Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|173
BAB IX BOLA, SILINDER DAN KER!"
#$1$ "e%&at Kedudu'an di dala% Ruan( "e%&at "e%&at 'edudu'an 'edudu'an di)in('at "K adala* adala* *i%&unan titi'+titi' an( %e%nu*i %e%nu*i
, )atu titi' beru&a 'ur-a )arat+)arat an( ditentu'an$ "K %un('in *a%&a .(ari) len('un( /luru)0, beru&a &er%u'aan .)urace/bidan(0 atau&un )eluru* ruan( itu )endiri$ Dala% %en(*ada&i %a)ala* "K 'ita %e%&unai cara+cara %enele)ai'an )eba(aiberi'ut )eba(aiberi'ut : 2en(a%bil titi' 4 , 4 , 5
A$
)e%baran(&ada "K, lalu %encari *ubun(an+
4
*ubun(an an( di&erole*, -ariabel , , 5 dieli%ina)i )e*in((a dida&at *ubun(an+*ubun(an *ubun(an+*ubun(an antara 4 , 4 , 5 4 )a6a$ Den(an %en(*a&u) inde' nol dari *ubun(an ter)ebut .di'ata'an: %e6alan'an %e6alan'an titi' . 4 , 4 , 54 00: di&erole* "K an( dinata'an$ !onto* # : "entu'an "entu'an "K titi'+titi' an( ber6ara' dari bidan( XO8 XO8 )erta 6u%la* 'uadrat 'uadrat 6ara'na 'e .1,4,40 dan .+1,4,40 .+1,4,40 adala* teta& 9 3 ;enele)aian :
4 , 4 , 5 4 "K$ A%bil ; 'e "K$ Karena Karena ber6ara' dari bidan( XO8 XO8 .bidan( .bidan( 5 9 40 %a'a : 5 4 atau 5 4 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ .10 'uadrat 6ara'na ; 'e .1,4,40 adala* . 4 10 << < 4 5 4
dan 'uadrat 6ara' ; 'e .+1,4,40 adala* . 4 10 << < 4 5 4 $ Se*in((a 6u%la* 'uadrat 6ara'na 9 . 4 10 << <4 5 4 . 4 < 10 < < 4 5 4, <
<
<
di'eta*ui 6u%la* 'uadrat 6ara'na 9 3$ Atau 4 4 5 4 17 $$$$$$$$$ .<0 Dari 'edua *ubun(an .10 dan .<0 beba) dari -ariabel , , 5 )e*in(a den(an 5
%en(*a&u) inde') nol, di&erole* "K : <<< 5 17 B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|173
BAB IX BOLA, SILINDER DAN KER!"
#$1$ "e%&at Kedudu'an di dala% Ruan( "e%&at "e%&at 'edudu'an 'edudu'an di)in('at "K adala* adala* *i%&unan titi'+titi' an( %e%nu*i %e%nu*i
, )atu titi' beru&a 'ur-a )arat+)arat an( ditentu'an$ "K %un('in *a%&a .(ari) len('un( /luru)0, beru&a &er%u'aan .)urace/bidan(0 atau&un )eluru* ruan( itu )endiri$ Dala% %en(*ada&i %a)ala* "K 'ita %e%&unai cara+cara %enele)ai'an )eba(aiberi'ut )eba(aiberi'ut : 2en(a%bil titi' 4 , 4 , 5
A$
)e%baran(&ada "K, lalu %encari *ubun(an+
4
*ubun(an an( di&erole*, -ariabel , , 5 dieli%ina)i )e*in((a dida&at *ubun(an+*ubun(an *ubun(an+*ubun(an antara 4 , 4 , 5 4 )a6a$ Den(an %en(*a&u) inde' nol dari *ubun(an ter)ebut .di'ata'an: %e6alan'an %e6alan'an titi' . 4 , 4 , 54 00: di&erole* "K an( dinata'an$ !onto* # : "entu'an "entu'an "K titi'+titi' an( ber6ara' dari bidan( XO8 XO8 )erta 6u%la* 'uadrat 'uadrat 6ara'na 'e .1,4,40 dan .+1,4,40 .+1,4,40 adala* teta& 9 3 ;enele)aian :
