3 Rangkaian Resonansi Rangkaian Rangkaian resonansi resonansi adalah adalah rangkaian rangkaian dasar di dalam rangkaian rangkaian frekuensi frekuensi radio. Rangkaian ini dapat ditemui di pemancar, penerima, filter, dan lain-lain. Rangkaian resonansi ideal terdiri dari komponen L dan C ideal, yang dihubungkan secara seri atau paralel. Untuk rangkaian praktis, L dan C akan akan mengandung unsur resi resist stif if,, R. Kompon Komponen en resist resistif if ini akan akan mereda meredam m sinya sinyal. l. Jika Jika pada pada rangka rangkaian ian resonansi ideal faktor kualitasnya tak berhingga, maka pada rangkaian praktis faktor kualitasnya akan berhingga. Hubu Hubung ngan an seri seri atau atau para parale lell dari dari L da dan C yang membentuk rangkaian rangkaian reso resona nans nsii dise disebu butt reso resona nato tor. r. Pada Pada frek frekue uens nsii ting tinggi gi ( microwave, resona resonator tor direalisas direalisasikan ikan dengan dengan elemen elemen terdistribu terdistribusi, si, yaitu yaitu berupa berupa saluran saluran transmisi transmisi (kabel sesumbu, saluran strip, atau saluran mikrostrip. Pada pela!aran ini kita hanya akan membahas resonator (rangkaian resonansi yang terdiri dari R, L, dan C .
3.1 Rangkaian Resonansi Seri Rangkaian resonansi seri diperlihatkan pada "ambar #.$, terdiri dari komponen R, L, dan C yang yang dihubungkan secara seri. Komponen R merupakan bagian resistif dari L dan%atau C.
Gambar 3.1 Rangkaian resonansi seri
Jika Jika pada pada rangka rangkaian ian terseb tersebut ut diberi diberikan kan arus arus sinuso sinusoida idal, l, maka maka akan akan ter!ad ter!adii disipasi disipasi daya pada R, dan penyimpana penyimpanan n energi energi magnetik pada L dan energi listrik pada pada C . &nergi yang disimpan dalam bentuk energi listrik dan energi magnetik dinyatakan dengan
∗ W e = 14 V C V C C ∗
W m = 14 LII
dengan VC adalah tegangan pada kapasitor, sedangkan I adalah arus pada rangkaian. 'anda astrik ( menun!ukkan kon!ugat kompleks. Jika reaktansi kapasitif adalah X C = 1/ j jω C C, maka V C = IX C =
I jω C
= II */(4ω 2C ). ). )aya disipasi pada resistor adalah sehingga W e = II P l
=
1 II ∗ R 2
)engan demikian, impedansi masukan rangkaian
Z in
=
P l + 2 jω (W m − W e ) 1 II ∗
= R + jω L − j
2
1 C
ω
(#.$ Pada keadaan resonansi, energi yang tersimpan dalam bentuk energi listrik sama dengan energi magnetik sehingga impedansi masukan akan murni resistif. *rekuensi sinyal sinyal pada keadaan resonansi resonansi ini disebut frekuensi resonansi, resonansi, f 0 = ω 0/2π , dengan satuan her+t (H+ ω disebut disebut frekuensi anguler dengan satuan radian%detik. )ari (#.$ diperoleh frekuensi resonansi f 0
=
1 2π LC
(#. Rangkaian ini bersifat resistif hanya pada frekuensi resonansi. Jika frekuensi berubah, maka impedansi rangkaian tidak lagi resistif, tapi akan kompleks, dengan sifat reaktif reaktif induktif induktif atau kapasitif. kapasitif. Parameter Parameter yang berhubunga berhubungan n dengan sifat selektiitas rangkaian adalah faktor kualitas, Q. )efinisi umum untuk faktor kualitas adalah Q
=
(energi yang tersimpan dalam sistem )
ω
rugi - rugi energi perdetik dalam sistem
(#.# Pada keadaan resonansi, We / Wm, maka energi total yang tersimpan dalam sistem adalah We atau Wm. Jadi faktor kualitas rangkaian resonansi seri adalah
