Cac ham so hoc

Các hàm s hc

Thng Th ng dư bìn bình h phư phương ơng

Chương 3

CÁC HÀM S HC Nguyn Đt Thông [email protected]

B môn ng dng Tin hc Khoa Toán - Tin hc 2010

Đưng cong Ellipt Elliptic ic

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
















Hàm s hc Đnh nghĩa Hàm s hc là hàm xác đnh trên tp hp các s nguyên dương. f :

N

∗

n

−→ − →

N

∗

f ( f (n)

Đnh nghĩa Mt hàm s hc f đưc gi là nhân nhân tính nu vi mi m, n nguyên t f (mn) mn) = f ( f (m)f ( f (n). Trong trưng hp đng thc cùng nhau, ta có f ( đúng vi mi m, n, hàm f đưc gi là nhân nhân tính mnh.
















Phi hàm Euler Đnh nghĩa Phi hàm Euler φ(n) là hàm s hc có giá tr ti n, bng s các s không vưt quá n và nguyên t cùng nhau vi n.

Đnh nghĩa H thng dư thu gn modulo n là tp hp gm φ(n) s nguyên sao cho mi phn t ca tp hp nguyên t cùng nhau vi n, và không có hai phn t nào đng dư vi nhau modulo n.
















Đnh lý Euler Đnh lý (Euler) Nu n là s nguyên dương và a là s nguyên t cùng nhau vi n thì aφ(n)

≡1

mo d n

p) = p − 1. S p là nguyên t khi và ch khi φ( p)

Vi mi s nguyên t p, ta có φ( pk ) = p k − pk−1 . mn) = φ( φ (m)φ(n). Phi hàm Euler là hàm nhân tính. Nghĩa là φ(mn)















Ví d v phi hàm Euler φ(1) = 1 φ(2) = 1 φ(3) = 2 φ(4) = 2. φ(5) = 5 1 = 4 φ(7) = 7 1 = 6 φ(11) = 11 1 = 10.

− −

−

φ(6) = φ = φ(2) (2)φ φ(3) = 2 φ(10) = φ = φ(2) (2)φ φ(5) = 4

















Đng dư ca lũy tha ln Các tính cht ca Phi hàm Euler đưc s dng đ tính đng dư ca nhng lũy tha rt ln. C th, ta cn tính an mod k, trong đó n là mt s nguyên ln. Gi s ta có k = p r1 pr2 ...prss . 1

r

φ(pi i )

Trong đó a

2

≡ 1 mod pri i , vi i = 1, 2,...,s.

Đt N là bi s chung nh nht ca các φ( pri i ) thì aN ≡ 1 mo d k. Nu n ≡ r mod N thì an ≡ ar mod k. 6

Mt ví d c th là tính 210 mod 77

















Hàm τ và hàm σ Đnh nghĩa τ (n) có giá tr ti n, bng s các ưc dương ca n. Hàm τ ( Hàm σ (n) có giá tr ti n, bng tng các ưc dương ca n.

















S hoàn ho Đnh nghĩa S nguyên dương n đưc gi là s s hoàn ho nu σ (n) = 2n. Đnh lý
















S hoàn ho Mi s hoàn ho có th biu din dưi dng tng các s t nhiên liên tip. 6= 1+2+3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + ... + 30 + 31
















S nguyên t Mersenne Đnh nghĩa Vi m là mt s nguyên dương, M m = 2m − 1 đưc gi là s Mersenne th m. Nu p là s nguyên t, và M p cũng là s nguyên t, thì M p đưc gi là s nguyên t Mersenne.
















Bc theo modulo n Đnh nghĩa Gi s a và n là các s nguyên dương nguyên t cùng nhau. Khi đó s nguyên dương nh nht x tha ax ≡ 1 mod n đưc gi là bc ca a theo modulo n. Ký hiu: x = ordn a.
















Căn nguyên thy
















Đnh lý Lagrange

















S tn ti ca căn nguyên thy
















S tn ti ca căn nguyên thy















Câu hi












































































































































S gi nguyên t Fermat và s gi nguyên t Euler Đnh lý S n gi nguyên t Euler cơ s b là s gi nguyên t mnh Fermat cơ b = −1. s b nu n ≡ 3 mod 4, hoc

 n

B đ Gi s n là mt s nguyên dương l không chính phương. Khi đó tn b gcd(b, n) = 1, sao cho = −1. ti ít nht mt s b vi 1 < b < n, gcd(b,

 n
















Thut toán Solovay-Strassen Đnh lý Đi vi mi hp s l n, tn ti không quá φ(2n) s nguyên nguyên dương b nh hơn n, nguyên t cùng nhau vi n, sao cho n là s gi nguyên t Euler cơ s b.

Nu n là hp s l, chn b chn ngu nhiên trong các s 1, 2, ..., n − 1, thì xác sut đ n gi nguyên t Euler cơ s b s bé hơn 12 . Đnh lý (Thut toán Solovay - Strassen) Cho n là mt s nguyên dương. Chn ngu nhiên k s b1 , b2 ,...,bk t
















Thut toán Solovay-Strassen

Vi k đ ln và n tri qua đưc kim tra xác sut vi k cơ s ngu nhiên, thì hu như chc chn n là s nguyên t. Do mi s gi nguyên t mnh Fermat cơ s b đu là s gi nguyên t Euler cơ s b, nên s các s n tri qua đưc kim tra xác sut Rabin - Miller cũng s tri qua đưc kim tra xác sut Solovay - Strassen. Ví d s n tri qua đưc kim tra xác sut Solovay - Strassen vi k = 40 cơ s ngu nhiên khác nhau, thì xác sut đ n là hp s s
















Câu hi

Chng Chng minh rng 1105 là s gi nguyên nguyên t Euler cơ s 2 và và không gi nguyên t mnh Fermat cơ s 2. 2 Chng minh rng nu n là s gi nguyên t Euler cơ s a và b thì n cũng gi nguyên t Euler cơ s ab. 3 Chng minh rng nu n là s gi nguyên t Euler cơ s b thì n cũng là s gi nguyên t Euler cơ s n − b. 1
















Chương 5

ĐƯNG CONG ELLIPTIC Nguyn Đt Thông [email protected]

B môn ng dng Tin hc


















Đưng cong Elliptic Đnh nghĩa Đưng cong Elliptic trên trưng K là tp hp các đim (x, y ) tha mãn phương trình
















Đưng cong Elliptic - Nhóm Abel Đnh lý Đưng cong Elliptic đưc trang b phép cng và tr thành nhóm Abel như sau: Phn t 0 là đim ti vô cùng O.















Đưng cong Elliptic - Dng Weierstrass Nu ta đt Y = 2y + a1 x + a3 a21 + 4a2 X = x + 12

thì ta có th đưa phương trình (1 (1) v dng
















Phép cng trên đưng cong Elliptic

















Phép cng trên đưng cong Elliptic Vi đưng cong Elliptic dng Weierstrass y 2 = x 3 + ax + b, ta có các công thc tính như sau: = P + Q R = P





2

















Đưng cong Elliptic và các h mã hóa
















Mt mã khóa công khai
















Mt mã tương t mũ
















Ánh x s nguyên m thành đim P trên


Cac ham so hoc

Recommend Documents