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CÁLCULO FINANCIERO Ejercicios Resueltos
JUAN RAMON GARNICA HERVÁS ESTEBAN OTTO THOMASZ ROMINA PAULA GARÓFALO
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De los mismos autores
Cálculo Financiero
Teoría, Ejercicios y Aplicaciones
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Universidad de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Económicas
Autores:
Juan Ramón Garnica Hervás – Actuario (UBA) –Master en Economía y Administración (ESEADE). Profesor Titular Interino de Cálculo Financiero y Estadística para Administradores y Profesor Asociado Regular Área Actuarial (FCE - UBA). Director de Investigaciones del Área Estadística y Actuarial del CECyT. Federación de Consejos profesionales de Ciencias Económicas de la República Argentina. Esteban Otto Thomasz – Doctor, Máster en Administración y Lic.en Economía (UBA) – Docente de Posgrado y Profesor AdjuntoRegular de Cálculo Financiero y Profesor Adjunto Interino de Teoría del Caos (FCE - UBA). Secretario Académico del Centro de Investigacionesen Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía yla Gestión (CMA-FCE-UBA). Romina Paula M. Garófalo – Estudiante de Actuario (UBA) – Ayudante de Segunda de Cálculo Financiero (FCE - UBA).
Agradecemos especialmente la colaboración de nuestros auxiliares docentes y estudiantes de la carrera de Actuario (FCE-UBA): Joaquín Otaño, Federico Sardi y Mariano
Resico en la confección de este trabajo.
Los Autores Portada: Pieter Bruegel the Elder. “KINDERSPIELE” (Juegos de Niños).1560. Kunsthistorisches Museum – Wien.
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_____________________________________________________________________________ Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de cubierta puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico de grabación o de fotocopia sin permiso previo del Editor. Su infracción está penada por las leyes 11723 y 25446.
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Garnica Hervas, Juan R. Cálculo financiero: ejercicios resueltos / Juan R. Garnica Hervás; Paula Garófalo; Esteban Otto Thomasz. - 1a ed. - Buenos Aires: Ediciones Cooperativas, 2008. 94 p.; 28x21 cm. ISBN 978-987-652-018-8 1. Cálculo Financiero. I. Garófalo, Paula II. Otto Thomasz, Esteban III. Título CDD 513
2008 Juan Ramón Garnica Hervás Derechos exclusivos 2008 Ediciones Cooperativas Tucumán 3227 (1189) Buenos Aires – Argentina (54 011) 4864 5520 / (15) 4937 6915 http://www.edicionescoop.org.ar
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1º edición, Agosto 2008
Hecho el depósito que establece la ley 11.723
Impreso y encuadernado por: Imprenta Dorrego. Dorrego 1102, C.A.B.A. 1ª. ed. Tirada: 100 ejemplares. Se terminó de imprimir en Agosto 2008.
IMPRESO EN ARGENTINA – PRINTED IN ARGENTINE
Edi tori al asoci ada a:
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INDICE
1.
ENUNCIADOS
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1.1.
Interés Simple y Compuesto
1.2.
Descuento Simple y Compuesto
12
1.3.
Equivalencia de tasas
14
1.4.
Problemas Combinados
17
1.5.
Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos
20
1.6.
Evaluación de Proyectos
29
2.
RESUELTOS
7
33
2.1.
Interés Simple y Compuesto
33
2.2.
Descuento Simple y Compuesto
48
2.3.
Equivalencia de tasas
53
2.4.
Problemas Combinados
58
2.5.
Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos
63
2.6.
Evaluación de Proyectos
82
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1. ENUNCIADOS 1.1. Interés Simple y Compuesto 1) Se depositan $1000 durante 180 días al 8% anual de interés. Calcular el monto. R: $1.039,45 2) Si el interés producido por una inversión realizada hace 30 días es de $100 y la tasa pactada fue del 7% anual, calcular el capital invertido. R: $17.380,95 3) Calcular el monto total de dos depósitos a plazo fijo con vencimiento el 30/11, efectuados: el primero el día 14/05 por $1.000 al 6,5% nominal anual de interés y, el segundo, el día 18/06 por $500 al 7% anual de interés. R: $1.551,44 4) Dados dos capitales, $23.000 en el momento tres y $32.000 en el momento cinco, determinar la tasa de interés que capitaliza mensualmente implícita en la operación. R: 17,95% 5) ¿Qué capital invertido al 0,5% de interés que capitaliza mensualmente, produce un monto de $6.352,45 al cabo de 4 años? R: $5.000 6) Un capital de $1.000 genera al cabo de 12 meses un monto de $1.903,81. Calcular la tasa que capitaliza mensualmente pactada en la operación. R: 0,75% 7) Una inversión de $10.000 produce un monto de $13.428,88 colocada al 0,8% de interés que capitaliza mensualmente. Calcular el tiempo que se mantuvo la inversión. R: 37 meses 8) Dadas las siguientes cuatro tasas de interés que capitaliza mensualmente, 3% para el primer mes, 7% para el segundo, 8% para el tercero y 9% para el cuarto, y sabiendo que en el mes cuarto poseo un monto de $23.000, calcular el valor de dicho monto en el momento dos, en el momento uno y verificar luego llevando el capital hasta el momento cuatro. R: C(1)= $18.259,707 C(2)= $19.537,887 9) El día 05/01 se efectúa un depósito de $1.000 al 12,5% anual de interés. El 05/02 se efectúa otro depósito de $5.000 a igual tasa. Si a partir del 01/04 inclusive la tasa de interés aumenta al 13,5% anual, calcular el monto a cobrar el día 30/05 considerando: a) Interés simple b) Capitalización al momento de cambio de tasa c) Capitalización el último día de cada mes. Analice cada situación y saque conclusiones. ¿Qué alternativa es más conveniente para la persona que realiza el depósito? ¿Por qué? R: a) $6.254,22 b) $6.257,424 c) $6.258,5368
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10) Se depositaron $100.000 en una institución que capitalizó los intereses mensualmente al 3% durante los primeros diez meses, y luego al 12% con capitalización trimestral, reuniéndose la suma de $236.844. Calcular la duración total de la operación. R: 25 meses 11) Se desea constituir un fondo de $1.000.000 para dentro de seis meses. El Banco “X” abona el 72% de interés anual y la capitalización es mensual. Si en el día de la fecha se depositó la suma de $250.000, determinar la suma que se debe depositar en el tercer mes. R: $544507,33 12) Una caja de ahorros presenta los siguientes movimientos: 01/07/05 28/08/05 05/09/05 14/09/05
Depósito apertura $ 3.000 Depósito $ 1.500 Depósito $ 2.200 Retiro $ 900
Sabiendo que los intereses son del 6% anual y que la capitalización de intereses es el 30/09, determinar el saldo disponible en la cuenta al 23/04/06. R: $5.859,688 13) Una caja de ahorro abierta el 01/04/05 presenta los siguientes movimientos: 01/04/05 Depósito $ 500 01/08/05 Depósito $ 700 01/11/05 Retiro $ 350 Determinar los intereses ganados por la misma a la fecha de cierre 01/02/06, sabiendo que las tasa de interés fueron del 8,4% anual hasta el 30/06/05 inclusive y 10,8% anual desde ahí en adelante. R: $70,895 14) Se efectúa un depósito a plazo fijo por 50 días al 12% anual de interés y 20 días más tarde se realiza otro con igual vencimiento, pero al 11% anual de interés. Al vencimiento se retiran $3.542,74. Si la suma de los capitales invertidos fue de $3.500, calcular el importe de cada depósito. R: $1.500 y $2.000 15) Un capital de $5.000 fue distribuido en dos inversiones a 90 y 150 días. La tasa de interés pactada fue del 9,535% anual. Si el interés obtenido fue de $148,90, se pide calcular el importe de cada inversión. R: $2.000 y $3.000 16) Se efectuó un depósito a plazo fijo por 90 días al 120% de interés anual y 30 días después, otro con igual vencimiento pero al 140% de interés anual. Al vencimiento se retira la suma de $498.630,14. Si la suma de los dos capitales invertidos es de $400.000, calcular el importe de ambos depósitos. R: $100.000 y $300.000 17) Un capital de $10.000 se invierte, una parte al 10% y la otra al 12%, considerando en ambos casos una capitalización anual. Si al cabo de 18 años los montos son iguales, determinar los importes depositados a cada tasa. R: $5.803,77 y $4.196,23
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18) Se invierten $1.000 durante 24 meses en dos operaciones: la primera al 1% de interés que capitaliza mensualmente y la segunda, al 2% bimestral que capitaliza bimestralmente. Si al cabo de dicho período se obtuvo un monto de $1.268,69, calcular el importe de cada uno de los depósitos. R: $300 y $700 19) Determinar al cabo de cuánto tiempo los intereses que genera un capital alcanzarán al triple del mismo colocados al 4% anual. R: 75 años 20) Ídem ejercicio anterior, pero considerando una tasa del 4% con capitalización anual. R: 35,35 años 21) Determinar el monto generado por un depósito de $100 constituido el 01/08/04 que gana durante el primer año de colocación el 8,4% anual de interés y durante los 6 meses subsiguientes el 9% anual. R: $112,8384 22) Ídem ejercicio anterior, pero considerando una capitalización el 01/08/05. R: $113,21 23) Dos hermanos tienen la misma cantidad de dinero que invierten de la siguiente manera: uno al 6,5% anual durante 1 año, y el otro, al 5% anual durante un año. Los intereses ganados por el primero son mayores a los ganados por el segundo en $600. Determinar el capital inicial que ambos poseían. R: $40.000 24) El Banco “X” reconoce intereses sobre los saldos diarios de las cuentas corrientes con una tasa del 30% anual. Los intereses son acreditados mensualmente el primer día de cada mes. Una cuenta corriente abierta el 08/05 registró estos saldos: hasta el 12/05 inclusive $50.000, del 13 al 19/05 inclusive $80.000 y del 20 al 31/05 inclusive, $60.000. Calcular la suma a acreditar el 01/06 en concepto de intereses. R: $1.257,53 25) Una persona invierte durante dos años la 7/12 partes de su capital al 5% anual y el resto al 4,5% anual, por el mismo lapso. Si la diferencia entre los intereses producidos por ambas operaciones es de $750, ¿cuál es el capital? R: $36.000 26) Un préstamo de una entidad financiera cooperativa debe cancelarse bajo las siguientes condiciones: a) Amortización: 40% a los dos meses y el saldo a los 5 b) Tasa de interés: 1,3% mensual sobre saldos adeudados, pagaderos mensualmente c) Sellado: 1% sobre el préstamo contratado d) Gastos: 2% sobre el importe del préstamo, pagaderos al momento de otorgamiento e) Suscripción de acciones de la entidad otorgante: 5% del importe del préstamo que se abona a la fecha de contratación y que se rescata, al 99% de su valor nominal a los 5 meses. Se pide determinar el costo efectivo mensual de la financiación. R: 2,3015743%
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27) Se contrata una operación de crédito bajo las siguientes condiciones: a) Restitución del préstamo en dos pagos iguales al segundo y tercer mes. b) El deudor se compromete a mantener un saldo mínimo en caja de ahorro por el 10% del préstamo, que gana el 6% anual de interés, y se restituye a los tres meses. c) Tasa de interés 2% mensual sobre el saldo de deuda, pagadero mensualmente. d) Se cobra un sellado 1% sobre el crédito al momento de otorgamiento. Determinar el costo efectivo mensual de la operación para el tomador. R: 2,6827299% 28) El 01/01/04 se depositan en una cuenta de ahorros $2.500, el 01/07/04 se agregan $3.000. Sabiendo que los depósitos ganan el 8% anual de interés durante el 2004, el 7% anual durante el 2005 y 2006 y a partir de ahí el 12% anual de interés considerando capitalización mensual, determinar en que fecha los intereses de la cuenta ascienden a $1.150 suponiendo: a) capitalización a fin de cada año b) primera capitalización el 31/12/06 R: a) 20/12/06 b) 28/01/07 29) Una persona debe efectuar un depósito por 45 días. El importe debe ser tal que, al incorporárselo a los intereses ganados constituya un monto de $2.000. Sabiendo que la tasa de interés es del 9,4% anual, determinar el importe a depositar. R: $1.977,09 30) Se efectuó un depósito de $150.000 durante tres meses. Si el interés del primer mes es 8%, el del segundo 7% y el del tercero 12%, ¿cuál es la tasa mensual constante que permite reemplazar esas tres tasas diferentes? Considere: a) Un régimen de interés simple b) Un régimen de interés compuesto R: a) i = 0,09 b) i = 0,0897876 31) Se efectuaron tres colocaciones cuyos importes crecen en progresión geométrica, a diferentes tasas durante 120 días, siendo las mismas 45%, 53,5% y 63% anual respectivamente. Teniendo en cuenta que el primer depósito fue de $1.500 y que el total de intereses obtenido fue de $1.992,33 determinar la razón de la progresión. R: La razón de la progresión es 2 C1 = $1.500, C2 = $3.000 y C3 = $6.000 32) Se efectuaron tres colocaciones, (cuyos importes crecen en progresión aritmética), a diferentes tasas durante 120 días, siendo las mismas 45%, 53,5% y 63% anual respectivamente. Teniendo en cuenta que el tercer depósito fue de $8.400 y que el total de intereses obtenido fue de $3.327,78, determinar la razón de la progresión. R: r = $2.400 C1 = 3.600, C2 = 6.000 y C3 = 8.400. 33) Una cuanta bancaria no recibe otro incremento que el de sus intereses. Si sabemos que el interés ganado durante el segundo año fue de $100 y en el octavo de $126,5319, calcular la tasa de interés y el capital colocado al inicio según un régimen de interés compuesto. R: i = 0,04 Co = 2.403,8462
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34) Un capital de $1.000 es colocado durante cinco meses a cierta tasa de interés con capitalización mensual. Se desea conocer los intereses ganados durante el cuarto mes, sabiendo que, si la operación hubiera sido concertada a la misma tasa, pero bajo un régimen de interés simple, el monto retirado al cabo de 5 meses hubiera sido de $1.300. R: $71,46 35) Se debe pagar $1.000 dentro de dos meses y $2.000 dentro de seis y se desea reemplazar estas deudas por un documento que vence en ocho meses. Sabiendo que la tasa de interés es del 6% mensual, calcular: a) El valor del documento si la fecha de valuación es hoy. b) El valor del documento si la fecha de valuación es dentro de quince veces R: a) $3.497,8992 b) $3.422,5352 36) Ídem anterior, utilizando una tasa del 6% que capitaliza mensualmente. R: $3.665,7191 * Obtenga conclusiones de los ejercicios anteriores. 37) Se desea reemplazar tres documentos (el primero vence en dos meses y es por $1.000, el segundo vence en seis meses y es por $5.000, el tercero vence en ocho meses y es por $3.000) por un único documento en siete meses. Si la fecha de valuación es en el mes siete, y la tasa a utilizar es una tasa de descuento del 6% mensual. ¿Cuál debe ser entonces el importe del documento? R: $9.567,7204 38) Un comerciante tiene que hacer frente al pago de tres documentos de $1.000, $2.000 y $3.500, con vencimiento en uno, dos y cuatro meses respectivamente. Debido a dificultades financieras propone al Banco “X” consolidar su deuda en un único documento con vencimiento dentro de doce meses. Si sabemos que el banco aceptó la propuesta y que computó para la consolidación una tasa del 10% que capitaliza mensualmente, determinar el importe de la deuda consolidada. R: $16.969,7208 39) Continuando con el problema anterior, si suponemos que el banco no acepta la propuesta del comerciante, exigiéndole que efectúe un pago a los seis meses y que, a los doce meses abone un importe igual a la suma de los documentos adeudados, que importe deberá pagar el comerciante a los seis meses? R: $5.627,6475 40) Se desea reemplazar tres documentos (el primero vence en dos meses y es por $1.000, el segundo vence en seis meses y es por $5.000, el tercero vence en ocho meses y es por $3.000) por dos documentos: el primero se abonará en el día de la fecha y el segundo en diez meses. Sabiendo que el primer documento es la mitad del segundo, y que la tasa a es del 6% de descuento que actualiza mensualmente, ¿cuánto vale cada documento hoy? R: $2.966,2845 $5.932,569 41) Ídem anterior, pero se desea remplazar esos tres documentos por uno de $9.000, considerando una tasa de interés del 6% que capitaliza mensualmente. a) ¿En qué momento se remplaza? b) Si se considerara, en cambio, una tasa de descuento del 6% mensual ¿cuál sería la fecha de reemplazo? R: a) 6 meses y 3 días. b) 6 meses y 6 días
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42) Se abre una cuenta de inversión el 01/06/04 con un depósito de $100 que genera el 0,7% mensual de interés, con el fin de obtener un monto determinado al cabo de 16 meses. Si el 01/11/04 se retiran $32, cuánto debo depositar el 01/03/05 a fin de constituir idéntico monto al que originalmente había previsto? R: $32,854 43) Ídem anterior, pero considerando que la tasa anterior es de capitalización mensual. R: $32,91 44) Un comerciante tiene que hacer frente al pago de tres documentos de $5.000, $8.000 y $10.000, con vencimiento dentro de dos, cinco y nueve meses respectivamente. Considerando una tasa de interés con capitalización mensual del 12%, determine: a) El importe necesario para cancelar la deuda hoy b) Cuánto se deberá abonar dentro de un año si, a cambio de los tres documentos mencionados sólo se efectúa un pago de $9.000 a los tres meses. R: a) $12.131,4845 b) $22.306,2623 45) Un plan de financiación es del 20% al contado, 40% a los tres meses y el saldo a los cinco meses. Se ofrece una alternativa de pago que consiste en abonar mayor parte al contado y el resto en un pago a los cinco meses. Si se computa el 2% de interés que capitaliza mensualmente, determinar la proporción de contado sabiendo que el importe abonado no se modifica. R: 35,52% 46) Una empresa calcula sus precios de venta al contado. Si desea incorporar un nuevo método de ventas con el 20% a 30 días y el saldo en dos pagos iguales a 90 y 120 días bajo un régimen de interés simple del 8% mensual, se pide: a) ¿En qué porcentaje debe aumentar sus precios por financiar el importe de la venta? b) ¿Qué bonificación puede efectuar sobre los nuevos precios por pago al contado? R: a) 23,34 % b) 18,92%
1.2. Descuento Simple y Compuesto 47) ¿Cuál será el descuento de un documento de $10.000 que vence en 5 meses al 3% mensual? 48) ¿Qué descuento tiene un documento cuyo valor, 5 meses antes de su vencimiento y descontado al 3% mensual, es de $8.500? 49) ¿A qué tasa se descontó en 5 meses un documento de $10.000 que tuvo un descuento de $1.500? 50) Por abonar un pagaré de $100.000 antes de su vencimiento, se obtuvo un descuento de $14.795,52. Si la operación se realizó a la tasa de descuento del 60% anual, ¿Cuántos días se anticipó el pago? 51) Resuelva el problema anterior suponiendo que el 60% es la tasa de interés y que el descuento sufrido fue de $8.977,5.
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52) Un documento que vence dentro de 2 años se descuenta al 8% que actualiza anualmente, durante el primer semestre, y al 7% que actualiza anualmente el resto del tiempo. Si el descuento practicado asciende a $250.000, ¿Cuál es el valor nominal del documento? 53) ¿Cuánto tiempo falta aún para que 2 documentos, uno de $4.200 y otro de $6.000, descontados al 3% y 8% que actualiza mensualmente respectivamente, igualen sus valores actuales? 54) Calcular el capital que debe pagarse dentro de 2 años y medio para liquidar 3 deudas de: $200.000 exigible dentro de 1 año, $500.000 dentro de 3 años y $150.000 dentro de 4 años, siendo el tipo de descuento del 4% que actualiza semestralmente. 55) Un documento de $20.000 con vencimiento dentro de 1 año sufre un descuento de $7.232,17. Si la tasa de descuento vigente para el primer trimestre es del 7% con actualización mensual, calcular la tasa vigente para el resto del año. 56) En la fecha se venden mercaderías cuyo precio de contado es $20.000, recibiéndose a cambio un pagaré a 90 días por dicho precio más intereses calculados al 90% anual vencido. Si hoy mismo procede a descontar ese pagaré en una entidad financiera obteniéndose un neto de $18.000, a) ¿qué tasa adelantada anual se pactó?, b) ¿qué tasa anual adelantada debió pactarse para que el neto obtenido coincidiera con el precio de contado de las mercaderías? 57) Un bien se vende en las siguientes condiciones: $10.000 al contado, $25.000 a los 90 días y $30.000 a los 180. Se desea saber cual será el precio equivalente de contado si el comerciante inmediatamente de realizada la venta descuenta los dos pagarés en el banco NN, el cual considera las siguientes tasas de descuento: 60% anual para descuento de documentos a 90 días y 48% anual para descuento de documentos a 180 días. 58) El descuento (no incluye lo descontado en concepto de sellado) de un pagaré descontado 3 meses antes de su vencimiento a la tasa de descuento del 40% anual costó $10.000. Calcular el valor nominal del documento y el valor actual teniendo en cuenta que el cargo por sellado asciende al 1% del valor nominal del pagaré. 59) Idem anterior, pero con la salvedad de que los $10.000 constituyen el descuento total. 60) El valor actual de un pagaré descontado por el régimen de descuento simple 2 meses antes de su vencimiento es de $7.500, mientras que si se hubiera descontado por el régimen de descuento compuesto hubiese sido de $8.000. Calcular el valor nominal del pagaré y la tasa. 61) el valor actual de un pagaré descontado por el régimen de descuento simple 3 meses antes de su vencimiento es de $8.000, mientras que si se hubiera descontado 4 meses antes de su vencimiento hubiese sido de $ $6.000. Calcular el valor nominal del pagaré y la tasa. 62) El 01/07/87 se firmaron dos pagarés de $50.000 y $100.000 con vencimientos el 29/09/87 y 28/11/87 respectivamente. El 01/08/87 son reemplazados por 1 solo con vencimiento el 30/10/87. Calcular el valor nominal del nuevo documento asumiendo una tasa anual de descuento del 60% de descuento para vencimientos de hasta 90 días y del 50% para plazos mayores. 63) Un señor debe cancelar una deuda de $100.000 y dispone de $20.000 por lo que solicita un préstamo bancario. La operación se concreta mediante la firma de
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dos documentos de igual valor nominal con vencimientos a los 30 y 60 días respectivamente. El banco percibe un interés del 80% anual adelantado y cobra $5.000 por estudio de antecedentes y sellado. Calcular el valor nominal de cada documento. 64) He comprado un pagaré a dos años de plazo de $1.000.000 de valor nominal al 7% que actualiza semestralmente. Si transcurridos tres meses lo vendo computando una tasa del 12% que actualiza anualmente, ¿cuál fue el rendimiento de la operación expresado como tasa de interés que capitaliza anualmente? 65) Invierto $1.000.000 en un préstamo hipotecario al 72% efectivo anual con pago de los intereses por trimestre adelantado y reembolso del capital a fin de año. Si los intereses recibidos se invierten en el descuento de documentos trimestrales a la tasa de efectiva descuento del 18% con actualización trimestral, ¿cuál será el monto reunido al final del año?
