CALCULO FINANCIERO

CÁLCULO CÁ LCULO FIN ANCI ERO

CPCC Santos Alberto Farfán Peña

PROESAD

Título : CÁLCULO

FINANCIERO

Autor: CPCC Santos Alberto Farfán Peña

Diseño interior: Ander Sánchez Aguinaga Diseño de tapa: Edward Alarcón Rojas

El contenido de esta publicación (texto (texto,, imágenes y diseño), no podrá reproducirse total ni parcialmente por ningún medio mecánico, fotográfico, electrónico (escáner y/o fotocopia) sin la autorización escrita del autor.

UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN - Facultad de Ciencias Empresariales Centro de Producción de Materiales Académicos CEPMA-PROESAD Sede Central - UPeU Carretera Central km 19 Ñaña - Lima / Tel.: (01) (01) 618-6336 / 618-6300 / Anexo: 3084 www.upeu.edu.pe e-mail: [email protected] http://proesad.upeu.edu.pe Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Editorial Imprenta Unión, Centro de Aplicación de la Universidad Peruana Unión Km 19 Carretera Central, Ñaña, Lima - Perú Tel.: 618-6301, Telefax: 618-6339  JOB 17138-14 UNIÓN® e-mail: [email protected] Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º ���������� IMPRESO EN EL PERÚ PRINTED IN PERU

  Presentación La Universidad Peruana Unión es una institución que viene desarrollando una serie de acciones, con el propósito de alcanzar altos niveles en la gestión educativa en las diversas carreras que ofrece. Dentro de este contexto, el módulo de Cálculo Financiero brinda un conjunto de conocimientos teórico – prácticos en materia de calcular el valor del dinero en términos del tiempo, que les permitan a los estudiantes utilizar una serie de procedimientos para gestionar eficientemente los productos que el mercado de dinero y valores ofrece a las empresas. El módulo de Cálculo Financiero ha sido diseñado bajo la modalidad de 3 grandes unidades y 15 sesiones de aprendizaje. En cada unidad, se hallará el resultado de aprendizaje que debe desarrollar el estudiante; el tema tratado, el cual será debidamente explicado. Por último, se encontrará un sistema de autoevaluación en donde el estudiante plasme lo aprendido. El módulo es eminentemente práctico y tiene como objetivo fundamental explicar exp licar y aplicar, adecuadamente, los diversos procedimientos y cálculos del valor del dinero en las empresas. En primer lugar, se inicia con una reseña de la importancia de lo que el mercado de dinero ofrece, en el Perú, para apoyar el desarrollo de las empresas. Por último, se concluye con casos de estudio que apuntalan la parte teórica.

CPCC Santos Alberto Farfán Peña

ÍNDICE UNIDAD I

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

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SESIÓN N.º �: CONCEPTOS C ONCEPTOS BÁSICOS BÁ SICOS .......................... ............................................ ................................... ................................... ..................... ... �� �.�.. LOS OBJETIVOS FINANCIEROS �.� FINAN CIEROS DE UNA EMPRESA ....................................................... �� �.�. EL SISTEMA DE MERCADO ............................................................................................ �� �.�. PROPIETARIOS Y ADMINISTRA ADMINISTRADORES DORES ......................................................................... �� �.�. EL PAPEL PAPEL DE LAS FINANZAS ....................................................................................... .. �� ACTIVIDADESS......................................................................................... ................................. �� ACTIVIDADE SESIÓN N.º �: �CÓMO VARÍA EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Y CÓMO SE OPERA CON UNA U NA TASA DE INTERÉS I NTERÉS SIMPLE? ................ .................................. ................................... .................................. ............................. ............ �� �.�. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ ................... �� �.�.. REGLA DE INTERÉS ..................................................................................... ................... �� �.� �.�. CLASES DE INTERÉS ................................................................................... ................... �� �.�. EL INTERÉS SIMPLE ..................................................................................... ................... �� �.�. CARACTER CARACTERÍSTICAS ÍSTICAS ...................................................................................... ................... �� �.�. CÁLCULO A PARTIR PARTIR DEL INTERÉS SIMPLE SIMP LE ................................................................... �� �.�.. EL MONTO ..................................................................................... .................................. �� �.� ACTIVIDADESS........................................................................................ .................................. �� ACTIVIDADE SESIÓN N.º �: �CÓMO SE OPERA CON CO N UNA TASA DE INTERÉS COMPUESTA? ................... ................... �� �.�.. INTRODUCCIÓN ........................................................................................... .................... �� �.� �.�. CARACTE CARACTERÍSTICAS........ RÍSTICAS...................................................................................................... .............................................................................................. .... �� �.�. ELEMENTOS ................................................................................ .................................... �� �.�. CAPITALIZACI CAPITALIZACIÓN ÓN ANUAL ........................................................................................... .... �� �.�. CASOS ESPECIALES .................................................................................... .................... �� �.�. TASA TASA NOMINAL, NOMINAL , TASA TASA EFECTIVA EFECTI VA Y TASA EQUIVALENTE .......................................... �� ACTIVIDADES..................................................................................... ACTIVIDADES ..................................................................................... ..................................... �� SESIÓN N.° �: �CÓMO CALCULAR EL DESCUENTO BANCARIO Y COMERCIAL? .................. .................. �� �.�.. EL DESCUENTO .......................................................................................... ...................... �� �.� ACTIVIDADES.................................................................................... ACTIVIDADES .................................................................................... ...................................... �� AUTOEVALUACIÓN .......................................................................................... ...................... ��

UNIDAD II

ANUALIDADES

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SESIÓN N.º �: �CÓMO CALCULAR EL NÚMERO Y EL VALOR DE LA CUOTA EN UN PLAN DE FINANCIAMIENTO FINANCIAMI ENTO O ACUMULACIÓN DE CAPITAL?..................................... CAPITAL?...................................................... ....................... ...... �� �.�.. CLASES ........................................................................................... .................................. �� �.� �.�. MONTO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ................................................................. ��

�.�. CÁLCULO DE RENTA DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ORDIN ARIA ............................................. �� �.�. CÁLCULO DEL PLAZO �N� ............................................................................... ............... �� �.�. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS ............................................................................... �� ACTIVIDADESS............................................................................................ .............................. �� ACTIVIDADE

SESIÓN N.º �: ANUALIDADES ANUALIDAD ES ANTICIPADAS ANTICI PADAS ................ ................................. ................................... ................................... ................... �� �.�.. ANUALIDADES ANTICIPADAS ........................................................................................ �� �.� �.�. CALENDARIO DE PAGOS, PAGOS, CUADRO DE AMORTIZACIÓN AMORTIZACIÓN Y TABLA DE ACUMULACIÓN ...... �� ACTIVIDADES ACTIVIDAD ES........................................................................................... ............................... �� SESIÓN N.º �: ANUALIDADES PERPETUAS O INDEFINIDAS INDEFI NIDAS ....................... ......................................... ........................ ...... �� �.� .�.. NRENTAS NRE NTAS PERPETUAS PERPE TUAS .................................................................................... ................. �� �.�. �CÓMO CALCULAR CA LCULAR TASAS, VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL? .................................. �� ACTIVIDADESS......................................................................................... ................................. �� ACTIVIDADE SESIÓN N.° �: ANUALIDADES ANUALIDA DES DIFERIDAS DIF ERIDAS ................ ................................. ................................... ................................... ....................... ...... �� �.�. ANUALIDADE ANUALIDADESS DIFERIDAS ............................................................................................ . �� ACTIVIDADESS......................................................................................... ................................. �� ACTIVIDADE SESIÓN N.° �: BONOS Y ACCIONES .......................... ........................................... ................................... ................................... ....................... ...... �� �.�. BONOS ............................................................................................. ................................. �� �.�. ACCIONES ....................................................................................... ................................. �� ACTIVIDADESS......................................................................................... ................................. �� ACTIVIDADE AUTOEVALUACIÓN ............................................................................... ................................. �� SESIÓN N.º ��: DEPRECIACIÓN DEPRECIACI ÓN Y AMORTIZACIONES ................................... ..................................................... ..................... ... �� ��.�. ��. �. �CÓMO CALCULAR LA CUOTA DE DEPRECIACIÓN? DEPRECIACIÓ N? ................................................... �� ��.�. MÉTODOS .................................................................................... .................................. �� ACTIVIDADESS........................................................................................ .................................. �� ACTIVIDADE SESIÓN N.º ��: DEPRECIACIONES BASADO BA SADO EN EL USO .................................. ................................................... .................... ... �� ��.�.. �CÓMO CALCULAR LAS CUOTAS ��.� CUOTAS DE DEPRECIACIÓN? DEPRECIACIÓ N? ............................................... �� ��.�. MÉTODOS DE ACUERDO AL USO �USO� ..................................................................... �� ACTIVIDADES.................................................................................... ACTIVIDADES .................................................................................... ...................................... �� AUTOEVALUACIÓN ......................................................................................... ...................... �� BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRA FÍA ................. .................................. ................................... ................................... .................................. ................................... ............................. ........... ��

SUMILLA La asignatura de Cálculo Financiero pertenece al área operativa de las finanzas. Brinda un conjunto de fórmulas y procedimientos, procedimientos, con el objetivo de ser una herramienta útil y ágil que permita conocer con exactitud el valor del dinero en términos del tiempo. Esta asignatura es eminentemente teórico-práctica. En primer lugar, se analiza la importancia del cálculo financiero en el mundo de los negocios. Continúa con el estudio de los intereses simple y compuesto. Luego, se estudian las anualidades en todas sus variedades. Por último, se concluye con las depreciaciones y amortizaciones.

COMPETENCIA Al término de la asignatura, el estudiante calcula cualquier operación financiera en el mercado de dinero y mercado de valores, dando un costo real al dinero.

UNIDAD I INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Sesión N.º 1

Conceptos básicos

Sesión N.º 2

¿Cómo varía el valor del dinero en el tiempo y cómo se opera con una tasa de interés simple?

Sesión N.º 3

¿Cómo se opera con una tasa de interés compuesta?

Sesión N.º 4

¿Cómo calcular en descuento bancario y comercial?

RESULTADO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el estudiante explica y calcula la importancia del cálculo financiero en el mundo de los negocios, señalando el costo del dinero de manera simple y compuesta.

