BME Szabalyozas Allapottranszformalas Iranyithatosag

Folyamatszabályozás

Irányíthatóság és megfigyelhetőség

Budapesti M űszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki Villamosmérnöki és Informatikai Kar Irányítástechnika és Informatika Tanszék

Szilágyi Béla – Benyó Zoltán – Juhász Ferencné – Kovács Levente

FOLYAMATSZABÁLYOZÁS 8. Állapottrans Állapottranszformáció zformáció Irányíthatóság Irányíthat óság és megfigyelhetőség

8

Szabályozástechnika.

2008

MATLAB http://bio.iit.bme.hu/hun/ (Oktatás -> Kötelező tárgyak -> Folymatszabályozás)

2008. március 10.

1

SzB


2008. március 10.


2

SzB


2008. március 10.


2

SzB



u zm

u z

zavarkompenzáció

ua

u

Az irányító berendezés alrendszere C (controller )

Az irányított folyamat alrendszere P ( process process )

y

x p(t)

xc(t) belső visszacsatolás állapot visszacsatolás

ő visszacsatolás) y visszacsatolása ( f ő

Az irányítási rendszer hatásvázlata

2008. március 10.

3

SzB



Irodalom Tuschák Róbert: Szabályozástechnika. (Műegyetemi Kiadó 55020) Szilágyi Béla: Szabályozástechnika. Számítógépes gyakorlatok. (Műegyetemi Kiadó 55036, 55037, 55038, 55039, 55040, 55041,55066) Benjamin C. Kuo: Önműködő szabályozó rendszerek. (Műszaki Kiadó) Hütte: A mérnöki tudományok kézikönyve. (Springer Hungarica) Csáki Frigyes: Korszer ű szabályozáselmélet. (Akadémiai Kiadó) Csáki Frigyes-Bars Ruth: Automatika. (Tankönyvkiadó) Lantos Béla: Irányítási rendszerek elmélete és tervezése. (Akadémiai Kiadó) Benjamin C. Kuo: Digital Control Systems. (Saunders Collage Publishing) M. L. Luyben-W.L.Luyben: Essentials of Process Control. (McGraw-Hill) B.Wayne Bequette: Process Dynamics. (Prentice Hall PTR) Josef Hoffmann: MATLAB und SIMULINK. (Addision-Wesley) A.Brian-M.Breiner: MATLAB for Engineers. (Addision-Wesley) Frigyes Andor: Irányítástechnika. Műszaki értelmező szótár.(Terra Kiadó) R. Isermann: Digitale Regelsysteme. (Springer-Verlag) Dr. Farkas Miklós: Matematikai kislexikon. (Műszaki Könyvkiadó) I.N.Bronstejn: Matematikai zsebkönyv. (Műszaki Könyvkiadó) Dr. Csáki Frigyes: Fejezetek a szabályozástechnikából. Állapotegyenletek. (Műszaki Könyvkiadó) Otto Fölinger: Regelungstechnik. (Hüttig Buch Verlag GmbH)

2008. március 10.

4

SzB



Tartalomjegyzék 8. Állapottranszformáció. Irányíthatóság és megfigyelhetőség 8.1 Bevezetés 8.2 Az állapottranszformáció 8.21 Kanonikus alak 8.22 Megfigyelhet őségi kanonikus alak 8.23 Fázisváltozós kanonikus alak 8.24 Alsó háromszög alak 8.25 Irányíthatósági kanonikus alak 8.26 Kanonikus transzformáció 8.3 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 8.31 Állapotirányíthatóság 8.32 Kimeneti irányíthatóság 8.33 Állapotmegfigyelhet őség 8.4 Az állapotegyenlet felírása az átviteli függvényből 8.41 Közvetlen felbontás 8.42 Iteratív felbontás 8.43 Párhuzamos felbontás 8.44 Kapcsolat az irányíthatóság, a megfigyelhet őség és az átviteli függvény között 1. Példa 2. Példa

2008. március 10.

5

SzB


2008. március 10.


6

SzB



8. Állapottranszformáció. Irányíthatóság és megfigyelhetőség 8.1 Bevezetés A modern szabályozáselmélet tárgyalásmódja a dinamikus rendszer állapotegyenletére épül. Az ennek alapján megfogalmazható követelmények – különféle célfüggvények alapján el őírt kritériumok teljesítése – túllépnek a ma már klasszikusnak tekinthet ő „fázistöbbletre történ ő méretezés” alapelvén és olyan struktúrában megvalósuló irányításhoz vezetnek, amelyek alkalmazása – a számítógépes irányítás adta lehet őségként – egyre jobban el őtérbe kerülnek (időoptimális rendszerek, állapotirányítás, adaptív rendszerek, robosztus rendszerek, stb.). A modern szabályozáselméletre épített alkalmazások egy fontos témaköre a folyamat irányíthatóságának és megfigyelhet őségének értelmezése és vizsgálata. Ennek alapján például teljesen állapotirányítható folyamathoz létezik olyan irányítási struktúra, melynek alkalmazása mellett az ered ő rendszer előírt sajátérték eloszlással üzemeltethet ő, illetve egyébként labilis folyamat – megfelel ő állapotvisszacsatolás segítségével – stabilizálható. A soronkövetkz ő fejezetben az irányíthatóság és megfigyelhetőség témaköröket tárgyaljuk, illetve bemutatjuk , hogy az állapotirányítás kialakítására milyen egyszer ű módszerek vannak. A felhasználásra kerül ő fontosabb MATLAB utasítások: ss2ss

canon

eig ctrb obsv tf2ss

rank dcgain

tf2zp residue polyvalm

2008. március 10.

:adott állapotegyenlettel jellemzett rendszerb ől a transzformációs mátrix ismeretében el őállítja a transzformált rendszer paramétermátrixait. :az állapotegyenlet paraméter mátrixait kanonikus alakra transzformálja, két típusra hívható, a „modal” típus az A állapotmátrixot diagonizálja, a „companion” típus pedig a megfigyelhet őségi kanonikus alakot számítja. :kvadratikus mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak meghatározására szolgál. :irányíthatósági tesztmátrix kiszámítása az A,B mátrixokból. :megfigyelhet őségi tesztmátrix kiszámítása az A,C mátrixokból. :a folyamatot leíró átviteli függvényb ől meghatározza az állapotegyenletek A,B,C,D paramétermátrixait irányíthatósági kanonikus formában. :mátrix rangjának meghatározása. :az állapotegyenletével vagy átviteli függvényével jellemzett rendszer állandósult állapothoz tartozó er ősítésének meghatározása. :átviteli függvény zérusainak és pólusainak meghatározása. :átviteli függvény részlettörtre bontása. :polinomnak mátrix helyettesítési értékkel történ ő számítása.