1.3. Equivalencia de tasas 66) Un capital de $10.000.000 en 45 días permitió retirar un monto de $10.500.000, ¿a qué tasa nominal anual para operaciones a 45 días y a qué tasa efectiva anual fue invertido? 67) En una operación de 7 días se invierten $1.000.000 y se reciben $1.030.000, ¿qué tasa nominal anual para operaciones a 7 días y qué tasa efectiva anual son las implícitas en dicha operación? 68) ¿Qué monto se reúne al cabo de tres años si se depositan $1.000.000 en una institución que capitaliza los intereses trimestralmente al 20%? 69) Idem anterior pero con una tasa contractual del 84% nominal anual para operaciones a 90 días. 70) Idem anterior pero con una tasa del 80% efectiva anual. 71) Completar el siguiente cuadro: d(365/8) 20.00%
i(365/19)
j(365/90)
d(365/7)
i
i(365/20)
f(365/1)
9.20% 1.50% 87.00% 15.00% 0.03% 72) Una persona realiza un depósito durante 5 meses que ganó un interés anual efectivo del 175%, se pide: a) determinar el rendimiento de la operación expresado como: aa) tasa de interés efectiva para el período de la operación. ab) tasa de interés efectiva mensual ac) tasa de interés efectiva trimestral ad) tasa de interés nominal anual para el período de la operación ae) tasa de interés nominal anual para operaciones a 45 días.
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b) determinar, bajo un régimen de interés simple, la tasa de interés mensual con la que se obtendría el mismo rendimiento que bajo un régimen de interés compuesto. 73) Determinar cual de las siguientes operaciones es la más conveniente para el inversor: a) depósito a interés simple por el plazo de 1 año a la tasa del 267% anual. b) Depósito por el lapso de 4 meses, por el cual el inversor obtiene un interés de $0,89 por cada peso. c) Depósito al 267% efectivo anual. d) Depósito al 20% efectivo trimestral. e) Depósito a interés compuesto a la tasa del 267% nominal anual para operaciones a 30 días. 74) Si se pacta una operación a interés simple por el plazo de 120 días al 140% (TNA para el plazo de la operación), ¿cual sería la tasa mensual a aplicarse si se hubiera pactado efectuar el depósito a interés compuesto? 75) Por un préstamo de $1.000 he firmado un documento con vencimiento dentro de 210 días y cuyo valor nominal incluye intereses calculados al 120% nominal anual vencido para operaciones a 210 días. Si cuando restan 90 días para el vencimiento concurro al banco para saldar la deuda por lo que me hacen un descuento del 92% nominal anual adelantado para operaciones a 90 días, ¿cuál ha sido la tasa de costo de la operación? Exprese el resultado de las siguientes maneras: a) TNA vencida para operaciones a 120 días. b) TNA adelantada para operaciones a 120 días. c) Tasa efectiva vencida para 30 días. d) Tasa efectiva vencida anual. 76) Por la adquisición de una máquina debo pagar $1.000 al contado, $3.000 dentro de dos meses y $4.000 dentro de 3 meses. Dada una tasa de interés de 72% nominal anual para operaciones a 30 días determinar los desembolsos a realizar según las siguientes alternativas de pago: a) pago único dentro de un mes. b) Pago al contado. c) Pago único dentro de 6 meses. d) $500 al contado, un pago dentro de 1 mes y $7.000 dentro de 6 meses. e) $1.000 al contado, un pago dentro de 3 meses y otro a los 5 meses igual al doble del anterior. f) De estas alternativas, financieramente, ¿cuál es la alternativa que mas conviene? 77) Por la venta de un camión queda un saldo a financiar de $300.000 que será cancelado con dos documentos a 3 y 9 meses. El comprador acepta que los mismos incluyan un interés equivalente al 250% (TEA) y el vendedor accede a que el importe del segundo documento sea el doble del primero. ¿De qué importe serán los documentos? 78) Una entidad financiera pretende que costo efectivo anual de todos sus plazos de captación sea del 14%. Determinar las tasas nominales anuales a pagar por depósitos a plazo fijo, considerando los siguientes plazos: a) 30 días; b) 45 días; c) 60 días; d) 90 días; e) 105 días; f) 180 días y g) 365 días. 79) Una entidad financiera paga por los depósitos a plazo de 30 días el 20% nominal anual. Determinar la tasa a pagar por los plazos de 45, 60, 105, 120 y 180 días, sabiendo que se pretende disminuir en un punto el costo efectivo anual de cada plazo.
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80) Una entidad financiera cobra el 50% nominal anual de descuento para operaciones a 15 y 90 días. Se solicita determinar: a) la tasa efectiva de interés mensual y trimestral de cada operación. b) Idem a) pero considerando un sellado del 1% incluido. 81) El banco YY de fijar las tasas adelantadas nominales anuales para las operaciones de descuento de documentos. Si la dirección del mismo no deseara cobrar una tasa efectiva anual de interés equivalente inferior al 24% determinar las tasas antes mencionadas que debe cobrar el banco para las operaciones a 30 y 90 días. 82) Una entidad financiera abona el 18% nominal anual de interés por depósitos a 30 días. Sabiendo que la rentabilidad pretendida es de 4 puntos efectivos anuales por sobre su costo efectivo anual de captación, determinar que tasa nominal anual de descuento deberá cobrar para descuento de pagarés con vencimiento a 30, 60 y 75 días.
83) Determinar el costo implícito en la tasa efectiva mensual vencida de las siguientes condiciones de compra/venta: a) contado 5% de descuento, 60 días neto. b) 30 días 3% de descuento, 60 días neto. c) Contado 4% de descuento, 30 días neto. d) 30 días neto, 60 días 1,2% de recargo. 84) La tasa efectiva semestral proyectada de inflación es del 12%. ¿Qué tasa efectiva mensual se debería obtener por una inversión a plazo fijo ajustable si se pretende un rendimiento real efectivo mensual del 0,5%. 85) Sabiendo que la tasa nominal anual de interés para un depósito a plazo fijo efectuado el 01/08 fue del 10% para 31 días, determinar: a) el incremento en índice de precios al consumidor, si se pretendiera un rendimiento real del 0,3% para el período. b) La tasa efectiva anual de interés equivalente a la tasa de interés obtenida en a) 86) El 01/03 se adquirió al contado un vehículo en $9.000 que se vende el día 16/3 cobrándose de la siguiente manera: contado $2.500 y el 01/05 $7.000. Sabiendo que los índices son para febrero 1.065,12, para marzo 1.086,42 y para abril 1.106,09, determinar si la operación rindió el 1% efectivo mensual por encima de los índices. 87) Sabiendo que la inflación en $ es del 1,6% efectiva mensual y que en u$s es del 1% efectivo mensual, ¿qué elección es la más conveniente para quien contrae un préstamo? a) préstamo ajustable en $ a reintegrar en 6 cuotas mensuales e iguales computando una tasa de descuento del 6% efectiva mensual. b) Préstamo ajustable en dólares a reintegrar en 2 cuotas trimestrales iguales cuya suma es un 6% mayor que el préstamo recibido. c) Préstamo ajustable en $ a reintegrar a los 6 meses, tasa aplicable: tasa de descuento comercial del 120% anual. 88) El 31/03/87 se otorgó un préstamo de $10.000 reembolsable mediante un pago de capital e intereses a los 3 meses. En ese momento se estimó que la inflación del trimestre sería del 15%. Determinar la tasa nominal anual vencida para el período de la operación a la que se pactó la misma, si se sabe que se pretendía obtener un rendimiento real del 2%.
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89) Continuando con el ejercicio anterior, el 11/07/87 se obtiene la siguiente información a fin de evaluar la operación pactada: Mes 02/87 03/87 04/87 05/87 06/87
Índice de Precios 100,000 105,000 109,725 113,017 122,058
¿La proyección fue excesiva o insuficiente?, ¿cual fue la tasa de rendimiento real efectivo mensual?, y dicha tasa para toda la operación?
1.4. Problemas Combinados 90- Un documento de $10.000 se descuenta al 36% nominal anual para operaciones a 90 días 5 meses antes de su vencimiento, se pregunta: a) valor nominal del descuento. b) Descuento correspondiente al primer mes. c) Descuento correspondiente al tercer mes. 91) Ante la necesidad de invertir fondos ociosos durante 90 días un comerciante analiza las siguientes alternativas de colocación: a) suscripción de letras de tesorería que gana el 11% efectivo anual de interés. b) Depósito a plazo fijo al 10,5% nominal anual para el período de la operación. c) Compra de Bonex, a $85, los cuales se estima se venderían a los 90 días a un precio de $86,7. Gastos de compra 0,4% sobre el precio de compra. Gastos de venta 0,5% sobre el precio de venta. Determinar cual es la alternativa más conveniente. 92) Se han comprado 10.000 títulos públicos al 96% de su valor nominal. Durante 3 años se ha cobrado semestralmente el 12% nominal anual para operaciones a 180 días en concepto de interés. Al cabo de ese plazo se produce el rescate de los títulos a la par. Determinar si la inversión ha superado el 13% efectivo anual de intereses. 93) Un documento de $240.000 se ha descontado comercialmente 5 meses antes de su vencimiento. La suma obtenida ha sido invertida en otra operación bajo el régimen en el cual los intereses no se capitalizan, a la misma tasa y por el mismo plazo. Cumplidos los 5 meses se ha obtenido un monto de $239.400. Determinar la tasa implícita en ambas operaciones. 94) Una empresa tiene excedentes financieros durante 70 días y cuenta con las siguientes alternativas de inversión: a) Compra de títulos públicos: cotización al día de la inversión $89. Cotización estimada al septuagésimo día $93. Gastos de compra 0,4% y de venta 0,6%. b) Colocación a plazo fijo al 1,5% efectivo mensual durante los primeros 30 días y al 1,4% efectivo mensual los restantes 40 días. c) Compra de documentos de terceros con vencimiento dentro de 70 días. Determinar cual deberá ser la tasa nominal anual de descuento bancario a cobrar en la operación c) de tal modo que el rendimiento de la misma sea igual a la mejor de las otras dos opciones:
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95) Una empresa solicita descontar un pagaré de $1.000.000 con vencimiento a los 90 días, siendo la tasa nominal anual de descuento para el período de la operación aplicable del 20%. Como contrapartida el prestatario se obliga a constituir un depósito del 10% del préstamo nominal hasta tanto no cancele el mismo. Dicho depósito devenga un interés nominal anual del 20% (para el período de la operación). Determinar: a) tasa nominal anual de interés para el período de la operación que represente el costo de la misma. b) tasa nominal anual de interés para operaciones a 30 días, equivalente a la obtenida en a). 96) Si colocamos un capital de $10.000 durante 9 meses a las tasas efectivas mensuales del 1% para los 2 primeros meses, del 2% para los próximos 4 y del 3% para los últimos 3, ¿cuál será la tasa nominal anual de interés para operaciones a 60 días que representa el mismo costo de la operación? 97) Descontamos un documento de $1.000 con vencimiento dentro de 30 días a la tasa nominal anual de descuento para el período de la operación del 12%. Si nos cobran gastos de sellado del 1% sobre el valor nominal, ¿cuál es el costo efectivo vencido mensual de la operación? 98) Una deuda de $1.500.000 se financia mediante la emisión de 2 pagarés a 2 y 4 años. Sabiendo que la tasa de la operación es del 7% anual y que el importe del segundo pagaré es la mitad del primero, determinar el importe de cada uno de ellos en: a) un régimen de interés simple. b) Un régimen de interés compuesto. 99) Ante la necesidad de financiar una operación cuyo rendimiento estimado es 3% mensual efectivo, se analiza la posibilidad de obtener fondos en una entidad bajo las siguientes condiciones: a) tasa de interés 20% nominal anual para operaciones a 60 días. b) Devolución del capital adeudado al año de obtener el préstamo, abonándose los intereses por bimestre vencido. c) Sellado 1% sobre el valor del préstamo, pagaderos en el momento de otorgamiento. d) Gastos del 2% sobre el valor del préstamo, pagaderos por adelantado. e) Como condición adicional es necesario constituir un depósito a plazo fijo en la referida entidad por el 10% del valor del préstamo. Dicho depósito gana el 15% nominal anual de interés para operaciones a 1 año. Se pide: 1) determinar si el rendimiento de la inversión supera el costo de la financiación. 2) Determinar el costo efectivo mensual de la financiación. 100) Un bono de valor nominal 100 gana un 3% semestral vencido libre de gastos e impuestos, si se compra a $50 (cotización en el mercado por cada 100 unidades de valor nominal), ¿a que precio debe venderse al cabo de dos años para que el rendimiento sea del 5% efectivo semestral?. Gastos de compra 0,2% y de venta 0,2%.
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101) Se invierten en una empresa industrial el día 01/02/93 u$s 10.000 y se reciben como utilidad las siguientes sumas: 15/03/93 19/03/93 15/11/93 28/12/93
u$s u$s u$s u$s
250 1.200 2.000 8.000 (en concepto de retiro de capital)
Determinar si la “Revolución productiva” se impuso a la “Bicicleta financiera” mediante la comparación entre el rendimiento de la inversión y la tasa de mercado del período que asciende al 12% efectivo anual. 102) Se realiza una inversión a la tasa del 10% efectiva anual durante un determinado período. Si se hubiera invertido por un plazo igual al doble del original se obtendría un monto de 14,421 veces el capital original. Determinar el plazo original de la inversión. 103) Una empresa adquiere productos terminados según el siguiente detalle: a 90 días neto (utilizada actualmente), 30 días 6% de descuento. Se estudia la posibilidad de comprarle al proveedor a 30 días sabiendo que para ello la empresa deberá usar de alguna de las siguientes alternativas de financiación: a) descuento de documentos de terceros a 60 días a la tasa de descuento del 40% nominal anual para el período de la operación. La entidad financiera exige mantener como saldo de apoyo en cuenta corriente el equivalente al 10% del valor actual, que no gana interés alguno. b) Venta de documentos en una compañía financiera al 35% nominal anual de descuento para operaciones a 60 días, debiendo afrontar los siguientes costos: comisión 0,3%, gastos 0,2% y sellado 1% (todos pagaderos por adelantado y sobre el valor nominal). c) Aceptaciones bancarias a 60 días sin gastos ni comisiones al 3,5% efectivo mensual. d) Utilización de adelanto en cuenta corriente renovable cada 15 días a la tasa del 37% nominal anual para el período de la operación. ¿Con alguna de las alternativas la empresa puede pagarle al proveedor a 30 días obteniendo algún provecho de ello? 104) Siguiendo con el ejercicio anterior, ¿qué ocurre si recibimos información del proveedor diciendo que se recargarán las ventas pagaderas a 90 días en un 1% en concepto de gastos administrativos? 105) El departamento de comercialización de una empresa desea saber los descuentos a otorgar a sus clientes, conociendo la existencia de las siguientes condiciones: - costo del dinero: 0,15% efectivo diario de interés. - Condición de venta actual: neto a 100 días de la fecha de la factura (F.F.) Determinar los importes a percibir en cada una de las siguientes alternativas de cobro para no ganar ni perder: a) cobro a 30 días F.F. b) cobro en 2 pagos iguales a los 30 y 60 días F.F. c) cobro contado contra entrega.
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106) Se desea saber la opción más favorable para financiar a 180 días una operación de equipamiento industrial, contando con las siguientes alternativas: a) descuento de documentos a 180 días, mediante la aplicación del 2,5% efectivo mensual de interés, sufriendo una comisión adelantada del 0,5%. b) Crédito a sola firma: TNA vencida para operaciones a 180 días del 40%. c) Alquiler de Bonex a 180 días: costo del alquiler 0,5 % efectivo mensual por semestre vencido, pagadero en Bonex. El precio de venta estimado $81, siendo los gastos de venta del 0,41% y el precio estimado de compra a 180 días $94. Siendo los gastos de compra iguales a los de venta.
1.5. Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos 107) Sea una sucesión de 30 capitales iguales y equidistantes en el tiempo, si la tasa periódica es del 6% efectiva y el valor de cada capital es de $5.000, se pide valuar la renta en los siguientes momentos: a) un momento antes del primer pago. b) Al momento del último capital. c) En el momento 10. d) Al momento del primer pago. 108) Determinar el valor actual de una renta de 20 cuotas iguales, mensuales, consecutivas y equidistantes en el tiempo de $500, diferidas en 4 meses al 5% efectivo mensual. 109) Se está pagando un televisor mediante cuotas de $5.000 al comienzo de cada trimestres, transcurridos 3 años, cuando aún restan 32 pagos se quiere saldar la deuda. ¿Cuánto debe abonarse al 6% anual efectivo? 110) ¿Cuál es el precio de compra de una renta de 40 cuotas iguales, mensuales, consecutivas y equidistantes en el tiempo de $10.000, sabiendo que son vencidas, que se valúan al 8% efectivo mensual y que se pactó un año de gracia entre las cuotas 11 y 12? 111) Una persona desea abonar, al cabo de 5 años, $1.000.000, para ello se compromete a efectuar depósitos mensuales comenzando hoy, los que se capitalizan al 5% efectivo mensual de interés. Si transcurridos 2 años dicha persona realiza un retiro de $50.000, sin efectuar depósito alguno, ¿de que capital será poseedor a 18 meses mas tarde?, ¿y a los 5 años? 112) Una persona desea formar un capital, al cabo de 15 meses, de $1.000.000, para ello debe depositar al final de cada mes $50.000. ¿Cuánto tendrá que depositar si desea formar un monto de $1.500.000? 113) Se obtendrá un préstamo luego de abonar 11 cuotas bianuales de $100000 a partir del 31/12/76. Si la capitalización se efectúa al 10% nominal anual para operaciones a 180 días, ¿determinar el importe que se recibirá el 31/12/90. 114) Un capital de $100.000 se deposita en un banco al 4,5% efectivo anual durante 20 años. Si al fin de cada año se retiran $2.000, ¿qué monto tendrá la cuenta de ahorro al cabo de dicho período? 115) Calcular el valor de contado de un departamento a la fecha de posesión (01/01/76), sabiendo que se financia en 10 cuotas anuales de $200.000 al 18% nominal anual para operaciones a 90 días y que el primer pago tiene lugar el 01/01/73.
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116) Mediante el pago inicial de $1.500 se ha contratado una renta perpetua de pagos anuales vencidos y constantes. Calcular la cuota de dicha renta, sabiendo que durante los primeros 10 años se valuó al 5% efectivo anual, para luego pasar a valuarse al 4,5% efectivo anual. 117) Un señor compra una renta pagadera durante 6 años mediante cuotas vencidas. Dada la tasa del 24% nominal anual para operaciones a 30 días, pagó $37.984.063 por ella. Para elegir la periodicidad de cobros quiere saber que renta cobraría de ser las cuotas mensuales, trimestrales, semestrales, anuales o bianuales, y le solicita a Ud. que lo asesore respecto de que periodicidad es más conveniente desde el punto de financiero. (Usar 360 días). 118) Con ocho depósitos de $100 que se capitalizan al 4% efectivo mensual de interés se quiere reunir cierta suma. Si el cuarto depósito no se realiza, retirándose además $200, y sabiendo que se desea reunir el monto originalmente planeado, se quiere saber: a) adicional mensual a depositar a partir de la quinta cuota. b) Adicional único junto con la séptima cuota. 119) Un señor desea comprar un bien dentro de 2 años. Con ese objeto deposita todos los meses $1.200, que se capitalizan al 3% efectivo mensual. Si efectúa el primer el primer depósito hoy, ¿qué importe adicional deberá, al momento de la compra si dicho Sr. no depositó: a) la cuarta cuota. b) La cuarta, la quinta, y sexta cuota. c) La cuarta, sexta y octava cuota. 120) Un individuo posee $700.000 que desea convertir en una renta de pagos mensuales con adicionales cuatrimestrales durante los próximos 4 años. Si se cobra un haber mensual de $18.000, por adelantado, y que el primer adicional se cobra dentro de 2 meses, calcular de qué importe serán los adicionales cuatrimestrales si se pretende que la operación rinda un 3% efectivo mensual. 121) El día 01/07/94 se adquiere una propiedad de acuerdo con las siguientes condiciones: a) suma a ingresar de contado $10.000. b) cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $400. Vencimiento de la primera cuota el 1/8/94 y de la última el 1/8/96. c) cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $500. Vencimiento de la primera cuota el 1/9/96 y de la última el 1/10/98. d) cuarenta cuotas iguales y mensuales de $600, siendo el vencimiento e la primera el 1/11/98. e) Refuerzos anuales de $2.000, con vencimientos el 1/10/95, 1/10/96 y 1/10/97. Se pide determinar el valor de contado de la propiedad, sabiendo que el vendedor al establecer el plan de financiación pretendió obtener el 2% efectivo mensual de rendimiento. 122) Se estudia la factibilidad de compra de un inmueble destinado a la locación de acuerdo con las siguientes condiciones: a) fecha de entrega: 1 año a partir de la fecha de compra. b) Precio de compra: $200.000. c) Renta estimada: $1.800 mensuales, los cuales se cobran de forma adelantada. Si al cabo de cuatro años de explotación se presupuesta vender el inmueble, determinar el precio de venta si se pretendiera una rentabilidad del 1% efectivo mensual.