4 , 4 , 5 4 "K$ A%bil ; 'e "K$ Karena Karena ber6ara' dari bidan( XO8 XO8 .bidan( .bidan( 5 9 40 %a'a : 5 4 atau 5 4 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ .10 'uadrat 6ara'na ; 'e .1,4,40 adala* . 4 10 << < 4 5 4
dan 'uadrat 6ara' ; 'e .+1,4,40 adala* . 4 10 << < 4 5 4 $ Se*in((a 6u%la* 'uadrat 6ara'na 9 . 4 10 << <4 5 4 . 4 < 10 < < 4 5 4, <
<
<
di'eta*ui 6u%la* 'uadrat 6ara'na 9 3$ Atau 4 4 5 4 17 $$$$$$$$$ .<0 Dari 'edua *ubun(an .10 dan .<0 beba) dari -ariabel , , 5 )e*in(a den(an 5
%en(*a&u) inde') nol, di&erole* "K : <<< 5 17 B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
17 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
"K ter)ebut berbentu' )e&a)an( )e&a)an( lin('aran, lin('aran, Secara teori *i%&unan da&at 'ita
, , 5 5 < 1 5 < 17
tuli): "K9
B$
, , 5 < <
Adana / %unculna &ra%eter$ Den(an %en(eli%ina)i &ara%eter+ &ara%eter ter)ebut di&erole* "K an( dinata'an $ 'alau terda&at .n @ 10 *ubun(an n bua* &ara%eter %a'a "K %eru&a'an &er%u'aan &er%u'aan $ 'alau .n @ <0 *ubun(an den(an n bua* &ara%eter %a'a "K %eru&a'an 'ur-a !onto* 4 : "entu'an "entu'an "K titi' den(an -e'tor -e'tor &o)i)ina -e'otr a an( an( an( %e%&unai &er)a%aan a 9 ,,5C 9 1,t,t
!atatan: "iti' da&at di>a'ili ole* -e'tor &o)i)i &o)i)i titi' ter)ebut$ al ini %e%un('in 'ita %en((una'an %en((una'an -e'tor ;en(a%bilan titi' )e%baran &ada "K di)a%&in( ( 4 , 4 , 5 4 &ada
!$
&ara%eter an( ada / %uncul $ &elea&an &ara%eter dan %en6alan'an
4
, 4 , 5
ter)ebut %en(*a)il'an "K an( dinata'an
4
!onto* 1 : Sebua* (ari) luru) di(era''an )e6a6ar 9 4 dan )elalu %e%oton( 'ur-a+ 'ur-a: < 5 !1: dan !<: tentu'an "K+na 544
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|17
;enele)aian :: A%bil ; 4 , 4 , 5 4 &ada "K ter)ebut bila a,b,cC%eru&a'an ara* (ari) diata), di&erole* &er)a%aan 4 a, 4 b, 5 5 4 c $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ .10 )uatu &ara%eter, 'arena %e%oton( !1 den(an eli%ina)i .10 terda&at *ubun(an
. 4 a5 4 / c0$. 4 b5 4 / c0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ .<0 Dan %e%oton( !< di&erole* . 4 b4 / a0 < . 5 4 c 4 / a 0 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ .30 Karena .10 )e6a6ar den(an 9 4 berarti b 9 4$ 4 4 5 4 3< 5 4 Eli%ina)i a, b, c den(an b 9 4 dari .<0 dan .30 %en(*a)il'an dan %en6alan'an 4 , 4 , 5 4 di&erole* "K )uatu &er%u'aan den(an &er)a%aan <
