NỘI DUNG MÔN HỌC QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM CHƯƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Mở đầu 1.2. Những khái niệm cơ bản của QHTN 1.3. Các nguyên tắc cơ bản của QHTN 1.3.1. Nguyên tắc không lấy toàn bộ trạng thái đầu vào 1.3.2. Nguyên tắc phức tạp dần mô hình toán học 1.3.3. Nguyên tắc đối chứng với nhiễu 1.3.4. Nguyên tắc ngẫu nhiên hóa (sử dụng tối ưu không gian các yếu tố) 1.3.5. Nguyên tắc tối ưu của quy hoạch thực nghiệm 1.4. Thuật toán (các bước) của QHTN 1.4.1. Chọn thông số nghiên cứu 1.4.2. Lập kế hoạch thực nghiệm 1.4.3. Tiến hành thí nghiệm nhận thông tin 1.4.4. Xây dựng và kiểm tra mô hình thực nghiệm 1.4.5. Tối ưu hóa hàm mục tiêu - Xác định tọa độ điểm cực trị - Chuyển phương trình bề mặt về dạng chính tắc - Xác định (kiểm tra) điểm cực trị thuộc loại n ào (cực đại, cực tiểu hay không)? - Kiểm chứng bằng thực nghiệm 1.5. Ứng dụng của QHTN trong các ng ành công nghệ 1.5.1. Thiết lập các mô tả thống kê - Xác định các yếu tố ảnh hưởng - Xác định cấu trúc hệ thực hiện quá tr ình hóa lý - Xác định các hàm toán mô tả hệ - Xác định các tham số mô tả thống k ê - Kiểm tra sự tương hợp của mô tả 1.5.2. Các phương pháp kế hoạch hóa thực nghiệm chủ yếu - Kế hoạch bậc một hai mức tối ưu - Kế hoạch bậc hai 1.5.3. Xác định các giá trị tối ưu của hàm mục tiêu 1.5.4. Kết luận 1.6. Mô hình hóa 1.6.1. Mô hình 1.6.2. Mô hình toán 1.6.3. Các dạng mô hình toán của đối tượng công nghệ hóa học 1.7. Tối ưu hóa CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN CÁC YẾU TỐ ẢNH H ƯỞNG 2.1. Lựa chọn các yếu tố vào (yếu tố độc lập) 2.1.1. Thông tin tiên nghiệm
2.1.2. Kết quả nghiên cứu lý thuyết 2.1.3. Ý kiến chuyên gia 2.1.4. Các thực nghiệm thăm dò, sàng lọc - Thực nghiệm thăm dò đơn yếu tố - Thực nghiệm thăm dò đa yếu tố 2.2. Phương pháp chuyên gia 2.2.1. Nội dung phương pháp 2.2.2. Ví dụ 2.3. Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án bão hòa 2.4. Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án cân đối ngẫu nhiên (phương án siêu bão hòa) 2.4.1. Xây dựng kế hoạch thực nghiệm 2.4.2. Xây dựng biểu đồ sàng lọc 2.4.3. Phân chia tuần tự các yếu tố 2.4.4. Ví dụ 2.2 2.5. Nhóm các yếu tố vào và chọn mục tiêu đánh giá 2.5.1. Cơ sở nhóm các yếu tố vào trong từng tập hợp - Nhóm các yếu tố theo đặc tính ảnh hưởng của chúng - Nhóm các yếu tố theo khả năng điều chỉnh trong thực nghiệm - Nhóm các yếu tố theo khả năng cho phép về số lượng yếu tố vào của mỗi kế hoạch - Phân nhóm các yếu tố kết hợp với chọn miền quy hoạch 2.5.2. Chọn mục tiêu đánh giá (các yếu tố ra) 2.6. Ảnh hưởng của các tiên đề của phân tích hồi quy đến sự lựa chọn các yếu tố độc lập 2.6.1. Tiên đề về tính ổn định của trường nhiễu 2.6.2. Tiên đề về tính bất tương quan của nhiễu 2.6.3. Tiên đề về sai số điều chỉnh yếu tố vào 2.6.1. Tiên đề về tính độc lập tuyến tính của các yếu tố ảnh h ưởng CHƯƠNG 3. TÓM TẮT MỘT SỐ KẾT QUẢ V À KHÁI NIỆM CỦA XÁC SUẤT THỐNG KÊ 3.1. Biến ngẫu nhiên 3.2. Bảng phân phối xác suất và hàm xác suất 3.3. Hàm phân phối xác suất 3.4. Hàm mật độ xác suất 3.5. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 3.5.1. Mốt 3.5.2. Kỳ vọng EX 3.5.3. Phương sai DX 3.5.4. Độ lệch chuẩn δX 3.6. Một số phân phối thường gặp (trong quy hoạch thực nghiệm) 3.6.1. Phân phối Poa-xông 3.6.2. Phân phối chuẩn
3.6.3. Phân phối Khi bình phương 3.6.4. Phân phối Student 3.6.5. Phân phối Fisher-Snedecor 3.7. Các đặc trưng mẫu 3.7.1. Kỳ vọng mẫu 3.7.2. Phương sai mẫu thực nghiệm 3.7.3. Phương sai mẫu hiệu chỉnh (điều chỉnh) mẫu thực nghiệm 3.7.4. Phương sai tái hiện (tái sinh) 3.7.5. Phương sai dư 3.7.6. Ước lượng tham số 3.7.7. Ước lượng khoảng 3.8. Kiểm định giả thuyết 3.9. Kiểm định thống kê 3.10. Sai số đo CHƯƠNG 4. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH H ỒI QUY TƯƠNG QUAN 4.1. Hồi quy tuyến tính một thông số 4.2. Hồi quy Parabol 4.3. Hồi quy hàm số mũ 4.4. Đánh giá tính mật thiết của liên hệ phi tuyến 4.5. Phương pháp hồi quy nhiều biến 4.6. Phân tích hồi quy dưới dạng ma trận 4.7. Lập phương trình hồi quy bằng phương pháp Bradon 4.8. Các ví dụ 4.9. Phương pháp bình phương cực tiểu (nhỏ nhất) 4.9.1. Đặt bài toán 4.9.2. Nội dung của phương pháp 4.9.3. Áp dụng cho hàm một biến 4.9.4. Áp dụng cho hàm nhiều biến 4.9.5. Các ví dụ cụ thể trong thực tế CHƯƠNG 5. QUY HOẠCH TRỰC GIAO 5.1. Quy hoạch trực giao và tính chất 5.1.1. Mở đầu 5.1.2. Định nghĩa quy hoạch trực giao (QHTG) 5.1.3. Tính chất của QHTG 5.2. Quy hoạch trực giao cấp một 5.2.1. Định nghĩa 5.2.2. Tính chất 5.2.3. Ma trận của QHTG cấp 1 5.2.4. Mã hóa các biến (đổi biến) 5.2.5. Các ví dụ 5.3. Kế hoạch thực nghiệm bậc 1 hai mức tối ưu 5.3.1. Kế hoạch bậc 1 hai mức tối ưu toàn phần (Kế hoạch 2 k)
5.3.1. Kế hoạch bậc 1 hai mức tối ưu riêng phần (Kế hoạch 2 k-p) 5.3.3. Các ưu điểm của kế hoạch bậc một hai mức tối ưu 5.3.4. Tối ưu hóa bằng phương pháp leo dốc theo mặt đáp trị (Bề mặt biểu diễn) 5.3.5. Dấu hiệu vùng hầu như ổn định (Vùng dừng) 5.3.6. Các ví dụ 5.4. Quy hoạch trực giao cấp 2 5.4.1. Khái niệm về QHTG cấp 2 5.4.2. Xây dựng ma trận X (Ma trận thực nghiệm) 5.4.3. Các công thức tính toán 5.4.4. Kiểm định giả thuyết 5.4.5. Các ví dụ 5.5. Kế hoạch thực nghiệm bậc 2 5.5.1. Mô tả vùng phi tuyến (vùng hầu như ổn định) 5.5.2. Các kế hoạch bậc hai trực giao 5.5.3. Các kế hoạch bậc hai tâm xoay 5.5.4. Các ví dụ CHƯƠNG 6. CÁC KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐẶC BIỆT 6.1. Phương pháp đơn hình để kế hoạch hóa thực nghiệm v à tối ưu hóa 6.2. Kế hoạch hóa tiến hóa các thực nghiệm 6.3. Kế hoạch thực nghiệm khi nghi ên cứu biểu đồ thành phần-tính chất 6.3.1. Phương pháp mạng đơn hình 6.3.2. Kế hoạch mạnh đơn hình Scheffe 6.3.3. Kế hoạch trung tâm đơn hình 6.3.4. Kế hoạch thực nghiệm khi nghi ên cứu một phần biểu đồ 6.3.5. Kế hoạch tối ưu D 6.3.6. Kế hoạch với sự cực tiểu hóa sai số có tính hệ thống 6.3.7. Kế hoạch hóa thực nghiệm khi nghi ên cứu quan hệ phụ thuộc của tính chất v ào tỷ lệ các cấu tử CHƯƠNG 7. TỐI ƯU HÓA THỰC NGHIỆM 7.1. Quy hoạch thực nghiệm tìm cực trị 7.1.1. Đặt bài toán 7.1.2. Phương pháp leo dốc Box-Wilson 7.1.3. Phương pháp đơn hình đều tìm cực trị 7.1.4. Quy hoạch thực nghiệm giải bài toán nhiều mục tiêu 7.2. Các phương pháp tối ưu hóa 7.3. Tối ưu hóa nhờ hàm nguyện vọng 7.4. Phương pháp nghiên cứu bề mặt đáp trị 7.4.1. Tối ưu hóa bằng phương pháp leo dốc theo mặt đáp trị (Bề mặt biểu d iễn) 7.4.2 Tối ưu hóa bằng phương pháp nghiên cứu bề mặt biểu diễn (mặt đáp trị)
CHƯƠNG 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Mở đầu (9) - Trong thực tế ta thường gặp các bài toán nghiên cứu tính chất hoặc chất lượng của một hệ thống, hoặc hiệu quả hoạt động của một đối tượng phụ thuộc vào một số các yếu tố liên quan, chẳng hạn như: + Chất lượng thép thường phụ thuộc vào nguyên liệu, các nguyên tố hóa học, thời gian nấu luyện, nhiệt độ,… + Sản lượng các sản phẩm và chất lượng các sản phẩm phụ thuộc v ào các yếu tố sản xuất, các nguồn lực, thiết bị , máy móc, vật liệu,… + Sự phụ thuộc của biến dạng v ào ứng suất của các kim loại + Mòn của chi tiết máy phụ thuộc v ào chế độ làm việc của vật liệu, chất lượng bề mặt. - Trong các bài toán kể trên, nếu có đầy đủ các thông tin t hì ta có thể xây dựng các mô hình giải tích cho hệ thống và việc khảo sát dáng điệu của hệ thống hoặc t ìm cực trị được tiến hành theo các phương pháp đã biết. - Trong phần này ta sẽ xét phương pháp mô hình hóa trong điều kiện thiếu thông tin, dùng thực nghiệm để xây dựng mô hình và sau đó tìm cách tối ưu nó. Quy hoạch thực nghiệm và phương pháp xử lý thực nghiệm là một phương pháp toán học được sử dụng rộng rãi trong học tập và nghiên cứu, bao gồm các lĩnh vực: + Lý thuyết quy hoạch và phương pháp thực nghiệm + Lý thuyết hệ thống + Lý thuyết thống kê + Lý thuyết tối ưu hóa và ứng dụng. Nhằm chọn một chiến lược tối ưu, trong điều kiện chưa hiểu biết một cách toàn diện một quá trình nào đó tác động vào quá trình tiến hành thực nghiệm, đồng thời phải thu được: + Các số liệu cần thiết + Số lượng thí nghiệm ít nhất + Độ tin cậy đặt ra trước + Công thức toán học đơn giản nhất + Đạt kết quả với hiệu quả kinh tế, kỹ thuật cao nhất. - Công việc của quy hoạch thực nghiệm l à đi xây dựng mô hình hồi quy dạng: y=f(x1, x2,…,xn, a1, a2,…am) Trong đó: a1, a2,…,am là các tham số x1, x2,…,xn là các biến số (thông số ảnh hưởng đến quá trình) Dựa vào các kết quả thực nghiệm ta xác định đ ược các tham số a1, a2,…,am ta gọi đó là đi nhận dạng mô hình thống kê đó. Phương trình nhận được gọi là phương trình hồi quy thực nghiệm của hệ thống t ương ứng với bộ thí nghiệm đã cho. Phương trình hồi quy thực nghiệm phụ thuộc v ào bộ n thí nghiệm, phương pháp nhận dạng mô hình thống kê. Như vậy cần phải có chiến lược tác động vào các yếu tố vào, xây dựng bộ n thí nghiệm sao cho mô h ình thu được: - Đạt độ tin cậy đặt ra
- Đủ thông tin cần thiết - Thuận tiện xử lý thông tin và tìm cực trị - Dễ dàng sử dụng các công cụ tính toán hiện có. 1.2. Những khái niệm cơ bản của QHTN (13) 1.3. Các nguyên tắc cơ bản của QHTN (18) 1.3.1. Nguyên tắc không lấy toàn bộ trạng thái đầu vào 1.3.2. Nguyên tắc phức tạp dần mô hình toán học 1.3.3. Nguyên tắc đối chứng với nhiễu 1.3.4. Nguyên tắc ngẫu nhiên hóa (sử dụng tối ưu không gian các yếu tố) 1.3.5. Nguyên tắc tối ưu của quy hoạch thực nghiệm 1.4. Thuật toán (các bước) của QHTN (21) 1.4.1. Chọn thông số nghiên cứu 1.4.2. Lập kế hoạch thực nghiệm 1.4.3. Tiến hành thí nghiệm nhận thông tin 1.4.4. Xây dựng và kiểm tra mô hình thực nghiệm 1.4.5. Tối ưu hóa hàm mục tiêu - Xác định tọa độ điểm cực trị - Chuyển phương trình bề mặt về dạng chính tắc - Xác định (kiểm tra) điểm cực trị thuộc loại n ào (cực đại, cực tiểu hay không)? - Kiểm chứng bằng thực nghiệm 1.5. Ứng dụng của QHTN trong các ngành công nghệ (25) 1.5.1. Thiết lập các mô tả thống kê - Xác định các yếu tố ảnh hưởng - Xác định cấu trúc hệ thực hiện quá trình hóa lý - Xác định các hàm toán mô tả hệ - Xác định các tham số mô tả thống kê - Kiểm tra sự tương hợp của mô tả 1.5.2. Các phương pháp kế hoạch hóa thực nghiệm chủ yếu - Kế hoạch bậc một hai mức tối ưu - Kế hoạch bậc hai 1.5.3. Xác định các giá trị tối ưu của hàm mục tiêu 1.5.4. Kết luận 1.6. Mô hình hóa 1.6.1. Mô hình - Là một đối tượng được một chủ thể nào đó trên cơ sở của sự đồng dạng về cấu trúc và chức năng dùng để thay thế cho một nguyên bản tương ứng để có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định. - Một nguyên bản có thể có nhiều mô hình tùy thuộc vào chủ thể cần giải quyết. 1.6.2. Mô hình toán - Một mô hình toán là biểu diễn toán học những mặt chủ yếu của 1 nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn với 1 độ chính xác vừa đủ và trong 1 dạng thích hợp cho sự vận dụng.
