Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
BANCO DE PREGUNTAS Sesión 3: Volúmenes 1)
Uso del método del disco – Eje de revolución, eje x
Encuentre el volumen del solido obtenido al girar, alrededor del eje x, la región bajo la curva y x de 0 a 1.
SOLUCIÓN La región se muestra en la figura a. Si giramos alrededor del eje x, obtenemos el sólido que se ve en la figura b. Cuando hacemos un corte que pase por el punto x, obtenemos un disco con radio y
x . El área de esta sección transversal es
A( x) ( x )2 x
El sólido se encuentra entre x 0 y x 1 y su volumen es V
2)
1
0
A( x) dx
1
0
x dx
x
2
2
1
0
2
Uso del método de los discos – Eje de revolución, eje y
Encuentre el volumen del solido obtenido al girar, alrededor del eje y, la región acotada por y x3 , y 8 y x 0 .
SOLUCIÓN La región se muestra en la figura 8a y el sólido resultante se muestra mue stra en la figura 8b. Como la región se hace girar alrededor del eje y, tiene sentido cortar el sólido perpendicular al eje y y por tanto integrar con respecto a y. Si cortamos a una altura y, obtenemos un disco circular con radio x, donde x
3
y . Entonces el área de una sección transversal que pasa por y es 1
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
A( y) x 2
3
y
2
y 2/3
Como el sólido se encuentra entre y 0 y y 8 , su volumen es V
y 8
8
0
A( y ) dy
8
8
0
96 3 3 y dy y 5/3 u 5 5 0 2/3
y
y 8 x
x 0
y
y x 3
y
o
x
( x, y )
y
y
3
x x
0 (b)
(a)
3)
Uso del método de una anillo
La región R encerrada por las curvas y volumen del sólido resultante.
x y y x se gira alrededor del eje x . Encuentre el 2
SOLUCIÓN Primero interceptemos las curvas
y
x
y y x 2 ,
al igualar x x se obiene 2
x 0 x 1 , luego las curvas se cortan en los puntos (0,0) y (1,1). La región entre ellos, el sólido de rotación, y la sección transversal perpendicular al eje x se muestran en la figura 10. Una sección transveral tiene la forma de un anillo (figura 10), con radio interior x 2 y radio exterior x , de modo que el área de este anillo se obtiene al restar el área del círculo interior del área del círculo exterior. A( x) x 2 ( x 2 ) 2 ( x 2 x 4 )
Por tanto tenemos, 1
x3 x5 2 3 V A( x) dx ( x x ) dx u 0 0 3 5 0 15 1
1
2
4
2
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
Método del anillo, eje de revolución, eje x
4)
Giro alrededor de una recta horizontal
La región R encerrada por las curvas y x y y x 2 se gira alrededor de la recta y 2 . Encuentre el volumen del sólido resultante.
SOLUCIÓN El sólido y una sección transversal se ven en la figura 11. Observamos que la sección transversal es un anillo, donde los radios interior y ex terior son: Ri 2 x , Re 2 x2 .
Figura 11 Método del anillo-eje de revolución h orizontal
El área de sección transversal es A( x) (2 x 2 )2 (2 x) 2 Entonces el volumen de S es 3
Integral Definida
V
Cálculo 2 – Ingeniería
1
0
A( x) dx
1
1
2 2 2 4 2 0 (2 x ) (2 x) dx 0 ( x 5x 4x) dx 1
3 2 x5 x x 8 3 V 5 4 u 5 3 2 15 0
5)
Hallar el volumen del sólido de revolución formado al rotar la región limitada por la gráfica de la función y x 1 , y las rectas x 0, y 0 alrededor del eje x .
SOLUCIÓN La región deseada se muestra en la figura 12.
Figura 12 De acuerdo a la figura 12, se puede ver que el radio de este sólido es: R( x) x 1 El volumen del sólido de revolución es: V
2
a R x dx
2
1
0 x
V
b
x 1 dx
1
2
0
2 x 1 dx 1
x 3 x 2 x 3 0
13 2 03 2 1 1 0 0 3 3 1
u3 3
Al girar en el eje “ x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de
1 3
u3
4
Integral Definida
6)
Cálculo 2 – Ingeniería
Hallar el volumen del sólido de revolución formado al rotar la región limitada por la gráfica de la función y 4 x , y las rectas x 0, y 0 alrededor del eje x . 2
SOLUCIÓN La región deseada se muestra en la figura 13.
