TEMA 14: BALANCES ELEMENTALES O ATÓMICOS Bibliografía consultada: R EKLAITIS EKLAITIS y SCHNEIDER . Balances de materia y energía
La Figura 1 muestra un diagrama de flujo para la deshidrogenación de etano en un reactor continuo en régimen permanente. La reacción es:
C2 H 6 → C 2H 4 + H 2 Se alimentan 100 gramos-mol/min de etano al reactor. La corriente de producto se analiza en busca de hidrógeno, y se encuentra que el flujo molar de H 2 es de 40 moles/min.
40 moles H2/min q1 moles C2H6/min q2 moles C2H4/min
100 moles C2H6/min
Figura Nº1
Los balances convencionales por componentes son: C2H6 : q1 = 100 - r C2H4 : q2 = r H2. : 40 = r de modo que r = 40 mol/h ; q1 = 60 mol/h ; q 2 = 40 mol/h
Como el proceso de reacción (en ausencia de transformaciones nucleares) corresponde únicamente al reagrupamiento de los átomos en diferentes agregados moleculares, el número de átomos de cada elemento en el sistema debe permanecer sin cambio. Por consiguiente, las ecuaciones de balance también pueden formularse para el carbono atómico o el hidrógeno atómico, cualesquiera sean las especies moleculares en las que aparecen los átomos de carbono e hidrógeno. Los balances sobre especies atómicas pueden formularse como entrada = salida, ya que los átomos no pueden crearse (generación = 0) ni destruirse (consumo =0) en una reacción química.
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Cuando nos referimos a un balance de H 2, podría querer significar dos cosas, por completo diferentes: un balance sobre hidrógeno molecular, que existiera como especie independiente, o un balance sobre el hidrógeno total-unido o libre- expresado en términos de moléculas de H2 en vez de átomos de H.
Balance de C atómico : entrada = salida 100 moles etano/min x 2 atomos C/mol etano = q1 x 2 + q2 x 2 Î
100 = q1 + q2
Balance de H2 : entrada = salida 100 x 3 = 40 + q1 x 3 + q2 x 2 Î
300 = 40 + 3q1 + 2q2
q1 = 60 mol/min q2 = 40 mol/min
Este tipo de ecuación de balance es indispensable para aquellos casos en los que se disponga exclusivamente de un análisis elemental de los componentes del sistema, o cuando se desconoce la estequiometría de la reacción. Este método puede ser ventajoso además, cuando las ecuaciones estequiométricas son muy complejas (son muchas reacciones simultáneas e intervienen muchos compuestos),
pero intervienen pocos
elementos diferentes. Como ejemplo de aplicación se tiene a los combustibles fósiles, en los distintos tipos de procesamiento a los que con mayor frecuencia se les somete, por ejemplo a combustión, generación de gas de síntesis y mejoramiento.
LA MATRIZ ATÓMICA Y LAS ECUACIONES GENERALES DE BALANCE Definiendo un flujo neto de salida de la forma: J
I
N s = ∑ N - ∑ N is i =1
con J = corrientes de salida I = corrientes de entrada s= sustancia
j s
i =1
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En forma general las ecuaciones de balance elemental, para un sistema en el que intervienen S sustancias en E elementos son: S
∑ α es N s = 0
e = 1. . . . . E
s=1
con αes=nro. elementos (átomos) en la sustancia S. Si Ae indica el peso atómico del elemento e, entonces puede expresarse el balance molar anterior en unidades másicas como S
A e ∑ α es N s = 0
e = 1. . . . . E
s =1
La suma de todas estas ecuaciones de balances elementales en masa es E
S
e =1
s =1
∑ A e ∑ α es N s = 0
y, considerando que por definición el peso molecular de la sustancia s es E
M s = ∑ A s α es e =1
resulta: S
∑ M s N s = 0
s =1
S
o
∑ Fs = 0
s =1
Es decir que la suma de los balances elementales en masa corresponde al balance total de masa, por lo tanto, de los E balances elementales y el balance total de masa, pueden ser independientes E ecuaciones de balance como máximo. Una propiedad importante adicional es que cada ecuación de balance elemental es
homogénea en los flujos por componente. Esto es cierto puesto que si N *s , s = 1..... , S es una solución de los balances elementales, entonces para cualquier θ≠ 0. S ⎛ S ⎞ ∑ α es (θN *s ) = θ⎜⎝ ∑ α es N *s ⎠⎟ = 0 s =1 s=1
e = 1. . . . . E
Por lo tanto, un valor de θ N *s también satisface las ecuaciones de balances elementales y las ecuaciones deben ser homogéneas por definición. Entonces, para un
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sistema dado en el que intervienen E elementos, pueden expresarse cuando más E ecuaciones de balance y, si no se especifica ningún flujo, siempre puede seleccionarse cualquier base de cálculo conveniente. Una propiedad de los balances elementales es que son algebraicamente más complicados que los balances por componente. Es decir, los balances elementales tienden a incluir más incógnitas por ecuación de balance. Esto ocurre debido a que en cada balance elemental interviene el flujo neto de salida de todos los componentes, en tanto que en los balances por componente, además de las velocidades de reacción aparece únicamente el flujo neto de salida de un solo componente. Una segunda propiedad de los balances elementales es que, aunque puede expresarse un balance elemental para cada elemento del sistema, algunas de las ecuaciones de balance pueden ser redundantes. Por lo tanto aunque generalmente puede expresarse un máximo de E balances independientes, en algunos casos puede ser que menos de E sean realmente independientes.
