Cálculo Estrutural Concreto Eberick

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROJETO DE EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL EM CONCRETO ARMADO

ARTUR ANTONIO DAL PRÁ

Florianópolis 2007

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Civil Trabalho de conclusão de curso II

TÍTULO: PROJETO DE EDIFICAÇÃO RESIDENCIAL EM CONCRETO ARMADO

Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, Centro Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina. Orientador Prof. Narbal Ataliba Marcellino.

AUTOR: ARTUR ANTONIO DAL PRÁ

MAT 0423639-4

BANCA EXAMINADORA:

___________________________________________ Prof. Narbal Ataliba Marcellino, Dr. (Orientador)

___________________________________________ Prof. João Eduardo Di Pietro, Dr. (UFSC)

___________________________________________ Prof. Roberto Caldas de A. Pinto, PhD. (UFSC)

FLORIANÓPOLIS NOVEMBRO, 2007

Agradecimentos

Ao meu orientador, Prof. Narbal, pela revisão textual deste relato e pela disposição, sempre que necessário. À

minha

família,

pelas

oportunidades,

apoio

financeiro e compreensão. À

minha

namorada,

paciência e colaboração.

pelo

comprometimento,

SUMÁRIO

1 2

3 4 5

6

7

8

9

CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................................... 9 CONCEPÇÃO ESTRUTURAL .................................................................................... 10 2.1 CASOS ESPECÍFICOS ............................................................................................. 12 2.1.1 Vigas em cruz ..................................................................................................... 12 2.1.2 Posicionamento dos pilares permitindo manobras dos veículos ........................ 13 2.1.3 Sacadas projetadas para o exterior da edificação ............................................... 14 MATERIAIS E DURABILIDADE ............................................................................... 15 DADOS GERAIS ............................................................................................................ 16 4.1 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS ....................................... 17 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA ....................................................... 18 5.1 LAJES ........................................................................................................................ 18 5.2 VIGAS ....................................................................................................................... 18 5.3 PILARES ................................................................................................................... 19 LANÇAMENTO ESTRUTURAL E MODELO DE CÁLCULO .............................. 21 6.1 CARGAS ................................................................................................................... 22 6.1.1 Carga na laje do térreo ........................................................................................ 22 6.1.2 Carga na laje da garagem.................................................................................... 22 6.1.3 Carga na laje dos andares tipo ............................................................................ 23 6.1.4 Carga na cobertura .............................................................................................. 23 6.1.5 Carga no reservatório.......................................................................................... 23 DIMENSIONAMENTO DAS LAJES .......................................................................... 25 7.1 LAJES PRÉ-MOLDADAS........................................................................................ 25 7.1.1 Cargas ................................................................................................................. 27 7.1.2 Estado limite último de flexão ............................................................................ 27 7.1.3 Verificação do estado limite de serviço .............................................................. 29 7.2 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 31 7.2.1 Vãos efetivos ...................................................................................................... 32 7.2.2 Vinculação das lajes ........................................................................................... 34 7.2.3 Ações nas lajes ................................................................................................... 37 7.2.4 Verificação das flechas elásticas nas lajes .......................................................... 38 7.2.5 Determinação dos momentos característicos nas lajes ....................................... 40 7.2.6 Compatibilização dos momentos fletores ........................................................... 43 7.2.7 Dimensionamento da armadura negativa ........................................................... 48 7.2.8 Detalhamento da armadura negativa .................................................................. 51 7.2.9 Dimensionamento da armadura positiva principal ............................................. 55 7.2.10 Detalhamento da armadura positiva principal .................................................... 58 7.2.11 Dimensionamento da armadura positiva secundária .......................................... 60 7.2.12 Detalhamento da armadura positiva secundária ................................................. 61 7.2.13 Dimensionamento da armadura secundária ........................................................ 63 7.2.14 Cálculo aproximado da flecha ............................................................................ 64 7.2.15 Reações de apoio das lajes nas vigas dos contornos .......................................... 64 DIMENSIONAMENTO DAS VIGAS .......................................................................... 68 8.1 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA LONGITUDINAL.............................. 70 8.2 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL ............................... 73 8.3 DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE PELE ............................................ 75 8.4 DETALHAMENTO LONGITUDINAL ................................................................... 75 8.4.1 Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios .......................................... 78 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES ..................................................................... 81 iv

10 COMPARAÇÕES E ANÁLISE ECONÔMICA ENTRE LAJES PRÉ-MOLDADAS E LAJES MACIÇAS .............................................................................................................. 88 10.1 CRITÉRIOS PARA ANÁLISE ECONÔMICA ........................................................ 88 10.2 LAJES PRÉ-MOLDADAS........................................................................................ 89 10.3 LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 92 10.4 ANÁLISE FINAL...................................................................................................... 93 11 ESCADA .......................................................................................................................... 94 11.1 CARGAS ................................................................................................................... 95 11.2 DIMENSIONAMENTO ............................................................................................ 96 11.3 REAÇÃO DE APOIO DAS LAJES DA ESCADARIA NAS VIGAS ..................... 98 11.4 DETALHAMENTO .................................................................................................. 98 11.5 VERIFICAÇÃO DA FLECHA ................................................................................. 99 11.6 VERIFICAÇÃO DA NECESSIDADE DE ARMADURA DE CISALHAMENTO 100 11.7 VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO DIAGONAL DO CONCRETO ................. 100 12 CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 101 13 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................... 102 ANEXOS ............................................................................................................................... 104 ANEXO 1 - QUADRO RESUMO: VIGOTAS PRÉ-FABRICADAS ......................... 104 ANEXO 2 - PROJETO ARQUITETÔNICO ................................................................ 112 ANEXO 3 - PLANTA DE FÔRMAS DA ESTRUTURA ............................................. 112 ANEXO 4 - DETALHE DA ARMAÇÃO POSITIVA E NEGATIVA DAS LAJES MACIÇAS 112 ANEXO 5 - DETALHAMENTO DAS VIGAS ............................................................. 112 ANEXO 6 - DETALHAMENTO DOS PILARES ........................................................ 112 ANEXO 7 - QUADRO DE MOMENTOS FLETORES CARACTERÍSTICOS E REAÇÕES DE APOIO ........................................................................................................ 112 ANEXO 8 - DIMENSIONAMENTO DOS VIGOTES TIPO TRILHO ..................... 112

v

LISTA DE QUADROS Quadro 1 - Ambientes e suas cargas acidentais ........................................................................ 23 Quadro 2 - Lajes pré-moldadas βn ............................................................................................ 26 Quadro 3 - Peso próprio: Laje pré-moldada ............................................................................. 27 Quadro 4 – Laje maciça, lef , tipo de armação, caso da laje para uso nas tabelas e cargas ...... 37 Quadro 5 - Coeficientes e momentos característicos................................................................ 42 Quadro 6 - Compatibilização dos momentos fletores negativos .............................................. 48 Quadro 7 - Dimensionamento da armadura negativa ............................................................... 54 Quadro 8 - Dimensionamento da armadura positiva principal ................................................. 59 Quadro 9 - Dimensionamento das armaduras de distribuição .................................................. 63 Quadro 10 - Verificação da flecha inelástica............................................................................ 64 Quadro 11 - Charneiras plásticas para cálculo das reações de apoio ....................................... 65 Quadro 12 - Reação de apoio das lajes nas vigas ..................................................................... 67 Quadro 13 - Dimensionamento da armadura transversal - V39 ............................................... 75 Quadro 14 - Comprimento de ancoragem ................................................................................ 77 Quadro 15 - Ancoragem das barras tracionadas ....................................................................... 78 Quadro 16 - Área de aço longitudinal - P26 ............................................................................. 85 Quadro 17 - Quadro resumo – Custo das lajes pré-moldadas .................................................. 91 Quadro 18 - Quadro resumo – Custo das lajes maciças ........................................................... 92 Quadro 19 - Comparativo: Área de aço - escadaria.................................................................. 97 Quadro 20 - Resumo do dimensionamento das vigotas ......................................................... 111

vi

LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 - Perspectiva da estrutura ............................................................................................. 9 Figura 2 – Planta das vigas como grelha .................................................................................. 12 Figura 3 - Posicionamento favorecendo manobras, solução estrutural ................................... 13 Figura 4 - Posicionamento favorecendo manobras, solução arquitetônica .............................. 13 Figura 5 - Áreas de influência dos pilares ................................................................................ 19 Figura 6 – Dimensões e colocação de laje pré-moldada .......................................................... 25 Figura 7 - Dimensões adotadas ................................................................................................. 26 Figura 8 - Vãos efetivos de lajes .............................................................................................. 32 Figura 9 - Vinculações nas lajes maciças ................................................................................. 35 Figura 10 - Compatibilização dos momentos fletores negativos e correção dos positivos ...... 43 Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças ................................................................ 50 Figura 12 - Detalhe da armação negativa ................................................................................. 51 Figura 13 - Cargas na viga V39 ................................................................................................ 69 Figura 14 - Diagrama de momentos fletores: V39 ................................................................... 70 Figura 15 - Dimensionamento da armadura longitudinal - V39............................................... 72 Figura 16 - Diagrama de esforços cortantes - V39 ................................................................... 73 Figura 17 - Decalagem do diagrama de momentos fletores - V39 ........................................... 76 Figura 18 - Comprimento das barras após decalagem, lb.nec e 10Ø .......................................... 77 Figura 19 - Detalhamento manual da V39 (Tipo 1) ................................................................. 80 Figura 20 - Detalhamento automático da V39 (Tipo 1) ........................................................... 80 Figura 21 - Pilar P26 e vigas de travamento ............................................................................. 81 Figura 22 - Comprimentos equivalentes - P26 ......................................................................... 82 Figura 23 - Valores mínimos e momentos fletores .................................................................. 84 Figura 24 - Dimensionamento de seção de pilar usando programa.......................................... 85 Figura 25 - Comparativo - Armadura no P26 ........................................................................... 86 Figura 26 - Seção transversal: P26 no pavimento Tipo 1 ......................................................... 86 Figura 27 - Seção transversal: P26 no pavimento Garagens e colarinho ................................. 87 Figura 28 – Elementos geométricos da escada ......................................................................... 95

vii

RESUMO Este trabalho apresenta o projeto estrutural em concreto armado de uma edificação residencial. Apresenta as etapas de concepção, cálculo dos esforços e dimensionamento dos elementos principais da estrutura, detalhando a definição das cargas, dimensionamento da escadaria, da rampa, das lajes maciças, das vigas e dos pilares. Diversas alternativas para vigotas pré-fabricadas foram calculadas para viabilizar a análise econômica entre a solução para lajes maciças ou lajes pré-moldadas. Finalmente, traz o detalhamento automático dos elementos estruturais.

viii

1

Considerações iniciais

A estrutura estudada é uma edificação comercial e residencial multifamiliar, destinada ao uso de pessoas de classe média, situada na cidade de Chapecó – SC, atualmente em fase de construção. O primeiro pavimento é destinado a quatro salas comerciais e salão de festas (pavimento térreo), o segundo pavimento é destinado exclusivamente às garagens do edifício (pavimento garagens), com vaga para 16 automóveis. O terceiro, o quarto e o quinto pavimento são três andares tipo (tipo 1, tipo 2 e tipo 3), compostos cada um, de cinco apartamentos, totalizando 15 unidades. Em seguida figura o pavimento cobertura (pavimento cobertura), seguido de um pavimento que dá sustentação às caixas de água (pavimento reserv.) e de um último pavimento destinado a proteger os reservatórios (pavimento cob_res.). Este edifício possui distância de piso a piso de 2,85 m. Para o estudo da estrutura, e seu dimensionamento, será usado como recurso computacional o programa AltoQi Eberick V5, revisão 8. Não será verificada ação do vento, bem como a estabilidade global da estrutura. Obviamente, por ser uma edificação localizada na cidade de Chapecó, já em fase de construção, o projeto está aprovado e segue as exigências do código de obras do município.

Figura 1 - Perspectiva da estrutura

10 2

Concepção estrutural

Esta etapa antecede o pré-dimensionamento e o cálculo estrutural da edificação. É de extrema importância, pois o sucesso das demais etapas depende do êxito desta. Quando no lançamento da estrutura no programa de CAD, o uso de layers (níveis de desenho) facilita a sobreposição dos elementos e a visualização no lançamento da estrutura. Realizaram-se diversos estudos, visando reduzir o número de pilares, obtendo como resultado uma disposição inicial de pilares que apenas depois de calculado, se mostrará razoável ou indicará a necessidade de um novo rearranjo, pois será levada em consideração a magnitude dos esforços. O lançamento da estrutura inicia-se pelo posicionamento dos pilares, conforme DI PIETRO (2007), estes implicam diretamente na estabilidade, equilíbrio, funcionalidade e estética da edificação. São lançados preferencialmente no encontro de paredes, que são potenciais locais de encontros de vigas, para aperfeiçoar o “caminho das ações”. No lançamento dos pilares, deve-se objetivar manter alinhamento, para facilitar o traçado das vigas, proporcionando assim melhor funcionalidade a estrutura. Outro cuidado que mereceu atenção foi quanto à possibilidade da continuidade dos pilares, pois a falta de continuidade dos pilares (pilar apoiando em viga, ou seja, uma viga de transição), é uma solução onerosa quando comparada ao caso de continuidades de pilares. Quando os pilares que se mostram na área de manobras da garagem, foram tomadas algumas decisões para solucionar este inconveniente, criaram-se vigas de transição, ou as vagas de garagem eram reposicionadas, ou o pilar era deslocado para algum local próximo. Não apenas o posicionamento dos pilares, como também sua orientação, levando em conta a estabilidade global da edificação. As vigas foram lançadas preferencialmente abaixo das principais paredes, por questões arquitetônicas, a base das vigas é inicialmente fixada em 15 cm, para ocultar a estrutura. Os vãos das vigas seguem a referência do uso do vão econômico, o qual se dá por volta de 5,0 m, no entanto, nem sempre a arquitetura da edificação permitia um vão desta magnitude, pois as peças dos apartamentos distam em torno de 2,8 e 3,0 m, ocorrendo que em algumas situações as vigas ficaram com vão de 3,0 m. Um vão de 6,0 m é um vão possível, no entanto, a altura da viga aumenta demasiadamente e começa a se mostrar inconveniente para portas e janelas. Para vigas de canto, ou seja, aquelas vigas que recebem carga apenas de um dos lados da edificação, e não há restrições quanto a sua altura, pode-se fazer um vão de 6,5 m.

11 Outra preocupação foi quanto ao espaçamento entre vigas adjacentes, pois devem ser evitados grandes vãos de lajes, uma vez que estes conduzem a elevadas espessuras de lajes. As lajes foram pré-dimensionadas. Por serem lajes de um piso de uma edificação, a espessura mínima adotada foi 7 cm. As espessuras das lajes dependeram também se a laje é unidirecional ou bidirecional. Para lajes unidirecionais, a espessura é o número inteiro, resultante do quociente entre o menor vão por 45 ou por 35. Já nas lajes bidirecionais, a espessura é o número inteiro, resultante do quociente entre o menor vão por 40 ou por 50. Num primeiro momento, durante o lançamento dos elementos estruturais, uma vez que esta etapa antecede o pré-dimensionamento, não foi dada a importância para a dimensão dos pilares e vigas, estando os mesmos servindo apenas para fins de posicionamento e orientação.

12 2.1

Casos específicos Este item traz considerações, discussões e justificativas sobre algumas decisões

tomadas durante a concepção estrutural, são mostradas partes do projeto arquitetônico, sem se importar com a escala das imagens, de finalidade apenas qualitativa. Como foi um estudo inicial, alguns dos elementos estruturais mudaram de numeração no decorrer do trabalho.

2.1.1

Vigas em cruz Para viabilizar o uso de um Box de garagem, a transição dada pelo pilar P7 foi

inserida. Ela é suportada pelo conjunto de vigas que se cruzam, constituindo grelha e conseqüentemente, distribuindo os esforços e apresentando deformações menores.

Figura 2 – Planta das vigas como grelha

13 2.1.2

Posicionamento dos pilares permitindo manobras dos veículos O ideal é que os pilares sejam posicionados de maneira a se situarem

preferencialmente no encontro de vigas, mas por uma questão de viabilizar a entrada dos veículos na garagem do edifício, o posicionamento foi reestudado, obtendo-se como solução o uso do pilar de maneira mais afastada do veículo.

Figura 3 - Posicionamento favorecendo manobras, solução estrutural

Figura 4 - Posicionamento favorecendo manobras, solução arquitetônica

14 2.1.3

Sacadas projetadas para o exterior da edificação Neste caso, várias soluções podem ser idealizadas, pode ser feito uso de laje com

bordo livre e engastada na viga de canto da edificação, ou usar vigas de contorno, conforme solução adotada e disposta na planta de fôrmas. Por questões arquitetônicas, as vigas terão altura de 50 cm, apesar de serem menos rígidas que as vigas que servem de apoio, para ocultar as instalações sanitárias. Procedimento análogo foi realizado às outras sacadas.

15 3

Materiais e durabilidade

A classe de agressividade ambiental usada é a CAA II, de acordo com exigências da tabela 6.1 da NBR6118/03. Para esta CAA, segundo tabela 7.1 da norma, recomenda-se o uso de concreto C25 (fck = 25 MPa). Para as armaduras da edificação, adotou-se aço CA-50 (fyk = 50 kN/cm²). Exceção para as vigotas pré-fabricadas, onde foi feito uso de aço CA-60 (fyk = 60 kN/cm²) e concreto C20 (fck = 20 MPa). Tal decisão deveu-se ao fato de que as lajes pré-moldadas estão dispostas de maneira a estar protegida da ação da chuva e em ambiente predominantemente seco, por isso admite-se uma classe de agressividade mais branda. Para elementos pré-fabricados, a NBR6118/03 faz referência à NBR 9062/01 (norma que trata de elementos pré-moldados), no entanto, a NBR 14859-1/02 traz especificações mais rígidas para o caso de vigotas pré-fabricadas em concreto armado para lajes unidirecionais e quanto aos valores relativos aos cobrimentos das armaduras, recomenda para cobrimento, o valor mínimo de 1,0 cm, que foi efetivado para fins de dimensionamento. A tabela 7.2 desta mesma norma recomenda para CAA II, cobrimento nominal (cmín + ∆c) = 25 mm, onde ∆c =10 mm. Como a face superior das lajes recebe revestimento de argamassa de contrapiso, permite-se substituir as exigências desta tabela pelo disposto em 7.4.7.4, onde para rigoroso controle de qualidade e de variações dimensionais (desde que explicitado nos desenhos de projeto), é possível adotar ∆c = 5 mm, assim o cobrimento mínimo a ser usado é 2,0 cm. A tabela 6.1 da NBR6118/2003 permite a adoção de um microclima com uma classe de agressividade mais branda para ambientes internos secos, no entanto, esta prática não foi usada para vigas e pilares situados no interior da edificação, para fins de padronização dos cobrimentos. Em todas as barras, assegurou-se que o cobrimento mínimo é maior que o diâmetro da maior barra da armação. Conforme item 7.4.7.6 desta norma, os agregados não podem ultrapassar Φmáx = 1,20*cnom, isso fixa que os agregados devem ter diâmetro inferior a 2,4 cm para lajes. Considera-se para o concreto armado, peso específico (γ) de valor 25 kN/m³, para concreto simples e argamassa de contrapiso γ = 24 kN/m³, para revestimentos e alvenarias de tijolos maciços γ = 18 kN/m³ e para alvenarias de tijolos vazados γ = 13 kN/m³. Considerou-se para agregado graúdo, brita 0 (diâmetro entre 4,8 a 9,5 mm).

16 4

Dados gerais

Este item trata de parâmetros de cálculo da NBR6118/03 usados no dimensionamento. Para evitar sua repetição a cada elemento estrutural dimensionado, estes são tratados uma única vez. Conforme item 8.2.5, a resistência média do concreto à tração é dada pela relação fct,m = 0,3*(fck)2/3 = 2,56 MPa. A norma define os valores inferiores e superiores a serem considerados: fctk,inf = 0,7*fct,m = 1,79 MPa e fctk,sup = 1,3*fct,m = 3,33 MPa. Ainda, conforme o item 19.4.1, fct,d = fctk,inf/γc = 1,28 MPa. Conforme item 8.2.8, o módulo de elasticidade inicial do concreto é dado por Eci = 5600*fck1/2 = 28000 MPa, enquanto que o módulo de elasticidade secante é dado por 85% deste valor: 0,85*Eci = 23800 MPa. O coeficiente de ponderação das resistências dos materiais no ELU é dado pela tabela 12.1 da NBR6118/03, onde γc=1,4 e γs=1,15, assim fcd = fck/1,4 = 17,86 MPa e fyd = fyk/1,15 = 434,78 MPa. O item 8.3.5 traz que deve ser usado módulo de elasticidade 210 GPa (ou 210.000 MPa) para o aço, quando na ausência de ensaios ou de valores fornecidos pelo fabricante. A relação entre os módulos de elasticidade (ou de deformação) longitudinal do aço e do concreto é α e =

Es 210000 = = 8,82 . E cs 23800

De acordo com o item 17.3.5.2.1 da NBR6118/03, para fck=25 MPa e seções retangulares , ρmin=0,150%.

17

4.1

Estado limite de deformações excessivas A NBR6118/03 traz prescrições a respeito do estado limite de abertura de fissuras.

Para o caso de concreto armado e CAA II, de acordo a tabela 13.3, com deve ser usada combinação freqüente de ações em serviço, sendo exigido que a abertura das fissuras seja

w k ≤ 0,3mm. A tabela 11.4 traz as combinações freqüentes de serviço, onde Fd,ser = ΣFgik+ψ1*Fq1k+Σψ2j*Fqjk. A tabela 11.2 traz para garagens ψ2=0,6 e para edifícios residenciais ψ2=0,3. Para o estado limite de serviço relativo a deformação excessiva, o item 17.3.2.1.2 trata do cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado. As lajes da escada podem ser tratadas como vigas de grande largura, portanto as considerações abaixo são  14  válidas. Para tempo de escoramento t= 14 dias ou t=  meses , o coeficiente função do  30  tempo ξ pode ser calculado pela equação ξ(t) = 0,68*(0,996t)*t0,32 quando t ≤ 70meses . Da equação, ξ(14/30) = 0,53. Como ∆ξ= ξ(t)- ξ(t0), ∆ξ = 2 - 0,53 = 1,47. O fator αf é dado por α f =

∆ξ , onde ρ’ é a taxa de armadura negativa, que é zero 1 + 50 * ρ'

para lajes. Por isso, α f = ∆ξ. = 1,47 . Ainda neste item, é citado que o valor da flecha total deve ser obtido da multiplicação entre a flecha imediata a0 por (1+αf). Para esta verificação é usada a combinação quase permanente de ações em serviço.

18

5

Pré-dimensionamento da estrutura

A etapa de pré-dimensionamento dos elementos estruturais antecede o lançamento da estrutura no programa computacional.

5.1

Lajes Adotou-se o critério definido por CARVALHO (2005), onde a espessura geralmente

varia entre menor vão da laje por 60 ou por 40. Obviamente, para facilitar a execução, a espessura das lajes é sempre um valor múltiplo de 1 cm.

5.2

Vigas Para pré-dimensionar as vigas, como estimativa o indicado por PINHEIRO (2005),

onde a altura das vigas é dada por: •

vão/12 no caso dos tramos internos da edificação;

•

vão/10 no caso dos tramos externos ou em vigas biapoiadas e;

•

vão/5 no caso de balanços. Obviamente, esta altura não é um valor final, é algo aproximado e é esperado que

ocorram alterações, portanto é apenas uma estimativa inicial para viabilizar o dimensionamento. Inúmeras literaturas aconselham que diferentes valores de altura em uma mesma viga sejam evitados, pois podem ser fontes de erros durante a confecção das formas e das armaduras. Quando é usada apenas uma altura para diversos tramos de uma mesma viga, pode ocorrer o caso do uso da armadura dupla, pois um dos tramos pode estar submetido a solicitações muito superiores às dos outros tramos desta mesma viga. Algumas vezes, as alturas das vigas são aproximadas para valores mais convenientes, por exemplo, vigas mais carregadas têm sua altura aumentada enquanto que vigas menos solicitadas têm sua altura reduzida. Outras vezes, a altura da viga foi fixada em 50 cm, pois a viga tem finalidade de ocultar as instalações de água pluvial nas sacadas.

19 A NBR6118/03, no item 13.2.2 traz as dimensões limites para vigas, onde se encontra que não devem ser projetadas vigas com bw<12 cm, salvo em casos excepcionais. As vigas deste estudo possuem bw maior ou igual a 15 cm.

5.3

Pilares

O pré-dimensionamento dos pilares é realizado a partir do processo das áreas de influência, conforme recomenda PINHEIRO (2003). Cada pilar é responsável por suportar a carga referente à determinada superfície ou área de influência “A”, dada em m². O autor orienta que a quanto melhor a distribuição das cargas e dos vãos e quanto mais uniforme são os alinhamentos dos pilares, maior a precisão deste processo, sendo que o prédimensionamento pode conduzir a valores muito distantes da realidade em determinadas situações, por isso apenas o dimensionamento determina as dimensões corretas dos pilares. Para pré-dimensionar um pilar, é calculada a área de influência, que é encontrada a partir das dimensões dos retângulos que são calculadas conforme as condições:

•

Se o pilar for de extremidade e de canto, na direção da sua menor dimensão, o lado mede 0,5L, onde “L” é a distância entre dois pilares. Na direção de sua maior dimensão, o lado mede 0,5L.

