BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Khoa Kinh tế đối ngoại Lớp: K11402B MSSV: K114020317 Họ và tên: Võ Thanh Sang

Thứ năm ngày 22 tháng 03 năm 2012 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Điểm

Lời phê của Giảng viên

1. Quy tắc cộng: Ví dụ 1: Một người muốn mua một chiếc xe máy tay ga hoặc xe số. Xe tay ga có 4 loại, xe số có 6 loại. Hỏi người đó có bao nhiêu cách để mua một chiếc xe ? Bài làm: - Xe tay ga sẽ có 4 sự lựa chọn - Xe số sẽ có 6 sự lựa chọn  Nên số cách để người đó có thể mua một chiếc xe là 4 + 6 = 10 cách. 2. Quy tắc nhân: Ví dụ 2: Một bạn gái có 6 cái áo và có 6 cái quần. Hỏi bạn gái có bao nhiêu cách mặc đồ (biết rằng mỗi lần chỉ mặc một áo và một quần). Bài làm Khi đề hỏi cách mặc đồ thì ta phải hoàn thành cả việc mặc áo và mặc quần. - Quần có 6 cách chọn. - Áo có 6 cách chọn.  Vậy số cách mặc đồ là 6 x 6 = 36 cách. Ví dụ 3: Một bạn gái muốn diện đồ đi chơi Tết. Bạn đó có 6 đôi giày, 5 cái nón, 5 thỏi son môi Lipice, 10 cái áo, 8 cái quần. Hỏi bạn ấy có bao nhiêu cách diện đồ đi chơi Tết ? Bài làm Công việc diện đồ đi chơi tết được hoàn thành khi chọn xong tất cả: giày, nón, thỏi son, áo, quần. Giày: 6 cách Nón: 5 cách Thỏi son: 5 cách Áo: 10 cách Quần: 8 cách Vậy số cách để người này diện đồ đi chơi tết là: 6.5.5.10.8 = 12.000 cách. Ví dụ 4: Người ta phát hành vé số, trên mỗi tờ vé số gồm 6 chữ số được chọn từ các chữ số 0, …., 9. Hỏi có thể có bao nhiêu tờ vé số được phát hành? 1

Bài làm Gọi abcdef là số trên tờ vé số. Ta có: - a có 10 cách chọn. - b có 10 cách chọn (vì trên tờ vé số ta có thể chọn lại số đã chọn trước) - c có 10 cách chọn. - d có 10 cách chọn. - e có 10 cách chọn. - f có 10 cách chọn.  Vậy có 106 tờ vé số được phát hành theo yêu cầu của đề bài. 3. Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị: Ví dụ 5: Một bàn có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ? Bài làm Số cách xếp chỗ ngồi cho 04 học sinh là hoán vị của 4 phần tử P4  4!  24 cách xếp chỗ Ví dụ 6: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từ các số 1, 2 , …, 6 ? Bài làm Ta có 6 số, lập nên số tự nhiên gồm 03 chữ số, vậy có nghĩa rằng ta sẽ chọn ngẫu nhiên 3 trong 6 số đã cho để lập nên số tự nhiên, và thứ tự các số này là quan trọng, vì mỗi thứ tự khác nhau sẽ tạo thành số khác nhau. Vậy, số cách để lập các số theo yêu cầu để bài là: A36  120 (cách) Ví dụ 7: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từ các số 0, 1, 2, …, 6? Bài làm Gọi số cần tìm là ABC . Xét ở vị trí A do số 0 không thể đứng đầu nên ở vị trí này có 6 sự lựa chọn, lập luận tương tự ví dụ 6, BC được tạo ra từ 06 số còn lại và có A62 cách. Vậy, chúng ta có thể lập : 6  A62  180 (số) Ví dụ 8: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3 ,…., 9. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 thẻ từ 9 thẻ (không phân biệt thứ tự các thẻ). Bài làm Chọn 3 thẻ ngẫu nhiên trong 9 thẻ và thứ tự các thẻ không quan trọng nên số cách chọn là: C39  84 (cách) 2

Ví dụ 9: Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một đội văn nghệ gồm 5 nam va 5 nữ (giả sử ai cũng tham gia được)? Bài làm Do không có phân biệt thứ tự nên số cách: -

Chọn 05 nam trong 30 HS nam là: C530 cách.

-

Chọn 05 nữ trong 20 HS nữ là: C520 cách.

Do đội văn nghệ gồm cả 05 nam và 05 nữ, nên áp dụng quy tắc nhân, ta có:ố cách lập là:

C530  C520  2.209.413.024 cách. Ví dụ 10: Một lớp học có 20 học sinh nam và 30 học sinh nữ. Cần lập ra một tam ca nữ và một đội múa gồm 5 nam, 5 nữ. a) Có bao nhiêu cách thực hiện việc này? b) Có bao nhiêu cách thực hiện nếu ai đã tham gia ca thì không tham gia múa? Bài làm a. Dựa vào dữ kiện đề bài cho ta thấy, thứ tự các học sinh là không quan trọng. -

Lập một tam ca nữ trong 30 HS nữ, có C330 cách.

-

Lập đội múa gồm 5 nam + 5 nữ +

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 nam trong 20 HS nam là: C520 cách.

+

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 nữ trong 30 HS nữ là: C530 cách.

+

5 Ta áp dụng quy tắc nhân để tìm số cách lập đội múa: C520  C30 cách.

Yêu cầu của đề bài là lập ra một tam ca nữ và một đội múa gồm 5 nam, 5 nữ. Nên ta phải 5 áp dụng quy tắc nhân. Vậy số cách cần tìm là: C330  C520  C30 (cách)

b. Có bao nhiêu cách thực hiện nếu ai đã tham gia ca thì không tham gia múa? - Số cách lập ra tam ca nữ : đáp án câu a. - Số cách lập ra đội múa gồm 5 nam và 5 nữ: Do ai đã tham gia ca thì không tham gia múa nên số nữ còn lại là 30  3  27 nữ. Vậy số cách để lập nên đội múa sẽ là:

C520  C527 (cách). - Yêu cầu của đề bài là lập ra một tam ca nữ và một đội múa gồm 5 nam, 5 nữ (nếu ai đã tham gia ca thì không tham gia múa). Nên ta phải áp dụng quy tắc nhân, tìm được đáp số là: C330  C520  C527 cách BÀI TẬP Bài 1. Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ,1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. a. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bi từ mỗi hộp? b. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 2 bi đỏ? 3

c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 2 bi đỏ và 2 bi trắng? d. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bi đỏ và 1 bi trắng? Bài làm a. Do không phân biệt thứ tự nên hộp 1 có C102 cách chọn, tương tự hộp 2 cũng có

C102 cách chọn. Vậy sẽ có C102  C102 cách chọn 2 bi từ mỗi hộp. b. Chọn được 02 bi đỏ xảy ra các trường hợp sau: Hộp 1 Hộp 2

Trường hợp 1 2 đỏ 2 trắng

Trường hợp 2 1 đỏ + 1 trắng 1 đỏ + 1 trắng

Trường hợp 1: -

Lấy từ hộp I hai bi đỏ có : C92 cách

-

Lấy từ hộp II hai bi trắng có : C24 cách

-

Áp dụng quy tắc nhân (do một trường hợp là phải lấy được 04 bi) ta có số cách chọn được 2 bi đỏ là: C92  C42  216 cách.

Trường hợp 2: - Lấy từ hộp I; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C19  C11 cách. -

Lấy từ hộp II; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C16  C14 cách.

-

Tương tự trường hợp 1, ta áp dụng quy tắc nhân có số cách chọn ở TH2 là:

C19  C11  C16  C14  216 cách. Ta áp dụng quy tắc cộng cho câu b này (vì mỗi trường hợp 1 và 2 đều đã hoàn thành được công việc là chọn ra 4 bi mà có 2 bi đỏ), ta có số cách chọn theo yêu cầu đề bài là: 216  216  432 cách. c. Câu hỏi ở câu c là chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng, đó cũng chính là 2 trường hợp được liệt kê ra ở câu b, vậy đáp án vẫn là 432 cách chọn. d. Chọn 3 đỏ + 1 trắng Hộp 1 Hộp 2

Trường hợp 1 2 đỏ 1 đỏ + 1 trắng

Trường hợp 2 1 đỏ + 1 trắng 2 đỏ

-

Lập luận tương tự câu b, ta có:

-

Trường hợp 1: Số cách chọn là : C92  C16  C14  864 cách.

-

Tường hợp 2: Số cách chọn là : C19  C11  C62  135 cách.

Áp dụng quy tắc cộng ta có, số cách chọn thỏa YCBT là: 864  135  999 cách. Bài 2. Một lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nam và 20 nữ). Chọn ngẫu nhiên 4 sinh viên. a. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 4 sinh viên ? b. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 2 sinh viên nam và 2 sinh viên nữ ? c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được ít nhất 1 sinh viên nam ? 4

d. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được nhiều nhất 2 sinh viên nam ? e. Hỏi có bao nhiêu cách chọn được 4 sinh viên nữ ? Bài làm a. Chọn 4 sinh viên trong 50 sinh viên không phân biệt thứ tự nên số cách chọn là: 4 C50  230.300 cách chọn.

b. Chọn 2 SV Nam và 2 SV nữ -

2 Giai đoạn 1: chọn 2 SV nam, có C30  435 cách chọn.

-

Giai đoạn 2: chọn 2 SV nữ, có C 220 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ở câu này là: 435 190  82.650 cách. c. Chọn ít nhất 1 SV nam, đây là biến cố đối vs biến cố không chọn được SV nam nào, tức chọn được 4 SV nữ. -

-

Số cách chọn 4 SV nữ là: C420  4845 cách.

-

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 SV trong 50 SV không quan trọng thứ tự là:

4 C50  230.300 cách. Vậy số cách chọn được ít nhất 1 SV nam là: 230.300  4.545  225.455 cách.

d. Nhiều nhất 2 SV nam

-

Trường hợp 1 Trường hợp 2 Nam 1 2 Nữ 3 2 1 3 Trường hợp 1: số cách chọn là: C30  C20  34.200 cách.

-

2 2 Trường hợp 2: số cách chọn là: C30  C20  82.650 cách.

