PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA
CÁLCULO II
Prof. Francisco Leal Moreira
2004/2
SUMÁRIO 1. INTE IN TEGR GRAL ALINDE INDEFINID FINIDA A ........................ .................................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ......................1 ..........1 1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO REVISÃ O ....................... ................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... .......................1 ...........1 1.2. RESPOS RES POSTAS TAS ........................ .................................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... ..................... ................2 .....2 2. INTEGRAÇÃO POR PARTES PART ES ....................... .................................. ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ................3 ....3 2.1. RESPOS RES POSTAS...................... TAS.................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... ..................... ..................3 .......3 3. INTE IN TEGR GRAL ALDEFIN DEFINIDA IDA ....................... ................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ..................... ...............4 ......4 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.4.
PROPRIEDADES BÁSICAS BÁSIC AS ....................... ................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ......................4 ..........4 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA ....................... ................................... ....................... ...................... ................5 .....5 ÁREA ENTRE DUAS CURVAS CUR VAS................ ................................ ................................................ ................................................................ ..........................................................6 ..........................6 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS IMPRÓPR IAS ....................... ................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... .......................7 ...........7 RESPOS RES POSTAS...................... TAS.................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... ..................... ..................7 .......7
4. CÁLCULO SOMATÓ SOM ATÓRIO RIO............ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ......................8 ..........8 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
NÚMERO D E PARCELASDO SOMATÓRIO SOMATÓRI O ....................... ................................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ...............8 ...8 PROPRIEDADES DO SOMATÓ SOM ATÓRI RIO O ....................... ................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ...................... ................... .........99 PRINCÍPIO DA INDUÇÃOFINI INDUÇÃO FINITA(PI TA(PIF) F) ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ..................... .........11 11 SOMATÓRIO DUPLO ...................... .................................. ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................1 ........122 RESPOS RES POSTAS...................... TAS.................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... .................... ................13 ......13
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES .................. ........................... .......................... .......................... ................. ......................... .......................... .......................... .......................... .................. ...........................14 ..................14 5.1. INTR IN TROD ODUÇ UÇÃO. ÃO............. ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ..................14 ......14 5.2. SEQÜÊNCIAS INFI IN FINI NITAS TAS......... ................. ................. .......................... .......................... .................. .......................... .......................... ................. .......................... .......................... ................14 ........14 5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA SEQÜÊN CIA ................................ ................................................................ ................................................................ ........................................................1 ........................155 5.4. SÉRIES INFINI INF INITAS TAS........... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ................... ............15 .....15 5.5. SOMA DE UMA UM A SÉRI SÉ RIE................ E............................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ...................... ............17 ..17 5.6. SÉRIES GEOMÉTRIC GEOMÉ TRICAS AS ....................... .................................. ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ...............17 ...17 5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES ........................ .................................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ..................... ................... .................1 .......188 5.8. TESTE DA DIVERGÊNCI DIVER GÊNCIA A ....................... ................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... .....................1 .........199 5.9. TESTE DA INTEGR INT EGRAL AL ...................... .................................. ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ..................1 ......199 5.10. SÉRI SÉ RIE-P......... E-P........................... ....................... ...................... ................................ ............................................... ................................................................ ................................................................ ..................................19 ..19 5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMIT LI MITE...... E.................. ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ...................... .............20 ...20 5.12. SÉRIES ALTERN ALT ERNADA ADAS................. S............................ ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ..................... ..........20 .20 5.13. TESTE DE LEIBNIZ......................... LEIBNIZ.......................................... .......................... .................. .......................... .......................... .................. .......................... ......................... ............................2 ....................200 5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL..............................................21 5.15. TESTE DA RAZÃO............................... RAZ ÃO................................................................. ................................................................ ................................................................ .............................................21 .............21 5.16. SÉRIES D E POTÊNC POT ÊNCIAS IAS ....................... .................................. ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ..............22 ..22 5.17. INTERVALO D E CONVERGÊNCIA CONVER GÊNCIA ....................... ................................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ..................... ................ .......22 22 5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES D E POTÊNCI POTÊ NCIAS............. AS...................... .................. .......................... ......................... ............................2 ....................233 5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO D E SÉRIES D E POTÊNCIAS POTÊNC IAS ....................... .................................. ....................... ........................ ..................24 ......24 5.20. SÉRIES D E TAYLOR TAYL OR ...................... .................................. ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................2 ........244 5.21. RESPOS RES POSTAS TAS ........................ .................................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ....................... .................... ................... ..............26 ....26 6. OS CONJUNTOS
ℜ
2
E
ℜ
3
................................................................................................................................27
2
ℜ ...........................................................................................................................................27 3 6.2. O CONJUNTO ℜ ............................................................................................................................................27 6.1. O CONJUNTO
7. FUNÇÕES DEVÁRIAS VARIÁVEIS............. VARIÁVEI S......................... ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ......................2 ..........288 7.2. CURVAS D E NÍVEL NÍV EL .................. ........................... .......................... .......................... ................. ......................... .......................... .......................... .......................... .................. ...........................29 ..................29
