INSTITUTO TECNO#/GICO SUPERIOR DE A# A#ARADO ARADO
INGENIERÍA MECANICA Materia: METODOS NUMERICOS Semestre-Grupo: 4°
Producto Académico: INESTIGACION Tema: METODO DE !ISECCION " E# METODO DE #A # A SECANTE Prese$ta: ANGE# #INARES ESPINOSA
Doce$te: ING% MARCOS MARTINE& M ARTINE& A#EN&UE#A A#EN&UE#A
'% " G% A#A A#ARADO( ER% )E!RERO-*U#IO )E!RERO -*U#IO +,.
1
INDICE
INDICE..................................... ......................................................... ....................................... ....................................... ................................. ................. .... 2 INTRODUCCION..................................... ......................................................... .............................................................. .......................................... 3 OBJETIVOS....................................... ........................................................... ........................................ ............................................... ........................... 4 MÉTODO DE BISECCIÓN......................................................................................5 Ejemplo 1.................................. 1...................................................... ........................................ ................................................... ............................... 8 Ejemplo 2.................................. 2...................................................... ........................................ ................................................. ............................. 10
METODO DE LA SECANTE ..................................................................................14 Ejemplo1............................. Ejemplo1................................................. ....................................... ....................................... .................................... ................ 15
Ejemplo 2....................................... .......................................................... ................................................ ............................. ................. ............... .. 16 CONCLUSION...................................... .......................................................... ....................................... ........................................... ........................ 17 BIBLIOGRAFIA..................................... ......................................................... ........................................ ........................................... ....................... 18
INTRODUCCION 2
