CALCULO DE LA CARGA DEL DISEÑO DE UN CAPIZ EN MINERIA SUBTERRANEA SUBTERRANEA
Anderson Alexis Mesa Heredia cd! ""#$%%# Presen&ado a In'! Pedro(a Ro)as *l+aro Orlando
UNI,ERSIDAD -RANCISCO DE PAULA SANTANDER -ACULDAD DE INGENIERIA INGENIERIA DE MINAS
MÉTODO DE CÁLCULO GEOMÉTRICO Existen innumerables teorías que fundamentan su modelo en el gráfico, donde la carga sobre el sostenimiento corresponde a un área vertical elíptica y se distribuye sobre el techo de forma proporcional entre la mitad de la separación existente entre puerta y puerta puerta de entiba entibació ción. n. Utiliz Utiliza a tambi tambin n los princi principio pioss de resist resistenc encia ia de materi materiale ales, s, en especi especial al la sumato sumatoria ria de moment momentos, os, esfuer esfuerzos zos y propie propiedade dadess física físicass de las rocas rocas entrando así en el campo de la mecánica de rocas. Estas teorías consideran el macizo rocoso como! continuo, homogneo, isotrópico, linealmente elástico, que se conoce ba"o la sigla de cuerpo #$%&E. Este mtodo no solamente considera áreas verticales, que estarían ubicadas encima encima de la sección transversal del t'nel sino áreas contiguas a las zonas laterales de influencia que corresponden a áreas laterales de carga o esfuerzo que dan lugar al cálculo de presión minera por áreas horizontales y es así como el mtodo geomtrico se divide! (. )todo de cálculo geomtrico por áreas verticales *. )todo de cálculo geomtrico por áreas horizontales
MÉTODO DE CÁLCULO GEOMÉTRICO POR ÁREAS VERTICALES. #orresponden aquellas teorías que calculan el área de influencia o de desprendimiento alrededor del t'nel en su sección transversal al e"e del t'nel. El área definida como de carga y que se apoya en las paredes paredes laterales, laterales, se se asimila asimila como una bóveda bóveda o domo parabólico, sin importar la real forma geomtrica producto de la estratificación, geometría del t'nel o planos de discontinuidad El área que genera la presión minera de forma parabólica se compone de tres subáreas, la primera +
A"
que está encima encima del techo del t'nel y corresponde corresponde al esfuerzo esfuerzo sobre el 2 A" 1 A. 0
cápi cápizz de la puer puerta ta y las las otra otrass dos dos corresponde a los extremos del domo parabólico que se asimilan al esfuerzo lateral +$orizontal sobre cada una de las palancas de la puerta de sostenimiento. Entre las teorías de mayor uso tenemos! -erzaghi, onmerell, /itter, 0rotodiacono1, -simbarevch, -simbarevch, para otros autores consultar la bib liografía usada en el presente texto.
MÉTODO DE CÁLCULO GEOMÉTRICO POR ÁREAS HORIZONTALES. En las labores mineras se presentan t'neles de condiciones condiciones especiales, como como es el caso de los! ensanches, nichos, enganches o cruces de vías horizontales en! cruz, 2, -, 3 etc. y tambin horizontales con verticales o diferentes combinaciones. &o anterior se sale del criterio de conservar una base promedio constante del área de carga, aquí será variable y cada punto tendrá un valor la presión presión minera lo cual plantea plantea un problema problema que puede ser solucionado tomando la base horizontal del t'nel más el área de influencia como base de cálculo o generadora de presión minera.
1. TEORIA DE TERZAGHI . -erzaghi es conocido por ser el precursor en el cálculo de los esfuerzos en los t'neles de obras civiles y que se adaptaron a los t'neles mineros. 4u teoría se fundamenta! (. -eoría del arqueo y deslizamiento de bloques sobre el techo del t'nel y que generan un área en forma de domo parabólico que descansa sobre las paredes laterales del t'nel. *. #lasificación cualitativa de los macizos rocosos. K p
5. #onstante de -erzaghi +
para el cálculo de presión en el t'nel 2 H p 0
6. 7ltura de carga de la bóveda
que genera la presión.
* Principios !"ricos! &a carga sobre el t'nel se distribuye en forma parabólica generando tres subáreas +ver figura 65! A3
! 8rea de carga vertical sobre el techo del t'nel A"
y
A.
! 8reas de carga horizontal sobre las paredes laterales del t'nel.
