Definiendo, Diseñando, y Evaluando Sistemas de Comunicaciones Digitales Un tutorial que enfatiza la sutil pero fuerte relación que encontramos cuando se transforma desde bits de datos a canal de bits, y a símbolos, símbolos, y a chips.
I. INTRODUCCIÓN
o para mejorar la tasa de error funcionando a expensas del ancho de banda. Recientemente, los esquemas modulación TCM (Trellis-Coded-Modulation) han sido usados para mejorar el error en canales limitados en banda sin aumentar el ancho de banda [1], pero estas técnicas están más allá del alcance de este tutorial.
E
l diseño de cualquier sistema de comunicación digital ccomienza con la descripción del canal (potencia en el receptor, ancho de banda disponible, estadísticas de ruido y otros impedimentos como el desvanecimiento), y una definición de los requerimientos del sistema (tasa de datos y comportamiento del error). Dada la descripción del canal, necesitamos determinar las alternativas de diseño que mejor se ajusten a este y encontrar los requerimientos de desempeño. Un sistema ordenado de transformaciones y cálculos se ha desarrollado para ayudar en la caracterización del desempeño del sistema. Una vez que este enfoque es entendido puede servir como formato para evaluar la mayoría de los sistemas de comunicación.
II. EL PLANO DE LA EFICIENCIA DEL ANCHO DE BANDA
La figura 1 muestra en el eje de las abscisas la razón de energía en el bit a la densidad de potencia espectral del ruido, E b /N O (en decibeles), y las ordenadas son la razón de traspaso R (en bits por segundos), que puede ser transmitido por Hertz para un ancho de banda dado, W. La relación R W es llamada eficiencia eficiencia del ancho de banda, esta refleja refleja cuán eficiente se utiliza el ancho de banda como recurso. Este argumento se deduce del teorema de Capacidad de Shannon-Hartley [2-4] que puede mostrado como: ⎛ S ⎞ (1.1) C = W ⋅ Log 2 ⎜1 + ⎟ N ⎝ ⎠ Donde S /N es la razón de la potencia promedio de la señal recibida sobre potencia del ruido. Cuando se toma el logaritmo en base 2, la capacidad C, es medida en bits/seg. La capacidad del canal define un número máximo de bits que se pueden enviar sobre el canal de manera realizable. Para el caso en que la razón datos R (información), es igual a C, la curva separa la región región para un sistema de comunicación comunicación que se puede implementar de una región donde los sistemas de comunicación no son realizables [3,4]. [3,4].
En las secciones posteriores examinaremos los siguientes cuatro ejemplos de sistemas, elegidos para proveer una variedad representativa: un sistema no codificado limitado en banda, un sistema no codificado limitado en potencia, un sistema codificado limitado en banda y potencia, y un sistema codificado de espectro ensanchado de secuencia directa. El término codificado (o no codificado) se refiere a la presencia (o ausencia) en el esquema de un código detector de errores que usan bits redundantes. Los dos principales recursos de las comunicaciones son la potencia recibida y el ancho de banda disponible para la transmisión. En muchos sistemas de comunicación uno de estos recursos puede ser más importante que el otro y la mayoría puede ser clasificado ya sea como limitado en ancho de banda o limitados en potencia. Para los sistemas sistemas limitados en ancho de banda las técnicas de modulación usadas para ahorrar en ancho de banda lo hacen a expensas de la potencia, en sistemas limitados en potencia las técnicas de modulación de potencia eficiente son usadas a expensas del ancho de banda. En sistemas, limitados en ancho de banda y potencia los códigos detectores de error (a menudo llamados codificador de canal) pueden ser usado para ahorrar potencia
Señalización de M símbolos (M-ary)
Cada símbolo en un alfabeto de M símbolos está relacionado a una única secuencia de m bits, expresada como: m (1.2) o m = Log 2 M M = 2 Donde M es el tamaño del alfabeto. En el caso de la transmisión digital, el término “símbolo” se refiere a un miembro del alfabeto M que es transmitido durante cada tiempo símbolo, T S S. Para transmitir el símbolo, este debe ser colocado sobre una onda de voltaje o corriente. Debido a que la forma de onda representa a el símbolo, el término
BERNARD SKLAR se encuentra al frente como Ingeniero de avanzados sistemas de comunicación, siendo también, profesor adjunto de la Universidad del Sur de California, California, y profesor visitante de la universidad universidad de California en los ángeles.
1 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
GGG, RGC y PZF - Marzo de 2006
“Símbolo” y “Forma de Onda” es a veces equivalente. Entonces uno de estos M símbolos o formas de onda es transmitido durante cada duración de símbolo T S, la razón de datos R en bits/seg, se puede expresar como: m Log 2 M = (1.3) R = bits / seg T S T S La duración dato-bit-tiempo es el recíproco a la tasa de datos. Similarmente, la duración símbolo-tiempo es el recíproco a la tasa de símbolos. Por lo tanto, de la ecuación (1.3), escribimos el tiempo de duración efectivo de cada bit, T b, en función de la duración de símbolo T S, o la tasa de símbolo, Rs , esto es: 1 T 1 (1.4) T b = = S = R m m ⋅ RS Entonces, usando las ecuaciones (1.2) y (1.4) podemos expresar la tasa de símbolo, R S, en función de la tasa de bit, R como sigue: R (1.5) RS = Log 2 M De las ecuaciones (1.3) y (1.4), cualquier esquema digital que transmite m = Log 2 M bits en T S segundos usando un ancho de banda de W Hz, opera con una eficiencia de ancho de banda de: 1 R Log 2 M (bits / s ) / Hz = = (1.6) W W ⋅ T S W ⋅ T b Donde T b es el tiempo de duración efectivo de cada bit.
de banda (Fig. 1). Se asume un filtro de Nyquist (ideal rectangular) para filtrar la banda base. Así, para, MPSK con doble banda lateral (DSB), se requiere un ancho de banda centrado en una frecuencia intermedia (FI), relacionado con la tasa símbolo, como sigue: W =
1
= RS (1.7) T S Donde TS es la duración del símbolo, y R S es la tasa del símbolo. El uso de un filtro de Nyquist resulta en un mínimo ancho de banda requerido para la transmisión, esto da cero interferencia ínter-simbólica; tal filtro ideal da lugar al nombre de ancho de banda mínimo de Nyquist. De las ecuaciones (6) y (7), la eficiencia del ancho de banda 16
Región para cual R>C
límite de la capacidad para el cual R=C
z H / ) s 8 / t i b ( , W / R
M=16
4
Región limitada en ancho de banda
M=8
2
Nota: Escala cambiada
M=4
M=2
1 -2
-1
Región para cual R
M=64
6
12
18
24
30
36
E b/N0 (dB) M=4
1/2
M=8 1/4
Sistemas limitados en Ancho de Banda.
