BAB I BUNGA TUNGGAL A. Pengertian Bunga Di dalam kehidupan sehari-hari, sering kita mendengar suatu ucapan yang berbunyi “Pak X dapat pinjaman modal dari suatu Bank dengan bunga 1% per bulan” atau “Bu Y membeli kendaraan secara angsuran dengan suku bunga sebesar 10%” dan lain sebagainya. Dalam masalah di atas kita menemukan sebuah istilah yang sudah cukup dikenal dalam masyarakat yaitu kata bunga. Secara matematika "bunga" dapat ditafsirkan sebagai suatu jasa yang berbentuk uang yang diberikan oleh seseorang peminjam atau pembeli terhadap orang yang meminjamkan modal atau penjual atas dasar persetujuan bersama. B.
Pengertian Bunga Tunggal Misalkan seseorang meminjam uang pada sebuah Bank sejumlah Rp.2.500.000,00 dan telah disepakati bahwa dalam jangka waktu satu tahun orang tersebut harus mengembalikannya sejumlah Rp. 2.700.000,00. Uang Rp. 2.500.000,00 disebut modal dan uang kelebihan sebesar Rp. 200.000,00 disebut bunga atau jasa atas pinjaman modal itu. Besarnya bunga sering dinyatakan dalam % (dibaca persen) dan disebut sebagai suku bunga yaitu menyatakan perbandingan antara bunga dengan modal dalam satuan waktu tertentu (1 bulan atau 1 tahun). Dalam persoalan di atas suku bunga per tahunnya dapat dinyatakan dengan: 200.000 x 100% = 8% 2.500.000 Dari contoh di atas, bunga tunggal diartikan sebagai bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap). Besarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama waktunya dan umumnya berbanding senilai pula dengan besarnya modal. Dalam bentuk yang lebih umum, jika suatu modal sebesar M0 dibungakan dengan mendapat jasa modal sebesar B maka besarnya suku bunga persatuan waktu dapat ditentukan dengan memakai rumus: B x 100% b = M0 B b x 100% dapat dicari bahwa B = Dari rumus b = .M0 M0 100 Modal akhir dapat ditulis: M1 = M0 + B b M1 = M0 + .M0 100 atau b M1 = M0 (1 + ) 100 Keterangan: M1 = besarnya uang yang dikembalikan setelah satu periode M0 = besarnya modal yang dipinjamkan b% = suku bunga persatuan waktu Jika modal M0 dibungakan selama n periode (bulan atau tahun) dan suku bunga b% (per bulan atau per tahun) dengan cara bunga tunggal, maka rumus menentukan besar modal itu beserta bunganya adalah: Untuk periode pertama: M1 = M0 + B b .M0 100 b = M0 (1 + ) 100 Untuk periode kedua: M2 = M1 + B b = M1 + .M0 100 = M0 +
1
b b )+ .M0 100 100 b b = M0 (1 + + ) 100 100 2b = M0 (1 + ) 100 Untuk periode ketiga: M3 = M2 + B b = M2 + .M0 100 2b b = M0 (1 + )+ .M0 100 100 2b b = M0 (1 + + ) 100 100 3b = M0 (1 + ) 100 Dan seterusnya untuk periode ke - n adalah: nb Mn = M0 (1 + ) 100 nb Selanjutnya rumus Mn = M0 (1 + ) dapat diartikan bahwa: 100 b M1 = M0 (1 + ) 100 2b M2 = M0 (1 + ) 100 3b M3 = M0 (1 + ) 100 dst Seterusnya dapat dijelaskan bahwa: b M3 – M 2 = M 2 – M1 = M 1 – M 0 = B = .M0 100 Secara umum dapat ditulis: b Mn – Mn-1 = B = .M0 100 Contoh 1: Modal sebesar Rp. 2.000.000,00 dipinjamkan dengan perjanjian bunga tunggal. Hitunglah besarnya bunga dan modal akhir, jika suku bunga per tahun dan lamanya peminjaman adalah: a. 8% dalam jangka waktu 1 tahun b. 10% dalam jangka waktu 3 tahun c. 11% dalam jangka waktu 5 tahun d. 12% dalam jangka waktu 6 bulan e. 15% dalam jangka waktu 8 bulan Penyelesaian: a. Suku bunga 8% per tahun Besarnya bunga dalam 1 tahun = B b B = x M0 100 8 = x 2.000.000,00 100 = 160.000,00 = M0 (1 +