9igura 65. #álculo del área de carga seg'n -erzaghi
* E#!$!nos %! cc'#o. (. #lasificación cualitativa del área donde se encuentra el t'nel! a. /oca inalterada, sana intacta b. /oca estratificada c. /oca medianamente fisurada d. /oca agrietada en bloques e. /oca triturada f. /oca comprimida h. /oca expansiva 2 K p 0
*. #onstante de -erzaghi #uadro *.#onstante de -erzaghi para cálculo de presión minera. #aracterísticas de estabilidad de las paredes del t'nel:
#onstante de -erzaghi
7ltura de bóveda de
2 K p 0
2 H P 0 carga
(.0aredes del t'nel en roca intacta, afecta la estratificación y geometría del t'nel
;e <,( a <,=
K P 2 B0
*. 0aredes similares a las anteriores pero afectados ;e <,= a (,< por varios sistemas de discontinuidades y que no producen mayores desprendimiento de roca. 5. 4ituación similar a la anterior pero produce ;e <,> a (,< desprendimiento de los bloques de roca de las paredes del t'nel. 9uente! /esultado de la investigación :#orresponde a la clasificación de -erzaghi los tipos b, c, d.
K P 2 B0 K P 2 B + H 0
5. 7ncho y altura media del t'nel 6. 8ngulo de fricción interna de las rocas de las paredes o ángulo de buzamiento +;e 5 a 6 seg'n tipo específico de roca +#uadro (. =. 0eso específico de la roca de techo y pared lateral +;e *,( a *,= 4eg'n tipo específico deroca >. 4eparación entre elementos de entibación +;e <,=
* P(r&$!ros 'i#i)(%os !n !# cc'#o. B H L
@ 7ncho medio del t'nel @ 7ltura media del t'nel @ Aase o ancho de la parábola de carga
c
@ Aase o ancho de la zona de influencia por efecto del ángulo de fricción interna o base del área uno y dos H p
= 7ltura de la bóveda de carga
H .
@ 7ltura del área dos
K p
@ #onstante de -erzaghi φ
@ 8ngulo de fricción interno de la roca de la pared lateral
a
@ 4eparación entre puertas
γ
@ 0eso específico de las paredes en cálculo A"
@ 8rea lateral de carga
A.
@ 8rea vertical que e"erce esfuerzo lateral
A3
@ 8rea vertical de carga
* "r$'#(s +&sic(s %! cc'#o. 1. DE ÁREAS! 8rea vertical
= B! H p
A3
+B H p
= K p ! B
H p
= K p ( B + H )
o
+C
8rea vertical sobre pared lateral del t'nel A.
B −H B = H p L÷ cos! . ÷ ÷ . L .
L = B + .c
c
+(< +((
φ = H ! &an g ! 5/4 − .
+(*
L = B + .! H &an g 5/4 −
φ
.
H . . = p L − B L
H .
+(5
+(6
8rea lateral A"
A"
=
H !c .
+(=
H φ = &an g ! 5/4 − . .
+(>
Estas fórmulas corresponden a las planteadas por -erzaghi, pero el lector puede fácilmente deducir fórmulas a partir de la figura 6<, para calcular las tres áreas.
,. DE PRESI-N MINERA A. D! pr!si"n $in!r( p(r( $(%!r( p'!r( (#!$(n( o si$i#(r/ (. Pr!si"n $in!r( 0!ric(#, la presión se e"erce sobre el cápiz 0resión minera puntual P ( t )
= A3 ( m . × a( m ) × γ ( t 6 m 3
+(D
0resión minera sobre unidad de longitud Qt ( t 6 m )
=
P B
+(B
0resión minera específica o sobre área
( t 6 m ) = .
t
P B × a
+(C
Es indispensable determinar sobre que sección, transversal +sobre la puerta, A o longitudinal +sobre la separación entre puertas, a del t'nel sobre la cual se va aplicar la presión minera. -ambin es bueno recordar que esta presión minera puede considerarse como activa, λ pasiva y peso muerto, para tal efecto se introduce un factor de empu"e, Empu"e activo, es el esfuerzo generado por las paredes y act'a sobre el sostenimiento. λ = &an g ( 5/4 −φ 6 . )
+*<
Empu"e pasivo, es el esfuerzo que debe generar el sostenimiento sobre las paredes, pero en el caso de la madera no es posible ya que este tipo de sostenimiento espera que la roca e"erza esfuerza sobre sus elementos. λ = &an g ( 5/4 +φ 6 .)