De la ecuación (1.6), un menor producto W ⋅ T b , hará más eficiente ancho de banda en cualquier sistema de comunicación digital. Así, señales con pequeño producto W ⋅ T b a menudo son usados en sistemas limitados en ancho de banda. Por ejemplo, los nuevos sistemas de telefonía digital móvil europeos conocido como GSM (Groupe Special Movile) usan como modulación “ Gaussian Minimum – Shift Keying” (GMSK) teniendo un producto W ⋅ T b igual a 0.3 Hz/(b/s), donde W es el ancho de banda del filtro gaussiano [5].
M=16
Región limitada en potencia
M=2
Leyenda MPSK, Pb=10-5 MFSK, Pb=10-5 (no-coherente ortogonal)
Fig.1 Plano de la eficiencia del ancho de banda
para una señal modulada en MPSK, usando un filtro de Nyquist puede ser expresada como: R (bit / s) / Hz = Log 2 M (1.8) W Los puntos MPSK en la Fig. 1, confirman la relación mostrada en la ecuación (8). Se puede notar que la modulación MPSK es un esquema de ancho de banda eficiente. Como M aumenta su valor, R / W también aumenta. La modulación MPSK puede ser utilizada para realizar mejoras en la eficiencia del ancho de banda con el costo de incrementar E b / N 0 . Aunque está más allá del alcance de este artículo, muchos esquemas de modulación con anchos de bandas altamente eficientes se encuentran bajo investigación [7].
Para sistemas limitados en ancho de banda no codificados, el objetivo es maximizar la tasa de información transmitida en el ancho de banda disponible, a expensas de E b N 0 (manteniendo los valores especificados de la probabilidad de error en el bit, P B ). Los puntos de operación para MPSK coherente ( M-ary Phase-Shift Keying con Pb = 10 −5 es mostrado en el plano de la eficiencia del ancho 2 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
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M m R(b/s) R S(Simb/s) MPSKminimo MPSK MPSK Ancho de R/W E b/N0 (dB) Banda (Hz) P b=10-5 2 1 9600 9600 9600 1 9.6 4 2 9600 4800 4800 2 9.6 8 3 9600 3200 3200 3 13.0 16 4 9600 2400 2400 4 17.5
MFSK ortogonal no coherente Min. A de Bada (Hz) 19200 19200 25600 38400
MFSK 1 /2 1 /2 1 /3 1 /4
MFSK E b/N0 (dB) P b=10-5 13.4 10.6 9.1 8.1
32 5 9600 1920 1920 5 22.4 61440 1 /8 7.4 Tabla 1. Tasa de símbolo, ancho de banda mínimo de Nyquist, eficiencia del ancho de banda y requerimientos de E b/N0 para señalalización MPSK y MFSK ortogonal no coherente a 9600b/s.
simple, porque las técnicas de codificación pueden proveer compensaciones potencia-ancho de banda muy eficientes que podría ser posible utilizar cualquier esquema de modulación considerado en este artículo [8]. En sentido más general, señales de un M-alfabeto pueden ser consideradas como un proceso forma de onda a codificación, es decir, cuando seleccionamos una técnica de modulación de M-alfabeto en vez de una binaria, en efecto hemos sustituido las formas de onda binarias por mejores formas de ondas -para un mejor aprovechamiento del ancho de banda (MPSK), o para mejorar las características de potencia. Aún cuando se usen señales MFSK ortogonales se puede considerar un sistema de codificación de primer orden Reed Muller [9], restringimos el uso del término “codificación de sistemas”, para estos códigos correctores de error tradicionales que utilizan redundancia, por ejemplo, códigos de bloque y códigos convolucionales.
Sistemas limitados en potencia
Los puntos para MFSK ( M-ary Frequency Shift Keying) ortogonales no coherentes con Pb = 10−5 se muestran en la Fig. 1. Para la modulación MFSK, el ancho de banda mínimo a una frecuencia intermedia (FI) de Nyquist es como se muestra a continuación [4]: M = M ⋅ RS (1.9) W = T S Donde TS es la duración del símbolo, y R S es la tasa del símbolo. Con MFSK, el ancho de banda requerido para la transmisión es expandido M-veces sobre un FSK binario donde hay M diferentes formas de onda ortogonales, cada una requiere un ancho de banda de 1/T S. Así, de las ecuaciones (1.6) y (1.9), la eficiencia del ancho de banda de una señal MFSK ortogonal no coherente usando un filtro de Nyquist queda expresada como: R Log 2 M (bit / s ) / Hz = (1.10) W M Los puntos MFSK de la Fig. 1 confirman la relación mostrada en la ecuación (1.10). Se pude notar que la modulación MFSK es un esquema que expande el ancho de banda. Como M crece, R / W decrece. La modulación MSFK puede ser usada para realizar una reducción del E b / N 0 a costo de incrementar el ancho de banda. En las ecuaciones (1.7) y (1.8) para MPSK, y en las ecuaciones (1.9) y (1.10) para MFSK, y para todos los puntos mostrados en la Fig. 1, se ha asumido un filtro de Nyquist (ideal rectangular). ¡Tales filtros no son realizables!. Para canales realistas y formas de onda, se requiere incrementar el ancho de banda para poder realizar los filtros. En los ejemplos que siguen, vamos a considerar canales de radio que son distorsionado solamente por el ruido blanco aditivo gaussiano (AWGN) y sin otros impedimentos, y para simplificar, vamos limitar la modulación al tipo envolvente constante, eso es MPSK o MFSK ortogonal no coherente. Para un sistema no codificado, MPSK es seleccionado si el canal es limitado en ancho de banda, y se elige MFSK si el canal es limitado en potencia. Cuando se considera un código detector de errores, la selección de la modulación no es tan
Ancho de banda mínimo de Nyquist. Requerimientos para señales MPSK y MFSK.
La relación básica entre la tasa de transmisión símbolo (o forma de onda), R S, y la tasa de datos R, fue mostrada en la ecuación (1.5): R RS = Log 2 M Usando esta relación junto con las ecuaciónes (7-10) y R = 9600 b / s , un resumen de la tasa del símbolo, Ancho de banda mínimo de Nyquist, y la eficiencia del ancho de banda para MPSK y MFSK ortogonal no coherente fueron dadas por: M = 2, 4, 8, 16 y 32 (tabla 1). Los valores de E b/N0 requeridos para alcanzar una probabilidad de error en el bit de 10-5, para MPSK y para MFSK son además dadas por cada valor de M. Estas entradas (las cuales serán calculadas usando las relaciones presentadas después en este paper ) corroboran lo mostrado en la figura 1, cuando M aumenta, en las señales MPSK se la da más eficiencia al ancho de banda a costo de incrementar E b/N0, mientras para señales MFSK permite una reducción de E b/N0 a costo de aumentar el ancho de banda. 3
Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
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Eb / N 0 recibido derivado de la ecuación (12). Imaginemos que no tenemos la tabla 1, y evaluemos si es necesario o no un código corrector de errores. La figura 2 muestra un diagrama de bloques de modulador/demodulador básico ( MODEM ) que resume los detalles funcionales de este diseño. En el modulador la transformación desde los bits de datos, a los símbolos producen una tasa de símbolos salientes, R S, este es un factor de Log 2 M , más pequeño que la tasa de bit de datos entrante, R, como se ve en la ecuación (5). Similarmente en la entrada del demodulador, la energía del símbolo a la densidad espectral de potencia ES / N 0 es un factor Log 2 M mayor
Ejemplo 1: Sistema no codificado limitado en ancho de banda.