•

Se o pilar estiver ao lado do pilar de canto, na direção dos eixos entre estes pilares, o pilar de extremidade é responsável por suportar 0,55L.

•

Nos demais casos, de pilares de centro ou de extremidade, cada pilar suporta retângulo formado por metade do vão entre os eixos dos pilares. A figura abaixo ilustra o processo:

Figura 5 - Áreas de influência dos pilares

20 As dimensões dos pilares variam conforme sua posição, em virtude das excentricidades de cargas, por isso é inserido um fator que tem por objetivo levar em consideração estas excentricidades, é o coeficiente de majoração da força normal “α”, determinado por:

•

α = 1,3 se o pilar for interno ou de extremidade, na direção de sua maior dimensão.

•

α = 1,5 se o pilar for de extremidade, na direção da menor dimensão.

•

α = 1,8 se o pilar for de canto. O uso destes valores leva à obtenção da área de influência “A” e do coeficiente “α”,

que quando inseridos na expressão abaixo, fornecem a área da seção de concreto necessária “Ac”: A c =

30 * α * A * (n + 0,7) (cm²), onde f ck + 0,01 * (69,2 - f ck )

fck é o valor da resistência a compressão característica do concreto em kN/cm² (25 MPa equivalem a 2,5 kN/cm²). n é o número de pavimentos tipo que o pilar suporta, a cobertura é considerada pelo termo (n+0,7), supondo que a cobertura tenha carga referente a 70% da carga dos andares tipo. Para fins de simplificação, visto que os valores das dimensões dos pilares são apenas estimativas iniciais, os pilares que se prolongam até o pavimento “Salas comerciais” têm suas dimensões aumentadas, por isso foi adotado n=3 para todos os pilares. Obviamente, essa fórmula deve ser ajustada para o caso dos pilares que suportam as caixas de água. Os pilares são todos retangulares de Ac=b * h, sendo preferencialmente bw = 15 cm. Para atender ao requisito de área mínima de seção transversal de 360 cm² prevista na NBR6118/03, item 13.2.3, o outro lado deve possuir dimensão mínima 25 cm. Sob hipótese alguma é correto dimensionar um pilar com a menor dimensão inferior a 12 cm. O procedimento é realizado em planilha eletrônica e ocultado deste relato para tornar a leitura do trabalho menos cansativa, dada a quantidade de pilares. O mesmo é realizado para as lajes maciças e pré-moldadas. Algumas das dimensões mostram-se exageradas. Isso foi corrigido aplicando a determinados pilares, menor lado maior que 15 cm e ajustando na expressão para obtenção do valor do maior lado. Da observação que a área mínima de seção transversal dos pilares deve ser maior ou igual a 360 cm² e que é prática fixar os lados em múltiplos de 5 cm, depreendese que para o caso de pilares de seção transversal quadrada, a dimensão mínima é 20*20 cm.

21

6

Lançamento estrutural e modelo de cálculo

Depois de pré-dimensionada, os dados são lançados no programa computacional, onde alguns cuidados devem ser atentados, ou seja, não devem ser inseridos valores incorretos, as unidades devem estar compatíveis entre si. Recomenda-se que a entrada de dados seja realizada sobre uma arquitetura de bastante clareza e precisão, que conste apenas as informações necessárias ao lançamento estrutural. O programa computacional oferece recurso que permite fixar as seções de pilares e vigas. Para as vigas, pode ser necessário aumentar a seção transversal na largura, é indesejado que a estrutura fique aparente no lado externo da edificação. A arquitetura implica em um posicionamento do pilar que difere daquele imposto pelos nós da estrutura, isso gera momentos de excentricidade, que são considerados no dimensionamento dos pilares. Para auxiliar no dimensionamento da estrutura, usou-se o programa AltoQi Eberick V5, com os módulos master, fôrmas, escadas e fundações.

22

6.1

Cargas A carga é devido a cargas permanentes e a cargas acidentais (ou variáveis) e segue as

recomendações da NBR6120/1980. As cargas permanentes são devidas ao peso próprio da estrutura, ao revestimento e a carga extra, (como por exemplo, peso de paredes, da cobertura e das caixas de água). Em situações onde uma laje abrange dois recintos de diferentes cargas, adota-se o maior delas. As cargas permanentes lineares (de parede) são lançadas sobre as lajes, sendo que nas situações onde existe uma viga diretamente abaixo da parede, considera-se a carga linear apenas nas vigas, não entrando a carga linear na carga das lajes. Serão descontadas as aberturas na fachada, uma vez que esses alívios de cargas caracterizam vantagem nas fachadas, onde não são permitidas mudanças arquitetônicas. Para as muretas da escada, sacada, área de serviço e platibandas, considera-se que tenham altura 1,10 m.

6.1.1

Carga na laje do térreo O método construtivo consiste em fazer contrapiso diretamente sobre o solo, usando

compactação mecânica com equipamento específico (chamado “sapo”). É um compactador mecânico de menores dimensões. Depois que o solo é compactado, dispõe-se camada de contrapiso diretamente sobre ele. Esta camada é uma laje e não consiste em um caso de flexão, mas em um caso de compressão. É adotada espessura 10 cm e para minimizar inconvenientes como a fissuração, é usada malha de aço de bitola 4,8 mm a cada 15 cm.

6.1.2

Carga na laje da garagem Usou-se carga permanente de revestimento: 0,05 m * 24 kN/m³ = 1,20 kN/m².

Considerando que a edificação é destinada a uso como edificação, é esperado que os veículos estacionados nos boxes de garagem tenham peso inferior a 25 kN/veículo (equivalente a aproximadamente 2,5 toneladas-força), a norma recomenda neste caso que a carga acidental tenha valor 3,0 kN/m². O projeto arquitetônico traz que as paredes do contorno da garagem são em alvenaria de tijolo até altura de 1,50 m, sendo que a partir daí devem ser assentados tijolos vazados, com intuito de garantir a área de ventilação exigida pelo código de obras da cidade. Adota-se para fins de dimensionamento, que o contorno possui paredes de altura 2,50 m confeccionadas

23 em alvenaria convencional, conforme os outros pavimentos, prevendo futura solução arquitetônica mais sofisticada no caso de substituição dos segmentos de tijolos vazados.

6.1.3

Carga na laje dos andares tipo Usou-se carga permanente de revestimento cerâmico: 18 kN/m³ * 0,01 m + 24 kN/m³

* 0,05 m = 1,38 kN/m². A carga acidental varia de acordo com o ambiente: Carga acidental

Ambiente

(kN/m²)

Sala de estar ou jantar, banheiro, cozinha,

1,5

dormitórios Balcões e sacadas

(mesma carga da peça que se comunicam)

Área de serviço e corredores sem acesso ao público (dentro dos apartamentos) Terraços (estes sem acesso ao público), caso do poço de luz, pavimento “Tipo1“ Corredores com acesso ao público (casos do corredor, na frente da escada) e escada

2,0 2,0 3,0

Quadro 1 - Ambientes e suas cargas acidentais

6.1.4

Carga na cobertura A carga extra (considerada permanente), devida ao peso próprio do telhado de

fibrocimento com estrutura de madeira tem valor 0,4 kN/m², conforme recomenda GIONGO (2007). Para regularizar a laje, estima-se 0,05 m*24 kN/m³ = 1,20 kN/m². A carga acidental é 0,5 kN/m², conforme orienta a norma para terraços inacessíveis a pessoas.

6.1.5

Carga no reservatório As caixas de água são dispostas sobre estrados de madeira, para viabilizar a instalação

da parte hidráulica, a carga pode ser considerada uniformemente distribuída sobre a superfície das lajes que suportam este estrado. As lajes L1, L2 e L3 suportam as caixas de água (de diâmetro interno 2,00 m e diâmetro externo 2,65 m).

24 Dessa forma, dois reservatórios de fibrocimento, com 10.000 litros cada, portanto 20.000 kgf mais 300 kgf devidos ao peso próprio das caixas de água e material das instalações hidráulicas, distribuídos em uma superfície igual a 14,85 m², resultam em 1367 kgf/m², o equivalente a 13,67 kN/m². A carga permanente de revestimento resulta 14,87 kN/m². A carga acidental usada é 0,50 kN/m. A laje L4 não suporta as caixas de água, por isso é dimensionada para suportar a carga permanente referente ao contrapiso e a carga acidental de 0,5 kN/m², prevendo futuras manutenções neste local.

25

7

Dimensionamento das lajes

Descrevem-se abaixo os critérios usados no dimensionamento das lajes pré-moldadas com vigotas do tipo trilho e das lajes maciças.

7.1

Lajes pré-moldadas As lajes são nomeadas por βn, onde n é um número inteiro que é dado pela soma das

alturas do material cerâmico com a espessura do capeamento de concreto, ambas na unidade centímetros. A figura abaixo mostra seção de concreto da vigota, das tavelas, indicação do intereixo (é a distância entre eixos de vigotas pré-fabricadas) e posicionamento. Mostra também, em linha preta, projeção de onde se situa a capa de concreto, que não foi desenhada para melhor destacar o esquema de assentamento das tavelas. A perspectiva foi desenvolvida pelo acadêmico em ambiente CAD-3D, usando AutoDesk AutoCad versão 2006 ®.

Figura 6 – Dimensões e colocação de laje pré-moldada

As vigotas dimensionadas podem ser visualizadas nos anexos em “Quadro resumo: vigotas pré-fabricadas”. O quadro abaixo relaciona o tipo de laje com a espessura do revestimento cerâmico, da capa de concreto a ser empregada e os valores totais.

26 Laje

# revestimento cerâmico

# capa de concreto

# total da laje

(cm)

(cm)

(cm)

β10

7

3

10

β11

7

4

11

β12

8

4

12

β14

10

4

14

β16

12

4

16

β20

15

5

20

Quadro 2 - Lajes pré-moldadas β n

É recomendado que seja dada atenção para eventuais problemas com puncionamento, para as lajes de capa de pequena espessura (3 cm), por esse motivo, este estudo não traz dimensionamento de lajes β10. Como as lajes pré-moldadas deste estudo são lajes com nervuras unidirecionais, no momento do posicionamento das vigotas, em geral, a colocação é feita na direção do menor comprimento da laje. Os materiais usados são definidos no item 3 - Materiais e durabilidade. É comum nas vigotas tipo trilho que cada barra de aço exceda 5 cm em cada extremidade das vigotas para proporcionar a ancoragem depois da montagem da laje. O dimensionamento e os critérios executivos (eventualmente citados neste trabalho) seguem as recomendações da NBR14859-1/02. Segundo esta norma, o intereixo mínimo (imín) para vigotas de concreto armado é 33 cm. O intereixo usado é 39 cm, pois leva em consideração a não-uniformidade do elemento de enchimento e falhas executivas. Ainda segundo esta norma, no item 5.3 deve ser assegurado espessura de capa de concreto de 2 cm acima de eventuais tubulações.

Figura 7 - Dimensões adotadas

27

7.1.1

Cargas O valor do peso próprio para os diversos tipos de lajes foi feito segundo pesquisa na

mesma obra a qual se refere o projeto estrutural, ali foram adquiridas as medidas do material cerâmico de enchimento e das vigotas, para cálculo de seu volume e posteriormente, do peso próprio. O quadro abaixo traz os valores de peso próprio calculados manualmente, em paralelo com os valores usados por DI PIETRO (2000). Conforme observado, os valores variam em menos de 20%, dado que os valores consultados referem-se ao mesmo tipo de laje e resultaram menos elevados, para fins de dimensionamento, adotaram-se os valores consultados. Área

Peso Laje vigotas (kN)

Volume Peso

Área

Volume

capa

capa

capa tavela

tavela

( cm²)

( cm³)

(kN) ( cm²)

(m³)

Peso

Área:

Peso

tavelas atuação conjunto (kN)

Carga (kN/m²)

DI PIETRO

(m²)

(kN)

β10 0,3065 415,80 41580 1,040 114,64 0,00229 0,6191

1,14

1,9650

1,72

1,72

β11 0,3065 529,35 52935 1,323 114,64 0,00229 0,6191

1,14

2,2489

1,97

1,65

β12 0,3065 529,35 52935 1,323 131,02 0,00262 0,7075

1,14

2,3373

2,05

1,75

β14 0,3065 529,35 52935 1,323 163,77 0,00328 0,8844

1,14

2,5142

2,21

1,95

β16 0,3065 529,35 52935 1,323 196,53 0,00393 1,0612

1,14

2,6911

2,36

2,10

β20 0,3065 642,90 64290 1,607 245,66 0,00491 1,3265

1,14

3,2402

2,84

2,50

(kN/m²)

Quadro 3 - Peso próprio: Laje pré-moldada

7.1.2

Estado limite último de flexão Para exemplo de cálculo, dimensiona-se a vigota com carga sobreposta 3,00 kN/m² e

armadura 2 Ø 6,0 mm, da laje pré-moldada de tipo β11 (7 cm+4 cm). A carga sobreposta (g2) é a soma de todas as cargas que não constituem peso próprio da laje sem revestimento (g1). Cargas referentes aos revestimentos devem ser considerados na composição de g2. A soma das cargas g1 e g2 são dadas por p (kN/m²). Conforme “Quadro resumo: vigotas pré-fabricadas”, a área de aço (As) é dada, em cm². Para o caso, As = 0,5655 cm²/nervura. O dimensionamento é feito por nervuras, poderia ter sido optado por fazê-lo por metro, no entanto, fez-se assim por questões de simplicidade.

28 A f yk

f yd =

=

γs A

f cd =

resistente

de

cálculo

do

aço

CA-60

é

dada

por

é

dada

por

600MPa = 521739,15kPa . 1,15 tensão

resistente

de

cálculo

do

concreto

C20

linha

neutra

é

f ck 20MPa = = 14285,71kPa . γc 1,40 A

x=

tensão

profundidade

As * f yd 0,85 * f cd * 0,8 * i

x

da

dada

por

= 0,007788m = 0,7788cm.

A espessura da capa de concreto da laje é 4 cm, como a profundidade da linha neutra não ultrapassa este valor, a linha neutra está contida no interior da capa de compressão de concreto, o que significa que a seção se comporta como uma viga retangular. A seção transversal adotada para cálculo é uma seção T, onde bw=4 cm (considera-se esta seção, pois o comprimento 8 cm na base é dado para viabilizar o apoio do material de enchimento) e bf é a largura colaborante (considerando caso de simplesmente apoiada) que assume o valor do intereixo: 39 cm. Algumas informações sobre a geometria podem ser observadas na figura 14.2 da NBR6118/03. O valor da altura útil é: d = hcapa – cobrimento-0,5*Ø, d=11,0-1,0-0,5*0,6=9,70 cm. Assim, x/d = 0,08 e a seção trabalha no domínio 2 de deformações, portanto, εs = 10‰. O

Md =

momento

A s * f yd d − 0,4 * x

de

cálculo

máximo

que

a

seção

resiste

é

dado

por:

= 2,77kN * m . O momento característico é Mk = Md/1,4 = 1,98 kN*m.

A carga por nervura, (intereixo igual a 39 cm), é p * i = 4,65 kN * m * 0,39 m, resultando 1,81 kN/m. Para o caso de viga bi apoiada,

L=

M *8 = 2,95 m. q

M=

q * L² , assim o vão máximo é 8

29

7.1.3

Verificação do estado limite de serviço

7.1.3.1 Deformação excessiva Segundo a tabela 13.1 da NBR6118/03, o deslocamento limite admitido é L / 250, ou seja: 2,95 m / 250 = 0,012 m = 1,20 cm. O módulo de elasticidade secante do concreto é Ecs = 4760*(fck)^0,5, fck em MPa. Assim, Ecs = 21287367,15 kPa. O coeficiente αe vale α e =

Es 210000MPa = = 9,865. E cs 21287,37MPa

Em serviço, no estádio II, deve ser considerada a hipótese de seção fissurada, para isso é calculado altura da linha neutra no estádio II (xII), uma vez que bw = 4 m e As = As,ef. No

x II =

estádio

- αe * As ±

II

a

seção

(α e * A s )2 + 2 * b w * d * α e * A s

está

fissurada

e

= 2,23 cm

bw

3

Considera-se seção retangular: I x, II0 =

bw * x II + α e * A s * (x II − d)² = 455,11cm 4 . 3

A área da seção transversal de cálculo T é 189,01 cm. A

distância

entre

o

CG

da

seção

até

a

fibra

mais

solicitada

é

h² h ² (b f - b w ) *  f  + b w * 2  2  yt = = 4,30 cm. O momento de inércia da seção T bruta de A concreto é 1580,14 cm4. O momento de fissuração é M r = 1,2. Portanto, M r =

Assim, (EI) eq

α * f ct ,m * I c yt

α * f ct ,m * I c yt

. Para seções T, α =

=0,68 kN*m.

 M  = E cs *  r  M a

3  M   * I c + 1 −  r   Ma  

  

3

   * I II  ≤ E cs * I c = 106,71 kN*m².    4

A

flecha

imediata

é

4

5 p serviço * l y 5 (g 1 + (g 2 + q) * 0,4) * l y a0 = * = * = 384 384 (EI) eq (EI) eq

5 (1,65 + 0,4 * 3,00) * 2,95 4 a0 = * = 0,026 cm = 0,26 mm. A flecha diferida no tempo leva 384 106,71 em consideração a fluência e é dada por af=a0*2,47=0,26 cm * 2,47 = 0,64 cm.

30 Se o deslocamento limite fixado por norma for menor ou igual a este valor, é válido o vão máximo calculado anteriormente, caso contrário, novo vão máximo é calculado, levando em consideração a rigidez axial equivalente.

7.1.3.2 Estado limite último – Força cortante Na verificação ao cisalhamento, Vsd é o esforço cortante solicitante de cálculo: Vsd =

p * i * L máx = 2,68 kN e VRd1 é o esforço cortante resistente de cálculo: VRd1 = 3,22 kN, 2

que leva em consideração uma série de parâmetros conforme item 19.4.1 da NBR6118/03. Como VRd1> Vsd, a situação está de acordo, caso contrário, é necessário alterar a armadura, aumentar a altura da laje ou usar armadura transversal. Uma importante prescrição normativa é que ao menos 50% das barras da armadura longitudinal sejam levadas ao apoio. Executivamente deve haver duas barras levadas ao apoio e excedendo um pouco seu comprimento. Os vigotes calculados possuem no máximo 4 barras, portanto, em todos os casos, serão levadas duas barras aos apoios.

31

7.2

Lajes maciças Assim como os outros elementos estruturais, as lajes são dimensionadas de acordo

com os critérios da NBR6118/03. Estruturalmente, pode-se discretizar as lajes maciças como placas constituídas de concreto armado, conforme o item 14.4.2.1 desta norma pode-se assim entendê-las, pois as dimensões comprimento e largura são preponderantes em relação à dimensão espessura, e as ações atuam perpendicularmente ao plano que contém o comprimento e a largura. Este estudo traz pavimentos, cujas lajes constituintes se apóiam em vigas, situadas nos contornos das lajes. A partir do pré-dimensionamento, os valores das espessuras das lajes são arbitrados obedecendo aos limites mínimos que a norma recomenda para lajes maciças. Quando necessário, conforme as condições impostas pelo dimensionamento, os valores são corrigidos. O item 13.2.4.1 desta mesma norma recomenda os limites mínimos para espessura das lajes maciças. Neste estudo, usou-se 5 cm para lajes de cobertura não em balanço, 7 cm para lajes de piso e 10 cm para as lajes da garagem e da rampa, uma vez que elas suportam veículos de peso total menor ou igual a 30 kN (equivalente a 3000kgf ou 3tf). As plantas de fôrmas estão dispostas junto aos anexos. Define-se λ =

ly , onde lx é sempre o menor vão. Quando λ for menor ou igual a 2, a lx

laje “trabalha” em duas direções, por isso o tipo de armação é bidirecional, diz-se então que a laje é bidirecional, a menor direção é chamada de direção principal e a maior direção é chamada de direção secundária. Caso λ seja maior que 2, a laje “trabalha” na direção do menor vão e é unidirecional, sendo colocada armadura de distribuição de esforços na outra direção (direção secundária). Executivamente, as lajes e vigas são concretadas juntamente, constituindo uma peça única, sendo válida a consideração da compatibilização de deformações, pois há o monolitismo da estrutura. No entanto, para efeito de dimensionamento, considera-se que as lajes estejam simplesmente apoiadas nas vigas dos contornos. Neste estudo usou-se a teoria das linhas de ruptura, que surgiu da identificação da maneira com que as lajes atingem o estado de ruína, consiste em aumentar progressivamente a carga das lajes até que se iniciem as linhas de plastificação, que irão materializar as linhas de ruptura, sendo que estas definem as áreas das charneiras plásticas. Esse assunto é abordado nos itens 14.6.5 e 14.7.4 da norma.

32 Os vãos efetivos das lajes são avaliados conforme orientação desta norma no item 14.7.2.2, lef = l0 + a1 + a2, onde l0 é o comprimento do vão de laje limitado pelas vigas (em toda edificação deste estudo não se fez uso de lajes com bordo livre) e a1 e a2 são determinados pelas considerações da figura 14.5, onde nota-se que “h” é a espessura da laje e “t” é o comprimento do apoio. Para facilitar a compreensão dos procedimentos de dimensionamento, é demonstrado minuciosamente o dimensionamento da laje L45, do pavimento Tipo 3. As rampas incluem-se neste mesmo tipo de dimensionamento.

7.2.1

Vãos efetivos Esta laje possui dimensões de vão livre Lx e Ly, onde Lx é o menor vão. Do projeto de fôrmas, a partir da definição das lajes, infere-se que Lx=300 cm e

Ly=430 cm.

Figura 8 - Vãos efetivos de lajes

0,3 * h 0,3 * h a1 ≤  a2 ≤  0,5 * t 1 e 0,5 * t 2 . Neste mesmo item, a norma recomenda que

Para estes níveis de solicitação, vãos e vinculações, não é esperado que alguma laje resulte em espessura maior que 16 cm (16 cm*0,3 = 4,8 cm) e considerando que os apoios são todos de comprimento superior a 10 cm (10 cm*0,5 = 5,0 cm), neste estudo o comprimento a1 será limitado pelo comprimento dos apoios. Para dimensionamento das lajes, elaborou-se planilha que traz informações sobre que pavimento estão sendo efetuados os cálculos, os comprimento l0 das lajes, definidos por Lx e Ly, onde Lx é o menor vão e Ly é o maior vão. A partir da estimativa da espessura da laje, são obtidos os valores de lx e ly.

33 Na direção x (direção do menor vão):

0,3 * h a1 ≤  0,5 * t 1 0,3 * 7 = 2,1cm a1 ≤  0,5 * 15 = 7,5cm a1 = 2,1 cm.

0,3 * h a2 ≤  0,5 * t 1 0,3 * 7 = 2,1cm a1 ≤  0,5 *15 = 7,5cm a2 = 2,1 cm lx = Lx + a1 + a2 = 2,1+300+2,1 = 304,2 cm Na direção y (direção do menor vão):

0,3 * h a1 ≤  0,5 * t 1 0,3 * 7 = 2,1cm a1 ≤  0,5 * 15 = 7,5cm a1 = 2,1 cm.

0,3 * h a2 ≤  0,5 * t 1 0,3 * 7 = 2,1cm a1 ≤  0,5 *15 = 7,5cm a2 = 2,1 cm ly = Ly + a1 + a2 = 2,1+430+2,1 = 434,2 cm λ=

ly 434,2 = = 1,42 < 2 , por isso a laje bidirecional. lx 304,2

Para as lajes bidirecionais, usou-se o método elástico da teoria da elasticidade. A determinação dos esforços nas lajes segundo essa teoria, é trabalhosa. Por esse motivo, foram elaboradas tabelas que permitem a obtenção de coeficientes que são usados em fórmulas e permitem a determinação dos momentos fletores e flechas, para isso é necessário informar a condição de vinculação e a relação entre os vãos das lajes. Obviamente, as lajes são tratadas por placas maciças, por conseguinte, estão separadas umas das outras, ou seja, são tratadas de maneira individual.

34 As tabelas usadas foram transcritas de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, a partir dos estudos de BARES, 1972.

7.2.2

Vinculação das lajes As lajes são vinculadas entre si. Neste estudo, a vinculação dos lados da laje pode ser

um apoio ou um engaste. Considera-se apoio quando a viga que suporta a laje é uma viga perimetral da edificação, ou quando no interior do pavimento, houver diferença de nível apreciável entre as lajes rebaixadas. Quando mais 67% da laje estar em continuidade com laje adjacente, com compatibilidade de rotação, ali haverá um engaste, caso contrário será apoio. Para uso das tabelas deste estudo, as lajes são classificadas em nove casos: •

Caso 1: Totalmente apoiada.

•

Caso 2: Engaste no menor lado e apoio nos outros lados.

•

Caso 3: Engaste no maior lado e apoio nos outros lados.

•

Caso 4: Engaste em no maior e no menor lado.

•

Caso 5: Engastes nos menores lados e apoio nos maiores lados.

•

Caso 6: Engaste nos maiores lados e apoio nos menores lados.

•

Caso 7: Apoio no maior lado e engaste nos outros lados.

•

Caso 8: Apoio no menor lado e engaste nos outros lados.

•

Caso 9: Totalmente engastada. Esta laje (L45) enquadra-se no caso 7. A figura abaixo mostra as vinculações da laje

L45 e das outras que estão “envolvidas” em seu dimensionamento. A vinculação das outras lajes pode ser inferida a partir de quadro que traz as reações das lajes nas vigas, destacado no decorrer deste estudo. Nesta figura, os contornos com apenas uma linha representam lados apoiados, enquanto que o contorno com linhas inclinadas representa os lados engastados.