Áp dụng qui tắc cộng ta có số cách cần tính là: 34.200  82.650  116.850 cách. e. Số cách chọn được 04 SV nữ đã làm ở câu c, đáp án là 4845 cách. -

: ỏi có bao nhiêu cách tạo thành một số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và là 1 số ch n từ các số 0,1,2,…,9. Bài làm Ở đạng toán này, lập một số có 03 chữ số mà tìm số ch n khi có mặt số 0 (không), ta phải tiến hành xét xem các trường hợp số cuối cùng có phải là số 0 hay không? Gọi số cần tìm là ABC , ta có: TH1: C = 0 A: có 09 cách chọn (bỏ số 0) B: có 08 cách (do các số phải khác nhau) 5

Vậy số cách để lập trong TH1 là: 1 9  8  72 cách. TH2: C  0 C: có 4 cách chọn (gồm 2, 4, 6, 8) A: có 8 cách chọn (lẽ ra có 9 nhưng số 0 không được đứng đầu) B: có 8 cách chọn (vì trường hợp này có thể tính số 0 vào) Vậy số cách lập là: 8  8  4  256 cách. Áp dụng qui tắc cộng đối với TH1 và TH2 ta có, số cách để lập số có 03 chữ số phù hợp YCBT là: 256  72  328 cách. người

ó 10 người cần xếp thành một hàng ngang. và :

ỏi có bao nhiêu cách xếp để hai

a. Đứng cạnh nhau. b. Không đứng cạnh nhau. c. Đứng cách nhau 1 người. d. Đứng cách nhau 5 người. Bài làm a. Đứng cạnh nhau - A và B có thể hoán vị cho nhau có 2!  2 cách sắp xếp. - A và B ghép lại xem như là một người sắp chung với 8 người còn lại thành hàng 9 người sẽ có 9!  362.880 cách sắp xếp. - Áp dụng qui tắc nhân ta có số cách sắp xếp là: 2  362.880  725.760 cách sắp xếp b. ứ ạ A và B không đứng cạnh nhau là phần bù của và đứng cạnh nhau, vậy số cách để và không đứng cạnh nhau là: 10! 725.760  2.903.040 cách. c. Đứ ườ - A và B có thể hoán vị cho nhau được 2!  2 cách sắp xếp. - Có 8 cách chọn 1 người đứng giữa A và B. - Xem như , người đứng giữa và là 01 người đứng cùng 7 người còn lại có 8! cách sắp xếp nữa. - Áp dụng qui tắc nhân, số cách sắp xếp thỏa YCBT là: 2  8  8!  645.120 cách sắp xếp. d. Đứ ườ - A và B có thể hoán vị cho nhau được 2!  2 cách sắp xếp. - chọn 05 người đứng giữa A và B, có phân biệt thứ tự vì đổi chỗ sẽ được cách sắp mới nên có A85 cách sắp xếp. -

Ghép , 5 người ở giữa và có 4! cách sắp xếp.

là 1 người đứng cùng với 03 người còn lại vậy

6

-

Áp dụng qui tắc nhân, ta có số cách sắp xếp là: 2  A85  4!  322.560 cách.

Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa. ỏi có bao nhiêu cách xếp: a. 8 người cùng ở một toa. b. 8 người ở 8 toa khác nhau. c. A, B cùng ở toa đầu. d. , cùng 1 toa. e. , ở cùng một toa, ngoài ra không c n ai khác. Bài làm ườ ộ Xếp ngẫu nhiên 08 người (chỉ có 08 người) vào cùng một toa xe mà xe lại có 10 toa, vậy có 10 cách sắp xếp. b. ườ c nhau. Khi 8 người lên 8 toa, 8 toa này phân biệt và hoàn toàn khác nhau, nên số cách sắp a.

8 sẽ là: A10  1.814.400 cách.

c. A, B ở cùng toa đầu, có 01 cách chọn. n 06 người còn lại, mỗi người có thể có quyền chọn 10 toa, vậy có 10 10 10 10 10 10  106 cách sắp nữa. Áp dụng qui tắc nhân ta có: 1106  106 cách sắp xếp. d. Tương tự câu c, chỉ khác ở chỗ, A và B lúc này sẽ có 10 cách chọn. Nên đáp số sẽ là: 10 106  107 cách chọn. e. ộ r A và B lên cùng 1 toa nên có 10 cách chọn. Do trong toa và không có người nào nữa nên 6 người còn lại mỗi người chỉ còn có 09 cách chọn, nên số cách chọn của 06 người này là: 9 6 cách sắp xếp. Áp dụng qui tắc nhân, ta có số cách sắp xếp là: 10  96 cách sắp xếp. ộp thứ nhất có 8 chai thuốc (trong đó có 3 chai kém ph m chất). ộp thứ hai có 5 chai thuốc (trong đó có 2 chai kém ph m chất). ấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một chai. ỏi có bao nhiêu cách: a) ấy được 2 chai thuốc. b) ấy được 2 chai thuốc tốt. c) ấy được 1 chai tốt và 1 chai kém ph m chất. Bài làm a. Số

ấ ượ ố Hộp 1: lấy ngẫu nhiên 1 chai thuốc trong 8 chai không phân biệt thứ tự nên có

C18 cách lấy.

7

Hộp 2: lấy ngẫu nhiên 1 chai thuốc trong 5 chai không phân biệt thứ tự nên có

C15 cách lấy.

Áp dụng qui tắc nhân, có số cách lấy được hai chai thuốc là: C18  C15  8  5  40 cách. b.

c.

X

ấ ượ ố ố Có duy nhất 01 trường hợp: -

Hộp 1: 1 tốt có C15 cách lấy.

-

Hộp 2: 1 tốt có C13 cách lấy.

-

áp dụng qui tắc nhân có C15  C13  5  3  15 cách.

ấ

ượ ố - Xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1 Hộp 1 Tốt Hộp 2 Xấu rường hợp 1:

ấ Trường hợp 2 Xấu Tốt

Số cách lấy là: C15  C12  5  2  10 cách. X

rường hợp 2: Số cách lấy là: C13  C13  3  3  9 cách. Áp dụng qui tắc cộng có: 10  9  19 cách lấy.

*

: ó 12 người trong đó có 7 nam và 5 nữ xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. ỏi có bao nhiêu cách để xếp 12 người sao cho: a) Thành một hàng ngang. b) Nữ không đứng cạnh nhau. c) hỉ có hai chị và đứng cạnh nhau. d) hỉ có hai chị đứng cạnh nhau. Bài làm

a. T ộ Sắp xếp thành 01 hàng ngang ngẫu nhiên, bất kì, nên số cách xếp là 12!  479.001.600 cách. b. ữ ứ ạ Do nữ không đứng cạnh nam nên nữ phải đứng xem kẽ với nam. (M: male) M M M M M M B A M - 7 nam sẽ có 7! cách sắp xếp. - Giữa 7 nam có 6 chỗ cho nữ vào + với đầu và đầu B. Tổng cộng có 8 chỗ cho nữ vào. Sự sắp xếp 5 nữ này vào 8 chỗ trên là có phân biệt thứ tự và bằng: A85 cách. c.

Áp dụng qui tắc nhân, số cách cần tìm là: 7! A85  33.868.800 cách.

ỉ ị ứ ạ Tương tự câu b, - 7 nam có 7! cách sắp xếp 8

và

đứng cạnh nhau có 2! cách sắp xếp.

-

Hai chị

-

A và B gộp chung thành 1, sắp cùng vs 3 nữ còn lại vào 8 chỗ, vậy có A84 cách sắp.

d.

-

Vậy số cách sắp xếp sẽ là: 7! 2! A84  16.934.400 cách sắp xếp.

-

ị ứ ạ Xếp 7 nam trước có 7!.

-

Lấy ngẫu nhiên 2 chị và 2 chị này có phân biệt thứ tự nên có A52 cách lấy.

-

Gộp chung 2 chị này lại, xem như có 4 chị xếp vào 8 chỗ trống có A84 cách

ỉ

xếp. -

Áp dụng qui tắc nhân có: 7! A52  A84  169.344.000 cách sắp xếp.

ột ban lãnh đạo gồm 10 thành viên của có trách nhiệm đảm bảo rằng tất cả các dự án xây dựng mới đáp ứng các chu n mực được đề ra. ột nhà ga mới có dự tính được xây dựng ở . ột ủy ban nhỏ gồm 4 thành viên được chọn ra để xem xét dự án này. ỏi có bao nhiêu cách chọn ra 4 thành viên này? Bài làm Lập 1 ủy ban gồm 4 người, chọn ngẫu nhiên trong 10 thành viên của TP HCM, không phân biệt chức vụ và thứ tự là không quan trọng nên số cách lấy là: C104 cách. : ột thành viên của tổ chức bảo vệ môi trường muốn chọn lựa ngẫu nhiên một mẫu gồm 10 bãi rác. Trong thành phố hiện có 15 bãi rác mà cô ấy có thể chọn lựa. ỏi có bao nhiêu cách chọn lựa? Bài làm Thành viên này chọn ngẫu nhiên 10 bãi rác trong số 15 bãi rác; không phân biệt thứ tự nên số cách để chọn là: C10 15  3003 cách. Tờ báo Times đã chu n bị 15 câu hỏi để phỏng vấn tổng thống. ọ sẽ chọn lựa ra 10 câu hỏi. ỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau để chọn lựa ra 10 câu hỏi này biết rằng việc chọn lựa có sắp thứ tự ? Bài làm Tờ báo Times chọn ngẫu nhiên 10 trong 15 câu hỏi và có phân biệt thứ tự để hỏi tổng thống, vậy số cách để chọn là: A10 15 cách. ột công ty sắp được thành lập với 3 người lãnh đạo, một nhóm gồm 7 nhà quản l hoàn toàn có đủ khả năng để đảm nhận các vai tr này. ỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 nhà lãnh đạo từ 7 nhà quản l hiện có ? Bài làm Chọn 3 người lãnh đạo trong 7 người quản lí, không phân biệt thứ tự nên số cách chọn sẽ là: C 37 cách. 9

II. PHÉP THỬ (THÍ NGHIỆM) NGẪU NHIÊN và BIẾN CỐ 2.1 Phép thử và biến cố ngẫu nhiên ụ Một người bắn 03 viên đạn vào một mục tiêu. Hỏi có bao nhiêu trường hợp và liệt kê các trường hợp này ? Bài làm A là biến cố bắn trúng một mục tiêu = { A1 A2 A3 ; A1A2 A3 ; A1 A2A3 } B là biến cố có 2 viên bắn trúng mục tiêu = { B1B2 B3 ; B1 B2B3 ; B1B2 B3 } C là biến cố có 3 viên trúng mục tiêu = { C1C 2 C3 } D là biến cố có ít nhất một viên trúng mục tiêu = {ABC} E là biến cố không viên nào trúng mục tiêu = { E1 E2 E3 } ụ ột thí nghiệm liên quan đến việc thảy một con xúc xắc. ãy nên r các biến cố sơ cấp trong những biến cố sau đây: a. : quan sát được số 2 b. : quan sát được một số lẻ c. : quan sát được một số nhỏ hơn 4 d. D : quan sát được cả và e. : quan sát được hoặc hoặc cả hai f. : quan sát được cả và . Bài làm Biến cố sơ cấp có trong các trường hợp được liệt kê là: : Quan sát được số 2. Ví dụ 14-1: Một nhà đầu tư sở hữu 3 loại cổ phiếu. Mỗi cổ phiếu, độc lập với nhau sẽ có những khả năng sau (1) giảm giá trị;(2) tăng giá trị; (3) không thay đổi giá trị. Liệt kê tất cả những kết quả có thể xảy ra của 3 cổ phiếu này? Bài làm Các kết quả có thể xảy ra được mô tả trong bảng sau: Cổ phiếu I

