Calculo Aplicado - Material

ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

CÁLCULO APLICADO MATERIAL DE ENSEÑANZA

Norberto Chau Pérez Pérez

2017

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Cálculo Aplicado Norberto Chau

CHAPTER CHAPTER 0. CÁLCULO CÁLCULO APLICADO NORBERTO NORBERTO CHAU CHAU





































Índice general Introducción



!. Integración "últiple

#

1.1. Integrales obles . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Ca"bio de #ariable . . . . . . . . 1.1.2. Aplic licaciones de la integr egral doble 1.2. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ca$bio de variable . . . . . .

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. ! . 1$ . 22 . %& . %'

%. Integrales de l&nea

#'

2.1. (eore"a de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '. Integrales de (uperficies

).1. ).2. ).). ).%. ).&. ).$.

*ara"etri+acin de Super per-ci -cies . . El *rodu oducto ectorial /unda nda"ental Integral de Super per-cie . . . . . . . . El (eore"a de Stoes . . . . . . . El (eore"a de la i#ergencia . . . as Ecuaciones de Ma3ell . . . .

!$ )#

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'7 '' 10) 1)% 1)7 1%!

*. ( (eeries de Potencias + ,cuaciones -ierenciales /rdinarias !! %.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1&1

%.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1&1 %.2.1. Sucesin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1&1





































ÍNDICE GENERAL

Cálculo Aplicado Norberto Chau %.2.&. Sucesiones de Cauch4 . . . . . . . . . . . %.). Series nu"5ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . %.). %.).1. 1. Seri Series es de t5r" t5r"in inos os t5r t5r"ino "inoss no nega negati ti##os . %.) %.).2. .2. Ser Series ies de (5r" (5r"in inoos Cuale uales6 s6uuier iera . . . . . %.%. Sucesiones 4 series de /unciones . . . . . . . . . .

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1$1 170 177 177 1!% 1!% 1'!

%.%.1. .1. Suces cesiones de /unciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %.%.2. Series de /unciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %.%.). Series de *otencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . %.&. %.&. Soluci Solucin n de Ecuaci Ecuacione oness di/ere di/erenci nciale aless "edian "ediante te serie serie de potenci potencias as

. . . .

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1'! 200 201 212

. (erie de 0ourier + ,cuaciones -ierenciales Parciales &.1. &.1. unci uncion ones es peri perid dic icas as 4 seri series es trig trigon ono" o"5t 5tri rica cass . . . . . . . &.1.1. .1. uncio ncionnes *ares e I"pares . . . . . . . . . . . . . . &.1. &.1.2. 2. *rop *ropie ieda dade dess de las las /unc /uncio ione ness pare paress e i"p i"par ares es . . . &.2. unciones per per8odi odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . &.2.1. Algunas *ropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . &.). unciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . &.).1. Serie trigono"5trica . . . . . . . . . . . . . . . . . &.).2. (erie (erie de 0ourier ourier de unciones unciones de per&odo % π &.% &.%. Ser Serie de o ourie urierr gene eneral ral 4 con con#erge rgencia ncia . . . . . . . . . . . &.&. Series seno eno 4 coseno de ourier . . . . . . . . . . . . . . . &.$ &.$. Aplic plicaacio ciones nes de las ser series ies de ouri urier . . . . . . . . . . . . &.$. &.$.1. 1. Sepa Separa raci cin n de #aria ariabl bles es cond conduc ucci cin n del del cal calor or . . . .

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. . . . . . .. . . . . .. .. .. .. . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . .

%! . . 21$ 21$ . . 21$ . . 21$ 21$ . . 21$ . . 217 . . 21! . . 220 . . 22) . . 22) 22) . . 2)! . . 2%2 2%2 . . 2%2 2%2

1. 2a 2a tran trans sor or$a $ada da de 2apl 2aplac acee + ,cua ,cuaccione ioness -ie -iere renc ncia iale less /rdi /rdina nari rias as %# %# $.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2&7 #. 2a transor$ada de 2aplace 7.1 7.1. (rans/o ns/or" r"ad adaa in# in#ers ersa de apl aplace ace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. 7.1.1. Ecuac Ecuacion iones es di/ere di/erenci nciale aless con con /uncio /unciones nes de /uer+a /uer+a discon discontin tinuas uas unciones de entrada entrada periódicas + continua continuass por p or tra$os . . 7.2. 0unciones 7.). unciones escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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%1! . 270 270 . 27' 27' . 2!0 . 2!0





































e|Presentación El teto ha sido dise9ado para brindar a los estudiantes de carreras de ciencias e ingenier8a una re#isin de conceptos básicos 6ue serán re6uisitos para /uturos cursos de #arias #ariables. a -nalidad del "is"o es 6ue el estudiante ad6uiera las herra"ientas necesarias para aplicar, en la resoluci resolucinn de e:ercicios e:ercicios 4 proble"as proble"as,, los conceptos conceptos 4 propiedade propiedadess básicas básicas de la Geo"etr8 Geo"etr8aa anal8tica #ectorial, Introduccin al ;lgebra ineal 4 Cálculo i/erencial e Integral en #arias #ariables. Este libro se caracteri+a por brindar un trata"iento diná"ico a los contenidos "ate"áticos lo 6ue see reC*, tienen una gran #ar= iedad 4 pro/undidad de proble"as en cada cap8tulo, grá-cos, de"ostracin de los teore"as básicos, "uchos e:e"plos relacionados con la teor8a, ap5ndices para re/or+ar te"as tericos de la geo"etr8a anal8tica #ectorial en le espacio,del Análisis Mate"ático en #arias #ariables 4 uso de las co"putadoras en la grá-ca de /unciones cn todas sus caracter8sticas. (odos los e:e"plos 4 proble"as se basan en e#aluaciones pasadas del curso de Cálculo % 4 Análisis Mate"ático % de Estudios Generales Ciencias. Eisten "uchos proble"as basados en grá-cos grá-cos 6ue en/ati+a en/ati+ann la co"prens co"prensin in conceptua conceptuall 4 el uso de las co"putadora co"putadoras. s. os e:e"plos e:e"plos 4 proble"as de ingenier8a, geo"etr8a 4 /8sica tienen un papel predo"inante. Se cuenta con bastantes e:e"plos desarrollados paso a paso a tra#5s de los cuales el estudi= ante identi-cará las t5cnicas a seguir para resol#er los tipos de tareas propuestas, as8 co"o las :usti-caciones para cada una de ellas. 1

Norberto Chau *5re+ Agosto






































ÍNDICE GENERAL







































Cap&tulo !

Integración "últiple Este cap8tulo está dedicado a la (eor8a de la Integracin. En la pri"era seccin estudia"os la integral de l8nea? Introduci"os el concepto de cur#as e6ui#alentes 4 presenta"os dos interpreta= ciones /8sicas de ella, presenta"os los dos teore"as /unda"entales del cálculo para integrales de l8nea 4 "ostra"os una aplicacin al principio de conser#acin de la energ8a. inal"ente hace"os un estudio de los ca"pos conser#ati#os o gradientes. a segunda 4 tercera seccin están dedicadas a establecer los principios básicos de la integral doble de ca"pos escalares de-nidos en regiones de R2 . a cuarta seccin la dedica"os a las aplicaciones de la integral doble a proble"as co"o? #ol@"enes ba:o una super-cie, áreas de regiones li"itadas por cur#as, cálculo de centros de gra#edad 4 cálculo de #ol@"enes de re#olucin. a 6uinta 4 seta seccin la dedica"os al estudio del (eore"a de Green 6ue constitu4e uno de los teore"as "ás i"portantes del cálculo. o hace"os tanto para regiones si"ple"ente coneas co"o "@ltiple"ente coneas. Co"o consecuencia del (eore"a de Green deduci"os las /r"u= las de Green, de gran utilidad en el estudio de las ecuaciones di/erenciales parciales, 4 da"os





































CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN MÚLTIPLE MÚLTIPLE


co"putador. Es i"portante 6ue el estudiante haga las autoe#aluciones para garanti+ar la cabal co"prensin de cada te"a.

!.!. !.!.

Inte Integr grale aless -obles -obles

En esta seccin estudiare"os la integral doble de-nida sobre con:untos acotados de R2 Integral doble sobre un rectángulo Suponga 6ue f : Q ⊂ R2 −→ R es una /uncin continua de-nida en una regin rectángular Q := [a, b] × [c, d] cerrada 4 acotadaB. Considere f (x, y) ≥ 0 para todo (x, ( x, y ) ∈ Q 4 sea el slido





S = (x,y,z) x,y,z ) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x, (x, y ) /b3etivo4 hallar el #olu"en de S . Partición del rectángulo.





































CAPÍTULO 1. INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN MÚL MÚLTIPLE TIPLE


(b) El área de cada sub-rectángulo Qij para i = 1, . . . , m; m; j = 1, . . . , n . m

Se denota por ∆ij A = ∆i x.∆ x.∆ j y, se verifica que

n



∆ij A = (b

i,=1 i,=1 ,j=1 ,j =1

(3)a norma de la partición ∆, se denota por

− a) (d − c)

  ∆ , se define com la longitud ma!or de las

diagonales de los rectángulos Qij ,

 ∆ = {diag (Qij ) : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} .