< 3< 5 $
#$<$
;er)a%aan Bola ;er%u'aan bola %eru&a'an "K titi'+titi' u6un( -e'tor didala% ruan( an(
titi' a>alna tertentu dan &an6an( -e'tor ter)ebut 'on)tan$ "iti' a>al an( tertentu itu di)ebut titi' &u)at dan &an6an( an( 'on)tan itu di)ebut 6ari+6ari bola atau$ ;er%u'aan bola adala* "K titi'+titi' di dala% ruan( an( ber6ara' )a%a ter*ada& )ebua* titi' tertentu$ 2i)al'an, &u)at bola 2.a,b,c0, 6ari+6ari 9 r$ A%bil titi' ; 4 , 4 , 5
&ada bola%a'a 2; 9 F; G F2 9
4
4
a, 4 b, 5 4 c
&an6an( 2; di'eta*ui 9 r , berarti : 4 a 4 b 5 4 c r $ Den(an %en6alan'an ;$ Di&erole* &er)a%aan bola: <
4
<
<
<
4 b < 5 4 c < r< a <
Se*in((a bola an( &u)atna di .4,4,40, 6ari+6ari r adala* : < < 5 < r <$ !atatan: Secara u%u% &er)a%aan < < 5 < A B !5 D 4 2enata'an &er)a%aan bola$ Secara )i%boli) dituli): bola S 9 4$
1 < A, Dala% *al ini &u)at
B : "ur%udi
1<
A< B, 1 < ! dan 6ari+6ari1
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
1 B < 1 ! <
D
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
17 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
!onto* < : "entu'a 6ari+6ari .a0 < < 5 < 14 5 1 4 .b0 < < < < < 5 < < < 5 3 4 ;enele)aian : .a0
A 9 , B 9 +14, ! 9 +, D 9 1 ;u)at .+,,30, 6ari+6ari r 1 .0 <
1 .140 < 1 .0 <
1
97 Diuba* da*ulu %en6adi < < 5 < < 5 1 1<
.b0 ;u)at
1<
, 1 < ,1 , 6ari+6ari
1 .10 < 1 .10 < 1 < .<0 <
1 1<
4
Hadi bola ter)ebut %eru&a'an titi' 1 < , 1 < ,1 !atatan : ;ada &er)a%aan < < 5 < A B !5 D 4 terda&at ti(a 'e%un('inan ter*ada&1 A <
1
B < 1 ! < D , aitu
Bila r 4 : bola ter)ebut adala* bola )e6ati Bila r 9 4 : bola ber6ari+6ari nol .titi'0 Bila r 4 : bola %eru&a'an boal '*aal !onto* 3 : < < 5 < < < 5 <4 4 %eru&a'an bola '*aal 'arena 1
A < 1 B < 1 ! < D 1
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|177
!atatan: ;er)a%aan S 9 4 %en(andun( e%&at &ara%eter A,B,! dan D$ Karenana bola a'an tertentu bila di'eta*ui %elalui e%&at titi', an( tida' )ebidan($ Secara diter%inan &er)a%aan bola %elalui e%&at titi'$ 1 1 , 51 , < < , 5 < , 3 3 , 5 3 , , 5 adala*: < < 5<
1 < 3
<<<
1 1 51 <<<
< < 5
<
<<<
3 3 5
3
1 < 3
5 51 5< 53 5
1 1 14 1 1
<<<
5 Atau da&at 6u(a %en(*ilan('an A,B,! dan D dari )i)te% &er)a%aan linier den(an e%&at &er)a%aan !onto* : "entu'an &er)a%aan bola %elalui titi' ;.a,4,40$ F.4,b,40$ R.4,4,c0$ Dan O.4,4,40 ;enele)aian : Den(an deter%inan < < 5< a< 4 4 a
51
441
4 b< 4 4 b 4 1 4 atau 4 4 c< 4
4c1
444
4
441
a
44
< < 5 a< <
b c<
<
5 4 , 'olo% 1 di'uran(i c 'ali 'olo%
4b4 44
c