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Sesión Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

Conceptos básicos �CUÁL ES LA FUNCIÓN FINANCIERA? �.� LOS OBJETIVOS FINANCIEROS DE UNA EMPRESA El principal objetivo financiero de una empresa es incrementar al máximo la riqueza de sus propietarios. Esto significa incrementar al máximo las utilidades, con excepción de que medir la riqueza toma en cuenta la oportunidad de las utilidades. En consecuencia, las compañías tratan de obtener utilidades y evitar las pérdidas. El estado de pérdidas y ganancias refleja el éxito o el fracaso al respecto. ¿Por qué es posible obtener utilidades por encima de una tasa normal de interés sobre el capital invertido? En esencia, por ignorancia. Si los que negocian en los mercados (tanto compradores como vendedores) supieran todo, los precios de los productos reflejarían por completo las variaciones de los consumidores. Esta visión de arbitraje de las utilidades realza el contenido informativo informativo de las señales de los precios en el mercado (de ahí la destructividad de los controles de precios: distorsionan las señales). Para alcanzar el éxito, a largo plazo, las empresas tienen que sobrevivir en el corto plazo. Entre otras cosas, esto significa pagar las facturas cuando estas se vencen. Los administradores financieros tienen que llevar a cabo los arreglos para contar con dinero en efectivo disponible en el momento adecuado. El balance general contiene los detalles del activo y el pasivo circulante (a corto plazo). El cálculo financiero, o matemática financiera, o matemática para negocios, como la matemática que contempla el valor del dinero en términos del tiempo, es una herramienta financiera fundamental para la solución de los problemas financieros que se presentan cada día en el mundo de los negocios, las empresas, al conocer el costo del dinero tomado en préstamo, tienen un punto de comparación para la toma de decisiones más adecuadas y acertadas posibles.

�.� EL SISTEMA DE MERCADO Las compañías se proponen obtener utilidades satisfaciendo a los clientes. Es un error considerar a los administradores y trabajadores como las dos caras de la industria o el e l comercio. La verdadera distinción está entre los consumidores, por un lado, y, y, por el otro otro,, los productores: propietarios, administradores y trabajadores (los consumidores reciben con agrado la competencia de productores extranjeros, lo que q ue los productores nacionales deploran). dep loran).

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El sistema de mercado no es un juego de suma cero. Si el vendedor gana una utilidad, no hay razón por la que el comprador pierda, de alguna manera, hasta el mismo punto. En los mercados competitivos normales, tanto el comprador como el vendedor vendedor,, esperan ganar g anar en los intercambios mercantiles voluntarios. Esto se debe a que difieren en sus valoraciones subjetivas de los bienes o servicios intercambiados. Cuanto más elevada sea la cantidad total de ganancias, tanto más personas gozarán gozarán de una mejor situación económica, económica, como resultado de las transacciones mercantiles. Es por ello que, como regla general, las utilidades son buenas. Los consumidores no pagan más de lo que creen que valen, —para ellos—, los bienes o servicios. Esto coloca un tope sobre los costos totales de los productores. También les proporciona un incentivo para descubrir cuántos bienes o servicios tienen valor para los consumidores y encontrar maneras de agregar más valor. Fabricar una ratonera mejor o más barata constituye un mejor comienzo, pero los consumidores tienen que enterarse de ello. De ahí que la publicidad forme parte esencial del sistema de mercado, ya que divulga el conocimiento acerca de los nuevos productos. La economía del mercado no es estática; es un proceso dinámico, que siempre tiene que adaptarse a las condiciones cambiantes. Es posible que el mercado tienda hacia el equilibrio, pero nunca lo alcanza. Continuamente surgen nuevas características que lo perturban. Lo que se denomina “el “el vendaval de la destrucción creativa” creativa” significa la competencia competencia a largo plazo de nuevas mercancías, tecnologías, fuentes de abastecimiento o formas novedosas de organización. Es posible que estos desafíos básicos a los productos y las maneras de hacer negocios impongan un costo decisivo o ventaja cualitativa. Si es así, son capaces de atacar los mismísimos cimientos cimientos de las utilidades y la productividad de las empresas. Hay tres tipos principales de mercados en la economía: los financieros, de los productos, tanto industriales como al menudeo, y los de trabajo. Estos tienen que ver con el dinero, los bienes y las personas, respectivamente. Cada uno reviste importancia vital y, y, desde luego, los mercados se entrelazan de muchas maneras.

�.� PROPIETARIOS Y ADMINISTRADORES Los directores de las 100 compañías más grandes del Reino Unido poseen, en conjunto, menos de la décima parte del uno por ciento de las acciones de capital de sus empresas. Con muy pocas excepciones, son administradores profesionales, no propietarios. Esto da origen a los problemas de agencia. ¿Cómo pueden los propietarios supervisar las actividades de sus agencias (los administradores) e inducirlos a actuar en el interés de los propietarios? Los administradores profesionales hacen hacen carrera según su historial de éxito en los negocios. Para el propietario siempre hay la opción de despedir a los administradores que fracasan y de contratar a otros que confían en que se desempeñarán de sempeñarán mejor. La función más importante de los estados financieros anuales de la compañía, dictaminados  por contadores públicos independientes, es registrar la responsabilidad administrativa de los directivos. Se ha puesto de moda renumerar, renumerar, en parte, a los administradores a través de esquemas de opción de acciones o gratificaciones (bonos) relacionados con las utilidades. Pero muchos de estos esquemas de opción de compra de acciones solo representan métodos para pagar sumas mayores a los altos ejecutivos, quienes ya se encuentran fuertemente comprometidos con el éxito de sus compañías. Además, es posible que los programas de gratificaciones, vinculadas con las utilidades declaradas, hayan alentado la práctica de la contabilidad “creativa” (deshonesta).

Unidad I

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En contraste, los propietarios/administradores propietarios/administradores de las empresas pequeñas no padecen tales conflictos potenciales potenciales de interés. En cambio, cambio, no siempre se fijan el objetivo de incrementar al máximo las utilidades de las compañías. Por ejemplo, tal vez sea el caso que el propietario/administrador de una tienda pequeña prefiera cerrar temprano y no abrir los sábados, para disfrutar de más tiempo libre. Como propietario único tiene todo el derecho a hacerlo si cree que con esto se incrementará al máximo su satisfacción psíquica, pero difícilmente complacería a los propietarios de una compañía grande si los administradores, de manera deliberada, no cumplen su propósito de incrementar al máximo las utilidades para disfrutar de más tiempo libre. Un mercado competitivo sustituiría (tarde o temprano) a estos administradores por otros otros que se esforzarían por servir a los propietarios propietarios al incrementar al máximo su riqueza. La mayoría de las sociedades anónimas son privadas, o sea, sin participación en la Bolsa Bols a de Valores. Tal Tal vez sean demasiado pequeñas o demasiado nuevas para cumplir con los criterios mínimos para negociar sus acciones en la Bolsa de Valores. Es posible que no necesiten tener más capital social. O quizá sus principales accionistas accionistas no deseen realizar parte parte de su capital al vender sus acciones. Los propietarios/administradores prefieren permanecer como sociedades privadas, retener el control y evitar el riesgo de ser absorbidos en una fusión. Quizá no les agrade las presiones que implica cotizar en la bolsa de valores, tanto por los reglamentos del mercado bursátil como por las exigencias de los inversionistas de lograr un crecimiento regular en las ganancias y dividendos.

�.� EL PAPEL DE LAS FINANZAS El papel de las finanzas en la empresa ha variado a lo largo del tiempo. ◊ Al principio los administradores administradores financieros financieros se responsabilizaban de la obtención obtención de fondos. ◊ Luego de la oleada de catástrofes catástrofes financieras que siguieron siguieron a la grave crisis de los años 1929-33, la preocupación financiera fue la estructura del capital. ◊ A comienzos de la década del 50, el énfasis varió varió para concentrar concentrar la atención en el flujo de fondos y en la administración interna de la empresa. ◊ A inicios de la década del 60, el alcance alcance del ámbito financiero financiero se extendió a las políticas y a las decisiones que afectan el valor de la empresa. ◊ A principios de 1966 la economía se vio afectada por la inflación, los mercados de capitales escasos y el alto costo de los fondos. El uso eficaz de fondos escasos y caros cobró mayor importancia. La valuación de una empresa se determina por dos factores: (1) corriente esperada de ingresos futuros y (2) el riesgo que los ingresos esperados difieran de los ingresos reales. La magnitud y el grado de riesgo se ven influidos a la vez por factores tales como la mezcla comercial de los productos de la empresa, el tamaño de la empresa, su ritmo de crecimiento, el tipo de activos en el cual se invierte, la posición de liquidez de la empresa y el grado en que se usa el crédito en las operaciones.

Actividades: ◊ El alumno comprende comprende y explica el rol del cálculo cálculo financiero en las finanzas empresariales. ◊ El alumno preparará un resumen resumen relacionado con el rol rol del cálculo financiero en las finanzas empresariales.

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Sesión Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

¿Cómo varía el valor del dinero en el tiempo? y ¿cómo se opera con una tasa de interés simple? �.� INTRODUCCIÓN

El interés es la diferencia entre el capital final y el capital inicial. Para el prestamista o acreedor constituye un ingreso, pero para el deudor representa un egreso. El interés (I) que se acuerda pagar, por una suma determinada de dinero, depende de la cantidad de dinero prestada (P), de la duración de la operación (n) y de la tasa de interés (i). I = ƒ( P, n, i )

�.� REGLA DE INTERÉS Es la operación que permite calcular la rentabilidad que genera un capital invertido o prestado, a un tanto por ciento determinado y a un tiempo dado. En los cálculos de interés se tiene en cuenta tres factores:

A. El capital inicial (P): Es la suma de dinero motivo de la operación financiera, expresada en la unidad monetaria del país que rige la operación. También se le conoce como capital principal, capital base, valor actual, valor presente, valor líquido o volumen monetario. B. La tasa de interés (i): Representa el número de unidades monetarias que tenemos que pagar o cobrar por cada 100 unidades monetarias prestadas o invertidas, según fuese el caso. También También se le llama l lama tipo de interés y se puede expresar de tres maneras: Simbólica (o tanto por ciento) 24%. • Fraccionaria 24/100. • Decimal 0,24. • En la aplicación de las diversas fórmulas se utiliza la expresión decimal, por cada unidad de tiempo.

