Bab8 Persamaan Laplace

Pers Persam amaa aan n Lapl Laplac ace e

•

§

§

§ §

Review me medan Listrik (E), E), dan dan D Inte Inten nsit sitas meda edan list listri rik k E didap idapat at dengan penj penjum umla laha han n at atau au inte integr gras asii muat muatan an titi titik, k, gari gariss ata atau u konfigur konfigurasi asi diant diantara aranya nya Huku Hukum m Ga Gaus usss digu diguna naka kan n utk mene menent ntuk ukan an D, kemu kemudi dian an nila nilaii E, cen cende derrung kur kurang ang prak prakti tis, s, krn krn dist distri ribu busi si muat muatan an umumnya tida tidak k diketa ketahu hui. i. Nila Nilaii E adal adalah ah negat atif if dari dari grad gradiien V,dgn fung fungsi si pote otensia nsiall haru haruss diketahui at atau au kadang tdk tdk len lengkap gkap Yang bia biasa sa diket iketa ahui hui adal adalah ah peng pengha hant ntar ar dala dalam m bent bentuk uk bida bidang, ng, permu permukaa kaan n mele meleng ngku kung, ng, atau garis, garis, sert serta a poten otensi sial al .


–

Mata Mata Kuli Kuliah ah Teor Teorii Meda Medan n

•

Pers Persam amaa aan n Pois Poisso son n dan dan Pers Persam amaa aan n Lapl Laplac ace e

§

Pers Persam amaan aan laplace laplace membe memberik rikan an metod metode e dimana dimana fungsi fungsi potensial potensial V diperole diperoleh h asalkan dipenuh dipenuhiny inya a kondis kondisi-ko i-kondi ndisi si tertentupada tertentu pada perbatasa perbatasan n penghantar penghantar..

§

Pesa Pesama maan an maxwell maxwell yakn yaknii ∇.D= ρ, dan dan dgn subs substi titu tusi si εE = D dan-∇ V= E,

§

Jika Jika medi medium um nya nya homo homoge gen n dalam dalam daer daerah ah tsb, tsb, mak maka a ε dapat dipe dipero role leh h dari dari turu turuna nan n parsi parsial al pada pada dive diverg rgen ensi si :

Dise Disebu butt persam persamaan aan Pois Poisso son n Pers Persam amaa aan n Lapl Laplac ace e

–


•

Jika Jika daer daerah ah tsb tsb meng mengan andu dung ng muata muatan n dalam dalam dist distri ribu busi si ρ, pers persam amaa aan n Pois Poisso son n dapat dapat dipaka dipakaii untu untuk k mene menent ntuk ukan an fung fungsi si potensial: Dise Disebu butt persam persamaan aan Laplac Laplace e

•

Bent Bentuk uk Eksp Ekspli lisi sitt Persam rsama aan Lapl Laplac ace e Ruas Ruas kiri kiri dalam dalam pers persam amaa aan n Lapl Laplac ace e adala adalah h dive diverg rgen ensi si dari dari grad gradie ien n V, mak maka a oper operas asii dapat dapat dipak dipakai ai utk meme memenu nuhi hi persam persamaan aan dalam dalam koord koordina inatt kartes kartesian ian,, tabung tabung dan bola bola

untuk untuk medan medan vekt vektor or A Pers Persam amaa aan n Lapl Laplac ace e

–


Persam Persamaan aan Laplace Laplace •

Koor Koordi dina natt Sili Silind ndri riss :


–


•

Koor Koordi dina natt Bola Bola


–


•

Teorema harga rat rata-rat -rata a dan dan harga maks maksim imum um

dua dua sifa sifatt pent pentin ing g dari dari pote potens nsia iall dala dalam m suatu suatu daer aerah yang yang beba bebass muatan muatan:: 1. Di pusat suatu uatu lingkaran at atau au bola, pot potensial V ny nya adal adalah ah sama sama deng dengan an nilai rata-r rata-rata ata dari harg hargan anya ya sepa sepanj njang ang lingka lingkaran ran atau bola. bola. 2. Poten otenssial ial itu tida tidak k dapa dapatt menga engam mbil bil harga yang yang mak maksimum imum (atau minimu minimum) m) dalam dalam daer daerah ah ters terseb ebut. ut. Sebag ebagai ai akib akibat at dari dari (2) (2) adal adalah ah seti setiap ap maks maksim imum um dari dari V bera berada da pada pada perb perbat atas asan an itu, itu, krn V meme memenu nuhi hi pers persam amaa aan n laplace

Komp Kompon onen en-ko -komp mpon onen en itensita itensitass medan medan listrikaka listrik akan n mengam mengambil bil harg harga a yang maksim maksimum um di perbat perbatasa asan n Pers Persam amaa aan n Lapl Laplac ace e

–


•

Solus olusii kart artesia sian dalam lam satu satu varia riabel pengha penghanta ntarr para parale lel, l, diman dimana a V = 0 pada pada z=0 dan V = 100V 100V pada pada z=d, =d, dgn asu asumsi msi dae daerah dian dianta tarra kedua pela pelatt beb bebas muat muata an

deng dengan an menga mengabai baikan kan efek efek sisi, sisi, pote potens nsial ialha hany nya a beru beruba bah hz:

hasil hasil inte integr gras asii :


–


Syara Syaratt batas batas V = 0 di z = 0 menj menjad adii B = 0, sedan sedangka gkan n V = 100 pada pada z = d menja menjadi di A = 100/d, 100/d, maka: maka:

kuat kuat meda medan n listr listrik ikE E dipe dipero role leh h:

à

pada konduk konduktor tor-kon -konduk duktor tor : dima dimana na tanda tanda plus plus(+ (+)) berl berlak aku u pada pada z = d dan dan tanda tanda minu minuss (-) (-) pada pada z = 0 Pers Persam amaa aan n Lapl Laplac ace e

–


•

Solu Solusi si hasil hasil kali kali kart kartes esia ian n bila bila pote potens nsia iall dalam dalam koor koordi dina natt kart kartes esian ian beru beruba bah h lebih lebih dari dari satu satu arah arah,, pers persam amaa aan n lapl laplac ace e akan akan memi memili liki ki lebi lebih h dari dari satu satu suku. Anda Andaik ikan an V adal adalah ah fung fungsi si x dan dan y, ser serta ta bent bentuk uk V = X(x)Y(y),maka:

menj menjad adii :


–


•

•

kare karena na suku suku pert pertam ama a tak berg bergan antu tung ng pada pada y dan dan yang yang kedu kedua a tak berg bergan antu tung ng pada pada x, masin masing-m g-mas asin ing g adalah adalah suatu suatu konstanta. Kons Konsta tant nta a yang yang satu nega negatif tif dari dari yang yang lain. lain. Misal Misal kons konsta tant nta a a2

solu solusi si umum umum untu untuk k X(sua X(suatu tu a terten tertentu tu)) :

atau ata u ekui ekuiva vale len n:


–


Solu Solusi si umum umum untuk untuk Y (a tertent tertentu u) :

ekuivalen:

Fungs ungsii pote potens nsia iall dala dalam m vari variab abel el x dan dan y :

atau


–



–



–



–



–



–



–



–



–



–


Bab8 Persamaan Laplace

Recommend Documents