< < 5 < c5 a< a b< 4
B : "ur%udi
5
44
4b4 4
< < 5 < c5 a< a b<
4
4c 4 4
4b E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
17 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
'ola% 1 di'uran(i b 'ali 'olo% 3 < < 5 < c5 <
a b<
< < 5 < c5 b a 4 4 a
Atau: a < a < a5 < ac5 ab a < 4 $ Diba(i a 4 < < 5 < a b c5 4 , bola an( di%inta$ Den(an &er%i)alan: < < 5 < A B !5 D 4 2elalui titi' 4.4$4$40 : 4 < 4 < 4 < A4 B4 ! 4 D 4 D 4 2elalui titi' ;.a,4,40: a < 4 < 4 < Aa B4 ! 4 D 4 A a 2elalui titi' F.4,b,40: 4 < b < 4 < A4 Bb ! 4 D 4 B b 2elalui titi' R.4,4,c0: 4 < 4 < c < A4 B4 !c D 4 ! c Hadi bola ter)ebut < < 5 < a b c5 4
!atatan:Hela) di%en(erti bila bola %elalui titi' a>al .4,4,40 %a'a nilai D 9 4$
#$3$
Bola dan Bidan( Rata Bola S 9 4 ber6ari+6ari r, &u)at 2$ bidan( ; 9 4, den(an d 9 6ara' &u)at 2 'e bidan($ ubun(an bola dan bidan( rata antara lain )eba(ai beri'ut : 1$
%e%oton( bola$ Bila d J r : &er&oton(anna )ebua* lin('aran Bila d 9 r : &er&oton(an )ebua* titi' .bidan( %enin((un( bola0
<$
tida' %e%oton( bola bila d r
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|17#
S94
S94 2 r
d
r
d
94 94 S94 S94
2 2 r d
94 !onto* : Ba(ai%ana 'edudu'an bola S 9 < @ < @ 5< @ < @ @ 5 G 1 9 4 dan bidan( @ < @ <5 9 4 Bila &er&oton(an, tentu'an &u)at dan 6ari+6ari lin('aran &er&oton(annaM$ ;enele)aian : : 111 .0 .10 .10 1 ;u)at 2 .+1,+<,+<0
Hari+6ari bola :
d 9 6ara' 2 'e nidan( 9 4, aitu : d
.10.10 .<0.<0 .<0.<0 3 < < < 1 < <
B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
14 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
"ernata d J r, 6adi bidan( %e%oton( bola %enurut )ebua* lin('aran$ Hari+6ari lin('ara N; 9 < # .;*ita(ora)0 ;u)at lin('aran N adala* titi' te%bu) (ari) ( an( %elalui 2 dan te(a' luru) bidan( 9 4$ Hadi ara* (ari) 9 nor%al 9 1,<,
2
F N Bidan( )in((un( Karena 2N bidan( )in((un( .F0 2N NF %a'a 2N NF 4
2N 2F 2N 4
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|11
2N 2F 2N 2N 4 +r< 9 4 Hela) ba*>a 2N %eru&a'an nor%al bidan( )in((un( , 6adi &er)a%aan %uda* di*itun( )eba(ai beri'ut : 2N 9 1 @ 1/< A, 1 @ 1/< B, 51 @ 1/< !C, )e*in((a &er)a%aan < : .1 @ 1/
< %en6adi 1, < %en6adi 1, 5< %en6adi 515$
+
%en6adi 1/< . @ 10, %en6adi 1/< . @ 10, 5 %en6adi 1/< .5 @ 510
+
%en6adi 1/< .1 @ 10
!onto* : "entu'an &er)a%aan bidan( )in((un( &ada bola < @ < @ 5< @ < @ @ 5 9 4 di titi' .4,4,40 M
;enele)aian : : "iti' .4,4,40 &ada bola, 6adi da&at di&a'ai 'aida* %e%ba(i adil 1 @ 1 @ 51 5 @ . @ 10 @ < . @ 10 @ < . 5 @ 510 9 4,, di%ana .1,1,510 9 .4,4,40 berarti @ < @ <5 9 4 adala* bidan( )in((un( an( ditana'an$