C. El tiempo (n (n): ): Es el factor que mide el plazo de la operación financiera, es decir, la duración para la que se calcula el interés. Usualmente la unidad de tiempo es un año, aunque

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puede también ser expresado en e n días, quincenas, meses, bimestres, trimestres, semessemestres o en cualquier otra unidad de tiempo. En el calendario gregoriano, el año año normal tiene 365 días y el año bisiesto tiene 366 días. Bajo este concepto enero tiene 31 días, febrero 28, marzo 31, abril 30 días y así sucesivamente. El mes de febrero tiene 29 días cuando el año es bisiesto. La actividad bancaria se rige por el año bancario, conformado por 360 días y cada mes de 30 días.

�.�. CLASES DE INTERÉS El interés puede ser simple o compuesto.

A. Interés simple: Es simple cuando, al finalizar cada período, el interés obtenido no se agrega al capital inicial para que genere nuevos intereses. En consecuencia, el capital inicial permanece invariable y el interés que se obtiene en cada intervalo de tiempo es siempre el mismo.

B. Interés compuesto: Es compuesto cuando el interés obtenido al término de cada período no se paga, sino se agrega (se capitaliza) al capital anterior para producir nuevos intereses. Cuando los intereses de una una deuda se pagan periódicamente no hay interés compuesto compuesto,, ya que no se aumenta el capital inicial. Únicamente cuando los pagos de interés no se hacen a su vencimiento vencimiento,, el capital se incrementa y tendremos un interés compuesto.

�CÓMO SE OPERA CON UNA TASA DE INTERÉS SIMPLE? �.�. EL INTERÉS SIMPLE Como ya se mencionó en el párrafo anterior, anterior, en este caso el interés obtenido no se agrega al capital inicial.

�.�. CARACTERÍSTICAS a. Los intereses intereses no se acumulan al capital. b. Los intereses generados son retirados por el acreedor. acreedor. c. El capital final cr crece ece en forma forma lineal en el tiempo, es decir, decir, aumenta en progresión aritaritmética. Y = a + b x (línea recta) S = P + Pi S=P(1+i) Donde: S = Capital final o valor futuro P = Capital inicial o valor presente i = Tasa de interés d. Tiene un gráfico lineal. e. Se emplea para períodos menores a un año o cuando las tasas son menores a dos dígitos.

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�.�. CÁLCULO A PARTIR PARTIR DEL INTERÉS SIMPLE Fórmula principal

I = Pin

Fórmulas derivadas P=

I in

I=

I Pn

n=

I Pn

2.6.1. Cálculo con variaciones de tasa de interés Cuando en el mercado financiero se producen variaciones de tasas, la fórmula I = P. i. n debe modificarse para incluir dichas variaciones durante los períodos de vigencia de dichas tasas, es decir, la tasa i1 está vigente por un período n ,1 la tasa i2 , está vigente en el período n2. La fórmula quedará de la siguiente manera: I = P (i1 n1 + i2 n2 + ... + im nm ) n

I=P(∑ iknk ) k=1

2.6.2. Cálculo con variaciones del capital inicial Cuando el saldo de una cuenta corriente o de ahorros cambia constantemente, debido a los movimientos que se generan en él (cargos y abonos), el cálculo de interés simple se efectúa usando numerales. Un numeral (pi n i) es el producto de cada nuevo saldo en una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo sin variación.

�.�. EL MONTO 2.7.1 2.7 .1 Definición: Definic ión: El monto es un valor futuro que resulta de la suma del capital inicial (valor actual, principal o valor presente) presente) más los intereses simples generados por dicho dicho capital inicial. Monto = Principal + intereses S = P + I

2.7.2. Cálculo del monto (s) El monto del valor futuro a interés simple de un capital inicial P, que devenga interés a la tasa i durante n años, se calcula mediante la siguiente relación: S = P(1-in)

P=

S (1+in)

i=

S/P-1 n

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n=

S/P-1 i Cálculo Financiero

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ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará desarrollará casos casos de cálculo con tasas tasas de interés interés simple. simple.  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

2. El alumno preparará preparará un resumen resumen relacionado con con tasas de interés interés simple. simple.  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

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Sesión Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

¿Cómo se opera con una tasa de interés compuesta? �.�. �. �. INTRODUCCIÓN INT RODUCCIÓN El interés es compuesto cuando, al fin de cada período, los intereses generados se suman al capital para producir nuevos intereses. En los cálculos del interés simple hemos visto que el capital no varía. En los cálculos del interés compuesto el capital aumenta con la suma de intereses a intervalos determinados. Siempre que no se paguen los intereses al final de cada período, se dice que los intereses se capitalizan. Se entiende que cuando empieza a correr el segundo período, el capital es mayor de lo que era al comienzo del primer período y, en consecuencia, el interés al final del segundo período es mayor que al final del primer período.

�.�. CARACTERÍSTICAS a. Los intereses intereses se acumulan acumulan al capital. capital. b. Los intereses generados generados vuelven a generar intereses intereses en el período siguiente. c. La suma (S) o mont montoo de valor futuro aumenta aumenta en forma exponencial en el tiempo, es decir,, aumenta en progresión geométrica. decir Y = a. bx S = P (1 + i)n d. Tiene un gráfico exponencial. e. Es recomendable para períodos mayores mayores de un año y cuando las tasas son mayores a dos dígitos.

�.� ELEMENTOS a. Capital o principal (P): Es una cantidad de dinero o elemento de valor sobre el cual se paga intereses.

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¿Cuál será el interés compuesto producido por un capital inicial de S/. 4 00 0 colocado al 5% anual durante 4 años?

Fin año 1 S/. 4 000,00 200,00

Capital inicial Intereses 1er. año Capital inicial 2do. año Intereses 2do. año Capital inicial 3er 3er.. año Intereses 3er. año Capital inicial 4to. año Intereses 4to. año

Fin año 2

Fin año 3

Fin año 4

4 200,00 210,00 4 410,00 220,50 4 630,50 231,52 4 862,02

SUMA DE INTERESES ( I ) CAPITAL CAPIT AL INICIAL ( P ) MONTO ( P + I )

862,02 4 000,00 4 862,02

b. Tiempo o plazo (t): El plazo de una inversión se expresa generalmente en años y meses, pero en los cálculos de interés compuesto es necesario expresar el tiempo en períodos de igual duración (años, meses o días) d ías) y consiste al período de capitalización. c. La tasa (t (t): ): Es la medida de interés sobre la inversión o capital y puede expresarse en diversas formas: porcentual (6%), decimal (0,06 (0,06)) o fraccionaria (6/100). (6/100). Estas tres momo dalidades son equivalentes, es decir: 6% = 0,06 = 6/100

Cuando la capitalización es anual, la tasa de interés deberá ser anual, si no lo fuera se deberá convertir.

TIEMPO

TASA DE INTERÉSS (j) INTERÉ ( j)

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN (m)

TASA  EQUIVALENTE (m (m))

1 año

12%

Anual (m = 1)

12%

1 año

12%

Semestral (m = 2)

6%

1 año

12%

Trimestral (m = 4)

3%

1 año

12%

Cuatrimestral (m = 3)

4%

1 año

12%

Bimestral (m = 6)

2%

1 año

12%

Mensual (m = 12)

1%

�.� CAPITALIZACIÓN ANUAL Se refiere al pago de los intereses generados una sola vez al año, de tal manera que el capital para el segundo año incluye los intereses generados durante el primero.

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S=P

0

S1

1

S2

S3

2

3

S1 = P + iP S2=S1 + iS1 S3 = S2 + iS2

Por lo tanto, S = P ( 1 + i )n Donde: S = Monto o suma de valor futuro futuro P = Capital inicial, principal o valor presente i = Tasa de interés del período representada en decimales n = Tiempo o plazo El factor (1 + i) n es el factor simple de capitalización compuesto (FSC). La fórmula anterior puede representarse: S = P. FSC Se lee: el FSC a una tasa i en n períodos transforma una cantidad presente P en un valor futuro S. El FSC representa el monto compuesto de 1 nuevo sol a una tasa i por período durante n períodos y su función es llevar a futuro cualquier cantidad presente o traer al presente cualquier cantidad del pasado. a. Cálculo del monto: El monto o suma es equivalente al capital inicial (P) más los intereses generados (I). S=P+I b. Cálculo de interés compuesto (i): Para determinar el interés compuesto es necesario determinar primero el monto a fin del plazo (S) y deducible luego el capital inicial (P). Si S = P + I entonces: I=S–P c. Cálculo del capital inicial (P): Es el proceso de calcular el valor presente (P) a partir del valor futuro (S) a interés compuesto o tasa vencida. Su fórmula se obtiene de despejar el valor presente de la fórmula que conocemos. S = P (1 + i)n P=

S

(1 + I)n 

   (1 + i)n 

P = S

1

 1    n  (1 + i) 

Donde: es el Factor Simple de Actualización (FSA) que convierte el valor futuro en equivalente, mediante una sola operación. Entonces la fórmula queda de la siguiente manera: P = S (FSA) Se lee: el FSA F SA a una tasa i en n períodos transforma una cantidad futura S en un valor presente P. P.

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d. Cálculo de la tasa de interés (i): A partir de la fórmula ya conocida, despejamos la tasa de interés: n

S

=

P(1 + i)

S P

=

(1 + i)n

i

S p

n

=

−

1

e. Cálculo del tiempo (n (n): ): Se despeja n de la ecuación conocida: S S P

=

=

log

n

P(1 + i) n

(1 + i)n

S P

=

=

n log(1 + i)

log S − log P log(1 + i)

�.� CASOS ESPECIALES a. n NO ENTERO Como el interés es función del tiempo, se considera que el capital origina un interés continuo que capitaliza en forma discreta (al término de cada cierto período). Por lo tanto, para un número no entero de períodos de capitalización, la fórmula del monto será: S = P (1 + i)H/f Donde: H: Duración (número de días o meses) de la operación. f: Frecuencia de capitalización (número de días (o meses) del período capitalizable) Debe observarse que un n no entero indica un número no entero de capitalizaciones, en la cual la parte no entera implica que la capitalización se ha realizado por un plazo menor al período establecido.

b. CÁLCULO DEL MONTO MONTO CON VARIACIONES EN LA TASA DE INTERÉS Cuando la tasa efectiva no varía durante el plazo pactado, p actado, el FACTOR (1+i) n capitaliza la unidad monetaria a esa misma tasa durante n períodos.