Modal seluruhnya = M1 b M1 = M0 (1 + ) 100 8 ) 100 = 2.000.000,00(1,08) = 2.160.000,00 = 2.000.000,00(1 +
2
Atau M1 = 2.000.000,00 + 160.000,00 = 2.160.000,00 Jadi besarnya bunga per tahun adalah Rp.160.000,00 dan modal akhir Rp.2.160.000,00 b. Suku bunga 10% per tahun. Besarnya bunga dalam 1 tahun = B b B = x M0 100 10 = x 2.000.000,00 100 = 200.000,00 Besarnya bunga dalam jangka waktu 3 tahun = B = 3 x 200.000,00 = 600.000,00 Modal seluruhnya = M3 3b M3 = M0 (1 + ) 100 3 x 10 = 2.000.000 (1 + ) 100 30 = 2.000.000 (1 + ) 100 = 2.000.000 (1,3) = 2.600.000,00 Atau M3 = 2.000.000,00 + 600.000,00 = 2.600.000,00 Jadi besarnya bunga per tahun adalah Rp.600.000,00 dan modal akhir Rp.2.600.000,00 c. Suku bunga 11% per tahun. Besarnya bunga dalam 1 tahun = B b B = x M0 100 11 = x 2.000.000,00 100 = 220.000,00 Besarnya bunga dalam jangka waktu 5 tahun = B = 5 x 220.000,00 = 1.100.000,00 Modal seluruhnya = M5 5b M5 = M0 (1 + ) 100 5 x 11 = 2.000.000 (1 + ) 100 55 = 2.000.000 (1 + ) 100 = 2.000.000 (1,55) = 3.100.000,00 Atau M5 = 2.000.000,00 + 1.100.000,00 = 3.100.000,00 Jadi besarnya bunga per tahun adalah Rp.1.100.000,00 dan modal akhir Rp.3.100.000,00 d. Suku bunga 12% per tahun. Besarnya bunga dalam 1 tahun = B b B = x M0 100 12 = x 2.000.000,00 100 = 240.000,00 Besarnya bunga dalam jangka waktu 6 bulan = B = Modal seluruhnya =
M1 2
=
6 x 240.000,00 = 120.000,00 12
M1 2
1 b M0 (1 + 2 ) 100 3
1 x 12 = 2.000.000 (1 + 2 ) 100 6 = 2.000.000 (1 + ) 100 = 2.000.000 (1,06) = 2.120.000,00 M1 Atau = 2.000.000,00 + 120.000,00 = 2.120.000,00 2
Jadi besarnya bunga per tahun adalah Rp.120.000,00 dan modal akhir Rp.2.120.000,00 e. Suku bunga 15% per tahun. Besarnya bunga dalam 1 tahun = B b B = x M0 100 15 = x 2.000.000,00 100 = 300.000,00 Besarnya bunga dalam jangka waktu 8 bulan = B = Modal seluruhnya =
M2 3
= = = = Atau
8 x 300.000,00 = 200.000,00 12
M2 3
2 b = M0 (1 + 3 ) 100 2 x 15 2.000.000 (1 + 3 ) 100 10 2.000.000 (1 + ) 100 2.000.000 (1,1) 2.200.000,00
M2 3
= 2.000.000,00 + 200.000,00 = 2.200.000,00
Jadi besarnya bunga per tahun adalah Rp.200.000,00 dan modal akhir Rp.2.200.000,00 Contoh 2: Seorang pedagang meminjam uang di Bank sebesar Rp. 200.000,00 dengan aturan bunga tunggal dan suku bunga 2% per bulan. Berapakah besarnya uang yang harus dikembalikan oleh orang itu kepada Bank jika: a. lamanya peminjaman 1 bulan b. lamanya peminjaman 4 bulan Penyelesaian: a. Suku bunga 2% per bulan Besarnya bunga dalam 1 bulan = B b B = x M0 100 2 = x 2.00.000,00 100 = 4.000,00 Uang yang harus dikembalikan = M1 b M1 = M0 (1 + ) 100 2 = 200.000,00(1 + ) 100 = 200.000,00(1,02) = 204.000,00 4