B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
1< | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
!atatan : ;er)a%aan Lin('aran di dala% Ruan( ntu' %enata'an &er)a%aan lin('aran di dala% ruan($ Kita da&at %en(a%bil )ebua* bidan( rata dan )ebua* bola an( )alin( ber&oton(an %enurut lin('aran ter)ebut$ Hadi, &er)a%aan lin('aran itu dinata'an den(an dua &er)a%aan : 4 Lin('aran S 4 !onto* 7 : "entu'an &er)a%aan lin('aran L an( %elalui ti(a titi' ;.a,4,40, F.4,b,40 dan R.4,4,c0M$
;enele)aian : : Dibuat bidan( an( %elalui ;, F, dan R$ 2i)al'an A @ B @ !5 @ D 9 4 2elalui ;
Aa @ D 9 4
A 9 +D/a
2elalui F
Bb @ D 9 4
B 9 +D/b
2elalui R
!c @ D 9 4
! 9 +D/c
Hadi bidan( +D/a + D/b G D5/c @ D 9 4, atau /a @ /b @ 5/c 9 1 Ke%udian dibuat bola an( %elalui ;, F, R dan )atu titi' ta%ba*an )ebaran( .a)al'an 'ee%&at titi' ter)ebut tida' )ebidan(0$ ;ada u%u%na, dia%bil titi' a>al .4,4,40, an( &ada conto* )oal ini %e%un('in'an$ ;er)a%aan bola an( di%a')ud adala* S < @ < @ 5< G a G b G c5 9 4 /a /b 5/c 1 Hadi lin('aran L : < < 5< a b c5 4 !atatan: Selain &er&oton(an bola dan bidan(, )uatu lin('aran 6u(a da&at dinata'an )eba(ai beri'ut : +
;er&oton(an dua bola
+
;er&oton(an )ilinder atau 'erucut lin('aran te(a' luru) den(an bidan( &aralelna . 9 bidan( an( te(a' luru) &oro)0$
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|13
#$$
Kua)a "iti' ;andan( bola S .,,50 9 4 dan titi' ? .1,1,510 )ebaran($ DideQni)i'an : 'ua)a
titi' ? ter*ada& bola adala* nilai ' 9 S .1,1,510$
!onto* : Kua)a titi' ; .1,<,30 ter*ada& bola S < @ < @ 5< G @ G <5 G 9 4 adala* : ' 9 S .1,<,30 1< @ << @ 3< G .10 @ .<0 G <.30 G 9 +14 .titi' ; di luar bola S0 !atatan : Suda* di&a*a%i ba*>a titi' ? .1,1,510 terleta' &ada S .,,50 9 4$ bila S .1,1,510 9 4 %a'a
"iti' ? di luar bola ' 4
"iti' ? &ada bola ' 9 4
"iti' ? di dala% bola ' J 4
Arti Il%u 'ur dan Kua)a "iti' ;andan( bola S < @ < @ 5< @ A @ B @ !5 @ D 9 4, dan ? .1,1,510$ "ari' (ari) )e%baran( %elalui ? den(an co)inu) ara* co) , co) , co)
1 co) $$.0 8aitu : 1 co) 5 5 co) 1
Kita tentu'an titi' &oton( den(an bola$ Sub)itu)i'an .0 'e &er)a%aan bola, di&erole*: . 1 co) 0 < . 1 co) 0 < . 51 co) 0 < A. 1 co) 0 < B. 1 co) 0 < ! . 51 co) 0 < D 4 ,atau .co) < co) < co) < 0 <. 1 1T< A0 co) . 1 1T< B0 co) . 51 1T< < ! 0