( 1 + i ) n = [ ( 1 + i ) ( 1 + i ) ( 1 + i )... ] Pero si la tasa efectiva cambia, las capitalizaciones durante el período pactado H se efectúan variando la tasa tantas veces como sea necesario, para cada período del tiempo vigente.

= [(1 + i1)n1 ( 1 + i 2 )n2 ( 1 + i 3 )n3... ]

Unidad I

26

Facultad de Ciencias Empresariales

Habiendo definido n = H/f, entonces el cálculo del monto se hace de la forma siguiente:

 = [(1 + i1)H1/f (1 + i2)H2/f ( 1 + i 3)H3/f... ] Donde: H1 + H2 + H3 + ... = H

�.�. TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASA EQUIVALENTE Una tasa de interés “ i ” es la razón de la diferencia de dos cantidades de la misma especie y una de ellas tomadas como base, la cual debe ser necesariamente el sustraendo de la diferencia, designando Co a la base, Cn a la otra cantidad referida a la base, podemos expresar la tasa de la siguiente manera: i

=

C n

−

C 0

C 0

i

=

C n

−1

C 0

c1) TASA NOMINAL: Cuando la tasa de interés es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse) para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el objeto de capitalizarse una o más veces. Se dice que la tasa es nominal cuando: ◊ Se aplica directamente en operaciones operaciones de interés simple. ◊ Es susceptible a proporcionarse (dividirse (dividirse o multiplicarse) multiplicarse) varias veces veces en un año, año, para ser expresada en otra unidad de tiempo equivalente, en el interés simple, o como unidad de medida. Para ser capitalizada n veces en operaciones hay interés compuesto,, donde m representa el número de capitalizaciones. La proporcionalidad compuesto de la tasa nominal anual puede efectuarse directamente a través de una regla de interés, considerando el año bancario de 360 días. c2) TASA EFECTIVA: El monto compuesto aplicando una tasa nominal j capitalizable m veces a un plazo determinado durante n períodos se calcula mediante la fórmula siguiente:  j     S = P1 +    m 

n

En el Perú las instituciones financieras cotizan sus productos financieros en: ◊ TASA ACTIVA: Interés que las instituciones financieras cobran a los clientes por préstamos, colocaciones u operaciones crediticias. Son operaciones activas los sobregiros en cuenta corriente, descuento de letras, pagarés, préstamos, arrendamiento financiero, préstamo interbancario, interbancario, etc. que, además, están registrados en los distintos rubros del activo del balance de las instituciones financieras o fuera de balance. La tasa activa en el Perú se expresa expresa en términos efectivos por créditos créditos a corto corto,, mediano y largo plazo.

◊ TASA PASIVA: Para remunerar las distintas captaciones de los bancos realizadas por los clientes, ya sea en depósitos a la vista, ahorros, depósitos a plazo, certificados bancarios, depósitos interbancarios, bonos, etc.

27

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

Las tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a los usuarios finales se expresan, en e n el Perú, en términos nominales y con una frecuencia de capitalización determinada, por ejemplo: los ahorros se capitalizan mensualmente, mientras que los depósitos a plazos se capitalizan diariamente, según lo dispuesto por la Superintendencia de Bancos, Seguros y Administradora de Fondos (SBS). La tasa efectiva i para n períodos de capitalización puede obtenerse a partir de una tasa nominal anual  j capitalizable m veces al año, de acuerdo a la siguiente fórmula: n

 j     i = 1 +  − 1   m 

La tasa efectiva refleja al número de capitalizaciones para las operaciones pasivas o liquidaciones para operaciones activas. En el interés compuesto, los intereses capitalizados vuelven a ganar interés. Para un mismo horizonte temporal, cuando las tasas nominal nominal y efectiva coinciden los rendimientos obtenidos a interés simple  t compuesto son iguales. La tasa efectiva i  y la tasa nominal  j, para diferentes unidades de tiempo, pueden abreviarse en la siguiente nomenclatura:

TIEMPO

Tasa Efectiva (TE) “i”

Tasa Nominal “j”

Anual (A)

TEA

TNA

Semestral (S)

TES

TNS

Cuatrimestral (C )

TEC

TNC

Trimestral ( T )

TET

TNT

Bimestral (B)

TEB

TNB

Mensual (M)

TEM

TNM

Quincenal (Q)

TEQ

TNQ

Diario (D)

TED

TND

c3. TASA EQUIVALENTE:  Dos o más tasas efectivas, que corresponden a diferentes diferentes unidades de tiempo, son equivalentes cuando producen la misma tasa efectiva para un mismo horizonte temporal. Por ejemplo, las siguientes tasas: Tasa efectiva mensual “TEM” = 1,530947% • Tasa efectiva trimestral “TET” = 4,6635139% • Son equivalentes porque ambas producen una tasa efectiva anual TEA de 20%. Una tasa de interés i es equivalente a otra j si sus respectivas capitalizaciones realizadas, durante un mismo horizonte temporal H, son iguales. ◊ Tasas equivalentes partiendo de una tasa efectiva dada: La tasa equivalente o tasa periódica se obtiene de la relación de la equivalencia de la fórmula vista anteriormente, y puede ser calculada cuando se obtiene como dato la tasa efectiva “i”. “i”.

Unidad I

28

Facultad de Ciencias Empresariales

Si designamos a j/m como i´ como la tasa equivalente, entonces podemos despejar i´ de la siguiente manera:

(1 + i´)n

= (1 + i) 1n

i´ = (1 + i)

−1

Donde: i´ = es la tasa equivalente o efectiva. i = es la tasa efectiva del horizonte temporal proporcionada como dato. f = es el número de días del período de tiempo correspondiente a la tasa equivalente que se desea calcular. h = números de días correspondientes al período de tiempo de la tasa efectiva proporcionada como dato. A una tasa efectiva anual “TEA” le corresponde un “h” de 360, a una “TEM”, tasa efectiva mensual, le corresponde un “h” de 30 días.

De la ecuación anterior anterior,, “f” “f” se expresa en el período de tiempo equivalente a la incógnita (tasa equivalente) y “h” se expresa en el período de tiempo a la tasa efectiva, ambas variables deben corresponder a una misma unidad de tiempo (días, meses, trimestres, etc. etc.). ).

◊ Tasa nominal equivalente a una tasa efectiva efectiva dada: La relación de equivalencia entre la tasa nominal con “n” capitalizaciones y la tasa efectiva, ambas para el mismo horizonte temporal, se establece a partir de la fórmula ya expresada anteriormente. Entonces la fórmula anterior puede expresarse en:

 j(m ) = m(1 + i)



1 n

− 1 

El subíndice m de j indica el número de veces que esta se capitaliza anualmente, cuando i es anual, por lo tanto, si i es mensual indicará el número de veces que j se capitaliza en un mes, y así sucesivamente.

◊ Tasa de interés simple equivalente a una tasa de interés interés compuesto compuesto para un mismo horizonte temporal: Para obtener una tasa de interés simple (IS) equivalente a una tasa de interés compuesto (IC) relacionamos las fórmulas de los montos simples y compuestos, estableciendo la ecuación de equivalencia y efectuamos el despeje correspondiente. n ( 1 + ic ) − 1 is =

n

29

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará desarrollará casos casos de cálculo con tasas tasas de interés interés compuesta. compuesta.  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

2. El alumno preparará preparará un resumen resumen relacionado con con tasas de interés interés compuesta. compuesta.  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

Unidad I

30

4

Sesión

Y llamando a diez siervos suyos, les dio diez minas, y les dijo: Negociad hasta que yo venga. Lucas 19.13

¿Cómo calcular el descuento bancario y comercial?

Las operaciones de descuento consisten en transformar una expectativa futura de dinero, por ejemplo: una letra, en efectivo, de inmediato. Es usual en los negocios al cancelar operaciones de crédito a plazo, aceptar ahora un documento que certifica el compromiso de pago futuro, cuyo importe se denomina valor nominal o facial . El tenedor de ese documento puede convertir ese compromiso, en efectivo, negociando con un agente económico superavitario de fondos, recibiendo una suma menor del importe facial que se denomina valor presente o valor actual. Se denomina descuento a la cantidad de dinero que se deduce del precio de un bien o de un documento comercial, cuando se cancela antes de su fecha de vencimiento.

�.�. �. �. EL DESCUENTO DES CUENTO 4.1.1. Definición Se llama descuento a la rebaja en el valor de una operación comercial o financiera, aplicando un interés simple.

4.1.2. Descuento racional (dr) Se dice que el descuento es racional cuando se efectúa a una tasa tas a de interés: Dr = S – P Pudiendo ser: ◊ Descuento comercial: Es la rebaja que se concede al valor de las facturas. ◊ Descuento bancario: Es la rebaja o deducción que se hace sobre documentos de giro, como letras de cambio, pagarés, vales, entre otros.

4.1.3. Elementos ◊ VALOR NOMINAL O FACIAL (S) es la cantidad que figura anotada en el documento y ha de cobrarse íntegramente el día de su vencimiento vencimiento.. Es un valor futuro. ◊ VALOR ACTUAL (P) es el resultado de la operación de descontar descontar,, es decir, la cantidad real que se recibe en una fecha anterior a su vencimiento.

31

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

◊ TASA DE DESCUENTO (D) viene a ser la cantidad que se deduce por cada 100 unidades, en el período del de l descuento. ◊ EL TIEMPO (N) es el lapso entre la fecha de descuento y la fecha de vencimiento. El tiempo puede expresarse en años, meses y días. ◊ DESCUENTO (D) es la diferencia entre el valor nominal y el actual.

