Bahan Ajar Suku Banyak

www.briliantprivate.co.cc www.briliantprivate.co.cc

Page 1

SUKU BANYAK ( POLINOMIAL )

1. PENGERTIAN SUKU BANYAK Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat berder ajat n biasanya dituliskan secara umum sebagai berikut : n n −1 n−2 an x + an −1 x + an − 2 x + ........ + a2 x 2 + a1 x + a0 Untuk n bilangan cacah dan a0 , a1 , a2 , ......., an konstanta dan an ≠ 0 .

a1 , a2 , a3 ,......., an disebut koefisien dan a0 disebut konstanta sedangkan x disebut variabel (peubah) Penulisan suatu suku banyak biasanya terurut dari pangkat yang tertinggi ke pangkat yang lebih rendah. Contoh 1 : Pada suku banyak 2 x 5 − 4 x 3 + 7 x 2 + 6 x − 3 tentukan derajat suku banyak tersebut, koefisien x 5 , x 4 dan konstantanya ! Jawab

: ……………

2. NILAI SUKU BANYAK Untuk menentukan nilai suatu suku banyak dalam x atau sering ditulis f(x) pada suatu harga x = c ada 2 cara, yaitu : 1. cara substitusi, yaitu dengan mengganti variabel x dengan harga c atau f(c) 2. cara skema (pembagian sintetis), yaitu dengan mengoperasikan koefisien-koefisiennya dengan pola tertentu. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini ! Contoh 2 : Tentukan nilai suku banyak 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x + 1 pada x = 2 ! Jawab

: cara I (dengan substitusi)

f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x + 1 maka f (2) = 2.23 − 5.22 + 4.2 + 1 = 16 − 20 + 8 + 1 = 5 cara II (dengan skema) 2

2

-5 4

4 -2

1 4 +

2

-1

2

5

Nilai suku banyak yang dimaksud.

berarti kalikan bilangan bilangan yang di bawah dengan 2. Jika pada suatu suku banyak tidak terdapat variabel tertentu (urutan derajat variabel meloncat) maka koefisien variabel tersebut dianggap 0. Misal suku banyak 4 x 5 − 6 x 3 + x − 7 maka koefisien dari x 4 dan x 2 dianggap 0.


Page 2

LATIHAN SOAL

1.

Hitunglah nilai suku banyak berikut pada masing-masing harga x dengan cara substitusi ! a. f ( x) = 4 x 2 + 3 x + 2 untuk x = 2

b. f ( x ) = x 3 − 8 x + 3 untuk x = −3 c. f ( x) = 2 x 4 − 6 x 3 + 2 x 2 − 1 untuk x = d . f ( x) = 9 x 3 + 3 x 2 + 2 x − 5 untuk x =

1 2 2 3

e. f ( x) = x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x − 8 untuk x = −1 2. Hitunglah nilai suku banyak pada soal soal no. 1 dengan cara skema skema /pembagian sintetis! 3. Jika f ( x ) = 4 x 4 − 20 x 3 + 3 x 2 + ax + 20 untuk x = 5 nilai f(5) = 0 maka tentukan nilai a !

3. PEMBAGIAN SUKU BANYAK Untuk membagi suatu suku banyak dengan pembagi (x – c) ada 2 cara, yaitu : 1. cara pembagian biasa seperti pembagian suatu bilangan dengan bilangan lain yang lebih kecil (bagi kurung). Dalam hal ini derajat sisanya harus kur ang dari derajat pembagi. 2. cara pembagian sintetis /skema seperti yang sudah dijelaskan di atas d engan mengambil x = c dengan operasi tambah atau x = -c dengan op erasi kurang. Contoh 1 : Tentukan hasil hasil bagi dan sisa dari 3 x − 5 x + 2 x − 7 x + 1 dibagi x – 2 4

3

2

3 2 3 x + x + 4 x + 1

Jawab

hasil bagi

: cara I : x–2

3 x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 1 3 x 4 − 6 x 3 3 x + 2 x 2 x 3 − 2 x 2 2 4 x − 7 x 4 x 2 − 8 x x + 1 x − 2 3

sisa

Jadi hasil baginya : 3 x 3 + x 2 + 4 x + 1 dan sisanya 3 atau bisa ditulis : 3 x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 1 = (x – 2) ( 3 x 3 + x 2 + 4 x + 1 ) + 3 cara IIa : 2 3

-5 6

2 2

-7 8

1 2 +

3

1

4

1

3

sisa

hasil bagi


Page 3

cara IIb : -2 3

-5 -6

2 -2

-7 -8

1 -2 -

3

1

4

1

3

sisa

hasil bagi Jadi hasil baginya : 3 x 3 + x 2 + 4 x + 1 dan sisanya 3. LATIHAN SOAL

1. Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut de ngan cara pembagian bentuk biasa dan cara pembagian sintetis! a. (6 x + 8) : ( x − 3)

b. (3 x 2 − 2 x − 7) : ( x − 3) c. d .

( x − 2 x + 9) : ( x + 2) (2 x − 5 x + 3 x + 8 x + 12) : ( x + 1) 3

2

4

3

2

 1  + 6 x 2 + 4 x + 2) :  x +   3  f . ( x 3 − 125) : ( x + 5)

e.

