BASIS ORTONORMAL & PROSES GRAM-SCHMIDT
Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear Elemnter Dosen Pengampu : Dr. Isnarto, M.Si.
Disusun oleh: Dyah Retno Kusumawardani Kusumawardani
(0401516001)
Anita Sulistyawati
(0401516020)
Rifki Ardana Kisno S.
(0401516031)
Siti Mahmudah
(0401516052)
Muhammad Faqkih Zubaedi
(0401516069)
Pendidikan Matematika S2 Rombel B Khusus
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2016
1
BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM – SCHMIDT SCHMIDT
PENDAHULUAN
Dalam banyak soal yang menyangkut ruang vektor, pemilihan basis untuk ruang tersebut tergantung keinginan keinginan orang yang yang memecahkan soal tesebut. Secara alami, maka maka siasat yang paling baik adalah memilih basis untuk menyederhanakan pemecahan soal yang dihadapai. Pada ruang hasil kali dalam (RHKD), sering ditemukan kasus yang pilihan yang terbaiknya adalah basis yang semua vektornya orthogonal tehadap vektor lainya. Dalam bagian ini kita kita perhatikan bagaimana basis seperti itu dapat dibangun.
Himpunan Ortogonal dan Himpunan Ortonormal Definisi
Misalkan V adalah sebuah se buah RHKD. Himpunan vektor S dikatakan himpunan ortogonal apabila setiap sepasang vektor berbeda di S saling ortogonal, yaitu u, v
0, u, v S dengan u v
Selanjutnya himpunan himpunan ortogonal S juga dikatakan dikatakan sebagai himpunan himpunan ortonormal apabila setiap vektor vektor di S memiliki norm norm 1,yaitu 1,yaitu u, v u
0, u, v S dengan u v dan u, u
1, u S .
Contoh 1:
Periksa apakah himpunan-himpunan himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan himpunan ortogonal, jika jika ya, periksa juga apakah himpunan-himpunan himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan himpunan ortonormal 2
1. S = {(0, 0), (1, 1), (1, – (1, – 1)} 1)} di R dengan HKD Euclid Standar
1
2. S
2
,
1 1 1 , , di R 2 dengan HKD Euclid Standar 2 2 2 2
3. S = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, – 1)} 1)} di R dengan HKD Euclid Standar 4.
S 1, 0, 0, 0,
1 2
,
1 1 1 , , 0, di R 2 dengan HKD Euclid Standar 2 2 2
2
Penyelesaian:
1. S merupakan himpunan ortogonal karena:
(0, 0), (1, 1) 0 , (0, 0), (1, 1) 0 , dan (1, 1), (1, 1) 0 . Namun S bukan himpunan ortonormal karena (0, 0) 0 1. 2. S merupakan
himpunan
ortogonal
1 1 1 1 , , , 0 serta S 2 2 2 2
karena
1
merupakan himpunan ortonormal karena
2
,
1
1 1 , 1 dan 1. 2 2 2
3. S merupakan himpunan ortogonal karena:
(0, 1, 0), (1, 0, 1) 0 , (0, 1, 0), (1, 0, 1) 0 , dan (1, 0, 1), (1, 0, 1) 0 . Namun S bukan himpunan ortonormal karena: (1, 0, 1) 2 1. 4. S merupakan himpunan ortogonal karena:
1, 0, 0, 0,
1 2
,
1
1 1 , 0 , 1, 0, 0, 0, 0 , dan 2 2 2
1 1 1 1 , , 0, , 0, 0 2 2 2 2 S juga merupakan himpunan ortonormal karena:
1, 0, 0 1 , 0,
1 2
,
1 1 , 1, dan 0, 1. 2 2 2
1
Sebuah himpunan ortogonal yang terdiri dari vektor-vektor tak nol, selalu dapat dikonversikan menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan cara menormalisasikan setiap vektornya. Normalisasi vektor v adalah proses mengalikan sebuah vektor tak nol v dengan nilai kebalikan dari panjangnya sehingga diperoleh sebuah vektor dengan norma 1. Hal ini dapat ditunjukkan, jika v adalah sebuah vektor tak nol pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka 1
v
v
Akan memiliki norma 1, karena berdasarkan t eorema k u k u maka 1 v
v
1 v
v
1 v
v
1.