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123) El 1/4/93 se depositan $1.000 en una entidad financiera, y a partir del 01/07/93 se integran cuotas mensuales, iguales y consecutivas hasta el 01/10/95, ambas fechas inclusive, que obtienen el 4% efectivo mensual de interés, constituyendo el total de estos depósitos la suma de $5.741,77. Si el 01/10/95 se recibe una suma de pesos igual a 137 cuotas de las abonadas desde el 01/07/93 al 01/10/95, ¿en cuántas cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $60 que incluyen un costo del 5% efectivo mensual del interés, y que comienzan el 01/11/95, se cancela el préstamo? 124) Se adquiere un negocio el 1/1/93 y en concepto de llave se fija un precio de u$s 100.000, pagadero mediante 48 cuotas mensuales a partir del 31/12/93. Si la tasa de interés es del 1% efectivo mensual hasta el 31/05/94 inclusive, luego del 2% efectivo mensual hasta el 31/12/95 inclusive y de allí en adelante el 3% efectivo mensual, determinar el importe de cada pago. 125) El 01/01/93 se obtiene un préstamo de $100.000 amortizable mediante 10 cuotas bimestrales de $15.000, sabiendo que el costo de la operación es del 4% efectivo bimestral, se pide determinar la fecha del primer pago. 126) El 31/12/97 se debe realizar un pago de u$s 100.000. Si para ello se realizan depósitos anuales de u$s 5.000 a partir del 31/12/92, los que ganan el 5% efectivo anual de interés hasta el año 95 inclusive, y luego un 7% efectivo anual de interés, determinar el saldo impago a la fecha de su vencimiento. 127) Un préstamo de DM 10.000 tomado el 01/05/95 se paga en cuotas, con primer vencimiento el 01/02/96, de DM 690, las cuales son mensuales y consecutivas, hasta el 01/01/97 inclusive. A partir de allí la cuota aumenta a DM 700, siendo el último vencimiento el 01/07/97. Si la tasa de la operación fue del 0,8% efectivo mensual para 1996, y de allí en adelante del 0,9% efectivo mensual, determinar la tasa de interés aplicada durante 1995. 128) Una persona el 01/01/93 recibe un préstamo cancelable en 15 cuotas de u$s 100 a partir de 01/01/98 al 15% efectivo anual de interés. Esta persona ofrece otra alternativa de pago que consiste en abonar 10 cuotas, a partir del 01/01/2000, al 6% efectivo anual de interés. Sabiendo que los pagos son anuales y vencidos, determinar cual es la alternativa que mas conviene al prestamista. 129) Determinar las cuotas de pago que amortizan un préstamo de $100.000, sabiendo que: a) fecha de liquidación: 01/05/93 b) vencimiento primera cuota: 01/10/93 c) vencimiento última cuota: 01/05/96 d) tasa de interés: 1% efectiva mensual durante 1993 y 1994, desde allí el 1,2% efectivo mensual e) cada 12 meses la cuota aumenta un 10% con respecto a la anterior 130) Idem ejercicio anterior, pero si se supone que a partir del 01/11/94 se quisieran abonar cuotas iguales manteniendo la fecha de pago de la última cuota, ¿cuál sería el monto de estas? 131) Idem ejercicio anterior, pero si se modifica la tasa al 1,5% efectivo mensual para el último año (1996), ¿cuál será la amortización extraordinaria a abonar con la última cuota de pago a fin de no modificar las condiciones pactadas? 132) Calcular la suma que puede pedirse en préstamo si la misma será reintegrada mediante 14 pagos bimestrales vencidos de los cuales el primero es de $465 y cada uno de los restantes es de $35 menor que el anterior, siendo el costo del dinero del 18% efectivo bimestral.
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133) Si deposito en una entidad financiera $12.000 al 127,77% efectivo anual y se quiere retirar a fin de cada mes y durante 1 año sumas que se van incrementando cada mes en el importe del primer retiro, ¿cuál es el importe del primer retiro? 134) Se desea saber cual es el primer pago que produce una renta de $6.000 en moneda de hoy, durante 26 meses, sabiendo que los mismos se incrementan a razón del 4% mensual y siendo la rentabilidad de la misma del 4,5% efectivo mensual. 135) Determinar el valor final de la siguiente serie de pagos vencidos, sabiendo que la valuación para los primeros 5 es al 4% efectivo mensual y para los restantes al 5% efectivo mensual: a) primeros 5: el primer pago es de $230, siendo los restantes mayores que el anterior en $30 b) siguientes 7: constantes, de $400 136) Compro una máquina por $6.0000. Se pagan 12 mensualidades vencidas de modo que la última sea igual a la cantidad en que disminuye cada cuota respecto de su anterior. Si la tasa que me cobra quien me financia es del 8,2%, ¿cuál es el importe del primer pago? 137) ¿Qué resulta más conveniente para tomar un préstamo de $2.800, pagaderos en 7 cuotas mensuales crecientes a razón del 6% mensual? a) aceptar una tasa efectiva mensual vencida del 6% b) aceptar una tasa efectiva anual vencida del 81,05192% c) aceptar una TNA de interés para operaciones a 30 días del 79,08333% ¿Varía la elección si en lugar de seleccionar la alternativa más conveniente en función de la tasa lo hiciéramos en función de la cuota?, explique. 138) ¿Cuánto tendré que abonar hoy para cancelar una deuda que reúne las siguientes características? a) deberé pagar, pasados tres meses, 18 cuotas mensuales, adelantadas consecutivas, siendo la primera de $170, disminuyendo las siguientes en $20 cada una b) el costo de la operación asciende al 2% efectivo mensual 139) Un préstamo es concedido al 5% efectivo mensual. Si la primera cuota se abona a fin del mes siguiente por $500 y las restantes 7 decrecen en $50 cada una, ¿Cuál es el valor del préstamo? 140) A una persona, para obtener un préstamo mediante un plan de ahorro previo, se le exige integrar una suma de dinero. Para ello opta por un plan de 10 meses de plazo con cuotas crecientes en razón de $20 por mes, comprometiéndose a integrar la suma de $3.500 al cabo de ese período. Si la tasa de interés que representa el costo de la operación para el tomador es del 2% efectivo mensual, ¿Cuál es el valor de la primera y séptima cuota? 141) Calcular el valor actual de una serie de 18 pagos mensuales y vencidos que presentan las siguientes características: a) primeros 8: se realizan en progresión geométrica siendo el primero de $120 y el último de $137,84. b) restantes 10: constantes e iguales al octavo pago. c) tasa de interés: 4,25% efectivo mensual para los primeros 8, 5% efectivo mensual para los siguientes 5 y 5,2 efectiva mensual para los restantes.
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142) Calcular el valor final obtenido para haber realizado 9 depósitos constantes y vencidos de $180 y luego que aumentan en progresión aritmética cuyas sumas depositadas el 10/02/87 es de $195, el 10/03/87 de $210 y el 10/06/87 de $255, siendo la tasa de rendimiento para los primeros 9 depósitos del 19,50926% efectiva mensual y para los restantes del 2,5% efectivo mensual. Además calcule el rendimiento de la operación. 143) Siguiendo con el ejercicio anterior responda conceptualmente: a) si la tasa aplicable para los 9 primeros pagos hubiese sido aplicable para los primeros 10, el valor final sería mayor o menor? ¿y el valor actual? b) si el valor final recibido por quien realizó los depósitos es menor a $5326,06, ¿el rendimiento de la operación aumentó o disminuyó? 144) En un préstamo de $1.800 a 5 meses de plazo se establece que la primera cuota se abonará al mes siguiente de concretada la operación. Además, cada cuota será superior a la precedente en $35. Si la tasa es del 62% nominal anual para operaciones a 30 días, calcular el valor de la primera cuota. 145) Sea un préstamo cancelable por el sistema de tasa sobre saldos, amortización creciente en progresión geométrica y cuota constante, si se sabe que dicha cuota es mensual e igual a $10.185,22, que m 4 = $2.752,75 y que m7 = $3467,67, se pide: a) Hallar la tasa de interés efectiva mensual que representa el costo de la operación. b) Hallar el período en que se amortiza la deuda. c) Importe de las amortizaciones contenidas en las 5 primeras cuotas. d) Importe de las amortizaciones contenidas en las cuotas 6 a 15 inclusive. e) Importe de las amortizaciones contenidas en las últimas 5 cuotas. f) Importe de los intereses incluidos en las 10 primeras cuotas. g) Importe de los intereses incluidos entre las cuotas 5 y 10. h) Importe de los intereses incluidos en las últimas 3 cuotas.
146) Una persona adeuda un capital de $200.000, a devolver por el sistema de tasa sobre saldos, amortización creciente en progresión geométrica y cuota constante, siendo la tasa que le cobran por la financiación del 6%. Si se sabe que durante los tres primeros años amortizó un cuarto de lo adeudado, cancelando el saldo en los restantes 3 años, construya el cuadro de marcha del préstamo. 147) Un comprador obtiene la financiación de un inmueble de valor $40.000 en un 90% al 12% nominal anual para operaciones a 30 días, a devolver por el sistema de tasa sobre saldos, amortización creciente en progresión geométrica y cuota constante, mediante pagos mensuales en 5 años. Si dos años después vende dicho inmueble en la suma de $90.000, transfiriendo la deuda y recibiendo el saldo al contado, ¿cuál fue el saldo recibido? 148) El total amortizado, por el sistema de cuota constante y amortizaciones crecientes en progresión geométrica, de una deuda faltando 15 servicios para su cancelación total es de $250.000. Sabiendo que la duración total del préstamo es de 20 años, calcular la deuda inicial si el costo de la operación es de; 6% efectivo anual.
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149) Un préstamo de $8.000 contratado el 01/04/93 se abona en 12 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, con primer vencimiento el 01/08/93. Sabiendo que el costo de la operación es del 6% efectivo mensual, se pide: a) Determinar el importe de la cuota de pago. b) Determinar el importe de los intereses incluidos en la cuarta cuota. c) Determinar el importe del saldo de deuda impago después de pagadas 5 cuotas. d) Determinar el importe de los intereses abonados en las últimas 5 cuotas. e) Determinar en que fecha el total amortizado supera el 75% de la deuda original. f) Si supiéramos que existe un sellado del 1% del importe de cada una de las cuotas, pagadero en el momento de contratación, determinar si el costo del préstamo supera el 127,758% efectivo anual. 150) Se recibe un préstamo de $1.000.000, amortizable en 10 años por el sistema de cuota constante y amortizaciones crecientes en progresión geométrica. Sabiendo que la tasa que nos cobran es 6% efectivo anual para los primeros 4 años, 6,5% efectivo anual para los 3 siguientes y 7% para los restantes y si los gastos de otorgamiento ascienden a $11.000, se pide: a) Anualidad constante. b) Deuda al principio del cuarto año. c) Cuotas de interés de los años sexto y noveno. d) Costo de la operación. 151) Se presta un capital de $200.000, bajo el sistema de cuota constante (compuesta de amortización e intereses y tasa sobre saldos, al 7% efectivo anual de interés. Sabiendo que al cabo de 6 años el capital pendiente de amortización es la mitad del prestado, se pide: a) Plazo del préstamo. b) Cuota. c) Composición de la cuota del tercer año. 152) La venta de un préstamo del que restan 7 años es $727.105,18. Si se sabe que: a) el préstamo se amortiza por el sistema de amortización creciente en progresión geométrica, b) la cuota de interés del año en curso hubiera sido $50.000, c) la cuota de amortización del año anterior fue de $75.000 y d) la tasa del préstamo es un 1% superior a la de la venta, se pide: a) Calcular la tasa del préstamo. b) Calcular la tasa de la venta. c) Calcular la cuota. d) Calcular el capital adeudado al momento de la venta. 153) Una compañía obtuvo de un banco 3 préstamos en dólares, amortizables mediante el sistema francés, según el siguiente detalle: Fecha Enero ‘59 Enero ‘63 Enero ‘70
Monto u$s 100.000 U$s 60.000 U$s 30.000
TEA 6% 7% 8%
Plazo 30 años 40 años 30 años
Si para unificar sus deudas, a fines de diciembre de 1977 y luego de pagada la cuota vencida, dicha compañía solicita a su acreedor que las 3 deudas queden unificadas en una sola a 30 años, determinar la nueva anualidad si el acreedor pretende un rendimiento del 6,78% nominal anual para operaciones a 365 días.
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154) Una persona tomó prestados $100.000, reembolsables por el sistema de amortización creciente en progresión geométrica en 20 años, al 4% efectivo anual de interés. Se pide: a) Calcular la cuota b) Calcular el interés del primer año c) Calcular la amortización del primer año d) Calcular la amortización del último año e) Calcular el año en que se amortizan $6.047 f) Calcular el momento en que la anualidad será el duplo del interés. 155) Un préstamo de $8.000 contratado el 01/07/93 se amortiza bajo las siguientes condiciones: a) El sistema contratado es el de cuota constante (compuesta de amortización e intereses) y tasa sobre saldos de deuda. b) Las cuotas son de $550. c) Primer vencimiento: 01/08/93. d) Último vencimiento: 01/07/94. e) A partir de allí y con primer vencimiento el 01/08/94 se abonan 12 cuotas iguales, mensuales y consecutivas de $892,06. f) Tasa de interés 6,5% efectivo mensual hasta el 01/07/94. Determinar: a) Tasa de interés aplicable desde el 01/07/94. b) Saldo de deuda después de pagada la cuota 15. c) Amortización del período 16. d) Total de intereses pagados en los últimos 9 pagos. 156) A qué tasa efectiva mensual de interés se habrá concertado una operación por el sistema de amortizaciones constantes y tasa sobre saldos, si cancelándola en 24 cuotas, los intereses representan 1/3 de la suma pagada por todo concepto durante la operación. 157) Construir el cuadro de marcha, por el sistema de cuota decreciente en progresión aritmética, de un préstamo de $200.000, amortizable en 5 años al 5% efectivo anual de interés. 158) El 01/01/75 se obtuvo un préstamo de $10.000.000, cancelable en 20 anualidades vencidas al 5% efectivo anual, por el sistema en el que la cuota decrece en progresión aritmética. Se pide: a) Cuota de pago del 31/12/87 y su composición. b) Total de intereses pagados al 31/12/90. 159) Determinar el total de intereses que se abonarán para la cancelación de una deuda que, por el sistema de cuota capital constante y tasa sobre saldos, demandará 36 meses en amortizarse, sabiendo que el servicio del 18 avo mes es de $20000 y la tasa de interés es del 1,75% efectivo mensual. 160) Se adquiere una maquinaria y se la abona en 10 cuotas mensuales, iguales y adelantadas de $18.000. Sabiendo que se aplicaron intereses directos del 8% efectivo mensual, se pide: a) Valor de la maquinaria. b) Total de intereses a abonar. c) Costo de la operación.
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161) Un automóvil cuyo precio es de $400.000 se ofrece con 50% al contado y el saldo en 20 cuotas mensuales de $20.000 cada una. Determinar: a) La tasa directa que se usó en el cálculo de los intereses. b) Costo de la operación. 162) Se contrae una deuda de $1.000.000 a amortizar en 10 cuotas constantes considerando un interés directo del 2% efectivo mensual. Se pide: a) Determinar el importe de la cuota constante. b) Determinar el total amortizado luego del quinto pago. c) Determinar el saldo de deuda luego de pagada la octava cuota. d) Costo de la operación. e) Si el deudor cancela la deuda junto con el quinto pago: 1. ¿Cuál es el costo de la operación? 2. ¿Cuándo debería haber abonado para que el costo de la operación fuera el obtenido en d. 163) Una deuda de $2.000.000 a 10 años se amortiza por el sistema en el cual el saldo de deuda al inicio se paga junto con la última cuota. Se pide: a) Cuota de capital que debe depositarse en una entidad financiera al 3,5% efectivo semestral. b) Cuota de intereses al 5% semestral. c) Cuota total. d) Habiéndose abonado 15 cuotas semestrales, ¿de cuanto debe disponerse para cancelar la deuda? 164) Si en una operación a 24 meses por una deuda de $10.000.000, concertada por el sistema en el cual el acreedor solo cobra intereses hasta el último período, la tasa es del 3% efectiva mensual, determinar a que tasa efectiva mensual debe constituirse el fondo para que la operación resulte sin costo. 165) Se contrae un préstamo por $100.000 amortizable en 8 meses por el sistema en el cual el saldo de deuda al inicio se paga junto con la última cuota, siendo la tasa que nos cobran del 15% efectiva mensual. Si una entidad financiera nos ofrece una tasa del 13% efectivo mensual para obtener el valor del préstamo al culminar el plazo, determinar: a) Valor total de la cuota. b) Costo de la operación. c) Tasa real que representa el costo de la operación, siendo la inflación del 16% efectiva mensual. 166) Se contrata un préstamo de $100.000 pagadero en 60 cuotas a una tasa del 2,5% efectivo mensual, siendo la fecha de otorgamiento el 01/03/93 y la del primer pago el 01/06/93. Determinar, si el préstamo se concertó por el sistema de cuota constante (compuesto de amortización e intereses) y tasa sobre saldos: a) Cuota de pago. b) Nueva cuota de pago si a partir de 1994 se modifica la tasa al 3,5% efectivo mensual. c) Importe a pagar el 01/01/94 para que no se modifique la cuota, habiendo subido la tasa. d) Si no hubiera cambio de tasa, ¿cuando se amortiza la mitad del préstamo que incluye los intereses del diferimiento? e) Determinar el total de intereses abonados en 1996.
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167) Una casa de artículos del hogar nos ofrece la venta de un producto bajo dos condiciones distintas de pago: a) Adelanto 30%, saldo 10 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, con el 1,2% directo de intereses. b) Adelanto 20%, saldo en 5 cuotas iguales, bimestrales y consecutivas, con el 2,5% directo de interés bimestral. Determinar cual es la alternativa más conveniente desde el punto de vista financiero para el comprador. 168) Una compañía financiera ofrece créditos a devolver en 10 cuotas mensuales con sistema de amortización francés o alemán a elección del cliente, siendo para ambos sistemas la tasa de interés mensual del 2% y los gastos del crédito del 10% del valor obtenido. Elija la opción más conveniente desde el punto de vista económico y financiero. 169) Si deseo cobrar por un préstamo un interés del 10%, ¿cuál es la tasa directa que debo aplicar si dicho préstamo es de $1.000 y me lo reintegran en 5 períodos? 170) Una persona constituye un préstamo de cuotas fijas (compuesta de amortización e intereses) y tasa sobre saldos. Sabemos que pagó entre el período 7 y 8 intereses por $793,22, que durante el período 4 amortizó $652,96 y que entre el período 4 y 10 inclusive acumuló una amortización de $4.854,27. Se pide deducir: a) La tasa de la operación. b) La cantidad de períodos. c) Valor del préstamo. d) Composición de la cuota 9. 171) Una persona recibe un préstamo por $50.000 a pagar en 30 años por medio de un sistema de amortización constante y tasa sobre saldos, con una pequeña variación, la amortización de los últimos 15 años es el doble de la de los primeros 15, a su vez sabemos que la tasa permaneció constante durante los primeros 15 años y que luego aumentó un 1%. También conocemos la cuota Nº 18, que es igual a $3.666,66. Se pide: a) Averiguar la tasa de los primeros y de los últimos 15 años. b) También la composición de la cuota 7. 172) Se solicita un préstamo de $100.000 a devolver mediante un sistema americano en 10 cuotas. Sabiendo que la cuota total es de $12.024.14 y que la tasa que paga el banco donde se decidió constituir el fondo amortizante es del 3% efectivo, pedimos averiguar: a) La tasa del prestamista. b) El costo de la operación. c) La tasa directa que hubiera correspondido a un préstamo de tales características, justificando las diferencias existentes entre esta y el costo de la operación.
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1.6. Evaluación de Proyectos 173) Dos proyectos mutuamente excluyentes tienen los siguientes flujos de efectivo proyectados: A Costo 9.000
Período 0 1 2 3
B Flujo de Fondos Costo 12.000 5.000 4.000 3.000
Flujo de Fondos 5.000 5.000 8.000
Calcule para cada proyectos la TIR, su período de recuperación, Índice de Rentabilidad y el VAN utilizando una tasa de corte del 15%. 174) Dos proyectos mutuamente excluyentes tienen los siguientes flujos de efectivo proyectados: Período A B
0 (10.000) (10.000)
1 5.000 0
2 5.000 0
3 5.000 0
4 5.000 30.000
Determine: a) La tasa interna de rendimiento para cada proyecto. b) Suponiendo una tasa de rendimiento requerida del 10%, determine el VAN para cada proyecto. c) ¿Qué proyecto seleccionaría? ¿Qué suposiciones influyen en su decisión? 175) Zaire Electronics puede realizar una y solo una de las dos inversiones al momento 0. Suponiendo una tasa de rendimiento del 14%, determine para cada proyecto: a) b) c) d) e)
El período de recuperación. El valor actual neto. El índice de rentabilidad. Tasa interna de rendimiento. Grafique cada uno de los proyectos.