 

∗ , yij∗ en cada Q Si eleegimos un punto de muestra xij Qij , entonces podemos apro"imar la parte de S que se encuentra arriba de cada Qij por medio de una delgada ca#a rectangular ( $ columna)

 

∗ , y∗ . con base Qij ! altura f xij ij El volumen del (i, j )-%simo prismas es

 

 

∗ , y∗ .∆ij A = x∗ , y∗ .∆i x.∆ ∆ij V = f xij x.∆ j y ij ij ij Si seguimos este procedimiento para todos los rectángulos ! sumamos los volumenes de los prismas correspondientes, obtendremos una apro"imación del volumen total de S & m

∆V =

n



i,=1 i,=1 ,j=1 ,j =1

m

∆ij V =

n

  

∗ , y∗ .∆ij A = f xij ij

i,=1 i,=1 ,j=1 ,j =1

m

n

  

∗ , y∗ .∆i x.∆ f xij x.∆ j y = S = S (f, ∆)m,n . ij

i,=1 i,=1 ,j=1 ,j =1






































Cálculo Aplicado Norberto Chau Suma doble de iemann* V ( V (S ) =

 

f (x, (x, y) dxdy = dxdy =

Q



f (x, (x, y ) dA

Q

Tambi%n la integral doble puede se vista de la siguiente forma&

-efinición !.!.'. na función f : Q ⊂ R2 Qij se llama una función escalonada*

−→ R tal que f ( f (xi , y j ) = cij , para todo (x, y ) ∈

Es /acil #er 6ue si f 4 g son /unciones escalonadas de-nidas por las particiones ∆ 4 ∆′ de Q respecti#a"ente respecti#a"ente entonces αf + n@"eros reales, es una /uncin escalonada αf + βg, βg , para todo α 4 β n@"eros de-nida de-nida por la particin particin ∆ ∪ ∆′ . -efinición !.!.*. Sea f : Q → R una función escalonada* .efinimos la integral doble de f sobre Q como



f (x, y)dxdy = l´ım∆−→ −→0 Q f ( = l´ım∆−→ −→0

*or e:e"plo, si f ( f (x, y ) = k, = k, entonces



Q f (x, y )dxdy

  n i=1 n i=1

= k( k (b =

m xi 1 )(y )(y j j=1 j =1 cij (xi m x.∆ j y j=1 j =1 f (xi , y j )∆i x.∆

−

a)(d )(d

 − b a

− c)

d f (x, y)dy c f (



−

− y j−1)

dx

a /r"ula per"anece #álida para /unciones escalonadas puesto 6ue 5stas son constantes en cada subrectángulo Q ij . A continuacin se resu"en las propiedades "ás i"portantes de las /unciones integrables. Propiedades 5eore$a !.!.. /ara f f ! g dos g dos funciones integrables definidas sobre un rectángulo Q , Q , entonces se cumplen las siguientes propiedades&






































4*(5onoton+a) Si f (x, y)

≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ Q, Q, entonces f (x, y)dxdy ≤ g(x, y )dxdy.





Q

En particular, si f (x, y)


Q

≥ 0, para todo (x, y) ∈ Q, entonces f ( f (x, y )dxdy ≥ 0.

  ∈   R≤ ≤   ≤  | Q

Si m

≤ f (x, y) ≤ M , para todo (x, y)

Q, Q, entonces

mA ( )

f (x, y)dxdy

MA ( ) .

R

Q

Si f tambi%n es integrable ! se verifica

| | |

f (x, y)dxdy

Q

f (x, y) dxdy.

Q

|

2a integral de una unción acotada Sea f una /uncin acotada sobre R , esto es, | f (x, y)| ≤ M, para alguna constante M > 0. Considere"os el con:unto Ψ de todas las /unciones escalonadas h 4 g de-nidas sobre R tales 6ue h ≤ f ≤ ≤ g. *uesto 6ue f es es acotada, Ψ no es #ac8o. -efinición !.!.1. Si para toda h, g ∈ Ψ e"iste un 6nico n6mero I I tal que

≤ ≤ 

I



dA, decimos que f f es integrable sobre R R ! R f = I . R g (x, y)dA,

Integral (uperior e Inerior de f Sea S = =

4

 R

h, h

≤ f ,

h escalonada sobre

 R



R h(x, y)dA ≤









































e la de-nicin anterior anterior se sigue in"ediata"ente in"ediata"ente 6ue si I ´ınf (f ) = I sup f ) entonces f es es integrable sup (f ) 4



f ). sup (f ) R f = I ´ınf (f ) = I sup

En esta seccin estudiare"os la integral de /unciones continuas de-nidas en Q = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 . bser#e"os 6ue si f es integrable en Q 4 para cada y ∈ [c, [ c, d] la integral



b

A(y ) =

f (x, y)dx

a

eiste 4 ade"ás

 d c

A(y )dy eiste, entonces



  d

f (x, y)dA = dA =

c

Q



b

f ( f (x, y)dx dy.

a

En e/ecto? *ara cual6uier par de /unciones escalonadas h 4 g tales 6ue h ≤ f ≤ ≤ g se cu"ple 6ue



b

a

por lo tanto

 ≤

b

h(x, y)dx

a

 ≤

b

f (x, y )dx

a

g(x, y)dx,







































-e$ostración4

*uesto 6ue f es es continua 4 Q es un con:unto co"pacto co"pacto entonces f es es acotada. Sea ε > 0 arbitrario 4 considere"os una particin de Q tal 6ue en cada subrectángulo Qij

m´ ax ax f Qij

− − m´ ın f < ε. Q ij

la"e"os máx axQij f = M ij ij 4 m´ınQij f = mij . Entonces las /unciones escalonadas g 4 h de-nidas por M ij ij 4 m ij respecti#a"ente satis/acen







































   R

f (x, y)dA = dA =

 

f f (x, y )dA.

Q



a di-cultad de etender la integral a regiones "ás generales radica en 6ue la nue#a /uncin f f no es continua en R 4 no sabe"os si f f es es integrable. as discontinuidades se están presentando en ∂ R. *ara sobrepasar esa di-cultad es necesario introducir el concepto de contenido nulo de un con:unto para conclu8r 6ue una /uncin continua en , sal#o un subcon:unto de contenido nulo, es integrable en R. -efinición !.!.7. Sea Sea A ⊂ Rn . .ecimos que A tiene contenido nulo si para todo ε > 0 e"iste un n6mero finito de rectángulos Q rectángulos Q i , i = 1, 2..n tales ..n tales que A A representa el área del rectángulo Qi .

⊂ ∪Qi

!

 | |

Qi < ε, en ε, en donde Qi

| | |

*or e:e"plo, el inter#alo cerrado [0, [0, 1] #isto co"o un subcon:unto de R2 es de contenido nulo, "ás no es de contenido nulo si lo "ira"os co"o subcon:unto de R. (a"bi5n, sea φ una /uncin continua sobre el inter#alo [a, b] , entonces φ es uni/or"e"ente continua. Esto nos sir#e para probar 6ue el con:unto (x, y) ∈ R2, y = φ = φ((x) es de contenido nulo.





5eore$a !.!.). Sea f Sea f una una función acotada sobre el rectángulo Q. Si el con#unto  de discon-







































(0)Si

R es una región de tipo 8& R RI = (x, y) ∈ R2 : φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), x ∈ [a, [ a, b] donde φ1 , φ2 : [a, b] −→ R son funciones continuas con valores reales*Entonces

 



  b

f ( f (x, y)dA = dA =

a

RI

φ2 (x)

f ( f (x, y ) dydx

φ1 (x)

(1)Si

R es una región de tipo 88& R RII = (x, y) ∈ R2 : " 1(y) ≤ x ≤ "2(y)), )), y ∈ [c, [ c, d] donde " 1 , "2 : [c, d] −→ R son funciones continuas con valores reales*Entonces

  



  d

f ( f (x, y)dA = dA =

c

RII

ψ2 (x)

f ( f (x, y ) dxdy

ψ 1 (x)

-e$ostración4 1BSi R es una regin de tipo I?