Atau M1 = 200.000,00 + 4.000,00 = 204.000,00 Jadi uang yang harus dikembalikan adalah Rp.204.000,00 b. Suku bunga 2% per bulan Besarnya bunga dalam 1 bulan = B b B = x M0 100 2 = x 2.00.000,00 100 = 4.000,00 Besarnya bunga dalam jangka waktu 4 bulan = B = 4x 4.000,00 = 16.000,00 Uang yang harus dikembalikan = M4 4b M4 = M0 (1 + ) 100 4x2 = 200.000,00(1 + ) 100 = 200.000,00(1,08) = 216.000,00 Atau M4 = 200.000,00 + 16.000,00 = 216.000,00 Jadi uang yang harus dikembalikan adalah Rp.216.000,00 Contoh 3: Dalam jangka waktu satu tahun, Togog harus mengembalikan uang ke Bank sebesar Rp.216.000,00, sedangkan uang semula yang dipinjam oleh Togog adalah Rp. 200.000,00. Tentukan besarnya bunga dan suku bunga per tahunnya. Penyelesaian: Besarnya bunga dalam satu tahun = B B = M – M0 = 216.000,00 – 200.000,00 = 16.000,00 Besarnya suku bunga per tahun = b B x 100% b = M0 16.000 x 100% = 200.000 = 8% Jadi besarnya bunga per tahun adalah Rp.16.000,00 dan besarnya suku bunga pertahun 8% Contoh 4: Modal pinjaman sebesar Rp. 400.000,00 harus dikembalikan dalam jangka waktu satu tahun. Jika 5 jumlah uang yang dikembalikan itu besarnya sama dengan kali modal semula, berapakah besarnya 4 suku bunga per tahun. Penyelesaian: Besarnya uang yang dikembalikan = M 5 M = M0 4 5 = x 400.000,00 4 = 500.000,00 Besarnya bunga per tahun = B B = M – M0 = 500.000,00 – 400.000,00 = 100.000,00 Besarnya suku bunga per tahun = b 5
B x 100% M0 100.000 x 100% = 400.000 = 25% Jadi besarnya suku bunga per tahun adalah 25% Contoh 5: Dalam jangka waktu berapa tahunkah suatu modal harus dipinjamkan, agar uang yang dikembalikan menjadi 3 kali modal semula? Diketahui suku bunga tunggal 4% per bulan.
b
=
Penyelesaian: Misalkan modal semula adalah M0 dan lamanya peminjaman adalah n bulan. Besarnya bunga dalam 1 bulan = B b B = x M0 100 4 = x M0 100 Besarnya bunga dalam jangka waktu n bulan = Bn 4 Bn = n x x M0 100 Jumlah uang yang harus dikembalikan = Mn = 3M0 Mn = M0 + B n 4 3M0 = M0 + n x x M0 100 4n 3 = 1+ 100 4n 2 = 100 4n = 200 n = 50 Jadi lamanya modal itu dipinjamkan adalah 50 bulan. Contoh 6: Suatu modal dipinjamkan dengan aturan bunga tunggal. Setelah 3 tahun modal itu menjadi
5 kali 3
modal semula. Tentukan besarnya suku bunga per bulan. Penyelesaian: Misalkan besarnya modal semula adalah M0 dan besarnya suku bunga per bulan adalah b. Besarnya bunga dalam 3 tahun (36 bulan) = B3 b B3 = x M0 x 36 100 4 = x M0 x 36 100 5 Besarnya uang setelah 3 tahun = M3 = M0 3 M3 = M0 + B3 5 b M0 = M0 + x M0 x 36 3 100 5 36b M0 = M0(1 + ) 3 100 5 36b = 1+ 3 100 2 36b = 3 100 108b = 200 b = 1,85 Jadi besarnya suku bunga per bulan adalah 1,85% 6
Contoh 7: Sebuah modal sebesar Rp. M dibungakan secara bunga tunggal dengan suku bunga sebesar b% per bulan. Setelah tiga, empat dan lima bulan dibungakan maka modal itu masing-masing menjadi Rp. 1.404.719,47; Rp. 1.470.725,96; dan Rp. 1.536.732,45. Maka tentukan: a. Besar modal (M) b. Besar suku bunga (b%) c. Besar modal itu setelah 10 bulan. Penyelesaian: Diketahui : Ditanya
:
M3 = Rp. 1.404.719,47 M4 = Rp. 1.470.725,96 M5 = Rp. 1.536.732,45 a. Modal awal b. Besar suku bunga M10 c.