Suponga para la depreciación el sistema lineal de 5 años y que la tasa de impuesto a las ganancias es del 20%. Proyecto
Costo
1
A B
(28.000) 8.000 (20.000) 5.000
2
3
4
5
6
7
8.000 5.000
8.000 6.000
8.000 6.000
8.000 7.000
8.000 7.000
8.000 7.000
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176) SEA – FLY dispone de la opción de comprar una cierta tecnología para investigación y desarrollo con un costo de $60.000. Se espera que al contar con este equipo puedan prescindir de un trabajador de tiempo completo, con un ahorro anual de $20.000. La computadora tiene una vida útil de cinco años. Impuesto a las ganancias: 40% y la tasa de rendimiento requerida después de impuestos sobre el proyecto es del 15%. a) ¿Cuál es el valor actual neto? b) Si fuera necesario un capital de trabajo de $5.000 además del costo de la computadora y este importe adicional se necesitara a lo largo de la vida del proyecto, ¿Cuál sería el efecto sobre el valor actual neto? 177) TRULY CLOTHES está comprando dos máquinas tejedoras de igual eficiencia para llevar a cabo un trabajo de rutina. La máquina “Bob” tiene una vida económica de dos años, gastos de mantenimiento de $100 al año y un precio de $5.000. La máquina “Whip” cuesta $8.000 y durará tres años con gastos de mantenimiento de $500 anuales. Bajo su sistema producción Truly Clothes necesitará una máquina de hilar de este tipo durante muchos años. Tasa de impuestos a las ganancias 0%. Si su tasa de rendimiento requerida es del 15%, ¿Qué modelo deberá seleccionar? 178) Una empresa analiza los siguientes proyectos mutuamente excluyentes entre sí. Tasa de corte 6%. Período 0 1 2 3 4 5 6 7
A (2.000) 500 500 500 500 500 500 500
B (800) 200 200 200 200 200 200 200
¿Cuál es el proyecto más conveniente? Justifique su respuesta. 179) Se analiza la formación de una sociedad para explotar varias plantaciones de cañas de azúcar. Para ello estima contar con una transportadora pesada. Dicho equipo tiene un costo en plaza de $1.100 al contado. Sin embargo existe la posibilidad de alquilarlo por 5 años en los siguientes términos: los 3 primeros años con un alquiler de $315 anuales, el cuarto año $260 y el quinto $250. El monto del alquiler incluye servicio y mantenimiento. Otros datos: los ahorros operativos por utilizar este equipo alcanzan a $300 anuales. La vida útil de la maquinaria es de 5 años, calculándose que su valor de reventa (al final del quinto año) alcanzará los $20. Los costos de mantenimiento (solo en caso de compra) ascenderán a $10 anuales. La empresa estima una tasa de impuesto de las ganancias del 20% que se estima abonar al año siguiente. Sabiendo que la tasa de corte fijada por la empresa es del 10% anual, determinar el VAN de las dos alternativas y decidir la alternativa mas aconsejable. Justifique.
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180) “Corparation” puede invertir en un proyecto que cuesta $100.000 y tiene una vida útil de 5 años. Los flujos de efectivo esperados del proyecto son: Años
1 20.000
2 40.000
3 40.000
4 30.000
5 20.000
La tasa de impuesto a las ganancias es del 50% y su costo de capital sobre la base de las condiciones actuales en los mercados financieros es del 12%. La empresa utiliza el sistema de depreciación en línea recta y depreciará en 5 años. a) Calcule el VAN del proyecto, TIR, pay-back e índice de rentabilidad. 181) Considere los proyectos A y B: Proyecto A B
0 (4.000) (2.000)
1 2410 1310
2 2930 1720
TIR 21% 31%
El costo de oportunidad del capital es inferior al 10%. Utilice criterio TIR para determinar qué proyecto deberían ser aceptados si: A.- pueden emprenderse ambos y B.- si solo uno puede emprenderse. 182) Una inversión tiene un flujo de ingresos de $200 hoy, un flujo de egresos de $300 al final del año 1 y un flujo de ingresos de $400 al final del año 2. ¿Cuál es su tasa interna de rendimiento? 183) Una empresa analiza dos proyectos independiente y excluyentes con las siguientes distribuciones de probabilidad discreta de los flujos de efectivo esperado en cada uno de los 3 años de vida del proyecto. A Flujo 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000
Probabilidad 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10
B Flujo 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000
Probabilidad 0.10 0.25 0.30 0.25 0.10
La inversión inicial requerida es de $9.500 y la tasa de costo de oportunidad del 10%. Se pide que determine para cada proyecto: a) El valor actual neto esperado b) La desviación estándar en torno al valor esperado c) El coeficiente de variabilidad e interpretarlo d) La probabilidad de que el VAN sea mayor a cero e) Si la empresa acepta proyectos que maximicen el VAN esperado y menor riesgo, ¿Cuál eligiría?
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184) Una empresa ha determinado la siguiente distribución de probabilidad discreta para los flujos de fondos netos a generar por un proyecto bajo estudio. Posible ingreso 1 2 3
Probabilidad % Año 1 0.50 0.10 0.40
Año 2 0.20 0.10 0.70
Año 3 0.00 0.50 0.50
La inversión inicial requerida es de $5 y la tasa mínima de aceptación es del 5% anual. Si la empresa acepta solamente aquellos proyectos rentables que tengan probabilidad superior al 90% de tener VAN positivo y además que el coeficiente de variabilidad no sea mayor al 0.6, ¿el proyecto debería realizarse?
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2. RESUELTOS 2.1. Interés Simple y Compuesto 1)
0
180 días
C0 = 1000
Cn
i anual = 0,08 Como la tasa utilizada debe corresponderse con el período de la operación, debemos hallar la tasa correspondiente a 180 días. Cn = 1000 . (1 + 0,08.180/365) Cn = 1039,45
2)
0
30 días
C0
Cn = 100
i anual = 0.07 I(0,n) = Cn – C0
(1)
Sabiendo que: Cn = C0 . (1 + i . n) Reemplazando en (1) I(0,n) = C0 . (1 + i . n) – C0 = C0 . ((1 + i.n) – 1) = C0 . i .n (5) C0 = I (0,n) /i.n = 100/(0,07 . 30/365) = 17380,95 3)
14/5 1000
18/6
30/11
500
Cn 0,07
0,065
Mayo Junio Julio
n1 17 30 31
n2
Agosto Septiembre Octubre Noviembre Total
31 30 31 30 200
31 30 31 30 165
12 31
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Cn = C1 . (1 + i1.n1) + C2 . (1 + i2.n2) = 1000 . (1 + 0,065 . 200/365) + 500 . (1 + 0,07 . 165/365) = 1551,44
4)
0
3
5 meses
23000 Cn = C0 . (1 + i)
32000
n
i = (Cn /C0) 1/n – 1 = (32000/23000)
1/2
–1
i = 0,1795 5)
0
48 meses
C0
6352,45
i(365/30) = 0,005 C0 = Cn. (1 + i) –n = 6352,45 . (1 + 0,005) = 5000
–48
6)
0
12
1000
1093.81
(365/30) = ? 1000.( 1 + i(365/30) ) 12 = 1093,81 Realizando el despeje i(365/30) = (1093,81/1000) 1/12 – 1 = 0,0075
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35
7)
0
n meses
10000
13428,88 i(365/30) = 0,008
Sabiendo que: Cn = C0 . (1 + i) n Cn /C0 = (1 + i) n ln(Cn /C0) = n . ln(1+ i) ln(Cn /C0) / ln(1 + i) = n ln(13428,88/10000) / ln(1 + 0,008) = n 37 = n 8)
0
1
2
C1
3
C2
0.03
4 23000
0.07
0.08
0.09
23000 = C1 . (1 + 0,07) . (1 + 0,08) . (1 + 0,09) 18259,707 = C1 23000 = C2 . (1 + 0,08) . (1 + 0,09) 19537,8865 = C2 9) 05/01
1000
05/02
01/04
30/05
5000 i = 0,125
Cn i = 0,135
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Total
26 28 23 31 31 85 54
30 30 60
a.- Cn1 = 1000 . [1 + 0,125 . 85/365 + 0,135 . 60/365] Los intereses capitalizan solo en el final. Cn2 = 5000 . [1 + 0,125 . 54/365 + 0,135 . 60/365] Cn = 1051,301 + 5203,425 = 6254,726 b.- Cn1=1000.(1 + 0,125.85 /365).(1 + 0,135.60/365) * Cn2= 5000.(1 + 0,125.54/365).(1 + 0,135.60/365) Cn = 1051,947 + 5205,477 = 6257,424 c.- Cn1 = 1000.(1+0,125.26/365).(1+0,125.28/365).(1+0,125.31/365). (1+0,135.30/365)2 Cn2 = 5000.(1+0,125.23/365).(1+0,125.31/365). (1+0,135.30/365)2 Cn = 1052,363 + 5206,5311 = 6258,894
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36 10)
0
10
n meses
100.000
236.844
i(365/30)=0,03 i(365/90) = 0,12 236844 = 100000.(1+0,03)10.(1+0,12)m trimestres (236.844/100.000).(1+0,03)-10 = (1+0,12)m ln(1,762342) = m.ln(1,12) ln(1,762342) = m ln(1,12) 5=m Como la tasa del 12% es trimestral “m” expresa trimestres 15 meses, siendo la duración total de la operación 25 meses.
11)
0 250.000
3
6 meses
X
1.000.000
Siempre la tasa debe corresponderse con el período de la operación o con los subperíodos considerados en la misma. La tasa que nos da el ejercicio es una i anual = 0,72. Como en este caso la capitalización es mensual, debemos hallar la tasa mensual equivalente a esa i nominal anual. i(365/30)= 0,72.30/365 1.000.000 = 250.000.(1+0,05918)6 + X.(1+0.05918)3 647013,06 = X.(1+0.05918)3 544507,33 = X
12)
01/07
3000
28/08
1500
05/09
14/09
2200
(900)
30/09
Cn
Cn = 3000.(1 + 0,06.91/365) + 1500.(1 + 0,06.33/365) + 2200.(1 + 0,06.25/365) - 900.(1 + 0,06.16/365) Cn = 5859,688
______________________________________________________________________________ 13) 1/4/5
30/6/5
1/8/05
500
1/11/05
1/2/06
(350)
I (0,n)
700
i = 0,084
i = 0,108
I (0,n) = 500.(0,084.90/365 + 0,108.216/365) + 700(0,108.184/365) – 350.(0,108.92/365) = 42,312 + 38,111 – 9,528 = 70,895 14) 0
20
50 días
C1
C2
3542,74 i=0,11
i=0,12
C1 + C2 = 3500 (1) C1 = 3500 – C2 3542,74 = C1.(1 + 0,12.50/365) + C2.(1 + 0,11.30/365) (2) Reemplazando C1 por su expresión en (2) 3542,74 = (3500 – C2).(1 + 0,12.50/365) + C2.(1 + 0,11.30/365) = 3557,5342 – C2.1,01644 + C2.1,009041 2000,27 = C2 Volviendo a la expresión (1) C1 = 3500 – 2000,27 C1 = 1499,73 15) Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos por sustitución C1 + C2 = 5000 C1 = 5000 – C2 (1) I(0,n) = C1.0,09535.90/365 + C2.0,09535.150/365 = 148,90 (2) Reemplazando C1 por su expresión en (2) 148,90 = (5000 – C2).0,02351 + C2.0,03918 = 117,55 – C2.0,02351 + C2.0,03918 31,35 = C2.0,01567 C2 = 2000,64 C1= 5000 – 2000,64 = 2999,36
37
_____________________________________________________________________________
38 16)
0
30
C1
C2
90 días
498.630,14 i = 1,4
i = 1,2 C1 + C2 = 400.000 C1 = 400.000 – C2 (1) 498.630,14 = C1.(1 + 1,2.90/365) +C2.(1 + 1,4.60/365) (2) De (1) y (2) 498.630,14 = (400000 – C2).(1 + 1,2.90/365) + C2.(1 + 1,4.60/365) = 518356,16 – C2.1,29589 + C2.1,23014 300.000 = C2 aproximadamente C1 = 400.000 – 300.000 = 100.000 17)
0
18 años
C1
Cn i = 0,10
C2
Cn i = 0,12
C1 + C2 = 10000 C1 = 10000 – C2 (1) C1.(1+0,10)18 = Cn C2.(1+0,12)18 = Cn (10000 – C2).(1+0,10)18 = C2.(1+0,12)18 55.599,173 – C2.5,5599 = C2.7,6899 55.599,173 = 13,2498.C2 4.196,227 = C2 C1 = 10.000 – 4.196,227 = 5.803,773
______________________________________________________________________________ 18)
0
24
C1
Cn1
i(365/30) = 0,01
C2
Cn2
i(365/60) = 0,02
Cn1 + Cn2 = 1268,69 C1 + C2 = 1000 C1 = 1000 – C2 (1) 1268,69 = C1.(1+0,01)24 + C2.(1+0,02)12 (2) 1268,69 = (1000 – C2).(1+0,01)24 + C2.(1+0,02)12 1268,69 = 1269,7346 – C2.1,2697346 + C2.1,268242 -1,0446 = -C2.0,0014926 699,85 = C2 C1 = 1000 – 699,85 = 300,15 19) I (0,n) = C.i.n sabiendo que I(0,n)= 3.C 3.C = C.i.n 3 = 0,04.n n = 75 años 20) I(0,n) = C0.[(1 + 0.04) n – 1] I(0,n) = 3.C0 3.C0 = C0.[(1 + 0,04) n – 1] 3 = (1+ 0,04) n - 1 4 = (1,04) n ln (4) = n . ln (1,04) n = 35,35 años 21)
1/8/04
1/8/05
1/2/06
100
Cn i = 0,084
i = 0,09
Cn = 100.(1 + 0,084 + 0,09.180/365) = 112,8384 22) Cn = 100.(1 + 0,084).(1 + 0,09.180/365) = 113,21
39
_____________________________________________________________________________
40 23)
0
1 i1 = 0,065
C
i2 = 0,05
C I1(0,n) = C.i1.n I2(0,n) = C.i2.n I1 – I2 = 600 C.i1.n– C.i2.n= 600 C.0,065 – C.0,05 = 600 C.0,015 = 600 C = 40000 24)
8/5
12/5
50000
19/5
31/5
80000
60000
I = 50000.0,3.5/365 + 80000.0,3.7/365 + 60000.0,3.12/365 I = 205,47 + 460,27 + 591,78 = 1257,53 25)
0
2 años i = 0,05
(7/12).C i = 0,045 (5/12).C (7/12).C.2.0,05 – (5/12).C.2.0,045 = 750 (7/120 – 3/80)C = 750 1/48.C = 750 C = 36.000 26) Lo primero que debemos hacer es armar el flujo de fondos Períodos Préstamo Devolución Intereses Sellado Gastos Acciones Total
0 100
(1) (2) (5) 92
1
2
3
4
5
(1,3)
(40) (1,3)
(0,78)
(0,78)
(60) (0,78)
(1,3)
(41,3)
(0,78)
(0,78)
4.95 (55,83)
92 = 1,3.(1+i)-1 + 41,3.(1+i)-2 + 0,78.(1+i)-3 + 0,78.(1+i)-4 + 55,83.(1+i)-5 T.I.R. = 2,3015%
______________________________________________________________________________
41
27) Período Préstamo Devolución Saldo mínimo Interés Sellado Total
0 100
1
2
3
(50) (2)
(2)
(50) 10,1467 (1)
(2)
(52)
(40,853)
(10) (1) 89
T.I.R. = 2,6827 28) 01/01/04
01/07/04
2500
3000
31/12/04
31/12/05
i = 0,08
31/12/06
i = 0,07
n
i = 0,12
a) Calculamos los intereses acumulados hasta el final de cada año, teniendo en cuenta que C n 1 = Cn + I(n, n+1) I (0,1) = 2500.0,08 + 3000.0,08.183/365 = 320,329 I (1,2) = 5820,329.0,07 = 407,423 I (2,3) = 6227,752.0,07 = 435,943 Intereses acumulados: I (0,1) = 320,329 I (0,2) = 727,752 I (0,3) = 1163,695 Como debemos fijarnos en que fecha los intereses acumulados alcanzan los $1150 y los intereses acumulados al final del año 2006 son $1164,45, queda en evidencia que en algún momento dentro del año 2006 los intereses alcanzaron los $1.150. Veamos entonces en que fecha. Hasta el año 2006, los intereses acumulados eran de $727,752 faltando para completar la suma deseada $422,248. El capital sobre el cual se calculan los intereses durante el año 2006 es de $6227,752 422,248 = 6227,752.0,07. 353,534 = n días
n días 365
Redondeando, el día 354 del año es el 20/12/06 b) Calculamos los intereses generados hasta el 31/12/06, teniendo en cuenta que es en esta fecha la primera capitalización. I (01/01/04, 31/12/06) = 2500.(0,08 + 0,07.2) + 3000.(0,08.183/365 + 0,07.2) = 1090,329 Faltan $59,671 para alcanzar la suma de intereses deseada.
