uno.

24


3/29/12 12:44 PM


2

Expresa las medidas de cada paso con un número decimal. Niño

Isabel

Hugo

Medida del paso (m)

0.75

0.4

•

María

Juan

Gina

José

Sara

Julia

0.375

0.714

0.333

0.625

0.666

0.444

Comenten en grupo qué procedimientos siguieron para hallar los números decimales. Con ayuda de su profesor elijan los mejores. Después, contesten en sus cuadernos.

a) ¿En qué casos no fue posible expresar la medida exacta? ¿Por qué? b) ¿Cuál es la relación entre los números decimales de esta tabla y las fracciones de la tabla de la actividad 1? Las fracciones pueden indicar una división. Por ejemplo, la fracción 5 indica la división 5 ÷ 6. 6 3

Expresa las fracciones con un número decimal. No utilices calculadora.

1 5 a) 3 = 0.333... b) 6 = 0.833... 6 e) 21 = 0.285714... f) 9 = 0.36 25 4

2 0.125 d) 7 = 0.285714... c) 1 8= 7 0.1096... h) 200 = 0.035 g) 1181 650 =

Compara con tus compañeros los resultados de la actividad anterior. Corrige tus errores y contesta en tu cuaderno.

a) ¿Qué fracciones no pudieron expresar de forma exacta con un número decimal? b) ¿Por qué no las pudieron expresar en forma exacta? Un número decimal en que un grupo de cifras decimales se repite de manera continua se denomina número decimal periódico. Al grupo de cifras que se repite se le nombra periodo. Para señalarlo, se coloca un segmento arriba de él. Por ejemplo: 1.33333… = 1.3 5

0.617171717… = 0.617

Escribe la mejor aproximación que puedas de los números decimales periódicos de la actividad 3 usando solamente seis cifras decimales. Después efectúa lo siguiente.

En parejas, investiguen qué significa truncamiento y redondeo y anoten en sus cuadernos qué tipo de aproximación se utiliza en cada caso de los siguientes. Justifiquen su respuesta.

a) 1 ≈ 0.143 7 7

b) 8 ≈ 0.888 9

c) 28 ≈ 0.867 45

d) 7 ≈ 1.166 6

e) 13 ≈ 0.867 15

Revisa tu respuesta de la pregunta inicial y la del inciso c) de la página 19.



Para efectuar ejercicios de conversión de fracciones en número decimal, visita www.e-sm. com.mx/ matcom1-025

2.12046046046… = 1.12046

a) Compara tus resultados con los del grupo y, con ayuda de su profesor, determinen si anotaron las mejores aproximaciones. b) Comenten sus procedimientos para obtener las aproximaciones y discutan si estas son mayores o menores que el número decimal periódico. c) Comenten en qué aproximaciones utilizaron las mismas cifras el número decimal periódico y en cuáles tuvieron que cambiarlas. 6

TIC

Observa

En el bloque 2 estudiaremos cómo transformar en fracciones números decimales periódicos.

Observa

El signo ≈ significa: “aproximadamente igual a”.

25

3/29/12 12:44 PM

Lección 3 Orden de fracciones en la recta numérica

PREGUNTA INICI A L

¿Cuál es el menor número de partes en que podrías dividir el segmento de 0 a 1 de una recta numérica para localizar la fracción 45 ? 150 1

Lee el problema y haz lo que se pide. El pistón de una máquina tiene seis anillos cuyos grosores se muestran en la ilustración (en fracciones de pulgada). Los anillos deben instalarse ordenados de menor a mayor grosor. 17 16

1 4

5 4

7 8

3 8

5 16

a) Escoge una recta numérica y representa en ella las medidas de los seis anillos. 0

1 5 3 4 16 8

7 8

1 17

2

5 4

16

2

1

0

b) Explica por qué no escogiste la otra recta.

R.P.

c) ¿Te hubiera servido una recta con el segmento de 0 a 1 dividido en catorce partes

No. iguales?

¿Por qué? R.T.Nosepuederepresentarninguna.

d) ¿Sería adecuado dividir el segmento de 0 a 1 en 32 partes iguales? Sí. ¿Por qué? R.T.Sepuedenrepresentartodaslasfracciones. e) ¿En qué otro número de partes iguales sería adecuado dividir el segmento de 0 a 1? Subraya las cantidades que podrían servir para este fin. 2 Recuerda

El símbolo > significa “mayor que” y el símbolo < significa “menor que”.

8

5

15

24

40

48

60

64

72

80

f) Representa las medidas de los anillos con otras fracciones que tengan denominadores iguales entre sí. 17 = 17 16 16

4 1 4 = 16

20 5 4 = 16

14 7 8 = 16

5 5 16 = 16

3= 6 8 16

g) Escribe las medidas de los anillos ordenadas de menor a mayor.

1 4

<

5 16

<

3 8

<

7 8

<

17 16

<

5 4

26


3/29/12 12:44 PM


•

Comenta con tus compañeros la relación entre el orden de las fracciones y su ubicación en la recta numérica. Recuerda

Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor. Por ejemplo, 1, 2 y 3 son equivalentes. 2 4 6 Para ordenar fracciones es conveniente convertirlas en equivalentes con el mismo denominador. Para encontrar una fracción equivalente a otra se multiplican o se dividen tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Por ejemplo: 2= 2×2 = 4 6 6 × 2 12 2

2= 2÷2 =1 6 6÷2 3

Representa las fracciones en las rectas numéricas.

Recta 1 3 1 5 a) 5, 3 y 3

Recta 2 3 1 b) 6, 2 y 4 3

Recta 3 1 3 3 c) 8, 4 y 2

Recta 4 4 2 d) 1 9, 6 y 3

Recta 5 5 4 e) 6, 2 9 y 18

1 3

0

3 5

5 3

2

1 2 0

0

3 6

1

1 8

3 4

1

4 3

2 Recuerda

3 2

2

2 3 0

4 6

1 9

1

2

4 18 0

2 9

5 6

1

En Juegos y retos, de las páginas 20 y 21, se muestra un método para dividir un segmento en partes iguales. Puedes usarlo para dividir las rectas sin necesidad de asignar a la unidad una medida específica.

f) ¿Qué parejas de fracciones localizaste en el mismo punto de la recta numérica?

2 2 4 4 3 1 ;yRecta5:_y_ Recta1:_ y_,Recta4:_y_ 2 6 3 6 18 9 Las fracciones equivalentes se representan con el mismo punto en la recta numérica. 3

Justifica tu respuesta a la pregunta inicial de la lección con base en los conocimientos adquiridos.



27

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Lección 4 Ubicación de fracciones en la recta numérica

PREGUNTA INICI A L

3 Si la longitud de una cuerda es 4 m, ¿qué parte de la cuerda falta para completar 1 m? 1

Lee el texto, analiza la tabla y contesta.

Cinco amigos jugaron al salto de longitud sobre una línea recta, marcaron con gis la longitud de sus saltos en la recta y, para medirlos, usaron una cuerda dividida en partes iguales por nudos. Los resultados se presentan en la tabla.

Nombre

Arturo

Cristina

Leonor

Jorge

Rodrigo

Longitud del salto

5 2 de cuerda

3 4 de cuerda

una cuerda

5 de cuerda 3

4 de cuerda 3

a) ¿Quién saltó más?

Arturo.

b) ¿Quién dio un salto de más de dos cuerdas de longitud?

Arturo.

c) ¿Quién saltó menos de una cuerda de longitud? Cristina. 2

Reúnete con un compañero, lean el texto y hagan lo que se pide.

Al día siguiente, los niños regresaron al lugar donde habían saltado, pero, como había llovido, varias marcas se borraron. Solo encontraron estas dos.

Cristina

RodrigoJorge

Leonor

Arturo

a) Si se mide con la cuerda, ¿cuál será la distancia entre la marca de Leonor y la de Arturo? Tresmediosdecuerda. b) Ubiquen en el dibujo anterior la marca desde donde se mide la longitud de los saltos.

Escriban qué método emplearon. R.T.Seubicaadosterceraspartesdela distanciaentrelasmarcasdeLeonoryArturo. c) Localicen también las marcas de Cristina, Jorge y Rodrigo. Después verifiquen las respuestas de las preguntas a), b) y c) de la actividad anterior. Si encuentran diferencias, seguramente se deberá a un error. Corríjanlo. En la recta numérica un número mayor se localiza a la derecha de otro menor.

28


3/29/12 12:44 PM


3

Lee el texto y efectúa lo que se pide.

Arturo, Ricardo, Silvia y Míriam salen de la escuela secundaria y caminan en línea recta hacia sus hogares. La distancia de la escuela a la casa de cada uno se registra en la siguiente tabla. Distancia de la escuela a su casa Arturo (A) 11 2 km 2 km Ricardo (R) 5 Silvia (S) 13 4 km 2 km Míriam (M) 3 a) Arturo representó en esta recta la ubicación de su casa y la de Silvia. Localiza los puntos en que debe representar la escuela, la casa de Ricardo y la de Míriam.

A

EscuelaRM

S

b) Míriam representó en esta recta la ubicación de su casa y la de Ricardo. Localiza los puntos en que debe representar la escuela, la casa de Arturo y la de Silvia.

Escuela

RM

A

S

c) Compara tus respuestas con las de un compañero, corrige las que sean incorrectas y contesta las preguntas. i)

¿El orden de las casas es diferente en las representaciones de Arturo y Míriam? ¿Por qué? R.T.Porquelasdistanciasnocambian.

No.

ii) Observa que la distancia entre las casas de Arturo y Míriam no es igual en ambas

representaciones. ¿Por qué? R.T.Porquelamedidadelaunidadcambia. iii) Rosa vive entre las casas de Arturo y Míriam. ¿A qué distancia de la escuela es 4 __ posible que se encuentre su casa? Menciona tres opciones. R.T.5dekm, 5 1km,__ km. 4

4

Considera la pregunta inicial y revisa tu respuesta. Compárala con la de tus compañeros, busquen juntos la respuesta correcta y justifíquenla.