 4.1.4. Descuento simple El valor presente (P) o descontado es igual al valor nominal (S) menos el descuento (D), aplicando una tasa de descuento simple: P=S-D O tambien, D=S–P El descuento (D) está en función del valor nominal (S), (S ), la tasa de descuento descue nto (d) y el tiempo (n) Fórmula principal

Fórmulas derivadas

◊ EQUIVALENCIA EQUIVALENCIA ENTRE EL DESCUENTO DESCUENTO RACIONAL SIMPLE Y EL INTERÉS SIMPLE: Si D=S=P (1) Pero, P=

S 1 + in

(2)

Reemplazamos (2) en (1): D =S−

S 1 + in

Si extraemos como factor común S: 

D = S − 1 −



1  1 + in 

 (1 + in) − 1   1 + in 

D = S

 in   1 + in 

D = S

 S  D= in 1 + in 

Unidad I

32

Facultad de Ciencias Empresariales

Si consideramos que D = I  D

 S   in =  in 1 +  

Entonces D = P in = �

◊ CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE Si se sustituye la fórmula D = Sdn en P = S – D, tenemos P = S -Sdn Fórmula principal

Fórmulas derivadas

4.1.5 Descuento compuesto Cuando estamos frente a una una operación, donde se aplica una tasa de descuento compuesta, ello implica aplicar el descuento sobre el descuento del período anterior anterior.. El descuento es la diferencia entre el valor nominal y el valor descontado (o valor presente).

◊ EQUIVALENCIA ENTRE DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO Y EL INTERÉS COMPUESTO Si D = S−P

(1)

Pero, n

S = P(1 + i)

De dondee

P=

S

(2)

(1 + i)n

Sustituimos (2) en (1): D=S−

S

(1 + i)n

Si extraemos como factor común S: 

D = S − 1 −



  (1 + i)n  1

 (1 + i)n − 1 D = S  n  (1 + i) 

33

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

Pero:

I

=

S

−

P n

I = P(1 + i) − 1

(3)

Como P=

S

(1 + i)n

 

(4)

Si sustituimos (4) en (3): I=

S

[(1 + i)

n

n

(1 + i)

]

−1

 (1 + i)n − 1 O también I = S  n  (1 + i) 

Que es equivalente a la fórmula del descuento

◊ CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE Fórmula principal P

S(1 d) n

=

−

Fórmulas derivadas

S

P =

(1

−

n

d)

d

=

1

−

n

P S

n

=

log P − log S log(1 − d)

4.1.6. Descuento comercial sucesivo (dcs) Ocurre cuando se aplican diferentes tasas de descuento sobre el precio original de venta y los siguientes sobre los precios ya rebajados. El DCS es igual a la diferencia del precio de venta (PV) original y el último precio rebajado. DCS = PV[1 − (1 − d1 )(1 − d 2 )(1 − d 3 )...(1 − dn )]

El término entre corchetes representa representa la tasa de descuento acumulada.

4.1.7. Tasa vencida y tasa adelantada ◊ La tasa vencida (i) es la tasa a ser aplicada a un capital inicial, inicial, la cual se hace hace efectiva al vencimiento del plazo de la operación pactada (cálculo racional). Todas las fórmulas del cálculo mercantil se basan en tasas vencidas. ◊ La tasa adelantada o anticipada (d) nos permite conocer el precio que habrá de pagarse por la percepción de una deuda antes de su vencimiento. La tasa adelantada determina el porcentaje en que disminuye el valor nominal de un título valor, tomando en consideración el tiempo por transcurrir entre la fecha que se anticipa el pago y la fecha de su vencimiento.. En forma matemática es aquella tasa que, multiplicada por un valor futuro, vencimiento (S) lo disminuye para determinar un valor presente.

Unidad I

34

Facultad de Ciencias Empresariales

◊ TASA ADELANTADA EQUIVALENTE A UNA TASA TASA VENCIDA: Si la tasa adelantada (d) se aplica sobre (S) y la tasa vencida se aplica sobre (P), entonces, ¿qué tasa adelantada debe aplicarse a una determinada operación para obtener un rendimiento equivalente a una tasa vencida dada? d=

i

(1 + i)

◊ TASA VENCIDA EQUIVALENTE A UNA TASA TASA ADELANTADA: Si conocemos la tasa d, entonces podemos calcular su equivalente, a partir de i

=

d

(1

−

d)

ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará desarrollará casos casos de cálculo con tasas tasas de interés interés compuesta. compuesta.  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

2. El alumno preparará preparará un resumen resumen relacionado con tasas de interés interés compuesta. compuesta.  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

35

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

AUTOEVALUACIÓN 1. Explique o defina interés simple.  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

2. Explique o defina interés compuesto.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

3. Explique las diferencias fundamentales del interés interés simple e interés compuesto.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

4. Explique las diferencias fundamentales de descuento comercial simple y descuento comercial compuesto.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

5. ¿Cuál es el monto que formó un capital de S/.12,000.00 S/.12,000.00 durante durante 6 meses, meses, si una financiera le paga el 0.7 % de interés no acumulable mensualmente?  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

Unidad I

36

Facultad de Ciencias Empresariales

6. ¿Cuál es el descuento descuento comercial que se se obtiene en una compra compra de S/.900.00 pagadera al final de 90 días, si el descuento es el 4/8 % cada 30 días?  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

7. Un monto de S/. 125,000.00 fue formado formado durante 3 años años y cuatro meses, meses, a una tasa del 12%. Calcular el capital que formó dicho monto.  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

8. Un padre de familia registra registra ante Notario Público un testamento testamento en el que deja como herencia S/. 4,000,000.00, los hijos deben retirar la herencia de la financiera después de transcurridos 4.5 años, con una tasa de interés capitalizable del 2/8 % mensual, el primer hijo tendrá 23 años de edad, el segundo hijo tendrá 21 años de edad y el tercer hijo tendrá 18 años de edad.  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

9. ¿Cuánto recibirá recibirá cada hijo, hijo, si la herencia se se distribuye de acuerdo a su edad? edad?  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

37

Cálculo Financiero

UNIDAD II ANUALIDADES Sesión N.º 5

¿Cómo calcular el número y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?

Sesión N.º 6

Anualidades anticipadas

Sesión N.º 7

Anualidades perpetuas o indefinidas

Sesión N.º 8

Anualidades diferidas

Sesión N.º 9

Bonos y acciones

RESULTADO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el estudiante maneja y aplica con destreza las anualidades en sus modalidades básicas, para el desarrollo armonioso en las finanzas empresariales.

39

Cálculo Financiero

5

Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

¿Cómo calcular el número y el valor de la cuota en un plan de financiamiento o acumulación de capital?

Se denomina anualidad a una serie de pagos iguales que se hacen a intervalos de tiempos similares y uniformes, a fin que con sus intereses capitalizados formen un capital o se utilicen para amortizar una deuda al término de un período dado, conocido como anualidad. Anualidad, en el sentido más amplio, significa una serie de pagos iguales, realizados a intervalos también iguales, previamente establecidos, ya se trate de períodos de un año, 6 meses, 3 meses o de una serie de cualquier otra duración.

�.�. CLASES Las anualidades se dividen en:

5.1.1. Anualidades fijas: Las que pueden ser: a. Anualidades ordinarias: Llamadas también vencidas o de fin de período. Son series de pagos hechos al final de cada período por un plazo dado. R1 0

1

R2 2

R3 3

R4 4

R5 5

b. Anualidades anticipadas: Llamadas también adelantadas, de imposición, no vencidas o de principios de período. Son series de pagos hechos al principio de cada período hasta por un plazo dado. R1 0

R2 1

R3 2

R4 3

R5 4

5

5.1.2. Perpetuidades: Denominadas también rentas vitalicias. Son una serie de pagos hechos por una duración indeterminada. Pueden ser anticipadas, vencidas o diferidas.

41

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

Perpetuidad vencida: R1 0

R2 1

R3

R4

2

3

R5 4

Rn 5

n

5.1.3 Anualidades eventuales: Son series de pagos hechos en forma esporádica o diferida. Cualquiera que sea la clase de anualidad, el valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta o simplemente anualidad y se representa por R.

�.� MONTO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA El monto de una anualidad ordinaria o valor futuro (S) es la suma al final del número de períodos de todos los pagos, más el interés sobre estos pagos. S

=

(1 + i)n 1

−

1

•

R

�.� CÁLCULO DE RENTA DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA Con frecuencia se conoce el monto de una anualidad ordinaria y se desea encontrar la renta periódica. Como sucede, por ejemplo, en los problemas de fondos de amortización la fórmula se determina despejando R de la fórmula general.

a. CÁLCULO DEL VALOR FUTURO (S): S

=

(1 + i)n

−

1

i

•

R

Despejando R R

=

Si

(1 + i)n

−

1

O también,  R

S  =

[(1

+

i

)

n

]

−1

i

b. CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE (P):  R

Unidad II

=

(

 P  i 1 + i

(1 + i )

n

)

n

−1

42

Facultad de Ciencias Empresariales

�.�. CÁLCULO DEL PLAZO �N� a. EN FUNCIÓN AL FACTOR FACTOR DE CAPITALIZACIÓN CAPITALIZACIÓN DE LA SERIE FCS  (1 + i)n − 1 S=  •R i   Si + R = (1 + i)n R

log(Si + R) − log R = n log(1 + i)

n=

log(Si + R ) − log R log(1 + i)

�.�. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Cuando es una anualidad se reconoce P, R, S y n aceptando la tasa efectiva periódica, entonces esta es posible hallarla planteando p lanteando la ecuación de equivalencia y buscando el valor de la tasa aplicando la interpolación lineal.

