Capítulo 6
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Dependência linear
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49
Por outro lado,
ffi=pfr=§(@*Ed)=BB+BEd Da comparação das duas expressões obtidas paru
N,
decorre
1+
;ÃE+ode=ÊAE+pde Já que
6É,Ee) é LI
(pois A, B e
Corolário 6-12 e concluir qae a
-
c
são vértices de um triângulo), podemos aplicar o B = 1/2. Note que também se conclui que o compri-
mento de MN é a metade do comprimento de Á8, completando o conhecido teorema da Geometria Plana.
6'f
Z
6'18
No trapézio ABCD da Figura 6-7 (b), o comprimento de AB é o dobro do comprimento de CD. Exprima dcomo combinação tinear de Eõ, ÃÉ.
Sejama um plano, e ü ü vetores Ll paralelos aa. Mostre que todovetor ilparaleloaz podeser escrito, de modo único, como combinação linear de
ü
ü.
Na Geometria Euclidiana, é importante a idéia de separação de pontos de um plano por uma
retanelecontida.Sejamzumplano,rumaretacontidaemlÍ)ePeQdoispontosdezquenão pertencem ar.Dizemosquersepara PeQse rcontémum(único)pontoXinterior aPQ(vejaa Figura 6-8 (a)). Isso equivale a P e Q pertencerem a semiplanos oppstos de ry, de origem r. Se a interseção de rcomointerior de PQévazia,dizemos que rnãosepara P eQ,eisso signifióaque P e Qpertencem ao mesmo semiplano de n, de origem r (Figura 6-8 (b)).
o
(a)
(b)
Figura 6-8
Eis um critério algébrico simples para verificar se a reta separa os dois pontos. Toma-se um ponto Á qualquer de r'e verifica-se se @F,A)) é LD ou LI.
'
Se (AP,AQ) é I-,D, então Á, P e Q são colinoares e, portanto, existe ,t tal que FÃ = 1F0. Neste caso, se 0 <). < 1, r separa P e Q; caso contrário, não separa."Uma alternativa é verificar se ÁF e AQ sáo de mesmo sentido ou de sentido conffário (veja o Exercício 5-a (c).e a Figura 6-9). ç
W 50
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Geometria Analítica
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um tratamento vetorial
IfguÍa Eg
Se(AP,ÁQ) éLI,toma-seumponto Bder,diferentedeÁ,eexprime-se ABcomo combinação lF,l0, AE = aAF + §lD.S" os coeficientes a e § forem de mesmo sinal, r separa P e Q; se forem de sinal contrário, não separa. Veja a Figura 6-10. linear de
a>0,p>O,aB>O
ct<0,p0
(a)
(b)
a>O,p
a<0,4>0,ap
(c)
(d)
o
Figüa
6-10
A justificativa do procedimento no primeiro caso é imediata: se gF,,lQ\é LD, as retas r e PQ são conco{rentes no pontoÁ; portanto, se este não for interior a PQ,nenhum outro ponto de r será. A justificativa no caso em que @F,Ã0) éLlé o tema do próximo exercício resolvido. '11
.I ll
Íj
L
Sejam r uma reta contida no plano fi, A e B pontos de r, P e Q pontos de z que não pertencem a r,(A B, P Q). Suponha qtrc (AF,@l seja LI, e que a e B sejam escalares tais qure = a,qF + §@.Mostre que r sepaÍa P e Q se,e somente se, a e B têm mesmo sinal, isto é, a§ > 0 (Figura 6-10).
* B
i
§
§ It §
* *
&
422
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Geometria Analítica
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um tratamento vetorial
fazer um projeto e executá-lo. Seus pendores artísúcos também podem manifestar-se na escolha das cores e textura da liúa, e na ambientação do modelo. O maior desafio, porém, será utilizar o resultado do Exercício25-30 em benefício do projeto. Sugerimos que você considere um caso particular, escolhendo valores paÍaa e b (por exemplo, a=b=l).
25-30
f
z = -xzla2 + lb2 é uma superf ície regrada, exibindo um conjunto de retas cuja reunião seja Q. No caso particular em quê â = b = 1, obtenha vetores diretores dessas retas e os pontos em que elas interceptam o plano Ory (isso pode ser útil no prove que o parabolóide hiperbólico
Ç2'.
projeto da escultura de linha).
25.3f
Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações. y = 1f la2
-
y=
z2lb2
y=-y2la2 + z2lb2
i
I
x2la2
-
z=xzla2-flb',
z2lb2
y=-x2/a2 + z2lb2
Supondo que a cabeça do cavaleiro esteja no semi-eixo positivo da variável do primeiro membro, estabeleça uma relação entre os sinais do segundo membro e a posição da montaria.
ZS-}Z
-f
f lb2 e
- y2lb2 . Como os segundos membros pode seÍ obtido 'lirando de pontade Q, das equações são opostos um do outro, o esboço
Considere as selas
Ç2.1'.
z=
I
a2 +
§à2:
z = x2la2
cabeça" o esboço de Q,. E de se esperar que o eixo longitudinal continue o mesmo. No entanto, a resposta do Exercício 25-31 parece desmentir isso. Segundo ela, para Q,, o eixo longitudinal é Oy, e para Qr, é Ox. lsso nos induz a concluir que obteremos o esboço de Q, fazendo o esboço de Q, girar de 90' em torno de Oz. Explique o aparente paradoxo.
25-33 25-34
prove que a quádrica
Ç2::
z=
l- (x- h)2ta2 + (y- t)21b2 é um parabolóide
Seja Q a quádrica de equação y2
-
422 +
x-
2y
+162-
hiperbólico.
15 = 0.
(a) Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e identifique a quádrica.
(b) Obtenha, em relação ao sistema antigo, equações dos planos paralelos aos planos coorde nados que interceptam Q em hipérboles de distância focal 5.
(c) Faça um esboço da quádrica e desenhe, em vista Írontal, suas projeções ortogonais sobre os planos OxY, Oxz e OYz.
25-35
Faça uma mudança de coordenadas conveniente para concluir que Q: z = xY é um parabolóide hiperbólico, e esboce-o.
25-36
Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E3 que são eqüidistantes das retas 71)(= (O,-1t2,0) +1(1,0,0) e s: X= (0,1/2,0) +,1(0,0,1)' e identifique-o.