FILA "A"
Segundo parcial parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
1.a) Enuncie las hipótesis y tesis del teorema del valor medio de Lagrange.
1.b) Si f
x
x2
por definición según limite, probar que f 1
1.c) Si f x sen x hallar el valor abreviado de
2.
.
f f
1.a) Anote un ejemplo de una función continua pero no derivable en xo 4 .
x 2 2 y2 2. Hallar la expresión abreviada de y´´ si se conoce: ln x 2 y2
y2 arctg 2 6 x
4x 5 n 3. Deducir una expresión para la derivada n-sima f x si: f x 2x 2 5x 3
4. Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/convexa, máximo, mínimos,
inflexiones, etc. Construir la gráfica de la función: y x 4 18x 2 41 5. Un sólido cerrado está formado por un cilindro recto de base circular que termina por encima en una semiesferas. Hallar las dimensiones del sólido para que el área superficial total sea mínima si su volumen debe ser: V 45000 cm3
V
esfera
4 3
r 3 ; A esfera 4r 2 ; Vcilindro r 2h
OPTATIVA. Se traza una circunferencia de centro (6,0) tal que el círculo corta en ángulo recta a la elipse 4x 2 9y 2 36 . Hallar el radio de la circunferencia.
Página 1
CALCULO - I
Segundo parcial (Gestión I/2017)
1.a) Enuncie las hipótesis y tesis del teorema del valor medio de Lagrange.
Si f es una función continua en el intervalo [a,b], derivable en a, b z a, b , tal que: f z 1.b) Si f
x
f
b
f a
b a por definición según limite, probar que f 1
x2
f lim x h 0 f lim x h 0
f
f
xh
x
h0
h
h 2x h
f 2 1 1
lim
2 x h x2
f cos x x
f
x
cos sen
f
.
f f
sen x
cos f
x
f 2x x
f 2 1
f
f
h
lim 2x h 2x 0 2x
f
x h x x h x
h0
h
sen x
x
lim
h 0
h
1.c) Si f x sen x hallar el valor abreviado de
f
2 .
f
f
x
f
x
sen x
f
f
cos sen x
x
1
1.d) Anote un ejemplo de una función continua pero no derivable en x 4 . o
f
x
f
x4
f
x4 f x x4
x4
Página 2
44 0 f 4 44 0
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
x 2 2y2 2. Hallar la expresión abreviada de y´´ si se conoce: ln x 2 y2
x 2y x 2 y2 2
y arctg 2 6 x
2
2
ln
ln
x
2
x2 x2 x2
*C.V. u u
2y
y
2
x2 y2 x2
2 y arctg 6 x
y2 arctg 2 6 x
x 2 2y 2 2 x ln 2 2 x y x2 2 y 1 2 x ln 2 y 1 x
2 y arctg 6 x 2 y arctg x 6
/ / derivando
x
y x y
.......... 1 x2 *Utilizamos el CV y derivamos.
1 2u 2 2 6 ln arctg u 2 1 u
/ / derivando
1 2u 2 2 u arctg u u 0 ln 2 1 u 2 1 2u 2 ln arctg u u 0 1 u 2
*Igualando 1 con 2 y despejar " y ". u u y x y x2
0
y
y x
.......... 3
Página 3
u 0
.......... 2
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
*Deri var " y ". y
y
/ / derivando
x
y x y y x y 1 yy 0 x 0 y 2 2 2 2 x
x
x
y 0
x
4x 5 n 3. Deducir una expresión para la derivada n-sima f x si: f x 2x 2 5x 3
*Utilizamos Fracciones Parciales. f x
4x 5 2x 2 5x 3
4x 5
2x 1 x 3 4x 5
2x 1 x 3
A
2x 1
B x 3
A x 3 B 2x 1
2x 1 x 3 4x 5 A x 3 B 2x 1
*Si x 3. 4 3 5 A 3 3 B 2 3 1 *Si x
1 2
B 1
.
1 1 1 4 5 A 3 B 2 1 2 2 2
A2
*Reemplazar los valores obtenidos. f x
4x 5 2x 2 5x 3
1
A 2x 1
f x 2 2x 1 x 3
B x3
1
2 2x 1
1 x3
/ / derivando
2
f x 2 1 2x 1 2 1 x 3 3
2
2
/ / derivando
f x 2 1 2 2x 1 2 1 2 x 3 Página 4
3
/ / der ivando
resp
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
f 2 1 x
2
4 3 2 4 2 3 2x 1 2 1 2 3 x 3
f IV 2 1 x
4
5 4 4 5 2 3 4 2x 1 2 1 2 3 4 x 3
… … … … … . . .
n
f x 2 1
n
2 3 4 5 ............ n 2 n 1 n 2x 1
/ / derivando
n 1
/ / derivando
n
2
n
1 2 3 4 5 ............ n 2 n 1 n x 3
n 1
*Poniendo en una for ma mas corta.