43

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará desarrollará casos casos de cálculo cálculo de cuotas cuotas de amortizaciones amortizaciones de de deudas.  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de cuotas de amortizaciones de deu das.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  ________________ ___________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

Unidad II

44

Sesión

Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

6

Anualidades anticipadas �.�. �. �. ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada es una sucesión de rentas que empiezan en el momento inicial, es decir,, al inicio del período de renta, como sucede con el pago de arrendamientos, las pólizas decir de seguro, las pensiones de enseñanza, etc. La diferencia entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada, dado un número igual de rentas, radica en que la última renta no percibe interés porque coincide con el término del plazo de la anualidad; mientras que en la anualidad anticipada la última renta no coincide con el final del plazo de la anualidad, ubicándose al inicio del último período de renta y percibiendo el interés o beneficio hasta el final del período, fecha en que concluye el plazo de la anualidad.

a. MONTO DE UNA ANUALIDAD ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA ANTICIPADA

 (1 + i )n − 1 S  =  Ra (1 + i )  i   b. VAL VALOR OR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA ANTICIPADA

 (1 + i )n − 1  P  =  Ra (1 + i )  n + ( ) 1 i i   c. VALOR DE LAS RENTAS EN ANUALIDADES SIMPLES ANTICIPADAS c1) CONOCIEND CONOCIENDO O EL VALOR FUTURO (S)

Ra =

 S  i   (1 + i)  (1 + i)n − 1

45

Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

c2) CONOCIEN CONOCIENDO DO EL VALOR PRESENTE (P) P  i(1 + i)  Ra =   1 + i  (1 + i)n − 1 n

d. CÁLCULO DE n EN EN UNA ANUALIDAD ANTICIPADA ANTICIPADA d1) A PARTIR PARTIR DEL VALOR FUTURO (S)



 Si + 1  Ra (1 + i) 

log n=

log(1 + i)

d2) A PARTIR PARTIR DEL VALOR PRESENTE (P)



log1 − n=−



Pi   R a (1 + i)

log(1 + i)

�.�. CALENDARIO DE PAGOS, CUADRO DE AMORTIZACIÓN Y TABLA DE ACUMULACIÓN Es la tabla de amortización que muestra la devolución de un capital o la formación de un capital a partir de la renta de una anualidad vencida o anticipada, a un plazo acordado previamente y una tasa efectiva periódica. El número de rentas puede calcularse tanto del valor actual o futuro del capital involucrado. En el caso del repago de una deuda, se detalla un cronograma el servicio de la deuda (suma de principal más intereses), fechas, cuota capital, intereses correspondientes y principal pendiente de pago. Veamos el caso de un préstamo por $10,000 a una tasa de interés efectiva anual del 12% por un plazo de 5 años. 1ro: Determinar el monto del pago periódico p eriódico (Renta o cuota) Valor Presente $10,000 10 000

= Renta (FIVPA* i%,n) = Renta (FIVPA* 12%,5) = Rent Renta a (3.60 (3.605) 5)

Renta = $10,000 / 3.605 FIVP FI VPA* A*= =

Unidad II

= $2,774

1 1 0.12 (0.12) (1.12)5

46

= 3. 3.60 605 5

Facultad de Ciencias Empresariales

* FIVPA= Factor de interés acumulado del valor presente de una anualidad vencida 2do: Construir la tabla de amortización Fin de Año 0

Cuota

Interés

-

-

--

1

$2,774

$1,200

$1,574

8,426

2

2,774

1,011

1,763

6,663

3

2,774

80 0

1,974

4,689

4

2,774

563

2,211

2,478

5

2,775

297

2,478

0

$3,871

$10,000

$13,871

*

Principal

Balance Final $10,000

*: Redondeo por decimales

El calendario de pagos desarrollado es el más utilizado por las instituciones financieras, donde el servicio de la deuda es constante (R), los intereses son decrecientes y la amortización del principal creciente. El cuadro de amortización permite examinar el correcto cálculo de los intereses a pagar o a recibir. Otra práctica utilizada es devolver el préstamo en partes iguales y los intereses se cobran a rebatir. Del ejemplo anterior, en cada período habría que devolver $2,000 ($10,000/5) y en cada oportunidad pagar los intereses que correspondan sobre el saldo principal adeudado. Fin de Año 0

Cuota

IIn Inte nter terés

Principal

Bala lan nce Final $10,000

-

-

-

1

$3,200

$1,200

$2,000

8,000

2

2,960 2,960

960

2,000

6,000

3

2,720 2,720

720

2,000

4,000

4

2,480 2,480

480

2,000

2,000

5

2,240

240

2,000

0

$13,600

$3,600

$10,000

Vemos el siguiente caso de cuadro de servicio de la deuda con formación de un fondo de amortización del principal. Una empresa obtiene un préstamo por S/.10’360,000 para efectuar ampliaciones en su planta. El período de repago es en una sola cuota al término del 8º año y la tasa efectiva anual es del 21.7% p.a. El banco de inversión le exige a la empresa formar un fondo de amortización por el cual los depósitos ganarían una tasa efectiva del 10.25% al año. SE PIDE: Elaborar el cuadro del fondo de amortización del principal 1ro: Determinar el monto del depósito periódico (Renta o cuota) Valor futuro 10’360,000 10’360,000 10’360,00 0

= Renta (FIVFA* i%,n) = Renta (FIVFA* 10.25%,8) = Renta (11.5402399)

Renta = 10’360,000 / 11.540

= 897,728.31 [1.0 [1 .010 1025 25]] 8 = 11.5402399

FIVF FI VFA* A*= = 1 1 0.1025 (0.12) (1.12)8

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Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

* FIVPA= Factor de interés acumulado del valor futuro de una anualidad vencida

 Años

Depósito anual

Intereses generados

Fondo acumulado al final del período

1

897,728.31

2

897,728.31

92,017.15

1’887,473.77

3

897,728.31

193 ,466.06

2’978,668.14

4

897,728.31

305 ,313.48

4’181,709.93

5

897,728.31

428,625.27

5’508,063.51

6

897,728.31

564,576.51

6’970,368.33

7

897,728.31

714 ,462.75

8’582,559.39

8

897,728.27

879,712.34

10’360,000.00

7’181,826.16

3’178,173.84

Unidad II

897,728.31

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ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará casos de cálculo de anualidades anticipadas.  __________________________________  _________________ ___________________________________ _______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

1. El alumno preparará un resumen relacionado al tema de anualidades anualidades perpetuas perpetuas anticipadas de dos autores.  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

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Cálculo Financiero

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Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

Anualidades perpetuas o indefinidas �.� .�.. RENTAS RE NTAS PERPET PE RPETUAS UAS

Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas solo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable p ospagable o prepagable, constante o variable, etc. El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y, en lugar de utilizar un número finito de capitales (n) (n),, trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el concept conceptoo matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y, (y, por tanto, el número de capitales) tiende a infinito. En el caso de renta constante, constante, pospagable, inmediata y entera: • Renta unitaria:

• Renta no unitaria:

Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:

En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de calcular calcula r la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable. • Renta unitaria:

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Cálculo Financiero

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• Renta no unitaria:

Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 euros, e uros, si el tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos: a. Si los capitales son pospagables. b. Si los capitales son prepagables.

a. Pospagables:

b. Prepagables:

�.�. �CÓMO CALCULAR TASAS, VALOR VALOR ACTUAL Y VALOR FINAL? Por medio de gráficos debemos determinar las entradas (+) y salidas de efectivo (-). Luego con las fórmulas expuestas, una calculadora financiera o las fórmulas de una hoja de cálculo, podemos resolver rápidamente los problemas concernientes al valor del dinero en el tiempo a una fecha focal, sea actualizando para hallar un valor actual o capitalizando para hallar un valor futuro. Ingresos

0

1

2

3

n-1

 n

Tiempo

Egresos Presente (hoy) FECHA FOCAL

Ejemplo 1: Una máquina cuyo precio al contado es S/. 10000 fue adquirida con una cuota inicial de S/. 3000 y el saldo se financió con una letra a 60 días por un monto de S/. 7500. ¿Cuál fue la tasa nominal mensual de interés simple cargada? ◊ Solución gráfica

Unidad II

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◊ Uso de Funciones de Excel: Excel: TASA.INT TASA.INT

Rp. La TNA es 42,86%, que al dividirla por 12, se obtiene una TNM de 3,57% Ejemplo 2: ¿Cuál será la TNA con capitalización mensual equivalente a una TEA de 20%? Solución

Respuesta: La TNA es 18,37%

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Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará casos de de cálculo de anualidades anualidades perpetuas. perpetuas.   _________________________________________________________________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

1. El alumno preparará un resumen resumen relacionado relacionado al tema de anualidades perpetuas, de dos autores diferentes.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  __________________________________  _________________ __________________________________ _______________________________ ______________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

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Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

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ANUALIDADES DIFERIDAS �.�. ANUALIDADES DIFERIDAS Las anualidades diferidas son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas, salvo que estas tengan un período de gracia. También También se puede interpretar que son aquellas en las cuales el primer pago se hace algún tiempo después del término del primer período de interés. Ejemplo uno. Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del quinto (5) año, cuando se requerirán 300 quetzales anuales para reparaciones. Se estima que, de ahí en adelante, se necesitarán 300 quetzales al final de cada año en los próximos 20 años. Hallar el valor presente X, del mantenimiento del puente, sobre la base de 3%.

8.1.1. Graficando el diagrama de tiempo-valor

8.1.2. Análisis Se observa en la gráfica que los gastos empiezan hasta fines del año 5. Podemos considerar al año 4, como la fecha focal, a partir de la cual encontraremos el primer valor presente, o sea, será la primera fecha focal, para los 21 pagos de 300 quetzales anuales. Encontrando el valor presente en esta primera fecha focal, encontraremos el valor presente en la segunda fecha focal. Veamos:

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PRIMERA FECHA FOCAL

Ejemplo dos. Una deuda de $800.000 se va a cancelar mediante 20 pagos trimestrales de $R cada uno. Si el primer pago pag o se efectúa exactamente al año de haberse prestado el e l dinero, calcular R con una tasa tas a del 36% 36 % CT.

8.1.3. Análisis Se observa que el primer pago está en el período 4 que corresponde al fnal del primer año. La anualidad debe comenzar en el punto 3 y terminar en el punto 23, además, su valor presente deberá trasladarse al punto 0 donde se ha puesto la fecha focal. La ecuación de valor será: ���.��� = R �� � ��+�.�����/�.�����.����� R = $���.���,� $���.���,�� �

Unidad II

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ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará desarrollará casos casos de cálculo de bonos y acciones acciones diferentes. diferentes.   _________________________________________________________________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

1. El alumno preparará preparará un resumen resumen relacionado al tema de bonos bonos y acciones de dos autores diferentes.  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

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Cálculo Financiero

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Sesión Si alguno necesita sabiduría, pídala a Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

Bonos y acciones �.�. BONO Es una obligación a largo plazo, emitido por una empresa o por una entidad estatal o país. Es una promesa para pagar intereses y rembolsar el dinero recibido en préstamo en los términos especificados en el documento llamado Contrat Contratoo de Emisión de Bonos. Formaliza la entrega de dinero, de una persona natural o jurídica a una empresa, en calidad de préstamo. La empresa promete por escrito al tenedor del bono: pagarle “intereses periódicos” durante el plazo del bono y devolver el préstamo o una suma fija llamada “valor de redención” en una fecha futura “fecha de redención”. El contrato de emisión de bonos incluye, como mínimo, las siguientes estipulaciones: a. Valor a la par o valor nominal que casi siempre es múltiplo múltiplo de 100. b. Pago de cupón. c. Tasa de interés de cupón: Ejemplo: 12% nominal anual pagado semestralmente: semestralmente: Abreviación: “12%, EJ” (enero- julio). julio). d. Fecha de vencimiento o de redención que generalmente generalmente coincide con la fecha fecha de pago de interés. e. Cláusula de reembolso del valor facial o nominal. Cuando el valor de redención y el valor nominal son idénticos, se dice que el bono es redimible “a la par”. par”. El bono también podría redimirse “sobre “sobre la par” par ”, por ejemplo, en un 105% del valor nominal o “bajo la par”, par”, por decir en e n el 95% del valor nominal o facial. La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería: B0 : Precio del bono o precio de mercado. F : Valor facial o nominal del bono. bono. c : Cupón % del valor valor facial F. k : COK (Costo (Costo de oportunidad de capital) o Rendimiento al vencimiento vencimiento.. Bo = Σ ct + (1 + k)t

F (1+ k)t

�.�. ACCIONES Una acción es un documento emitido por la empresa en la que se estipula por escrito la participación en los bienes de ella el la y en las ganancias que esta genere ge nere en el tiempo de explotación. Convierte al tenedor en “accionista” “accionista” de la empresa, ya sea poseedor de acciones preferenciales o comunes.

