Định luật Shannon (Shannon's Law). Vào năm 1948 nhà toán học Shannon, người được xem là cha đẻ của kỷ nguyên thông tin, đã trình bày công thức về thông lượng kênh (channel capacity), được gọi là Định luật Shannon. Đây là một định luật cơ bản mà mọi kỹ sư viễn thông đều phải biết. Định luật Shannon định nghĩa thông lượng kênh (ký hiệu C) như tốc độ bit ( R ) lớn nhất mà chúng ta có thể thông tin qua kênh đó mà thông tin không bị méo. Thông lượng kênh được xác định: C = W log2 (1 + S/N) (1) với W là băng thông của kênh thông tin, có đơn vị đo là [Hz], S là công suất của tín hiệu được truyền đi, có đơn vị [W], N là công suất của nhiễu, cũng có đơn vị đo [W]. C và R có thứ nguyên [bit/giây] hay [b/s]. Để hiểu một cách trực giác công thức trên ta giả sử S » N, và lượng tử hóa S bằng n bit, có nghĩa là chia S thành 2n mức. Đồng thời giả sử N có bậc của biên độ một mức lượng tử của S, có nghĩa là N=1, do vậy S/N = 2n. Khi đó ta có giá trị gần đúng: C = n W (2) Điều này có nghĩa rằng thông lượng bằng số bit trong một symbol nhân với băng thông kênh. Khi nhiễu N lớn hơn, ta phải tự hạn chế có nghĩa là lượng tử hóa thô hơn sao cho một mức lượng tử hóa tín hiệu bằng với mức nhiễu, có nghĩa là giảm n, hay giảm số bit tạo thành một symbol. Định luật Shannon nói cho ta biết rằng tốc độ bit lớn nhất mà kênh có thể đạt được, hay điều tốt nhất ta có thể làm, là R=C (3). Tuy nhiên các hệ thống được thực hiện trong thực tế luôn có R Khi thay (3) vào (1) và biến đổi ta có thể viết lại công thức (1) như sau: (W/R) log2 [1+ (Eb/N0) (R/W)] = 1 (4) với Eb là năng lượng của 1 bit tín hiệu, có đơn vị [joule/bit] hay [J/b], còn N0 là công suất nhiễu trên một đơn vị băng thông, có đơn vị [W/Hz]. Giải thích biến đổi như sau: Eb × R có thứ nguyên [J/b] ×[b/s] = [J/s] = Watt và biểu diễn công suất tín hiệu, ký hiệu bởi S như ở trên; N0×W là công suất nhiễu chứa trong băng thông W, ký hiệu N. Do vậy (Eb/N0) (R/W) trong (4) chính là S/N trong (1). Có thể đo chỉ tiêu kỹ thuật của kênh thông tin như tốc độ bit có thể đạt được trên một đơn vị băng thông (R/W) theo tỷ số giữa năng lượng trong 1 bit và công suất nhiễu theo tần số (Eb/N0). Khi chuẩn hóa (4) bằng việc định nghĩa hiệu suất băng thông y = (R/W) [b/s/Hz] và ký hiệu x = Eb/N0 ta có: (1/y) log2 (1 + xy) = 1 (5) hoặc (1 + xy)1/y = 2 (6)
Đối với y>0, khi lấy giới hạn toán học: (1+ xy)1/y → ex, ở đây e = 2.718, do vậy x = ln(2) = 0.693, hoặc -1.6 dB. Điều này có nghĩa rằng khi ta có băng thông vô hạn, công suất tín hiệu trong một bit có thể chỉ bằng 69% công suất nhiễu (hoặc thấp hơn nhiễu 1.6 dB) trong một đơn vị băng thông mà thông tin truyền qua kênh vẫn không bị méo. Hình 1 là đồ thị mô tả công thức (6). Ngoài ra có thể miêu tả quan hệ R/W theo (S/N), có nghĩa là y theo z=xy trong công thức (5) bằng biến đổi sau: log2 (1 + z) = y (7)
Hình 2 mô tả quan hệ trong công thức (7). Các đường biểu diễn giới hạn toán học của các công thức (6) và (7) khi cho y → 0 (có nghĩa W → ∞ ) được gọi là giới hạn Shannon, là hiệu suất băng thông lý tưởng của kênh thông tin.Khi biết giới hạn Shannon, các thực thể nghiên cứu (tổ chức, cá nhân) hoặc các nhà công nghiệp đều cố gắng tìm kiếm phương pháp mã hóa tốt hơn sao càng gần giới hạn này càng tốt. Tất nhiên các đường mô tả hệ thống thực tế đều nằm phía dưới phía bên phải của đường giới hạn Shannon.