Supongamos que tenemos un canal de radio AWGN limitado en ancho de banda con una banda disponible de W = 4000 Hz . Además supongamos que la cadena (potencia transmitida, ganancia de la antena, perdida de propagación, etc) resulta en que el promedio de la potencia de la señal recibida a la densidad espectral de la potencia del ruido, S / N 0 , será igual a 53 dB-Hz. Requeriremos que la tasa de datos, R, sea igual 9600 b/s, y dejamos que el comportamiento del error en el bit, P B, sea máximo 10 -5. La meta es elegir un esquema de modulación que tenga el comportamiento requerido. En general, un esquema de código corrector de errores, se puede necesitar si ninguno de los esquemas de modulación puede lograr los requerimientos. Como sea, en este ejemplo podemos encontrar que el uso de un código detector de errores no es necesario.
que Eb / N 0 , entonces cada símbolo es formado de Log 2 M bits. Debido a que ES / N 0 es mayor Eb / N 0 en el mismo factor que R S es más pequeño que R, podemos expandir la ecuación (11), como sigue: S E b E = R = S RS (1.13) N 0 N 0 N 0 El modulador recibe una forma de onda (en este ejemplo, uno de M = 8 fases distintas posibles) durante cada intervalo de tiempo TS. La probabilidad de que el demodulador haga un error en un símbolo, P E(M), es bien aproximada por la siguiente ecuación:
Solución del ejemplo1.
Para cualquier sistema digital de comunicación la relación entre la S/N 0 recibida y la razón entre la energía recibida en el bit a la densidad de potencia espectral de ruido, Eb / N 0 , se presenta a continuación [4]: S E b = R (1.11) N 0 N 0
⎡ 2 E S
⎛ π ⎞ ⎤ ⋅ sen ⎜ ⎟ ⎥ Para M > 2 (1.14) ⎝ M ⎠ ⎦ ⎣ N0
P E ( M ) ≅ 2Q ⎢
Resolviendo para Eb / N 0 en decibeles, obtenemos: E b N 0
(dB) =
S N 0
(dB − Hz ) − R (dB − bit / s)
Donde Q ( x ) , a veces llamada función de error complementaria, representa la probabilidad de error bajo varianza unitaria de la función de densidad gaussiana. Es definida como sigue:
= 53(dB − Hz ) − 10 ⋅ Log10 9600(dB − bit / s) (1.12) = 13.2dB (o 20.89)
1 ∞ ⎛ − u 2 ⎞ ⎟du ⋅ exp⎜ Q( x) = 2π x∫ ⎜⎝ 2 ⎠⎟
Entonces la tasa de datos de 9600 b/s es mucho más grande que el ancho de banda disponible de 4000 Hz, el canal es de un ancho de banda limitado. Seleccionaremos MPSK como nuestro esquema de modulación. Hemos confinado las posibles alternativas de modulación a tipos de envolvente constante; sin una restricción estaremos dispuestos a seleccionar un tipo de modulación con una gran eficiencia de ancho de banda. Para conservar la potencia calculamos los valores más pequeños posibles de M, de tal forma que el ancho de banda mínimo de MPSK no exceda el ancho de banda disponible de 4000 Hz. La tabla 1 muestra que el menor valor de M que cumple este requerimiento es M = 8 . Luego, determinamos si el comportamiento del error en el bit es P B ≤ 10 −5 puede ser alcanzado mediante solo el uso de modulación 8 − PSK o si es necesario usar un modelo de código corrector de errores. La tabla 1 muestra que 8 − PSK puede lograr los requerimientos si el Eb / N 0 usado para 8-PSK es menor que
Una buena aproximación para Q ( x ) , valida para x > 3 , es dada por la siguiente ecuación:
⎛ − x 2 ⎞ 1 ⎟⎟ ⋅ exp⎜⎜ Q( x) ≅ 2 x 2π ⎝ ⎠
(1.16)
En la figura 2 y en todas las figuras que siguen, muchas que muestran relaciones de probabilidad explícita, la notación general f ( x) ha sido usada para indicar alguna dependencia funcional de x. Una forma tradicional de caracterizar la eficiencia en sistemas digitales de comunicación es en términos de Eb / N 0 recibidos en decibeles. Esta descripción de Eb / N 0 se ha convertido en una práctica estandarizada, pero recordemos que no hay bits en la entrada del demodulador; solo hay 4
Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
(1.15)
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Input R bits
no es necesario y la modulación 8 − PSK representa la elección de diseño para lograr los requerimientos de un canal con un ancho de banda limitado. (Como se ha predecido examinando los valores de Eb / N 0 en la tabla 1).
M-ary Modulador
RS =
Output
R Log 2 M
simb / s
Ejemplo 2. Sistema no codificado limitado en potencia.
Ahora supongamos que tenemos exactamente la misma tasa de datos y los requerimientos de probabilidad de error en el bit, como en el ejemplo1, pero dejemos una ancho de banda disponible, de W = 45KHz , y el S / N 0 disponible sea
M-ary Demodulador
E P E ( M ) = f ( S ) N 0
S N 0
=
E b N 0
R =
E S N 0
igual a S N 0 = 48(dB − Hz) . La meta es elegir un modelo de modulación o modulación codificada que cumpla las condiciones requeridas. Entonces encontraremos nuevamente que el código corrector de errores no es requerido.
RS
P B = f [P E ( M )] Solución al ejemplo 2.
Fig.2 Modulador / Demodulador básico ( MODEM ) sin codificador de canal.
El canal claramente no es limitado en ancho de banda debido a que el ancho de banda disponible de 45 KHz es más adecuado para soportar la tasa de datos requerida de 9600 b/s, encontraremos que Eb / N 0 recibido de la ecuación (12) es:
formas de ondas a las que se han asignado el significado de un bit. La razón Eb / N 0 recibida representa una cadena de bits que llegan como energía a través de formas de onda.