3
Contoh 2
Periksa apakah S = { u1, u2, u3} dengan u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), dan u3 = (1, 0, – 1) merupakan himpunan ortogonal? Jika ya, apakah S himpunan ortonormal? Jika tidak, dapatkah kita mengkontruksi suatu himpunan ortonormal dari S?
Penyelesaian:
S = { u1, u2, u3} dengan u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), dan u3 = (1, 0, – 1) merupakan himpunan ortogonal namun bukan merupakan himpunan ortonormal (berdasarkan contoh 1,c). Diketahui u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1) dan u3 = (1, 0, – 1). Norma-norma euclidean dari vektor-vektor tersebut adalah: u1
0 2 12 0 2 1
u2
12 0 2 12 2
u3
12 0 2 (1) 2 2
Normalisasi u1, u2, dan u3 akan menghasilkan: v
1
u
1
0, 1, 0
u
1
v
v
2
3
u
2
u
2
u
3
u
3
1 1 , 0, 2 2 1 1 , 0, 2 2
Misalkan S’ adalah himpunan yang dibentuk dari vektor -vektor hasil normalisasi dari vektorvektor pada himpunan S, maka S’ = {v1, v2, v3}. Dapat ditunjukkan bahwa S’ adalah himpunan ortogonal dan himpunan ortonormal. S’ adalah himpunan ortogonal karena:
1, 0, 0, 0,
1 2
,
1
1 1 , 0 , dan 0 , 1, 0, 0, 0, 2 2 2
1 1 1 1 , , 0, , 0, 0 2 2 2 2 S’ adalah himpunan ortonormal karena:
1, 0, 0 1 , 0,
1 2
,
1 1 , 1. 1, dan 0, 2 2 2
1
Jadi, kita dapat mengkontruksi himpunan ortonormal S’ dari S.
4
Keterkaitan antara Ortogonal dan Bebas Linear Teorema 1
Jika S = {v1, v2, ... , vn} adalah suatu himpunan ortogonal vektor-vektor taknol pada sebuah ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear.
Bukti :
Asumsikan bahwa k 1v1 + k 2v2 + ... + k nvn = 0
(1)
Untuk menunjukkan bahwa S = { v1, v2, ... , vn} bebas linear, kita harus membuktikan bahwa k 1 = k 2=………….....= k n = 0 untuk setiap vi di dalam S . Berdasarkan rumus (1) kita memperoleh
〈 〉 〈〉
atau ekuivalen dengan
〈〉 〈〉 〈〉 〈 〉 〈 〉
Dari ortogonalitas S kita memperoleh disederhanakan menjadi
jika
, sehingga persamaan ini dapat
Karena vektor-vektor di dalam S diasumsikan sebagai vektor-vektor taknol,
〈〉
berdasarkan aksioma positif untuk hasilkali dalam. Dengan demikian,
dengan adalah
sembarang, kita memperoleh
. Sehingga S bebas linear.
Catatan:
Karena sebuah himpunan ortonormal adalah ortogonal dan vektor-vektornya tak nol (norma 1), berdasarkan teorema 1, setiap himpunan ortonormal adalah bebas linear.
5
Basis Ortogonal dan Basis Ortonormal Definisi:
Didalam sebuah ruang hasil kali dalam, sebuah basis yang ter diri dari vektor-vektor ortogonal disebut sebagai basis ortogonal dan sebuah basis yang terdiri dari vektor-vektor ortonormal disebut sebagai basis ortonormal.