Tóm lại, định luật Shannon cho ta biết tốc độ bit lớn nhất mà kênh thông tin, với băng thông xác định, có thể cung cấp, sao cho thông tin truyền qua nó không bị méo, ứng với các tỷ số tín hiệu/nhiễu khác nhau. Tỷ số tốc độ bit/băng thông được gọi là hiệu suất băng thông, và đồ thị mô tả mối quan hệ của nó theo các tỷ số S/N khác nhau ứng với trường hợp lý tưởng (W → ∞) được gọi là giới hạn Shannon. 1.2. Bộ lọc cosin tăng (Raised-cosine filter). Kiến thức kỹ thuật thứ hai mà chúng ta cần hiểu là khái niệm Bộ lọc cosin tăng như trình bày dưới đây. Trong các hệ thống truyền dẫn, tín hiệu dải nền cơ bản (baseband) được điều chế lên sóng mang để truyền đi. Việc lọc tín hiệu xảy ra ở một số giai đoạn trong quá trình truyền dẫn. Bản thân tín hiệu baseband bị hạn chế băng thông bởi việc lọc để ngăn việc tạo ra các tín hiệu dải bên (sideband) vượt quá trong quá trình điều chế. Tín hiệu đã điều chế được lọc băng thông tiếp theo trong quá trình khuếch đại của máy phát. Ở nơi mà các tuyến truyền (hữu tuyến, vô tuyến) tạo thành kênh truyền thì đáp tuyến tần số của kênh truyền cũng phải được tính tới. Ở phía thu, việc lọc băng thông tín hiệu tới là cần thiết để loại bỏ nhiễu (noise) được đưa vào ở giai
đoạn này. Như vậy tín hiệu đi qua một số giai đoạn lọc và ảnh hưởng của chúng tới dạng sóng số phải được tính tới. Trên toàn bộ tuyến truyền dẫn từ máy phát tới máy thu phổ của xung đầu ra ở máy thu V(f) được xác định bởi phổ của xung đầu vào Vi(f), đáp tuyến bộ lọc của máy phát HT(f), đáp tuyến tần số của kênh HCH(f), và đáp tuyến bộ lọc máy thu HR(f). Hình 3 minh họa điều này, và ta có phương trình: V(f) = Vi(f) HT(f) HCH(f) HR(f) (8)
Các thành phần điện cảm và điện dung là các thành phần vốn có của quá trình lọc. Chúng không tiêu hao năng lượng tín hiệu, nhưng năng lượng được tuần hòan theo chu kỳ giữa điện trường, từ trường và tín hiệu. Thời gian cần thiết cho quá trình trao đổi năng lượng này làm cho một phần của tín hiệu bị trễ, do vậy các xung hình vuông đi vào ở phía máy phát có thể có dạng "hình chuông" và dao động khi nó đi ra ở phía máy thu. Hình 4.a minh họa điều đã nêu.Vì thông tin được mã hóa số dưới dạng sóng nên méo xuất hiện trong dạng xung là không quan trọng cho tới khi máy thu còn phân biệt được các xung nhị phân 1 với các xung nhị phân 0. Việc này đòi hỏi dạng sóng phải được lấy mẫu ở các khoảng cách đúng để xác định đúng cực tính của nó. Với dạng sóng liên tục, các đuôi tạo thành từ hình chuông từ tất cả các xung trước đó có thể kết hợp để can nhiễu với xung riêng cần lấy mẫu. Hiện tượng đó được gọi là can nhiễu giữa các symbol (Intersymbol Interference ISI), và nó có thể gây lỗi trong xác định cực tính của tín hiệu.Không thể loại bỏ các hình chuông nhưng có thể tạo dạng các xung sao cho việc lấy mẫu xung đã cho xẩy ra khi các đuôi ở các điểm cắt chéo bằng không như minh họa ở hình 4.b. Đó cũng là nội dung của các định luật Nyquist về loại bỏ ảnh hưởng của can nhiễu giữa các symbol. Trong thực tế không thể tạo dạng xung hoàn thiện, do vậy sẽ có ISI, nhưng nó có thể được giảm đến mức nhỏ có thể bỏ qua.Việc tạo dạng xung được thực hiện bằng cách kiểm soát phổ của xung thu được qua điều chỉnh các thành phần có liên quan như trình bày trong công thức (8). Một mô hình lý thuyết của phổ thích ứng với việc đó là đáp tuyến (hoặc bộ lọc) cosin tăng như trình bày tiếp theo dưới đây.Bộ lọc cosin tăng là một bộ lọc điện tử đặc thù, thường được sử dụng để tạo dạng xung trong điều chế số do khả năng tối thiểu hóa ISI của nó. Tên của bộ lọc bắt nguồn từ một thực tế là phần khác không của phổ tần số trong dạng đơn giản nhất của nó (β=1) là hàm cosin, tăng lên ở phía trên của trục ngang f.