7

SzB



8.2 Az állapottranszformáció Egy folyamatot leíró x(t) állapotváltozók kiválasztása többféleképen lehetséges, a különböz ő kiválasztási módok között az állapottranszformáció teremt kapcsolatot. Az állapotváltozók különféle megválasztásának célja a fizikai rendszert leíró matematikai modell bels ő struktúrájának egyszer ű bbé–, áttekinthető bbé tétele, a számítások egyszer űsítése. A folyamatot leíró állapotegyenlet legyen: dx(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) dt y (t ) = Cx(t ) + Du (t )

Ha a folyamat fizikai leírásából származtatható állapotváltozói az x1(t)...xn(t) állapotkoordináták, akkor ezek tetsz ő leges lineáris kombinációiból alkotott xT1(t)...xTn(t) koordinátákkal is jellemezhet ő az eredeti rendszer, ami azt jelenti, hogy egy xT (t)=Tx(t) ↔

–1

x(t)=T xT (t)

transzformációval új xT (t) állapotváltozókra térhetünk át, ahol is T egy n×n-es méretű, tetsz őleges invertálható mátrix. Figyelembe véve, hogy dx(t)/dt=T –1dxT (t)/dt, az állapotegyenlet az új xT állapotkoordinátákkal: T −1

dxT (t ) dt

= AT −1 xT (t ) + Bu (t )

y (t ) = CT −1 xT (t ) + Du (t ) x&T (t ) = TAT −1 xT (t ) + TBu (t ) y = CT −1 xT (t ) + Du (t )

Ennek alapján az új xT (t) állapotváltozókkal kapott állapotegyenlet: dxT (t )

= AT xT (t ) + BT u (t ) dt y (t ) = C T xT (t ) + DT u (t )

ahol1: –1

AT =TAT

BT =TB

–1

C T=CT

DT =D

Az xT (t)=Tx(t) transzformációval az adott folyamat sokféle állapotegyenlettel írható le, de a transzformáció az u(t) bemen ő –, és y(t) kimenő jelek közötti kapcsolatot természetesen változatlanul kell hogy hagyja , s csupán a rendszer bels ő állapotváltozóit alakítja át. Ebb ől következik, hogy mivel a rendszer dinamikus tulajdonságait eredend ően az A állapotmátrix λi=pi sajátértékei szabják meg, a transzformációval ezeknek változatlanoknak kell maradniuk, vagyis A és AT =TAT –1 sajátértékei egymással azonosak . Általános esetben az eredeti (transzformálatlan) folyamat minden egyes x&i állapotsebessége & i =ai1 x1+…+aii xi+…+ain xn), minden egyes x1 ,...x ,…x i n állapotváltozó lineáris függvénye ( x

tehát az A állapotmátrix minden helye az els őrendű differenciálegyenlet rendszer a ij 1

Vegyük észre, hogy a transzformáció a D paramétermátrixot nem változtatja meg: DT =D.

2008. március 10.

8

SzB



együtthatóival kitöltött ( a ij tetszőleges valós szám). A gerjesztetlen rendszer mozgásviszonyait leíró differenciálegyenlet rendszer tehát: . .

⎡ x1 ⎤ ⎡ a11 ⎢ ⎥ ⎢ d ⎢ . ⎥ ⎢ . = dt ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ xn ⎦ ⎣an1

.

. a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ . ⎥⎥ ⎢⎢ . ⎥⎥ . . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . ann ⎦ ⎣ xn ⎦

Ennek adott x(0) kezdeti feltételre történ ő megoldása: x( t ) = e At x( 0 ) = Φ ( t ) x( 0 )

Az x(t) kiszámítása akkor egyszer ű, ha A diagonális mátrix, ekkor ugyanis A f őátlójában ennek egymástól különböz ő sajátértékei állnak, és ekkor a Φ(t)=e At alapmátrix: ⎛ p1 0 . 0 ⎞ ⎛ p1t 0 . 0 ⎞ ⎡e p1t 0 . 0 ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ 0⎟ 0 ⎟ ⎢⎢ 0 e p2t 0 ⎥ ⎜ 0 p2 ⎜ 0 p2t t = exp⎜ Φ(t ) = exp⎜ = . . . ⎟ . . . ⎟ ⎢ . . . ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ p t p p t . 0 . 0 0 . 0 e n ⎠ n ⎠ ⎝ ⎝ ⎣⎢ ⎦⎥ n

ahol pi az A állapotmátrix i-edik sajátértéke. Adott x(0)- ra az x(t) megoldás (a rendszer sajátmozgása) ekkor: ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡e p1t 0 . 0 ⎤ ⎡ x1 (0) ⎤ ⎥⎢ ⎢ x (t )⎥ ⎢ ⎥ p2t ( 0 ) x e 0 0 2 2 ⎥⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢ . ⎥ . ⎥⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . 0 e p t ⎥⎦ ⎣ xn (0)⎦ ⎣ xn (t )⎦ ⎢⎣ 0 n

illetve xi (t ) = 0 x1( 0 ) + ... + 0 x i −1( 0 ) + e pi t xi (0) + 0 x i +1 ( 0 )... + 0 x n ( 0 ) = e pit xi (0)

(i = 1, 2, ... n) Ha A nem diagonális mátrix, akkor a homogén állapotegyenlet megoldásának meghatározása bonyolultabb, mivel általános esetben bármelyik állapotváltozó időfüggvénye mindegyik kezdeti feltételt ől függ. Az xT =Tx transzformáció alapvet ő célja mindezek alapján az, hogy a transzformációval kapott xT állapottérben történ ő leírás állapotegyenletének AT =TAT –1 transzformált állapotmátrixa jelent ősen egyszer űsödjön, ha lehetséges diagonálmátrix alakúvá váljon, mert ez a rendszer bels ő struktúráját áttekinthet ővé teszi és a megoldás meghatározása is egyszer ű. Adott T transzformációs mátrix ismerete (vagy felvétele) esetén az új xT koordinátákkal jellemzett rendszer paraméter mátrixainak kiszámítását a MATLAB [AT,BT,CT,DT]= ss2ss(A,B,C,D,T)

utasítása támogatja. Az alapkérdés: hogyan kell a T transzformációs mátrixot megválasztani, hogy az új koordináta rendszerben AT (és ezeken keresztül a rendszer bels ő struktúrája) Az, hogy mit tekintünk az eredeti rendszerhez képest egyszer ű bb egyszer ű södjön?

struktúrának, bizonyos szempontból szubjektív megítélést jelent, az viszont kétségtelen tény,

2008. március 10.

9

SzB



hogyha a T transzformáció olyan új AT =TAT –1 állapotmátrixot hoz létre, amely diagonális, ez jelentősen megkönnyíti a rendszer vizsgálatát és áttekintését. Sajnos ez a transzformáció nem mindig létezik, ezért többször más típusú egyszer űsítéseket kell alkalmaznunk. Ha az eredeti (transzformálatlan) rendszerünk A állapotmátrixa pl. egy 5×5-ös mátrix, a rendszer homogén állapotegyenlete: ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ a11 ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ d ⎢ ⎢ . ⎥=⎢ . dt ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢⎣ x5 (t )⎥⎦ ⎢⎣a51

Ennek megoldásában az A állapotmátrix ismeretében ezeket a

. .

. .

