BAB 18
TRANSFORMASI GEOMETRI
Pada bab ini akan dipelajari mengenai Translasi (pergeseran), Refleksi (pencerminan), Rotasi (perputaran), Dilatasi (perbesaran/pengecilan), transformasi matriks, komposisi dua transformasi.
TRANSLASI (PERGESERAN)
Translasi pada titik
Titik A (x,y) ditranslasi oleh maka akan menghasilkan bayangan titik A'(x + a, y + b)
Contoh :
Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut jika ditranslasi oleh T =
jawab :
titik O (0,0) O'(0+1, 0+3) = O'(1,3)
titik A (3,0) A'(3+1, 0+3) = A'(4,3)
titik B (3,5) B' (3+1, 5+3) = B'(4,8)
Translasi pada garis
Garis Ax + By + C = 0 ditranslasi oleh maka akan menghasilkan bayangan garis : A(x – a) + B(y – b) + C = 0
Contoh :
Bayangan persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 oleh translasi T = !
adalah….
Jawab :
Metode supertrik : cari lawannya !
REFLEKSI (PENCERMINAN)
Refleksi Pada Titik
Misalkan titik A (x,y) akan direfleksi terhadap :
Sumbu x
Menghasilkan bayangan titik A' (x,– y)
Sumbu y
Menghasilkan bayangan titik A'(– x, y)
Garis y = x atau y – x = 0
Menghasilkan bayangan titik A' ( y, x)
Garis y = – x atau x + y = 0
Menghasilkan bayangan titik A'(–y,–x)
Garis x = h
Menghasilkan bayangan titik A' (2h – x, y)
Garis y = k
Menghasilkan bayangan titik A'(x,2k– y)
Titik asal (0,0)
Menghasilkan bayangan titik A'(–x,–y)
Garis y = x + k
Refleksi Pada Garis
Misalkan garis 3x + 4y – 12 = 0 direfleksikan terhadap :
Sumbu x
Bayangannya : 3(x) + 4( - y) – 12 = 0 atau 3x – 4y – 12 = 0
Sumbu y
Bayangannya : 3(- x) + 4( y) – 12 = 0 atau – 3x + 4y – 12 = 0
Garis y = x ( y,x)
Bayangannya : 3(y) + 4(x) – 12 = 0 atau 4x + 3y – 12 = 0
Garis y = x ( - y, - x)
Bayangannya : 3(- y) + 4(- x) – 12 = 0 atau – 3y – 4x – 12 = 0
Garis x = k
Bayangannya : 3(2.k – x) + 4(y) – 12 = 0
Garis x = h
Bayangannya : 3(x) + 4(2.h – y) – 12 = 0
Titik asal ( - x, - y)
Bayangannya : 3(- x) + 4(- y) – 12 = 0 atau – 3x – 4y – 12 = 0
ROTASI (PERPUTARAN)
adalah perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut rotasi.
Rotasi Pada Titik
Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut
Metode supertrik :
Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik A'(- y,x).
Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 searah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan titik A'( y, - x).
Jika titik A (x,y) dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 1800 akan menghasilkan bayangan titik A'( - x, - y)
Rotasi dengan pusat P(a,b) dan besar sudut
Rotasi Pada Garis dan Kurva
Rotasi dengan pusat (0,0) dan besar sudut
Metode supertrik :
Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 berlawanan arah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan garis : ay – bx + c = 0
Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 900 searah dengan jarum jam akan menghasilkan bayangan garis : – ay + bx + c = 0
Jika garis ax + by + c = 0 dirotasi dengan pusat (0,0) sejauh 1800 akan menghasilkan bayangan garis : – ax – by + c = 0.
Rotasi dengan pusat (a,b) dan besar sudut
DILATASI
Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala k
Rumus :
Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor skala k
Rumus :
Dilatasi pada titik
Contoh :
Tentukan bayangan titik A (3, - 4) oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2 !
Jawab :
Bayangan titik A adalah A' (3.2, - 4.2) atau A' (6, - 8)
Dilatasi pada garis
Contoh :
Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 yang didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 !
Jawab :
Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 3x + 4y – 12(3) = 0 atau 3x + 4y – 36 = 0
Dilatasi pada kurva
Dilatasi pada kurva y = ax2 + bx + c oleh D[0,n] menghasilkan bayangan kurva
Contoh :
Tentukan bayangan kurva y = x2 – 2x + 5 oleh dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 !