Mô tả toán học: [JUSTIFY]Bộ lọc cosin tăng là một thực hiện của bộ lọc Nyquist thông thấp, có tính chất đối xứng theo trục đứng. Phổ của nó biểu hiện đối xứng lẻ xung quanh giá trị (1/2T), với T là chu kỳ symbol của hệ thống thông tin. Trong miền tần số bộ lọc được mô tả bởi công thức (9), là hàm hình chuông (hình 5). Nó được đặc trưng bởi hai giá trị: hệ số roll-off β, và chu kỳ lặp của symbol T (T=1/Rs với Rs là tần số symbol).
[/JUSTIFY] Đáp ứng xung (đáp tuyến thời gian) của bộ lọc được cho bởi công thức (10), là hàm sin chuẩn hóa (hình 6).
Hệ số roll-off:Hệ số roll-off, β, là phép đo băng thông vượt quá của bộ lọc, có nghĩa là băng thông bị chiếm ngoài băng thông Nyquist (1/2T). Nếu ký hiệu băng thông Nyquist là Δf thì:
với Rs = 1/T là tần số symbol. Các đồ thị chỉ ra sự thay đổi của đáp tuyến biên độ khi β thay đổi giữa 0 và 1, và sự thay đổi tương ứng với đáp tuyến xung. Ta thấy mức gợn sóng miền thời gian tăng khi β giảm. Từ các đồ thị ta cũng thấy có thể giảm băng thông vượt quá của bộ lọc khi giảm β (hình 5) nhưng ở giá đắt của việc kéo dài đáp tuyến xung, có nghĩa là kéo dài khoảng thời gian gây can nhiễu giữa các symbol kề nhau (hình 6).β = 0Khi β tiến tới không miền roll-off trở nên vô cùng hẹp, vì vậy khi β→0 lim H(f) = rect (fT), với rect(.) là hàm chữ nhật, đáp ứng xung có dạng sinc(t/T). Điều này có nghĩa là nó hội tụ tới bộ lọc lý tưởng có các vách dựng đứng.β = 1 [JUSTIFY]Khi β=1 phần khác không của phổ là cosin tăng thuần túy, dẫn đến công thức đơn giản (12). [CENTER]
[/CENTER]Băng thông:Băng thông của bộ lọc cosin tăng được định nghĩa như phần khác không của phổ của nó, có nghĩa là: BW = (1/2) Rs (1 + β) (13)
Ứng dụng:Hình 7 biểu diễn dãy các xung cosin tăng liên tiếp với ISI = 0. Khi được sử dụng để lọc symbol stream, bộ lọc Nyquist có tính chất loại bỏ ISI vì đáp tuyến xung của nó bằng không ở tất cả các giá trị nT (với n là số nguyên), trừ giá trị n=0. Do vậy nếu dạng sóng phát được lấy mẫu chính xác ở máy thu thì các giá trị symbol gốc được khôi phục hoàn toàn. Tuy nhiên hầu hết các hệ thống thông tin thực tế phải sử dụng bộ lọc phối hợp để loại bỏ ảnh hưởng của nhiễu trắng. Có nghĩa là phải tuân theo điều kiện: [/JUSTIFY] Để thỏa mãn điều kiện (14) trong khi vẫn đảm bảo ISI bằng không, bộ lọc căn bậc hai cosin tăng thường được sử dụng ở hai phía phát và thu của hệ thống thông tin. Khi đó đáp tuyến toàn bộ của hệ thống sẽ là cosin tăng.
Tóm lại, bộ lọc cosin tăng là một dạng bộ lọc điện tử đặc thù, được thiết kế để khắc phục can nhiễu giữa các symbol (ISI), giúp cho hệ thống số tránh nhầm lẫn khi xác định symbol. Thông số quan trọng nhất của bộ lọc là hệ số roll-off , β, và chu kỳ symbol, T. Khi β thay đổi thì băng thông vượt quá của bộ lọc cũng thay đổi… Về ý nghĩa vật lý có thể hiểu như sau: khi miền rol-off càng hẹp (β → 0) thì băng thông vượt quá giảm, băng thông thực tế của toàn tuyến truyền giảm, nhiều thành phần phổ của xung vuông đi qua tuyến sẽ bị cắt dẫn đến dạng xung bị méo tương ứng với dao động nhiều chu kỳ trong đáp tuyến xung, dễ gây can nhiễu giữa các xung liền kề. Khi miền roll-off tăng thì quá trình xảy ra ngược lại, đáp tuyến xung gọn hơn, khả năng ISI ít hơn nhưng băng thông bị chiếm là lớn hơn, hiệu suất sử dụng băng thông về mặt tổng thể sẽ kém hơn. Tùy theo phương thức truyền dẫn (vệ tinh, cáp, mặt đất…) cũng như sự trưởng thành của công nghệ mà β sẽ có các giá trị khác nhau, khi đó hiệu suất sử dụng băng thông cũng khác nhau.