29

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Lección 5 Escala en la recta numérica ¿Qué recta usarías para representar 4? 3 1

PREGUNTA INICI A L

0

50

0

2

Escribe la fracción indicada con el punto rojo en cada recta y contesta en tu cuaderno. 0

1

1 2

0

1

1 2

a) ¿Qué fracción localizaste en ambas rectas? b) ¿Por qué la distancia entre 0 y la fracción que escribiste no es la misma en ambas rectas? 2

Encuentra el punto donde se ubica el 1 en las rectas numéricas.

a)

b) 0

2 3

c) 0

• Recuerda

3

Una fracción simplificada o irreductible es aquella cuyo numerador y denominador tienen el 1 como único divisor común.

a)

0

1

3 5

d)

1

0 3 5 1 2 3 Compara y justifica tus respuestas en grupo. Comenten las estrategias que siguieron para hallar el número 1 y determinen la distancia de 0 a 1 en cada recta.

1

Localiza la fracción que se encuentra a la misma distancia de las dos señaladas con puntos rojos en cada recta y escríbela como una fracción simplificada. Puedes dividir la recta en las partes iguales que desees. Observa el ejemplo.

0 b)

1 3

1 2

0

5 8

c) 0 d)

3 4

1

2 3

1 2

9 8

3 4

1

3 2

2

5 12 14 53 5 3 15 Reúnete con un compañero y compara tus respuestas. Si hay diferencias, busquen juntos la solución correcta. Comprueben que la fracción que encontraron se halla a la misma distancia de las otras dos. Después, calculen y anoten en su cuaderno la distancia de 0 a 1 en cada recta. Comparen sus resultados con el grupo y justifíquenlos. 0

•

30


3/29/12 12:49 PM


4

Escribe la fracción que corresponde al punto rojo en cada recta y contesta.

a)

0

b)

0

c)

1

1 4 2 4 3 4

0

2 Recuerda

3

2 representa d) ¿Qué diferencias hay entre las rectas anteriores? R. T. La unidad es distinta. 3 dos partes de un 1 entero dividido e) ¿Qué fracción representa el punto rojo de la recta del inciso a)? 4 en tres o dos enteros que se f) ¿La fracción que corresponde al punto rojo de la recta de b) vale el doble que la fracción dividen en tres de a)? Sí. ¿Por qué? R. T. Porque la unidad mide el doble que en la recta a). partes iguales. g) ¿La fracción que indica el punto rojo de la recta de c) vale el triple que la que locali zaste en la recta de a)?

Sí.

¿Por qué? R. T. Porque la unidad mide el

triple que en la recta a). 5

Lee el texto y haz lo que se pide.

En el siglo vi a. n. e. (antes de nuestra era), Pitágoras de Samos descubrió la relación entre la longitud de una cuerda y la nota que se emite al pulsarla. Por ejemplo, si una cuerda que corresponde a la nota sol mide una unidad, las longitudes de las otras para obtener las notas la, si, do, re, mi y fa serán las siguientes. fa: 16 15

•

mi: 6 5

re: 4 3

do: 3 2

si: 8 5

la: 16 9

Observa la longitud de la cuerda de do y traza las otras cuerdas.

sol fa mi

Observa

El segmento de do dibujado representa 3. 2

re do si la 6

Considera de nuevo tu respuesta de la pregunta inicial y comenta con tus compañeros la importancia de conocer la distancia de 0 a 1 en la recta numérica. Anoten las conclusiones en su cuaderno, coméntenlos con el grupo y obtengan conclusiones generales.



31

3/29/12 12:49 PM

Lección 6 Densidad en la recta numérica PREGUNTA INICI A L

Considera la sucesión 1, 1, 1, 1 … y contesta: ¿cuántas fracciones hay entre 0 y 1? 2 4 8 16 2 Encuentra la fracción que corresponde al punto rojo y contesta.

1

1 4

0

Observa

Puedes comparar distancias usando tu compás.

1 2

3 8

a) ¿Cuál es la distancia entre 1 y 1? 4 2

1 4

b) ¿Cuál es la distancia entre 1 y la fracción que escribiste? 4

1 8

c) ¿Qué fracción se encuentra a la misma distancia de 0 y de 1? 4

1 8

d) Escribe dos fracciones equivalentes a la fracción que anotaste en el inciso a).

2 8

4 16

Escribe las fracciones indicadas con puntos rojos en la recta y contesta.

2

0

1 9

a) ¿Cuál es la mitad de 1? 3

1 6

1 3

2 9

1 6

b) ¿Cuál es la tercera parte de 1? 3

1 9

c) ¿Qué fracción se encuentra a la misma distancia de 1 y de 2? 3 3

1 2

Ubica dos fracciones que se encuentren entre los puntos rojos. R. T.

3

0

3 2

9 4

13 4

25 4

7

32


3/29/12 12:49 PM


•

Comprueba en el recuadro que las fracciones encontradas sean mayores que 3 y 2 menores que 25. Conviértelas en fracciones equivalentes con denominador común o 4 utiliza los productos cruzados. Recuerda

R. T. 3 2

=

6 4

3 2 25 4

>

< 9 4

9 4

3 2

<

25 4

>

13 4 13 4

Para comparar dos a fracciones b y dc , es posible emplear los productos cruzados. Si a × d > b × c, entonces c a b > d. Si a × d < b × c, entonces a c b < d. Si a × d = b × c, entonces a c b = d.

4

Contesta las preguntas.

a) Si dos fracciones distintas están representadas en la recta numérica, ¿siempre encontrarás una fracción que se localice entre ellas?

¿Por qué? R. T.

Sí.

Porque se puede encontrar la que está en medio. b) Si dos fracciones distintas están representadas en la recta numérica, ¿siempre encontrarás dos fracciones que se localicen entre ellas?

Sí.

¿Por qué?

R. T.

Porque se pueden encontrar las que dividen el segmento en tres. En la recta numérica siempre puede encontrarse una fracción entre otras dos distintas. Esta propiedad de las fracciones se llama densidad. 5

Lee de nuevo la pregunta planteada en el inciso a) de la página 19 y amplía tu respuesta.

6

Junto con algunos compañeros explica al grupo la respuesta de la pregunta inicial de la lección.



33

3/29/12 12:49 PM

Lección 7 Números decimales en la recta numérica

PREGUNTA INICI A L

Para ubicar 0.6 en la recta numérica, ¿es necesario dividir el segmento de 0 a 1 en diez partes iguales? 1

Representa las cantidades en la recta numérica. Después contesta. 1 1 4 9 13 3 10, 5, 5, 10, 10, 2, 0.1, 0.2, 0.8, 0.9, 1.3, 1.5

0.1 0.2 0

1 10

0.8 0.9 1 2

1 5

4 5

9 10

1.3

1.5

13 10

3 2

a) ¿Qué cantidades ubicaste en el mismo punto de la recta? Anótalas en tu cuaderno. Recuerda

Los números decimales pueden expresarse con fracciones decimales. Por ejemplo: 0.7 = 7 10

3.2 = 32 100

0.45 = 45 100

1.023 = 1 023 1 000

0.5 b) ¿Qué número decimal es equivalente a 1? 2 2 Localiza los números en la recta numérica. Después discute la pregunta en grupo y lleguen a conclusiones. a) 0.56, 0.57, 0.60, 0.64, 0.645, 0.655, 0.7 0.645 0.655

0.55 0.56 0.57

0.60

0.64

0.65

b) 1.312, 1.319, 1.322, 1.328, 1.3285, 1.329 1.3285

1.31

1.312

1.319

1.322

1.328 1.3291.33

c) ¿En cuántas partes dividieron el intervalo indicado en cada recta numérica? ¿Cuánto vale el espacio entre las divisiones en cada caso? 3

Observa

Después del punto decimal es posible eliminar los ceros al final de un número.

Observa las rectas numéricas y contesta las preguntas.

Recta 1 Recta 2

0

1

0

1

a) ¿Podrías representar el número 0.3 en la recta 1? Sí. b) ¿Qué recta escogerías para representar el número 0.37? La recta 2. c) ¿Podrías representar 0.70 en la recta 1 sin hacer más divisiones? Sí.

34


3/29/12 12:49 PM


4

Lee el texto y haz lo que se pide.

Don Fabián es un carpintero que elabora bancos y mesas para niños. Ha determinado la altura ideal para sus productos, la cual se muestra en la tabla. Altura menor (m)

Altura mayor (m)

Banco

0.25

0.4

Mesa

0.5

0.7

a) Don Fabián ha elaborado bancos con las medidas que se indican a continuación. Localízalas en la recta numérica y contesta. 0.3, 0.17, 0.26, 0.28, 0.33, 0.41

0.17

0.26 0.28 0.25

0.33

0.41 0.4

0.3

¿Qué medidas fueron menores y mayores que la ideal? 0.17 y 0.41 b) Don Fabián también fabricó varias mesas. Representa las medidas en la recta numérica y contesta. 0.53, 0.77, 0.65, 0.55, 0.71, 0.75

0.530.55 0.5

0.65

0.71 0.750.77 0.7

¿Qué medidas fueron menores y mayores que la ideal? 0.71, 0.75 y 0.77

• 5

Comenten en grupo sus procedimientos para ubicar los números decimales en las rectas y, con ayuda de su profesor, elijan las mejores. Escribe qué fracciones se representan con los puntos rojos en la recta. Después efectúa lo que se pide y contesta en tu cuaderno. Recuerda

0

1 3

2 3

1

a) Divide el segmento de 0 a 1 en diez partes iguales y anota cada número decimal. ¿Entre qué números decimales se encuentran las fracciones que localizaste? b) Convierte en números decimales las fracciones que representan los puntos rojos. Si el segmento de 0 a 1 estuviera dividido en 100 partes iguales, ¿entre qué números se encontrarían los puntos rojos? c) Si el segmento estuviera dividido en 1 000 partes iguales, ¿entre qué números se hallarían los puntos?

• 6

En la lección 2 estudiaste cómo convertir una fracción en número decimal.

Comenta en equipo si los números decimales tienen la propiedad de densidad. Expongan sus conclusiones ante el grupo y, con ayuda de su profesor, lleguen a acuerdos. Revisa tu respuesta de la pregunta inicial y compleméntala si es necesario.



35

3/29/12 12:49 PM

Lección 8 Problemas aditivos con fracciones I

PREGUNTA INICI A L

Un señor fue a hacer las compras al mercado y le dijo a un comerciante: “Deme una docena de huevos, pero en tres partes: la mitad para mi esposa, un tercio para mi hijo y un cuarto para mí”. Una vez que el señor se fue, el comerciante efectuó los cálculos y se percató de que había sido engañado. ¿Por qué? 1

Lee el texto, observa los medidores y haz lo que se pide.