42
_____________________________________________________________________________
Veamos que pasa con los intereses durante el 2007 i anual = 0,12 I (01/01/07, 31/12/07) = 6590,329.0,12 = 790,839 Llego a tener $1150 de intereses en algún momento del 2007 Como a partir del 2007 la tasa es del 12% nominal anual con capitalización mensual * i mensual = 0,12.30/365 = 0,009863 Calculamos los intereses generados en el mes de enero 6590,9863.0,009863 = $65 Dado que a principios de año faltaban $59,671 en algún momento del primer mes se alcanza la cifra de intereses deseada Calculo la tasa diaria equivalente a la tasa mensual anteriormente calculada i diaria = ( 1 + 0,009863) 1/30 – 1 = 0,0003272 6590,329.( 1 + 0,0003272) n días – 6590,329 = 59,671 Cn – Cn-1 = I(n-1, n) n = ln (1,009054)/ln(1,0003272) n = 27,55 El día número 28 del año 2007 es el 28/01/07. 29) i anual = 0,094 i(365/45) = 0,094.45/365 = 0,011589 C0.(1+i(365/45)) = 2000 C0 .(1+0,011589) = 2000 C0 = 1977,09 30) a) Interés simple 150000.(1+i.3) = 150000.(1+0,08+0,07+0,12) i = 0,09 b) Interés Compuesto 150000.(1+0,08).(1+0,07).(1+0,12) = 194140,8 150000.(1+i)3 = 194140,8 i = 0,0897876 31) Sabiendo que los importes de las colocaciones crecen en progresión geométrica y el primer capital es de $1.500 C1 = $1.500 C2 = C1.q = 1500.q C3 = C1. q2 = 1500. q2 I(0,n) = 1992,33 = 1500.0,45.120/365 + 1500.q.0,535.120/365 +
______________________________________________________________________________
43
1500.q2.0,63.120/365 1992,33 = 221,919 + 263,836.q + 310,685.q2 0 = -1770,411 + 263,836.q+ 310,685.q2 Hallamos “q” utilizando la fórmula Bhaskhara, (hallamos las raíces de esta ecuación de segundo grado)
q1, 2
q1, 2
b b 2 4ac 2a
263,836 69609 ,4345 4.310 ,685. 1770 ,411 2.310 ,685
Por ser de segundo grado, esta ecuación tiene dos soluciones: q1 = -2,89 q2 = 2 Rechazamos la primera solución ya que sabemos que la progresión es creciente, q = 2. C1 = $1.500 C2 = $3.000 C3 = $6.000 32) Sabiendo que los importes de las colocaciones crecen en progresión aritmética y que el tercer importe es de $8.400 C1 C2 = C1 + r C3 = C1 + 2.r C1 = C3 – 2.r = 8400 – 2.r C2 = C 3 – r I (0, n) = 3327,78 = (8400 –2.r).0,45.120/365 + (8400 – r).0,535.120/365 + 8400.0,63.120/365 = 1242,7397 – 0,29589.r + 1477,4795 – 0,1758904.r + 1739,8356 -1132,2747 = -0,4717804.r 2400 = r C1 = 3600, C2 = 6000 C3= 8400. 33)
0 C0
2 I(1;2) = 100
I (0,n) = C0.(1 + i)n – C0 = C0.[(1 + i)n –1] I (1,2) = C1.i = 100 Sabemos que C1 = C0.(1 + i) 100 = C0.(1 + i).i (1)
8 años I(7;8) = 126,5319
_____________________________________________________________________________
44
Por otro lado I (7,8) = C7.i = 126,5319 C7 = C0. (1 + i)7 126,5319 = C0. (1 + i)7.i (2) Despejando C0 en (1) y reemplazando en (2)
126 ,5319
100 .1 i 7 .i i1 i
Simplificando 126,5319 = 100.(1 + i)6
0,04 = i
Volviendo a (1) 100 = C0.(1 + 0,04).0,04 2403,8462 = C0 34) I(3,4) = C3.i Sabemos que 1000.(1+i.5) = 1300
i = 0,06
C3 = 1000(1+0,06)3 = 1191,016 I(3;4) = C3.(1+0,06) = 71,461 35)
0
2
6
$1000
$2000
8
15 meses
i = 0,06 a) C.(1 + 0,06.8)-1 = 1000.(1 + 0,06.2)-1 + 2000.(1 + 0,06.6)-1 C = 3497,8992 b) C.(1 + 0,06.7) = 1000.(1 + 0,06.13) + 2000.(1 + 0,06.9) C = 3422,5352 36) a) C.(1 + 0,06)-8 = 1000.(1 + 0,06)-2 + 2000.(1 + 0,06)-6 C = 3665,7191 b) C.(1 + 0,06)7 = 1000.(1 + 0,06)13 + 2000.(1 + 0,06)9 C = 3665,7191
______________________________________________________________________________
45
37)
0
2
6
7
8
1000 5000 C* 3000 i = 0,06 C* = 1000.(1 - 0,06.5)-1 + 5000.(1 - 0,06)-1 + 3000.(1 - 0,06) C* = 9567,7204 38)
0
1
2
4
12 //
1500
2000
3500
i(365/30)=0,1 C*
C* = 1500.(1 + 0,1)11 + 2000.(1 + 0,1)10 + 3500.(1 + 0,1)8 = 16969,7208
39) 1500.(1+0,1)11 + 2000.(1+0,1)10 + 3500.(1+0,1)8 = 7000 + x.(1+0,1)6 16969,72 –7000 = x.(1+0,1)6 5627,6475 = x
40)
0 C1
2 1000
6 5000
8 3000
10 meses C2
2C1 = C2 C1 + 2C1.(1 - 0,06)10 = 1000.(1 – 0,06)2 + 5000.(1 – 0,06)6 + 3000.(1 – 0,06)8 C1.( 1 + 2.(1 - 0,06)10 ) = 6161,6557 C1 = 2966,2845 41) a) 9000.(1 + 0,06)-n = 1000.(1 + 0,06)-2 + 5000.(1 + 0,06)-6 + 3000.(1 + 0,06)-8 n = 6,1293 n = 6 meses y 3 días b) 9000.(1 - 0,06.n) = 1000.(1 - 0,06.2) + 5000.(1 - 0,06.6) + 3000.(1 - 0,06.8) n = 6,2223 n = 6 meses y 6 días
_____________________________________________________________________________
46 42)
1/6/04
1/11/04 1/3/05
100
(32)
x
1/10/05 Cn
i(365/30) = 0,007
100.(1+0,007.16) = 111,2 Es el monto al que quiero llegar aunque haya modificado la operación original 100.(1+0,007.16) = 100.(1+0,007.16) – 32.(1+0,007.11) + x.(1+0,007.7) 32.(1+0,007.11) = x.(1+0,007.7) 34,464 = x.1,049 32,854 = x 43) 100.(1+0,007)16 = Cn = 111,8077 111,8077 = 100.(1+0,007)16 – 32.(1+0,007)11 + x.(1+0,007)7 32.(1+0,007)11 = x.(1+0,007)7 34,552 = x.1,05 32,91 = x 44)
0
2
5
C
5000
8000
9 10000
i(365/30)=0,12 a) C = 5000.(1+0,12)-2 + 8000.(1+0,12)-5 + 10000.(1+0,12)-9 C = 12131,4845 b) 9000.(1+0,12)9 + x = 5000.(1+0,12)10 + 8000(1+0,12)7 + 10000.(1+0,12)3 24957,71 + x = 47263,9723 x = 22306,2623 45)
0
3
0,2
0,4
Opción alternativa 0 x
5 meses 0,4 5 meses (1 - x)
i(365/30) = 0,02 Si el capital “C” del cual obtengo las proporciones a pagar en los distintos momentos es $100 20.(1+0,02)5 + 40.(1+0,02)2 + 40 = 103,698
______________________________________________________________________________
47
Como no se modifica el importe abonado 100.x.(1+0,02)5 + 100.(1-x) = 103,698 10,41.x = 3,698 x = 0,3552 El porcentaje de contado es del 35,52% Como se trata de un régimen compuesto, obtendríamos el mismo resultado si evaluáramos la operación en cero. 20 + 40.(1+ 0,02)-3 + 40.(1+ 0,02)-5 = 93,922 100.x + 100.(1-x).(1+0,02)-5 = 93,922 3,349 = 9,427.x 0,3552 = x 46) a) Considerando $100 el precio de contado y P el precio financiado, se plantea 100 = 0,2.P.(1 + 0,08) -1 + 0,4.P.(1 + 0,08.3) -1 + 0,4.P.(1 + 0,08.4) -1 = P.0,8108 123,34 = P Debe aumentar sus precios el un 23,34% b) Por pago al contado se puede hacer una bonificación de $23,34. Veamos entonces que porcentaje del total ($123,34) representa planteando un regla de tres 123,34 ________________ 100% 23,34 ________________ x % x = 18,92%
_____________________________________________________________________________
48
2.2. Descuento Simple y Compuesto 47) VA = VN.(1 – d.n) (1) D = VN – VA D = VN – VN.(1 – d.n) D = VN.d.n D = 10000.0,03.5 D = 1500 48) D D D D
= = = =
VN – VA VA/(1-d.n) – VA D = VA.(1/(1- d.n) – 1) 8500.(1/(1 – 0,03.5) –1) 1500
49) D = VN.d.n d = D/VN.n d = 1500/10000.5 d = 0,03 50) D = VN.d.n/365 n = (D/VN.d).365 n = (14794,52/100000.0,6).365 n = 90 51) D = VA.i.n/365 n = (D/VA.i).365 n = (8977,5/91022,5.0,6).365 n = 60 52)
4
1
0 VN
D = 250000
d = 0,07
d = 0,08
d(365/180) = 1 - (1 – d)180/365 d1(365/180) = 1 – (1- 0,08)180/365 d(365/180)= 0,04028 d2(365/180) = 1 – (1- 0,07)180/365 d(365/180)= 0,03515 D = VN.(1 – (1-d1).(1-d2)) 250000 = VN.(1 – (1-0,03515)3.(1-0,04028)) VN = 1788747,9
______________________________________________________________________________ 53)
n
0
VA
VN=4200
d = 0,03
VN=6000
d = 0,08
VA = 4200.(1 – 0,03)n VA = 6000.(1 – 0,08)n 4200.(1 – 0,03)n = 6000.(1 – 0,08)n 0,7 = (0,92/0,97)n ln(0,7) = n.ln(0,92/0,97) n = 6,73 6 meses y 0,73.30 días = 22 días. 54)
0
2 200000
5 X
6
8
500000
150000
X = 200000.(1-0,04)-3 + 500000.(1-0,04) + 150000.(1-0,04)3 X = 838766,53 55)
12
0 20000
D = 7232,17 D = 20000.(1- (1-d)3.(1-d)9) 7232,17 = 20000.(1- (1 – 0,07)3.(1 - d)9) 0,3616 = 1 - (1 – 0,07)3.(1 - d)9 (1 - d)9 = 0,7936 d = 0,02535 56)
0 20000 VA = 18000
i = 0,9 I = 20000.0,9.90/365 = 4438,35 a.VA = VN.(1-d) 18000 = 24438,35.(1-d.90/365) d = 1,068
3 VN =20000 + I = 24438,35
49
50
_____________________________________________________________________________
b.20000 = 24438,35.(1-d.90/365) d = 0,7365 57) 0
90
$10000
180
25000
30000
VA.
VA = 10000 + 25000.(1 – 0,6.90/365) + 30000.(1 – 0,48.180/365) VA = 54200 58) D = VN – VA 10000 = VN – VN.(1-d) 10000 = VN.0,4.90/365 VN = 101388,89 VA = VN.(1 – 0,4.90/365) – 0,01.VN VA =101388.(1 – 0,04.90/365 – 0,01) = 90375 59) 10000 = VN.0,4.90/365 + VN.0,01 10000 = VN.(0,4.90/365 + 0,01) VN = 92055,486 VA = 92055,486 – 10000 = 82055,486 60) 2
0
7500
VN D simple
8000 D compuesto
7500 = VN.(1 – d.2) 8000 = VN.(1 - d)2 7500.(1 – d.2)-1 = 8000.(1 - d)-2 7500.(1 - d)2 = 8000.(1 – d.2) (1 - d)2 = 16/15.(1 – 2.d) (1 – 2.d + d2).15 = 16 –32.d 15 – 30.d + 15d2 –16 +32d =0 15d2 +2d –1 = 0
d1, 2
2 4 4.15. 1 6 d = 0,2 no hay tasa negativa. 30 30
8000 = VN.(1 – 0,2)2 VN = 12500
______________________________________________________________________________
51
61) 8000 = VN.(1 – d.3) 6000 = VN.(1 – d.4) 8000/(1 – d.3) = 6000/(1 – d.4) 8000.(1 – d.4) = 6000.(1 – d.3) 8000 – 32000.d – 6000 + 18000.d = 0 2000 = 14000.d d = 0,1428 VN = 6000/(1 – 0,1428.4) VN = 14000 62)
1/7/87
1/8/87 VA
Noviembre Octubre Septiembre Agosto Total
28 31 30 30 119
29/9/87
30/10/87
50000
VN
28/11/87 100000
29 30 59
VA = 100000.(1 – 0,5.119/365) + 50000.(1 – 0,6.59/365) VA = 128849,32 VN = 128849,32/(1 – 0,6.90/365) VN = 151221,86 63)
0
30
60
85000 (5000) 80000
VN
VN
Necesita $80000, pero como tiene que pagar $5000 en concepto de sellado, debe pedir prestados 85000. 85000 = VN.(1 – 0,8.30/365) + VN.(1 – 0,8.60/365) 85000 = VN.(1 – 0,8.30/365 + 1 – 0,8.60/365) VN = 47150,456
52
_____________________________________________________________________________
64)
0
3
VA
24
X
1000000
i=?
d = 0,12 d(365/180) = 0,07
VA = 1000000.(1 – 0,07)4 VA = 748052,01 X = 1000000.(1 – 0,12)1,75 X = 799548,25 799548,25 = 748052,01.(1 + i)90/360 i = 0,3051 65) Tasa efectiva subperiódica: i(360/90) = (1+0,72) 90/360 – 1 Cuota de Interés: I = 1000000.((1 + 0,72)90/360 – 1) = 145.202,04 Cada una de las cuotas de interés cobradas se reinvierten hasta el final del período utilizando la tasa de descuento del 18% efectiva trimestral. Cuota Interés 0 1 2 3 4 Monto
145.202 145.202 145.202 145.202
Tasa Dto 0,18 0,18 0,18 0,18
Factor Valor Cuota Reinvertida Capitalización al Final del Período 2,21179 321.157 1,81367 263.349 1,48721 215.946 1,21951 177.076 1.000.000 1.977.527,2
Al final del año se cobra, aparte de las cuotas de interés reinvertidas, el monto original del préstamo de $1.000.000.
______________________________________________________________________________
53
2.3. Equivalencia de tasas 66) M = C.(1 + i(365/45)) i(365/45) = 10500000/10000000 – 1 = 0,05 j(365/45) = i(365/45).365/45 = 0,405 i = [1 + i(365/45)]365/45 –1 = 0,4854 67) 1030000 = 1000000.(1 + i(365/7)) 1030000/1000000 – 1 = 0,03 j(365/7) = i(365/7).365/7 0,03.365/7 = 1,564 i = (1 + i(365/7))365/7 – 1 = 3,67 68) M = 1000000.(1 + 0,2)12 = 8916100,44 69) i(365/90) = j(365/90).90/365 M = 1000000.(1 + (0,84.90/365))12 = 9572371,39 70) M = 1000000.(1 + [(1 + 0,8)90/365 –1])12 = 5692812,29 71) d(365/8)
i(365/19)
j(365/90)
d(365/7)
i
i(365/20)
f(365/1)
20.00%
69.89%
4586.60%
17.74%
2639385.88%
74.69%
1004.0247%
0.20%
0.47%
9.20%
0.17%
9.52%
0.50%
9.09606%
0.59%
1.42%
28.10%
0.52%
31.22%
1.50%
27.161606%
1.36%
3.31%
67.68%
1.19%
87.00%
3.49%
62.5402%
0.32829%
0.784040%
15.284048%
0.287316%
16.1870063%
0.8254752%
15.00%
0.03%
0.08%
1.57%
0.03%
1.58%
0.09%
15.644868%
c) 72) a.- i = 1,75 aa.- i(365/150) = (1 + i)150/365 –1 = 0,5154 ab.- i(365/30) = (1 + i)30/365 – 1 = 0,0867 ac.- i(365/90) = (1 + i)90/365 – 1 = 0,2833 ad.- j(365/150) = i(365/150).365/150 = 1,2541 ae.- j(365/45) = [(1 + i)45/365 –1].365/45 = 1,077 b.- (1 + i.5) = (1 + 1,75)150/365 0,1031
54
_____________________________________________________________________________
73) a.- i = 2,67 b.- i(365/120) = 0,89 i = (1 + i(365/120)365/120 – 1 = 5,93 c.- i = 2,67 d.- i(365/90) = 0,2 i = (1 + i(365/90)365/90 –1 = 1,09 e.- j(365/30) = 2,67 i = (1 + j(365/30)/(365/30))365/30 – 1 = 10,17 74) J(365/120) = 1,4 i(365/30) = (1 + j(365/120)/(365/120))30/120 –1 = 0,0992 75)
210
90
1000
VA90
0 VN = 1000 + I
=> j(365/210) = 1,2
f(365/90) = 0,92 I = 1000.(j(365/210)/(365/210) = 690,41 VA90 = 1690,41.(1 – f(365/90)/(365/90)) = 1306,94 i(365/120) = 1306,94/1000 – 1 = 0,3069 a.- j(365/120) = i(365/120).365/120 = 0,9336 b.- f(365/120) = [1 – (1 + i(365/120))-1].365/120 = 0,7143 c.- i(365/30) = (1 + i(365/120))30/120 – 1 = 0,0692 d.- i = (1 + i(365/120))365/120 –1 = 1,2574 76)
0
1
2
3
6 j(365/30) = 0,72
1000
3000 4000
i(365/30) = j(365/30).30/365 = 0,05917 a.- X1 = 1000.(1 + 0,05917) + 3000.(1 + 0,05917) -1 + 4000.(1 + 0,05917) -2 X1 = 7457,07 b.- X0 = 1000 + 3000.(1 + 0,05917) -2 + 4000.(1 + 0,05917) -3 X0 = 7040,43 c.- X6 = 1000(1 + 0,05917)6 + 3000.(1 + 0,05917)4 + 4000.(1 + 0,05917)3 X6 = 9940,62 d.- 500.(1,05917) + 7000.(1,05917) –5 + X1 = 1000(1,05917)1 + 3000.(1,05917)-1 + 4000.(1,05917)-2 X1 = 1676,352 e.- 1000.(1,05917)3 + X + 2X.(1,05917) –2 = 1000(1,05917)3 + 3000.(1,05917)1 + 4000 2,782.X = 7177,53 X = 2579,28 f.- Financieramente son todas indistintas pues todas tienen un rendimiento del 5,91% mensual.
______________________________________________________________________________
55
77) i = 2,50 i(365/30) = (1 + i)30/365 – 1 = 0,108 300000 = X.(1 + 0,108)–3 + 2.X.(1 + 0,108)–9 X = 196596,45 D3 = 196596,45; D9 = 393192,90 78) a.- j(365/30) = [(1 + i)30/365 –1].365/30 = 0,1317 b.- j(365/45) = [(1 + i)45/365 –1].365/45 = 0,1320 c.- j(365/60) = [(1 + i)60/365 –1].365/60 = 0,1324 d.- j(365/90) = [(1 + i)90/365 –1].365/90 = 0,1331 e.- j(365/105) = [(1 + i)105/365 –1].365/105 = 0,1335 f.- j(365/180) = [(1 + i)180/365 –1].365/180 = 0,1353 g.- j(365/365) = [(1 + i) 365/365 –1].365/365 = 0,14 79) i = [1 + j(365/30)/(365/30)]365/30 – 1 = 0,2194 j(365/45) = ([1 + (i – 0,01)]45/365]– 1).365/45 = 0,1923 j(365/60) = ([1 + (i – 0,02)]60/365]– 1).365/60 = 0,1845 j(365/90) = ([1 + (i – 0,03)]90/365] – 1).365/90 = 0,1772 j(365/105) = ([1 + (i – 0,04)]105/365] – 1).365/105 = 0,1690 j(365/120) = ([1 + (i – 0,05)]120/365]– 1).365/120 = 0,1606 j(365/180) = ([1 + (i – 0,06)]180/365]– 1).365/180 = 0,1534 80) a.- f(365/15) = 0,5 i(365/30) = [(1 – f(365/15)/(365/15))–30/15] – 1 = 0,04239 i(365/90) = [(1 – f(365/15)/(365/15))–90/15] – 1 = 0,13266 f(365/90) = 0,5 i(365/30) = [(1 – f(365/90)/(365/90))–30/90] – 1 = 0,04483 i(365/90) = [(1 – f(365/90)/(365/90))–1] – 1 = 0,14062 b.- f(365/15) = 0,5 i(365/30) = [(1 – (f(365/15)/(365/15) + 0,01))–30/15] – 1 = 0,06401 i(365/90) = [(1 – (f(365/15)/(365/15) + 0,01))–90/15] – 1 = 0,20459 f(365/90) = 0,5 i(365/30) = [(1 – (f(365/90)/(365/90) + 0,01))–30/90] – 1 = 0,04883 i(365/90) = [(1 – (f(365/90)/(365/90) + 0,01))–1] – 1 = 0,1537 81) f(365/30) = [1 – (1 + 0,24)-30/365].365/30 = 0,2132 f(365/90) = [1 – (1 + 0,24)-90/365].365/90 = 0,2095 82) j(365/30) = 0,18 i = i + 0,04 = 0,2356 f(365/30) = [1 – (1 + f(365/60) = [1 – (1 + f(365/75) = [1 – (1 +
= (1 + j(365/30)/(365/30))365/30 – 1 = 0,1956 i deseada 0,2356)–30/365].365/30 = 0,2097 0,2356)–60/365].365/60 = 0,2079 0,2356)–75/365].365/75 = 0,2070
_____________________________________________________________________________
56 83)
a.- d(365/60) = 0,05 i(365/30) = (1 – d(365/60))-30/60 – 1 = 0,0259 b.- d(365/30) = 0,03 i(365/30) = (1 – d(365/30))–1 –1 = 0,0309 c.- d(365/30) = 0,04 i(365/30) = (1 – d(365/30))–1 –1 = 0,0416 d.- i(365/60) = 0,012 (1 + i(365/30)) = (1 + i(365/60))1/2 = i(365/30) = 0,005982 84) (0;6) = 0,12 (0,1) = (1 + (0;6))1/6 – 1 = 0,01906 (1 + ia) = (1 + ir).(1 + ) ia = (1 + 0,005).(1 + 0,01906) – 1 0,0241 85) j(365/31) = 0,1 i(365/31) = 0,0084 a.- (1 + ia) = (1 + ir).(1 + ) (0;31) = (1 + 0,00840)/(1 + 0,003) – 1 = 0,005476 b.- i = (1 + 0,0084)365/31 – 1 = 0,1047 86)
01/03 (9000)
16/03
01/05
2500
7000
marzo = 1086,42/1065,12 – 1 = 0,01999 abril = 1106,09/1086,42 –1 = 0,0181 9000 = 2500.(1 + 0,01)-1/2.(1 + marzo)-1/2 + 7000.(1 + 0,01)–2.(1 +marzo)–1. (1 + abril)–1 9000 < 9070,98 Al ser mayor el valor presente descontado que la inversión inicial, se considera que el rendimiento fue superior al 1%. 87) a.- i(365/30) = (1 - d(365/30))-1 – 1 = 0,06382 ir = (1 + 0,06382)/(1 + 0,016) –1 = 0,047 b.-
0
1
2
C
X
X
______________________________________________________________________________
57
2.X = C.1,06 X.(1 - d(365/90)) + X.(1 - d(365/90))2 = C 0,53.C.(1 - d(365/90)) + 0,53.C.(1 - d(365/90))2 = C Si C = 1 0,53.(1 - d(365/90)) + 0,53.(1 - d(365/90))2 = 1 (1 – d(365/90)) = u 0,53.u + 0,53u2 – 1 = 0 [-0,53 +/- (0,2809 – 4.0,53.(-1))1/2]/2.0,53 u = 0,96177 como u = (1 – d(365/90) d(365/90) = 0,038222 i(365/30) = (1 – 0,038222) -30/90 – 1 = 0,01307 ir = (1 + 0,01307)/(1 + 0,01) –1 = 0,00304 c.- f(365/180) = 1,2 i(365/30) = (1 – f(365/180)/(365/180))–30/180 – 1 = 0,161 ir = (1 + 0,161)/(1 + 0,016) –1 = 0,1427 88) (1 + ia) = (1 + ir).(1 + ) ia = (1 + 0,02).(1 + 0,15) –1 ia = 0,173 j(365/90) = 0,173.365/90 = 0,7016 89) La inflación del trimestre fue: = 122,058/105,000 – 1 = 0,1624 La inflación fue mayor a la esperada, entonces la previsión fue insuficiente. ir = (1 + 0,173)/(1 + 0,1624) –1 = 0,009069 ir(365/30) = (1 + i(365/90))30/90 – 1 = 0,00301
58
_____________________________________________________________________________
2.4. Problemas Combinados 90) f(365/90) = 0,36 d(365/30) = 1 – (1 – f(365/90)/(365/90))30/90 = 0,03051 a.- D = VN – VA D = VN – VN.(1 – d) = D = 10000.(1 – (1 – 0,03051)5) = 1435,23 b.- D1 = VN.(1 – (1 – 0,03051)) = 305,10 c.- D3 = VN.(1 – 0,03051)2.0,03051 = 286,77 primero se halla el valor actual en el período Nº 2 y luego se encuentra el descuento correspondiente al tercer período. 91) a.- i(365/90) = (1 + 0,11)90/365 – 1 = 0,02606 b.- i(365/90) = j(365/90).90/365 = 0,02589 c.- 86,7.(1 – 0,005) = 85.(1 + 0,004).(1 + i(365/90)) i(365/90) = 0,01085 92) Tir(365/180) = (1 + 0,13)180/365 – 1 = 0,06212 j(365/180) = 0,12 i(365/180) = 0,12.180/365 = 0,05917 Se considera que el VN = $1
0
1
2
3
4
5
6
(9600) 591,78 591,78 591,78 591,78 591,78 10000 + 591,78 9600 = 591,78.(1 + 0,06212)-1 + 591,78.(1 + 0,06212)-2 + 591,78.(1 + 0,06212)-3 + 591,78.(1 + 0,06212)-4 + 591,78.(1 + 0,06212)-5 + 10591,78.(1 + 0,06212)-6 9600 = 2890,64 + 6965,39 9600 < 9856,03 Al ser mayor el Valor descontado de los flujos de fondos la operación rindió mas del 13% anual. 93)
5
0 d
X i
VN= 240000 239400
240000.(1 – d.5).(1 + i.5) = 239400 d=i 240000.(1 – i.5).(1 + i.5) = 239400 0,9975 = 1 + i.5 – i.5 – (i.5)2 i = 0,01. 94) a.- 93.(1 – 0,006) = 89.(1 + 0,004).(1 + i(365/70)) i(365/70) = 0,034536 b.- i(365/70) = (1 + 0,015).(1 + 0,014)40/30 – 1 = 0,03399 c.- f(365/70) = [1 – (1 + 0,034536)–1 ].365/70 = 0,1740
______________________________________________________________________________
59
95) d(365/90) = f(365/90).90/365 = 0,04931 VA = 1000000.(1 – 0,04931) = 950684,931 Depósito = 100000 En mano le queda 850684,931 i(365/90) = j(365/90).90/365 = 0,2.90/365 = 0,04931 I = 100000.(1 + 0,04931) = 104931,50
90
0
950.684,931 (100.000)
(100.0000) 104.931,50
850.684,931
895.068,4931
850684,931.(1 + i(365/90) = 895068.4931 i(365/90) = 0,05217 j(365/90) = 0,2115 b.- j(365/30) = [(1 + 0,05217)30/90 – 1].365/30 = 0,2080 96) 10000.(1 + i(365/270)) = 10000.(1 + 0,01)2.(1 + 0,02)4.(1 + 0,03)3 i(365/270) = 0,20657 j(365/60) = [(1 + 0,2065)60/270 – 1].365/60 = 0,2592 97) (1-F(365/30)/365/30)365/30= (1- d(365/30)) 365/30 d(365730)= 0,009863 VA = 1000.(1 – 0,009863) – 1000.0,01 = 980,1369 1000 = 980,1369.(1 + i(365/30)) i(365/30) = 0,02026 98)
0
2
4
1500000
D
D/2
a.- 1500000 = D.(1 + 0,07.2) -1 + (D/2).(1 + 0,07.4) -1 D = 1183135,135 D/2 = 591567,56 b.- 1500000 = D.(1 + 0,07)–2 + D/2.(1 + 0,07)–4 D = 1195327,38 D/2 = 597663,69 99) (1+ j(365/60)/365/60) 365/60 = (1+ i(365/60)) i(365/60)= 0,032876 I= 0,032876. 100= 3,2876 Sellado=0,01. 100= 1 Gastos= 0,02. 100= 2 Depósito= 0,1. 100= 10
365/60
60
_____________________________________________________________________________
0 100
Préstamo intereses sellado gastos depósito Devolución Total
1
2
3
4
5
6
(3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (1) (2) (10)
11,5 (100)
87
(3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (3,2876) (91,787)
TIR = 0,040384 i(365/30) = (1 + 0,040384)30/60 – 1 = 0,01999 es menor al 3% del rendimiento. 100)
0
50 + GC
1
2
3
3
3
3
4
X – GV + 3
X.(1 – 0,002) + 3.(1,05)3 + 3.(1,05)2 + 3.(1,05) + 3 = 50.(1 + 0,002).(1 + 0,05)4 X = 48,06 101)
1/2/93 (10000)
15/3/93 250
19/3/93 1200
15/11/93 2000
28/12/93 8000
(1+0,12)= (1+i(365/331)) 365/331 i(365/331)= 0,108238 (1+0,12)= (1+i(365/228)) 365/228 i(365/228)= 0,09354 (1+0,12)= (1+i(365/47)) 365/47 i(365/47)= 0,0147 (1+0,12)= (1+i(365/43)) 365/43 i(365/43)= 0,01344 10000 = ¿? =250.(1+0,01344)-1+1200.(1+0,0147)-1+ 2000.(1+0,09354)-1+8000.(1+0,108238) -1 10000 < 10476,91 Al ser el valor descontado mayor a la inversión se comprueba que se impuso la “revolución productiva”.