E b
Para resolver P E(M) en la ecuación (14) necesitamos calcular la razón de la energía de símbolo recibida a la densidad espectral de potencia de ruido, ES / N 0 . Entonces de la ecuación (12) E b = 13.2dB (o 20.89) N 0
N 0
( dB) = 48( dB − Hz ) − 10 Log10 9600(dB − bit / s )
= 8.2dB (o 6.61)
(1.19) Entonces aquí hay un ancho de banda amplio pero un relativamente pequeño Eb / N 0 para la probabilidad de error en el bit requerida, consideramos que este canal el limitado en potencia y elegimos MFSK como nuestro modelo de modulación. Para conservar la potencia, buscamos el M más grande posible de tal que el ancho de banda mínimo del FSK no sea expandido más allá de nuestro ancho disponible de 45 KHz. Esta búsqueda el resultado de M = 16 (tabla 1). Luego determinamos sí el comportamiento requerido de − P B ≤ 10 5 , pude ser logrado usando solo 16 − FSK , sin código corrector de errores. La tabla 1 muestra que solo 16 − FSK cumple los requerimientos, entonces el Eb / N 0
Y dado que cada símbolo proviene de Log 2 M bits, calculamos la siguiente relación usando M = 8 . E S E = ( Log 2 M ) b (1.17) N 0 N 0
= 3 ⋅ 20.89 = 62.67 Utilizando los resultados de la ecuación (17) en la ecuación (14), produce una probabilidad de error en el símbolo, P E = 2.2 ⋅10 −5 . Para transformar esto en probabilidad de error en el bit usamos la relación entre la probabilidad de error en bit P B, y la probabilidad de error en el símbolo Pe, para señales de múltiples fases, como sigue [9]: P E P = E ( para P E << 1) (1.18) P B ≅ Log 2 M m La cual es una buena aproximación cuando la codificación Gray es usada para asignar el bit a un símbolo. Este último cálculo produce P B = 7.3 ⋅10−6 , lo cual cumple la condición requerida para el error en el bit. El código corrector de errores
requerido para 16 − FSK es menor que Eb / N 0 recibido según la ecuación (19). Imaginemos nuevamente que no tenemos la tabla 1 y evaluar si es o no necesario un código corrector de errores. El diagrama de bloques en la figura 2 resume la relación entre la tasa del símbolo R S y la tasa del bit R, y entre ES / N 0 y Eb / N 0 , el cual es idéntico en cada de la relaciones del ejemplo 1 respectivamente. El demodulador 16 − FSK recibe una forma de onda (una de 16 posibles frecuencias) durante cada intervalo de tiempo de símbolo T S. Para MFSK 5
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ortogonal no coherente la probabilidad de que el demodulador tenga un error de símbolo P E(M), es aproximado por la siguiente relación [13]: P E ≤
⎛ E ⎞ ⋅ exp⎜⎜ − S ⎟⎟ 2 ⎝ 2 N 0 ⎠
M − 1
n
t
7 15
4 1 11 1 7 2 5 3 31 26 1 21 2 16 3 11 4 63 57 1 51 2 45 3 39 4 36 5 30 6 127 120 1 113 2 106 3 99 4 92 5 85 6 78 7 71 9 64 10 Fig.2 Modulador / Demodulador básico ( MODEM ) sin codificador de canal
(1.20)
Solucionando para P E(M) en la ecuación (20), calculamos ES / N 0 , como en el ejemplo 1. Usando los resultados de la ecuación (19) en la ecuación (17), con M = 16, obtenemos: E S E = ( Log 2 M ) b (1.21) N 0 N 0
= 4 × 6.61 = 26.44 Luego, usando los resultados de la ecuación (21) en la ecuación (20), obtenemos la probabilidad de error en el símbolo, P E = 1.4 ⋅10 −5 . Para transformar esto a probabilidad de error en el bit, P b, usamos la relación entre P b y PE para señalización ortogonal [13], dada por:
2 m−1 ⋅P P B = m 2 − 1 E
k
(bloques) [14]. Para simplificar la explicación, elegiremos un código de bloques de la familia BCH. La tabla 2 presenta un pequeño catálogo de códigos de la familia BCH en función de n, k , y t , donde “k” representa el número de bits de información (o datos) que el código transformará en un largo bloque de “n” bits codificados (o canal bits), y “t” representa el número más grande de canales de bits incorrectos que el código puede corregir dentro de cada bloque de tamaño “n”. La tasa del codificador es definida por la razón “ k/n”; y su inverso, representa una medida de la redundancia de la codificación [14].
(1.22)
Este último cálculo da un P B = 7.3 ⋅10−6 , el cual cumple la condición requerida para la probabilidad de error en el bit. Podemos cumplir las especificaciones dadas para este canal limitado en potencia usando la modulación 16-FSK sin ninguna necesidad de código corrector de errores (como habíamos predecido examinando los valores de la tabla 1de Eb / N 0 ). Ejemplo 3: Sistema codificado limitado en ancho de banda y limitado en potencia.
Solución del ejemplo 3.
Entonces este ejemplo tiene los mismos parámetros de limitación de ancho de banda del ejemplo 1. Primero empezamos con la misma modulación 8 − PSK usada para encontrar el estado de restricción del ancho de banda. Sin embargo, sabemos que el empleo de un código corrector de errores puede bajar la probabilidad de error en el bit a −9 P B ≤ 10 . Para hacer una selección optima del código de la tabla 2, debemos seguir los siguientes modelos: • La probabilidad de error en el bit en la salida del sistema combinado de modulador/codificador, debe cumplir la exigencia de error del sistema. • La tasa del código no se debe expandir más allá de los requerimientos del ancho de banda de transmisión disponible del canal. • El código debe ser lo más simple posible. Generalmente, el código más corto, es el más simple para ser implementado.