(9 x

g .

( x

6

3

− 64) : ( x − 2)

2. Tentukan nilai a jika x 3 + ax 2 − 4 x + 3 dibagi (x – 5) mempunyai sisa 283 ! 3. Tentukan nilai a jika 4 x 4 − 20 x 3 + 3 x 2 + ax + 20 habis dibagi (x – 5) ! 4. Tentukan k jika x + kx + 4 dibagi dengan (x – 1) d an (x + 1) memberikan sisa yang y ang sama ! 2

4. TEOREMA SISA Suatu suku banyak f(x) yang dibagi di bagi oleh pembagi (x – c) dan menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa S dapat ditulis : f(x) = (x – c).H(x) + S Jika x = c maka f( c) = (c – c).H(c ) + S atau S = f(c ) Jadi jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh x – c , maka sisanya sisanya adalah f(c ). Pernyataan di atas sering dikenal dengan nama teorema sisa. Jadi untuk menentukan sisa dari pembagian f(x) oleh x – c bisa digunakan cara substitusi x oleh c atau d engan pembagian skema/sintetis.

Contoh 1 : Tentukan sisa pembagian 2 x 4 − 3 x 2 + 5 oleh x + 2 Jawab : Sisanya = f(-2) = 2(−2) 4 − 3(−2) 2 + 5 = 25


Page 4

5.

PEMBAGIAN DENGAN AX - B Jika suatu suku banyak banyak f(x) dibagi oleh ax – b dapat ditulis ditulis : f(x) = (ax – b).H(x) + S b f(x) = a(x - ).H(x) + S a b f(x) = (x - ).a H(x) + S a Menurut teorema sisa di atas maka sisa pembagian pem bagian suku banyak f(x) oleh pembagi ax – b adalah b f( ). Hasil baginya harus dibagi a supaya kembali ke H(x). a

Contoh 2 : Tentukan hasil hasil bagi dan sisa dari pembagian 4 x + 3 x − 6 x + 1 oleh 2x – 1 4

Jawab

2

: Dengan menggunakan pembagian sintetis : 1 4 0 3 -6 1 2 2 1 2 -2 4

2

4

-4

-1

Jadi sisanya = -1 dan hasil baginya =

4 x 3 + 2 x 2 + 4 x − 4 2

= 2 x 3 + x 2 + 2 x − 2

LATIHAN SOAL

1.

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian : a. (2 x 4 + 3 x 3 + 4 x 2 + 5 x ) : (2 x + 1)

b. c. d . e.

(5 x + 2 x − 4 x + 11) : (3 x + 4) (4 x + 6 x − 2) : (2 x − 1) (2 x + x + 4 x + 4) : (2 x − 3) (3 x + 5 x − 11 x + 8) : (3 x − 1) 3

2

2

3

3

2

2

2. Tentukan a jika 4 x 4 − 12 x 3 + 13 x 2 − 8 x + a habis dibagi 2x – 1 3. Tentukan a jika 2 x 3 − 7 x 2 − ax + 2 habis dibagi 2x + 1 4. Tentukan a jika 2 x + ax − 22 x − 105 habis dibagi 2x + 5 3

6.

2

TEOREMA FAKTOR Suku banyak f(x) jika dibagi oleh (x – c) menghasilkan sisa 0, maka dikatakan (x – c) merupakan faktor dari f(x). Jadi suku banyak f(x) mempunyai faktor f aktor (x – c) jika dan hanya jika f(c ) = 0 Untuk mencari faktor-faktor dari suku banyak f(x) bisa digunakan cara pembagian sintetis/skema, yaitu dengan mencoba-coba faktor-faktor dari konstanta suku banyak yang menghasilkan sisa 0.

Contoh 1: Faktorkanlah suku banyak x − 2 x − 9 x + 2 x + 8 4


3

2

Page 5

Jawab : Faktor-faktor dari konstanta 8 adalah ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 -1 1

-2 -1

-9 3

2 6

8 -8 +

1

-3 1

1

-6 -2

8 -8

0 +

1

-2 -2

-2

-8 8

0 +

1

-4

0

Jadi x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 = ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x − 4)

LATIHAN SOAL

1.

Faktorkanlah tiap-tiap suku banyak berikut atas faktor-faktor rasionalnya ! a. 2 x 2 + 9 x − 5

b. x3 + 2 x 2 − x − 2 c. 3 p 3 − 4 p 2 − 3 p + 4 d . x 4 − 6 x3 + 12 x 2 − 10 x + 3 e. t 3 − 8t 2 + 19t − 12 2. Tentukan a jika x + 4 x − ax + 4 x + 1 mempunyai faktor : a. x + 1 b. x – 1 4

3

2

3. Tentukan p sehingga 2 x 4 + 9 x 3 + 5 x 2 + 3 x + p mempunyai faktor x + 4 4. Hitunglah a dan b jika x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 + ax + b habis dibagi oleh x 2 + 2 x − 3 5. Buktikan bahwa : a. x – 2 adalah faktor dari x 3 − 6 x 2 + 3 x + 10 b. 2x + 3 adalah faktor dari 6 x 4 + 13 x 3 − 32 x 2 − 59 x − 3 6. Buktikan bahwa : a. x 2 n − 1 habis dibagi oleh x + 1 b. x 2 n +1 + a 2 n +1 habis dibagi oleh x + a c. a n − b n habis dibagi oleh a – b

7. PERSAMAAN SUKU BANYAK Persamaan suku banyak berbentuk f(x) = 0 dimana f(x) merupakan suku banyak bisa diselesaikan jika f(x) difaktorkan terlebih dahulu. Kemudian de ngan menggunakan prinsip A.B = 0 maka A = 0 atau B = 0.