Cổ phiếu II

Cổ phiếu III

1

1

1

1

1

2

1

1

3

1

2

1

1

2

2

1

2

3

1

3

1

10

1

3

2

1

3

3

2

1

1

2

1

2

2

1

3

2

2

1

2

2

2

3

1

1

3

1

2

3

1

3

3

2

1

3

2

2

3

2

3

3

3

1

3

3

2

3

3

3

2.2 Quan hệ giữa các biến cố ụ ột lớp học có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ anh văn hoặc háp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi nh văn, 15 sinh viên giỏi háp văn. ỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả nh văn và háp văn ? Bài làm Sỉ số lớp là 30 SV, nhưng số người biết tiếng Anh và tiếng Pháp cộng lại là 20  15  35 người > sỉ số lớp. Vậy số người giỏi cả hai ngôn ngữ là: 35  30  5 người. ụ ột hội nghị có 50 đại biểu tham dự thì trong đó có 30 người biết tiếng nh, 20 người biết tiếng háp, 15 người biết tiếng Nga, 10 người biết tiếng nh và háp, 8 người biết tiếng nh và Nga, 5 người biết tiếng háp và Nga, 3 người biết tiếng nh, háp, Nga. ỏi có bao nhiêu người: a) b)

iết ít nhất một ngoại ngữ kể trên hỉ biết tiếng nh. Bài làm

ười biết ít nhất một ngoại ngữ ược tính theo công thức: Người biết tiếng Anh + Biết tiếng Pháp + biết tiếng Nga – người biết tiếng Anh, Nga - người biết tiếng Anh, Pháp – người biết tiếng háp, Nga + người biết tiếng Anh, Pháp, Nga = 30  20 15 10  8  5  3  45 người. a. Số

11

b. Chỉ biết tiếng Anh Số người biết tiếng Anh – số người biết tiếng Anh, Pháp – số người biết tiếng Anh Nga + số người biết tiếng Anh, Pháp, Nga = 30 10  8  3  15 người. ụ -1: bi. Tìm:

ột hộp có 10 viên bi, trong đó có 8 viên bi xanh. ấy ngẫu nhiên ra 3 viên

a. Xác suất để cả 3 viên bi là bi xanh b. Xác suất để chỉ có 2 viên bi xanh. Bài làm a. Gọi A là là biến cốlấ ượ - Số trường hợp thuận lợi để lấy được 03 bi xanh là: C 83 -

Số trường hợp đồng khả năng là: C103

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(A) 

C83 7  3 C10 15

b. Gọi B là biến lấ ược chỉ 2 viên bi xanh - Số trường hợp thuận lợi cho B là: C82 C12 -

Số trường hợp đồng khả năng là: C103 Vậy xác suất cần tìm là: P(B)

C82C12 7  3  C10 15

ụ ột hộp thuốc có 20 ống thuốc, trong đó có 16 ống thuốc c n hạn. ấy ngẫu nhiên ra 4 ống. Tìm: a) Xác suất để chỉ có 3 ống c n hạn b) Xác suất để chỉ có 1 ống c n hạn. Bài làm a. Gọi A là biến cố lấ ược 3 ống còn hạn sử dụng - Số trường hợp thuận lợi cho A là: C163 C14 -

Số trường hợp đồng khả năng là: C420 Vậy xác suất cần tìm là: P(A)

3 C16 C14 448  4  C20 969

b. Gọi B là biến cố lấ ược chỉ có 1 ống còn hạn sử dụng - Số trường hợp thuận lợi cho A là: C116 C34 -


-

Vậy xác suất cần tìm là: P(B) 

C116C34 64  4 C20 4845

ụ Đoàn tàu gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở trong đó đang có 12 hành khách chờ lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau: mỗi toa c n ít nhất 12 chỗ trống. Tìm xác suất để: 12

a) Tất cả cùng lên toa II b) Tất cả cùng lên một toa c) Toa I có 4 người, toa II có 5 người, c n lại lên toa III d) Toa I có 4 người. Bài làm a. Gọi A là biến cố tất cả cùng lên toa II - Số trường hợp thuận lợi cho A là 1. -

Số trường hợp đồng khả năng là: 312 (vì 1 hành khách có 3 quyền lựa chọn lên tàu vì tàu có 03 toa. Mà có tất cả 12 hành khách nên số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra là: 3.3.3...3  312 .

-


1 312

b. Gọi B là biến cố tất cả cùng lên 01 toa - Số trường hợp thuận lợi cho B là 3 (vì tàu có 03 toa). -

Số trường hợp đồng khả năng là: 312 (vì 1 hành khách có 3 quyền lựa chọn lên tàu vì tàu có 03 toa. Mà có tất cả 12 hành khách nên số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra là: 3.3.3...3  312 .

-


3 312

c. Gọi C là biến cố T ườ ườ ạ 4 - Số cách chọn người lên toa 1 là: C12 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 12 không phân biệt thứ tự để sắp lên toa 1 mà thôi). -

Số cách chọn người lên toa 2 là: C 85 cách.

-

Số cách chọn người lên toa 3 là: C 33 cách.

-

Vậy xác suất cần tìm là: P(C) 

4 C12 C85C33 34.650  312 312

d. Gọi D là biến cố ườ Số cách chọn người lên toa I là: C124 cách. 8 người còn lại có 28 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân có: số trường hợp của biến cố D là: C124  28 -

Vậy xác suất cần tìm là: P(D) 

4 C12  28 312

ụ Thang máy của 1 khách sạn có 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách vào chờ thang máy. ỗi khách lên tầng một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Tìm xác suất để: a. Tất cả cùng lên tầng 5 b. Tất cả cùng lên một tầng c. 5 người ra 5 tầng khác nhau 13

d. Người

và

ra cùng tầng. Bài làm

a. Gọi A là biến cố tất cả cùng lên t ng 5 - Số trường hợp thuận lợi cho A là 1. -

Số trường hợp đồng khả năng là: 9 5 (vì 1 hành khách có quyền chọn lên từ tầng 2 đến 10, mỗi người có 9 sự lựa chọn).

-


1 95

b. Gọi B là biến cố tất cả cùng lên một t ng - Số trường hợp thuận lợi cho B là 9. -


-


9 1  4 5 9 9

c. Gọi C là biến cố ườ r Thang mays đi từ tầng 2 đến tầng 10, có phân biệt thứ tự. Khách ra ở các tầng sẽ phân biệt với nhau. - Số trường hợp thuận lợi cho C là A 59 . -

-

Số trường hợp đồng khả năng là: 9 5 (vì 1 hành khách có quyền chọn lên từ tầng 2 đến 10, mỗi người có 9 sự lựa chọn). Vậy xác suất cần tìm là: P(C)

A59 15.120  5  9 95

d. Gọi D là biến cố ườ r - Số trường hợp thuận lợi cho D là 9.93 (vì A và B ra cùng tầng có 9 trường hợp thuận lợi, 3 người còn lại mỗi người lại có 9 quyền lựa chọn nên có 93 cách, vậy số trường hợp của A là 9.93). -


-

Vậy xác suất cần tìm là: P(C) 

9.93 1  95 9

ụ ột người mua 15 chiếc tivi. nh ta sẽ đồng mua lô tivi 15 chiếc nếu kiểm tra ng u nhiên 4 chiếc, thấy không có chiếc nào bị khuyết tật. hủ cửa hàng đưa ra 15 chiếc trong đó có 3 chiếc bị khuyết tật. Tính khả năng chủ cửa hàng gặp may bán được lô hàng đó ? Bài làm -

Gọi A là biến cố người chủ cửa hàng bán được lô hàng. Người mua kiểm tra ngẫu nhiên 4 chiếc trong 15 chiếc, không phân biệt thứ tự nên số 4

cách chọn là C15 14

-

-

Nếu chủ cửa hàng được gặp may thì người mua kiểm tra 4 chiếc phải là tốt trong 154 3=12 chiếc tốt của cửa hàng. Số trường hợp thuận lợi xảy ra là: C12 Vậy xác suất để chủ cửa hàng gặp may bán được lô hàng là: (A) ụ

4 C12 33  4  C15 91

Tỉ lệ ph m của một nhà máy là 5 . ãy giải thích về con số này. Bài làm

Con số 5 có nghĩa là nếu chọn ngẫu nhiên 100% số sản ph m được sản xuất ra tại nhà máy đó thì phế ph m sẽ là 5%. ụ Bốn chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để khi có cháy mỗi chuông kêu là 0,95. ãy giải thích con số này. Bài làm Con số này có

nghĩa là: khi có cháy thì xác suất mỗi chuông kêu sẽ là 95%.

ụ ó hai xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II. Xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ theo thứ tự là 0,9 và 0,8. ãy giải thích về các con số trên. Bài làm Con số trên có nghĩa là khả năng bắn trúng của 2 xạ thủ loại I là 90% và khả năng bắn trúng của 8 xạ thủ loại II là 80%. ụ ó ba cửa hàng I, II, III cùng kinh doanh sản ph m . Tỉ lệ sản ph m loại trong ba cửa hàng I, II, III lần lượt là 70 , 75 và 50 . ãy giải thích về các con số trên. Bài làm Con số trên có nghĩa là ở sản ph m Y, khả năng loại A ở mỗi cửa hàng I, II, III lần lượt là 0,7; 0,75; 0,5. BÀI TẬP ậ ột lớp có 50 sinh viên (trong đó có 30 nam và 20 nữ). sinh viên. Tính các xác suất sau: a) Có 2 nam. b)

ó ít nhất 1 sinh viên nam.

c)

ó nhiều nhất 2 sinh viên nam.

d) Không có sinh viên nam.

15

họn ngẫu nhiên 4

Bài làm a. Gọi A là biến cố chọ

ượ

r

S

ược chọn ra

-

2 2 Số trường hợp thuận lợi cho A là : C30  C 20 cách.

-

4 Số trường hợp đồng khả năng là: C50 cách (vì chọn ngẫu nhiên 4 trong 50 SV

không phân biệt thứ tự) -

Vậy xác suất của biến cố A là: P(A)

b. Gọi B là biến cố lấ

2 2 C30  C20 1653    0.359 4 C50 4606

ược 4 SV nữ.

-

4 Số trường hợp thuận lợi cho B là: C 20 cách.

-


không phân biệt thứ tự).

C420 969  4  C50 46060

-

Vậy P(B)

-

Gọi C là biến cố lấy được ít nhất 1 sinh viên nam. Ta thấy biến cố C là biến cố bù của biến cố B nên:

P(C)  1  P(B)  1  c. Gọi D là biến cố lấ

ược

ề

Nam Nữ Số trường hợp thuận lợi -

969  0.979 46060

ấ

.