Comenzamos con los mismos parámetros del canal del ejemplo 1 ( W = 45KHz , S N 0 = 53( dB − Hz) , y R = 9600b / s , con una excepción. En este ejemplo, especificamos un P B que debe ser como máximo 10 -9. La tabla 1 muestra que este sistema es limitado tanto en potencia como en ancho de banda, basado en el ancho de banda disponible de 4000Hz y la disponibilidad de Eb / N 0 de
13.2dB de la ecuación (12). ( 8 − PSK es la única elección posible para encontrar la restricción del ancho de banda; como sea, la disponibilidad de Eb / N 0 de 13.2 dB es ciertamente insuficiente para encontrar el P b de 10-9 requerido). Para este pequeño valor de P b, necesitamos considerar el uso del código corrector de errores que mejore el comportamiento dentro del ancho de banda disponible. En general, se puede utilizar un código convolucional o un código de bloques. Los códigos Bose, Chaudhuri, y Hocquenghem (BCH) conforman una larga lista de correctores cíclicos de error 6 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
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El ancho de banda mínimo requerido para 8 − PSK no codificado es de 3200Hz (tabla 1) y el ancho de banda del canal permitido es de 4000Hz, entonces el ancho de banda de la señal no codificada puede ser incrementado por no más de un factor de 1.25 (es decir, una expansión del 25%). El primer paso en este (simplificado) ejemplo de selección de código es eliminar las otras opciones en la tabla 2, que puedan expandir el ancho de banda en más de un 25%. Las entradas restantes forman un grupo más reducido de códigos compatibles en ancho de banda (tabla 3). Una columna diseñada como " Ganancia de Código, G", ha sido agregada para MPSK con P B = 10 −9 (tabla 3). La ganancia del código en decibeles es definida como sigue: ⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ (1.23) G ( dB ) = ⎜⎜ b ⎟⎟ ( dB ) − ⎜⎜ b ⎟⎟ ( dB ) N N No codificada Codificada ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
Input R bits/s
Output
M-ary Modulador
Codificador
⎛ n ⎞ RC = ⎜ ⎟ ⋅ R ⎝ k ⎠
RS =
canal − bit / s
símbolos / s
RC Log 2 M
M-ary Demodulador
Decoder
S
descrita como la reducción requerida de Eb / N 0 (en decibeles) que es necesario debido al las propiedades del comportamiento del error en el canal codificado. G es función del tipo de modulación y de la probabilidad de error en el bit, y esto ha sido calculado para un MPSK con P B = 10 −9 (tabla 3). Para modulación MPSK, G es relativamente independiente del valor de M. Entonces, para una probabilidad de error en el bit en particular, un código dado provee la misma ganancia de código, cuando se usa con cualquier modelo de modulación MPSK. Las Ganancias de los códigos fueron calculadas usando un procedimiento "cálculo de la ganancia del código" resumido en la sección siguiente. G puede ser
P B = f ( PC )
⎛ E ⎞ P E (M) = f ⎜⎜ S ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠ PC = f [P E ( M ) ]
=
N 0
E b N 0
R
=
E C RC N 0
=
E S N 0
RS
Fig.3 MODEM con codificador de canal. n
k
t
Ganancia de Código G(dB) MPSK, PB=10-9
31 63
26 1 2.0 57 1 2.2 51 2 3.1 127 120 1 2.2 113 2 3.3 106 3 3.9 Tabla 3. Códigos BCH compatibles con el ancho de banda.
El diagrama de bloques resume este sistema que contiene ambas cosas modulación y codificación (Fig. 3). La introducción del bloque codificador/decodificador causa transformaciones adicionales. La que relación que existe cuando se transforma de R (b/s) a R C (canal-b/s) a R S (símb/s) son mostrados en el codificador/modulador. Considerando la tasa del canal-bit, R C, algunos autores prefieren la unidad de canal-simbolo/s (o código-simbolo/s). El beneficio es que este código corrector de errores es a menudo descrito más eficientemente con dígitos no binarios. Reservamos el término “símbolo” para el grupo de bits proyectado sobre un grupo de formas de ondas eléctricas para transmisión, y designemos la unidad de R C a canal-b/s (o código-b/s).
⎛ n ⎞ RC = ⎜ ⎟ ⋅ R ⎝ k ⎠ RS =
RC
(1.25) Log 2 M En el demodulador/decodificador (Fig.3) las transformaciones entre energía dato-bit, energía canal-bit, y energía de símbolo están relacionados (de manera recíproca) por los mismos factores mostrados entre la tasa de transformación y las ecuaciones (25) y (27). Entonces la transformación codificadora, ha remplazado “k” bits de datos con “n” canales de bits, entonces la razón de la energía del canal-bit a la densidad espectral de potencia de ruido, EC / N 0 , es calculado por el decremento del valor de
Asumimos que nuestro sistema de comunicación no puede tolerar un retardo en el mensaje, entonces la tasa del canal bit/s, R C, debe exceder la tasa de dato-bit, R, en el factor n/k . Más lejos, cada símbolo es hecho sobre Log 2 M canales de bits, entonces la tasa de símbolo, R S, es menor que Rc por el factor Log 2 M . Para un sistema que contiene modulación y codificación a la vez, resumimos la tasa de transformación como sigue:
Eb / N 0 por el factor k / n . Cada símbolo transmitido está
compuesto sobre Log 2 M canales-bit, entonces ES / N 0 , lo cual es necesitado en la ecuación (14) resolviendo para P E, 7
Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
(1.24)
GGG, RGC y PZF - Marzo de 2006
decisiones drásticas. Cuando la salida está cuantificada a más de dos niveles, el demodulador está en condiciones de tomar decisiones más flexibles [4]. A lo largo del texto, asumimos decisiones de demodulación drásticas. Ahora que tenemos un bloque decodificador en el sistema, designaremos la probabilidad de error en bit canal fuera del demodulador y dentro del decodificador como pc, y reservaremos la notación P B para la probabilidad de error en el bit fuera del decodificador. Re-escribiremos la ecuación (18) en términos de pc así
esto es calculado por el incremento de EC / N 0 por un factor Log 2 M . Para un sistema que contiene modulación y codificación, resumimos la transformación de energía a densidad de potencia espectral de ruido, como sigue: E C ⎛ k ⎞ E b = ⎜ ⎟⋅ (1.26) N 0 ⎝ n ⎠ N 0 E S
E C
= ( Log 2 M )⋅
(1.27) N 0 N 0 Usando las ecuaciones (24) a (27), podemos ahora expandir la expresión para S / N 0 en la ecuación (13), como sigue (apéndice A). S E b E E = ⋅ R = C ⋅ RC = S ⋅ RS (1.28) N 0 N 0 N 0 N 0 Como antes, una forma estándar de describir el vínculo en términos del Eb / N 0 recibido en decibeles. Como sea, no hay bits de datos en la entrada del demodulador, tampoco hay canales de bits; allí solo hay formas de onda que significan bits, y estas formas de ondas pueden ser descritas porciones de energía de bits. Entonces, S / N 0 y R dieron 53(dB-Hz) y 9600 b/s, respectivamente, antes encontramos, de la ecuación (12), que se recibe un E b N 0 = 13.2 dB . El Eb / N 0 recibido es fijo e independiente de n, k , y t (apéndice A). Así como buscamos en la Tabla 3 por un código ideal que cumpla las especificaciones, podemos iterativamente repetir los cálculos indicados en la Figura 3. Eso puede ser posible programando en un PC(o calculadora) los siguientes cuatro pasos en función de n, k, t . El paso 1 empieza combinando las ecuaciones (26) y (27)
Paso 3: pc ≅
N 0
=
P E
(1.31) m Relacionando la probabilidad de error en el bit canal con la probabilidad de error en el símbolo fuera del demodulador, asumiendo código Gray, referido en la ecuación (18). Para esquemas tradicionales de codificación de canal y un valor dado de recepción S / N 0 , el valor de ES / N 0 con
log 2 M
codificación siempre será menor que el valor de ES / N 0 sin codificación ¡Cuando el demodulador con codificación recibe menor ES / N 0 , él comete más errores! Cuando la codificación es usada, sin embargo, el rendimiento de error del sistema no solo depende del rendimiento del demodulador, también depende del rendimiento del decodificador. Para mejorar el rendimiento de error debido a la codificación, el decodificador debe proporcionar suficiente corrección de error para compensar el pobre rendimiento del demodulador. La probabilidad final de salida de error en el bit, P B, depende del código en particular, del decodificador y la probabilidad de error en el bit canal, pc. Puede expresarse por la siguiente aproximación [15].