Jawab : a. Besar modal nb ) 100 3b M3 = M0 (1 + ) 100 4b M4 = M0 (1 + ) 100 5b M5 = M0 (1 + ) 100 Bunga = B = Mn – Mn-1 b .M0 = M4 – M 3 100 b .M0 = 1.470.725,96 – 1.404.719,47 100 b .M0 = 66.006,49 100 3b M3 = M0 (1 + ) 100 3b 1.404.719,47 = M0 + M0 100 b 1.404.719,47 = M0 + 3 M0 100 1.404.719,47 = M0 + 3(66.006,49) 1.404.719,47 = M0 + 198.019,47 M0 = 1.404.719,47 - 198.019,47 M0 = 1.206.700,00 Jadi besar modal adalah Rp. 1.206.700,00 Mn
= M0 (1 +
b. Besar suku bunga B x 100 b = M0 66.006,49 x 100 b = 1.206.700,00 0 b = 5,47 Jadi besar suku bunga adalah 5,47% c. Besar modal itu setelah 10 bulan nb Mn = M0 (1 + ) 100 7
10b ) 100 10 x 5,47 M10 = 1.206.700,00(1 + ) 100 M10 = 1.206.700,00(1 + 0,547) M10 = 1.206.700,00(1,547) M10 = 1.866.764,90 Jadi besar modal setelah 10 tahun adalah Rp.1.866.764,90 M10
C.
= 1.206.700,00(1 +
Bunga Tunggal Eksak dan Bunga Tunggal Biasa 1. Bunga Tunggal Eksak adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan bahwa satu tahun terdiri atas 365 hari untuk tahun biasa dan satu tahun terdiri atas 366 hari untuk tahun kabisat (tahun yang habis dibagi oleh 4).
2.
Perhitungan bunga tunggal eksak dipergunakan rumus: t b Untuk tahun biasa : B= x x M0 a. 365 100 t b : B= x x M0 b. Untuk tahun kabisat 366 100 Bunga Tunggal Biasa adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan bahwa satu tahun terdiri atas 360 hari. t b Perhitungan bunga tunggal biasa dipergunakan rumus: B = x x M0 360 100 Contoh 8: Modal sebesar Rp 72.000.000,00 dipinjamkan selama 50 hari dengan suku bunga 10% per tahun. Tentukan besarnya bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa, jika modal itu dipinjamkan: a. Pada tahun 2004 b. Pada tahun 2007. Penyelesaian: a. Peminjaman dilakukan pada tahun 2004 1) Besarnya bunga tunggal biasa t b B = x x M0 360 100 50 10 = x x 72.000.000,00 360 100 = 1.000.000,00 Jadi besarnya bunga tunggal biasa adalah Rp.1.000.000,00 2) Besarnya bunga tunggal eksak Karena 2004 habis dibagi empat, maka banyaknya hari dalam tahun 2004 adalah 366 t b B = x x M0 366 100 50 10 = x x 72.000.000,00 366 100 = 983.606,56 Jadi besarnya bunga tunggal eksak adalah Rp. 983.606,56 b. Peminjaman dilakukan pada tahun 2007 1) Besarnya bunga tunggal biasa t b B = x x M0 360 100 50 10 = x x 72.000.000,00 360 100 = 1.000.000,00 Jadi besarnya bunga tunggal biasa adalah Rp.1.000.000,00 2) Besarnya bunga tunggal eksak 8
t b x x M0 365 100 50 10 = x x 72.000.000,00 365 100 = 986.301,37 Jadi besarnya bunga tunggal eksak adalah Rp. 986.301,37 B =
Dari contoh di atas, dapat dilihat bahwa besar bunga tunggal biasa tidak tergantung pada tahun waktu peminjaman dilakukan (setiap tahun ada 360 hari). Sedang besar bunga tunggal eksak samgat tergantung pada tahun, dimana waktu peminjaman dilakukan (tahun kabisat atau bukan kabisat). D. Waktu Eksak dan Waktu Rata-Rata Setelah kita mengetahui bahwa masalah yang terjadi pada bunga tunggal eksak, di mana perbedaan 1 hari antara tahun kabisat dan tahun