35

L37 h=7

L42 h=8

L44

L45

h=7

h=7

Figura 9 - Vinculações nas lajes maciças

Para o caso de lajes unidirecionais, adotou-se a nomenclatura: •

aa: apoio-apoio,

•

ae: apoio-engaste ou engaste-apoio,

•

ee: engaste-engaste. O quadro abaixo traz para o pavimento Tipo 3, as lajes, a espessura efetiva (já depois

das diversas tentativas, oriundas do dimensionamento), seus vãos arquitetônicos, tipo de armação, caso para uso nas tabelas e cargas usadas.

Pavimento Laje

h

Lx

Ly

(cm)

(cm)

(cm)

λ

Armação

Caso

gpp

grev

gext

gtot

q

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

Tipo 3

L1

7

285 440 1,54 Bidirecional

4

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L2

7

125 285 2,24 Unidirecional

aa

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L3

7


1

1,75

1,38

2,76

5,89

1,50

Tipo 3

L4

7


2

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L5

8


4

2,00

1,38

1,00

4,38

1,50

Tipo 3

L6

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L7

7


ee

1,75

1,38

0,00

3,13

2,00

Tipo 3

L8

7


7

1,75

1,38

2,57

5,70

2,00

Tipo 3

L9

7


9

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

36 Pavimento Laje

h

Lx

Ly

(cm)

(cm)

(cm)

λ

Armação

Caso

gpp

grev

gext

gtot

q

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

Tipo 3

L10

9


4

2,25

1,38

2,36

5,99

2,00

Tipo 3

L11

8


7

2,00

1,38

1,22

4,60

2,00

Tipo 3

L12

7


ae

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L13

7


ae

1,75

1,38

2,76

5,89

1,50

Tipo 3

L14

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L15

7


9

1,75

1,38

2,01

5,14

2,00

Tipo 3

L16

7


ae

1,75

1,38

0,00

3,13

3,00

Tipo 3

L17

7


ae

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L18

7


ae

1,75

1,38

2,76

5,89

1,50

Tipo 3

L19

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L20

7


9

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L21

7


7

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L22

7


4

1,75

1,38

1,63

4,76

2,00

Tipo 3

L23

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L24

7


9

1,75

1,38

2,90

6,03

2,00

Tipo 3

L25

7


7

1,75

1,38

2,90

6,03

2,00

Tipo 3

L26

7


ee

1,75

1,38

0,00

3,13

3,00

Tipo 3

L27

9


9

2,25

1,38

0,00

3,63

1,50

Tipo 3

L28

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L29

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L30

7


8

1,75

1,38

1,99

5,12

1,50

Tipo 3

L31

7


7

1,75

1,38

1,99

5,12

3,00

Tipo 3

L32

7


ee

1,75

1,38

1,63

4,76

2,00

Tipo 3

L33

7


ae

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L34

7


ae

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L35

7


aa

1,75

1,38

2,76

5,89

1,50

Tipo 3

L36

7


8

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L37

7


9

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L38 11


ae

2,75

1,38

0,00

4,13

2,00

Tipo 3

L39

8


8

2,00

1,38

0,00

3,38

1,50

Tipo 3

L40

7


ee

1,75

1,38

1,63

4,76

2,00

Tipo 3

L41

7


ae

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

37 Pavimento Laje

h

Lx

Ly

(cm)

(cm)

(cm)

Armação

λ

Caso

gpp

grev

gext

gtot

q

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

(kN/m²)

Tipo 3

L42

8


4

2,00

1,38

1,13

4,51

2,00

Tipo 3

L43

7


3

1,75

1,38

0,00

3,13

1,50

Tipo 3

L44

7


4

1,75

1,38

1,84

4,97

1,50

Tipo 3

L45

7


7

1,75

1,38

2,00

5,13

1,50

Tipo 3

L46

7


1

1,75

1,38

2,76

5,89

1,50

Quadro 4 – Laje maciça, lef , tipo de armação, caso da laje para uso nas tabelas e cargas

7.2.3

Ações nas lajes Como este item já foi abordado, demonstram-se rapidamente os procedimentos para a

laje L45. A carga das lajes pode ser permanente ou variável (acidental). A carga extra é incorporado a carga permanente, conforme salientado anteriormente. Para a laje L45: Para uso das tabelas deste estudo, as lajes são classificadas em nove casos: •

gpp (peso próprio da laje): é dado por g _ pp = γ * h , onde γ é o peso específico do

concreto armado γ CA = 25

kN kN * 0,07 m = 1,75 . m³ m²

g PP = 25 • cm

grev (peso próprio do revestimento e forro do andar inferior): é o correspondente a 5 de

g rev = 24 •

kN e h é a espessura da laje, para o caso h=7 cm. Assim m³

contrapiso

e

1

cm

de

revestimento

cerâmico:

kN kN kN * 0,05m + 18 * 0,01m = 1,38 . m³ m³ m²

gext (peso próprio extra): nesta laje, há 4,80 m de parede, como é uma laje bidirecional,

admite-se que o peso da parede esteja uniformemente distribuído ao longo da laje:

13

kN * (4,80 * 0,15 * 2,75) * m ³ kN m³ = 2,00 . 3,00m * 4,30m m²

g ext =

γ * Volume = Lx * Ly

•

gtot (soma das parcelas permanentes): gpp + grev + gext = 1,75+1,38+2,00 = 5,13 kN/m².

•

q (carga acidental): 1,50

•

p é a soma de gtot + q.

•

pd é a carga de cálculo, dada por 1,4*p, ações majoradas no ELU.

kN para dormitórios, conforme NBR6120/80. m²

38 •

pd,ser (1ª cond.) é a carga de serviço na primeira condição de verificação de flecha.

Ψ2=0,3 para edifícios residenciais. Se fosse um edifício comercial, é pressuposta elevada

concentração de pessoas, então Ψ2=0,4. Para as lajes do pavimento garagens, Ψ2=0,6. •

pd,ser (2ª cond.) é a carga de serviço na segunda condição de verificação de flecha, usa-

se pd,ser = q, pois é suposto que a carga acidental atue subitamente na estrutura.

7.2.4 Verificação das flechas elásticas nas lajes Durante o dimensionamento, para verificar se a espessura da laje atende às condições de flecha, nesta etapa o dimensionamento é interrompido e faz-se a verificação da flecha. Estando nos conformes, o dimensionamento segue. Importante ressaltar que para fissuração, é usada a combinação freqüente da NBR6118/03 e para flecha é usada a combinação quase permanente, equacionadas conforme a tabela 11.4 e coeficientes da tabela 11.2. Para verificar as flechas, é usado o coeficiente α, que permite calcular a magnitude do deslocamento vertical em lajes retangulares, desde que submetidas à carga uniformemente distribuída. É a flecha elástica, determinada supondo seção atuando no estádio I, ou seja, é suposto seção íntegra do concreto, não fissurada, o que é aceitável enquanto Matuante
p d,ser * l x E*h

3

4

*

α , se a laje for 100

bidirecional. Caso a laje seja unidirecional, ela será tratada como uma viga, assim a flecha imediata (ou flecha no tempo=0: f0) 4

•

5 p d ,ser * l x f0 = * 384 E*I

•

2 p d ,ser * l x f0 = * , se a laje pertencer ao caso ae (apoio-engaste); 384 E*I

•

1 p d ,ser * l x f0 = * , se a laje pertencer ao caso ee (engaste-engaste). 384 E*I

, se a laje pertencer ao caso aa (apoio-apoio); 4

4

A flecha diferida no tempo (ou flecha quando t = ∞) leva em conta o efeito da fluência do concreto, é dada por f∞ e determinada a partir de um coeficiente (1+αf) que aumenta o

39 valor da flecha imediata. Esse coeficiente é dado pela NBR6118/03, de acordo com o item 17.3.2.1.2:

αf =

∆ξ ,mas ρ' é a taxa de armadura negativa, que é nula para lajes 1 + 50 * ρ'

maciças em concreto armado. Assim, α f = ∆ξ = ξ( t ) − ξ( t 0 ) = 1,47 , conforme citado no início deste estudo (em Dados gerais). Assim, f∞ = (1+1,47)*f0. A equação para fadm, na primeira condição traz o valor da flecha imediata admissível para qual ser feita comparação com a flecha imediata ocorrida com a carga de serviço pdser (1ªcond.), p = g+ψ2*q. A flecha admissível (fadm) é dada pela tabela 13.2 da NBR6118/03, levando em consideração a aceitabilidade sensorial, limitada visualmente para que sejam evitados deslocamentos visíveis em elementos estruturais, assim f adm =

lx . 250

A equação para fadm, na segunda condição traz o valor da flecha imediata admissível para qual ser feita comparação com a flecha imediata ocorrida com a carga de serviço pdser (2ªcond.), p=q. A flecha admissível (fadm) é dada pela mesma tabela 13.2 da NBR6118/03, levando em consideração a aceitabilidade sensorial, limitada para que sejam evitadas vibrações sentidas no piso que causam desconforto aos usuários, assim f adm =

lx . 350

O uso da carga de serviço caracteriza o Estado Limite de Serviço (ELS). Para a laje L45 em estudo, a flecha considerando a primeira condição é:

f0 =

p d,ser * l x E * h3

4

kN * (3,042 4 ) * m 4 α (5,13 + 0,3 * 1,50) 3,66 m² * = * = 0,214cm 3 100 100 23800000 kN * 0,07m m²

f∞ = (1+1,47)*0,214 cm=0,53 cm f adm =

lx 3,042m = = 1,22cm. 250 250

Como f∞
f∞ = (1+1,47)*0,058 cm=0,142 cm f adm =

lx 3,042m = = 0,87cm. 350 350

Como f∞
40 A demonstração do mesmo procedimento aplicado aos outros pavimentos e suas respectivas lajes está em planilha junto aos anexos.

7.2.5 Determinação dos momentos característicos nas lajes Verificadas as flechas, é dada continuidade aos dimensionamentos. Para a obtenção dos momentos característicos das lajes bidirecionais, é usada a tabela de BARES, que fornece os coeficientes µ x, µ x’, µ y e µ y’ de acordo com o caso da laje e o valor de λ. Caso necessário, é feita interpolação linear para obtenção dos valores intermediários. Os coeficientes são aplicados nas equações: 2

Mx = µx *

2

− p * lx p * lx p * lx − , My = µy * , Mx = µx * 100 100 100

2

2

−

−

e My = µy *

p * lx . 100

Para as lajes unidirecionais, os momentos são obtidos considerando-as como vigas de base 1 m. Os momentos característicos variam conforme a vinculação: 2

•

M+ =

p * lx 8

•

M+ =

p * lx p * lx e M− = , se a laje pertencer ao caso ae (apoio-engaste); 14,22 8

•

p * lx M = 24

, se a laje pertencer ao caso aa (apoio-apoio); 2

+

2

2

2

p * lx eM = ,se a laje pertencer ao caso ee (engaste-engaste). 12 −

Conforme a NBR6118/03, no item 17.3.1, a estrutura trabalhará no estádio II (regime fissurado) quando o momento atuante for maior que o momento de fissuração (Mr). O momento de fissuração é dado pela expressão: M r =

α * f ct ,m * I c para o estado yt

limite de deformação excessiva (ELS-DEF). Neste mesmo item, é informado que para seções retangulares, α=1,5. Os momentos atuantes e os momentos de fissuração são dados em kN*m/m. Para a laje L45, os coeficientes são µx=4,07, µx'=9,05, µy=2,69, µy'=7,80. São obtidos por intermédio de interpolação linear nas tabelas de BARES. Tendo os coeficientes, basta calcular os momentos característicos usando as expressões: M x = µ x *

p * lx ² p * lx ² p * lx ² p * lx ² , My = µy * , M x' = µ x' * e M y' = µ y' * . 100 100 100 100

41 M x = 4,07 *

6,63 * 3,042² = 2,50kN * m/m , 100

M x' = 9,05 *

6,63 * 3,042² = 5,55kN * m/m , 100

M y = 2,69 *

6,63 * 3,042² = 1,65kN * m/m e 100

M y' = 7,80 *

6,63 * 3,042² = 4,78kN * m/m . 100

O quadro abaixo traz o dimensionamento para as lajes do pavimento Tipo 3. Na maioria dos casos, os coeficientes precisaram ser interpolados.

Laje

Mr (kN.m/m)

µx

µx'

µy

µy'

4,91 9,43 2,68 8,08

Mx

Mx'

My

My'

M+

M-

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

1,90

3,65

1,04

3,13 0,97

0,00

0,23

0,46

L1

3,14

L2

3,14

L3

3,14

9,74 0,00 3,70 0,00

1,60

0,00

0,61

0,00

L4

3,14

3,21 0,00 3,71 8,56

1,20

0,00

1,39

3,20

L5

4,10

5,41 11,49 2,08 8,16

2,96

6,28

1,14

4,46

L6

3,14

3,44 7,54 1,79 5,76

1,38

3,02

0,72

2,31

L7

3,14

L8

3,14

4,00 8,94 2,70 7,76

2,67

5,96

1,80

5,17

L9

3,14

4,01 8,24 1,21 5,72

1,02

2,09

0,31

1,45

L10

5,19

4,44 9,82 2,62 7,92

5,40

11,95

3,19

9,64

L11

4,10

4,60 9,86 2,56 8,01

2,38

5,09

1,32

4,14

L12

3,14

0,04

0,07

L13

3,14

0,51

0,91

L14

3,14

3,37 7,44 1,83 5,77

1,44

3,19

0,78

2,47

L15

3,14

3,28 7,12 1,85 5,69

2,17

4,70

1,22

3,76

L16

3,14

2,36

4,20

L17

3,14

0,04

0,07

L18

3,14

0,51

0,91

L19

3,14

3,64 7,82 1,64 5,74

1,27

2,72

0,57

2,00

L20

3,14

3,83 7,59 1,65 5,72

1,33

2,64

0,57

1,99

L21

3,14

2,42 6,10 2,68 6,52

0,81

2,05

0,90

2,19

42 Laje

Mr (kN.m/m)

µx

µx'

µy

µy'

Mx

Mx'

My

My'

M+

M-

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

0,23

0,45

L22

3,14

3,92 8,97 2,75 7,71

1,92

4,39

1,35

3,77

L23

3,14

2,67 6,29 2,12 5,50

1,03

2,44

0,82

2,13

L24

3,14

3,63 7,63 1,62 5,72

1,04

2,19

0,47

1,64

L25

3,14

4,07 9,05 2,69 7,80

2,73

6,08

1,81

5,24

L26

3,14

L27

5,19

3,52 7,49 1,70 5,67

1,47

3,13

0,71

2,37

L28

3,14

3,17 7,13 1,95 5,74

1,19

2,67

0,73

2,15

L29

3,14

3,72 7,93 1,58 5,73

1,29

2,76

0,55

1,99

L30

3,14

2,98 6,82 2,03 5,67

1,48

3,39

1,01

2,82

L31

3,14

5,13 10,64 2,35 8,16

0,99

2,05

0,45

1,57

L32

3,14

0,43

0,87

L33

3,14

0,11

0,20

L34

3,14

0,04

0,07

L35

3,14

0,91

0,00

L36

3,14

2,85 6,59 2,07 5,60

0,96

2,21

0,69

1,88

L37

3,14

3,74 7,81 1,53 5,72

1,25

2,62

0,51

1,92

L38

7,76

0,40

0,72

L39

4,10

L40

3,14

0,43

0,87

L41

3,14

0,11

0,20

L42

4,10

4,93 10,82 2,39 8,09

3,08

6,76

1,49

5,05

L43

3,14

4,19 8,91 2,84 0,00

1,98

4,20

1,34

0,00

L44

3,14

3,42 8,07 2,81 7,43

2,05

4,83

1,68

4,45

L45

3,14

4,07 9,05 2,69 7,80

2,50

5,55

1,65

4,78

L46

3,14

9,63 0,00 3,75 0,00

1,58

0,00

0,62

0,00

2,74 6,41 2,10 5,54

1,08

2,54

0,83

Quadro 5 - Coeficientes e momentos característicos

2,19

43

7.2.6

Compatibilização dos momentos fletores Determinados os momentos característicos, estes são dispostos na planta de formas,

em ambiente CAD, para que seja procedida a compatibilização. O momento Mx é disposto na menor direção da laje, enquanto que o momento My atua na direção perpendicular ao Mx. A compatibilização dos momentos fletores tem por objetivo garantir um diagrama de momentos fletores coerente. A figura abaixo é retirada de Andrade (2003) e mostra a grandeza ∆M/2 e a maneira que deve ser procedida o arredondamento do diagrama de momentos fletores positivos.

Figura 10 - Compatibilização dos momentos fletores negativos e correção dos positivos

O valor de ∆M/2 é dado pela metade da variação em módulo entre os valores de momentos fletores negativos. Os valores positivos dos momentos fletores somente são corrigidos caso seu valor seja incrementado, é uma prática para manter a estrutura a favor da segurança. Quando uma laje confronta com duas outras lajes, pode acontecer de haver dois valores para ∆M/2. É usado o maior deles, outra prática que mantém a estrutura a favor da segurança.

44 O

momento

fletor

negativo

compatibilizado

(M-)

é

dado

por:

0,80 * (maior M − )  M − >  M −1 + M − 2   2 Para a laje L45, deve ser realizado procedimento de compatibilização entre as lajes vizinhas, ou seja, entre •

L37 e L45 M37=-2,62 kN*m/m M45=-5,55 kN*m/m

0,80 * (5,55) = 4,44kN * m/m  M >  M − 1 + M − 2 2,62 + 5,55 = = 4,09kN * m/m  2 2  −

M − = 4,44kN * m/m ∆M 5,55 − 4,44 = 0,56kN * m/m = 2 2

De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento fletor positivo aumenta na L45 e reduz na L37, por isso é mantido para a L37 o valor do momento positivo antes da compatibilização e para a L45, soma-se

∆M = 0,56kN * m/m , 2

resultando 2,50+0,56 = 3,06 kN*m/m.

•

L42 e L45 M42=-6,76 kN*m/m M45=-4,78 kN*m/m 0,80 * (6,76) = 5,41kN * m/m  M >  M −1 + M − 2 6,76 + 4,78 = = 5,77kN * m/m  2 2  −

M − = 5,77kN * m/m ∆M 6,76 - 5,77 = = 0,50kN * m/m 2 2

De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento fletor positivo aumenta na L42 e reduz na L45, por isso é mantido para a L45 o valor do momento positivo antes da compatibilização e para a L42, soma-se resultando 3,08+0,50 = 3,58 kN*m/m.

∆M = 0,50kN * m/m , 2

45 Seria assim se o valor de

∆M entre as lajes L37 e L42 (que vale 0,68 kN*m/m) não 2

fosse superior ao valor entre L42 e L45. Por esse motivo, o ajuste correto é aquele que fica a favor da segurança: 3,08+0,68 = 3,76 kN*m/m.

•

L44 e L45 M44=-4,45 kN*m/m M45=-4,78 kN*m/m 0,80 * (4,78) = 3,82kN * m/m  M >  M −1 + M − 2 4,78 + 4,45 = = 4,62kN * m/m  2 2  −

M − = 4,62kN * m/m ∆M 4,78 − 4,62 = = 0,08kN * m/m 2 2

De acordo com essa nova configuração do diagrama de momentos fletores, o momento fletor positivo aumenta na L45 e reduz na L44, por isso é mantido para a L44 o valor do momento positivo antes da compatibilização e para a L45, soma-se

∆M = 0,08kN * m/m , 2

resultando 1,65+0,08 =1,73 kN*m/m. O sinal negativo antes do valor dos momentos indica que se trata de momentos negativos. Nota-se que o momento fletor que atua na menor direção da laje L45 é maior que o momento fletor que atua na direção perpendicular, o que já era esperado, por uma questão de compatibilidade de deformações. Executivamente deve-se iniciar a colocação das barras de aço referente à armadura na menor dimensão, no decorrer do trabalho a explicação é aperfeiçoada. Para melhor compreensão dos procedimentos realizados na compatibilização dos momentos fletores nas lajes maciças em concreto armado segue junto aos anexos, as plantas de fôrmas com indicação das lajes e dos momentos fletores compatibilizados. Segue quadro completo com a compatibilização dos momentos fletores junto aos anexos.

46 Abaixo é demonstrada a compatibilização para o pavimento Tipo 3: M1

M2

∆M/2

M-

Mr

Seção fissurada

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

para M-?

L1 e L2

3,13

0,00

0,31

2,50

4,10

Não

L1 e L6

3,65

3,02

0,16

3,34

4,10

Não

L1 e L7

3,65

0,00

0,37

2,92

4,10

Não

L4 e L5

0,00

4,46

0,45

3,57

4,10

Não

L4 e L9

3,20

2,09

0,28

2,65

4,10

Não

L5 e L9

4,46

1,45

0,45

3,57

4,10

Não

L5 e L10

6,28

11,95

1,20

9,56

5,19

Sim

L6 e L7

2,31

0,46

0,23

1,85

4,10

Não

L6 e L14

3,02

3,19

0,04

3,11

4,10

Não

L7 e L8

0,46

5,17

0,52

4,14

4,10

Sim

L7 e L14

0,00

3,19

0,32

2,55

4,10

Não

L8 e L9

5,17

1,45

0,52

4,14

4,10

Sim

L8 e L11

5,17

4,14

0,26

4,66

4,10

Sim

L8 e L15

5,96

4,70

0,32

5,33

4,10

Sim

L9 e L10

1,45

9,64

0,96

7,71

4,10

Sim

L9 e L11

2,09

5,09

0,51

4,07

4,10

Não

L10 e L11

9,64

4,14

0,96

7,71

5,19

Sim

L11 e L15

4,14

3,76

0,10

3,95

4,10

Não

L12 e L13

0,07

0,91

0,09

0,73

4,10

Não

L14 e L15

2,47

3,76

0,32

3,12

4,10

Não

L14 e L19

3,19

2,72

0,12

2,96

4,10

Não

L15 e L16

3,76

4,20

0,11

3,98

4,10

Não

L15 e L20

4,70

2,64

0,47

3,76

4,10

Não

L16 e L20

4,20

1,19

0,42

3,36

4,10

Não

L16 e L21

0,00

2,19

0,22

1,75

4,10

Não

L16 e L25

4,20

5,24

0,26

4,72

4,10

Sim

L16 e L26

0,00

0,45

0,05

0,36

4,10

Não

L17 e L18

0,07

0,91

0,09

0,73

4,10

Não

L19 e L20

2,00

1,99

0,00

2,00

4,10

Não

L19 e L23

2,72

2,44

0,07

2,58

4,10

Não

Entre

47 M1

M2

∆M/2

M-

Mr

Seção fissurada

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

para M-?

L19 e L24

2,72

1,64

0,27

2,18

4,10

Não

L20 e L25

2,64

6,08

0,61

4,86

4,10

Sim

L21 e L22

2,19

3,77

0,38

3,02

4,10

Não

L21 e L27

2,05

2,37

0,08

2,21

4,10

Não

L22 e L28

4,39

2,67

0,43

3,53

4,10

Não

L23 e L24

2,13

2,19

0,01

2,16

4,10

Não

L23 e L29

2,44

2,76

0,08

2,60

4,10

Não

L24 e L25

2,19

5,24

0,52

4,19

4,10

Sim

L24 e L29

1,64

2,76

0,28

2,21

4,10

Não

L24 e L30

1,64

3,39

0,34

2,71

4,10

Não

L25 e L26

5,24

0,00

0,52

4,19

4,10

Sim

L25 e L30

0,00

3,39

0,34

2,71

4,10

Não

L26 e L27

0,00

3,13

0,31

2,50

4,10

Não

L26 e L31

0,45

1,57

0,16

1,26

4,10

Não

L27 e L28

3,13

2,15

0,25

2,64

4,10

Não

L27 e L31

3,13

2,05

0,27

2,59

4,10

Não

L27 e L32

3,13

0,00

0,31

2,50

4,10

Não

L27 e L38

3,13

0,00

0,31

2,50

4,10

Não

L27 e L39

2,19

2,37

0,04

2,28

4,10

Não

L28 e L32

2,67

0,87

0,27

2,14

4,10

Não

L29 e L30

1,99

2,82

0,21

2,41

4,10

Não

L29 e L36

2,76

2,21

0,14

2,49

4,10

Não

L30 e L37

3,39

2,62

0,19

3,01

4,10

Não

L31 e L38

1,57

0,00

0,16

1,26

4,10

Não

L32 e L33

0,00

0,20

0,02

0,16

4,10

Não

L32 e L40

0,87

0,87

0,00

0,87

4,10

Não

L34 e L35

0,07

0,91

0,09

0,73

4,10

Não

L36 e L37

1,88

1,92

0,01

1,90

4,10

Não

L36 e L44

2,21

4,83

0,48

3,86

4,10

Não

L37 e L38

1,92

0,00

0,19

1,54

4,10

Não

L37 e L42

1,92

6,76

0,68

5,41

4,10

Sim

L37 e L45

2,62

5,55

0,56

4,44

4,10

Sim

Entre

48 M1

M2

∆M/2

M-

Mr

Seção fissurada

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

(kN.m/m)

para M-?