.

λi=pi

.

. a15 ⎤ ⎡ x1 (t ) ⎤ . ⎥⎥ ⎢⎢ . ⎥⎥ . ⎥⎢ . ⎥ ⎥⎢ ⎥ . . ⎥⎢ . ⎥ . a55 ⎥⎦ ⎢⎣ x5 (t )⎥⎦

sajátértékei alapvet ő szerepet játszanak, az A

⎡λ − a11 ⎢ . H (λ ) = det( λ I − A) = ⎢ ⎢ . ⎢ ⎣ − a51

. . .

− a15 ⎤ ⎥ ⎥=0 . ⎥ ⎥ . λ − a55 ⎦

.

karakterisztikus egyenlet λi=pi gyökei szolgáltatják. A differenciálegyenlethez tartozó bels ő struktúra öt darab integrátort tartalmaz 2, ahol mindegyik integrátor bemenetére mindegyik integrátor kimenete – az aij átviteli tényez őkön át – visszacsatolódik (lásd 1. ábra). Mivel ez a struktúra meglehet ősen bonyolult és nehezen áttekinthet ő, kézenfekvő törekvés ennek egyszer űsítése. Ez egy alkalmasan megválasztott T transzformációval meg is tehet ő. A szabályozásoknál használt transzformációk különféle alakzatban hozzák létre az AT =TAT –1 új állapotmátrixot. A következ őkben a fontosabb transzformációkat és a hozzájuk tartozó hatásvázlat struktúrákat ( n=5×5-ös méretű állapotmátrixot feltételezve) tárgyaljuk. Mivel a transzformáció a D mátrixot változatlanul hagyja, ezért a továbbiakban – az ábrázolás egyszer űsítése okán – a D=0 esetet tételezzük fel.

2

Ha a dinamikus rendszert n darab elsőrendű differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet rendszer–, vagy egy darab n –ed rendű differenciálegyenlet, írja le, akkor a matematikai modellhez rendelhető, alaptagokból felépülő hatásvázlat struktúra n darab integráló tagot tartalmaz. Az integráló tagok kimenő jelei a rendszer állapotváltozói. 2008. március 10.

10

SzB



x1

∫ a11 a12

a15 x2

∫ a21

u B

C

a22

a25 x5

∫ a51 a52

a55

& = Ax Az általános eset bels ő struktúrája (A transzformálatlan rendszer) 1. ábra

2008. március 10.

11

SzB



8.21 Kanonikus alak 3 ⎡ p1 0 0 0 0 ⎤ ⎢ 0 p ⎥ 0 0 0 2 ⎢ ⎥ −1 ⎢ 0 p3 0 0 ⎥ AT = TAT = 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 p 4 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 p5 ⎥⎦

A karakterisztikus egyenlet: det( λ I–AT )=( λ –p1 )( λ –p2 )( λ –p3 )( λ –p4 )( λ –p5 )=0

∫

xT1

p1

∫

u BT =TB

xT2

p2

∫

–1

y

C T=CT

xT5

p5 x& T = TAT −1 x T

A kanonikus alak belső struktúrája 2. ábra

Ez a transzformáció az eredeti „kapcsolt” struktúrát (lásd 1.ábra) jelent ősen leegyszer űsíti, az xT állapotváltozókat egymástól mintegy szétcsatolja. A belső struktúra igen egyszer űvé válik, hiszen az x& Ti állapotsebesség kizárólag az u bemenő jel minden komponensét ől és az egyetlen xTi állapotváltozótól függ. Ha pi negatív valós, akkor a bels ő struktúrát olyan egytárolós arányos tagok jellemzik, amelyek egymással nincsenek kölcsönhatásban 4 (lásd 2.ábra). A T transzformációs mátrix létezésének feltétele, hogy A sajátértékei egyszeresek (egymástól különböz őek) legyenek. A T mátrixot A sajátvektoraiból lehet felépíteni, kiszámítását a MATLAB hatékonyan támogatja: [AT,BT,CT,DT,T]= canon(A,B,C,D,'modal')

3

Az irodalom az itt tárgyalt alakot első kanonikus alaknak is nevezi. Ha pi=σ i+jωi és pi+1=σ –j i ωi konjugált komplex gyökpárt alkot, akkor a két pólushoz tartozó elsőrendű struktúrákat egy másodrendű struktúrára célszer ű összevonni. 4

2008. március 10.

12

SzB



8.22 Megfigyelhetőségi kanonikus alak ⎡0 ⎢1 ⎢ −1 AT = TAT = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

− h5 ⎤ − h4 ⎥⎥ − h3 ⎥ ⎥ − h2 ⎥ − h1 ⎥⎦

0 0 0 0 1

A karakterisztikus egyenlet: 5

4

3

2

det( λ I–AT )= λ + h1 λ + h2 λ + h3 λ + h4 λ+ h5 = 0

Ez a transzformáció az eredeti kapcsolt struktúrát egy egymással sorosan kapcsolt integrátorlánccal jellemzi (az els ő integrátor xT1 kimenete csak a második integrátor bemenetére kapcsolódik stb., és kizárólag az utolsó integrátor kimenete az, amelyik saját magára és az összes többi bemenetére visszacsatolódik). Az AT utolsó oszlopa a karakterisztikus polinom negatív együtthatóiból áll. A transzformációs mátrix és a megfigyelhet őségi kanonikus alak kiszámítása MATLAB-bal: [AT,BT,CT,DT,T]= canon(A,B,C,D,'campanion')

∫ ∫

xT1

xT2

u -1

y

CT

TB

∫

xT5

-h1 -h4 -h5 x& T = TAT −1 x T A megfigyelhetőségi kanonikus alak belső struktúrája 3. ábra

2008. március 10.

13

SzB



8.23 Fázisváltozós kanonikus alak 1 0 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎢ 0 ⎥ 0 1 0 0 ⎢ ⎥ −1 0 0 1 0 ⎥ AT = TAT = ⎢ 0 ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣− h5 − h4 − h3 − h2 − h1 ⎥⎦ A karakterisztikus egyenlet: 5

4

3

2

det( λ I–AT )= λ + h1 λ +h2 λ + h3 λ + h4 λ+ h5 =0

A transzformáció a bels ő struktúrát egy integrátor lánccá alakítja, az x& T 1 állapotsebesség – az u bemen ő jelen kívül – kizárólag az xT2 állapotváltozótól függ, stb. Csupán az utolsó integrátor az, amelynek x& T 5 bemenetére saját maga és az összes többi integrátor kimenete visszacsatolódik. Az xT állapotteret ez esetben fázistérnek is hívjuk , mivel az egyes állapotváltozók egymásnak sebességeit is jelentik. AT utolsó sorában a karakterisztikus polinom negatív együtthatói állnak.

∫ ∫

xT1

xT2

u

–1

TB

y

CT

∫

xT5

-h5 -h4

-h1 x& T = TAT −1 x T

A fázisváltozós kanonikus alak belső struktúrája 4. ábra

2008. március 10.