- Một mô hình toán của một nguyên bản phải có 4 điều kiện: + Chỉ mô tả những mặt chính mà chủ thể quan tâm. + Mô tả trong phạm vi giới hạn. + Độ chính xác vừa đủ. + Khả năng vận dụng mô hình đã được lập trong điều kiện cụ thể. 1.6.3. Các dạng mô hình toán của đối tượng công nghệ hóa học - Xét mô hìmh thống kê thực nghiệm trong hoá học, công nghệ hóa học người ta xây dựng quan hệ giữa các đại lượng trên cơ sở thiết lập các quan hệ trên việc xử lý thống kê những giá trị thực nghiệm. - Để xác lập mô tả thống kê của đối tượng công nghệ hóa học cần thực hiện những bước sau: + Xác định số các yếu tố độc lập ảnh hưởng lên hệ, tức là số yếu tố ảnh hưởng (k) lên 1 hay nhiều hàm mục tiêu. + Xác định cấu trúc của hệ sẽ được mô hình hoá. + Xác định các hàm toán mô tả các quá trình xảy ra trong hệ, và đó thường là hàm nhiều biến và được biểu diễn : y = f( x 1, x2,…,xk). + Xác định các thông số mô hình theo số liệu thực nghiệm. + Kiểm tra sự tương thích của mô hình. 1.7. Tối ưu hóa 1.7.1. Khái niệm - Là quá trình tìm kiếm điều kiện tốt nhất (điều kiện tối ưu) của hàm số được nghiên cứu. - Là quá trình xác định cực trị của hàm hay tìm điều kiện tối ưu tương ứng để thực hiện 1 quá trình cho trước. - Để đánh giá điểm tối ưu cần chọn chuẩn tối ưu (là các tiêu chuẩn công nghệ). 1.7.2. Cách biểu diễn bài toán tối ưu - Giả sử một hệ thống công nghệ được biểu diễn dưới dạng sau: Y = F(x 1,x2,...xk) Trong đó: (x1,x2,…,xk) là vectơ các thông số đầu vào. Hàm mục tiêu : I = I (x 1,x2,…xk) Bài toán được biểu diễn I opt = opt I (x 1,x2,…xk) =I (x1opt, x2opt,…xkopt ) hoặc I opt = max I ( x 1,x2,…xk) : đối với bài toán max. I opt = min I (x 1,x2,…xk) : đối với bài toán min. Iopt : hiệu quả tối ưu. (x1opt,x2opt,…xk) nghiệm tối ưu hoặc phương án tối ưu. 1.7.3. Thành phần cơ bản của bài toán tối ưu 1.7.3.1. Hàm mục tiêu - Là hàm phụ thuộc. - Được lập ra trên cơ sở tiêu chuẩn tối ưu đã được lựa chọn. → Hàm mục tiêu là hàm thể hiện kết quả mà người thực hiện phải đạt được là tiêu chuẩn tối ưu ở dạng hàm, phụ thuộc vào yếu tố đầu vào, giá trị của nó cho phép đánh giá chất lượng của 1 nghiên cứu.
1.7.3.2. Quan hệ giữa các đại lượng - Các biểu thức toán học mô tả các mối quan hệ giữa tiêu chuẩn tối ưu hoá (hàm mục tiêu) và các thông số ảnh hưởng (thông số cần tối ưu) đến giá trị tiêu chuẩn tối ưu hoá này. - Các quan hệ này thường được biểu diễn bằng phương trình cơ bản hoặc mô hình thống kê thực nghiệm (phương trình hồi qui). - Quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng với nhau được biểu diễn bằng đẳng thức hoặc bất đẳng thức. 1.7.3.3. Các điều kiện ràng buộc - Để bài toán công nghệ có ý nghĩa thực tế , các biểu thức mô tả điều kiện ràng buộc bao gồm: - Điều kiện biên. - Điều kiện ban đầu 1.7.4. Các bước giải bài toán tối ưu: 1. Đặt vấn đề công nghệ: xem xét công nghệ cần được giải quyết là công nghệ gì và chọn ra những yếu tố ảnh hưởng chính. Chỉ ra được hàm mục tiêu Y : Y→MAX, hoặc Y→MIN 2. Xây dựng mối quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng và hàm mục tiêu theo qui luật biết trước hoặc mô hình thống kê thực nghiệm. 3. Tìm thuật giải: là phương pháp để tìm nghiệm tối ưu của các bài toán công nghệ trên cơ sở các mô tả toán học tương thích đã được thiết lập. Đa số dẫn đến tìm cực trị của các hàm mục tiêu. 4. Phân tích và đánh giá kết quả thu được - Nếu phù hợp → kiểm chứng bằng thực nghiệm - Nếu không phù hợp→ xem lại từng bước hoặc làm lại từ việc đặt vấn đề
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN CÁC YẾU TỐ ẢNH H ƯỞNG 2.1. Lựa chọn các yếu tố vào (yếu tố độc lập) (53) 2.1.1. Thông tin tiên nghiệm 2.1.2. Kết quả nghiên cứu lý thuyết 2.1.3. Ý kiến chuyên gia 2.1.4. Các thực nghiệm thăm dò, sàng lọc - Thực nghiệm thăm dò đơn yếu tố - Thực nghiệm thăm dò đa yếu tố 2.2. Phương pháp chuyên gia (56) 2.2.1. Nội dung phương pháp 2.2.2. Ví dụ 2.3. Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án bão hòa (60) 2.4. Các thực nghiệm sàng lọc theo phương án cân đối ngẫu nhiên (phương án siêu bão hòa) (64) 2.4.1. Xây dựng kế hoạch thực nghiệm 2.4.2. Xây dựng biểu đồ sàng lọc 2.4.3. Phân chia tuần tự các yếu tố 2.4.4. Ví dụ 2.2 2.5. Nhóm các yếu tố vào và chọn mục tiêu đánh giá (75) 2.5.1. Cơ sở nhóm các yếu tố vào trong từng tập hợp - Nhóm các yếu tố theo đặc tính ảnh hưởng của chúng - Nhóm các yếu tố theo khả năng điều chỉnh trong thực nghiệm - Nhóm các yếu tố theo khả năng cho phép về số l ượng yếu tố vào của mỗi kế hoạch - Phân nhóm các yếu tố kết hợp với chọn miền quy hoạch 2.5.2. Chọn mục tiêu đánh giá (các yếu tố ra) 2.6. Ảnh hưởng của các tiên đề của phân tích hồi quy đến sự lựa chọn các yếu tố độc lập (80) 2.6.1. Tiên đề về tính ổn định của trường nhiễu 2.6.2. Tiên đề về tính bất tương quan của nhiễu 2.6.3. Tiên đề về sai số điều chỉnh yếu tố vào 2.6.4. Tiên đề về tính độc lập tuyến tính của các yếu tố ảnh h ưởng
CHƯƠNG 3. TÓM TẮT MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ KHÁI NIỆM CỦA XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG 3.1. Biến ngẫu nhiên (BNN) + Định nghĩa: Là đại lượng phụ thuộc vào kết cục (kết quả) của một phép thử ngẫu nhiên nào đó (giá trị của nó mang lại một cách ngẫu nhi ên, sự xuất hiện không được biết trước). Ký hiệu: X, Y, … x, y,…là giá trị của BNN đó VD: Nhiệt độ của một phản ứng hóa học trong một khoảng thời gian nào đó là một biến ngẫu nhiên. Giá trị của nó nhận giá trị trong khoảng [t,T] n ào đó. + Phân loại: BNN rời rạc và BNN liên tục. - BNN rời rạc: tập giá trị của nó l à một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm đ ược các phần tử (số cuộc điện thoại trong một đơn vị thời gian, số tai nạn giao thông, số lao động của một công ty,…) - BNN liên tục: tập giá trị của nó lấp kín một khoảng tr ên trục số (huyết áp của bệnh nhân, độ dài của chi tiết máy, nhiệt độ, áp suất,…) 3.2. Bảng phân phối xác suất và hàm xác suất -Đối với BNN rời rạc, mỗi giá trị của nó đ ược gắn với một xác suất đặc tr ưng cho khả năng BNN nhận giá trị đó, Pi=P(X=xi) Pn=P(xn)=P(X=xn) X=x x1 x2 … xn P(x) P1 P2 … Pn Hàm số p(x)=P(X=x), xЄX được gọi là hàm xác suất của X p(x)≥0 với mọi x và (1.1) p( x) 1 x
Bảng phân phối xác suất ch ưa đủ tổng quát để đặc trưng cho 1 BNN tùy ý, nhất là BNN liên tục. 3.3. Hàm phân phối xác suất: F(x) F(x) được xác định như sau: F(x)=P(X
F ( x)
f (t )dt
f(x)≥0 với mọi x (1.2) Hàm mật độ xác suất cho biết xác suất ở lân cận một điểm n ào đó
f ( x)dx 1
3.5. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
3.5.1. Mốt (Mod) - Nếu X là BNN rời rạc thì Mod(X) là điểm x0 sao cho P(X=x 0)= max P(X=xi), tức là tại đó có xác suất xi xuất hiện lớn nhất. - Nếu X là BNN liên tục với hàm mật độ f(x), Mod(X) là điểm x0 sao cho f(x0)=max f(x) với xЄ[a,b] Mod(X)=x 0 3.5.2. Kỳ vọng :EX -Nếu X là rời rạc: EX xiPi với P(xi)=Pi i
-Nếu X liên tục: EX xf ( x )dx ; f(x) là hàm mật độ
Kỳ vọng là giá trị trung bình (theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên 3.5.3. Phương sai: DX (VX) DX=E(x-EX)2 ; (x-EX) là độ lệch của biến X so với trung b ình của nó. Phương sai chính là trung b ình của bình phương độ lệch đó. Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của BNN quanh trị trung b ình của nó. Phương sai càng lớn thì độ bất định của biến tương ứng càng lớn. DX ( xi EX ) 2 Pi (BNN rời rạc)
DX
(x EX )
2
f ( x )dx (BNN liên tục)
DX=E(X2)-(EX)2 3.5.4. Độ lệch chuẩn: δx x DX
3.6. Một số phân phối thường gặp (trong quy hoạch thực nghiệm) 3.6.1. Phân phối Poa-xông: Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối Poa-xông (X~P(λ)) nếu hàm xác suất của nó có dạng: x e P( X x) P( x) ; x=0,1,2,… và λ là hằng số x!
Ví dụ về phân phối Poa-xông: số cuộc gọi điện thoại của một tổng đ ài trong một ngày, số lượng khách hàng của một nhà băng trong một giờ,…là BNN có phân phối Poa-xông) 3.6.2. Phân phối chuẩn (Phân phối Gauss-Đức) X~N(a, δ2) nếu hàm mật độ f(x) có dạng: f ( x)
2 2 1 e ( x a ) /2 xЄR 2
EX=a và DX=δ2 3.6.3. Phân phối Khi bình phương X2(n) Trong thống kê người ta thường gặp bài toán sau: Cho n BNN độc lập, Xi (i=1,n), mỗi Xi có phân phối chuẩn dạng X i Є N(0,1)
n
Biến NN mới X 2 X 2i là BNN liên tục, phân phối của nó mang tên phân phối khi i 1
bình phương với n bậc tự do X 2(n) có hàm mật độ: n
1
x
x2 e 2 (x>0, n>0) f ( x) n n 2 2 r( ) 2
và f(x)=0 nếu x≤0
r(x) là hàm gama: r ( x) t x 1e t dt x>0 0
2
E(X )=n, D(X2)=2n, ( n thì PP X2(n) PP chuẩn) 3.6.4. Phân phối Student Cho U, V là hai biến NN độc lập, UЄN(0,1), V là BNN có phân phối khi bình phương X 2(n bậc tự do), xét biến T (n)
U V n
Phân phối T(n) là PP Student với n bậc tự do, có hàm mật độ: n 1 n 1 ) 2 2 t 2 f (t ) 1 n n n .r ( ) 2 r(
r(x) là hàm gama E(T(n))=0, D(T(n))=n/(n-2) α
α
P(t>t n)=α/2 và P(t≤-t n)=α/2 3.6.5. Phân phối Fisher-Snedecor Cho Z1 và Z2 là hai biến NN độc lập có phân phối khi bình phương với n1 và n2 bậc tự do, Z 1ЄX2(n1), Z2ЄX2(n2). Xét BNN: F=(Z1/n1)/(Z2/n2) là PP Fisher-Snedecor với n1, n2 bậc tự do. Ký hiệu F(n 1, n2) f(x)= 0 nếu x≤0 và f ( x) C.
x
n1 n 2 2
(n2 n1x)
Ở đây: C E(F)= n1/(n2-2) , D( F )
r(
n1 n 2 2
n1 n 2 n21 n22 )n1 n 2 2 n1 n 2 r ( )r ( ) 2 2
2n2 2 ( n1 n2 2 2) n1(n 2 2) 2 (n 2 4)
P(F< f ( n1,n 2) )=α 3.7. Các đặc trưng mẫu 3.7.1. Kỳ vọng mẫu (Trung bình mẫu thực nghiệm)
nếu x>0
Mẫu dạng 1: (x1, x2,…,xn)
X
Mẫu dạng 2: xi ni
x1 n1
1 n xi n i 1
x2 n2
… …
xk nk
k 1 n X xi ni với n ni n i 1 i 1
3.7.2. Phương sai mẫu thực nghiệm: S2
2 1 n S ( xi X ) n i 1
2
n là số lần đo hay quan sát xi là số đo của đại lượng x ở lần đo thứ i
x là trung bình mẫu thực nghiệm
Hoặc S 2
2 1 k ( xi X ) ni n i 1
3.7.3. Phương sai mẫu hiệu chỉnh (điều chỉnh) mẫu thực nghiệm S12
2 1 n ( xi x ) n 1 i 1
f=n-1 là bậc tự do đặc trưng cho mẫu thực nghiệm Hoặc S12
2 1 k ( xi x ) ni n 1 i 1
(n-1): bậc tự do đặc trưng cho mẫu thực nghiệm. 3.7.4. Phương sai tái hiện (tái sinh) - Phương sai tái hiện của một thí nghiệm: giả sử thí nghiệm được lặp đi lặp lại m lần với giá trị thu được là y1, y2,…,ym. Khi đó: 2
Sth 2
1 m ( yi y ) với m-1 bậc tự do, đặc trưng cho khả năng biến đổi mà không m 1 i 1
làm thay đổi hệ. m là số lần lặp. - Phương sai tái hiện của N thí nghiệm: thường sử dụng cho thí nghiệm song song (lặp lại) Sth 2 Su 2
1 N
N
S
2
u 1
u
1 m ( yui yu ) m 1 i 1
2
Suy ra: Sth 2
N 1 N (m 1) u 1
m
( yui yu ) i 1
2
N là số thí nghiệm m là số lần lặp lại Phương sai phân phối trung bình cho từng thí nghiệm được xác định như sau :
S 2th ( y )
1 2 S th m
Ví dụ: Tính phương sai tái hiện của một cuộc thí nghiệm tương ứng với những số liệu thực nghiệm thu được ở bảng sau :
Từ bảng số liệu ta thấy i = 1,2,3; u = 1,2,3…,8; m = 3; N = 8. Để tính phương sai tái hiện của một cuộc thí nghiệm ta lập bảng sau:
Từ kết quả ở bảng 2, ta tính phương sai tái hiện của cuộc thí nghiệm: S 2th
1 N
N
S u 1
2 u
144 8 8
Phương sai phân phối trung bình cho một thí nghiệm:
S 2th ( y )
3.7.5. Phương sai dư (Độ dư)
1 2 18 S th 6 m 3
- Là hiệu giữa giá trị thực nghiệm thu đ ược với giá trị tính theo phương trình hồi quy của các thông số tối ưu. S du
2
1 N ( y yu ) N L u 1
2
N-L: độ tự do L: số hệ số có nghĩa trong phương trình hồi quy
yu là giá trị tính theo phương trình hồi quy
yu là giá trị trung bình thực nghiệm tại thí nghiệm thứ u
yu là giá trị thực nghiệm trong điều kiện không l àm thí nghiệm lặp. 3.7.6. Độ lệch chuẩn (SD) - Là tham số dùng để xác định độ phân tán của biến ngẫu nhiên có cùng đơn vị với nó. - Giả sử S2 và S12 là phương sai và phương sai điều chỉnh mẫu ngẫu nhiên của X, khi đó S và S1 được gọi là độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu thực nghiệm của X và xác định như sau: S S2 S1 S12
3.7.7. Sai số chuẩn (SE) - Là tỷ lệ giữa độ lệch chuẩn trung bình mẫu với căn bậc hai của dung lượng mẫu: SE
S1 N
- Là thông số thống kê quan trọng để đánh giá mức độ phân tán của mẫu chính nó biểu thị sai số của số trung bình. Sai số ở đây do sự chênh lệch cơ học có hệ thống của số liệu mà phương thức chọn mẫu là một trong những nguyên nhân chính gây nên. - Mục đích chính SE là xác định mức độ phân tán của giá trị trung bình mẫu và giới hạn tin cậy của mẫu thực nghiệm. 3.7.8. Ý nghĩa của phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn - Phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn giúp cho ta nhận biết được mức độ đồng đều của giá trị thực nghiệm. - Nếu phương sai, độ lệch chuẩn, sai số chuẩn nhỏ thì các giá trị thực nghiệm tương đối đồng đều và tập trung xung quanh giá trị trung bình. 3.7.9. Ước lượng tham số Cho BNN X có luật phân phối xác suất đã biết nhưng chưa biết tham số θ nào đó. Ta phải xác định θ dựa trên thông tin thu được từ một mẫu quan sát (x1, x2,…,xn) của X. Quá trình xác định θ chưa biết là quá trình ước lượng tham số.