L38 e L39

0,00

2,54

0,25

2,03

5,19

Não

L38 e L42

0,72

5,05

0,51

4,04

5,19

Não

L39 e L40

2,54

0,00

0,25

2,03

4,10

Não

L39 e L42

2,54

0,00

0,25

2,03

5,19

Não

L39 e L43

2,54

0,00

0,25

2,03

4,10

Não

L40 e L41

0,00

0,20

0,02

0,16

4,10

Não

L40 e L43

0,87

4,20

0,42

3,36

4,10

Não

L42 e L45

6,76

4,78

0,50

5,77

4,10

Sim

L44 e L45

4,45

4,78

0,08

4,62

4,10

Sim

Entre

Quadro 6 - Compatibilização dos momentos fletores negativos

7.2.7

Dimensionamento da armadura negativa Agora é possível dimensionar os momentos negativos, o momento característico é

dado diretamente da tabela acima, a armadura é disposta em cima do apoio, conforme detalhamento mais adiante. Nada impede que as armaduras positivas sejam dimensionadas antes das armaduras negativas. Para a laje L45, são dimensionadas 3 armaduras, pois é uma laje do tipo 7, ou seja, com 3 engastes e um apoio. A superfície das lajes é nivelada, mesmo que estas possuam alturas diferentes. Para a avaliação da altura útil (d’), é necessário o conhecimento da menor altura entre as lajes que estão sendo dimensionadas, para em seguida arbitrar um valor para o diâmetro da armadura e efetuar o dimensionamento. Deve atentar ao arbitrar o diâmetro, pois para diâmetros pequenos pode ser necessário que seja procedido pequeno espaçamento entre as barras, dificultando a execução. Comumente, são empregados espaçamentos entre barras maiores que 8 cm. Inicialmente foi arbitrado diâmetro 6,3 mm, para as lajes que fazem contorno com laje L45, o espaçamento resultou muito pequeno. O diâmetro das barras foi aumentado para 8 mm e o espaçamento se mostrou razoável. A NBR6118/03 recomenda que todas as barras da armadura negativa tenham diâmetro menor que a espessura da laje/8, esta condição foi verificada.

49 O valor do cobrimento, considerando rigoroso controle de qualidade é 2 cm. Esta é uma importante observação e deve constar explicitamente nos projetos executivos, junto com a classe do concreto e o tempo de escoramento mínimo. A altura útil para a armadura negativa é: d’=espessura da laje – cobrimento – 0,5*Ø Entre L37 e L45: Md=1,4*Mk=1,4*4,44 kN/m²=6,22 kN/m² Menor espessura de laje: 7 cm d’=7,0-2,0-0,5*0,8=4,6 cm x é a solução da equação do segundo grau (advinda das condições de equilíbrio na seção submetida a esforços que causam flexão), dado pela equação:

x=

0,68 * f cd * d'− ((0,68 * f cd * d' )² − 4 * 0,272 * f cd * M d ) 2 * 0,272 * f cd

,

onde fcd e Md em kN/m², d’ e mm. x=

0,68 *17857,14 * 0,046 − ((0,68 *17857,14 * 0,046)² − 4 * 0,272 *17857,14 * 6,22) 2 * 0,272 *17857,14

x=0,0125 m = 1,25 cm. Nesse momento é possível avaliar a posição da linha neutra e afirmar em qual domínio a seção trabalha: x/d=1,25/4,6=0,272. Como x/d>0,257 e x/d<0,628, a seção trabalha no domínio 3. Para o domínio 3, a armadura é dada por:

As =

Md  f yk   γs

  * (d - 0,4 * x) 

=

6,22 kN

m² = 3,49cm ² / m  50 kN   cm²   1,15  * (0,046m − 0,4 * 0,0125m)  

Alguns valores mínimos de armadura são adotados para as lajes, com o pretexto de amenizar a fissuração, melhorar a ductilidade à flexão. A norma aborda esses valores no item 19.3.3.2. Segue abaixo figura com tabela adaptada à tabela da norma.

50

Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças

Para armaduras negativas, a taxa de armadura deve ser igual ou maior que a taxa de armadura mínima (ρmin = 0,150%), assim As,min>0,150%*100 cm*d’, d’ em cm. Dessa forma, As,min>0,150*100 cm*4,60 cm=0,69 cm²/m. Como As> As,min, é usada As para o dimensionamento. Anteriormente,

arbitrou-se

Ø=8,0

mm.

Para

esse

diâmetro,

AØ=8,0mm=(π*0,80²)/4=0,5026 cm². O espaçamento é dado em barras/metro =

3,49 cm²

m = 6,94barras/m . 0,5026cm²

A partir de regra de três simples, encontra-se que espaçamento=100/6,94=14,40 cm. Esse valor é sempre arredondado para baixo, em múltiplos de 1 cm, para que As não seja diminuída. Assim, o espaçamento é s=14 cm. A NBR6118/03 no item 20.1 estabelece que o espaçamento máximo das barras da armadura principal de flexão deve ser menor ou igual a 2*h ou 20 cm, o espaçamento máximo é o menor entre estes dois valores. Todas as lajes são verificadas quanto a esses requisitos. A condição 2*h = 2*7 cm = 14 cm coincide com o espaçamento encontrado, como é um espaçamento menor que 20 cm, é o espaçamento adotado. Esse resultado coincide com o fornecido pelo programa computacional, muito provavelmente porque recaiu na condição que o espaçamento deve ser inferior a duas vezes o valor da espessura da laje. A área de aço efetiva, As,ef é dada pela quantidade de barras de aço que existem efetivamente na seção: A s,ef

(π * 0,80²) cm² 4 = = 3,59cm ² /m. 0,14m

51 Para os dois outros momentos negativos sobre os contornos da laje L45, o procedimento é o mesmo.

7.2.8

Detalhamento da armadura negativa Para fins de detalhamentos, quando o calculista não possui um diagrama de momentos

fletores bem definido, pode ser usado um diagrama triangular de momentos, de base 0,25*lmáx, conforme o esquema abaixo: O comprimento lmáx varia conforme o engastamento entre as lajes, caso elas sejam engasteengaste, é dado pelo maior dos menores vãos, enquanto que para caso de apoio-engaste, é dado pelo menor vão da laje engastada.

Figura 12 - Detalhe da armação negativa

Para a laje armadura entre as lajes L37 e L45, lx = 2,692 m (da laje L37), assim o comprimento reto é 10*0,8+0,25*2,692+0,25*2,692+10*0,8=150,60 cm. Devem ser previstos ganchos de maior comprimento reto possível, respeitando apenas o valor do cobrimento acima e abaixo da barra de aço. Como as duas barras possuem espessura de laje 7 cm, o comprimento reto dos ganchos é igual: 7 cm-2 cm-2 cm = 3 cm. O resultado fornecido pelo programa computacional para o comprimento reto de 163,80 cm, muito próximo do encontrado. Como esperado, o comprimento reto dos ganchos fornecido pelo programa coincide com o valor encontrado manualmente. O detalhamento desta laje segue junto com os outros detalhamentos, nos anexos. O programa computacional que discretiza as lajes por analogia de grelhas (também conhecido por processo de grelha equivalente), método esse que consiste em substituir a placa por um determinado número de vigas, dispostas em forma de rede. No programa, é admitida a filosofia de engastes parciais. Neste caso, o programa dispõe de um diagrama de momentos fletores, por esse motivo podem ser notadas algumas diferenças em comprimentos de barras.

52 O quadro abaixo traz os dimensionamentos das armaduras negativas entre as lajes. Para viabilizar sua inserção, dado a quantidade de incógnitas envolvidas, as unidades foram omitidas: momentos fletores negativos (M-) em kN*m/m, diâmetro das barras da armadura (Ø) em mm,menor espessura das lajes (< h) em cm, altura útil (d’) em cm, altura da linha neutra (x) em cm, área de aço (As), área de aço mínima (As,mín), área de aço efetiva (As,ef) em cm²/m, barras por metro (b/m), espaçamento (s) em cm. M-

Ø

d'

(kN.m/m)

(mm)

(cm)

L1 e L2

2,50

6,3

4,685

L1 e L6

3,34

6,3

L1 e L7

2,92

L4 e L5

Entre

Domínio

As

As,mín

(cm²/m)

(cm²/m)

2

1,82

0,70

4,685

2

2,48

6,3

4,685

2

3,57

8,0

4,600

L4 e L9

2,65

8,0

L5 e L9

3,57

L5 e L10

barras/m

s

sfinal

As,ef

(cm)

(cm)

(cm²/m)

5,8466

17

14

2,23

0,70

7,9564

12

12

2,60

2,15

0,70

6,8906

14

14

2,23

2

2,73

0,69

5,4303

18

14

3,59

4,600

2

1,97

0,69

3,9245

25

14

3,59

8,0

4,600

2

2,73

0,69

5,4303

18

14

3,59

9,56

6,3

5,685

3

6,47

0,85

20,7527

4

4

7,79

L6 e L7

1,85

6,3

4,685

2

1,32

0,70

4,2464

23

14

2,23

L6 e L14

3,11

8,0

4,600

2

2,34

0,69

4,6646

21

14

3,59

L7 e L8

4,14

6,3

4,685

2

3,15

0,70

10,0892

9

9

3,46

L7 e L14

2,55

6,3

4,685

2

1,86

0,70

5,9659

16

14

2,23

L8 e L9

4,14

8,0

4,600

2

3,22

0,69

6,4011

15

14

3,59

L8 e L11

4,66

6,3

4,685

3

3,59

0,70

11,5305

8

8

3,90

L8 e L15

5,33

8,0

4,600

3

4,31

0,69

8,5728

11

11

4,57

L9 e L10

7,71

8,0

4,600

3

6,87

0,69

13,6601

7

7

7,18

L9 e L11

4,07

6,3

4,685

2

3,09

0,70

9,9149

10

10

3,12

L10 e L11

7,71

8,0

5,600

3

5,10

0,84

10,1451

9

9

5,59

L11 e L15

3,95

8,0

4,600

2

3,06

0,69

6,0792

16

14

3,59

L12 e L13

0,73

6,3

4,685

2

0,51

0,70

2,2544

44

14

2,23

L14 e L15

3,12

6,3

4,685

2

2,30

0,70

7,3882

13

13

2,40

L14 e L19

2,96

6,3

4,685

2

2,18

0,70

6,9795

14

14

2,23

L15 e L16

3,98

6,3

4,685

2

3,01

0,70

9,6655

10

10

3,12

L15 e L20

3,76

8,0

4,600

2

2,89

0,69

5,7544

17

14

3,59

L16 e L20

3,36

6,3

4,685

2

2,50

0,70

8,0214

12

12

2,60

L16 e L21

1,75

8,0

4,600

2

1,28

0,69

2,5409

39

14

3,59

53 M-

Ø

d'

(kN.m/m)

(mm)

(cm)

L16 e L25

4,72

6,3

4,685

L16 e L26

0,36

6,3

L17 e L18

0,73

L19 e L20

Entre

Domínio

As

As,mín

(cm²/m)

(cm²/m)

3

3,65

0,70

4,685

2

0,25

6,3

4,685

2

2,00

6,3

4,685

L19 e L23

2,58

6,3

L19 e L24

2,18

L20 e L25

barras/m

s

sfinal

As,ef

(cm)

(cm)

(cm²/m)

11,7145

8

8

3,90

0,70

2,2544

44

14

2,23

0,51

0,70

2,2544

44

14

2,23

2

1,43

0,70

4,6003

21

14

2,23

4,685

2

1,88

0,70

6,0356

16

14

2,23

6,3

4,685

2

1,57

0,70

5,0495

19

14

2,23

4,86

6,3

4,685

3

3,78

0,70

12,1254

8

8

3,90

L21 e L22

3,02

6,3

4,685

2

2,22

0,70

7,1349

14

14

2,23

L21 e L27

2,21

6,3

4,685

2

1,60

0,70

5,1228

19

14

2,23

L22 e L28

3,53

6,3

4,685

2

2,64

0,70

8,4661

11

11

2,83

L23 e L24

2,16

6,3

4,685

2

1,56

0,70

5,0007

19

14

2,23

L23 e L29

2,60

6,3

4,685

2

1,90

0,70

6,0855

16

14

2,23

L24 e L25

4,19

6,3

4,685

2

3,19

0,70

10,2424

9

9

3,46

L24 e L29

2,21

6,3

4,685

2

1,60

0,70

5,1179

19

14

2,23

L24 e L30

2,71

6,3

4,685

2

1,98

0,70

6,3657

15

14

2,23

L25 e L26

4,19

6,3

4,685

2

3,19

0,70

10,2424

9

9

3,46

L25 e L30

2,71

8,0

4,600

2

2,03

0,69

4,0311

24

14

3,59

L26 e L27

2,50

6,3

4,685

2

1,82

0,70

5,8466

17

14

2,23

L26 e L31

1,26

6,3

4,685

2

0,89

0,70

2,8465

35

14

2,23

L27 e L28

2,64

6,3

4,685

2

1,93

0,70

6,1853

16

14

2,23

L27 e L31

2,59

8,0

4,600

2

1,93

0,69

3,8373

26

14

3,59

L27 e L32

2,50

6,3

4,685

2

1,82

0,70

5,8466

17

14

2,23

L27 e L38

2,50

8,0

4,600

2

1,86

0,69

3,7015

27

14

3,59

L27 e L39

2,28

6,3

4,685

2

1,65

0,70

5,2941

18

14

2,23

L28 e L32

2,14

6,3

4,685

2

1,54

0,70

4,9423

20

14

2,23

L29 e L30

2,41

6,3

4,685

2

1,75

0,70

5,6016

17

14

2,23

L29 e L36

2,49

8,0

4,600

2

1,85

0,69

3,6716

27

14

3,59

L30 e L37

3,01

6,3

4,685

2

2,22

0,70

7,1068

14

14

2,23

L31 e L38

1,26

6,3

4,685

2

0,89

0,70

2,8465

35

14

2,23

L32 e L33

0,16

6,3

4,685

2

0,11

0,70

2,2544

44

14

2,23

L32 e L40

0,87

6,3

4,685

2

0,61

0,70

2,2544

44

14

2,23

L34 e L35

0,73

6,3

4,685

2

0,51

0,70

2,2544

44

14

2,23

54 M-

Ø

d'

(kN.m/m)

(mm)

(cm)

L36 e L37

1,90

6,3

4,685

L36 e L44

3,86

8,0

L37 e L38

1,54

L37 e L42

Entre

Domínio

As

As,mín

(cm²/m)

(cm²/m)

2

1,36

0,70

4,600

2

2,98

6,3

4,685

2

5,41

6,3

4,685

L37 e L45

4,44

8,0

L38 e L39

2,03

L38 e L42

barras/m

s

sfinal

As,ef

(cm)

(cm)

(cm²/m)

4,3713

22

14

2,23

0,69

5,9317

16

14

3,59

1,09

0,70

3,5036

28

14

2,23

3

4,28

0,70

13,7167

7

7

4,45

4,600

3

3,49

0,69

6,9361

14

14

3,59

8,0

5,600

2

1,21

0,84

2,3984

41

16

3,14

4,04

6,3

5,685

2

2,44

0,85

7,8210

12

12

2,60

L39 e L40

2,03

6,3

4,685

2

1,46

0,70

4,6898

21

14

2,23

L39 e L42

2,03

8,0

5,600

2

1,21

0,84

2,3984

41

16

3,14

L39 e L43

2,03

6,3

4,685

2

1,46

0,70

4,6898

21

14

2,23

L40 e L41

0,16

6,3

4,685

2

0,11

0,70

2,2544

44

14

2,23

L40 e L43

3,36

6,3

4,685

2

2,50

0,70

8,0214

12

12

2,60

L42 e L45

5,77

8,0

4,600

3

4,74

0,69

9,4258

10

10

5,03

L44 e L45

4,62

8,0

4,600

3

3,64

0,69

7,2493

13

13

3,87

Quadro 7 - Dimensionamento da armadura negativa

55

7.2.9

Dimensionamento da armadura positiva principal Para a laje L45, são dimensionadas duas armaduras, uma na menor direção (de Øprinc)

e outra na direção perpendicular a esta (maior direção, de Øsec). Conforme já ressaltado, salvo raras exceções, a direção do menor vão é mais solicitada, nela atua um momento fletor de maior magnitude que o momento atuante na maior direção, isso se deve a uma questão de compatibilidade de deformações. A armadura colocada na menor direção, executivamente é a primeira a ser colocada, por uma razão muito simples: ganhar altura útil (dprinc). Nota-se que, propositalmente, não há qualquer indicação nos projetos sobre qual armadura deve ser colocada primeiro, pois está implícito que na menor direção atua o maior momento (e, portanto, deve ser colocada a primeira armadura). As lajes foram dimensionadas considerando que a armadura de maior altura útil (que é colocada nas fôrmas da laje maciça por primeiro,) está disposta ao longo da menor direção, mesmo que depois de compatibilizados os momentos fletores, tenha resultado que o maior momento fletor atua na maior direção (o contrário do esperado, mas é perfeitamente aceitável que isto ocorra). Para a avaliação da altura útil (d), é necessário o conhecimento da altura das lajes, do cobrimento e do diâmetro da barra de aço que será usado. O diâmetro pode ser arbitrado, caso seja necessário um diâmetro maior, o dimensionamento terá como resultado um pequeno espaçamento entre as barras, dificultando a execução. Comumente, são empregados espaçamentos entre barras maiores que 8 cm, sendo permitido, eventualmente, 7 cm. A laje L45 pertence a um dormitório, tem como carga 1,50 kN/m², possui 7 cm de espessura e 3 bordos engastados (o que gera momento fletor negativo e alivia o momento fletor positivo). Como os vãos podem ser considerados razoáveis, não é esperado que esta tenha necessidade de barras de aço de diâmetro elevado. Arbitra-se diâmetro 6,3 mm, (poderia ter sido arbitrado diâmetro 5,0 mm e então usado CA-60). A NBR6118/03 também recomenda que todas as barras da armadura de flexão tenham diâmetro menor que a espessura da laje/8, esta condição foi verificada para todas as lajes dimensionadas, tanto da armadura de flexão positiva como da negativa ou da armadura de distribuição usada nas lajes unidirecionais. O valor do cobrimento, conforme já ressaltado anteriormente é 2 cm. A altura útil para a armadura positiva principal é: dprinc=h–c–0,5*Øprinc, onde dprinc é a altura útil da armadura positiva principal. A altura útil para a armadura positiva secundária (dsec) é: dsec=h–c–Øprinc–0,5*Øsec.

56 Os momentos fletores são compatibilizados, com isso, os momentos fletores positivos são ajustados se sua magnitude seja incrementada. Mdprinc=1,4*Mprinc=1,4*3,06 kN/m²=4,28 kN/m² Espessura de laje: 7 cm dprinc=7,0-2,0-0,5*0,63=4,685 cm A posição da linha neutra é dada por x, obtido pela a solução da equação do segundo grau, dado pela equação:

x=

0,68 * f cd * d'− ((0,68 * f cd * d' )² − 4 * 0,272 * f cd * M d ) 2 * 0,272 * f cd

,

onde fcd e Md em kN/m², d’ em m. x=

0,68 *17857,14 * 0,04685 − ((0,68 *17857,14 * 0,04685)² − 4 * 0,272 *17857,14 * 4,28) 2 * 0,272 *17857,14

x=0,0081 m = 0,81 cm. Nesse momento é possível avaliar a posição da linha neutra e afirmar em qual domínio a seção trabalha: x/d=0,81/4,685=0,173. Como x/d<0,257 e x/d<0,628, a seção trabalha no domínio 2. Para o domínio 2, a armadura é dada por: As =

Md

 f yk   γs

  * (d - 0,4 * x) 

=

4,28 kN

m² = 2,26cm² / m  50 kN   cm²   1,15  * (0,04685m − 0,4 * 0,0081m)  

Alguns valores mínimos de armadura são adotados para as lajes, com o pretexto de amenizar a fissuração, melhorar a ductilidade à flexão e à punção. A norma aborda esses valores no item 19.3.3.2. A Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças é uma tabela com as recomendações deste item. Para armaduras negativas, a taxa de armadura deve ser maior que 67% da taxa de armadura mínima (ρmin = 0,150%), assim As,min>0,67*0,150*100 cm*dprinc, dprinc em cm. Dessa forma, As,min>0,150%*100 cm*4,685 cm=0,70 cm²/m. Como As> As,min, é usada As para o dimensionamento. Anteriormente, o dimensionamento foi iniciado com Ø=6,3 mm. Para esse diâmetro, AØ=6,3mm=(π*0,63²)/4=0,3117 cm².

57 O espaçamento é dado em barras/metro =

2,26 cm²

m = 7,235barras/m . 0,3117cm²

A partir de regra de três simples, encontra-se que espaçamento=100/7,235=13,82 cm. Esse valor é sempre arredondado para baixo, em múltiplos de 1 cm, para que As não seja reduzida. Assim, o espaçamento é s=13 cm. A NBR6118/03 no item 20.1 estabelece que o espaçamento máximo das barras da armadura principal de flexão deve ser menor ou igual a 2*h ou 20 cm, óbvio que na região em que atuam os maiores momentos fletores o espaçamento máximo é o menor entre estes dois valores. Todas as lajes são verificadas quanto a esses requisitos. A condição 2*h = 2*7 cm = 14 cm não limita o espaçamento encontrado, ainda assim, o valor calculado é um espaçamento menor que 20 cm. O resultado fornecido pelo programa é mais rigoroso que o encontrado manualmente, o programa recomenda que sejam postas as barras com espaçamento 7 cm. É quase o dobro da armadura encontrada por dimensionamento manual. A área de aço efetiva, As,ef é dada pela quantidade de barras de aço que existem efetivamente na seção: A s,ef

(π * 0,63²) cm² 4 = = 2,40cm² /m. 0,13m

58

7.2.10 Detalhamento da armadura positiva principal É admissível realizar uma simplificação do diagrama de momentos, para o caso de bordo apoiado-engastado, adota-se como comprimento o maior valor entre 0,75*lef+10 cm e 0,80*lef. Assim 0,75*304,2+10=238,15 cm e 0,80*304,2=243,36 cm. Para as barras positivas, usa-se comprimento de 245 cm, elas são postas intercaladas, ou seja, a primeira barra parte de um dos apoios e termina sem atingir o apoio oposto, enquanto que a segunda barra parte do apoio oposto e não atinge o primeiro apoio. O quadro abaixo traz a compatibilização e o dimensionamento da armadura positiva principal das lajes do pavimento Tipo 3: Laje Mprinc

Msec

(kN.m/m) (kN.m/m)

Øprinc Øsec dprinc Domínio (mm)

(mm)

(cm)

As

As,mín

b/m

(cm²/m) (cm²/m)

s

sfinal

As,ef

(cm)

(cm)

(cm²/m)

L1

2,27

1,35

6,3

6,3 4,685

2

1,64

0,47

5,270

18

14

2,23

L2

0,97

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,68

0,70

2,254

44

14

2,23

L3

1,60

0,61

6,3

6,3 4,685

2

1,14

0,47

3,655

27

14

2,23

L4

1,20

1,67

6,3

6,3 4,685

2

0,85

0,47

2,716

36

14

2,23

L5

2,96

1,59

6,3

6,3 5,685

2

1,75

0,57

5,627

17

16

1,95

L6

1,38

0,95

6,3

6,3 4,685

2

0,98

0,47

3,136

31

14

2,23

L7

0,23

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,16

0,70

2,254

44

14

2,23

L8

2,99

2,32

6,3

6,3 4,685

2

2,20

0,47

7,069

14

14

2,23

L9

1,02

0,31

6,3

6,3 4,685

2

0,72

0,47

2,299

43

14

2,23

L10

6,60

4,15

8,0

8,0 6,600

2

3,48

0,66

6,930

14

14

3,59

L11

2,89

1,42

6,3

6,3 5,685

2

1,71

0,57

5,488

18

16

1,95

L12

0,04

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,03

0,70

2,254

44

14

2,23

L13

0,60

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,42

0,70

2,254

44

14

2,23

L14

1,88

0,78

6,3

6,3 4,685

2

1,35

0,47

4,323

23

14

2,23

L15

2,64

1,54

6,3

6,3 4,685

2

1,93

0,47

6,185

16

14

2,23

L16

2,78

0,00

6,3

6,3 4,685

2

2,04

0,70

6,537

15

14

2,23

L17

0,04

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,03

0,70

2,254

44

14

2,23

L18

0,60

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,42

0,70

2,254

44

14

2,23

L19

1,54

0,57

6,3

6,3 4,685

2

1,10

0,47

3,513

28

14

2,23

L20

1,33

0,57

6,3

6,3 4,685

2

0,94

0,47

3,019

33

14

2,23

L21

0,81

1,12

6,3

6,3 4,685

2

0,57

0,47

1,817

55

14

2,23

59 Laje Mprinc

Msec

Øprinc Øsec dprinc Domínio

(kN.m/m) (kN.m/m)

(mm)

(mm)

(cm)

As

As,mín

b/m

(cm²/m) (cm²/m)

s

sfinal

As,ef

(cm)

(cm)

(cm²/m)

L22

2,35

1,73

6,3

6,3 4,685

2

1,70

0,47

5,466

18

14

2,23

L23

1,03

0,82

6,3

6,3 4,685

2

0,72

0,47

2,322

43

14

2,23

L24

1,05

0,47

6,3

6,3 4,685

2

0,74

0,47

2,369

42

14

2,23

L25

3,34

2,85

6,3

6,3 4,685

2

2,48

0,47

7,969

12

12

2,60

L26

0,28

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,19

0,70

2,254

44

14

2,23

L27

2,09

0,83

6,3

6,3 6,685

2

1,03

0,67

3,302

30

18

1,73

L28

1,46

0,73

6,3

6,3 4,685

2

1,04

0,47

3,324

30

14

2,23

L29

1,71

0,55

6,3

6,3 4,685

2

1,22

0,47

3,916

25

14

2,23

L30

1,67

1,22

6,3

6,3 4,685

2

1,19

0,47

3,821

26

14

2,23

L31

0,99

0,77

6,3

6,3 4,685

2

0,70

0,47

2,230

44

14

2,23

L32

0,43

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,30

0,70

2,254

44

14

2,23

L33

0,13

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,09

0,70

2,254

44

14

2,23

L34

0,04

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,03

0,70

2,254

44

14

2,23

L35

0,60

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,42

0,70

2,254

44

14

2,23

L36

0,96

0,69

6,3

6,3 4,685

2

0,67

0,47

2,161

46

14

2,23

L37

1,25

0,71

6,3

6,3 4,685

2

0,88

0,47

2,832

35

14

2,23

L38

0,40

0,00

6,3

6,3 8,685

2

0,15

1,30

4,179

23

22

1,42

L39

1,58

0,83

6,3

6,3 5,685

2

0,92

0,57

2,939

34

16

1,95

L40

0,43

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,30

0,70

2,254

44

14

2,23

L41

0,13

0,00

6,3

6,3 4,685

2

0,09

0,70

2,254

44

14

2,23

L42

3,76

2,00

6,3

6,3 5,685

2

2,26

0,57

7,244

13

13

2,40

L43

2,40

1,34

6,3

6,3 4,685

2

1,74

0,47

5,589

17

14

2,23

L44

2,53

1,68

6,3

6,3 4,685

2

1,84

0,47

5,911

16

14

2,23

L45

3,06

1,73

6,3

6,3 4,685

2

2,26

0,47

7,235

13

13

2,40

L46

1,58

0,62

6,3

6,3 4,685

2

1,12

0,47

3,608

27

14

2,23

Quadro 8 - Dimensionamento da armadura positiva principal

Pode-se comparar os momentos fletores positivos antes da compatibilização (Mx e My) com os momentos fletores positivos compatibilizados (Mprinc e Msec) e evidenciar que a compatibilização pode fazer com que alguns dos momentos fletores que eram maiores em uma direção sejam menores nesta mesma direção após aplicação do procedimento.