______________________________________________________________________________
61
102) 14,421.C = C.(1 + 0,1)2.n ln (14,421) = 2.n . ln (1,1) n = 14 como la tasa es anual el período también es dado en años. 103)
0
30
90
0,94
1
1 = 0,94.(1 + i(365/60)) i(365/60) = 0,0638 a.- f(365/60) = 0,4 d(365/60) = 0,06575
0
60
0,9342 (0,09342) 0,84082
(1) 0,09342 (0,90657)
0,90657 = 0,84082.(1 + i(365/60)) = 0,7820 b.- f(365/60) = 0,35 d(365/60) = 0,05753
0
60
0,9424 (0,003) (0,002) (0,01) 0,9274
(1) 1 = 0,9274.(1 + i(365/60)) = i(365/60) = 0,7820
c.- i(365/60) = (1 + 0,035)60/30 – 1 = 0,07122 d.- f(365/15) = 0,35 i(365/60) = (1 – 0,37/(365/15))–60/15 – 1 = 0,06320 Esta alternativa tiene un costo inferior al ahorro que es 0,068 por lo que me conviene. 104)
0
30
90
0,94
1,01
1,01 = 0,94.(1 + i(365/60)) i(365/60) = 0,074468 En este caso la alternativa c) también es conveniente pues es superior el beneficio al costo, pero de cualquier manera sigue siendo la alternativa d) la óptima.
62
_____________________________________________________________________________
105)
100
70
40
0 1
a.- X = 1.(1 + 0,0015)–70 = X = 0,90039 b.- 1 = X.(1 + 0,0015)70 + X.(1 + 0,0015)40 X = 0,4603 c.- 1 = X.(1 + 0,0015)100 = X = 0,8608 106) a.- i(365/180) = (1 + 0,025)180/30 – 1 = 0,1596 VA = 1.(1+0,1596) = 0,8622
0
180
0,8622
(1)
(0,005) 0,8572
1 = 0,8572.(1 + i(365/180)) = i(365/180) = 0,1664 b.- (1+j(365/180)/365/180)365/180 = (1+ i(365/180)) 365/180 i(365/180) = 0,1972 c.- alquiler : (1 + 0,005.180/30 – 1) = 0,03037
0 81.0,9959
180 (94.0,03037) (94.1,0041)
94. (1,0041 + 0,03037) = 81.(0,9959).(1 + i(365/180)) i(365/180) = 0,2054
______________________________________________________________________________
2.5. Rentas y Sistemas de Amortización de Préstamos 107)
0
1
2
10
11
29
30
5000
5 000
5000
5000
5000
5000
a) V0 = C a(1;n;i) V0 = 5000 a(1;30;0,06) V0 = 5000
1 – (1 + 0,06)-30 0,06
V0 = 68824,1558 b) VF = C s(1;n;i) VF = 5000 s(1;30;0,06) VF = 5000 (1 + 0,06)30 – 1 0,06 VF = 395290,9311 c) V10 = Vo (1 + i)10 V10 = 68824,1558 (1 + 0,06)10 V10 = 123253,5808 d) V1 = C a(0;n;i) V1 = 5000 a(0;30;0,06) V1 = 5000 1 – (1 + 0,06)-30 0,06 V1 = 72953,6051
(1 + 0,06)
108)
0
1
2
3
4
5
6
22
23
C1
C2
C3
C19
C20
V0 = C a(1;n;i) (1 + i)-3 V0 = 500 a(1;20;0,05) (1 + 0,05)-3 V0 = 500 1 – (1 + 0,05)-20 (1 + 0,05)-3 0,05 V0 = 5382,6629 109)
0
1
2
11
12
13
42
43
C1
C2
C3
C12
C13 C14 M
C43
C44
i(365/90) = 1 – (1 + 0,06)90/365 = 0,01447 M = C a(0;n;i) M = 5000 a(0;32;0,01447) M = 5000 1 – (1 + 0,01447)-32 (1 + 0,01447) 0,01447 M = 129186,6759
63
_____________________________________________________________________________
64 110)
0
1 C1
2
11
C2
C11
12
22
23
24
51
52
C12
C13
C39
C40
V0 = C a(1;11;i) + C a(1;29;i) (1 + i)-23 V0 = 10000 a(1;11;0,08) + 10000 a(1;29;0,08) (1 + 0,08)-23 V0 = 10000 1 – (1 + 0,08)-11 + 10000 1 – (1 + 0,08)-29 (1 + 0,08)-23 0,08 0,08 V0 = 90394,1135 111) 0
1
2
C1
C2
C3
24
25
-50000 C26
42
59
C43
C60
VF = 1000000 = C s(0;n;i) C = 1000000 (1 + 0,05)60 – 1 (1 + 0,05) 0,05 C = 2693,5091
60
-1
V42 = C s(1;43;i) – (50000 + C25) (1 + i)18 V42 = 2693,5091 (1 + 0,05)43 - 1 – (50000 + 2693,5091) (1 + 0,05)18 0,05 V42 = 258340,6427 b) V60 = C s(0;60;i) – (50000 + C25) (1 + i)36 V60 = 1000000 – (50000 + 2693,5091) (1 + 0,05)36 V60 = 694808,8839 112)
0
1
14
C
C
15 C
VF = C s(1;n;i) = 1000000 Si 1000000 = 50000 s(1;15;i) s(1;15;i) = 20 Si VF = 1500000 1500000 = C s(1;n;i) C= 1500000 20 C = 75000 113)
76 C1
78 C2
90 C8
92
94
96
C9 C10
C11
i(730) = [1 + j(365/180) . 180/365]730/180 – 1 i(730) = [1 + 0,1 . 180/365]730/180 – 1 i(730) = 0,2156
______________________________________________________________________________
65
VF = C s(1;n;i) VF = 100000 s(1;11;0,2156) VF = 100000 (1 + 0,2156)11 - 1 0,2156 VF = 3508231,273 V31/12/90 = VF (1 + i)-3 V31/12/90 = 3508231,273 (1 + 0,2156)-3 V31/12/90 = 1953138,241 114)
0
1
100000
2
19
-2000 -2000
-2000
20 -2000
VF = VA (1 + i)n - 2000 s(1;n;i) VF = 100000 (1 + 0,045)20 – 2000 (1 + 0,045)20 - 1 0,045 VF = 178428,5569 115)
73
74
C1
C2
76
77
81
82
C4
C5
C9
C10
i = [1 + j(365/90) . 90/365]365/90 – 1 i = [1 + 0,18 . 90/365]365/90 – 1 i = 0,1926 V01/01/76 = VA (1 + i)4 V01/01/76 = C a(1;n;i) (1 + i)4 V01/01/76 = 200000 a(1;10;0,1926) (1 + 0,1926)4 V01/01/76 = 200000 1 – (1 + 0,1926)-10 (1 + 0,1926)4 0,1926 V01/01/76 = 1739734,597 116)
0
1
2
10 i = 0,05
11 i = 0,045
VA = C a(1;n;i1) + C (1 + i1)-10 1500 = C 1 – (1 + 0,05)-10 + C (1 + 0,05)-10 i2 0,05 0,045 1500 = C 7,7217 + C 13,6425 C = C = 70,2107
1500 21,3642
66
_____________________________________________________________________________
117)
0
1 C
2
3
C
C
4 C
5 C
6 C
con cuota mensual: i(360/30) = j(360/30) . 30/360 i(360/30) = 0,24 . 30/360 i(360/30) = 0,02 VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,02)-72 C = 1000000 0,02 con cuota trimestral: i(360/90) = [1 + j(360/30) . 30/360]90/30 – 1 i(360/90) = 0,0612 VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,612)-24 C = 3060400 0,612 con cuota semestral: i(360/180) = [1 + j(360/30) . 30/360]180/30 – 1 i(360/180) = 0,1261 VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,1261)-12 C = 6308121 0,1261 con cuota anual: i = [1 + j(360/30) . 30/360]360/30 – 1 i = 0,2682 VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,2682)-6 C = 13412090 0,2682 con cuota bianual: i(720) = [1 + j(360/30) . 30/360]720/30 – 1 i(720) = 0,6084 VA = C a(1;n;i) 37984063 = C 1 – (1 + 0,6084)-3 C = 30421862 0,6084 Desde el punto de vista financiero da lo mismo cualquiera de las cinco opciones, ya que las tasas son equivalentes entre sí. Aclaración: a fin de facilitar los cálculos, se utilizó año de 360 días para calcular las tasas. 118)
0
1 C
2
3
4
5
6
7
8
C
C
-200
C
C
C
C
VF = C s(1;n;i) VF = 100 (1 + 0,04)8 – 1 0,04 VF = 921,42 a) VF = C s(1;3;i) (1 + i)5 – 200 (1 + i)4 + (C + plus) s(1,4,i) 921,42 = 100 (1+0,04)3 – 1 (1+0,04)5 – 200 (1+0,04)4 + (100+X) (1+0,04)4 – 1 0,04 0,04 921,42 = 379,7903 – 233,9717 + (100 + X) 4,2465 X = 82,647 (adicional a pagar desde la cuota 7) b) VF = C s(1;3;i) (1+i)5 – 200 (1+i)4 + C s(1;2;i) (1+i)2 + (C+plus) (1+i) + C 921,42 = 379,7903 – 233,9717 + 220,6464 + (100 + X) 1,04 + 100 X = 337,4592 (adicional único a pagar con la cuota 5)
______________________________________________________________________________
67
119)
0
1
C
C
2
23
C
C
24 VF
VF = C s(0;n;i) VF = 1200 (1 + 0,03)24 – 1 (1+0,03) 0,03 VF = 42551,1172 a) X = C (1+i)21 X = 1200 (1+0,03)21 X = 2232,3535 b) X = C s(1;3;i) (1+i)19 X =1200 (1+0,03)4 – 1 (1+0,03)19 0,03 X = 6503,8942 c) X = C (1+i)21 + C (1+i)19 + C (1+i)17 X = 1200 (1+0,03)21 + 1200 (1+0,03)19 + 1200 (1+0,03)17 X = 6319,9779 120)
0
1 C
C
2
3
C+X
4 C
C
5
6
C
C+X
45 C
46
47
C+X
C
48
i(365/30) = 0,03 i(365/120) = [1 + i(365/30) ]120/30 – 1 i(365/120) = [1 + 0,03 ]120/30 – 1 i(365/120) = 0,1255 VA = C a(0;48;i(365/30)) + X a(1;12;i(365/120)) (1+ i(365/30))2 700000 = 18000 1 – (1+0,03)-48 (1+0,03) + X 1 – (1+0,1255)-12 (1+0,03)2 0,03 0,1255 700000 = 468444,741 + X 6,4072 X = 36139,698 121)
07/94
08/94
10000
400
10/95 08/96 09/96 400 2000
400
500
10/96
10/97
500
500
2000
2000
10/98 500
11/98 600
i = [1 + i(365/30) ]365/30 – 1 i = [1 + 0,02 ]365/30 – 1 i = 0,2724 VA = 10000 + 400 a(1,25,0,02) + 500 a(1,26,0,02) (1+0,02)-25 + 600 a(1,40,0,02) (1+0,02)-51 + 2000 a(1,3,0,2724) (1+0,02)-3 VA = 33479,9462
02/02 600
_____________________________________________________________________________
68 122)
0
1
2
12
13
C1
C2
14
58
C3
59
C47
60
C48
Precio de venta = Precio de compra (1 + i)60 – C s(0,48,i) Precio de venta = 200000 (1 + 0,01)60 – 1800 s(0,48,0,01) Precio de venta = 252036,6388 123)
04/93
07/93
08/93
C1
10/95
C2
C28
VF = depósito (1 + i)30 + C s(1;28;i) 5741,77 = 1000 (1 + 0,04)30 + C (1 + 0,04)28 – 1 C = 50 0,04 Deuda = 137 C – VF = 6850 – 5741,77 = 1108,23 Si Deuda = 60 a(1;n;0,05) 1108,23 = 60 1 - (1+0,05)-n 0,05 0,0765 = (1+0,05)-n Aplico Logaritmos para bajar el exponente y poder despejar n log (0,0765) = -n log (1,05) -n = log 0,0765 log 1,05 -n = - 52,6908 n = 52,6908 124)
01/93 100000
12/93
05/94
C1
C6
i1 = 0,01
12/95
11/97
C25 i2 = 0,02
C48 i3 = 0,03
VA = C a(1;6;i1) (1+i1)-11 + C a(1;19;i2) (1+i1)-17 + C a(1;23;i3) (1+i1)-17 (1+i2)-19 100000 = C [a(1;6;0,01) (1,01)-11 + a(1;19;0,02) (1,01)-17 + + a(1;23;0,03) (1,01)-17 (1,02)-19] C = 3576,0278 125)
01/93 100000
X C1
C2
C10
VA = C a(0;10;i) (1+i)-n 100000 = 15000 1 - (1+0,04)-10 (1+0,04) (1+0,04)-n 0,04 0,7903 = (1,04)-n Aplico Logaritmos para bajar el exponente y poder despejar n
______________________________________________________________________________
69
log (0,7903) = -n log (1,04) -n = log 0,7903 log 1,04 -n = - 6 n = 6 n representa bimestres, por la tanto la primer cuota se paga un año después de obtener el préstamo , es decir el 01/01/94 126) 12/92
12/95
12/96
C4
C5
C1 i1 = 0,05
12/97 X
i2 = 0,07
VF = C s(1;4;i1) (1 + i2)2 + C (1 + i2) + X 100000 = 5000 s(1;4;0,05) (1 + 0,07) 2 + 5000 (1 + 0,07) + X 100000 = 5000 (1 + 0,05)4 – 1 + (1,07)2 + 5000 (1,07) + X 0,05 X = 100000 – 24673,3106 – 5350 X = 69976,6894 127)
05/95
01/96 02/96
10000
-690 i1 = ?
01/97
02/97
07/97
-690
-700
-700
i2 = 0,008
i3= 0,009
10000 = [690 a(1;12;0,008) + 700 a(1;6;0,009) (1,008)–12] (1 + i1)–8 10000 = 11564,64 (1 + i1)–8 i1 = 0,01833 128) a)
01/93
01/98
01/12
VA
100
100
i = 0,15 b)
01/93
01/00
01/10 i = 0,06
VA
100
VAa = 100 a(1;15;0,15) (1,15)–4 = 334,32 VAb = 100 a(1;10;0,06) (1,06)–6 = 518,85 Ia = 15.100 – 334,32 = 1165,68 Ib = 10.100 – 518,85 = 481,15
100
70
_____________________________________________________________________________
La suma de todas las cuotas menos el valor actual de un préstamo son el total de intereses que recibirá el prestamista. Así se elige la primera alternativa pues le deja mayor intereses que la segunda. 129) 05/93 100000
10/93
10/94
C
1,1.C
i1 = 0,01
01/95
10/95
05/96
1,21.C i2 = 0,012
100000 = C a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 C a(1;4;0,01) (1,01)–16 + 1,1 C a(1;8;0,012) (1,01)–20 + 1,21 C a(1;8;0,012) (1,012)–8 (1,01)–20 100000 = C [a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 a(1;4;0,01) (1,01)–16 + 1,1 a(1;8;0,012) (1,01)–20 + 1,21 a(1;8;0,012) (1,012)–8 (1,01)–20] C = 3552,29 130) Idem ejercicio anterior, pero si se supone que a partir del 01/11/94 se quisieran abonar cuotas iguales manteniendo la fecha de pago de la última cuota, ¿cuál sería el monto de éstas? 100000 = C a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 C a(1;4;0,01) (1,01)–16 + 1,1 C a(1;16;0,012) (1,01)–20 100000 = C [a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 a(1;4;0,01) (1,01)–16 + 1,1 a(1;16;0,012) (1,01)–20] C = 3632,4984 131) 100000 = 3632,4984 [a(1;12;0,01) (1,01)–4 + 1,1 a(1;4;0,01) (1,01)–16 + 1,1 a(1;12;0,012) (1,01)–20 + 1,1 a(1;4;0,015) (1,012)–12 (1,01)–20] + [X (1,015)–4 (1,012)–12 (1,01)–20] X = 120,5955 132) VA = [C + r/i] a(1;n;i) – (r.n.vn)/i VA = [465 – 35/0,18] a(1;14;0,18) – [(–35).14.(1,18)–14]/0,18 VA = 1623,2309 133) i(365/30) = (1 + 1,2777)30/365 – 1 = 0,07 12000 = (C + C/0,07) a(1;12;0,07) – [C.12.(1,07)–12]/0,07 12000 = C {15,28 a(1;12;0,07) – [12.(1,07)–12]/0,07} C = 264,9375
______________________________________________________________________________ 134) i(365/30) = 0,045 q = 1,04 VA = C (1 – (q.v)n)/(1 + i – q) 6000 = C (1 – (1,04/1,045)26)/(1 + 0,045 – 1,04) C = 255,8881 135)
0
1 230
5 (230 + 4r)
6 400
12 400
VF = [(C1 + r/i1) s(1;n1;i1) – r.n1/i1] (1 + i2)7 + C2 s(1;n2;i2) VF = [(230 + 30/0,04) s(1;5;0,04) – 30.5/0,04] (1 + 0,05)7 + 400 s(1;7;0,05) VF = 5449,06 136) C + 11r = – r C = -12r r = -C/12 VA = (C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i VA = [C + C/(12.i)] a(1;n;i) + (C.n.vn)/(12.i) 60000 = C {[1 – 1/(12.0,082)] a(1;12;0,082) + 1/0,082 (1 + 0,082)-12} C = 13000,4131 137) En función de la tasa: a) i(365/30) = 0,06 b) i(365/30) = (1 + 0,8105192)30/365 – 1 = 0,05 c) i(365/30) = 0,79083333.30/365 = 0,065 Conviene la opción b, ya que ofrece la tasa más baja. En función de la cuota: a) Cuando q.v = 1 VA = C.v.n VA = C.n (1 + i)-1 2800 = C.7/1,06 C = 424 b) VA = C 1 – (q.v)n (1 + i) – q
2800 = C 1 – (1,06/1,05)7 (1 + 0,05) – 1,06
C = 408,1516 c) 2800 = C 1 – (1,06/1,065)7 (1 + 0,065) – 1,06 C = 432,03 Elijo la alternativa b, porque tiene la cuota mas baja también.