Giá trị tìm được gọi là ước lượng của . là một giá trị số được gọi là ước lượng điểm.
Để đánh giá một ước lượng là tốt hay không người ta phải so sánh nó với θ thật nhưng θ thật lại chưa biết nên phải đưa ra các tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng của
thống kê như một xấp xỉ tốt nhất của θ. Các tính chất của ước lượng điểm:
-Ước lượng không chệch: Thống kê được gọi là ước lượng không chệch của
θ nếu E( )=θ. Suy ra E( -θ)=0
-Ước lượng vững: Thống kê được gọi là ước lượng vững của θ nếu (x1, x2,…,xn) khi n dần tới vô cùng (xác suất) bằng θ.
-Ước lượng hiệu quả: : Thống kê được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu nó là ước lượng không chệch với phương sai bé nhất. 3.7.10. Ước lượng khoảng -Nếu dựa vào thống kê người ta xác định được θ1 và θ2, sao cho với một xác suất cho trước tham số θ rơi vào khoảng đó thì (θ1, θ2) gọi là khoảng tin cậy với độ tin cậy đã cho: P(θ1< θ< θ2)=1-α α là mức ý nghĩa (1- α ) là độ tin cậy (θ2- θ1): độ dài khoảng tin cậy - Ước lượng điểm có một nhược điểm là không biết được độ chính xác cũng như xác suất để ước lượng đó chính xác. Nhất là khi kích thước mẫu nhỏ, sự sai lệch của ước lượng so với giá trị thật khá lớn. - Giả sử một phép đo với sai số tin cậy như sau:
|X - X | = ∆X = e Độ tin cậy P là xác suất để kết quả các lần đo rơi vào khoảng tin cậy ( X - e < X < X +e ), tức là P( X - e < X < X +e ) = P=1- α và độ tin cậy thường cho trước 0,95; 0,99; 0,999;... 3.8. Kiểm định giả thuyết Việc xác định đúng, sai của một giả thuyết đ ược gọi là kiểm định. Gọi giả thuyết là Ho thì đối thuyết sẽ là H1. Chấp nhận Ho tức là bác bỏ H1. Hai sai lầm có thể mắc phải: Sai lầm loại 1: bác bỏ một giả thuyết đúng. Sai lầm loại 2: Chấp nhận một giả thuyết sai. Ta có thống kê Ki, K=K(x1, x2, …, xn). Gi ả thiết K có phân phối xác định khi Ho đúng và gọi α là xác suất để xảy ra sai lầm loại 1. α = P(KtnЄBα| Ho đúng) Ktn là giá trị của K trên mẫu đang xét
Bα là miền bác bỏ Ho, còn B là miền chấp nhận Ho. β là xác suất phạm sai lầm loại 2
β = P(KtnЄ B | Ho sai)
Chúng ta càng muốn xác suất để xảy ra hai sai lầm tr ên càng bé càng tốt. Trong thực tế không thể làm giảm được cả hai xác suất đó vì α tăng thì β giảm và ngược lại. Thông thường sai lầm loại một dễ kiểm soát v à dễ tính hơn nên người ta hay chọn trước α như là ngưỡng để xác định xác suất phạm sai lầm loại một luôn luôn nhỏ hơn một α đủ bé đó. α= 0,1; 0,05; 0,01; 0,001;…phụ thuộc yêu cầu thực tế và nhà nghiên cứu. α là mức ý nghĩa của quy tắc kiểm định. 3.9. Kiểm định thống kê - BNN y phụ thuộc vào mẫu là một thống kê. Mỗi thống kê cho bởi một hàm của mẫu (x1, x2,…,xn); y=g(x1, x2,…,xn) . Tùy theo dạng của g mà ta có các thống kê khác nhau. Các thống kê có thể tuân theo một luật phân phối với một bậc tự do nào đó (dựa vào các định lý về xác suất và thống kê). Để kiểm tra ta tra bảng. - VD: Xét hai mẫu ON1=(x1, x2, …,xn) ON2=(x1, x2,…, xn) s 21 2 F 2 (s 1 s 2 2 ) là một thống kê s2
- Bậc tự do: Các đại lượng (N đại lượng) không hoàn toàn được tự do mà bị ràng buộc với nhau bởi m điều kiện n ào đó. Do đó chỉ có N-m đại lượng tự do. Do vậy bậc tự do là (N-m) * Các bước kiểm định giả thiết: Bước 1: Chọn một thống kê liên quan đến Ho: g(x1, x2,…,xn) Bước 2: Dựa vào các định lý thống kê để biết thống kê đó tuân theo luật phân phối nào Bước 3: Chọn mức ý nghĩa α. Tra bảng ta sẽ được gα.
Bước 4: Dựa vào mẫu tính g :
- Nếu g g thì bác bỏ Ho
- Nếu g g thì chấp nhận H o 3.9.1. Kiểm tra sự đồng nhất của các ph ương sai (kiểm tra độ hội tụ của các giá trị thí nghiệm). Phương pháp này chỉ áp dụng trong phương án thí nghiệm song song (Sử dụng phân phối Cochran). N là số thí nghiệm trong một cuộc thí nghiệm. f = m-1 là độ tự do ứng với thí nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất. m là số lần lặp của thí nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất. Gb được tìm thấy ở bảng với mức ý nghĩa đã chọn, là điểm gặp nhau giữa hàng biểu thị số thí nghiệm N và cột biểu thị bậc tự do f.
* Các bước tiến hành kiểm tra - Xác định đại lượng trung bình từ các kết quả của các thí nghiệm song song. - Xác định các phương sai thực nghiệm ( Su 2 ) tại mỗi điểm thí nghiệm theo công thức (2.9). N
- Tính tổng các phương sai
Su
2
u 1
- Tính Gtn theo công thức sau: Gtn
max Su 2 N
Su
; u 1, 2,3,..., N
2
u 1
2
là giá trị cực đại của phương sai thực nghiệm thứ u. N là số thí nghiệm trong một cuộc thí nghiệm. - Tra bảng Gb với mức ý nghĩa α đã chọn, số thí nghiệm N và độ tự do f=m-1 của điểm thực nghiệm có phương sai tái hiện lớn nhất. - So sánh Gtn và Gb. + Nếu Gtn < Gb : giả thiết được chấp nhận. + Nếu Gtn > Gb : giả thiết không được chấp nhận. - Ví dụ: Xác định sự bằng nhau của hai ph ương sai. Giả sử ta có hai mẫu lấy ra từ hai tập gốc ON1: (x1, x2,…,xn) O N1: (y1, y2,…,yn) Từ đây ta tính được hai đặc trưng mẫu: max Su
1 N1 s1 ( x x i ) N1 1 i 1
2
2
s2 2
1 N2 ( y y i ) N 2 1 i 1
2
Đưa ra giả thuyết: H 0 : s 21 s 22 ( 21 22 ) Đối thuyết: H1 : s 21 s 22 ( 21 22 ) s 22 2 Chọn thống kê: F 2 (s 2 s 21 ) s1
Suy ra F có phân phối Fisher với bậc tự do của tử l à : N1-1 và của mẫu N 2-1 Chọn mức ý nghĩa α, tra bảng ta tính được Fα -
-
Dựa vào mẫu tính được: F
-
Nếu F F H 0 đúng
s 22 s 21
Nếu F F H 0 sai (bác bỏ H0) Minh họa: Giả sử N 1=17, N2=12. Giả sử tìm được s 21 32, 6; s 2 2 63, 68
Giả thuyết H 0 : s 21 s 22 ( 21 22 ) Đối thuyết: H1 : s 21 s 22 ( 21 22 ) : F
s 21 s 22
Chọn α=0,01. Bậc tử 11, bậc mẫu 16 Tra bảng Fα= 3,61
-
s 2 2 63, 68 1,9 F 3, 61 s 21 32, 6
Tính F
Công nhận H0 nên s 21 s 2 2 ( 21 2 2 ) Kiểm định sự bằng nhau của nhiều ph ương sai. Giả sử có m tập gốc X1, X2,…,Xm. Lấy ra N mẫu (số lần thí nghiệm) có cùng dung lượng m (số biến hoặc số lần đo lặp lại). Tính được các phương sai mẫu s 21 , s 2 2 ,..., s 2 m Đưa ra giả thuyết: H 0 : s 21 s 22 ... s 2 m Đối thuyết: H1 : s 21 s 22 ... s 2 m Chọn thống kê: -
s 2 max G 2 , s max max s i 2 2 2 s 1 s 2 ... s m
Nếu G đúng thì G có phân phối Cochran, bậc tử m-1, bậc mẫu N. Chọn α, tra bảng được Gα.
Nếu G G thì công nhận H0
Nếu G G thì bác bỏ H0 Minh họa: có bốn mẫu dung lượng N=17. Giả sử s 21 0, 26; s2 2 0,36; s32 0, 4; s4 2 0, 42
Chọn α=0,05. Bậc tử 16, bậc mẫu 4. Tra bảng ta đ ược Gα=0,4366. Tính G
s 2 max 0, 42 0, 2917 2 2 2 s 1 s 2 ... s m 0, 26 0,36 0, 4 0, 42
Vì G G nên công nhận H0
3.9.2. Kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong ph ương trình hồi quy (Phân phối
Student, t là giá trị tính toán được, tra bảng tìm tα). Nếu t t thì loại các hệ số
đó. Nếu t t thì nhận các hệ số đó.
- Mục đích của kiểm tra này là xem các hệ số bj trong phương trình hồi qui có khác 0 với một độ tin cậy nào đó hay không. - Để kiểm tra ý nghĩa của các hệ số trong phương trình hồi qui ta phải sử dụng chuẩn Student (t). * Các bước tiến hành kiểm tra: - Tính chuẩn ttn theo công thức: ttn = tj =
| bj | Sbj
bj là hệ số ứng với yếu tố thứ j trong PTHQ; j = 0,1,2,… Sbj độ lệch quân phương của hệ số bj - Tra bảng tb (P,f) ứng với mức ý nghĩa P chọn trước và f; f là bậc tự do ứng với phương sai tái hiện của từng phương án mà người nghiên cứu đã chọn. - So sánh t j và tb + Nếu tj > tb hệ số bj có ý nghĩa và được giữ lại trong PTHQ. + Nếu tj < tb hệ số bj không có ý nghĩa và loại khỏi PTHQ. Các hệ số còn lại được tính lại theo phương phápbình phương tối thiểu cho tới khi tất cả chúng đều có nghĩa.
3.9.3. Kiểm tra sự tương hợp của phương trình hồi quy thực nghiệm (PP Fisher, F
là giá trị tính toán được, tra bảng tìm Fα). Nếu F F thì mô hình tương hợp
(tương thích). Nếu F F thì mô hình không tương hợp ( không tương thích). Khi đó ta phải: kiểm tra lại công việc tính toán, kiểm tra lại mô h ình, chọn lại hàm hồi quy ở mức (bậc) cao hơn. - Dạng PTHQ là do người nghiên cứu tự chọn và các hệ số trong PTHQ được xác định dựa trên các số kiệu thực nghiệm. Vì vậy cần phải xem xét mô tả toán học đó có phù hợp với thực nghiệm hay không, và người ta dùng phân phối Fisher (F) với một mức ý nghĩa nào đó. * Các bước tiến hành kiểm tra: - Viết PTHQ với các hệ số có nghĩa. - Tính Ftn theo công thức: Ftn
S 2tt S 2th
Trong đó: Stt là phương sai tương thích Sth là phương sai tái hiện (tái sinh) với phương án thí nghiệm tại tâm hoặc với phương án thí nghiệm song song (lặp). - Fb tra bảng fb (P, f1,f2) tức là ứng với mức ý nghĩa P đã chọn và bậc tự do f1, f2 - Tiêu chuẩn kiểm định (so sánh F tn và Fb) + Nếu Ftn < Fb thì PTHQ vừa lập phù hợp với thực nghiệm. + Nếu Ftn > Fb thì PTHQ vừa lập không phù hợp với thực nghiệm và làm tiếp các công việc sau: * Kiểm tra lại công việc tính toán. * Xem lại mô hình nghiên cứu đã đúng chưa.
* Chọn mô tả toán học (PTHQ) ở mức cao hơn. 3.10. Sai số đo - Trong thực nghiệm, những giá trị nhận được là giá trị gần đúng của một giá trị thực. Δx = x – a gọi là sai số đo. Với : a là giá trị thực của một vật x là kết quả quan sát được. Δx là độ lệch giữa a và x. 3.10.1. Sai số thô - Là sai số phạm phải do phá vỡ những điều kiện căn bản của phép đo, hay sơ suất của người thực hiện dẫn đến các lần đo có kết quả khác nhau nhiều. Khi phát hiện sai số thô cần thực hiện lại công việc (nếu điều kiện c ho phép). - Cách khử sai số thô : + Kiểm tra các điều kiện cơ bản có bị vi phạm hay không. + Sử dụng một phương pháp đánh giá (phương pháp toán học loại bỏ sai số thô với độ tin cậy và hiệu quả nhất định), để loại bỏ hoặc giữ lại những kết quả không bình thường. 3.10.2. Sai số hệ thống - Là sai số không làm thay đổi trong một loạt phép đo, mà thay đổi theo một quy luật nhất định. - Nguyên nhân gây sai số: do không điều chỉnh chính xác dụng cụ đo, hoặc một đại lượng luôn thay đổi theo một quy luật nào đó, như nhiệt độ…Các sai số này có thể phát hiện, đo đạc tìm được nguyên nhân và hiệu chỉnh được. Thông thường các kết quả thực nghiệm đều xem nh ư đã phát hiện sai số hệ thống và đã loại bỏ. - Để khắc phục người ta đặt một hệ số hiệu chỉnh ứng với mỗi nguyên nhân. 3.10.3. Sai số ngẫu nhiên - Sai số ngẫu nhiên của phép đo là đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng bằng luật phân phối thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của sai số và xác suất để sai số ngẫu nhiên nhận các giá trị ấy. - Là sai số còn lại sau khi đã khử sai số thô và sai số hệ thống. - Sai số ngẫu nhiên do nhiều yếu tố gây ra, tác dụng rất nhỏ, không thể tách riêng ra, vì thế không loại trừ được. Nhưng có thể tìm ra quy luật, tính được ảnh hưởng của chúng đến kết quả thực nghiệm. Việc xác định ảnh hưởng của chúng dựa vào các hiểu biết về quy luật phân phối các đại l ượng ngẫu nhiên.