60

7.2.11 Dimensionamento da armadura positiva secundária Este item trata do dimensionamento da armadura positiva secundária, é aquela que é a última a ser colocada nas fôrmas, por esse motivo tem uma altura útil (dsec) menor que a altura útil dprinc. Para a avaliação da altura útil (dsec), é necessário o conhecimento da espessura das lajes, do cobrimento, do diâmetro da barra da armadura principal (por esse motivo a armadura principal é dimensionada primeiro) e do diâmetro da barra de aço que será usado nesta armadura secundária. O diâmetro pode ser arbitrado, caso seja necessário um diâmetro maior, o dimensionamento terá como resultado um pequeno espaçamento entre as barras, prejudicando a execução. Arbitra-se diâmetro 6,3 mm. Poderia ter sido arbitrado diâmetro 5,0 mm (então usado CA-25). A altura útil para a armadura positiva secundária (dsec) é: dsec=h–c–Øprinc–0,5*Øsec. Mdsec=1,4*Msec=1,4*1,73 kN/m²=2,42 kN/m² Espessura de laje: 7 cm dsec=7,0-2,0-0,63-0,5*0,63=4,055 cm A posição da linha neutra é dada por x, obtido pela a solução da equação do segundo grau, dado pela equação:

x=

0,68 * f cd * d sec − ((0,68 * f cd * d sec )² − 4 * 0,272 * f cd * M d ) 2 * 0,272 * f cd

,

onde fcd e Md em kN/m², d’ em m. x=

0,68 *17857,14 * 0,0455 − ((0,68 *17857,14 * 0,0455)² − 4 * 0,272 *17857,14 * 2,42) 2 * 0,272 *17857,14

x=0,0052 m = 0,52 cm. Nesse momento é possível avaliar a posição da linha neutra e afirmar em qual domínio a seção trabalha: x/d=0,52/4,55=0,114. Como x/d<0,257, a seção trabalha no domínio 2. Para o domínio 2, a armadura é dada por: As =

Md

 f yk  γ  s

  * (d - 0,4 * x)  

=

2,42 kN

m²

 50 kN   cm ²  * (0,0455m − 0,4 * 0,0052m)  1,15   

= 1,45cm ² / m

61 Alguns valores mínimos de armadura são adotados para as lajes, conforme pode ser observado no item 19.3.3.2 ou Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças. Para armaduras de flexão, a taxa de armadura deve ser maior que 67% da taxa de armadura mínima (ρmin = 0,150%), assim As,min>0,67*0,150*100 cm*dsec, dsec em cm. Dessa forma, As,min>0,150%*100 cm*4,055 cm=0,41 cm²/m. Como As> As,min, é usada As para o dimensionamento. Anteriormente, o dimensionamento foi iniciado com Ø=6,3 mm. Para esse diâmetro, AØ=6,3mm=(π*0,63²)/4=0,3117 cm². O espaçamento é dado em barras/metro =

1,45 cm²

m = 4,64barras/m . 0,3117cm²

A partir de regra de três simples, encontra-se que espaçamento=100/4,64=21,55 cm. Esse valor é sempre arredondado para baixo. Assim, o espaçamento é s=21 cm. A NBR6118/03 no item 20.1 estabelece que o espaçamento máximo das barras da armadura principal de flexão deve ser menor ou igual a 2*h ou 20 cm, óbvio que na região em que atuam os maiores momentos fletores o espaçamento máximo é o menor entre estes dois valores. Todas as lajes são verificadas quanto a esses requisitos. O espaçamento deve ser menor que 20 cm. A condição 2*h = 2*7 cm = 14 cm limita o espaçamento encontrado. O resultado fornecido pelo programa é o mesmo que o calculado manualmente, pois a solicitação na laje faz recair em um caso de armadura mínima (nada impede que a condição 2*h seja compreendida como um caso de armadura mínima). A área de aço efetiva, As,ef é dada pela quantidade de barras de aço que existem efetivamente na seção: A s,ef

(π * 0,63²) cm² 4 = = 2,23cm ² /m. 0,14m

7.2.12 Detalhamento da armadura positiva secundária

É admissível realizar uma simplificação do diagrama de momentos, para o caso de bordo engastado-engastado, adota-se como comprimento o maior valor entre 0,70*lef+10 cm e 0,75*lef. Assim 0,75*434,2+10=335,65 cm e 0,80*434,2=347,36 cm.

62 Para as barras positivas, usa-se comprimento de 350 cm, elas são postas intercaladas, ou seja, a primeira barra parte de um dos apoios e termina sem atingir o apoio oposto, enquanto que a segunda barra parte do apoio oposto e não atinge o primeiro apoio. O dimensionamento da armadura positiva secundária pode ser verificada na planilha junto aos anexos. Uma importante observação é que As=0 é de caráter ilustrativo, significa que a laje é unidirecional, e sua armadura é calculada mais adiante, conforme recomendações para armaduras secundárias de lajes unidirecionais (chamada de “armadura de distribuição”).

63

7.2.13 Dimensionamento da armadura secundária Como foi mostrada na Figura 11 – Armaduras mínimas para lajes maciças, é necessária uma armadura secundária para a laje unidirecional. A laje L45 não é unidirecional. Os procedimentos para a aplicação de 0,5*ρmín são muito semelhantes aos descritos anteriormente para 0,67*ρmín. A condição 0,9 cm²/m deve ser encarada como um fator limitante e 0,20*As,ef é obtida de imediato. Desnecessário fazer os cálculos minuciosamente para uma laje unidirecional. No detalhamento, deve ser disposta a armadura de apoio até apoio. O quadro abaixo traz os dimensionamentos das armaduras de distribuição de esforços para o pavimento Tipo 3: Laje As,princ

Ø

0,20*As

0,5*ρmín A = 0,90 USAR:

s

sfinal

As,ef

(cm²/m)

(mm)

(cm²/m)

(cm²/m)

(cm²/m)

(cm²/m)

(cm)

(cm)

(cm²/m)

L2

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L7

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L12

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L13

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L16

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L17

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L18

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L26

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L32

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L33

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L34

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L35

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L38

1,42

6,3

0,28

0,83

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L40

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

L41

2,23

6,3

0,45

0,53

0,90

0,90

2,8872

34

33

0,94

b/m

Quadro 9 - Dimensionamento das armaduras de distribuição

64

7.2.14 Cálculo aproximado da flecha Interessante notar que teoricamente, a seção está fissurada quando o momento de fissuração for superior que o momento fletor atuante (característico). Quando a seção transversal de lajes e vigas está fissurada, a rigidez equivalente de uma seção de viga deve ser considerada para a avaliação da flecha. Para tanto, é necessário usar a fórmula de Branson que a NBR6118/03 adotou. A laje L45 tem dois momentos fletores positivos, mas nenhum deles é maior que o momento de fissuração. Um exemplo de aplicação está na verificação da flecha calculada para a escada, (item 11.5 – Verificação da flecha). O quadro abaixo traz a verificação da flecha. A análise é feita somente para momentos fletores positivos cujas lajes apresentam momento positivo atuante maior que o momento de fissuração. Curiosamente, não houve casos em que os dois momentos positivos se mostraram maiores que o momento de fissuração. A coluna OBS traz como observação o nome da laje cujo momento serviu de base para o cálculo da flecha no estado fissurado. Todas as lajes estão de acordo com o limite de flecha máxima fixada por norma. Pavimento

Laje

h

As,ef

xII

III

(EI)eq

a0

af

(cm)

(cm²/m)

(cm)

(cm4)

(MN*m²)

(cm)

(cm)

OBS

Reserv

L2

9

4,36

0,82

861,17

1,32

0,024

0,059

Msec

Tipo 3

L10

9

3,59

1,75

923,84

0,817

0,277

0,685

Mprinc

Tipo 3

L25

7

2,60

1,25

335,55

0,580

0,124

0,305

Mprinc

Tipo 1

L15

9

4,36

1,89

1043,24

0,910

0,235

0,580

Mprinc

Quadro 10 - Verificação da flecha inelástica

7.2.15 Reações de apoio das lajes nas vigas dos contornos Conforme citado anteriormente, as lajes maciças possuem vigas nos seus contornos, que servem de apoio. Por esse motivo existem reações de apoio das lajes maciças nas vigas do contorno dessas lajes. Este item poderia constar juntamente com o dimensionamento das vigas, mas contém variáveis necessárias à verificação ao cisalhamento e por esse motivo são aqui abordadas. Para a extremidade apoiada da laje L45: p=6,63 kN/m² (uniformemente distribuída ao longo de toda a laje).

65

Reação =

(

carga kN

)

* A inf luência (m ²) 6,63 * 2,6873 m² = = 4,10kN / m l efetivo (m) 4,342

Quadro 11 - Charneiras plásticas para cálculo das reações de apoio

Os procedimentos são os mesmos para todos os contornos da laje. Importante lembrar que a carga na viga é a soma da reação de apoio atuante na laje com a reação de apoio da laje adjacente (caso houver). Para dimensionar a viga, deve ser somado o peso próprio da viga, com as paredes que existem exatamente sobre a viga e com as reações de apoio. Importante ressaltar que existem tabelas elaboradas por Pinheiro, mesmo autor que consta junto às referências bibliográficas deste estudo. Nos anexos deste trabalho seguem os quadros com reações das lajes nas vigas, neste material não está incluso o valor do peso das paredes, nem do peso próprio das vigas. Para compreender o posicionamento das reações, adotou-se a simbologia: Vx atua paralelamente ao maior vão da laje, no lado apoiado. Vy atua paralelamente ao menor vão da laje, no lado apoiado. Vx’ atua paralelamente ao maior vão da laje, no lado engastado. Vy’ atua paralelamente ao menor vão da laje, no lado engastado. Abaixo segue o quadro com as reações de apoio das lajes nas vigas do pavimento Tipo 3, alguns dos valores estão zerados, isso se deve ao fato de não existir a vinculação em determinada viga. Por exemplo, para o caso 7 (lajes engastadas com um apoio no maior vão), no lado apoiado está Vx, no lado oposto está Vx’, nos lados menores estão Vy’ e como não existe apoio no menor vão, Vy=0. Pavimento Laje

λ

Caso

Coeficientes νx

νx'

νy

Reações (kN/m) νy'

Vx

V x'

Vy

V y'

Tipo 3

L1 1,54

4

2,47 4,28 2,17 3,17

3,31

5,73

2,91

4,24

Tipo 3

L2 2,24

4

4,38 6,25 2,17 3,17

2,62

3,74

1,30

1,90

Tipo 3

L3 1,94

1

3,71 0,00 2,50 0,00

4,09

0,00

2,76

0,00

66 Pavimento Laje

λ

Caso

Coeficientes νx

νx'

νy


Vx

V x'

Vy

V y'

Tipo 3

L4 1,02

2

1,86 0,00 2,34 4,05

2,45

0,00

3,08

5,33

Tipo 3

L5 1,77

4

2,63 4,55 2,17 3,17

4,71

8,16

3,89

5,68

Tipo 3

L6 1,29

8

0,00 3,47 1,71 2,50

0,00

4,73

2,33

3,41

Tipo 3

L7 2,82

9

0,00 5,00 0,00 2,50

0,00

2,67

0,00

1,34

Tipo 3

L8 1,41

7

2,01 3,48 0,00 3,17

4,56

7,90

0,00

7,18

Tipo 3

L9 1,90

9

0,00 3,68 0,00 2,50

0,00

3,99

0,00

2,71

Tipo 3

L10 1,38

4

2,34 4,05 2,17 3,17

7,29

12,63

6,77

9,88

Tipo 3

L11 1,59

7

2,20 3,81 0,00 3,17

4,06

7,04

0,00

5,85

Tipo 3

L12 8,89

3

4,38 6,25 1,83 0,00

0,69

0,99

0,29

0,00

Tipo 3

L13 3,07

9

0,00 5,00 0,00 2,50

0,00

3,66

0,00

1,83

Tipo 3

L14 1,26

8

0,00 3,44 1,71 2,50

0,00

4,84

2,41

3,52

Tipo 3

L15 1,36

9

0,00 3,16 0,00 2,50

0,00

6,87

0,00

5,43

Tipo 3

L16 2,37

7

4,38 6,25 0,00 3,17

6,29

8,97

0,00

4,55

Tipo 3

L17 8,89

3

4,38 6,25 1,83 0,00

0,69

0,99

0,29

0,00

Tipo 3

L18 2,76

9

0,00 5,00 0,00 2,50

0,00

3,66

0,00

1,83

Tipo 3

L19 1,40

8

0,00 3,59 1,71 2,50

0,00

4,56

2,17

3,17

Tipo 3

L20 1,51

9

0,00 3,35 0,00 2,50

0,00

4,25

0,00

3,17

Tipo 3

L21 1,06

7

1,52 2,64 0,00 3,08

1,90

3,29

0,00

3,84

Tipo 3

L22 1,24

4

2,19 3,79 2,17 3,17

3,98

6,89

3,95

5,76

Tipo 3

L23 1,02

8

0,00 3,06 1,71 2,50

0,00

4,10

2,29

3,35

Tipo 3

L24 1,53

9

0,00 3,36 0,00 2,50

0,00

5,11

0,00

3,80

Tipo 3

L25 1,43

7

2,04 3,53 0,00 3,17

4,74

8,20

0,00

7,36

Tipo 3

L26 2,49

9

0,00 5,00 0,00 2,50

0,00

2,89

0,00

1,44

Tipo 3

L27 1,47

9

0,00 3,30 0,00 2,50

0,00

4,84

0,00

3,66

Tipo 3

L28 1,18

8

0,00 3,32 1,71 2,50

0,00

4,37

2,25

3,29

Tipo 3

L29 1,46

8

0,00 3,65 1,71 2,50

0,00

4,63

2,17

3,17

Tipo 3

L30 1,11

8

0,00 3,22 1,71 2,50

0,00

5,85

3,10

4,54

Tipo 3

L31 1,78

7

2,36 4,08 0,00 3,17

2,95

5,11

0,00

3,97

Tipo 3

L32 2,69

8

0,00 5,00 1,71 2,50

0,00

4,19

1,43

2,10

Tipo 3

L33 2,10

4

4,38 6,25 2,17 3,17

1,20

1,71

0,59

0,87

Tipo 3

L34 7,87

3

4,38 6,25 1,83 0,00

0,69

0,99

0,29

0,00

Tipo 3

L35 2,71

9

0,00 5,00 0,00 2,50

0,00

3,66

0,00

1,83

67 Pavimento Laje

λ

Caso

Coeficientes νx

νx'

νy


Vx

V x'

Vy

V y'

Tipo 3

L36 1,07

8

0,00 3,16 1,71 2,50

0,00

3,94

2,13

3,12

Tipo 3

L37 1,61

9

0,00 3,45 0,00 2,50

0,00

4,30

0,00

3,12

Tipo 3

L38 3,23

7

4,38 6,25 0,00 3,17

2,59

3,70

0,00

1,88

Tipo 3

L39 1,04

8

0,00 3,10 1,71 2,50

0,00

4,30

2,38

3,47

Tipo 3

L40 2,69

8

0,00 5,00 1,71 2,50

0,00

4,19

1,43

2,10

Tipo 3

L41 2,10

4

4,38 6,25 2,17 3,17

1,20

1,71

0,59

0,87

Tipo 3

L42 1,55

4

2,48 4,29 2,17 3,17

5,00

8,66

4,38

6,39

Tipo 3

L43 1,05

3

4,94 4,12 1,83 0,00

7,30

6,09

2,70

0,00

Tipo 3

L44 1,13

4

2,04 3,54 2,17 3,17

4,02

6,96

4,27

6,24

Tipo 3

L45 1,43

7

2,03 3,52 0,00 3,17

4,10

7,10

0,00

6,39

Tipo 3

L46 1,90

1

3,69 0,00 2,50 0,00

4,06

0,00

2,76

0,00

Quadro 12 - Reação de apoio das lajes nas vigas

68

8

Dimensionamento das vigas

Para o dimensionamento das vigas é usada a NBR6118/03. O item da 14.4.1.1 desta norma define as vigas e faz entender que nestes elementos lineares, os principais esforços são o esforço cortante, o momento fletor e o momento torsor. Este item traz o dimensionamento de uma das vigas de transição da edificação, a viga V39, no pavimento Tipo 1, cujo posicionamento e confrontações pode ser verificada junto à planta de fôrmas. Quando é assumida uma ligação rígida entre duas vigas, surge um momento fletor na extremidade da viga apoiada e o mesmo valor surge para a viga do apoio, esse efeito é conhecido por torção de compatibilidade. Para o caso de vigas que se apóiam em outras vigas, admite-se uma ligação flexível sendo possível desprezar os efeitos da torção de compatibilidade. Outra importante consideração que viabiliza desprezar a torção de compatibilidade é que as vigas estão “travadas” pelas lajes, que possuem grande rigidez (quando comparada aos outros elementos estruturais), absorvendo grande parte dos esforços de torção. Para considerar ligações flexíveis, basta rotular as extremidades destas vigas. A NBR6118/2003 adota para o dimensionamento à torção, o modelo de treliça espacial generalizada e abandona o modelo de treliça clássica. Isso proporciona que os resultados sejam mais coerentes ao efeito do cisalhamento. Daí decorre também alterações nas armaduras mínimas de cisalhamento. Respeitados estes limites, pode ser desprezado o efeito da torção de compatibilidade. Atenção especial foi reservada ao “caminho das ações”, pois é conhecido que as vigas descarregam as solicitações no menor caminho possível, quando vigas apoiavam em vigas, este foi um dos pontos a considerar no momento de distinguir qual viga está se apoiando e qual serve de apoio. Assim, é coerente, que as vigas mais rígidas sirvam de apoio às vigas menos rígidas. Desta maneira, assume-se que esta viga está submetida a esforços cortantes e momentos fletores, desconsiderando os momentos torsores. O programa computacional usado não leva em consideração a presença destas lajes durante o dimensionamento da viga, por isso a viga é dimensiona aos esforços cortantes, momentos fletor e também à torção. Por isso, espera-se que os resultados do programa computacional sejam mais rigorosos que os encontrados pelo cálculo manual, uma vez que este não considera os momentos torsores. O modelo estático para análise é formulado considerando a distância entre os “nós” da estrutura, obtidos diretamente do ambiente croqui do programa computacional.

69 A edificação deste estudo pode ser considerada usual, por isso são permitidas algumas aproximações, destacadas no item 14.6.7.1 da norma. Os apoios extremos desta viga são outras vigas. Se fossem pilares, seria realizado cálculo que avalia o quanto esses pilares influenciam na solidariedade com a viga, sendo introduzido nas extremidades, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado por coeficientes dados no subitem “c” e que levam em consideração a rigidez da viga e dos tramos de pilares abaixo e acima da viga. Nas ligações entre as vigas e os pilares, considerou-se um apoio de 2º gênero, sendo que a metade do pilar entrou no modelo, mantendo a continuidade dos pilares. A carga atuante nessa viga é devida ao seu peso próprio, à reação das lajes na viga e das cargas de parede. O peso próprio é uniformemente distribuído em todos os tramos, pois a seção é contínua. A reação das lajes pode ser adquirida diretamente nos anexos. A carga das paredes pode ser composta observando o projeto arquitetônico. A resolução deste modelo estrutural pelo Método de Cross ou por algum método matricial é muito trabalhosa, portanto fez-se uso do programa FTOOL. A figura abaixo ilustra a carga considerada na viga de transição (V39). Nota-se que a maior das cargas corresponde ao pilar que descarrega nesta viga:

Figura 13 - Cargas na viga V39

Esta viga poderia ter altura inferior a 70 cm, conforme pode ser analisado, porém, o programa computacional exigiu que a altura fosse acrescida, pois este realiza seus modelos estruturais montando e calculando painéis de lajes por analogia de grelha, transmitindo estas reações das lajes às vigas que servem de apoio, em seguida monta um pequeno pórtico contendo apenas o pavimento superior, contendo seus pilares engastados na base onde os esforços obtidos são usados no dimensionamento das vigas. Em toda a seção transversal desta viga foi adotada base 25 cm e altura 70 cm, as mesmas exigidas pelo programa computacional para que pudesse ser realizada a comparação final. O dimensionamento inicia-se através da definição dos dados iniciais, alguns deles podem ser verificados no início deste estudo.

70

8.1

Dimensionamento da armadura longitudinal O diagrama de momentos fletores característico usado segue abaixo, omitindo alguns

valores, como os referentes aos momentos fletores que atuam na continuidade dos pilares, pois estes não são úteis ao dimensionamento e prejudicam a visualização dos demais valores. Na figura 14.6, a norma sugere que seja procedido arredondamento no diagrama de momentos fletores. No entanto, é boa prática não realizar este arredondamento e efetuar o dimensionamento seguindo o maior dos valores.

Figura 14 - Diagrama de momentos fletores: V39

O dimensionamento da viga é organizado em tramos (trechos de cálculo), sendo que são necessárias 7 seções para que a viga seja dimensionada. Demonstra-se os cálculos para a seção 4a (entre o P19 e o P9), submetida a momento fletor 183,69 kN*m, conforme figura acima. Assim, majorada a ação em 1,4: Md = 257,17 kN*m. O dimensionamento pode ser iniciado pela distribuição transversal das barras de aço na seção transversal, uma vez que já se tem uma idéia dos resultados. Conforme estudo inicial no programa computacional, o uso de barras de diâmetro 16 mm é uma boa solução. O item 18.3.2.2 da norma recomenda que o espaçamento horizontal seja

20mm  , assim a h ≥ 2cm . a h ≥ diâmetro da barra 1,20 * Φ agregado = 1, 20 * 9,5mm = 11,4 mm  Recomenda também neste mesmo item que o espaçamento vertical seja 20mm  , assim a v ≥ 2cm a v ≥ diâmetro da barra 0,5 * Φ agregado = 4,75mm 

71 Obedecendo aos critérios acima e conhecido que o diâmetro de estribos a ser usado é Øt e na maior parte da seção resultou no programa computacional Øt = 6,3 mm, é possível inferir o número máximo de barras que podem ser dispostas em cada camada (n(barras)):

n ( barras ) =

b w − 2 * c nom − 2 * Φ t + a h Φ + ah

O livro de Chust (2005) traz expressão que possibilita a obtenção da altura útil mínima para que seções com armadura simples: d mín =

Md , a partir do b w * f cd * (0,68 * ξ − 0,272 * ξ²)

princípio que a menor altura útil necessária para resistir um dado momento fletor, sem necessidade de armadura dupla, ocorre no limite entre os domínios 3 e 4, por isso ξ = 0,628. d mín =

257,17kN * m = 42,44 cm <<< 70cm.  25000kN/m²  0,25m *   * (0,68 * 0,628 − 0,272 * 0,628²) 1,4  

Verifica-se que todas as seções são de armadura simples. Arbitra-se a altura útil (darb), supondo que em uma camada possam ser dispostas as barras da área de aço necessárias, respeitando o espaçamento horizontal. Caso não seja possível inserir as barras em uma única camada, estas são dispostas em duas camadas e o valor da altura útil é reduzido. O procedimento se repete até que caibam todas as barras de aço nas camadas. Uma boa estimativa para avaliar o valor da altura útil é d = 0,91*h. Se mostrando razoável, a altura útil é calculada: dcalc = h – cnom – Øt - 0,5*Ø, se a solução encontrada for dada em uma única camada. A altura útil é definida como a distância vertical entre o centro de gravidade da armadura e a fibra mais comprimida do concreto. Para mais de uma camada, a altura útil deve ser reavaliada. Para a seção estudada: dcalc = h – cnom – Øt - 0,5*Ø = 70 - 2,5 – 0,80 – 0,5*1,6 = 65,9 cm, supondo estribos de 8 mm de diâmetro. A posição da linha neutra (x) pode ser obtida a partir da expressão: 0,272*fcd*bw*x²-0,68*fcd*bw*d*x+Md=0, assim 1,214*x²-2,001*x+0,257166=0, que resulta duas soluções: uma solução positiva que resulta x fora da seção e outra negativa, que é empregada: x = 0,1405 m. É conhecido que a deformação máxima elástica para o concreto é 3,5‰. Da Lei de Hooke é obtida a deformação admissível do aço CA-50: 2,07‰. Estas grandezas são relacionadas em regra de três, a partir da figura 17.1 da norma.