RI = tene"os 6ue



RI

f (x, y)dA = dA =

  Q



(x, y)

∈ R2 : φ1(x) ≤ y ≤ φ2 (x), x ∈ [a, [ a, b]

f ( f (x, y)dA = dA =

 

b φ2 (x) a φ1 (x)

f (x, y) dydx









































!.!.!. !.!.!. Ca$bio Ca$bio de variabl ariablee En esta seccin estudiare"os el ca"bio de #ariable en una integral doble. En el caso de una sola #ariable sabe"os 6ue si g : g : [a, b] → [c, d] es una aplicacion bi4ecti#a 4 di/erenciable entonces



g (b)=d )=d



b

f (x)dx = dx =

g(a)=c )=c

-efinición !.!.!%. Sea Sea T : Ω ⊂ R2

f (g (#))g ))g ′ (#)d#.

a

−→ R una transformación de clase $ 1 (Ω) (Ω) ( es decir,

continuamente diferenciable), llamamos : acobiano de (*a la función % T := % : Ω T := %

−→ R

definida por % T T (&, ' ) =

∂ ( ∂ (x, y) = ∂ ( ∂ (&, ')

 

∂x ∂u ∂y ∂u

∂x ∂v ∂y ∂u

 

5eore$a !.!.!'. Si la transformación T transformación T : Ω ⊂ R2 −→ R una transformación de clase $ clase $ 1 (Ω), (Ω),

R con#untos abiertos en R 2 ! tiene inversa T R inversa T −1 : R −→ Ω de clase $ 1 (R), entonces T −1 ◦ T (&, ') = I (&, (&, ') =⇒ T −1 [T ( T (&, ')] .T ( .T (&, ') = I (&, (&, ')

donde Ω Ω !

 









































R con#untos acotados 5eore$a !.!.!. (9ambio de variable para integrales dobles)*Sean Ω ! R en R2 ! T : Ω

⊂ R2 −→ R una función bi!ectiva de clase $ 1 (Ω) con % (&, ') = 0.0 .Sea Sea f : R ⊂ R2 −→ R una función integrable en Ω*Entonces f ◦ ◦ T : Ω ⊂ R2 −→ R es integrable !



T (Ω) R=T (Ω)

f (x, y)dx dy = dy =

 R

f (x(&, '), y (&, ')). )). % F F (&, ' ) d& d'

|

|

· · · (1)

Prueba. En el caso de dos #ariables deducire"os, con la a4uda del (eore"a de reen*, una /r"ula si"ilar a la anterior. Sea T : R2 −→ R2 una aplicacin di/erenciable 6ue trans/or"a un con:un= to abierto 4 acotado ⊗ de R2 en otro con:unto R de R2. Escribi"os T ( T (&, ') = (x(&, '), y (&, ')). )). a deri#ada de T en un punto (&, ') ∈ ⊗ la pode"os representar







































∂x ∂y ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u ∂ 2 y ∂ 2 y +x ∂u∂v x ∂u∂v ∂ ∂ = ∂u x ∂y ∂v ∂v

% F F (&, ' ) =

− −

 −   

∂y x ∂u .

e nue#o usa"os el (eore"a de reen 4 obtene"os

   

% F d&d' = F (&, ')d&d' =

R

x

r

∂y ∂y d& + x d'. ∂& ∂'

a prueba 6uedará ter"inada si proba"os 6ue xdy = xdy =

s

x

r

∂y ∂y d& + x d'. ∂& ∂'

· · · (5)

En e/ecto, suponga"os 6ue ((#) = (&(#) '(#)) # ∈ [a, [a, b] Entonces







































*ara ' -:o, α( α(&) = (x ( x(&, '), y(&, ' )) representa una cur#a cu4a i"agen se encuen= tra en Ω 4 cu4o #ector tangente es V 1 =



∂x( ∂x(&, ') ∂y ∂ y (&, ' ) , ∂& ∂&



Análoga"ente, para & -:o β ( β (') = (x(&, ' ), y(&, ' )) de-ne otra cur#a con i"agen en Ω cu4o #ector tangente es V 2 =





∂x( ∂x (&, ') ∂y ∂ y (&, ') , . ∂' ∂'

*ode"os pensar 6ue para incre"entos incre"entos ∆& ∆& 4 ∆' ∆' "u4 pe6ue9os el área del pe6ue9o rectángulo trans/or"ado por la aplicacin  es casi igual al área del paralelogra"o






































Cálculo Aplicado Norberto Chau *or tanto la regin

R = {((, -) : (1 ≤ ( ≤ (2, -1 ≤ - ≤ -2} As8,



f (x, y)dx dy =

T (Ω) R=T (Ω)

    R

=

R

f (x((, -), y ((, -)). )). % T T ((, -) d( d-

|

|

f (x((, -), y ((, -)).(d( )).(d( d-

Coordenadas polares generalizadas Sea T : Ω ⊂ R2 −→ R una trans/or"acin de clase $ 1 (Ω) deter"inado por T ( T ((, -) = (x ( x((, -) y ((, -)), en donde








































D dx dy =

= =


    R (d( da 2 0 0 (d( πa2 4 , π

d-

co"o era de esperarse. 5ransor$aciones lineales Sea T : Ω ⊂ R2 −→ R una trans/or"acin de clase $ 1 (Ω) deter"inado por T ( T (&, ' ) = (x(&, '), y(&, ')), en donde



x(&, ') = a& + b' y (&, ') = c& + d',

Entonces el acobiano de x e y con respecto a & 4 ' ?









































!.!.%. !.!.%. Apl Aplica icacio ciones nes de de la inte integra grall doble doble En esta seccin dare"os algunas aplicaciones de la integral doble. !. :olú$enes El con:unto






































  − a

a2

0

por lo tanto

√ r −x



2

2

y2 dy = dy =


1 2 a 0, 4

1






































Cálculo Aplicado Norberto Chau E:e"plo 1.1.2%. 9alcular la integral



2 ydxdy,donde R x ydxdy,donde

R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y (y + 1) 2 ≤ 1, |x| ≥ |y|}







































4, de nue#o, aplicando ahora la /r"ula de reduccin

 

x2ydxdy =

C

 − 4 5

2

"#s - s%n5 

!   2π

π

5 + 

2π

s%n4 -d-

π







































4, de nue#o, aplicando ahora la /r"ula de reduccin



x2 ydxdy =

C

" −  −

1 10

4 5

5

"#s - s%n 

!  # 7π 4

+

5π 4

5 

7π 4

s%n4 -d-

5π 4





































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































  − 4

  −    −  !   − − !  −− ! −  − π

x2

K

−

y 2dxdydz

= 4

4

&"#s2&"#s2-

4"#s2 2- d-

&"#s2&"#s2-

4

1 + "#s "#s 42

&"#s2&"#s2-

2

"#s4 "#s4d2

0

π

= 4

4

0

π

= 4

4

0

= 4 4s%n24s%n2= 4 4

0 2

1 s%n s%n 4&

2-

= 1

d-

θ= π4 θ=0

20

E:e"plo 1.2.17. 2allar la componente z componente z del centroide del sólido acotado S que que se encuentra fuera de la esfera x2 + y 2 + z 2 =  ! dentro del paraboloide z = 4

− x2 − y2.

(olución.

 R

Sea

:

x2 + y 2 + z 2 =  z = 4

− x2 − y2

.esol#iendo el siste"a de ecuaciones se obtiene z =

donde resulta. En consecuencia la regin de integracin en el plano KH es ?

R=



(x, y )

∈ R2 : (x ( x2 + y2 ≤

√



2

−1, z = 2 de







































|% ((,-,z) (,-,z)| = ( = ( √

a ecuacin de la es/era x 2 + y 2 + z 2 = , se tiene ? z =  − (2 a ecuacin del paraboloide z = 4 − x2 − y 2 , se tiene ? z = 4 − (2



  ⊗ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ −          − − √ −     2 −  −  3  − √ √    − √            −    −      − −  − −   √    ⊗ ∈ ≤ ≤ ≥ := ((,-,z) (,-,z) : 0

M =#olu"enL

dzdxdy = ⊗ dzdxdy =

2π 0

M =#olu"enL M =

34 3

⊗ zdzdxdy =

2π 0

uego, z =

d-

+ XY XY +

=

20, 0

√ √2

2π 0

1 4 4(

2(2

4  0

M ! ! = M ! ! =

d-

-

√ √ 2

2π 0

(

(2



2

2

12 23



(2

3 2

0

d- = d- = 20

2

4−r √ zdz (d( d- = d- = 6−r √ 2 2

0

1 6 7 4 5 2 = 20 20 12 ( 8( + 2( 0 13 π 3 = 6 17 132 6 . 34 ( 3 4 6)π (3 )

− √

2,

4−r √ dz d( d- = d- = 6−r √ 2

0

+

√

13 6

=

2π 0

z

4

(2

4

(2

√ √ 2

2π 0

0

17 3

√ √2

0



2  3 1 5 2(

7 3 2(

+ 5( 5( d( d-

13 3 0

− √

E:e"plo 1.2.1!. Sea el sólido Ω limitado por las gráficas de las ecuaciones& z = z =

$

x2

y 2 ! z =

x2 + y 2 .

a)rafique el sólido Ω* b)9alcule

Ω

(olución. aB := (x,y,z) x,y,z)

1

(x2 +y 2 +( 2 )3

R3 : 4

dxdydz.

x2 + y2 + z 2

bB>sando coordenadas es/5ricas?