7.3. RESPOS RES POSTAS...................... TAS.................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... .................... ................30 ......30 8. DERIVADAS PARCIA PAR CIAIS................. IS......................... ......................... .......................... .................. .......................... .......................... .................. .......................... ......................... ............................3 ....................311 8.1. 8.2. 8.3. 8.4.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADASPARCIAIS.......................................................31 DERIVADAS PARCIAIS.......................................................31 DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM ........................ .................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ..............32 ..32 HESSIANO ........................ .................................... ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ....................... ...................... ...................... ................32 .....32 RESPOS RES POSTAS...................... TAS.................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... .................... ................33 ......33
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS D E FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS VARIÁVEI S ........................ .................................... ....................... ....................... ..................... ..........34 .34 9.1. 9.2. 9.3. 9.4.
PONTO CRÍTICO DEUMA FUNÇÃODE DUAS VARIÁVEIS................................................................35 CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DEPONTOS EXTREMANT EXTR EMANTES ES ........................ ................................... .................. ...........35 ....35 MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIO COND ICIONADO NADOS............... S........................... ........................ ........................ ........................ ....................... ....................... ......................3 ..........366 RESPOS RES POSTAS...................... TAS.................................. ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ........................ ...................... .................... ................37 ......37
10. BIBLIOGRAF BIBLI OGRAFIA IA ........................ .................................... ........................ ........................ ....................... ....................... ........................ ........................ ........................ ....................... ..................... ................... ..............38 .....38
1. INTEGRAL INDEFINIDA DERIVAÇÃO
F
F’= f
PRIMITIVAÇÃO
1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO E1) Encontre:
∫
2)
4)
∫ 5xdx− x
5)
dx (1 − x ) 4
∫
6)
∫
7)
∫ 3xdx− x
8)
∫ 2xdx− 1
9)
∫ (2xdx+ 3)
11) e 3x−1dx
∫
12)
x 2 dx x3 +1
∫
∫ 4xdx− 2
15)
∫ 3xe
∫
18)
dx ex
∫
∫
21)
se n5xdx ∫ sen
∫
24) 24) x 2 (sen2x 3 + 4x) dx
1) (2x − 1)3 2dx
3
2
2
5 3 10) 3e x − + 2 dx 2 x x
∫
13)
2dx
∫ e
14)
x −1
20 xdx x 2 + 10
16)
∫
19)
∫ (e
2x
+ 2) 5 e2x dx
17)
2
− 1. 2xdx
x 5e 2 dx
co s3 xdx 20) cos
∫
co sx2 dx 23) 2 x cos
∫
co sxdx 26) (sen x ) 5 cos
22) cos(3x + 1)dx
co sxdx 25) esen x cos 28)
∫ x
∫
sen xdx (5 − cos co s x )3
∫
1
3)
∫ (3x
2
+ 4) 5 xdx
xdx (x + 2)3 2
x2 + 3
5
dx
∫
27)
co sxdx ∫ sen x .cos
1.2. RESPOSTAS ( 2 x − 1) 4 +k 4
2)
4) – 5 − x 2 + k
5)
E1) 1)
− 33 (3 − x 2 ) 2
7)
4
+k
8)
2 ( x 2 − 1) 3 +k 3
1 3(1 − x)
1
6)
+k 3
2x − 1 + k
e3x −1 +k 3
5 3 10) 3e x − ln | x | − + k 2 x
11)
−2 13) x −1 + k
1 14) ln | 4 x − 2 | + k 4
16) 10ln(x2 +10) + k
17) 10 e 2 + k
( e 2x + 2) 6 +k 19) 12
20)
e
( 3x 2 + 4) 6 +k 36
3)
− 4 (x 2 + 2) 2
9)
−1 + k 8( 2 x + 3) 4
12)
1 ln | x 3 + 1 | + k 3 2
3e x +3 +k 15) 2
x
22)
sen (3 x + 1) +k 3
25) e sen x+ k
28) −
se n 3x +k 3
23) sen x2 + k
26)
sen 6 x +k 6
18) −
1 +k ex
21) −
co s 5 x +k 5
24) −
cos 2x 3 + x4 + k 6
27)
1 +k 2( 5 − cos x ) 2
2
+k
2 sen3 x +k 3
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES Sabemos que [ f (x).g(x) ]’ = f(x).g’(x) + g(x).f ’(x) ou f(x).g’(x) = [ f(x) . g(x) ]’ – g (x). f ’(x)
∫
∫
Integrando ambos os membros dessa equação , obtemos f ( x ).g ' (x )dx = f ( x ) g( x ) − g (x ).f ' ( x ) dx Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem:
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du E1)Calcule :
∫
2) x sen xdx
∫
5)
∫
8) (x + 1) cos 2 xdx
1) xe x dx 4) (2 x − 1) cos xdx 7) x sec2 x dx
∫
∫
3) ln xdx
∫ x ln x dx
6) x 2 ln x dx
∫
9) x ln 3xdx
∫
∫
∫
10) xe 4x dx
2.1. RESPOSTAS E1) 1) xex – e x + k
2) – xcos x + sen x + k
3)xln x – x + k
4) (2x – 1)sen x + 2cos x + k
5)
2 x3 4 x3 ln x − +k 3 9
6)
x 3 ln x x 3 − +k 3 9
7) xtg x + ln | cos x | + k
8)
( x + 1) sen 2 x cos 2x + +k 2 4
9)
x 2 ln 3x x 2 − +k 2 4
10)
xe 4x e 4x − +k 4 16
3
3. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o núme ro real b
∫ f(x)dx e calculado por F(b) - F(a).
representado por
a
b
∫ f(x)dx = [F(x)] a
b a
= F(b) - F(a)
E1) Calcule: 1)
3
∫ x dx 2
2)
0
1
4
∫ (1− x) dx −1
3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS a
a)
∫ f(x)dx = 0
b)
∫ f(x)dx = - ∫ f(x)dx
a
b
a
a
b
b
b
c)
∫
d)
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
a
c.f(x)dx = c.
