Bahan Ajar Operasi Riset

TINJAUAN MATA KULIAH I.1. Deskripsi Singkat Mata Kuliah

Berdasarkan GBPP (Garis-Garis Besar Program Pengajaran) dan kurikulum revisi (2004) jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Malikussaleh Tahun 2004, pada mata kuliah penelitian operasional II ini akan dibahas mengenai: pengertian singkat dan menyeluruh dari penelitian operasional II, analisis jaringan, perencanaan & pengendalian proyek dengan CPM  –   PERT,  programa dinamis, teori permainan, rantai Markov dan teori Antrian pada suatu  perusahaan industri.

I.2. Kegunaan Mata kuliah Bagi Mahasiswa

Mata kuliah penelitian operasional II ini memiliki beberapa kegunaan bagi mahasiswa nantinya, antara lain sebagai berikut: 1. Pada suatu perusahaan dapat diketahui bagaimana analisis jaringan,  perencanaan & pengendalian proyek suatu kegiatan produksi yang nantinya akan dibutuhkan pada suatu perusahaan terutama dalam menghasilkan suatu  produk yang efektif dan efisien. 2. Mahasiswa dapat mengerti dan memahami konsep penelitian operasional II secara menyeluruh dan bagaimana penerapannya pada suatu perusahaan industri. 3. Dalam

kehidupan

mengevaluasi

sehari-hari

segmentasi

mahasiswa

pasar

nantinya

mampu

menilai,

dan perkembangan produk dengan

menggunakan suatu sistem yang terdapat pada penelitian operasional II, yang nantinya sangat berguna untuk pengembangan suatu perusahaan. 4. Mahasiswa mampu memahami bagaimana cara mengambil keputusan industri,  baik itu melalui suatu pendekatan tertentu ataupun langsung dengan menggunakan sumber daya yang ada. 5. Dalam suatu perusahaan industri, mahasiswa nantinya mampu melihat dan menilai berhasil tidaknya suatu perusahaan dalam mengambil keputusan  berkaitan dengan kinerja, sumber daya dan kompetensi kompetensi suatu perusahaan.

1

I.3. Tujuan Instruksional Umum (TIK)

Tujuan Instruksional Umum (TIK) penelitian operasional II yang terdapat dalam GBPP jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Malikussaleh Tahun 2004 menjelaskan bahwa dengan mempelajari mata kuliah penelitian operasional II ini diharapkan mahasiswa mampu memahami mengenai berbagai model optimasi dan pengambilan keputusan serta mampu menerapkan disiplin ilmu dalam penelitian operasional II tersebut dalam dala m kehidupan sehari-hari.

I.4. Susunan (Urutan) Bahan Ajar

Adapun susunan (urutan) bahan ajar dari perkuliahan pertama sampai dengan perkuliahan terakhir adalah sebagai berikut:

PERKULIAHAN KE 1: 1. Pengantar Penelitian operasional operasional II

1.1. Sejarah singkat perkembangan penelitian operasional 1.2. Komponen-komponen utama persoalan keputusan. 1.3. Model-model dalam penelitian operasional. 1.4. Metodologi penelitian operasional.

PERKULIAHAN KE 2 DAN 3: 2. Analisis Jaringan

2.1. Pengantar Analisis Jaringan 2.2. Konsep Dan Definisi 2.3. Algoritma Path 2.4. Tree Problem. Problem. 2.5.  Flow Problem. Problem.

PERKULIAHAN KE 4 DAN 5: 3. Perencanaan & Pengendalian Pengendali an Proyek Proyek dgn CPM –  CPM  –  PERT.  PERT.

3.1. Simbol-simbol yang digunakan. 3.2. Penentuan Waktu.

2

3.3. Perhitungan maju & Perhitungan mundur. 3.4. Perhitungan kelonggaran waktu. 3.5. Pembuatan peta waktu & Pengaturan sumber daya. 3.6. Perkiraan waktu penyelesaian suatu aktifitas. 3.7. Penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek.

PERKULIAHAN KE 6 DAN 7: 4. Programa Dinamis

4.1. Pengantar Programa Dinamis 4.2 Teknik penyelesaian persoalan dengan Programa Dinamis

PERKULIAHAN KE 8: 5. Ujian mid semester.

PERKULIAHAN KE 9, 10 DAN 11: 6. Teori Permainan

6.1. Pengantar Teori Permainan. 6.2. Two person, Zero-Sum Game. 6.3. Pure-Strategy Game 6.4. Mixed-Strategy Game. 6.5. Solusi Grafis dari permainan (2xn) dan (mx2). 6.6. Solusi permaianan (mxn) dgn programa linier.

PERKULIAHAN KE 12 DAN 13: 7. Proses Keputusan Markov

7.1. Pengantar proses keputusan Markov. 7.2. Ilustrasi Persoalan Keputusan Markov 7.3. Membangun Matriks Probabilitas Transisi 7.4. Model Program Dinamis dengan Stage Terbatas 7. 5. Model dengan Stage tidak Terbatas

3

PERKULIAHAN KE 14 DAN 15: 8. Teori Antrian

8.1. Pengantar Teori antrian 8.2. Contoh Sistem Antrian

PERKULIAHAN KE 16: 9. Ujian semester.

I.5. Petunjuk Bagi Mahasiswa

Dalam mempelajari materi dalam setiap bab tersebut diharapkan mahasiswa memiliki literature  atau bahan pegangan baik berupa text book , jurnal maupun ringkasan materi dari buku-buku yang berkaitan denngan mata kuliah penelitian operasional II, hal ini sangat berguna bagi kelangsungan proses belajar mengajar  pada mata kuliah penelitian operasional II ini.

4

PERKULIAHAN KE 1: PENGANTAR PENELITIAN OPERASIONAL II SESI/PERKULIAHAN KE: 1 TIK

Pokok Bahasan

: Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian penelitian operasional. 2. Mengetahui komponen-komponen yang diperlukan dalam  pengambilan keputusan. : Pengantar Penelitian operasional II

Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yang berkaitan dengan penelitian operasional, memahami dan mengetahui Komponen-komponen utama persoalan keputusan, model-model dalam penelitian operasional dan metodologi penelitian operasional yang nantinya dapat diterapkan dalam meyelesaikan persoalan pengambilan keputusan. I.

Bahan Bacaan: 1. Don T.Philips, et.al., “Operation Research: Principle and Practice”, 2nd edition, John Wiley and Sons, 1987. 2. Hillier and Lieberman, “ Introduction to Mathematical Programming”, 1st edition, McGraw-Hill, 1991. 3. Taha, Hamdy, “ Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985.

II. Bahan Tambahan: 1. Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad “Operations Research”, PT. Sinar Baru Algensindo Bandung, 1999. 2. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research ”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice-hall Inc, 1969. 3. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 4. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994. III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan penelitian operasional? 2. Apa kegunaan mempelajari penelitian operasional? IV. Tugas: 1. Definisikan pengertian penelitian operasional menurut literatur yang anda  baca dan jelaskan pengertian tersebut sesuai dengan pendapat anda! 2. Carilah contoh kasus persoalan keputusan yang berkaitan dengan penelitian operasional II! 3. Jelaskan langkah-langkah dalam memecahkan suatu persoalan keputusan dalam suatu organisasi!

5

1.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan pengantar penelitian operasional II ini akan dibahas mengenai sejarah singkat perkembangan penelitian operasional, komponenkomponen utama persoalan keputusan, model-model dalam penelitian operasional dan metodologi penelitian operasional. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan suatu keputusan yang optimal dalam menyelesaikan suatu persoalan keputusan.

1.2. PENYAJIAN PENGANTAR PENELITIAN OPERASIONAL II

1.1. Sejarah Singkat Perkembangan Penelitian Operasional Pada masa Perang Dunia II, angkatan perang inggris membentuk suatu team  yang terdiri atas para ilmuwan untuk mempelajari persoalan-persoalan strategis dan taktik sehubungan dengan serangan-serangan yang dilancarkan musuh terhadap negaranya. Tujuannya

adalah

untuk

menentukan

penggunaan

sumber-sumber

kemiliteran yang terbatas seperti radar dan bomber, dengan cara yang paling efektif. Karena tim melakukan research  (penelitian) terhadap operasi-operasi militer, maka muncullah nama “ Military Operation Research”  (penelitian operasional kemiliteran), yang sejak awal telah ditandai dengan digunakannya  pengetahuan ilmiah dalam usaha menentukan penggunaan sumber-sumber daya yang terbatas. Hal yang serupa dilakukan oleh angkatan perang Amerika untuk membentuk tim yang mereka sebut team Operation Research. Mereka berhasil dalam memecahkan persoalan-persoalan logistik,  suply  barang-barang keperluan  perang dan menentukan pola-pola dasar jaringan bagi operasi alat-alat elektronik. Setelah Perang Dunia II berakhir, Operation Research  yang lahir di Inggris ini kemudian berkembang pesat di Amerika karena keberhasilan yang dicapai oleh team Operation Research tersebut, yang akhirnya menarik perhatian

6

orang-orang di perindustrian. Sedemikian pesat perkembanganya kini maka Penelitian Operasional telah digunakan hampir pada seluruh kegiatan, baik diperguruan tinggi, konsultan, rumah sakit, perencanaan kota dll.

1.2. Komponen-Komponen Utama Persoalan Keputusan. Munculnya persoalan-persoalan keputusan adalah karena seorang pengambil keputusan sering dihadapkan pada beberapa pilihan tindakan yang harus dilakukan. Dalam menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan pengambilan keputusan ini harus diidentifikasikan terlebih dahulu 2 (dua) komponen utamanya, yaitu: 1. Objective (tujuan). 2. Variabel-variabel .

Tujuan (objective) adalah hasil akhir yang hendak dicapai dengan cara memilih suatu tindakan yang paling tepat untuk sistem yang dipelajari. Dalam  bidang-bidang usaha, tujuan  diartikan sebagai “memaksimumkan profit” atau “meminimumkan ongkos yang dikeluarkan”. Akan tetapi dalam bidang-bidang lain yang sifatnya non-profit   (tidak mencari keuntungan), tujuan  dapat berupa “ pemberian kualitas pelayanan kepada para konsumen”. Apabila tujuan  telah didefinisikan, maka selanjutnya harus dilakukan  pemilihan tindakan terbaik yang dapat mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini, kualitas pemilihan akan sangat bergantung kepada tahu atau tidaknya si  pengambil keputusan dalam mencapai alternatif yang diharapkan tersebut. Untuk dapat menentukan tindakan-tindakan yang mungkin dilakukan itu maka haruslah diidentifikasikan variabel-variabel sistem yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan, yang keberhasilannya dalam mengidentifikasikan variabel-variabel inipun akan sangat bergantung pada bias dan pelatihan si  pengambil keputusan.

7

1.3. Model-Model dalam Penelitian Operasional. Model adalah gambaran ideal dari suatu situasi (dunia) nyata sehingga sifatya yang kompleks dapat disederhanakan. Ada beberapa jenis model yang  biasa digunakan, diantaranya ialah: a.  Model-model fisik/ ikonis Yaitu Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalm bentuk ideal maupun dalam skala yang berbeda. Contoh: Peta, foto, blueprint, globe.  b.  Model-model Analogi/ diagramatis Model-model ini dapat menggambarkan situasi-situasi yang dinamis dan lebih  banyak digunakan dari pada model-model ikonis karena sifatnya yang dapat dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang sedang dipelajari. Contoh: Kurva distribusi frekuensi pada statistik, kurva  supply demand, flow chart. c.  Model-model Simbolis/ Matematis Yaitu Penggambaran dunia nyata melalui simbol-simbol matematis. Pada awalnya Model-model Simbolis/ Matematis ini berupa model-model abstrak yang dibentuk di dalam pikiran seseorang yang kemudian disusun menjadi model-model simbolis, seperti gambar, simbol atau rumus matematis. Model matematis yang paling banyak digunakan dalam penelitian operasional adalah model matematis berupa perasamaan atau ketidak samaan. d.  Model-model simulasi Yaitu Model-model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari interaksi komponen-komponennya. Dalam hal ini tidak diperlukan fungsifungsi matematis secara eksplisit untuk merelasikan variabel-variabel sistem, Model-model simulasi ini dapat digunakan untuk memecahkan sistem kompleks yang tidak dapat memberikan solusi yang benar-benar optimum. Dimana jawaban yang dapat diperoleh ialah jawaban yang suboptimum, yaitu  jawaban optimum dari alternatif-alternatif yang diuji/ dites.

8

e.  Model-model heuristik  Kadang-kadang formulasi matematis bersifat sangat kompleks untuk dapat memberikan suatu solusi yang pasti. Atau mungkin solusi optimum dapat diperoleh, tetapi memerlukan proses perhitungan yang sangat panjang dan tidak pratktis.  Heuristic  yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas aturan-aturan tertentu untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada solusi yang telah dicapai sebelumnya.

Dalam penelitian operasional, model yang paling banyak digunakan adalah model matematis/ simbolis. Disamping itu, digunakan juga model-model  simulasi dan heuristic.

1.4. Metodologi Penelitian Operasional Jika Penelitian operasional akan digunakan untuk memecahkan suatu  persoalan di suatu organisasi, maka harus dilakukan 5 (lima) langkah sebagai  berikut: Langkah 1:  Memformulasikan

Persoalan,

mendefinisikan

persoalan

lengkap

dengan

spesifikasi tujuan organisasi dan bagian-bagian organisasi atau sistem yang  bersangkutan. Hal ini mutlak harus dipelajari sebelum persoalannya dapat dipecahkan. Langkah 2:  Mengobservasikan

Sistem,

kumpulkan

data

untuk

mengestimasi

besaran

 parameter yang berpengaruh terhadap persoalan yang dihadapi. Estimasi ini digunakan

untuk

membangun

dan

mengevaluasi

model

matematis

dari

 persoalannya. Langkah 3:  Memformulasikan model matematis dari persoalan yang dihadapi.  Dalam memformulasikan persoalan ini biasanya digunakan model analitik, yaitu model matematis yang menghasilkan persamaan. Jika pada suatu situasi yang sangat

9

rumit tidak diperoleh model analitik, maka perlu dikembangkan suatu model simulasi. Langkah 4:  Mengevaluasi model dan menggunakannya untuk prediksi. Pada langkah ini, tentukan apakah model matematis yang dibangun pada langkah 3 telah menggambarkan keadaan yang nyata secara akurat. Jika belum buatlah model yang baru. Langkah 5:  Mengimplementasikan hasil studi,  Pada langkah in kita harus menterjemahkan hasil studi atau hasil perhitungan kedalam bahasa sehari-hari yang mudah di mengerti.

1.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk pengantar penelitian operasional II adalah sebagai beri kut: 1. Definisikan pengertian penelitian operasional menurut literatur yang anda  baca dan jelaskan pengertian tersebut sesuai dengan pendapat anda! 2. Carilah contoh kasus persoalan keputusan yang berkaitan dengan penelitian operasional II! 3. Jelaskan langkah-langkah dalam memecahkan suatu persoalan keputusan dalam suatu organisasi!

10

PERKULIAHAN KE 2 DAN 3: ANALISIS JARINGAN SESI/PERKULIAHAN KE: 2 DAN 3 : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian jaringan dalam persoalan keputusan. 2. Menyelesaikan persoalan keputusan mengenai analisis jaringan. : Analisis Jaringan

TIK

Pokok Bahasan Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yang  berkaitan dengan analisis jaringan, memahami dan mengetahui persoalan algoritma path,  tree problem, flow problem termasuk persoalan rute terpendek,  persoalan rentang pohon minimum dan persoalan aliran maksimum pada suatu  jaringan kerja. I. Bahan Bacaan: 1. Hillier and Lieberman, “ Introduction to Mathematical Programming”, 1st edition, McGraw-Hill, 1991. 2. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 3. Taha, Hamdy, “ Operation Research : An Introduction”,  Newyork :

The MacMillan Co, 1985. II.

Bahan Tambahan: 1. Don T.Philips, et.al., “Operation Research: Principle and Practice”, 2nd edition, John Wiley and Sons, 1987. 2. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994.

III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan jaringan? 2. Sebutkan contoh-contoh jaringan kerja! IV. Tugas: 1. Seorang pemuda mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain. Dia mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam network berikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang tersebut minimum? 7

C

3

13

5 S

3

A

T 2

3

D

3

Kota Tujuan

B

Kota Jarak

2.

Kota Antara

Carilah Jumlah unit maksimum suatu  path dari s ke t dimana seluruh arc dari path itu termasuk di dalam sei I  ( Increasable path)! S

1

i(s,1)=5 i(1,2)=3

2

t

i(2,t)=2

11

II.1. PENDAHULUAN Dalam perkuliahan mengenai Analisis Jaringan ini akan dibahas

mengenai pengertian dan konsep analisis jaringan , memahami dan mengetahui  persoalan rute terpendek, persoalan rentang pohon minimum dan persoalan aliran maksimum pada suatu jaringan kerja. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan dalam suatu jaringan kerja.

II.2. PENYAJIAN ANALISIS JARINGAN 2.1. Pendahuluan

 Network theory (Teori Analisis Jaringan) adalah cabang-cabang matematik yang digunakan secara luas dalam bidang praktek. Banyak problema yang timbul dalam berbagai bidang seperti psikologi, kimia, teknik listrik, transportasi, manajemen, pemasaran, dan pendidikan dapat digambarkan didalam bentuk  problema dari  Network Theory. Oleh karena itu  Network Theory  tidak hanya dikenal dan dikembangkan oleh kalangan sendiri, tetapi juga diikembangkan dari  bidang-bidang lain.  Network Theory tumbuh dan berkembang pesat pada awal abad ke 20 (dua  puluh) dengan dimotivasi oleh perkembangan dari teori molekul dan teori listrik. Kini perkembangan analisis jaingan ini makin cepat lagi setelah ditemukannya alat komputer. Pengertian atau definisi-definisi yang umum dijumpai dalam analisis  jaringan ini akan di bahas secara mendetail termasuk didalamnya berbagai model dan uraian singkat mengenai analisis jaringan seperti persoalan Shortest Path  Problem  (S.P.P), Spanning Tree Problem  ( S.T.P),  Flow Problem  (F.P), yang dilengkapi dengan algoritma penyelesaian optimum. Graph G adalah suatu bangun (struktur) yang terdiri satu set elemen N yang disebut node dan satu set elemen A yang disebut  Arc. Secara Umum suatu  graph dituliskan dengan notasi G (N,A), dimana:

12

 N = Set  dari node (1,2,3,…..n) A = Set dari Arc (a,b,c,.....n) yang masing-masing menghubungkan suatu node dengan node yang lain. Sebagai contoh, susunan dari satu set node  N (1,2,3,4) dan satu  set arc (a,b,c,d,e,f,g) membentuk suatu  graph  yang salah satu diantaranya adalah dapat dilihat pada Gambar 2.1. berikut. b 1

3 c

a

Node f

d

rc

4

2

Gambar 2.1. susunan dari satu set node N dan satu set arc  membentuk graph

 Network   (jaringan) adalah suatu  graph  dimana elemen-elemen A pada  graph tersebut merupakan suatu aliran .

Contoh dari suatu network  adalah sistem jaringan jalan raya yang menghubungkan kota-kota yang ada pada suatu daerah. Sebagai node  dalam jaringan tersebut adalah setiap kota yang ada dalam jaringan tersebut dan sebagai arc adalah jalan raya yang menghubungkan satu kota dengan kota yang lain. Bobot dari  Arc adalah dapat berupa jarak, ongkos angkut ataupun lamanya perjalanan dari satu kota ke kota yang lain.

2.2. Konsep Dan Definisi



Suatu arc  yang mempunyai node  yang sama untuk kedua ujung dan  pangkalnya disebut loop. 3

2

3

c

C adalah Loop.

13



Sebuah node dan sebuah arc disebut incedent   satu sama lain, jika node tersebut adalah merupakan ujung ataupun pangkal dari arc  yang  bersangkutan. a

1



b

2

rc  a dan node 2 adalah incedent  satu sama lainnya.

3

Dua buah arc dikatakan incedent satu sama lain, jika keduanya incedent kepada node yang sama. a

1



b

2

rc a dan b adalah incedent   satu sama lainnya karena keduanya incedent  kepada node 2.