Contoh 3:
Diberikan
√ √ √ √ ,
dan
Vector-vektor tersebut membentuk himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam Euclidean pada R 3. Menurut teorema 1, vektor-vektor ini merupakan himpunan bebas linear dan karena R 3 berdimensi tiga, S = {v1 , v2 , v3} adalah sebuah basis ortonormal bagi R 3.
Contoh 4.
Pada R 3 yang dilengkapi dengan HKD Euclid standar, B = { i, j, k } dengan i = (1, 0, 0), j = (0, n
1, 0) dan k = (0, 0, 1) adalah basis ortonormal. Lebih jauh pada R yang dilengkapi HKD Euclid standar, B = { e1, e2, ..., en} dengan e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1) adalah basis ortonormal.
Contoh 5.
Periksa apakah B 0, 1, 0, 4 , 0, 3 , 5
5
3 4 , 0 , 5 5
merupakan basis ortonormal untuk R 3.
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa
45 , 0, 53 , 53 , 0, 45 bebas linier pada bidang xz . Selanjutnya karena
0, 1, 0 tidak berada pada bidang xz , kita dapat menyimpulkan bahwa B bebas linier. Karena B 3 = dim (R 3), maka B adalah basis bagi R 3. Selanjutnya tinjau bahwa
0, 1, 0, 54 , 0, 35 0 0, 1, 0, 53 , 0, 54 0 45 , 0, 53 , 53 , 0, 45 0 Jadi B adalah basis ortogonal bagi R 3. Kemudian, tinjau juga bahwa
0, 1, 0 1, 54 , 0, 35 1,
dan
53 , 0, 45 1 3
Jadi B adalah basis ortonormal bagi R .
6
Koordinat Relatif terhadap Basis Ortonormal
Dimotivasikan oleh teorema berikut, kita dirangsang menemukan basis ortonormal untuk hasil kali dalam tersebut, yang menunukan bahwa sebuah vektor pada ruang basis ortonormal dapat kita sederhanakan secara eksepsional.
Teorema 2
Jika S = {v1,v2, ….,vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V , dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka u
u, v1 v1 u, v 2 v 2
...
u, v n v n
Bukti :
Karena S = {v1,v2, ….,vn} adalah basis, maka vector u dapat dinyatakan dalam bentuk u = k 1v1 + k 2v2 + … + k nvn u, v i
Kita akan lengkapi bukti ini dengan menunjukkan bahwa k i =
untuk i = 1, 2, 3, …. n.
Untuk setiap vektor vi dalam S kita memperoleh u, v i
k 1v1 k 2 v 2 ... k n v n , v i k 1
k 2
v1 , v i
v 2 , vi
... k n
v n , vi
Karena S = {v1,v2, ….,vn} adalah sebuah himpunan ortonormal, kita memperoleh vi , vi
vi
2
1 dan
Oleh karena itu, persamaan diatas untuk
v j , v i
0 jika j i .
u, v i
dapat disederhanakan menjadi
u, v i
= k i.
Dengan menggunakan terminologi dan notasi yang diperkenalkan pada subbab Basis dan Dimensi, skalar-skalar u, v1
,
u, v 2
,...,
u, v n
didalam teorema 2 adalah koordinat-koordinat dari vektor u relatif terhadap basis ortonormal S = {v1,v2, ….,vn} dan
(u)S u, v1 ,
u, v 2
,...,
u, v n
adalah vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini.
7
Contoh 6
Diketahui S = { v1, v2, v3} dengan v1 = 0, 1, 0 , v2 = 45 , 0, 53 , v3 =
53 , 0, 54 .
Nyatakan vektor u = (1, 1, 1) sebagai sebuah kombinasi linier dari vektor-vektor didalam S, dan tentukan vektor koordinat ( u)S .
