La selección de columnas es a menudo una parte muy importante del cálculo o diseño de una estructura, porque la falla de una columna suele tener efectos catastróficos. Por definición una columna es una barra o elemento, lo bastante delgado respecto a su longitud (ya sea macizo o formado de varias partes unidas y aproxi aproxima madam dament ente e recto recto)) sujeto sujeto a carga cargass de compr compresi esión ón aplica aplicadas das en sus extremos extremos que actúan actúan paralelam paralelamente ente a su eje. No existe existe un límite definido definido entre un elemento corto y columnas pero se suele considerar que un elemento a compresión es columna, si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor. Las columnas se dividen en dos grupos; largas e intermedias, donde el autor (F. Singer) considera que los elementos cortos pertenecen a un tercer grupo y estos se diferencian entre si por su comportamiento: comportamiento: Columnas largas: Se rompen por flexión lateral o pandeo.
Columnas intermedias: Se rompen por combinación combinación de aplastamiento aplastamiento pandeo.
Columnas cortas: Se rompen por aplastamiento. aplastamiento.
Las columnas tienen pequeñas imperfecciones de material y fabricación, así como una pequeña excentricidad al aplicar la carga lo que produce pandeo y en ella la carga máxima que se puede aplicar no puede determinarse determinarse a partir del esfuerzo en el miembro delgado a compresión, pues el esfuerzo en la columna es indefinido, ya que el esfuerzo en la falla no guarda una relación definida con la carga. Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, el pandeo es despre desprecia ciable ble y el esfuer esfuerzo zo de flexió flexión n es insign insignifi ifican cante te comp compara arado do con el esfuerzo de compresión directo; ahora si el elemento es largo por ende es más flexible y con un valor de carga relativamente pequeño puede producirse un esfuerzo de flexión grande y un esfuerzo de compresión compresión directo despreciable.
CARGAS CRITICAS PARA COLUMNAS
El valor de la carga crítica es la carga axial máxima o de ruptura de compresión que el miembro esbelto y recto puede resistir, aunque en equilibrio inestable, de manera manera que un pequeño empuje empuje lateral haga que que se deforme y quede pandeada. Cuan Cuando do ya se ha alca alcanz nzad ado o la ca carg rga a crít crític ica a de pand pandeo eo,, cual cualqu quie ierr desviación de las condiciones ideales, tal como una ligera excentricidad de la carga, carga, hará hará que se flexio flexione ne la colum columna na esbelt esbelta, a, aument aumentand ando o el mo momen mento to flexionan flexionante te que origina origina un incremento incremento en la flecha. flecha. Por lo tanto cuando cuando se inicia el pandeo, este crece rápidamente (a menos que se le disminuya la carga) y el esfuerzo aumenta rápidamente al punto de fluencia del material hasta hasta que la columna columna se rompe. De lo contrario contrario si la carga la disminui disminuimos mos ligera ligeramen mente te inmedi inmediata atamen mente te despué despuéss de origin originar arse se el pandeo pandeo la colum columna na volverá a su posición original. Cuando una carga P es menor que la carga crítica la barra permanece recta y solo sufre compresión axial, esta forma recta de equilibrio es estable; cuando P aumenta gradualmente se alcanzará un estado de equilibrio neutro o indiferente cuando cuando P llegue a ser igual a la carga carga crítica. Con valores más altos altos de la carga carga la column columna a será será inest inestabl able e y ocurr ocurrirá irá su ruina ruina o colapso colapso.. Este Este fenómeno de inestabilidad se denomina pandeo y puede considerarse que la colum columna na se pandea, pandea, o sea, sea, se hace hace inesta inestable ble,, a la carga carga crítica crítica.. Así Así que podemos concluir que la flecha de una columna comprimida excéntricamente aumenta con mucha rapidez cuando la fuerza axial se aproxima al valor crítico. FORMULA DE EULER PARA CARGAS DE PANDEO ELÁSTICO La fórmula que da la carga de pandeo, P Cr, para una barra recta cargada axialmente fue deducida primero por el matemático Suizo, Leonhard Euler en 1757, tomó en cuenta que tiene que ser una columna esbelta cargada a compresión y con pivote o articulada en sus extremos, de sección constante, donde se basa en la ecuación diferencial de la elástica que es válida solo hasta que los esfuerzos alcancen el límite de proporcionalidad, trabajando dicha condición y haciéndola cumplir con las condiciones de borde en el estudio de 2
sus extremos se llega a la siguiente expresión:
P Cr
=
π
EI 2
L
.