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9.2.1. Acciones preferenciales Es una forma de financiación que combina las características de una acción común y las de un bono, con las siguientes características: a. No otorga propiedad de la empresa. Los poseedores de acciones preferentes actúan como grupo colegiado y constituyen una minoría con voz, pero sin voto. b. Otorgan a su poseedor un dividendo preferencial preferencial fijo, aunque no constituyen constituyen una obligación legal como en el caso del bono. La entrega de dividendos está supeditada a la decisión del directorio de la empresa. c. Los accionistas preferentes preferentes reciben sus dividendos antes antes que los accionistas comunes, comunes, pero después de los bonistas. d. No tienen fecha de vencimiento, vencimiento, como sí lo tienen los bonos. Normalmente, Normalmente, las acciones preferentes tienen un horizonte “infinito” de valuación; sin embargo, como los bonos pueden ser redimibles a consideración de la empresa, cuando el mercado le sea favorable. Pueden ser “convertibles” “convertibles” en acciones comunes.

9.2.2. Acciones comunes Las principales características son: a. Otorga propiedad de la empresa. empresa. b. Compromete el pago de dividendos, siempre siempre y cuando haya utilidades en el ejercicio. ejercicio. Este es el riesgo. c. En caso de liquidación, el reembolso de la acción tiene la última prioridad. d. Otorga el derecho de elegir al directorio directorio a razón de 1 voto por 1 acción. acción. e. No tiene fecha de vencimiento, vencimiento, pero el accionista común puede vender su acción en la bolsa de valores. La fórmula de calcular el valor actual o precio de mercado sería: P0 : Precio del bono o precio de mercado D : Dividendo k : COK (Costo (Costo de oportunidad de capital) ante alternativa especulativa de igual riesgo Po = Σ Dt (1 + k)t

Si la empresa tuviera crecimiento permanente de dividendos a una tasa gradiente como “g” g”,, se puede usar usa r la fórmula de Gordon, donde: P0 = Dt k-g

La gradiente g depende del retorno del patrimonio y del de l índice de reinversión de la empresa, expresado como las utilidades del ejercicio reinvertidas.

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ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará casos del del tema desarrollado en la sesión.   _________________________________________________________________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

2. El alumno preparará un resumen de la sesión.  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

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Cálculo Financiero

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AUTOEVALUACIÓN 1. Explique o defina anualidades.  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

2. Explique o defina anualidades ordinarias vencidas.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

3. Explique o defina anualidades anticipadas.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

4. Explique o defina anualidades vencidas diferidas.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

Unidad II

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Facultad de Ciencias Empresariales

5. ¿Cuál es el importe del valor actual para retirar de una financiera S/. 2,900.00 cada fin de mes por 2.5 años, si la financiera paga el 8%?  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

6. ¿Cuál es el importe del retiro que debo debo hacer cada fin de mes, mes, si depositamos depositamos en una financiera S/. 140,000.00 al 9%, durante 3.5 años?  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

7. Calcule el valor actual de una anualidad anualidad de S/. 1,900.00 que debe retirarse retirarse cada 30 días después de 180 días durante 2.75 años, si la financiera paga el 5/8% mensual.  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

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Cálculo Financiero

Universidad Peruana Unión

8. Un padre de familia registra registra ante Notario Público un testamento testamento en el que deja como herencia S/. 14,000,000.00, los hijos deben retirar la herencia de la financiera después de transcurridos 4.5 años, durante 3 años en cuotas bimensuales, una tasa de interés capitalizable del 2/8 % mensual, el primer hijo tendrá 23 años de edad, el segundo hijo tendrá 21 años de edad y el tercer hijo tendrá 18 años de edad. La herencia es repartida de acuerdo a la edad de cada hijo ¿Cuánto recibirá cada hijo bimensualmente bimensualmente??  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

9. Una fundación dona S/. 14,000,000.00, 14,000,000.00, para gastos gastos operativos del albergue NIÑOS ABANDONADOS, la fundación deposita el dinero en una financiera que paga el 6%, el albergue debe hacer retiros cada fin de mes en forma indefinida ¿Cuál es el importe de cada retiro?  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

10. Haga de nuevo el cálculo con los datos del numeral anterior, si el primer retiro lo hace después de 7 meses.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

Unidad II

64

UNIDAD III DEPRECIACIONES Y AMORT AMORTIZACIONES IZACIONES Depreciacioness basado en el tiempo Sesión N.º 10 Depreciacione

Sesión N.º 11

Depreciacioness basado en el uso Depreciacione

RESULTADO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE Al término de la unidad, el estudiante calcula y aplica con eficiencia los métodos de depreciación de acuerdo a las necesidades de las empresas.

65

Cálculo Financiero

10 Sesión

Asi también vosotros, cuando hayáis hecho todo lo que se os mandó, decid: Siervos inútiles somos, porque hicimos lo que debíamos hacer. Lucas 17:10.

Depreciaciones basado en el tiempo ��.�. �CÓMO CALCULAR LAS CUOTAS DE DEPRECIACIÓN? La depreciación (D) es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo producido por el paso del tiempo, desgaste por el uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario. Para cubrir la depreciación del activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente de acuerdo con un método previamente escogido. Cuando nos referimos a recursos naturales, se llama agotamiento (agricultura, ganadería o minería).

��.�. MÉTODOS 10.2.1. Método lineal La cantidad a depreciar por unidad de tiempo es constante, constante, porque también recibe el nombre de depreciación lineal. En Excel se utiliza la función SLN

10.2.2. Método de saldo decreciente Permite calcular, calcular, para un período determinado, la depreciación usando el método del saldo decreciente o tasa porcentual decreciente o tasa porcentual fija al valor decreciente en libros. En Excel, la función se llama DB.

10.2.3. Método del doble saldo decreciente (DDB) DDB (Double-Declining Balance ) devuelve la depreciación de un activo fijo durante un período específico, usando el método del doble saldo decreciente. En Excel, la función se llama DDB.

10.2.4. Método de suma de años dígitos (SYD) SYD (Sum-of-the-Year Digits) devuelve la depreciación periódica de un activo fijo, usando el método suma de años dígitos. En Excel la función se llama SYD.

10.2.5. A continuación se dan datos para ejemplificar los distintos métodos de depreciación

enunciados: Empresa Industrial X S.A. compra un activo fijo en S/.300,000.00, tiene una vida útil de cinco años y puede venderse en S/.30,000.00 al final de la vida útil. Considere el supuesto, para aplicar todos los métodos enunciados en este capítulo que el mismo activo su vida útil 67

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en unidades es un millón de unidades; su vida útil en horas trabajadas es veinte mil horas, y su vida útil en kilómetros recorridos es doscientos ochenta mil kilómetros. A continuación, se muestra los ejemplos de depreciación.

DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA  Vida útil oN

Depreciación del período

Depreciación acumulada

� � � ��,���.�� � ��,���.�� � ��,���.�� � ��,���.�� � ��,���.�� DLR = ����,��� � ��,���� / � = S/. ��,���.��

��,���.�� 108,000.00 ���,���.�� ���,���.�� ���,���.��

Valor en libros al final del Periodo ���,���.�� � ��,���.�� �� ���,���.�� ���,���.�� ��,���.�� ��,���.��

DEPRECIACIÓN DE LA SUMA DE DÍGITOS DÍGITOS Vida útil oN

Depreciación del periodo

Depreciación acumulada

� � ��,���.�� � �� ,���.�� � ��,���.�� � ��,���.�� � ��,���.�� DSDA = ���+�� / � = �� Para el año � = �/�� x ���,��� = ��,��� Para el año � = �/�� x ���;��� = ��,���

��,���.�� ���,���.�� ���,���.�� ��� ,���.�� ���,���.��

Valor en libros al final del Periodo ���,���.�� ���,���.�� ���,���.�� ��,���.�� ��,���.�� ��,���.��

DEPRECIACIÓN SOBRE SALDOS DECRECIENTES Vida útil oN

Depreciación del período

Depreciación acumulada

0 1 ���,���.�� ���,���.�� 2 ��,���.�� ���, ���.�� 3 ��,���.�� ���,���.�� 4 ��,���.�� ���,���.�� 5 ��, ���.�� ���,���.�� DLR = (300,000 - 30,000) / 5 = s/.54,000.00 Para el año � = �.�������� �. �������� x ���,��� = ���,���.�� Para el año � = �. �������� x ���,��� = ��,���.�� Unidad III

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Valor en libros al final del Periodo ���,���.�� ���,���.�� ���,��� .�� ��, ���.�� 47,546.00 ��,���.��

Facultad de Ciencias Empresariales

ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará desarrollará casos casos de depreciación en las empresas donde labore. labore.   _________________________________________________________________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

2. El alumno preparará preparará un resumen resumen relacionado al tema de depreciaciones depreciaciones de dos autores diferentes.  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

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Cálculo Financiero

Asi también vosotros, cuando hayáis hecho todo lo que se os mandó, decid: Siervos inútiles somos, porque hicimos lo que debíamos hacer.. Lucas 17:10. 17:10cesita sabiduría, pídala a Dios, hacer Dios, quien da a todos generosamente, y sin reproche. Y le será dada. Santiago 1:5.