Penyelesaian:
Jika S = {v1, v2, v3} dengan v1 = 0, 1, 0 , v2 = 4 , 0, 3 , v3 = 5 5 u, v1
1,
u, v 2
1
, 5
u, v 3
3 , 0, 4 5 5
7 5
, maka
.
Oleh karena itu, berdasarkan teorema 2, kita memperoleh u
v1 15 v 2 75 v 3
yaitu
(1, 1, 1) (0, 1, 0) 15 45 , 0, 53 75
3 4 , 0 , 5 5
Vektor koordinat dari u relatif terhadap S adalah
(u)S u, v1 ,
u, v 2
,
u, v 3
1, 15 , 75 .
Teorema 3
Jika S adalah sebuah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam berdimensi n, dan jika (u)S = (u1, u2, ..., un) dan ( v)S = (v1, v2, ..., vn). maka: (a)
u
u12 u2 2 ... un 2
(b) d (u, v) (u1 v1 ) 2 (u2 v2 ) 2 ... (un vn ) 2 (c)
u, v
u1v1 u2v2 ... u nvn
Contoh 7
Tentukan norma dari vektor u = (1, 1, 1) Cara 1. Jika R 3 memiliki hasil kali dalam Euclidean, maka norma dari vektor u = (1, 1, 1) adalah u
,
u u
12 12 12 3 8
Cara 2. 3
Jika kita misalkan R memiliki basis ortonormal S seperti yang diberikan didalam contoh 5, maka dapat diketahui bahwa vektor koordinat dari u relatif terhadap S adalah
(u)S 1, 15 ,
7 5
Norma u dapat dihitung dari vektor ini dengan menggunakan bagian (a) teorema 3, yaitu u
12 15 75 3 2
2
Koordinat-koordinat relatif terhadap Basis Ortogonal
Jika S = { v1 , v2 , ... , vn} adalah sebuah basis ortogonal untuk sebuah ruang vektor V, maka normalisasi tiap-tiap vektor didalam basis ini akan menghasilkan basis ortonormal
S '
v1 v1
,
v2
, ...,
v2
vn vn
Sehingga jika u adalah sebuah vektor sebarang didalam V, berdasarkan teorema 2 kita akan memperoleh u
u,
Yang berdasarkan teorema u
v1
v1
v1
v1
u, k v
u,
v2
v2
v2
v2
...
u,
vn
vn
vn
vn
k u, v , dapat dituliskan kembali sebagai
u, v1 v1
v1
2
u, v 2 v2
2
v2
u, v n
...
vn
2
vn
Rumus ini menyatakan u sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor didalam basis ortogonal S. Dengan menggunakan terminologi dan notasi yang diperkenalkan pada subbab Basis dan Dimensi, skalar-skalar u, v 1 v1
2
,
u, v 2 v2
2
,...,
u, v n vn
2
didalam teorema 2 adalah koordinat-koordinat dari vektor u relatif terhadap basis ortogonal S = {v1,v2, ….,vn} dan
u, v1 , v 2 1
(u ) S
u, v 2 v2
2
,...,
u, v n vn
2
adalah vektor koordinat dari u relatif terhadap basis ini. 9
Contoh 8
Himpunan B = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, – 1)} merupakan basis ortogonal bagi R 3. Tentukan koordinat ( u)B dan nyatakan vektor u = (1, 2, 3) sebagai sebuah kombinasi linier dari vektorvektor didalam B.
Penyelesaian:
Misalkan (1, 2, 3) B = (a, b, c), maka
a
1, 2, 3, 0, 1, 0 (0, 1, 0)
b
1, 2, 3, 1, 0, 1 (1, 0, 1)
b
2
2
1, 2, 3, 1, 0, 1 (1, 0, 1)
2
2
2
1
Jadi koordinat relatif u terhadap basis ortogonal B adalah (u)B = (2, 2, – 1). Kemudian (1, 2, 3) = 2(0, 1, 0) + 2(1, 0, 1) – 1(1, 0, – 1)
Proyeksi Ortogonal
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1
Ingat kembali pada R 2 maupun R 3, jika u1 adalah proyeksi ortogonal dari u pada b, kita memiliki u1
u b b
2
b
Perhatikan bahwa u1 u2.
