Bab VII Transformasi Linear

Alj Aljabar abar Lin Linea earr Elem Elemen ente terr MA1223 3 SKS Silabus : Bab Ba b Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Si Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ru Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Tran ransformas rmasii Linear VIII Ruang Eigen

07/03/2007 12:33

MA-1223 Aljabar Linear

1

VII VII

Tra Trans nsfo form rmas asii Line Linear ar

Sub Su b po poko kok k Bah Bahasan asan

• Definisi Transformasi Linear • Matriks Transformasi • Kernel da dan Jangkauan Beberapa Aplikasi Transformasi Linear

• Grafika Komputer • Penyederhanaan Model Ma Matematis • d a n l ai n l ai n

07/03/2007 12:33


2

Tran Tr ansf sfor orm masi asi Line Linear ar Misalkan V da dan W ad adalah ruang vektor, T : V



W

dina dinama maka kan n tran transf sfor orma masi si line linear ar,, jik jika a untuk setiap a , b ∈ V

da n

α

∈R

berlaku :

1. T (a + b ) = T (a ) + T b 2. T

(

α a

)

=

α T

(a)

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

07/03/2007 12:33


3

Contoh : Tunjukan bahwa T : R2



R3, dimana

⎛ x − y ⎞ ⎟ ⎡⎛ x ⎞⎤ ⎜ T ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜ − x ⎟ ⎣⎝ y ⎠⎦ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠

Rumus Transformasi

merupakan tranformasi linear. Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan

v1 ⎞ ⎛ u1 ⎞ v = ⎛ 2 ⎜ ⎟ R ∈ u = ⎜⎜ ⎟⎟, ⎜v ⎟ u ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

(i) Akan ditunjukan bahwa

( + v ) = T (u ) + T (v )

T u 07/03/2007 12:33


4

⎡⎛ u ⎞ ⎛ v ⎞⎤ T (u + v ) = T ⎢⎜ ⎜ u ⎟⎟ + ⎜⎜ v ⎟⎟⎥ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎛ (u + v ) − (u + v ⎜ =⎜ − (u + v ) ⎜ u +v ⎝ 1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

2

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

1

⎛ (u + v ) − (u + v ⎜ =⎜ −u −v ⎜ u +v ⎝ 1

) ⎞

2

2

1

2

) ⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ u − u ⎞ ⎛ v − v ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ −u ⎟+⎜ −v ⎟ ⎜ u ⎟ ⎜ v ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1

2

1

2

1

1

2

Terbukti bahwa 07/03/2007 12:33

2

( + v ) = Τ (u ) + Τ (v )

T u


5

(ii) Ambil unsur sembarang u ∈ R dan ⎡ ⎛ α u ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ Τ (α u ) = Τ ⎢ ⎜⎜ ⎣ ⎝ α u ⎠ ⎦ 2

α

∈ R

1

2

⎛ α u − α u ⎜ = ⎜ − α u ⎜ α u ⎝ 1

2

1

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ α (u − u ) ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ α (− u ) ⎟ ⎜ α (u ) ⎟ ⎝ ⎠ 1

2

1

2

⎛ u − u ⎜ = α ⎜ − u ⎜ u ⎝ 1

1

2

2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

= α Τ (u ) Jadi,

T

merupakan transformasi linear.

07/03/2007 12:33


6

Contoh 2 :

Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh = det (A ), untuk setiap A ∈ M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier. T (A )

Jawab :

⎛ a1 Misalkan A = ⎜⎜ ⎝ a3

a2 ⎞

⎟⎟ ∈ M 2 x 2 a4 ⎠

maka untuk setiap α∈ R berlaku ⎛ α a1 det (α A) = det ⎜⎜ ⎝ α a3

α

a2 ⎞

⎟⎟ α a 4 ⎠

= α 2 (a1a2 − a3 a4 ) = α 2 det( A) 07/03/2007 12:33


7

Perhatikan bahwa det (α A) ≠ α det (A) Jadi T bukan transformasi linier. Contoh 3 :

Diketahui

T :