Kalau D 4 di&erole* dua *ar(a an( berbeda .ada dua titi' &oton(0 D 9 4 di&erole* dua *ar(a an( 'e%bar .titi' )in((un(0 D J 4 di&erole* dua *ar(a an( rill .(ari) tida' %e%oton( bola0 B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
1 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
2i)al'an di&erole* dua *ar(a berlainan 1 dan < %a'a titi' &oton( di&erola* .dari.00:
; co) , co) , 5 co) dan F co) , co) , 5 co) 1
1
1
<
1
1
1
<
1
1
1
<1
Hara' ?; 9 .1 1 co) 1 0 < . 1 1 co) 1 0 < . 51 1 co) 51 0 < 1 <
<
<
2a'a &er'alian ?;$?F 9 1 $ < . 1 1 51 A1 B1 !51 D .dari &er)a%aan .0 den(an )i&at &er'alian a'ar0$ 8an( beba) dari co) $ co) $ co) $ Hadi ?;$F; 9 S . 1 , 1 , 51 0 9 *ar(a %utla' 'ua)a titi' ? ter*ada& bola S.,,50 9 4 Atau : Bila dari titi' tertentu ? diatri )e%baran( (ari) an( %e%oton( bola di ; dan F %a'a *ar(a ?;$ ?F adala* 'on)tan$ Kalau ? diluar bola %a' *ar(ana 9 'ua)a ?, dan 'alau ? di dala% bola %a'a *ar(a ne(atina 9 'ua)a ?$
!onto* # : 3 5 "entu'an 'oordinat titi' &oton( (ari) ( : dan 3
Bola ) : < < 5 < 14 14 <3 4M ;enele)aian : : !o)inu) ara* dari ( :
4
,
3 4
,
4
3
4 3
Dan &er)a%aan ? da&at dituli) : .0 4
Bila di)ub)itu)i'an 'e&er)a%aan bola di&erole* : 5 14 < 4 , < 4 < 144 4 1 4 4 Hadi titi'+titi' &oton( .dari .00 : .,<, +<4,#+1,+1,30 !atatan $da&at 6u(a di'er6a'an tan&a di*itun( co)inu) ara*, cu'u& den(an ara* ,3,+C )a6a$
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|1
#$$
Bidan( Kutub
DeQni)i Bidan( Kutub ;andan( bola S 9 4 dan titi' O .1,1,510, tari' (ari) ( %elalui ? an( %e%oton( bola di ; dan F$ titi' R .4,4,540 &ada (ari) ( )ede%i'ian )e*in((a ;, F )e'a>an *ar%oni) den(an ?, R$ %a'a te%&at 'edudu'an dari titi' R a&abila ( ber(era' %eru&a'an )uatu bidan( rata an( di)ebut bidan( 'utub .bidan( &olar0 bola S 9 4 den(an 'utub .titi' Kutub0 titi' ?$
F 3 1 R
<
;
?
!atatan : ;, F )e'a>an *ar%oni) den(an ?, R artina bila ?; : F; 9 : 1, %a'a ?F : RF 9 + : 1 conto* .dari (a%bar0 %i)alna : FR 9 3, R; 9 1, ;? 9 < berarti ?; : R; 9 < : 1 dan ?F : RF 9 +< : 1 Hadi, ;, F )e'a>an *ar%oni) den(an ?, R
;er)a%aan Bidan( Kutub ;er)a%aan bidan( 'utub$ bola S 9 < @ < @ 5< G r< 9 4 den(an 'utub ? .1,1,510$ A%bil R .4,4,540$ ;ada (ari) )e%baran( %elalui ($ titi' an( %e%ba(i 1 4 1 5 4 5 1 ?R ata) &erbandin(an : 1 ber'oordinat : 4,, 1 1 1
A(ar titi' di ata) terleta' &ada bola *aru)la* : <
<
<
4 1 4 1 5 4 5 1 r< 4 1 1 1
B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
1 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
Atau
<
<
<
< 4 4 5 4 r < < r < 4
$.10
1 4 1 4 5 1 5 4 r < !
