BAHAN AJAR NILAI MUTLAK
A. Nilai Mutlak
1. Konsep nilai mutlak
|| dibaca “nilai mutlak dari ”, yaitu jarak nilai terhadap nol pada garis bilangan. Perhatikan garis bilangan berikut :
|| =
|0| = 0
| | =
Misalkan
… 1 0 1 … … 1 0 1 … … 1 0 1 …
bilangan real, nilai mutlak , ditulis || didefinisikan : ≥0 || = ,, < 0
Contoh : a. b. c. d. e. f.
|2| = 2,karena 2 ≥ 0 | 2| = ( 2) = 2, karena 2 < 0 |0| = 0 | 3 + 2|2| + | + |44 8| = | = | 1| + | + | 4| = 1 + 4 = 5 3|6 2| + 7|7|9 2| = 3|4| + 7|7|7| = 12 + 49 = 37 Sebagai bahan untuk berlatih, silahkan kerjakan
3| 2 + 3| + |4 9| = 2. Grafik fungsi mutlak
() = ||, buat pada tabel nilai – nilai yang menjadi domain, sehingga diperoleh pasangan koordinat (,). ... ... -3 -2 -1 0 1 2 3 = () ... 3 2 1 0 1 2 3 ... (,) ... (-3,3) (-2,2) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,2) (3,3) ...
Diberikan
Gambarkan pada diagram kartesius :
Sebagai bahan untuk berlatih, silahkan gambarkan grafik
3. Hubungan antara
|| dengan √
() = | 2| !
Perhatikan tabel berikut :
Dari tabel di atas diperoleh :
|| =
B. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
1.
Persamaan linear satu variabel yang melibatkan nilai mutlak Penyelesaian persamaan linear satu variabel yang melibatkan nilai mutlak
a. Perhatikan contoh berikut :
+ 1 = 5 → = 5 1 → = 4 (hanya memiliki satu penyelesaian/tunggal) b. Perhatikan untuk bentuk berikut :
| + 1| = 5 Untuk bentuk ini, dalam mencari penyelesaian (solusi) perhatikan kembali definisi dari nilai mutlak.
≥ 1 | + 1| = (++1,1), < 1
penyelesaian Untuk
≥ 1
+ 1 = 5 → = 5 1 → = 4…(1) = 4 memenuhi syarat, karena ≥ 1 Untuk < 1 ( + 1) = 5 → 1 = 5 → = 5 + 1 → = 6…(2) = 6 memenuhi syarat, karena < 1 Dari penyelesaian di atas, didapat dua solusi, yaitu = 4 dan = 6
∴ Untuk bentuk persamaan linear yang melibatkan nilai mutlak, memiliki dua solusi dalam penyelesaiannya. Hal ini di dasarkan pada definisi nilai mutlak. Untuk latihan silahkan dicoba untuk mencari penyelesaian dari bentuk :
| 3| = |6 2| ( ∶ Gunakan kesamaan bentuk nilai mutlak) 2. Pertidaksamaan linear satu variabel yang melibatkan nilai mutlak Bentuk
|| < & ≤
Berdasarkan definisi :
|| = → < …(1) || = → < → > …(2)
Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa :
|| < ⇔ < dan > atau biasa ditulis dengan < < | | < ⇔ < < | | ≤ ⇔ ≤ ≤ Bentuk || > & || ≥ ,
Berdasarkan definisi :
|| = → > … (1) | | = → > → <
Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa :
|| > ⇔ > atau < atau biasa ditulis dengan < atau > || > ⇔ < atau > || ≥ ⇔ ≤ atau ≥