∫ f(x)dx , sendo c uma constante a
b
b
b
a
a
a
b
c
∫
f)
∫ f(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0,
a
f(x)dx =
∫
b
e)
a
f(x)dx +
∫ f(x)dx , com a < c < b
b
a
c
∀x ∈ [a,b]
E2)Calcule: 1)
1
∫ (x 0
4
− 3x 3 + 1)dx
9
t − 1 dt 1 t
4)
∫
7)
∫ (2x - 4)
2
1
5
dx
0
2)
∫ − (3x
5)
∫ x
8)
∫ (2x - 6)
5
1
2 2 (x 0
2
5
∫ (2 + 2u + 3u
− 3x 2 + 2x − 1) dx
3)
- 1)dx
6)
∫ t
9)
∫ 8x(x
4
4
4
dx
2
1 t +1
2
1
0
2
2
)du
dt
2
+ 1) 3 dx
10)
13)
16)
1 du 6u + 1
11)
| x − 1 | dx
14)
| x | x − dx −1 2
17)
4
∫ 0
3
∫ −
2
1
∫
2
x2
1
3
∫ (x
+ 1) 2
dx
12)
dx 2 0 x − 6x + 9 2
∫
5
∫ −
2
15)
| 2t − 4 | dt
18)
1
∫ (u
3
0
0
∫
-1
3
∫ 1
+ u) u 4 + 2u 2 + 1 du
dx 1- x x4 − x3 dx x
3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. y f f(x+ ? x ) A1
f(x)
A2 A3
?A
A 0
a
x +? x
x
b
x
A é a área da região hachurada, ? A é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo ? x . A 3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A 1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). ? x ≤ ? A ≤ f(x + x). ? x ⇒ f(x) ≤
lim f(x) ≤ lim ∆x → 0
∆ →0 x
?A ≤ f(x + ? x ) ?x
?A ?A ?A ≤ lim f(x + ? x ) ⇔ f(x) ≤ lim ≤ f(x ) ⇒ lim = f(x) ⇔ A’ = f(x) ∆ →0 ? x ∆ →0 ? x ?x ∆x → 0 x
x
Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b. Para x = b, A = F(b) - F(a) =
b
∫ f(x)dx a
Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número
b
∫ f(x)dx representa a área a
limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.
5
da região
y f
R 0
a
b AR =
x
b
∫ f(x)dx a
3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos gráficos de f, g, x=a e x=b então AR =
b
∫ [f(x) - g(x)]dx a
y f R
0
a
g b
E3)Calcule a área da região limitada por: 1) y =-x2 + 4 e y=0 2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 4) y=x2 – 1 e y=3 5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 6) y=x3, y =-x + 2 e y=0 7) y=
x e y=x2
8) y=x e y=x3
6
x
3.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS A integral imprópria de f sobre o intervalo [ a, +∞) é definida por
∞
∫
f (x ) dx = lim
t
∫ f (x)dx .
t→ ∞ a
a
Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge. Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge.
E4) Determine se cada integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu valor. 1)
∞
∫ 1
dx x3
2)
∞
∫ 1
dx x
3)
∞
∫ 1
dx x
4)
∞
x2
0
x3
∫ e
dx
5)
∞
x2
0
3
+1
8) −
32 5
∫ x
dx
3.4. RESPOSTAS E1) 1) 9
E2) 1)
10)
E3) 1)
2)
9 20
2) −
7 2
4 . 11) 7 3 54 32 3
2) 9
E4) 1) Converge, 1/2
32 5
3) 144
12)
4)
7 6 3)
13)
5 2
2) Diverge
5)
4 3
1 6) − − ln 2 2
14)
2 3
15) 2 2 − 2
40 3
13 2 4)
32 3
5) 9
3) Diverge
7
6)
7) − 16 ) −
3 4
4) Converge, 1/3
16 3
1 2 7)
17) 25 1 3
8)
9) 15
18)
1 2
5) Diverge
34 3
4. CÁLCULO SOMATÓRIO Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100 Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n, 50
neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por:
∑ 2.n que se n= 0
lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”.
∑
A letra
que é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para
indicar uma soma de várias parcelas. Seja {a1 , a2 , a 3 , ..., a n } um conjunto de n números reais, o símbolo
n
∑a
i
representa a sua soma,
i =1
n
∑ a = a + a + a + ... + a .