n
n
f x 2 1 n! 2x 1
n 1
n
n
2 1 n! x 3
n 1
resp
4. Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/convexa, máximo, mínimos,
inflexiones, etc. Construir la gráfica de la función: y x 4 18x 2 41
*Hallar " y ". y x 4 18x 2 41
/ / derivando
y 4x 3 18 2 x 0 y 4x x 2 9
y 4x 3 36x
y 4x x 3 x 3
y 0
4x x 3 x 3 0 3 P.Min
*Hallar " y ". y 4x 3 36x
3
P.Max
P.Min
/ / derivando
y 4 3 x 2 36 1 y 12 x 2 3
0
y 12x 2 36
y 12 x 3 Página 5
x 3
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
y 0
12 x
3
x 3 0
3 3 P.Inf P.Inf *Hallar los valores de " y " para cada punto encontrado en y, y si y x 4 18x 2 41 . x1 3
;
y1 40 ;
x2
3
y2 4
;
x3 0
;
y 3 41 ;
x4 3
;
;
y4 4 ;
x5 3 y 5 40
*intersecctando los crecientes decreciente con los concava convexa.
3
0
3
3
3
3
3
0
3
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3
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
5. Un sólido cerrado está formado por un cilindro recto de base circular que termina por encima en una semiesferas. Hallar las dimensiones del sólido para que el área superficial total sea mínima si su volumen debe ser: V 45000 cm3
V
esfera
4 3
r 3 ; A esfera 4r 2 ; Vcilindro r 2h
*El volumén Total. VT VSemi Esfera VCilindro
r
VT
1 4 2 r3 r 2h r3 r 2h 2 3 3
h
2
VT r 2
3
r
r h ..........1
* Si nos dan el VT 45000
*Igualando 1 y 2 .
2 r 2 r h 45000 3
.......... 2
VT VT
h
45000 r2
2
r .......... 3 3
*Area Superficial Total del Solido. A T ASemi Esfera ACilindro .......... 4 *Area de un cilindro.
S 2r
h
Acilindro A Rec tan gulo A Circulo Acilindro 2 r h r 2
r
Corte.
*Re emplazando los valores de 4 . AT
1
4r 2 2 r h r 2 2 r 2 2 r h r 2
2 AT 3 r 2 2 r h
.......... 5 Página 7
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
*Reemplazando 3 en 5 .
45000
A T 3 r 2 2 r
A T 3 r 2
AT
5
dA T
5
5
dr dA T dr
3
90000 r
r2
2 r 3
4 r 2 3
r 2 90000 r 1
3 3
AT
5 3
r 2
r
5 3 3
r
/ / derivando
2 r 21 90000 1 r 11 2 r 90000 r 2
*Me dice que el área super ficial sea m ì n ima 0
90000
2r
90000
r2
27000
r3
dA T dr
0
3 90000 25
r 30
*Re emplazar en 3 . h
45000
30
2
2 3
30
h 30
r 30 cm ; h 30 cm
resp
OPTATIVA. Se traza una circunferencia de centro (6,0) tal que el círculo corta en ángulo recta a la elipse 4x 2 9y2 36 . Hallar el radio de la circunferencia.
*Hallar la ecuación de la circunferencia el centro es 6,0 . 2 2 x 6 y 0 R 2 2 x 6 y2 R 2
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Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
*Voy a sup oner que int er sec ta la circunferencia y la elipse en un punto m, n . *Hallar la pendiente de la elipse en el punto m, n . 4x 2 9y2 36
/ / derivando
4 2x 9 2y y 0
ye
y
4x 9y
x m yn
4m 9n
*Hallar la pendiente de la circunferencia en el punto m, n . 2 x 6 y2 R 2
/ / derivando
2 x 6 2y y 0
yc
y
6x y
x m yn
6m n
*Dice que corta en un ángulo recto. Cumple : m 1 m 2 1 ye yc 1
4m 9n
6m n
1
24m 4m 2 9n 2 ..........1
*El punto m, n pertenece a la elipse. 2
2
4 m 9 n 36
9n 2 36 4m 2 .......... 2 Página 9
4m 6 m 9n
2
1
Segundo parcial (Gestión I/2017)
CALCULO - I
*Igualar la ecuación 1 y 2 despejar "m ". 24m 4m 2 36 4m 2 m
36
24
3
m
2
24m 36
.......... 3
*Re emplazar en 2 despejar "n 2 ".
3 9n 2 36 4 2 9n 2 27
2
9 n 2 36 9
n 2 3 .......... 4
* El punto m, n pertenece a la circunferencia y reemplazar los valores. 2
2 m 6 n2 R 2
R 2
R 2
93 4
9
3 2 6 3 R 2
2
3 2
R
R2
81 4
93 4
Página 10
3
R
93 2
resp
Página 11