3

Dua buah node  disebut adjacent satu sama lain, jika ada sebuah arc menghubungkan keduanya. a

1



b

2

ode 2 dan 3 adalah adjacent satu sama lainnya karena ada satu arc yaitu arc b menghubungkan keduanya.

3

Chain  adalah beberapa arc  yang berurutan di dalam satu  graph  atau network. i

2 b

c a

rc a, e, h dan i adalah chain.

e

3

5

1

f

d



7

h

g

4

6

Panjang suatu chain adalah sama dengan banyaknya arc  dalam chain tersebut.



 Path adalah suatu chain yang dibentuk oleh beberapa arc yang searah. i

2 b

c a

3

e

1 d

7

h 5 f 4

g

6

rc  a, d, g dan i adalah sebuah  path  yang arahnya dari node 6 ke node 1. ode 6 disebut node awal dan node 1 disebut node akhir.

14



Cycle adalah suatu chain  yang mempunyai node  awal dan node  akhir yang identik atau dengan kata lain, cycle  adalah suatu chain  yang tertutup. i

2 b

c e

3

a

f

d

Arc c, e, h dan i membentuk suatu cycle.

5

1



7

h

g

4

6

Circuit   adalah suatu  path  yang mempunyai node  awal dan node  akhir yang identik, atau merupakan suatu  path  yang tertutup. Dalam gambar di atas arc a, b dan c membentuk suatu circuit. Panjang suatu cycle dan circuit di dalam  graph  adalah banyaknya arc yang membentuk cycle atau circuit  tersebut. i

2 b c 1

7

h a

Dari setiap node  terdapat sedikitnya satu chain  kepada setiap node yang lain.

5 e f

3

d

g

4



6

Suatu  graph disebut  connected  jika terdapat sedikitnya satu chain dari suatu node kepada setiap node yang lain di dalam graph tersebut.

2

b 1

i

Sub-graph 1

c

7

e a

5

Sub-graph 2 f 4

g

6

15

-

Graph  ini tidak connected , karena tidak semua node mempunyai chain kepada setiap node yang lain. Misalnya antara node 2 dengan node 4 tidak terdapat chain. Graph  tersebut terdiri dari 2  sub-graph dan disebut unconnected graph.

-

Suatu sub  graph dari G(N,A), adalah suatu  graph G yang terdapat terdiri dari seluruh arc  dari set A yang menghubungkan node di dalam sub  set tersebut.  j d

2

a

2 a

4

4

c

h 1

c

1

5

e

b

e

d

b

3

g

3

5

f

i

6

f

-

7

Suatu  partial graph dari G(N,A) adalah suatu  graph  yang terdiri dari semua node N dan satu sub-set arc A. f

b

2 a

4

c

7

1 5 3

-

e

d

6

Suatu graph G(N,A) dengan arc yang arahnya ditetapkan disebut directed  graph. Bila arah dari arc tidak ditetapkan, maka disebut undirected graph. i

 j

a c

1 b

d

2

e

4

h

5

a 7

c

2

1

d

4

5

g

3 f

6

i

b

f

7 g

3 e

6

h

16

-

Tree  dari suatu connected graph G(N,A) adalah suatu connected partial  sub-graph. Tree terdiri dari satu sub-set dari node dan satu sub-set dari arc yang menghubungkan sub-set node dan tidak membentuk cycle.  j d

2

a c

1

4 5

e

b

Tree

h

 Node  (1,2,3,4 dan 5) dengan  Arc  (a,c,d dan e) membentuk tree.

7 g

3

i

6

f

i c

2

a

1

4

5

d

h

6

e

-

7 g

3

b

Bukan Tree Graph yang dibentuk oleh  Node (1,2,3,4 dan 5) dengan  Arc (a,b,c,d dan e) bukan tree karena terdapat cycle.

f

Spanning Tree dari suatu connected graph adalah setiap tree  yang terbentuk dari arc dan seluruh node dari graph tersebut.  j

a c

1 b

d

2

4

5

e

Spanning Tree Graph yang dibentuk oleh  Node (1,2,3,4,5,6 dan 7) dengan  Arc (a,c,d,e,f dan i).

h

7 g

3

i

6

f

-  Arborescence  adalah suatu tree  dimana tidak terdapat 2 arc  atau lebih yang berujung pada node yang sama. a 1

c

2

b

4

d

5

3 e 6

17

-

Spanning arborescence adalah arborescence dari spanning tree. f

a

c

2

4 7

1

b

d

5

3 e 6

2.2.1. Matrix dari graph Setiap graph dapat juga digambarkan dalam bentuk matriks. Ada beberapa macam matriks yang dapat dibuat untuk menggambarkan suatu matriks dimana cara penggambaran tiap matriks ditentukan oleh penggunanya. Dalam bagian ini hanya di uraikan dua macam penggambaran saja yaitu yang disebut incedence matrix dan adjaccency matrix. a.  Incidence matrix  Incidence matrix E dari suatu graph G dibentuk dengan cara berikut. Kolom dari matriks adalah merupakan setiap arc dan baris matriks adalah node. Elemen-elemen dari matriks disebut e ij ditentukan dengan cara berikut.   Matrix dari undirected graph Elemen-elemen dari matriks untuk undirected graph adalah:

- eij = 1, jika node i adalah salah satu ujung dari arc. - eij = 0, jika node i tidak merupakan salah satu ujung dari arc j. Contoh:

d

2

4

a

g c

1

b

e 3

5

f

E =

1 2 3 4 5

a 1 1 0 0 0

b 1 0 1 0 0

c 0 1 1 0 0

d 0 1 0 1 0

e 0 0 1 0 1

f 0 0 1 1 0

G 0 0 0 1 1

Graph G (N,A)

18

Dari matriks E ini terlihat bahwa banyaknya baris matriks adalah sama dengan banyaknya  node (n) pada  graph  6 (N,A) dan banyaknya kolom. Sama dengan banyaknya arc (a) dari graph tersebut, sehingga matriks terbentuk adalah matriks E (n x a). Matriks dari directed graph.

-

Elemen-elemen eij dari matriks untuk indirected graph adalah:

- eij =1, jika arc j adalah incident dengan node i dan arahnya menuju node i tersebut.

- eij = -1, jika arc j adalah incident   dengan node i dan arahnya tidak menuju node i tersebut.

- eij=0, jika arc j adalah tidak incident dengan node i. Contoh: d

2 a

4 g

E =

c 1

b

e

5

f

3

1 2 3 4 5

a -1 1 0 0 0

b 1 0 -1 0 0

c 0 1 -1 0 0

d 0 -1 0 1 0

E 0 0 -1 0 1

f 0 0 1 -1 0

g 0 0 0 1 -1

b.  Adjacency matrix

-  Adjacency matriks E dari suatu graph G dibentuk dengan cara berikut. Baris dan kolom matriks adlah merupakan selutuh node dari graph. Sama halnya dengan incidence matrix, elemen-elemen dari adjcency matrix (eij) untuk undirected graph berbeda dengan elemen-elemen matriks untuk directed graph. (1). Undirect adjacency matrix. Elemen-elemen dari undirect adjacency eij, didefinisikan sebagai  berikut:

- eij =1, jika arc yang menghubungkan node i dengan node j. - eij = 0, jika tidak ada arc yang menghubungkan node i dengan node j.

19

Contoh: d

2 a

4

E =

g c

1

b

e

5

f

1 0 1 1 0 0

1 2 3 4 5

2 1 0 1 1 0

3 1 1 0 1 1

4 0 1 1 0 1

5 0 0 1 1 0

3

(2). Direct adjacency matrix. Elemen-elemen dari undirect adjacency eij, didefinisikan sebagai  berikut:

- eij =1, jika ada sebuah arc yang berasal dari node i menuju node j. - eij = 0, yaitu: - jika ada sebuah arc yang berasal dari node j menuju node i. - Jika tidak ada sebuah eij  yang menghubungkan node  i dan node j. Disini terlihat bahwa baik undirect adjacency matrix, maupun direct adjacency matrix  keduanya marupakan matriks bujur sangkar E (n x n) karena masing-masing dibentuk dari hubungan antara node  dengan  node  pada suatu  graph. Salah satu tujuan utama dari penggambaran  graph  dan network   kedalam  bentuk matriks adalah untuk komputerisasi dari graph dan network tersebut. Penggambaran graph dan network   dalam bentuk diagram ditujukan hanya untuk memperlihatkan hubungan antara keadaan sistem nyata dengan node diagramnya. Dengan penggambaran demikian akan ditemukan kesulitan didalam manipulasi  graph dan network. Untuk tujuan optimisasi karena peranan komputer tidak dapat dimanfaatkan

semaksimal

mungkin.

Komputer

dapat

menyimpan

dan

memanipulasi angka-angka dengan mudah, tetapi tidak dapat menyimpan secara langsung inforamasi yang berbentuk gambar atau diagram

20

2.2.2 Matrix dari network. Pada uraian sebelumnya sudah dijelaskan bahwa network   adalah suatu  graph dengan arc yang mempunyai aliran.  Network  ditulis dengan notasi W (N,A,d), dimana:  N = set dari node (1,2,……………,n) A = set dari arc (a,b,....................) di = bobot dari arc i. Suatu network  disebut non negatif   jika di>0 untuk seluruh eij  E.  Adjacency  matrix dari network   adalah identik dengan adjacency matrix dari graph hanya saja elemen-elemen matriks ditentukan oleh arah dari setiap arc dari network  tersebut. Contoh dari sebuah network  adalah seperti terlihat dalam gambar berikut. 1

2 3

4 3

4 1

2

6

5

2

3

 Network   ini adalah merupakan suatu jaringan jalan raya disuatu daerah  Node (1, 2, 3, 4, 5) adalah kota-kota yang dilintasi oleh jalan ra ya tersebut.  Arc (1-2) adalah jarak antar kota 1 dengan kota 2 dan seterusnya. Sama halnya dengan graph pada network   juga ditemukan bentuk undirected dan directed network.

2.3. Algori tma Path

Dalam bagian ini akan diuraikan beberapa algoritma untuk mencari  path yang mempunyai sifat-sifat optimum tertentu.

- Pertama adalah algoritma untuk mencari path yang terpendek ( shortes path) antara dua node didalam suatu network,

- Kedua adalah algoritma untuk mencari  path yang terpendek diantara setiap  pasang node didalam network.

21

2.3.1. Algoritma Terpendek Antara Dua Node Tertentu. Contoh-contoh problema dan mencari arc yang terpendek adalah:

Contoh 1. Seorang supir sedang bepergian dengan mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain. Untuk mencapai kota tujuan tersebut, dia mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam network  berikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang tersebut minimum?

7

3

1

3

2

2

4

t 2

4 s

3

Kota Tujuan

4

3 2

Kota Asal Jarak

Kota Antara

Contoh 2. Seorang pengusaha ingin menanamkan uangnya secara optimal pada salah satu atau beberapa bidang usaha, yaitu membeli saham dipasar uang dan modal, membeli bond atau mendepositokan di bank, dia hanya ingin menanamkan uangnya pada satu jenis usaha, pada tiap kali mengadakan investasi. sesuai dengan  peraturan yang berlaku saat ini, bahwa pengusaha tersebut hanya dibenarkan untuk investasi atau menarik mdalnya pada hari pertama tiap kwartal. Besarnya keuntungan yang diharapkan tiap bulan selama satu tahun dinyatakan sebagai  panjang dari arc.

2

s

2

3

Awal Kwartal 1

2

3

4

3

4

Kwartal 2

t

4

Kwartal 3

Akhir Kwartal 4

22

Dari kedua contoh problema tersebut, terlihat bahwa sebagai penyelesaian optimum adalah lintasan ( path)  yang memberikan jarak terpendek dari s ke t. Hanya saja pada contoh dua, panjang tiap path harus dinyatakan sebagai harga negatif dari keuntungan yang diharapkan pada tiap kwartal.

Ada beberapa

algoritma untuk mencari penyelesaian optimum di problema  path yang terpendek ( shortes path problem). Yang paling banyak digunakan adalah algoritma dikstra (1959), Karena algritma ini sangat efisien. Tetapii penggunaannya terbatas hanya untuk non negatif network . Untuk negatif network   dapat digunakan algoritma chimbel dan gellman atau algoritma ford. Ide dari algoritma dikstra adalah sebagai  berikut: Misalkan diketahui bahwa dalam network , m node s dan juga pada m buah node tersebut, kemudian node  ke (m+1) yang terpendek ke node  s di cari sebagai  berikut: Untuk setiap node, bentuklah sebuah  path  dari node s ke node y dengan menghubungkan path terpendek dri s ke t dengan arc (x, y) untuk semua node x.

Pilihlah  path  yang terpendek dari n buah  path  ini, anggap bahwa untuk sementara,  path  yang dipilih ini merupakan  path  yang terpendek dari s ke t. Sekarang, node yang manakah yang merupakan node ke ( m+1), yang terdekat ke s adalah node yang belum diberi warna yang merupakan path terpendek sementara dari s seperti telah dihitung di atas. Hal ini adalah benar karena  path  yang terpendek dari s kepada node yang ke (m+1) yang jaraknya terpendek ke node s, harus menggunakan node yang telah berwarna sebagai node antara.

Oleh karena itu , jika ke m buah node  yang terdekat kepada node s diketahui, maka node ke (m+1) dapat dicari, seperti yang diuraikan di atas mulai dengan m = 0, dan proses tersebut dilakukan berulang-ulang sehingga  path  yag terpendek dari s ke t telah diperoleh.

23

Untuk jelasnya algoritma dikstra ini dapat dijelaskan sebagai berikut: Langkah 1 : Untuk semua node dan arc yang belum diwarnai. Beri angka d(x) kepada setiap node  x untuk menunjukkan panjang dari  path yang terpendek dari s ke t yang hanya menggunakan node  yang berwarna sebagai node antara. Beri pula d(s) = 0 dan d (x) =

~

untuk semua x



s. misalkanya adalah node pertama yang akan diberi warna. Beri warna  pada s dan misalkan y = s. Langkah 2: Untuk setiap node x yang belum berwarna, tentukan d(x) dengan cara sebagai berikut: d(x) = Min { d(x), d(y) + a(y,x)} Jika d(x) =

~,

untuk semua x yang tidak berwarna, maka iterasi

dihentikan karena tidak ada path dari s kepada setiap node yang belum  berwarna tersebut. Jika d(x) 

~  ,

beri warna node  x yang belum

 berwarna yang mempunyai harga d(x) terkecil. Juga beri warna pada arc  yang langsung menuju node  x dari node  berwarna dimana harga d(x) yang minimum tadi ditemukan. Misalkan y = x. Langkah 3: Jika node t sudah diberi warna, maka iterasi dihentikan, karena sebuah  path  yang terpendek dari s ke t sudah ditemukan. Jika node  t belum  berwarna, kembali ke langkah 2. Bila algoritma dikstara ini digunakan untuk contoh soal 1 di atas maka  penyelesaian optimum yang diperoleh adalah sebagai berikut. 7

3

1

2

2

2

4

t 2

4 s

3

3

4

3

24

Langkah 1: Beri warna pada node s, d(s) = 0 dan d(x)=  ~ untuk seluruh x  s. Langkah 2: y = s d(1) = Min { d(1), d(s) + a(s,1)} = Min { ~, (0+4)} = 4 d(2) = Min { d(2), d(s) + a(s,2)} = Min { ~, (0+7)} = 7 d(3) = Min { d(3), d(s) + a(s,3)} = Min { ~, (0+3)} = 3 d(4) = Min { d(4), d(s) + a(s,4)} = Min { ~, (0+~)} = ~ d(t) = Min { d(5), d(s) + a(s,5)} = Min { ~, (0+~)} = ~ Karena d(3) = 3 adalah Min {d(1), d(2), d(3), d(4), d(t)}, maka node 3 dan arc (s,3) diberi warna. Path yang terpendek sementara adalah dari node s ke node 3. 3

s

3

Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2. Langkah 2: y = s d(1) = Min { d(1), d(3) + a(3,1)} = Min {4, (3 + 4)} = 4 d(2) = Min { d(2), d(3) + a(3,2)} = Min {7, (3 +

~)} = 7

d(4) = Min { d(4), d(3) + a(3,4)} = Min { ~, (3 + 3)} = 6 d(t) = Min { d(t), d(3) + a(3,t)} = Min { ~, (3 + ~)} = ~ Karena d(1) = 4 adalah Min {d(1), d(2), d(4), d(t)}, maka node 1 dan arc  (s,1) diberi warna. Path arborescence terpendek adalah arc (s,3) dan (s,1). 1

4 s

3 3

Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2. Langkah 2: y = 1 d(2) = Min { d(2), d(1) + a(1,2)} = Min {7, (4+3)} = 7 d(4) = Min { d(4), d(1) + a(1,4)} = Min {4, (4+2)} = 6 d(t) = Min { d(t), d(1) + a(1,t)} = Min {~, (4+~)} = ~ Karena d(4) = 4 adalah Min {d(2), d(4), d(t)}, maka node 4 diberi warna.

25

Salah satu dari arc (3,4) dan arc  arc  (1,4) juga diberi warna. Misalkan dipilih arc (3,4) maka path maka path arborecence terpendek arborecence terpendek adalah: 1

4

s

3

3

3

4

Langkah 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2. Langkah 2: y = d d(2) = Min { d(2), d(4) + a(4,2)} = Min {7, (6+ ~)} = 7 d(t) = Min { d(t), d(4) + a(4,t)} = Min Min {~, (6+2)} = 8 Karena d(2) = 7 adalah Min {d(2), d(t)}, maka node 2 dan arc (s,2) diberi warna. Salah satu dari arc (3,4) dan arc  arc  (1,4) juga diberi warna.  Path arborecence terpendek adalah sebagai berikut. 2 1

4 s

3

3

3

4

Langkah 3: Node 3: Node t belum berwarna, maka kembali kepada langkah 2.

Langkah 2: y =2 d(t) = Min { d(t), d(2) + a(2,t)} = Min Min {8, (7+2)} = 8

Beri warna pada node t dan arc (4,t) maka path maka path arborecence terpendek arborecence terpendek adalah: 7 2 1

4 s

3 3

3

2

5

4

26

Dari  path arborecence  arborecence  ini terlihat bahwa  path   path  yang terpendek dari s ke t terdiri dari arc (s,3), arc (s,3), (3,4), dan (4,5) dengan jarak 3 + 3 + 2 = 8.

Karena algoritma dikstra untuk mencari  path   path  yang terpendek dalam  prosesnya membentuk arborescence  arborescence  maka algoritma ini juga dapat digunakan untuk mencari “ minimum spanning arborescence“ dari arborescence“  dari suatu graph suatu graph atau  atau network.

2.3.2. Shortest Path antara seluruh Node. Problem pada uraian terdahulu adalah mencari suatu  shortest path (lintasan terpendek) diantara 2 (dua) node  node  tertentu di dalam  graph.  graph. Bagian ini akan mempelajari  shortest path  path  antatra tiap pasang node  node  di dalam  graph. Misalnya, suatu  graph   graph  terdiri dari  set elemen N (1,2,3,4 dan 5) dan satu  set elemen A {(1,2), (2,3), (3,1), (3,6), (5,4), (4,6), (1,4),(6,5)} seperti terlihat pada gambar berikut. 2 4

Bobot arc menyatakan  jarak antara tiap  pasang node

3

2

2 5

1

3

3 2

6

5

4

Problema adalah mencari lintasan yang terpendek dari suatu node ke seluruh node  node  yang lain, misalnya antara node 1 dengan node 3, antara node 2 dengan node  node  6 dan seterusnya. Sudah barang tentu, problema ini akan dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma dikstra seperti yang telah diuraikan sebelumnya secara berulang-ulang. Tetapi penyelesaian dengan cara ini sangat tidak efisien karena membutuhkan perhitungan yang sangat banyak dan sangat dipengaruhi oleh banyaknya node banyaknya  node yang terdapat di dalam graph. dalam  graph. Untuk problema yang demikian, akan dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih singkat dengan menggunakan algoritma Shimbel and Bellman (1954), algoritma Floyd (1962) dan algoritma wantzig (1967). Pada bagian ini

27

hanya algoritma Floyd saja yang akan di uraikan sedangkan algoritma lainnya dapat dibaca pada buku “Optimization Algoritma for networks and Graphs“.