P2 (Polinom orde-2) ⎛ a − b ⎞ 2 ⎟⎟ T (a + bx + cx ) = ⎜⎜ ⎝ a − c ⎠



R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan T (1 + x + x 2 ) Jawab : a.(i) Ambil unsur sembarang P2, u = u1 + u 2 x + u3 x 2 07/03/2007 12:33

v = v1 + v2 x + v3 x 2 MA-1223 Aljabar Linear

8

Sehingga 2 ( ) ( ) ( ) u v u v x u v x + + + + + u +v = 1 1 2 2 3 3

Perhatikan bahwa

T (u + v ) = T ((u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) x + (u3 + v3 )x 2 )

⎛ (u1 + v1 ) − (u2 + v2 ) ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ (u1 + v1 ) − (u3 + v3 ) ⎠ ⎛ (u1 − u2 ) + (v1 − v2 ) ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ (u1 − u3 ) + (v1 − v3 ) ⎠ ⎛ u − u ⎞ ⎛ v − v ⎞ = ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ u1 − u3 ⎠ ⎝ v1 − v3 ⎠

= T (u1 + u2 x + u3 x 2 + T (v1 + v2 x + v3 x 2

07/03/2007 12:33


9

Ambil unsur sembarang P2, u = u1 + u2 x + u3 x 2 dan

α

∈ R, sehingga

T (α u ) = T α u1 + u2 x + u3 x 2

⎛ (α u1 − α u2 ) ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ (α u1 − α u3 ) ⎠ ⎛ α (u1 − u2 ) ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ α (u1 − u3 ) ⎠

⎛ u1 − u2 ⎞ ⎟⎟ = α ⎜⎜ ⎝ u1 − u3 ⎠

= α T u1 + u2 x + u3 x 2 ) Jadi, T merupakan transformasi linear 07/03/2007 12:33


10

b.

⎛ 1 − 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ T (1 + x + x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 − 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 2

Suatu transformasi linear T : V  W dapat direpresentasikan dalam bentuk : T ( u ) = A u untuk setiap u ∈ V . 

A dinamakan matriks transformasi dari T .

Contoh :

Misalkan, suatu transformasi linear didefinisikan oleh :

T :

R2



R3

⎛ x − y ⎞ ⎟ ⎡⎛ x ⎞⎤ ⎜ Τ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ = ⎜ − x ⎟ ⎣⎝ y ⎠⎦ ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:33


11

Jawab :

Perhatikan bahwa ⎡⎛ x ⎞⎤ Τ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎣⎝ y ⎠⎦

⎛ x − y ⎞ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ x ⎞ = ⎜ − x ⎟ = ⎜ − 1 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Jadi matriks transformasi untuk T : R2



R3 adalah

⎛ 1 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ Jika T : R n



Rm merupakan transformasi linear

maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

07/03/2007 12:33


12

Misalkan

Β = {v1 , v2 }

basis bagi ruang vektor

V

dan

Τ : R 2 → R 3 merupakan transformasi linear dimana Τ(vi ) = (ui ) untuk

setiap i = 1,2.

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara : Tulis : T (v1 ) = Αv1 = u1

T (v 2 ) = Αv 2 = u 2

Sehingga Jadi

Α 3 x 2 [v1 v2 ]2 x 2 = [u1 u 2 ]3 x 2

[v1

v2 ] basis bagi V maka ia punya invers

Α = [u1 u 2 ][v1 v 2 ]−1 07/03/2007 12:33


13

Contoh 3 : Misalkan ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎨v1 = ⎜ 1 ⎟, v2 = ⎜ 1 ⎟, v3 = ⎜ 0 ⎟⎬ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩

adalah basis bagi R3

Τ : R 3 → P 1 Transformasi linear didefinisikan T (vi ) = Avi = pi

untuk setiap i = 1,2,3.