Paso 1: E s
P E
Paso 4:
⎛ k ⎞ E b
E c
= (log 2 M )
= (log 2 M )⎜ ⎟ N 0 ⎝ n ⎠ N 0
P B ≅
(1.29)
⎡ 2 E s
n
∑1 j( ) p n n j
j c
(1 − pc )n− j
Donde t es el número mayor de bits canal que el código puede corregir dentro de cada bloque de n bits. Usando la ecuación (29) a través de la (32) en el paso cuatro de arriba, podemos calcular la probabilidad de error en el bit decodificado, P B, como una función de n, k y t para cada uno de los códigos mostrados en la Tabla 3. La entrada que satisface la condición de error requerida con la mayor tasa de código posible y el menor valor de n es el código de doble corrección de error (63,51), lo cálculos son:
⎛ π ⎞⎤
(1.30) sen⎜ ⎟⎥ N M ⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ 0 El cual es la aproximación de la probabilidad de error en el símbolo, P E, re-escrita de la ecuación (14). En cada intervalo de tiempo de símbolo, el demodulador toma una decisión de símbolo, pero el reparte una secuencia de bit canal representativa de ese símbolo al decodificador. Cuando la salida de bit canal de demodulador es cuantificada a dos niveles, 1 y 0, el demodulador está en condiciones de tomar 8 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
(1.32)
j =t +
Paso 2: P E ( M ) ≅ 2Q ⎢
1
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Paso 1: E S ⎛ 51 ⎞ = 3⎜ ⎟20.89 = 50.73 N 0 ⎝ 63 ⎠
⎡ 2 E S
2Q ⎢ P B ≅
donde M = 8 , y la Eb / N 0 recibida es Eb / N 0 = 13.2 dB (o 20.89) π ⎤ ⎡ 101.5 × sen ⎥ 8⎦ ⎣ = 2Q(3.86) = 1.2 × 10-4
P E ≅ 2Q ⎢
1.2 × 10 3
= 4 × 10 −5
3 63 ( 3 )(4 × 10 −5 )3 (1 − 4 × 10 −5 )60 63
⎛ E ⎞ ⎛ E ⎞ (dB) − ⎜⎜ b ⎟⎟ (dB) G (dB) = ⎜⎜ b ⎟⎟ N N ⎝ 0 ⎠ no _ codificado ⎝ 0 ⎠ codificado
4 63 ( 4 )(4 × 10 −5 )4 (1 − 4 × 10 −5 )59 + ... 63 = 1.2 × 10 −10 +
= 16 dB – 13.2 dB = 2.8 dB Para ser precisos, cada uno de los valores de Eb / N 0 en el cálculo de arriba debe corresponder exactamente al mismo valor de la probabilidad de error en el bit (el cual ellos no − − son). Ellos corresponden a P B = 10 9 y P B = 1.2 × 10 10 , respectivamente. Sin embargo a esos valores bajos de probabilidad, incluso con aquella discrepancia, este cálculo todavía proporciona una buena aproximación de la ganancia de código requerida. En la tabla 3 de búsqueda del código más simple que producirá una ganancia de código de al menos 2.8 dB, observamos que la elección s el código (63,51), el cual corresponde a la misma elección que hicimos inicialmente.
Donde la capacidad de corrección de error en el bit del código es t = 2. Para el cálculo de P B en el paso 4, solo necesitamos considerar los primeros dos términos en la sumatoria de la ecuación (32) puesto que los otros términos tienen un efecto insignificante en el resultado. Ahora que tenemos seleccionado el código (63, 51), podemos calcular los valores de la tasa de bit canal, RC , y tasa de símbolo, RS , usando las ecuaciones (24) y (25), con M = 8 .
⎛ n ⎞ ⎛ 63 ⎞ RC = ⎜ ⎟ R = ⎜ ⎟9600 ≅ 11.859 bit canal / s ⎝ k ⎠ ⎝ 51 ⎠ RS =
11859 = 3953 símbolo / s log 2 M 3 RC
=
Ejemplo 4: Sistema Codificado de Espectro Ensanchado en Secuencia Directa (DS).
Los sistemas de espectro ensanchado no son usualmente clasificados como limitados en ancho de banda o potencia. Sin embargo ellos son generalmente percibidos como sistemas limitados en potencia porque la utilización de ancho de banda de la información es mucho mayor que el ancho de banda que es intrínsicamente necesitado para la transmisión de la información. En un sistema de espectro ensanchado de secuencia directa (DS/SS), ensanchar el ancho de banda de señal por algún factor permite minimizar la densidad de potencial espectral de señal por el mismo factor (la potencia total promedio de señal es la misma que antes de ensanchar). El ensanchamiento del ancho de banda es generalmente
Cálculo de Ganancia de Código
Tal vez una forma mas directa de encontrar el código más simple que satisfaga el rendimiento de error especificado sea primero calcular cuanta ganancia de código, G, es necesaria de forma de producir P B = 10-9 cuando se usa modulación 8 − PSK a solas; entonces podemos simplemente elegir el código que proporciona esta mejora en el rendimiento (Tabla 3). Primero buscamos la ES / N 0 no codificada que produzca una probabilidad de error P B = 10-9 escribiendo de la ecuación (18) y (31) lo siguiente. 9 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
(1.33)
requerido ( Eb / N 0 )no codificado = 120.67/3 = 40.22 = 16 dB. De los parámetros dados y la ecuación (12), sabemos que la recibida ( Eb / N 0 )codificada= 13.2 dB. Usando la ecuación (23) la ganancia de código requerida para encontrar el rendimiento de error en el bit de P B=10-9 es:
Paso 4: P B ≅
≅
no codificada, y cuando cada símbolo es Log 2 8 bits, el
Paso 3: pc ≅
log 2 M
Este valor bajo de probabilidad de error en el bit, es válido para usar la ecuación (16) para aproximar Q( x ) en la ecuación (33). Por prueba y error (en una calculadora programable), encontramos que ES / N 0 = 120.67 = 20.8 dB
Paso 2:
−4
P E
⎛ π ⎞⎤
sen⎜ ⎟⎥ ⎝ M ⎠⎥⎦ ⎢⎣ N 0 = 10 −9 log 2 M
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Figura 4. MODEM de Espectro Ensanchado en Secuencia Directa con codificación de canal.