14

SzB



8.24 Alsó háromszög alak ⎡ p1 ⎢a ⎢ 21 −1 AT = TAT = ⎢ a31 ⎢ ⎢a41 ⎢⎣ a51

0 p2

0 0

a32

p3

0 0 0

a42

a43

p4

a52

a53

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥

a54 p5 ⎥⎦

A karakterisztikus egyenlet: det( λ I–AT )= ( λ –p1 )( λ –p2 )( λ –p3 )( λ –p4 )( λ –p5 )=0

A belső struktúrát egy olyan integrátor lánc jellemzi, ahol az egyes integrátorok kizárólag önmagukról visszacsatoltak, bemeneteik pedig csupán az őket sorrendben megel őző integrátor kimenetét ől függnek, így a bels ő struktúra mintegy visszacsatolás mentes (részleges szétcsatolás).

∫

xT1

p1 a21

∫

xT2

2

u

xT3 TB

xT4

–1

CT

y

a51 a52 a53 a54

∫

xT5

5 −

x& T = TAT 1 x T

Az alsó háromszög alak belső struktúrája 5. ábra

2008. március 10.

15

SzB



8.25 Irányíthatósági kanonikus alak ⎡− h1 − h2 − h3 − h4 − h5 ⎤ ⎢ 1 ⎥ 0 0 0 0 ⎢ ⎥ −1 AT = TAT = ⎢ 0 1 0 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 1 0 ⎥⎦

A karakterisztikus egyenlet: 5

4

3

2

det( λ I–AT )= λ + h1 λ + h2 λ + h3 λ + h4 λ + h5 = 0

Struktúrája hasonló a fázisváltozós kanonikus alakéhoz. Ha W(s)=G(s)/H(s) átviteli függvényr ől át kívánunk térni az állapotteres leírásra, akkor az [AT,BT,CT,DT]= tf2ss(G,H)

utasítás az irányíthatósági kanonikus alak paramétermátrixait szolgáltatja. AT első sorában a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói állnak.

∫ ∫

xT1

xT2

u

–1

TB

y

CT

∫

xT5

-h1 -h2 -h5 x& T = TAT −1 x T

Az irányíthatósági kanonikus alak belső struktúrája 6. ábra

2008. március 10.

16

SzB



8.26 Kanonikus transzformáció Ha az A állapotmátrix sajátértékei egyszeresek, akkor A sajátvektoraiból képezhetünk egy olyan V mátrixot, amelynek segítségével az A állapotmátrix diagonális mátrixszá transzformálható. Ezt a transzformációt els ő kanonikus transzformációnak is nevezzük. A folyamat bels ő állapotairól ez adja a legegyszer ű bb áttekintést (lásd 2.ábra), ezért ezzel ismételten foglalkozunk. Képezzük a V mátrixot úgy, hogy az oszlopai az A mátrix V i sajátvektoraiból álljanak. V=[V 1 ,V 2 ,V 3 ,V 4 ,V 5]

Ha T transzformációs mátrixnak V inverzét választjuk ( T=V –1), akkor a TAT –1 transzformáció eredményeként kapjuk: ⎡ p1 0 0 0 0 ⎤ ⎢ 0 p 0 0 0 ⎥⎥ 2 ⎢ AT = TAT −1 = ⎢ 0 0 p3 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 0 p4 0 ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 p5 ⎥⎦

Az AT transzformált állapotmátrix egy olyan diagonális mátrix, amelynek f őátlójában az A sajátértékei állnak. Ez a transzformáció a rendszert állapotváltozóit szétcsatolja, emellett lehetővé teszi az állapotirányíthatóság és állapotmegfigyelhet őség egyszer ű eldöntését is. Ha az A állapotmátrixnak többszörös sajátértékei is vannak, akkor a sajátvektoraiból képzett transzformációs mátrix szinguláris, tehát nem invertálható. Ebben az esetben a rendszer nem teljesen szétcsatolható, csak olyan transzformációs mátrixot találhatunk, amely részleges szétcsatolást eredményez, a transzformált állapotmátrix ekkor egy vagy több úgynevezett Jordan blokkot tartalmaz 5. A kanonikus transzformációt támogató MATLAB függvény 6: [AT,BT,CT,DT]= canon(A,B,C,D,'modal')

Egy másik lehet őség: [V,P]= eig(A)

Az eredményül kapott P mátrix egy olyan n × n -es diagonális mátrix, amelynek f őátlójában az A mátrix sajátértékei állnak, tehát ha az A állapotmátrix valamennyi sajátértéke egyszeres, akkor ez egyben az AT –nek felel meg ( P=AT ). Ebben az esetben V mátrix sem szinguláris és a transzformáció elvégezhet ő a MATLAB-bal a következ ő módon, ahol AT újbóli meghatározására nincs is szükség. T=inv(V) [AT,BT,CT,DT]= ss2ss(A,B,C,D,T)

vagy ezzel egyenérték űen: AT=P; BT=T*B; CT=C* inv(T); DT=D

5

A többszörös sajátértékkel rendelkező rendszerek állapottranszformációjával jelen fejezetben nem foglalkozunk. Vigyázni kell azonban arra, hogy a MATLAB formálisan akkor is elvégzi a kanonikus transzformációt, ha az A mátrix többszörös sajátértékeket tartalmaz és hibás eredményt ad hibajelzés nélkül. 6

2008. március 10.

17

SzB



Ha az állapotmátrix a fázisváltozós kanonikus alakban áll rendelkezésre – és ez gyakran előfordul, például akkor, ha a W(s) átviteli függvénnyel jellemzett tagot állapotegyenletével kívánjuk jellemezni – akkor ennek diagonizálása a Vandermonde mátrix (V E ) alapján is történhet. A Vandermonde mátrix: 1 ⎡ 1 ⎢ p p2 ⎢ 1 V E = ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢⎣ p1n −1 p2n −1

. . . .

. .

1 ⎤

⎥ ⎥ . ⎥ ⎥ . . ⎥ . pnn −1 ⎥⎦ pn

ahol pi az A mátrix sajátértékei, és T=V E –1. 8.3 Irányíthatóság és megfigyelhet őség A szabályozástechnikában fontos kérdés, hogy egy folyamat állapotváltozóira és kimenő jeleire tudunk-e a bemeneteken keresztül hatni, illetve a bemenő – és kimenő jelek ismeretében meg tudjuk–e határozni az állapotváltozók értékeit. 8.31 Állapotirányíthatóság Az x3

x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t )

t0

tv

y (t ) = Cx(t ) + Du (t )

x(t0)

x(tv)

állapotegyenletekkel megadott lineáris rendszert állapotirányíthatónak nevezzük, ha van egy olyan szakaszonként folytonos u(t) bemenő jel (gerjesztés), amelynek segítségével az x(t 0 ) állapot egy tetsz őleges x(t v ) állapotba t v –t 0>0 véges id ő alatt átvihető. Ha az A állapotmátrix n× n-es méretű, akkor az n –ed rendű rendszer teljes állapotirányíthatóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy a

x2 x1 7. ábra

n-1

C o=[ B AB ....... A B]

irányíthatósági tesztmátrix rangja n legyen. C o mátrix és rangjának kiszámítása MATLAB támogatással: Co=ctrb(A,B); rank(Co);