El méo!o !e "#$e%%#o& e$ '&o !e lo$ méo!o$ m($ $e&%#llo$ ) !e *(%#l #&'#%#+& p,-, -e$ol.e- e%',%#o&e$ e& '&, .,-#,"le/ ,m"#é& %o&o%#!o %omo Méo!o !e I&e-.,lo Me!#o01 Se ",$, e& el eo-em, !el .,lo- #&e-me!#o TVI3/ el %',l e$,"le%e 'e o!, *'&%#+& %o&#&', f e& '& #&e-.,lo %e--,!o 5,/"6 om, o!o$ lo$ .,lo-e$ 'e $e 7,ll,& e&-e f a3 ) f b30 E$o e$ 'e o!o .,lo- e&-e f a3 ) f b3 e$ l, #m,8e& !e ,l me&o$ '& .,lo- e& el #&e-.,lo 5,/"60 E& %,$o !e 'e f a3 ) f b3 e&8,& $#8&o$ op'e$o$/ el .,lo- %e-o $e-9, '& .,lo- #&e-me!#o e&-e f j 3 ) f e3/ po- lo 'e %o& %e-e:, e;#$e '& p e& 5,/"6 'e %'mple f p3<=0
El méo!o !e l, $e%,&e e$ '& ,l8o-#mo !e l, -,9: !e #&.e$#8,%#+& 'e '#l#:, '&, $e-#e !e -,9%e$ !e l,$ l9&e,$ $e%,&e$ p,-, ,p-o;#m,- mejo- l, -,9: !e '&, *'&%#+& *0 El méo!o !e l, $e%,&e $e p'e!e %o&$#!e-,- %omo '&, ,p-o;#m,%#+& e& !#*e-e&%#,$ *#&#,$ !el méo!o !e Ne>o&?R,p7$o&0 S#& em",-8o/ e$e méo!o *'e !e$,--oll,!o #&!epe&!#e&eme&e !e e$e @l#mo0
3
O!*ETIOS O!*ETIO GENERA# Recopilar información acerca del método de la bisección el método de la secante
O!*ETIO ESPECI)ICO Ap-e&!e- , -e$ol.e- p-o"lem,$ po- me!#o !el méo!o !e l, "#$e%%#+& ) el méo!o !e l, $e%,&e
4
M0TODO DE !ISECCI/N S# f e$ '&, *'&%#+& %o&#&', $o"-e el #&e-.,lo 5 a/b6 ) $# f a3 f b3=/ e&o&%e$ f !e"e e&e- '& %e-o e& a/b30 D,!o 'e f a3f b3=/ l, *'&%#+& %,m"#, !e $#8&o e& el #&e-.,lo 5a/b6 ) po- lo ,&o #e&e po- lo me&o$ '& %e-o e& el #&e-.,lo0 E$, e$ '&, %o&$e%'e&%#, !el eo-em, !el .,lo- #&e-me!#o p,-, *'&%#o&e$ %o&#&',$/ 'e e$,"le%e 'e $# f e$ %o&#&', e& 5a/b6 ) $# k e$ '& &@me-o e&-e f a3 ) f b3 / e&o&%e$ e;#$e po- lo me&o$ '& c a/b3 ,l 'e f c 3
-#me-o $e %,l%'l, el p'&o me!#o !el #&e-.,lo *,3*%3=0 S# lo e$/ e&o&%e$ * #e&e '& %e-o e& 5,/%60
!e$p'é$ $e ,.e-#8', $9
A %o&#&',%#+& $e -e&om"-, , c %omo b ) $e %om#e&:, '&, .e: m($ %o& el &'e.o #&e-.,lo 5a/b6/ %'), lo&8#'! e$ #8',l , l, m#,! !el #&e-.,lo o-#8#&,l0 S# f a3f c 3= / e&o&%e$ f c 3f b3= ) e& e$e %,$o $e -e&om"-, , c %omo a0 E& ,m"o$ %,$o$ $e 7, 8e&e-,!o '& &'e.o #&e-.,lo 'e %o&#e&e '& %e-o !e f / ) el p-o%e$o p'e!e -epe#-$e0
E1emp2o% L, *'&%#+& f x 3 < x $e& x 1 #e&e '& %e-o e& el #&e-.,lo 5=/26/ po-'e f =3 < ?1 )f 23<=01H0 S# $e !e&o, %o& e&o&%e$ c 1 < 10 A7o-, f c 13 < f 13 < ?=012H/ l'e8o l, *'&%#+& #e&e '& %e-o e& el #&e-.,lo 5 c 1/ b16 < 51/26 $e -e&om"-, a2
5
E& l, ,"l, !e ,",jo $e m'e$-,& l,$ p-#me-,$ &'e.e #e-,%#o&e$ !el méo!o !e "#$e%%#+& p,-, f x 3< x $e& x 1 %o& a<= b<20
&
E;-emo E;-emo '&o #:'#e-!oan !e-e%7o bn me!#o c n
V,lo- !e *'&%#+& f c n3
E--o- l, Rel,#.o
1 =
2
1
?=012H
2 1
2
10
=04H242
=0
1
10
102
=0121
=02
4 1
102
1012
=0=1=1
=0111111
1
1012
10=2
?=0=K12K
=0=2
10=2
1012
10=HK
?=0=22
=0=2K14
K 10=HK
1012
101=HK
?=0==4
=0=14=4
101=HK=
1012
1011K1K =0==42=
=0==HH=
H 101=HK=
1011K1K
1011212 ?=0==121
=0===K