acompañado por la multiplicación de una señal de datos de banda estrecha por una señal de banda ancha ensanchada. La señal ensanchada o código ensanchado es a menudo relacionada como un código pseudoaleatorio, o código PN.
chip. Entonces, para un sistema DS/SS, la ganancia de procesamiento de la ecuación (34) es expresada generalmente en términos de la tasa de chip, RCH , de esta forma: R (1.35) G p = CH R Algunos autores definen la ganancia de procesamiento como la proporción del ancho de banda de espectro ensanchado con la tasa de símbolo. Esta definición separa el rendimiento del sistema debido al ensanchamiento de su ancho de banda del rendimiento debido al código de corrección de error. Puesto que últimamente buscamos mostrar todos los mecanismos de codificación relativos a fuentes de información, conformémonos con las definiciones mas usualmente aceptadas para la ganancia de procesamiento, como las expresadas en las ecuaciones (34) y (35). Un sistema de espectro ensanchado puede ser usado para el rechazo de interferencia y acceso múltiple (permitiendo a múltiples usuarios acceder a medios de comunicación simultáneamente). Los beneficios de señales DS/SS se manifiestan de mayor manera cuando la ganancia de procesamiento es muy grande; en otras palabras, la tasa de chip del código ensanchado (o PN) es mucho mayor que la tasa de datos. En aquellos sistemas, el gran valor de G p permite a los chips señalizadores ser transmitidos a un buen nivel de potencia por debajo del ruido termal. Usaremos un valor de G p = 1000. En el receptor, la operación de desensanchado correlaciona la señal entrante con una copia sincronizada del código PN, y así acumula la energía por bit de datos. El valor de G p tiene una influencia mayor en el rendimiento de aplicaciones de sistemas de espectro
Ganancia de procesamiento-Un
sistema típico de radio DS/SS es a menudo descrito como un proceso de modulación BPSK de dos pasos. En el primer paso, la onda portadora es modulada por una forma de onda de datos bipolar tomando valores +1 o -1 durante la duración de cada bit de dato; en el segundo paso, la salida del primer paso es multiplicada (modulada) por una forma de onda bipolar de código PN tomando valores +1 o -1 durante la duración de cada bit de código PN. En realidad, los sistemas DS/SS son implementados usualmente para la primera multiplicación de la forma de onda de datos por la forma de onda del código PN haciendo entonces un paso único a través del modulador BPSK. Para este ejemplo, sin embargo, esto es usado para caracterizar el proceso de modulación en dos pasos separados- el modulador/demodulador externo para los datos y el modulador/demodulador interno para el código PN (Fig 4). Un sistema de espectro ensanchado por una ganancia de procesamiento, G p, es definida en términos del ancho de banda de espectro ensanchado, W ss, y la tasa de datos, R, así W (1.34) G p = ss R Para un sistema de DS/SS, el bit de código PN ha tomado el nombre de “chip”, y el ancho de banda de la señal de espectro ensanchado puede ser mostrado como bordeando la tasa de 10 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
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ensanchado. Sin embargo, el valor de G p no tiene efecto en Eb / N 0 recibido. En otras palabras, las técnicas de espectro ensanchado no ofrecen ventajas de rendimiento de error sobre el ruido termal. Para sistemas DS/SS esto no es una desventaja. A veces aquellos sistemas de radio de espectro ensanchado son empleados solo para permitir la transmisión de muy pequeñas densidades de potencia espectral, y así evitar la necesidad de una licencia FCC [17].
demodulador, ahora podemos expandir la expresión de S / N 0 en la ecuación (28) y Apéndice A de esta forma S
=
E b
R =
E C
RC =
E S
RS =
E CH
(1.36) RCH N 0 N 0 N 0 N 0 N 0 Correspondiendo a cada entidad transformada (bit de datos, bit canal, símbolo o chip) hay un cambio en la tasa y similarmente un cambio recíproco en la densidad espectral en energía a ruido para esa entidad recibida. La ecuación (36) es válida para cualquiera de aquellas transformaciones cuando la tasa y la energía son modificadas en forma recíproca. Hay un tipo de fenómeno de conservación de potencia (o energía) en las transformaciones. El promedio total de potencia recibida (o energía total recibida por duración de símbolo) es fijado sin considerar como es calculado-sobre la base de bit de datos, bit canal, símbolo o chip. La tasa ECH / N 0 es mucho menor en valor que E B / N 0 . Esto puede verse de las ecuaciones (36) y (35)
Parámetros de Canal para el Ejemplo 4.
Consideremos un sistema de radio DS/SS que usa el mismo código (63,51) que el ejemplo previo. En lugar de usar MPSK para la modulación de datos, usaremos BPSK. También usaremos BPSK para la modulación de chip de código PN. Dejemos S / N 0 recibida como S / N 0 = 48 dBHz, la tasa de datos, R = 9600 b/s y la P B requerida como 6 P B ≤ 10 . Por simplicidad, asumimos que no hay ancho de banda forzado. Nuestra tarea es simplemente determinar si o no el rendimiento de error requerido puede ser conseguido usando la arquitectura de sistema y parámetros de rendimiento dado. En la evaluación del sistema, usaremos el mismo tipo de transformaciones en ejemplos previos.
E CH N 0
=
⎞ ⎛ ⎞ 1 ⎞ S ⎛ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ E b ⎜⎜ ⎟⎟ = N 0 ⎝ RCH ⎠ N 0 ⎜⎝ G p R ⎠⎟ ⎜⎝ G p ⎠⎟ N 0 S ⎛
Pero, la función desensanchada (debidamente sincronizada) acumula la energía contenida en una cantidad G p de los chip, produciendo el mismo valor E B / N 0 = 8.2 dB, como fue calculado tempranamente en la ecuación (19). De este modo, la transformación ensanchada de DS no tiene efecto en el rendimiento de error de un canal AWGN [4], y el valor de GP no tiene nada que ver con el valor de P B en este ejemplo. De la ecuación (37), podemos calcular E CH E (dB) = b (dB) − G p (dB) (1.38) N 0 N 0 = 8.2 dB – (10×log 101000) dB = -21.8 dB El valor elegido de ganancia de procesamiento ( G p = 1000) permite al sistema DS/SS operar a un buen valor de energía de chip bajo el ruido termal, con el mismo rendimiento de error como sin ensanchamiento. Después que la modulación de datos BPSK es seleccionado en este ejemplo, cada símbolo de mensaje corresponde por lo tanto, a un único bit canal, y puede ser escrito E S E C ⎛ k ⎞ E b ⎛ 51 ⎞ = =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟6.61 = 5.35 (1.39) N 0 N 0 ⎝ n ⎠ N 0 ⎝ 63 ⎠ Donde la E b /N 0 recibida es E b /N 0=8.2 dB (o 6.61). Fuera del demodulador de datos BPSK, la probabilidad de error en el símbolo, P E , (y la probabilidad de error en bit canal, pc) es calculada así [4]
Solución del Ejemplo 4.
