NOTASI SIGMA, BARISAN DAN DERET I.
Notasi Sigma
A. Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1. Dapat menggu menggunakan nakan notasi notasi sigma sigma sebagai sebagai penjumlahan penjumlahan n suku. suku. 2. Dapat merubah merubah suatu penjumlahan penjumlahan bilangan bilangan ke dalam dalam notasi notasi sigma. sigma.
B. Uraian Materi
Konsep Notasi Sigma Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
………… ……………… ………… ………… ………… ………. …...
(1) (1)
Pada bentuk (1) 1 disebut suku pertama, 3 disebut suku ke-2, 5 disebut suku ke-3 ke-3 dan dan sete seteru rusn snya ya..
Perh Perhat atik ikan an juga juga suku suku-s -suk uku u bent bentuk uk (1) (1) ters terseb ebut ut
membentuk pola. Suku ke-1 = 1
= 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3
= 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5
= 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7
= 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9
= 2.5 – 1
Suku ke-6 = 11
= 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1 dengan k = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Cara untuk menuliskan secara singkat bentuk jumlahan (1) adalah dengan tanda Σ (dibaca (dibaca “sigma”) yang yang disebut dengan dengan notasi sigma. sigma. Notasi Notasi sigma berasal dari huruf Yunani untuk abjad S dari perkataan “sum” yang berarti jumlah. Notasi ini diperkenalkan pertama kali kali oleh Leonhard Euler pada tahun 1755 dalam buku “Institutiones Calculi Differentialis”. Dengan notasi sigma bentuk jumlahan (1) dapat ditulis :
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 77
6
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ∑( 2k − 1) k =1
6 suku 6
∑(2k −1)
Bentuk
dibaca dibaca
“sigm “sigma a k=1 sampa sampaii 6 dari dari 2k – 1” atau atau
k =1
“jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sampai k = 6”. Pada notasi sigma sigma di atas 1 dan dan 6 masing-m masing-masing asing disebut disebut batas bawah bawah dan batas atas, lambang lambang k dinamakan dinamakan indeks indeks (ada pula yang menyebu menyebutt k sebagai sebagai variable). variable). Sebarang Sebarang huruf huruf kecil dapat digunakan sebagai indeks. n
Secara umum
∑a k
... + a n−1 + a n = a1 + a 2 + a 3 + ...
k =1
Contoh : 5
1.
∑ 3k = 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 k =1
= 3 + 6 + 9 + 12 + 15 4
2.
∑(2k +1) = (2 ⋅1 +1) + (2 ⋅ 2 +1) + (2 ⋅ 3 +1) + 2 ⋅ 4 +1) k =1
=3+5+7+9 10
3.
∑(2
k
−1) = (21 −1) + ( 2 2 −1) + ( 2 3 −1) + ( 2 4 −1) +... ... + ( 210 −1)
k =1
= 1 + 3 + 7 + 15 + ... + 1023
C. Rangkuman. “∑” dibaca sigma yang diartikan jumlah. n
Secara umum
∑a k
= a1 + a 2 + a 3 + ... ... + a n−1 + a n
k =1
D. Tugas 1 Kerjakan soal berikut ini secara berkelompok ! 1. Nyatakan Nyatakan dengan dengan mengg menggunak unakan an notasi notasi sigma! sigma! a. 3 + 5 + 7 + … + 51 b.
1 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16 32
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 78
c. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 d. 2 − 4 + 8 − 16 + 32 − 64
e. 9 + 27 + 81 + 243 f. 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … + 10000 g. (2 × 3) + (3 × 4) + (4 × 5) + (5 × 6) + … + (16 × 17) 2 2 2 2 2 h. a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n
i.
ab + a2b2 + a3b3 + a4b4 + … + anbn
j.
a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9
2. Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk lengkap 6
5
a.
b.
∑(k
2
+ 1)
c.
∑( −1) a i
k =1
i =1
5
n
∑(3n −1)
d.
n =1
i
r (r +1) 2
∑ r =1
3. Sebuah tumpukan pipa disusun membentuk segitiga sama sisi dengan n buah pipa pada tiap sisinya. Nyatakan banyaknya pipa dalam notasi sigma jika terdiri atas n tumpukan.
Sifat-sifat Notasi Sigma A. Tujuan Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : 1.
Mengerti tentang sifat-sifat notasi sigma.
2.
Dapat menggunakan sifat-sifat notasi sigma untuk mengerjakan soalsoal.
3.
Dapat membuktikan kebenaran rumus dengan menggunakan sifstsifst notasi sigma yang ada.
