Statistika
DISTRIBUSI NORMAL
PENGERTIAN STATISTIKA INFERENS
Stati Statisti stika ka Infere Inferens ns
: cabang cabang ilmu ilmu statist statistika ika yang yang tidak tidak hanya hanya menganal menganalis isis is data data sampel saja, tetapi juga menduga keadaan populasinya.
DISTRIBUSI NORMAL
Distribusi peubah normal sangat penting artinya dalam proses analisa statistika, karena dist distri ribus busii norma normall ini ini meru merupa paka kan n sala salah h satu satu asum asumsi si yang yang haru haruss dipe dipenu nuhi hi dalam dalam melakukan analisa statistika khususnya dalam statistika inferens. Bentuk umum fungsi peubah acak normal Xi dengan mean N $ x# , "
dengan
!
e
! x
dan
varian
:
,
%& ' ( ' &
e
) )
*,!+!- ,/!00
Seti Setiap ap peub peubah ah acak acak norm normal al deng dengan an semb sembar aran ang g mean mean dan dan vari varian an sela selalu lu dapa dapatt ditran ditransfo sforma rmasik sikan an menjad menjadii peubah peubah acak acak yang berdis berdistri tribus busii normal normal baku baku dengan dengan transformasi : x z
1adi jika ( 2 3$ " maka
z
x
2 3$4,!"
SIFAT-SIFAT AT DISTRIBUSI DISTRIB USI NORMAL SIFAT-SIF
!. modus, modus, titik titik pada sumbu sumbu datar datar yang memberi memberikan kan maksimum maksimum kurva, kurva, terdapat terdapat pada pada ( )
. *. +. .
simetri terhadap kurva setangkup setangkup terhada terhadap p sumbu sumbu tegak tegak yang yang melalui melalui rataan rataan x kurv kurvaa memp mempun unyai yai tit titik ik bel belok ok pada pada , cekung dari ba5ah bila 'X' , dan cekung dari atas untuk nilai ( lainnya. kedua ujung kurva kurva normal mendekati mendekati asimtot asimtot sumbu sumbu datar bilai bilai nilai nilai ( bergerak bergerak menjauhi baik ke kiri maupun ke kanan. seluruh seluruh luas diba5ah diba5ah kurva dan diatas diatas sumbu sumbu datar datar sama sama dengan dengan !.
Suatu distribusi dikatakan mendekati distribusi normal jika : a. 607 data data terl terleta etak k pada pada inte interva rvall $ " sampai dengan $ " b. -7 data terletak pada interval $ " sampai dengan $ " c. --7 data data terl terleta etak k pada pada inte interva rvall $ * " sampai dengan $ * "
Distribusi Normal
!8/
Statistika
9
9 *9 --7 %*9
;*9 -7
%9
;9 %9
;9 607
MENGHITUNG LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA NORMAL
iga cara perhitungan dalam distribusi normal : !. 1ika diketahui nilai = dan akan dihitung luas daerah $probabilitas" ?ontoh :
hitunglah luas daerah di ba5ah lengkungan kurva normal standar yang terletak : a. ke kiri dari = ) !,* b. ke kanan dari = ) 4,+0 c. antara = ) %!,66 dan = ) 4
Penyelesaian :
a.
@
!,* ='!,*
<$='!,*" ) 4,-4*
b. Distribusi Normal
8/
Statistika
@
4,+0 !
='4,+0
=A4,+0
<$=A4,+0" ) ! <$='4,+0" ) ! 4,60++ ) 4,*!6
c. @
%!,66
4
='4 ='%!,66
%!,66'='4
<$%!,66'='4" ) ) )
<$='4" <$='%!,66" 4, 4,4+0 4,+!
. 1ika diketahui luas daerah $probabilitas" dan akan dihitung nilai = ?ontoh :
hitunglah nilai =, apabila : a. luas kurva normal ke kiri dari = adalah 4,*40 b. luas kurva normal ke kanan dari = adalah 4,//4+ c. luas kurva normal antara 4 dan = adalah 4,+/6
Penyelesaian : Distribusi Normal
*8/
Statistika
a.
4,*40
=! ) @ <$='=!" ) ) =! )
4,*40 <$='%4," %4,
b.
4,//4+
=! ) @ <$=A=!" ) ! <$='=!" ) <$='=!" ) ) ) =!