Todas las mañanas, una persona se encargaba de llenar el tanque de gasolina de ocho camiones. Un día, los medidores de gasolina marcaban lo que se indica en los dibujos.

Vacío

Lleno

Camión 1

Vacío

Lleno

Vacío

Camión 2

Lleno

Camión 5

Vacío

Vacío

Lleno

Vacío

Lleno

Camión 3

Vacío

Camión 6

Lleno

Camión 4

Lleno

Vacío

Camión 7

Lleno

Camión 8

El encargado registró en una tabla la gasolina que faltaba en cada camión. a) Completa la tabla marcando con ✔ la casilla correspondiente. Observa el ejemplo. Parte del tanque que faltaba llenar Menos de un cuarto

Camión 1

2

4

5

✔

Más de un cuarto y menos de la mitad

6 ✔

7

✔

8 ✔

✔

Más de la mitad y menos de tres cuartos Más de tres cuartos

3

✔

✔

✔

b) Escribe, con base en la tabla anterior, una aproximación de qué fracción de tanques falta para llenar los ocho camiones. Faltaba llenar aproximadamente

15 4

tanques de gasolina.

c) Un día que no hubo gasolina temprano, el encargado decidió sacar la gasolina de un camión para llenar el tanque de otro. En este caso, ¿con qué parejas de camiones podía hacer lo mismo? Escríbelas a continuación.

R. T. 1 y 7, 2 y 8, 3 y 4, 6 y 7

36


3/29/12 12:49 PM

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos

d) Utiliza las parejas que formaste en el inciso anterior para estimar cuánto faltaba llenar. Anótalo en fracciones de tanque. Faltaba llenar aproximadamente


4

e) Escribe fracciones con el mismo denominador que indiquen aproximadamente la parte que faltaba llenar en el tanque de cada camión. Camión 1:

13 16

Camión 2:

4 16

Camión 3:

9 16

Camión 4:

8 16

Camión 5:

4 16

Camión 6:

15 16

Camión 7:

2 16

Camión 8:

14 16

f) Suma las fracciones anteriores y obtén una aproximación del combustible que falta. Faltan aproximadamente

4


g) Forma equipo con dos o tres compañeros y discutan cuál de sus aproximaciones es la más acertada. Argumenten sus respuestas y, si lo consideran necesario, propongan otra aproximación. Anoten las conclusiones en su cuaderno. En ocasiones no es necesario calcular el resultado exacto de un problema, basta con una aproximación. Por ejemplo, en el caso de los tanques de gasolina se trabajó con aproximaciones, ya que sería muy difícil saber la fracción exacta del tanque que está llena en cada camión. 2

Discute con tus compañeros qué semejanzas hay entre el procedimiento que aprendiste en primaria para sumar dos fracciones con el mismo denominador y el que empleaste en la actividad anterior para sumar más de dos fracciones con el mismo denominador. Anoten sus conclusiones en su cuaderno.

3

Efectúa las operaciones.

4 a) 1 + 5 − 2 = 6 6 6 6

=

2 3

4 b) 7 − 1 − 2 = 5 5 5 5

c) 2 + 4 − 1 − 2 = 3 3 3 3

3 3

=1

5 d) 3 − 1 + 2 + 1 = 8 8 8 8 8

•

Reúnete con un compañero y comenta qué estrategias usaste para efectuar las operaciones. Después discútanlas con el grupo.

•

Escoge una operación de las anteriores y plantea un problema que se pueda resolver con ella. Anótalo en tu cuaderno e intercámbialo con tu compañero para solucionarlo.

4

Emplea fracciones para contestar la pregunta inicial.



37

3/29/12 12:49 PM

Lección 9 Problemas aditivos con fracciones II

PREGUNTA INICI A L

1 1 ¿Cuál es el resultado de la operación 1 3 + 5 − 6? 1

vo nue el ju e d

ego

Recuerda que en la página 20 se explicó qué es el cuadrado mágico. En parejas, determinen los números que faltan en los cuadrados. Después contesten. a)

15 16

1 2

13 16

5 8

3 4

11 16

1

15 16

8 16

13 16

14 16

10 16

12 16

14 16

9 16

11 16

16 16

9 16

b)

c) ¿Cómo calcularon la constante del cuadrado del inciso a)?

R. T. Sumando los

números de la columna central. d) ¿Y el primer término desconocido de ese cuadrado? R. T. Restando la constante a

la suma de los números de la última fila. e) ¿De qué manera calcularon la constante del cuadrado del inciso b)? R. T. Sumando

los números de la diagonal que está completa. f) ¿Cómo calcularon el primer término desconocido del segundo cuadrado? R. T.

Restando la constante a los números de la otra diagonal. g) ¿Qué cuadrado resolvieron más fácilmente? El del inciso b).

¿Por qué?

R. T. Porque las fracciones tienen el mismo denominador. h) ¿Qué relación existe entre los dos cuadrados? Tienen los mismos números. Para resolver sumas y restas de fracciones es posible utilizar fracciones equivalentes. 2

Completa los cuadrados mágicos. a)

•

7 100

2 25

3 100

9 5

1 50

3 50

4 5

9 100

2 50

2

3 5

8 5

1

7 5

6 5

11 5

b)

51 20

4 5

41 20

1 10

13 10

9 5

23 10

1 20

31 20

14 5

21 20

c)

Reúnete con un compañero y comprueba tus resultados. Si lo desean, usen una calculadora. Comenten qué estrategias emplearon para completarlos.

38


3/29/12 12:49 PM

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas aditivos

3

Efectúa las operaciones. Expresa los resultados de la manera más simple posible.

1 a) 3 + 4 − 1 = 1 4 2 2

1 1 b) 1 3−6−6=0

4 1 1 c) 1 2−6+3= 6

d) 1 − 1 + 3 = 5 2 4 8 8

3 3 1 e) 2 − 4 + 8 = 7 8

9 3 f) 4 − 2 + 3 = 3 4 2

• 4

Verde

De manera grupal expongan cómo efectuaron sus cálculos y busquen los métodos que les parezcan más eficientes. Rodea con rojo las operaciones cuyos resultados se aproximen a 1, con azul 1 aquellas cuyos resultados se acerquen a 2, y con verde las que tengan resultados próximos a 1 1 . 2 Rojo

5 a) 6 + 3 5 Rojo

5

3 5 b) 7 + 8 Azul

3 g) 5 3−4

Azul

3 h) 19 10 − 2

Rojo

2 2 d) 3 + 7

c) 2 + 1 5 9 Azul

Azul

Rojo

Azul

3 i) 5 − 1 9

1 e) 1 4+5

2 j) 2 3 − 10

3 k) 7 4−5

Rojo

3 1 f) 4 + 3 Azul

1 l) 3 4−3

Con base en la actividad anterior, estima el resultado de las operaciones.

3 a) 5 + 5 − 1 2 ≈1 6

1 1 b) 3 5 − 9 + 2 ≈1

5 c) 5 + 3 −3− 8 ≈ 1 6 5 7 2

1 1 d) 2 5+9+1≈1 2

3 19 1 e) 10 + 1 − 2 ≈ 1 2

2 2 1 1 f) 3 + 7 − 4 + 1 5≈ 2

6

Resuelve el problema.

2 En un grupo de primer grado de secundaria, 3 de los alumnos juegan futbol y 1, basquet5 bol. ¿Qué parte del grupo no practica ninguno de estos deportes?

2 del grupo no practica esos deportes. 15 7

Plantea un problema que pueda resolverse con alguna de las operaciones de la actividad 5 e intercámbialo con un compañero para encontrar la solución exacta.

8

Reúnanse en equipos y propongan un método para efectuar la siguiente operación. 21 + 3 −13 2 4 8

• 9

Comenten sus conclusiones en grupo y con ayuda de su profesor elijan el procedimiento más adecuado. Revisa tu respuesta de la pregunta inicial. Considera si ahora puedes resolver la operación de manera más eficiente.



39

3/29/12 12:49 PM

Lección 10 Sucesiones I

PREGUNTA INICI A L

¿Qué figura sobra en la sucesión? ¿Por qué?

1

Dibuja las figuras que faltan en las sucesiones.

a)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

b)

Figura 1 c)

Figura 1 d)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura 5

40


3/29/12 12:49 PM


2

Reúnete con un compañero y compara tus respuestas de la actividad anterior. Expliquen enseguida por qué dibujaron cada figura. Incluyan comentarios acerca de cuáles son las diferencias entre una figura y la siguiente.

a) R. T. Se van agregando dos círculos. b) R. T. Se van agregando dos cuadrados. c) R. T. Se van agregando cuatro triángulos. d) R. T. Se van agregando cuatro cuadrados. Una sucesión de figuras es una secuencia de figuras dispuestas una después de otra. La diferencia entre una figura y la siguiente se determina con una regla. 3

Dibuja sucesiones de cuadrados que sigan las reglas dadas.

a) La primera figura tiene tres cuadrados; después, a cada figura se aumentan dos cuadrados. Siempre se forma un ángulo recto.

R. T.

b) La primera figura tiene tres cuadrados; después, a cada figura se aumentan tres cuadrados. Siempre se forma un cuadrado o un rectángulo.

R. T.

•

Compara tus sucesiones con las de tus compañeros. Juntos revisen si se cumplen las reglas indicadas. Observen que puede haber distintas sucesiones correctas. Comenten qué características de las sucesiones determinan las reglas anteriores.

4

Revisa en pareja la pregunta inicial y decidan cuál es la figura que sobra y por qué. Redacten en su cuaderno cómo se determina la diferencia entre una figura y la siguiente.



41

3/29/12 12:49 PM

Lección 11 Sucesiones II

PREGUNTA INICI A L

¿Cuál es la relación entre la sucesión de figuras y la de números?

1, 3, 6, 10… 1

Observa las figuras formadas con palillos y, después, contesta.

a) ¿Cuántos triángulos forman la primera figura?

1

¿Y cuántos palillos?

3

b) ¿Cuántos triángulos forman la segunda figura?

2

¿Y cuántos palillos?

6

c) Si se sigue la secuencia de figuras, ¿cuántos triángulos tendrá la sexta figura?