$

s%n φ

(2 (d( d-

-

$, z

x2 + y 2

4

x2

y2 ,







































z =



x2 + y 2





6 = 2

e : x : x2 + y 2 + z 2 = $



6 = 3

φ = π4 Ade"ás 0

⊗ :=



   Ω

e : x : x2 + y 2 + z 2 = 4

 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤             −     −   −  − √ 

(6,-,:) 6,-,:) : 0

-

20, 0

2π

π

3

1 dxdydz = dxdydz = (x2 + y2 + z2 )3



≤ - ≤ 20

0

4

0

2

0 , 2 4

:

62 s%n φ d6dφd- = d6dφd- = 63

f (x,y,z) x,y,z )dV = (ln 3

4

ln2)

0

0



f (x,y,z) x,y,z )dV = (20 (20) 1

Ω

4

3

s%n φ

0

2

1 d6 dφ d6

s%n φdφ ds%n φdφ d-

0

2π

0

0

4

π

ln2)

3 = ln 2

π

2π

0

2π

= (ln 3

3

π

2π

Ω

6

π

d- [ "#s φ]04

1 3 2 ln 2 2

x2 y 2 z 2 E:e"plo 1.2.1'. Sea Sea el sólido limitado superiormente por la gráfica de + + = z e $ 4 3 x2 y 2 inferiormente por la gráfica de z = + * $ 4 a)@osque#e el sólido *

K K

8

K

b)9alcule el volumen de *

K K

(olución. >sando coordenadas es/5ricas generali+adas ? x = 36 s%n : "#s -, y = 26 s%n : s%n -, z =

S 1 : 6 : 62 = S : z : z

x2 y 2 z 2 + + = 62 , $ 4 3 S 1 : 6 : 6 = = 3"#s :

√ 36 "#s : −→

8

x2

+

y 2

√

→ S : √ 36 "#s :

|% (6,-,:) 6,-,:)| = 

6 s%n :

√ 36 "#s :

√

362 s%n :

→ S : tan : √ 3 → S : : : :

π






































     √   π

V = V =

√ √




     √   √ π



√ √

2π 3 3cos * 2π 3cos * 2 s%n :62 d6 d:d- = d:d- = 0 03 s%n : 0 6 d6 0 0 0 π 2π 3 3 3 4 3 0 d0 "#s : s%n :d: = 2 30 16 = 8 30

d:d- = d:d- =

  2π 0

π 4

0

√

3 3cos3 * 3

:olu$en de la esera n9di$ensional Co"o una @lti"a aplicacin del ca"bio de #ariables en la integracin #ea"os el #olu"en de una es/era de centro cero 4 radio a en el espacio Rn. *ara ello es necesario introducir la /uncin Ga"a. Esta se de-ne as8? ' ()) =



∞

#s−1 − d# , ) > 0. 0.

0

as propiedades "ás i"portantes de la /uncin Ga"a son? 1B. ' () + 1) = ) = )' ' ()) . 2B. ' (n + 1) = n = n**, en donde n ∈ N. a /uncin Ga"a está de-nida para ) > 0. No obstan obstante te la propie propiedad dad 1B anteri anterior or nos dice 6ue pode"os etenderla a los reales negati#os sal#o los enteros negati#os. *or e:e"plo, para −1 < ) < 0 tene"os 6ue 0 < ) + 1 < 1, en donde está de-nida la /uncin ga"a, entonces Γ(s+1) de-ni"os ' ()) = Γ(s . *rocede"os recurrente"ente 4 de-ni"os la /uncin Ga"a en los s inter#alos ( −2, −1) , ( −3, −2) ... etc. a propiedad propiedad 2B anterior anterior nos per"ite per"ite etender la nocin de /actoria /actoriall de un n@"ero natural natural al caso de un n@"ero real, as8? 5* 5 * = ' ( 5 + 1) , para 5 + 1 di/erente de un entero negati#o o cero.

  √

>n cálculo directo nos dice 6ue ' 12 = 0 4 por la propiedad 1B obtene"os ' √ ' 52 = 43 0. As8 "is"o '(1) = 1, 1, ' (2) (2) = 1. 1.



 3 2

=

1 2

√ 0 4

El #olu"en de la es/era n=di"ensional de radio a es n

02 V n (a (a) = an n , ' 2 +1

 

n

≥ 1. Es claro 6ue es cierta para n = n = 1, 2. e"ostr5"ola para n ≥ 3. Considere"os la trans/or"acin  (& ( &1 ,...&n ) = (x ( x1 ,...xn ) = a (&1 ,...&n ) , a > 0. 0. Entonces % F = an . *or lo tanto F (&1 ,...&n ) = a V n (a (a) =

 · · · 

- (0,a (0,a))

dx1 ...dxn = a = an

 · · · 

- (0, (0,1)

Esto es, V n (a (a) = a n V n (1) . *ara calcular V n (1) procede"os as8?

d&1 ...d&n



s%n : d: d-






































Cálculo Aplicado Norberto Chau Entonces V n (1) =

   ·· ···     −    − 



d&1 ...d&n−2 d&n−1 d&n u +...un− ≤ 1−un −un− = % ≤ 1 = u +u ≤ 1 V n−2 ( 5) 5)d&n−1 d&n n n− = u +u ≤ 1 V n−2 (1) 5n−2 d&n−1 d&n n n− n −1 d& d& = V n−2 (1) u +u ≤ 1 1 &n2 − &n2 −1 n−1 n n n− n −1 ( d( d2π 1 = V n−2 (1) 0 0 1 (2 = V n−2 (1) 2nπ . u2n +u2n−1 2

2

2

2

2 1

2

2

2

2

1

1

1

2



2

1

2

2

Ahora, puesto 6ue ' () + 1) = ) = )' ' ()) , #e"os 6ue la sucesin n

02 f (n) = ' n2 + 1

 

2









































,3erccios Propuestos4In Propuestos4Integración tegración $úl $últiples tiples

1. Calcular

    2 x

1

x2 + y 2

1 0

dy dx.

2. In#ertir el orden de integracin 4 e#aluar

  √ 8 2

0



y dx dy. 1 + x2

√ y 3

). In#ertir el orden de integracin 4 e#aluar 2 log x

   −  

1) 1 + 2y dy dx.

(x

1

0

%. Sea 3

I =

√ 4−y

  0

f ( f (x, y ) dx dy

y 3

a B ibu:ar la regin de integracin 4 luego epresar la integral I con el orden de inte=

gracin in#ertido. in#ertido. b B Calcular el #alor de la siguiente integral doble 3

√ 4−y

  

1 + x2dx dy

0

y







































7. allar el #olu"en del slido 6ue se encuentra sobre el plano 1 2 4 está li"itado por z = xy , x2 + y 2 = 4. 4.

!. allar el #olu"en del slido li"itado por las super-cies z = 10, 10, z = x = x + y 2 , x = 0.

'. Sea

4



a =

1

)nx dx. x

Calcular, en t5r"inos de a, el #alor de 1

2

  0 1+y 1+y

10. e"ostrar 6ue

)n x dxdy + dxdy + x

1 4

  0 2

 8 −  S ∈ c 1

siendo

)n x dxdy + dxdy + x

x 2 a2

3

1 1+y 1+y

2

− yb2 dx dy

2 R

x2 y 2 : 2+ 2 a b

 ≤

icha integral es el #olu"en de la "itad de un elipsoideB

  | | xy

siendo

)n x dxdy x

S

= (x, y)

11. Calcular

4

 

R

x2 + y 2

dx dy

1 .






































1%. Calcular


 

2xy

 x2 +y2 dxdy ,

R

donde R es la regin li"itada por la cur#a (x2 + y2 )2 = x2

− y2,

en el pri"er cuadrante. 1&. Calcular



(x + y )2 "#s(x "#s(x

R

− y)dxdy

donde R es la regin li"itada por el triángulo de #5rtices (0, (0 , 0), 0), (0, ( 0, 0 ), ( −0, 0). 1$. Epresar en coordenadas polares las siguientes integrales? 1 1

a B

   

f (x, y)dxdy

0 0

1 x2

bB

f (x, y)dxdy

0 0

17. E#aluar

 

x2 + y2 dxdy

R

donde R es la regin li"itada por el cuadrado P0,1Q×P0,1Q. 1!. Calcular

  R

12 4a2 x2

− − y2 dxdy,






































Cálculo Aplicado Norberto Chau 20. E#aluar la integral doble



x2

− y2

3

(x2 + y2 ) 2

S

dA,

donde S es es la regin encerrada por las grá-cas de las ecuaciones

$& '

x2 + y2

− 4x − 4y + 4 = 0 , √ 1 y = √ x , y = 3x. 3

21. allar allar el #olu"e #olu"enn del slido li"itado li"itado por las super-cies super-cies z = 2, x2 + y2

− z3 + 1 = 0.0.

22. allar la "asa de una lá"ina 6ue tiene la /or"a de la regin, en el pri"er cuadrante,eterior cuadrante,eterior a la parábola y 2 = x e interior a la circun/erencia x2 + y 2 − 4x = 0,con densidad super-cial 6(x, y) = y.

2). >na lá"ina lá"ina tiene la /or"a /or"a del triángulo triángulo de #5rtices #5rtices A(0 A (0,, 0), 0), ; (0, 0), 4 $ (2 $ (20, 0, 0). 0). allar su "asa si su densidad es



! (x, y) = (x ( x + y )2 s%n(x s%n(x2



− y2) .