Q
=
L
ω 0
R
=
1 ω 0
CR
(#.0 Untuk rangkaian rangkaian ideal, ideal, nilai resistansi resistansi sama dengan dengan nol sehingga tidak ter!adi ter!adi disipasi disipasi pada resistor. resistor. )engan demikian, demikian, nilai R menun!ukkan nilai redaman dari rangkaian, demikian !uga dengan Q. )i sekitar frekuensi frekuensi resonansi, resonansi, katakanla katakanlah h ω / ω 1 2 ∆ω , impedansi masukan dapat dinyatakan men!adi
Z in
= R + jω L − j
1 C
ω
= R + jω 0 L + j∆ω L − j
)engan )engan pendekata pendekatan n $%(ω 1 2 ∆ω ≈ ($ impedansi masukan dapat ditulis men!adi
Z in
− ∆ω %ω 1%ω 1,
1
(ω 0 + ∆ω )C
L = − j/ ω dan dan jω 0 L ω 0 C , maka
1 = R + j∆ω L 1 + 2 = Z in = R + j 2 ∆ω L ω 0 LC
(#.3 karena ω 02 LC / / $. )inyatakan dengan faktor kualitas, (#.3 men!adi
Z in
∆ω = R1 + j 2Q ω 0
(#.4 "ambar #. memperlihatkan plot impedansi Z inin sebagai fungsi dari ∆ω %ω 1. "ambar Z in Z in #.a adalah plot dari 5 Z "ambar #.b plot dari fasa fasa Z inin. Ketika 5 Z in5, dan "ambar in5 naik o o men!adi $,0$ dari nilai minimumnya, fasanya 6 03 untuk ω < ω 1 dan 2 03 untuk ω −$ o > ω 1. )ari (#.4, fasa Z in in diperoleh dari tan (2Q ∆ω %ω 0 / ± 03 , atau 2Q
∆ω
=1
ω 0
= 2∆ω /ω 0, maka dan, karena fractional bandwidth, FBW =
Q (#.7
=
ω 0
2∆ω
=
1 FBW
1,41R R
(a)
Gambar 3.2 Plot Z in in terhadap
(b) Z in / 0; (a) | Z in| ; (b) fasa ( Z in in)
Hubung Hubungan an ini member memberika ikan n defini definisi si lain lain untuk untuk faktor faktor kualit kualitas as,, yaitu yaitu bah8a bah8a Q Z in merupakan kebalikan dari factional band8idth, antara titik-titik dengan 5 Z in5 sebesar $,0$ R. Resist Resistor or pada pada "ambar "ambar #.$ adalah adalah bagian bagian dari dari rangka rangkaian ian resona resonansi nsi,, yaitu yaitu merupakan bagian dari L atau C , atau dari keduanya. 9leh sebab itu faktor kualitas pada (#.0 disebut unloaded Q. Jika rangkaian resonansi ini dihubungkan dengan rangkaian luar yang menyerap daya !uga, maka dia (rangkaian luar tersebut men!adi beban beban bagi rangkaian resonansi. resonansi. &fek pembebanan pembebanan ini dapat direpresentasi direpresentasikan kan dengan penambahan resistansi resistansi eksternal Rext , yang dihubungkan secara seri dengan R. )engan )engan demikian demikian faktor kualitasnya kualitasnya disebut disebut loaded Q dan dinyatakan dengan Q L. )inya )inyatak takan an dengan dengan faktor faktor kualit kualitas as ekster eksternal nal dan unloa unloade ded d Q, loaded Q men!adi 1 Q L
=
1 Qu
+
1 Qext
(#.: dengan
Qext =
L
ω 0
Rext
=
1 ω 0
CRext
(#.;
Contoh 3.1
dan Ω. dan dan dan
(a frekue frekuensi nsi resona resonansi nsi,, faktor faktor kualit kualitas, as, dan band8i band8idth dth rang-kaia rang-kaian, n, masing masing-masing dicari sebagai berikut> f 0
=
1 2π LC
Qu
=
FBW FBW =
1
L
ω 0
Qu
R
1
=
−8
2π 10
=
−10
×10
159 ×106 ×10
=159 ?H+
−8
0,1
=15,9 ≈16
FBW = 10 = 0,0625 ⇒ BW = f 0 × FBW
?H+
(b loaded loaded @ dan dan band8 band8ith ith rangka rangkaian ian
Rext = 20 Ω, Qext =
L
ω 0
Rext
= 0,0795
maka,
Q L
=
Qu Qext Qu
BW =
+ Qext
f 0 Q L
= 0,079
= 12,6 ?H+