CHƯƠNG 4. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH HỒI QUY TƯƠNGQUAN 4.1. Hồi quy tuyến tính một thông số (33) 4.2. Hồi quy Parabol (37) 4.3. Hồi quy hàm số mũ 4.4. Đánh giá tính mật thiết của liên hệ phi tuyến (38) 4.5. Phương pháp hồi quy nhiều biến (39) 4.6. Phân tích hồi quy dưới dạng ma trận (43) 4.7. Lập phương trình hồi quy bằng phương pháp Bradon (47) 4.8. Các ví dụ (48) 4.9. Phương pháp bình phương cực tiểu (nhỏ nhất) Phương pháp bình phương cực tiểu là một phương pháp rất cơ bản và hiệu lực để xử lý các số liệu thực nghiệm v à xây dựng mô hình thống kê cho một lớp khá rộng lớn các đối tượng nghiên cứu thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau. Lời giải của ph ương pháp BPCT là một mô hình toán học biểu diễn một cách gần đúng đối t ượng thực. 4.9.1. Đặt bài toán Giả sử ta cần nghiên cứu một đại lượng y trong một hệ thống n ào đó. Thông thường, trong hệ ấy một mặt y ph ụ thuộc vào các biến số độc lập x1, x2,…,xk có thể điều khiển được, mặt khác y còn bị ảnh hưởng của các tác động ngẫu nhi ên thường xuyên và không điều khiển được. (x1, x2,…,xk) là các biến vào hay các nhân tố, BNN gọi là nhiễu. y gọi là hàm mục tiêu hay biến ra. Vấn đề là phải tìm mối quan hệ giữa y và (x1, x2,…,xk). Thông thường thì ít nhiều có trước một thông tin tiên nghiệm về hệ thống đang xét. Bởi vậy ng ười ta thường giả thiết mối quan hệ giữa y và (x1, x2,…,xk) có dạng: y f ( x1 , x2 ,..., x k ; 1 , 2 ,..., m )
Trong đó: dạng của hàm f đã biết nhưng còn m tham số θ1, θ2,…, θm chưa biết. Nếu ta giả thiết thêm rằng E 0, D 2 nghĩa là N (0, ) thì
y f ( x1 , x2 ,..., x k ; 1 , 2 ,..., m )
Dy 2
Hàm y gọi là hàm phản hồi của y. Phương trình trên gọi là phương trình hồi quy lý thuyết của y theo (x1, x2,…, xk) Để tìm mối quan hệ thật giữa y và (x1, x2,…,xk) người ta tiến hành N thí nghiệm và lập thành một bảng Ni x1 x2 … xk y 1 X11 X12 … X1k y1 2 X21 X22 … X2k Y2 … … … … … … N xN1 xN2 … xNk yN Bài toán đặt ra là trên cơ sở các số liệu thu được hãy tìm một hàm số
y f ( x1, x 2,..., xk ) biểu diễn gần đúng tốt nhất hàm y và tìm một ước lượng tốt nhất cho 2.
Hàm số y được gọi là mô hình thống kê của hệ thống thực ta đang nghi ên cứu và được gọi là phương trình hồi quy thực nghiệm. Để giải quyết bài toán này người ta dùng phương pháp bình phương cực tiểu. Ưu điểm của phương pháp này là không cần biết tới luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhi ên y. Theo phương pháp BPCT, bài toán dẫn về việc xác định các tham số θ1, θ2,…, θm sao cho tổng bình phương các sai số là nhỏ nhất.
N
(y y ) i
i 1
i
2
min
Trong đó: yi là các kết quả thí nghiệm (i=1,N)
yi f ( xi1 , xi 2 ,..., xik ; 1 , 2 ,..., m ), (i 1, N ) -các giá trị lý thuyết
Vì các tham số θ1, θ2,…, θm chưa biết nên tổng bình phương các sai số là một hàm
của các tham số đó. Ký hiệu l à S( θ1, θ2,…, θm). Gọi i yi y Ta có: N
S (1 , 2 ,..., m ) 2i min i 1
Chú ý: Trường hợp riêng hay gặp của các hàm hồi quy thực nghiệm là:
y 1 g1 ( x1 , x2 ,..., x k ) ... m g m ( x1 , x2 ,..., x k )
Trong đó: g1 ( x1 , x2 ,..., x k ),..., g m ( x1 , x2 ,..., x k ) là những hàm số đã biết:
y 0 1 x1 2 x2 ... k x k
y 0 1 x1 2 x2 12 x1 x2 11 x1 2 22 x2 2
4.9.2. Nội dung của phương pháp * Trường hợp tuyến tính: Bài toán: Giả sử y 0 1 x1 2 x2 ... k x k N (0, )
y 0 1 x1 2 x2 ... k x k
Ni x0 x1 1 1 X11 2 1 X21 … … … N 1 xN1 Bài toán đặt ra: Xác định θj = bj sao cho:
x2 X12 X22 … xN2
… … … … …
xk X1k X2k … xNk
y y1 Y2 … yN
N
k
N
i 1
j 0
i 1
S ( 0 , 1 ,..., k ) ( y i y i ) 2 ( y i j xij ) 2 2i min
Bản chất: Tìm một đường thẳng d sao cho: Tổng b ình phương các độ lệch giữa tung độ của đường thí nghiệm với đường thẳng đó là bé nhất. Dựa vào điều kiện cần của cực trị: s 0, ( j 0, k ) j
Ta có: N
N k s 2 [(y i - j xij )x ij ] 0, ( j 0, k ) j i 1 j 0
k
[(y - x )x i 1
i
j 0
j ij
ij
] 0, ( j 0, k )
Đây là hệ k+1 phương trình và k+1 ẩn (θ0, θ1, θ2,…, θk) và được giải bằng phương pháp ma trận. 1 x11 x12 ...( x1 k ) y1 (1) x21 x22 ...( x2 k ) y2 .............................. . Y X .............................. . . .............................. (1) x x ...( x ) yN N 1 N 2 Nk 1 1 b0 2 2 b1 . . . B . . . . . . N N bk
y1 y 2 . Y . . y N
Y=Xθ +∆
Y X S (Y Y )T (Y Y ) T X T (Y X ) 0 X T X X TY
Bài toán trở thành tìm vectơ θ=B thõa mãn các phương trình trên. Khi đó S là bé nhất. Giả sử ( X T X ) 1 0 B ( X T X ) 1 ( X T Y ) Áp dụng các định lý để phân tích thống k ê lời giải nhận được. Xét mô hình (hình vẽ): Đã giả thiết: a. y 0 1 x1 2 x2 ... k x k b. N (0, ) y x x ... x 0 1 1 2 2 k k
Đã tìm được y b0 b1 x1 b2 x2 ... b k x k Cũng đã biết được bj là ước lượng trúng của θj Cũng đã biết được yi là ước lượng trúng của y j Cần kiểm tra lại các giả thiết: - Xem N (0, ) - Xem y có tuyến tính hay không? Và những biến nào ảnh hưởng trực tiếp đến y (các θj nào khác 0?) (1). Kiểm tra N (0, ) * Thông thường, ta coi Eξ =0 là chấp nhận được. Nếu Eξ ≠ 0 thì tịnh tiến lại trục tọa độ để được bằng không. Đặt 0 a E 0 E ( a ) a a 0 . Cách làm này không làm ảnh hưởng đến kết quả đánh giá. Kiểm tra Dξ=σ2 nhưng σ2 chưa biết. Giả thiết H o : D 2 Đối thiết H o : D 2 Tại mỗi điểm thí nghiệm thứ I (i=1,N) ta lặp lại n (m) lần đo đ ược n (m) giá trị của yi1, yi2,…,yin(m). Ta coi đó là một mẫu và tính được: 2
1 n 1 n y yij ; s 2i ( yij yi ) , i 1, N n j 1 n 1 j 1
Các s 2i đều là ước lượng trúng của D 2 . Vậy nếu H0 đúng thì N số s 2i phải bằng nhau. Để kiểm định H 0 ta sẽ kiểm định sự bằng nhau của N ph ương sai. s 21 s 2 2 ... s 2 N
Dùng thống kê: G
s 2 max , s max max s i 2 2 2 2 s 1 s 2 ... s N
G tuân theo phân phối Cochran, chọn ức ý nghĩa α. Tra bậc tử = n-1, bậc mẫu =N. Ta . được Gα. Tính được G G thì công nhận H đúng. Dùng phương sai tái sinh S 2 1 Nếu G 0 ts N
N
S i 1
2 i
để ước
lượng σ2. G thì bác bỏ H . Nếu G 0 (2). Kiểm định sự phù hợp của y vừa tìm được. a. Xem số biến có bằng k không? Giả sử hàm y là tuyến tính, xem xét xem những biến n ào ảnh hưởng trực tiếp đến y, tức là ta xem xét xem những θj nào bằng không. Giả thiết H0: θj=0. Đối thiết H 1: θj≠0 Chọn thống kê
tbj
bj j sb j
bj
sb j
( j 0)
Theo định lý của xác suất và thống kê ứng dụng thì tbj tuân theo phân bố Student bậc N-k-1 Chọn mức ý nghĩa α tra bảng Student ta được tα. Tính tbj dựa vào mẫu, s 2b j s 2ts C 1 jj -Nếu | tb j | t thì công nhận H0, suy ra θj=0, chứng tỏ x j không ảnh hưởng đến y -Nếu | tb j | t thì bác bỏ H0 (công nhận H1), suy ra θj≠0, chứng tỏ x j không ảnh hưởng đến y. Nếu có θj=0 thì các hệ số còn lại phải tính toán lại vì các hệ số tương quan lẫn nhau. b. Sự phù hợp của y Đã dùng thí nghiệm lặp (tái sinh) để tính s 2ts
1 N
N
S i 1
2 i
là ước lượng của σ2 không
phụ thuộc dạng của y. 2
Mặt khác: s
2 du
N 1 2 ( yi y i ) cũng là ước lượng của σ nhưng phụ thuộc N k 1 i 1
dạng của y. Nếu y phù hợp với mô hình nghiên cứu thì hai phương sai bằng nhau. Giả thiết: H o: s 2ts s 2 du Đối thiết: H 1: s 2ts s 2 du Chọn thống kê F
s 2 du 2 (s du s 2ts ) Fisher s 2ts
Bậc tử: N-k-1, bậc mẫu N(n-1) Chọn α tra bảng tìm Fα. Tính F dựa vào mẫu. Nếu F F thì công nhận H0, tức là mô hình phù hợp Nếu F F thì bác bỏ H0, tức là mô hình không phù hợp. Phải giả thiết lại mô hình. Có thể không phải tuyến tính mà là bậc hai, bậc 3. Trong trường hợp không có điều kiện tiến hành lặp lại thí nghiệm thì có thể so sánh phương sai dư s 2 du với phương sai trung bình s 2 y N
s2 y
( yi y)
2
i 1
N 1
Theo tiêu chuẩn Fisher: F
Sy2 S du 2
bậc tử N-1, bậc mẫu N-k-1, nếu F càng nhỏ hơn
Fα thì phương sai tái sinh càng chính xác . Thí dụ: Tìm mô hình biểu diễn sự phụ thuộc giữa y v à hai biến x1, x2 trên cơ sở bảng quan sát sau: (Thí nghiệm lặp lại n=6) TT X1 X2 Y(1) Y(2) Y(3) Y(4) Y(5) Y(6) Y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 8 2 6 3 5 3 9 10
1 2 10 4 8 4 7 3 10 11
10,5 13 18 13 15 10,5 14,2 12,5 17 19
9,5 11 16 12,5 15 9,5 13,8 11,5 15,6 17
9 11,5 16,6 13 14,5 10 13,6 11 15 17,5
(1) 2 1 (1) 2 2 ............... X ............... ............... (1) 9 10 (1) 10 11 1 2 1 1 1 . . . . . . . . 1 1 1 2 2 1 0 X T X 2 2 . . . . . . 9 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 5 0 (1 ) 2 . . . . . . 1 0 1 1 1 9 1 0 6 0 1 1 0 1 1 10 11 ........ 11 12 137 X T Y 2 2 ...... 9 10 ... 756 (1) 2 ...... 10 11 16 908 18 (2876) 120 260 1 C 1 ( X T X ) 1 120 1200 980 det(C ) 7160 260 980 960
11 12,5 17,4 13,5 15,5 11 14,4 13 16,4 18,5
10,6 12,2 17 14 14 10 15 12,2 16,5 18,2
9,4 11,8 17 12 16 9 13 11,8 15,5 17,8
10 12 . Như vậy: Y . . 16 18
5 0 6 0 3 3 6 3 9 8 3 9 8 4 8 0
9,3871 B ( X X ) ( X Y ) 0,1286 (0, 6174) T
1
T
Vậy phương trình hồi quy có dạng: y 9,3871 0,1286 x1 0, 6174 x 2 Kiểm định D 2 trên bảng ta đã có yi
C
10 12 17 13 15 10 14 12 16 18
Ta tính các s 2i , ở đây n=6 1 2,82 s 21 (0,5)2 (0,5)2 12 12 (0, 4)2 (0, 4)2 0,564 5 5
Tương tự ta có: 2,58 2,32 0,516 s 23 0, 464 5 5 2,50 2,50 s4 2 0,5 s 25 0,5 5 5 2,50 2, 40 s 26 0,5 s 2 7 0, 480 5 5 2,58 2,82 s 28 0,516 s 29 0,564 5 5 2,82 s 210 0,564 smax 2 0,564 5 0,564 0,564 0,1091 G 10 5,168 s 2i
s 22
i 1
Chọn mức ý nghĩa α=0,05; bậc tử m=n-1=5, bậc mẫu f=N=10. Tra bảng ta đ ược G . Vậy H phù hợp. Gα=0,3029. Ta có G o Ta dùng phương sai tái sinh để ước lượng σ2 S 2ts
5,168 0,5168 10
Kiểm định sự phù hợp của y Kiểm định j 0; s 2bj s 2ts C 1 jj s 2b 0 0,5168
2876 0, 2075 7160
1200 960 0, 08661 s 2b 2 0,5168 0, 06206 7160 7160 sb1 0, 2942 sb 2 0, 2492 s 2b1 0,5168
sb 0 0, 4555 b 9,3871 tbj j ; tb 0 20, 6083 sbj 0, 4555
0,1285 0, 4367 0, 2942 0, 6174 tb 2 2, 4775 0, 2492 tb1
Chọn α=0,05 bậc N-k-1=10-3=7 tα=1,9 Ta có tb1
4.9.3. Áp dụng cho hàm một biến Giả sử a. y 0 1 x b. N (0, ) Làm N thí nghiệm ta được bảng sau: N x0 x 1 1 x1 2 1 x2 . … … N 1 xN Tính toán b j Ta có thể tính B bằng việc đi giải hệ ph ương trình: N
[y i 0
i
( 0 1 xi )] xi 0
i
( 0 1 xi )] 0
N
[y i 1
Theo phương pháp bình phương cực tiểu: 1 x1 11 ............. 1 (1) x2 T CX X x1 x 2 .... xN ............ (1)( xN )
N N ( xi ) i 1 N N 2 ( xi )( x i ) i 1 i 1
N N 2 ( x )( i xi ) 1 i 1 i 1 C 1 ( X T X ) 1 N N N 2 2 N x i ( xi ) ( xi )( N ) i 1 i 1 i 1 y1 N y1 yi 11 ..........(1) i 1 T X Y . N ( x1)( x 2)..( xN ) . ( x y ) i i N i 1
N
N
N
N
i 1 N
i 1
yi x xi xiyi 2
B ( X T X ) 1 ( X T Y ) b 0
i 1
i 1 N
i
N x i ( xi )2 2
i 1
N
b1
N
N
N xiyi xi yi i 1
i 1
i 1
N
N
i 1
i 1
N x 2i ( xi )2
Để dễ tính toán ta lập bảng sau:
i 1
y y1 y2 … yN
TT 1 2 . . N Cộng
xi X1 X2 . . xN
yi Y1 Y2 . . yN
N
N
xi i 1
yi i 1
xi2 X12 X22 . . xN2 N