Contoh. Suatu perusahaan penerbangan domestik harus menyinggahi sejumlah kota setiap hari. Untuk menghemat penggunaan bahan bakar dan waktu penerbangan maka, perusahaan tersebut ingin untuk meminimumkan total jarak yang harus ditempuhnya. Suatu hal yang sangat membantu untuk mencapai tujuan ini adalah dengan mendapatkan rute yang terpendek antara setiap kota yang harus disinggahi oleh pesawat. Dalam algoritma Floyd ini digunakan beberapa notasi yaitu: nomor dari node adalah node adalah 1,2,3,...................,N.  Path yang  Path yang terpendek dari node i dan j, dimana hanya m buah node yang pertama diizinkan sebagai node antara dinyatakan sebagai

m

o

d ij  = ~ . berdasarkan definisi ini, maka d ij

adalah panjang dari  path

terpendek dari i ke j ( path   path  yang tidak mempunyai  path   path  antara) dan

 I 

d ij  adalah

 panjang dari path tersebut hanya terdapat satu node  node  antara. Pengertian ini dapat dijelaskan dengan graph dengan graph berikut.  berikut. 7 2 4

3

2

2 5

1

3

3 2 4

6

5 4

 Path dari  Path dari 1 ke 4 o

d ij  I 

d ij

= 3, dengan path dengan path terpendek (1,4) = ~, tidak ada path ada path dari  dari node 1 ke 4 yang mempunyai 1 node antara. node antara.

2

dengan path terpendek  terpendek (1,2), (2,5), (5,4) d ij = 11, dengan path 3

d ij

= ~, tidak ada path ada path dari  dari node  node 1  1 ke 4 yang mempunyai 3 node antara. node antara.

4

dengan path terpendek (1,2), (2,3), (3,6), (6,5), (5,4). d ij = 13, dengan path

28

Sehingga jelas bahwa

o

d ij

= 0, untuk semua i. Misalkan D m adalah matriks  m

 N x N yang mempunyai elemen (i,j) adalah d ij , jika panjang setiap arc  dalam  graph diketahui maka matriks D0 dapat dicari. Sebagai tujuan adalah mencari D N  N 

yaitu matriks N x N dimana elemen (i,j) adalah d ij , yang merupakan panjang dari path terpendek antara node i dengan node j. Algoritma Floyd dimulai dari D 0 dan

D1

dihitung berdasarkan D0

 berikutnya, algoritma menghitung D2 dan D1 dan seterusnya. Jika hal-hal dibawah ini telah diketahui maka Ide dari perhitungan perhitungan tersebut adalah sebagai berikut: a)

Shortest path  dari node i ke node m yang hanya melalui (m-1) buah node antara.

 b) Shortest path  dari node  m ke node j yang hanya melalui (m-1) buah node antara. c) Shortest path  dari node  i ke node  j yang hanya melalui (m-1) buah node antara. Karena dalam  path  ini tidak terdapat circuit   ataupun arc  yang  panjangnya negatif, maka path yang lebih pendek diantara (4) dan (5) berikut ini adalah merupakan  shortest path  dari i ke j, yang hanya melalui m buah node antara. d)  Path yang dibentuk dari sambungan path pada (1) dan path pada (2). e)  Path pada (3). Sehingga:

m1

m 1

m

m1

d ij  = Min { (d im  + d mj ), d ij

}

Dari persamaan tersebut terlihat bahwa hanya elemen-elemen dari matriks Dm-1 yang diperlukan untuk menghitung elemen-elemen dari matriks D m.

Algoritma Floyd untuk shortest path ini adalah: Langkah 1 : Beri nomor pada node dari graph yaitu 1,2,3,........,N. Carilah matriks DO  , yaitu suatu matriks yang elemen (i,j) sama dengan panjang dari arc yang terpendek dari node  i ke node  j. Jika arc ini tidak ada, beri

o

d ij

=~

o

. Misalkan d ij

= 0 untuk seluruh i

29

Langkah 2: Untuk m = 1,2,3,........,N, secara berturut-turut cari elemen  – elemen dari matriks Dm dari elemen-elemen Dm-1 dengan menggunakan formula berikut. m

m 1

m1

m1

d ij  = Min { (d im  + d mj ), d ij

}

Bila setiap elemen sudah ditentukan, catatlah  path  yang bersangkutan. Elemen-elemen dari matriks D N adalah merupakan panjang dari shortest path dari node i ke node j.

2.4. Tree Problem

Salah satu variasi dari shortest path problem adalah minimum spanning tree  problem. Dalam penyelesaian pada shortest path problem, set dari node dan jarak antara tiap pasang node tersebut terlebih dahulu telah diketahui. Pada  shortest  path  problem  ini yang dicari adalah lintasan yang memberikan jarak terpendek dari suatu tempat asal (source) ke suatu tempat tujuan (terminal) melalui beberapa alternatif daerah antara. Beda halnya dengan  shortest path problem minimum spanning tree  problem, menyangkut pemilihan arc  dari  graph  sedemikian rupa sehingga terdapat satu rute antara suatu node dengan node yang lain, tetapi total jarak harus sekecil mungkin. Dalam hal ini, arc  yang terpilih haruslah membentuk suatu  spanning tree ( tree yang menghubungkan seluruh node  yang ada di dalam  graph).  Dengan kata lain, problema adalah mencari  spanning tree  dengan total  bobot arc yang sekecil-kecilnya. Uraian berikut ini mempelajari algoritma untuk penyelesaian  problem  spanning tree (pembentukan tree) didalam graph. Yang pertama adalah algoritma untuk penyelesaian  problema  spanning tree  pada  graph  dan berikutnya adalah algoritma untuk penyelesaian minimum/ maksimum spanning tree problem.

30

2.4.1.  Algoritma untuk Spanning Tree Pada bagian ini akan dipelajari 2 (dua) macam algoritma yaitu yang  pertama adalah algoritma untuk membentuk tree (tree algoritm) Pada suatu graph, dan yang kedua adalah algoritma untuk membentuk minimum  spanning tree (minimum spanning tree algoritm) yaitu  spanning tree  dari suatu graph yang mempunyai total bobot minimum diantara seluruh  spanning tree yang mungkin dibentuk dari graph tersebut. Didalam penyelesaian problema spanning tree didalam suatu graph (N,A) dimisalkan bahwa bobot dari arc (x,y) adalah a(x,y), total bobot dari sebuah tree adalah jumlah bobot dari seluruh arc yang terbentuk dari tree tersebut.

Contoh problema dari spanning tree adalah: Departemen pekerjaan umum menginginkan pembangunan jalan baru secukupnya untuk menghubungkan 5 (lima) buah kota disuatu daerah yang baru dibuka. Biaya untuk pembangunan 2 buah kota tertentu diketahui seperti terlihat  pada Tabel 2.1. berikut.

Kota 1

Kota 2

Kota 5 Kota 3

Kota 4

Tabel 2.1. Biaya untuk pembangunan 2 buah kota Ke

Dari 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

0 5 50 80 90

5 0 70 60 50

30 70 0 8 20

80 60 8 0 10

90 50 20 10 0

Bagaimanakah caranya pembangunan jalan tersebut dilakukan sehingga total biaya yang dikeluarkan oleh departemen pekerjaan umum tersebut adalah minimum?

31

Problema ini dapat diformulasikan ke dalam bentuk  graph  dimana setiap kota dinyatakan sebagai node dan setiap kemungkinan jalan yang dapat dibangun untuk membangun 2 kota dinyatakan sebagai arc. Bobot dari tiap arc  adalah  besarnya biaya yang dibutuhkan untuk pembangunan jalan antara setiap 2 kota, seperti pada gambar berikut.

70 5

1

50

50

2

80

5

60

70

10 8

4

3

20

Algoritma dapat diringkaskan sebagai berikut, pertaman-tama seluruh arc adalah tidak berwarna dan semua bucket  adalak kosong. Langkah 1: Pilihlah salah satu arc yang bukan merupakan loop. Beri warna biru  pada arc  ini dan tempatkanlah kedua node  ujung dan node  pangkalnya kedalam suatu bucket (bucket 1) dan bucket yang disebut bucket  2. Langkah 2: Pilih arc lain yang belum berwarna yang juga bukan loop. Jika tidak ada lagi arc  yang demikian, algoritma dihentikan. Berarti  graph tersebut tidak mempunyai spanning tree. Bila arc tersebut masih ada maka, pada setiap pemerikasa arc, salah satu dari keempat keadaan ini mesti ditemui yaitu: 1. Kedua node  ujung atau pangkal dari arc  yang sedang diperiksa, sudah ada didalam salah satu bucket. Bila hal ini terjadi, maka arc tersebut diberi warna orange dan kembali ke langkah 2. 2. Salah satu dari node  ujung atau node  pangkal dari arc  tersebut  berada dalam salah satu bucket,  dan node ujung yang lain tidak  berada dalam bucket. Bila hal ini terjadi, beri warna biru pada arc tersebut dan pindahkanlah node  yang belum berada dalam bucket kedalam bucket   dimana node  ujung atau node pangkal tadi terdapat.

32

3. Tidak ada satupun dari node ujung ataupun node pangkal dari arc  berada dalam salah satu dari ke 2 bucket . Bila hal ini terjadi, beri warna biru pada arc  ini dan kedua node ujung dan node  pangkalnya dimasukkan kedalam bucket  2. 4. masing-masing node  ujung dan node  pangkal dalam arc  berada dalam bucket  berbeda. Bila hal ini terjadi maka beri warna biru  pada arc tersebut dan isi dari kedua bucket   ini digabung di dalam bucket  1. bucket 2 menjadi kosong kembali. Langkah 3: Jika seluruh node  dari  graph  sudah berada dalam bucket  1, makaalgoritma dihentikan, karena arc  yang berwarna biru sudah membentuk suatu  spanning tree, jika belum amaka kembali ke langkah 2.

Jika algoritma tidak dapat dihentikan karena persyaratan diatas tidak terpenuhi secara terus-menerus, maka pada  graph tidak dapat dibentuk  spanning tree. Algoritma ini mempunyai sifat-sifat bahwa masing-masing arc diperiksa satu  persatu. Bila suatu arc sudah diberi warna (biru / orange) maka arc tersebut tidak akan diperhatikan lagi.

2.4.2. Algoritma untuk Minimum/ Maksimum Spanning Tree. Pada penyelesaian  problema spanning tree pada suatu  graph yang seluruh arcnya mempunyai bobot algoritma di atas masih dapat digunakan. Hanya saja diperlukan penyesuaian. Bila problema adalah membentuk  spanning tree  pada  graph  dengan bobot dari arc  membentuknya sekecil mungkin, maka disebut sebagai minimum spanning tree problem. Sebaliknya jika jumlah bobot tersebut sebesar-besarnya, maka disebut maksimum spanning tree problem. Algoritma untuk penyelesaian minimum spanning tree problem adalah sama dengan algoritma penyelesaian  spanning tree, tetepi disini pemilihan arc dilakukan mulai dari bobot terkecil dari suatu arc  yang akan diperiksa. Oleh karena itu pertama-tama yang harus dilakukan adalah membuat list dari arc menurut Ascending order  (yang terkecil pertama dan terbesar pada bagian akhir).

33

Jika  graph mempunyai beberapa arc yang bobotnya sama maka pemilihan salah satu dari arc  ini dapat dilakukan secara arbitrary.  Pada penyelesaian maksimum spanning tree problem, list dari arc disusun menurut discending order  (yang terbesar pertama dan terkecil pada bagian yang terakhir). Contoh: Selesaikanlah problema tentang pembangunan jalan raya seperti yang telah diperlihatkan dalam contoh sebelumnya. 90

5

1

50

50

2

80

5

60

70

10 8

4

3

20

Penyelesaian:

Pertama-tama dilakukan penyusunan list   dari arc  menurut ascending order , kemudian algoritma di atas digunakan. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 2.2.  berikut. Jadi minimum spanning tree dari graph tersebut adalah spanning tree yang dibentuk oleh node {1, 2, 3, 4,5 } dan arc {(1,2), (3,4), (4,5), (2,5)}.

1

3

5

8

2

50 10

5

4

Tabel 2.2. Penyusunan list  dari arc  menurut ascending order  Arc Langkah 1: Langkah 2:

Langkah 3:

(1,2) (3,4) (4,5) (3,5) (2,5) Stop (1,3) (2,4) (2,3) (1,4) (1,5)

Bobot 5 8 10 20 50 50 60 70 80 90

Warna Biru Biru Biru Orange Biru Banyaknya arc yang  berwarna biru sama dengan banyaknya node dikurangi satu.

Bucket 1 Kosong 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2,3,4,5

Bucket 2 Kosong Kosong 3,4 3,4,5 3,4,5 Kosong

Semua node telah berada dalam satu  bucket.

34

Berdasarkan penyelesaian ini diperoleh bahwa untuk memberi biaya  pembangunan jalan raya ini sekecil mungkin, maka jalan-jalan yang harus dibangun adalah: -

Dari kota 1 ke kota 2, dengan biaya = Dari kota 2 ke kota 5, dengan biaya = Dari kota 5 ke kota 4, dengan biaya = Dari kota 3 ke kota 4, dengan biaya = Jumlah biaya =

5 50 10 8 73

2.5. Flow Problem

Aliran ( flow) didefenisikan sebagai suatu cara untuk pengiriman benda benda dari suatu tempat ke tempat yang lain. Misalnya pengiriman bahan jadi dari suatu pabrik kepada suatu distribusi, keberangkatan pegawai dari rumah masingmasing ke tempat kerja ataupun pengiriman surat drai kantor pos ke alamat yang ditujukan dapat dipandang sebagai aliran. Berikut ini adalah merupakan uraian tentang aliran yang dijelaskan dalam  bentuk  graph  dengan berbagai problemnya dan algoritma penyelesaian dari  problem tersebut.

2.5.1. Flow argumentation problem  Flow argumentation problem  adalah mencari jumlah unit maksimum yang dapat ditambahkan ke dalam aliran yang telah ada di dalam suatu  path. Problem ini timbul sebagai akibat dari adanya perbedaan kapasitas maksimum dari setiap arc yang membentuk path tersebut. Logika yang mendasari algoritma untuk penyelesaian problem penambahan  jumlah unit pada aliran adalah: misalkan bahwa graph untuk problem ini telah digambarkan. Misalkan pula bahwa jumlah unit yang melintas melalui arc (x,y) dinyatakan dengan f (x,y) dan kapasitas yang dibenarkan mengalir dalam arc ( x,y) dengan c (x,y), sesuai persamaan: 0   f(x,y)   f(x,y) Seluruh arc dari graph dapat dibagi atas 3 (tiga) kategori, yaitu N, I, R,

35

Dimana:  N ( Non increasable path) = Set dari arc yang tidak memungkinkan pertambahan atau pengurangan jumlah unit yang mengalir melalui arc bersangkutan. I ( Increasable path)

= Set   dari arc yang jumlah unit oada alirannya masih dapat ditambahkan.

R ( Reducable path)

= Set yang arc  yang jumlah unit pada alirannya masih dapat dikurangi.

Misalkan i(x,y) dinyatakan sebagai jumlah unit yang maksimum masih bisa ditambahkan ke dalam arc (x,y) dan r (x,y) sebagai jumlah unit maksimum yang dapat dikurangi dari arc (x,y). Maka: i(x,y) = c(x,y) –  f(x,y) dan r(x,y) = f(x,y) Contoh: Carilah suatu path dari s ke t dimana seluruh arc dari path itu termasuk di dalam set I  ( Increasable path). S

1

2

i(s,1)=3 i(1,2)=2

t

i(2,t)=1

Jumlah unit maksimum yang dapat ditambahkan melalui path dari s ke t ini adalah: I = Min {(s,1),i(1,2),i(2,t)} = Min {3,2,1} =1. Contoh: Carilah suatu path dari t ke s dimana seluruh arc dari path itu termasuk di dalam set R ( Reducable path). S

1

2

t

r(1,s)=1 r(2,1)=2 r(t,2)=1

Jumlah unit maksimum yang dapat dikurangi melalui path dari t ke s ini adala h: R=Min {(1,s),i(2,1),i(t,2)}= Min {1,2,1} =1.

36

Contoh : Carilah  flow augmenting chain  dari s ke t dalam network seperti terlihat dibawah ini. IR

R

1

2

I

 N I

s

R

R R

3

Keterangan:  N = Non increasable path I = Increasable path R = Reducable path

 N

4

IR

t

i (s,1) = 4 i (1,3) = 3 i (2,t) = 2 i (3,4) = 5

r(s,1) = 6 r(s,3) = 1 r(1,2) = 7 r(2,3) = 2 r(2,4) = 3 r(3,4) = 2

Maka flow augmenting chain dari network   tersebut adalah: (s,1), (1,3), (2,3), (2,t) dan jumlah maksimum unit tambahan yang dapat dikirim dari s ke t: Min{i(s,1), i(1,3), r(2,3), i(2,t)} = Min {4,3,2,2} = 2  Arc  maju (s,1), (1,3) dan (2,t) dapat ditambahkan sebanyak 2 unit, sedangkan arc mundur (2,3) dapat dikurangi alirannya sebanyak 2 unit. Ini berarti,  bahwa 2 unit yang sebelumnya mengalir melalui arc (2,3) dapat dipindahkan ke arc (2,t) dan kemudian digantikan pada node 3 oleh 2 unit tambahan yang datang dari s melalui arc (s,1) dan arc (1,3).

2.5.2. Maximum flow problem  Maximum flow problem didefinisikan sebagai problem untuk mencari suatu cara terbaik untuk memaksimumkan jumlah unit yang dapat dikirim dari s ke t didalam suatu network yang mempunyai arc dengan kapasitas terbatas. Contoh: Carilah aliran maksimum pada network berikut: 2

1

4

s

2

1

3

2

2

t

3

37

Penyelesaian: -

Untuk permulaan dipilih flow augmenting chain : (s,1), (1,2), (2,t) Besarnya aliran maksimum yang masih ditambahkan ke dalam chain  ini adalah = Min {i(s,1), i(1,2), i(2,t)} = Min {2,3,2} = 2 Jadi jumlah unit yang dapat ditambahkan pada setiap arc  didalam chain  ini adalah 2 unit, yaitu f(s,1)=2 ; f(1,2)=2 ; f(2,t) = 2.

-

Untuk flow augmenting  yang kedua dipilih: (s,2), (1,2), (1,3), (3,t) Besarnya aliran maksimum yang masih ditambahkan ke dalam chain  ini adalah = Min {i(s,2), i(1,2), i(1,3), i(3,t)} = Min {3,2,4,1}= 1 Jadi 1unit tambahan dapat dikirimkan sepanjang chain dari s ke t. Aliran  pada setiap arc maju yaitu arc (s,2), arc(1,3), arc (3,t) dalam chain ini akan ditambahkan masing-masing sebesar 1 unit, dan aliran pada arc mundur yaitu arc  (1,2) dalam chain dikurangi 1 unit. Dengan demikian, aliran sekarang menjadi: f(s,1)=2 ; f(1,2)=1 ;f(2,t)=2 ;f(s,2)=1 ;f(1,3)=1 ;f(3,t)=1

Jumlah unit yang dapat dialirkan melalui rute berikut ini adalah sebagai  berikut: -

2 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,1), (1,2), (2,t) 1 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,2), (2,t) 1 unit dialirkan dari s ke t melalui (s,1), (1,3), (3,t)

II.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

38

Tugas/latihan untuk materi analisis jaringan adalah sebagai berikut: 1. Seorang pemuda mengendarai mobil dari kota asalnya menuju kota yang lain. Dia mempunyai beberapa pilihan rute yang melalui kota-kota antara, jarak suatu kota dengan kota yang lain dalam suatu rute adalah seperti terlihat dalam network  berikut. Rute manakah yang harus dilalui agar jarak yang ditempuh oleh orang tersebut minimum? 7

C

3

13

5 S

3

A

T 2

3

3

D

Kota Tujuan

B

Kota

Kota Antara

Jarak

2. Carilah Jumlah unit maksimum suatu path dari s ke t dimana seluruh arc dari  path itu termasuk di dalam sei I  ( Increasable path)! S

1

2

i(s,1)=5 i(1,2)=3

t

i(2,t)=2

39

PERKULIAHAN KE 4 DAN 5: PERENCANAAN & PENGENDALIAN PROYEK DGN CPM –  PERT. SESI/PERKULIAHAN KE: 4 DAN 5 : Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian dan langkah-langkah penyelesaian masalah keputusan dengan menggunakan CPM –  PERT. 2. Menerapkan teknik pemecahan masalah dengan menggunakan CPM –   PERT tersebut. : Perencanaan & Pengendalian Proyek Dgn CPM –  PERT.