+*(
0eso muerto, es el esfuerzo generado por la carga de la bóveda por efecto de la gravedad o como si estuviera en desprendimiento. Este valor de ( es que siempre se utiliza para cálculo de la entibación. λ = " P " = λ ! P
+**
+. Pr!si"n $in!r( #(!r(# se e"erce sobre cada una de las palancas P ( t )
= ( A" + A. ) ( m . ) × a( m ) × γ (t 6 m 3 )
+*5
/esto fórmulas similares a las anteriores
,. D! pr!si"n $in!r( p(r( (c!ro (rcos %!s#i)(n!s 4e debe recordar que el arco está constituido por tres elementos dos palancas y un cápiz pero soportan la presión minera como una sola estructura, lo que implica que la carga será la generada por las tres áreas pero de todo el domo, así! P ( t )
= ( .( A" + A. ) + A3 ) ( m . × a( m ) × γ ( t 6 m 3
+*6
* Ap#ic(cion!s. Este mtodo de cálculo utiliza parámetros corrientes y comunes lo que lo hace de fácil aplicación y además se puede usar tanto para sostenimiento en madera y
acero, debido a su descomposición de la presión minera vertical y lateral para el caso de la puerta alemana y como una carga total para los arcos deslizantes en acero u otras formas similares. El inconveniente que es un mtodo que usa la geometría más que las características de la roca, tan solo considerándolas desde el punto de vista cualitativo al determinar la constante de -erzaghi. El )todo de -erzaghi se trató ampliamente por ser escasa la bibliografía y además para que se tome como modelo de la forma como desarrollar la parte teórica de cada uno de ellos, los siguientes mtodos solo se tratarán en el aspecto gráfico y de fórmula, ya que para mayor profundización el lector recurra a las fuentes bibliográficas aquí citadas.
,. TEORA DE 2OMMERAL &a presión minera es producto del peso de la roca que se encuentra en un área vertical de forma parabólica encima del techo del t'nel, generando esfuerzos verticales y horizontales. El desarrollo del proceso matemático es similar al de -erzaghi, se diferencia por que efect'a los cálculos para los empu"es. 4u desarrollo se puede consultar en el texto titulado F$idráulica y mecánica de rocasG de Hosu #arrillo.
3. TEORA DE RITTER /itter fue uno de los pioneros en el cálculo de la presión minera y su hipótesis es! 4obre la excavación solo act'a la presión de la roca contenida en el interior de un área parabólica que se genera en el techo del t'nel. 7ntes de /itter se suponía que sobre el techo actuaba toda la columna de roca desde el techo del t'nel hasta superficie.
* Principios !"ricos . 4obre el techo se genera una presión minera producto del esfuerzo de la roca de techo, contenida en un área vertical de forma parabólica +ver figura 66 que
descansa sobre las paredes del t'nel y e"erce esfuerzo de flexión en las rocas contiguas al techo del t'nel, siendo donde se inicia el desprendimiento de roca.
* E#!$!nos %! cc'#o. (. 0ropiedades físico mecánicas de la roca! peso específico, cohesión, coeficiente de cohesión de la roca +#uadro (. *. )acizo rocoso de condiciones ideales, #$%&E. 5. -'nel de sección 7#E; 6. &a roca del techo tiene a desprenderse por su propio peso, pero se oponen las fuerzas de cohesión de le roca. =. 7l partir de una partícula de roca y la generalizamos para una infinidad de partículas del techo contenidas en el área parabólica de carga, puede ocurrir! acumulación de esfuerzos, fracturamiento y desprendimiento de rocas del techo, que es el caso de nuestro inters >. 0ara la situación anterior corresponde cuando la fuerza de cohesión es menor que el peso del material contenido en el área parabólica, con la implicación del desprendimiento de roca del techo del t'nel, hasta que se forme la bóveda de estabilidad parabólica, donde se obtiene el equilibrio. &o anterior se puede expresar así! F = P − Z
+*=
9igura 66. #álculo de la presión minera seg'n /itter
* P(r&$!ros 'i#i)(%os !n !# cc'#o. F
P Z