Den(an a'ar+a'ar &er)a%aan 'uadrat
<
1
<
<
1 1 5
1
dan < %enun6u''an
&erbandin(an di%ana titi' ; dan F %e%ba(i ?R$ A(ar &e%ba(ian ter)ebut )e'a>an *ar%oni) berarti 1 9 + < atau 1 @ < 9 4 )e*in((a dari &er)a%aan .10, den(an )iat a'ar : 14 @ 14 @ 5154 G r< 9 4, dan den(an %en6alan'an titi' .4,4,540 di&erole* &er)a%aan bidan( 'utub : 1 @ 1 @ 515 9 r<$
!atatan: ;er)a%aan bidan( 'utub %en(i'uti &ola 'aida* %e%ba(i adil, di%ana .1,1,510 %enun6u''an titi' 'utubna$ Kalau titi' 'utub diluar bola, %a'a bidan( 'utub %eru&a'an bidan( an( %e%uat lin('aran an( ber&oton(an bola den(an 'erucut )elubun( bola an( &unca'na di titi' ter)ebut$
!onto* 4 : "entu'an bidan( 'utub bola < @ < @ 5< G @ < @ 5 G 1 9 4
1$
den(an titi' 'utub .,,+0 M ;enele)aian : Den(an 'aida* %e%ba(i adil, bidan( 'utub : 1 @ 1 @ 515 G 3 . @ 10 @ . @ 10 @ < .5 @ 510 G 1 9 4, di%ana .1,1,510 9 .,,+0, berarti di&erole* : 3 @ G 5 + 9 4
<$
"entu'an titi' 'utub dari bidan( 3 G @ 5 9 < ter*ada& bola < @ < @ 5< 9 M ;enele)aian : : Bidan( 'utub bola < @ < @ 5< 9 adala* 1 @ 1 @ 515 9 $ 'ita identi''an den(an 3 G @ 5 9 < atau G @ 145 9 $ 6adi, titi'+titi' 'utub ., +, 140
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|17
#$$
Kedudu'an Dua Bola Bola S1 9 4, &u)at 21, 6ari+6ari r1 S< 9 4, &u)at 2<, 6ari+6ari r< d 9 6ara' &u)at 212< .)entral0 1$
"ida' ber&oton(an, bila d r1 @ r<
<$
Ber)in((un(an luar, bila d 9 r1 @ r<
3$
Ber&oton(an, bila |r1 G r<| J d J r1 @ r<
$
Ber)in((un(an dala%, bila d 9 |r 1 G r<|
$
Bola an( )atu di dala% bola an( lain, bila d J |r1 G r<|
<0
10 d
r<
r1
r1
r<
S1 9 4
S1 9 4
S< 9 4
30 r1
S< 9 4
0
r<
S< 9 4 S1 9 4
S< 9 4
0 S1 9 4
S< 9 4
B : "ur%udi
S1 9 4 4
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
1 | ?eo%etri Analiti' Datar dan Ruan(
!onto* 1: Ba(ai%ana 'edudu'an bola+bola ini : a$
S1 9 < @ < @ 5< 9 1 dan S< 9 < @ < @ 5< G < G < @ 5 9 4
b$
S1 9 < @ < @ 5< @ @ < @ <5 G 3 9 4 dan S< 9 < @ < @ 5< @ 1< @ G 9 4 S1 9 < @ < @ 5< @ @ < @ 5 9 4 dan S< 9 < @ < @ 5< G G < G
c$ 5 9 4
;enele)aian : : a$
S1 9 4, &u)at 21 .4,4,40, 6ari+6ari r1 9 S< 9 4, &u)at 2< .1,1, + 1/< 0, 6ari+6ari r< 9 3/< d 9 212< 9 3/< |r1 G r<| 9 /<, d J |r1 G r<|$ Hadi, bola S< 9 4 berada di dala% bola S1 9 4