biasa akan menghasilkan besar perolehan bunga berbeda, ini berarti bahwa kita harus dapat menentukan banyaknya hari secara tepat, khususnya untuk menentukan banyaknya hari antara 2 (dua) tanggal yang berbeda. Untuk menentukan banyaknya hari di antara 2 tanggal, kita akan menggunakan dua metode perhitungan, yaitu waktu eksak dan waktu rata-rata. 1. Waktu eksak Waktu eksak adalah waktu yang dihitung berdasarkan banyaknya hari dalam satu bulan yang dijalani secara tepat. Menghitung waktu eksak Untuk menentukan banyaknya hari antara dua tanggal dengan waktu eksak dapat dipakai dua cara perhitungan sebagai berikut: Cara 1: a. Hitunglah banyaknya hari sisa pada bulan permulaan peminjaman (awal), banyaknya hari pada bulan yang bersangkutan – tanggal peminjaman. b. Hitunglah banyaknya hari pada bulan-bulan berikutnya sesuai dengan banyaknya hari. c. Hitunglah banyaknya hari pada bulan terakhir, yaitu sama dengan batas tanggal peminjaman. d. Banyaknya hari yang dicari sama dengan jumlah hari dari perhitungan a, b, dan c. Cara 2: Dengan memakai tabel, yaitu dibuat tabel untuk bulan Januari sampai dengan bulan Desember. a. Untuk bulan Januari diberi nomor 1 s/d 31. b. Untuk bulan Februari diberi nomor dari 32 s/d 59 (tahun biasa) dan 60 (tahun kabisat) c. Untuk bulan Maret diberi nomor dari 60 s/d 87 d. dan seterusnya. e. Untuk bulan Desember diberi nomor dari 335 s/d 365 Bulan dan Nomor 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
3 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
4 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
5 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135
6 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166
7 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196
8 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227
9 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258
10 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288
11 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319
12 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 9
Bulan dan Nomor 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151
167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181
197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212
228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243
259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304
320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334
350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365
Contoh 9: Hitung waktu eksak dari tanggal 5 Januari 2007 sampai 25 April 2007! Penyelesaian: Cara 1 : Dari tanggal 5 Januari 2007 sampai 25 April 2007 Waktu eksak = (31 - 5) + (28 + 31) + 25 = 26 + 59 + 25 = 110 Cara 2 Dari tabel tampak bahwa 5 Januari mempunyai nomor 5 dan 25 April mempunyai nomor 115, sehingga waktu eksaknya adalah 115 – 5 = 110 hari Jadi waktu eksak dari tanggal 5 Januari 2007 sampai tanggal 25 April 2007 adalah 110 hari. Contoh 10: Hitung waktu eksak dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan tanggal 8 Februari 1990! Penyelesaian: Cara 1 : Dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan tanggal 8 Februari 1990 Waktu eksak = (31 - 6) + (30 + 31 + 31) + 8 = 25 + 92 + 8 = 125 Cara 2 Dari tabel tampak bahwa 6 Oktober mempunyai nomor 279 dan 8 Februari mempunyai nomor 39 + 365 = 404, sehingga waktu eksaknya adalah 404 – 279 = 125 hari Jadi waktu eksak dari tanggal 6 Oktober 1989 sampai dengan tanggal 8 Februari 1990 adalah 125 hari. 2. Waktu rata-rata adalah waktu yang dihitung memakai dasar perhitungan bahwa banyaknya hari dalam satu bulan sama dengan 30 hari. Menentukan waktu rata-rata Untuk menentukan banyaknya hari antara dua tanggal dengan waktu rata-rata, dapat dilakukan dengan dua cara pula Cara 1: a. Hitunglah banyaknya hari sisa pada bulan permulaan peminjaman (awal), yaitu 30 – tanggal peminjaman. b. Hitunglah banyaknya hari pada bulan-bulan berikutnya, di mana untuk 1 bulan dihitung 30 hari. c. Hitunglah banyaknya hari pada bulan terakhir, yaitu sama dengan batas tanggal peminjaman. 10
d. Banyaknya hari yang dicari sama dengan jumlah hari dari perhitungan a, b, dan c. Cara 2: a. Tuliskan tanggal, bulan, tahun pada awal dan akhir perjanjian dalam urutan yang dibalik, yaitu tahun, bulan, tanggal. b. Banyaknya hari yang dicari dapat ditentukan dari selisih antara tahun, bulan, tanggal akhir tahun dengan tahun, bulan, tanggal permulaan. Dalam bentuk yang sederhana perhitungan waktu rata-rata dengan cara 2 ini dapat disajikan sebagai berikut: tahun, bulan, tanggal akhir : y2 m2 d2 tahun, bulan, tanggal awal : y1 m1 d1 (-) (y2 – y1) (m2 – m1) (d2 – d1) Contoh 11: Tentukanlah waktu rata-rata dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan tanggal 17 Juli 1989. Penyelesaian: Cara 1: Dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan tanggal 17 Juli 1989 Waktu rata-rata = (30 – 12) + 30 + 17 = 18 + 47 = 65 hari Cara 2: 17 Juli 1989 ditulis : 1989 7 12 Mei 1989 ditulis : 1989 5
17 12 (-) 0 2 5 0 2 5 menunjukkan bahwa dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan 17 Juli 1989 terdiri atas 0 tahun 2 bulan dan 5 hari. Jadi waktu rata-ratanya adalah (0 x 360) + (2 x 30) + (5 x 1) = 65 hari. Jadi waktu rata-rata dari tanggal 12 Mei 1989 sampai dengan tanggal 17 Juli 1989 adalah 65 hari. Contoh 12: Hitung waktu rata-rata dari tanggal 7 Maret 2004 sampai 22 Pebruari 2007! Penyelesaian: Cara 1: Dari tanggal 7 Maret 2004 sampai 22 Pebruari 2007 Waktu rata-rata = (30 – 7) + (9 x 30) + (2 x 360) + 30 + 22 = 23 + 270 + 720 + 52 = 1.065 hari Cara 2: 22 Pebruari 2007 ditulis 7 Maret 2004 ditulis
22 7 (-) 3 -1 15 3 - 1 15 menunjukkan bahwa dari tanggal 7 Maret 2004 sampai 22 Pebruari 2007 terdiri atas 3 tahun kurang 1 bulan ditambah 15 hari. Jadi waktu rata-ratanya adalah (3 x 360) - (1 x 30) + (15 x 1) = 1.080 – 30 + 15 = 1.065 hari. Jadi waktu rata-rata dari tanggal 7 Maret 2004 sampai tanggal 22 Pebruari 2007 adalah 1.065 hari. E.