2%. Calcular el centro de gra#edad de la lá"ina 6ue tiene la /or"a de la regin li"itada por y = x, = x, y =

−x,

x2 + y 2 = 4, 4 , x2 + y2 = 

4 6ue se encuentra situada arriba del e:e 1. a densidad en cada punto (x, (x, y ) de la lá"ina es







































27. aB Gra-car el slido , en el pri"er octante, li"itado por z = x = x2 + y2 , z = 4, x = 0, y = 0

bB Calcular

 √   

x zdxdydz.

/

2!. Calcul Calcular ar

x2 + y 2dxdydz

K

donde K es el slido li"itado por las super-cies z = x = x2 + y2 , z = &

2'. 2'. Sea 2

√ −x 4 3

2

4 8y 2

−

   0

0

− (x2 + y2).

f ( f (x,y,z) x,y,z)dzdydx.

x2 +y 2

Ca"biar el orden de integracin de "anera 6ue la nue#a integral sea de la /or"a

··· ··· ···

  

f ( f (x,y,z) x,y,z )dxdzdy

··· ··· ···

)0. a integral triple de una /uncin cont8nua / sobre el slido K li"itado por el paraboloide z = & − x2 − y 2 , el cilindro x 2 + y 2 = 4 4 el plano z = 2 se ha epresado en la /or"a ? I =

  

f (x,y,z) x,y,z) dz

allar los l8"ites de integracin de las integrales.

 

dy dx.








































Cálculo Aplicado Norberto Chau )). Calcular

 

ydxdydz,

K

donde K es el slido li"itado por

y = 0, y =

6ue está deba:o de la super-cie z =



 − 2x

x2 ,

x2 + y 2 4 sobre el plano 1 2.





































Cap&tulo %

Integrales de l&nea Estudiare"os en esta seccin las integrales de l8nea de ca"pos #ectoriales. Su de-nicin está inspirada en el concepto /8sico de traba:o o energ8a. Si por e:e"plo una part8cula se "ue#e en el espacio ba:o la accin de un ca"po de /uer+as, el traba:o reali+ado por la part8cula de un punto a otro de su tra4ectoria se "ide con una integral de l8nea. -efinición %.8.%8. Sea Sea  : Rn → Rn un campo vectorial ! sea α : [a, b] → Rn una curva que supondremos diferenciable* Entonces definimos





































CAPÍTUL CAPÍTULO O 2. INTEGR INTEGRALES ALES DE LÍNEA LÍNEA


(a"bi5n, >na cur#a 7 puede puede ser una cur#a con/or"ada por otras dos cur#as α 4 β : a cur#a α une al #ector A con el #ector ; 4 la cur#a β une une al #ector ; con el #ector $ . Entonces la cur#a 7 une el #ector A con el #ector $. En este sentido deci"os 6ue 7 = 7 = α α + β. Entonces tene"os?

    d7 = =

&

 dα +

0

dβ.

2

a integral de l8nea 6ue de-ni"os en %.1.1B depende del ca"ino α 6ue une el punto A con el punto ;. *or e:e"plo, considere"os el ca"po #ectorial  (  (x, y ) = √ y, x3 + y . Considere"os los ca"inos α(#) = (#, #) , # ∈ [0, [0, 1] 4 β (#) = #2 , #3 , # ∈ [0, [0 , 1] . os dos ca"inos unen los puntos (0, (0, 0) 4 (1, (1, 1) por tra4ectorias distintas. e"os, 6ue 17 4 0  dα = 12





 

 

2  dβ

=

59 42 .

Ahora, si en lugar del ca"ino β la la integracin la hace"os a lo largo del ca"ino 3 7 (#) = #, # 2 , # ∈ [0, [0, 1] , 6ue tiene la "is"a tra4ectoria del ca"ino β , #e"os 6ue

 

   d7 = =

&

Curvas e
 dβ = =

2

5$ . 42







































son cur#as e6ui#alentes 4 recorren el arco de parábola en sentidos contrarios, c"o se indica en la -gura.

0igura No. 8!

Considere"os el ca"po #ectorial  (  (x, x, y ) = (xy,x + y ) . Entonces



  9   :  9 : 0  dα =

e otra parte



 dβ

1

=

1 0 1 0

 (α ( α (#)) , α′ (#) d#

#3 , # + #2 , (1, (1, 2#) d# = d# =

 (β ( β ((#)) β ′ (#) d#

17 12







































0igura No. 8%

Esto es, la co"ponent co"ponentee de la /uer+a /uer+a en la direccin direccin del despla+a"ie despla+a"ient ntoo por la "agnitud del despla+a"iento. Esto es conocido co"o el traba:o reali+ado para de= spla+ar la part8cula desde el punto A hasta el punto ;. ; . bser#e"os 6ue en este caso particular no i"porta cual es el ca"ino 6ue une el punto A con el punto ; , el #alor de la integral depende del punto inicial A 4 el punto -nal ; . Entonces, 0  dα "ide el traba:o reali+ado al despla+ar la part8cula desde el punto A hasta el punto ; a lo largo de la cur#a α. (egunda Interpretación &sica de la Integral de 2&nea Si α( α (#) deter"ina la posicin de la part8cula en el tie"po # entonces α′ (#) = V = V ((#) "ide la #elocidad 4 α ′′ (#) la aceleracin. Ahora, la segunda le4 de Newton nos nos dice 6ue para cierta clase de ca"pos #ectoriales  , 6ue lla"are"os ca"pos conser#ati#os o gradientes, se tiene 6ue



 (α ( α(#)) = m = m V ′ (#).

Ahora,

9

:9

:

1 d  (α ( α(#)) , α′ (#) = m V ′ (#), V ( V (#) = m ' 2 (#), 2 d#









































$%& %' √ − √ −     ( −    ∈ ∈ ⇒    √   ( (   (   (     x = 1 + "#s # y = sen #

z = 4 2x = 2 2"#s # = 2sen 2 α(#) = 1 + "#s #, sen #, 2sen 2  # [0, [0, 0 ]

uego, α ′ (#) = α′ (#) =

=

s%n #, "#s #, "#s

1 + "#s2

a "asa es? π M =

 2

 2

π

! ( ! (x,y,z) x,y,z ) d) = d) =

0

π

 2

=

1 + 21 + 21 "#s # =

π

2 (3 + "#s "#s #) 1 + "#s2

 2

(   (

4 + 2 (1 + "#s "#s #) 1 + "#s2

4 + 2xd) 2xd) = =

0

1 + "#s2

M =

 # [0, [0, 20]

0 3 1 2 + 2 "#s # π

d# = d# =

2 (3 + "#s "#s #)

 2

3 1 2 + 2 "#s #d#

d#









































E:e"plo 2.0.2%. 9alcule la integral de l+nea C f ( f (x,y,z) x,y,z)d), d), donde f ( f (x,y,z) x,y,z) = x 2 + y2 , donde C C es el arco de la circunferencia

x2 + y 2 + z 2 = 4, situada en el primer el primer octante* octante *

(olución

y = x = x









































25 E:e"plo 2.0.2&. 2allar el traba#o realiado por el campo de fueras  fueras  ((x,y,z) x,y,z) = x5 , x2 z 3 , 196 yz y z

  − −

x2 9

para desplaar una part+cula a lo largo de la curva '&

   $%& %'

desde el punto A 0, 56 , 54 hasta el punto ; 0, (olución. 2



'?

x2 9

+

y2 4

+

z =

2 2 3y 2 3y

=1

6 5,

4 5

+

y2 4

2y .

=

'?

x2 9

+

y

36 25

=1

z = 32 y

dx = dx =

y = 56 sen # =

co"o x = x = 3 "#s "#s # ≥ 0 =⇒

z = 54 sen # dz = dz = 54 "#s # d# π π ## A = α α π2 , ; = α = α 2 , 2 4 A =



#, 4

#

#

∈

'?

3sen # d#

*ara"etri+ando ' : '?

(#) = 3"#s #, 6

− 3z = 0

$& ⇒ ' $%& − ⇒ % ' −  ∈ −     

x = 3 "#s "#s #

':

+ z 2 = 1, x

π π

dy = dy = 56 "#s # d#

π 2

≥0








































Cálculo Aplicado Norberto Chau  =  =

  −  √ − √ −    − −  2 3 − √  − − − √

.dα = Qdy + *dz = *dz = Γ .dα = Γ + dx + Qdy + π 2 cos  2 ( sen # d#) d#) + 2sin 2 (s%n # π 2 3 9+(4) 9+(4)

−

π

 =

2

π 3

π

 =  =

cos2  5

2

π 3

1 5

cos2  5

cos3  3

√

( s%n #d#) #d#) +

( s%n #d#) #d#) +

1 30

√ 2 5

π

1 30

20 =

1 15

√ 2"#s # d# cos  √ 9+(4) 2





d#

20

π 2

d#) d#) +

0

3

1 8

1 30

√ 20 = − 1 √ 20 − 30

1 120

5eore$a %.8.%#. (Segundo teorema fundamental del Cálculo para integrales de línea)

→ → R un campo escalar diferenciable, definido en un con#unto abierto cone"o de *n. /ara cualquier curva diferenciable α : [a, b] → S, se S, se tiene que ∇φdα = φdα = φ φ((α(b)) − φ(α(a))

Sea Sea φ : S









































de conser#acin de la energ8a? a energ8a total en cual6uier par de puntos de la tra4ectoria tra4ectoria es constante. constante.