TIK

Pokok Bahasan Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari beberapa pengertian yang  berkaitan dengan perencanaan & pengendalian proyek dgn CPM  –   PERT, termasuk simbol-simbol yang digunakan, penentuan waktu, perhitungan maju,  perhitungan mundur, perhitungan kelonggaran waktu dan penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek. I.

Bahan Bacaan: 1. Don T.Philips, et.al., “Operation Research: Principle and Practice ”, 2nd edition, John Wiley and Sons, 1987. 2. Hillier and Lieberman, “ Introduction to Mathematical Programming”, 1st edition, McGraw-Hill, 1991. 3. Taha, Hamdy, “ Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985.

II. Bahan Tambahan: 1. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 2. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice-hall Inc, 1969. III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan perencanaan? 2. Apa yang dimaksud dengan pengendalian? 3. Apa yang dimaksud dengan proyek? IV. Tugas: 1. Apa yang dimaksud dengan total Float, jelaskan! 2. Dari suatu proyek diperoleh data: Aktivitas A B

Aktivitas yang telah dilalui (predecessor) -

Waktu penyelesaiana (duration) 6 4

40

C D E F G H I J

A A B D,E D,E C,D,E C,D,E I,F

4 6 4 6 4 10 14 12

Buatlah diagram network nya dan tentukan lintasan kritis serta waktu penyelesaian  proyek tersebut!

III.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai perencanaan & pengendalian proyek dgn CPM –  PERT ini akan dibahas mengenai pengertian perencanaan & pengendalian  proyek dgn CPM  –   PERT, termasuk simbol-simbol yang digunakan, penentuan waktu, perhitungan maju & perhitungan mundur, perhitungan kelonggaran waktu,  pembuatan peta waktu & pengaturan sumber daya, perkiraan waktu penyelesaian suatu aktifitas dan penentuan ongkos dalam penjadwalan proyek. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan dalam perencanaan dan pengendalian suatu proyek.

III.2. PENYAJIAN

PERENCANAAN DAN PENGENDALIAN PROYEK DENGAN PERT-CPM

Pengelolaan proyek-proyek berskala besar yang berhasil memerlukan  perencanaan, penjadwalan dan pengorganisasian yang terjaga dari berbagai aktivitas yang saring berkaitan. Untuk itu, maka pada tahun 1950 telah dikembangkan prosedur-prosedur formal yang didasarkan atas penggunaan network   ( jaringan ) dan teknik-teknik network. Prosedur yang paling utama dari  prosedur-prosedur ini dikenal sebagai PERT ( Program Evaluation and Review Technique) dan CPM (Critical Path Method ), yang keduanya terdapat beberapa  perbedaan

penting.

Namun,

kecenderungan

pada

dewasa

ini

adalah

menggabungkan kedua pendekatan tersebut menjadi apa yang biasa dikenal sebagai PERT-type system.

41

Tujuan PERT-type Sistem adalah : 1. Untuk menentukan probabilitas tercapainya batas waktu proyek. 2. Untuk menetapkan kegiatan mana yang merupakan bottlenecks  (menentukan waktu penyelesaian seluruh proyek) sehingga dapat diketahui pada kegiatan mana kita harus bekerja keras agar jadwal dapat terpenuhi 3. Untuk mengevaluasi akibat dari perubahan-perubahan program, PERT-type sistem ini juga dapat mengevaluasi akibat dari terjadinya penyimpangan pada  jadwal proyek.

3.1. Simbol-Simbol yang Digunakan.

Dalam menggambarkan suatu network  digunakan tiga buah simbol sebagai  berikut: 1.

  Anak Panah = arrow, menyatakan sebuah kegiatan atau aktivitas.

2.

O Lingkaran Kecil = node, menyatakan kegiatan atau peristiwa atau event .

3.

---  Anak Panah terputus-putus, menyatakan kegiatan semu atau dummy.  Dummy disini berguna untuk membatasi mulainya kegiatan.

Simbol-simbol ini digunakan dengan mengikuti aturan-aturan

sebagai

 berikut : 1. Di antara dua event  yang sama, hanya boleh digambarkan satu anak panah. 2.  Nama suatu aktivitas dinyatakan dengan huruf atau dengan nomor event . 3. Aktivitas harus mengalir dari event   bernomor rendah ke event   bernomor tinggi. 4. Diagram hanya memiliki sebuah initial event dan sebuah terminal event.

Logika ketergantungan kegiatan-kegiatan itu dinyatakan sebagai berikut : 1. Jika kegiatan A harus diselesaikan dahulu sebelum kegiatan B dapat dimulai, maka hubungan antara kedua kegiatan tersebut dapat digambarkan sebagai

1

A

2

B

3

42

2. Kegiatan C, D, dan E harus selesai sebelum kegiatan F dapat dimulai, maka : 1

C

D

F

4

5

E

3

3. Jika kegiatan G dan H harus selesai sebelum kegiatan I dan J, maka : G

2

5

I

4

H

J

3 6

4. Jika kegiatan K dan L harus selesai sebelum kegiatan M dapat dimulai, tetapi kegiatan N sudah boleh dimulai bila kegiatan L sudah selesai, maka: K

M

2

5

6

L 3

 N

4

7

5. Jika kegiatan P, Q, dan R mulai dan selesai pada lingkaran kejadian yang sama, maka : 32 32

P Q 31

Atau

P

Q

34 31

34

R

R

33 33

43

3.2. Penentuan Waktu

Dalam mengestimasi dan menganalisis waktu ini, akan kita dapatkan satu atau beberapa lintasan tertentu dari kegiatan kegiatan pada network   tersebut yang menentukan jangka waktu penyelesaian seluruh proyek. Lintasan ini disebut lintasan kritis (critical  path). Di samping lintasan kritis ini terdapat lintasanlintasan lain yang mempunyai jangka waktu yang lebih pendek daripada lintasan kritis. Dengan demikian, maka lintasan yang tidak kritis ini mempunyai waktu untuk bisa terlambat, yang dinamakan float .

3.2.1. Notasi yang Digunakan.

Untuk memudahkan perhitungan penentuan waktu ini digunakan notasinotasi sebagai berikut : TE

= earliest event occurence time, yaitu saat tercepat terjadinya event.

TL

= latest event occurence time, yaitu saat paling lambat terjadinya event.

ES

= earliest activitiy start time, yaitu saat tercepat dimulainya aktivitas.

EF

= earliest activity finish time, yaitu saat tercepat diselesaikannya aktivitas.

LS

= latest activity start time, yaitu saat paling lambat di mulainya aktivitas.

LF

= latest activity finish time, yaitu saat paling lambat diselesaikannya aktivitas.

t

= activity duration time, yaitu waktu yang diperlukan untuk suatu aktivitas (biasa dinyatakan dalam hari).

S

= total slack / total float.

SF

= free slack / free float .

3.3. Perhitungan Maju

Ada tiga langkah yang dilakukan pada perhitungan maju, yaitu :

44

1.

Saat tercepat terjadinya initial event ditentukan pada hari ke nol sehingga untuk initial event  berlaku TE = O. (Asumsi ini tidak benar untuk proyek yang berhubungan dengan proyek-proyek lain.

2.

Kalau initial event  terjadi pada hari yang ke nol, maka: i

(i,j)

 j

t ES (i,j) = TE(0) = 0 EF(i,j) = ES(i,j) + t(i,j) =TE(t)+ t(i,j) 3.

 Event yang menggabungkan beberapa aktivitas (merge event ). (i1,j) EF(i1,j)  j

EF(i1,j)

EF(i1,j) Contoh D

1 4

A

4 19

15

4

I E

0 0

8

2

B 8

8

3 5

F 20

12

8

J 36

10

C

K

7

3 7

6

G 9

20

H

11

7

5

31

3.4. Perhitungan Mundur

Pada perhitungan mundur ini pun terdapat tiga langkah, yaitu :

45

1. Pada terminal event berlaku TL = TE. 2. Saat paling lambat untuk memulai suatu aktivitas sama dengan saat paling lambat untuk menyelesaikan aktivitas itu dikurangi dengan duration aktivitas tersebut. (i,j)

i

j TE TL

LS = LF- t LF(i,j) = TL dimana TL = TE Maka: LS(i,j) = TL(i) - t (i,j)

3.  Event  yang "mengeluarkan" beberapa aktivitas (burst event ).

LS(i1,j1)

 j LS(i,j2)

LS(i,j3)

Contoh: D

1 A

0 0

4

4 18 15

2 8

8 7

19 33

E 8

B 0

4

F 8

12

I

3 5 20 20

C 3

G

6

7 11

9

20 20

8

J

36 36

10 H

K 7

5

11 31 31

3.5. Perhitungan Kelonggaran Waktu ( F loat Atau Slack )

46

Kelonggaran waktu ( float/slack ) dari aktivitas (i. j). yang terdiri atas total  float dan free float . Total float adalah jumlah waktu di mana waktu penyelesaian suatu aktivitas dapat diundur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari penyelesaian proyek secara keseluruhan. Karena itu, total float  ini dihitung dengan cara mencari selisih antara saat paling lambat dimulainya aktivitas dengan saat paling cepat di mulainya aktivitas (LS - ES), atau bisa juga dengan mencari selisih antara saat  paling lambat diselesaikannya aktivitas dengan saat paling cepat diselesaikannya aktivitas (LF - EF).  free float adalah jumlah waktu di mana penyelesaian suatu aktivitas dapat diukur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari dimulainya aktivitas yang lain atau saat paling cepat terjadinya event lain pada network .  Free float   aktivitas (i, j) dihitung dengan cara mencari selisih antara saat tercepat terjadinya event   di ujung aktivitas dengan saat tercepat diselesaikannya aktivitas (i, j) tersebut. Atau : SF (i,,j) - TE (j) - EF(i,,j) Dari perhitungan maju didapat EF (i,,j) = TE (i) + t (i,,j), maka : SF(i,,j) = TE(,j) - TE(i,) - t(i,,j)

47

Contoh:

D

1 A

0 0

4

4 18 15

2

7

F 8

8

8

19 33

E 8

B 0

4

12

I

3 5 20 20

C 3

G

6

7 11

9

20 20

8

J

36 36

10 K

H

7

5

11 31 31

Perhitungan untuk menentukan lintasan kritis ini dapat di rangkum dan dapat dilihat pada Tabel 3.1. berikut, yang memuat seluruh informasi yang diperlukan untuk membuat peta waktu (time_chart ) pelaksanaan proyek.

Tabel 3.1. Perhitungan menentukan lintasan kritis Aktifitas (i,j)

Duration t(i,j)

(0,1) (0,2) (0,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,6) (4,8) (5,6) (5,8) (6,7) (7,8)

4 8 7 15 6 12 9 3 0 10 11 5

Paling cepat Mulai Selesai (ES) (EF) 0 4 0 8 0 7 4 19 8 19 8 20 7 20 19 36 20 20 20 36 20 31 31 36

Paling lambat Mulai Selesai (LS) (LF) 0 18 0 8 0 11 18 33 8 33 8 20 11 20 33 36 20 20 20 36 20 31 31 36

Total Float S 14 0 4 14 19 0 4 14 0 6 0 0

Free Float SF 0 0*) 0 0 5 0*) 4 14 0*) 6 0*) 0*)

3.6. Penentuan Ongkos Dalam Penjadwalan Proyek

48

Dalam penjadwalan proyek, aspek ongkos diperhitungkan dengan membuat hubungan ongkos dengan duration untuk -setiap aktivitas pada proyek itu. Yang dimaksud dengan ongkos di sini ialah ongkos langsung saja, tidak termasuk ongkos-ongkos administrasi, supervisi dan lain-lain. Kebanyakan proyek menggambarkan hubungan ongkos dengan duration ini sebagai garis lurus yang dapat dilihatpada Gambar 3.1. berikut.

Ongkos Titik percepatan Cc

Titik normal

Cn Dc

Dn

duration

Gambar 3.1. Hubungan ongkos dengan duration

Titik (Dn, Cn) menyatakan hubungan duration Dn dengan ongkosnya Cn,  jika aktivitas diselesaikan dalam kondisi normal.  Duration  Dn ini dapat dipersingkat dengan cara meningkatkan pengalokasian sumber yang dengan sendirinya berarti meningkatkan ongkos langsung. Contoh:

49

Sebagai langkah pertama prosedur perhitungannya ialah mengasumsikan  bahwa seluruh aktivitas terjadi pada waktu (duration) normal. Dari network   & di atas dapat dilihat bahwa perhitungan lintasan kritisnya adalah berdasarkan kondisi normal dengan aktivitas (1, 2) dan (2, 5) sebagai aktivitas-aktivitas yang membentuk lintasan kritis. Waktu penyelesaian proyek ini adalah 18 dengan ongkos 580. Karena aktivitas (1, 2) mempunyai kemiringan yang lebih kecil, maka aktivitas ini dipilih sebagai aktivitas yang akan ditekan waktu penyelesaiannya. Berdasarkan tabel hubungan ongkos dengan waktu di atas, aktivitas (1, 2) ini dapat ditekan sebanyak 2 satuan waktu, suatu batas yang ditentukan oleh titik  percepatannya (oleh sebab itu disebut sebagai batas percepatan atau crash limit ). salah satu cara untuk memprediksi apakah lintasan kritis yang baru itu akan terjadi sebelum mencapai titik percepatan ataukah tidak, ialah dengan memperhatikan  free float dari aktivitas-aktivitas yang tidak kritis. seperti telah dijelaskan, free float ini bersifat independen terhadap saat dimulainya aktivitas-aktivitas yang lain. Maka, apabila pada saat dilakukan penekanan terhadap aktivitas kritis terjadi  pengurangan harga  free float dari positif menjadi nol, aktivitas kritis itu tidak  boleh ditekan tanpa melakukan pemeriksaan lebih lanjut, karena ada kemungkinan  bahwa aktivitas dengan  free float nol ini menjadi aktivitas kritis. Dengan demikian, selain crash limit  kita juga harus memperhatikan free float limit. untuk menentukan  free float limit   ini, pertama-tama kurangilah duration dari aktivitas kritis terpirih (terdasarkan  slope-nya) sebanyak satu satuan waktu. Maka, dengan menghitunt ulang nilai-nilai dari seluruh aktivitas yang tidak kritis, akan dapat dilihat aktivitas-aktivitas mana yang  free float -nya telah berkurang sebanyak satu satuan waktu juga. Nilai  free float terkecil (sebelum dilakukan  pengurangan) dari seluruh aktivitas semacam itulah yang dimaksud sebagai  free  float limit . Perhatikan sekarang bahwa dengan mengurangi duration dari aktivitas (1, 2) sebanyak satu satuan waktu akan menurunkan SF dari aktivitas (3, 4) dari semula berharga 1 menjadi nol. SF dari aktivitas (4, 5) tetap berharga 5. Dengan demikian, maka SF limit = 1. Karena crash limit dari (1, 2) adalah 2, maka batas

50

 penekanannya (compression limit) sama dengan nilai minimum crash limit dengan SF limitnya, yaitu min (2, 1) = 1.

-

duration dari proyek keseluruhan = 17

-

Ongkos baru

= ongkos pada penjadwalan sebelumnya + ongkos penekanan

waktu. = 580 + (18-17) 50 = 630 -

Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5)

Karena aktivitas (1,2) ini masih merupakan aktivitas kritis terpilih untuk dipercepat, maka lakukanlah lagi perhitungan crash limit dan SF limit-nya, sehingga diperoleh penjadwalan baru sebagai berikut :

-  Duration dari proyek keseluruhan = 16 -

Ongkos

= 630 + (17-16) 50

= 680

-

Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5)

Sekarang, aktivitas (1, 2) sudah tidak dapat dipercepat lagi karena telah mencapai crash limit -nya. Karena lintasan kritisnya tetap, yaitu (1, 2, 5), maka

51

tinggallah aktivitas (2, 5) yang harus dipercepat. Aktivitas (2, 5) ini mempunyai crash limit  = 10 - 5 = 5. Dari penjadwalan yang terakhir kita lihat bahwa pada saat aktivitas (1, 2) ditekan sebanyak 1 satuan waktu,maka hanya ada satu aktivitas tidak kritis yang SF-nya berharga positif dan bekurang sebanyak 1 satuan waktu. Aktivitas tersebut adalah (4, 5), di mana SF-nya berkurang dari 5 menjadi 4. Maka tidak ada pilihan lain kecuali menetapkan bahwa SF limitnya adalah 4. Dengan demikian, compression limit untuk aktivitas (2, 5) adalah min (5, 4) = 4, dengan hasil penjadwalan baru sebagai berikut:

-

duration dari proyek keseluruhan = 12

-

Ongkos

-

Lintasan kritis ada dua, yaitu (1, 2, 5) dan (1, 3, 4, 5)

= 680 + (16-12) 60

= 920

Karena pada persoalan di atas crash limit-nya sama dengan 1, maka SFlimitnya dengan sendirinya tidak perlu dihitung. Penjadwalan baru dari hitungan ini adalah :

- duration dari proyek = 11 - Ongkos

= 920 + (12-11) (60+10) = 990 Slope (2, 5), slope (4, 5)

- Lintasan kritis tetap, yaitu (1, 2, 5) dan (1, 3, 4, 5) III.3. PENUTUP

52

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk materi Perencanaan & Pengendalian Proyek Dgn CPM  –   PERT adalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan total Float, jelaskan! 2. Dari suatu proyek diperoleh data: Aktivitas Aktivitas yang telah dilalui (predecessor) A B C D E F G H I J

Waktu penyelesaiana (duration)

A A B D,E D,E C,D,E C,D,E I,F

6 4 4 6 4 6 4 10 14 12

Buatlah diagram network nya dan tentukan lintasan kritis serta waktu  penyelesaian proyek tersebut!

PERKULIAHAN KE 6 DAN 7: PROGRAMA DINAMIS. SESI/PERKULIAHAN KE: 6 DAN 7 TIK

: Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian dan ide dasar programa dinamis. 2. Menerapkan teknik pemecahan masalah dengan menggunakan  programa dinamis. : Programa Dinamis

Pokok Bahasan Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamis termasuk pengantar dan karakteristik persoalan  programa dinamis, programa dinamis deterministik serta bagaimana cara menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamis tersebut. I. Bahan Bacaan: 1. Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad “Operations Research”, PT. Sinar Baru

53

Algensindo Bandung, 1999. 2. Hillier and Lieberman, “Introduction to Mathematical Programming”, 1st edition, McGraw-Hill, 1991. 3. Taha, Hamdy, “Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985. II.

Bahan Tambahan. 1. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice-hall Inc, 1969. 2. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994.

III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan programa dinamis? 2. Carilah contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan  programa dinamis. IV. Tugas: 1. Kapan metode programa dinamis dapat dilaksanakan? Dan berikan contohnya! 2. 5 (Lima) orang perawat dalam 1 (satu) team kesehatan dari puskesmas Rindina harus ditempatkan di tiga balai pengobatan di kota Bandar jaya, dalam rangka menyempurnakan pelayanan kesehatan, pendidikan kesehatan, dan programa latihan. Tabel berikut ini adalah taksiran pertambahan umur (tahun orang) dalam satuan ribu untuk tiap balai pengobatan dan tiap alokasi team yang mungkin dilakukan. Berikut ukuran dari keefektifan ini ialah pertambahan umur (yaitu berapa tahun umur orang akan bertambah dengan adanya team tersebut). Jumlah tim yang dialokasikan 0 1 2 3 4 5

Pertumbuhan umur (ribuan tahun-orang) –  Balai pengobatan 1 2 3 0 0 0 45 21 24 35 20 50 70 45 70 90 75 120 120 102 130

Berapa team yang harus ditempatkan di tiap-tiap balai pengobatan, sehingga keefektifan total dari lima team itu dapat dimaksimumkan?

IV.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai programa dinamis ini akan dibahas mengenai pengantar dan karakteristik persoalan programa dinamis, programa dinamis deterministik, dan programa dinamis probabilistik serta bagaimana cara menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan programa dinamis tersebut. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan suatu perusahaan.