B. Uraian Materi
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 79
Berikut ini adalah beberapa sifat notasi sigma. n
n
i =1
j=1
∑a i = ∑a j
a.
n
∑ c = nc ,
b.
c konstanta.
k =1
n
∑c.a k
c.
n
= c ∑a k ,
k =1
c konstanta.
k =1
n
n
n
k =1
k =1
∑ (a k + b k ) = ∑ a k + ∑ b k
d.
n
∑ak
e.
m
= ∑a k +
k =1
k =1
∑a i i=m
∑ak
dengan 1 < m < n
k =m +1
n +p
n
f.
n
=
∑x i
−p
i=m +p
Contoh soal: 1. n
Buktikan dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma.
∑(ax
2
n
+ bx + c ) = a ∑ x
x =1
n
+ b ∑x
2
x =1
+ cn
x =1
Jawab: n
∑ (ax
2
n
n
n
x =1
x =1
+ bx + c ) = ∑ ax + ∑ bx + ∑ c
x =1
2
x =1 n
= a∑x
n
2
b∑x
+
x =1
+ nc
x =1
20
2.
Nyatakan
2k ∑k +1 dalam notasi sigma dengan 1 sebagai k =8
batas bawah. Jawab: n +p
n
Dengan menggunakan sifat
∑a i
=
i =m
∑x i
−p
diperoleh:
i=m +p
20
20 −7 13 2k 2(k − ( −7 )) 2(k + 7 ) = = ∑ k + 1 ∑ (k − ( −7 )) + 1 ∑ k + 8 k =8 k =8 −7 k =1
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 80
C. Rangkuman Sifat-sifat notasi sigma adalah :
a.
n
n
i =1
j=1
∑a i = ∑a j n
b.
∑ c = nc ,
c konstanta.
k =1
n
c.
∑c.a k
n
= c ∑a k ,
k =1
c konstanta.
k =1
n
n
k =1
k =1
n
d. ∑ (a k + b k ) = ∑ a k + ∑ b k
e.
n
m
k =1
k =1
∑a i
∑ak
dengan 1 < m < n
k =m +1
n +p
n
f.
n
∑ak = ∑ak + ∑x i
=
i=m
−p
i=m +p
D. Tugas 1.
Buktikan sifat-sifat notasi sigma di atas! n
2.
Buktikan bahwa
∑(k + 1)
n
2
= ∑k
k =1
n
2
+ 2∑k
k =1
+ n
k =1
Bentuk ruas kanan pada soal nomor 2 di atas disebut “Jumlah Monomial” Kerjakan secara berkelompok!
E. Tes Formatif. 1.
Nyatakan notasi sigma berikut ke dalam bentuk jumlah monomial 10
n
a.
∑ (4a k + 3b k )
c.
k =1
n
b.
∑(3k
2
∑( −1) j ( j 2 + 2 j) j =1
k
− 4k )
k =1
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
d.
∑(n + 1)
3
n =1
Halaman 81
2. Ubahlah notasi sigma berikut dengan bilangan 1 sebagai batas bawah. 10
15
a.
∑k
b.
k =5
p =0
5
30
a +b c. ∑ a =−5 a − b II. A.
∑( 2p +1)
d.
∑(3k
2
+ 1)
k =8
Barisan dan Deret Bilangan Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan : Mengerti tentang barisan bilangan. Menentukan rumus suku ke n dari suatu barisan. Mengerti tentang deret bilangan.
B.
Uraian Materi
1. Pengertian Barisan Perhatikan gambar dan urutan bilangan di bawah, •
Banyak lingkaran pada pola di bawah.
11, 3, 6, 10, 15, … •
………………. (2) Urutan bilangan pada kolom ke-3 kalender.
2, 22, 9, 16, 23, 30
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
………………. (3)
Halaman 82
•
Banyak bujursangkar satuan pada urutan gambar
berikut.
1, 4, 9, 16, 25, …
………..………(4)
Urutan bilangan-bilangan pada (2), (3) dan (4) masing-masing mempunyai aturan tertentu.
Urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu disebut
barisan bilangan. Setiap bilangan pembentuk barisan disebut suku barisan. Dalam barisan secara umum suku pertama dinyatakan dengan U 1, suku ke-2 dinyatakan dengan U2, suku ke-3 dinyatakan dengan U3 dan seterusnya sehingga suku ke-n dinyatakan dengan U n. Sebagai contoh pada barisan (2), U1 = 1, U2 = 3, U3 = 6, U4 = 10, dan seterusnya. Barisan biasanya didefinisikan sebagai suatu fungsi yang mempunyai domain (daerah asal) bilangan asli. suku ke-n barisan
Pada barisan (2),
tersebut adalah
Un =
fungsi untuk n(n + 1) 2
menyatakan
dengan n ∈ { 1,
2, 3, 4, 5, … }. Pendefinisian seperti ini dinamakan dengan definisi eksplisit. Cara lain untuk mendefinisikan barisan bilangan adalah dengan definisi rekursif. Contoh: diberikan barisan bilangan dengan definisi rekursif sebagai berikut, U1 = 3 Un = 2Un-1 + 1,
n>1
Suku-suku berikutnya dapat dicari dengan cara : U2 = 2.U1 + 1 = 2.3 + 1 = 7 U3 = 2.U2 + 1 = 2.7 + 1 = 15 U4 = 2.U3 + 1 = 2.15 + 1 = 31 dan seterusnya. Sebuah definisi rekursif memuat dua bagian, pertama adalah kondisi awal untuk memulai barisan dan yang kedua adalah sebuah persamaan rekursif
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 83
(rumus rekursif) untuk menentukan hubungan antara setiap suku barisan dengan suku berikutnya. Definisi rekursif ini banyak dipakai dalam aplikasiaplikasi komputer. 2. Menentukan Rumus Suku ke-n Suatu Barisan Jika suatu barisan diberikan beberapa suku pertama, kadang-kadang bisa ditentukan rumus untuk suku ke-n. Contoh : Tentukan rumus suku ke-n barisan berikut a. 1, 3, 5, 7, … b. 3, 9, 27, 81, … Jawab : a.
U1 = 3
= 31
= 2.2 − 1
U2 = 9
= 32
U3 = 5
= 2.3 − 1
U3 = 27
= 33
U4 = 7
= 2.4 − 1
U4 = 81
= 34
U1 = 1
= 2.1 − 1
U2 = 3
b.
…..
…..
Un = 2.n − 1
Un = 3n
Perlu diperhatikan juga bahwa jawaban rumus suku ke-n tidak selalu tunggal, sebagai contoh barisan berikut. 2, 4, 8, … Terlihat sekilas bahwa rumus suku ke-n barisan di atas adalah U n = 2n. Akan tetapi ternyata rumus Un = n2 – n + 2, juga sesuai untuk barisan diatas. Tidak semua barisan dapat ditentukan rumus untuk suku ke-n. contoh adalah barisan bilangan prima.
Sebagai
Bilangan prima ke 100 bisa dicari,
tetapi tidak ada rumus umum untuk menghasilkan bilangan prima ke-n. C . Tugas 2 Kerjakan secara berkelompok ! 1.
Carilah 4 suku pertama dan suku ke sepuluh dari barisan
bilangan dengan rumus umum berikut. a. Un = 3n + 1
d. Un =
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
n n +1
Halaman 84
( −1)n b. Un = n
e.
Un
=
1 n 1 2
( ) −
−
c. Un = (n – 1)(n – 2)(n – 3)
Untuk setiap barisan bilangan berikut tentukan rumus untuk
2.
suku ke−n. a. 2, 4, 6, 8, 10, … b. 1, 2, 3, 4, 5, … c. −2, 1, 4, 7, 10, …
d. x,
x2 2
x3
,
3
,
x4 4
, ...
e. −15, −5, 5, 15, …
f. 1, 2, 4, 8, 16, … g. 4, 2 2 , 2,
2 , 1, ...
h. 2, −4, 8, −16, …
i.
2, 6, 12, 20, …
3.
Carilah lima suku pertama dari barisan dengan definisi
rekursif berikut. a. U1 = 2
Un = 3(Un-1 – 1), untuk n > 1 b. U1 = −3
Un = ( −1)n ⋅ ( 2Un −1 + 2) , untuk n > 1 4.
Carilah definisi rekursif untuk barisan bilangan berikut. a. 9, 13, 17, 21, … b. 1, 3, 7, 15, 31, … c. 81, 27, 9, 3, … d. 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
3. Deret Bilangan Konsep tentang deret bilangan telah dikenal sejak abad ke-5 sebelum Masehi yang dikenal dengan nama paradoks Zeno.
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Dalam paradoks tersebut
Halaman 85
dikisahkan Achilles berpacu dengan kura-kura. Karena kecepatan Achilles 12 kali kecepatan kura-kura maka waktu start kura-kura diletakkan di depan Achilles sejauh 1 stadion (suatu ukuran jarak pada masa itu, kira-kira 200 yard).