4 3 2 1
Figura 13
De acuerdo a la figura 13, se puede ver que el radio de este sólido es: R( x ) 4 x
2
El volumen del sólido de revolución es: 2
2
V 4 x 2 dx 0 2
16 8 x 2 x 4 dx 0 2
x 2 x 5 16 x 8 3 5 0
8(22 ) 25 16(2) 0 3 5
256 15
Al girar en el eje “ x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de
256 15
u3
5
Integral Definida
7)
Cálculo 2 – Ingeniería
Hallar el volumen del sólido de revolución formado al rotar la región limitada por las gráfica de las funciones y 2;
y 4
x2 4
alrededor del eje x .
SOLUCIÓN La región deseada se muestra en la figura 15.
1
Figura 15 De acuerdo a la figura 15, se puede observar que los radios exteriores e interiores son: R( x) 4
x 2 4
r ( x) 2
;
Para hallar las intersecciones entre ambas gráficas, se igualan
2 4
x 2
4 2 8 16 x x 2 8 x 2 2 Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es:
V
x 2 2 4 (2)2 dx 2 4
2 2
2
x 4 2 2 x 2 12 dx 0 16 x5 2 x3 2 2 2 12 x 80 3 0 2 2
6
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
128 2 32 2 2 24 2 3 80
448 2 15
Al girar en el eje “ x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de 8)
448 2 15
u3
Encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y x , y 0, x 4 al girar alrededor de las rectas dadas. a) El eje x b) El eje y c) La recta x 4 d) La recta x 6
SOLUCIÓN a)
El eje x:
La región deseada se muestra en la figura 17. 3 – 2 – 1 --
Figura 17 En la figura 16 se puede ver que el radio de este sólido es: R( x)
x
Aplicando el método del disco, el volumen del sólido de revolución es: V
2
b
a R x dx 4
2
x dx 0 4
xdx 0
7
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
4
x 2 2 0
Al girar en el eje “ x”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de 8 u3
b)
El eje y: La región deseada se muestra en la figura 18. 3 – 2 – 1 --
Figura 18 Al girar la región alrededor del eje y, se debe colocar los radios en función a esa variable, entonces los radios son, R( y) 4 además y x , luegos r ( y) y 2 Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: 2
0 R( y ) ( y 2 16 y 4 dy 0
V
2
) dy
2 2
2
y 5 16 y 5 0 128 5
Al girar en el eje “ y”, se formará un volumen, el cual tendrá un valor de c)
128 5
u3
La recta x 4
La región deseada se muestra en la figura 19.
8
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
3 – 2 – 1 --
Figura 19 Al girar la región alrededor del eje x 4 , los radios son: R( y) 4 y 2 ;
r ( y) 0
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
a ( R( y ))2 (r ( y ))2 dy 2 2 4 y 2 dy 0 2 16 8 y 2 y 4 dy 0
V
2
8 y 3 y 5 16 y 3 5 0 256 15
Al girar alrededor de la recta x 4 , se formará un volumen, el cual tendrá un valor de 256 3 u 15 d)
La recta x = 6
La región deseada se muestra en la figura 20.
9
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
3 – 2 – 1 --
Figura 20 Al girar la región alrededor del eje x 6 , los radios son: R( y) 6 y 2 ;
r ( y) 2
Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
a ( R( y )) (r ( y )) dy 2 (6 y 2 ) 2 4dy 0 2 32 12 y 2 y 4 dy 0
V
2
2
2
y 5 3 32 y 4 y 5 0 192 5
Al girar alrededor de la recta x 6 , se formará un volumen, el cual tendrá un valor de 192 3 u 5 9)
Encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y x, y 3, x 0 al girar alrededor de la recta y 4 .
SOLUCIÓN La región deseada se muestra en la figura 21.