3.2 Rangkaian Resonansi Paralel Rangkaian resonansi paralel diperlihatkan pada "ambar #.#. Resistor paralel merupa merupakan kan bagian bagian dari dari indukt induktans ansii atau atau kapasi kapasitan tansi. si. Resist Resistans ansii ini seben sebenarn arnya ya terhubung seri dengan induktor atau kapasitor, tapi dengan transformasi dari seri ke paralel paralel (atau sebaliknya sebaliknya diperoleh resistor yang paralel paralel dengan dengan L dan dan C . Hal ini akan kita bahas pada seksi berikutnya. )enga )engan n cara cara yang yang sama sama sepert sepertii pada pada rangka rangkaian ian resona resonansi nsi seri, seri, frekue frekuensi nsi resonansi rangkaian diperoleh f 0
=
1 2π LC
(#.$1 dan faktor kualitas Q
(#.$$
=
R L
ω 0
= ω 0CR
Gambar 3.3 Rangkaian resonansi parallel =mpedansi =mpedansi masukan masukan dari rangkaian rangkaian resonansi resonansi di sekitar sekitar frekuensi frekuensi resonansi resonansi,, dengan pendekatan yang sama seperti pada rangkaian resonansi resonansi seri, adalah Z in
=
R 1 + j 2Q ∆ω ω 0
(#.$ Kura respons respons frekuensi frekuensi dari Z inin diperlihatkan pada "ambar #.0. "ambar #.0a Z in adalah respons 5 Z 5 sedangkan "ambar #.0b memperlihatkan respons fasanya. in
(a)
(b)
Z in Gambar 3.4 Plot Z in / 0; (a) | Z in terhadap in| ; (b) fasa ( Z in in) Hubungan antara faktor kualitas dengan band8idth untuk rangkaian resonansi parale paralell sama sama sepert sepertii pada pada rangka rangkaian ian resona resonanas nasii seri, seri, dan diberi diberikan kan oleh oleh (#.7. (#.7. Persamaan Persamaan (#.: !uga berlaku untuk rangkaian rangkaian resonansi resonansi paralel, paralel, dengan faktor faktor kualitas eksternal
Qext =
Rext L
ω 0
= ω 0CRext
(#.$ dan Rext adalah adalah kombinasi paralel dari resistansi-resistansi eksternal, !uga dihubung paralel dengan rangkaian resonansi. Contoh 3.2 Rancanglah sebuah rangkaian resonansi paralel dengan menggunakan induktor dengan faktor kualitas :1 dan kapasitor ideal. )iinginkan faktor kualitas terbebani
loaded (loaded Q sebesar #1 pada frekuensi resonansi $11 ?H+. )iketahui resistansi sumber dan beban masing-masing $111 Ω.
Solusi
Gambar 3.5 Rangkaian untuk contoh 3.2 Pada contoh ini kita harus menentukan R, L, dan C berdasarkan berdasarkan data yang ada. Aerdasarkan data yang ada, Rext
= 1000 //1000 = 500 500 Ω
dan faktor kualitas eksternal diperoleh dari (#.:, yaitu
Qext =
Qu Q L
− Q L
Qu
=
80 × 30 50
= 48
)engan menggunakan (#.$ induktansi dan kapasitansi didapat
L
=
C =
Rext ω 0
Qext
Qext Rext
ω 0
=
=
500 2π ×108 × 48 48
2π ×10 8 × 500
= 16,6 nH = 152,8 p*
)engan menggunakan (#.$$ diperoleh resistansi paralel R
=
LQu
ω 0
= 2 ×108 ×16,6 ×10−9 ×80 = 834,4 π
Ω
3.3 Transormasi Transormasi Seri!Paralel
Gambar 3." Transormasi Transormasi seri!paralel Untuk rangkaian seri, impedansi dapat dinyatakan dengan
Z s
= R s ± jX s
'anda plus untuk reaktansi induktif, dan tanda minus untuk reaktansi papasitif. Untuk rangkaian parelel
Z p
R p X p2 R p2 X p ± jR p X p = = ± j 2 R p ± jX p R p2 + X p2 R p + X p2
karena karena kedua rangkaian rangkaian tersebut tersebut merupakan merupakan dual, maka keduanya keduanya harus sama. Aegitu !uga faktor kualitas kedua rangkaian tersebut sama. Jadi Q s = Q p = Q . )ari /X p. )engan demikian, (.$$, Q / R p /X R p
= R s (1 +Q
2
)
(#.$# dan = X s
X p
(1 +1 Q ) 2
(#.$0 Untuk Q yang besar ( ≥ $1, X p ≈ X s sehingga L p ≈ L s dan C p ≈ C s, !uga R p
≈Q
2
R s
,
Q