Untuk dapat melampaui kura-kura maka Achilles harus menempuh
jarak 1 stadion terlebih dahulu (tempat kura-kura semula). Pada saat yang bersamaan kura-kura telah merangkak maju sejauh
menempuh jarak
1 stadion. Saat Achilles 12
1 1 stadion, kura-kura telah bergerak maju stadion. 12 12 2
Berikutnya saat Achilles menempuh jarak
bergerak maju sejauh
1 stadion. 12 3
1 122
stadion, kura-kura telah
Begitu seterusnya proses ini berulang-
ulang sampai tak hingga sehingga disimpulkan bahwa Achilles tidak mungkin melampaui kura-kura. Kalau dituliskan maka jarak yang ditempuh oleh Achilles adalah 1+
1 1 1 + 2 + 3 +… 12 12 12
……………………
(5)
Tanda titik-titik ini menunjukkan bahwa pola tersebut berulang untuk setiap bentuk
1 12 k
selalu diikuti oleh bentuk
1 . 12 k +1
Bentuk penjumlahan pada (5) dalam matematika dikenal sebagai deret bilangan
atau
dengan kata lain deret bilangan adalah penjumlahan dari
barisan bilangan. Jika Sn melambangkan jumlah dari n suku pertama suatu barisan bilangan maka Sn dapat dinyatakan dalam dua cara yaitu : - Definisi eksplisit untuk Sn :
Sn = U1 + U2 + U3 + … + Un
- Definisi rekursif untuk Sn
S1 = U1 Sn = Sn-1 + Un untuk n > 1
Dari sini diperoleh hubungan Un = Sn − Sn−1 untuk n > 1
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 86
Contoh: 1. Jumlah n suku pertama suatu deret adalah Sn = 2n − 1, tentukan U1, U2,
U3, U4 dan U5. Jawab: U1 = S1
= 21 − 1
= 2 −1 = 1
U2 = S2−S1 = (22 − 1) − (21 − 1) = 3 − 1 = 2 U3 = S3 − S2 = (23 − 1) − (22 − 1) = 7 − 3 = 4 U4 = S4 − S3 = (24 − 1) − (23 − 1) = 15 − 7 = 8 U5 = S5 − S4 = (25 − 1) − (24 − 1) = 31 − 15 = 16 2. Hitung jumlah 5 suku pertama dari setiap deret bilangan jika diketahui
rumus suku ke−n berikut. a. Un = 2n + 3 b. Un = n2 + 2 c. Un = log 10n
Jawab: a. S5 = (2.1 + 3) + (2.2 + 3) + (2.3 + 3) + (2.4 + 3) + (2.5 + 3) = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45
b. S5 = (12 + 2)
+ (22 + 2) + (32 + 2) + (42 + 2) + (52 + 2)
= 3 + 6 + 11 + 18 + 27 = 65
c. S5 = log 101 + log 102 + log 103 + log 104 + log 105 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Cara lain untuk menentukan jumlah n suku pertama deret adalah dengan mencari pola dari barisan S1, S2, S3, S4, …, Sn. Sebagai contoh pada contoh 2a di atas,
S1 = 5
= 5
S2 = 5 + 7
= 12 = 2.6 = 2.(2 + 4)
S3 = 5 + 7 + 9
= 21 = 3.7 = 3.(3 + 4)
S4 = 5 + 7 + 9 + 11
= 32 = 4.8 = 4.(4 + 4)
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
= 1.5 = 1.(1 + 4)
Halaman 87
…. Sn = n(n+4) D. Rangkuman Barisan adalah urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu. Un adalah suku ke- n dari suatu barisan dan Sn adalah jumlah n suku pertama dari suatu barisan atau dapat ditulis Sn = U 1 + U2 + U3 + … + Un
E. Tes Formatif 2 1. Tentukan bentuk umum jumlah n suku pertama dari setiap deret bilangan berikut. a. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … b. 4 + 8 + 16 + 32 + … c. – 5 – 3 – 1 + 1 + 3 + … d. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + … e. 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + … 2. Tulislah tiga suku pertama dan suku ke sepuluh dari setiap deret bilangan berikut. a. Sn = n2 + 2n b. Sn = n3 – 2
III. Barisan dan Deret Aritmetika A. Tujuan
Setelah mempelajari keguatan belajar ini, Anda diharapkan: 1.
Dapat menentukan beda dari suku-suku barisan aritmetika.
2.
Dapat menentukan suku ke n
3.
Dapat menentukan rumus suku ke n dari barisan aritmetika
4.
Dapat menentukan jumlan n suku pertama dari deret aritmetika
B. Uraian Materi
1.