Un sistema típico DS/SS puede ser implementado mas simplemente que el mostrado en la figura 4. Los datos y el código PN fueron combinados en banda base, seguido por un paso único a través del modulador BPSK. Asumimos la existencia de bloques individuales en la figura 4, porque ellos mejoran nuestro entendimiento del proceso de transformación. En la transformación desde bits de datos, a bits canal, a símbolos y a chip (figura 4) tiene el mismo patrón de sutiles pero directas transformaciones en tasas y energías como en las relaciones previas (figura 2-3). Los valores de RC , RS y RCH pueden ser ahora calculados inmediatamente después de que el código BCH (63,51) ha sido seleccionado. De la ecuación (24) ⎛ n ⎞ ⎛ 63 ⎞ RC = ⎜ ⎟ R = ⎜ ⎟9600 ≅ 11.859 canal-bit / s ⎝ k ⎠ ⎝ 51 ⎠ Cuando la modulación de datos aquí considerada es BPSK, RS = RC ≅ 11.859 símbolos / s Y de la ecuación (35), con un valor asumido de G P=1000, RCH = G p R = 1000 ⋅ 9600 = 9.6 × 10 6 chip / s Después de que ha sido dado el mismo S / N 0 y la misma tasa de datos que en ejemplo 2, buscaremos el valor recibido de E B / N 0 de la ecuación (19) será 8.2 dB (o 6.61). En el
⎛ 2 E C ⎞ ⎟ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝
pc = P E = Q⎜
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(1.37)
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(1.40)
Usando los resultados de la ecuación (39) en la ecuación (40) se produce −4 pc = Q(3.27) = 5.8 × 10 Finalmente, usando este valor de pc en la ecuación (32) por el (63, 51) código corrector de error doble produce la probabilidad de error en el bit de salida de P B = 3.6×10-7. Podemos verificar así que, para la arquitectura y parámetros de diseño dados de este ejemplo, el sistema consigue de hecho rendimiento de error requerido.
[16] A. J. Viterbi, "Spread Spectrum Communications - Myths and Realities", IEEE Commun. Mag., pp. 11-18, May. 1979. [17] Title 47. Code of Federal Regulations, Part 15 Radio Frequency Devices.
APÉNDICE A La E b /N 0 recibida es independiente de los parámetros de los códigos. Empezando con el concepto básico de que la señal de potencia promedio recibida es igual a la energía de símbolo o forma de onda recibida, E , dividida por la duración del tiempo de símbolo, T S (o multiplicada por la tasa de símbolo, RS ), escribimos S E S / T S E S = = RS N 0 N 0 N 0 (A1) donde N 0 es la densidad de potencia espectral de ruido. Usando las ecuaciones (27) y (25), rescribimos E S E = (log 2 M ) C y N 0 N 0
Conclusión
El objetivo de este tutorial ha sido repasar las relaciones fundamentales para definir, diseñar y evaluar el rendimiento de sistemas de comunicación digital. En primer lugar, examinamos el concepto de sistemas limitados en ancho de banda y limitados en potencia y como aquellas condiciones que influyen en el diseño cuando la elección está limitada a modulaciones MPSK y MFSK. Aún más importante, nos enfocamos en las definiciones y cálculos involucrados en la transformación de bits de datos a bits canal a símbolos y a chips. En general, la mayoría de los sistemas de comunicación digital comparten aquellos conceptos; de este modo ellos debieran permitirnos evaluar aquellos sistemas de manera similar.
RS =
Referencias
RC
log 2 M
sustituyendo en la ecuación (A1) obtenemos S E C = RC N 0 N 0 (A2) Luego, usando las ecuaciones (26) y (24), rescribimos E C ⎛ k ⎞ E b ⎛ n ⎞ =⎜ ⎟ y RC = ⎜ ⎟ R N 0 ⎝ n ⎠ N 0 ⎝ k ⎠ sustituyendo en la ecuación (A2) obtenemos la relación expresada en la ecuación (11) S E b = R N 0 N 0 (A3) Por lo tanto, la E b /N 0 recibida sólo es una función de S/N 0 y de la tasa de datos, R. Es independiente de los parámetros del código, n , k y t . Estos resultados están resumidos en la Fig. 3.
[1] G. Ungerboeck. "Trellis-Coded Modulation whit Redundant Signal Set" Part I and Part II, IEEE Commun. Mag., vol. 25, pp. 5-21, Feb. 1987. [2] C. E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication" BSTJ, vol 27, pp. 379-423, 623-657, 1948. [3] C. E. Shannon, "Communication in the presence of Noise" Proc. IRE, vol. 37, no. 1, pp. 10-21, jan. 1949. [4] B. Sklar, "Digital Communicatios: Fundamentals and Applications" Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1988. [5] M. R. L. Hodges, "The GSM Radio Interface" British Telecom Technol. J., vol. 8, no. 1, pp. 31-43, Jan. 1990. [6]H. Nyquist, "Certain Topics on Telegraph Transmission Theory" Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617-644, April 1928. [7] J. B. Anderson and C-E. W. Sundberg, "Advances in Constant Envelope Coded Modulation", IEEE Commun., Mag., vol. 29, no. 12, pp. 36-45, Dec. 1991. [8] G. C. Clark Jr. and J. B. Cain. "Error-Correction Coding for Digital Communications", (Plenum Press, New York, 1981). [9]W. C. Lindsey, and M. K. Simon, "Telecommunication Systems Engineering", (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1973). [10] I. Korn, "Digital Communications" (Van Nostrand Reinhold Co, New York, 1985) [11] H. L. Van Trees, "Detectio, Estimation, and Modulation Theory" Part I, (Jhon Wiley and Sons, Inc., New York, 1968). [12] P. O. Borjesson and C. E. Sundberg, "Simple Approximation of the Error Function Q(x) for Communications Applications", IEEE Trans. Comm., vol. COM-27, pp. 639-642, March 1979. [13] A. J. Viterbi, "Principles of Coherent Communicaton" McGraw-Hill Book Co., New York, 1966. [14] S. Lin and D. J. Costello Jr., "Error Control Coding: Fundamentals and Applications", (Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1983). [15] J. P. Odenwalder, "Error Control Coding Handbook, Linkabit Corporation", San Diego, CA, July 15, 1976.
12 Traducción del documento de Bernad Sklar (V 2.1)
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