@ 0resión minera o esfuerzo sobre el cápiz del sostenimiento. @ 0eso de las rocas contenidas dentro de la bóveda encina del techo del t'nel. @ 9uerza de cohesión de la roca
U
@ #oeficiente de cohesión de las rocas dentro de la bóveda de carga
σ Ch
@ #ohesión de las rocas dentro de la bóveda de carga
γ
@ 0eso específico de las paredes en cálculo k
@ #onstante de transmisión de esfuerzo del techo a las paredes
b
@ 7ncho medio del t'nel
H
H R a
@ 7ltura media del t'nel
=
7ltura de la bóveda de carga o altura de la parábola
@ 4eparación entre puertas
* "r$'#(s +&sic(s %! cc'#o F = P − Z
0ara calcular 0 se toma un sistema de e"es rectangulares con origen en 7 b
∫
P = γ ydx $
+*>
0ara calcular I, se dice que las fuerzas a tracción van a actuar normales al arco de su proyección vertical, que contrarrestará a la acción de 0 por lo tanto! Z =
σ t !ds cos !α b
∫
F = γ ydx − $
+*D σ t !ds cos !α
+*B 4i 9 consideramos como el máximo, se llega a la ecuación de la parábola y
=
γ ! x ( b − x ) 5!σ t
&a parábola pasa por los puntos 7 y # y tiene su vrtice en el punto A
+*C
H R
@
γ !b . h= "7!σ t
U =
σ
+5<
Ch
γ
+5(
b . F ( t ) = γ !b − U 5#U
+5*
&os valores a reemplazar en la fórmula deben estar en iguales unidades, e". En metros y toneladas dará 9 en toneladas. &a presión minera lateral se obtiene de acuerdo al estado del comportamiento de las paredes laterales del t'nel y se asume un valor k "
k .
k 3
@ <
k
de la presión de techo, así!
#uando no existe esfuerzo en las paredes, se determina por el buen estado de conservación o no desestabilización.
@ )ayor a < pero menor de uno. Existe desestabilización de paredes pero sin llegar a colapsar el t'nel. @ )ayor a uno. #aso extremo paredes totalmente inestables
El dar valores a cálculos. F H
k
se torna muy sub"etivo y depende de la persona que realice los
= k i F
+55
* Ap#ic(cion!s (. )todo de uso similar al de -erzaghi *. Jo permite calcular directamente las presiones mineras laterales, en caso de ser k
necesario utilizar el coeficiente , como se expuso anteriormente o elaborar una tabla de evaluación cualitativa. 5. &a teoría de /itter se aplica a una forma de cálculo similar a la de -erzaghi +ver figura 65 y se determina las alturas de las tres áreas que forma la parábola. 6. )ediante aplicación y deducción matemática se puede definir si el techo es estable, a continuación se presenta el desarrollo!
F ≤ $
4% se dice que el valor del esfuerzo en el techo es nulo, debido a que la fuerza de cohesión de la roca es mayor que el peso de la roca encima del techo del t'nel. Jo existiendo necesidad de sostenimiento, esta condición se cumple si! b.
5#U b<
−
U < $
+56
5#!U
b < 7183U
#aso contrario el techo no es estable cuando! b > 7183U
4. TEORA DE PROTODIA2ONOV 0rotodiaconov propone que en t'neles en rocas que pueden causar desprendimiento de techo, se forma una bóveda a la cual se le llama bóveda de equilibrio natural. ;emostró matemáticamente que la bóveda de equilibrio natural tiene una configuración parabólica +ver figura 6=K por consiguiente la presión minera del techo sobre el sostenimiento será el peso de la roca contenida en esta bóveda.
* Principios !"ricos . &a presión generada sobre el techo de un t'nel se encuentra dentro de un área vertical de forma parabólica .&a bóveda de equilibrio va ha recibir sobre sí la carga uniformemente distribuida, producto del peso de la roca que yace sobre ella. &a bóveda será estable si cada una de las partículas que la forman lo son. * E#!$!nos %! cc'#o (. 0ropiedades físico mecánicas de la roca de techo! peso específico, resistencia a la compresión simple, coeficiente de fortaleza o constante de 0rotodiaconov *. )acizo rocoso de condiciones ideales. 5. -'nel de sección EA#; 6. &a bóveda será estable si cada una de las partículas que la forman lo son. =. &a bóveda de equilibrio va ha recibir sobre sí la carga uniformemente distribuida, producto del peso de la roca que yace sobre ella. 9igura 6=. #álculo de la presión minera seg'n 0rotodiaconov.