c < 101141K141 e$ el %e-o !e f x 3 < x $e& x ? 13 ,-, !ee&e- el méo!o !e "#$e%%#+& ) !,- '&, ,p-o;#m,%#+& !el %e-o !e '&, *'&%#+& $e p'e!e& '$,- .,-#o$ %-#e-#o$ ll,m,!o$ criterios de parada30 U&o !e lo$ %-#e-#o$ !e p,-,!, %o&$#$e e& e;,m#&,- $# f c n3 / !o&!e e$ '&, ole-,&%#, p-e.#,me&e e$,"le%#!, po- ejemplo < 1=?30 O-o %-#e-#o 'e p'e!e '#l#:,-$e e$ e;,m#&,$9 T,m"#é& $e p'e!e '$,- %omo %-#e-#o !e p,-,!, el e--o- -el,#.o e&-e !o$ ,p-o;#m,%#o&e$ !el %e-o !e f , E& el ejemplo ,&e-#o- $# <=0==/ el p-o%e!#m#e&o $e p,-,-9, e& l, o%,., #e-,%#+& %o& el %-#e-#o f c n3 / ), 'e f c 3 < f 1011K1K3 < =0==42= < =0==/ 6
pe-o $# $e '$, el %-#e-#o #e-,%#+&
/ el p-o%e!#m#e&o $e !ee&!-9, e& l, &o.e&, po-'e
C',&!o $e 8e&e-,& ,p-o;#m,%#o&e$ po- me!#o !e '&, %omp',!o-,/ $e -e%om#e&!, *#j,- '& &@me-o m(;#mo !e #e-,%#o&e$ N 'e !e"e-9, -e,l#:,- l, m('#&,0 E$o %o& el *#& !e %o&,- %o& '& -e$8',-!o p,-, e.#,- l, po$#"#l#!,! !e 'e el p-o%e$o !e %(l%'lo %,#8, e& '& %#%lo #&*#&#o %',&!o l, $'%e$#+& !#.e-8e o %',&!o el p-o8-,m, &o e$, %o!#*#%,!o %o--e%,me&e30 U& ,l8o-#mo p,-, el méo!o !e "#$e%%#+& e$
Teorema% Error
en el método de bisección 30 Si f es continua en 5a/ b6 y f a3 f b3 =/ el método de bisección genera una sucesión
que aproxima un cero c de f con la propiedad que:
/n
1
7
E1emp2o% ,-, !ee-m#&,- el &@me-o !e #e-,%#o&e$ &e%e$,-#,$ p,-, ,p-o;#m,- el %e-o !e f x 3 < x $e& x ? 1 %o& '&, e;,%#'! !e 1= ?2e& el #&e-.,lo 5=/26/ $e !e"e 7,ll,- '& &@me-o n ,l 'e 1=?2/ e$ !e%#-
/ n K04000
$e &e%e$#,& ,p-o;#m,!,me&e '&,$ #e-,%#o&e$0 O"$e-.e e& l, ,"l, !e ,p-o;#m,%#o&e$ 'e el %e-o !e f x 3 < x $e& x ? 1 e$c <101141K141 ) c 8< 1011K1K0 El e--o-e,l e$ < =0====H ;1=?0 El e--o- -e,l e$ me&o- 'e el e--o- !,!o po- el eo-em, e& l, m,)o-9, !e %,$o$ l, %o, !e e--o- !,!, po- el eo-em, e$ m,)o- 'e el &@me-o !e #e-,%#o&e$ 'e -e,lme&e $e &e%e$#,&0 ,-, e$e ejemplo/
< =0==4K21411=?2 < =0=1
Ejemplo
Ap-o;#m,-
1
l,
-,9:
!e
7,$,
'e
0
Solución
S,"emo$ po- lo .#$o e& el ejemplo 1 !e l, $e%%#+& ,&e-#o-/ 'e l, @&#%, -,9: !e $e lo%,l#:, e& el #&e-.,lo 0 A$9 'e e$e #&e-.,lo e$ &'e$-o p'&o !e p,-#!, $#& em",-8o/ p,-, po!e- ,pl#%,- el méo!o !e "#$e%%#+& !e"emo$ %7e%,'e ) e&8,& $#8&o$ op'e$o$0 E& e*e%o/ e&emo$ 'e
m#e&-,$ 'e
C,"e me&%#o&,- 'e l, *'&%#+& $9 e$ %o&9&', e& el #&e-.,lo 0 A$9 p'e$/ e&emo$ o!o$ lo$ -e'#$#o$ $,#$*e%7o$ p,-, po!e- ,pl#%,- el méo!o !e "#$e%%#+&0 Come&:,mo$ 8
i3 C,l%'l,mo$ el p'&o me!#o 'e e$ !e 7e%7o &'e$-, p-#me-, ,p-o;#m,%#+& , l, -,9:3
E.,l',mo$ ii3 iii3 ,-, #!e&#*#%,- mejo- e& 'e &'e.o #&e-.,lo $e e&%'e&-, l, -,9:/ 7,%emo$ l, $#8'#e&e ,"l,
o- lo ,&o/ .emo$ 'e l, -,9: $e e&%'e&-, e& el #&e-.,lo 0 E& e$e p'&o/ .emo$ 'e o!,.9, &o po!emo$ %,l%'l,- &#&8@& e--o- ,p-o;#m,!o/ p'e$o 'e $ol,me&e e&emo$ l, p-#me-, ,p-o;#m,%#+&0 A$9/ -epe#mo$ el p-o%e$o %o& el &'e.o #&e-.,lo 0 C,l%'l,mo$ el p'&o me!#o 'e e$ &'e$-, $e8'&!, ,p-o;#m,%#+& , l, -,9:3
A'9 po!emo$ %,l%'l,- el p-#me- e--o- ,p-o;#m,!o/ p'e$o 'e %o&,mo$ ), %o& l, ,p-o;#m,%#+& ,%',l ) l, ,p-o;#m,%#+& p-e.#,
'e$o 'e &o $e 7, lo8-,!o el o"je#.o/ %o&#&',mo$ %o& el p-o%e$o0 E.,l',mo$
A$9/ .emo$ 'e l, -,9: C,l%'l,mo$ el p'&o me!#o/
$e
e&%'e&-,
/
)
7,%emo$
e&
el
#&e-.,lo
l,
,"l,
0
!