Ca$pos Conservativos o =radientes

os ca"pos #ectoriales  para los cuales eiste un ca"po escalar φ tal 6ue ∇φ =  son conocidos co"o ca"pos conser#ati#os o gradientes. Su i"portancia radica en el hecho de 6ue 0  dα es independiente de la cur#a α. En el caso en 6ue α sea una cur#a cur#a cerrada 0  dα = dα = 0. eciproca"ente, ca"pos #ectoriales cu4as integrales de l8nea son independientes del ca"ino son ca"pos conser#ati#os. (ene"os el siguiente

 








































Cálculo Aplicado Norberto Chau φ( +4ek ) φ( ) 4

−

= =





1 4 (1 + + 4 0 f $ (1 g (4) g (0) 4

)$ ) d)

−

4 en donde g( g (h) = 0 f $ (1 (1 + + )$ ) d). *uesto 6ue g ′(0) = f = f $ (1 ), de RB RB obtene"os obtene"os 6ue

RB






































Sea  : S → → 5eore$a %.8.'8. Sea

n R ,


S conve"o, S conve"o, diferenciable con continuidad (sus funciones

compon componentes entes tienen derivadas derivadas parciales arciales continuas) El campo campo   es un gradiente si ! sólo si  f (1 ) =  =  f ( f (1 ) para todo i, j

1 2

! todo 1

S.






































Cálculo Aplicado Norberto Chau ' := '1

∪ '2, donde

'1 : (x

− 2)2 + 4y 4y 2 = 4,

son curvas orientadas en sentido anti'iorarias*

(olución

'2 : (x

− 1)2 + y2 = 1







































 (x, x, y ) = (x + y, x − y) 4 sea !. Sea  ( 7 ( 7 (#) =

Calcule



 d7.



(2#, (2#, 0) si # (1, (1, 2#

− 1)

∈

   ∈ 0, 12

si #

1 2, 1






































%.! %.!.


5eore eore$ $a de =ree reen El (eore"a de reen conecta los conceptos de integral de l8nea con los de in= tegral doble sobre regiones circundadas por cur#as continuas de Aordan , regulares o regulares a tro+os.




































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































CAPÍTU CAPÍTULO LO 3.

INTEGRA INTEGRALES LES DE SUPERFI SUPERFICIES CIES

Integral de Super-cie 4 E:e"plos Proble$as !. alle el área de la super-cie del slido 6ue está li"itado por las super-cies x 2 + y 2 + z 2 = 1 4 el plano z = 21 %. alle alle el área de de la regin regin del plano plano x + y + z = 1 6ue deter"ina el cil8ndro x 2 + y2 = 1 Calcule el área de la porcin porcin de paraboloid paraboloidee x 2 + y2 = 2y cortada por el plano y = 1 '. Calcule *. Se S la super-cie de la es/era x 2 + y 2 + z 2 = 1. Calcule la integral de super-cie



xy2 d)

S

gra#edad de una placa ho"og5nea ho"og5nea 6ue tiene la /or"a de cono circular recto recto . alle el centro de gra#edad de altura h 4 ángulo α con el e:e z.





































CAPÍTUL CAPÍTULO O 3.

INTEGRA INTEGRALES LES DE SUPERFIC SUPERFICIES IES


El (eore"a de Stoes En esta seccin estudiare"os el (eore"a de StoCes . Este (eore"a de gran belle+a 4 pro/undidad tiene "@ltiples aplicaciones, entre las 6ue se destacan las re/erentes a la "ecánica de
   →− 

, n d)

S

en donde  = (+,Q,*) +,Q,*) es un ca"po #ectorial, S es una super-cie para"etri+ada por un /uncin di/erenciable r : T → → S 4 ∂ r ∂u ∂ r ∂u

→ −n =

× ∂v∂ × ∂v∂

r

? ?

e"os. entonces, 6ue

r

  →−    9  S

, n d) =

T

=

T

=

T

.

?: ?

→ −  ∂u∂ × ∂v∂ d&d' ∂  (( ( ( (&, ')) , ∂u × ∂v∂ d&d'

 ( ( r (&, ')) , n

r

r

r

r

∂ (y,() y,( ) ∂ ((,x) (,x) ∂ (x,y) x,y) + ∂ ( ∂ (u,v) u,v) + Q ∂ (u,v) u,v ) + * ∂ (u,v) u,v ) d&d',

en donde debe"os entender 6ue las /unciones +, Q 4 * están calculadas en r (&, ') . Es costu"bre escribir la epresin anterior co"o

  →−   , n d) = d) =

S

S

+ dy

∧ dz + dz +

en donde

  

+ dy

∧ dz S S Q dz ∧ dx S * dx ∧ dy

Es i"portante ad#ertir 6ue por e:e"plo

 

Q dz

S

= = =

  

∧ dx +

T

∂ (y,() y,( ) + ∂ (u,v) u,v)

T

∂ ((,x) (,x) Q ∂ (u,v) u,v)

T

(x,y) x,y) * ∂ ∂ (u,v) u,v) .

 S

* dx

∧ dy,








































4 no debe"os con/undirla con una integral doble.



5eore$a '.'.!1. ( Stoes) Stoes) Sea Sea S S = = r T una superficie param%trica regular ! simple en donde T es una región región acotada acotada ! simplemente simplemente cone"a del plano circundada circundada por una curva de ' de ' derivable derivable ! orientada positivamente (en el sentido contrario a las manecillas del relo#)* .enotemos con $ = = r (')* (')* Entonces

   −  S

=

3

∂R ∂y

∂Q ∂(

dy

∧ dz + dz +

+ dx + Qdy + Qdy + *dz

  −  S

∂P ∂(

∂R ∂x

dz

∧ dx +

  S

∂Q ∂x

− ∂P ∂y



dx

∧ dy

*ara darle al (eore"a de StoCes una escritura "ás sugesti#a sugesti#a es necesario introducir el concepto de rotacional de un ca"po #ectorial? Sea  = (+,Q,* ( +,Q,*)) un ca"po #ectorial deri#able con continuidad. e-ni"os *3# ( )  )  el rotacional de  B co"o *3# ( )  ) =



∂* ∂y

−

∂ Q ∂+ ∂ + , ∂z ∂z

−

∂* ∂ * ∂Q ∂ Q , ∂x ∂x

−

∂+ ∂ + ∂y



&.).1B

Con el uso de &.).1B la igualdad del (eore"a de StoCes to"a la siguiente /or"a?

  S

−n  d) = *3# ( )  ) , → d) =



 d$

&.).2B

3

Ilustre"os la /r"ula &.).2B con el siguente



  −

E:e"plo ).).17. Sea Sea  (x,y,z ( x,y,z)) = y 2 , z 2 , x2 un campo vectorial* Sea $ la $ la curva que se obtiene al intersectar las superficies

z =

z =1 2allar



2

x2

− y2

!

3 d$.

*ara ponernos en el conteto del (eore"a de Stoes, debe"os de-nir la super-cie S . (ene"os dos opciones? >na es to"ar co"o super-cie S la de-nida por 1 la







































r (x, y ) =




  − −  ≤  x,y,

x2

2

y2

en donde (x, ( x, y ) ∈ T = (x, y ) ∈ R2 , x2 + y 2 1 . a cur#a ' a la 6ue hace alusin el (eore"a &.).1B es ("#s #, sen #) , # ∈ [0, [0 , 20] 4 la cur#a $ = r (') = ("#s #, sen #, 1) , c"o se indica en la -gura.

0igura No. 8!

>n Cálculo sencillo sencillo nos dice 6ue *3# ( )  ) = (−2z, −2x, −2y ) . e otra parte ∂( ∂x

∂( × ∂y =



(2

1 x2

− − y2 )

x,

Ahora, de &.2.&B obtene"os 6ue

  S

−n  d) *3# ( )  ) , →

= = =

 − (2

1 x2

− y2) y, 1

  ;;  × <  − − − − −   − − √ − T T T

∂ r *3# ( )  ) , ∂x

2 2

2x

∂ r ∂y

x2

y2,

2xy (2 x2 y 2 )

− −



.

dxdy

2x, 2y ,

2y dxdy

∂ r ∂x

×

∂ r ∂y

<

dxdy










































*or lo tanto 3  d$ = 0. e:a"os para el lector el caso en 6ue la super-cie S a considerar es la de-nida por la ecuacin z = z = 1 4 obser#e 6ue el resultado es el "is"o. Es i"portante ad#ertir ad#ertir 6ue en este caso la integral de l8nea en e/ecto?