54

IV.2. PENYAJIAN PROGRAMA DINAMIS

Programa dinamis adalah suatu teknik matematis yang biasanya digunakan untuk membuat suatu keputusan dari serangkaian keputusan yang saling  berkaitan. Tujuan utama model ini ialah untuk mempermudah penyelesaian  persoalan optimasi yang mempunyai karakteristik tertentu. Ide dasar programa dinamis ini ialah membagi persoalan menjadi beberapa bagian yang lebih kecil sehingga memudahkan penyelesaiannya.

4.1. Pengantar Programa Dinamis

Seorang salesman harus berangkat dari satu kota ke kota lainnya. Di antara kota asal dan kota tujuan itu terdapat beberapa kota lain yang dapat digunakan sebagai tempat persinggahan sementara. Kota-kota yang dapat dilewati itu dapat digambarkan sebagai berikut :

Data ongkos yang harus dibayar jika salesman itu meninggalkan kota i dan menuju ke kota j (c ij) adalah sebagai berikut :

1

2

3

4

2

4

3

5

6

7

8

9

2

7

4

6

3

3

2

4

4

1

10

5

1

4

8

3

4

6

6

3

9

4

5

7

3

3

Rute manakah yang dapat menimbulkan ongkos terkecil ? 4 tahap (stage) yang harus di jalani untuk melakukan perjalanan dari kota (state) asal di 1 ke tujuan di 10.

55

Tetapkan

variabel-variabel

keputusan

xn

sebagai

tempat-tempat

 persinggahan pada  stage  n (n = l, 2, 3, 4). Maka rute yang dijalani adalah 1x1x2x3x4, di mana x4 adalah kota ( state) 10 atau x4 = 10. Selanjutnya tetapkan pula variabel-variabel berikut : 1. fn (s, xn) = ongkos total yang harus dibayar jika  salesman itu berada di kota s dan memilih xn sebagai tempat persinggahan berikutnya. 2. Untuk s dan n tertentu, xn adalah nilai xn yang meminimumkan fn (s. xn). 3. fn (S) = nilai minimum dari fn (s, xn) sehingga fn (s) = fn(S, Xn ).

Tujuannya adalah untuk mendapatkan f 1*(1) dengan cara mencari f 4*  (s), f 3* (s), dan f 2*  (s), terlebih dahulu. Jadi, programa dinamis menyelesaikan suatu  persoalan dengan melakukan perhitungan mundur walaupun untuk persoalan tertentu bisa dengan perhitungan maju. Solusi persoalan dengan satu stage ini adalah:

S

F4*(S)

X 4*

8

3

10

9

4

10

Hasil keseluruhan dari persoalan dengan dua stage ini adalah : x3

f 3 (s,x2) = csx3 + f 4* (x3)

s

8 4 9 6

5 6 7

9 8 7 7

f 3* (s)

x3*

4 7 6

8 9 8

Hasil selengkapnya dari persoalan dengan tiga stage ini adalah : x2 S 2 3 4

f 1 (s,x2) = csx2 + f 3* (x2) 5 11 7 8

6 11 9 8

f 1* (s)

X2*

11

3 atau 4

7 11

56

Persoalan dengan 4  stage, ongkosnya adalah ongkos pada  stage  pertama ditambah dengan ongkos minimum berikutnya yaitu :

x2

f 1 (s,x2) = csx2 + f 3* (x2)

s

2

3

4

1

13

11

11

Dengan

demikian,

maka

salah

f 1* (s)

x1*

11

3 atau 4

satu

rute

optimalnva

adalah

135810. Apabila  salesman itu memilih x1 = 4, maka didapat dua rute optimum yang lain, yaitu 145810 dan146910. semuanya itu memberikan ongkos totat yang sama, yaitu f 1*(1) = 11.

4.2. KARAKTERISTIK PERSOALAN PROGRAMA DINAMIS.

Salah satu cara untuk mengenal situasi yang dapat diformulasikan sebagai  persoalan programa dinamis ini ialah dengan memperhatikan bahwa struktur dasar  persoalan programa dinamis ini merupakan analogi dari persoalan  salesman di atas.

Berikut ini diberikan beberapa gambaran dasar yang menandai (menjadi ciri)  persoalan programa dinamis : 1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap ( stage, yang pada rnasingmasing stage diperlukan adanya satu keputusan. 2. Masing-masing  stage  terdiri atas sejumlah  stage  yang berhubungan dengan  stage yang bersangkutan. 3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap  stage ditransformasikan dari state yang bersangkutan ke state berikutnya pada stage yang berikutnya pula. 4. Keputusan terbaik pada suatu  stage  bersifat independen terhadap keputusan yang dilakukan pada stage sebelumnya. 5. Prosedur pemecahan persoalan dimulai dengan mendapatkan cara (keputusan) terbaik untuk setiap state dari stage terakhir.

57

6. Ada suatu hubungan timbal-balik yang mengidentifikasi keputusan terbaik untuk setiap  state  pada  stage n, berdasarkan keputusan terbaik untuk setiap  state pada stage (n + 1). 7. Dengan menggunakan hubungan timbal-balik ini, prosedur penyelesaian  persoalan bergerak mundur  stage demi  stage, pada setiap  stage  berusaha diperoleh keputusan optimum untuk masing-masing  state hingga akhirnya diperoleh keputusan optimum yang menyeluruh, mulai dari  stage awal.

4.3. PROGRAMA DINAMIS DETERMINISTIK

Programa dinamis deterministik ini dapat diterangkan dengan diagram  berikut : Stage

Stage n sn

Stage

sn+1 Kontribusi dari

n (sn,xn)

f*n+1 (sn+1)

Dengan demikian, maka pada stoge n, prosesnya akan berada pada  state sn. Pada state ini dibuat keputusan x n, kemudian proses bergerak ke state sn + 1 pada  stage (n+1). Dari titik ini ke depan, nilai fungsi tujuan untuk keputusan optimumnya telah terlebih dahulu dihitung, yaitu f* n+1 (s n+1) Keputusan memilih xn,

juga

memberikan

kontribusi

terhadap

fungsi

tujuan,

yang

dengan

menggabungkan kedua besaran ini akan diperoleh nilai fungsi tujuan. Fn(sn, xn) yang berawal pada stage n. Minimumkan nilai telsebut dengan memperhatikan x n sehingga diperoleh f n*(sn = f n (s n,xn). Setelah hal ini dilakukan untuk semua nilai sn  yang mungkin, maka prosedur penyelesaiannya bergerak kembali pada  persoalan dengan satu stage.

Contoh: Badan Kesehatan Dunia (WHO) bermaksud akan menyempurnakan  pelayanan kesehatan di negara-negara yang sedang berkembang. Saat ini WHO

58

mempunyai 5 team kesehatan yang harus ditempatkan di tiga negara untuk menyempurnakan pelayanan kesehatan, pendidikan kesehatan, dan programa latihan. Dengan demikian maka WHO harus menentukan berapa team yang harus ditempatkan di tiap-tiap negara, sehingga keefektifan total dari lima team itu dapat dimaksimumkan. Sebagai ukuran dari keefektifan ini ialah pertambahan umur (yaitu berapa tahun umur orang akan bertambah dengan adanya team tersebut). Tabel berikut ini adalah taksiran pertambahan umur (tahun orang) dalam satuan ribu untuk tiap negara dan tiap alokasi team yang mungkin dilakukan. Jumlah tim yang

Pertumbuhan umur (ribuan tahun-orang) - Nergara

dialokasikan 0 1 2 3 4 5

1

2

3

0 45 70 90 105 120

0 20 45 75 110 150

0 50 70 80 100 130

Berikut ini adalah hasil perhitungan seluruhnya, dimulai dari stage terakhir (n = 3) dan bergerak mundur hingga stage pertama (n = 1). n=3 s 0 1 2 3 4 5

f 3* (s) 0 50 70 80 100 130

x3 0 1 2 3 4 5

n=2 x2 s 0 1 2

0 0 50 70

F2 (s,x2) = p2 (x2) + f 3* (s-x2) 1 2 3 4 20 70

45

F2* (s)

x2*

0 50 70

0 0 0,1

5

59

3 4 5

80 100 130

90 100 120

95 115 125

75 125 145

110 160

150

95 125 160

2 3 4

F1* (s)

x1*

170

1

n=1 x2 s 5

0 160

F1 (s,x1) = p1 (x1) + f 2* (s-x1) 1 2 3 4 170 165 160 155

5 120

Dengan demikian, maka solusi.optimumnya adalah x 1* = 1, sehingga s = 5  –   1 = 4 untuk n = 2. Akibatnya x 2* = 3. Selanjutnya s = 4 - 3 = 1 untuk n = 3 sehingga x3* = 1. karena f 1*(5) = 170, maka alokasi (1, 3, 1) dari team kesehatan  pada tiga negara ini akan menghasilkan taksiran total 170.000 penambahan tahun orang.

IV.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk materi  programa dinamis adalah sebagai berikut: 1. Kapan metode programa dinamis dapat dilaksanakan? Dan berikan contohnya! 2. Puskesmas Atmajaya memiliki 7 (Tujuh) orang perawat dalam 1 (satu) team kesehatan dari puskesmas Rindina harus ditempatkan di tiga balai pengobatan di kota Bandar jaya, dalam rangka menyempurnakan pelayanan kesehatan,  pendidikan kesehatan, dan programa latihan. Tabel berikut ini adalah taksiran  pertambahan umur (tahun orang) dalam satuan ribu untuk tiap balai  pengobatan dan tiap alokasi team yang mungkin dilakukan. Berikut ukuran dari keefektifan ini ialah pertambahan umur (yaitu berapa tahun umur orang akan bertambah dengan adanya team tersebut). Jumlah tim yang Dialokasikan 0

Pertumbuhan umur (ribuan tahun-orang) –  Balai pengobatan 1 2 3 0 0 0

60

1 2 3 4 5 6 7

45 35 70 90 98 105 120

21 20 45 75 102 110 150

24 50 70 80 100 120 130

Berapa team yang harus ditempatkan di tiap-tiap balai pengobatan, sehingga keefektifan total dari lima team itu dapat dimaksimumkan?

PERKULIAHAN KE 8: Ujian MI D SEMESTER 

SESI/PERKULIAHAN KE: 8 IK

: Pada perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan  persoalan-persoalan berkaitan dengan materi yang telah diberikan  pada perkuliahan sebelumnya.

okok Bahasan

: Materi yang termasuk dalam ujian mid   semester adalah: Pengantar Penelitian operasional II, Analisis Jaringan, Perencanaan & Pengendalian Proyek dgn CPM – PERT dan Programa Dinamis

eskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mengerjakan dan menyelesaikan  persoalan-persoalan penelitian operasional II sesuai dengan materi yang telah diberikan pada perkuliahan sebelumnya. Sifat ujian mid semester adalah open book. Setiap mahasiswa dapat menyelesaikan dan mencari jawaban tiap persoalan pada buku maupun bahan-bahan  pembelajaran yang dimilikinya.

61

I. Bahan Bacaan: 1. Dimyanti,Tjutju Tarliah, Ahmad “Operations Research”, PT. Sinar Baru Algensindo Bandung, 1999. 2. Don T.Philips, et.al., “Operation Research: Principle and Practice”, 2nd edition, John Wiley and Sons, 1987. 3. Taha, Hamdy, “ Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985. 4. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms ”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994. II. Bahan Tambahan: 1. Hillier and Lieberman, “Introduction to Mathematical Programming”, 1st edition, McGraw-Hill, 1991. 2. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice-hall Inc, 1969. 3. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Sebelum ujian mid semester, mahasiswa diberikan kesempatan untuk bertanya berkaitan dengan persoalan yang diberikan. IV. Tugas Tidak ada pemberian tugas setelah ujian mid semester, hal ini dikarenakan ujian tersebut merupakan tabulasi dan evaluasi nilai mahasiswa terhadap perkuliahan sistem produksi, setelah menjalani perkuliahan selama 7 (tujuh) kali pertemuan.

V.1. PENDAHULUAN

Dalam

perkuliahan

ini

mahasiswa

akan

mengerjakan

dan

menyelesaikan persoalan-persoalan penelitian operasional II sesuai dengan materi yang telah diberikan pada perkuliahan sebelumnya. Sifat ujian mid  semester adalah open book. Setiap mahasiswa dapat menyelesaikan dan mencari

jawaban

tiap

persoalan

pada

buku

maupun

bahan-bahan

 pembelajaran yang dimilikinya.

V.2. PENYAJIAN

Pada perkuliahan ini akan diberikan persoalan yang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari pada perkuliahan sebelumnya. Persoalan yang diberikan antara lain:

62

1. Apa keuntungan mempelajari network theory  dan berikan contoh  peristiwa suatu network ! 2. Sebuah perusahaan kendaraan umum mengoperasikan armadanya dari kota s ke kota t. Ada beberapa alternatif yang bisa dilalui dalam menempuh perjalanan tersebut, dengan jaringan sebagai berikut: 3

1

3

2

4

3

t 2

s

4

4

3

Kota Tujuan

2

Kota Asal

Kota Antara

Jarak

Tentukan rute terpendek dari kedua kota tersebut! 3. Dari suatu proyek diperoleh data sebagai berikut: 1

D

4

15

A

I

3

E

3 6

0

B

2

6

F

5

8

J

12

10

C 7

K 3

G 9

6

H

7

8

11

Tentukan lintasan kritis serta waktu penyelesaian proyek tersebut!

4. Langkah apa saja yang harus dilakukan dalam memecahkan suatu  persoalan dalam suatu organisasi berkenaan dengan diterapkannya  penelitian operasional dalam organisasi tersebut? Jelaskan!

Persoalan yang diberikan tidak harus sesuai pada persoalan tersebut di atas saja, tetapi dapat juga ditambah dan diganti dengan persoalan lainnya sesuai dengan kebutuhan, ketepatan dan keterbatasan waktu pengerjaan  persoalan, tentunya sesuai dengan materi yang telah diberikan.

V.3. PENUTUP

63

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab mengenai persoalan persoalan yang diberikan. Tidak ada pemberian tugas setelah ujian

mid

semester, hal ini dikarenakan ujian tersebut merupakan tabulasi dan evaluasi nilai mahasiswa terhadap perkuliahan Penelitian Operasional II, setelah menjalani perkuliahan selama 7 (tujuh) kali pertemuan.

PERKULIAHAN KE 9, 10 DAN 11: TEORI PERMAINAN SESI/PERKULIAHAN KE: 9, 10 DAN 11 TIK

Pokok Bahasan

: Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian dan ide dasar teori permainan. 2. Mengetahui penyelesaian persoalan penelitian operasional dengan menggunakan teori permainan. : Teori Permainan

Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari persoalan keputusan dengan menggunakan teori permainan termasuk pengantar teori permainan, two  person zero-sum game,  pure-strategy game, mixed-strategy game,  solusi  grafis  dari permainan (2xn) dan (mx2), solusi permainan (mxn) dgn  programa linier serta bagaimana cara menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan teori permainan tersebut. I.

Bahan Bacaan: 1. Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad “ Operations Research”, PT. Sinar Baru Algensindo Bandung, 1999. 2. Don T.Philips, et.al., “ Operation Research: Principle and Practice ”, 2nd  edition,

64

3.

John Wiley and Sons, 1987. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994.

II.

Bahan Tambahan: 1. Hillier and Lieberman, “ Introduction to Mathematical Programming”, 1 st edition, McGraw-Hill, 1991. 2. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 3. Taha, Hamdy, “ Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985. 4. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research ”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice-hall Inc, 1969.

III.

Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah  pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan teori permainan dalam penelitian operasional? 2. Cari contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teori permainan.

IV.

Tugas: 1. Apa yang dimaksud dengan teori permainan? 2. Perusahan pasta gigi fantana berusaha menarik hati konsumennya dengan memberikan undian berhadiah, hal ini juga dilakukan oleh perusahaan sejenis kardilas yang merupakan pesaing terberat perusahaan tersebut. Saat ini masing-masing perusahaan menguasai 50% pasaran. Jika masing-masing perusahaan tidak melakukan undian  berhadiah maka pengusahaan pasar tersebut tidak berubah, jika salah satu melakukan undian berhadiah yang lebih menarik maka perusahaan yang lain akan kehilangan sejumlah langganannya. Dari hasil penelitian pasar ternyata bahwa presentasi langganan yang dapat dijangkau melalui media televisi adalah 50% dan melalui koran 30% dan melalui radio 20%. Kedua perusahaan ini harus memilih media yang sesuai untuk mempromosikan produknya dengan undian berhadiah tentunya dengan mencari media promosi terbaik yang digunakan. a. Buatlah matriks payoff dari persoalan tersebut!  b. Tentukan nilai game-nya.

VI.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai teori permainan ini akan dibahas mengenai  pengantar  teori permainan, two person zero-sum game, pure-strategy game, mixed-strategy game, solusi grafis dari permainan (2xn) dan (mx2), solusi  permainan (mxn) dgn programa linier serta bagaimana cara menyelesaikan  persoalan keputusan dengan menggunakan teori permainan tersebut. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan dalam suatu perusahaan.

VI.2. PENYAJIAN

TEORI PERMAINAN

65

6.1. Pengantar Teori Permainan.

Teori permainan adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang berkaitan dengan pembuatan keputusan pada saat pihak atau lebih berada dalam kondisi  persaingan atau konflik. Model-model permainan ini dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara,  bergantung pada faktor-faktor berikut: banyaknya pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan banyaknya strategi yang dilakukan dalam permainan. Sebagai contoh, jika banyaknya pemain adalah dua pihak maka permainannya disebut sebagai permainan dua orang (two-person game). Jika banyaknya pemain adalah  N pihak (N  3), Pemainnya disebut Permainan N orang (zero-sum game). Perhatikan

persoalan

two-person

zero-sum

game

dengan

matriks

 pembayaran seperti pada tabel berikut.

Pemain A

A1 A2

Pemain B B1 B2 B3 6 9 2 8 5 4

Beberapa pengertian dari persoalan di atas adalah sebagai berikut: 1. Bilangan-bilangan ynag ada di dalam matriks pembayaran (payoff matrix) menyatakan outcome atau pembayaran strategi permainan yang berbeda. Payoff atau pembayaran ini diartikan sebagai suatu ukuran keefektifan seperti uang, persentase daerah pemasaran, atau utilitas. Berdasarkan  perjanjian, dalam two-person zero-sum game ini bilangan-bilangan positif menyatakan perolehan (keuntungan) bagi pihak yang ditulis pada baris sebgai pemain yang akan memaksimumkan, dan sekaligus merupakan kerugian bagi pihak yang ditulis pada kolom sebagai pemain yang akan meminimumkan. 2. Strategi adalah tindakan pilihan.

66

3. Aturan permainan menjelaskna tentang bagaimana sara pemain memilih strategi-strategi mereka. 4. Suatu strategi dinyatakan dominan apabila setiap payoff yang ada pada suatu strategi bersifat superior (paling tinggi) dibandingkan dengan setiap  payoff pada strategi lainnya. 5.  Nilai permainan menyatakan ekspektasi outcome per permainan jika kedua  pemain melakukan strategi terbaik (strategi optimum) mereka. Suatu  permainan dikatakan adil jika nilai permainannya nol. 6. strategi optimum adalah strategi yang menjadikan seorang pemain berada  pada posisi pilihan terbaik, tanpa memperhatikan tindakan-tindakan  pemain lawannya. 7. tujuan model permainan adalah untuk mengidentifikasi strategi optimum  bagi masing-masing pemain.

6.2. Two Person, Zero-Sum Game.

Ada dua jenis persoalan two-person zero-sum game yang biasa dijumpai. Jenis pertama adalah permainan yang posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal sehingga permainannya disebut  permainan murni (pure-strategy game). Jenis yang kedua adalah permainan yang kedua pemainnya melakukan pencampuran terhadap strategi-strategi yang berbeda dengan maksud untuk mencapai posisi pilihan terbaik. Dengan demikian, jenis yang kedua ini disebut permainan strategi sampuran (mixed-strategy game).

