Bab v 1 Ellips Hiperbola Dan Parabola

43

BAB V

ELLIPS, HIPERBOLA, DAN PARABOLA

Pada bab ini akan dipelajari tentang irisan kerucut yaitu ellips, hiperbola, dan parabola. Pemahaman tentang persamaan garis dan lingkaran diperlukan dalam bab ini. Kita pandang persamaan irisan kerucut sebagai persamaan berderajat dua.

A. Ellips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yamg jumlah jaraknya terhadap dua tertentu adalah konstan. Perhatikan illustrasi berikut :

T2 T1 2c

F2

F1 T

A2

F2

T3

F1

A1

T

Gambar 1

Misalkan titik tertentu yang dimaksud dalam definisi ellips diatas adalah titik

F1 dan F2 , sedangkan jarak konstan adalah jarak antara dua titik yaitu A1 dan A2 tersebut yaitu 2a. Jika titik-titik T1 , T2 , dan T3 terletak pada ellips maka berlaku

T1F1  T1F2  T2 F1  T2 F2  T3 F1  T3 F2 = 2a. Selanjutnya ambil sistem koordinat kartesius pada bidang. Akan ditentukan persamaan ellips dengan titik F1 dan F2 masing-masing mempunyai koordinat c ,0  dan  c ,0  , sedangkan A1 dan A2 mempunyai koordinat a ,0  dan  a ,0  . Titik tengah F1 dan F2 sama dengan titik tengah A1 dan A2 yaitu titik asal atau titik 0 ,0  .

44

Titik tengah tersebut selanjutnya disebut titik pusat ellips. Ambil sebarang titik

T x , y  pada ellips. Menurut definisi ellips maka berlaku,

TF1  TF2  2a 

x  c2   y  0 2  x  c2   y  0 2



x  c2  y 2  x  c2  y 2 x  c2  y 2



 2a

x  c 2  y 2 ,

 2a 

 2a

jika kedua ruas dikuadratkan

diperoleh :

x  c2  y 2  4a2  4a x  c2  y 2  x  c2  y 2  x 2  2cx  c 2  y 2  4a 2  4a 

4a

x  c2  y 2

x  c2  y 2  x2  2cx  c2  y 2

 4a 2  4cx , jika masing-masing ruas dibagi 4

diperoleh :

a

x  c 2  y 2

 a 2  cx , selanjutnya persamaan ini dikuadratkan diperoleh :





a 2  x  c 2  y 2  a4  2a 2cx  c 2 x 2





 a 2 x 2  2cx  c 2  y 2  a4  2a 2cx  c 2 x 2

 a 2 x 2  2a 2cx  a 2c 2  a 2 y 2  a4  2a 2cx  c 2 x 2









 a2  c2 x2  a2 y 2  a2 a2  c2 . Perhatikan segitiga

TF1F2

pada gambar 1 di atas, terlihat bahwa

TF1  TF2  F1F2 atau 2a  2c. Berarti a  c, sehingga a 2  c 2 atau a 2  c 2  0 . Misalkan

a 2  c 2  b2 ,

a2  c2 x2  a2 y2  a2 a2  c2 

oleh

karena

itu

 b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2 .

2 2

persamaan tersebut dibagi a b diperoleh persamaan ellips : Perhatikan gambar ellips dibawah ini :

Jika

x2 a2



y2 b2

persamaan kedua

 1.

ruas

45

y

B1 0 ,b 

F1c,0 

F2  c ,0 

x

A1 a ,0 

A1  a ,0 

B2 0,b

Gambar 2 Keterangan : - Titik F1c ,0  dan F2  c ,0  disebut titik api, - Titik A1 a ,0  dan A2  a ,0  disebut titik puncak (titik ujung sumbu panjang), - Titik B1 0 ,b  dan B2 0,b disebut titik ujung sumbu pendek, -

A1 A2 : Sumbu panjang (sumbu mayor),

-

B1B2 : Sumbu pendek (sumbu minor),

- O0 ,0  : Titik pusat ellips. Persamaan ellips dengan titik pusatnya

0 ,0  ,

sumbu panjangya berimpit

dengan sumbu y, dan sumbu pendeknya berimpit dengan sumbu x adalah :

x2 b2



y2 a2

 1 . Adapun beberapa titik yang penting adalah :