* P(r&$!ros 'i#i)(%os !n !# cc'#o A P
@ 8rea de la parábola que genera presión minera
H P
@ 7ltura de carga o de la parábola
f
@ #oeficiente de fortaleza o constante de 0rotodiacono1. σ c γ
@ /esistencia a la compresión simple @ 0eso específico de la roca de la bóveda
b
@ )itad del ancho del t'nel
a
@ 4eparación entre puertas o longitud del t'nel a calcular presión minera
* Proc!so 5 6"r$'#(s +&sic(s %! cc'#o 7nalizando el tramo de la mitad izquierda de la bóveda +ver figura 66 7L. -omando el origen de coordenadas en el punto L. En el tramo 7L act'an las siguientes fuerzas! T
@ Empu"e lateral
P x
P x
@ 0resión lateral uniformemente distribuida
= p! x
W
@ /eacción de la parte inferir de la bóveda
$aciendo sumatoria de momentos que act'an sobre 7 e igualando a cero se obtiene el equilibrio en el tramo 7L M A
=$ x
∑ M
A
y
= ( p! x ) − T ! y = $ .
+5=
p! x .
=
.!T
+5>
&a ecuación +5> demuestra que la bóveda de equilibrio es una parábola. 0ara el punto A, o sea, uno de los apoyos de la bóveda x = b
K
y = H P
&a ecuación de la curva quedará! H P
T =
=
p!b . .T
+5D
. p!b
. H P
En el punto A, la fuerza vertical
P = p!b
K comprime las partículas contra el apoyo y la
T
fuerza horizontal tiende a desplazar el apoyo. &a fuerza al cortante contrarrestada por la fuerza de fricción. F = P ! f
&a bóveda será estable cuando la fuerza al cortante fricción! T ≤ P ! f
T
está
+5B T
sea menor o igual que la fuerza de
T ≤ p!b! f
En el caso de
T = p!b! f
la bóveda se encuentra en un estado límite de equilibrio.
0ara garantizar la estabilidad de la bóveda, es necesario tener una cierta reserva de resistencia la cual 0rotodiaconov introduce como una serie de esfuerzos horizontales al cortante τ h
= τ !H P
+5C
0or consiguiente la condición de estabilidad de la bóveda tendrá lugar si! T + τ ! H P
= f ! p!b
T = f ! pb − τ ! H P
4ustituyendo p!b . . H P
T
+6<
por su valor en +5D
= p!b! f − τ ! H P +6(
. fH P − b . . H ( ) P
τ = p!b
+6*
0odemos determinar la altura de la bóveda +
H P 0
, partiendo de la condición de que la (τ ) reserva de resistencia tomada en vista de la fuerza al cortante , sea máxima. τ
-omamos la primera derivada de con respecto a d τ dH P
H P
5 f ! H P . − ( . f ! H P − b ) 5 H P = p!b 5 5 H P
&uego de las transformaciones pertinentes tenemos!
, así!
d τ
= p!b
dH P
b − H P ! f 3
H P
d τ
$aciendo
=$
dH P
y resolviendo la ecuación tenemos!
; : H P 9 <; =$ 3 HP
7ltura de carga o de la parábola
=
H P
b f
+65
#oeficiente de fortaleza o constante de 0rotodiaconov f =
σ C "$$
+66
/ecordando que la presión sobre la excavación va ha corresponder al peso de la roca en la parábola. El área de la parábola es! A P
. = ( . H P b ) 3
0or consiguiente la presión minera por unidad de longitud será! Qt
=
. 3
A P !γ
Qt ( to 6 m )
+6=
=
5 3
H P !bγ
&a presión minera por unidad de área será
+6>
σ C (to 6 m . ) =
5 3!a
H P !bγ
+6D
* Ap#ic(cion!s (. 4e aplica todo lo dicho para -erzaghi y /itter *. Usando la altura de carga y las unidades de las magnitudes de las presiones mineras es posible calcular el esfuerzo. σ t ( t 6 m .
Qt ( t 6 m )
P t ( t )
=
= H P ( m )γ (t 6 m 3 = σ t !a
+6B
+6C
σ t .b!a
+=<
5. 0resiones laterales, similar a lo recomendado en la teoría de /itter.
7. TEORA DE TSIM8AREVICH Aasado en el análisis del comportamiento de capas de rocas estables sobre el techo de un t'nel, que los anteriores proponían una curva o bóvedaK -simbaravich propone que como resultado de la deformación que sufren las rocas producen su desprendimiento, generando un prisma triangular cuya base es igual a la longitud de la altura de la bóveda de carga. Aa"o este argumento lo analiza y lo propone, para cuando no existen presiones laterales, ya que si las existen el ancho de la base del área de carga será mucho mayor que el del t'nel.