: :
2007 2004
2 3
Diskonto Dalam praktek sering terjadi bunga atas pinjaman dibayarkan terlebih dulu pada saat awal peminjaman, sehingga besarnya uang yang diterima oleh peminjam merupakan selisih antara besarnya pinjaman dengan besarnya bunga. Sedangkan besarnya uang yang harus dikembalikan harus sesuai dengan besarnya pinjaman berdasarkan perjanjian. Bunga yang dibayar di muka itu disebut diskonto. Jadi Diskonto adalah bunga yang dibayarkan pada permulaan penerimaan pinjaman Contoh 13: Seseorang meminjam uang di Bank sebesar Rp. 2.000.000,00 dengan perjanjian diskonto 9% dalam waktu satu tahun. Berapakah besarnya uang yang diterima oleh sipeminjam tersebut? Penyelesaian: Besarnya bunga berdasarkan diskonto 9% = B 11
t b x x M0 ( waktu 1 tahun = 365 hari) 365 100 365 9 B = x x 2.000.000,00 365 100 = 180.000,00 Jadi besarnya uang yang diterima oleh orang tersebut dari Bank adalah Rp. 2.000.000,00 – Rp. 180.000,00 = Rp. 1.820.000,00 B
=
Contoh 14: Pak Kadir meminjam uang di Bank dengan diskonto 20% selama satu tahun. Jika uang yang diterima Pak Kadir pada saat awal peminjaman adalah Rp. 400.000,00, berapakah besarnya uang yang dipinjam oleh pak Kadir?. Penyelesaian: Misalkan besarnya pinjaman itu M0 dengan diskonto 20% akan memberikan bunga sebesar: t b B = x x M0 ( waktu 1 tahun = 365 hari) 365 100 365 20 B = x x M0 365 100 1 B = x M0 5 Besarnya uang yang diterima: 1 M0 x M0 = 400.000,00 5 4 x M0 = 400.000,00 5 M0 = 500.000,00 Jadi besarnya uang yang dipinjam oleh Pak Kadir adalah Rp.500.000,00 BAB II BUNGA MAJEMUK A. Pengertian dan Konsep Bunga Majemuk Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk. B.
Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.
C.
Perhitungan Nilai Akhir Modal 1. Dengan menggunakan rumus Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar p % setahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah: Setelah satu tahun P M M1 = M 100 P = M 1 100 Setelah dua tahun P P P M 1 M2 = M 1 100 100 100 P P 1 = M 1 100 100
= M 1
Setelah n tahun
P 100
2
12
P M n M 1 100
n
Contoh 1: Modal sebesar Rp. 200.000.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 16% per tahun. 1. Hitunglah nilai akhir modal itu setelah 3 tahun ! 2. Jika bunga dimajemukkan setiap 3 bulan, berapakah nilai akahir modal itu setelah 3 tahun? Penyelesaian: 1. Nilai akhir modal setelah 3 tahun (M3) M = Rp. 200.000.000,00 p% = 16% p n Mn = M(1 + ) 100 M3 = 200.000.000,00 (1 + 0,16)3 = 200.000.000,00 (1,16)3 = 200.000.000,00 x 1,560896 = 312.179.200 Jadi nilai akhir modal setelah 3 tahun adalah Rp 312.179.200 2. Nilai akhir modal setelah 3 tahun jika bunga dimajemukkan tiap 3 bulan p% = 16 % pertahun, maka bunga pertriwulan = 4% n = 3 tahun = 12 triwulan p n Mn = M(1 + ) 100 M3 = 200.000.000,00 (1 + 0,04)12 M3 = 200.000.000,00 (1,04)12 = 200.000.000,00 x 1,60103222 = 320.206.444 Jadi nilai akhir modal setelah 3 tahun adalah Rp 320.206.444 Contoh 2: Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5% / semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir! Penyelesaian: M = Rp2.000.000,00 p% = 5%/semester = 0.05/semester n = 5 tahun = 10 semester p n Mn = M(1 + ) 100 = 2.000.000,00 (1 + 0.05)10 = 2.000.000,00 x 1.0510 = 2.000.000 x 1,628894627 = 3.257.789,25 Jadi nilai akhir modal setelah 5 tahun adalah Rp 3.257.789,25 3.
Dengan masa bunga pecahan Untuk menghitung nilai akhir modal dengan masa bunga pecahan, digunakan langkah sebagai berikut: a. Hitunglah dulu nilai akhir dari modal berdasarkan masa bunga majemuk yang terdekat b. Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir pada 1 n p a p M a M 1 1 n 100 b 100 b Contoh 3: Modal sebesar Rp 4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3% /bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5.75 bulan! Penyelesaian: M = Rp 4.500.000,00 p% = 3% /bulan = 0.03/bulan n = 5.75 bulan = (5 + 0,75) bulan 13
Penyelesaian:
M
a n b
a n M 1 i 1 i b
M 5 0, 75 4.500.0001 0,03 1 0,75 x0,03 5
= 4.500.000 x 1,1593 x 1,0225 = 5.334.229,125 Jadi nilai akhir modal setelah 5,75 bulan adalah Rp 5.334.229,125 D. Perhitungan Nilai Tunai Modal 1. Rumus nilai tunai
P Rumus nilai akhir bunga majemuk adalah M n M 1 100
Rumus tersebut dapat diubah menjadi:
M
n
,
Mn P 1 100
n
M = modal mula-mula atau nilai tunai (NT) Mn = modal setelah n jangka waktu, selanjutnya ditulis M M NT n sehingga, P 1 100
Jadi, NT M 1
P 100
n
Contoh 4: Hitunglah nilai tunai modal dari modal Rp. 500.000,00 yang akan dibayarkan setelah 4 tahun yang akan datang dengan suku bunga majemuk 6 % setahun. Penyelesaian: p -n NT = M( 1 + ) 100 NT = 500.000,00 ( 1 + 0,06)-4 NT = 500.000,00 x 0,79209366 = 396.046,83 SOAL-SOAL BUNGA MAJEMUK 1.