Trường hợp 1 1 3

Trường hợp 2 2 2

C130  C320

2 2 C30  C 20


không phân biệt thứ tự). 3 2 2 C130  C20  C30  C20   0.5074 4 C50

-

Vậy P(D)

-

Gọi E là biến cố không có SV nam nào được chọn ra, vậy lấy được 4 SV nữ.

-

4 Số trường hợp thuận lợi cho E là: C 20

-


d.

không phân biệt thứ tự).

16

-

Xác suất cần tìm là: P(E)

C420  4  0.021 C50

ậ : ó hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng, hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. ấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi. Tính xác suất trong các câu sau: a. Chọn được 2 bi đỏ b.

họn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng

c.

họn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Bài làm

a. Gọi A là biến cố chọ ượ ỏ Chọn được 02 bi đỏ xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1 2 đỏ 2 trắng

Hộp 1 Hộp 2 Trường hợp 1: - Lấy từ hộp I hai bi đỏ có : C92 cách

Trường hợp 2 1 đỏ + 1 trắng 1 đỏ + 1 trắng

-

Lấy từ hộp II hai bi trắng có : C24 cách

-

Áp dụng quy tắc nhân (do một trường hợp là phải lấy được 04 bi) ta có số cách chọn được 2 bi đỏ là: C92  C42  216 cách.

Trường hợp 2: - Lấy từ hộp I; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C19  C11 cách. -

Lấy từ hộp II; 1 bi đỏ + 1 bi trắng có C16  C14 cách.

-

Tương tự trường hợp 1, ta áp dụng quy tắc nhân có số cách chọn ở TH2 là:

C19  C11  C16  C14  216 cách. Ta áp dụng quy tắc cộng cho câu b này (vì mỗi trường hợp 1 và 2 đều đã hoàn thành được công việc là chọn ra 4 bi mà có 2 bi đỏ), ta có số cách chọn theo yêu cầu đề bài là: 216  216  432 cách. 2 2 - Số trường hợp đồng khả năng là: C10  C10  2025 -

432 Vậy xác suất cần tìm là: P( A )  2025  0.213

b. Câu hỏi câu b là chọ ượ ỏ và 2 bi trắng, đó cũng chính là 2 trường hợp được liệt kê ra ở câu a, Vậy xác suất cần tìm vẫn là 0.213. c. Chọ ỏ + 1 trắng Trường hợp 1 Trường hợp 2 Hộp 1 2 đỏ 1 đỏ + 1 trắng Hộp 2 1 đỏ + 1 trắng 2 đỏ -

Lập luận tương tự câu a, ta có: 17

-

Trường hợp 1: Số cách chọn là : C92  C16  C14  864 cách.

-

Tường hợp 2: Số cách chọn là : C19  C11  C62  135 cách.

Áp dụng quy tắc cộng ta có, số cách chọn thỏa YCBT là: 864  135  999 cách. -

2 Số trường hợp đồng khả năng là: C10  C102  2025

999

-

Vậy xác suất cần tìm là: P( A )  2025  0.4933

ậ Ba (03) bàn chải đánh răng bị lỗi vô tình được chuyển đến một nhà thuốc cùng với 17 bàn chải không bị lỗi. a. Xác suất 2 bàn chải đầu tiên bán ra bị trả lại vì do bị lỗi là bao nhiêu? b. Xác suất 2 bàn chải đầu tiên bán mà không bị trả lại là bao nhiêu? Bài làm a. Gọi A là biến cố 2 bàn

ả

r

ị rả ạ .

-

Số trường hợp thuận lợi cho A là: C32 trường hợp.

-

Số trường hợp đồng khả năng là: C 220 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 20 bàn chải).

-


C32 3  2 C20 190

ả

b. Gọi B là biến cố

ị rả ại.

-

Số trường hợp thuận lợi cho B là: C172 trường hợp.

-

Số trường hợp đồng khả năng là: C 220 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 20 bàn chải).

-


C172 136   0.716 C220 190

ậ : hín mươi (90) học sinh sẽ tốt nghiệp từ trường phổ thông ima Shawnee trong mùa xuân này. Trong 90 học sinh này có 50 học sinh dự định sẽ học tiếp đại học. ai hoc sainh được chọn ngẫu nhiên để kéo cờ trong buổi l tốt nghiệp. a. Tính xác suất để cả hai học sinh được chọn đều dự định học tiếp đại học? b. Tính xác suất để một trong hai hoc sinh được chọn dự định học tiếp đại học? Bài làm a. Gọi A là biến cố

ả

ọ

ượ

ọ

ề

ị

ọ

ế

ạ

ọ

-

2 Số trường hợp thuận lợi cho A là: C50 trường hợp.

-

2 Số trường hợp đồng khả năng là: C90 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90

người). -

Vậy xác suất cần tìm là: P(A)

2 C50 245  2   0.306 C90 801

18

ộ r

b. Gọi B là biến cố -

ượ

ọ

ị

ọ

ế

ạ

ọ

Một trong hai dự định học Đ , vậy 1 người học, người còn lại sẽ không học.

-

Số trường hợp thuận lợi cho B là: C 50  C 40 trường hợp.

-

2 Số trường hợp đồng khả năng là: C90 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90

1

1

người). -


C150  C140 400   0.499 2 C90 801

ậ 5: an giám đốc của một công ty cửa tự động Saner có 12 thành viên, trong đó có 3 nữ, một hội gồm 3 người được chọn ngẫu nhiên từ ban giám đốc trên để viết kế hoạch và chính sách hàng năm mới cho công ty. a. Tính xác suất để tất cả thành viên của hội đồng được chọn ra đều là nam? b. Tính xác suất để ít nhất một thành viên của hội đồng được chọn ra la nữ? Bài làm ấ

a. Gọi A là biến cố

ả

ộ

ượ

ọ r

ề

3

-

Số trường hợp thuận lợi cho B là: C 9 trường hợp.

-

3 Số trường hợp đồng khả năng là: C12 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90 người).

-

C39 21  3   0.382 C12 55

Vậy xác suất cần tìm là: P(B) ấ

b. Gọi B là biến cố

ộ

ộ

ượ

ọ r

ữ.

Rõ ràng biến cố A là biến cố bù của biến cố B, vậy: P(B)  1  P(A)  1 

21 34   0.618 55 55

ậ Trong 24 lon nước ngọt có một (01) lon bị nhi m khu n. ấy ngẫu nhiên 3 lon để kiểm tra. a.

ỏi có bao nhiêu cách khác nhau có thể chọn của 3 lon nước trên.

b. Tính xác suất để lon bị nhi m khu n có trong khi chọn kiểm tra. Bài làm ước ngọt ngẫu nhiên, không phân biệt thứ tự trong 24 lon nước

a. Chọ

ngọt. Vậy có: C324 cách. b. Gọi A là biến cố

ị

r

ọ

r .

-

Số trường hợp thuận lợi cho A là: C1  C 23 trường hợp.

-

Số trường hợp đồng khả năng là: C324 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 90

1

2

người). -

Vậy xác suất cần tìm là: P(B)

2 C11  C23 1    0.125 C324 8

19

3.3 Một số quy tắc tính xác suất: 3.3.1 Quy tắc cộng Quy tắc cộ ơ ản Ví dụ 29: ột lô hàng chứa 15 sản ph m gồm 10 sản ph m tốt và 5 sản ph m xấu. họn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản ph m. Tính xác suất để trong 4 sản ph m chọn ra có: a. Số sản ph m tốt không ít hơn số sản ph m xấu. b. t nhất 1 sản ph m xấu. a. Gọi A là biến cố ố ả ó các trường hợp:

ố

Bài làm ược chọ r

Trường hợp 1 Trường hợp 2

3 tốt 2 tốt

Trường hợp 1: Gọi A1 là biến cố

ơ

ố ả

ấ

1 xấu 2 xấu rường hợp 1

-

3 Số trường hợp thuận lợi là: C10  C15

-


-

Vậy : P(A1) 

C103  C15 40  C154 91

Trường hợp 2: Gọi A2 là biến cố rường hợp 2 - Số trường hợp thuận lợi là: C102  C52 -


-

C102  C52 30   C154 91

Vậy : P(A1)

Do biến cố A1 và A2 xung khắc nên: P(A)  P(A1)  P(A 2)  b. Gọi B là biến cố

ấ

ả

Gọi C là biến cố có 4 sản ph m tốt: P(C)

40 30 10   91 91 13

ấ C4 2  104  C15 13

Biến cố C là biến cố bù của biến cố B nên: P(B)  1  P(C)  1 

2 11  13 13

ụ ột lô hàng có 6 chính ph m và 4 phế ph m. ấy ngẫu nhiên lần lượt từ lô hàng đó ra 2 sản ph m theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để lấy được: a. ai chính ph m. b. ột chính ph m. Bài làm Gọi Ai (i=1 hoặc i=2) là biến cố thứ i lấy được chính phẩm. a. Gọi A là biến cố lấ

ược hai chính ph m

20

6 5 1   10 9 3 b. Gọi B là biến cố lấ ược một chính ph m. Gọi Bi (i=1,2) là biến cố thứ i lấy được chính ph m. B1 và B2 xung khắc với nhau nên: P(A)  P(A1)  P(A 2) 

P(B)  P(B1)  P(B2) 

6 4 4 6 8     10 9 10 9 15

ụ a xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng đích lần lượt là 0.9; 0.8 và 0.7. ãy tính xác suất để chỉ có một xạ thủ trúng đích. Bài làm Gọi A là biến cố chỉ có một xạ thủ bắn trúng. Gọi i (i  1,3) là biến cố xạ thủ bắn trúng lần thư i. Theo đầu đề, ta có:   1 2 3  12 3  1 2 3 Do các nhóm biến cố trên xung khắc, nên  (A)  ( 1  2 3 )  ( 1 2 3 )   ( 1  2 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  0.9  0.2  0.3  0.1 0.8  0.3  0.1 0.2  0.7  0.092

Quy tắc cộng tổng quát ụ

ột lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh viên giỏi nh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và nh văn. họn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc nh văn. Bài làm Gọi A là biến cố sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc nh văn. A1 là biến cố sinh viên giỏi môn Toán, A2 là sinh viên giỏi môn Anh. Do hai biến cố trên không xung khắc, có phần giao nên:

( )  ( 1)  ( 2)  ( 1. 2) 

60 70 40    0,9 100 100 100

ụ ột lô hàng có 6 chính ph m và 4 phế ph m. ấy ngẫu nhiên lần lượt từ lô hàng đó ra hai sản ph m theo phương thức không hoàn lại. Tìm xác suất để lấy được ít nhất một chính ph m. Bài làm 21

-

Gọi A là biến cố lấy ít nhất một chính ph m. Gọi Ai (i=1 hoặc i=2) là biến cố thứ i lấy được chính ph m. 1 Xác suất lấy được hai chính ph m tính ở VD 30 là: 3 Do các biến cố trên không xung khắc nên: ( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 ) 

6 6 1 78    10 10 3 90

BÀI TẬP ậ ai người cùng đến khám bệnh. Xác suất mắc bệnh tương ứng là 0.01 và 0.03. Tìm xác suất để: a. ó ít nhất 1 người bị bệnh b. ó không quá 1 người bị bệnh. Bài làm a. Gọi A là biến cố có ít nhất một ngừơ C không bị bệnh.