6

¿Y cuántos palillos? 18 d) Completa la tabla. Triángulos

1

2

3

4

5

6

7

Palillos

3

6

9

12

15

18

21

8

9

10

11

12

13

24

27

30

33

36

39

e) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla? f) ¿Y cómo va cambiando la cantidad de palillos?

De uno en uno.

De tres en tres.

g) ¿Cuántos palillos tendrá una figura formada por 20 triángulos? h) ¿Cuántos palillos habrá en una figura de 105 triángulos?

60 315

i) Reúnete con un compañero y contesten la siguiente pregunta en su cuaderno. Verifiquen sus respuestas usando la tabla anterior.

• 2

Si se sabe cuántos triángulos forman una figura, ¿cómo se calcula cuántos palillos tiene? Observa las figuras y completa la tabla. Después, contesta.

Triángulos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Palillos

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

a) ¿Cómo va cambiando el número de triángulos en la tabla? Aumenta de uno en uno.

42


3/29/12 12:52 PM


b) ¿Cómo va cambiando la cantidad de palillos?

Aumenta de dos en dos.

c) ¿Cuántos palillos tendrá una figura formada por 15 triángulos?

31

d) En esta secuencia, ¿cuántos palillos tendrá la figura de 78 triángulos?

e) ¿Cuántos triángulos integrarán la figura de 81 palillos?

157

40

f) Si se conoce el número de triángulos que hay en una figura, ¿cómo se calcula la cantidad de palillos? 3

R. T. Se multiplica por 2 y se suma 1.

Observa las sucesiones de figuras y completa las tablas.

a)

Cuadrados

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Palillos

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

Cuadrados

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Palillos

7

12

17

22

27

32

37

42

47

52

b)

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16… Cada número de la secuencia se denomina término de la sucesión. 4

Observa las sucesiones y contesta.

A. 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18…

B. 1, 4, 7, 10, 13, 16…

C. 2, 5, 8, 11, 14, 17…

qué se parecen y en qué se diferencian las tres sucesiones? a) ¿En

R. T. En todas se

va sumando tres, pero inician en números distintos. b) Anota en tu cuaderno una regla para cada sucesión. Después compáralas con las de tus compañeros y verifica que sean correctas. 5

Revisa la pregunta inicial y anota en tu cuaderno una regla para cada sucesión.



43

3/29/12 12:52 PM

Lección 12 Sucesiones III

PREGUNTA INICI A L

¿Cuáles son las reglas de las sucesiones? 1, 7, 13, 19, 25… 1

2, 4, 8, 16, 32…

Observa las sucesiones de figuras y completa las tablas.

a) Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura

1

2

3

4

5

6

7

Núm. de triángulos

1

3

5

7

9

11

13

b)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura

1

2

3

4

5

6

7

Núm. de cuadrados

1

5

9

13

17

21

25

c)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura

1

2

3

4

5

Núm. de cuadrados

1

4

16

64

256

6

7

1 024 4 096

d)

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Figura

1

2

3

4

5

6

7

Núm. de triángulos azules

1

3

9

27

81

243

729

44


3/29/12 12:52 PM


2

Escribe cómo se forman las sucesiones númericas anteriores y responde.

a) R. T. Se inicia en 1 y se suma de dos en dos. b) R. T. Se inicia en 1 y se suma de cuatro en cuatro. c)

R. T. Se inicia en 1 y se va multiplicando por 4.

d) R. T. Se inicia en 1 y se va multiplicando por 3.

e) ¿Qué relación tienen las reglas de las sucesiones de los incisos a) y b)? Se inicia en 1 y se va sumando. f) ¿Cuáles son las semejanzas y diferencias entre las sucesiones c) y d)? Inician en el mismo número, pero en una se multiplica por 3 y en la otra, por 4.

Los elementos que forman una sucesión se llaman términos. Una sucesión tiene progresión aritmética si la diferencia entre un término y el siguiente es un número constante. Una secuencia en que cada término se multiplica por un número constante para obtener el término siguiente es una sucesión con progresión geométrica. 3

Escribe cómo se forma cada sucesión. Sucesión

Regla

a) 5, 25, 125, 625, 3 125…

Se multiplica por 5 el término anterior.

b) 6, 26, 126, 626, 3 126…

Se multiplica por 5 y se resta 4.

c) 3, 23, 123, 623, 3 123…

Se multiplica por 5 y se suma 8.

d) 10, 35, 135, 535, 2 135…

Se multiplica por 4 y se resta 5.

¿Cuál es la relación entre las sucesiones anteriores? Los términos se obtienen multiplicando por un número determinado. 4

Escribe cuatro sucesiones numéricas que tengan una regla similar a las que anotaste en la actividad anterior, pero cuyo primer término sea 2.

a) R. T. 2, 22, 122, 622, 3 122... b) R. T. 2, 4, 8, 16, 64... c) R, T. 2, 8, 26, 80. 242... d) R. T. 2, 14, 62, 252, 1 022... Si se suma o resta el mismo número a cada término de una sucesión con progresión geométrica, se obtiene otra sucesión con progresión geométrica. 5

Redacta en tu cuaderno una regla para cada sucesión de la pregunta inicial.



45

3/29/12 12:52 PM

Juegos y retos Triángulos y más triángulos Secuencia de triángulos Resuelve los retos. a) Observa las figuras y contesta.

Figura 1

Figura 2

Figura 1

Figura 3

Figura 2

Figura 3

Figura 4 Figura 4

Si cada lado del triángulo de la figura 1 mide 4 cm, ¿cuál es el perímetro de cada trián3 __ 2 cm gulo azul de la figura 4? b) ¿Cuál es el cuadrilátero cuyas diagonales lo dividen en cuatro triángulos isósceles y rectángulos?

El cuadrado.

c) ¿Cuántos triángulos con la misma área se encuentran en la siguiente figura?

6

46


3/29/12 12:52 PM

PISTAS Y ESTRATEGIAS

a) Para calcular el perímetro de cada triángulo amarillo de la figura 4, observa cómo cambia la longitud de los triángulos azules en cada figura. b) Recuerda que las diagonales de un cuadrilátero son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

c) Para encontrar triángulos con la misma área, recuerda que esta es la mitad del producto de las medidas de la base y la altura. Busca triángulos con bases y alturas de la misma medida. Para ello, fíjate en los puntos medios del triángulo mayor que están marcados con rojo en la figura.

47


3/29/12 12:52 PM

Lección 13 Fórmulas geométricas I

PREGUNTA INICI A L

¿Es posible calcular el área de un cuadrado con la fórmula b × h? ¿Por qué? 1

Lee el texto, observa las fotografías y haz lo que se pide.

Elena tiene varias fotografías y quiere enmarcarlas. Necesita saber cuál es el perímetro de cada una para estimar la cantidad de material que requiere.

Fotografía 1

Fotografía 2

Fotografía 3

a) Escribe los datos que Elena necesita conocer.

Fotografía 4

R. T. la medida de los lados de las

fotografías. b) Anota dos procedimientos para calcular el perímetro de la fotografía 1. No escribas fórmulas.

Procedimiento 1:

R. T. Se suman las medidas de los cuatro lados.

Procedimiento 2:

R. T. Se multiplica la medida de un lado por 4.

c) Supón que cada lado de la fotografía 1 mide 13 cm. i)

Escribe una suma que permita calcular su perímetro: 13 + 13 + 13 + 13

ii) Anota una multiplicación que permita calcular su perímetro: 4 × 13 d) Supón que la fotografía 1 mide 2 dm de lado. i)

Escribe una suma que permita calcular su perímetro:

2 + 2 + 2 + 2

ii) Anota una multiplicación que permita calcular su perímetro: 4 × 2 Observa

La letra a en el dibujo representa la longitud del lado del cuadrado. Esta longitud puede ser cualquier número mayor que 0.

e) Escribe una suma y una multiplicación para calcular el perímetro de este cuadrado. Después completa la tabla.

a

Suma: a + a + a + a Multiplicación: 4 × a Valor de a Suma Multiplicación

1

4

2

3

4

6

8

13

15

8 12 16 24 32 52 60

4 x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 4 4 x 6 4 x 8 4 x 13 4 x 15

48


3/29/12 12:52 PM


f) Elena calculó que el perímetro de la fotografía 1 es 50 cm. Anota la medida de cada lado: 12.5 cm g) Escribe un procedimiento para calcular el perímetro de la fotografía 2. Recuerda no

anotar fórmulas: R. T. Se multiplica la longitud de un lado por 5. h) Los lados del pentágono de la derecha son de la misma medida. Anota una suma y una multiplicación para calcular su perímetro. a

Suma: a + a + a + a + a Multiplicación: 5 × a

i) Escribe las operaciones aritméticas necesarias para calcular lo que se pide. No anotes el resultado.

12.1 cm

17 cm

16.2 cm

R. T.

11.5 cm

Longitud de líneas verdes: 11.5 + 11.5

2 × 16.2 Longitud de líneas verdes:

Longitud de líneas rojas: 17 + 17

Longitud de líneas rojas: 2 × 12.1

Suma de las longitudes 11.5 + 11.5 + 17 + 17 Suma de las longitudes 2 × 16.2 + 2 × 12.1 j) Anota dos expresiones distintas para calcular el perímetro del rectángulo.

l

P = a + m + a + m P = 2 × a + 2 × m

a m

Los lados del hexágono de la izquierda tienen la misma longitud. El perímetro de la figura se calcula con la fórmula P = 6 × l, o bien, P = l + l + l + l + l + l. Las expresiones algebraicas 6 × l y l + l + l + l + l + l son equivalentes. 6×l=l+l+l+l+l+l

Las literales son letras que se utilizan para representar números. Con ellas se pueden representar operaciones aritméticas. 2

En equipos, comparen sus respuestas de la actividad anterior. Justifiquen y expliquen sus procedimientos de solución.

3

Revisa tu respuesta de la pregunta inicial. Considera cuál es el valor de b y h para un cuadrado.