Jika p1 = 1 − x; p2 = 1; p3 = 2 x

⎡⎛ 1 ⎞⎤ Tentukan : ⎢⎜ ⎟⎥ Matrix transformasi dan Τ ⎢⎜ − 1⎟ ⎥ ⎢⎣⎜⎝ 2 ⎠⎟⎥⎦

07/03/2007 12:33


14

Jawab : Definisikan : ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ p1 = [1 − x ] B = ⎜⎜ ⎟⎟; p2 = [1] B = ⎜⎜ ⎟⎟; p3 = [2 x ]B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Karena

Αvi = pi ,

∀i = 1,2,3

Maka ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎟⎟ Α⎜ 1 1 0 ⎟ = ⎜⎜ ⎜ − 1 − 1 1 ⎟ ⎝ − 1 0 2 ⎠ ⎝ ⎠

atau

−1 ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ Α = ⎜⎜ ⎝ − 1 0 2 ⎠ ⎜ − 1 − 1 1 ⎟ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:33


15

invers matriks dicari dengan OBE : ⎛ 1 0 0 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 1 0 ⎟ 0 1 0⎟ ~ ⎜ 0 1 0 ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 −1 1 1 0 1 0 0 1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 0 0 ⎜ ~ ⎜0 1 0 ⎜0 0 1 ⎝

Sehingga

1

0 0 ⎞

⎟ −1 1 0 ⎟ 0 1 1 ⎠⎟

⎛ 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎛ 0 1 ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − 1 1 0 ⎟ = ⎜⎜ Α = ⎜⎜ ⎝ − 1 0 2 ⎠ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎝ − 1 2 ⎝ ⎠ Jadi matriks transformasi T adalah ⎛ 0

0 ⎞

⎟⎟ 2 ⎠

1

0 ⎞

⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1 2 2 ⎠

07/03/2007 12:33


16

Sementara itu, ⎡⎛ 1 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟⎥ Τ⎢⎜ − 1⎟⎥ = Α⎜ − 1⎟ ⎜2⎟ ⎢⎜⎝ 2 ⎠⎟⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

ingat bahwa

jadi

⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ − 1⎟ = ⎜⎜ ⎝ − 1 2 2 ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1 ⎠

⎡⎛ − 1 ⎞⎤ 2 ⎜ ⎟ 1 x = − + ⎢⎜ ⎟⎥ ⎣⎝ 1 ⎠⎦ B

⎡⎛ 1 ⎞⎤ ⎢⎜ ⎟⎥ Τ⎢⎜ − 1⎟⎥ = (− 1 + x ) ⎢⎜⎝ 2 ⎠⎟⎥ ⎣ ⎦

07/03/2007 12:33


17

Contoh 4 : Diketahui basis dari polinom orde dua adalah 1 + x, − x + x 2 , 1 + x − x 2

Jika T : P2 dimana



R3 adalah transformasi linear

⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 T [ 1 + x ] = ⎜ 1 ⎟ T − x + x = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[

Tentukan

]

[

T 1 + x − x 2

]

⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠

Gunakan Definisi Membangun

T 1 − x + x 2 .

07/03/2007 12:33


18

Jawab : Perhatikan bahwa himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2 maka polinom tersebut ditulis nejadi :

1 − x + x 2 = k 1 (1 + x ) + k 2 − x + x 2 + k 3 1 + x − x 2 Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

k 1 + k 3 = 1 k 1 − k 2 + k 3 = −1 k 2 − k 3 = 1 dengan solusi 07/03/2007 12:33

k 1

=0 ,

k 2

= 2,

dan


k 3

= 1. 19

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk : 1 − x + x 2 = 0 (1 + x ) + 2 (− x + x 2 ) + 1 (1 + x − x 2 ) atau T 1 − x + x 2 = T 0 (1 + x ) + 2 − x + x 2 + 1 1 + x − x 2

Karena transformasi T bersifat linear maka :

(

(

(

T 1− x + x2 = 0T (1+ x) + 2T − x + x2 + T 1+ x − x2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ 2⎟ + ⎜ 1⎟ = ⎜ 5⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:33


20

Kernel dan Jangkauan

Misalkan T : V

→

W merupakan transformasi linear

Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan kernel T notasi atau

ker ( T ).