71
72
_____________________________________________________________________________
138) VA = [(C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i] (1 + i)–2 VA = (1,02)–2.{(170 + (-20)/0,02).a(1;18;0,02) – [-20.18.(1,02)–18]/0,02} VA = 153,2899 139)
0
1
2
V
500
3
8
450
9
200
150
VA = (C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i VA = {(500 + (-50)/0,05) a(1;8;0,05) – [-50.8.(1,05)–8]/0,05} (1+0,05) –1 VA = 2079,151 140) VF = (C1 + r/i) s(1;n;i) – r.n/i VF = (C1 + 20/0,02) s(1;10;0,02) – 20.10/0,02 C1 = 232,9081 C7 = C + r.6 = 232,90 + 20.6 = 352,9081 141)
0
1
8
120
13
137,84
i = 0,0425
18 137,84
i = 0,05
i = 0,052
C1.q7 = C8 120.q7 = 137,84 q = 1,02 V0 = C1 1 – (q.v)8 + C8 a(1;5;i2) (1 + i1)–8 + C8 a(1;5;i3) (1 + i2)–5 (1 + i1)–8 (1 + i1) – q V0 = 120 [1 – (1,02/1,0425)8]/(1 + 0,0425 – 1,02) + 137,84 a(1;5;0,05) (1,0425)–8 + 137,84 a(1;5;0,052) (1,05)–5 (1,0425)–8 V0 = 1615,3045 142)
0
1
9
180
180
i = 0,1950926
10 195
11 210
14 255
i = 0,025
VF = C1 s(1;9;i1) (1 + i2)–5 + (C2 + r/i2) s(1;5;i2) – r.5/i2 VF = 180 s(1;9;0,1950926) (1,025)5 + (195 + 15/0,025) s(1;5;0,025) – 15.5/0,025 VF = 5326,0677
______________________________________________________________________________
73
VA = C1 a(1;9;i1) + [(C2 + r/i2) a(1;5;i2) – r.5/i2 (1 + i2)–5] (1 + i1)–9 VA = 180 a(1;9;0,1950926) + {(195 + 15/0,025) a(1;5;0,025) [15.5.(1,025)–5]/0,025)} (1,1950926)–9 VA = 946,6149 VF = VA (1 + i(365/30))14 i(365/30) = 0,1313 143) a.- El Valor final sería mayor porque la tasa de los primeros 9 pagos es mayor, por tanto al capitalizarse los intereses aumentaría el VF. El razonamiento es a la inversa para el VA, pues al descontar intereses y al ser mayor la tasa de los primeros 9 pagos el VA sería menor. b.- El rendimiento disminuye pues con el mismo desembolso tenemos al final menor monto acumulado. 144) i(365/30) = 0,62.30/365 = 0,05095 VA = (C + r/i) a(1;n;i) – (r.n.vn)/i 1800 = [(C + 35/0,05095) a(1;5;0,05095) – 35.5 (1,05095)–5/0,05095] C = 350,3328 145) a) t7 = t4 (1 + i(365/30)3 i(365/30) = (3467,67/2752,75)1/3 – 1 = 0,08 b) Siendo C = t1 (1 + i)n y t1 = t4 (1 + i)-3 C = t4 (1 + i)n-3 10185,22 = 2752,75 (1 + 0,08)n-3 ln(3,7)/ln(1,08) + 3 = n n = 20. c) T5 = t1 s(1;5;0,08) = 2185,22 s(1;5;0,08) = 12819,82 d) T15 – T5 t1 s(1;15;0,08) - t1 s(1;5;0,08) = 46513,53 e) T20 – T15 = 100000 - t1 s(1;5;0,08) = 40666,65 f) I(0;10) = 10.C – T10 = 10.10185,22 – t1 s(1;10;0,08) = 70195,56 g) I(5;10) = 5.C – [T10 – T5] 5.10185,22 – t6 s(1;5;0,08) I(5;10) 5.10185,22 – [t1 (1 + 0,08)5] s(1;5;0,08) = 32089,57 h) I(17;20) = 3.C – [T20 – T17] = 3.10185,22 - t18 s(1;3;0,08) I(17;20) 5.10185,22 – [t1 (1 + 0,08)17] s(1;3;0,08) = 4307,35
74
_____________________________________________________________________________
146) V0 = C a(1;n;i) C = 200000 a-1(1;6;0,06) = 40672,52 Período 0 1 2 3 4 5 6
Vp 200000 200000 171327,47 140934,59 108718,14 74568,71 38370,30
Ip
tp
Cp
12000 10279,64 8456,07 6523,08 4474,12 2302,21
28672,52 30392,87 32216,44 34149,43 36198,40 38370,30
40672,52 40672,52 40672,52 40672,52 40672,52 40672,52
T
V’p 200000 28672,52 171327,47 59065,40 140934,59 91281,85 108718,14 125431,28 74568,71 161629,69 38370,30 200000 0
147)
0
24
36000
90000
60
i(365/30) = j(365/30) 30/365 0,00986 C = 36000 a-1(1;60;0,00986) = 797,8129 t1 = C – V0.i = 797,81 – 36000.0,00986 = 442,7444 V24 = V0 – T23 = 36000 - t1 s(1;23;0,00986) = 24631,8972 Recibido: 90000 – 24631,8972 = 65368,1028 148) T5 = t1 s(1;n;i) T5 = 250000 t1 = 250000 s-1(1;5;0,06) = 44349,1001 C = t1 (1+i)n C = 44349,1 (1+0,06)20 C = 142233,5721 V0 = C a(1;n;i) V0 = 142233,57 a(1;20;0,06) = 1631407,867 149)
1/4/93 8000
1/8/93 C
1/7/94 C
V0 = 8000 (1+ 0,06)3 = 9528,128 a) C = V0 a-1(1;n;i) C = 9528,128 a-1(1;12;0,06) = 1136,4868 b) t1 = C - V0.i = 1136,48 – 9528,128.0,06 = 564,7991 t4 = t1 (1 + 0,06)3 = 564,7991 (1,06)3 = 672,6848 i4 = C - t4 = 1136,4868 – 672,6848 = 463,802 c) V6 = V0 – T5 = 9528,128 – t1 s(1;5;0,06) = 6344,3028
______________________________________________________________________________
75
d) I(7;12) = 5.1136,48 – t8 s(1;5;0,06) = 895,1382 e) Tp = t1 s(1;p;i) 6000 = 564,7991 [(1+0,06)p –1]/0,06 p = ln(1,6374)/ln(1,06) = 8,4626 En la cuota 9 f) VA del préstamo con sellado = 8000 – C.0,01.12 = 7863,6216 la tasa de 127,758% anual equivale a una i(365/30) = 0,0699 V0 = 1136,4868 a(1;12;0,0699) = 9027,0405 VA = V0 (1+0,0699)-3 = 7368,8753 Como 7368,8753 (VA) es menor a 7863,6216 (VA del préstamo con sellado), el costo del préstamo es menor al 127,752% efectivo anual. 150)
0
4
7
10
1000000 0,06
0,065
0,07
a) 1000000 = C a(1;4;0,06) + C a(1;3;0,065) (1+0,06)-4 + C a(1;3;0,07) (1+0,065)-3 (1+0,06)-4 C = 137290,9822 b) t1 = C – V0.i = 77290,9822 V4 = V0 – T3 = 1000000 – t1 s(1;3;0,06) = 753936,4291 c) I9 = V9.i = 137280,98 a(1;2;0,07).0,07 = 17375,72 I6 = V6 .i = 567612,96.0,065 = 36894,84217 Pueden verificarse los resultados de los puntos “b” y “c” construyendo el cuadro de marcha: n
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C 0,06 0,06 0,06 0,06 0,065 0,065 0,065 0,07 0,07 0,07
137290,98 137290,98 137290,98 137290,98 137290,98 137290,98 137290,98 137290,98 137290,98 137290,98
Saldo al inicio 1000000,00 922709,02 840780,58 753936,43 661881,63 567612,96 467216,82 360294,93 248224,59 128309,33
I 60000,00 55362,54 50446,83 45236,19 43022,31 36894,84 30369,09 25220,64 17375,72 8981,65
t 77290,98 81928,44 86844,15 92054,80 94268,68 100396,14 106921,89 112070,34 119915,26 128309,33
T 77290,98 159219,42 246063,57 338118,37 432387,04 532783,18 639705,07 751775,41 871690,67 1000000,00
76
_____________________________________________________________________________
d) 1000000 = C a(1;10;0,0622) sin gastos de otorgamiento V0 neto = 1000000 – 11000 = 989000 989000 = C a(1;10,i*) computando gastos de otorgamiento para despejar la i* (costo de la operación considerando los gastos) se debe recurrir a la interpolación: [1 – (1+i)-10]/i* = 989000/137290,9822 = 7,2037 si i1 = 0,07 a1 = (1+0,07)-10/0,07 – 1 = 7,0236 si i2 = 0,06 a2 = (1+0,06)-10/0,06 – 1 = 7,36 (a2 – a1)/(i1 - i2) = (a* – a1)/(i1 – i*) (7,36 – 7,0236)/(0,07 – 0,06) = (7,2037 – 7,0236)/(0,07 – i*) i* = 0,0646 151) V0 = 200000 T6 = t1 s(1;6;0,07) t1 = 100000 s-1(1;6;0,07) = 13979,57 i1 = 200000.0,07 = 14000 b) C = t1 + i1 = 13979,57 + 14000 = 27979,58 a) C = t1 (1 + 0,07)n n = Ln(2,0014)/Ln(1,07) n = 10,2555 10 años y 93 días. c) t3 = t1 (1,07)2 = 16005,2211 i3 = C - t3 = 11974,3589 152)
X
X+1
X+7
Ix+1 = 50000 tx = 75000 a) C = Ix+1 + tx+1 Ix+1 = Vx.i Ix+1 = C a(1;7;i).i Ix+1 = (Ix+1 +tx+1) a(1;7;i).i 50000 = [50000 + 75000 (1+i)] a(1;7;i).i i = 0,06 ________________ 43375,103 i* ____________________ 50000 i = 0,075 _______________ 51890,141 (0,06 - i*)/(43375,103 – 50000) = (0,06 – 0,075)/(43375,103 – 51890,141) i* = 0,07167 b) tasa venta = tasa préstamo – 0,01 = 0,06167 c) C = 50000 + 75000 (1,07167) = 130375,25 d) Vx = C a(1;7;0,07167) = 698557,51
______________________________________________________________________________ 153) 1/59
1/63
1/70
100000
60000
30000
1/78 V 0,08
0,07 0,06
C1 = 100000 a-1(1;30;0,06) = 7264,89 C2 = 60000 a-1(1;40;0,07) = 4500,54 C3 = 30000 a-1(1;30;0,08) = 2664,82 V78 = C1 a(1;11;0,06) + C2 a(1;25;0,07) + C3 a(1;22;0,08) V78 = 57297,28 + 52447,51 + 27183,17 V78 = 136927,98 C = V78 a-1(1;30;0,0678) = 136927,98 a-1(1;30;0,0678) = 10791,68 154) a) C = 100000 a-1(1;20;0,04) = 7358,175 b) I1 = 100000.0,04 = 4000 c) t1 = C – i1 = 3358,175 d) t20 = t1 (1 + 0,04)19 = 7075,1683 e) 6047 = t1 (1 + 0,04)p-1 p-1 = ln(1,8)/ln(1,04) p = 16 f) C = 2 Ip C = 2 (C – tp) C = 2 [C – t1 (1+i)p-1] 7358,175 = 2 [7358,175 – 3358,175.(1,04)p-1] p – 1 = ln(1,0955)/Ln(1,04) p = 3,327 155)
1/7/93 1/8/93
1/7/94 1/8/94
1/7/95
8000
550
892,06
550
892,06
I = 0,065
i=?
a) 8000 = 550 a(1;12;0,065) + 892,06 a(1;12;i) (1+0,065)-12 3512,70 = 892,06 a(1;12;i) (1+0,065)-12 a(1;12;i) = 8,3838 por interpolación: i = 0,06. b) V16 = 892,06 a(1;9;0,06) = 6067,5176 c) I16 = 6067,5176.0,06 = 364,051 t16 = C - I16 t16 = 892,06 – 364,051 t16 = 528,0089 d) I(15;24) = 9 C – (T24 - T15)= 9 C – V16 = 9.892,06 – 6067,5176 = 1961,0229
77
_____________________________________________________________________________
78 156)
I(0,n) + V0 = M I(0,n) = M/3 V0 = 2/3 M = 2 I(0,n) I(0,n) = V0.i.(n+1)/2 I(0,n) = i.2 I(0,n) (n+1)/2 I(0,24) = i.2 I(0,24) 25/2 1 = i.25 i = 0,04 157) n
i 0 1 2 3 4 5
C 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05
50.000 48.000 46.000 44.000 42.000
Saldo al inicio 200.000 160.000 120.000 80.000 40.000
I
t
10.000 8.000 6.000 4.000 2.000
40.000 40.000 40.000 40.000 40.000
T 40.000 80.000 120.000 160.000 200.000
c) 158)
1/1/75 10000000
1/1/76 c1
1/1/88
1/1/91
c13
c16
a) Cp = C1 – t.i (p-1) C13 = C1 – t.i.12 C13 = V0/n + V0.i - (V0/n) i.12 C13 = 500000 + 500000 – 500000.0,005.12 C13 = 700000 t13 = 10000000/20 = 500000 i13 = C – t13 = 200000 b) I(0;p) = V0.i.p [2 – (p-1)/n]/2 I(0;16) = 10000000.0,05.16 (2 – 15/20)/2 I(0;16) = 5000000 159) Cp = (V0/n) [1 + (n – p +1).i] 20000 = (V0/36) [1 + (36 – 18 + 1).0,0175] V0 = 540337,7111 I(0;n) = V0.i (1 + n)/2 = 540337,71.0,0175 (37/2) = 174934,334 160) a) C = V0 (id + 1/n) V0 = C (id + 1/n)-1 V0 = 18000/(0,08 + 1/10) = 100000 b) I(0;n) = V0.i.n = 100000.0,08.10 = 80000 c) 100000 = 18000 a(0;10;i) por interpolación i = 0,1632 161) a) C = V0 (id + 1/n) 20000 = 200000 (id + 1/20) id = 0,05 b) 200000 = 20000 a(1;20;i) i = 0,07764 162) a) C = 1000000 (0,02 + 1/10) c = 120000 b) Tp = (V0/n) p T5 = (1000000/10) 5 = 500000 c) V’8 = V0 – T8 = 1000000 – (1000000/10) 8 = 200000 d) 1000000 = 120000 a(1;10;i) por interpolación i = 0,034602
______________________________________________________________________________ e) 1) 1000000 = 120000 a(1;5;i) + 500000 (1+i)-5 i = 0,02491 (interpolación) 2) 1000000 = 120000 a(1;5;0,03406) + X (1+0,03406) -5 X = 542421,7377 163) a) Ct = 2000000 s-1(1;20;0,035) = 70722,1535 b) Ci = V0.i = 2000000.0,05 = 100000 c) C = Ct + Ci = 170722,1535 d) V’15 = V0 – T15 = 2000000 – Ct s(1;15;0,035) = 635367,8937 164) Si la operación no tiene costo: C = V0/n C = 10000000/24 = 416666,66 Ci = 10000000.0,03 = 300000 Ct = 416666,66 – 300000 = 116666,66 10000000 = 116666,66 s(1;24;i) i = 0,09762 (interpolación) 165) a) Ci = 100000.0,15 = 15000 Ct = 100000 s-1(1;8;0,13) = 7838,6718 C = 22838.6718 b) 100000 = 22838,6718 a(1;8;i) i = 0,1577 (interpolación) c) ir = (1 + ia)/(1 + ∏) - 1 ir = (1 + 0,1577)/(1 + 0,16) - 1 ir = - 0,002 166)
1/3/93 100000
1/6/93 c
1/1/94 V9
1/1/96 C32
a) C = 100000(1+0,025)2 a-1(1;60;0,025) C = 3399,1286 b) V9 = 3399,1286 a(1;52;0,025) = 98313,2725 C = 98313,3725 a-1(1;52;0,035) = 4131,545 c) 3399,12 = (98313,3725 – X) a-1(1;52;0,035) X = 17428,41 d) Tp = V0(1+i)2/2 Tp = 52531,25 t1 = 3399,1286 – 105062,5.0,025 = 772,5662 52531,25 = 772,5662 s(1;p;0,025) p = 40,223 es decir en la cuota 41 e) I(32;44) = 12 C – t33 s(1;12;0,025) = 17301,9524 167) Suponemos préstamo de 100 a) C = 70 (0,012 + 1/10) C = 7,84 70 = 7,84 a(1;10;i(365/30)) i(365/30) = 0,0213 b) C = 80 (0,025 + 1/5) C = 18 80 = 18 a(1;5;i(365/60)) i(365/60) = 0,0405 i(365/30) = 0,02 Elijo la segunda opción porque tiene una tasa menor.
79
80
_____________________________________________________________________________
168) Suponemos préstamo de 100 Sistema Francés: C = 100 a-1(1;10;0,02) = 11,1326 Costo de la operación: 90 = 11,1326 a(1;10;i) i = 0,04066 Sistema Alemán: C1 = 100.(1/10 + 0,02) = 12 C2 = 10 + (100 – 10.)0,02 = 12 Etc.
Cuota Total Alemán 1 12 2 11,8 3 11,6 4 11,4 5 11,2 6 11 7 10,8 8 10,6 9 10,4 10 10,2
Costo de la operación: 90 = 12.(1+i) 11,4.(1+i)
4
+ …….. + 10,4.(1+i)
9
1
+ 11,8.(1+i)
+ 10,2.(1+i)
10
2
+ 11,6.(1+i)
i = 0,04127
Conviene el sistema francés por tener menor tasa efectiva. 169) C = V0 a-1(1;n;i) C = 1000 a-1(1;5;0,1) C = 263,7975 C = V0/n + V0.id id = (C - V0/n)/ V0 id = (263,7975 - 200)/1000 id = 0,0637 170) I8 = 793,22; t4 = 652,96; T(3;10) = 4854,27 a) T(3;10) = t4 s(1;7;i) 4854,27 = 652,96 s(1;7;i) i = 0,02 b) t1 = t4 (1,02)-3 t1 =615,29 t8 = t4 (1,02)4 = 706,784 C = 793,22 + 706,784 = 1500 1500 = t1 (1,02)n n = ln(2,43784)/ln(1,02) n = 45 c) V0 = 1500 a(1;45;0,02) = 44235,22 d) t9 = t8 (1,02) = 720,92 I9 = 1500 - t9 = 779,08
3
+
______________________________________________________________________________ 171) a) 50000 = 15.t + 2.15.t t = 1111,1111 (para los primeros 15 años) C18 = 2.1111,1111 + I18 I18 = 1444,4444 V18 = V0 – T17 = 50000 – (1111,1111.15 + 2222,2222.2) = 28888,8888 I18 = V18.i(16;30) i(16;30) = 1444,4444/28888,8888 = 0,05 i(0;15) = i(16;30) – 0,01 = 0,04 b) C7 = t7 + I7 t7 = 1111,1111 I7 = V7.i = (50000 - 1111,1111.6).0,04 = 1733,3333 172) a) Ct = 100000 s-1(1;10;0,03) = 8723,05 C = Ct + Ci Ci = 12024,14 – 8723,05 = 3301,08 Ci = V0.i i = 3301,08/100000 = 0,03301 b) 100000 = 12024,14 a(1;10;i) i = 0,035 (interpolación) c) C = V0 (1/n + id) id = C/V0 - 1/n id = 12024,14/100000 – 1/10 id = 0,02024 id es menor a i porque en el sistema de tasa directa, la cuota de interés se calcula sobre la deuda inicial y para generar el mismo monto, sobre una deuda mayor, la tasa de interés debe ser menor.