49

3/29/12 12:52 PM

Lección 14 Fórmulas geométricas II

PREGUNTA INICI A L

x+1 ? Si se conoce el valor de x, ¿cómo se calcula el valor de 2

de

vo nue e

l reto

1

Observa las figuras y contesta. a 2 a

a 4

Figura 1

Figura 2

Figura 3

a) ¿Cuál es el perímetro del triángulo de la figura 1? 3 × a 3 __ b) Anota el perímetro del triángulo azul de la figura 2: 2 × a

3 __ c) Escribe el perímetro del triángulo azul de la figura 3: 4 × a

d) Completa la tabla.

Perímetro del triángulo de la figura 1 Perímetro del triángulo azul de la figura 2 Perímetro del triángulo azul de la figura 3 2

1 cm

2 cm

3 dm

Valor de a 4 dm

3 cm

6 cm

9 dm

12 dm

15 m

51 m

84 m

1.5 cm

3 cm

4.5 dm

6 dm

7.5 m

25.5 m

42 m

1.5 cm 2.25 dm

3 dm

3.75 m

12.75 m

21 m

0.75 cm

5m

17 m

28 m

Lee el texto y contesta.

El tablero de ajedrez es un cuadrado dividido en 64 cuadros denominados casillas o escaques. En una tienda venden tableros de ajedrez de distintos tamaños. a) En un tablero los lados de los escaques o casillas miden 5 cm. ¿Con qué operación se calcula el área de cada uno?

5 × 5 b) Si en otro tablero los escaques miden 5.5 cm, ¿con qué operación se calcula el área de cada uno? 5.5 × 5.5

x

c)

Un tablero mide 45 cm de lado. ¿Con qué operación se calcula su área?

45 × 45 d) ¿Cuál es el área del cuadrado de la izquierda? x × x 3

50


En equipos de cuatro o cinco integrantes comparen sus respuestas de las actividades 1 y 2, y justifíquenlas. Comenten cuál es la relación entre las expresiones escritas en los incisos a), b), c) y d), y la manera en que se calcularon los valores de la tabla.

3/29/12 12:52 PM


4

Escriban el perímetro y el área de las figuras usando las literales indicadas. Después completen las tablas.

a)

Fórmulas h b Triángulo equilatero

b)

P=

3 × b

A=

b × h 2

Fórmulas a b Rectángulo

c) h

b Romboide

d)

b Trapecio

•

b = 4 cm h = 3.5 cm

12 cm

7 cm2

b=7m h=6m

21 m

21 m2

Datos

Perímetro

Área

12.6 dm

9.5 dm2

A = a × b

a = 6 dm b = 9.2 dm

30.4 dm

55.2 dm2

Datos

Perímetro

Área

15 m

11.7 m2

30 dm2

P = 2 × a + 2 × b

a=3m b = 4.5 m h = 2.6 m

A = b × h

a = 7 dm b = 6 dm h = 5 dm

26 dm

Datos

Perímetro

B h

Área

a = 2.5 dm b = 3.8 dm

Fórmulas

m

Perímetro

P = 2 × a + 2 × b

Fórmulas a

Datos

Área

P = B + b + 2 × m

B = 18 cm b = 12 cm h = 13 cm m = 14 cm

58 cm

195 cm2

(B + b) × h 2 A=

B = 2.3 dm b = 1.5 dm h = 1.3 dm m = 1.7 dm

7.2 dm

2.47 dm2

Comenta con tus compañeros qué valores podrían tomar las literales de las figuras de arriba.

Las literales pueden usarse para representar las medidas de una figura. Con las literales se pueden representar las operaciones que deben hacerse para calcular el área o el perímetro. Estas expresiones se llaman fórmulas. 5

Revisen sus respuestas de la pregunta inicial y calculen el valor de la expresión x+1 . para algunos valores de x. 2



51

3/29/12 12:52 PM

Lección 15 Trazado de triángulos I

PREGUNTA INICI A L

¿Cómo trazarías un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 4 cm y 6 cm? 1

Observa

Observa la figura y anota por qué ∆ABC es equilátero.

∆ABC significa el triángulo con vértices A, B y C.

C Las circunferencias son iguales y sus centros son A y B.

A

A

R. T. Los tres lados del triángulo son radios

B

del círculo, por eso miden lo mismo. B C

2

Los vértices de un triángulo son los puntos donde se unen sus lados.

Escribe por qué ∆DEF es isósceles. F

E

Las circunferencias son iguales y sus centros son D y E.

Los lados que van de D a F y de F a E

D

son radios del círculo, por eso miden lo mismo. Observa

Segmento es la parte de una recta determinada por dos puntos. segmento

3

Observa los trazos y contesta.

a) Se traza un segmento de 5 cm. Sus extremos se nombran G y H.

G

H

Los lados de un polígono son segmentos.

b) Se trazan circunferencias de 4 cm y 3 cm de radio con centros en G y H, respectivamente.

G

H

c) Se señala con I uno de los puntos donde se cortan las circunferencias y se trazan dos segmentos para formar ∆GHI. ¿Cuánto miden los lados de ∆GHI?

I

5 cm, 4 cm y 3 cm ¿Cómo lo sabes? Porque el lado GH se G

H

trazó así y los otros dos lados son radios de las circunferencias.

52


3/29/12 12:52 PM

Eje: Forma, espacio y medida Tema: Figuras y cuerpos

4

Con solo regla y compás, traza triángulos cuyos lados midan lo que se indica en cada inciso. Uno de ellos no se puede trazar, pero los otros sí.

a) 3 cm, 2.5 cm y 2 cm

•

b) 3 cm, 3 cm, 2 cm

c) 1 cm, 3 cm, 2 cm

Explica por qué no es posible trazar uno de los triángulos.

R. T. El c), porque uno de los lados es muy grande.

•

5

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y elijan las más adecuadas. Después propongan tres medidas con las que sí pueda trazarse un triángulo y tres con las que no. Calca y recorta en papel los triángulos que trazaste, y haz lo que se pide.

a) Reúnete con tres o cuatro compañeros y verifiquen que los lados de sus triángulos tengan las medidas correctas. b) Comprueben si pueden superponer sus triángulos. c) Averigüen qué sucedió en los otros equipos. d) Comenten sus conclusiones. Aunque estén dados tres segmentos, no siempre es posible construir un triángulo con ellos. Si puede trazarse con tres segmentos dados, es único. 6

Considera la pregunta inicial y traza el triángulo en tu cuaderno.



53

3/29/12 12:52 PM

Lección 16 Trazado de triángulos II

PREGUNTA INICI A L

Si los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm, ¿cuál es la medida del lado desigual? Observa

AB significa un segmento cuyos extremos son los puntos A y B.

1

Observa las figuras y haz lo que se pide.

AB mide 3 cm, C es uno de los puntos donde las circunferencias se tocan y el radio de estas mide 2.5 cm. C

A

B

a) Explica por qué ∆ABC es isósceles.

R. T. Porque AC y CB miden 2.5 cm. b) Traza en tu cuaderno la figura anterior y otras parejas de circunferencias de radio menor. Para cada par traza triángulos con vértices A, B y el punto donde se cruzan, como se ve en la figura. C

A

•

B

Contesta. i)

Si el radio de las circunferencias mide 1 cm, ¿se puede trazar un triángulo?

No.

¿Por qué? R. T. Porque las circunferencias no se cruzan.

ii) Si los radios de las circunferencias van disminuyendo, ¿a partir de qué medida ya no es posible trazar un triángulo? A partir de 1.5 cm.

54


3/29/12 1:01 PM


c) Traza en tu cuaderno la figura anterior y circunferencias con centro en B cuyo radio sea cada vez mayor, así como triángulos con vértices A, B y el punto donde se cortan las circunferencias, como se ve en la figura.

C

A

•

B

Contesta. i) Si el radio de la circunferencia con centro en B mide 10 cm, ¿se puede trazar un triángulo? No.

¿Por qué? R. T. Porque las circunferencias no se

cruzan. ii) Si el radio de la circunferencia con centro en B va aumentando, ¿a partir de qué medida ya no es posible trazar un triángulo? 3 cm 2

Observa las medidas de los segmentos y escribe si es posible trazar un triángulo con ellos. Medidas de los segmentos 3 cm, 4.5 cm, 4.5 cm

Sí.

2 hm, 5 hm, 1 hm

No. Sí. No. Sí. Sí. No. Sí.

4 km, 7 km, 8 km 7 m, 9 m, 16 m 9 dam, 10 dam, 18.5 dam 12 dm, 30 dm, 20 dm 0.9 mm, 2 mm, 1 mm 8.1 m, 9.3 m, 4.5 m 3

¿Es posible trazar un triángulo?

Escribe qué condiciones deben cumplir las medidas de tres segmentos para que sea posible trazar un triángulo con ellos.

R. T. El segmento mayor debe medir menos que la suma de los otros dos.

4

Revisen y comenten en grupo sus respuestas de las actividades de esta página. Lleguen a un acuerdo sobre la respuesta a la pregunta 3.

5

Revisen en grupo sus respuestas de la pregunta inicial. Pidan a algunos compañeros que pasen al frente a explicarlas.



TIC

Visita la página www.e-sm. com.mx/ matcom1-055 y haz los experimentos interactivos.

55

3/29/12 1:01 PM

Lección 17 Construcción de cuadriláteros I

PREGUNTA INICI A L

¿Cómo trazarías un rombo cuyos lados midan 4 cm utilizando solo regla y compás? 1

Investiga y escribe en tu cuaderno el significado de las palabras cuadrilátero, diagonal y perpendicular.

2

Traza un cuadrado cuyas diagonales midan 3 cm. Utiliza tu juego de geometría.

•

Compara tu cuadrado con los de tus compañeros. ¿Todos son iguales?

Sí. 3

•

Traza un cuadrilátero cuyas diagonales midan 5 cm y 6 cm.

Compara tu cuadrilátero con los de tus compañeros. ¿Todos son iguales?

No. 4

Traza dos cuadriláteros distintos, pero cuyas diagonales sean perpendiculares y midan 5 cm y 6 cm.

56


3/29/12 1:01 PM


5

Traza un rombo cuyas diagonales midan 4 cm y 3 cm.

Recuerda

Un rombo es un cuadrilátero que tiene lados de la misma medida.

•

Compara tu rombo con los de tus compañeros. ¿Todos son iguales? Sí.

•

¿Qué características deben cumplir las diagonales de un rombo?

Deben ser perpendiculares. 6

Traza un romboide cuyos lados midan 3 cm y 4 cm.

