Solutionnaire Physique 1, Mécanique, Harris Benson CHAPITRE 2
LES VECTEURS
2Q1 b) scalaire
a) vecteur
c) scalaire
e) N/A
d) scalaire
f) vecteur
g) vecteur
2Q2 a) Vrai, elles n auront pas la même même valeur ni la même forme forme dépendamment du système de coordonnées choisi.
mesurer ou de l exprimer. La valeur peut dépendre des b) Faux, sa longueur ne dépend pas de la façon de la mesurer unités utilisés, mais représente toujours la même grandeur physique. c) Vrai, les composant composantes es étant toujo toujours urs perpendi perpendicula culaires ires l une à l autre, autre, le vecteur vecteur réel réel est l hypoténuse hypoténuse d un triangle rectangle, donc toujours plus grand que ses côtés perpendiculaires.
2Q5 a) Sensé; « A » peut être le module module d un vecteur vecteur A et peut être égal à 5 m.
b) Insensé, Ins ensé, « B », sans indice, r eprésente le module d un vecteur. Rigoureusement, Rigoureusement, une composante composante comporterait un indice, et alors pourrait être pourrait être négative si elle s étend dans la direction direction négative de l axes concerné. Mais sans indice, indice, on doit plutôt reconnaître reconnaître le module module d un vecteur. c) Insensé : on ne peut additionner additionner un vecteur et un scalaire scalaire (du côté droit de l équation). d) Insensé : le module d module d une somme somme de de vecteurs vecteurs ( || A
B || ) est un scalaire et non un vecteur.
e) Sensé ; Sensé ; le produit produit d un scalair scalairee et d un vecte vecteur ur donne un vecteur différent.
2Q6 a) Cela revient à décomposer A en une composante parallèle à B et une autre perpendiculaire.
Si la composante parallèle est nulle, ce que A est représenté uniquement par la composante perpendiculaire à
B , donc A est perpendiculaire à B . b) Si la composante de A parallèle à B a la même longueur que A , forcément la composante perpendiculaire
est nulle. Aussi, si A||
A , alors A
B .
c) L angle angle ent entre re A et B peut être connu : connu : f orcément, orcément, si A||
cos 60
1 2
1 2
A , A et B f eront eront 60° entre eux, car
.
2Q7 a) Oui : si A B forme un triangle équilatéral avec A et B , alors A B
A
inverse de ce qu il est en a), alors alors on peut avoir avoir une constru construction ction b) Oui : si B est l inverse similaire : similaire :
2Q8 c)
b)
a)
d)
e)
2E3 b)
a)
2E8 Trouver les composantes x et y du vecteur R en additionnant les composantes des vecteurs A et B :
R x
A x
B x
A cos
A
B cos
B
4 m cos130
R y
A y
B y
A sin
A
B sin
B
4 m sin130
3 m cos 200 3 m sin 200
5,39 m 2,04 m
e
Le vecteur R se trouve dans le 2 cadran.
R
R
R x2
tan
R y2
5,39 m
R y
1
tan
R x
2
2,04 m
2,04 m
1
5,39 m
2
5,76 m
20,7
Pour l angle, après avoir calculé un arc-tangente, toujours vérifié si l angle obtenu est dans le bon cadran. Ici, on réalise qu il faut ajouter 180° pour obtenir avoir un angle situé dans le 2 e cadran, donc R
R
20,7
180
159
5,76 m, 159
2E9 R x
A x
B x
C x
A cos
A
B cos
B
C cos
R y
A y
B y
C y
A sin
A
B sin
B
C sin
C C
5 m cos 45 5 m sin 45
7 m cos 330 7 m sin 330
4 m cos 240 4 m sin 240
e
Un vecteur situé dans le 4 cadran.
R
R
R
2
2
R x
tan
R y 1
R y R x
8,34 m, 336
7,60 m tan
1
2
3,43 m
3,43 m 7,60 m
2
24,3
8,34 m 336 , bel et bien situé dans le 4 e cadran.
7,60 m 3,43 m
2E13 a)
Composantes y
Composantes x
A x
A cos
2 m cos 240
A
1m
A B x
B cos
2 m cos 40
B
1,00i ,
1,53 m
C cos
C
2 m cos150
D cos
D
3m
2 m cos 325
C y
C sin
1,64 m
D sin
D y
1,64i ,
b)
R x
c)
e Selon ses composantes, R se trouve dans le 4 cadran.