xi i 1
xiyi X1y1 X2y2 . . xNyN 2
N
xiyi i 1
Kiểm định: Giống như trường hợp k biến, lưu ý: N
s 2b 0 s 2ts
s 2b1 s 2ts
s
2 du
xi
2
i 1
N
N
i 1
i 1
N xi 2 ( xi )2 N N
N
i 1
i 1
N xi 2 ( xi )2
1 N ( yi yi ) N 2 i 1
2
Thí dụ: Tìm công thức liên hệ độ bền của sợi và độ ẩm của không khí: Độ ẩm không khí Độ bền của sợi (y) (x) TT (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 36 2 2,1 2,1 1,9 2 1,9 2 38 2,4 2,6 2,5 2,5 2,4 2,6 3 40 2,2 2,4 2,2 2,4 2,3 2,3 4 58 2,8 2,9 3,0 2,6 2,7 2,8 5 70 3,0 3,1 3,1 3,2 3,1 3,1 6 80 3,1 3,3 3,1 3,1 3,1 2,9 7 82 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 8 93 2,9 2,9 3,0 3,1 3,0 3,1
Độ bền TB 2 2,5 2,3 2,8 3,1 3,1 3,2 3,0
Áp dụng công thức ta có: b0=1,667, b1=0,0174 Vậy: y=1,667+0,0174x Kiểm định: * Kiểm tra Dξ=σ2. Theo bảng ta có n=6 thí nghiệm tại mỗi điểm i (i=1,8). Ta tính các s 2i (i=1,N)
1 6 ( y1t y1 )2 0, 008 6 1 t 1 Tương tự ta có: s 2 2 0, 008 ; s 23 0, 008 ; s 2 4 0, 02 ; s 25 0, 004 ; s 2 6 0, 016 ; s 2 7 0 ; s 21
s 28 0, 008
Smax2=0,02 0, 02 0, 02 0, 2778 G 8 0, 072 s 2i i 1
Chọn α=0,05, bậc tử n-1=6-1=5, bậc mẫu N=8. G α=0,3595 G . Vậy Dξ=σ2 Ta có: G Dùng phương sai tái sinh để ước lượng σ2 N 1 si 2 N i 1 0, 072 0, 009 8
S 2ts
S 2ts *
Kiểm tra j 0; tbj
bj sbj
N
s 2b 0 s 2ts
xi
2
i 1
N
N
i 1
i 1
N xi 2 ( xi )2
0, 009x
34377 0, 011 28007
0, 009x
8 0, 0000026 28007
sbo s 2b 0 0,105 s 2b1 s 2ts
N N
N
i 1
i 1
N xi 2 ( xi )2
sb1 0, 0158 1, 667 0, 0174 t 15,87; tb1 11, 012 b0 0,1058 0, 00158
Chọn α=0,05; bậc tự do của phương sai tái sinh: m=N(n-1)=8(6-1)=40 tα=1,68 Ta có: t b 0 t 0 0 t b 0 t 0 1
Vậy phương trình hồi quy có cả b 0 và b1. * Kiểm định sự phù hợp của y: 2
s 2 du
1 N ( yi yi ) 0, 048 N 2 i 1
Ta đã tính s 2ts 0, 009 Chọn thống kê: F
s 2 du F isher s 2ts
Bậc tử N-2=8-2=6; Bậc mẫu N(n-1)=8(5)=40 0, 048 5,3334 F 0, 009
Chọn α=0,05, Fα=2,3 suy ra F F . Vậy mô hình tuyến tính không phù hợp. 4.9.4. Tuyến tính hóa một số hàm số một biến phi tuyến a. Hàm số mũ: y=ab x + ξ y ab x . Hãy xác định a, b lg y lg a x lg b
Đặt lga=θ0; lgb= θ1 Ta có: Y= θ0 + θ1X Áp dụng công thức của PP bình phương cực tiểu ta tìm được b0 và b1. Từ đó suy ra a và b. b. Hàm số y 0 1x 2 x 2 Phương pháp 1: Tuyến tính hóa Đặt Y= y ; X1=x; X2=x2; Y= θ0+ θ1X1+ θ2X2 Áp dụng công thức của PP bình phương cực tiểu với k=2 biến, ta tính đ ược b0; b1; b2 Phương pháp 2: Áp dụng trực tiếp phương pháp bình phương cực tiểu ta tìm được b0, b1 và b2. Có thể mở rộng đến đa thức bậc n. c. Hàm số y ax b (a 0; x 0) Logarit hai vế: lg y lg a b lg x
Y= θ0+ θ1X (Trong đó lg y Y ; 0 lg a;1 b;lg x X ) Áp dụng công thức của PP bình phương cực tiểu ta tìm được b0 và b1 x ax b 1 1 Ta có: a b x y 1 1 Đặt Y ; X ; a 0 ; b 1 x y
d. Hàm số y
Khi đó: Y= θ0+ θ1X Áp dụng công thức của PP bình phương cực tiểu ta tìm được b0 và b1 4.9.5. Tuyến tính hóa một số hàm số nhiều biến phi tuyến y a x1a1 x 2a 2 x3a 3...xn an 0
Logarit hai vế: lny=lna0 + a1lnx1+a2lnx2+…+anlnxn
Đổi biến số về dạng: Y=A 0+a1X1+a2X2+…+anXn Áp dụng công thức của PP bình phương cực tiểu ta tìm được các hệ số b i Bài tập: 1. Xác định phương trình hồi quy thực nghiệm với các số liệu cho ở bảng sau: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 2,35 2,41 2,6 2,73 2,90 3,11 3,25 3,45 Đáp số: y=2,2285+0,1381x 2. Xác định phương trình hồi quy thực nghiệm với các số liệu cho ở bảng sau: xi 2 3 4 5 6 7 yi 11,52 15,12 18,47 22,05 25,61 28,05 Đáp số: y=4,5759+3,4913x
CHƯƠNG 5. QUY HOẠCH TRỰC GIAO 5.1. Quy hoạch trực giao và tính chất 5.1.1. Mở đầu Giả sử ta làm N thí nghiệm để đo y, ta được bảng số liệu sau: TT X1 X2 ….. xk 1 X11 X12 …… X1k 2 X21 X22 ……. X2k ……. ……. ……. ……. ……. N xN1 xN2 …… xNk Giả thiết:
y Y1 Y2 …… yN
y 0 1 x1 2 x2 ... k x k N (0, )
y 0 1 x1 2 x2 ... k x k (Phương trình hồi quy lý thuyết)
Bằng phương pháp BPCT ta tính được: B ( X T X ) 1 ( X T Y )
Trong đó:
1 x11 x12 ...( x1 k ) (1) x21 x22 ...( x2 k ) .............................. X .............................. .............................. (1) x x ...( x ) N1 N2 Nk
y1 y2 . Y . . yN
b0 b1 . B . . bk
Thay B vào phương trình ta được: y b b x b x ... b x là phương trình hồi quy thực nghiệm. X là ma trận dùng để 0 1 1 2 2 k k tính toán. Bây giờ ta xét vấn đề liệu có thể bố trí các thí nghiệm sao cho: - Số thí nghiệm ít nhất - Tính toán gọn - Bảo đảm mức độ chính xác 5.1.2. Định nghĩa quy hoạch trực giao (QHTG) QHTG là quy hoạch bố trí các thí nghiệm sao cho ma trận: 1 x11 x12 ...( x1 k ) (1) x21 x22 ...( x2 k ) .............................. X .............................. .............................. (1) x x ...( x ) N1 N2 Nk
Có tính chất:
N
x i 1
x 0 i là chỉ số thí nghiệm; m, j là chỉ số biến (m, j=0,k): Tích hai vect ơ cột bất
im ij
kỳ bằng không. Đó là tính chất trực giao. N
Khi m=0 thì x i0=1 với mọi i nên suy ra:
x i 0
ij
0; j 0 : Tổng các phần tử trong một
cột bất kỳ (trừ cột 1) đều bằng không . 5.1.3. Tính chất của QHTG Dựa trên phương pháp BPCT-chỉ khác là chủ động bố trí các thí nghiệm. Do đó các kết quả của phương pháp BPCT đều áp dụng được cho QHTG. Cụ thể, dựa v ào các định lý của phương pháp BPCT ta suy ra tính ch ất của QHTG. * Công thức tính các b j đơn giản (Dựa theo PP BPCT)-(Không chứng minh) b0
1 N
bj
1 N
N
y i 1
i
N
x y i 1
ij i ;
j 1, k
5.2. Quy hoạch trực giao cấp một 5.2.1. Định nghĩa Một cách bố trí thí nghiệm sao cho quy hoạch trực giao v à có thêm tính chất: N
C 2 j x 2 ij N (j 0, k ) i 1
Tổng bình phương các phần tử của một cột đúng bằng số thí nghiệm (N). 5.2.2. Tính chất Khi đó: b0
1 N
1 bj N
N
y i 1
i
N
x y i 1
ij i ;
j 1, k
5.2.3. Ma trận của QHTG cấp 1 Khi k=2 (số biến) ta có mô hình: y=b0+b1x1+b2x2 (1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1) X (1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)
Số thí nghiệm: N=2 2=4 Khi k=3 ta có: y=b0+b1x1+b2x2+b3x3
(1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) X (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1)
Số thí nghiệm: N=2 3=8 5.2.4. Mã hóa các biến (đổi biến) Ở trên, các phần tử của ma trận X là +1 và -1. Nhưng khoảng biến thiên của các biến mà ta nghiên cứu nói chung khác với [-1,+1]. Vậy ta phải tìm cách bố trí thí nghiệm sao cho X có tính chất trực giao. Gọi biến thực tế là Zj; j=1,k; Zjmin≤Zj ≤Zjmax Vấn đề đặt ra là đổi biến để xj=±1. Gọi : Z
0 j
Z min j Z max j 2
; Z j
Z max j Z min j 2
;xj
Zj Z0j Z j
Khi đó: Z j Z min j x j 1 Z j Z 0j xj 0 Z j Z m ax j x j 1
Kiểm định các kết quả: Việc kiểm định các giả thiết thống k ê hoàn toàn giống như đã trình bày trong phần PP BPCT, bao gồm: * Kiểm tra Dξ=σ2. Vì σ2 không biết nên ta dùng phương sai tái sinh để ước lượng σ2. Nếu không có điều kiện làm nhiều thí nghiệm tại mỗi điểm th ì ta có thể tính s 2ts như sau: Làm n0 thí nghiệm tại tâm, tức là x1=x2=……=x k=0 1 2 3 n0 Đo được y 0 ; y 0 ; y 0 ;......; y 0
s 2ts
1 n0 t (y 0 y 0) n0 1 t 1
y0
1 n0
n0
y t 1
t 0
Bậc tự do là n0-1 * Kiểm ta θj=0 ta làm như cũ. Chú ý: Khi có θj nào đó bằng không, nghĩa là xj thực sự không ảnh hưởng trực tiếp đến y nên số biến thay đổi. Trong trường hợp chung thì phải làm lại với mô hình mới
(không có x j tham gia). Nhưng trong q uy hoạch trực giao thì các bj không tương quan nên không phải làm lại thí nghiệm và không phải tính lại các b j≠0 đã có. * Kiểm định sự phù hợp của mô hình: Ở đây có thể dùng phương sai tái sinh b ằng cách làm n thí nghiệm tại các điểm nhưng cũng có thể làm n0 thí nghiệm tại tâm. 5.2.5. Thí dụ: Tìm mối quan hệ giữa y và z1, z2, z3 100≤z1≤200; 20≤z 2≤60; 10≤z 3≤30 TT X0 X1 X2 X3 Z1 Z2 Z3 y 1 + 100 20 10 2 2 + + 200 20 10 6 3 + + 100 60 10 4 4 + + + 200 60 10 8 5 + + 100 20 30 10 6 + + + 200 20 30 18 7 + + + 100 60 30 8 8 + + + + 200 60 30 12 Giả sử mô hình tuyến tính:
y 0 1 x1 2 x2 3 x3
Tính các hệ số của:
y b0 b1 x1 b2 x2 b3 x3
Theo phương pháp QHTG: 1 N yi 8,5 N i 1 1 N b1 xi1 yi 2,5 N i 1 1 N b2 xi2 yi 0,5 N i 1 1 N b3 xi3 yi 3,5 N i 1 b0
y 8,5 2,5 x1 0,5 x2 3,5 x3
* Kiểm định θj=0 Làm ba thí nghiệm ở tâm (n 0=3). Khi quy hoạch thí nghiệm ta làm sẵn luôn từ đầu không đợi đến đây mới làm. Ta được:
y10 8; y 2 0 9; y 30 8,8 y 0 8, 6 S 2ts
1 [(8-8,6)2 (9 8, 6)2 (8,8 8, 6)2 ] 0, 28 3 1
Sts 0, 28 0,55 sbj tbj tb1
sts N bj sbj
0,55 0, 2 8
tb 0
8,5 42,5 0, 2
2,5 12,5 0, 2 8
| 0,5 | 2,5 0, 2 3,5 tb 3 17,5 0, 2 tb 2
Chọn α=0,05, bậc tự do n 0-1=2. Tra bảng ta được tα=2,92. θ2=0 vì |tb2|< tα
Phương trình hồi quy dạng: y 8,5 2,5 x1 3,5 x3 * Kiểm định sự phù hợp của mô hình: Tính phương sai dư: S
2 du
N 1 ( yi y i ) N (k 1) i 1
2
Ý nghĩa: Phương sai dư càng bé càng t ốt. Dùng phương sai dư để tính ước lượng σ2. 2
1 8 S du ( yi y i ) 8 3 i 1 y 2,5; y 7,5; y 2,5 1 2 3 y 7,5; y 9,5; y 14,5 2
4
5
6
y 9,5; y 14,5 7 8 S
2 du
s 2 du 5, 2 26 2 5, 2; S ts 0, 28; F 2 18,57 5 s ts 0, 28
Yi
y i
yi y i
( yi y i ) 2
2 6 4 8 10 18 8
2,5 7,5 2,5 7,5 9,5 14,5 9,5
-0,5 -1,5 1,5 0,5 0,5 3,5 -1,5
0,25 2,25 2,25 0,25 0,25 12,25 2,25
12 14,5 -2,5 6,25 Chọn α=0,01 Bậc tử (v1, f1)=8-3=5 (Bậc tự do của phương sai dư=N-l (số hệ số có nghĩa) Bậc mẫu (v2, f2)=n 0-1=2(Bậc tự do của phương sai lặp) Tra bảng ta được Fα=99,3 Vì F F Phù hợp Cuối cùng phải đổi về biến thật: xj
z j z0 j z j
y 8,5 2,5
z 20 z1 150 3,5 3 50 10
y 0, 05 z1 0,35 z3 6
5.2.6. Vài nhận xét và kết luận về khả năng của QHTG cấp 1 (1). QHTG cấp 1 có thể xác định các hệ số của ph ương trình hồi quy dạng: k
y x ij j j 0
Nếu kiểm định không phù hợp ta có thể giả thiết mô h ình có dạng bậc hai không hoàn chỉnh: y x x x x 0 1 1 2 2 12 1 2 k
y x j j j 0
k
b x
i , j 0 i j
ij j
(Tổng quát)
Khi đó ta đặt x3=x1x2 ta được: y x x x đưa về tuyến tính ba biến. Khi đó ma trận quy hoạch l à: 0 1 1 2 2 3 3 N X0 X1 X2 X3 1 + + 2 + + 3 + + 4 + + + + Ta thấy X thỏa mãn tính chất của QHTG cấp 1. Tính toán nh ư trên ta xác định được các bj (j=0,3). Kiểm định như cũ. (2). Gặp mô hình dạng: y a a x a x 2 ... a x n thì đặt biến mới: 0 1 1 2 2 n n 2 n x1 x; x2 x ;....; x n x ta được: y a a x a x ... a x mô hình tuyến tính n biến. 0 1 1 2 2 n n Dùng phương pháp QHTG cấp 1 xác định các hệ số. Nếu không được thì dùng PP BPCT. (3). Một số trường hợp mô hình dạng y=f(x), cũng có thể biến đổi để trở về tuyến tính (bằng phương pháp đổi biến, đặt ẩn phụ và do đó dùng được QHTG cấp 1). Việc làm đó không phải chỉ đối với hàm một biến, mà ngay cả đối với hàm nhiều biến số miễn là điều kiện cho phép. Tức là sau khi biến đổi thì tính chất trực giao của ma trận X vẫn được bảo đảm.