Barisan Aritmetika
Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan aritmetika jika Un − Un−1 selalu tetap untuk setiap n.
Un − Un−1 yang selalu
tetap ini dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 88
Jadi :
b = Un − Un-1
Contoh :
2.
2, 6, 10, 14, …
beda = 6 − 2 = 10 − 6 = 14 – 10 = 4
10, 3, -4, -11, …
beda = 3 – 10 = −4 − 3 = −11 − (−4) = −7
Suku ke-n Barisan Aritmetika
Misalkan a
adalah suku pertama barisan aritmetika, b adalah beda dan Un
adalah suku ke-n, Un − Un−1 = b ⇒ Un = Un−1 + b U2 = U1 + b
=a+b
= a + 1b
U3 = U2 + b
= (a + b) + b
= a + 2b
U4 = U3 + b
= (a + 2b) + b
= a + 3b
U5 = U4 + b
= (a + 3b) + b
= a + 4b
U6 = U5 + b
= (a + 4b) + b
= a + 5b
……… Un = a + (n−1)b
sehingga
Nama barisan aritmetika diberikan karena setiap suku (kecuali suku pertama) dari barisan ini merupakan rata-rata aritmetik dari suku sebelum dan sesudahnya. Uk =
3.
Dengan kata lain untuk setiap Uk, dengan k ≥ 2
Uk −1 + Uk +1 2
berlaku
.
Deret Aritmetika
Rumus untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dibuat berdasarkan metode yang dipakai oleh matematikawan Carl Friedrich Gauss (1777−1855) ketika ia masih kecil. Dikisahkan suatu ketika salah satu guru Gauss menyuruh murid−muridnya untuk menghitung jumlah 100 bilangan asli yang pertama, atau 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100. Murid−murid yang lain di kelas memulai dengan menjumlah bilangan satu per satu, tetapi Gauss menemukan metode yang sangat cepat.
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Ia menuliskan
Halaman 89
jumlahan dua kali, salah satunya dengan urutan yang dibalik kemudian dijumlahkan secara vertikal. 1+
2+
3 + … + 99 + 100
100 + 99 + 98 + … +
2+
1 +
101 + 101 + 101 + … + 101 + 101
Dari jumlahan ini diperoleh 100 suku yang masing−masing bernilai 101, sehingga 1 + 2 + 3 + … + 100 =
100 ×101 = 5050. 2
Jika a adalah suku pertama deret aritmetika, U n suku ke-n, Sn jumlah n suku pertama dan b = beda maka rumus untuk jumlah n suku pertama deret aritmetika bisa dicari dengan cara sebagai berikut. Sn = a + (a+b) + (a+2b) + …. + (Un-2b) + (Un-b) + Un Sn = Un + (Un-b) + (Un-2b) + ….. + (a+2b) + (a+b) + a 2Sn = (a+Un) + (a+Un) + (a+Un) +…
+ (a+Un) + (a+Un)
n suku 2Sn = n(a + Un) Sn =
n(a + Un ) 2
karena Un = a + (n – 1)b
maka
Sn
=
n[ 2a + (n - 1)b ] 2
Contoh: 1. Tentukan suku ke−20 barisan bilangan berikut :
a. 2, 5, 8, 11, … b. 9, 6, 3, 0, … Jawab : a. b = 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3
a= 2 Un = a + (n−1)b U20 = 2 + (20−1)3 = 2 + 19.3 = 63 b. b = 6 − 9 = 3 − 6 = 0 − 3 = −3
a= 9 Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 90
Un = a + (n−1)b U20 = 9 + (20−1).-3 = 9 + 19(−3) = 9 − 57 = −48
2. Suku ke −10 suatu barisan aritmetika adalah 24, sedangkan suku
pertamanya 6. Tentukan : a. beda b. rumus suku ke −n
Jawab : a.
U10 = 24,
a= 6
Un = a + (n−1)b 24 = 6 + (10−1)b 24 − 6 = 9b 18 = 9b b= 2 b.
Un = a + (n−1)b Un = 6 + (n−1)2 Un = 4 + 2n
3. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan U2 = 6 dan U11 = 24
a. Carilah suku pertama dan beda b. Tentukan U40
c. Hitung
jumlah
40 suku pertama dari deret
aritmetika
yang
bersesuaian Jawab: a.