  − 2π

 d$ =

3



es /ácil calcularla, 3  d$ es



s%n3 # + "#s # d# = d# = 0

0

;elación con el 5eore$a de =reen

*ara #er 6ue el (eore"a de StoCes es una generali+acin del (eore"a de reen , −n = (0, suponga"os 6ue la super-cie S es es una regin del plano x y. En este caso → (0, 0, 1) . e &.).1B #e"os 6ue &.).2B to"a la /or"a

  S

∂Q ∂x

−



∂+ ∂ + dx ∂y

∧ dy = dy =



+ dx + Qdy.

&.).)B

3

*ero en este caso obser#e"os 6ue

   S

∂Q ∂x

−



∂+ ∂ + dx ∂y

∧ dy = dy =

  S

∂Q ∂x

−



∂+ ∂ + dxdy ∂y

Esto es, la integral de super-cie coincide con la integral doble. Es as8 co"o &.).)B constitu4e la igualdad del (eore"a de StoCes . Eiste una notacin 6ue per"ite calcular el rotacional de un ca"po #ectorial sin necesidad de recordar la epresin &.).1B. Si lla"a"os

∇=



∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z



4 lo "ira"os co"o un vector  tenga presente 6ue no es un #ectorB de R3 , en= tonces *3# ( )  ) = ∇ × . e la "is"a /or"a, el producto interno ∇ ,   de-ne la divergencia de un ca"po #ectorial, as8 i' ( )  ) = =(

)

∂Q ∂ Q ∂* ∂ * ∇,   = ∂+ + + ∂x ∂y ∂z

&.).%B










































e &.).1B deduci"os 6ue un ca"po #ectorial  = (+,Q,*) +,Q,*) de-nido sobre un con= :unto con#eo con#eo de R3 es un gradiente, o potencial, si 4 slo si *3# ( )  ) = 0. Esto es una consecuencia directa del (eore"a %.1.)B. as relaciones "ás i"portantes de i'  i' ( )  ) 4 *3# ( )  ) son? 1. Si  tiene deri#adas parciales de orden dos continuas, se tiene 6ue i' (*3# ( ))  )) = 0

2. Si φ es un ca"po escalar con deri#adas parciales de orden dos, se tiene 6ue *3# ( φ) = (0, (0, 0, 0)

∇

). Si  tiene deri#adas parciales de orden dos continuas, se tiene 6ue *3# (*3# ( ))  )) =

∇ (i' ( ))  )) − ∆

en donde ∆ ∆  se entiende as8?  = (+,Q,* ( +,Q,*)) 4 ∆ ∆  = (∆+, (∆ +, ∆Q, ∆*) 4 ∆f =

∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f + 2+ 2 ∂x 2 ∂y ∂z

%. i' (α + β=) β= ) = αi' = αi' ( )  ) + βi' (=) , α, β

∈ R

&.








































Nota4 Si usa"os los s&$bolos ∇ ×  4 ∇,   para de-nir el rotacional 4 la di#ergencia de un ca"po #ectorial respecti#a"ente, #e"os 6ue las epresiones $. 4 7 anteriores to"an la /or"a

∇, φ  ∇ × (φ ) φ )

= φ

∇,   + ∇φ,   = φ ∇ ×  + ∇φ × 

4

respecti#a"ente. (er"ina"os esta seccin con la siguiente pregunta. a:o 6ue condiciones es un ca"po #ectorial  un rotacional T Esto es, ba:o 6ue condiciones eiste un ca"po #ectorial = tal 6ue  = *3# (=) T a propiedad propiedad 1. anterior anterior nos da una respuesta respuesta parcial parcial a la pregunta. pregunta. *uesto *uesto 6ue i' (*3# (=)) = 0 estar8a"os tentados a pensar 6ue i' ( )  ) = 0 es una condicin necesaria 4 su-ciente para 6ue  sea un rotacional. En t5r"inos generales la condi= cin no es su-ciente 4 depende de la geometr+a de la regin en donde está de-nido el ca"po #ectorial .  . (ene"os el siguiente? (eore"a &.).2BSea Sea S S un intervalo abierto de

3 R ,

%sto es, S = (a, b)

× (c, ( c, d) ×

(m, n) . Si  es  es derivable con continuidad en S. E"iste S. E"iste un campo vectorial = tal que *3# (=) =  si  si ! sólo si i' ( )  ) = 0

ea"os un e:e"plo en el 6ue i'  i' ( )  ) = 0 4  no es un rotacional. Sea  (x,y,z ( x,y,z)) =

(x,y,z) x,y,z ) 3

(x2 + y2 + z2 ) 2

e"os 6ue  está de-nida en todo R3 "enos en el origen. e"os 6ue








































0igura No. 8%

El #ector nor"al unitario a la super-cie S en el punto (x,y,z ( x,y,z)) es

→ −n =

(x,y,z) x,y,z )



x2 + y 2 + z 2

Suponga"os 6ue eiste un ca"po #ectorial = tal 6ue *3# (=) = .  . El (eore"a de StoCes nos dice 6ue

   S

−n  = Ahora, *3# (=) , →

1 x2 +y2 +( 2

  S

*ero obser#a"os 6ue

−n  d) = *3# (=) , → d) = =

1 r2 , por

1 r2 A(a (S )

=dc

&.).&B

c

lo tanto

1 *3# (=) , n d) = d) = 2 (

→ −



  S

d) = d) =

1 A(a (S ) (2

→ 40 cuando el área del cas6uete tiende a cero 4








































para traslad trasladar ar una particula particula alrededor alrededor de , una sola #e+, en sentido sentido antihor antihorario ario #isto #isto desde el punto (0, (0, 0, 4). (olución.

>sando el teore"a de Stoes con la super-cie S ? la parte del plano contenido en el paraboloide.  =

 ∇ × →− · ·  · ·  ∇ × →− · ·  n dS = =

 dα = dα =

S

 n dS

S 1

1. donde



2

S 1 = (x,y,z) x,y,z) : x + y

2

− y − 1 ≤ 0, z = y = y + + 1

uego S se puede para"etri+ar "ediante

→( : R >na para"etri+acin de S ser8a − donde R=



(x, y)



2

−≤

= (x,y,z) x,y,z) : x + y

1 2 2

5 4, y

− z + 1 = 0

⊂ R2 → R3, dado por −→( (x, ( x, y ) = (x,y,y + x,y,y + 1) , 2

∈R

2

− ≤ 

: x + y

1 2

2

5 4

−→

ebido a la orientacion se debe considerar el #ector nor"al / ( / (x, y) = (0, (0, 1, −1).









































  2π

 =

(2( (2( "#s -

0

− 52 0

1

0

− 2) (d(



  "  √ 5

2π

d- = d- =

Cálculo Aplicado Norberto Chau 2π

2

2(2 "#s -

0

  #   √

0

− 2(

d(

5 12

d- = d- =

0

5"#s -

− 45



d- = d- =

/tra or$a.





−( : R ⊂ R2 → R3, dado por → −( (&, >na para"etri+acin de S ser8a ser8a → (&, ') = ' "#s &, 12 + ' s%n &, 32 + ' s%n & onde √ R=





(&, ')

∈ R2 : 0 ≤ & ≤ 2



,0

≤ ' ≤

5 2



→ −( (&, (&, ') = ' "#s &, 12 + ' s%n &, 23 + ' s%n & → −( u(&, ') = ∂u∂ ' "#s &, 21 + ' s%n &, 23 + ' s%n & = (−' s%n &, ' "#s &, ' "#s &) → −( v (&, ') = ∂v∂ ' "#s &, 12 + ' s%n &, 23 + ' s%n & = ("#s &, s%n &, s%n &) → −( u × → −( v = ( −' s%n &, ' "#s &, ' "#s &) × ("#s &, s%n &, s%n &) = → −( u × → −( v = 0, ' "#s2 & + ' s%n2 &, −' "#s2 & − ' s%n2 & → −( u × → −( v = (0, (0 , ', −' ) √

 



 =

 ∇ × · ·

E:e"plo ).).20. Sea Sea



5 2

2π

 ndS = =

S 1

  "

 

(0, (0, 1, 1

0

0

− − 2' "#s &) · (0, (0, ', −') d'

# 

d&

→ − (x,y,z (x,y,z)) = ( ( y( + ln(1 + x2 ), x2 + xzy( ,xyy( ), un cam camp po de fueras fueras !

la inter interse seccción ción de las super superfici ficies es z = x2 + y 2  y + z + z

−→ ara desplaar el traba#o que realia el campo  para desplaar una part+ part+cula cula alre alrededor dedor de sentido anti'orario vista desde el punto A (0, (0, 0, )* )*

(olución

− 2 = 0* 2alle

, una sola ve, en










































bser#e bser#e 6ue de la super-cie z = x = x2 + y2 4 el plano y + z − 2 = 0 se tiene? 2

R :=



(x, y)

∈

R2

− y = x = x : x2

2

+y

2

2

"⇒ x

2

+ y + y = 2

"⇒

 