6.3. Pure-Strategy Game

Pure-Strategy Game, pemain yang akan memaksimumkan (pada contoh adalah pemain A) akan mengidentifikasikan strategi optimumnya dengan menggunakan kriteria maksimum, sedangkan pemain yang akan m eminimumkan (pemain B) akan mengidentifikasikan strategi optimumnya dengan menggunakan kriteria minimaks. Jika nilai maksimin sama dengan nilai minimaks, maka  permainan telah terpecahkan. (Untuk menguji hal ini, nilai tersebut harus merupakan nilai maksimum bagi kolom yang bersangkutan, dan sekaligus

67

merupakan niliai minimum bagi baris yang bersangkutan). Dalam kasus seperti ini, maka telah tercapai titik keseimbangan. Titik ini dikenal sebagai titik sadel ( saddle  saddle point ). ). Perhatikan suatu situasi ketika dua buah perusahaan besar sedang dalam  proses perencnaan strategi

advertensi masing-masing. Asumsikan bahwa

 perusahaan A mempunyai dua buah strategi, dan perusahaan B mempunyai tiga  buah strategi. Struktur strategi dan payoffnya adalah sebagai berikut:

Pemain A

Pemain B B1 B2 1 9 8 5 8 9

A1 A2

Maksimum Kolom Matriks

payoff

pada

tabel

di

atas

Minimum Baris B3 2 4 4

adalah

1 4

untuk

pemain

yang

akan

memaksimumkan (perusahaan A). Jika A memilih strategi A1, Maka B akan memilih strategi B1, sehingga payoff untuk A adalah 1. Jika A memilih strategi A2, maka B memilih strategi B3 sehingga payoff untuk A adalah 4. dengan demikian, jelas bahwa perusahaan A akan berada pada posisi pilihan terbaik jika ia melakukan suatu strategi tunggal yaitu strategi strate gi A2. Kriteria

maksimin

(untuk

pemain

yang

memaksimumkan)

yaitu

mendapatkan nilai minimum dari masing-masing baris. Nilai terbesar (nilai maksimum) dari nilai-nilai minimum ini adalah nilai maksimin. Dengan demikian, maka untuk permainan dengan strategi murni ini, strategi optimumnya adalah baris tempat nilai maksimin terletak. Kriteria

minimaks

(untuk

pemain

yang

meminimumkan)

yaitu

mendapatkan nilai maksimum dari masing-masing kolom. Nilai terkecil (nilai minimum) dari nilai-nilai maksimum ini adalah nilai minimaks. Dengan demikian, maka untuk permainan dengan strategi murni ini, strategi optimumnya adalah kolom tempat nilai minimaks terletak Karena nilai minimaks dan maksimin bernilai sama (=4), maka pertanyaan  berikutnya adalah: apakah permainan ini mempuyai saddle point? Jawabnya adalah ya, karena nilai 4 merupakan nilai maksimum pada kolomnya, dan

68

sekaligus juga merupakan nilai minimum pada barisnya. Setelah kita ketahui saddle point ini ada, maka kita dapat menyatakan bahwa strategi optimum bagi A adalah A2 dan strategi optimum bagi B adalah B3.

6.4. Mixed-Strategy Game.

Seperti telah dijelaskan di atas, pada game yang tidak mempunyai saddle  point, penyelesaiannya harus dilakukan dengan menggunakan strategi campuran. Perhatikan matriks payoff dari suatu game berikut ini:

Pemain A

Pemain B B1 B2 0 -2 5 4 2 3 5 4

1 2 3

Maksimum Kolom

Minimum Baris B3 2 -3 -4 2

-2 -3 -4

Karena nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, maka permainan di ats tidak mempunyai saddle point. Pada game ini, jika A memilih strategi 1, maka B memilih strategi 2. Tetapi jka B memilih strategi 2, maka A memilih strategi 2 sehingga B akan memilih strategi 3 dan A memilih strategi 1. demikian seterusnya sehingga permainan seperti ini dikenal sebagai permainan yang idak stabil (unstable (unstable game). game).

Secara matematis: m

-

Pemain A akan memilih xi (xi  0,

  xi  1 ) yang menghasilkan i 1

m

m

V = maks xi {min (  a11 xi,

m

 a12 xi,......,  ain

i 1

i 1

xi)}.

i 1

n

-

Pemain B akan memilih yj (yj  0,

 yj  1 ) yang menghasilkan   j 1

n

V =min yj{min (  a1  j yj,   j 1

n

 a2  j   j 1

n

yj,......,

 amj yj)}.   j 1

 Nilai-nilai di atas adalah nilai-nilai maksimin dan minimaks dari ekspektasi  payoff. Seperti halnya pada kasus strategi murni, pada strategi campuran inipun  berlaku hubungan.: hubungan.:

69

Minimaks ekspektasi payoff   maksimin ekspektasi payoff atau payoff atau

v

Jika xi dan yj berkorespondensi dengan solusi optimum, maka

 = v dimana nilai

v

 v.

yang diperoleh akan sama dengan nilai ekspektasi optimum dari permainan.

6.5. Solusi Grafis dari Permainan (2xn) dan (mx2).

Solusi grafis hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan  permainan bila paling sedikit salah seorang pemain hanya mempunyai 2 buah strategi. Perhatikan permainan (2xn) berikut ini. Y1 x1 a11

A

x2 =1-x1

Y2................Yn a12...............a1n

a21

a22..............a2n

Disini diasumsikan bahwa permainannya tidak mempunyai  saddle point . Karena A mempunyai dua strategi, maka x2 = 1 –  1  –  x1,  x1, dengan x1

  0,

x2

  0.

Berdasarkan strategi murni dari B, maka ekspektasi payoff untuk A adala h: Strategi Murni Ekspektasi payoff A 1 (a11 –  (a11 –  a21)  a21) x1 +a21 2 (a12 –  (a12 –  a22)  a22) x1 +a22 . . . . n (a1n –  (a1n –  a2n)  a2n) x1 +a2n Hal ini memperlihatkan bahwa ekspektasi payoff bagi A bervariasi secara linier terhadap x1. Berdasarkan kriteria untuk permainan dengan strategi campuran, pemain A harus memilih nilai x1 yang akan memaksimumkan ekspektasi

payoff

minimumnya.

Hal

ini

dapat

dilakukan

dengan

cara

menggambarkan garis-garis lurus ke atas sebagai f ungsi dari x1. Contoh:

1

1 0

B 2 -2

3 2

2

5

4

-3

A

70

Persoalan ini tidak mempunyai  saddle point   dan akan diselesaikan dengan cara grafis. Berdasarkan strategi murni dari B, maka eks pektasi payoff untuk A adalah: Strategi Murni 1 2 3

Ekspektasi payoff A -5x1 + 5 -6x1 + 4 5x1 - 3

Ketiga garis lurus ini digambarkan sebagai fungsi dari x1 sebagai berikut: Ekspektasi payoff 5 1

4 2

Maksimin

0

1/2

1

x1

3

-3 Maksimin ekspektasi payoff

V = Maks xi { min (5-5x1), (4-6x1), (-3+5x1)} Maks xi { min (4-6xi), (-3 5x1)} Titik potong dicari secara aljabar biasa: 4-6x1 = -3+5x1 11x1 = 7 x1* = 7/11

karena x1* + x2* =1 maka x2* = 4/11 v = v* -3 + 5 (7/11) = 2/11 padahal v* =

v

 dan v* =

  aijxiyj i

  j

Sehingga: Y1*(5-5x1)+y2*(4-6x1)+y3*(-3+5x1)=2/11..................................(1)

71

2/11 y1* + 2/11 y2* +2/11 y3* = 2/11 dengan y1* + y2* + y3* = 1 Dalam

hal,

 aij

persamaan

xi

yang

tidak

melewati

titik

maksimin

 berkorespondensi dengan yj=0 (supaya tidak menaikkan expected payoff). Karena itu, y1* = 0 sehingga: y2*+y3*=1 atau y3*=1-y2*. Masukkan pada persamaan (1). Jika x1 = 0 maka 4y2*-3y3* = 2/11 x2 = 1

-2y2*+2y3* =2/11

Sehingga: y3* = 6/11 y2* = 5/11 Dengan demikian, maka solusi optimum untuk kedua pemain adalah: - Pemain A: (x1,x2) = (7/11, 4/11) - Pemain B: (y1,y2,y3) =(0, 5/11,6/11) Dengan nilai game v*2/11

6.6. Solusi permaianan (mxn) dgn programa linier.

Seperti dikemukakan sebelumnya, kriteria maksimin dapat diformulasikan sebagai: m

m

Maks xi {min (  ai1 xi, i 1

 ai2 xi,............  ain xi)} i 1

i 1

m

Dimana



xi = 1 dan xi  0

i = 1,..............,m

i 1

Contoh: Matriks payoff dari suatu permainan adalah sebgai berikut: B

A

1 2 3

1 3 -3 -4

2 -1 3 -3

3 -3 -1 3

Tentukan strategi optimum untuk masing-masing pemain? Penyelesaian.

72

Matriks payoff di atas tahu bahwa nilai maksiminnya adalah -3 sehingga nilai  permainannya dapat berharga negatif atau nol. Karena itu, diperlukan suatu konstanta k yang harga-nya paling sedikit sama dengan nilai maksimin yang negatif itu. Konstanta k itu kemudian ditambahkan kepada seluruh elemen matriks. Misalnya digunakan k=5, maka matriksnya menjadi sebagai berikut. B A

1 2 3

1 8 2 1

2 4 8 2

3 2 4 8

Formula programa linier untuk pemain B adalah: Maks. W = y1+y2+ y3 8y1+4y2+2y3

  1

2y1+8y2+4y3

  1

y1+2y2+8y3

  1

y1,y2, y3

  0

Setelah formulasi di atas diselesaikan dengan metode simpleks, maka didapat tabel optimumnya sebagai berikut: Basis Y1 W 0 Y1 1 Y2 0 Y3 0 Sehingga diperoleh:

Y2 0 0 1 0

Y3 0 0 0 1

S1 5/49 1/7 -3/98 -1/98

S2 11/196 -1/14 31/196 -3/98

S3 1/14 0 -1/14 1/7

Solusi 45/196 1/14 11/196 5/49

V* = 1/w –  k = 196/45 –  5 = -29/45 Y1* =

 y1

=

w

Y2* =

 y 2

=

w

Y3* =

 y 3 w

=

1 / 14 45 / 196 11 / 196 45 / 196 5 / 49 45 / 196

 = 14/45  = 11/45  = 20/45

73

Strategi optimum untuk pemain A diperoleh dari solusi dual persoalan di atas, maka: Z = w = 45/196, x1 = 5/49, x2 = 11/196, x3=1/14 Sehingga: x1* = x1/z = 20/45

x2* = x2/z = 11/45

x3* = x3/z = 14/45

VI.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk materi teori permainan adalah sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan teori permainan? 2. Perusahan pasta gigi fantana berusaha menarik hati konsumennya dengan memberikan undian berhadiah, hal ini juga dilakukan oleh perusahaan sejenis kardilas yang merupakan pesaing terberat perusahaan tersebut. Saat ini masing-masing perusahaan menguasai 50% pasaran. Jika masing-masing  perusahaan tidak melakukan undian berhadiah maka pengusahaan pasar tersebut tidak berubah, jika salah satu melakukan undian berhadiah yang lebih menarik maka perusahaan yang lain akan kehilangan sejumlah langganannya. Dari hasil penelitian pasar ternyata bahwa presentasi langganan yang dapat dijangkau melalui media televisi adalah 50% dan melalui koran 30% dan melalui radio 20%. Kedua perusahaan ini harus memilih media yang sesuai untuk mempromosikan produknya dengan undian berhadiah tentunya dengan mencari media promosi terbaik yang digunakan. a. Buatlah matriks payoff dari persoalan tersebut!  b. Tentukan nilai game-nya.

74

PERKULIAHAN KE 12 DAN 13: SESI/PERKULIAHAN KE: 12 DAN 13 TIK

: Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian dan ide dasar  proses keputusan Markov. 2. Mengetahui penyelesaian persoalan penelitian operasional dengan menggunakan proses keputusan Markov. : Proses Keputusan Markov

Pokok Bahasan Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari persoalan keputusan dengan menggunakan proses keputusan Markov termasuk Ilustrasi Persoalan Keputusan Markov, Membangun Matriks Probabilitas Transisi, Model Program Dinamis dengan Stage Terbatas, Model dengan Stage tidak Terbatas serta bagaimana cara menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan proses keputusan Markov tersebut. I. Bahan Bacaan:

75

1. Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad “ Operations Research”, PT. Sinar Baru Algensindo Bandung, 1999. 2. Hillier and Lieberman, “ Introduction to Mathematical Programming”, 1st  edition, McGraw-Hill, 1991. 3. Taha, Hamdy, “Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985. II. Bahan Tambahan: 1. Don T.Philips, et.al., “ Operation Research: Principle and Practice ”, 2 nd edition, John Wiley and Sons, 1987. 2. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 3. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd  edition, Duxbury Press, 1994. 4. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice hall Inc, 1969. III.

Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah  pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan proses keputusan Markov dalam penelitian operasional? 2. Cari contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan proses keputusan Markov.

IV. Tugas: 1. Apa yang dimaksud dengan proses keputusan Markov? 2. Saat ini PT. Astra sedang mempertimbangkan kemungkinan dilakukannya advertensi  besar-besaran untuk jenis mobil Kijang Innova. Perusahaan ini menentapkan bahwa hasil  penjualan saat ini dapat dikategorikan sebagai keberhasilan (state 1) atau gagal (state 2). - Jika dilakukan advertensi : probabilitas bulan ini berhasil dan bulan berikutnya gagal adalah 0,1, sedangkan bila bulan ini gagal dan bulan berikutnya juga gagal  probabilitasnya adalah 0,4. Matriks labanya dapat dilihat pada R1. - Jika advertensi tidak dilakukan: probabilitas bulan ini berhasil dan bulan berikutnya  juga berhasil adalah 0,7, sedangkan bila bulan ini gagal maka bulan berikutnya juga gagal probabilitasnya adalah 0,8. Matriks labanya dapat dilihat pada R2. R1 = 2 -1 R2= 4 1

1 -3

2 -1

Bagaimanakah Policy optimum dari persoalan tersebut?

VII.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai proses keputusan Markov ini akan dibahas mengenai pengantar   proses keputusan Markov termasuk Ilustrasi Persoalan Keputusan Markov, Membangun Matriks Probabilitas Transisi, Model Program Dinamis dengan Stage Terbatas, Model dengan Stage tidak Terbatas serta  bagaimana cara menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan proses keputusan Markov tersebut. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan suatu perusahaan..

76

VII.2. PENYAJIAN PROSES KEPUTUSAN MARKOV 7.1. Pengantar proses keputusan Markov.

Pada saat membahas programa dinamis telah dijelaskan bahwa jumlah  state dapat terbatas atau tidak terbatas. Pada bab berikut ini akan disajikan suatu  penerapan baru programa dinamis terhadap pemecahan suatu proses keputusan  stochastic yang dapat dijelaskan oleh sejumlah  state yang terbatas. Probabilitas transisi di antara  states ini dijelaskan oleh suatu rantai Markov (Markov chain), sedangkan struktur biaya proses ini juga dijelaskan oleh suatu matriks yang elemen-elemennya menyatakan pendapatan atau ongkos yang dihasilkan dari  pergerakan dari satu state ke state yang lain. Tujuan persoalan ini ialah menentukan keputusan optimum yang dapat memaksimumkan ekspektasi pendapatan dari proses yang mempunyai jumlah  state terbatas atau tidak terbatas tersebut. Contoh-contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan cara ini di antaranya ialah persoalan persediaan (inventory), peremajaan (replacement),  pengelolaan aliran uang (cash flow management), pengaturan kapasitas  penampung air, penelitian pasar dengan memeriksa dan meramalkan perilaku langganan, dan lain-lain.

7.2. Ilustrasi Persoalan Keputusan Markov

Untuk dapat memahami model penyelesaian dari persoalan keputusan Markov, berikut ini dikemukakan sebuah ilustrasi dari persoalan keputusan yang sangan sederhana, sebagai berikut: Kondisi sebuah mesin yang digunakan dalam suatu proses produksi diketahui menurun dengan cepat, baik dalam kualitas maupun output -nya. Karena itu, terhadap mesin tersebut dilakukan pemeriksaan secara periodik, yaitu pada setiap akhir bulan. Setelah dilakukan serangkaian pemeriksaan, kondisi mesin ini

77

dicatat dan diklasifikasikan ke dalam salah satu dari tiga keadaan ( state)  berikut ini: state

Kondisi

1 2 3

Baik Cukup Rusak

Xt adalah state mesin misalkan probabilitas transisi selama periode 1 bulan dari suatu state ke state lainnya adalah: State bulan.

State pada  bulan ini

1 2 3

1

2

3

0,2 0 0

0,5 0,5 0

0,3 0,5 1

= p1

Dari matriks transisi p1 di atas jelas bahwa sekali mesin itu rusak ( state 3), maka akan tetap rusak. Jika dilakukan overhaul (perbaikan) maka matriks transisinya adalah p2 sebagai berikut:

2

P =

1 0,3 0,1 00,5

1 2 3

2 0,6 0,6 0,4

3 0,1 0,3 0,55

Jika diketahui bahwa struktur ongkos apabila tidak dilakukan overhaul adalah R 1, dan struktur ongkos bila dilakukan overhaul  adalah R 2, (dalam satuan juta rupiah),

dimana:

1

1

R   = 1 I I rij I I

=

1 2 3

1 7 0 0

2 6 5 0

3 3 1 -1

1 6 7 6

2 5 4 3

3 -1 0 -2

dan

R2 = I I rij2 I I =

1 2 3

78

Keputusan apakah yang sebaiknya dilakukan (melakukan overhaul atau tidak)?

Perhatikan bahwa elemen-elemen rij2  dari R 2  ini telah memperhitungkan ongkos perbaikan (overhaul). Sebagai contoh, jika sistem berada pada  state 1, dan tetap  state 1 selama bulan yang akan datang, maka pendapatan yang dapat diperoleh adalah r112  = 6, bandingkan terhadap r11 1=7 jika overhaul tidak di lakukan. Jenis persoalan lainnya ialah pengevaluasian ekspektasi pendapatan sebagai hasil dari suatu tindakan yang telah ditetapkan apabila suatu  state  dari sistem terjadi. Misalnya, apabila diputuskan untuk melakukan overhaul apabila mesin dalam kondisi rusak ( state 3). Proses pembuatan keputusan untuk kasus ini dijelaskan oleh suatu stationary policy. Sebagai contoh,  stationary policy untuk melakukan overhaul hanya jika mesin dalam kondisi rusak (state 3), matriks transisi dan matriks ongkosnya adalah P dan R sebagai berikut:

P=

0,020 0,50 0 0,50 0,05 0,40

0,30 0,55 0,55

R=

7 0 6

6 5 3

3 1 -2

Matriks P dan R ini berbeda dari matriks P1 dan R1 hanya pada baris ketiga saja, yang diambil langsung dari P2 dan R2. Alasannya ialah karena P2 dan R2 adalah matriks-matriks yang dihasilkan apabila overhaul dilakukan pada setiap  state. 7.3. Membangun Matriks Probabilitas Transisi

Sebagai ilustrasi, berikut ini dikemukakan suatu kasus yang berkenaan dengan perilaku langganan sabun deterjen. Misalkan di suatu daerah dipasarkan empat merek sabun deterjen, katakanlah merek A, B, C, dan D. Terhadap para  pemakai deterjen di daerah tersebut telah dilakukan penelitian dengan cara menyebarkan daftar isian (kuesioner). Jumlah responden yang mengembalikan daftar isian tersebut ada 1.000 orang, dan diasumsikan bahwa ukuran sampel ini cukup representatif. Data yang diperoleh berupa jumlah langganan masing-masing

79

merek, kemudian dicatat dan dinyatakan sebagai data jumlah langganan pada  periode pertama. Berdasarkan pemikian bahwa langganan dapat mengubah  pilihannya dari satu merek ke merek lainnya (misalnya karena promosi khusus,  persaingan harga, dan lain-lain), maka pada akhir periode dilakukan penelitian ulang seperti pada tabel berikut ini:

Merek

A B C D Total

Perubahan selama perio

Jumlah langganan  periode pertam

Pindah ke A 50 60 25 40 175

220 300 230 250 1.000

Pindah dari A 45 70 25 35 175

Jumlah langganan  periode kedua 225 290 230 255 1.000

Tabel di atas memberikan informasi bahwa pada awal periode, jumlah langganan merek A ada 220 orang. Selama periode berlangsung, terjadi  perubahan, yaitu responden yang semula tidak memilik A beralih ke merek A sebanyak 50 orang. Yang dari semula memilih A berubah menjadi langganan merek lain sebanyak 45 orang. Dengan demikian, pada akhir periode atau awal  periode kedua, jumlah langganan A sebanyak 225 orang (220 + 50  –   45). Begitu  juga untuk merek-merek yang lainnya. Sayang sekali bahwa data di atas tidak menjelaskan tentang dari merek mana saja ke-50 langganan baru yang pindah ke A itu, dan pindah ke merek mana saja ke-45 langganan yang meninggalkan A itu. Jika kemudian penelitian dilanjutkan dan diperoleh data rinci mengenai  perubahan langganan untuk masing-masing merek, seperti pada tabel berikut ini: Jumlah langganan  periode  pertama

A

B

C

D

A

B

C

D

Jumlah langanan  periode kedua

A B C D

220 300 230 250

0 20 10 15

40 0 5 25

0 25 0 0

10 15 10 0

0 40 0 10

20 0 25 15

10 5 0 10

15 25 0 0

225 290 230 155

Total

1.000

merek

Tambahan dari merek

Pengurangan ke merek

1.000

80

Maka jumlah langganan yang pada periode pertama memilih A dan pada periode kedua masih tetap memilih A (bukan langganan baru) adalah sebanyak (220  –  20  –  10  –   15) = 175 orang. Probabilitas bahwa langganan A pada periode pertama tetap menjadi langganan A, pada periode kedua adalah sebesar 175/220 = 0,796. Probabilitas bahwa langganan A pada periode pertama berubah menjadi langganan B pada periode kedua adalah sebesar 20/220 = 0,091. Apabila perhitungan di atas dilanjutkan, akan diperoleh matriks  probabilitas transisi sebagai berikut:

PERIODE KEDUA A

B

A

175/220 = 0.796

B

40/300 = 0.133

C

0/230 = 0

D

10/250 = 0.040

C

D

20/220 = 0.091 10/220 = 0.046 15/220 = 0.067 230/300 = 0.767

5/300 = 0.017 25/300 = 0.083

25/230 = 0.109 205/230 = 0.891 15/250 = 0.060

0/230 = 0

10/250 = 0.040 215/250= 0.860

atau dengan singkat di tuliskan sebagai berikut:  p =

0.796 0.133 0 0.040

0.091 0.767 0.109 0.060

Perhatikan bahwa:

0.046 0.067 0.017 0.083 0.891 0 0.040 0.860

n



 aij = 1

 j=1 7.4. Model Program Dinamis dengan Stage Terbatas Misalkan, si pengambil keputusan dari persoalan perbaikan mesin di atas merencanakan untuk menghentikan pengoperasian mesin itu dalam N bulan. Maka persoalannya adalah menentukan tindakan optimum (overhaul   atau tidak) untuk masing-masing bulan selama waktu perencanaan.