72 Assim, se x ≤ 0,259 , tem-se domínio 2. Se 0,259 ≤ x < 0,628 tem-se domínio 3. Se d d for superior a isso, é domínio 4 (caracterizado por ruptura frágil). Nesse caso, é imposta a condição limite da linha neutra estar no limite entre os domínios 3 e 4. O domínio pode ser avaliado por x/d, que resulta 0,213. (Domínio 2). Para domínio 2 e 3, usa-se armadura simples. A deformação no aço para o domínio 2 é 10,00‰, por regra de três é calculada a deformação no concreto: 2,71‰. Como é inferior a 3,5‰, o dimensionamento pode prosseguir. Conhecido x, a armadura é dada por A s =

Md = 9,812cm ². f yd * (d − 0,4 * x )

Armadura mínima (tabela 17.3 da norma): ρmín = 0,15%, para vigas de seção retangular e fck = 25 MPa. A equação da taxa de armadura ρ mín = A s,mín = ρ mín * b w * h . Assim, A s,mín =

A s,mín Ac

=

A s ,mín bw * h

pode ser rearranjada:

0,15 * b w * h = 0,0015 * 25 * 70 = 2,625 cm² . 100

É adotado As, uma vez que este valor é superior ao mínimo exigido por norma. São necessárias 4,88 barras de Ø = 16 mm. Adota-se n=5 Ø 16 mm. (As,ef=10,05 cm²). O quadro abaixo traz os procedimentos para as outras seções. Nota-se que o valor da altura útil é modificado para a seção 4a, caso o estribo mude de 6,3 para 8,0 mm, e que isso não alterou a quantidade de barras necessárias.

Seção

Mk

Md

hmín

(kN.m)

(kN.m)

(cm)

Øt

Ø

(mm) (mm)

dcalc

x

(cm)

(m)

D

εs

εc

As

n

As,ef

‰

‰

(cm²)

(barras)

(cm²)

S1: V14 e P25

87,24 122,14 29,25 6,3

16 66,1 0,0633 2 10,00 1,06 4,421

3

6,03

S2: P25 e P19

8,20

16 66,1 0,0057 2 10,00 0,09 0,401

2

4,02

11,48

8,97

6,3

S3: P19

304,81 426,73 54,67 6,3

16 64,5 0,2600 3

5,18 3,50 18,152

9

18,10

S4a: P19 e P13

183,69 257,17 42,44

16 65,9 0,1405 2 10,00 2,71 9,812

5

10,05

S4b: P13 e P9

183,69 257,17 42,44 6,3

16 66,1 0,1405 2 10,00 2,70 9,812

5

10,05

S5: P9

181,34 253,88 42,17 6,3

16 66,1 0,1381 2 10,00 2,64 9,644

5

10,05

S6: P9 e P3

10,45

14,63 10,12 6,3

16 66,1 0,0073 2 10,00 0,11 0,512

2

4,02

S7: P3 e V1

62,63

87,68 24,78 6,3

16 66,1 0,0449 2 10,00 0,73 3,138

2

4,02

8

Figura 15 - Dimensionamento da armadura longitudinal - V39

73

8.2

Dimensionamento da armadura transversal A armadura transversal é destinada a suportar os esforços cortantes, causados pelas

tensões de cisalhamento na viga. O diagrama de esforços cortantes é destacado abaixo, com os valores importantes ao dimensionamento da armadura transversal (dada pela área da seção transversal dos estribos).

Figura 16 - Diagrama de esforços cortantes - V39

O plano dos estribos faz ângulo de 90° com o eixo longitudinal da viga: α=90°. É usado modelo de cálculo II da norma, (item 17.4.2.3 da norma). A inclinação das diagonais de compressão adotada é θ=30°. O objetivo de adotar seção 4a e 4b é que os esforços cortantes diferem muito entre um e outro trecho deste mesmo tramo. Inicialmente, o cortante característico vale Vmáx=405,59 kN, mas o restante do trecho pode ser dimensionado com cortante de valor Vmáx=145,45 kN, resultando em uma razoável economia na armadura transversal. Antes de dimensionar uma seção ao esforço cortante, é necessário verificar se a compressão diagonal do concreto é excessiva. Algumas notações importantes: Vsd é o esforço cortante de cálculo na seção (Vsd = 1,4*Vmáx), VRd2 é a força resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais comprimidas. Para o modelo II de cálculo, a verificação é satisfeita quando Vsd
74 fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal que serve de apoio às bielas de concreto, sendo este último conhecido por “efeito pino”. No item 17.4.2.3, item “c”, entende-se que Vc=Vc1, pois é um caso de flexão simples. Vc0 é dado pelo modelo I da norma, (item 17.4.2.2): Vc0=0,6*fctd*bw*d=126,774 kN. Vc1 é igual a Vc0, se Vsd for menor ou igual a Vc0. Vc1 é nulo quando Vsd=VRd2 (não se admite parcela resistente devido aos mecanismos de ruptura quando a tensão solicitante nas bielas de concreto se aproxima à tensão resistente). Admite-se interpolação linear para obtenção dos valores intermediários. A seção 4, que serve de exemplo, recaiu num caso de interpolação linear: Vc1 = -Vc0*(Vsd-Vc0)/((VRd2-Vc0)+Vc0) Vc1=13,208 kN A armadura transversal mínima constituída por estribos tem taxa geométrica dada por

ρsw=0,2*fct,m/fywk, ρsw =0,2*2,56/500=0,00103 ou 0,103%. Isso significa que A s,mín = 0,00103 * b w * h = 0,00103 * 25 * 70 = 1,795cm ². Por outro lado, a armadura mínima admitida na situação menos rigorosa possível é Ø 6,3 mm cada 30 cm, como o estribo é de 2 ramos, a armadura mínima passa a ser As,mín = 2,1 cm²/m. A sw,90 =

1,11 * Vsd 1,11 * (Vsd − Vc1 ) 1,11 * (567,826 − 13,208) = = = 12,405cm ² / m. d * fywd * cot gθ d * fywd * cot gθ  500  0,659 *   * cot g30°  1,15 

É efetivado Asw,90. Vs,mín

é

o

cortante

característico

que

a

armadura

mínima

suporta.

Vs,min=(2,1*d*fywd*cotg30)/((1,11+Vc1)/1,4). Assim, Vs,mín = 76,496kN. Deve ser usada a armadura calculada, pois a armadura mínima não atende à solicitação imposta nesta seção e nem na seção 4b (entre os pilares P19 e P9, que apóiam a viga que recebe o pilar que nasce). O item 18.3.3.2 traz observações sobre o espaçamento máximo entre estribos (smáx): Vsd ≤ 0,67 * VRd2 , :: s máx = 0,6 * d ≤ 30cm Vsd > 0,67 * VRd2 , :: s máx = 0,3 * d ≤ 20cm Para o item destacado, Vsd>0,67*VRd2 e smáx = 19cm. Escolheu-se anteriormente bitola 8,0 mm. Espaçamento usado: é dado por: s =

100  (Asw,90 )  2  3,14 * (Φ )² t  4 

    

= 8,10cm.

Obviamente, esse valor é arredondado para baixo: 8cm.

75 Seção

Vs,máx

Vsd

VRd2

Vc0

Vc1

Asw,mín

Asw,90

Vs,mín

(kN)

(kN)

(kN)

(kN)

(kN)

(cm²)

(cm²)

(kN)

smáx sadotado (cm)

(cm)

1

91,14

127,596 620,717 127,101 126,974 2,100

2,100 157,930

30

30

2

76,05

106,47 620,717 127,101 127,101 2,100

2,100 158,021

30

30

4a

405,59 567,826 619,12 126,774 13,208

2,100

12,405 76,496

19

8

4b

145,45

2,100

4,248

76,669

30

15

6

110,86 155,204 620,717 127,101 119,865 2,100

2,100 152,853

30

30

7

48,30

2,100 158,021

30

30

203,63 67,62

619,12 126,774 13,208

620,717 127,101 127,101 2,100

Quadro 13 - Dimensionamento da armadura transversal - V39

Quando comparado ao dimensionamento fornecido pelo programa computacional, nota-se que este é mais rigoroso na armadura mínima, pois é limitada a 25 cm. Isso melhora as condições de fissuração. Nos trechos 4a e 4b, os esforços cortantes são maiores no programa, por isso o espaçamento é inferior ao calculado.

8.3

Dimensionamento da armadura de pele Como a altura da seção da viga é superior a 60 cm, a norma recomenda que seja feito

uso de armadura de pele, com objetivo de combater a fissuração. A área mínima desta armadura lateral (em cada face da viga) é dada por 0,10% da área da alma da seção. Como se trata de uma seção retangular, a seção toda é a alma: As,pele=0,0010*bw*h=1,75 cm²/m, aplicado para todas as seções da viga. As barras podem ser de CA-50, por esta ser uma barra de alta aderência (coeficiente superficial = 2,25). Adota-se diâmetro 6,3 mm (A=0,3117 cm²). Assim, 1,75/0,3117=5,6 barras. Adota-se 6 barras para cada face. O espaçamento é dado por: h/(n+1)=70/(6+1)=10 cm, que é inferior a 20 cm e que d/3. Conforme 18.3.5, o espaçamento deve ser menor que d/3 e que 20 cm.

8.4

Detalhamento longitudinal Como a armadura longitudinal foi determinada por meio do equilíbrio de esforços na

seção normal ao eixo da viga, deve ser feita compensação no diagrama de momentos fletores, para levar em consideração os efeitos que a fissuração oblíqua causa. Por esse motivo, o diagrama de momentos fletores é deslocado do valor da decalagem (item 17.4.2.3, “c”): O valor da decalagem (al) é dado por al=0,5*d*(cotg θ – cotg α). Para estribos verticais e θ=30°, a expressão acima pode ser simplificada: al=0,866025*d.

76 A decalagem é de simples obtenção e os cálculos são demonstrados mais adiante.

Figura 17 - Decalagem do diagrama de momentos fletores - V39

O processo é simples: o diagrama de momentos fletores característicos é deslocado, somando-se horizontalmente a decalagem. Deste novo diagrama de momentos fletores, é somado o valor do comprimento de ancoragem necessário (lb,nec,), garantindo 10*Ø, conforme figura acima, pois o comprimento da barra de aço no interior do diagrama deslocado é necessário para suportar os esforços e o comprimento lb,nec tem por finalidade transferir os esforços das barras de aço ao concreto. Neste trabalho, não são usados dispositivos mecânicos para transferir os esforços das barras ao concreto, sendo que a transferência se dá exclusivamente por aderência entre o concreto e o aço. Para calcular lb,nec, é preciso dispor o comprimento de ancoragem básico (lb), para isso, deve ser conhecida a resistência de aderência (fbd): fbd=η1* η2* η3*fctd. O item 9.3.2.1 traz que

η1 = 2,25 (uso de aço CA-50). η2 = 1,0 quando em situações de boa aderência (conforme exigido em 9.3.1) η2 = 0,7 em situações de má aderência (conforme exigido em 9.3.1) η3 = 1,0, pois todas as barras possuem Ø menor que 32 mm. Conhecida a resistência de aderência, o comprimento de ancoragem básico é dado por lb =

Φ * f yd 4 * f bd

, (item 9.4.2.4). Finalmente, o comprimento de ancoragem necessário é dado

pelo item 9.4.2.5:

77 l b,nec = α * l b *

A s ,calc A s ,ef

≥ l b,min , onde lb,min é o maior valor entre 30% de lb, 10 cm e 10*Ø.

A presença ou não de ganchos é levado em consideração pelo fator α. Para a seção 4, al=0,866025*d = al=0,866025*65,9 = 57,1 cm

η1 = 2,25 (uso de aço CA-50), η2 = 1,0 situação de boa e η3 = 1,0, pois Ø = 16 mm. fbd = 2,886 MPa. l b =

1,6cm * f yd 4 * f bd

= 86,10cm , que é maior que l b,min = 18,08cm .

Não é usado gancho: α=1. Portanto, lb,nec=58,83cm. O valor 10*Ø=16 mm. al

η1

η2

η3

fbd

lb

lb,mín

(cm)

(adim)

(adim)

(adim)

(MPa)

(cm)

(cm)

1

57,2

2,25

0,7

1,0

2,020

86,10

25,83

2

57,2

2,25

1,0

1,0

2,886

60,27

3

55,8

2,25

0,7

1,0

2,020

4a

57,1

2,25

1,0

1,0

4b

57,1

2,25

1,0

5

57,2

2,25

6

57,2

7

57,2

Seção

lb,nec

10*Ø

(cm)

(cm)

1,00

63,11

16,00

18,08

1,00

18,08

16,00

86,10

25,83

1,00

86,37

16,00

2,886

60,27

18,08

1,00

58,83

16,00

1,0

2,886

60,27

18,08

1,00

58,83

16,00

0,7

1,0

2,020

86,10

25,83

1,00

82,60

16,00

2,25

1,0

1,0

2,886

60,27

18,08

1,00

18,08

16,00

2,25

0,7

1,0

2,020

86,10

25,83

1,00

67,18

16,00

α

Quadro 14 - Comprimento de ancoragem

Figura 18 - Comprimento das barras após decalagem, lb.nec e 10Ø

O dimensionamento transversal da seção 4a indicou que são necessárias 5 barras de aço de diâmetro 16 mm. Por isso, o momento máximo é dividido em 5 espaços iguais, pois as barras são de mesmo diâmetro.

78 Caso fosse optado, por algum motivo, usar barras de diâmetros diferentes, o diagrama seria dividido em 5 espaços, mas a distância entre cada espaço seria proporcional ao diâmetro da barra. Essa eventualidade é facilmente resolvida por regra de três simples. Nota-se que o diagrama de momentos fletores assume estado estratificado, pois se subentende que cada barra é responsável para “suportar” determinado esforço. Um número mínimo de barras deve ser levado aos apoios extremos, para que as bielas de concreto sejam adequadamente ancoradas.

8.4.1

Ancoragem da armadura de tração junto aos apoios O item 18.3.2.4, no subitem “c”, da norma contempla sobre a armadura de tração nas

seções de apoio. Do diagrama de momentos fletores, verifica-se que em todas as seções, a magnitude do momento fletor no apoio é menor ou igual a 0,5 da magnitude do momento fletor no vão. Para este caso, a armadura de tração nas seções de apoio deve ser superior a 1/3 da armadura no vão. As,ef

As/3

n

(cm²)

(cm²)

(barras)

4,02

1,3404129

1

4a e 4b 10,05

3,3510322

2

1,3404129

1

Seção 2 6

4,02

Quadro 15 - Ancoragem das barras tracionadas

Nesta viga, apenas existem apoios intermediários, sendo suas extremidades em balanço. A ancoragem pode ser igual a 10*Ø, medidos a partir da face mais próxima do apoio. As barras das armaduras são de 16 mm, por isso o comprimento de ancoragem é 16 cm, medido a partir da face “interna” do apoio. Para todos os apoios, não há possibilidades ocorrer momentos fletores positivos, caso contrário, poderia ser empregada solução considerando barras contínuas. Para todas as armaduras de tração, uma vez que a menor extensão de apoio mede 30 cm, (pode-se verificar, conforme indica a planta de fôrmas, que os pilares P25 e P3 possuem esta extensão de apoio), o comprimento de ancoragem é 16 cm de cada lado do diagrama, resultando 32 cm. Os 2 cm restantes são compensados levando uma maior quantidade de barras aos apoios. Para facilitar a execução, quando possível, optou-se por fazer barras de mesmo comprimento. Considera-se que:

79 N1 e N7 correspondem respectivamente, às barras que constituem os estribos, de diâmetro 6,3 mm e 8,0 mm, sendo que estes seguem as recomendações da norma, item 9.4.6.1. Adota-se que estes possuam ângulo reto. Os ganchos possuem ponta reta de comprimento 7 cm (a ponta reta deve ser no mínimo igual a 7cm) para o caso de Øt = 6,3 mm e ponta reta 8 cm (corresponde a 10*Ø) para diâmetro 8 mm. N2 a N6 são as barras da armadura de pele, interrompidas pelo cruzamento das vigas de eixo perpendicular ao eixo da viga de transição. São barras dimensionadas de acordo com as dimensões da seção transversal. N8 são 3 barras situadas entre P19 e P9, do momento fletor positivo (barras 1, 2 e 3). Por questões executivas, são prolongadas aos apoios, devendo adentrá-los 16 cm, portanto de comprimento 5,27 m. As,apoio = 1/3 de 5Ø16 mm = 3,35 cm² (2 barras devem ser prolongadas aos apoios intermediários). Tendo em vista a simplificação executiva, das 5 barras, 3 vão até os apoios adjacentes: P19 e P9. N9 corresponde às duas barras da armadura positiva da seção 2. Fazendo As,apoio = 1/3 de 2 Ø 16 mm, uma barra deve ser prolongada ao apoio P25 no entanto, são prolongadas duas barras até 16 cm no interior do P9 (abrangendo também as barras 4 e 5 da seção 4), pois para fins executivos (na seção 1, as barras são levadas até a extremidade do balanço, respeitando o valor do cobrimento nominal, servindo de “porta estribos” (armadura construtiva), atendendo automaticamente a área de aço neste apoio. N10 corresponde às duas barras necessárias na seção 6 (barras 1 e 2, entre P9 e P3). Por fins construtivos, estas são prolongadas ao balanço (respeitando o valor do cobrimento nominal) onde descarrega a viga V1. É uma armadura comprimida e por isso não é usado gancho. N11 corresponde à barra de menor comprimento da armadura de compressão necessária passando pelo meio do apoio P19 (barra 9, de comprimento 2,85 m), medida diretamente do desenho do diagrama de momentos fletores decalado, com a consideração do número de barras, da decalagem, do comprimento de ancoragem necessário e de 10*Ø. N12 corresponde 5 barras (numeradas de 4 a 8) da armadura negativa do apoio P19. Adota-se o maior dos comprimentos, para simplificar a montagem da armadura: 327 cm. N13 é a barra de armadura negativa de comprimento 8,32 m de Ø 16 mm que une a barra 3 do apoio P19 a barra 3 do apoio P9, pois ali seria deixado espaço de 1,50 m entre elas. Isso gera um aumento de aço na seção e conseqüentemente, um acréscimo de ductilidade na viga, além de simplificar a mão de obra. N14 corresponde as 2 barras que se estendem do balanço que a viga V14 descarrega sua reação de apoio ao apoio P9. Abrange as barras 1 e 2 da armadura negativa do apoio P25, as barras 1 e 2 da armadura negativa do apoio P19. A norma não trata de ancoragem no final do

80 balanço, por isso, para as seções 1 e 7, as barras da armadura negativa são dispostas em forma de gancho, de comprimento projetado: 70 cm - 2,5 cm - 2,5 cm = 65 cm. N15 corresponde a duas barras de aço de diâmetro 16 mm, da armadura negativa do pilar P9 (barras 1 e 2) à extremidade direita (onde se apoia a viga V1). Valem as mesmas considerações a respeito dos balanços das feitas anteriormente para as barras N14. N16 são duas barras da armadura de compressão situadas acima do P9. Cada uma possui comprimento 3,05 m. N17 são as 6 barras referentes à espera do pilar P13. A parte dos ganchos tem finalidade executiva: 20 cm, para ancorar as barras do pilar: lb,nec = 60 cm, para atravessar a viga: 70 cm. N18 corresponde à barra 3, situada acima do P25, é procedida ancoragem no balanço da mesma forma que para as barras N14. As figuras abaixo demonstram os detalhamentos. Tipo 1

V39 - Detalhamento manual

1:50

1 N18 ø16.0 C=315

1 N16 ø16.0 C=309

65 2 N15 ø16.0 C=334

2 N14 ø16.0 C=856 65

65

1 N13 ø16.0 C=832

5 N12 ø16.0 C=327

SEÇÃO A-A ESC 1:25

Espera P13 ESC 1:25

1 N11 ø16.0 C=285

A

2x6 N2 ø6.3

V14

130 6 N19 ø16.0 C=146

Espera P13

5ø2c 660 2x6 N3 ø6.3

P25

4N1c/30

2x6 N4 ø6.3

V12

P19

17 N1 c/30

V9

P13

A

26 N7 c/8

2x6 N5 ø6.3

V8

V7

P9

V5

20 N1 c/15

2x6 N6 ø6.3

P3

14 N1 c/30

V1

20

6 N1 c/30 65

1ø2c 3 N8 ø16.0 C=527

20 61 N1 ø6.3 C=182 26 N7 ø8.0 C=182

2 N9 ø16.0 C=1116 2 N10 ø16.0 C=534

Figura 19 - Detalhamento manual da V39 (Tipo 1)

Tipo 1

V39 - Detalhamento automático

1:50

1 N18 ø16.0 C=833

1 N17 ø16.0 C=1065

772 1 N16 ø16.0 C=703

1004 1 N14 ø16.0 C=1196

65 65

65

642

1135

65

1 N15 ø16.0 C=334

1 N14 ø16.0 C=1196 1135

65

1 N13 ø16.0 C=990

5 N12 ø16.0 C=395

SEÇÃO A-A ESC 1:25

Espera P13 ESC 1:25

1 N11 ø16.0 C=350

A

2x6 N2 ø6.3

V14

4N1c/25

2x6 N3 ø6.3

P25

V12

17 N1 c/25

2x6 N4 ø6.3

P19

V9

P13

A

26 N7 c/5

2x6 N5 ø6.3

V8

20 N1 c/19

V7

P9

V5

2x6 N6 ø6.3

P3

14 N1 c/25

V1

20

6 N1 c/25 65

1ø2c

39

130 6 N19 ø16.0 C=146

Espera P13

5ø2c 660

4 N8 ø16.0 C=614 1159 2 N9 ø16.0 C=1194 557 2 N10 ø16.0 C=592

Figura 20 - Detalhamento automático da V39 (Tipo 1)

39

20 61 N1 ø6.3 C=182 26 N7 ø8.0 C=182

81

9

Dimensionamento dos pilares

Este item traz como exemplo de dimensionamento, o pilar P26, um pilar intermediário, travado por vigas nas duas direções, em todos os pavimentos que ele figura. Esse pilar nasce na fundação e termina (morre) junto à laje do pavimento cobertura. Por ser um pilar intermediário, considera-se que os momentos aplicados são nulos, pois este pilar não é extremidade a nenhuma viga, mas devem ser levados em consideração os momentos mínimos e eventuais momentos de segunda ordem. Assim, este pilar está submetido apenas a esforços (normais) de compressão. O dimensionamento segue os critérios da NBR6118/03. Os esforços são obtidos por intermédio do programa computacional usado. Importante ressaltar que no programa computacional, este pilar foi rotulado, pois não é coerente considerar momentos fletores aplicados no topo ou base do pilar. O pilar é retangular de dimensões 20 cm x 45 cm e tem sua seção mantida para todos os pavimentos. O posicionamento do pilar e dos elementos estruturais que influenciam em seu dimensionamento podem ser observados na planta de fôrmas, disposta junto aos anexos deste trabalho.

V42 20x35

Conforme já ressaltado anteriormente, o valor do pé direito estrutural é 2,85 m.

L26 h=7

P26

L31 h=7 V14

20x45

V13 20x40

V42 20x35

V13 20x40

Figura 21 - Pilar P26 e vigas de travamento

Teoricamente, os esforços normais no pilar variam conforme a altura, pois o peso próprio varia linearmente conforme a altura do pilar. Para efeitos de cálculo, o esforço normal na base do pilar (maior esforço nodal no trecho) é adotado em todo o trecho em estudo.

82 Como este pilar não possui menor dimensão inferior a 19 cm, não é necessário majorar as ações de γn, (além do coeficiente 1,4). Conforme o item 15.6 da norma, o comprimento equivalente do pilar quando

l 0 + h vinculado nas extremidades é: l e ≤  , sendo que l l0 é a distância entre as faces internas das vigas que vinculam o pilar, (pé direito estrutural). h é a altura da seção transversal do pilar medida no plano de estudo da estrutura. l é distância entre os eixos das vigas que vinculam o pilar (no plano de estudo da estrutura). As vigas mudam de altura entre os pavimentos por imposições de carga e de rearranjo estrutural. Para idealizar a disposição dos elementos estruturais, considera-se um par de eixos cartesianos perpendiculares entre si, sendo o eixo x horizontal e o eixo y vertical. Considerase que o comprimento lex é obtido conforme a análise no eixo x. O análogo é válido ao eixo y. O quadro abaixo mostra as considerações dos comprimentos equivalentes para os diversos trechos. O nome do pavimento refere-se ao pavimento onde o pilar morre. Assim, o pilar P23 considerado na linha referenciada por Tipo 2, nasce no Tipo 1 e morre no Tipo 2. Nd Pavimento (kN)

Cobertura 149,08

h viga h viga

dpiso a

Pé

Pé

X

Y

piso

direito

direito l0+hx

l

(cm)

(cm)

(cm)

(cm)

(cm)

(cm)

40

45

285

287,5

285

330 330 330 308 330 308

(cm)

lex l0+hy (cm)

(cm)

l

ley

(cm)

(cm)

Tipo 3

426,77

45

45

285

285

285

330 330 330 305 330 305

Tipo 2

701,20

45

45

285

282,5

280

325 320 320 303 325 303

Tipo 1

958,71

40

35

285

292,5

287,5

333 325 325 313 340 313

Garagens 1307,68

55

40

375

362,5

370

415 405 405 383 405 383

30

30

150

135

135

180 150 150 155 150 150

Térreo

1325,62

Figura 22 - Comprimentos equivalentes - P26

Independente se o pilar possui ou não momentos fletores aplicados em suas extremidades, incorporam-se ao dimensionamento, momentos fletores mínimos (de primeira ordem) devido à possibilidade de falhas executivas que causam imperfeições geométricas na obra, é um momento que leva em consideração essas imperfeições locais e é dado por Md,mín=Nd*(0,015+0,03*h).