Recuerda

Un romboide es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

• 7

•

Compara tu romboide con los de tus compañeros. ¿Todos son iguales? No. Traza en tu cuaderno un romboide de las medidas que desees. Si quisieras pedirle a un compañero que trace el mismo romboide, ¿qué instrucciones le darías? Anótalas enseguida.

R. P.

8

En equipos, comenten cómo trazaron las figuras anteriores. Después, valídenlos en grupo con ayuda de su profesor.

9

Comenta con tus compañeros tu respuesta al reto b) de la página 46. Juntos busquen la respuesta correcta y justifíquenla.

10

Recuerda tu respuesta a la pregunta inicial y describe en tu cuaderno un procedimiento para efectuar el trazo.



o uev e

n de

l reto

57

3/29/12 1:01 PM

Lección 18 Construcción de cuadriláteros II PREGUNTA INICI A L

¿Cómo trazarías un cuadrado de 5 cm de lado usando solo regla y compás? 1

En cada caso, reproduce el triángulo como se indica en el ejemplo. Después, traza con rojo las diagonales del cuadrilátero ABCD. Utiliza solo regla y compás, pero no hagas ninguna medición. a)

Recuerda

b)

C

Puedes comparar distancias usando tu compás.

I

A D

B I

B

D A

C A

c)

d) I

D

A

I B

B

C

D I

C

e)

f)

I

D

A

D A B

•

B

C

Revisa tus trazos y compáralos con los del resto del grupo. Pidan a algunos compañeros que pasen a explicar en el pizarrón cómo los hicieron. Pidan ayuda a su profesor para identificar los cuadriláteros que se forman con los dos triángulos en cada inciso. Con ayuda de su profesor, elijan los procedimientos más eficientes.

58


3/29/12 1:01 PM


2

Contesta las preguntas sobre los trazos de la actividad 1.

a) ¿En qué incisos la diagonal AC divide a la diagonal BD en dos mitades iguales? c)

y f)

¿Qué tipo de triángulos ABD hay en esos casos? Isósceles.

b) ¿En qué casos las diagonales de los cuadriláteros son perpendiculares? En todos

los casos. 3

Traza tres cuadriláteros que cumplan las indicaciones.

a) Que una de sus diagonales sea el segmento MN. b) Que la otra diagonal corte a MN en su punto medio. c) Que las diagonales de cada cuadrilátero sean perpendiculares. M

TIC

N

4

Traza tres cuadriláteros que tengan como una diagonal a PQ, y que esta sea perpendicular a la otra diagonal.

Para saber más de construcción de cuadriláteros, consulta www.e-sm. com.mx/ matcom1-059

R. T.

P

5

Q

Comenten en grupo los procedimientos que emplearon en sus trazos. Con ayuda de su profesor, redacten en sus cuadernos métodos para efectuar los siguientes trazos con el uso de regla y compás.

a) Trazar una perpendicular a un segmento. b) Trazar una perpendicular a un segmento que pase por la mitad del mismo. 6

Recuerda tu respuesta a la pregunta inicial y describe en tu cuaderno un procedimiento para efectuar el trazo.



59

3/29/12 1:01 PM

Lección 19 Alturas de triángulos

PREGUNTA INICI A L

¿En qué tipo de triángulos una altura coincide con un lado? 1

Reproduce el triángulo en una hoja de papel. C

A

B

a) Haz un doblez al triángulo de manera que pase por el vértice C y sea perpendicular al lado AB, como se muestra enseguida. C

A

B

b) El doblez que hiciste es la altura del triángulo sobre el lado AB. Efectúa dobleces similares para hallar las alturas sobre los lados AC y CB, c) Revisa que las alturas se intersequen en un punto, márcalo con color. Si las alturas no se intersecan, revisa tus dobleces. La altura de un triángulo es el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto. El otro extremo de la altura es el punto donde toca el lado opuesto o a la prolongación de este.

2

•

Traza en tu cuaderno dos triángulos que tengan una altura fuera del triángulo. Compara los triángulos que trazaste con los de tus compañeros y, determinen juntos qué características debe tener un triángulo para que tenga una altura fuera del mismo. Tracen varios triángulos para comprobar sus conclusiones.

60


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3

Traza las tres alturas de los triángulos. a)

b)

C

Recuerda

En el inciso a) de la actividad 5 de la página 59, explicaste un método para trazar una perpendicular con regla y compás.

A

A B B

c)

C

C

TIC

Consulta www.e-sm.com. mx/matcom1-061 y trabaja con trazado de triángulos.

B

A

•

Verifica que las alturas se intersequen en un punto; si es necesario, prolóngalas. En caso de que no se intersequen, revisa tus trazos.

Las tres alturas de un triángulo se intersecan en un punto llamado ortocentro.

•

Contesta.

¿En qué caso el ortocentro quedó fuera del triángulo? En c). quedó en un vértice del triángulo? En b).

¿En qué caso

¿En qué caso quedó dentro del

triángulo? En a). 4

Revisa tu respuesta a la pregunta inicial. Después traza en tu cuaderno los triángulos que se solicitan y encuentra el ortocentro.

a) Con el ortocentro dentro del triángulo. b) Con el ortocentro en un vértice del triángulo. c) Con el ortocentro fuera del triángulo. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.


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Lección 20 Mediatrices de triángulos

PREGUNTA INICI A L

¿Es siempre posible trazar una circunferencia que pase por los tres vértices de cualquier triángulo? 1

Reproduce el triángulo en una hoja de papel. C

A B a) Efectúa un doblez que sea perpendicular al lado AB y que pase por su punto medio. b) El doblez que efectuaste se encuentra sobre la mediatriz del lado AB. Efectúa lo mismo para los lados AC y BC. c) Las mediatrices deben intersecarse en un punto, márcalo con rojo. Si no se intersectan, revisa tus dobleces. La mediatriz de un segmento es la línea perpendicular que pasa por su punto medio. Las mediatrices de los tres lados de un triángulo se intersecan en un punto que se denomina circuncentro.

2

Traza un triángulo cuyos vértices estén sobre la circunferencia. Después, encuentra su circuncentro.

R. T. Recuerda

En el inciso b) de la actividad 5 de la página 59, explicaste un método para trazar con regla y compás la perpendicular de un segmento que pasa por su punto medio.

El punto rojo es el centro de la circunferencia. a) ¿Qué observas? El circuncentro es centro de

la circunferencia. b) ¿Qué sucedió con los triángulos de tus compañeros? Lo mismo. c) Traza otro triángulo con los vértices sobre la misma circunferencia y busca su circuncentro.

62


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Una circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo se denomina circunferencia circunscrita, y su centro es el circuncentro del triángulo. 3

Halla el circuncentro de los triángulos y traza la circunferencia circunscrita. a)

b)

c)

•

TIC

Contesta.

¿En qué caso el circuncentro quedó fuera del triángulo? en un lado del triángulo? En b). 4

En c).

¿En qué caso quedó

¿En qué caso quedó dentro del triángulo? En a).

Responde la pregunta inicial y traza en tu cuaderno los triángulos que se solicitan y su circuncentro.

a) Con el circuncentro dentro del triángulo. b) Con el circuncentro en un lado del triángulo. c) Con el circuncentro fuera del triángulo. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.


Para trabajar con las mediatrices de un triángulo, consulta www.e-sm. com.mx/ matcom1-063

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Lección 21 Bisectrices y medianas de triángulos PREGUNTA INICI A L

¿Un segmento desde A hasta la mitad del lado opuesto dividiría el ángulo A en dos partes iguales?

1

TIC

Consulta www.e-sm.com. mx/matcom1-064 para aprender más sobre el trazado de la bisectriz.

Observa

Elabora un triángulo de papel y haz un doblez que divida uno de sus ángulos en dos partes iguales.

La bisectriz de un ángulo es la línea que lo divide en dos ángulos de la misma medida.

•

Haz lo mismo con todos los vértices del triángulo. Las bisectrices deben intersecarse en un punto; márcalo con color.

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se intersecan en un punto llamado incentro. 2

Un ángulo tiene dos lados y un vértice.

A

Efectúa los trazos que se piden en el ángulo. Utiliza solo regla y compás.

a) Traza un triángulo isósceles cuyos lados iguales estén sobre los lados del ángulo. b) Traza un triángulo isósceles simétrico para que se forme un rombo. c) Traza la diagonal con extremo en el punto. d) ¿La diagonal está sobre la bisectriz del ángulo? Sí.

vértice

•

A

¿Por qué? R. T.

Porque los triángulos son simétricos. En grupo, y con ayuda de su profesor, redacten en el pizarrón un procedimiento para trazar la bisectriz de cualquier ángulo.

lados 3

Observa la figura, lee el texto y contesta. La circunferencia toca a cada lado del triángulo en un punto. Se dice que está inscrita en el triángulo. Traza las bisectrices de este. ¿Qué observas? Las bisectrices se cortan en el centro de la

circunferencia.

El incentro es el centro del círculo inscrito en un triángulo.

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4

En parejas, elaboren en cartulina un triángulo del tipo que quieran y efectúen lo que se pide.

a) Con una aguja, hagan una perforación lo más cercana posible a uno de los vértices del triángulo. b) Consigan un tramo de 20 cm de hilo delgado. c) Pasen el hilo por la perforación con la aguja y hagan un nudo para que el triángulo se atore. d) Aten un objeto en el extremo del hilo y dejen colgar el triángulo como se muestra en la figura de la derecha. e) Tracen el segmento por donde pasa el hilo. f) Hagan lo mismo con los otros dos vértices del triángulo. g) Si efectuaron con cuidado la actividad, verán que los tres segmentos se intersecan en un punto. h) Perforen el punto de intersección de los segmentos que trazaron, pasen el hilo por ahí y dejen colgar el triángulo.

•

¿Equilibraron el triángulo? Sí.

•

Investiguen qué parejas del grupo sí pudieron hacerlo.

La mediana de un triángulo es el segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se intersecan en un punto llamado baricentro. Este es el centro de gravedad del triángulo. TIC 5

Traza tres triángulos en tu cuaderno y encuentra sus baricentros.

6

Reúnete con un compañero para analizar y comentar sus respuestas de la pregunta inicial.