ị bệnh. Gọi B, C lần lượt là biến cố người B,

Ta có:

(A)  (BC)  (BC)  (BC)  (B)(C)  (B)(C)  (B)(C)  0,01.0,03  0,01.0,97  0,99.0,03  0,0397 ười bị bệnh.

b. Gọi D là biến cố có không quá mộ Ta lại có:

(D)  (BC)  (BC)  P(BC)  (B)(C)  (B)(C)  P(B)P(C)  0.01 0.97  0.99  0.03  0.99  0.97  0.9997 ậ : ột ngôi sao đua xe chỉ đua xe 2 chặng trong một ngày. Xác suất anh ấy thắng chặng 1 là 0.7, xác suất anh ấy thắng chặng 2 là 0.6 và xác suất anh ấy thắng cả 2 chặng là 0.5. Tìm xác suất để: a.

nh ấy thắng ít nhất 1 chặng.

b.

nh ấy chỉ thắng duy nhất 1 chặng.

c.

nh ấy không thắng cả 2 chặng. Bài làm

a. Gọi A là biến cố e thắng ít nhất một chặng. - Do các biến cố trên không xung khắc nên :

( )  ( 1 )  ( 2 )  ( 1. 2 )  0.7  0.6  0.5  0.8 b. Gọi B là biến cố anh ấy chỉ thắng duy nhất một chặng. 22

Theo yêu cầu đề bài, ta có:   1 2  12 Ta lại có: A  B  A1.A2 Từ đó :

( )  ()  ( 1. 2 )  P(B)  ( )  ( 1. 2 )  0.8  0.5  0.3 c. Gọi C là biến cố anh ấy không thắng chặng nào. Ta có:

C  1 2  1  2  (C)  (1  2 )  1  (1   2 )  1  ((1 )  ( 2 )  (1 2 ))  1  (0, 7  0, 6  0,5)  0, 2 ậ ột ph ng khám điều trị cho 3 bệnh nhân , , . Trong một giờ xác suất để mỗi bệnh nhân bị cấp cứu tương ứng là 0.7; 0.6 và 0.5. Tìm xác suất để: a) Trong một giờ không ai cần cấp cứu. b) Trong một giờ ít nhất 1 người cần cấp cứu. c) Trong một giờ có 1 bệnh nhân cần cấp cứu. Bài làm Gọi i (i  1,3) là biến cố trong một giờ bệnh nhân thứ i phải cấp cứu. a. Gọi A là biến cố trong một giờ không ai c n cấp cứu. -

Do không ai phải cấp cứu nên: ()  (12 3 )  (1 )(2 )(3 )  0,3.0, 4.0,35  0,042

b. Gọi B là biến cố trong một giờ ít nhất mộ -

ười cấp cứu.

Ta có B và biến cố A là hai biến bù nên ()  1  ()  1  0,042  0,96

c. Gọi C là biến cố

ười c n cấp cứu.

-

Có 1 bệnh nhân cần cấp cứu nên: C  1 2 3  12 3  1 2 3

-

Vậy:

(C )  ( 1  2 3 )  ( 1 2 3 )   ( 1  2  3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  0, 7.0, 4.0,35  0,3.0, 6.0,35  0,3.0, 4.0, 65  0, 239 ậ Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9 , bệnh huyết áp là 12 và mắc cả hai bệnh là 7 . họn ngẫu nhiên một người trog vùng đó. Tìm xác suất để người đó không mắc bệnh nào. Bài làm Gọi

A là biến cố không mắc bệnh nào. A1 là biến cố mắc bệnh tim. A2 là biến cố mắc bệnh huyết áp. 23

Theo đề bài, tìm xác suất để người đó không mắc bệnh nào, vậy ta có:

  1  2  1   2  ( )  P( 1  2 )  ( 1   2 )  1  ( 1   2 )  1  ( (1 )   ( 2 )   (1 2 ))  1  (0, 09  0,12  0, 07)  0,86 ậ hủ tịch hội đồng quản trị tuyên bố rằng, có 50 công ty sẽ thu được lợi nhuận, 30 khả năng là h a vốn, 20 lỗ vốn trong qu tới . Sử dụng quy tắc cộng tìm xác suất công ty sẽ không lỗ vốn trong qu tới. Sử dụng quy tắc biến cố bù tìm xác suất công ty sẽ không lỗ vốn trong qu tới. Bài làm -

-

Sử dụng quy tắc cộng : công ty không lỗ vốn trong quý tới, có thể công ty thu được lợi nhuận hoặc công ty hoà vốn. Vậy xác suất công ty không lỗ vốn là: 50%  30%  80% Sử dụng quy tắc biến cố bù: ta thấy biến cố công ty lổ vốn với biến cố công ty không lỗ vốn bù nhau. Vậy xác suất công ty không lỗ vốn là: 100%  20%  80%

ậ Giả sử xác suất bạn sẽ nhận điểm 0.5. Tìm xác suất bạn nhận điểm ?

là 0.25 và xác suất ban sẽ nhận điểm

là

Bài làm -

Đối với dạng toán này, ta giả dụ như số trường hợp nhận điểm của bạn chỉ là điểm , điểm và điểm , ba điểm này gói gọn trong 1 đơn vị. Gọi A, B, C lần lượt là biến cố bạn sẽ nhận được điểm A, B và C. Ta có: P(A)  P(B)  P(C)  1 Khi đó xác suất để bạn nhận điểm C là: 1  0.5  0.25  0.25

ậ Xác suất xảy ra biến cố và tương ứng là 0.2 và 0.3. Xác suất để cùng xảy ra là 0.15. Tính xác suất để có ít nhất 1 biến cố xảy ra.

và

Bài làm -

Gọi S là biến cố có ít nhất một một biến cố A, B xảy ra. Do các biến cố trên không xung khắc nên

(S)  ( )  (B)  ( B)  0, 2  0,3  0,15  0,35 ậ : ho (X) 0.55 và ( ) 0.35. Giả sử xác suất để 2 biến cố đó xảy ra đồng thời là 0.20. Tính xác suất để có ít nhất một biến cố xảy ra. Giả sử 2 biến cố X và Y là xung khắc. Tính xác suất để chúng xảy ra đồng thời Bài làm a. Gọi A là biến cố có ít nhất một biến cố X, Y xảy ra . Do các biến cố trên không xung khắc nên: 24

( )  ( X )  (Y )  ( XY )  0,55  0,35  0, 2  0, 7 b. Giả sử X,Y là xung khắc. Gọi B là biến cố X, Y xả r

ng thời.

Vậy ()  (Y)  ()(Y)  0,55.0,35  0,1925 ậ ột nghiên cứu của công viên quốc gia thấy rằng có 50 du khách sẽ đến thăm khu vực núi đá ellowstone, 40 sẽ viếng thăm Tetons và 35 viếng thăm cả hai nơi. a. Xác suất một du khách viếng thăm ít nhất một trong những nơi này là bao nhiêu? b. 35

được gọi là gì?

c. Những biến cố nào là xung khắc? Giải thích. Bài làm a. Gọi A là biến cố ă ất mộ r ơ - 1 là biến cố du khách ghé thăm khu vực núi đá ellow stone. -

 2 là biến cố du khách ghé thăm Tetons.

-

Do các biến cố trên không xung khắc nên

( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )  0,5  0, 4  0,35  0,55 b. Số % ược gọi là ph n xác suất của biến cố giao của biến cố du khách ghé thăm khu vực núi đá ellow stone và phần biến cố du khách ghé thăm Tetons. c. Biến cố xung khắc không có vì biến cố ghé thăm núi đá Yellowstone và biến cố du khách ghé thăm Tetons phụ thuộc lẫn nhau có xác suất để du khách ghé thăm 2 nơi. ậ ột ngân hàng nói rằng 80 khách hàng vẫn duy trì tài khoản, 60 hàng có một tài khỏan tiết kiệm và 50 khách hàng có cả 2 yếu tố trên.

khách

a. Nếu một khách hàng được chọn lựa ngẫu nhiên thì xác suất khách hàng hoặc vẫn duy trì tài khoản hoặc có một tài khoản tiết kiệm là bao nhiêu? b. Xác suất khách hàng không duy trì tài khoản hay không có tài khoản tiết kiệm là bao nhiêu? Bài làm a. Gọi A là biến cố khách hàng hoặc vẫn duy trì tài khoản hoặc có một tài khoản tiết kiệm. A1 là biến cố khách hàng duy trì tài khoản. A2 là biến cố khách hàng duy trì tài khoản tiết kiệm. Rõ ràng các biến cố không xung khắc, nên: 25

( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )  0,8  0, 6  0,5  0,9 b. Gọi B là biến cố ế ệ . Tươ

r

ả

ả

câu 4, có:

  1  2  1   2  ()  ( 1   2 )  1  ( 1   2 )  1  ( ( 1 )   (  2 )   (1 2 ))  1  0,9  0,1 ậ ó 60 khách du lịch đến Trung Quốc đi chơi ở ieijng và 40 đi chơi ở Xian, 30 khách đi chơi ở cả ieijng và Xian. ãy tính xác suất để khách đi chơi ít nhất một trong các địa điểm trên. Bài làm -

Gọi A là biến cố khách đi chơi ít nhất một trong các địa điểm trên 1 là biến cố du khách đi Bieijing.

-

 2 là biến cố du khách đi Xian.