Si se quisiera aumentar la carga, estas serán físicamente posibles si la columna tiene sujeciones laterales donde los momentos flexionantes son nulos y la longitud total es dividida en dichos tramos, lo que hace que la resistencia bajo esa condición sea mayor que si no se tuviera la sujeción lateral; caso contrario es si cambiemos las condiciones de los extremos y hacemos que la longitud aumente, al trabajar la ecuación notaremos que la columna soportará menos carga que el caso fundamental (una columna con extremos articulados). RELACION DE ESBELTEZ En las columnas es un término que figura en todas las fórmulas de estas; es la relación de la longitud “L” de la columna al radio de giro “r” de su sección transversal con respecto al eje centroidal que es perpendicular al plano en le cual la columna columna se flexiona flexiona o tiende tiende a flexionarse. flexionarse. Por lo tanto tanto para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produce en el pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad, proporcionalidad, donde dicho esfuerzo se determina
sustituyendo el momento de inercia por el área de la sección y el radio de giro P Cr E π 2 mínimo, que queda expresada como: Puede Puede observ observars arse e que que la 2 . A L r fórmula de Euler muestra que la capacidad de carga de una columna esbelta depende de la rigidez del material, expresada por el módulo de elasticidad de este (mas bien que de la resistencia del mismo, expresada por algún esfuerzo tal como el punto de fluencia); es fácil observar lo anteriormente dicho si con una mano le aplicamos una fuerza axial a una tirita de madera hasta que repentinamente se flexione y continúe flexionándose sin incrementar la carga aplicada. =
( )
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE FORMULAS PARA CARGAS DE PANDEO
La ecuación de Euler se representa representa gráficamente gráficamente por la curva DFBC. DFBC. Al deducir esta ecuación se supuso que la curva esfuerzo–deformación para el material era una recta (Ley de Hooke) y por tanto, la rigidez E permanece cons co nsta tant nte e a me medi dida da que que aume aument nta a P hast hasta a PCr. Esta Esta con condi dici ción ón lim limit ita a la aplicación de la fórmula fórmula de Euler al pandeo elástico. elástico. En la figura en la porción porción FD, los valore valoress de L/r L/r son son rel relati ativam vament ente e grande grandess y repres represent enta a colum columnas nas esbeltas donde el esfuerzo crítico es mucho menor que el límite de elasticidad del material; pero cuando L/r tiene un valor (que en este caso está representado por el punto B) tal que el esfuerzo crítico es igual al límite de elasticidad, cualquier aumento de PCr ocasionará una disminución rápida de la rigidez desde E hasta E T, que es la pendi pendient ente e del diagra diagrama ma deform deformaci ación– ón– esfuerzo correspondiente al esfuerzo inelástico ocasionado al aumentar ligeramente PCr (PE). Esta dismi disminuci nución ón de la rigidez, rigidez, permite permite la flexión flexión de la colu co lumn mna a y que que rápi rápida dame ment nte e adqu adquie iera ra una una gran gran flec flecha ha co con n un pequ pequeñ eño o aumento de la carga; esta falla se llama pandeo inelástico. Pode Po demo moss obse observ rvar ar que que la únic única a prop propie ieda dad d del del ma mate teri rial al de la cual cual depende la carga crítica crítica es la rigidez del material, E. Por lo tanto una columna columna esbelta de aceros de alta resistencia se pandeará y por tanto fallará a la misma carga que lo haría un acero de baja resistencia, suponiendo que los valores de
L/r de las dos columnas fueran iguales y relativamente grandes, de modo que las columnas fallarían por pandeo elástico. A aquellas columnas que se les puede aplicar la formula de Euler se les llama lla mara ran n larga largas, s, donde donde la esbel esbeltez tez mínim mínima a que que fija fija el valor valor mínimo mínimo en la aplicación de la fórmula de Euler se obtiene sustituyendo en la ecuación los valores conocidos del límite de proporcionalidad y módulo elástico de cada material, lo que indica que el límite mínimo de esbeltez varía de acuerdo al material; si dicha relación de esbeltez de la columna es muy baja, es de esperar que la columna falle debido a la falla del propio material, tal efecto puede tomar la forma de aplastamiento del material. COLUMNAS INTERMEDIAS Los mé Los méto todo doss prop propue uest stos os para para cubr cubrir ir la zona zona lími límite te supe superi rior or de las las columnas cortas y la inferior de las largas, ninguno de ellos ha sido aceptado para columnas intermedias, debido en parte a la desviación de la relación esfuerzo–deformación cuando los esfuerzos exceden al límite de proporcionalidad; se ha mencionado que cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y efectos directos de compresión compresión y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexión, donde, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían esto dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total. Es por esto que se da lugar al estudio de columnas intermedias. Uno de los métodos propuestos es el que presentó en 1889, F. Engesser, quien dio nombre a la fórmula de Euler generalizada como la teoría del módulo tangencial, esta es la fórmula más significativa en la predicción de la carga de 2 P T π E T pandeo inelástico: considera que da la carga de pandeo para 2 . Se considera A L r una columna ideal, pero se ha encontrado que da también la carga máxima que es probable que resista una columna real que tenga ligeras imperfecciones. imperfecciones. La resolución resolución de la ecuación del del módulo tangencial tangencial para una columna, implica un procedimiento de aproximaciones sucesivas, ya que E T no es constant constante. e. Por lo tanto los los valores valores del módulo módulo tangencia tangencial, l, E T, tienen que conocerse para cada valor del esfuerzo por encima del límite de elasticidad. Los valores correspondientes de esfuerzo y ET se encuentran a partir de la curva esfuerzo - deformación y por lo general se dan gráficamente. Otro método, uno de los más sencillos fue propuesto en 1886, por T. H. Jonson, consiste en ajustar una recta a los valores medios de las series de numerosos ensayos obtenidos graficando los valores del esfuerzo (cuando se va a producir la rotura por pandeo) en función de la esbeltez, la ecuación está =
dada por:
P A
( )
= σ − C L , donde C es la pendiente de la recta. r
Los ensayos por Tetmajer y Bauschinger con varillas de acero estructural y extremos articulados deducen la siguiente expresión:
P A
= 330 −1.45
L r
MPa
.