%,l%'l,mo$ el &'e.o e--o- ,p-o;#m,!o
El p-o%e$o !e"e $e8'#-$e 7,$, %'mpl#Re$'m#mo$ lo$ -e$'l,!o$ 'e $e o"#e&e& e& l, $#8'#e&e ,"l, Ap-o;0 , l, -,9:
el
o"je#.o0
E--o- ,p-o;0
102 10K
H0=H
1012
40K
10212
204
102HK
102=
10=4K
=0H
A$9/ o"e&emo$ ,p-o;#m,%#+& , l, -,9:
%omo
Ejemplo
Ap-o;#m,-
2
l,
-,9:
!e
7,$,
'e
0 10
Solución
Como .#mo$ e& el ejemplo 2 !e l, $e%%#+& ,&e-#o-/ l, @&#%, -,9: !e $e lo%,l#:, e& el #&e-.,lo 0 ,-, po!e- ,pl#%,- el méo!o !e "#$e%%#+&/ e$ #mpo-,&e %7e%,- 'e $9 $e %'mple& l,$ 7#p+e$#$ -e'e-#!,$0 S,"emo$ 'e e$ %o&9&', e& el #&e-.,lo / ) %7e%,mo$ 'e ) e&8,& $#8&o$ op'e$o$0 E& e*e%o/
M#e&-,$ 'e/
o- lo ,&o/ $9 po!emo$ ,pl#%,C,l%'l,mo$ el p'&o me!#o !el #&e-.,lo /
P'e e$ l, p-#me-, ,p-o;#m,%#+& E.,l',mo$ 7,%emo$ &'e$-, ,"l, !e $#8&o$/
'e$o 'e el
)
el
,
méo!o
!e
l,
-,9:
"#$e%%#+&0
!e
0
0
#e&e& $#8&o$ op'e$o$/ e&o&%e$ l, -,9: $e lo%,l#:, e& #&e-.,lo 0
E& e$e p'&o/ $olo %o&,mo$ %o& '&, ,p-o;#m,%#+&/ , $,"e-/ / 'e e$ el p-#mep'&o me!#o %,l%'l,!o0 Repe#mo$ el p-o%e$o/ e$ !e%#-/ %,l%'l,mo$ el p'&o me!#o ,7o-, !el #&e-.,lo / 11
P'e e$ l, &'e., ,p-o;#m,%#+& , A'9 po!emo$ %,l%'l,- el p-#me- e--o- ,p-o;#m,!o
l,
-,9:
!e
0
'e$o 'e &o $e %'mple el o"je#.o/ %o&#&',mo$ %o& el p-o%e$o0 E.,l',mo$ 0 7,%emo$ l, ,"l, !e $#8&o$
'e$o 'e ) e& C,l%'l,mo$ el p'&o me!#o/
#e&e& $#8&o$ op'e$o$/ e&o&%e$ l, -,9: $e lo%,l#:, el #&e-.,lo 0
el &'e.o e--o- ,p-o;#m,!o
El p-o%e$o $e !e"e %o&#&',- 7,$, 'e $e lo8-e Re$'m#mo$ lo$ -e$'l,!o$ 'e $e o"#e&e& e& l, $#8'#e&e ,"l, Ap-o;0 , l, -,9:
el
o"je#.o0
E--o- ,p-o;0 12
=0 =0K
0
=02
2=
=02
11011
=012
0
=012
0=
=024K
104H
=01H12
=0K
De lo %',l/ .emo$ 'e l, ,p-o;#m,%#+& "'$%,!, e$ El méo!o !e "#$e%%#+& po- lo 8e&e-,l e$ le&o/ ) e& %,$o$ %omo el !e l, $#8'#e&e 8-(*#%,/ p'e!e $e- !em,$#,!o le&o0
13
E& '& %,$o %omo é$e/ el p-o%e$o !e "#$e%%#+& %om#e&:, , ,%e-%,-$e , l, -,9: !e *o-m, m') le&,/ ), 'e el méo!o $ol,me&e om, e& %'e&, 'e l, -,9: $e e&%'e&-, !e&-o !el #&e-.,lo/ $#& #mpo-,- $# $e e&%'e&-, m($ %e-%, !e ,l8'&o !e lo$ e;-emo$ !el #&e-.,lo0 Se-9, "'e&o #mpleme&,- '& méo!o 'e ome e& %'e&, e$e !e,lle0
Notas: •