≥10
(#.$3
Contoh 3.3
X Q s = s R s
=
2π ×10 8 ×10 −7 10
= 6,28 = Q p
Komponen paralelnya R p L p
= R s (1 +Q
2
2
)
= L s (1 +1 / Q
)
=10(1 +6,28
=100 (1 +1 /
2
)
= 404, 4 Ω
6,28 2 )
=102 ,5
nH
Btau L p
=
Rp Q ω 0 Q
=
404,4 8
2π ×10
× 6,28
= 102,5 nH
3.4 Rugi!rugi Sisipan # Insertion Loss$ =nsertion loss atau rugi-rugi sisipan, merupakan rugi-rugi yang ter!adi !ika kita sisipkan sisipkan sebuah blok di antara antara sumber sumber dan beban. Pada rangkaian rangkaian resonansi, resonansi, rugirugi rugi sisipa sisipan n diakib diakibatk atkan an oleh oleh adanya adanya disipa disipasi si pada pada rangka rangkaian ian resona resonansi nsi.. Jadi Jadi pengaruh pengaruh faktor faktor kualitas kualitas dari rangkaian rangkaian menyebabka menyebabkan n timbulnya timbulnya rugi-rugi rugi-rugi sisipan. sisipan. "ambar "ambar #.7 memperlihatkan memperlihatkan sebuah sebuah sumber sumber dengan dengan resistansi resistansi sumber sumber RS dihubungkan dengan sebuah beban R L.
Gambar 3.% Sumber &ang terhubung dengan beban langsung 'egangan yang diserap beban adalah
V L
=
R L R L + RS
V S
⇒V L =
V S 2
, !ika R L
=
RS
(#.$4 Jika sekarang sekarang kita sisipkan rangkaian rangkaian resonansi resonansi paralel, dengan faktor faktor kualitas kualitas Qu, maka pada keadaan resonansi, resistansi beban men!adi
R L′
= R p // R L =
LQu R L
ω 0
R L
+ ω 0 LQu
< R L
sehingga
V L′ = (#.$7 dan rugi-rugi sisipan ( insertion loss dinyatakan dengan
R L′ R L′ + RS
V S
IL
V ′ = −20 log L V L
(#.$: "ambar "ambar #.: memperlihat memperlihatkan kan rangkaian rangkaian yang yang disisipi disisipi rangkaian rangkaian resonansi resonansi paralel paralel pada keadaan resonansi.
Gambar 3.' Rangkaian eki(alen pada keadaan resonansi
Contoh 3.4
=
1 LC
1
=
50 ×10−
9
= 894,4 rad%detik
−12
×25 ×10
dan R p =ω 0 LQ = 4472 Ω
sehingga
R L′
V L′
=
= R p // R L = 817 ,3 R L′ R L′ + RS
Ω
V S = 0,45V S
)engan demikian IL
= −20 log
3.5 Transormasi Transormasi )mpedansi )mpedansi
0,45 0,5
= 0,92
dA
Pada contoh #., untuk rangkaian resonansi paralel, resistansi eksternal (beban dan sumber akan menurunkan faktor kualitas dan menaikkan band8idth. )engan impedansi sumber dan beban yang rendah, faktor kualitas akan turun secara drastis. )engan )engan demikian, demikian, akan sangat sangat sulit merancang merancang sebuah sebuah rangkaian rangkaian dengan faktor faktor kualitas yang tinggi. ?eto ?etoda da yang yang digu diguna naka kan n untu untuk k meng mengat atas asii masa masala lah h ini ini adal adalah ah deng dengan an mentransfor mentransformasi masi impedansi impedansi sumber sumber dan beban beban sehingga sehingga terlihat terlihat oleh rangkaian reso resona nans nsii impe impeda dans nsin iny ya men! men!ad adii besa besar. r. Bda Bda dua dua rang rangka kaia ian n yang ang dapa dapatt mentransformasi impedansi beban (sumber, yaitu rangkaian kapasitor ter-tap dan rangkaian induktor ter-tap.
3.5.1 Rangkaian *apasitor ter!tap "ambar "ambar #.; memperlihat memperlihatkan kan rangkaian rangkaian kapasitor kapasitor ter-tap. ter-tap. Pada rangkaian terse tersebut but,, kapasi kapasitor tor mentra mentransf nsform ormasi asi impeda impedansi nsi beban beban R L men! men!ad adii R′ L, dengan dengan menganggap komponen rangkaian resonansi berupa komponen ideal.