Ker (T ) =

u ∈ V | T (u ) = 0

Contoh 5 :

⎛ a − b ⎞ ⎟⎟ Trans. Linear T : P2  R2 T (a + bx + cx ) = ⎜⎜ ⎝ a − c ⎠ ⎛ 1 − 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Perhatikan bahwa T (1 + x + x ) = ⎜⎜ 2

⎝ 1 − 1 ⎠

⎝ 0 ⎠

maka 1 + x + x 2 ∈ Ker (T ) 07/03/2007 12:33


21

Sementara itu, 1 + 2 x + x 2

∉ Ker (T )

⎛ − 1 ⎞ karena T (1 + 2 x + x ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ≠ 0 ⎝ 1 ⎠ 2

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T. Teorema : 

W adalah transformasi linear

Ker (T )

merupakan subruang dari V

Jika T : V maka Bukti :

Ambil a , b ∈ Ker (T ) sembarang dan α ∈Riil 07/03/2007 12:33


22

1.

Karena setiap a ∈ Ker (T ) artinya setiap a ∈ V sehingga T (a ) = 0 maka Ker (T) ⊆ V

2.

Perhatikan bahwa 0 ∈ Ker (T ) artinya setiap T 0 = A 0 = 0 oleh karena itu

3.

Ker (T)

≠

{}

Karena a , b ∈ Ker (T ) dan Ker (T) ⊆ V Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku a + b ∈ V

akibatnya Jadi a

07/03/2007 12:33

T a

+ b = T a + T b = 0 + 0 = 0

+ b ∈ ker (T ) MA-1223 Aljabar Linear

23

4. Karena a ∈ Ker (T ) maka a ∈ V

karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap α ∈ Riil berlaku :

T Jadi,

(

α

a ) = α T (a ) = α 0 = 0

a ∈ Ker (T ) Dengan demikian, terbukti bahwa Jika T : V  W adalah transformasi linear maka Ker (T ) merupakan subruang dari ruang vektor V α

Karena 

Ker (T )

merupakan subruang

Basis Ker(T).

07/03/2007 12:33


24

Contoh 6 : Diketahui Transformasi linear T : R 3 P2 dengan →

⎡⎛ a ⎞⎤ ⎢⎜ ⎟⎥ T ⎢⎜ b ⎟⎥ =(a + b ) + (2a – c )x + (2a + ⎢⎣⎜⎝ c ⎠⎟⎥⎦

b + c )x 2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T) Jawab : Perhatikan bahwa :

⎡⎛ a ⎞⎤ ⎢⎜ ⎟⎥ T ⎢⎜ b ⎟⎥ = (a + b ) + (2a − c ) x + (2a + b + c ) x 2 = 0 ⎢⎣⎜⎝ c ⎠⎟⎥⎦

07/03/2007 12:33


25

Ini memberikan

⎛ a + b ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2b − c ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2a + b + c ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sehingga

⎞ ⎡⎛ a ⎞⎤ ⎛ a + b ⎟ ⎢⎜ ⎟⎥ ⎜ T ⎢⎜ b ⎟⎥ = ⎜ 2b − c ⎟= ⎢⎣⎜⎝ c ⎠⎟⎥⎦ ⎜ 2a + b + c ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎜ b ⎟ ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜⎝ c ⎠⎟ ⎝ ⎠

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

⎛ 1 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 − 1⎟ ⎜2 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:33


26

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

⎛ 1 1 0 ⎜ ⎜ 0 2 −1 ⎜2 1 1 ⎝

⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 / 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ~ ⎜ 0 2 −1 0 ⎟ ~ ⎜ 0 1 −1/ 2 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 1/ 2 0⎟ 0 ⎠⎟ ⎝ 0 − 1 1 0 ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎞

⎛ 1 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ~ ⎜0 1 0 0 ⎟ ⎜0 0 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ Dengan demikian, Basis ker(T) = { } dan nulitasnya adalah nol.