10
2
3
Didalam ruang R dan R yang memiliki hasilkali dalam Euclidean, secara geometrik dapat dibuktikan bahwa jika W adalah sebuah garis atau sebuah bidang yang melalui titik asal, maka setiap vektor u pada ruang vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk u = w1 + w2
dimana w1 terletak pada W dan w2 tegak lurus terhadap W (Gambar 2).
Gambar 2 Teorema 4. Teorema Proyeksi
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, maka setiap vektor u di dalam V dapat dinyatakan dengan tepat satu cara sebagai u = w1 + w2
(2)
dimana w1 terletak pada W dan w2 terletak pada W .
Vektor w1 pada teorema diatas disebut sebagai proyeksi ortogonal u pada W (orthogonal projection of u on W) dan dinotasikan dengan proj w u. Vektor w2 disebut sebagai komponen u yang orthogonal terhadap W (component of u orthogonal to W) dan dinotasikan sebagai
projW
u.
Dengan demikian, rumus (2) di dalam teorema proyeksi dapat dinyatakan sebagai u
projW u projW
u
(3)
Karena w2 = u – w1, kita memperoleh
projW
u
u projW u
Sehingga rumus (3) juga dapat dituliskan sebagai u
projW u (u projW u)
11
Teorema 5
Misalkan W adalah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, (a) Jika {v1, v 2, ...,vr } adalah sebuah basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka
projW u
u, v1 v1
u, v 2 v 2
...
u, v r v r
(b) Jika {v1, v2, ..., vr } adalah sebuah basis ortogonal untuk W, dan u adalah sebuah vektor sebarang pada V, maka
projW u
u, v1 v1
2
v1
u, v 2 v2
2
v2
...
u, v r v r
2
v r
Contoh 9:
Misalkan R 3 mempunyai hasil kali dalam Euclidis, dan misalkan W adalah subruang yang direntang oleh vector-vektor ortonormal v1 = (0,1,0) dan
.
Proyeksi orthogonal u =(1,1,1) pada W adalah projw u
〈〉 〈〉
Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah u - projw u
perhatikanlah bahwa u - projw u ortogonal baik terhadap v1 maupun v2 sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor pada ruang W yang direntang v1 dan v2 sebagaimana yang diharapkan.
Teorema 6 Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai sebuah basis ortonormal. Bukti:
Misalkan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam taknol berdimensi berhingga, dan misalkan
* +
adalah sebarang basis untuk V . Urutan
berikut menghasilkan basis ortonormal
* +
langkah-langkah
untuk V .
12
Langkah 1. Misalkan
‖‖
. Vektor v1 mempunyai norma 1
‖ 〈〈 〉〉‖
Langkah 2. Untuk memperoleh vektor
hitung komponen
yang normanya 1 yang ortogonal terhadap
yang ortogonal terhadap ruang
kemudian normalisasikanlah komponen
yang direntang oleh
tersebut, yakni:
, kita dan
Sudah tentu, jika
, maka
bukan merupakan sebuah vektor basis. Namun tidak
〈 〉 〈‖ ‖〉 * + 〈 〉 〈 〉 ‖ 〈 〉 〈 〉‖ * + 〈 〉 〈 〉 mungkin demikian halnya, karena dari rumus
kita memperoleh
yang menyatakan bahwa
, sehingga bertentangan dengan bebas linear
adalah kelipatan
basis
Langkah 3. Untuk membangun vektor
perlu menghitung komponen dan
yang ortogonal baik terhadap
yang ortogonal terhadap ruang
maupun
, kita
yang direntang oleh
dan menormalisasikannya, yakni:
Seperti pada Langkah 2, maka sifat bebas liniear dari
memastikan bahwa
, sehingga normalisasi bisa dilakukan.