U2 = 6
U11 = 24
a + b = 6 ….. (1) (2) dan (1)
a + 10b = 24 ….. (2) a + 10b = 24 a+
b=
6
9b = 18 b = 2
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 91
a+b= 6 a+2= 6 a= 4 Suku pertama 4, beda 2 b. Suku ke-40 dicari dengan rumus Un = a + (n−1)b U40 = 4 + (40−1).2 = 4 + 39.2 = 82 c. S n =
S 40
n(a + Un ) 2
=
40(4 + U 40 ) 2
=
40 ( 4 + 82 ) 2
= 20(86 ) = 1720
C. Rangkuman Rumus suku ke- n dan Jumlah n suku pertama adalah : Un = a + (n−1)b Sn =
n(a + Un ) 2
A. Tes Formatif 3 1. Tentukan rumus umum setiap barisan aritmetika berikut dan tentukan suku ke-25. a. 10, 15, 20, 25, … b. 2, –1, –4, –7, … c. 8, 14, 20, … 2. Tentukan n (banyak suku) dari barisan aritmetika berikut. a. 6, 3, 0, … , 81 b. 20, 18, 16, … , -98 c. 5, 10, 15, 20, …, 205 3. Tentukan beda, suku pertama dan rumus umum suku ke-n barisan
aritmetika berikut ini jika diketahui: a. U4 = 17 dan U7 = 29 b. U2 = 11 dan U9 = 32 c. U3 + U5 = 60 dan U4 + U7 = 81 Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 92
4. Tentukan banyaknya bilangan asli yang merupakan kelipatan 5 antara 21
dan 99
5. Hitunglah deret aritmetika berikut ini:
a. 3 + 7 + 11 + 15 + …
(sampai 12 suku)
b. 20 + 23 + 26 + 29 + …
(sampai 15 suku)
c. 100 + 95 + 90 + 85 = …
(sampai 16 suku)
IV. Barisan dan Deret Geometri A.
Tujuan
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
B.
1.
Dapat menentukan bilangan pembending atau rasio dari barisan geometri
2.
Dapat menentukan suku ke- n
3.
Dapat menentukan rumur suku ke- n
4.
Dapat menentukan jumlan n suku pertama dari deret geometri
5.
Dapat menentukan Jumlah tak hingga dari deret geometri konvergen.
Uraian Materi
1. Barisan Geometri Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan itu disebut barisan geometri jika Un : Un−1 selalu tetap untuk setiap n. Un : Un−1 yang selalu tetap ini dinamakan rasio dan dilambangkan dengan r. Sehingga
Un = r Un -1
Contoh : 1, 3, 9, 27, …
rasio = 3 : 1 = 9 : 3 = 27 : 9 = 3
16, −8, 4, −2, …
rasio = −8 : 16 = 4 : −8 = −2 : 4 = −1/2
2. Suku ke-n barisan geometri Misalkan a
adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio dan Un
adalah suku ke-n,
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 93
Un = r Un - 1
Un = Un- 1r
⇒
= ar 1
U2 = U1.r
= ar
U3 = U2.r
= (ar)r
U4 = U3.r
= (ar 2)r
= ar 3
U5 = U4.r
= (ar 3)r
= ar 4
= ar 2
…….
Un = ar n-1
Sehingga
Barisan dengan sifat ini disebut barisan geometri karena untuk setiap Uk dengan
k ≥ 2 merupakan rata-rata geometrik dari suku sebelum dan
sesudahnya. Dengan kata lain untuk k ≥ 2 berlaku Uk
=
Uk −1.U k +1
.
3. Deret geometri Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio dan a adalah suku pertama suatu deret geometri, maka : −
−
Sn = a + ar + ar 2 + … + ar n 2 + ar n 1 −
−
ar + ar 2 + … + ar n 2 + ar n 1 + ar n − (semua ruas dikali r)
rSn =
Sn − rSn = a + 0 + 0 + … +
0
+
0 − ar n
(1 − r)Sn = a − ar n a(1 − r n ) Sn = 1 − r
4. Deret Geometri Tak Hingga Contoh deret geometri tak hingga: a. 1 +
1 1 1 + + + ... 2 4 8
b. 9 − 3 + 1 −
1 + ... 3
r =
1 2
r = −
1 3
Perhatikan kembali rumus jumlah n suku pertama deret geometri a(1 − r n ) Sn = . Untuk nilai -1 < r < 1, jika n mendekati tak hingga (n → ∞ ) maka 1 − r
r n mendekati nol, sehingga Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 94
n
Sn = lim
a(1 − r ) 1 − r
a
=
1 − r
1. Pada paradoks Zeno, tentang Achilles dan kura-kura yang dibicarakan di depan, tentukan jawaban yang benar setelah menempuh jarak berapa Achilles melampaui kura-kura ? Jawab : Jarak yang ditempuh Achilles 1 +
1 1 1 + + + ... stadion. 12 12 2 12 3
a=1 r=
Sn
1 1 1 1 1 1 :1= 2 : : = = 12 12 12 12 3 12 2 12
a =
1 =
1 r 1 −
−
1
1 12
=
11 12
12 =
11
stadion.