81
82
_____________________________________________________________________________
2.6. Evaluación de Proyectos 173) Dos proyectos mutuamente excluyentes tienen los siguientes flujos de efectivo proyectados: A Período 0 1 2 3
Costo 9.000
B Flujo de Fondos
Costo 12.000
5.000 4.000 3.000
Flujo de Fondos 5.000 5.000 8.000
Calcule para cada proyectos la TIR, su período de recuperación, Índice de Rentabilidad y el VAN utilizando una tasa de corte del 15%. Proyecto A: Calculamos la TIR: (Recordamos que la Tir se calcula igualando el Van a cero) 0 = -9000 + 5000.(1+ Tir)-1 + 4000.(1+ Tir)-2 + 3000.(1 + Tir)-3 Tir = 17,5140% Por interpolación o calculadora Financiera VAN = -9000 + 5000(1 + 0,15)-1 + 4000.(1 + 0,15)-2 + 3000.(1 + 0,15)-3 VAN = 344,9494 Ind. Rent = Van/ Inv. Inicial. = 344,9494/ 9000 = 0,03833 Inv. Inicial – lo que ya recuperé Período de Recupero = Año anterior de Recupero + Ingreso del año que recupero Per. Rec. = 2 + (9000 – 9000)/3000 = 2 años Proyecto B: Calculamos la TIR: 0 = -12000 + 5000.(1+ Tir)-1 + 5000.(1+ Tir)-2 + 8000.(1 + Tir)-3 Tir = 21,312827% Por interpolación o calculadora Financiera VAN = -12000 + 5000(1 + 0,15)-1 + 5000.(1 + 0,15)-2 + 8000.(1 + 0,15)-3 VAN = 1388,67428 Ind. Rent = Van/ Inv. Inicial. = 1388,67428/ 12000=0,115723 Inv. Inicial – lo que ya recuperé Período de Recupero = Año anterior de Recupero + Ingreso del año que recupero Per. Rec. = 2+ (12000- 10000)/ 8000= 2,25
______________________________________________________________________________
83
174) Dos proyectos mutuamente excluyentes tienen los siguientes flujos de efectivo proyectados: Período A B
0 (10.000) (10.000)
1 5.000 0
2 5.000 0
3 5.000 0
4 5.000 30.000
Determine: d) La tasa interna de rendimiento para cada proyecto. e) Suponiendo una tasa de rendimiento requerida del 10%, determine el VAN para cada proyecto. f) ¿Qué proyecto seleccionaría? ¿Qué suposiciones influyen en su decisión? Proyecto A: VAN= -10000+5000. A(1; 4; 0,1) = 5849,32 Tir: 0= -10000+ 5000.A (1; 4; r) Tir= 0,4104 Ind. Rent: 5849,32/ 10000 = 0,5849 Proyecto B: VAN= -10000+ 30000.(1+ 0,1) -4 = 10490,4 Tir: 0= -10000+30000(1+r) -4 Tir = 0,31607 Ind. Rent: 10490,4/10000 = 1,049 175) Zaire Electronics puede realizar una y solo una de las dos inversiones al momento 0. Suponiendo una tasa de rendimiento del 14%, determine para cada proyecto: f) g) h) i) j)
El período de recuperación. El valor actual neto. El índice de rentabilidad. Tasa interna de rendimiento. Grafique cada uno de los proyectos.
Suponga para la depreciación el sistema lineal de 5 años y que la tasa de impuesto a las ganancias es del 20%. Proyecto Costo A (28.000) B (20.000)
1 8.000 5.000
2 8.000 5.000
3 8.000 6.000
4 8.000 6.000
5 8.000 7.000
6 8.000 7.000
7 8.000 7.000
¿Cuál Proyecto aconseja realizar? Proyecto A: 0 Inversión (28000) Ingresos Amortiz. B.A.I. Impuesto Utilidad Amortiz. F.F.N. (28000)
1
2
3
4
5
6
7
8000 (5600) 2400 (480) 1920 5600 7520
8000 (5600) 2400 (480) 1920 5600 7520
8000 (5600) 2400 (480) 1920 5600 7520
8000 (5600) 2400 (480) 1920 5600 7520
8000 (5600) 2400 (480) 1920 5600 7520
8000
8000
8000 (1600) 6400
8000 (1600) 6400
6400
6400
84
_____________________________________________________________________________
Van= -28000+ 7520.A(1; 5; 0,14)+6400.A(1;2;0,14).(1+0,14) -5 = 3290,2 Tir: 0=-2800+7520.A(1; 5; r)+6400.A(1;2; r).(1+r)-5 Tir= 0,1786 Per.Rec: 3+ (28000-7520.3)/7520= 3,72 Ind. Rent: 3290,2/28000= 0,1175 Proyecto B: 0 1 Inversión (20000) Ingresos 5000 Amortiz. (4000) B.A.I. 1000 Impuesto (200) Utilidad 800 Amortiz. 4000 F.F.N. (20000) 4800
2
3
4
5
6
7
5000 (4000) 1000 (200) 800 4000 4800
6000 (4000) 2000 (400) 1600 4000 5600
6000 (4000) 2000 (400) 1600 4000 5600
7000 (4000) 3000 (600) 2400 4000 6400
7000
7000
7000 7000 (1400) (1400) 5600 5600 5600
5600
Van= -20000+4800.(1+0,14)-1+4800(1+0,14)-2+5600.A(1;2;0,14).(1+0,14)-2 +6400.(1+0,14) -5 +5600.A(1;2;0,14).(1+0,14) -5 Van= 3112,67 Tir: 0=-20000+ 4800.(1+r) -1+ 4800(1+r) -2+5600.A(1;2;r).(1+r) -2+6400.(1+r) -5 +5600.A(1;2;r).(1+r) -5 Tir= 0,1874 Per.Rec: 3+ (20000-15200)/5600= 3,857 Ind. Rend: 3112,67/20000= 0,1556
TIR VAN Per. Recupero Ind. Rentabilidad
A 17,86% 3290,20 3,72 1,11
B 18,74% 3112,67 3,85 1,15
______________________________________________________________________________
85
25000
20000
15000
VAN
10000
Punto de Fisher 5000
0 0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30%
-5000
-10000
Proyecto A Proyecto B
Tasa
Se elige el proyecto A, ya que para una tasa de corte del 14% nos da un valor actual mayor que la del proyecto B, si vemos el gráfico hay un punto a partir del cual ya no es conveniente el Proyecto A y comienza a ser mayor el VAN del B, a este punto se lo denomina Punto de Fisher. Otro método para determinar la elección: Se determina que proyecto tiene mayor VAN en este caso el Proyecto A. Luego hallo la diferencia entre los flujos generados por ambos proyectos:
A–B
0 (8000)
1 2720
2 2720
3 1920
4 1920
5 1120
TIR del Flujo Incremental = 14,92% > Tasa de Corte = 14% Elijo Proyecto A.
6 800
7 800
86
_____________________________________________________________________________
176) SEA – FLY dispone de la opción de comprar una cierta tecnología para investigación y desarrollo con un costo de $60.000. Se espera que al contar con este equipo puedan prescindir de un trabajador de tiempo completo, con un ahorro anual de $20.000. La computadora tiene una vida útil de cinco años. Impuesto a las ganancias: 40% y la tasa de rendimiento requerida después de impuestos sobre el proyecto es del 15%. c) ¿Cuál es el valor actual neto? d) Si fuera necesario un capital de trabajo de $5.000 además del costo de la computadora y este importe adicional se necesitara a lo largo de la vida del proyecto, ¿Cuál sería el efecto sobre el valor actual neto? 0 1 2 3 4 5 Inversión (60000) 20000 20000 20000 20000 20000 Ingresos (12000)(12000) (12000) (12000) (12000) B.A.I. 8000 8000 8000 8000 8000 Impuesto (3200) (3200) (3200) (3200) (3200) Utilidad 4800 4800 4800 4800 4800 Amortiz. 12000 12000 12000 12000 12000 F.F.N. (60000) 16800 16800 16800 16800 16800 Van= -60000+16800. A(1;5;0,15)= -3683,7943 Alternativa b:
Inversión Capital Trab. Ingreso Amortizac. B.A.I. Impuesto Utilidad Amortizac. Capital Trab. F.F.N.
0 (60000) (5000)
(65000)
1
2
3
4
5
20000 (12000) 8000 (3200) 4800 12000
20000 (12000) 8000 (3200) 4800 12000
20000 (12000) 8000 (3200) 4800 12000
20000 (12000) 8000 (3200) 4800 12000
20000 (12000) 8000 (3200) 4800 12000 5000
16800
16800
16800
16800
21800
VAN = -65000 +16800. A(1; 4;0,15)+ 21800(1+0,15) -5= -6197,91 177) TRULY CLOTHES está comprando dos máquinas tejedoras de igual eficiencia para llevar a cabo un trabajo de rutina. La máquina “Bob” tiene una vida económica de dos años, gastos de mantenimiento de $100 al año y un precio de $5.000. La máquina “Whip” cuesta $8.000 y durará tres años con gastos de mantenimiento de $500 anuales. Bajo su sistema producción Truly Clothes necesitará una máquina de hilar de este tipo durante muchos años. Tasa de impuestos a las ganancias 0%. Si su tasa de rendimiento requerida es del 15%, ¿Qué modelo deberá seleccionar? Horizonte: Dado que una máquina tiene una duración de 2 años y la otra de 3 años, y como se supone que la empresa una vez elegida una, continuará indefinidamente utilizándola, elegimos un horizonte que nos haga poder comparar ambas alternativas, en este caso 6 años.
______________________________________________________________________________ BOB Inversión Gastos F.F.
0 (5000) (5000)
WHIP Inversión Gastos F.F.
0 (8000) (8000)
1 (100) (100)
2 (5000) (100) (5100)
1
2
(500) (500)
(500) (500)
3 (100) (100) 3 (8000) (500) (8500)
87
4 (5000) (100) (5100)
5
6
(100) (100)
(100) (100)
4
5
6
(500) (500)
(500) (500)
(500) (500)
VAN BOB = -10.450,37 VAN WHIP = -13.175,97 Dado que al 15% de tasa de Corte, la máquina BOB, tiene un Valor Actual más alto (es “menos negativo”), es la que prefiero. Es decir, a un flujo de ingresos igual para ambas situaciones, la máquina BOB generará un VAN mayor, dado que en términos absolutos el VA de los costos es menor. 178) Una empresa analiza los siguientes proyectos mutuamente excluyentes entre sí. Tasa de corte 6%. Período 0 1 2 3 4 5 6 7
A (2.000) 500 500 500 500 500 500 500
B (800) 200 200 200 200 200 200 200
¿Cuál es el proyecto más conveniente? Justifique su respuesta. Proyecto A: Van: -2000+ 500. A (1; 7; 0,06)= 791,19 Tir: 0= -2000+ 500. A (1; 7; r) Tir= 0,164 Ind. Rent: 791,19/ 2000= 0,3955 Payback: 4 Proyecto B: Van: -800 + 200. A(1; 7; 0,06)= 316,48 Tir: 0=-800 + 200. A(1; 7; r) Tir= 0,164 Ind. Rent: 316,48/800 = 0,3956 Payback: 4 179) Se analiza la formación de una sociedad para explotar varias plantaciones de cañas de azúcar. Para ello estima contar con una transportadora pesada. Dicho equipo tiene un costo en plaza de $1.100 al contado. Sin embargo existe la posibilidad de alquilarlo por 5 años en los siguientes términos: los 3 primeros años con un alquiler de $315 anuales, el cuarto año $260 y el quinto $250. El monto del alquiler incluye servicio y mantenimiento. Otros datos: los ahorros operativos por utilizar este equipo alcanzan a $300 anuales. La vida útil de la maquinaria es de 5 años.
88
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Los costos de mantenimiento (solo en caso de compra) ascenderán a $10 anuales. La empresa estima una tasa de impuesto de las ganancias del 20% que se estima abonar al año siguiente. Sabiendo que la tasa de corte fijada por la empresa es del 10% anual, determinar el VAN de las dos alternativas y decidir la alternativa mas aconsejable. Justifique. Compra 0 Inversión (1100) Ingreso Mant. Amort B.A.I. Impuesto1 Utilidad Amort. FFN (1100)
1
2
3
4
5
300 (10) (220) 70
300 (10) (220) 70 (14) 56 220 276
300 (10) (220) 70 (14) 56 220 276
300 (10) (220) 70 (14) 56 220 276
300 (10) (220) 70 (14) 56 220 276
70 220 290
6
(14) (14) (14)
Van= -1100+ 290.(1+0,1)-1+276. A(1;4;0,1).(1+0,1)-1- 14.(1+0,1)-6 Van= - 48,9246 Alquiler 0 Ingresos Alquiler B.A.I. Impuesto FFN
1 300 (315) (15) (15)
2 300 (315) (15) (15)
3 300 (315) (15) (15)
4 300 (260) 40 40
5 300 (250) 50 +8 -8 50
6 +1 -10 (9)
Tengo un ahorro impositivo en los tres primeros meses que recién lo veo reflejado en el mes 5 ya que en el mes cuatro tengo un gasto impositivo (y se paga mes vencido). El peso que tengo de diferencia se pasa al otro mes. Van= (15). A (1, 3, 0,1) +40.(1+0,1)-4 +50.(1+0,1)-5 -9.(1+0,1)-6 Van= 15,9835 180) “Corparation” puede invertir en un proyecto que cuesta $100.000 y tiene una vida útil de 5 años. Los flujos de efectivo esperados del proyecto son: Años
1 20.000
2 40.000
3 40.000
4 30.000
5 20.000
La tasa de impuesto a las ganancias es del 50% y su costo de capital sobre la base de las condiciones actuales en los mercados financieros es del 12%. La empresa utiliza el sistema de depreciación en línea recta y depreciará en 5 años.
1
Los impuestos se pagan un año después, por ende se agrega un período.
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89
b) Calcule el VAN del proyecto, TIR, pay-back e índice de rentabilidad. 0 Inversión (100000) Ingresos Depreciación B.A.I. Impuestos Utilidad Depreciación FFN (100000)
1
2
3
4
5
20000 (20000)
40000 (20000)
40000 (20000)
30000 (20000)
20000 (20000)
0 0 0 20000
20000 (10000) 10000 20000
20000 (10000) 10000 20000
10000 (5000) 5000 20000
0 0 0 20000
20000
30000
30000
25000
20000
Van= -100000+20000(1+ 0,12)-1+30000.(1+1,12)-2+30000.(1+0,12)-3 +25000(1+0,12)-4+20000(1+0,12) -5 Van= -9637,14 TIR = + 20000(1+ r)-1+30000.(1+r)-2+30000.(1+r)-3+25000(1+r)-4+ 20000(1+r) -5 = 8,01% Ind. Rent: -9637,14/ 100000= -0,09637 Pay back: 3+(100000-80000)/25000= 3,8
181) Considere los proyectos A y B: Proyecto A B
0 (4.000) (2.000)
1 2410 1310
2 2930 1720
TIR 21% 31%
El costo de oportunidad del capital es inferior al 10%. Utilice criterio TIR para determinar qué proyecto deberían ser aceptados si: A.- pueden emprenderse ambos y B.- si solo uno puede emprenderse. A- Tir: 0= -6000+ 3720.(1+r)-1+4650.(1+r)-2 Tir = 0,245 B- En caso que uno solo se pueda llevar a cabo, se elige el proyecto b
182) Una inversión tiene un flujo de ingresos de $200 hoy, un flujo de egresos de $300 al final del año 1 y un flujo de ingresos de $400 al final del año 2. ¿Cuál es su tasa interna de rendimiento?
F.F.N.
0 200
1 (300)
2 400
90
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Proyecto 350
300
250
VAN
200
150
100
50
0 0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30%
Proyecto
Tasa
No Hay TIR, pues el VAN nunca se hace 0. 183) Una empresa analiza dos proyectos independientes y excluyentes con las siguientes distribuciones de probabilidad discreta de los flujos de efectivo esperado en cada uno de los 3 años de vida del proyecto. A Flujo 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000
B Probabilidad 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10
Flujo 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000
Probabilidad 0.10 0.25 0.30 0.25 0.10
La inversión inicial requerida es de $9.500 y la tasa de costo de oportunidad del 10%. Se pide que determine para cada proyecto: f) El valor actual neto esperado g) La desviación estándar en torno al valor esperado h) El coeficiente de variabilidad e interpretarlo i) La probabilidad de que el VAN sea mayor a cero j) Si la empresa acepta proyectos que maximicen el VAN esperado y menor riesgo, ¿Cuál elegiría?
Flujos 3000 3500 4000 4500 5000
Probabilidad 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10
VAN -2039,44 -796,01 447,4 1690,83 2934,25
V.E. -203,944 -159,202 178,96 338,166 293,425 V.E. = 447,4
Varianza2 618437,318 309213,685 0 309223,63 618442,29 2
=1855316,92 Esperanza VAN = 447,4
2
Recordar que [2 = (X-V.E)2.Probabilidad]
______________________________________________________________________________
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La suma de V.E. (que son los VAN, considerando a todos los flujos iguales, multiplicado por su probabilidad) es igual al VAN esperado. Desvío Estándar = A = 1362,10 Coeficiente Variabilidad = A/V.E = 1362,10/447,4 = 3,044 La probabilidad que el VAN > 0 es: 0,4 + 0,2 + 0,1 = 70% ya que el VAN será positivo si los flujos son de 4000 o más. Alternativa B Flujos 2000 3000 4000 5000 6000
Probabilidad 0,10 0,25 0,30 0,25 0,10
VAN -4526,29 -2039,44 447,4 2934,25 5421,11
V.E. -452,2629 -509,86 134,22 733,56 542,111 V.E. = 447,7
Varianza 2474057,652 1546466,34 0,027 1545732,72 2473480,70 2 =8039737,45
B = 2835,44 Coeficiente de Variabilidad = 2835,44/447,7 = 6,333 La probabilidad que el VAN > 0 es: 0,3 + 0,25 + 0,1 = 65%
Distribución 0.45 0.4
Probabilidad
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -2039.44
-796.01
447.4
VAN
1690.83
2934.25 Proyecto B Pryecto A
Ambos proyectos tienen la misma media, pero el proyecto A tiene menos desvíos estándar, es decir que los valores están más concentrados alrededor de la media que es 447,4, lo que significa que es menos riesgoso. Como se ve en el gráfico.
92
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184) Una empresa ha determinado la siguiente distribución de probabilidad discreta para los flujos de fondos netos a generar por un proyecto bajo estudio. Posible ingreso
Probabilidad % Año 2 0.20 0.10 0.70
Año 1 0.50 0.10 0.40
1 2 3
Año 3 0.00 0.50 0.50
La inversión inicial requerida es de $5 y la tasa mínima de aceptación es del 5% anual. Si la empresa acepta solamente aquellos proyectos rentables que tengan probabilidad superior al 90% de tener VAN positivo y además que el coeficiente de variabilidad no sea mayor al 0.6, ¿el proyecto debería realizarse?
0 (5)
V.E.
(5)
1 1 3 4
2 0.5 0.1 0.4
1 3 4
2.4
3 0.2 0.1 0.7
1 3 4
3.3
0 0.5 0.5 3.5
VAN Esperado = 3.3 Posib 0 1 Prob. 2 Prob. 3 Prob. VAN 1 -5 1 0.5 1 0.2 3 0.5 -0.54907677 2 -5 1 0.5 3 0.1 3 0.5 1.26498218 3 -5 1 0.5 4 0.7 3 0.5 2.17201166 4 -5 3 0.1 1 0.2 3 0.5 1.35568513 5 -5 3 0.1 3 0.1 3 0.5 3.16974409 6 -5 3 0.1 4 0.7 3 0.5 4.07677357 7 -5 4 0.4 1 0.2 3 0.5 2.30806608 8 -5 4 0.4 3 0.1 3 0.5 4.12212504 9 -5 4 0.4 4 0.7 3 0.5 5.02915452 10 -5 1 0.5 1 0.2 4 0.5 0.31476082 11 -5 1 0.5 3 0.1 4 0.5 2.12881978 12 -5 1 0.5 4 0.7 4 0.5 3.03584926 13 -5 3 0.1 1 0.2 4 0.5 2.21952273 14 -5 3 0.1 3 0.1 4 0.5 4.03358169 15 -5 3 0.1 4 0.7 4 0.5 4.94061117 16 -5 4 0.4 1 0.2 4 0.5 3.17190368 17 -5 4 0.4 3 0.1 4 0.5 4.98596264 18 -5 4 0.4 4 0.7 4 0.5 5.89299212 Suma
Prob. 0.05 0.025 0.175 0.01 0.005 0.035 0.04 0.02 0.14 0.05 0.025 0.175 0.01 0.005 0.035 0.04 0.02 0.14 1
V.E. -0.0275 0.03162 0.3801 0.01356 0.01585 0.14269 0.09232 0.08244 0.70408 0.01574 0.05322 0.53127 0.0222 0.02017 0.17292 0.12688 0.09972 0.82502 3.30234
Varianza 0.74167178 0.10377099 0.22358863 0.03789477 8.7913E-05 0.02099099 0.03954348 0.01344085 0.41746285 0.44628241 0.03442893 0.01242832 0.011725 0.00267355 0.09393727 0.00068058 0.05669149 0.93960468 3.19690447
Desvío estándar: = 1,788 Coeficiente de Variabilidad: 1,788/3,3 = 0,54 Probabilidad VAN > 0 = Solo hay una posibilidad que el VAN < 0 = 0,05 por lo tanto la probabilidad que VAN > 0 = 95%. El proyecto puede aprobarse ya que el coeficiente de variabilidad es menor a 0,6, y la probabilidad es superior a la pedida.
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94
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