83 A área de aço mínima (As,mín) é dada conforme item 17.3.5.3.1 da norma: A s,mín = 0,15 *

N d 0,4 ≥ * Ac . f yd 100

A taxa geométrica de armadura é ρL=As/Ac, deve ser inferior a 4% para garantir que a efetividade dos cálculos nas zonas de emendas. (item 17.5.3.2 da norma). O índice de esbeltez (λ) do pilar (grandeza adimensional) é avaliado por λ = i é o raio de giração, dado por i = λ x = 3,46 *

le , onde i

I . Para seções retangulares, admite-se simplificação: A

le , basta substituir os valores e chegar à expressão. hy

Quando λx for superior ao λ1, haverá momento de segunda ordem em x e quando λy for superior ao λ1, haverá momento de segunda ordem em y. O valor do índice de esbeltez limite λ1 deve estar entre 35 e 90, é definido pelo item 15.8.2 da norma por:

λ1 =

25 + 12,5 * e1 αb

h .

Para pilares com momentos inferiores ao momento mínimo, αb = 1,0. É o caso que ocorre nos pilares intermediários. A excentricidade de primeira ordem e1 é nula para pilares intermediários, pois não há momentos aplicados no topo da seção. Assim,

para

pilares

intermediários, λ1x = λ1y = 25, mas adota-se o mínimo: λ1x = λ1y = 35. O momento de segunda ordem ocorre quando o índice de esbeltez do elemento estrutural é superior ao índice de esbeltez limite, considera-se nesse caso, que o pilar admite nova configuração, gerando um incremento na excentricidade no meio do pilar. Este esforço é considerado apenas quando avaliados os esforços na seção central do pilar, ou seja, inexiste no topo e na base. Nos cálculos, após verificações, M2xd não será usado. Usam-se apenas efeitos de 2ª ordem em y, sendo que o pilar abaixo do pavimento térreo (colarinho) possui pequena esbeltez e por isso não é submetido a esforços de 2ª ordem. A norma cita no item 18.4.2.1, que para armadura longitudinal de pilares, o diâmetro mínimo a ser usado é 10 mm, e que este Ø deve ser menor ou igual a b/8. Obviamente, por uma questão executiva, para pilares retangulares, deve haver 4 barras de aço de diâmetro 10 mm em cada vértice, assim, em todos os casos de seção retangular, As,mín é maior ou igual a 3,14 cm².

84

λx

λy

νd

M2yd

M1xd,mín

M1yd,mín

Ø

As,mín

nmín

(adim)

(adim)

(adim)

(kN.m)

(kN.m)

(kN.m)

(mm)

(cm²)

(barras)

Cobertura 25,37 53,198 0,093

5,95

0,03

3,13

12,5

3,600

4

Pavimento

Tipo 3

25,37 52,765 0,093

16,74

0,09

8,96

12,5

3,600

4

Tipo 2

24,60 52,333 0,093

27,06

0,14

14,73

10,0

3,600

5

Tipo 1

24,99 54,063 0,093

39,49

0,19

20,13

12,5

3,600

4

Garagens

31,14 66,173 0,093

80,69

0,26

27,46

12,5

4,509

4

11,53

12,58

0,27

27,84

12,5

4,571

4

Térreo

25,95

0,093

Figura 23 - Valores mínimos e momentos fletores

Neste estudo, é usado o método pilar padrão com curvatura aproximada, advindo de uma simplificação matemática. A norma trata do assunto no item 15.8.3.3.2. Essa teoria é válida quando os pilares possuírem esbeltez inferior a 90, seção e armadura constante, sendo esta última invariável ao longo de seu eixo. Para obtenção do esforço total na seção, a norma define os coeficientes:

ν é a força normal adimensional, dada por:

ν=

N sd e A c * f cd

1/r (curvatura na seção crítica), dada pela aproximação:

1 0,005 0,005 = ≤ , para usar r h * (ν + 0,5) h

na expressão: M d , tot = α b * M 1d ,A + N d *

le ²

10

* 1 ≥ M 1d ,A . r

Obviamente, o momento de 2ª ordem ocorre sempre na seção de menor esbeltez. Avaliam-se as diversas seções do pilar (topo, centro, base), combinando-as em situações, sendo que é adotada aquela mais crítica, ou seja, aquela cujos esforços demandam maior armadura. Assim como no programa computacional, a seção crítica do pilar resultou o centro, para todos os pavimentos. O momento mínimo de primeira ordem é avaliado ocorrendo em uma direção e não ocorrendo na outra. O contrário é adotado para a outra situação. Para avaliar a área de aço, fez-se uso de ábacos (ábaco A-53, do professor Libânio), e os programas flexão composta normal e composta oblíqua, do professor Américo (UFRGS), disponíveis no site www.ppgec.ufrgs.br/americo/programas/flexaocomposta.

85 O quadro abaixo traz a área de aço para a situação II: Mmín em y (centro). Nd

Myd

(kN)

(kN*m)

νd

µyd

Cobertura

149,08

9,08

0,09

Tipo 3

426,77

25,71

Tipo 2

701,20

Tipo 1

Ø

As

n

nadotado

Aeberick

neberick

(mm)

(cm²)

(barras)

(barras)

(cm²)

(barras)

0,03

12,5

mínima

4

4

4,91

4

0,27

0,08

12,5

mínima

4

4

4,91

4

41,79

0,44

0,13

10,0

mínima

6

6

4,71

6

958,71

59,62

0,60

0,19

12,5

19,96

16,27

20

24,54

20

Garagens

1307,68

108,15

0,81

0,34

12,5

18,26

14,88

16

9,82

8

Térreo

1325,62

40,42

0,82

0,13

12,5

18,26

14,88

16

9,82

8

Pavimento

ω

0,54

Quadro 16 - Área de aço longitudinal - P26

Para todas as seções de pilar, µxd=0, uma vez que Mxd=0. A situação II traz que o momento mínimo atua em segundo o eixo y, por isso Mxd=0. Para os pavimentos Cobertura, tipo 3 e tipo 2, a seção se mostrou excessiva, gerando armaduras de área de seção transversal inferior à armadura mínima fixada por norma. Por isso, são usadas as armaduras mínimas. Seus detalhamentos podem ser visualizados junto aos anexos. Para o pavimento Tipo 1, foram usados 3 ábacos, todos eles resultaram valores da taxa mecânica de armadura (ω) entre 0,50 e 0,54. Adotou-se a solução fornecida pelo ábaco de Libânio: ω = 0,54, atentando à consideração de usar o mínimo de 10 barras/face, resultando um total de 20 barras na seção. O pavimento Garagens foi dimensionado conforme programa computacional:

Figura 24 - Dimensionamento de seção de pilar usando programa

86 Conforme programa, a área total é 18,26 cm². Para o pavimento Térreo, que representa o trecho de pilar referente ao colarinho, temse uma situação onde momentos fletores de primeira ordem são pequenos uma vez que seu comprimento é muito inferior aos outros trechos. Este trecho não é esbelto a ponto de necessitar que sejam considerados momentos fletores de segunda ordem. Por esse motivo é adotada a mesma armadura do pavimento garagens, uma vez que a armadura calculada é muito pequena. As barras longitudinais são muito esbeltas, por isso tendem a sair da seção de concreto quando flambam, para isso é usado o estribo, que deve ter como diâmetro mínimo o maior valor entre 5 mm e Ø/4. O espaçamento entre os estribos é dado, quando usado aço CA-50, por

20 cm  s ≤ menor dimensão 12 * φ l  O estribo suplementar é colocado sempre que a distância entre os estribos ultrapassar 20*Øt, no caso em estudo, sempre que ultrapassar 20*0,63 = 12,6 cm. Para todas as seções, st=15 cm atende aos requisitos normativos. n

Øpilar

Programa computacional

Øt

st

(barras)

(mm)

(barras)

(mm)

(cm)

Cobertura

6

10,0

10

6,3

12

Tipo 3

4

12,5

6

6,3

15

Tipo 2

8

10,0

8

6,3

12

Tipo 1

8

10,0

18

6,3

12

Garagens

22

12,5

26

6,3

15

Térreo

14

12,5

6

6,3

15

Pavimento

Figura 25 - Comparativo - Armadura no P26

Figura 26 - Seção transversal: P26 no pavimento Tipo 1

87

Figura 27 - Seção transversal: P26 no pavimento Garagens e colarinho

Nota-se que o dimensionamento do programa computacional traz resultados menos rigorosos que os resultados advindos do dimensionamento manual nas seções referentes aos pavimentos garagens e térreo (colarinho). Isso se deve ao fato de que o programa computacional dimensiona todos os pilares pelo processo iterativo da linha neutra, (ou processo iterativo de flexão composta oblíqua), este processo é indicado pela norma.

88

10 Comparações e análise econômica entre lajes pré-moldadas e lajes maciças

As lajes pré-moldadas são constituídas de nervuras pré-moldadas ou pré-fabricadas que possuem a armadura positiva de flexão e recebem depois de montadas, um elemento (de enchimento) entre as nervuras e a complementação de uma capa de concreto. Os elementos possuem vazios em seu interior, enquanto que as lajes maciças não possuem esses vazios. Isso diferencia as características entre essas lajes. A laje pré-moldada possui boa capacidade de isolamento térmico, pois o ar contido no interior do elemento de enchimento confere estas características. No entanto, para o isolamento ser mais eficaz que o conferido pela laje maciça, deve haver um sistema de isolamento. A laje maciça, apesar de não possuir os vazios, possui maior quantidade de massa, portanto boa inércia térmica, comparada com a laje pré-moldada. Quando comparada com a laje maciça, a laje pré-moldada apresenta menos isolamento acústico, pois o aspecto que determina a qualidade do isolamento acústico é a quantidade de massa do material. Segue abaixo a análise comparativa entre a solução de laje maciça e laje pré-moldada, com quadros quantitativos e composições unitárias, sendo que estas são adaptadas às considerações da TCPO (Tabelas de Composições de Preços para Orçamentos), 12ª edição, ano de 2003. Os valores monetários são ajustados conforme indicações do SINDUSCON.

10.1 Critérios para análise econômica A planta de fôrmas deste estudo foi gerada idealizando a situação de lajes maciças em concreto armado. Nesta análise, foram usados os resultados obtidos na “Relação de aço” pelo programa computacional. Quando é usada a laje pré-moldada, algumas das vigas podem ser dispensadas, pois o tipo de armação da laje pré-moldada deste estudo é unidirecional. No entanto, na análise da laje pré-moldada, para reduzir um vão de uma laje no pavimento garagens, foi adicionado um trecho de viga. Esta análise econômica não leva em consideração a parte estrutural de vigas e pilares, sendo hipótese de cálculo que as vigas a serem dispensadas ou trechos a serem criados se compensam.

89

10.2 Lajes pré-moldadas As lajes pré-moldadas representam tecnologia normatizada que vem sendo empregada há muitos anos e segue os princípios da construção industrializada. Uma das vantagens das lajes pré-moldadas é a possibilidade de confecção dos vigotes fora do local da obra, com uso de rigoroso controle de qualidade e emprego de maquinário específico para que a qualidade esperada seja alcançada. Além da rapidez de execução, destaca-se a redução de gastos com escoramento e fôrmas. A produção dos vigotes pode acontecer muito antes da confecção das lajes, o que acelera o processo executivo. As vigotas são moduladas, isto é, devido à produção em série, admite-se que seja usado o mesmo vigote para cargas menores que os calculados, embora seja “desperdiçada” certa quantidade de área de aço, nesses casos de super dimensionamento. Este estudo restringe-se ao caso de vigotas pré-fabricadas do tipo trilho, estando não inclusas nas análises as vigotas do tipo treliçadas. Depois de calculadas diversas opções de vigotes pré-fabricados para os pavimentos, são definidas as cargas, compostas pela soma da parcela referente à carga acidental com a parcela da carga permanente devido ao peso dos revestimentos. Eventualmente é acrescido à carga sobreposta, o valor de alguma carga extra, como por exemplo, a carga dos telhados. Uma das exigências construtivas para lajes pré-moldadas é que a vigota adentre no mínimo 5 cm sobre o apoio. Outro critério é quanto à parte de transporte das vigotas, pois é comum que os transportadores a movimentem apoiando-a pelo seu centro, o que ocasiona momentos fletores que mobilizam tensões normais de tração na parte superior da seção, que não são suportados pelo concreto das vigotas, por esse motivo é prevista armadura construtiva de 1 barra de mesmo diâmetro das barras da armadura longitudinal. Por questões de simplicidade, os valores definidos para carga sobreposta (é a carga total atuante na laje, permanente e acidental, diminuído do valor do peso próprio da laje prémoldada) variam de acordo com os múltiplos de 0,5 kN/m². Uma das grandes vantagens de dispor de uma planilha eletrônica de dimensionamento de vigotas pré-fabricadas é poder informar o valor da carga sobreposta e encontrar o vão máximo admissível, evitando o desperdício de material que ocorre quando as vigotas são escolhidas a partir de tabela que traz a carga sobreposta em valores múltiplos de 0,50 kN/m², onde é necessário arredondar para cima a carga sobreposta. A laje mais econômica é aquela que possui menor espessura de capeamento e, portanto, menores gastos com concreto. Para evitar inconvenientes construtivos relacionados com a quantidade de lajes diferentes em cada pavimento, adotam-se no máximo dois tipos de

90 lajes para cada pavimento. É comum observar em projetos de pré-fabricados a orientação de iniciar a colocação da laje pelas tavelas. No entanto, neste estudo, a colocação se inicia pelas vigotas, ocasionando um aumento da quantidade de nervuras por metro de laje, que auxilia a suportar as paredes que se localizam na direção perpendicular às vigotas, uma vez que estas não constituem grande percentual de acréscimo de carga. As paredes situadas na direção do eixo das vigotas têm sua carga absorvida pelas vigas chatas. Como o estudo é aproximado, as vigas chatas não serão dimensionadas. Outra simplificação é considerar que a laje é preenchida pelas vigotas sem descontar o valor correspondente ao espaço ocupado pela viga chata, pois se assume que a quantidade de vigas desnecessárias quando empregada solução pré-moldada é compensada pelas vigas chatas, o que é bastante razoável, visto que a maioria das paredes apóia-se diretamente sobre as vigas do contorno das lajes. A análise restringe-se em saber qual das soluções para lajes é mais econômica, não interessando os quantitativos exatos de tavelas e vigotes. Tipos de lajes pré-moldadas escolhidas: • O pavimento “cobertura do reservatório” possui maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 2,70 m. A carga sobreposta é dada pela soma 1,50 + 1,20 = 2,70 kN/m². A laje β14 com 2 Ø 4,2 mm suporta vão de até 3,50 m. • O pavimento “reservatório” é muito carregado e por esse motivo é feita laje maciça em concreto armado, portanto, sem o uso de vigotas pré-fabricadas. • O pavimento “cobertura” possui maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 3,85 m. A carga sobreposta é dada pela soma 0,50 + 1,60 = 2,10 kN/m². A laje β16 com 2 Ø 4,2 mm suporta vão de até 4,60 m. • Aos pavimentos “tipo 3”, “tipo 2” e “tipo 1” são definidas duas lajes. Para o caso de maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 3,85 m, a carga sobreposta é dada pela soma 2,00 + 1,38 = 3,38 kN/m². A laje β20 com 2 Ø 4,2 mm e carga sobreposta 3,38 kN/m² suporta vão de até 4,50 m, atendendo às condições impostas. • Para o caso de maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 2,30 m, a carga sobreposta é dada pela soma 3,00 + 1,38 = 4,38 kN/m². A laje β20 com 2 Ø 4,2 mm e carga sobreposta 4,38 kN/m² suporta vão de até 2,35 m, atendendo às condições impostas. • O pavimento “garagens” possui maior vão entre os menores vãos das lajes, igual a 4,00 m, caso na viga V5 seja adicionado trecho que vai até a viga V21. A carga sobreposta é

91 dada pela soma 3,00 + 1,20 = 4,20 kN/m². A laje β20 com 2 Ø 4,6 mm suporta vão de até 5,30 m. O objetivo principal deste estudo não é propriamente a análise econômica. Destacamse aqui apenas os principais quadros. A quantidade de pré-fabricados a ser produzida é razoável, mas não chega a tornar viável a aquisição dos equipamentos, mesmo que estes podem ser vendidos quando não mais necessários, reincorporando seu valor residual (80% do valor do capital inicial) ao capital da empresa construtora. Por curiosidade, conforme pesquisa de mercado, uma mesa vibratória de dimensões 4 m x 1 m, com motor, necessária a produção de vigotas pré-fabricadas, custa em torno de R$ 5000,00. Cada fôrma metálica de comprimento 6 m, para lajes pré-moldadas do tipo trilho, custa aproximadamente R$ 200,00, totalizando R$ 1.200,00. São necessários também 25 esticadores de fios e arames, cada um no valor de R$ 150,00, resultando R$ 3750,00. Para fins de noção de quantitativos, nesta edificação são gastos 1925 vigotas, 20286 tavelas, o comprimento das vigotas somadas resulta 460620 m. A opção pré-moldada traz gastos de 1667,47 m² de laje, considerando o embutimento de 5 cm em cada extremidade de vigotes. O volume da capa de concreto C20 industrializado a ser consumido é aproximadamente 190,66 m³. A primeira composição unitária traz os gastos com a colocação da laje pré-moldada

β12, com o valor das despesas com concretagem zerados, pois serão considerados em nova composição, uma vez que nem todas as lajes usadas são β12: R$ 112,26/m². A segunda composição traz os gastos com a concretagem do volume da capa: R$ 241,74/m³. Quadro resumo Composição unitária

Unidade

Valor

Quantitativo

Total

Laje pré-moldada β12

R$/m²

112,26

1669,47

187416,40

Concreto estrutural C20 - industrializado

R$/m³

241,74

190,66

46089,61

Total: R$

233506,01

Quadro 17 - Quadro resumo – Custo das lajes pré-moldadas

92

10.3 Lajes maciças

As lajes maciças necessitam de fôrmas, sendo que um único jogo de fôrmas, se bem cuidado, pode ser usado muitas vezes. Este custo justifica em partes o grande custo da confecção de lajes maciças, conforme citado por diversas literaturas. Conforme hipóteses de dimensionamento, nas lajes maciças em concreto armado são usadas barras de aço CA-50 e concreto C25. O volume de concreto gasto é 127,26 m³. Diversas literaturas trazem como boa aproximação a expressão: Áreafôrmas = Volumeconcreto * 12, onde a área das fôrmas é dada em cm² e o volume de concreto em m³. Como o somatório do volume de concreto resultou 127,26 m³, a área das formas aproximada é 1524 m². A primeira das composições unitárias traz os gastos unitários com concreto estrutural C25 lançado nas fôrmas: R$385,56/m³. A segunda composição unitária indica o valor gasto na confecção das fôrmas: R$39,70/m². (reuso das fôrmas de 5 vezes). A TCPO não traz composições unitárias para deforma de lajes, por isso, subentende-se que as horas consumidas pelos funcionários na desfôrma estão inclusas nos serviços de fôrmas. A terceira composição unitária indica o valor gasto no corte, transporte e posicionamento das armaduras nas fôrmas. O uso da média das bitolas no aço CA-50 é uma boa aproximação, que conduz a resultados muito próximos da realidade: R$22,82/kg. A partir das composições acima e dos quantitativos, é possível a análise dos gastos com lajes maciças na edificação, lembrando que as lajes do pavimento reservatório estão exclusas deste estudo econômico. Quadro resumo Composição unitária

Unidade Valor Quantitativo

Total

Concreto estrutural fck=25 MPa - industrializado

R$/m³

385,56

127,00

48966,12

Forma com chapa plastificada para estrutura (5x)

R$/m²

39,70

1524,00

60497,28

Armadura de aço CA-50

R$/kg

22,82

14244,40

325037,27

TOTAL

434500,66

Quadro 18 - Quadro resumo – Custo das lajes maciças

93 Destaca-se acima o elevado gasto com formas que as lajes maciças apresentam, esse gasto é reduzido quando usada a solução pré-moldada.

10.4 Análise final Analisando os quadros resumos, é evidente que as lajes maciças representam um custo maior para a empresa que arca com os custos da construção do edifício. Nota-se que as lajes maciças são aproximadamente duas vezes mais onerosas que as lajes pré-moldadas. Se usar lajes pré-moldadas, os gastos serão aproximadamente 54% do custo com as lajes maciças. Conforme o artigo publicado no Jornal Diário do Iguaçu, coletânea Arquitetura & Construção (datado em 13 de julho de 2007), por Sérgio Radin, o tempo e o custo de execução da obra podem ser reduzidos de 25 a 30%, se comparado com a tecnologia de lajes maciças, desde que o uso se dê em grande escala. Essa comparação é aproximada e traz os custos de uma edificação em sua totalidade, não apenas das lajes, mas considera edifícios muito maiores que o estudado, mostrando a coerência dos resultados.

94

11 Escada

Nesta edificação, está presente uma escadaria para ligar o pavimento térreo ao pavimento garagens, garagens ao tipo 1, tipo 1 ao tipo 2 e tipo 2 ao tipo 3. Estes lances são idênticos, por esse motivo, um único dimensionamento atende a todos os casos. É uma escada com lajes adjacentes, contendo vigas apenas para apoio dos lances (junto aos andares tipos) e uma viga para suportar o patamar. Portanto, a cada dois andares existe um único patamar e não são usadas vigas inclinadas. A escada pode ser discretizada por duas lajes unidirecionais, com os menores bordos apoiados e os maiores bordos livres. Cada uma dessas lajes unidirecionais abrange um lance de escadaria e meio patamar. A escada obedece aos requisitos impostos pelo código de obras do município de Chapecó, pois tem espelho “e” de valor 17,80 cm e passo “s” de valor 27,0 cm. A Lei de Blondell fixa que 2 * e + p = 62 a 64 cm (adequado se usar a média 63 cm). Neste caso, resulta 62,6 cm e se enquadra no critério. Cada lance de escadas possui 8 degraus, também nos conformes do código de obras, que limita os lances sem patamar a 16 degraus. e Assim, a inclinação é α = arctg( ) = 33,4° . p Como o comprimento da escada é pouco maior que 3 m e a carga acidental é 3,0 kN/m², a espessura hi=10 cm usada para o patamar e os lances se mostra razoável para uma estimativa inicial. Caso a espessura da escada seja exagerada, tem-se o caso de super dimensionamento da seção e pode ser possível que a armadura mínima seja suficiente para atender as solicitações. Neste caso, é conveniente reduzir a espessura da escada e recalcular, gerando uma redução de gastos com materiais e mão-de-obra. Pode também acontecer que a espessura seja insuficiente, assim o dimensionamento recairá em um caso de armadura dupla. Sabe-se que o uso de armaduras duplas em escadarias é desaconselhável, pois gera grandes transtornos durante a execução.

95

α (sem escala)

Figura 28 – Elementos geométricos da escada

Nos lances, para usar carga vertical devido ao peso próprio, a espessura para composição das cargas deve ser usada vertical, dada por “h” que, usando relações trigonométricas, obtém-se que a espessura vertical é h =

hi 10cm = = 11,98cm. cosα cos33,40°

A altura média é hm = h + 0,5*e = 11,98 + 0,5*17,8 = 20,88 cm. A largura da escada é 1,35 m, que somada a 0,15 m do embutimento resulta lx=1,50 m. O lance de escadas projetado em um plano horizontal tem comprimento 189 cm que somado à largura do patamar de 106 cm e adequado às disposições constantes em “vão efetivo da laje” da NBR6118/03, itens 14.7.2.2 e 14.6.2.4, resulta ly = 3,01 m.

11.1 Cargas Os degraus são considerados como elementos de enchimento que constituem cargas permanentes, assim como o revestimento e a mureta de proteção. É a situação mais encontrada no cotidiano. As solicitações são todas verticais, no sentido da gravidade, avaliadas por metro quadrado e projetadas em um plano horizontal, uma vez que os vãos usados no dimensionamento, também são vãos horizontais. A carga variável fixada pela NBR6120/80 é 3,0 kN/m², pois trata-se de um edifício comercial e multifamiliar, onde a escadaria tem acesso ao público. A carga permanente de revestimento, equivalente a 5 cm de contrapiso e 1 cm de revestimento cerâmico é 18 kN/m³*0,01 m + 24 kN/m³*0,05 m = 1,38 kN/m².

96 Para a carga permanente da mureta de proteção, uma vez que a mureta é constituída de tijolos vazados e tem parapeito de altura 1,10 m. O peso das muretas nos dois lances de escadaria, dividida pela área total da escadaria resulta 0,92 kN/m². A área projetada (em plano horizontal) dos dois lances de escadaria vale 2*lx*llance=5,67 cm². A área do patamar é 1,06*3,00 = 3,18 m². O peso próprio da escadaria é dado por pp =

25kN hm * A lances + h * A patamar kN * = 4,24 . m³ A lances + A patamar m²

Somando-se as parcelas permanentes do peso próprio, revestimento e mureta de proteção, g = 6,54 kN/m². Assim, p = g + q = 9,54 kN/m².