11 Sesión

Depreciaciones basado en el uso ��.�. ¿CÓMO CALCULAR LAS CUOTAS DE DEPRECIACIÓN? La depreciación (D) es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo producido por el paso del tiempo, desgaste por el uso, caída en desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico o tributario. Para cubrir la depreciación del activo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente, de acuerdo con un método previamente escogido. Cuando nos referimos a recursos naturales, se llama agotamiento (agricultura, ganadería o minería).

�.�.�. MÉTODO DE ACUERDO AL USO (USO) USO (Usage) devuelve la depreciación periódica de un activo fijo usando el método de USO, de acuerdo al volumen de producción y distribución, si hay producción o distribución, hay costo por uso de activo, esto puede ser por horas máquina, unidades producidas, kilómetros recorridos, etc. Este es la forma más equitativa para costear productos en empresas manufactureras,, la vida del activo se mide en unidades, horas máquina, kilómetros recorrimanufactureras dos, etc. En Excel la función se programa de acuerdo al método.

 1.2.1. Método de depreciación por unidades producidas (DUP) La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de unidades que produce un determinado activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al producir un número determinado de unidades, es conveniente remplazarlo. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor depreciable sobre el número de unidades estimadas de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de unidades producidas por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DUP = (VI-VR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NUP x DUP, para la depreciación del período.

1.2.2. Método de depreciación sobre kilómetros recorridos (DKR) La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de kilómetros que recorre un activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al recorrer un número determinado de kilómetros, es conveniente remplazarlo. Esto es para el caso de unidades de transporte y reparto. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor

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depreciable sobre el número de kilómetros recorridos estimados de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de kilómetros recorridos por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DKR = (VI-VR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NKR x DKR, para le depreciación del período.

1.2.3. Método de depreciación sobre horas trabajadas u horas máquina (DHM). La vida de los activos depreciables se mide por la cantidad de horas que trabaja un activo. Este método es aplicable cuando se conoce que un determinado activo, al trabajar un número determinado de horas, es conveniente remplazarlo. La depreciación unitaria se obtiene dividiendo el valor depreciable sobre el número de horas trabajadas estimadas de la vida del activo. La depreciación del período se calcula multiplicando el número de horas trabajadas por el costo de depreciación unitario. Su fórmula es: DHT = ( VIVI-VR) VR) / N, para obtener la cuota de depreciación por unidad; DP = NHT x DHT DHT,, para le depreciación del período.

1.2.4. A continuación se dan datos para ejemplificar los distintos métodos de depreciación enunciados: La Empresa Industrial X S.A. compra un activo fijo en S/.300,000.00, tiene una vida útil de cinco años y puede venderse en S/.30,000.00 al final de la vida útil. Considere el supuesto, para aplicar todos los métodos enunciados en este capítulo que el mismo activo; su vida útil en unidades es un millón de unidades; su vida útil en horas trabajadas es veinte mil horas y su vida útil en kilómetros k ilómetros recorridos es doscientos ochenta mil kilómetros. A continuación, se muestra los ejemplos de depreciación. DEPRECIACIÓN SOBRE UNIDADES PRODUCIDAS

DUP = ���,��� � ��,��� � �,��� / �,���,��� �,���,��� = �.�� por unidad Para el año � = �.�� x ���,��� = ��,��� Para el año � = �,�� x ���,��� = ��,��� DEPRECIACIÓN SOBRE KILÓMETROS RECORRIDOS

DUP = ���,��� � ��,��� / ���,��� = �,�������� por km/rec. Para el año � = �, �,�������� �������� x ��,��� km = ��,���.�� ��, ���.�� Para el año � = �,�������� x ��,��� km = ��,���.�� DEPRECIACIÓN SOBRE HORAS MÁQUINA

DUP = ���,��� � ��,��� � �,��� / ��,��� = ��.�� por hora/ hora/máq. máq. Para el año � = ��.�� x �,��� hm = ��,���. ��,���.�� �� Para el año � = ��.�� x �,��� hm = ��,���.�� ��,���.��

Unidad III

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ACTIVIDADES 1. El alumno desarrollará casos del del tema desarrollado en la sesión.   _________________________________________________________________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

2. El alumno preparará un resumen de la sesión.  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ___________________________________  _________________ ___________________________________ ______________________________ _____________

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  ________________________________________________________ ____

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AUTOEVALUACIÓN 1. Explique la diferencia diferencia entre los métodos de depreciación depreciación en el tiempo y los métodos de depreciación en el uso.  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ____________________________________________________________  _____________________________________________________ _______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

2. Explique o defina depreciación.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

3. Explique o defina depreciación basada en el uso.  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ ________________ __________ __

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______  ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

Unidad III

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4. Explique o defina depreciación depreciación basada basada en el tiempo.  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ___________________________________________________________  _______________________________________________________ ____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

5. Prepare dos casos casos basados en el uso y en el el transcurso del tiempo, tiempo, de la empresa donde labora o pueda tener acceso.  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ________________  ________ ________________ ________________ ________________ ________________ _________________ _________________ _________ _

 ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____  ____________________________________________________________  _______________________________________________________ _____

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BIBLIOGRAFÍA Aching Guzmán, César César.. Las matemáticas financieras en el campo de los negocios. Prociencia y Cultura S.A. Primera Edición. Lima, 2000. Amat, Oriol. Contabilidad y finanzas para no financieros. Ediciones Deusto. Empresa Editora El Comercio S.A. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC). Lima, 2001. Aliaga Valdez, Carlos. Evaluación financiera con las funciones de Excel.   Primera Edición. Lima,1997.. Aliaga Valdez, Carlos. Manual de matemáticas financieras.  Universidad del Pacífico. Lima, 1995. Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas financieras: Un enfoque práctico.  Prentice Hall, Colombia, 2002. Chu Rubio, Manuel. Fundamentos de finanzas:  Un enfoque peruano. Primera Edición. Lima, 2002. Cissell, Roberth y Helen Cissell.  Matemáticas financieras.  Editorial CECSA, México, 197.8. De Pablo López, Andrés, Ferruz Agudo, Ag udo, Luis. Finanzas de empresa. España, 1996. Devoto Ratto, Renzo y Mauro Núñez Abarca.  Matemáticas financieras: Un enfoque para la toma de decisiones. Ediciones Universitarias de Valparaíso de la Universidad Católica de Valparaíso, Santiago de Chile, 2001. Diaz Mata. Matemática financiera.  Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. España, 2000. Diez de Castro, Luis y Juan Mascareñas Ma scareñas Pérez–Iñigo. Pérez–Iñigo. Ingeniería financiera.  Editorial McGraw– Hill Interamericana de España, S.A. S.A . Undécima Edición. España, 1997.. García, Enrique. Matemática financiera. Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. España, 2000. Gitman, Lawrence J.  Administración financiera básica. Editorial Harla S.A. de C.V. México, 1990. Gonzáles Urbina, Pedro. Análisis de estados financieros. Universidad Peruana Unión, Facultad de Ciencias Contables y Administrativas. Lima, 2002. H. Moore, Justin. Manual de matemáticas financieras. Editorial UTHEA, México 1981. Mascareñas, Juan. La valoración de proyectos de inversión productivos.  Universidad Complutense de Madrid. España, 2001. Mascareñas, Juan. El costo de capital. Universidad Complutense de Madrid. España, 2001. Mascareñas, Juan. Estructura de capital óptima. Universidad Complutense de Madrid. España, 2001. Martín Marín, José Luis y Antonio Trujillo Ponce. Manual de valoración de empresas.  Editorial Ariel, España, 2000. Ordiz Fuentes, Mónica y Guillermo Guille rmo Pérez-Bustamante Pérez-Bustamante Ilander . Creación de valor en la empre sa a través de las tecnologías de de la información y comunicación. comunicación. ESIC MARKET, España 2000. Palomino Meneses, Oscar Hugo. Matemática financiera. Universidad Peruana Unión, Facultad de Ciencias Contables y Administrativas. Lima, 2002.

Unidad III

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Portus Govinden, Lincoyán. Matemáticas financieras. Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. España, 2000. Schall, Lawrence D. y Charles W. Haley.  Administración financiera. Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. S.A . de C.V C .V.. México, 1988. Terceño Terc eño Gómez, Gómez , Antonio. Matemática financiera.  Editorial Pirámide. P irámide. España 1997 1997.... Valera Moreno, Rafael. Matemática financiera: Conceptos, problemas y aplicaciones. Universidad de Piura. Lima – Perú, Tercera Tercera Edición, 2005. Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel. Matemáticas financieras. Editorial Ecafsa. México, 2001. Weston, Fred J. y Eugene F. Brigham.  Fundamentos de administración financiera. Editorial McGraw–Hill Interamericana de España, S.A. Undécima Edición. España, 1997.. 1997.. Wong, David. Finanzas corporativas: Un enfoque para el Perú. Universidad del Pacífico Pacífico,, Centro de Investigación. Primera Edición. Lima, 1998.

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 ____________________________________________________________  ______________________________________________________ ______

 Notas:

 __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   _______________  _______ ________________ ________________ _______________ _______________ ________________ _______________ _______________ ________________ ________________ ____________  ____   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   _______________  _______ ________________ ________________ _______________ _______________ ________________ _______________ _______________ ________________ ________________ _____________  _____   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   _______________  _______ ________________ ________________ _______________ _______________ ________________ _______________ _______________ _______________  _______ 

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 Notas:  ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   _________________________________________  ____________________ __________________________________________ _________________________________________ ___________________________  _______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   _________________________________________  ____________________ __________________________________________ _________________________________________ ___________________________  _______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   _________________________________________  ____________________ __________________________________________ _________________________________________ ___________________________  _______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ___________________  _________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ __________________ ___________________ ________________  ______   ________________  ________ _______________ _______________ ________________ ________________ _______________ _______________ ________________ _______________ _______________ ____________  ____   ___________________  _________ ___________________ __________________ 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 Notas:  __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ___________________ ___________________ __________________ ________________  _______   ________________________________________  ___________________ _________________________________________ _________________________________________ _____________________________  ________   __________________  _________ 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Unidad III

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