Az [ A,B] párt irányíthatónak nevezzük, ha rang C o=n. Az állapotirányíthatóság eldöntésének másik módja a kanonikus transzformációval kapott BT =TB mátrix vizsgálata lehet. Mivel ilyenkor a rendszer állapotai egymástól szétcsatoltak, a bemen ő jelek közvetlenül irányítják az állapotokat, azaz legalább egy bemenő jelnek kell mindegyik állapotot irányítania. Tehát a rendszer csak akkor állapotirányítható, ha a BT mátrixnak nincs egyetlen csupa zérusból álló sora sem (lásd 8.ábra). Ha ugyanis lenne ilyen sor, az azt jelentené, hogy van olyan xTi állapotváltozó, amelyre u nem hat, amib ől következik, hogy ez u –val xTi(t v )– be át sem vihet ő, így a tetsz őleges xT (t v ) nem kijelölhet ő.

2008. március 10.

18

SzB


u1


u

TB

u2

u1

.

ui

0 0 0 0 0

x& Ti

∫

ui

.

xTi

pi

u j

u j

x& Ti = pi x Ti + 0 u1 + 0 u 2 +K+0 u j

144 42444 3 0!

Az állapotirányíthatóság eldöntése a TB mátrixból 8. ábra

8.32 Kimeneti irányíthatóság Az állapotirányíthatóság megléte egy rendszer kimeneti irányíthatóságának se nem szükséges, se nem elégséges feltétele. y3 Egy folyamat kimenetileg akkor irányítható, ha létezik egy szakaszosan folytonos u bemenő jel, amely a t=t 0 idő pontbeli y(t 0 ) kimenetet t v –t 0>0 véges idő alatt valamely tetsz őlegesen el őírt t0 tv y(t v ) értékre képes beállítani. Ha a rendszer k számú kimenettel rendelkezik (az y vektor k ×1 méretű), akkor a kimeneti y(tv) y(t0) irányíthatóság feltétele, hogy a y2 n-1

C oy=[CB CAB ....... CA B]

y1 9. ábra

irányíthatósági tesztmátrix rangja k legyen.

8.33 Állapotmegfigyelhetőség Gyakran szükségünk lehet arra, hogy a bemeneti és kimeneti jelek mérésével információt nyerjünk a folyamat állapotváltozóiról. Ha valamelyik állapotváltozó nem szerepel egyik kimenő jelben sem, így róla információt sem szerezhetünk, akkor a rendszert nem megfigyelhet őnek nevezzük. Egy folyamatban az x(t 0 ) állapotot akkor mondjuk megfigyelhet őnek, ha egy (t 0
2008. március 10.

19

SzB



u

y(t) u(t)

A, B, C, D x(t)

y(t)

u(t) t 0

t

t v

Állapot-megfigyelő

x(t) x(t 0 )

x$ ( t ) t

t 0

Az állapotmegfigyelés elve 10. ábra

A megfigyelhet őség szükséges és elégséges feltétele, hogy az ⎡ C ⎤ ⎢ CA ⎥ ⎥ Ob = ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣CA ⎦

megfigyelhet őségi tesztmátrix rangja n legyen. Ennek meghatározása MATLAB támogatással: Ob=obsv(A,C); rank(Ob)

Az [ A,C ] párt megfigyelhet őnek mondjuk, ha rang Ob=n. A rendszer megfigyelhet őségét is eldönthetjük a kanonikus transzformáció segítségével. Az x(t 0 ) állapotmegfigyelhet őségének feltétele, hogy a C T mátrixnak ne legyen egyetlen csupa zérusból álló oszlopa sem. Ha ugyanis van ilyen, az azt jelenti, hogy van a folyamatnak olyan xTi állapotváltozója, amelyik egyik kimen ő jelben sincs jelen, s így ennek megfigyelése sem lehetséges (11.ábra). xT1 xT2 xTi

y1

-1

CT

0

y2

x T 1

0 0

yi x Ti

0

y 2 =K+0 ⋅ x Ti +L

M y k =K+0 ⋅ x Ti +L

0 xTn

y1 =K+0 ⋅ x Ti +L

x Tn

yk

Az állapotmegfigyelhetőség eldöntése CT -1 mátrixból 11. ábra

2008. március 10.

20

SzB



Megjegyzés

1. Egy folyamat állapotirányíthatóságának nem feltétele a folyamat stabilitása, tehát labilis folyamat is lehet irányítható, legalábbis abban az értelemben, hogy az u(t) bemenő jellel x(t 0 ) egy tetszőleges x(t v ) –be véges idő alatt átvihet ő, ha egyébként az [ A,B] pár irányítható. 2. A rang C o=n és rang Ob=k feltételek teljesülése csak azt jelenti, hogy létezik olyan szakaszonként folytonos u(t) gerjeszt ő jel, amely az x(t 0 ) állapotot képes t v –t 0>0 idő alatt x(t v ) állapotba átvinni, illetve a t 0
u

IM

y

x im

IM:

x im

és megfigyelhet ő

állapotváltozók xin irányítható , de nem megfigyelhet ő állapotváltozók xnm nem irányítható , de megfigyelhet ő állapotváltozók és nem xnn nem irányítható , megfigyelhet ő állapotváltozók

I N: I N

irányítható

NM:

xin

NN:

NM xnm

NN xnn

Dinamikus rendszer alrendszerei 12. ábra

2008. március 10.

21

SzB



8.4 Az állapotegyenlet felírása az átviteli függvényből Egy tetszőleges, n –ed rend ű, lineáris SISO tag y kimenő és u bemenő jelei közötti kapcsolatot leíró differenciálegyenlet általános alakja (a ,i bi tetszőleges valós együtthatók, de a0≠0): a 0 y ( n ) + a 1 y ( n −1) +K+a n y = b0 u ( n) + b1u ( n −1) +K+bn u

Ha ebben az y(n) tényező együtthatójára normalizálunk 7, a differenciálegyenletet az alábbi alakban is írhatjuk ( hi=a /a i 0 , g i=b /a i 0, i=0,1,2,…n): y ( n ) + h1 y ( n −1) + K + hn y = g 0u ( n ) + g 1u ( n −1) + K + g nu

A tag átviteli függvénye a differenciálegyenlet alapján: g 0 s n + g 1 s n −1 K + g n G ( s) = W ( s) = n = u ( s) s + h1 s n −1 + K + hn H ( s)

y ( s)