2
2
13
‖ 〈〈 〉〉 〈〈 〉〉 〈〈 〉〉‖ * + * +
Langkah 4. Untuk menentukan vektor
komponen
yang ortogonal terhadap
yang ortogonal terhadap ruang
,
yang direntang oleh
, dan ,
, kita hitung
, dan
, dan
menormalisasikannya, yakni:
Dengan meneruskannya dalam cara ini, setelah langkah ke-n kita akan mendapatkan himpunan ortonormal dari vektor-vektor
. Karena V berdimensi n dan
setiap himpunan ortogonal bersifat bebas liniear, maka himpunan merupakan basis ortonormal untuk V.
Pembentukan langkah demi langkah di atas untuk mengubah sebarang basis ke basis ortogonal dinamakan proses Gram-Schmidt .
Contoh 10:
Tinjaulah ruang vektor R3dengan hasil kali dalam Euclidean. Terapkanlah proses GramSchmidt untuk mentransformasikan basis menjadi basis ortogonal
*+
{} ,
,
kemudian normalisasikan vektor-vektor basis ortogonal
untuk memperoleh sebuah basis ortonormal
.
Penyelesaian: Langkah 1
‖‖ √ √ √ √ Langkah 2
〈 〉 √ (√ √ √ ) ( ) 2 22 2 √ √ √ √
Maka,
14
Langkah 3
〈 〉 〈 〉 √ (√ √ √ ) √ ( √ √ √ ) ( ) √ √ √ √ √ maka,
jadi diperoleh
√ √ √ √ √ √ √ √ Sebagai basis ortonormal di R3.
15
LATIHAN SOAL
1 1 1 1 1 1 1 2 , , , , , 0 , , , 5 5 5 2 2 3 3 3
1. Buktikan bahwa himpunan vektor-vektor
adalah ortogonal, merujuk pada hasil kali dalam Euclidean; kemudian konversikan setiap himpunan menjadi sebuah himpunan ortonormal dengan menormalisasikan vektor-vektornya. Penyelesaian: Misalkan
1 1 1 , , 5 5 5 1 1 u , , 0 2 2 2 2 1 1 , , u 3 3 3 3 u
1
S = {u1, u2, u3} adalah himpunan ortogonal, karena u
u
,
u1 u 2
1
,
u1 u 3
1 1
1 1
1
2
5 3
5 3
5
3
1 u2
1 u3
u
1
1 1
2
5 2
5
1
1
5
10
0
, u3 u2 u3 2
1 1
2
2 3
2 3
3
0
10 1
15
1 1
1
1
15
2 15
1
1
6
6
00 0
00
Normalisasi u1, u2, dan u3 akan menghasilkan:
v
1
u u
1 1
1 1 1 , , 5 5 5 1 25
v
2
u u
2 2
3
u u
3 3
25
5
25
1 1 1 1 , , 0 , , 0 1 2 2 2 2 1 2, 2, 0 1 2 1 1 2 2 0 4
v
1
1 1 1 , , 1 1 5 5 5 1 3, 3, 3 1 3 3 3 1 3
2
4
1 1 2 , , 3 3 3 1 9
1 9
4 9
1 1 2 , , 3 3 3 1 6 , 1 6 , 1 6 1 6 6 3 6 3
16
S’ = {v1, v2, v3} adalah himpunan ortonormal karena S’ merupakan setiap pasangan vektor pada S’ ortogonal, dan setiap vektor pada S’ memiliki norma 1. Setiap pasangan vektor di S’ ortogonal, yaitu:
1
v1 , v 2
v1 v 2
v1 , v 3
v1 v 3
v2 , v3
v2 v3
3
3 1
3
3
1 2
1
2
2
1
6
6 2
1 6
1
3
3
1 3
6
3 1 2
1
2
2
1 6 2
6 1 6
1 3
1 3
3 0
3
6 0
1
3 1 3
1
6
6
6
1 18 1
6
12
1 6
18
6 0 0 1 18 1
12
12
18
1 9
18 0
12 0 0
setiap vektor pada S’ memiliki norma 1, yaitu: v
v
v
1
2
3
1
3
1
1 6
3
2
1
1 2
1
1 3
1
0 1
6
2 3
1
Jadi S’ merupakan himpunan ortonormal.