11.2 Dimensionamento É possível avaliar o momento fletor através do vão projetado em um plano horizontal, assumindo que o lance de escada e o patamar se comportam como uma viga de grande largura. Como é pode ser usado Φ 12,5 mm para as barras longitudinais, pois a verificação prevista no item 20.1 da NBR6118/03, que recomenda que o diâmetro das barras da armadura de flexão devem ser menores ou iguais a h/8 é satisfeito. A altura útil é d = cnom + Φt + 0,5*Φ = 2,0+0,63+0,5*0,80 = 7,60 cm. Como o parâmetro λ =

ly = 2,01 < 2,00 , a laje é unidirecional. O trecho da laje lx

unidirecional que contém o patamar é um trecho aliviado, ou seja, de carga inferior ao trecho dos lances de escada, pois a espessura usada é menor (uma vez que não é o valor inclinado) e porque não há degraus. No entanto, para fins de simplificação, se considera que a carga no patamar é igual a carga dos lances. Assim, o momento fletor característico é dado por

kN q * (ly) 2 9,54 m² * (3,01m)² M= = = 10,80kN * m / m . 8 8 A altura do diagrama parábola-retângulo de tensões para o concreto armado é dada por x. Admite-se um diagrama retangular de tensões dado por y=0,8*x.

y=

(0,85 * fcd * bw * d) - (0,85 * fcd * bw * d)² - 4 * (0,425 * fcd * bw) * Md = 0,014m . 0,85 * fcd * bw

Assim, x = 0,0181 m.

97 Como se trata de aço CA-50, e x/d < 0,259, a seção trabalha no domínio 2 de deformações do concreto. Para este domínio, a área de aço é dada por

As =

Md 1,4 * 10,80 = =5,06 cm²/m. fyd * (d - 0,4 * x)  500    * (0,0760 − 0,4 * 0,0181)  1,15 

100cm * O espaçamento s =

π * (0,80cm)²

4 5,06cm²

= 9,5cm (para barras de diâmetro 8,0 mm).

π * (0,80cm)² A área de aço efetiva As, ef =

4 0,095cm

= 5,29cm² / m

Para lajes unidirecionais, a NBR6118/03 recomenda na tabela 19.1 que

20%daAs, ef(armadura_principal) = 1,02cm²/m  As/s ≥ 0,9cm²/m ⇒ É usado 1,02cm²/m ρs ≥ 0,5 * ρmin, ou seja : ρs ≥ 0,08% :: 0,57cm² / m  Onde ρmín = 0,0015 ou 0,15% segundo a tabela 17.3 da fck=25 MPa e seção retangular.

100cm * Para barras de diâmetro 6,3 mm,

s=

π * (0,63cm)²

4 1,07cm²

= 29cm <33 cm,

garantindo a recomendação de 3 barras por metro que da NBR6118/03. π * (0,63cm)² 4 As, ef = = 1,075cm² / m ≈ 1,01cm²/m . 0,30cm

Cálculo manual

Programa computacional

As,ef principal

5,29 cm²/m

4,82 cm²/m

As,ef secundária

1,01 cm²/m

1,01 cm²/m

Quadro 19 - Comparativo: Área de aço - escadaria

O dimensionamento efetuado manualmente se mostrou mais rigoroso que o dimensionamento realizado pelo programa computacional, pois foi colocada carga no patamar para simplificar a aplicação da fórmula. Se somar a carga do programa com a carga devido aos degraus e à mureta: (2,23+0,92) kN/m², o modelo é o mesmo. Nesse caso, a armadura calculada é 4,97 cm²/m, valor ainda mais próximo do encontrado manualmente. O programa computacional dimensiona as escadas como lajes inclinadas, segundo o processo de analogia

98 de grelhas, onde as lajes são discretizadas em uma grelha. Era esperado que os valores da armadura principal não coincidissem. Os resultados se mostraram muito próximos, demonstrando a validade do dimensionamento. A armadura secundária coincide porque recaiu em um caso de armadura mínima, onde a NBR6118/03 fixa que sejam colocadas no mínimo 3 barras por metro.

11.3 Reação de apoio das lajes da escadaria nas vigas Como os bordos maiores das lajes são livres, se admite que a carga total da escadaria seja dividida igualmente entre os lados apoiados. A viga do patamar recebe então metade da carga, enquanto que as vigas que suportam o lance de escada inferior e o lance de escada superior dividem a metade restante da carga, embora distribuído em um comprimento menor. Como a viga do patamar tem o dobro do comprimento das vigas dos andares, a reação de apoio da laje da escadaria nas vigas (em kN/m) é a mesma para todas as vigas do contorno. Fconcentrada = 9,54kN / m² * (5,67 + 3,18)m² = 84,42kN (é o peso da escada toda)

R patamar

84,42 kN 2 = = 14,07 kN / m (reação na viga do patamar) 3m

Randares

84,42 kN 4 = = 14,07 kN / m (reação em cada um dos trechos das vigas dos andares). 1,50m

11.4 Detalhamento O lance da escada que parte do patamar ao pavimento mais acima tende a retificar a armadura tracionada (e então a armadura pode deslocar para fora da massa de concreto). Por esse motivo, a NBR6118/03, no item 18.2.3 prevê mudança de direção das armaduras principais, onde cada barra deve ser substituída por outras duas, que são prolongadas além do seu cruzamento e devidamente ancoradas, de acordo com os critérios da seção 9 desta norma. Para evitar redundância neste estudo, visto que os comprimentos de ancoragem são tratados em outra oportunidade, estes podem ser dispensados neste momento. O detalhamento da escada está disposto junto aos anexos.

99

11.5 Verificação da flecha A flecha imediata é a mesma de uma viga bi-apoiada, pode ser estimada por

p serviço * ly 4 5 a0 = * , onde 384 ( EI ) eq

(EI) eq

 M  = E cs *  r  M a

3  M   * I c + 1 −  r   Ma  

  

3

   * I II  ≤ E cs * I c , esta   

última expressão é uma adaptação que a NBR6118/03 fez ao modelo Simplificado de Branson para cálculo da flecha imediata. O momento de fissuração (Mr), conhecido pelo momento a partir do qual o elemento estrutural começa a fissurar, ou também conhecido pelo momento que limita os estádios I e II é definido pelo item 17.3.1, onde M r =

α * f ct ,m * I c

. Para seções retangulares, α = 1,5. Em

yt

lajes, os momentos fletores, os esforços cortantes e a inércia bruta da secção são avaliados por metro. A distância entre o CG da seção até a fibra mais solicitada é yt e vale h/2. kN   1,0m * 0,10m³   1,5 *  2565 *  kN * m m²   12   Assim, M r = = 6,41 . Como 10,80 kN*m/m > 0,05m m

4,49 kN*m/m, o momento atuante é maior que o momento de fissuração e por isso a seção está fissurada. No x II =

- αe * As ±

estádio

II

a

seção

(α e * A s )2 + 2 * b w * d * α e * A s bw

está

fissurada

e

= 2,24 cm.

Com bw = 100 cm e As = As,ef. 3

Para seções retangulares, Ix,II0= I x, II0 Assim, (EI) eq

 M  = E cs *  r  M a

bw * x II = + α e * A s * ( x II − d )² = 1715,92cm 4 . 3

3  M   * I c + 1 −  r   Ma  

  

3

   * I II  ≤ E cs * I c =0,7378 MN*m².   

kN * m 4 7,44 * (3,01m) 4 5 p serviço * ly 5 m A flecha imediata é a 0 = * = * = 1,08 cm . 384 384 737,8kN * m² (EI) eq A flecha diferida no tempo é dada por af = a0*(1+αf) = 1,08*(1+1,47) = 2,66 cm. Esta deve ser menor ou igual à flecha limite, definida pela NBR6118/03, através da tabela 13.2 (limites para deslocamentos), por alimite =

ly 301cm = = 1,20cm. Usando contra-flecha de 250 250

valor 1,50 cm, a laje da escada está de acordo com o estado limite de deformações.

100

11.6 Verificação da necessidade de armadura de cisalhamento No item 19.4.1 da NBR6118/03, é destacado que as lajes maciças podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante se a expressão Vsd ≤ VRd1 for válida. Vsd é a força cortante solicitante de cálculo e VRd1 é a força cortante resistente de cálculo quando se trata de elementos sem armadura para força cortante, chamada de resistência de projeto ao cisalhamento. Neste mesmo item, há um roteiro de cálculo que está disposto abaixo: τRd = 0,25*fct,d = 0,3206 MPa ρ1 =

A s,ef bw * d

=

5,29 = 0,007 < 0,02 100 * 7,60

σ cp = 0 , pois não há forças longitudinais na seção, como forças de protensão.

Vsd = 1,4*Vs = 1,4*14,07 kN/m = 19,70 kN/m. k = 1,6 - d = 1,6 - 0,076 = 1,52 > 1 VRd1 = [τRd * k * (1,2 + 40 * ρ1) + 0,15 * σcp] * bw * d = 54,90 kN/m. Como Vsd ≤ VRd1 , não é necessário o uso de armadura de cisalhamento.

11.7 Verificação da compressão diagonal do concreto Como não é empregada armadura de cisalhamento, as bielas comprimidas devem ter a verificação da compressão. Se a expressão Vsd ≤ VRd 2 for válida, a seção resiste aos esforços de compressão. Conforme 17.4.2.2, a força cortante resistente de cálculo, que é relativa à ruína das diagonais comprimidas do concreto vale VRd2 = 0,5*αV1*fcd*bw*0,9*d = 305,36 

kN/m, uma vez que αV1 = 0,7- fck/200) α V1 =  0,7 − 

f ck   ≤ 0,5 ⇒ α V1 = 0,5 . A equação 200 

Vsd ≤ VRd 2 é verificada e, portanto, as bielas comprimidas atendem à solicitação.

101

12 Considerações finais

É esperado que um trabalho de conclusão de curso proporcione uma oportunidade de melhorar os conhecimentos adquiridos na graduação, em uma das diversas áreas da engenharia. Ao realizar o projeto estrutural em concreto armado pode-se vivenciar todo o problema de ajustes necessários entre o projeto arquitetônico e o projeto estrutural, resolvendo e superando as dificuldades encontradas. A comparação entre as duas opções de lajes estudadas mostrou que não há como predizer qual é a melhor ou mais econômica solução, sem antes projetar e dimensionar a estrutura. Pode-se constatar a importância dos programas especializados em projeto de estruturas de concreto armado hoje disponíveis (softwares). Mas a necessidade de conhecimento do engenheiro na definição do projeto de estruturas é indispensável para a correta avaliação, sendo que a ausência desta pode vir a acarretar inconvenientes futuros. O julgamento de engenharia é fundamental para que a concepção estrutural se realize de maneira racional. A sensibilidade do engenheiro civil é de caráter decisivo na avaliação dos resultados fornecidos pelo programa computacional.

102

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Revisão bibliográfica

[1] ALTO QI Tecnologia aplicada a engenharia. AltoQi Eberick®. Florianópolis, Santa Catarina, 2007. [2] ______. AltoQi Eberick® - Curso Básico –material didático. Florianópolis, Santa Catarina, 2007. [3] ANDRADE, J.R.L. Estruturas correntes de concreto armado: 1ª parte. São Carlos, EESC-USP, 2003. [4] ______, Roberto Caldas de Pinto. Estruturas de Concreto Armado II. Florianópolis: Apostila, 2006. [5] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003. [6] ______. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas. Rio de Janeiro, 1980. [7] ______. NBR 6123: Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988. [8] ______. NBR 7480: Barras e fios de aço para armaduras para concreto. Rio de Janeiro, 1996. [9] ______. NBR 14859-1: Laje pré-fabricada – Requisitos – Parte 1: Lajes

unidirecionais. Rio de Janeiro, 2002. [10] CARVALHO, Roberto Chust; Filho, Jasson Rodrigues de Figueiredo – Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. São Carlos, São Paulo, 2005. [11] CHAPECÓ. Prefeitura Municipal. Código de obras do município de Chapecó: lei. 3.661 de 1 de dezembro de 1995. 34 p.

103 [12] DI PIETRO, João Eduardo. Análise qualitativa das estruturas. Florianópolis: Apostila, 2007. [13] ______. Lajes pré-fabricadas com vigotas de concreto armado: manual do fabricante. Florianópolis: Apostila, 2000. [14] ______. Lajes pré-fabricadas com vigotas de concreto armado: manual do

construtor. Florianópolis: Apostila, 2000. [15] FTOOL (Two Dimensional Frame Analysis Tool) para Windows. Versão Educacional 2.11. Pontifícia universidade católica do Rio de Janeiro, 2002. [16] GIONGO, S.. Concreto Armado: Projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São Carlos, USP, São Carlos (apostila), 2007. [17] IBRACON (2001). Prática recomendada IBRACON para estruturas de pequeno

porte. São Paulo, Instituto Brasileiro do Concreto: Comitê Técnico CT-301. Concreto Estrutural. 39p. [18] MICROSOFT OFFICE EXCEL para Windows. Microsoft Corporation, 2007. [19] MICROSOFT OFFICE WORD para Windows. Microsoft Corporation, 2007. [20] PINHEIRO, Libânio M., et al. Escadas. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, São Paulo, 1997. [21] PINHEIRO, Libânio M., et al. Pré-dimensionamento. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos, 2005. [22] PRÉ-FABRICADOS e economia de tempo e dinheiro. Diário do Iguaçu. Chapecó, 13 jul. 2007. Arquitetura & Construção, p. 7.

104

Anexos Anexo 1 -

Quadro resumo: vigotas pré-fabricadas

OBS: As lajes com vigotas de armadura 2Ø3,4 mm não devem ser usadas, pois não atendem ao critério de armadura mínima. A observação “rompe biela” significa que a vigota não deve ser empregada para determinada carga, pois ocorre ruptura na biela de compressão do concreto.

Laje tipo vigota β, intereixo = 39 cm, aço CA-60, concreto C20 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

0,50

7,00

4,00

2,65

Sim.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,00

7,00

4,00

2,55

Sim.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,50

7,00

4,00

2,55

Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,00

7,00

4,00

2,45

Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,50

7,00

4,00

2,45

Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,00

7,00

4,00

2,40

Não.

β 11 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,50

7,00

4,00

2,40

Não.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

0,50

7,00

4,00

2,40

Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,00

7,00

4,00

2,35

Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,50

7,00

4,00

2,30

Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,00

7,00

4,00

2,25

Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,50

7,00

4,00

2,20

Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,00

7,00

4,00

2,20

Sim.

β 11 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,50

7,00

4,00

2,15

Não.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

0,50

7,00

4,00

2,30

Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,00

7,00

4,00

2,20

Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,50

7,00

4,00

2,15

Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,00

7,00

4,00

2,10

Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,50

7,00

4,00

2,10

Sim.

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,00

7,00

4,00

2,05

Sim.

Vigota

Armadura

105 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 11 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,50

7,00

4,00

2,00

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

0,50

7,00

4,00

2,15

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,00

7,00

4,00

2,10

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,50

7,00

4,00

2,05

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,00

7,00

4,00

2,00

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,50

7,00

4,00

1,95

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,00

7,00

4,00

1,95

Sim.

β 11 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,50

7,00

4,00

1,90

Sim.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

0,50

8,00

4,00

2,90

Sim.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,00

8,00

4,00

2,85

Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,50

8,00

4,00

2,80

Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,00

8,00

4,00

2,75

Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,50

8,00

4,00

2,70

Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,00

8,00

4,00

2,70

Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,50

8,00

4,00

2,65

Não.

β 12 2 Φ 4,2 mm 0,2771

4,00

8,00

4,00

2,65

Não.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

0,50

8,00

4,00

2,60

Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,00

8,00

4,00

2,55

Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,50

8,00

4,00

2,50

Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,00

8,00

4,00

2,45

Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,50

8,00

4,00

2,40

Sim.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,00

8,00

4,00

2,40

Não.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,50

8,00

4,00

2,35

Não.

β 12 2 Φ 4,6 mm 0,3324

4,00

8,00

4,00

2,30

Não.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

0,50

8,00

4,00

2,45

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,00

8,00

4,00

2,40

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,50

8,00

4,00

2,30

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,00

8,00

4,00

2,25

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,50

8,00

4,00

2,25

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,00

8,00

4,00

2,20

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,50

8,00

4,00

2,15

Sim.

β 12 2 Φ 5,0 mm 0,3927

4,00

8,00

4,00

2,20

Sim.

Vigota

Armadura

106 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

0,50

8,00

4,00

2,25

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,00

8,00

4,00

2,20

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,50

8,00

4,00

2,15

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,00

8,00

4,00

2,10

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,50

8,00

4,00

2,10

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,00

8,00

4,00

2,05

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,50

8,00

4,00

2,05

Sim.

β 12 2 Φ 6,0 mm 0,5655

4,00

8,00

4,00

2,05

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

0,50

8,00

4,00

2,25

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

1,00

8,00

4,00

2,20

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

1,50

8,00

4,00

2,15

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

2,00

8,00

4,00

2,15

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

2,50

8,00

4,00

2,10

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

3,00

8,00

4,00

2,10

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

3,50

8,00

4,00

2,05

Sim.

β 12 3 Φ 5,0 mm 0,5890

4,00

8,00

4,00

2,00

Sim.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

0,50

10,00

4,00

3,75

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,00

10,00

4,00

3,65

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,50

10,00

4,00

3,60

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,00

10,00

4,00

3,50

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,50

10,00

4,00

3,45

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,00

10,00

4,00

3,45

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,50

10,00

4,00

3,40

Não.

β 14 2 Φ 4,2 mm 0,2771

4,00

10,00

4,00

3,35

Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

0,50

10,00

4,00

3,15

Sim.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,00

10,00

4,00

3,10

Sim.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,50

10,00

4,00

3,05

Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,00

10,00

4,00

3,00

Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,50

10,00

4,00

2,95

Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,00

10,00

4,00

2,95

Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,50

10,00

4,00

2,85

Não.

β 14 2 Φ 4,6 mm 0,3324

4,00

10,00

4,00

2,85

Não.

Vigota

Armadura

107 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

0,50

10,00

4,00

2,85

Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,00

10,00

4,00

2,80

Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,50

10,00

4,00

2,70

Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,00

10,00

4,00

2,70

Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,50

10,00

4,00

2,65

Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,00

10,00

4,00

2,60

Sim.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,50

10,00

4,00

2,60

Não.

β 14 2 Φ 5,0 mm 0,3927

4,00

10,00

4,00

2,55

Não.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

0,50

10,00

4,00

2,55

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,00

10,00

4,00

2,50

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,50

10,00

4,00

2,45

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,00

10,00

4,00

2,40

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,50

10,00

4,00

2,35

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,00

10,00

4,00

2,35

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,50

10,00

4,00

2,30

Sim.

β 14 2 Φ 6,0 mm 0,5655

4,00

10,00

4,00

2,25

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

0,50

10,00

4,00

2,55

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

1,00

10,00

4,00

2,45

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

1,50

10,00

4,00

2,45

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

2,00

10,00

4,00

2,40

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

2,50

10,00

4,00

2,35

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

3,00

10,00

4,00

2,30

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

3,50

10,00

4,00

2,30

Sim.

β 14 3 Φ 5,0 mm 0,5890

4,00

10,00

4,00

2,25

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

0,50

10,00

4,00

2,50

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

1,00

10,00

4,00

2,45

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

1,50

10,00

4,00

2,40

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

2,00

10,00

4,00

2,35

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

2,50

10,00

4,00

2,30

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

3,00

10,00

4,00

2,25

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

3,50

10,00

4,00

2,25

Sim.

β 14 3 Φ 6,0 mm 0,8482

4,00

10,00

4,00

rompe biela

Sim.

Vigota

Armadura

108 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

0,50

12,00

4,00

4,85

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,00

12,00

4,00

4,80

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,50

12,00

4,00

4,70

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,00

12,00

4,00

4,70

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,50

12,00

4,00

4,60

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,00

12,00

4,00

4,50

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,50

12,00

4,00

4,40

Não.

β 16 2 Φ 4,2 mm 0,2771

4,00

12,00

4,00

4,40

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

0,50

12,00

4,00

3,95

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,00

12,00

4,00

3,85

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,50

12,00

4,00

3,80

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,00

12,00

4,00

3,70

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,50

12,00

4,00

3,70

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,00

12,00

4,00

3,70

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,50

12,00

4,00

3,60

Não.

β 16 2 Φ 4,6 mm 0,3324

4,00

12,00

4,00

3,55

Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

0,50

12,00

4,00

3,45

Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,00

12,00

4,00

3,35

Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,50

12,00

4,00

3,30

Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,00

12,00

4,00

3,20

Sim.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,50

12,00

4,00

3,20

Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,00

12,00

4,00

3,15

Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,50

12,00

4,00

3,15

Não.

β 16 2 Φ 5,0 mm 0,3927

4,00

12,00

4,00

3,10

Não.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

0,50

12,00

4,00

2,90

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,00

12,00

4,00

2,80

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,50

12,00

4,00

2,75

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,00

12,00

4,00

2,75

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,50

12,00

4,00

2,70

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,00

12,00

4,00

2,65

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,50

12,00

4,00

2,60

Sim.

β 16 2 Φ 6,0 mm 0,5655

4,00

12,00

4,00

2,60

Sim.

Vigota

Armadura

109 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

0,50

12,00

4,00

2,85

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

1,00

12,00

4,00

2,80

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

1,50

12,00

4,00

2,75

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

2,00

12,00

4,00

2,70

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

2,50

12,00

4,00

2,65

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

3,00

12,00

4,00

2,60

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

3,50

12,00

4,00

2,60

Sim.

β 16 3 Φ 5,0 mm 0,5890

4,00

12,00

4,00

2,55

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

0,50

12,00

4,00

2,75

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

1,00

12,00

4,00

2,70

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

1,50

12,00

4,00

2,65

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

2,00

12,00

4,00

2,60

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

2,50

12,00

4,00

2,55

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

3,00

12,00

4,00

2,50

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

3,50

12,00

4,00

2,50

Sim.

β 16 3 Φ 6,0 mm 0,8482

4,00

12,00

4,00

2,50

Sim.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

0,50

15,00

5,00

3,60

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,00

15,00

5,00

3,35

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

1,50

15,00

5,00

3,10

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,00

15,00

5,00

2,95

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

2,50

15,00

5,00

2,80

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,00

15,00

5,00

2,65

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

3,50

15,00

5,00

2,55

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

4,00

15,00

5,00

2,45

Não.

β 20 2 Φ 4,2 mm 0,2771

4,50

15,00

5,00

2,35

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

0,50

15,00

5,00

5,90

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,00

15,00

5,00

5,80

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

1,50

15,00

5,00

5,70

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,00

15,00

5,00

5,65

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

2,50

15,00

5,00

5,55

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,00

15,00

5,00

5,50

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

3,50

15,00

5,00

5,40

Não.

Vigota

Armadura

110 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

4,00

15,00

5,00

5,40

Não.

β 20 2 Φ 4,6 mm 0,3324

4,50

15,00

5,00

2,55

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

0,50

15,00

5,00

4,80

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,00

15,00

5,00

4,75

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

1,50

15,00

5,00

4,65

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,00

15,00

5,00

4,60

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

2,50

15,00

5,00

4,55

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,00

15,00

5,00

4,50

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

3,50

15,00

5,00

4,45

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

4,00

15,00

5,00

4,40

Não.

β 20 2 Φ 5,0 mm 0,3927

4,50

15,00

5,00

4,35

Não.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

0,50

15,00

5,00

3,65

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,00

15,00

5,00

3,55

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

1,50

15,00

5,00

3,50

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,00

15,00

5,00

3,45

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

2,50

15,00

5,00

3,40

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,00

15,00

5,00

3,35

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

3,50

15,00

5,00

3,35

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

4,00

15,00

5,00

3,30

Sim.

β 20 2 Φ 6,0 mm 0,5655

4,50

15,00

5,00

3,25

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

0,50

15,00

5,00

3,25

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

1,00

15,00

5,00

3,20

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

1,50

15,00

5,00

3,15

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

2,00

15,00

5,00

3,10

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

2,50

15,00

5,00

3,05

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

3,00

15,00

5,00

3,05

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

3,50

15,00

5,00

3,00

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

4,00

15,00

5,00

2,95

Sim.

β 20 3 Φ 6,0 mm 0,8482

4,50

15,00

5,00

2,95

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

0,50

15,00

5,00

3,20

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

1,00

15,00

5,00

3,15

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

1,50

15,00

5,00

3,10

Sim.

Vigota

Armadura

111 As

qsobreposta

#enchimento

# capa

Lmáx

Lmáx limitado

(cm²)

(kN/m²)

(cm)

(cm)

(m)

por flecha?

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

2,00

15,00

5,00

3,10

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

2,50

15,00

5,00

3,05

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

3,00

15,00

5,00

3,00

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

3,50

15,00

5,00

rompe biela

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

4,00

15,00

5,00

rompe biela

Sim.

β 20 4 Φ 6,0 mm 1,1310

4,50

15,00

5,00

rompe biela

Sim.

Vigota

Armadura

Quadro 20 - Resumo do dimensionamento das vigotas

112

Anexo 2 -

Projeto arquitetônico

Anexo 3 -

Planta de fôrmas da estrutura

Anexo 4 -

Detalhe da armação positiva e negativa das lajes maciças

Anexo 5 -

Detalhamento das vigas

Anexo 6 -

Detalhamento dos pilares

Anexo 7 -

Quadro de momentos fletores característicos e reações de apoio

Anexo 8 -

Dimensionamento dos vigotes tipo trilho

Cálculo Estrutural Concreto Eberick

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