A tag dinamikus tulajdonságait alapvet ően a H ( s) = s n + h1 s n −1 + K + hn = 0

karakterisztikus egyenlet gyökeloszlása (a W(s) átviteli függvény pólusai) határozza meg. Az átviteli függvényhez igen sokféle állapotegyenlet rendelhet ő, attól függ ően, hogy miként választjuk meg az állapotváltozókat. Az állapotegyenlet felírásának három alapvet ő változatát tárgyaljuk. Ezek: a közvetlen felbontás, az iteratív felbontás és a párhuzamos felbontás. A tárgyalást n=3 rendszámra mutatjuk be (harmadrend ű differenciál egyenlet!), de a módszerek n tetsz őleges értékére is általánosíthatók. 8.41 Közvetlen felbontás A közvetlen felbontás akkor alkalmazható, ha az átviteli függvény algebrai tört formájában ( polinomok hányadosaként ) adott. Ekkor: y ( s) g 0 s 3 + g 1 s 2 + g 2 s + g 3 G ( s) W ( s ) = = 3 = u ( s) H ( s) s + h1 s 2 + h2 s + h3

A z(s) segédváltozó bevezetésével jellemezzük a tagot az alábbi soros kapcsolású struktúrával is: u(s)

1 H ( s)

z(s)

G(s)

s

Az átviteli függvény közvetlen felbontása 13. ábra

7

Ez a vezető együtthatóra történő normalizálás. Végrehajtása során az a0 együtthatóval az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk, így a differenciálegyenlet y(n) tényező jének az együtthatója az egység. 2008. március 10.

22

SzB



Az ábra alapján: z ( s) =

1 u ( s ) H ( s) 1

y ( s) = G ( s ) z ( s ) = G ( s) u ( s ) = W ( s)u ( s) H ( s) s 3 z ( s ) = u ( s) − (h1 s 2 + h2 s + h3 ) z ( s) y ( s) = ( g 0 s3 + g 1 s 2 + g 2 s + g 3 ) z ( s)

Figyelembe véve, hogy s a differenciálás ( 1/s az integrálás) operátorát is jelenti, az egyenletek alapján az alábbi lineáris alaptagokat tartalmazó hatásvázlat alakítható ki: g 0 g 1 g 2

u

x1

1

∫

x2

∫

x3=z

∫

g 3

y

-h1 -h2 -h3

A közvetlen felbontás irányíthatósági kanonikus alakja 14. ábra

Ennek a struktúrának fontos tulajdonsága (amely majd az állapotvisszacsatolás tervezésében kerül felhasználásra), hogy a visszacsatolásban a karakterisztikus egyenlet negatív együtthatói (de csak a – h1 , –h2 és –h3, mert H(s)=s 3+h1 s2+h2 s+h3!) állnak. Ha állapotváltozónak az adott x1 , x2 , x3 jelölésekkel az integrátorok kimeneteit tekintjük, a SISO tag jelátviteli tulajdonságai (egyenérték űen a tag n –ed rend a n számú elsőrendű ű differenciálegyenletével) differenciálegyenletet tartalmazó x&1 = −h1 x1 − h2 x2 − h3 x3 + u x&2 = x1 x&3 = x2 y = g 1 x1 + g 2 x2 + g 3 x3 + g 0 (− h1 x1 − h2 x2 − h3 x3 + u )

állapotegyenletével is leírható. Ebb ől a paramétermátrixok:

2008. március 10.

⎡− h1 − h2 − h3 ⎤ ⎢ 0 0 ⎥⎥ A = 1 ⎢ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦

⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ B = ⎢0 ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦

C = [ g 1 − g 0 h1 g 2 − g 0 h2 g 3 − g 0 h3 ]

D=g 0

23

SzB



Láthatóan az átviteli függvény közvetlen felbontása az irányíthatósági kanonikus alakot szolgáltatja. MATLAB támogatás igénybevételével: [A,B,C,D]= tf2ss([g0 g1 g2 g3],[1 h1 h2 h3])

Megjegyzés

Ha a 14. ábrán az állapotváltozók sorszámozását megfordítjuk, akkor az állapotegyenletet a fázisváltozós alakjában kaphatjuk.

8.42 Iteratív felbontás Az átviteli függvény számlálóját és nevez ő jét gyöktényezős alakban felírva: W ( s) = g 0

( s − z 1 )( s − z 2 )( s − z 3 ) ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )

ahol z 1 , z 2 , z 3 W(s) zérusai, p1 , p2 , p3 pedig W(s) pólusai. Ha zérus–pólus megegyezés nincs és z i és pi valós számok, a felbontás (s–z )/(s–p ) i i elsőrendű tényezők soros kapcsolásához vezet. Így egy lehetséges hatásvázlat struktúra: u

∫

g 0

x1

∫

-z 1

p1

x2

∫

- z 2

p2

x3

-z 3

y

p3

Az átviteli függvény iteratív felbontása 15. ábra

Az állapotegyenlet a hatásvázlat alapján: x&1 = p1 x1 + g 0u x&2 = − z 1 x1 + p1 x1 + g 0u + p2 x2 = ( p1 − z 1 ) x1 + p2 x2 + g 0u x&3 = − z 2 x2 + p2 x2 − z 1 x1 + p1 x1 + p3 x3 + g 0u = ( p1 − z 1 ) x1 + ( p2 − z 2 ) x2 + p3 x3 + g 0u y = ( p1 − z 1 ) x1 + ( p2 − z 2 ) x2 + ( p3 − z 3 ) x3 + g 0u

Illetve: ⎡ p1 ⎢ A = ⎢ p1 − z1 ⎢⎣ p1 − z1 C = [ p1 − z1

0 p2 p2 − z 2 p2 − z 2

0⎤

⎥ 0⎥ p 3 ⎥⎦

⎡ g 0 ⎤ ⎢ ⎥ B = g 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ g 0 ⎥⎦

p 3 − z 3] D=g 0

Az iteratív felbontás az állapotmátrixot alsó háromszög alakban szolgáltatja, f őátlóban a karakterisztikus egyenlet gyökeivel. MATLAB támogatás igénybevételével: [z,p,k]= tf2zp([g0 g1 g2 g3],[1 h1 h2 h3])

Megjegyzés

Az (s–z )/(s–p ) i i elsőfokú tényez őt fel lehet bontani az alábbi alakban is:

2008. március 10.

24

SzB


Irányíthatóság és megfigyelhetőség s − z i − pi + pi s − pi

= 1+

pi − z i s − pi

Az ennek megfelel ő hatásvázlat elem: pi − z i

∫

-z

s − pi

a)

vagy:

xi

pi

b) xi

∫ c

-z

i

Az iteratív felbontás egy más alakja 16. ábra

Az ábrából leolvashatóan, pi=z i esetén az xi vagy nem irányítható (lásd 16/b ábra) vagy nem megfigyelhet ő (lásd 16/c ábra), mivel az xi hatásvonalában p –z i i=0 miatt „szakadás” van. 8.43 Párhuzamos felbontás Ha W(s) nevező je gyöktényez ős alakban adott, vagyis H ( s) = s 3 + h1 s 2 + h2 s + h3 = ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )

és p1≠ p2≠ p3, valamint G(s) legalább eggyel alacsonyabb fokszámú, mint H(s), akkor a W(s) átviteli függvény részlettörtes alakja: g 1 s 2 + g 2 s + g 3 r 1 r 2 r 3 = + + W ( s ) = 3 s + h1 s 2 + h2 s + h3 s − p1 s − p2 s − p3

Ez az els őfokú tényez ők párhuzamos kapcsolását jelenti, vagyis r 1 s − p1 u

r 2

y

s − p2 r 3 s − p3

MATLAB támogatás:

Az átviteli függvény párhuzamos felbontása 17. ábra [r,p,k]=residue(G,H)

Ennek alapján:

2008. március 10.