El Álgebra de los Balances Elementales Considerando la forma de las ecuaciones de balances elementales S
∑ α es N s = 0
e = 1. . . . . E
s =1
es claro que pueden deducirse las propiedades algebraicas de los balances elementales a partir de las propiedades correspondientes de los coeficientes atómicos. En particular, como los coeficientes de una ecuación de balance elemental son simplemente los coeficientes atómicos de dicho elemento, puede determinarse la dependencia o independencia del sistema de balances elementales considerando la dependencia o independencia lineal de los vectores de dichos coeficientes. Indicando mediante a e, al renglón vector de coeficientes atómicos correspondientes al elemento e, entonces el sistema de ecuaciones de balances elementales será independiente si y sólo si el sistema de vectores ae es linealmente independiente.
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD Las variables de corrientes y las relaciones se cuentan de la manera usual; el número de balances elementales independientes se verifica mediante el procedimiento de
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reducción de arreglos; y se permite una base arbitraria, debido a que las ecuaciones de
balance elemental son homogéneas en los flujos de las corrientes. Si los grados de libertad son cero, entonces como revisión final se verifica la independencia de las especificaciones.
Ejemplo El fertilizante sólido urea (NH2)2CO, se produce mediante la reacción de amoníaco con bióxido de carbono. En una planta se alimenta al reactor una mezcla que contiene 33% de CO2 y el resto NH3. Se determina además que la corriente de producto contiene urea, agua, carbamato de amonio (NH 2COONH4), así como CO2 y NH 3 que no reaccionaron. Calcule la composición de la corriente de producto, si se obtiene una conversión de CO 2 del 99%.
Solución En el proceso intervienen cuatro elementos (C, O, H, N) y cinco componentes [CO 2, H2O, NH3, (NH2)2CO, NH2COONH4]. La matriz atómica para este sistema, con los elementos y componentes en el orden listado, es: CO2
C O H N
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 2 0 0
H2O
NH3
0 1 2 0
0 0 3 1
(NH2)2CO
NH2COONH4
1 1 4 2
1 2 6 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
La diagonalización de la matriz da:
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 -1 2 0
1 ⎞ 0 ⎟ 2 ⎟ 0 ⎠
Este arreglo reducido tiene un renglón de ceros, lo que indica que el sistema completo de cuatro balances elementales es dependiente. Los tres primeros renglones no valen cero, o sea que los tres primeros balances elementales serán independientes, y usarlos es equivalente a usar el sistema completo. En el sistema hay siete variables de corrientes, una composición y una conversión especificadas, y se puede escoger una base de cálculo. Como es posible expresar únicamente tres balances elementales independientes, el problema está subespecificado por un dato. Para completar la solución es necesario tener información adicional. Aunque es posible, mediante el procedimiento anterior, determinar el número de balances elementales independientes que pueden usarse en la resolución de un problema determinado, sólo se podrá obtener una solución si el problema está especificado correctamente. Como en el caso de los balances por componente, una especificación apropiada implica no sólo que se fije el número correcto de variables de corrientes y se impongan relaciones, sino también que dichas especificaciones estén distribuidas correctamente.