b$
S1 9 4, &u)at 21 .+<,+1,+10, 6ari+6ari r1 9 3 S< 9 4, &u)at 2< .+,+3,40, 6ari+6ari r< 9 7 d9
<1 |r1 G r<| 9 $ r1 @ r< 9 14$
"ernata |r1 G r<| J d J r1 @ r<$ Hadi, 'edua bola ber&oton(an c$
S1 9 4, &u)at 21 .+<,+1,+<0, 6ari+6ari r1 9 3 S< 9 4, &u)at 2< .<,1,<0, 6ari+6ari r< 9 3 d 9 , |r1 @ r<| 9 $ "ernata d 9 $ Hadi, 'edua bola ber)in((un(an luar
!atatan: +
Sudut &er&oton(an dua bola adala* )udut antara bidan(+bidan( )in((un( &ada )ala* )atu titi' &er)e'utuan dua bola$ Atau )udut antara 6ari+6ari an( %en(ara* 'e titi' ter)ebut$
+
Dua bola ber&oton(an te(a' luru) a&abila )udut &er&oton(an #4 o$ den(an )iat+)iat )eba(ai beri'ut : S1 9 4
+r1
21 .212<0< 9 r1< @ r<< Kua)a 21 ter*ada& S1 9 4 be)arna r1< Kua)a 2< ter*ada& S< 9 4 be)arna r<<
r<
2<
S< 9 4
Bab IX : Bola, Silinder dan Kerucut|1#
!onto* < : "entu'an &er)a%aan bola an( %elalui titi' ".3,<,<0 )erta %e%oton( te(a' luru) bola+ bola S1 9 < @ < @ 5 < @ @ 1 9 4 S< 9 < @ < @ 5 < + @ 1 9 4 S3 9 < @ < @ 5 < @ 3 @ @ 1 9 4 ;enele)aian : 2i)al'an &er)a%aan bola an( di%inta . G a0+< @ . G b0< @ .5 G c0< 9 r<, &u)at 2.a,b,c0, 6ari+6ari 9 r Karena te(a' luru) S1, S<, dan S3 %a'a 'ua)a 2 ter*ada& ti(a bola ter)ebut )a%a, aitu 9 r< Kua)a 2 ter*ada& S1 : a< @ b< @ c< @ a @ 1 $$.10 ter*ada& S< 9 a< @ b< @ c< + a @ 1 $$.<0 ter*ada& S3 9 a< @ b< @ c< @ 3a G b @ 1 $$.30 dari .10 dan .<0 di&erola* a 9 4 dari .10 dan .30 di&erole* b 9 4 berarti 2.4,4,c0 bola %elalui ", berarti .2"0< 9 r< 9 # @ @ @ .< G c0< 9 17 G c G c< $$$.0 dari .10, 'ua)a 2 ter*ada& S1 : c< @ 1 9 r< .0 dari .0 dan .0 : c 9 $ 'e%bali'an 'e .0 r< 9 17 6adi &er)a%aan bola < @ < @ .5 G 0< 9 17
!atatan : Bola 2e%ba(i Dua Sa%a Be)ar Bola lain S1 9 4 dan S< 9 4 ber&oton(an, den(an lin('aran &er&oton(an %eru&a'an lin('aran be)ar .lin('aran an( &u)at dan 6ari+6arina )a%a den(an &u)at dan 6ari+6ari bola0 bola S<, %a'a di'ata'an S1 %e%ba(i dua S< )a%a be)ar Siat G )iat : + .212<0< 9 r1< + r<< + Kua)a 2< ter*ada& S1 be)arna 9 +r1< .'arena 2< terleta' di dala% S10 S1 9 4 21
2<
S< 9 4 B : "ur%udi
E+%ail : toer%oed=a*oo$co$id
blo(: >>>$toer%oed$>ord&re))$co%