25

SzB



∫

u

x1

r 1

p1

∫

x2

y

r 2

p2

∫

x3

r 3

3

A párhuzamos felbontás leírása alaptagokkal 18. ábra x&1 = p1 x1 + u x&2 = p2 x2 + u x&3 = p3 x3 + u y = r 1 x1 + r 2 x2 + r 3 x3

Vagyis: ⎡ p1 0 0 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢ 0 p2 0 ⎥ B = ⎢1⎥ ⎢⎣ 0 0 p3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ C = [r1

r2

r3 ]

D=0

A párhuzamos felbontás az állapotegyenlet kanonikus alakját állítja el ő , A f őátlóban az egymástól különböz ő pi sajátértékekkel.

diagonális, a

Megjegyzés

• Az r 1, r 2 és r 3 tényez ők a visszacsatolt integrátorok elé is helyezhet ők, ez esetben A

és D változatlan marad, de

⎡ r 1 ⎤ ⎢ ⎥ B = r 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ r 3 ⎥⎦

C = [1 1 1]

vektorokra módosul. • Az r i együtthatók értéke r i =

lim

s → pi

G ( s ) g 1 ( s − z 1 )( s − z 2 ) = d d ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 ) H ( s) ds ds s = pi

Láthatóan pi=z i pólus–zérus egyezés esetén a pi pólushoz tartozó állapotváltozó vagy nem megfigyelhet ő, vagy nem irányítható, mivel ekkor r i≡ 0.

2008. március 10.

26

SzB



8.44 Kapcsolat a SISO tag irányíthatósága, megfigyelhet ősége, és az átviteli függvénye között. Ha a lineáris tag átviteli függvényében pólus-zérus egyezés nincs, akkor a tag állapot irányítható és megfigyelhet ő. Ha egyezés van, a tag vagy nem állapot-irányítható vagy nem megfigyelhet ő az állapotváltozók megválasztásától függ ően, aminek oka, hogy az egymással megegyez ő zérus–pólus az átviteli függvényb ől „kiegyszer űsíti” egymást. Az esetek többségében az egyezés jelenléte szándékos, a kompenzációs szabályozások alkalmazásakor a folyamat eredeti pólusait kiejtjük és a szabályozási cél érdekében ezeket új pólusokkal helyettesítjük 8. Az ilyen módon kompenzált szabályozási körök állapotváltozói tehát vagy nem állapotmegfigyelhet ők, vagy nem állapotirányíthatók. Látszólag ellentmondásosnak t űnhet, hogy egy hagyományos módon kompenzált folyamat két legnagyobb id őállandóját a PID szabályozó T i és T d adataival „mintegy kiejtjük” és a póluskiejtés miatt azt mondjuk, hogy a rendszer nem irányítható, pedig a szabályozás a követelményeknek megfelel ően üzemel, kielégítve a tervezés el őírásait. A nem irányíthatóság ez esetben nem azt jelenti, hogy az y(t) szabályozott jellemz ő nem a tervezés el őírásainak megfelel ően változik, hanem csupán azt a tényt fejezi ki, hogy a rendszernek van olyan bels ő állapotváltozója, amelyet vagy befolyásolni, vagy megfigyelni nem lehet, de ez a rendszer alapvet ő működésmódjában egyébként érdektelen. 1. Példa Egy másodrendű, lineáris dinamikus rendszer állapotegyenlete: x&1 = − x1 + x2 + u1 x& 2 = 0.2 x1 − 0.4 x2 + 0.2u 2 + 0.2u3 y1 = x1 y2 = x2

a) Határozzuk meg az állapotegyenlet kanonikus alakját létrehozó T transzformációs mátrixot, adjuk meg a rendszer új állapotváltozóit és a kanonikus transzformációval létrehozott állapotegyenletet (xT =?; T=?; AT =?; b) c)

BT =?; C T=?; DT =?). A BT és C T mátrixok alapján döntsük el, hogy irányítható–e és megfigyelhető –e a rendszer! A C o irányíthatósági–, és az Ob megfigyelhetőségi mátrixok alapján döntsük el, hogy irányítható–e

illetve

megfigyelhető –e a rendszer! d) Kimeneti irányítható–e a rendszer? Megoldás

A rendszer paraméter mátrixai: ⎡ −1

1 ⎤ ⎥ ⎣0.2 − 0.4⎦

A = ⎢

⎡1

0 0⎤ ⎥ ⎣0 0.2 0.2⎦

B = ⎢

⎡1 0⎤ ⎥ ⎣0 1⎦

C = ⎢

⎡0 0 0 ⎤ ⎥ ⎣0 0 0 ⎦

D = ⎢

Az A állapotmátrix sajátértékei: p1=–1.2385; p2=–0.1615. Az állapotegyenlethez rendelhető alaptagokat tartalmazó hatásvázlat:

8

A szabályozó zérusaival a folyamat pólusainak szándékoltan megvalósítani kívánt „kiejtése” egy elvi megközelítést jelent, mivel a paraméterek munkapont függő volta miatt ez egzakt módon nem lehetséges. 2008. március 10.

27

SzB


u1


x&1

1

∫

x1

1

1

-1 1 u2

0.2 0.2 -0.4

u3

x& 2

0.2 B

∫

x2

A

1

2

C

A transzformálatlan rendszer hatásvázlata 19. ábra A hatásvázlatból leolvasható, hogy az u irányítójelekkel minden állapotváltozó elérhető, így a folyamat állapotirányítható. Az y1=x1 és y2=x2 összefüggésekből az is látszik, hogy a kimeneti irányíthatóság és az állapotváltozóknak a megfigyelhetőségi feltételei is fennállnak. Mindezekből következően létezik az a kanonikus -1 xT =Tx transzformáció, mely az x állapotváltozókat szétcsatolja és az AT =TAT mátrixot diagonális alakban létrehozza. A soron következő számítások mindezen tulajdonságokat számszer űsítve illusztrálják. %Adatbevitel a=[-1,1;.2,-.4]; b=[1,0,0;0,.2,.2]; c=[1,0;0,1]; d=[0,0,0;0,0,0];

Az a) feladat megoldása: [aT,bT,cT,dT,T]= canon (a,b,c,d,'modal'); disp (T) -0.8004 0.9545 -0.2890 -1.2117 printsys(aT,bT,cT,dT) -1.23852 a= 0 0 -0.16148 b=

-0.80038 -0.28901

0.19090 -0.24234

c=

-0.97271 0.23201

-0.76626 -0.64253

d=

0 0

0 0

0.19090 -0.24234

0 0

A kapott eredményekből a T transzformációval előállított állapotegyenlet: x&T 1 = −1.2385 xT 1 − 0.8004u1 + 0.1909u2 + 0.1909u3 x&T 2 = −0.1615 xT 2 − 0.2890u1 − 0.2423u2 − 0.2423u3 y1 = −0.9727 xT 1 − 0.7663 xT 2 y2 =

0.2320 xT 1 − 0.6425 xT 2

Az ennek megfelelő hatásvázlat:

2008. március 10.