Aprende más del baricentro en www.e-sm. com.mx/ matcom1-065

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Lección 22 Propiedades de las rectas y segmentos del triángulo ]

PREGUNTA INICI A L

¿En qué triángulo coinciden el ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro? 1

Traza la altura correspondiente al lado AB de los triángulos. a)

b)

C

C

A B B A

c)

d) C

C

A A

B

B

2

Traza la mediana correspondiente al lado AB de los triángulos anteriores.

3

Determina si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) La altura de un triángulo nunca es paralela a uno de los lados.

Verdadera.

b) La mediana de un triángulo nunca es paralela a uno de los lados.

Verdadera.

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c) La mediana de un triángulo nunca es mayor que la altura sobre el mismo lado.

R. T. Es falso. La mediana es mayor o igual que la altura.

d) La altura de un triángulo siempre es menor que uno de los lados.

R. T. Es verdadero. Siempre es menor que uno de los lados que pasa por el mismo vértice por donde pasa la altura.

4

Observa el triángulo y responde. CD es mediana del ∆ABC. C

A

D

B

a) ¿Cómo son entre sí AD y DB? De la misma longitud. b) Traza la altura de ∆ADC correspondiente al lado AD y la altura del ∆DBC correspondiente al lado DB. ¿Qué puedes decir de estas dos alturas? Es la misma. c) ¿Cómo son entre sí las áreas de los triángulos ADC y DBC? Son iguales. ¿Por qué?

Porque tienen la misma altura y sus bases miden lo mismo.

5

En grupo, lean de nuevo el reto c) de la página 46 y resuélvanlo con la ayuda de su profesor.

6

Traza un triángulo en que coincidan la mediana y la altura de un lado.

7

En grupo, discutan sus respuestas de la pregunta inicial y lleguen a un acuerdo.



67

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Juegos y retos Repartos y juegos El reparto justo Lee la historia y resuelve el reto. Juan y Paula viajaban en tren cuando, de repente, se dieron cuenta de que habían perdido su dinero. —Menos mal que no perdimos la comida —dijo Juan. —Sí —contestó Paula—. Aquí están los nueve panes: cinco tuyos y cuatro míos. En el mismo vagón viajaba Julio, quien no había previsto llevar comida. Después de un rato, Juan y Paula decidieron comer, pero al ver que Julio no llevaba comida, lo invitaron y se repartieron los nueve panes en partes iguales entre los tres. Un poco antes de llegar a su destino, Julio les dijo a Paula y Juan: —Les agradezco mucho la comida, permítanme recompensarles con este pago—. Y les entregó $90.00. Después de bajar del tren, Juan le dijo a Paula que se repartieran el dinero en partes iguales. Pero Paula, quien es muy justa, le dijo: —Puesto que cinco panes eran tuyos, lo justo es que a ti te toquen $50.00 y a mí, $40.00. —Si nos repartimos el dinero de acuerdo con lo que cada quien dio, a mí me corresponden $60.00 y a ti, $30.00 —replicó Juan. RETO

¿Cuál de los repartos te parece más justo? ¿Por qué?

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Carrera de caballos Formen equipos de once personas para jugar. Se necesitan dos dados y el tablero.

1 2 3 4 5 7 8 9 10

Meta

6

11 12 13 14 15 Cada jugador escogerá un caballo y tirará por turnos los dos dados. Avanzará el caballo que tenga el número igual a la suma de los dados. Por ejemplo, si los dados marcan las caras que se muestran a la derecha, entonces, como 5 + 3 = 8, el caballo número 8 avanzará una casilla. Gana el que llegue primero a la meta. ¿Qué caballos no elegirías? ¿Por qué? ¿Con qué caballo se tiene más oportunidad de ganar? PISTAS Y ESTRATEGIAS

El reparto justo En parejas, determinen cuántos panes le regaló Juan a Julio y cuánto le dio Julio. Expliquen por qué Juan propone el último reparto. Carrera de caballos Jueguen varias veces carrera de caballos, registren en cuántas ocasiones cae cada suma de puntos de los dados. Observen su registro y obtengan conclusiones. Usarán sus resultados en lecciones posteriores.

69


3/29/12 1:14 PM

Lección 23 Reparto proporcional

PREGUNTA INICI A L

Patricia y Carlos compraron tres y cinco entradas para un concierto, respectivamente. Si les costaron $1 200.00 en total, ¿cuánto deberá pagar cada uno? 1

Lee los problemas y contesta.

a) En el taller de cocina Andrea y Beatriz prepararon un tarro de mermelada de fresa cada una, usando la misma receta; después, juntaron el contenido de los dos tarros. En una tabla anotaron la cantidad de fresa y azúcar que utilizaron.

i)

Mermelada de Andrea

Mermelada de Beatriz

Mermeladas juntas

Fresa (kg)

15

5

20

Azúcar (kg)

9

3

12

Si Andrea hubiera usado 5 kg de fresa, ¿cuánta azúcar habría necesitado? 3 kg

ii) Si Beatriz hubiera usado 15 kg de fresa, ¿cuánta azúcar habría necesitado? 9 kg 3 __ kg iii) ¿Cuánta azúcar empleó Andrea por cada kilogramo de fresa? 5 3 __ kg iv) ¿Cuánta azúcar empleó Beatriz por cada kilogramo de fresa? 5 v) ¿Los dos tarros de mermelada guardan la misma proporción de azúcar y fresa que la que emplearon Andrea y Beatriz de manera individual? 12 12 9 3 ___ = __ y ___ = __ 20

15

20

¿Por qué?

Sí.

5

Observa que la cantidad de fresa y azúcar en la mermelada de Andrea, en la de Beatriz y en la mezcla de ambas guardan una relación de proporcionalidad, puesto que se usó la misma receta. b) Rita y Carmen prepararon arroz con leche de manera individual y, luego, juntaron los postres. En la tabla se registran los ingredientes que utilizaron.

i)

Arroz de Rita

Arroz de Carmen

Arroces juntos

Arroz (g)

300

120

420

Leche (L)

3

1 12

1 42

Azúcar (g)

400

200

600

Si Rita hubiera usado 100 g de arroz, ¿cuánta leche habría necesitado?

1L

ii) Si Carmen hubiera usado 3 L de leche, ¿cuánto arroz habría necesitado? 240 g iii) ¿Rita y Carmen emplearon la misma receta?

No.

¿Por qué?

La razón

entre los ingredientes no es la misma. Por ejemplo; por cada 3L de leche, Rita ocupa 300 g de arroz y Carmen ocupa 240 g. 70


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Eje: Manejo de la información Tema: Proporcionalidad y funciones

2

Lee el problema y completa la tabla.

En el taller de cocina Cecilia y Azucena prepararon natilla de manera individual usando la misma receta. Después mezclaron sus postres. Natilla de Cecilia

Natilla de Azucena

Natillas juntas

4

8

12

3 4 6

6 4 12

9 4 18

1

2

3

Yemas de huevo (piezas) Azúcar (tazas) Leche (tazas) Esencia de vainilla (cucharadas) 3

Reúnete con dos o tres compañeros, lean el texto y discutan las preguntas. Escuchen las propuestas de los demás y justifiquen sus argumentos. Una vez que lleguen a un acuerdo, contesten.

Tres amigos, Lidia, Rosario y Alfredo, obtuvieron un premio de $2 000.00 en un sorteo. Lidia aportó $4.00 para comprar el boleto; Rosario, $5.00; y Alfredo, $1.00. a) ¿Quién debe recibir más dinero del premio?

Rosario.

¿Por qué?

Porque

ella aportó más dinero. b) ¿Cómo deben repartirse el premio? R. P. c) Propongan una manera de repartir el premio teniendo en cuenta lo que aportó cada uno para comprar el boleto. Indiquen en su cuaderno por qué consideran que el reparto sugerido es justo. Lidia: $ 800.00

Rosario: $ 1 000.00

Alfredo: $ 200.00

En el problema anterior, es posible repartir de manera justa si a cada quien se le entrega una cantidad que guarda una relación proporcional con lo que aportó. 4

Resuelve el problema.

La alpaca está formada por 55 partes de cobre, 20 de níquel y 25 de cinc. ¿Qué peso de cada componente se requiere para obtener 790 g de alpaca? Se requieren 434.5

de cobre, 158

de níquel y 197.5

de cinc.

5

Lee de nuevo el inciso c) de la página 19, respóndelo si no lo habías hecho, o reconsidera tu respuesta original.

6

Con lo que aprendiste en la lección, responde la pregunta inicial si no lo habías hecho, y el reto de la página 68.

Resolución de problemas de reparto proporcional.


71

3/29/12 1:14 PM

Lección 24 Juegos de azar I

PREGUNTA INICI A L

¿Sabes qué es un juego de azar? 1

Reúnete con un compañero para jugar norte-sur.

Necesitan el tablero de la derecha y una moneda, una semilla u otro objeto que les sirva como ficha.

• • • •

Al inicio, uno de los jugadores elegirá el norte y otro, el sur. Pongan la ficha en la casilla del centro. Por turnos, lancen la moneda. Si cae sol, la semilla deberá avanzar una casilla hacia el norte; en caso contrario, avanzará una casilla hacia el sur. El juego terminará cuando la ficha llegue a la casilla norte o sur; ganará el jugador que haya elegido esa casilla.

Norte

SALIDA

a) Jueguen diez veces y registren en cuántas ganó cada uno. Ganó norte: R. P.

Ganó sur: R. P.

b) Anoten los resultados de todas las parejas del grupo. Ganó norte: R. P.

Sur

Ganó sur: R. P.

c) Contesten. i)

¿Es posible saber quién ganará el juego antes de que empiece?

No. ¿Por qué?

R. T. Depende de lo que salga en el lanzamiento. ii) ¿Los dos jugadores tienen la misma oportunidad de ganar? Sí.

¿Por qué?

R. T. Porque águila y sol tienen la misma probabilidad de salir. 2

En parejas, jueguen carrera a 12.

Consigan doce objetos pequeños (semillas, palitos, monedas, etc.) para utilizarlos como fichas.

• • •

Los doce objetos se ponen en un montón. Por turnos cada jugador debe pasar un objeto o dos, como prefiera, a otro montón. Gana quien termine de pasar todas las fichas al segundo montón.

a) Jueguen diez veces. ¿Piensan que hay una manera de ganar siempre? Sí.

¿Por qué?