-

Titik puncaknya : A1 0 ,a  dan A2 0,a  ,

-

Titik api : F1 0 ,c  dan F2 0 ,c  ,

-

Titik ujung sumbu pendek B1 b,0  dan B2  b ,0  ,

-

A1 A2 : Sumbu panjang (sumbu mayor),

-

B1B2 : Sumbu pendek (sumbu minor),

46

Perhatikan gambar berikut :

A1 0 ,a  F1

B1 b,0 

B2  b ,0  F2

A2 0,a 

Gambar 3

Garis Arah (Direktriks) dan Eksentrisiret Garis arah adalah garis yang tegaklurus sumbu panjang dan berjarak

a2 dari c

titik pusat ellips. y

B1 0 ,b  P(x,y)

Q

F1c,0 

F2  c ,0 

x

A1 a ,0 

A1  a ,0 

B2 0,b x=-

a2 c

Gambar 4

x=

a2 c

47

a2 y c

A1 0 ,a 

F1

B1 b,0 

B2  b ,0  F2

A2 0,a 

a2 y c

Gambar 5

Perhatikan Gambar 4 di atas, titik P(x,y) sebarang titik pada ellips. Perbandingan jarak titik P ke titik api dengan jarak titik P ke garis arah disebut eksentrisitet yang nilaianya konstan. Jarak titik P ke titik api adalah PF1 , sedangkan jarak titik P ke garis arah adalah PQ = dinotasikan dengan e 

a 2  cx a2 . Jadi, eksentrisitet x = c c

PF1 . Dalam hal ini nilai PF1 akan ditentukan terlebih PQ

dahulu, sebagai berikut : Karena

P(x,y)

adalah

sebarang

titik

pada

ellips

maka

PF1  x  c 2  y 2 = x 2  2cx  c 2  y 2 2

PF2

2

dan

 x  c 2  y 2 = x 2  2cx  c 2  y 2 , sehingga PF2  PF1  4cx . Tetapi , 2

PF2  PF1   PF2  PF1  PF2  PF1  . 2

berlaku,

2

2

48

Berarti,  PF2  PF1  PF2  PF1   4cx . Ingat bahwa  PF2  PF1   2a , sehingga 2a  PF2  PF1   4cx  PF2  PF1 

4cx . Selanjutnya, 2a

PF2  PF1  2a PF2  PF1 

4cx 2a

2 PF1 = 2a 

2cx a

Jadi, PF1 = a 

cx a 2  cx atau PF1 = . a a

Oleh karena itu, e 

PF1  c   a 2  cx  c =  .  PQ  a 2  cx   a  a

Dari hasil ini, ellips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jarak ke titik api dibanding jarak ke garis arah, yang disebut

 PF1 c  eksentrisitet adalah konstan  e    .  PQ a   Ellips dengan titik pusat tidak di 0 ,0  Misalkan ellips dengan titik pusat P(h,k), sumbu panjang sejajar dengan sumbu x, dan sumbu pendek sejajar dengan sumbu y. Setengah sumbu panjangnya a dan setengah sumbu pendeknya b. Perhatikan gambar berikut : y

y’ (x,y) = (x’+h,y’+k)

B1

A2

F2

P F1

A1

x’

B2 x Gambar 6

49

Dalam sistem koordinat kartesius x’y’, persamaan ellips tersebut adalah :

x' 2 a2



y' 2 b2

 1 . Adapun beberapa titik yang penting adalah :

-

Titik F1c,0  dan F2  c ,0  disebut titik api,

-

Titik A1 a ,0  dan A2  a ,0  disebut titik puncak,

-

Titik B1 0 ,b  dan B2 0,b disebut titik ujung sumbu pendek,

-

A1 A2

: Sumbu panjang (sumbu mayor),

-

B1B2

: Sumbu pendek (sumbu minor),

-

O' 0 ,0 

: Titik pusat ellips,

-

a2 a2 Persamaan garis arahnya : x'  dan x'   . c c

Dari Gambar 6, terlihat bahwa hubungan antara sistem koordinat kartesius xy dengan sistem koordinat kartesius x’y’ :

x’ = x – h , dan y’ = y – k . Oleh karena

itu, dalam sistem koordinat kartesius xy persamaan ellips tersebut adalah

x  h2   y  k 2 a2

b2

:

 1 . Adapun beberapa titik yang penting adalah :

-

Titik F1h  c ,k  dan F2 h  c ,k  disebut titik api,

-

Titik A1 h  a ,k  dan A2 h  a ,k  disebut titik puncak,

-

Titik B1 h,k  b  dan B2 h,k  b disebut titik ujung sumbu pendek,

-

A1 A2

: Sumbu panjang (sumbu mayor),

-

B1B2

: Sumbu pendek (sumbu minor),

-

Ph,k 

: Titik pusat ellips,

-

Persamaan garis arahnya :

a2 a2 xh   x  h c c

a2 a2 dan x  h   .  x  h c c

Selanjutnya, misalkan ellips dengan titik pusat P(h,k), sumbu panjang sejajar dengan sumbu y, dan sumbu pendek sejajar dengan sumbu x. Setengah sumbu panjangnya a dan setengah sumbu pendeknya b. Perhatikan gambar berikut :

50

y

y’

A1

F1

B2

P

x’

B1

F2

A2

x

Gambar 7 Dalam sistem koordinat kartesius x’y’, persamaan ellips tersebut adalah :

x' 2 b2



y' 2 a2

 1 . Adapun beberapa titik yang penting adalah :

-

Titik puncaknya : A1 0 ,a  dan A2 0,a  ,

-

Titik api : F1 0 ,c  dan F2 0 ,c  ,

-

Titik ujung sumbu pendek B1 b,0  dan B2  b ,0  ,

-

A1 A2

: Sumbu panjang (sumbu mayor),

-

B1B2

: Sumbu pendek (sumbu minor),

-

O' 0 ,0 

: Titik pusat ellips,

-

Persamaan garis arahnya adalah : y' 

a2 a2 dan y'   . c c

Jika dibawa ke dalam sistem koordinat kartesius xy diperoleh persamaan ellips yaitu :

x  h2   y  k 2 b2

a2

 1 . Adapun beberapa titik yang penting adalah :

-

Titik puncaknya : A1 h,k  a  dan A2 h,k  a  ,

-

Titik api : F1h,k  c  dan F2 h,k  c  ,

51

-

Titik ujung sumbu pendek B1 h  b,k  dan B2 h  b,k  ,

-

A1 A2

: Sumbu panjang (sumbu mayor),

-

B1B2

: Sumbu pendek (sumbu minor),

-

P( h ,k )

: Titik pusat ellips,

-

Persamaan garis arahnya adalah :

a2 a2 a2 a2 dan . yk   yk   yk  yk c c c c Persamaan Umum Derajat Dua Dalam x dan y Perhatikan persamaan umum derajat dua dalam x dan y berikut :

Ax 2  2 Bxy  Cy2  2 Dx  2 Ey  F  0 Secara umum dua persamaan ellips dengan pusat (h,k) di atas masing-masing :

x  h2   y  k 2 a2

b2

1

x  h2   y  k 2

dan

b2

a2

 1 dapat diubah menjadi bentuk

persamaan umum derajat dua yaitu :

x2  2hx  h2 a2





y 2  2ky  k 2 b2



1





 b2 x 2  2hx  h2  a 2 y 2  2ky  k 2  a 2b2  b2 x 2  2b2 hx  b2 h2  a 2 y 2  2a 2 ky  a 2 k 2  a 2b2  0





 b2 x 2  a 2 y 2  2b2 hx  2a 2 ky  b2 h2  a 2k 2  a 2b2  0 dan

x2  2hx  h2 b2





y 2  2ky  k 2 a2



1





 a 2 x 2  2hx  h2  b2 y 2  2ky  k 2  a 2b2  a 2 x 2  2a 2 hx  a 2 h2  b2 y 2  2b2ky  b2 k 2  a 2b2  0





 a 2 x 2  b2 y 2  2a 2 hx  2b2 ky  a 2 h2  b2k 2  a 2b2  0 Oleh karena itu, persamaan ellips merupakan bentuk persamaan umum derajat dua dengan sifat bahwa AC  a 2b2  0 dan tidak terdapat suku xy.