-

Do các biến cố trên không xung khắc nên

( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )  0, 6  0, 4  0,3  0, 7 ậ ột loại chewing gum mới có tác dụng làm bỏ hút thuốc lá. ó 60 những người sử dụng loại chewing gum này thành công trong việc bỏ thuốc lá. ãy tính xác suất sao cho trong 4 người sử dụng loại chewing gum này có ít nhất một người bỏ hút thuốc lá. 3.3.2 Quy tắc nhân xác suất Trường hợ

…

ến cố ộc lập:

Ví dụ 34: ột người mua 3 loại cổ phiếu khác nhau với xác suất để trong phiên giao dịch tới các loại cổ phiếu này lên giá tương ứng là 1 3, 3 4 và 1 10. Tìm xác suất để trong phiên giao dịch tới: a. Tất cả các cổ phiếu đều lên giá. b. Không có cổ phiếu nào lên giá. c. hỉ có 1 cổ phiếu lên giá. d. hỉ có 2 cổ phiếu lên giá. e. ó ít nhất 1 cổ phiếu lên giá. f. ó ít nhất 2 cổ phiếu lên giá. Bài làm Gọi i (i  1,3) là biến cố cổ phiếu thứ i lên giá. a. Gọi A là biến cố tất cả các cổ phiế

ều lên giá. Vậy ta có: 26

  1 2 3 1 3 1  0, 025 3 4 10

Do các biến cố trên độc lập từng đôi nên: ( )  (1 )(2 )(3 )  . . b. Gọi B là biến cố không có cổ phiếu nào lên giá.   12 3

Do các biến cố trên độc lập từng đôi nên đó ()  (1 )(2 )(3 ) 

21 9  0,15 3 4 10

c. Gọi C là biến cố chỉ có một cổ phiếu lên giá Theo đề, ta có: C  1 2 3  12 3  1 2 3 Suy ra: (C)  ( 1  2 3 )  ( 1 2 3 )  ( 1  2 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )( 3 ) 

11 9 23 9 21 1    0,542 3 4 10 3 4 10 3 4 10

d. Gọi D là biến cố chỉ có hai cổ phiếu lên giá. Vậy: D  12 3  1 2 3  123 Do đó: (D)  ( 1 2 3 )  ( 1  2 3 )  ( 1 2 3 )  (D)  ( 1 )(  2 )( 3 )  ( 1 )(  2 )(  3 )  ( 1 )(  2 )(  3 )  (D) 

e. f.

13 9 11 1 23 1    0, 283 3 4 10 3 4 10 3 4 10

Gọi E là biến cố có ít nhất một cổ phiếu lên giá. Ta thấy một điều rằng biến cố E là biến cố bù của biến cố B. Với lập luận trên, ta có: ()  1  ()  0,85 Gọi F là biến cố có ít nhất hai cổ phiếu lên giá. Theo đề, ta có lập luận sau: Có thể có 2 cổ phiếu lên giá hoặc 3 cổ phiếu lên giá. Vậy P(F)  P(A)  P(D) 0.025 0.283 0.308

ụ ột siêu thị lắp 4 chuông báo cháy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để khi có cháy mỗi chuông kêu là 0,9. Tìm xác suất để có chuông kêu khi cháy. Bài làm -

Gọi A là biến cố khi có xảy ra cháy thì chuông kêu. Vậy  là biến cố không có chuông nào kêu khi cháy và nó là biến cố bù với biến cố A. Do đó ( )  1  ( )  1  0,14  0,9999 27

ụ ó 2 lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản ph m, trong đó lô I gồm 10 sản ph m tốt, 5 sản ph m xấu; lô 2 gồm 8 sản ph m tốt và 7 sản ph m xấu. họn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản ph m. Tính xác suất để trong 4 sản ph m chọn ra có 2 sản ph m tốt và 2 sản ph m xấu. Bài làm Gọi A là biến cố 2 sản ph m tốt và 2 sản ph m xấu. Các trường hợp được mô tả trong bảng sau: Lô I Lô II Số trường hợp thuận lợi Do đó () 

Trường hợp 1 2 tốt 2 xấu

Trường hợp 2 2 xấu 2 tốt

C102  C72

C52  C82

Trường hợp 3 1 tốt + 1 xấu 1 tốt + 1 xấu

C110  C15  C18  C17

2 C10  C72  C52  C82  C110  C15  C17  C18  0,365 2 2 C15  C15

ụ ột hộp chứa đựng 5 quả cầu màu xanh, 3 quả cầu màu đen, 7 quả cầu màu đỏ. ấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để: a. ả 2 đều là màu đỏ. b. ả 2 đều có màu giống nhau. Bài làm a. Gọi A là biến cố cả ề ỏ. - Số trường hợp thuận lợi cho A là: C72 trường hợp. -

2 Số trường hợp đồng khả năng là: C15 (vì chọn ngẫu nhiên 2 trong 20 bàn

chải). -

Vậy xác suất cần tìm là: P(A)

C72 136  2   0.2 C15 190

b. Gọi B là biến cố cả hai có màu giống nhau. - Các trường hợp có thể xảy ra là cùng màu xanh hoặc cùng màu đỏ hoặc cùng màu đen. -

C52  C32  C72 Do đó: ()   0,324 2 C15

ụ hải gieo một con xúc xắc ít nhất trong bao nhiêu lần để với xác suất lớn hơn 0.5 có thể hy vọng rằng có ít nhất 1 lần được mặt 6 chấm. Bài làm -

Gọi n là số lần ít nhất phải gieo con xúc xắc. Gọi A là biến cố cần tìm.

-

Gọi A là biến cố bù của biến cố A.

-

5 Xác suất để xuất hiện ít nhất một lần mặt 6 chấm là: ( )  1  P(A)  1    6

28

n

(*)

Theo đề, P(A) > 0.5, thay vào (*) ta giải n

n

5 5 1     0.5     0.5 6 6

Do 0 

  5  1 và 0.5 > 0, nên tập nghiệm của BPT trên là:  log 5 0.5;   ; vậy cần phải 6  6 

gieo ít nhất log 5 0.5  4 lần. 6

ụ

Giả sử ( ) 0.4 và (

) 0.3. Tìm xác suất kết hợp (

).

Bài làm Ta có: (.)  ()  ( / A)  0.4  0.3  0.12 ụ

Giả sử (X1) 0.75 và (

2/X1)

0.4. Tìm (X1.Y2).

Bài làm Ta có: (.)  ()  ( / A)  0.75  0.4  0.3 ụ ột người tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là 0.6. Nếu trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ 2 tăng lên 0.8; c n nếu không trúng thầu dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu dự án thứ 2 chỉ c n là 0.2. Tìm xác suất để người đó: a. Trúng thầu cả 2 dự án. b. hỉ trúng thầu 1 dự án. c. Trúng thầu ít nhất 1 dự án. Bài làm Gọi i (i  1, 2) là biến cố trúng thầu dự án thứ i. a. Gọi A là biến cố trúng th u cả hai d án.   12

Do các biến cố trên phụ thuộc A1 xảy ra rồi mới đến A2 nên: ( )  ( 1 )(  2 / 1 )  0, 6.0,8  0, 48

b. Gọi B là biến cố chỉ trúng th u một d án.   1 2  12

Do các biến cố trên phụ thuộc nhau nên: ()  (1 )(2 / 1 )  (1 )(2 / 1 )  0,6.0,2  0,4.0,2  0,2

c. Gọi C là biến cố trúng th u ít nhất một d án. - Vì các biến cố trên không xung khắc nên: ()  (1 )  (2 )  (12 )  1 (1 )(2 / 1 )  1 0,4.0,8  0,68

29

ụ ột lô hàng có 60 chính ph m và 40 lần lượt 2 sản ph m. Tìm xác suất để lấy được: a. Lấy được 2 chính ph m. b. Lấy được 1 chính ph m. c. Lấy được ít nhất 1 chính ph m. Bài làm

phế ph m. ấy ngẫu nhiên từ lô hàng

Gọi i (i  1, 2) là biến cố lần thứ i lấy được chính phẩm. a. Gọi A là biến cố lấ -

ược 2 chính ph m.

Do các biến cố trên độc lập nên: ( )  ( 1 )(  2 )  0, 6.0, 6  0,36


ược 1 chính ph m.   1 2  12

-

Do biến cố trên xung khắc và độc lập nên: ()  (1 )(2 )  (1 )(2 )  0,6.0, 4  0, 4.0,6  0, 48

c. Gọi C là biến cố lấy ít nhất một chính ph m.. - Ở trường hợp này, các biến cố trên không xung khắc nên: (C)  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )  0, 6  0, 6  0,36  0,84

ụ ột sinh viên thi hai môn, lịch sử và toán học. Xác suất anh ta qua môn lịch sử là 0.6, và xác suất qua môn toán là 0.7. Xác suất qua cả 2 môn là 0.5. a. Tính xác suất anh ta qua ít nhất 1 môn. b. Tính xác suất anh ta qua cả 2 môn. Bài làm -

Gọi A1 là biến cố vượt qua môn lịch sử.

-

Gọi A2 là biến cố vượt qua môn toán.

a. Gọi A là biến cố ượt qua ít nhất một môn. -

Do các biến cố trên không xung khắc nên áp dụng công thức cộng tổng quát, có: ( )  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )  0, 6  0, 7  0,5  0,8

b. Gọi B là biến cố ượt qua cả hai môn. -

Do các biến cố trên độc lập nên: ()  ( 1 )(  2 )  0, 6.0, 7  0, 42

BÀI TẬP ậ : rmco, một công ty sản xuất hệ thống đ n giao thông, sau những lần thử nghiệm về tuổi thọ của bóng đ n nhận thấy rằng 95 của các hệ thống mới đã kéo dài 3 năm trước khi thay đổi tín hiệu không chính xác. 30

a. Nếu 1 thành phố mua 4 hệ thống này, xác suất để cả 4 hoạt động chính xác trong 3 năm là bao nhiêu? b. Điều này minh họa cho quy luật xác suất nào? c. Sử dụng những chữ cái để đại diện cho 4 hệ thống. Viết ra phương trình biểu di n cách mà bạn chọn ra câu trả lời ở phần a. Bài làm a. Nếu 1 thành phố mua 4 hệ thống này, xác suất để cả 4 hoạt động chính xác trong 3 năm là : 0,95  0,81 4

b. Điều này minh hoạ cho quy luật xác suất độc lập vì việc mỗi hệ thống hoạt động là độc lập với nhau. c. Gọi A là biến cố cả 4 hệ thống hoạt động chính xác. Gọi i (i  1, 4) là biến cố các hệ thống thứ i hoạt động tốt trong 3 năm. Ta có:   1 2 3  4 Suy ra: ( )  ( )1 (  2 )( 3 )(  4 )  0.95  0.95  0.95  0.95  0.81 ậ Trong một chương trình thực tập quản lí ở Claremont Emterprises, 80% học viên là nữ, 20% học viên là nam. Có 90% nữ tốt nghiệp Đ và 78 nam tốt nghiệp Đ . a. Chọn ngẫu nhiên 1 học viên. Tính xác suất học viên được chọn là nữ và chưa tốt nghiệp đại học. b. Giới tính và tốt nghiệp đại học có độc lập với nhau không ? Tại sao ? c. Xây dựng một sơ đồ cây hiển thị all xác suất, xác suất có điều kiện, xác suất tích. d. Tổng các xác suất tích có bằng 1.00 không ? Tại sao ? Bài làm a. Gọi G là biến cố nữ, gọi B là biến cố nam. Y -

ã ốt nghiệ

ại học.

Gọi A là biến cố học viên được chọn là nữ và chưa tốt nghiệp đại học.