Cuando Cuando se divid divide e dicha dicha ecuaci ecuación ón por un factor factor de seguri seguridad dad se obtien obtienen en ecuaciones de cargas de trabajo muy usadas.
Otro método es el de Rankine–Gordon, (1860), quienes suponen que la 2
deflexión máxima en una columna varía con L 2/C, es decir, δ
MAX
φ
= φ
L
C
, donde
es constante y depende de las condiciones de sujeción en los extremos. Otra de las fórmulas es de tipo parabólico propuesta en 1892 por el Prof. 2
L J. B. Jonson, está dada por: = σ − C , en la que es el esfuerzo en el punto A r P
de cedencia y C una constante elegida de forma que la parábola sea tangente a la curva de Euler. El AISC (American Institute of Steel Construction) definen el límite entre columnas intermedias intermedias y largas con un valor de relación de esbeltez dado como: 2
C C
=
2π E
, donde el valor del módulo de elasticidad (E) y el esfuerzo en el
σ
Pc
punto de cedencia (σ Pc) para el tipo particular de acero empleado. El AISC determina el esfuerzo de trabajo para columnas de longitud efectiva (LE)y radios de giro mínimos y condiciona que L E/r > C C por lo tanto: 2
σ T
=
12π E
L , donde es la misma fórmula de Euler, pero con un factor de 23 r 2
E
seguridad
12 23
.
Cuando L r = 1 − 2C
2
E
σ T
2
c
LE/r es menor que C C, la fórmula es parabólica y es: σ F .S . , donde F.S. es el factor de seguridad y está dado por: Pc
3
LE L E 3 r 5 − r . F .S . = + 3
8C C
C C
3
Este factor disminuye al aumentar la relación de esbeltez, donde no debemos olvidar que todas las fórmulas anteriores son para columnas con extremos articulados. articulados. El esfuer esfuerzo zo de traba trabajo jo admisi admisibl ble, e, para para la compr compresi esión, ón, debe debe tomars tomarse e como un esfuerzo esfuerzo máximo entre un factor factor de seguridad. seguridad. El valor elegido para para dicho factor depende de la probabilidad de aumentos imprevistos o accidentales de la carga, de posibles errores en la aplicación central de la carga y de la posibilidad posibilidad de encorvadura encorvadura inicial en la columna. Las imperfecciones de esta pueden aumentar a medida que la columna se hace más larga; por tanto, es lógico introducir un factor variable de seguridad que aumente aumente con la relación relación de esbeltez. esbeltez. Valores Valores típicos típicos del factor de seguridad seguridad para obras estructurales están en el intervalo de 1.5 a 3. Se supone una determinada excentricidad excentricidad en la ca carg rga, a, y que que teór teóric icam amen ente te es co corr rrec ecta ta,, si se co cono noce ce exac exacta tame ment nte e la excentricidad, pero es de aclarar que es excesivamente engorrosa; se obtiene Fórmula Fórmula de la Secante:
generalizando la fórmula de Euler, de donde se obtiene una expresión para el esfuerzo máximo de dicha columna, sin embargo podemos también obtener una expresión para la carga admisible o de trabajo, sustituyéndola carga por aquella donde la multipliquemos por un factor de seguridad y como el esfuerzo máximo, el esfuerzo en el punto de cedencia; de modo que la expresión nos queda:
σ Pc
=
excentricidad.
f ⋅ P W A
e ⋅ c L sec 1 + r 2r 2
f ⋅ P T E ⋅ A
, donde ec/r2 es la relación de