El méo!o !e "#$e%%#+& #e&e l, !e$.e&,j, 'e e$ le&o e& %',&o , %o&.e-8e&%#, e$ !e%#- 'e $e &e%e$#, '& n 8-,&!e p,-, 'e $e, pe'eQo30 O-o$ méo!o$ -e'#e-e& me&o$ #e-,%#o&e$ p,-, ,l%,&:,- l, m#$m, e;,%#'!/ pe-o e&o&%e$ &o $#emp-e $e %o&o%e '&, %o, p,-, l, p-e%#$#+&0
•
•
El méo!o !e "#$e%%#+& $'ele -e%ome&!,-$e p,-, e&%o&-,- '& .,lo- ,p-o;#m,!o !el %e-o !e '&, *'&%#+&/ ) l'e8o e$e .,lo- $e -e*#&, po- me!#o !e méo!o$ m($ e*#%,%e$0 L, -,:+& e$ po-'e l, m,)o-9, !e lo$ o-o$ méo!o$ p,-, e&%o&-,- %e-o$ !e *'&%#o&e$ -e'#e-e& '& .,lo- #&#%#,l %e-%, !e '& %e-o ,l %,-e%e- !e !#%7o .,lo-/ p'e!e& *,ll,- po- %ompleo0 Re$ol.e- '&, e%',%#+& e& '&, .,-#,"le %omo po- ejemplo xe x <1 e$ e'#.,le&e , -e$ol.e- l, e%',%#+& xe x ?1<= / o , e&%o&-,- el %e-o !e l, *'&%#+& f x 3 < xe x ?10 ,-, ,p-o;#m,- el %e-o !e f o l, -,9: !e l, e%',%#+& $e p'e!e 7,%e- l, 8-(*#%, !e f e& '&, %,l%'l,!o-, o '$,- m,l," p,-, !ee-m#&,- '& #&e-.,lo !o&!e f e&8, '& %e-o0 T,m"#é& $e p'e!e& e&$,),- &@me-o$ , ) " !e ,l m,&e-, 'e f a3f b3=0 ,-, el %,$o !e f x 3 < xe x ?1 po- 14
ejemplo f =3 < ?1/ f 13 < e?1 10K12 e&o&%e$ f #e&e '& %e-o e& el #&e-.,lo 5=/160 •
C',&!o 7,) -,9%e$ m@l#ple$/ el méo!o !e "#$e%%#+& '#:( &o $e, .(l#!o/ ), 'e l, *'&%#+& po!-9, &o %,m"#,- !e $#8&o e& p'&o$ $#',!o$ , %',l'#e- l,!o !e $'$ -,9%e$0 U&, 8-(*#%, e$ *'&!,me&,l p,-, ,%l,-,- l, $#',%#+&0 E& e$e %,$o $e-9, po$#"le 7,ll,- lo$ %e-o$ o -,9%e$ -,",j,&!o %o& l, !e-#.,!, f’ x 3/ 'e e$ %e-o e& '&, -,9: m@l#ple0
METODO DE #A SECANTE E& ,&(l#$#$ &'mé-#%o el método de 2a seca$te e$ '& méo!o p,-, e&%o&-,- lo$ %e-o$ !e '&, *'&%#+& !e *o-m, #e-,#.,0 E$ '&, .,-#,%#+& !el méo!o !e Ne>o&?R,p7$o& !o&!e e& .e: !e %,l%'l,- l, !e-#.,!, !e l, *'&%#+& e& el p'&o !e e$'!#o/ e&#e&!o e& me&e l, !e*#&#%#+& !e !e-#.,!,/ $e ,p-o;#m, l, pe&!#e&e , l, -e%, 'e '&e l, *'&%#+& e.,l',!, e& el p'&o !e e$'!#o ) e& el p'&o !e l, #e-,%#+& ,&e-#o-0 E$e méo!o e$ !e e$pe%#,l #&e-é$ %',&!o el %o$e %omp',%#o&,l !e !e-#.,- l, *'&%#+& !e e$'!#o ) e.,l',-l, e$ !em,$#,!o ele.,!o/ po- lo 'e el méo!o !e Ne>o& &o -e$'l, ,-,%#.o0
El méo!o !e l, $e%,&e/ e$ o-o méo!o p,-, ,p-o;#m,- el %e-o !e '&, *'&%#+& e& el 'e e& %,!, #e-,%#+& $e e.,l@, l, *'&%#+& ) &o l, !e-#.,!,0 A %o&#&',%#+& $e p-e$e&, e$e méo!o0 U#l#:, l, m#$m, *+-m'l, !el Méo!o !e Ne>o&
15