- Khi đó ta có: ( )  (G)(Y / G)  80%  (100  90)%  0, 08 b. Giới tính và tốt nghiệp đại học không độc lập với nhau mà phụ thuộc. Rõ ràng, ta thấy việc tỉ lệ học đại học cao hay thấp cũng phụ thuộc vào giới tính. Nữ tốt nghiệp cao hơn so với nam (90% > 78%) ậ Giả sử xác suất mà một chuyến bay nất kì của hãng hàng không Northwest đến trong vòng 15 phút so với lịch trình là 0.9. Chúng ta chọn 4 chuyến bay đến trong ngày hôm qua. a. Tính xác suất để cả 4 chuyến bay được chọn đã đến trong vòng 15 phút so với lịch trình ? b. Tính xác suất để không chuyến bay nào trong những chuyến bay đã được chọn đã đến trong v ng 15’ so với lịch trình. 31

c. Tính xác suất để ít nhất một trong những chuyến bay được chọn không đến trong v ng 15’ so với lịch trình ? Bài làm a. Gọi A là biến cố 4 chuyế ược chọ ến trong vòng 15 phút. -

Gọi i (i  1, 4) là biến cố chuyến bay thứ i đến trong vòng 15 phút so với lịch trình.

-

Vì các chuyến bay là độc lập với nhau nên ta có.

  1. 2 .3 . 4 -

4 Do đó: ( )  ( 1).( 2).( 3).( 4)  0,9  0, 6561

b. Gọi B là biến cố không có chuyến bay nào trong những chuyến bay được chọn đã đến trong vòng 15 phút so với lịch trình. -

Các chuyến bay là độc lập với nhau nên ta có:

  12 34 -

4 4 Do đó: ()  (1 )(2 )(3 )(4 )  0.1 0.1 0.1 0.1  0.1  10

c. Gọi C là biến cố ít nhất một chuyến được chọn không đến trong vòng 15 phút so với lịch trình. Khi đó là biến cố bù với biến cố A.

(C)  1  ()  1  0,6561  0,3439 ậ Công ty quốc tế Kiddie Carts có 100 nhân viên. Trong đó 57 người là công nhan sản xuất, 40 người là giám sát viên, 2 người là thư kí, một người là chủ tịch. Giả sử chọn 01 nhân viên: a. Tính xác suất chọn 01 nhân viên là công nhân sản xuất. b. Tính xác suất chọn 01 nhân viên được chọn ra là 1 công nhân sản xuất hoặc một giám sát viên. c. Trong câu b, các biến cố này có xung khắc nhau không ? d. Tính xác suất để nhân viên được chọn ra khôgn phải là công nhân sản xuất, không phải là giám sát viên. Bài làm a. Gọi A là bến cố chọn một nhân viên là công nhân sản xuất. -

Số trường hợp thuận lợi cho A là: C157

-


C157 - Từ đó, tính được: ( )  1  0.57 C100

32

b. Gọi B là biến cố nhân viên chọn ra là công nhân sản xuất hoặc giám sát viên. -

Số trường hợp thuận lợi cho A là: C157  C140

-


- Từ đó, tính được: (B) 

C157  C140  0.97 C1100

c. Ở câu b các biến cố này là xung khắc với nhau do khi giao chúng với nhau thì bằng rỗng. d. Gọi C là biến cố nhân viên được chọn ra không phải là công nhân sản xuất cũng không phải là giám sát viên. Khi đó có thể là 2 thư kí hoặc chủ tịch, vậy số trường hợp thuận lợi là 3.

(C) 

3  0.03 C1100

ậ Xác suất một tên lửa phóng đến đích trong bất kì tình huống nào là 0.8. Có 04 tên lửa cùng phóng lên với cùng điểm đích. Tính xác suất để: a. Tất cả đều đến đích b. Không một tên lửa nào đến đích c. Ít nhất một tên lửa đến đích. Bài làm a. Gọi A là biến cố tất cả tên lử -

ề

ế

Gọi i (i  1, 4) là biến cố tên lửa thứ i đến đích. Các biến cố 1, 2, 3, 4 là đ hươngộc lập do sự đến đích của tên lửa này không ảnh hưởng tên lửa khác.

-

Khi đó ta có:   1 2 3  4

-

Suy ra: ( )  ( )1 (  2 )( 3 )(  4 )  0.8  0.8  8  0.8  0.4096 ế

b. Gọi B là biến cố không có tên lử -

Ta có.

  12 34 -

Vì mỗi tên lửa đến đích là độc lập với nhau nên:

()  (1 )(2 )(3 )(4 )  0, 24  1,6 103 c. Gọi C là biến cố có ít nhất một tên lử

ế

-

Rõ ràng, ta thấy C là biến cố bù của biến cố B.

-

Suy ra: (C)  1  ()  1  1, 6 103  0,9984 33

ậ ó 04 người được xem xét cho vị trí trưởng đại diện cho công ty. a người trong số đó có tuổi trên 60, hai trong số đó là phụ nữ, và chỉ duy nhất một phụ nữ có tuổi trên 60. a. Tính xác suất để chọn được 01 người phụ nữ và trên 60 tuổi. b. Nếu giả sử người được chọn không phải là phụ nữ, tính xác suất để người đó có tuổi đời dưới 60. c. Nếu đã chọn được 1 người trên 60 tuổi, tính xác suất để người được chọn là phụ nữ. Bài làm ậ Tỷ lệ phế ph m của 1 nhà máy là 20%. Vậy phải cho nhà máy đó sản xuất ít nhất là bao nhiêu sản ph m để với khả năng lên đến 95% là sẽ có được ít nhất 1 chính ph m. Bài làm Ví dụ 44: a. Gọi A là biến cố lấ Ta có:

ược viên bi trắng  ( ) 


l n 1.

6 7 7   13 12 26

ược viên bi trắng

ã ấ

l n 2 khi l

ược viên bi trắng.

Vì lần 1 đã lấy được viên bi trắng nên số bi trắng còn lại là 5 viên, do lấy không hoàn lại nên ta xem mỗi lần lấy là độc lập với nhau. Khi đó  () 

5 12

Ví dụ 46: a. Gọi A là biến cố lấ Khi đó

ĩ CD không thuộc loại tốt.

gồm đĩa D có thể sử dụng được và không sử dụng được.

Do đó: ()  b.

ượ

112  31  0,143 1000

ã ấy phả

ĩ

ốt, gọi B là biến cố ĩ

D

ử dụ

Vì biến cố A xảy ra rồi mới đến biến cố B nên:  ( /  ) 

(   ) 0, 031   0, 217  ( ) 0,143

Ví dụ 47: Gọi A là biến cố số khách hàng đọc loại báo này. Gọi B là biến cố số khách hàng đọc và nhớ. a. Gọi C là biến cố khách hàng xem và nhớ quảng cáo. 34

ược.

Vì A và B là hai biến cố phụ thuộc, biến cố A xảy ra trước mới đến biến cố B. (C)  () ()  0,51

b. Gọi D là biến cố khách hàng xem và không nhớ quảng cáo. Có (C)  ( )  ()  0, 6  0,15  0, 09 Ví dụ 48: Gọi i (i  1, 2) là biến cố vượt qua môn thứ i. a. Gọi A là biến cố ượt qua cả hai môn. ( )  ( 1 )(  2 / 1 )  0.8  0.6  0, 48

b. Gọi B là biến cố ượt qua môn thứ hai. Vậy sẽ có trường hợp sau: đạt được môn thứ nhất rồi đạt được môn thứ hai, hoặc không đạt môn thứ nhất rồi đạt môn thứ hai.

  12  12 Suy ra: ()  (12 )  (12 )  (1 )(2 / 1 )  (1 )(2 / 1)  0,8.0,6  0,2.0,3  0,54

c. Gọi C là biến cố ượt qua ít nhất một môn. -

Do các biến cố trên không xung khắc nên: (C)  ( 1 )  (  2 )  ( 1 2 )  0.8  0.54  0.48  0.86

d. Gọi D là biến cố không ạt yêu c u cả hai môn. Có: (D)  (1 )(2 / 1 )  0.2  0.7  0,14

Ví dụ 49: a. Gọi A là biến cố số ười hoàn tất khoá học. Gọi B là biến cố số người thành người bán hàng có hiệu quả mà hoàn thành khoá học. Gọi C là biến cố thực tập mà không hoàn tất khóa học. Gọi D là biến cố cần tìm Do các biến cố trên phụ thuộc nên, ta có: (D)  ( )  ()  ( )  (C)  0,85.0, 6  0,15.0,1  0,525

b. Gọi E là xác xuấ ười này hoàn thành khoá th c tập vớ bán hàng có hiệu quả. Khi đó  ( ) 

ều kiện là mộ

ười

(hoan.tat.khoa.hoc)(hieu.qua.tham.du.het.khoa.hoc) P(A)P(B) 0,85.0, 6    0,97 (tham.du.co.hieu.qua) P(D) 0,525

BÀI TẬP Bài tập 2 a. Gọi A là biến cố 2 sản ph m tốt và 2 sản ph m xấu. ác trường hợp được mô tả trong bảng sau: Trường hợp 1 Trường hợp 2 Lô I 2 tốt 2 xấu Lô II 2 xấu 2 tốt 35

Trường hợp 3 1 tốt + 1 xấu 1 tốt + 1 xấu

Số trường hợp thuận lợi Do đó () 

C102  C72

C52  C82

C110  C15  C18  C17

2 C10  C72  C52  C82  C110  C15  C17  C18  0,365 2 2 C15  C15

b. Gọi B là biến cố chọ ược 1 sản ph m tốt, 1 sản ph m xấu từ lô I với điều kiện đã chọn được 2 sản ph m tốt và 2 sản ph m xấu. Khi đó: C1  C1  C1  C71 10  5  8  7 ()  102 5 2 8   0,0263 C15  C15 () 105 105  0,365

Bài tập 3: Bài làm a. Gọi D là biến cố ược bài. Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố SV , , làm được bài. -

Ta thấy các nhóm biến cố trên xung khắc và độc lập từng đôi một nên: (D)  (C)  (C)  (C)  ()()(C)  ()()(C)  ()()(C)  0,8.0,7.0, 4  0,8.0,3.0,6  0, 2.0,7.0,6  0, 452

b. Gọi E là biến cố sinh viên Khi đó: (E) 

không làm được bài khi đã có 2 sinh viên làm được bài.

( )()(C) 0.2  0.7  0.6   0.186 (D) 0.452

Bài tập 4: Bài làm Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một sản ph m loại B trong 5 sản ph m ngẫu nhiên từ 40 sản ph m còn lại. Khi đó A là biến cố bù của biến cố A là chọn được cả 5 sản ph m đều là loại A trong 40 sản ph m còn lại. Số trường hợp thuận lợi cho A là C530 ( ) 

C305  0, 216 5 C40

Suy ra: ( )  1  ( )  1  0, 216  0, 784 Bài tập 5: Bài làm -

Gọi i (i  1,3) là biến cố người thứ i bắn trúng con thú.