Gambar 3.+ Transormator kapasitor ter!tap Rangkaia Rangkaian n paralel paralel antara antara R L dan C 2 kita ubah men!adi rangkaian seri dengan mengunakan transformasi paralel ke seri. "unakan (#.$# dan (#.$0 diperoleh
R s
=
R L 1 + Q p2
(#.$;
1 + Q p2 C s = C 2 2 Q p (#.1 R L. Hasil transformasi deng dengan an Q p = ω 0C 2 R transformasi ini diperlihatk diperlihatkan an pada "ambar #.$1a. #.$1a. "ambar #.$1b ekialen dengan "ambar #.$1a, dengan kapasitor
C eki (#.$
=
C 1C s C 1 + C s
(a)
(b)
Gambar 3.1, Rangkaian transormasi antara
Kemudian "ambar #.$1b, antara C eki eki dan R s kita transformasi kembali men!adi rangkaian paralel sehingga diperoleh hasil akhir transformasi pada "ambar #.$$, dan
R s =
RL′
1 + Q12
(#. dengan Q1, untuk rangkaian berfaktor kualitas tinggi, adalah
=
Q1
RL′ L
ω 0
(#.#
Gambar 3.11 -asil akhir transormasi )ari (#.$; dan (#. kita peroleh pernyataan untuk R s. )engan demikian kita dapat menentukan Q p dinyatakan dalam Q1.
Q p
=
R L
2 ( 1 + Q1 ) − 1 ′
R L
(#.0 *rekuensi resonansi rangkaian, dengan faktor kualitas tinggi, adalah 2
ω 0
=
1 2
2
LC − L R L′
≈
1
LC
(#.3 dengan C = C eki eki, merupakan kombinasi seri dari C 1 dan C s. )engan pendekatan ini, kita substitusikan frekuensi resonansi pada (#.3 ke (#.#, didapatkan
Q1
′ = R L = ω 0C
f 0 f ∆
(#.4 )i sini ∆ f adalah adalah band8idth dalam H+, dan f 0 frekuensi resonansi rangkaian (!uga dalam H+. Prosedur Perancangan Transformator C ter-tap ter-tap $. 'entuk 'entukan an faktor kualita kualitass rangka rangkaian ian yang diingi diinginka nkan, n, berdas berdasark arkan an frekue frekuensi nsi resonansi dan band8idth rangkaian. "unakan (#.4. 2.
'entukan nilai kapasitor rangkaian, setelah Q1 ditentukan, dengan menggunakan (#.4.
#.
Hitung Hitung nilai nilai indukt induktans ansii indukt induktor, or, berdas berdasark arkan an frekuens frekuensii resona resonansi nsi dan nilai kapasitor yang diperoleh pada langkah . "unakan (#.3.
4.
Hitung Q p dengan menggunakan (#.0.
5.
'entukan C 2 dengan persamaan C 2
=
Q p ω 0 R L
(#.7 6.
Hitung C s dengan menggunakan (#.1.
7.
'erakhir hitung C 1 menggunakan (#.$.
Contoh 3.5 Rancangl Rancanglah ah sebuah sebuah transforme transformerr kapasitor kapasitor ter-tap ter-tap untuk men-transf men-transformas ormasikan ikan impe impeda dans nsii beba beban n 31 Ω ke impe impeda dans nsii $111 Ω pada pada frekue frekuensi nsi $11 ?H+ dan band8idth $1 ?H+. Solusi )engan mengikuti tahap-tahap perancangan yang telah disebut-kan, diperoleh nilai-nilai L, C 1 dan C 2 sebagai berikut> Q1
C =
L
=
Q1 R′
ω 0 L
1 2 ω 0 C
=
?H+ = 100 ?H+ = 10 $1?H+ ?H+
=
10 2π ×10
8
×1000
= 16 p*
1 (2π ×10 )
8 2
×16×10−12
= 15 158 8 nH
Q p
=
R L
1 + Q12 ) − 1 = ( R′ L
C 2
C s
=
Q p R L
ω 0
=
50 1000
(1 + 102 ) − 1 = 4,05
4,05 2π ×10
8
× 50
= 31,8 p*
1 + Q p2 1 + 4,05 2 = C 2 2 = 31,8 = 33,74 p* 2 Q p 4 , 05 C 1
=
C s C 33,74 ×16 = C s − C 33,74 −16
3.5.2 Transormer Tertala!Ganda Paralel
= 30,4 p*