(4). Nếu trường hợp bậc hai không ho àn chỉnh và kiểm định không phù hợp thì ta phải giả thiết mô hình là bậc hai hoàn chỉnh. y x x x x x 2 x 2 0 1 1 2 2 12 1 2 11 1 22 2 k
k
k
j 0
i j i , j 1
j 1
y x j j ijxi x j jj x 2 j
Trường hợp này nếu ta cũng biến đổi như trên thì X không còn tính chất trực giao nữa. Ta phải quy hoạch thí nghiệm theo kiểu khác. Đó l à QHTG cấp 2. (5). Ở trên ta đã xét quy hoạch với X=2 k gọi là quy hoạch toàn phần. Đôi khi người ta xét quy hoạch riêng phần. Khi đó N=2 k-1, N=2k-2, …., N=2 k-p. Xét trường hợp: N=2 k-1; * Khi k=3, khi đó y x x x 0 1 1 2 2 3 3
N=22=4 X 13
(1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) 2 hoặc X 3 (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1) (1)( 1)( 1)( 1)
Cột x3 có thể xác định bằng cách: x3=x1x2 ( X 13 ) hoặc x3=-x1x2 ( X 23 ) * Khi k=4, khi đó y x x x x 0 1 1 2 2 3 3 4 4
Cột x4 có thể xác định bằng cách: x4=x1x2 x4=-x1x2 x4=x1x3 x4=-x1x3 x4=x2x3 x4=-x2x3 x4=x1x2x3 x4=x1x2x3 5.2.7. Thí dụ về QHTN riêng phần: Nghiên cứu quá trình biến tính nhôm bằng Molipden (Mo). Tham số ra l à y (số hạt nhôm/1cm2). Các tham số vào: Z1: khối lượng Mo đưa vào (%) Z2: Nhiệt độ quá nung ( oC) Z3: Thời gian quá nung (phút) Z4: có tính chất định tính và chỉ nhận hai giá trị: - Làm nguội nhanh - Làm nguội chậm
Giá trị gốc của các tham số, cận tr ên và cận dưới của các biến và ∆Zj cho trong bảng sau: Yếu tố Hàm lượng Mo Nhiệt độ quá Thời gian quá Tốc độ nguội (%) nung (oC) nung (phút) Đặt biến Z1 Z2 Z3 Z4 0 840 60 Giá trị gốc Z j 0,40 (Mức cơ sở) Z j 0,15 100 60 0,55 940 120 Làm nguội Cận trên Z j nhanh 0,25 740 0 Làm nguội Cận dưới Z j chậm a. Mã hóa và lập ma trận thực nghiệm: xj
z j z0 j z j
; j 1, 2,3
Ở đây có 4 yếu tố ảnh hưởng. Thông thường phải tiến hành N=2 4=16 thí nghiệm. xj 1 zj z j
(1.3)
x j 1 z j z j xj 0 zj z0j
Nhưng ở giai đoạn đầu, khi chưa tìm vùng tối ưu mà chỉ xây dựng mô hình. Để ý đến biến z4 chỉ có tính chất định tính nên ta làm thí nghiệm riêng phần.N=2k-1=24-1=8 Giả sử mô hình là tuyến tính: y x x x x 0 1 1 2 2 3 3 4 4
Để xây dựng ma trận thực nghiệm ri êng phần ta đặt: x4=x1x2x3 hay 1=x1x2x3x4 Ta làm luôn ba thí nghiệm ở tâm: n 0=3. TT X0 X1 X2 X3 1 + 2 + + 3 + + 4 + + + 5 + + 6 + + + 7 + + + 8 + + + + 9 0 0 0 0 10 0 0 0 0 11 0 0 0 0
X4 + + + + 0 0 0
y 64 90 69 130 36 95 81 100 80 82 78
Chú ý: Để có ma trận z ta vẫn dùng quy tắc: xj 1 zj z j x j 1 z j z j xj 0 zj z0j
b. Tính bj 1 8 yi 81,3 8 i 1 1 8 b j xij yi 8 i 1 b1 20, 0; b2 11,9; b3 5,1; b4 9, 4 b0
Vậy y=83,1+20x 1+11,9x2-5,1x3-9,4x4 c. Kiểm định Dξ=σ2 Tính phương sai tái sinh theo thí nghiệm lặp ở tâm: s 2ts
1 3 1 ( y 0t y 0 ) [(80-80)2 +(82-80)2 +(78-80)2 ] 4 n0 1 t 1 2
Bậc tự do của phương sai tái sinh: n 0-1=3-1=2 Dùng phương sai tái sinh để ước lượng σ2 d. Kiểm định θj=0; tbj
bj sb j
;s
2 bj
s 2ts 4 0,5; N 8
sbj 0,5 0, 71
Chọn mức ý nghĩa α=0,05. Tra bảng Student với bậc tự do m=n 0-1=2 ta được tα=2,92. t 81,3 114,5; t 11,9 16, 7 b0 b2 0, 71 0, 71 t 20 28, 2; t 5,1 7, 2 b1 b3 0, 71 0, 71 t 13, 2;| t bj | t ; j 0,1, 2,3;
b4
Nên mọi hệ số cùng có nghĩa. e. Kiểm tra sự phù hợp của mô hình y Tính phương sai dư: 2
S
2 du
F
N 1 1 8 ( yi y i )2 ( yi yi ) 8 N (k 1) i 1 8 5 i 1
s 2 du F isher s 2ts
Bậc tử m=N-(k+1)= 3 Bậc mẫu: n=n 0-1=2 Chọn mức ý nghĩa α=0,05. Tra bảng ta có F α=19,2
82 F 4 Ta có: F F Vậy mô hình phù hợp.
Trường hợp chung khi dùng quy hoạch thí nghiệm riêng phần: Tùy theo điều kiện cụ thể người ta sẽ dùng (chọn) số nguyên p thích hợp. Thông thường khi k bằng 4 hoặc 5 ta có thể chọn p=1, khi k bằng 6 hoặc bằng 7 ta chọn p=2; khi k=8 hoặc 9 ta chọn p=3. Việc chọn n ày cần bảo đảm số thí nghiệm lớn h ơn số tham số cần xác định trong mô hình thống kê. Cách tiến hành lập phương án thí nghiệm như sau: - Đầu tiên ta chọn trong k nhân tố (biến v ào) k-p nhân tố chính và k-p nhân tố chính đó nhận các giá trị như trong quy hoạch thí nghiệm toàn phần. - Sau đó, giá trị của p nhân tố còn lại, tại mỗi thí nghiệm sẽ phụ thuộc v ào giá trị của các nhân tố chính tại thí nghiệm đó, theo p hệ thức gọi l à p hệ thức sinh. Các hệ thức sinh này cần tự chọn sao cho ma trận thí nghiệm của mô h ình thống kê vẫn giữ được tính chất trực giao. Muốn vậy thông thường có thể chọn p hệ thức sinh dạng: x j x j1 x j 2 ...x js
Trong đó: x j không phải là các nhân tố chính và xj1, xj2,…xjs là các nhân tố chính. 5.3. Kế hoạch thực nghiệm bậc 1 hai mức tối ưu (84) 5.3.1. Kế hoạch bậc 1 hai mức tối ưu toàn phần (Kế hoạch 2 k) (84) 5.3.1. Kế hoạch bậc 1 hai mức tối ưu riêng phần (Kế hoạch 2 k-p) (90) 5.3.3. Các ưu điểm của kế hoạch bậc một hai mức tối ưu (95) 5.4. Quy hoạch trực giao cấp 2 5.4.1. Khái niệm về QHTG cấp 2 Khi kiểm định mô hình tuyến tính hoặc mô hình cấp hai không đầy đủ mà thấy không phù hợp thì việc sử dụng quy hoạch trực giao cấp 1 không hiệu quả. Ta phải xét đến QHTG cấp 2. Xét mô hình bậc hai đầy đủ: k
k
k
j 1
i j i , j 1
j 1
k
k
k
j 1
i j i , j 1
j 1
y 0 j x j ij xi x j jj x j2 N (0, ) y Ey
Ta có: y x x x x 2 j j ij i j jj j 0
D 2
Vấn đề đặt ra là phải quy hoạch thí nghiệm thế n ào để được mô hình thống kê y biểu diễn gần đúng tốt nhất y. Người ta đề nghị một cách bố trí thí nghiệm nh ư sau gọi là QHTG cấp 2. Gồm ba loại thí nghiệm: Loại 1: Gồm n1=2k-1 hoặc 2k-p thí nghiệm gióng như QHTG cấp 1. Loại 2: Gồm n0 thí nghiệm ở tâm (x 1=0, x2=0, …,x k=0) ứng với ( z10 , z20 ,..., z k0 ) Loại 3: Gồm nk=2k thí nghiệm bố trí trên các trục tọa độ cách gốc tọa độ một đoạn α>0 sao cho ma trận X trực giao, tức là lấy xj=±α. Vậy tổng số thí nghiệm là: N=2k+n0+2k Ta sẽ xét các vấn đề sau đây: - Xây dựng ma trận X - Tìm các hệ số - Kiểm định kết quả 5.4.2. Xây dựng ma trận X (Ma trận thực nghiệm) Để theo dõi phương pháp, ta xét k=2. Khi k>2 cách làm c ũng tương tự. y x x x x x 2 x 2 0 1 1 2 2 12 1 2 11 1 22 2
Lúc này: n 1=22=4; nk=2.2=4. Ma trận X có dạng: ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 1 x 2 ) ( x 21 ) ( x 2 2 ) (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) X (1) ..( 0 ) ..( 0 ) ...( 0 ) ....( 0 ) ....( 0 ) (1) ( ) .( 0 ) .. .( 0 ) ....( 2 ) ..( 0 ) 2 (1) ( ) .( 0 ) ...( 0 ) ....( ) ..( 0 ) 2 (1) ..( 0 ) .( ) ...( 0 ) ....( 0 ) ..( ) (1) ..( 0 ) .( ) ...( 0 ) ....( 0 ) ..( 2 ) Nếu ta chọn α và hai cột x12 ; x22 không khéo thì ma trận không có tính chất trực giao v ì: N
x u 1 N
x u 1
x 0; j 1, 2
2 u 0 uj
x 0(i j )
2 ui uj
Để giải quyết khó khăn đó ng ười ta làm như sau: a. Chọn α:
N .2k 2 2k 1 ; k
b. Làm phép biến đổi: x j x 'j 2
x 'j x 2j x j ; j 1, k
Trong đó:
2
xj 2
xj
1 N
N
x u 1
2 uj
2 2 2 N k
Vậy: x 'j x 2j
1 k (2 2 2 ); k N
Với k=2 ta có: 1
1 2 x 'j x 2j (22 2.1) x 2j 9 3 2 1 u 1, 2,3, 4; xu' 1 1 3 3 2 2 u 5; xu' 1 0 3 3 2 1 u 6, 7; xu' 1 1 3 3 2 2 u 8,9; xu' 1 0 3 3
Hoàn toàn tương tự ta tính được x2' Ma trận X khi đó: ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 1 x 2 ) ( x '1 ) ( x '2 ) (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( 1 ) ...( 1 ) 3 3 1 1 (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) 3 3 1 1 (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) 3 3 1 1 (1) ..( ) ..( ) ...( ) ...( ) ...( ) 3 3 X 2 2 (1) ..( 0 ) ..( 0 ) ...( 0 ) .( ) ( ) 3 3 1 2 (1) ( 1) . ( 0 ) ...( 0 ) ...( 3 ) ..( 3 ) (1) ( 1) .( 0 ) ...( 0 ) ...( 1 ) ..( 2 ) 3 3 (1) ..( 0 ) .( 1) ...( 0 ) .( 2 ) ..( 1 ) 3 3 2 1 (1) ..( 0 ) .( 1) ...( 0 ) .( ) ..( ) 3 3
Ma trận này rõ ràng có tính chất trực giao. 5.4.3. Các công thức tính toán
Ta vẫn sử dụng các công thức mã hóa và các công thức khác như cũ. Lưu ý: 1 N
b0
N
y u 1
u
N
bj
x u 1 N
x
uj u
x
( j 1, k )
2 uj
u 1 N
bij
N
x u 1 N
x yu
ui uj
(x
x )
;b jj
2
ui uj
u 1
x u 1 N
' uj
(x
yu
'
u 1
uj
)2
5.4.4. Kiểm định giả thuyết - Để kiểm định Dξ=σ2 ta vẫn dùng phương sai tái sinh tính theo các thí nghi ệm ở tâm. - Để kiểm định xem các hệ số có bằng 0 hay không ta phải tính các phương sai. sts2 2 sts2 2 s ; sbj N ; sbij N 2 xuj 2 b0
u 1
2 sbjj
sts2 N
(x u 1
x )2
ui uj
2 ts
s N
(x u 1
' 2 uj
)
Để kiểm định sự phù hợp của mô hình ta vẫn so sánh hai phương sai tái sinh (đã biết) và phương sai dư được tính như sau: 2 sdu
N 1 ( yi y i ) N (k 1) i 1
2
Trong đó k là các số hạng chứa biến còn lại trong mô hình của y . 5.4.5. Các ví dụ Thí dụ: Cần xác định các điều kiện để đạt được độ phân hủy cực đại hợp chất Borat bằng hỗn hợp các axit sunfuric và axit phốtphoric. Bậc phân tích của y phụ thuộc v ào các yếu tố sau: Z1: Nhiệt độ phản ứng Z2: Thời gian phản ứng Z3: Tỷ lệ của axit phốtphoric (%) Z4: Nồng độ của axit phốtphoric ( % P2O5) Giá trị chính và khoảng biến đổi của các yếu tố cho trong bảng sau: TT Z1 Z2 Z3 Z4 0 55 37,5 80 32,8 z j z j 25 25,5 20 18,8
30≤Z1≤80
15≤Z 2≤60
60≤Z 3≤100 14≤Z 4≤51,6
Từ các thí nghiệm sơ bộ thấy rằng, các điều kiện tối ưu tiến hành quá trình nằm trong miền biến đổi các thông số ta d ùng QHTG cấp 2. 4
4
y x x x x x x x x x x x x x x 2 j j 12 1 2 13 1 3 14 1 4 23 2 3 24 2 4 34 3 4 jj j 0 j 1
j 1
Để lập ma trận thực nghiệm ta chuyển từ z sang x : x j
zj z
0 j
z j
4
Số thí nghiệm với k=4 là 2 +1+2.4=25
25.2 2 23 2 1, 414
x 'j x 2j
1 4 1 4 (2 2 2 ) x 2j (24 2.2) x 2j N 25 5
TT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
X0 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
X1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 0 +1,4 -1,4 0 0 0 0 0 0
X2 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 0 0 0 +1,4 -1,4 0 0 0 0
X3 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 0 0 0 0 0 +1,4 -1,4 0 0
Tính bj, sbj theo các công thức đã cho:
X4 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0 0 0 0 0 0 0 +1,4 -1,4
x1'
x2'
x3'
x4'
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 1,2 1,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 1,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 1,2 -0,8 -0,8
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 -0,8 1,2 1,2
y 86,9 40 66 54,4 76,6 55,7 91 47,6 74,1 52 74,5 29,6 94,8 49,6 68,6 51,8 61,8 95,4 41,7 79 42,4 77,6 58 45,6 52,3
b0 61,54; b11 4,5; b13 0, 2 b1 17,34; b22 1,3; b14 1, 2 b2 6, 4; b33 4, 09; b23 0,56 b3 4, 7; b44 5,34; b24 0, 76 b4 4,37; b12 2,18; b34 1,9