28

SzB


u1


x& T 1

-0.8004

u2

0.1909

u3

∫

xT1

-0.9727

y1

-1.2385 -0.7663

0.1909 -0.2890

0.2320

-0.2423 x& T 2

-0.2423

∫ -0.1615

BT

xT2

-0.6425 T

y2

C T

A transzformált rendszer hatásvázlata 20. ábra Ebből a hatásvázlatból szemléletesen látszik, hogy az integrátorok szétcsatolásával a bels ő struktúra jelentősen egyszer űsödött, és közvetlenül is kiolvasható, hogy xT1 és xT2 irányítható és megfigyelhető, illetve a folyamat kimenetileg irányítható. Figyeljük meg, hogy az integráló tagok visszacsatolásában lévő átviteli tényezők a rendszer átviteli mátrixának a sajátértékei. A b) feladat megoldása: disp (bT) -0.8004 -0.2890 disp (cT) -0.9727 0.2320

0.1909 -0.2423

0.1909 -0.2423

-0.7663 -0.6425

Miután BT –nek nincs csupa 0 elemet tartalmazó sora, és C T –nek nincs csupa 0 elemet tartalmazó oszlopa, ezért xT irányítható és megfigyelhető. A c) feladat megoldása: co=ctrb (a,b); % A nem iranyithato allapotok szama: unco= length (a)- rank(co) unco = 0 % Tehat a rendszer allapotiranyith ato. ob=obsv (a,c) % A nem megfigyelheto allapotok szama: unob= length (a)- rank(ob) unob = 0 %

Tehat a rendszer megfigyelheto.

A d) feladat megoldása: coy=[c*b,c*a*b] r=rank(coy)

r = 2

Coy rangja megegyezik a kimenetek számával, ezért a

folyamat kimenetileg irányítható

2008. március 10.

29

SzB



2. Példa Adott az alábbi soros kompenzációs szabályozási rendszer:

ua

5

-

( 1 + 10 s )( 1 + 3 s )

1

u

y

( 1 + 10 s )( 1 + 3 s )( 1 + 0 .2 s )

10 s( 1 + s )

a) Adjuk meg a nyitott kör W 0(jω ) frekvenciafüggvényének ϕ t ( ωc ) fázistöbbletét, az ω c vágási körfrekvenciát és a zárt rendszer ua(t)=1(t) hatására létrejövő u(t) és y(t) időfüggvényeit. b) Az irányíthatósági és megfigyelhetőségi kritériumok alapján döntsük el mind a nyitott, mind pedig a zárt kör megfigyelhetőségét, valamint állapot- és kimeneti irányíthatóságát. Megoldás

A hatásvázlat alapján leolvasható, hogy a szabályozó és a szakasz önmagában irányítható és megfigyelhet ő, mivel átviteli függvényeikben pólus∼zérus egyezés nincs. Nem így a nyitott kör, miután a szakasz két pólusát ( p1=–1/10 és p2=–1/3) a szabályozó két zérusa ( z 1=–1/10 és z 2=–1/3) „kiejti”. Ebből adódóan a nyitott és a zárt kör állapotváltozóinak egy része vagy nem irányítható vagy nem megfigyelhető. Legyen: W c ( s ) = 5 W p ( s) =

(1 + 10 s)(1 + 3 s) 150 s 2 + 65 s + 5 Gc ( s) = = 10 s(1 + s) H c( s ) 10 s 2 + 10 s

G p ( s ) 1 1 = 3 = 2 (1 + 10 s)(1 + 3 s)(1 + 0.2 s) 6 s + 32.6 s + 13.2 s + 1 H p ( s)

W 0 ( s) = W cW p = W ya ( s) = W ua ( s ) =

W 0 ( s)

Gc ( s)G p ( s) H c ( s) H p ( s)

=

=

G0 ( s )

G0 ( s) H 0 ( s)

=

G ya ( s )

1 + W 0 ( s) H 0 ( s) + G0 ( s) H ya ( s) W c ( s )

=

Gc ( s )

H o ( s )

=

Gua ( s )

1 + W 0 ( s) H c ( s) H 0 ( s) + G0 ( s) H ua ( s)

A megoldást támogató MATLAB program: % Szabályozási kör irányithatóságá nak és % megfigyelhet őségének vizsgálata(2. példa) % % Adatbevitel Gc=5* conv([10 1],[3 1]);Hc= conv([10 0],[1 1]); Gp=1;Hp= conv([10 1], conv([3 1],[.2 1])); pause; %===================================================================== % Az a.) feladat megoldasa [Go,Ho]= series (Gc,Hc,Gp,Hp); [ao,fio,w]=bode(Go,Ho);[at,ft,wt,wc]= margin(ao,fio,w); disp([ft wc]); pause; [Gya,Hya]= cloop (Go,Ho); step(Gya,Hya); title ('y(t)'); grid;pause ; [Gua,Hua]= feedback (Gc,Hc,Gp,Hp); step(Gua,Hua); title ('u(t)'); grid ; pause; %===================================================================== % A b.) feladat megoldása % A nyitott kör: [ao,bo,co do]= tf2ss(Go,Ho); coo= ctrb(ao,bo);uncoo= length (ao)-rank (coo); % A nem iranyitható állapotvaltozók száma: disp(uncoo); pause; obo= obsv(ao,co);unobo= length (ao)-rank (obo); % A nem megfigyelhet ő állapotvaltozók száma: disp(unobo); pause; coyo=[co*bo co*ao*bo co*ao^2*bo co*ao^3*bo co*ao^4*bo]; disp(rank(coyo)); pause; % coyo rangja megegyezik a kimenetek számával,a nyitott kör iranyitható % A zárt kör: [a,b,c,d]= cloop (ao,bo,co,do); pause ; co=ctrb (a,b); disp((length (a)- rank(co)));

2008. március 10.

30

SzB



pause ; ob=obsv (a,c); disp((length (a)- rank(ob))); coy=[c*b c*a*b c*a^2*b c*a^3*b c*a^4*b]; disp (rank(coy));pause; % Az iranyithatóság, a megfigyelhet őség és a kimeneti irányithatóság % szempontjábol a nyitott és a zárt kör azonos tulajdonsagú. %=====================================================================

A program futásának eredményeiből kaphatjuk: a.) ϕ t ( ωc )=60.3307 ω c=0.4526 b.) A nyitott és a zárt kör irányítható, de nem megfigyelhető, kimenetileg irányítható.

2008. március 10.

31

SzB

BME Szabalyozas Allapottranszformalas Iranyithatosag

Recommend Documents