07/03/2007 12:33


27

Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A adalah : ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨⎜ 0 ⎟, ⎜ 2 ⎟, ⎜ − 1⎟ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah : 1 + 2 x 2 , 1 + 2 x + x 2 , − x + x 2

sehingga

rank (dimensi

07/03/2007 12:33

basis R(t)) = 3


28

Contoh 7 :

Diketahui transformasi linear T : R4



R3

didefinisikan oleh :

⎡⎛ a ⎞⎤ a+b ⎞ ⎢⎜ ⎟⎥ ⎛ ⎟ ⎜ b ⎟⎥ ⎜ ⎢ T ⎜ ⎟ = ⎜ c − 2d ⎟ ⎢ c ⎥ ⎜ ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎝ − a − b + c − 2d ⎠⎟ ⎢⎣⎝ d ⎠⎥⎦ Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

07/03/2007 12:33


29

Jawab : ⎡⎛ a ⎞⎤ a+b ⎞ ⎢⎜ ⎟⎥ ⎛ ⎟ ⎜ b ⎟⎥ ⎜ ⎢ T ⎜ ⎟ = ⎜ c − 2d ⎟ ⎢ c ⎥ ⎜ ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎝ − a − b + c − 2d ⎠⎟ ⎣⎢⎝ d ⎠⎦⎥

⎛ a ⎞ ⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ b ⎟ = ⎜ 0 0 1 − 2⎟⎜ ⎟ ⎜ −1 −1 1 − 2⎟ ⎜ c ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ d ⎟ ⎝ ⎠ Jadi

⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 − 2⎟ A = ⎜ 0 ⎜ −1 −1 1 − 2⎟ ⎝ ⎠ 07/03/2007 12:33


30

Basis Ker(T) dan Nulitasnya? Ker(T) adalah ruang solusi dari ⎛ a ⎞

⎜ ⎟ ⎜b⎟ T (v ) = A(v ) = 0, ∀v = ⎜ ⎟ ∈ R 4 c ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ d ⎠

Dengan OBE

⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ~ ⎜ 0 0 1 − 2⎟ ~ ⎜ 0 0 1 − 2⎟ ⎜ −1 −1 1 − 2 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

07/03/2007 12:33


31

Ker(T) = ruang solusi dari Av yaitu

⎧ ⎛ a ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ b ⎟ ⎨⎜ ⎟ ⎪⎜ c ⎟ ⎪ ⎜⎝ d ⎠⎟ ⎩

=0

⎫ ⎛ 0 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎜ b ⎟ ⎜ − 1⎟ , , 0 s t s t = + ≠ ⎬ ⎜ 1 ⎟ ⎜c⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎪ 0 d ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎭

Jadi Basis Ker(T) adalah

⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎪⎜ ⎪⎜ − 1 ⎟ ⎨⎜ ⎟ 0 ⎪⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎪ ⎝ 0 ⎠ ⎩

⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 0 ⎟⎪ ,⎜ 1 ⎟⎬ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎭

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2 07/03/2007 12:33


32

Latihan

1. Suatu transformasi T : ℜ3 didefinisikan oleh



ℜ2

⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ a − 2b ⎞ ⎟⎟ T ⎜ b ⎟ = ⎜⎜ ⎜ c ⎟ ⎝ a + c ⎠ ⎝ ⎠

Periksa apakah T merupakan transformasi linear 2. Jika suatu transformansi T [2 + x] = 4 − x + x 2 dan

T : P 1  P 2

diberikan oleh :

T [1 + 3 x] = 7 + 2 x − 2 x 2

Tentukan T [3 − x]

07/03/2007 12:33


33

(Untuk no. 3 – 5) Suatu transformasi linear, T :R2R3 Yang diilustrasikan sebagai berikut : ⎛ 3 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎟⎟⎥ = ⎜ − 1⎟ dan T ⎢⎜⎜ ⎣⎝ − 2 ⎠⎦ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ − 3 ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎟⎟⎥ = ⎜ 2 ⎟ T ⎢⎜⎜ ⎣⎝ 5 ⎠⎦ ⎜ − 1 ⎟ ⎝ ⎠

3. Tentukan matriks transformasi dari T !

⎡⎛ 1 ⎞⎤ T ⎢⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎣⎝ 3 ⎠⎦

4.

Tentukan hasil transformasi,

5.

Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !

07/03/2007 12:33


34

Bab VII Transformasi Linear

Recommend Documents