* Kiểm định Dξ=σ2 Dùng sts2 - muốn tính phương sai tái sinh ta làm bốn thí nghiệm tại tâm y10 61,5%; y20 59,3% y30 58, 7%; y40 69% 1 4 0 yi 60,9% 4 i 1 n0 4 y0
2
sts2
1 4 0 ( yi y 0 ) 5,95 3 i 1
* Kiểm định các hệ số: sts2 5,95 0, 238 sb 0 0, 238 0, 4878 N 25 sts2 sts2 5,95 2 sbj N k 0, 297 sbj 0, 297 0,545 2 20 2 2( 2) 2 x sb20
u 1
s 2 bij
uj
sts2 N
(x
x )2
sts2
ui uj
u 1
s 2 bjj
N
(x u 1
tbj
sts2 5,95 k 0,371 sbij 0,371 0, 61 2 16
' 2 uj
)
5,95 0, 743 sbjj 0, 743 0,864 16(0, 2) 7(0, 8) 2 2(1, 2) 2 2
bj sbj
Suy ra: t0= 126,15; t 1=31,9; t 2=11,7; t3= 8,64; t4=8,04; t12=3,57; t13=0,328; t 14=1,97; t11=5,2; t22=1,5; t33=4,73; t44=6,22; t23=0,91; t24=1,25; t34=3,8 Chọn α=0,05 bậc tự do n 0-1=4-1=3. Tra bảng tα=2,35. So sánh ta thấy: 22 ; 13 ; 14 ; 23 ; 24 0
Vậy phương trình hồi quy có dạng:
y 61,5417,37x 6,4x 4,7x 4,37x 2,18x x 1,9x x 4,5(x 20,8) 4,09(x 2 0,8) 5,34(x 2 0,8) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4
58,917,37x1 6,4x2 4,7x3 4,37x4 2,18x1x2 1,9x3x4 4,5x12 4,09x325,34x42
Kiểm định sự phù hợp của mô hình: Ta đã tính sts2 5,95 bậc tự do là 3
2 sdu
25 1 396, 2 ( yi y i )2 N (k 1) i 1 25 10
2 sdu 26, 4 4, 4 F sts2 5,95
Bậc tử (Bậc tự do của phương sai dư, V1, f1, N-l): 15 Bậc mẫu (Bậc tự do của phương sai lặp, V2, f2, n 0-1): 3 Chọn α=0,05. Tra bảng Fisher ta được Fα=8,6. F mô hình phù hợp. F Đưa về biến Z với công thức: xj x3
z j z 0j z j
; x1
z1 55 z 17,5 ; x2 2 ; 25 22,5
z3 80 z 32,8 ; x4 4 20 18,8
Thay vào ta có: y 90, 64 0, 242Z 1 0, 07 Z 3 0,35Z 4 0, 00388Z 1Z 2 0, 00506Z 3Z 4 0, 0072Z 12 0, 0120Z 32 0, 015Z 42
5.5. Kế hoạch thực nghiệm bậc 2 (114) 5.5.1. Mô tả vùng phi tuyến (vùng hầu như ổn định) (114) 5.5.2. Các kế hoạch bậc hai trực giao (115) 5.5.3. Các kế hoạch bậc hai tâm xoay (119) 5.5.4. Các ví dụ (131)
CHƯƠNG 6. CÁC KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM ĐẶC BIỆT (177) 6.1. Phương pháp đơn hình để kế hoạch hóa thực nghiệm v à tối ưu hóa (177) 6.2. Kế hoạch hóa tiến hóa các thực nghiệm (181) 6.3. Kế hoạch thực nghiệm khi nghi ên cứu biểu đồ thành phần-tính chất (184) 6.3.1. Phương pháp mạng đơn hình 6.3.2. Kế hoạch mạnh đơn hình Scheffe 6.3.3. Kế hoạch trung tâm đơn hình 6.3.4. Kế hoạch thực nghiệm khi nghi ên cứu một phần biểu đồ 6.3.5. Kế hoạch tối ưu D 6.3.6. Kế hoạch với sự cực tiểu hóa sai số có tính hệ thống 6.3.7. Kế hoạch hóa thực nghiệm khi nghi ên cứu quan hệ phụ thuộc của tính chất v ào tỷ lệ các cấu tử
CHƯƠNG 7. TỐI ƯU HÓA THỰC NGHIỆM 7.1. Các bước thực hiện tối ưu hóa thực nghiệm Bước 1 - Xác định một điểm xuất phát nằm trong miền giới hạn tổng thể của các biến đầu vào. Chọn điểm đó làm mức cơ bản, chọn khoảng biến thiên của từng biến để xác định miền giới hạn của quy hoạch thực nghiệm trực giao cấp một. Bước 2 - Làm các thí nghiệm theo quy hoạch trực giao cấp một - Xây dựng phương trình hồi quy bậc nhất . Nếu phương trình hồi quy bậc nhất không tương thích thì chuyển tới thực hiện bước 4 . Nếu phương trình hồi quy bậc nhất tương thích thì thực hiện bước 3. Bước 3 - Xác định vectơ gradient của hàm mục tiêu tại mức cơ bản và xuất phát từ mức cơ bản xác định tọa độ các điểm thực nghiệm nằm cách đều nhau trên hướng của vectơ gradient với khoảng cách tự chọn phù hợp với đối tượng nghiên cứu. Làm thực nghiệm để xác định một điểm có giá trị hàm mục tiêu tốt nhất trên hướng gradient. Chọn điểm tìm được làm điểm xuất phát mới và quay về bước 2 . Bước 4 - Làm các thí nghiệm theo quy hoạch cấp hai (trực giao hoặc quay). Bước 5 - Xây dựng phương trình hồi quy bậc hai. - Nếu phương trình hồi quy bậc hai không tương thích thì chuyển tới thực hiện bước 6. - Nếu phương trình hồi quy bậc hai tương thích thì thực hiện bước 7. Bước 6 - Thu hẹp khoảng biến thiên của các biến đầu vào rồi quay về bước 5. Bước 7 - Tìm cực trị của hàm mục tiêu thu được ở dạng phương trình hồi quy bậc hai thu được ở bước 5 và làm lại thực nghiệm để kiểm chứng và đánh giá kết quả. 7.2. Quy hoạch thực nghiệm tìm cực trị 7.2.1. Đặt bài toán Ta đã dùng các phương pháp bình phương cực tiểu, QHTG cấp 1 và QHTG cấp 2 để tìm mối quan hệ giữa y và các xi (i=1,k) dưới dạng đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Lưu ý rằng các đa thức đó biểu diễn gần đúng đối t ượng thật. Bây giờ hãy tìm x1* , x2* ,..., xk* sao cho y ( x1* , x2* ,..., x*k ) y ( x1 , x2 ,..., x k ) ( x1 , x2 ,..., x k ) D Hay : y ( x1* , x2* ,..., x *k ) y ( x1 , x2 ,..., x k ) ( x1 , x2 ,..., x k ) D
Lúc này có thể chọn một trong hai cách sau:
- Nếu chúng thỏa mãn với độ chính xác của mô h ình thống kê đã thu được thì để giải bài toán trên chúng ta chỉ việc dùng các phương pháp của quy hoạch toán học tương ứng để tìm cực trị. Nếu mô hình là tuyến tính thì dùng các phương pháp của quy hoạch tuyến tính, nếu mô hình là phi tuyến tính thì dùng các phương pháp của quy hoạch phi tuyến tính. - Nếu không thỏa mãn với độ chính xác của mô h ình thống kê đã thu được (chẳng hạn còn nghi ngờ miền xác định còn quá rộng nên độ chính xác quá thô) thì trước khi dùng các phương pháp của quy hoạch toán học ta phải t ìm cách thu hẹp vùng chứa điểm cực trị, hay nói một cách vắn tắt ta phải d ùng thực nghiệm để tìm vùng cực trị. Nội dung chủ yếu của chương này là xét cách giải quyết thứ hai. Theo cách n ày, các phương pháp quy hoạch thực nghiệm để tìm cực trị chia ra làm hai giai đoạn: GĐ1: Tìm vùng chứa điểm cực trị bắt đầu từ mô h ình cấp 1. GĐ2: Sau khi tìm được vùng chứa điểm cực trị ta dùng QHTG cấp 2 để xây dựng mô hình bậc hai. Cuối cùng ta dùng các phương pháp quy ho ạch phi tuyến để tìm cực trị. Trong giai đoạn 1 lại có thể dùng một trong hai hướng : + Hướng dùng đạo hàm (PP leo dốc Box-Winson) + Hướng không dùng đạo hàm (tìm kiếm) (PP đơn hình đều) 7.2.2. Phương pháp leo dốc Box-Wilson 7.2.2.1. Nội dung của phương pháp: Ta biết rằng, vectơ gradien của hàm y=f(x) tại điểm x 0 (ký hiệu grad f(x 0)) chỉ ra lượng tăng nhanh nhất của hàm y tại điểm x. gradf ( x0 )
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) i1 i2 ... ik x1 x2 x k
Trong đó:
f ( x0 ) đạo hàm riêng theo biến xj ; i1, i2,…,ik là các vectơ đơn vị theo x j
các trục tọa độ tại x0. Nội dung của phương pháp Box-Winson như sau: Xét một miền con D 0ЄD. Tâm của D0 là Z0 và Z0 ứng với x 0. QHTG cấp 1 tìm phương trình hồi quy bậc nhất: k
y b b x f (x ) j j 0 j 1
Kiểm định sự phù hợp của y nếu y phù hợp với mô hình nghĩa là mặt cong y xấp xỉ được mặt phẳng thì D0 không phải là điểm cực trị. Bước chuyển sang vùng con D1 được thực hiện theo hướng grad f(x 0). Theo hướng này ta cứ đi cho tới khi hàm y không tăng được nữa. Ta được điểm mới- với điểm mới ta lặp lại quá tr ình như trên. Cứ làm như vậy cho tới khi phương trình bậc nhất không phù hợp nữa Ta tìm được vùng chứa điểm cực trị. Ta chuyển sang giai đoạn hai. 7.2.2.2. Thuật toán leo dốc: a. Tính các thành phần của gradien:
Giả sử ta đang ở điểm x 0 ta muốn chuyển tới điểm x theo h ướng gradien tại x 0. Theo khai triển Taylo, ta có: f ( x0 ) 1 k k 2 f ( x0 ) 1 k 2 f ( x0 ) 2 x j 2 x ix j ... x j ... x j 2! i 1 j 1 xi x j 2! j 1 x j2 j 1 N
f ( x ) f ( x0 )
Nếu ta lấy gần đúng đến số hạng bậc nhất th ì từ x0 đến x hàm f đã tăng được một lượng là : f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) x1 x2 ... x k x1 x2 x k
Nếu ở miền D 0 mô hình là tuyến tính thì:
f ( x0 ) b j ( j 1, k ) x j
Vì vậy, hàm f đã tăng được một đại lượng là: b1x1 b2 x2 ... bk x k
b. Chọn nhân tố cơ sở và tìm bước đi: Để tìm bước đi hiệu quả nhất ta sẽ để ý tới số hạng nào trong hàm trên tăng lên nhiều nhất. Biến tương ứng là nhân tố cơ sở. Ta gọi các khoảng biến đổi tương ứng theo biến thật là z j ; j 1, k . Tìm chỉ số j* đạt: b j* z j* max b j z j
Vậy j* là chỉ số nhân tố cơ sở. - Ta chọn độ dài bước cho nhân tố cơ sở là hj* - Các độ dài bước hj* của các nhân tố khác được tính theo h j*: hj h j*
b j z j b j* z j*
hj
b j z j b j* z j*
hj*
c. Tiến hành thí nghiệm - Gọi Z0 là tâm miền D0 trong tọa độ thật, ký hiệu là điểm M0. Với độ dài bước ở trên. Ta đến M1 có các tọa độ: z1j z 0j 2h j ; j 1, k
Làm thí nghiệm đo kết quả ta được y1. Cứ làm như vậy ta được một dãy các y0, y1,…,yn. Vừa làm vừa đo vừa so sánh: y0 y1 tiếp tục làm y2 y1 y2 tiếp tục làm y3 ………………………. y p y p 1 mặt cong bắt đầu giảm. Ta dừng lại ở M p+1 với trung tâm miền nghiên cứu mới Dp. Kiểm định sự phù hợp của phương trình bậc nhất. Nếu thỏa mãn thì ta lại tìm độ dài bước và làm thí nghiệm. Cứ như vậy cho đến khi mô hình bậc nhất không phù hợp nữa Ta đến vùng cực trị. 7.2.2.3. Thí dụ: Tiếp tục thí dụ nghiên cứu quá trình biến tính nhôm bằng Mo. Bằng QHTG cấp 1 ta đã được mô hình: y=83,1+20x 1+11,9x2-5,1x3-9,4x4 Và kiểm định mô hình thấy phù hợp.
b1z1 20.0,15 3 b2 z2 11,9.100 1190 b3 z3 5,1.60 306
Ta có: *
0
b j* z j* b2z 2 nghĩa là j =2. Vậy nhân tố cơ sở là Z2 . Ta chọn bước hj*=h2=10 C (tăng
nhiệt độ quá nung). h1
b1z1 3 h2 x10 0, 03 b2 z2 1190
h3
b3 z3 306 h2 x10 3 b2 z2 1190
Yếu tố Z4 có tính chất định tính và chỉ lấy giá trị +1 và -1. Vì số x4 âm nên trong tất cả các bước ta lấy Z4 âm. Các giá trị chuyển động leo dốc cho trong bảng. Thí nghiệm 12 cho kết quả tốt nhất (366 hạt/1cm 2). Độ lớn của tham số tối ưu thỏa mãn yêu cầu của người nghiên cứu nên phương pháp quy hoạch dừng lại. TT Danh mục %Mo(Z1) Nhiệt độ Thời gian Tốc độ (y) Số nung (Z2) nung (Z3) nguội (Z4) hạt/1cm2 bj 20 11,9 -5,1 -9,4 bj∆Zj 3 1190 -360 -9,4 Bước hj 0,03 10 -3 -9,4 TN tương đương 0,43 850 57 Chậm Nt 0,46 860 54 Chậm 10 TN thực 0,49 870 51 Chậm 108 TN tương đương 0,52 880 48 Chậm Nt 0,55 890 45 Chậm 11 TN thực 0,58 900 42 Chậm 196 12 Nt 0,61 910 39 Chậm 366 13 Nt 0,64 920 36 Chậm 313 TN tương đương 0,67 930 33 Chậm 14 TN thực 0,70 940 30 Chậm 142 Thực ra ở đây ta mới tới điểm: Z1=0,61; Z2=910; Z3=39; Z4= -1 là tâm miền D1 nhưng người nhận lời giải đã thỏa mãn nên ta dừng lại. 7.2.3. Phương pháp đơn hình đều tìm cực trị 7.2.3.1. Đường lối chung: Một đơn hình đều trong không gian k chiều có tâm gốc tọa độ là một đa diện có đúng k+1 đỉnh cách đều gốc tọa độ và có độ dài các cạnh bằng nhau. Trong không gian một chiều, đơn hình đều là một đoạn thẳng. Trong không gian hai chiều, đơn hình đều là một tam giác đều. Trong không gian ba chiều, đ ơn hình đều là một hình chuông tam giác đều.