)
4,//4+ 4,//4+ ! 4,//4+ 4,-6 <$='%4,/+" %4,/+
c. 4,+/6
4 <$4'='=!" <$='=!" <$='4" <$='=!"
=! ) @ ) ) ) ) ) )
4,+/6 4,+/6 4,+/6 ; <$='4" 4,+/6 ; 4, 4,-/6 <$='!,-"
=! ) !,- *. 1ika diketahui dan tertentu dan akan dihitung luas daerah $probabilitas" Distribusi Normal
+8/
Statistika
?ontoh :
1ika diketahui suatu distribusi normal dengan 44 dan hitunglah : a. luas daerah diba5ah nilai !+ b. luas daerah diatas nilai !/c. luas daerah diantara nilai !00 sampai nilai 46
!44 ,
Penyelesaian :
a.
@
X ) !+ ) 44
P z
!+ 44 !4
)
<$='!,+"
)
4,-!-
b.
@
X ) !/ ) 44
P z
!/- 44 !4
)
<$=A%,!"
) ) )
! <$='%,!" ! 4,4!/4,-0!
c. Distribusi Normal
8/
Statistika
@
X ) !00
X ) 46
) 44
!00 44 z !4
P
46 44 !4
)
<$%!,'='4,6"
) ) )
<$='4,6" <$='%!," 4,// 4,!!! 4,6!46
Latihan
!. Citunglah luas daerah diba5ah lengkungan kurva normal standar yang terletak pada : a. antara = ) 4, dan = ) !,! b. antara = ) %!,-6 dan = ) !,-6 . Citung nilai =, apabila luas kurva normal antara = dan = adalah 4,04. *. Diketahui suatu distribusi normal dengan ) 44 dan 9 ) !44. Citunglah : a. nilai X yang mempunyai luas 04 7 di ba5ahnya. b. dua nilai X yang terletak / 7 di tengah. +. Suatu distribusi normal mempunyai nilai mean 6,+. Citunglah deviasi standarnya jika luas kurva normal di sebelah kanan /-, adalah 4 7. . Dalam ujian matematika diketahui bah5a nilai rata%ratanya adalah 0 dengan simpangan baku adalah sama dengan . Semua mahasis5a dengan nilai 00 sampai -+ mendapat nilai B. pabila nilai%nilai matematika tersebut berdistribusi normal dan 0 mahasis5a mendapat nilai B, berapa banyak mahasis5a yang mengikuti ujian matematika tersebut @ 6. Berdasarkan pengalaman sebelumnya, suatu perusahaan besar yang menerima lamaran%lamaran dari para lulusan SEF yang mencari pekerjaan mengetahui bah5a skor test rata%rata adalah 44 dengan simpangan baku 4. Distribusi dari skor test tersebut diketahui normal. a. Berdasarkan pengalaman tersebut, manajemen sedang mempertimbangkan bah5a 6 7 dari para pelamar dengan skor test tertinggi akan langsung dicalonkan untuk menduduki posisi penting. Berapa skor test terendah yang harus dicapai oleh pelamar agar dicalonkan menduduki posisi penting @ b.
Distribusi Normal
68/
Statistika
/. Sebuah pabrik lampu pijar X diketahui bah5a hasil produksinya mempunyai daya nyala rata%rata *444 jam dengan deviasi standard *4 jam. Dengan anggapan bah5a distribusi daya nyala mendekati distribusi normal, tentukan : a. 7 jumlah lampu dengan daya nyala A *44 jam b. daya nyala 7 lampu yang terbaik c. proporsi jumlah lampu yang daya nyalanya paling banyak 44 jam d. proporsi lampu yang daya nyalanya antara /44 jam dan *+44 jam. 0. Diameter sebelah dalam suatu cincin torak berdistribusi normal dengan rataan !4 cm dan standar deviasi 4,4* cm. a. Berapa proporsi cincin yang mempunyai diameter dalam melebihi !4.40 cm @ b. Berapa peluang suatu cincin torak berdiameter dalam antara -.-/ dan !4.4* cm @ c. Di ba5ah nilai diameter dalam berapakah terdapat !7 dari seluruh cincin torak @ -. Guat rentangan suatu komponen logam tertentu berdistribusi normal dengan rataan !4.444 kg8cm dan standar deviasi !44 kg8cm.
Distribusi Normal
/8/