2. Ubah bentuk decimal berulang berikut ke dalam pecahan a.
0,33333…
b.
0,353535…
Jawab : a. 0,33333… = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + … a = 0,3 r = 0,03 : 0,3 = 0,003 : 0,03 = 0,0003 : 0,003 = 0,1 0,33333… =
a 1 − r
=
0,3 0,3 1 = = 1 − 0,1 0,9 3
b. 0,35353535… = 0,35 + 0,0035 + 0,000035 + … a = 0,35 r = 0,0035 : 0,35 = 0,000035 : 0,0035 = 0,01 0,35353535… = C.
a 1 − r
=
0,35 0,35 35 = = 1 − 0,01 0,99 99
Rangkuman
Un = a.r n – 1 a(1 − r n ) Sn = untuk r < 1 1 − r n
Sn =
a(r − 1) r - 1
untuk r > 1
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 95
S ∞
=
a
1 − r
D. Tes Formatif 4.
1. Tentukan bentuk umum (Un) dari barisan berikut:
a. 64, 16, 4, … b. 3, 9, 27, 81, … c. 1, −3, 9, −27, 81, …
d.
6, 9, 13 1 , 20 1 , ... 2
4
e. 1000, −100, 10, −1, … 2. Tentukan lima suku pertama dari setiap barisan geometri berikut jika
diketahui: a. a = 4 dan r = 2 b. U3 = 27 dan U7 = 2187 c. U2 = 512 dan U8 = 8 d. U6 = −4 dan U8 = −1 e. a = 2 3 dan U4 = 18
3. Tentukan x jika 2, 8, 3x + 5 membentuk barisan geometri 4. Hitunglah jumlah setiap deret geometri berikut:
a. 1 + 2 + 4 + 8 + …
(sampai 12 suku)
b.
1 + 1 + 1 + 1 + ...
c.
1 − 3 + 9 − 27 + …
d.
3
9
27
(sampai 6 suku) (sampai 8 suku)
2 + 2 + 2 2 + ... + 64
5. Untuk derat 1 + 3 5 + 3 5 2 + 2 5 3 + ... , buktikan bahwa S15
3124 =
1
53 1 −
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 96
EVALUASI 1. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 12 dan suku ke-6 adalah 27. Tentukan jumlah 20 suku pertama. 2. Tentukan jumlah 25 bilangan asli pertama yang habis dibagi 4. 3. Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 100 yang tidak habis
dibagi 5. 4. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika, jumlah ketiga bilangan itu 30,
hasil kalinya 840. Tentukan bilangan-bilangan itu. 5. Suatu perusahaan, pada bulan pertama berdiri memproduksi sebanyak
1000 unit barang. Kenaikan produksi pada bulan-bulan berikutnya adalah 1 kali produksi pada bulan pertama. 5
Tentukan jumlah produksi selama
satu tahun. 6. Rumus suku ke −n suatu deret geometri adalah
Un
=
2.4
1 (n 2
−
1)
, hitunglah:
a. Suku pertama dan rasio deret geometri tersebut. b. Rumus jumlah n−suku pertama. 7. Tiap tanggal 1 Januari, mulai 1 Januari 2000 Amir menabung uang di bank
sebesar Rp 100.000,00.
Jika bank memberikan bunga 10% per tahun,
tentukan besar uang Amir di bank pada tanggal 31 Desember 2003. 8. Suatu deret geometri tak hingga mempunyai suku pertama 12 dan jumlah tak hingganya 8. Tentukan rasionya. 9. Populasi penduduk sebuah kota pada tahun 1960 adalah 30.000 jiwa. Populasi ini meningkat dua kali lipat tiap 10 tahun.
Berapa perkiraan
populasi kota tersebut pada tahun 2010.
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 97
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 98
DAFTAR PUSTAKA
Brown, Richard G.. (1994). Advanced Mathematics. Boston: Houghton Mifflin Company.
Gellert, W.. (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold Company.
Haryadi, Muh.. (2002). Bahan Ajar Matematika SMK . Yogyakarta: PPPG Matematika.
Keedy, Mervin Laverne. (1983). Algebra and Trigonometry . California: AddisonWesley Publishing Company.
Miller, Charles David. (1978). Mathematical Ideas. Glenview Illinois: Scott Foresman and Company.