-Đầu tiên ta tiến hành k+1 thí nghiệm xuất phát sao cho các điểm thí nghiệm là các đỉnh của đơn hình đều nói trên. Ta được k+1 kết quả ra: y 1, y2,…,yk+1. Sẽ có một điểm thí nghiệm ứng với kết quả ra kém nhất. - Ta thay điểm đó bằng điểm phản chiếu của nó qua tâm của mặt đối diện. Điểm ảnh cùng với các điểm còn lại của đơn hình cũ lại tạo thành một đơn hình đều mới. - Đối với đơn hình đều mới, ta chỉ làm thêm một thí nghiệm ở điểm ảnh. Ta lại so sánh các kết quả ra và sẽ tìm được điểm thí nghiệm ứng với k êt quả ra kém nhất. Ở đây có ba vấn đề cần giải quyết: -Xây dựng đơn hình xuất phát thế nào? - Chuyển từ tọa độ giả x j sang tọa độ thật như thế nào? - Tìm các tọa độ của điểm ảnh thế nào? 7.2.3.2. Xây dựng đơn hình xuất phát: Người ta chứng minh được rằng, các tọa độ của k+1 đỉnh của đ ơn hình đều trong không gian R k là các tọa độ của k+1 véc tơ hàng của ma trận sau: ( x1 )( x2 )( x3 ).......( x j )( x k 1 )......( x k ) ( x1 )( x2 )( x3 ).......( x j )( x k 1 )......( x k ) (0)( 2 x )( x ).......( x )( x )......( x ) 2 3 j k 1 k (0)(0)( 3 x3 ).......( x j )( xk 1)......( xk ) X ........................................ .............. (0)(0)(0).......( jx )( x )......( x ) j k 1 k (0)(0)(0).......(0)... ( k 1) xk 1......( xk ) (0)(0)(0).......(0)(0).................( kxk )
Trong đó x 1 tùy chọn, các x j khác (j=2,k) được tính theo công thức sau: xj
x1 2 j ( j 1)
Tâm của đơn hình là (0,0,0,…..,0) độ dài cạnh là a=2x. Khi k=6, x1=0,5 tức là a=1 ta có:
0,5 -0,5 0 0 0 0 0 0
K=2 0,289 0,289 -0,578 0 0 0 0
K=3 0,204 0,204 0,204 -0,612 0 0 0
K=4 0,518 0,518 0,518 0,518 -0,632 0 0
Chuyển tọa độ x j sang tọa độ Zj vẫn theo công thức:
K=5 0,129 0,129 0,129 0,129 0,129 -0,645 0
K=6 0,109 0,109 0,109 0,109 0,109 0,109 -0,654
xj
Z j Z 0j Z j
; j 1, k
7.2.3.3. Tìm tọa độ của điểm ảnh: Xét đơn hình đều trong không gian R k với k+1 đỉnh. Giả sử đỉnh Z 1 ứng với kết quả ra bé nhất. Mặt đối diện đỉnh Z 1 tạo thành bởi các đỉnh còn lại Zi (i≠1). Trước hết ta tính các tọa độ điểm trọng tâm của tứ diện: Z cj
1 k 1 i Z j ; j 1, k k i 1 i j
1
Đỉnh mới Z đối xứng với đỉnh bỏ đi Z qua trọng tâm Zc. Vậy: Zc
1
1 1 2 k 1 (Z Z 1' ) Z 1' 2Z c Z 1 Z 1'j (Z ij Z 1j ); j 1, k 2 k i 1 i j
7.2.3.4. Thí dụ: Người ta đã nghiên cứu phản ứng xảy ra theo s ơ đồ A B C D trong dung dịch rượu. Chất lượng và số lượng sản phẩm D (ký hiệu y) phụ thuộc v ào các yếu tố: Z1: Thời gian phản ứng (giờ) Z2: Nồng độ rượu trong dung dịch Z3: Nồng độ chất C Z4: Nồng độ chất D Z5: Nồng độ [B/A] Bảng yếu tố cho như sau: TT Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 0 2,0 0,65 0,1 0,25 1,2 Zj Z j 0,2 0,15 0,025 0,05 0,2 Dùng phương pháp đơn hình đều với k=5, ta có ma trận X: 0,500 0, 289 0, 2040 0,1580 0,129 0,158 0,129 0,5 0, 289 0, 204 0 0,578 0, 204 0,158 0,129 X 0 0, 612 0,158 0,129 0 0 0 0 0, 632 0,129 0, 645
Biến đổi sang các biến Z bằng các côn g thức: Z 0,10 Z1 2, 0 Z 0, 65 ; x2 2 ; x3 3 ; 0, 2 0,15 0, 025 Z 1, 20 Z 0, 25 x4 4 ; x5 5 0, 05 0, 20 x1
Khi đó, ma trận của đơn hình ban đầu với kích thước thật có dạng (ta có sáu đỉnh của đơn hình đều):
TT Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
N 1 2 3 4 5 6
Z1 2,10 1,90 2,00 2,00 2,00 2,00
Z2 0,693 0,693 0,564 0,650 0,650 0,650
Z3 0,105 0,105 0,105 0,085 0,100 0,100
Z4 0,258 0,258 0,258 0,258 0,218 0,250
Z5 1,225 1,225 1,225 1,225 1,225 1,075
y 0,760 0,491 0,513 0,675 0,693 0,666
Y là giá trị đo được. Theo bảng y2=min(y1, y2,…,yt)=0,491 Ta bỏ đỉnh Z2 thay nó theo ánh xạ phản chiếu, ta được đỉnh Z 7 đối xứng với Z 2 qua mặt tạo bởi các điểm 1,3,4,5,6. Tính tọa độ trọng tâm C của mặt tạo bởi các điểm 1,3,4,5,6 4.2, 0 2,1 2, 02 5 3.0, 65 0,564 0, 693 0, 641 5 2.0,105 0, 085 2.0,1 0, 099 5 3.0, 285 0, 218 0, 250 0, 298 5 4.1, 225 0, 075 1,195 5
Z1( C ) Z 2( C ) Z 3( C ) Z 4( C ) Z 5( C )
Tọa độ: ( C) Z (7) 2Z ( C ) Z (2) Z (7) Z (2) j 2Z j j ; j 1,5
Z1(7) 2.202 19 2,14 Z 2(7) 2.0, 641 0, 693 0,589 Z 3(7) 2.0,99 0,105 0, 093 Z 4(7) 2.0, 298 0, 258 0, 238 Z 5(7) 2.1,195 1, 225 1,165
Điểm mới thứ 7 cùng với các điểm còn lại tạo nên một đơn hình 1,3,4,5,6,7. Ta sẽ có bảng sau: N 1 3 4 5 6 7
Z1 2,10 2,00 2,00 2,00 2,00 2,14
Z2 0,693 0,569 0,650 0,650 0,650 0,589
Z3 0,105 0,105 0,085 0,100 0,100 0,093
Z4 0,258 0,258 0,258 0,218 0,250 0,238
Z5 1,225 1,225 1,225 1,225 1,075 1,165
y 0,760 0,513 0,675 0,643 0,666 0,810
Sau khi tiến hành thí nghiệm 7, điểm kém nhất của đ ơn hình 1,3,4,5,6,7 là điểm thứ ba. Hình chiếu của nó qua mặt 1,4,5,6,7. Loại đỉnh Z 3, thêm vào đỉnh Z8 đối xứng với Z3 qua mặt 1,4,5,6,7. Tọa độ tâm C của mặt 1,4,5,6,7 l à: 2,1 3.2 2,14 2, 048 5 0, 693 3.0, 65 0,589 0, 646 5 0,105 0, 085 2.0,1 0, 093 0, 096 5 2.0, 285 0, 218 0, 250 0,338 0, 264 5 3.1, 225 1, 075 1,165 1,183 5
Z1( C ) Z 2( C ) Z 3( C ) Z 4( C ) Z 5( C )
Từ đây ta tính được Z8 Z1(8) 2, 04; Z 2(8) 0, 633; Z 3(8) 0, 098; Z 4(8) 0, 247; Z 5(8) 0,190;
N Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 y 1 2,10 0,693 0,105 0,258 1,225 0,760 4 2,00 0,650 0,685 0,258 1,225 0,675 5 2,00 0,650 0,100 0,218 1,225 0,693 6 2,00 0,650 0,100 0,250 1,075 0,666 7 2,14 0,589 0,093 0,238 1,165 0,810 8 2,04 0,633 0,098 0,247 1,190 0,792 6 Đo được y8=0,792 nên loại Z ứng với: Y6=min(1,4,5,6,7,8). Thêm Z9. Cứ tiếp tục như vậy đến khi đạt được điểm tối ưu. 7.2.4. Quy hoạch thực nghiệm giải bài toán nhiều mục tiêu 7.2.4.1. Đặt bài toán Trong thực tế thường xuất hiện bài toán: Trong một hệ thống cần nghiên cứu mối qua hệ của m biến ra y 1, y2,…,ym đối với k biến vào x1, x2,…,xk và sau khi nhận được mô hình biểu diễn các mối quan hệ đó, cần t ìm một phương án trong miền ràng buộc cho trước sao cho đạt được cực trị của m mục tiêu. Bài toán cực trị nêu trên có thể phát biểu như sau: Xét m hàm, k biến y1 f1 ( x1 , x2 ,..., x k ) y f ( x , x ,..., x ) 2 2 1 2 k ................................ ym f m ( x1 , x2 ,..., xk )
Hãy tìm điểm ( x1* , x2* ,..., xk* ) sao cho:
f1 ( x1* , x2* ,..., x*k ) f1 ( x1 , x2 ,..., x k ) f 2 ( x1* , x2* ,..., x*k ) f 2 ( x1 , x2 ,..., x k ) ........................................ ............. f m ( x1* , x2* ,..., xk* ) f m ( x1 , x2 ,..., xk ) ( x1 , x2,..., xk ) D
Đó là bài toán quy hoạch đa mục tiêu. Trong thực tế, rất khó có một điểm ( x , x ,..., xk* ) làm cực đại m mục tiêu cùng một lúc như vậy. Do đó điểm ( x1* , x2* ,..., xk* ) thường gọi là điểm lý tưởng và thay vào việc tìm điểm lý tưởng người ta tìm điểm tối ưu theo một nghĩa nào đó. Như vậy, QHTN giải bài toán nhiều mục tiêu chia ra làm hai giai đoạn: GĐ1: Xây dựng mô hình gồm m phương trình hồi quy. Để làm điều này ta vẫn tiến hành N thí nghiệm nhưng tại mỗi điểm thí nghiệm ta không chỉ đo giá trị của một biến ra mà của m biến ra y 1, y2,…,ym. Khi đó ta có bảng: N X1 X2 …………… Xk Z1 Z2 …………… Zk y1 y2 ……… .y m 1 y11 y12…………… y1m 2 y21 y22…………… y2m . . . . . . N YN1 yN2………… yNm * 1
* 2
Đối với mỗi biến y 1, y2,…,ym cách xây dựng mô hình và kiểm định vẫn như cũ. GĐ2: Tìm điểm tối ưu chung cho m mô hình. Đến đây ta có hai cách: - Nếu ta thỏa mãn với độ chính xác của các mô h ình thì ta chỉ việc sử dụng các phương pháp quy hoạch đa mục tiêu để tìm cực trị. - Nếu ta không thỏa mãn với độ chính xác của các mô hình thì ta phải làm tiếp bằng quy hoạch thực nghiệm. Ta sẽ xét ph ương pháp Harring ton. 7.2.4.2. Phương pháp Harrington: a. Tổ hợp các mục tiêu: Harrington dùng phương pháp t ổ hợp các mục tiêu thành một mục tiêu chung bằng việc đưa ra một hàm mong muốn dạng: Q q1.q2 .....q m
Trong đó: q 1, q2,…,qm là các hàm của y1, y2,…,ym và y1, y2,…,ym lại là hàm của x1, x2,…,xk. Q=F(x1, x2,…,xk) Nhưng chọn qj, i=1,m như thế nào? Harrington đề nghị chọn q j sao cho khi y j tốt nhất trong một khoảng mong muốn th ì qj=1. Còn yj xấu nhất nghĩa là ngoài khoảng mong muốn thì qj=0. Các giá trị trung gian của q j cho theo thang giá trị sau: yj Rất tốt
qj 0,8-1
Tốt Đạt Xấu Rất xấu
0,63-0,80 0,37-0,63 0,20-0,37 0-0,2
Sở dĩ chọn 0,37 và 0,63 vì 1/e=0,37 và 1-1/e=0,63 Để tìm biểu thức liên hệ giữa qj và yj (j=1,m) Harrington làm như sau: Giả sử: y j y j y j j=1,m qj e y 'j
| y 'j |ne
1
e
yj y
| y 'j |ne
0 j
y j
Còn ne là hằng số được xác định như sau: Đối với mỗi y1, ta lấy các giá trị xác định y xdj ; q xdj . Thay vào phương trình trên ta sẽ giải được ne. ne
ln ln(1/ q1 ) ln | y1' |
Thí dụ: Giả sử ta có: 100≤y j≤220 Ta chọn y xdj 200; q xdj 0,85 200 160 40 2 60 60 3 2 ( )n 1 Khi đó: 0,85 2 n e 3 ( ) e3 1 2 n ln[ln( - )] 0,85 3 y 'j
b. Tổ chức thí nghiệm: Đầu tiên, ta bố trí thí nghiệm như bảng 1. Sau đó ta tính các giá trị Q i (i=1,N) theo công thức Q q1.q2 .....q m . Trong đó q j được tính theo công thức q j e
| y 'j |ne
1
e
N 1 2 . . . N
| y 'j |ne
và y
X1 X 2
' j
y j y 0j y j
…………Xk
. Như vậy ta có bảng sau: Z1 Z 2
…………… Zk
y1
y2 ……… .y m
Q
y11 y12…………… y1m y21 y22…………… y2m
Q1 Q2
.
.
.
.
.
.
YN1 yN2………… yNm
QN
Ta tìm các phương trình hồi quy y1, y2,…,ym. Từ đây ta có thể xây dựng đ ược ( x , x ,..., x ) phương trình hồi quy cho Q 1 2 k Để tìm cực trị của Q ta dùng phương pháp Box-Winson hoặc phương pháp đơn hình đều tìm riêng cực trị rồi lại dùng quy hoạch phi tuyến tính. ( x , x ,..., x ) . Thay Giả sử ta tìm được điểm tối ưu là ( x1* , x2* ,..., xk* ) cho Q 1 2 k * * * ( x1 , x2 ,..., xk ) vào các phương trình hồi quy của y1, y2,…,ym ta tìm được các giá trị tương ứng y1 ( x1* , x2* ,..., x*k ); y2 ( x1* , x2* ,..., x*k );....; y m ( x1* , x2* ,..., x*k ) . 7.2. Các phương pháp tối ưu hóa (248) 7.3. Tối ưu hóa nhờ hàm nguyện vọng (251) 7.4. Phương pháp nghiên cứu bề mặt đáp trị 7.4.1. Tối ưu hóa bằng phương pháp leo dốc theo mặt đáp trị (Bề mặt biểu diễn) (96) 7.4.2 Tối ưu hóa bằng phương pháp nghiên cứu bề mặt biểu diễn (mặt đáp trị) (124)
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Nguyễn Minh Tuyển. Quy hoạch thực nghiệm. NXB KHKT, 2005. [2]. Bùi Công Cường, Bùi Minh Trí. Giáo trình xác su ất và thống kê ứng dụng. NXBGTVT, 1997. [3]. Nguyễn Doãn Ý. Giáo trình quy hoạch thực nghiệm. NXBKHKT, 2004. [4]. Giang Thị Kim Liên. Bài giảng quy hoạch thực nghiệm (Các phương pháp thống kê xử lý số liệu thực nghiệm), ĐH Đ à Nẵng 2009. [5]. Lê Đức Ngọc. Xử lý số liệu và kế hoạch hóa thực nghiệm. Khoa Hóa, ĐHQGHN, 2001. [6]. Douglas C. Montgomery. Design and Analysis of Experiment, 5 th, John Wiley and Son, inc, 2001. [7]. Zivorad R.Lazic. Design of Experiments in Chemical Engineering. Wiley -VCH, 2004. [8]. Design Expert Software 8.0 (Ph ần mềm quy hoạch thực nghiệm) .