R. P. 72


3/29/12 1:14 PM

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad

b) Juan y Pedro juegan carrera a 12. Observen sus tiradas y completen las tablas. Primer juego Fichas que pasa cada jugador Juan pasa una. Pedro pasa dos. Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa una. Pedro pasa dos.

Montón 1 11 9 7 6 4 3 2 0

Segundo juego Montón 2 1 3 5 6 8 9 10 12

Fichas que pasa cada jugador Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa una. Pedro pasa dos. Juan pasa dos. Pedro pasa una.

Tercer juego Fichas que pasa cada jugador Juan pasa una. Pedro pasa dos. Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa dos. Pedro pasa una.

Montón 1 10 9 7 6 5 3

Montón 2 2 3 5 6

7 9 11 12

1 0

Cuarto juego

Montón 1 11 9 7

Montón 2 1 3 5

6 4 3 1 0

6 8 9 11 12

Fichas que pasa cada jugador Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa una. Pedro pasa dos. Juan pasa dos. Pedro pasa una. Juan pasa dos.

Montón 1 10

Montón 2 2

9 8 6 4 3 1 0

3 4 6 8 9 11 12

Pedro pasa una.

c) Contesten. i)

Juan le propuso a Pedro que tirara primero, pero él no aceptó. ¿Por qué?

Porque siempre gana quien tira en segundo lugar. ii) ¿Es posible saber desde el principio quién ganará el juego?

Sí.

¿Por qué?

Porque para ganar basta pasar una ficha si el contrincante pasa dos y pasar dos fichas si el contrincante pasa una. iii) ¿En el juego norte-sur es posible saber desde el principio quién ganará el juego?

No.

¿Por qué? Porque depende del resultado al lanzar la moneda.

Norte-sur es un juego de azar y carrera a 12 es un juego de estrategia. 3

Responde la pregunta inicial. Anota en tu cuaderno la definición de juego de azar y de estrategia. Después compáralas en grupo y, con ayuda del profesor, escojan las mejores definiciones de ambos juegos. Escríbanlas en su cuaderno.



73

3/29/12 1:14 PM

Lección 25 Juegos de azar II

PREGUNTA INICI A L

¿Los juegos de azar son justos? En parejas, jueguen 20 veces norte-sur con esta variante.

1

Se juega con tres monedas, las cuales se lanzan; si presentan la misma cara (tres soles o tres águilas), la ficha irá hacia el norte; en caso contrario, irá al sur. a) Registren cuántas veces ganó cada uno.

Ganó norte: R. P.

Ganó sur: R. P.

b) Anoten los resultados de todo el grupo.

Ganó norte: R. P.

Ganó sur: R. P.

c) Contesten. i)

¿Por qué? R. T. Porque depende de lo que salga

¿El juego es de azar? Sí.

en los lanzamientos. ii) ¿Los dos jugadores tienen la misma oportunidad de ganar?

No. ¿Por qué?

Porque es más fácil que caigan caras distintas. Retomen los resultados obtenidos en el juego carrera de caballos de la página 69 y efectúen lo que se pide.

2

o uev e n l ju de

ego

a) Registren en la tabla el número de veces que cayó cada suma en todos los equipos.

R. P. 0

1

2

3

4

5

6

65 60

8

9

10

11

12

13

14

15

b) Elaboren una gráfica de barras con los resultados de la tabla anterior.

R. P.

55

7

c) Contesten.

50 45

i)

40 35

¿Qué caballo escogerían para tener más oportunidades de ganar?

R. T. 7

30

ii) ¿Por qué? R. T. Porque cae más

25

veces.

20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

74


3/29/12 1:15 PM

Eje: Manejo de la información Tema: Nociones de probabilidad

Si en un juego de azar todos los participantes tienen la misma oportunidad de ganar, entonces es justo o equitativo. 3

Juan, Ernesto y Uriel juegan con las siguientes ruletas. Cada uno escoge un color. Marca con ✔ las que llevan a un juego justo.

✔

✔

✔

• 4

Compara tus respuestas con las de tus compañeros y justifícalas. Considera las situaciones y contesta.

a) Julia y Teresa juegan norte-sur, pero lanzan dos monedas. Si las caras son iguales, la ficha se irá al norte; en caso contrario, se irá al sur. ¿Qué lado escogerías? Cualquiera.

¿Por qué? R. T. Hay las mismas

oportunidades de ganar. b) David y Julia lanzan dos dados. Si la suma de los puntos es 6 o menos, él ganará; en caso contrario, ella ganará. ¿Quién piensas que ganará más veces, Julia o David? Julia.

¿Por qué?

R. T. Tiene más números y caen más veces. c) Roberto y María lanzan dos dados. Si la suma es par, él ganará; en caso contrario,ella ganará. Si jugaras, ¿preferirías los pares o los nones? Cualquiera.

¿Por qué? R. T. Caen

el mismo número de veces. Si un juego de azar no es equitativo, a veces es posible emplear estrategias para tener la mejor oportunidad de ganar. 5

Considera la pregunta inicial y di ejemplos de juegos de azar justos e injustos.



75

3/29/12 1:15 PM

TIC Juegos de azar en la hoja de cálculo Puedes simular algunas situaciones aleatorias, es decir, de azar, en la hoja de cálculo. A final del libro hallarás un anexo con indicaciones para trabajar con esta herramienta. Para ello se puede usar la función ALEATORIO(), que genera un número aleatorio entre 0 y 1. Observa el siguiente ejemplo. 1. Para simular el lanzamiento de un dado Escribe = ENTERO(ALEATORIO()*6)+1 en la celda A1. Cada vez que presiones la tecla se generará un número de 1 a 6 al azar.

2. Para simular el resultado de sumar los puntos que se obtienen al lanzar dos dados Escribe =ENTERO(ALEATORIO()*6)+1 en las celdas A1 y B1 y =SUMA(A1:B1) en la celda C1. De nuevo presiona . En C1 aparecerá la suma de los puntos de los dados.

3. Para simular el lanzamiento de una moneda Anota =SI(ALEATORIO()<0.5,”A”, “S” en la celda A1; cada vez que presiones aparecerá A o S.

76


3/29/12 1:15 PM

Matemáticas para la vida Electricidad

Planta eléctrica

En México la energía eléctrica se genera, transmite, distribuye y comercializa por la Comisión Federal de Electricidad (cfe). En la factura que expide, se indican los kilowatts-hora (kWh) que se consumieron durante dos meses. Un kilowatt-hora equivale a la energía que consume... un foco de 100 watts encendido durante 10 h, una plancha utilizada durante 1 h, un radio encendido durante 48 h, un refrigerador pequeño en un día o una computadora utilizada alrededor de 6.5 h.

• • • • •

La cfe produce actualmente 52 515 000 kWh de distintas maneras: de esta cantidad, 12 712 935 kWh se genera por productores independientes; 24 870 720 kWh, en plantas termoeléctricas; 12 823 965 kWh, en hidroeléctricas; 3 441 930 kWh en carboeléctricas; 1 554 420 kWh, en geotérmicas y 111 030 kWh, en eoeléctricas. Reúnete con un compañero y efectúen lo siguiente en su cuaderno. 1. Calculen cuánta energía gastan en 1 h los aparatos eléctricos mencionados y representen las cantidades que obtengan en una recta numérica. 2. Calculen qué parte de la energía producida por la cfe se genera en plantas termoeléctricas y expresen el resultado con una fracción y un número decimal. Hagan lo mismo con las otras maneras en que se produce. Investiguen cómo se genera la energía eléctrica en cada tipo de planta y su impacto ambiental. Comenten sus resultados con el grupo.

77


3/29/12 1:15 PM

Evaluación Subraya la respuesta correcta. 1

¿Qué decimal es igual a 1? 6

a) 0.6 2

b) 0.1666

El punto P está exactamente a la mitad de la distancia entre las dos fracciones indicadas. ¿Qué fracción representa? 1 2

a) 3 4 3

d) 0.1 6

c) 0.16

5 6

P b) 2 3

¿Qué número corresponde a la letra Q en la siguiente recta? Q

3.4 a) 4.28 4

b) 3.8

4.5

c) 3.22

d) 1.1

En una panadería habia 31 kg de harina y se compraron 21 kg más. Si se usaron 2 4 3 1 kg de harina para preparar pasteles, ¿cuánto les sobró? 4

a) 4 kg 5

d) 2 6

c) 3 6

b) 41 kg 4

d) 41 kg 2

c) 31 kg 2

Observa la sucesión de figuras formadas con palitos y contesta.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Cuántos palitos tiene la figura 6? a) 18

b) 24

c) 36

d) 76

78


3/29/12 1:15 PM

6

¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un polígono con n lados si cada uno mide 3 cm?

a) 3 + 3 + 3 7

a) b) c) d) 8

b) 3 + n

c) 3 × n

d) 3 ÷ n

¿Cuáles sí pueden ser las medidas de los lados de un triángulo? 3 cm, 4 cm, 7 cm 5 cm, 2 cm, 1 cm 6 cm, 5.5 cm, 8 cm 4 cm, 2 cm, 2 cm Observa la figura y contesta.

C

El punto C es centro del círculo. ¿Qué afirmación es verdadera? a) b) c) d) 9

Las líneas rojas son mediatrices de los lados del triángulo. Las líneas rojas son bisectrices de los lados del triángulo. Las líneas rojas tienen la misma inclinación que los lados del triángulo. El triángulo es rectángulo. Rafael, Gloria y Víctor compraron un boleto de $15.00 para una rifa. Rafael aportó $8.00; Gloria $5.00 y Víctor $2.00. Si se ganaron $ 3 000.00, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

a) b) c) d)

A Rafael, $1 800.00; a Gloria, $1 000.00; y a Víctor, $200.00 A Rafael, $1 600.00; a Gloria, $1 000.00; y a Víctor, $400.00 A Rafael, $2 000.00; a Gloria, $800.00; y a Víctor, $200.00 A Rafael, $1 700.00; a Gloria, $900.00; y a Víctor, $400.00

10

¿Cuál de los siguientes juegos NO es de azar?

a) b) c) d)

Se lanza una moneda 20 veces para ver en cuántas cae águila. Se lanza un dado para ver si cae 7. Se lanza un dado para ver si cae en un número par. Se compra un boleto de una rifa para ver si se obtiene el premio.

79


3/29/12 1:15 PM

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