-

Gọi A là biến cố con thú bị trúng một viên đạn. Do các nhóm biến cố trên xung khắc và độc lập từng đôi nên:

36

()  (1 2 3 )  (12 3 )  (1 2 3 )  (1 )(2 )(3 )  (1 )(2 )(3 )  (1 )( 2 )(3 )  0, 4.0,5.0,3  0,6.0,5.0,3  0,6.0,5.0,7  0,36

-

Khả năng từng người bắn trúng con thú: ( 1 / ) 

( 1  ) 0.4  0.5  0.3   0.167  ( ) 0.36

 (  2 / ) 

(  2  ) 0.6  0.5  0.3   0.25  ( ) 0.36

 (  3 / ) 

( 3  ) 0.6  0.5  0.7   0.583  ( ) 0.36

Khi đó ta chia thịt cho mỗi người theo tỉ lệ: 0.167 : 0.25 : 0.583 Ví dụ 51: Gọi A1, A2, A3 lần lượt là biến cố lấy được cây viết của PX1, PX2, PX3. A là biến cố mua được cây viết xấu: Theo công thức xác suất đầy đủ: ( )  ( 1 )(  / 1 )  (  2 )(  /  2 )  ( 3 )(  / 3 )  0.5  0.01  0.3  0.02  0.2  0.03  0.017

Ví dụ 52: Gọi A1, A2 lần lượt là biến cố lấy được các chính phẩm của lô 1, 2. a. Gọi A là biến cố lấ

ược 2 chính ph m

Theo công thức xác suất đầy đủ: Tại vì chia ra hai lô, nên xác suất mỗi lô là 50%, có thể vẽ sơ đồ cây để thấy điều này. C62 C72 ()  (1 )( / 1 )  (2 )(  / 2 )  50%  2  50%  2  0, 4 C10 C10


ược 1 chính ph m

Theo công thức xác suất đầy đủ: ()  (1 )( / 1 )  (2 )( / 2 )  50% 

C16C14 C17 C13  50%   0.5 2 2 C10 C10

Ví dụ 53: Gọi A1 là biến cố lấy được 2 sản ph m của lô 1. Gọi A2 là biến cố lấy được 2 sản ph m của lô 2. Gọi A3 là biến cố lấy được 1 sản ph m của lô 1 và 1 sản ph m của lô 2. a) Gọi A là biến cố lấy được 2 chính ph m. Theo công thức xác suất đầy đủ:

37

( )  ( 1 )(  / 1 )  (  2 )(  /  2 )  ( 3 )(  / 3 ) 

C22 C62 C102 C72 C21C101 6  7   2  0, 4505 C122 C102 C122 C102 C12 10 10

b) Gọi B là biến cố lấy được 1 chính ph m. Theo công thức xác suất đầy đủ: ()  ( 1 )( / 1 )  (  2 )( /  2 )  ( 3 )( / 3 )



1 C22 C61C41 C102 C71C31 C21C10 63 47   (  )  0, 4657 C122 C102 C122 C102 C122 10 10 10 10

Ví dụ 54: VN

P(VN/T)=10% Tốt P(T)=70%

Xấu

TN VN

P(TN/T)=90% P(VN/X)=40%

P(X)=30% TN

P(TN/X)=60%

a. Xác suấ ười vay thuộc loại tốt và trả nợ P  TN / T   P(T)(TN / T)  0.7  0.1  0.07 -

Xác suất người vay thuộc loại tốt và vỡ nợ P  VN / T   P(T)(VN / T)  0.7  0.9  0.63

-

Xác suất người vay thuộc loại xấu và trả nợ P  TN / X  P(X)(TN / X)  0.3  0.6  0.18

-

Xác suất người vay thuộc loại xấu và vỡ nợ P  VN / X  P(X)(VN / X)  0.3  0.4  0.12

b. Gọi A là biến cố vỡ nợ c a một khách hàng c a quỹ tín dụng P  A  P(T)(A / T)  P(X)P(A / X)  0.7  0.1  0.3  0.4  0.19 -

-

Khả năng người đến vay vỡ nợ là người tốt P(TVN) P(T)P(VN / T) 0.07 P(T / VN)     37% P(VN) P(VN) 0.19 Khả năng người đến vay vỡ nợ là người tốt P(XVN) P(X)P(VN / X) 0.12 P(T / VN)     63% P(VN) P(VN) 0.19

Ví dụ 55: a.

ác trường hợp có thể có, có thể lần một lấy được bi tốt, lần 2 bi xấu hoặc lần 1 bi xấu và lần 2 bi xấu. Vậy: 38

-

Gọi A là biến cố cần tìm

5 4 4 3 P(A)      0.44444 9 8 9 8 b. ác trường hợp có thể có, TTT hoặc XTT hoặc XXT Gọi B là biến cố cần tìm có: 4 3 2 5 4 3 5 4 4 P(B)  . .  . .  . .  0.33 9 8 7 9 8 7 9 8 7 Ví dụ 56: Theo công thức xác suất Bayes ta có xác suất cây viết do PX1 sản xuất là: ( 1 )(  / 1 ) 0.5  0.01 ( 1 / )    0.29  ( ) 0.017

Ví dụ 57: Gọi A là xác suất để bà tư là người vay tốt, vậy: P(A) 

0.7  0.9  0.7778 0.7  0.9  0.3  0.6

Ví dụ 58: Theo công thức Bayes xác suất để 2 chính ph m đó thuộc lô 1 là:

C62 50%  2 C10 ( 1 )(  / 1 ) ( 1 / )    0.42 ( ) 0.4 Ví dụ 59: Theo công thức Bayes ta có:

1 15 . ( 1 )(  / 1 ) 66 45 ( 1 / )    0, 01121  ( ) 0, 4505 Bài 7, trang 14 Gọi n là số sản ph m mà công ty sản xuất ra. Gọi A là biến cố sản xuất được ít nhất 01 chính ph m, vậy A là biến cố đối của biến cố A, không có chính ph m nào.

P(A)  1  P(A)  0.95  P(A)  0.05  0.2n  0.05 Vậy n ít nhất phải bằng 2 (n = 2) thì thỏa ycbt. BÀI TẬP Bài tập 1. Gọi A1 là biến cố lấy được 2 chi tiết loại 1. Gọi A2 là biến cố lấy được 2 chi tiết loại 2. Gọi A3 là biến cố lấy được 1 chi tiết loại 1 và 1 chi tiết loại 2. a) Gọi A là biến cố sau 1 năm không có chi tiết nào bị hỏng. Theo công thức đầy đủ ta có:

39

( )  ( 1 )(  / 1 )  (  2 )(  /  2 )  ( 3 )(  / 3 ) C32 C31C21 C22  2 0,9.0,9  2 0,8.0,8  2 0,9.0,8  0, 739 C5 C5 C5 b) Gọi B là biến cố sau 1 năm có 1 chi tiết bị hỏng. ()  ( 1 )( / 1 )  (  2 )( /  2 )  ( 3 )( / 3 )



C32 C31C21 C22 2.0,1.0,9  2.0, 2.0,8  (0,9.0, 2  0,1.0,8)  0, 242 C52 C52 C52

Gọi C là biến cố chi tiết bị hỏng là loại 2. Theo công thức Bayes ta có:

(C / ) 

0,1.2.0,8.0, 2  0, 6.0,9.0, 2  0, 4783 0, 242

Bài tập 2. Gọi A1 là biến cố mua được 2 sản ph m của dây chuyền 1. Gọi A2 là biến cố mua được 2 sản ph m của dây chuyền 2. Gọi A3 là biến cố mua được 1 sản ph m của dây chuyền 1 và 1 sản ph m của dây chuyền 2. a) Gọi A là biến cố mua được 2 chính ph m. Theo công thức đầy đủ ta có: ( )  ( 1 )(  / 1 )  (  2 )(  /  2 )  (  3 ) (  /  3 )

1 1 1  0,98.0,98  0,97.0,97  0,98.0,97  0,951 1 4 2 b) Gọi B là biến cố mua được 1 chính ph m. ()  ( 1 )( / 1 )  (  2 )( /  2 )  (  3 )( /  3 ) 1 1 1  2.0,98.0, 02  2.0,97.0, 03  (0,98.0, 03  0,97.0, 02)  0, 04875 4 4 2 Bài tập 3. Gọi A1 là biến cố sản ph m được kiểm tra là phế ph m. Gọi A2 là biến cố sản ph m được kiểm tra là chính ph m. a) Gọi A là biến cố sản ph m được kết luận là chính ph m. Theo công thức xác suất đầy đủ. ( )  ( 1 )(  / 1 )  (  2 ) (  /  2 )

 0, 05.0, 01  0,95.0,9  0,8555 Theo công thức Bayes ta có tỉ lệ phế ph m trên thị trường là:

( 1 / ) 

( 1 )(  / 1 )  0, 00058  ( )

c. Theo công thức Bayes,tỉ lệ chính ph m bị loại là:

(2 / ) 

( 2 )(  / 1 ) 0,95.0,1   0, 6574 1  0,8555 ( )

c) Gọi B là tỉ lệ sai sót của chiếc máy. Theo công thức xác suất đầy đủ. 40

()  ( 1 )( / 1 )  (  2 )( /  2 )  0, 05.0, 01  0,95.0,1  0, 0955 Bài tập 4. Gọi A1 là biến cố lấy được chai rượu loại A. Gọi A2 là biến cố lấy được chai rượu loại B. Gọi A là biến cố 3 người kết luận chai rượu loại Theo công thức xác suất đầy đủ.

và 1 người kết luận chai rượu loại B.

( )  ( 1 )(  / 1 )  (  2 )(  /  2 )

( 1 )  ( 2 )  0,5 3 3 1 3 Do đó ( )  0,5.C4 .0,8 .0, 2  0,5.C4 .0,8.0, 2  0, 2176

Theo công thức Bayes tỉ lệ đẻ chai rượu lấy ra đúng chai rượu A là:

( 1 / ) 

( 1 )(  / 1 ) 0,5.0, 4096   0,941  ( ) 0, 2176

Bài tập 5. Gọi A1 là biến cố lấy được 1 sản ph m của lô 1. Gọi A2 là biến cố lấy được 1 sản ph m của lô 2. a) Gọi A là biến cố lấy được phế ph m. Theo công thức xác suất đầy đủ: ( )  ( 1 )(  / 1 )   (  2 ) (  /  2 )

 0,5.0, 2  0,5.0,3  0, 25 Xác suất lấy được phế ph m từ lô 1 là: ( 1 )(  / 1 ) 0,5.0, 2 ( 1 / )    0, 4  ( ) 0, 25 b) Gọi B là biến cố từ lô còn lại lấy được phế ph m. Theo câu a) xác suất phế ph m từ lô 2 là 1-0,4=0,6

41

BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Recommend Documents