1 x + y + 2 2

−≤

+ y

1 2 2

2

$ = . 4

9 4

>sando Stoes 4 to"ando co"o super-cie, S , la porcion del plano contenida en el paraboloide −→ (0, 1, 1) cu4a nor"al unitaria es / = (0,

→ − *or otro lado el rotacional de  es es ? (3#( (3#( )  ) = ∇×  = (0, (0, 0, 2x)

uego  =

 n dS = =

R

j

k

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂(

y( + ln(1 + x2 ) x2 + xzy( xyy(

 (( (((x, y)) / ( / (x, y )dxdy = dxdy =

R

=

2π

(0, (0, 0, 2x) (0, (0, 1, 1)dxdy 1)dxdy

R

(2x (2x) dxdy . >sando ca"bio de coordenadas? x = ( = ( "#s -, y = 21 + ( s%n - % ((, -) = ( =

 =

i

 

 ∇ × →− · · →−  ∇ × →− · →−  ·  | |   R ∈ ≤ ≤ ≤ ≤  " #  "   #   2 3    S

 =

 

((, -)

3 2

2π

(2( (2( "#s -) (d(

d- = d- = 2

R2 : 0

(

3 ,0 2

-

3 2

20

2π

(2 "#s - d(

d- = d- = 2

"#s -

3

r 3

3 2

0

2π

d- = d- =

9 4

"#s -d-








































Proble$as !. >se el (eore" (eore"aa de stoes stoes para calcular calcular la integral integral de l8nea



ydx + zdy + zdy + xdz

3

en donde $ representa representa la cur#a 6ue se encuentra al intersectar las super-cies x 2 + y 2 + z 2 = 1 4 x + y + z = 0. %. Muest Muestre re 6ue 6ue Si φ es un ca"po escalar con deri#adas parciales de orden dos, se tiene 6ue *3# ( φ) = 0

∇

'. Muest Muestre re 6ue 6ue si si  tiene deri#adas parciales de orden dos continuas, se tiene 6ue *3# (*3# ( ))  )) =

∇ (i' ( ))  )) − ∆

Muestre re 6ue 6ue si si φ es un ca"po escalar 4  un ca"po #ectorial deri#ables, se tiene 6ue *. Muest i' (φ ) φ ) = φi' ( )  ) +

∇φ,   ,

. Muestre 6ue si φ es un ca"po escalar 4  un ca"po #ectorial deri#ables, se tiene 6ue







































'.*. '.*.


,l 5eore$ eore$a a de de (to (to>e >ess El (eore"a de StoCes puede etenderse a super-cies "ás generales. *or e:e"plo, sea S una super-cie para"etri+ada por r : T → → S regular 4 si"ple en donde T es "@ltiple"ente coneo, co"o ase indica en la -gura.

0igura No. 8!








































T está co"puesta por T 1 4 T 2 , co"o se ilustra en la -gura.

0igura No. 8%

a aplicacin r aplica T 1 en S 1 4 T 2 en S 2 . Si lla"a"os la super-cie S = S = S 1 ∪ S 2 , #e"os 6ue aplicando separada"ente el (eore"a de StoCes a cada super-cie S i , i = 1, 2, obtene"os

  S

−n  d) = *3# ( )  ) , → d) =



ψ1

 d"1 +



ψ2

 d"2








































Co"o se indica en la -gura, las integrales de l8nea sobre las cur#as "1 4 "2 tienen signos opuestos debido a 6ue dichas cur#as tienen orientaciones opuestas. *or lo tanto el (eore"a de StoCes nos dice 6ue

 

→ −

*3# ( )  ) , n d) = d) = 0.

S

Eiste una clase de super-cies en la cual no es #álido el (eore"a de StoCes , 5stas son las super-cies no orientables o super-cies de una sla cara. a sup er-cie cil8ndrica 6ue considera"os arriba tiene dos caras? la cara interna 4 la e"terna . a super-cie S = S 1 ∪ S 2 , c"o se indica en la -gura de aba:o, es conocida co"o la banda de 5obius . Esta es una super-cie de una sola cara? Si se rrecorre el →n desde un punto dado por toda la super-cie 4 en /or"a continua, #ector nor"al − cuando #ol#e"os al punto de partida #e"os 6ue el #ector nor"al está apuntando en la direccin opuesta al #ector nor"al con 6ue inicia"os.










































'.. '.. ,l 5eo 5eore re$a $a de de la -iv -iver erge genc ncia ia El (eore"a de la i#ergencia, debido a auss , establece una relacin entre una integral sobre un #olu"en V 4 la integral de super-cie sobre la /rontera de a6uel. Este (eore"a, :unto con el de StoCes , tiene i"portantes aplicaciones al electro "agnetis"o 4 a la "ecánica de
(eore"a &.&.1Bauss B Sea Sea V V un sólido en R3 cu!a frontera es una superficie S orientable* orientable* Sea  un  un campo vectorial derivable con continuidad definido sobre V * V * Entonces,

 

i' ( )  ) dxdydz = dxdydz =

   →− 

, n d)

&.&.1B







































  →−       , n d) = d) =


i' ( )  ) dxdydz

S

6

=

(2x (2x + 2y 2y + 2z 2z ) dxdydz

6

1

1

1

=

0

0

(2x (2x + 2y 2y + 2z 2z ) dxdydz

0

=3



→ − Co"o hab8a"os #isto en la seccin 2, S  , n  d) "ide la cantidad de







































e la igualdad igualdad ant anterior erior,, &.&.1B &.&.1B 4 &.&.)B &.&.)B obtene"os obtene"os

 ≤ 

| − 



→ − i' i' ( (+ ( + )) )) |V P ( #) P (# S () , n  d) ( + )) )) − i' ( (1 ( 1 )) ))| dxdydz 6 () |i' ( (+ ≤ ε |V P P (# ( #)| . i#idi"os en a"bos "ie"bros de la desigualdad anterior por |V P ( #)| 4 obtene"os P (# P P

P P

&.&.2B . El (eore"a &.&.1B nos sir#e para establecer una serie de relaciones de grán utili= dad en el área de las ecuaciones di/erenciales parciales, #arias de ellas las propone"os co"o e:ercicio. *ara f 4 g, g , ca"pos escalares deri#ables con continuidad, se tiene 1. S ∂ ∂5 d) = d) = −→ 6 ∆f dxdydz n 2. S ∂ ∂5 d) = d) = 0, si f es ar"nica −→ n

 










































*or Gauss? I =

 · ·

 n dS = =

S

 −

K (1 +

x2

xyz dxdydz + y 2 + z 2 )2

>sando cilindricas? x = x = ( ( "#s -, y = ( = ( s%n -, z = z = z

π"2 π"2

I = =

√ 4−r

   0

2

0

0

2

3

- "#s 3 l#l#-(5) (5) $ − (1z(+ s%n dzd(d- = dzd(d = −5 (2 + z 2 )2 4







































          −      −     −     π"2 π"2

I =


0

π"2 π"2

0

2

0

π"2 π"2

π"2 π" 2

63 s%n2 φ "#s - s%n - "#s φ 2 6 s%n φd6dφd(1 + 62 )2

2

65 s%n3 φ "#s - s%n - "#s φ d6dφd(1 + 62 )2

= 

0

0

π"2 π"2

0

π"2 π" 2

= 

s%n φ "#s - s%n - "#s φ

0

0

π"2 π"2

0

π"2 π" 2

= 

0

12 =  5 = 

2

3

12

s%n3 φ "#s - s%n - "#s φ

0

π"2 π"2

ln 5

π"2 π"2

"#s - s%n -

0

ln 5

12 5

1

0

π"2 π" 2

"#s - s%n -d-

65 d6 dφd(1 + 62 )2 ln 5 dφd-

s%n3 φ "#s φdφ d-









































El

 →− · · →−

 n dS.

S

→( : R ⊂ R2 → R3, dado por −→( (x, >na para"etri+acin de S ser8a? − ( x, y ) = donde R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ a2 y → − −→ 0 1 y −→ → − x x 1 0

     



    x,y, 1

x2 + y2 ,






































I =


  →− ·→−      n dS = =

S

− ×→ −( v )d&d' = ·→ d&d' =

 (( ( ((&, ')) ( ( u

R

2π a

I =

'4 "#s4 & + '4 s%n4 &

0 0

− '4



d'd& = d'd& =


 

·

'3 "#s3 &, ' 3 s%n3 &, '3 (' "#s &, ' s%n &, ' ) d&d'

R

− 101 0a5 .

−









































, S es S es la superficie x2 + y2 + z 2



2


= &z & z ! n es el vector unitario normal e"terior a S *







































 (x,y,z ( x,y,z)) =

en donde c es una constante.


c (x2

+ y2

3

+ z2) 2

(x,y,z) x,y,z )







































  →−  −   →−  −  A , n d) = d) =

S


, n d)

∂ Ω

c ( c (x,y,z) x,y,z )

=

∂ Ω

(x2 + y2 + z 2 )

3 2

,

−1 (x,y,z) x,y,z )

1

(x2 + y 2 + z 2 ) 2

B

dS



















































































































































Calculo Aplicado - Material

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