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 = 0 !


Page 6

Jawab

: Seperti Seperti contoh contoh mengenai teorema teorema faktor faktor di atas , maka maka : 4 3 2 x − 2 x − 9 x + 2 x + 8 = 0 ( x + 1)( x − 1)( x + 2)( x − 4) = 0 x = -1, x = 1, x = -2 atau x = 4 HP : {-2,-1,1,4}

LATIHAN SOAL

1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan suku banyak berikut : a. 3 x 2 + x − 4 = 0

b. x 3 − 6 x 2 + 11 x − 6 = 0 c. x3 − 9 x 2 + 20 x − 12 = 0 d . 6 x 3 + 25 x 2 + 2 x − 8 = 0 e.. x 4 − 6 x 3 + 12 x 2 − 10 x + 3 = 0 2. Buktikan bahwa –4 merupakan akar persamaan 5 x 3 + 7 x 2 − 58 x − 24 = 0 dan tentukan akar-akar yang lain 1 3. Buktikan bahwa − merupakan akar persamaan 6 x 4 − x 3 − 121 x 2 + 185 x + 75 = 0 dan tentukan 3 akar-akar yang lain ! 4. Tentukan koordinat titik potong kurva y = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 dengan sumbu X 5. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0 ≤ x ≤ 2π dari 2 sin 3 x + 3 sin 2 x − 8 sin x + 3 = 0

8. PEMBAGIAN DENGAN BENTUK KUADRAT Jika pembaginya berbentuk kuadrat maka sisanya harus berup a linier (berderajat 1) atau konstanta. Cara menentukan sisanya ada 2 cara, yaitu dengan p embagian bagi kurung atau dengan menggunakan teorema sisa.

Contoh 1 : Tentukan sisa pembagian 3 x 3 − 7 x 2 − 11x + 4 oleh x 2 − x − 2 3 x − 4 Jawab

:

x − x − 2 2

3 x − 7 x − 11x + 4 3 2 3 x − 3 x − 6 x 2 - 4 x − 5 x + 4 - 4 x 2 + 4 x + 8 3

2

− 9x − 4

-

Jadi sisanya = -9x – 4

Cara lain dengan teorema sisa : 3 x − 7 x − 11x + 4 = ( x − x − 2 ).H(x) + Sisa 3 x 3 − 7 x 2 − 11x + 4 = (x – 2) (x + 1).H(x) + (ax + b) 3

2


2

Page 7

Menurut teorema sisa : Untuk x = 2 maka maka f(2) = 2a + b atau 2a + b = -22 ………. (1) Untuk x = -1 maka maka f(-1) = -a + b atau –a + b = 5 ……….. (2) Dari (1) dan (2) didapat a = -9 dan b = -4 sehingga sisa = ax + b = -9x – 4

LATIHAN SOAL

1.

Tentukan sisa pembagian suku banyak berikut : a. x 3 − 6 x 2 + 3 x − 2 : ( x 2 − 3 x + 2)

b. c. d . e.

( ) ( x + 2 x − 4) : ( x − 9) (2 x − 2 x − 7 ) : ( x + x − 6) ( x − 2 x + 5) : ( x + 4) ( x + 4 x − x + 2) : ( x + x + 3) 3

2

4

4

3

2

2

3

2

2

2

2

2. Tentukan nilai a dan b jika x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 + ax + b habis dibagi oleh x 2 + 2 x − 3 3. Diketahui x 3 − (a − 1) x 2 + bx + 2a habis dibagi x + 2. Jika dibagi oleh x – 2 bersisa –4. Tentukan nilai a dan b serta ketiga akar-akar persamaan tersebut ! 4. Suatu fungsi f jika dibagi x – 1 sisanya 2 dan jika dibagi x – 2 sisanya 61. Tentukan sisanya jika f dibagi oleh (x – 1)(x – 2) 5. Jika suku banyak x 4 − ax 3 − (a − b) x 2 − 3a − b dibagi oleh x 2 + x − 2 maka sisanya x – 3. Tentukan nilai a dan b ! 6. Suatu suku banyak berderajat dua dalam d alam x habis dibagi x + 2. Jika suku banyak itu dibagi dengan x – 1 maka sisanya 6 dan d an jika dibagi dengan x – 2 maka sisanya 12. Tentukan rumus suku banyak tersebut !


Page 8

Bahan Ajar Suku Banyak

Recommend Documents