2. Buktikan bahwa vektor-vektor v1
3 4 , , 0 , 5 5
v1
4 3 , , 0 , v 1 0, 0, 1 5 5
membentuk sebuah basis ortonormal untuk R 3 yang memiliki hasilkali dalam Euclidean; Kemudian gunakan Teorema 2 untuk menyatakan vektor (1, – 1 , 2) sebagai kombinasi linear dari v1, v2, dan v3.
Penyelesaian: Perhatikan bahwa
35 , 45 , 0, 45 , 35 , 0 bebas
linier pada bidang xy. Selanjutnya
karena 0, 0, 1 tidak berada pada bidang xy, kita dapat menyimpulkan bahwa B bebas linier. Karena B 3 = dim (R 3), maka B adalah basis bagi R 3. Selanjutnya tinjau bahwa
0, 0, 1, 35 , 45 , 0 0 0, 0, 1, 54 , 53 , 0 0 35 , 45 , 0, 54 , 53 , 0 0 3
Jadi B adalah basis ortogonal bagi R . Kemudian, tinjau juga bahwa
0, 0, 1 1, 45 , 53 , 0 1,
dan
53 , 45 , 0 1 17
3
Jadi B adalah basis ortonormal bagi R . Menggunakan Teorema 2, vektor (1, – 1 , 2) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1, v2, dan v3, yaitu:
Jika S = {v1, v2, v3} dengan
v1
3 4 , , 0 , 5 5
3
4
7
5
5
5
,
u v1 1 1 2 0
,
u v 2 1 1 2 0 ,
u v1
u v2
,
u v
3
4
3
1
5
5
5
v1
4 3 , , 0 , v1 0, 0, 1 , maka 5 5
.
u v 3 1 0 1 0 2 1 2
Oleh karena itu, berdasarkan teorema 2, kita memperoleh u
85 v1 15 v 2 2 v 3
yaitu
(1, 1, 2) 75 ( 35 , 45 , 0) 15 54 , 53 , 0 20, 0, 1 3. Misalkan R 3 memiliki hasil kali dalam Euclidean. Gunakan proses Gra m-Schmidt untuk mengubah basis { u1, u2, u3} dengan u1 = (1, 1, 1), u2 = ( – 1, 1, 0) u3 = (1, 2, 1) menjadi sebuah basis ortonormal. Penyelesaian: Langkah 1.
‖‖ √ √ √ √ Langkah 2
〈 〉 (√ √ √ ) 2 22 2 √ √ √
Maka,
18
Langkah 3
〈 〉 〈 〉 √ (√ √ √ ) √ ( √ √ ) ( ) √ √ √ √ maka,
jadi diperoleh {v1, v2, v3} dengan
√ √ √ √ √ √ √ √ 3
sebagai basis ortonormal di R .
19
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard dan Chris Rorres. 2010. Elementary Linear Algebra Application Versi Tenth Edition. New York: John Wiley & Sonc. Anton, Howard dan Chris Rorres. 2008. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi kedelapan. Jakarta: Erlangga. MZI, 2015. Bahan Ajar Kuliah Aljabar Linear Telkom University. http://cdndata.telkomuniversity.ac.id/pjj/15161/MUG1E3/MZI/COURSE_MATERIAL /z144767015971aeec2fbcaae027f601a094bc8cd024.pdf. Diakses pada tanggal 13 November 2016.
20
21