Prawiro, Justine Yudho. (2000). Matematika IPA. Jakarta: Widya Utama.
Raharjo, Marsudi. (2001). Notasi Sigma dan Induksi Matematika. Yogyakarta: PPPG Matematika.
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 99
Kunci Jawaban:
Tugas 1 5
25
1. a.
∑(2n + 1)
b.
6
g.
∑−( −2)
e.
∑3 n =1
15
n
∑(n + 1)(n + 2)
h.
∑a
n
∑2 100
n +1
f.
j
∑n
2
n =1 n
∑a
2 j
i.
∑a
p
bp
p =1
j =1
n =1
j.
c.
j =1
4
p
p =1
10
)
k =1
n =1
d.
∑(
6
1 k 2
b n −1
n =1
b. ! 1 + 2 + 5 + 8 + 11 + 14
2. a. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 c. ! a1 + a2 !
a3 + a4 ! a5 + a6
d.
2.3 3.4 4.5 1.2 + + + + 2 2 2 2
...+
n( n + 1) 2
n
3.
∑p p =1
Tes Formatif 1 n
n
n
1. a. 4 ∑a k + 3 ∑b k k =1
n
b. 3∑k − 4∑k 2
k =1
k =1
10
10
10
j =1
j =1
j =1
k =1
j 2 j j c. ∑( −1) j + 2∑( −1) j + 4∑( −1)
k
d.
∑n n =1
3
k
+ 3∑ n n =1
2
k + 3∑ n +k n =1 11
11
2. a. ∑(k + 4)
b.
a =1
k =1
23
11
c. ∑( 2p −1) p =1
a −6 +b
∑a − 6 −b
d.
∑(3(k − 7 )
2
+ 1)
k =1
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 100
Tugas 2 U10 = 31
1. a. 4, 7, 10, 13 ; b. −
1, 21 ,
−
1 3
1 4
,
, 32 , 34 ,
1 2
e.
1 , − 21 , 41 ,
4 5
U10 =
−
1 8
2. a. Un = 2n xn d. Un = n
g. Un = 4
1 10
U10 = 504
c. 0, 0, 0, 6 ; d.
U10 =
;
− n2
2 (2 )
10 11
1
U10 = − 512 b. Un = n
c. Un = 3n+5
e. Un = 10n ! 25
f. Un = 2n - 1
h. Un = -(-1)n2n
i. Un = n2 + n
b. ! 3, ! 4, 6, 14, ! 30
3. a. 2, 3, 6, 15, 42 4. a. U1 = 9,
Un = Un-1 + 4 Un = Un-1 + 2n-1
b. U1 = 1, c. U1 = 81,
Un =
d. U1 = 1,
U n −1 3
Un = Un-1 + n
Tes Formatif 2 1
n
1. a. Sn = 2 (3 − 1) d. Sn = 3n - 1
b. Sn = 4(2n - 1)
c. Sn = n(n - 6)
e. Sn = 2n(n + 2) b. ! 1, 7, 19,
U10 = 271
1. a. Un = 5n + 5
b. Un = 5 - 3n
c. Un = 6n+2
2. a. n = 30
b. n = 60
c. n = 41
2. a. 3, 5, 7,
U10 = 21
Tes Formatif 3
3. a. a = 5,
Un = 4n + 1
c. a = 9,
Un = 2 + 7n
b. a = 8,
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Un = 5 + 3n
Halaman 101
4. 15 5. a. S12 = 300
b. S15 = 615
c. S16 = 1000
Tes Formatif 4 256 1. a. Un = n 4
d. Un =
4( 32 )
b. Un = 3 n
e. Un =
n
( −3 ) n c. Un = −3
−10 .000
( −10 )n
2. a. 4, 8, 16, 32, 64 b. 3, 9, 27, 81, 243
atau
3, -9, 27, -81, 243
c. 1024, 512, 256, 128, ! 64 atau d. -8 2 , -8, -4 2 , -4, -2 2 e. 2
3
, 6, 6
3
, 18, 18
-1024, 512, -256, 128, -64
atau 8 2 , -8, 4 2 , -4, 2 2
3
3. x = 9 4. a. S12 = 4095 d.
n = 12,
b. S6 =
364 243
c. S8 = ! 1640
S12 = 126 + 63 2
EVALUASI 1. 990 2. 1300 3. 4000 4. 6, 10, 14 5. 25.200 6. a. a = 2
r=2
b. Sn = 2(2n - 1) 7. Rp. 510.510 8. r = ½ 9. 480.000
Matematika SMK/ Notasi sigma, Barisan dan Deret
Halaman 102