10
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
3 -2 -1--
Figura 21 Al girar la región alrededor del eje y 4 , los radios son: R( x) 4 x, r( x) 4 3 1 Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: b
a ( R( x )) (r ( x)) dx 3 (4 x)2 (1)2 dx 0 3 x 2 8 x 15 dx 0
V
2
2
3
x3 4 x2 15x 3 0
(3)3 4(3)2 15(3) 3 18 Al girar alrededor de la recta y 4 , se formará un volumen, el cual tendrá un valor de 18 u 3 10) Encontrar el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las
ecuaciones y x, y 0, y 4, x 6 al girar alrededor de la recta x 6 .
SOLUCIÓN La región deseada se muestra en la figura 22.
11
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
5-4-3-2-1--
Figura 22 Al girar la región alrededor del eje x 6 , los radios son: R( y) 6 y ; r( y) 0 Aplicando el método de las arandelas, el volumen del sólido de revolución es: 4
6 y dy 0 2
4
36 12 y y 2 dy 0
4
y3 6 y 2 36 y 3 0 208 3
Al girar alrededor de la recta x 6 , se formará un volumen, el cual tendrá un valor de 208 3 u 3 11)
Volumen del Tanque de aviones. Un avión modelo Cessna consume 20 litros de combustible por hora, y si suponemos una velocidad crucero de 225 Km/h podemos decir que consume alrededor de 9 litros cada 100 kilómetros, su tanque de este avión se genera por 1 2 el sólido de revolución al girar la región acotada por la gráfica y x 2 x alrededor del 8 eje x, donde x e y son medidos en metros. Calcular el volumen del tanque del avión Cessna.
SOLUCIÓN De acuerdo a la región formada, el radio de este sólido es:
12
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
R( x)
1 8
x2 2 x
Aplicando el método de los discos, el volumen tanque es:
V
b
a R x
2
dx 2
1 x 2 2 x dx 0 8 2 x4 2 x dx 2
64
0
2
(2 x 64 0
4
x5 ) dx 2
2 x5 x 6 64 5 6 0 30
Al girar en el eje x , el volumen del tanque es:
30
12) Investigadores encontraron depósitos de vidrio en Marte. La nave Orbitador de
Reconocimiento de Marte (Mars Reconnaissance Orbiter MRO) detectó depósitos de vidrio del tipo que se forma por un impacto. Según astrónomos de la NASA, esta evidencia proporciona una nueva pista de posible vida pasada en el planeta rojo, el más vecino a la Tierra al exterior de nuestro Sistema Solar. Estos recipientes de vidrio se modela al girar la gráfica de
y
3 2 4 x 3 x 10 x 2, 6.48,
0x 2 2 x 4
Alrededor del eje x donde x e y son medidos en metros. Representar la función y encontrar el volumen del recipiente
SOLUCIÓN La región deseada se muestra en la figura 23
13
Integral Definida
Cálculo 2 – Ingeniería
Figura 23 El volumen se hallará por: 2
0
( 4 x3 3 x 2 10 x 2 ) 2 dx
4
V
V x x 5x 2 x 3
2
2 0
4
2 (6.48) dx 2
4
(41.9904x ) 2
V 32 83.9808 V 115.9808 cm3 13) Cisterna para Yogurt. La empresa Ricos Lácteos, transportan Yogurt del sur al norte del
Perú, para ello los ingenieros de la fábrica desarrollan un diseño de cisterna muy especial para el transporte, con la finalidad de llamar la atención a las personas y aprovecharla como publicidad para esta empresa. Las paredes de la cisterna, estarán generadas por un sólido de revolución obtenido al girar un arco de y senx alrededor del eje X ¿Qué volumen de yogurt puede transportar el camión?
SOLUCIÓN Graficando la función seno en el intervalo 0, , (Vea la figura 27). y sen x
Figura 27 Luego el volumen se calcula de la siguiente manera:
14
Integral Definida
V
sen2 xdx
0
Cálculo 2 – Ingeniería
1 cos 2 x 2
0
dx
sen2x x 2 2 0
0
2
2
2
u3
15