2
R
2
R x
1
tan
R
R y R x
2
0,438 m
R y
tan
C
2
53,6
0,438 m
D
A B
b) R
R x
c) u R
2
R R
2i 2
R y
i
j
3 j
k m
2
R z
0k m 2m
1m
i 2
0,707i
2 j 1m
k m 2
0,707 j
1m
2 m sin 325
02
i
1,15 m
0,438i
0,594 j m
0,738 m 306 , bel et bien situé dans le 4 e cadran.
2E15 a) R
1,29 m
1,15 j m
0,738 m, 306
R
2 m sin 40
2 m sin 150
R
0,594 m
0,594 m
1
B sin
0,594 m
R y
B
3m
1,73i , 1 j m
D 0,438 m
2 m sin 240
1,53i , 1,29 j m
C D x
A
1,73 j m B y
B C x
A sin
A y
j
0k m
2 m 1,41 m
2E19 Pour compléter le circuit, on doit revenir au point de départ. La somme des 4 déplacements doit donc donner un vecteur nul : A B a) D
A B A cos
D
C
A x
B cos
A
0 . Si on cherche les coordonnées du 4e déplacement D :
C D
B x
C x i
C cos
B
A sin
i
C
A y
B y
C y j
B sin
A
C sin
B
C
j
Les angles doivent aussi être exprimés à partir de x-positif, en sens antihoraire :
D
2 km cos 45
D
2,47i
R
2
R x
tan
1
1,5 km cos 255 i
2 km sin 45
2
2,47 km
R y
R y
tan
R x
0,354 km
0,354 km
1
2
1,5 km sin 255 j
2,50 km
8,13 ; on cherche cependant un vecteur situé dans le 3 e cadran pour
2,47 km
revenir au point de départ. Il faut donc ajouter 180° à l angle trouvé :
R
1,5 km sin 15
0,354 j km
2
b) R
1,5 km cos 15
R
8,13
180
188
2,50 km, 188
2E21 Le déplacement du voilier est la différence entre ses positions initiale et finale, les points A et B Illustrés.
B cos
d B A d
6 cos120
d
6,06i
B
A cos
A
4 cos 40 i
i
B sin
6 sin 120
B
A sin
A
j
4 sin 40 j km
2,63 j km
La plus courte distance est la distance perpendiculaire du phare jusqu à la droite suivie par le voilier. L orientation du déplacement d , perpendiculaire à la distance recherchée, est donnée par : d
tan
1
d y
tan
d x
2,63 km
1
23,4
6,06 km
d étant dans le 2 e cadran : : -23,4° + 180° = 156,6°. La distance recherchée fait donc un angle de 66,6° avec l axe x positif. On a donc un 26,6 . triangle dont l angle illustré est connu : La plus courte distance peut maintenant être trouvée par trigonométrie :
l A cos
4 km cos 26,6
3,58 km
2E25 D abord, trouver le vecteur S pour trouver ensuite un vecteur unitaire qui lui est parallèle :
S 2 B S
u S
3 A
12i
2 j
3i
2 j
k m
3 2i
j
k m
12i
j
6i
4 j
2k m
6i
3 j
3k m
5k m
S
12i
S
2
12 m
j
1m
5k m 2
5m
2
5k m
170 m
0,920i
0,0767 j
0,383k m
2E26 a) A B est la somme des modules de A et B : 2
A B
2
A x
2
A y
2
B x
5m
B y
2
2m
2
2m
b) A B est le module de la sommes des 2 vecteurs ; posons R
R A B A B
5i
2 j m 2
R
2
R x
R y
2i
3 j m
3m
2
3i
1m
A B
5i
2 j m
2
R x2
R
2i
3 j m
7i
7m
2
2
R y2
5m
3m
2
8,99 m
2
3m
2
1,78 m
A B :
1j m 3,16 m
c) A B est le module de la sommes des 2 vecteurs ; posons R
R A B
2
A B :
5j m 8,60 m
d) A B est la différence des modules de A et B : 2
A B
A x
2
2
A y
2
B x
5m
B y
2
2m
2
2m
2E28 A
C
2 B
C 6
0 entraîne que : C 6 B
3 4i
5k m
j
3 2i
3 j
3 A
k m
30i
15 j
33k m
2E32 Son déplacement ( d )est la différence entre ses positions initiale et finale (posons A et B ) : a) d B
b) d
A 2
d x d
d
4i 2
7m
d y
tan
4 j m
1
d y d x
7,28 m, 164
3i
2
tan
2 j m
2m 1
2
2m 7m
7i
2j m
7,28 m , dans le 3 e cadran selon les composantes. 15,9 , +180° pour être dans le 3 e cadran :
d
164