81

Tentukan k = 1 dan k = 2 sebagai dua alternatif tindakan yang dapat dilakukan oleh si pengambil keputusan itu. Alternatif tindakan itu adalah sebagai  berikut:

1

P = I I pij I I =

2

2

P  = I I pij I I =

0.2 0 0

0.5 0.5 0

0.3 0.5 1

7 R  = I I rij I I= 0 0

6 5 0

3 1 -1

0.3 0.1 0.05

0.6 0.6 0.4

0.1 0.3 0.55

2

6 7 6

5 4 3

-1 0 -2

1

2

R  = I I rij I I=

Persoalan di atas dapat dinyatakan sebagai model program dinamis dengan  stage terbatas sebagai berikut: Untuk memenuhi sifat umumnya, misalkan jumlah  state  pada masingmasing stage (bulan) adalah m (pada contoh di atas m = 3).

Maka pada contoh soal perbaikan mesin di atas, untuk k = 1 (tidak dilakukan overhaul ) diperoleh: v1 v2 v3

= = =

0.2 x 7 + 0.5 x 6 + 0.3 x 3 = 5.3 0 x 0 + 0.5 x 5 + 0.5 x 3 = 3 0 x 0 + 0x 0 + 1 x (-1) = -1

atau selengkapnya (k = 1 dan k = 2) diperoleh: i

vi1

1 2 3

5,3 3 -1

vi2 4,7 3,1 0,4

Dengan demikian, penyelesaian persoalan di atas adalah sebagai berikut: Stage 3

i 1 2 3

Vik K=1 K=2 5.3 4.7 3 3.1 -1 0.4

Solusi optimum f 3 (i) 5.3 3.1 0.4

K * 1 2 2

82

Stage 1 vik  + Pi1k  f 2 (1) + Pi2k  f 2 (2) + Pi3k  f 2 (3) k=1 k=2

i

Solusi opt f 1 (i) k *

1

5,3 + 0.2x8.19 + 0.5x5.61 + 0.3x2.13 = 10.38

4.7 + 0.3x8.19 + 0.6x5.61 + 0.1x2.13 = 10.74

10.74

2

2

3 + 0x8.19 + 0.5x5.61 + 0.5x2.13 = 6.87

3.1 + 0.1x8.19 + 0.6x5.61 + 0.3x2.13 = 7.92

7.92

2

3

-1 + 0x8.19 + 0x5.61 + 1x2.13 = 1.13

0.4 + 0.05x8.19 + 0.4x5.61 + 0.55x2.13 = 4.23

4.23

2

Stage 2

i

vik  + pi1k  f 3 (1) + pi2k  f 3 (2) = pi3k  f 3 (3) k=1

k=2

Solusi opt. f 2 (i)

k *

1

5.3 + 0.2x5.3 + 0.5x3.1 + 0.3x0.4 = 8.03

4.7 + 0.3x5.3 + 0.6x3.1 + 0.1x0.4 = 8.19

8.19

2

2

3 + 0x5.3 + 0.5x3.1 + 0.5x0.4 = 4.75

3.1 + 0.1x5.3 + 0.6x3.1 + 0.3x0.4 =5.61

5.61

2

3

-1 + 0x5.3 + 0x3.1 + 1x0.4 = -0.6

0.4 + 0.05x5.3 + 0.4x3.1 + 0.55x0.4 = 2.13

2.13

2

Solusi optimum di atas menunjukkan bahwa untuk bulan 1 dan 2 harus dilakukan overhaul (k * = 2) tanpa harus memperhatikan state dari sistem (kondisi mesin). Pada bulan ke-3, overhaul harus dilakukan hanya apabila sistem berada  pada state 2 atau 3 (kondisi mesin cukup atau rusak). Ekspektasi pendapatan total untuk ketiga bulan itu adalah f 1  (1) = 10.74 jika  state dari sistem pada bulan-1  baik, f 1 (2) = 7.92 jika cukup, dan f 1 (3) = 4,23 jika rusak.

7. 5. Model dengan Stage tidak Terbatas

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan dengan  stage yang tidak terbatas ini salah satunya adalah metode enumerasi sempurna

83

yang mengenumerasi seluruh  stationary policy, hingga diperoleh solusi optimumnya. Metode ini hanya dapat digunakan apabila jumlah total  stationary  policy-nya tidak terlalu besar sehingga masih dapat dihitung. Misalkan suatu persoalan keputusan mempunyai sejumlah S  stationary  policy, dan asumsikan bahwa P dan R adalah matriks transisi (satu langkah) dan matriks pendapatan yang berkaitan dengan  policy ke-k, s = 1, 2, ..., S. Maka langkah-langkah enumerasinya adalah sebagai berikut: Langkah 1: Hitung harga vi S, yaitu ekspektasi pendapatan satu langkah (satu periode) dari policy s, pada state i, i = 1, 2, ..... m

Langkah 2: Hitung is, yaitu probabilitas  stationary  jangka panjang, dari matriks transisi Ps yang berkaitan dengan policy s. Probabilitas ini, jika ada, hitung dengan  persamaan: s Ps = s 1s + 2s + ... + ms = 1 dimana:

s = (1s, 2s, ..., ms)

Langkah 3: Tentukan Es, yaitu ekspektasi pendapatan dari  policy s untuk setiap langkah transisi (periode) dengan menggunakan persamaan: m s

E =



is vis

i=1 Langkah 4:  Policy optimum s ditentukan dengan : Es = maks ( E s ) s Contoh: Pada persoalan perbaikan mesin ada 8 stationary policy sebagai berikut:

84

Stationary policy s 1 2 3 4 5 6 7 8 maka diperoleh:

Tindakan Tidak melakukan overhaul sama sekali Overhaul tanpa memperhatikan state Overhaul jika sistem dalam state 1 Overhaul jika sistem dalam state 2 Overhaul jika sistem dalam state 3 Overhaul jika sistem dalam state 1 atau 2 Overhaul jika sistem dalam state 1 atau 3 Overhaul jika sistem dalam state 2 atau 3

1

0.2 0 0

0.5 0.5 0

0.3 0.5 1

7 , R  = 0 0

6 5 0

3 1 -1

2

0.3 0.1 0.05

0.6 0.6 0.4

0.1 0.3 0.55

6 , R  = 7 6

5 4 3

-1 0 -2

3

P =

0.3 0 0

0.6 0.5 0

0.1 0.5 1

3

6 0 0

5 5 0

-1 1 -1

4

0.2 0.1 0

0.5 0.6 0

0.3 0.3 1

4

7 7 0

6 4 0

0.3 0 -1

0.2

0.5

0.3

7

6

3

0 00.5

0.5 0.4

0.5 , R 5 = 0.55

0 6

5 3

1 -2

6

0.3 0.1 0

0.6 0.6 0

0.1 0.3 1

, R  =

6 7 0

5 4 0

-1 0 -1

7

P =

0.3 0 0.05

0.6 0.5 0.4

0.1 0.5 , R 7 = 0.55

6 0 6

5 5 3

-1 1 -2

8

0.2 0.1 0.05

0.5 0.6 0.4

0.3 0.3 , R 8 = 0.55

7 7 6

6 4 3

3 0 -2

P =

P =

P =

P5 =

P =

P =

1

2

, R  =

, R  =

6

85

 Nilai vik -nya dihitung sebagai berikut: Vis

s

1 5.3 4.7 4.7 5.3 5.3 4.7 4.7 5.3

1 2 3 4 5 6 7 8 Perhitungan

probabilitas  stationary-nya

2 3 3.1 3 3.1 3 3.1 3 3.1 diperoleh

3 -1 0.4 -1 -1 0.4 -1 0.4 0.4 dengan

menggunakan

 persamaan: s Ps = s 1 + 2 + ... + m = 1 Sebagai ilustrasi, jika s = 2, maka diperoleh: 0.3 1 + 0.1 2 + 0.05 3 = 1 0.6 1 + 0.6 2 + 0.4 3 = 2 0.1 1 + 0.3 2 + 0.55 3 = 3 1 + 2 + 3 = 1 Sehingga didapat: 12 = 6/59, 22 = 31/59, 32 = 22/59 Dalam hal ini, maka ekspektasi pendapatan per bulannya adalah: 3 E2 =



i2 vi2

i=1 = 1/59 (6 x 4.7 + 31 x 3.1 + 22 x 0.4) = 2.256 Tabel berikut ini adalah hasil perhitungan k   dan Ek   untuk seluruh  stationary  policy. s 1 2 3 4 5

is 0 6/59 0 0 5/154

2s 0 31/59 0 0 69/154

3s 1 22/59 1 1 80/154

Es -1 2.256 0.4 -1 1.724

86

6 7 8

0 5/137 12/135

0 62/137 69/135

1 70/137 54/135

-1 1.734 2.216

Dari tabel di atas jelas bahwa  policy 2 menghasilkan ekspektuasi  pendapatan  bulanan yang paling besar. Akibatnya,  policy  jangka panjang yang optimum adalah melakukan overhaul tanpa memperhatikan state dari sistem.

VII.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk materi proses keputusan Markov adalah sebagai berikut: 1. Buat ringkasan tentang model rantai markov serta sebutkan referensi yang digunakan, nama buku, pengarang, edisi, penerbit, tahun, tempayt terbit dan halaman ( dari sampai ) 2. Apa yang dimaksud dengan proses keputusan Markov? 3. Saat ini PT. Astra sedang mempertimbangkan kemungkinan dilakukannya advertensi  besar-besaran untuk jenis mobil Kijang Innova. Perusahaan ini menentapkan bahwa hasil penjualan saat ini dapat dikategorikan sebagai keberhasilan (state 1) atau gagal (state 2). - Jika dilakukan advertensi : probabilitas bulan ini berhasil dan bulan berikutnya gagal adalah 0,1, sedangkan bila bulan ini gagal dan bulan berikutnya juga gagal  probabilitasnya adalah 0,4. Matriks labanya dapat dilihat pada R1. - Jika advertensi tidak dilakukan: probabilitas bulan ini berhasil dan bulan  berikutnya juga berhasil adalah 0,7, sedangkan bila bulan ini gagal maka bulan  berikutnya juga gagal probabilitasnya adalah 0,8. Matriks labanya dapat dilihat  pada R2. R1 = 2 -1 1 -3

R2=

4 1 2 -1

Bagaimanakah Policy optimum dari persoalan tersebut?

Catatan : Kerjakan pada kertas double folio bergaris, tulis tangan, kumpulkan yg asli, setiap anggota harus ada foto copy. Buat power point presentasi dengan mpp untuk semua tugas, setiap kelompok wajib presentasi.

87

PERKULIAHAN KE 14 DAN 15: SESI/PERKULIAHAN KE: 14 DAN 15 TIK

: Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menjelaskan pengertian dan ide dasar Teori antrian. 2. Mengetahui penyelesaian persoalan penelitian operasional dengan menggunakan Teori antrian. : Teori Antrian

Pokok Bahasan Deskripsi singkat : Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari persoalan keputusan dengan menggunakan Sistem Antrian termasuk didalamnya Proses Birth dan Death, Proses Kelahiran Murni, Proses kematian Murni, Solusi Steady State, Model Single Server (S = 1), Model Multiple Server (S>1), Model dengan state di mana tingkat pelayanan dan atau tingkat kedatangan bersifat dependen, Model Disiplin prioritas dan Model Swalayan (Selfservivise Model) serta bagaimana cara menyelesaikan persoalan keputusan dengan menggunakan teori antrian tersebut. I. Bahan Bacaan: 1. Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad “ Operations Research”, PT. Sinar Baru Algensindo Bandung, 1999. 2. Don T.Philips, et.al., “ Operation Research: Principle and Practice ”, 2 nd edition, John Wiley and Sons, 1987. II. Bahan Tambahan: 1. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 2. Hillier and Lieberman, “ Introduction to Mathematical Programming”, 1st  edition, McGraw-Hill, 1991. 3. Taha, Hamdy, “Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985. 4. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd  edition, Duxbury Press, 1994. 5. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice hall Inc, 1969. III. Pertanyaan Kunci/Tugas: Ketika anda membaca bahan bacaan berikut, gunakanlah  pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan teori antrian dalam penelitian operasional? 2. Cari contoh persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan teori antrian. IV. Tugas: 1. Apa yang dimaksud dengan teori antrian? 2. Pada Swalayan Semerbak dimana langganan datang dengan mengikuti distribusi poisson, dengan rata-rata Tiga orang/jam.Berapakah probabilitas bahwa pada swalayan tersebut akan ada paling sedikit seorang langganan dalam periode 1 jam?

88

VIII.1. PENDAHULUAN

Dalam perkuliahan mengenai teori antrian ini akan dibahas mengenai  pengantar sistem antrian termasuk didalamnya Proses Birth dan Death, Proses Kelahiran Murni, Proses kematian Murni, Solusi Steady State, Model Single Server (S = 1), Model Multiple Server (S>1), Model dengan state di mana tingkat  pelayanan atau tingkat kedatangan bersifat dependen, Model Disiplin prioritas dan Model Swalayan (Self-servivise Model) serta bagaimana cara menyelesaikan  persoalan keputusan dengan menggunakan teori antrian tersebut. Materi yang disampaikan sangat berkaitan antara satu dengan yang lainnya, hal ini berguna dalam menghasilkan keputusan yang optimal dalam menyelesaikan persoalan keputusan suatu perusahaan.

VIII.2. PENYAJIAN TEORI ANTRIAN 8.1. Pengantar Teori antrian

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrianantrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu fenomena biasa yang terjadi apabila kebutuhan akan suatu  pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan tersebut. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan  pelayanan itu.

8.2. Contoh Sistem Antrian 8.2.1. Proses Birth dan Death

89

Kebanyakan model dasar antrian menganggap bahwa input (unit kedatangan) dan output (leaving unit ) dari sistem antrian terjadi menurut proses birth-death  (kelahiran-kematian). Kelahiran adalah kedatangan calling unit   yang  baru dalam sistem antrian, sedangkan kematian adalah keberangkatan unit yang telah dilayani. Jelasnya adalah : 1.  Birth postulate Sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan bahwa tepat ada satu kelahiran selama interval waktu t sampai dengan (t + ∆t ) adalah [λn ∆t + 0 (∆t)], di mana λn positif konstan. 2.  Death postulate Sistem pada state En (n= 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan bahwa tepat ada satu kematian selama interval waktu t sampai dnegan (t + ∆t) adalah μn ∆t + 0 (∆t), dimana μ0 = 0 dan μn positif konstan untuk n > 0. 3.  Multiple jump postulate Sistem pada state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t, kemungkinan bahwa  jumlah kombinasi kelahiran dan kematian lebih dari satu selama interval waktu ( t s/d (t + ∆t) adalah 0 (∆t).

Keterangan: 0 (∆t) adalah fungsi dari ∆t yang karena ∆t <<<< (kecil sekali, mendekati nol), maka fungsi tersebut akan memenuhi persamaan: lim

0(t ) t 



0

Selama interval waktu t s/d (t + ∆t) harus terjadi salah satu dari kejadian mutually exclusive berikut : 1. Tepat ada 1 kelahiran tanpa kematian 2. Tepat ada 1 kematian tanpa kelahiran 3. Jumlah kelahiran dan kematian lebih besar dari 1 4. Tidak ada kelahiran atau kematian Jumlah kemungkinan event (kejadian) tersebut adalah 1 sehingga kemungkinan terjadinya event (4) adalah:

90

P (4) = 1 –  [P(3) + P(2) + P(1)]

Kesimpulan :

Sistem dengan state En (n = 0, 1, 2, …) pada saat t kemungkinan bahwa tidak terjadi kelahiran dan tidak terjadi kematian pada interval waktu t s/d (t + ∆t) adalah: [1 – (λn∆t) – (μn ∆t) + 0 (∆t)]

8.2.2. Proses Kelahiran Murni

Pada kasus ini kelahiran terjadi dengan proses poisson dengan parameter λ  untuk seluruh n (n = 1, 2, …). Model ini dikenal sebagai “input Poisson”. Po (t) = e-λ t menunjukkan bahwa kemungkinan tidak terjadi kelahiran selama interval waktu dari 0 s/d t adalah

e-λ t . jadi, kemungkinan bahwa kelahiran

 pertama akan terjadi pada interval waktu ini adalah [1 –  e= e-λ t] Jika variabel random T adalah waktu dari kelahiran pertama, maka fungsi distribusi kumulatif dari T adalah: F(t) = P [T ≤ t] = 1 - e= e-λ t

untuk t ≥ 0

Karena itu Pdf dari T adalah:  f  (t )

dF (t ) 

dt 

 e



 t 

untuk t ≥ 0

Jadi, T mempunyai distribusi eksponensial. Dengan kata lain, distribusi kemungkinan dari waktu antara 2 kelahiran adalah distribusi eksponensial dengan  parameter λ . Ekspektasi waktu antar kedatangan (kelahiran) ini adalah:  E (T )

    t  e  t  dt  = 1/

8.2.3. Proses kematian Murni

Asumsikan bahwa n = 0 untuk n = 0, 1, 2, …….. dan bahwa n =  untuk

91

n = 1, 2, 3, … Asumsikan juga bahwa sistem dalam state Em pada saat t = 0.  proses ini ekuivalen dengan proses kelahiran murni, kecuali bahwa proses -proses ini bergerak dalam arah yang berlawanan (line length/panjang garisnya), dan  proses berhenti setelah M event. Karena itu, hasilnya pun analog.  Dpn (t ) dt   Dp M  (t ) dt 

   Pn  1(t )    Pn(t )





 PM (t )  

untuk n = 0, 1, 2, …, M-1

untuk n



 M

Ingat bahwa (M-n) adalah jumlah event kematian yang telah terjadi dalam proses. Dengan cara yang sama seperti pada proses kelahiran murni, kita peroleh  probabilitas bahwa tidak ada event terjadi pada t adalah : Pm (t) = e-t

Probabilitas bahwa (M-n) event telah terjadi, di mana (M-n) < M, adalah :

 t   M 

 M  n

 Pn(t )







e

n

 t 

!

untuk n = 1, 2, …m M

Sehingga kemungkinan bahwa M event telah terjadi adalah : m

 Po(t )

 1    Pn(t ) n 1

8.2.4 Solusi Steady State

Solusi steady state untuk Pn ini bisa didapat dengan 2 pendekatan, yaitu : 1. Dengan menyelesaikan Pn(t) dalam kasus transien dengan t



2. Dengan menetapkan dP n (t ) dt 



0

Karena solusi transien ini tidak dapat digunakan untuk proses kelahiran-kematian, maka kita akan menggunakan pendekatan kedua. Asumsikan bahwa: Lim Pn (t) = Pn Sehingga

 dP n (t )  0 dt   

lim 

92

Untuk t



 maka persamaan (1) dan (2) menjadi :

0 = n-1 Pn-1 + n + 1 Pn + 1 –  (n + n) Pn

Jika n > 0

0 = 1 P1 - 0 P0

Jika n = 0

untuk n = 0, maka didapat:  P 1

 o 

 Po

 1

Untuk n > 0 didapat:

 n

 Pn  1 

 n  1

 Pn 

 nPn   n  1 Pn  1  n  1

Untuk sementara hanya kita perlihatkan ruas kanan yang kedua. Jika n > 1 maka:

  n  1

 nPn   n  1 Pn  1   n

  n



 n



1 Pn

 Pn  1 



1



 n

 n  1 Pn  1   n  2 Pn  2 



 n 2 Pn



   n  1Pn  1 

2

Ulangi perhitungan ini dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga akhirnya didapat: n Pn - n-1 Pn-1 = 1 P1 - o Po Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai : n 1 

 

 Pn

i 0 



n

untuk n = 1, 2, ….