Hitunglah nilai akhir modal dari modal sebesar Rp. 50.000,00 yang disimpan di bank selama 4 tahun dengan suku bunga majemuk 6% pertahun. 2. Modal sebesar Rp. 200.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 20% setahun. Hitunglah besar modal itu setelah 2 tahun, jika bunga dimajemukkan setiap kuartal. 3. Modal Sebesar Rp. 10.000,00 disimpan di bank, setelah 2 ½ tahun modal itu menjadi Rp 14.803,44. Berapakah suku bunga yang diberikan atas simpanan itu. 4. Sebuah modal sebesar Rp. 20.000,00 dengan suku bunga majemuk 4% tiap triwulan. Harus disimpan berapa tahunkah modal itu agar menjadi Rp. 40.000,00 atau lebih? 5. Modal sebesar x dibungakan selama n periode dengan suku bunga majemuk 10% per periode, Agar modal akhir menjadi 2 kali modal awal, tentukanlah banyaknya periode n. 6. Hitunglah nilai akhir modal dari modal sebesar Rp. 150.000,00 yang disimpan di bank selama 4 tahun dengan suku bunga majemuk 3% pertahun. 7. Modal sebesar Rp. 200.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 20% setahun. Hitunglah besar modal itu setelah 2 tahun, jika bunga dimajemukkan setiap semester. 8. Modal Sebesar Rp.Rp. 10.000,00 disimpan di bank, setelah 3 tahun modal itu menjadi Rp 15.803,44. Berapakah suku bunga yang diberikan atas simpanan itu. 9. Sebuah modal sebesar Rp. 20.000,00 dengan suku bunga majemuk 4 % tiap triwulan. harus disimpan berapa tahunkah modal itu agar menjadi Rp. 25.000,00 atau lebih? 10. Danu menyimpan uangnya di bank dengan suku bunga majemuk 16% per tahun. Selama 5 tahun, bunga yang dihasilkan adalah Rp550,171,00. Berapakah besar uang Danu yang disimpan di bank 5 tahun yang lalu? 11. Modal sebesar Rp. 80.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 17,5% per tahun. Hitunglah jumlah modal itu setelah disimpan selama 4 tahun! 14
12. Hitunglah nilai akhir dari modal Rp. 240.000,00 yang disimpan di bank selama 150 hari dengan suku bunga majemuk 18% per tahun ! (1 tahun = 365 hari). 13. Tuan Sastra meminjam uang kepada Tuan Hardi sebesar Rp. 250.000,00. Ternyata setelah 2 tahun, Tuan Sastra harus mengembalikannya sebesar Rp. 290.000,00 (termasuk bunga). Berapa persenkah bunga yang dikenakan kepada Tuan Sastra itu dalam satu tahun ? 14. Pada tanggal 15 Maret 1996 Darto menyimpan uangnya di bank sebesar Rp. 120.000,00. Simpanan tersebut diperhitungkan menurut suku bunga majemuk sebesar 20% per tahun, satu tahun ditetapkan 365 hari. Pada tanggal berapakah Darto melihat nilai tabunganya itu sebesar Rp. 148.800.00 ? 15. Sebuah modal disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 20% per tahun, setelah 5 tahun modal itu menjadi Rp. 100.000,00 maka berapakah besar modal yang disimpan di bank 5 tahun yang lalu ?
15