* Principios !"ricos . #onsidera la dureza de la roca para generar el área de carga sobre el techo, por tal razón establece para rocas duras la forma del área será un prisma de
base igual a la altura de carga +ver figura 6>. En el caso de rocas blandas donde existe esfuerzo lateral e"ercido por las paredes del t'nel además del esfuerzo de techo.
* E#!$!nos %! cc'#o (. 0ropiedades físico mecánicas de la roca de techo! peso específico, ángulo de fricción interna, coeficiente de fortaleza o constante de 0rotodiaconov *. )acizo rocoso de condiciones ideales. 5. -'nel de sección ;E9M 6. El área de carga será de forma prismática para roca dura, generando solo presión del techo y cuando es roca blanda producirá presión lateral además de la de techo. =. &a pared límite de influencia del área corresponde al ángulo de fricción interna.
* P(r&$!ros 'i#i)(%os !n !# cc'#o H $ h"
h$
@ 7ltura de carga o del prisma @ 7ltura del t'nel @ 7ltura que relaciona la altura del t'nel y los pesos específicos de la roca de techo y lateral
f
@ #oeficiente de fortaleza o de dureza o constante de 0rotodiacono1. φ
@ 8ngulo de fricción interna φ T φ L γ T γ L a a
@ 8ngulo de fricción interna del techo @ 8ngulo de fricción interna de la pared @ 0eso específico de la roca del techo @ 0eso específico de la roca lateral @ )itad del ancho del t'nel
N @ 4eparación entre puertas o longitud del t'nel a calcular presión minera
9igura 6>. Esquema de cálculo de -simbarevich cuando la presión act'a solo sobre el techo
* Proc!so 5 6"r$'#(s +&sic(s %! cc'#o El caso cuando la roca es resistente El área de carga será el prisma 7A# P L
El prisma 7A# es comprimido por la fuerza lateral de compresión . #on el aumento del valor del ángulo formado por los lados 7A y A# del triángulo 7A#, el valor de los ángulos formados por los lados 7A, A# con la dirección de las fuerzas laterales va a disminuir y por consiguiente el prisma tendrá menor resistencia lo contrario al disminuir el ángulo del vrtice superior del prisma. 0ara un valor determinado de este ángulo el prisma caerá al t'nel. El punto de equilibrio límite del prisma 7A# se consigue cuando el ángulo del vrtice ( = ABC = .φ ) superior del prisma es igual a dos veces el ángulo de fricción interna de la roca de techo. &an g φ =
b=
a b
+=(
a &an g φ
&a presión minera está determinada por el peso de la roca contenida dentro del prisma triangular
σ C
=
a. &an g φ
γ !
+=*
#uando las rocas de las paredes laterales producen presión minera por inestabilidad, el ancho de la base del área de carga es mayor que el anterior +ver figura 6D. φ = a + h! co& ! 5/4+ .
a"
+=5
&a base del área teórica de carga, de acuerdo a 0rotodiaconov y tomando el coeficiente de fortaleza o de dureza o de 0rotodiaconov por la tangente del ángulo interno de fricción tendremos!
b"
= H ! =
a" f T
=
a" tg φ T
a + h! co& 5/4 +
=
tg φ T
φ
.
+=6
9igura 6D. Esquema de cálculo de -simbarevich cuando la presión minera act'a tanto de techo como de piso.
&a presión minera sobre el techo será! QT
= a"b"γ
&a presión minera lateral
+== " L
la calcula como la presión activa sobre la pared de apoyo de φ
un prisma m que puede deslizarse sobre un plano de ángulo
5/4 + .
.
Este prisma estará cargado por las rocas contenidas en la zona n, que yacen sobre lK por lo tanto! γ h# = h" T γ L +=> γ T h φ L . " L
=
.
( h$ + h ) tg 5/4 +
.
!t
+=D
RE-ERENCIA BIBLIOGRA-ICA >AIME ?ILLIAM >O>OA MUÑOZ1 .$"$ @CAPTULO I. GENERALIDADES DE LA MECÁNICA DE ROCAS EN EL SOSTENIMIENTO DE MINAS9 SOSTENIMIENTO DE MINAS R!c'p!r(%o %!/ :p/;;$5s#i%!.!s;%oc'$!ns;c(p