Jawab :
Metode supertrik pada dilatasi kurva :
TRANSFORMASI MATRIKS
Basic concept :
Transformasi
Matriks
Identitas
Translasi
Refleksi terhadap sumbu-x
Refleksi terhadap sumbu-y
Refleksi terhadap garis y=x
Refleksi terhadap garis y=-x
Refleksi terhadap titik pusat/asal (0,0)
Refleksi terhadap garis y=x+k
Refleksi terhadap garis y=-x+k
Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α
Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α
Dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor dilatasi k
Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
UN 2011
Bayangan garis x – 2y = 5 jika ditransfomasikan dengan matriks transformasi dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x adalah…
11x + 4y = 5
4x + 2y = 5
4x + 11y = 5
3x + 5y = 5
3x + 11y = 5
Pembahasan :
Cari invers matriks terlebih dahulu :
Maka bayangan garis x – 2y = 5 menjadi (2x – 5y) – 2(3y – x) = 5
4x – 11y = 5 kemudian direfleksi terhadap sumbu x :
Jawaban:C
UN 2012
Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 jika dicerminkan terhadap garis x = 2 dilanjutkan dengan translasi adalah…
Pembahasan :
Metode supertrik :
pada lingkaran, langsung mencari bayangan pusat lingkaran, jari – jari tetap
Jadi, bayangan pusat lingkaran = (1,4)
Trik : yang ditengah =
Jawaban:A
UN 2012
Bayangan kurva y = 3x – 9x2 jika dirotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 900 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor skala 3 adalah…
Pembahasan :
Jawaban:A
UN 2010
Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis x + y = 0, dilanjutkan refleksi terhadap garis y – x = 0 adalah…
y + 2x – 3 = 0
y – 2x – 3 = 0
2y + x – 3 = 0
2y – x – 3 = 0
2y + x + 3 = 0
Pembahasan :
Jadi bayangan garis y = 2x – 3 adalah (– y) = 2(– x) – 3 atau y – 2x – 3 = 0
Jawaban:B
Bayangan kurva y = x2 – x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks dilanjutkan oleh matriks adalah…
Pembahasan :
Jawaban:C
PAKET SOAL LATIHAN
Bayangan garis 3x + 4y – 12 = 0 ditranslasikan oleh T= adalah…
4x + 3y – 7 = 0
4x + 3y + 7 = 0
3x + 4y – 7 = 0
3x + 4y + 7 = 0
3x + 4y + 14 = 0
Bayangan garisk 3x – 5y + 15 = 0 yang didilatasikan oleh [O,5] adalah…
3x – 5y – 10 = 0 D. 15x – 25y + 75 = 0
3x – 5y + 25 = 0 E. 8x + 10y + 20 = 0
3x – 5y + 75 = 0
Garis 2x + 3y = 6 ditranslasikan dengan matriks dan dilanjutkan dengan . Bayangan garis tersebut adalah…
2x + 3y + 5 = 0 D. 3x + 2y – 5 = 0
2x + 3y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0
2x – 3y + 5 = 0
Persamaan bayangan lingkaran oleh rotasi dengan pusat (0,0) sejauh setengah putaran searah dengan jarum jam, dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = 2 adalah…
Jika titik (p,q) direfleksikan terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan dengan transformasi matriks menghasilkan titik (1, - 8), maka nilai p + q = …
2 D. – 2
1 E. – 3
– 1
Persamaan bayangan parabola y = 2x2 – 4x + 3 jika dicerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan rotasi pusat O sejauh 900, dan dilanjutkan dilatasi terhadap pusat O faktor skala 2 adalah…
x = y2 + 2y – 6 D. x = y2 – 4y – 6
x = y2 + 4y – 6 E. x = y2 – 4y + 6
x = y2 + 4y + 6
Bayangan segitiga ABC, dengan titik A (2,1), B (6,1), dan C(5,3) oleh pencerminan terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi adalah…
Bayangan kurva y = x2 + x + 3 yang ditransformasikan oleh matriks dilanjutkan oleh matriks adalah…
D.
E.
Bayangan titik B oleh pencerminan terhadap garis x = – 2 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah (– 3, 4), koordinat titik B adalah…
(7, – 4) D. (– 4, 7)
( – 7, 4) E. (– 4,– 7)
(7,4)
Bayangan titik P (4,6) oleh refleksi garis y = x + 3 adalah…
P' (3,6) D. P' (7,3)
P' (3,7) E. P' (6,3)
P' (4,7)
225