 Po

 

i 1 

8.2.6. Model Single Server (S = 1) a. Input Poisson dan waktu pelayanan eksponensial

Model ini adalah kasus khusus dari proses kelahiran-kematian yang mengkombinasikan proses kelahiran murni dengan proses kematian murni. Jadi λ n = λ untuk n = 0, 1, 2, … dan μ n = μ untuk n = 1, 2, …. Untuk n > 0 n

1



   i

 Pn



 Po

i



0

n



 Po(  /  )

n

 1 i

1



93

Karena ρ = λ /μ, maka : Pn = (1 – ρ) ρn

untuk n = 0, 1, 2, …

Dengan demikian, maka : 



n

   n(1    )    (1    )    n0

d 

n0

 (1    )  

d  d   

d   



(    n )  (1    )   n 0

 L

(  n ) d 

1 ( ) d    1      



1



 

  



    

Dengan cara yang sama : 

 Lq   (n  1) Pn n 1

= L –  1 ( 1 –  Po)  Lq

 2 

 (    ) 

Masih dengan asumsi λ  < μ, kita akan menurunkan distribusi kemungkinan untuk waktu menunggu. Ini adalah distribusi eksponensial dengan parameter μ (1-ρ). Karena itu: W 



 E (T )

1 

 (1   ) 

1 

    

Tetapi, jika dalam sistem itu telah ada n = 0 langganan, maka ia harus menunggu selama n waktu pelayanan eksponensial, hingga ia mulai dilayani, sehingga: 

 P (T 

 t )    PnP (T   t  En) n 1



=  (1    )  n P (T   t  En) n 1 

      PnP (T   t ) n 0



   P (T   t )

94

=

  e

  (1  ) t 

untuk t ≥ 0

Dengan demikian maka: Wq



 E (T )

  

 (    ) 

b. Input Poisson dan waktu pelayanan sembarang

Asumsi: waktu pelayanan rata-rata 1/μ dengan varians

  

2

.

Maka jika ρ = λ /μ < 1, di dapat: Po Lq

= 1    =

 2  2



  2

2(1    ) L = ρ + Lq  Lq Wq =   W = Wq + 1/μ 8.2.7. Model Multiple Server (S>1), Model dengan state di mana tingkat pelayanan dan atau tingkat kedatangan bersifat dependen

Pada

model

single

server,tingkat

pelayanan

“normal”,yaitu yang tanpa tekanan,dengan n

c

rata-rata

untuk

dimana n adalah jumlah

langganan dalam sistem dan c adalah Koefisien tekanan” .jika seluruh  pelayanan (sejumlah S) sedang sibuk sehingga bekerja dengan tekanan,maka tingkat pelayanan rata-rata harus dikalikan dengan (n/S)

c

Karena n/S

merupakan jumlah langganan dalam sistem per pelayanan.Degan demikian maka:

 nμ1 μn  c n/S  SμΙ

 jika n  S  jika n  S

Jika kemudian diasumsikan bahwa sistem antrian mempunyai input  poisson dengan n = (untuk n =0, 1, 2,…) dan waktu pela yanan ekponensial dengan n seperti diatas,maka modelnya akan menjadi menjadi kasus kusus yang lain dari proses kelahiran-kematian.Hasil seady state -nya adalah:

95

Pn

n           1     Po   n! n   λ/μ1  c   1 c  n s    S!n! /S S

 jika n  S  jika n  S Po

Karena itu,maka:

 n  S  Pn   Po 00

Lq =

 s S  S !

  oo

c

1

n  s

n  s

1 c

n

n!

c

   s    =  nP n   Lq  S 1   P n  n o   n    s 1

L

w 1S  

1

0

Wq =

 Lq  

;

W=

 L

 

Model ini juga dapat digeneralisasi untuk memungkinkan tingkat kedatangan rata-rata “ melakukan reaksi” terhadap panjang garis antrian dengan cara yang sama dengan pada model single server. Untuk itu tetapkan:

n 1  n   a n / S  S  1

 jika n  S

 1  n   b S  / n  1  1

 jika n  S - 1

 jika n  S

 jika n  S - 1

 proses kelahiran-kematian dengan parameter –   parameter ini menghasilkan Pn, Lq, dan L yang sama dengan di atas jika c = a + b. 8.2.8. Model Disiplin pioritas

Model-model disiplin prioritas adalah model-model antrian yang disiplin  pelayanannya didasarkan atas suatu sistem prioritas. Dalam kenyataan seharihari,banyak sekali situasi yang memenuhi model seperti ini,misalnya pekerjaan pekerjaan yang singkat /cepat dikerjakan setelah pekerjaan-pekerjaan lainnya, langganan-langganan penting didahulukan dari pada yang lainnya,dan lain-lain.

96

Karena itu,pengunaan model-model disiplin prioritas ini sering lebih dapat diterima dari pada kebanyakan model antrian yang biasa. Sayang sekali,untuk model-model ini analisis matematisnya rumit sekali dan hasilnya pun hanya dapat digunakan secara terbatas,yaitu hampir seluruhnya untuk kasus-kasus  single server . Namun, hasil-hasil yang dapat digunakan ini  berguna pula untuk satu model multiple-server . Model ini mengasumsikan bahwa ada sejumlah N kelas prioritas terendah dan anggota anggata kelas prioritas yang tertinggi yang ada dalam antrian akan dipilih berdasarkan FCFS. pelayanan tidak dapat didahulukan, artinya unit-unit yang sedang dilayani tidak dapat dikembalikan kedalam antrian, bila unit dari prioritas yang lebih tinggi memasuki sistem antrian. Dalam hal ini,untuk masing-masing kelas prioritas diasumsikan mengikuti proses input poisson dan waktu pelayanan rata-ratanya sama untuk seluruh kelas prioritas, tetapi tingkat kedatangan rata-ratanya boleh berbeda antara kelas prioritas yang satu dengan yang lainnya. Dengan mengunakan asumsi-asumsi ini,maka ekpektasi waktu menunggu dalam keadaan  steady state  (termasuk waktu pelayanan) untuk seorang anggota dari kelas prioritas ke-k adalah: Wk =

1

 A. Bk 1 Bk 

1 

 

Di mana:

 S        s   p  S   , A = S!    s  j !  P       j  1

 j

Bo =

1

0

k 

  i Bk = 1-

i 1

S  

Dimana: S = jumlah pelayanan    = tingkat pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk   i = tingkat kedatangan rata-rata untuk kelas prioritas ke-I untuk I =1, 2, ….,N  N 

   =

  i i 1

    =   /  

97

k 

Hasil-hasil ini mengasumsikan bahwa

  i

 

sehingga kelas prioritas ke-k

i 1

dapat mencapai kondisi seady state. Dalam kondisi seady state.ekspektasi jumlah anggota dari kelas prioritas ke-k dalam sistem antrian (termasuk yang sedang dilayani)adalah: Lk =k . Wk , untuk k = 1, 2,…, N

Untuk menentukan ekpektasi waktu menunggu diluar pelayanan untuk kelas  prioritas ke-k, maka kurangilah

Wk dengan 1/, sehingga ekpektasi panjang

antriannya di peroleh dengan cara mengalihkan ekpektasi waktu menunggu tersebut dengan k. Untuk kasus khusus dimana S= 1, maka ekspektasi dari A menjadi : A=   Pada kasus dimana pelayanan bersifat dapat didahulukan, langganan dari  prioritas yang paling rendah yang sedang dilayani akan dikembalikan ke dalam antrian jika langganan dari prioritas yang lebih tinggi memasuki sistem antrian. karena itu,seorang pelayan akan leluasa untuk segera melayani pendatang baru tersebut. Dengan tetap menggunakan asumsi-asumsi seperti model-model di atas, maka jika S= 1, didapat: Wk 

1 /  

untuk k = 1, 2,..., N



 Bk  1 Bk  

Lk = k Wk

untuk k = 1, 2, …, N

Ekpektasi panjang antrian di luar pelayanan,diperoleh dengan cara yang sama seperti model di mana pelayanan tidak dapat di dahulukan.

8.2.8. Model Swalayan (Self-servivise Model)

Pada model ini jumlah pelayan menjadi tidak terbatas karena setiap langganan melayani dirinya sendiri.kerena itu,sebenarnya model ini merupakan  pengembangan dari diatas,dengan jumlah pelayanan = ~ . Dari dibawah ini kita tahu bahwa:  P n

  /  n 

n!

po

98

~

karena

 Pn  1, maka : no

 Po

1 

1

 /   

1

 /   2!

2

2!

  ...

e

  /  



e



  /  

sehingga akhirnya dapat:

  pn

e 



  /  

  /  

n

n!

n = 0, 1, 2,…

yang berdistribusi poisson dengan rata-rata E.(n) = λ /μ Di samping itu didapat pula: L = E(n) = λ/μ W = 1/μ Lq = Wq = 0

VIII.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab dan diskusi baik antar mahasiswa dan dosen, dan juga mahasiswa antar mahasiswa. Untuk itu diberikan  juga tugas sebagai bahan latihan mahasiswa di luar jam perkuliahan.

Tugas/latihan untuk materi Teori permainan sebagai berikut: 1. Apa yang dimaksud dengan teori antrian ? 2. Pada Swalayan Semerbak dimana langganan datang dengan mengikuti distribusi  poisson, dengan rata-rata Tiga orang/jam.Berapakah probabilitas bahwa pada swalayan tersebut akan ada paling sedikit seorang langganan dalam periode 1 jam? 3.

Di sebuah gedung pertunjukan hanya terdapat satu loket penjualan tiket. Penonton yang datang untuk membeli tiket mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata 30 orang perjam.Waktu yang diperlukan untuk melayani seorang pembeli berdistribusi ekponensial adalah dengan rata – rata 90 detik. Hitunglah: a.  probabilitas ada 5 orang pembeli didepan loket  b. ekspektasi panjang antrian tidak termasuk yang sedang dilayani?

99

c.

Ekpektasi panjang antrian tidak termasuk yang sedang dilayani?

d. Ekpektasi waktu menungu dalam sistem(termasukwaktu pelayanan)? e.

Ekpektasi waktu menungu dalam antrian (tidak termasukwaktu pelayanan)?

f.

Probabilitas bahwa seorang pembeli tiket harus menunggu sedikitnya 8 menit sejak ia datang didepang loket hingga selesai mendapatkan tiket?

PERKULIAHAN KE 16: Ujian SEMESTER 

SESI/PERKULIAHAN KE: 16 IK

: Pada perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan  persoalan-persoalan berkaitan dengan materi yang telah diberikan  pada perkuliahan sebelumnya.

okok Bahasan :

Materi yang termasuk dalam

ujian  semester adalah: Teori

Permainan, Proses Keputusan Markov dan Teori Antrian. eskripsi singkat :

Dalam pertemuan ini mahasiswa akan mengerjakan dan menyelesaikan persoalan-persoalan penelitian operasional II sesuai dengan materi yang telah diberikan pada perkuliahan sebelumnya. Sifat ujian semester adalah open book. Setiap mahasiswa dapat menyelesaikan dan mencari jawaban tiap persoalan pada buku maupun bahan-bahan pembelajaran yang dimilikinya. . Bahan Bacaan:

1. Dimyanti,Tjutju Tarliah, Ahmad “ Operations Research ”, PT. Sinar Baru Algensindo Bandung, 1999. 2. Don T.Philips, et.al., “Operation Research: Principle and Practice”, 2 nd edition, John Wiley and Sons, 1987. 3. Hillier and Lieberman, “Introduction to Mathematical Programming”, 1st edition, McGraw-Hill, 1991. 4. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 5. Taha, Hamdy, “Operation Research : An Introduction”,   Newyork : The MacMillan Co, 1985. 6. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research”, Englewood Cliffs, N.J : Prenntice-hall Inc, 1969. 7. Wayne L.Winston, “Operation Research: Application and Algorithms”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994. I. Pertanyaan Kunci/Tugas: Sebelum ujian semester, mahasiswa diberikan kesempatan untuk bertanya berkaitan dengan persoalan yang diberikan.

100

II. Tugas Tidak ada pemberian tugas setelah ujian semester, hal ini dikarenakan ujian tersebut merupakan tabulasi dan evaluasi nilai mahasiswa terhadap perkuliahan  penelitian operasional II, setelah menjalani perkuliahan selama 7 (tujuh) kali  pertemuan terhitung dari selesainya perkuliahan mid  semester.

IX.1. PENDAHULUAN

Dalam

perkuliahan

ini

mahasiswa

akan

mengerjakan

dan

menyelesaikan persoalan-persoalan penelitian operasional sesuai dengan materi yang telah diberikan pada perkuliahan sebelumnya. Sifat ujian semester adalah open book. Setiap mahasiswa dapat menyelesaikan dan mencari

jawaban

tiap

persoalan

pada

buku

maupun

bahan-bahan

 pembelajaran yang dimilikinya.

IX.2. PENYAJIAN

Pada perkuliahan ini akan diberikan persoalan yang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari pada perkuliahan sebelumnya. Persoalan yang diberikan antara lain: 1. Apa yang dimaksud dengan teori permainan? 2. Saat

ini

PT.

Astra

sedang

mempertimbangkan

kemungkinan

dilakukannya advertensi besar-besaran untuk jenis mobil Kijang Innova. Perusahaan ini menentapkan bahwa hasil penjualan saat ini dapat dikategorikan sebagai keberhasilan (state 1) atau gagal (state 2). - Jika dilakukan advertensi : probabilitas bulan ini berhasil dan bulan  berikutnya gagal adalah 0,1, sedangkan bila bulan ini gagal dan bulan  berikutnya juga gagal probabilitasnya adalah 0,4. Matriks labanya dapat dilihat pada R1. - Jika advertensi tidak dilakukan: probabilitas bulan ini berhasil dan  bulan berikutnya juga berhasil adalah 0,7, sedangkan bila bulan ini

101

gagal maka bulan berikutnya juga gagal probabilitasnya adalah 0,8. Matriks labanya dapat dilihat pada R2. R1 = 2 -1

R2=

1 -3

4

1

2 -1

Bagaimanakah Policy optimum dari persoalan tersebut?

3. Sebuah perusahaan menerima 3 jenis pekerjaan, yaitu jenis 1, 2, dan 3. Pekerjaan jenis 1 harus diproses paling dulu, kemudian pekerjaan jenis 2 harus diproses sebelum pekerjaan jenis 3. Walaupun demikian, jika suatu jenis pekerjaan telah mulai diproses, maka pekerjaan itu harus diselesaikan sebelum pekerjaan baru diproses. Kedatangan ketiga jenis  pekerjaan ini berdistribusi Poisson dengan rata-rata 4, 3, dan 1 per hari. Penyelesaian

masing-masing

jenis

pekerjaan

itu

berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata yang sama, yaitu 24/hari Berapakah: a. ekspektasi waktu menunggu (termasuk waktu penyelesaian) dari masing- masing jenis pekerjaan?  b.ekspektasi jumlah pekerjaan (termasuk yang sedang diproses) dari masing-masing jenis pekerjaan?

Persoalan yang diberikan tidak harus sesuai pada persoalan tersebut di atas saja, tetapi dapat juga ditambah dan diganti dengan persoalan lainnya sesuai dengan kebutuhan, ketepatan dan keterbatasan waktu pengerjaan  persoalan, tentunya sesuai dengan materi yang telah diberikan.

IX.3. PENUTUP

Pada bagian penutup, diadakan tanya jawab mengenai persoalan persoalan yang diberikan. Tidak ada pemberian tugas setelah ujian semester, hal ini dikarenakan ujian tersebut merupakan tabulasi dan evaluasi nilai mahasiswa terhadap perkuliahan Penelitian Operasional II, setelah menjalani perkuliahan selama 7 (tujuh) kali pertemuan terhitung dari selesainya ujian mid   semester.

102

DAFTAR PUSTAKA Dalam penyusunan Bahan ajar ini berpedoman pada beberapa buku  pegangan yang menjadi referensi, adapun referensi tersebut adalah sebagai  berikut:

Referensi: 1. Dimyati,Tjutju Tarliah, Ahmad “ Operations Research ”, PT. Sinar Baru

Algensindo Bandung, 1999. 2. Don T.Philips, et.al., “ Operation Research: Principle and Practice ”, 2nd

edition, John Wiley and Sons, 1987. 3. Hillier and Lieberman, “Introduction to Mathematical Programming”,

1st edition, McGraw-Hill, 1991. 4. Hillier, Frederick and Gerald, J.Liebermam. “ Introduction to Operation

Research “, San Fransisco : Holden Day Ltd, 1977. 5. Taha, Hamdy, “ Operation Research : An Introduction”,  Newyork : The

MacMillan Co, 1985. 6. Wagner, H.M. “Principle of Operation Research ”, Englewood Cliffs,

 N.J : Prenntice-hall Inc, 1969. 7. Wayne

L.Winston,

“ Operation

Research:

Application

and

Algorithms”, 3rd edition, Duxbury Press, 1994.

103

SENARAI Aliran ( flow)

=

Didefenisikan sebagai suatu cara untuk pengiriman  benda-benda dari suatu tempat ke tempat yang lain.

Chain

=

Adalah beberapa arc  yang berurutan di dalam satu  graph atau network.

Circuit

=

Adalah suatu  path  yang mempunyai node  awal dan node  akhir yang identik, atau merupakan suatu  path yang tertutup.

Cycle

=

Adalah suatu chain  yang mempunyai node  awal dan node  akhir yang identik atau dengan kata lain, cycle adalah suatu chain yang tertutup.

 Flow argumentation  problem

=

Adalah mencari jumlah unit maksimum yang dapat ditambahkan ke dalam aliran yang telah ada di dalam suatu path.

 free float

=

Adalah jumlah waktu di mana penyelesaian suatu aktivitas dapat diukur tanpa mempengaruhi saat paling cepat dari dimulainya aktivitas yang lain atau saat  paling cepat terjadinya event lain pada network .

 Loop

=

Suatu arc  yang mempunyai node  yang sama untuk kedua ujung dan pangkalnya.

=

Didefinisikan sebagai problem untuk mencari suatu cara terbaik untuk memaksimumkan jumlah unit yang dapat dikirim dari s ke t didalam suatu network yang mempunyai arc dengan kapasitas terbatas.

 Maximum  problem

flow

104