e-o e& l'8,- !e '#l#:,- l, !e-#.,!, f x n3/ e$e .,lo- $e ,p-o;#m, po-
Al -eempl,:,- e$, ,p-o;#m,%#+& !e f x n3 e& l, *+-m'l, !e Ne>o& -e$'l,
, 'e el %(l%'lo !e x n1 -e'#e-e %o&o%e- x n ) x n?1 / $e !e"e !,- ,l p-#&%#p#o !o$ ,p-o;#m,%#o&e$ #&#%#,le$ x = ) x 10 L, #&e-p-e,%#+& 8eomé-#%, !el méo!o !e l, $e%,&e e$ $#m#l,- , l, !el méo!o !e Ne>o&0 L, -e%, ,&8e&e , l, %'-., $e -eempl,:, po- '&, -e%, $e%,&e0 El %e-o !e * $e ,p-o;#m, po- el %e-o !e l, -e%, $e%,&e , f / S# x =) x 1 $o& l,$ ,p-o;#m,%#o&e$ #&#%#,le$/ l, ,p-o;#m,%#+& x 2 e$ l, #&e-$e%%#+& !e l, -e%, 'e '&e lo$ p'&o$ x =/ f x =3 3 ) x 1/f x 1330 L, ,p-o;#m,%#+& x e$ l, #&e-$e%%#+& !e l, -e%, 'e '&e lo$ p'&o$ x 1/ f x 13 3 ) x 2/ f x 233 ) ,$9 $'%e$#.,me&e0
Ejemplo1.
E*e%@e -e$ #e-,%#o&e$ !el méo!o !e l, $e%,&e p,-, l, *'&%#+& f x 3 < x $e& x ? 1 %o& x =<1 ) x 1<20 Sol'%#+&
,-, e$e f x 43 =0===H0
%,$o f x 43
<
?=0===HKK2HH
16
El méo!o !e l, $e%,&e %o&.e-8e , l, $ol'%#+& m($ le&,me&e 'e el méo!o !e Ne>o&/ pe-o #e&e l, .e&,j, !e &o '$,- l, !e-#.,!, e& %,!, #e-,%#+&0
E1emp2o
+
U$,- el méo!o !e l, $e%,&e p,-, ,p-o;#m,- l, -,9: !e
/
%ome&:,&!o %o&
/
) 7,$, 'e
0
Solución
Te&emo$ 'e l, $e%,&e
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8-,&!e p,-, 'e $e, pe'eQo/ po- ejemplo/ $e -e'#e-e !e #e-,%#o&e$ p,-, o"e&e- '& e--o- ,"$ol'o me&o- , e& el ejemplo ,&e-#o-3/ ,!em($ '&, "'e&, ,p-o;#m,%#+& #&e-me!#, p'e!e $e- !e$%,-,!, #&,!.e-#!,me&e0 S#& em",-8o/ el méo!o #e&e l, #mpo-,&e p-op#e!,! !e 'e $#emp-e %o&.e-8e , '&, $ol'%#+&/ ,!em($ !e 'e lo @&#%o 'e $e -e'#e-e e$ 'e $e, %o&#&',/ e$ po- e$,$ -,:o&e$ 'e $e '$, %o& *-e%'e&%#, %omo p'&o !e p,-#!, !e méo!o$ m($ e*#%#e&e$0
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!I!#IOGRA)IA "#$R. %2015&. método de bisección. 2'03'2016( de tecdi)ital *itio +eb, -ttps,''tecdi)ital.tec.ac.cr'reistamatematica'/ERRm"nternet'e caeecl'node4.-tml eo . %2014&. método de la secante. 2'03'2016( de "#$ *itio +eb, -ttp,''+++..es'dia'mn'node21.-tml ose ". %2015&. método de la secante. 2'03'2016( de portales.pj *itio +eb, -ttp,''portales.pj.ed.co'objetosdeaprendiaje'9nline'910'cap itlo5'5.3.-tm
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