isto é,
i
1
2
3
n
i =1
n
Em
∑a : i
i =1
a) A letra i é denominada índice do somatório e, em seu lugar, pode figurar qualquer outra letra. b) Os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites inferior e superior. E1)Desenvolva os seguintes somatórios: 5
1)
∑ (x
2
∞
− x)
2)
5
∑ (−1) . j j
3)
j= 2
x =1
3)
2 3 4 5 10 + + + + ... + 1 .3 2 .4 3 .5 4.6 9 .11
E3)Calcule o valor de: 1)
∑ (−1) .n! n
n= 0
2
5 5 i − i2 2) i=0 i= 0
∑
∑
4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO n
∑
i =p
a i = a p + a p+ 1 + L + a n , logo
n
∑= a
i
tem ( n – p + 1 ) parcelas
i p
100
E4)Destaque a parcela central e a décima parcela de
∑ (−1) .3n . n= 0
8
n
n =0
E2)Escreva sob a forma de somatório as seguintes expressões: 1 2 6 24 1) 1 – 3 + 5 – 7 + ... 2) 1 + + + + 2 3 4 5
5
∑ n! a
n
4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO 1. Somatório de uma constante Sejam a i = k , com i = p,...,n. n
n
∑ k =∑ a = a i
i =p
p
+ a p+1 + L + a n = k + k + L + k = ( n − p + 1) k
i =p
n
∑ k = (n − p + 1).k i =p
2. Somatório do produto de uma constante por uma variável Sejam ka i , com i = p,...,n. n
∑ ka = ka i
n
p
+ ka p +1 + L + ka n = k( a p + a p+1 + L + a n ) = k
i =p
∑a
i
i =p
n
∑
n
ka i = k
i =p
∑a
i
i= p
3. Somatório de uma soma algébrica Sejam a i ± b i , com i = p,...,n. n
∑ (a
i
± bi ) =( a p ± bp ) + ( a p+1 ± b p +1) + L + ( a n ± b n ) = (a p + a p+1 + L + a n ) ± ( bp + b p+1 + L + bn )
i =p
n
=
n
∑a ± ∑ b i
i =p
i
i =p
n
∑
n
n
∑ ∑b
(a i ± bi ) =
i =p
ai ±
i =p
i =p
4. Separação do último termo n −1
n
∑a =∑a +a i
i =p
i
n
i =p
5. Separação do primeiro termo n
n
i =p
i = p +1
∑ a i = ap + ∑ ai
9
i
6. Avanço dos limites n
∑a
i
= a p + a p+1 + L + a n = a p +( j− j) + a p +1+ ( j− j) + L + a n+ ( j− j) ) = a ( p+ j) − j + a (p+ j)+1− j + L + a ( n+ j)− j
i =p
n + j
=
∑a
i − j
i= p + j
n + j
n
a− ∑= a = ∑ = + i
i j
i p
i p j
E5) Complete a tabela abaixo: i
xi
yi
1
1
2
2
1
3
3
2
2
4
3
4
5
4
1
6
0
5
xi 2
yi2
xi 2 y i
xi y i
∑ E6) Com os valores da tabela acima e o uso das propriedades do somatório, calcule: 6
1)
∑ i =1 5
4)
∑
(2 x i − 3y i + 4)
x i 2 + 10
∑
5)
5
∑= i 2
6
∑=
5
∑
( x i − x i−1 )
8)
xi2
6
3)
i =1
(x i − y i )2
6)
i 1
i =2
7)
2
5 − 2) x i i=1
(x i − y i )(x i + y i ) ∑ i= 2 5
∑= ( y + 3) i
i 1
3
∑= y +
i 2
i 0
10
2
4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA(PIF) E7) Para n ∈N, p(n) = n 2 + n + 41 sempre dá um número primo ? Uma proposição P(n) é verdadeira para todo natural n ≥ n 0 se e somente se: i) P(n) é verdadeira para n = n 0 ; ii) Se P(k) é verdadeira para um certo k natural então P(k+1) também é verdadeira. Exemplo: n
Use o PIF para mostrar que
∑ i =1+ 2+3+
L+ n
=
i =1
n( n + 1) 2
n
Solução:
Vamos mostrar que
∑ i = n(n2+ 1) . i =1
i) Para n = 1, os dois membros da expressão assume m o valor 1, logo P(1) é verdadeira; k k ( k + 1) ii) Vamos supor P(k) verdadeira , isto é, é verdadeira. Agora devemos mostrar i= 2 i =1
∑
que P(k+1) também é verdadeira, isto é, que
k +1
∑ i = (k + 1)[(k2 + 1) + 1] também é verdadeira. i =1
Da propriedade 4 , pagina 14,
k +1
k
i =1
i =1
k
∑ i =∑ i + (k +1) (1), da hipótese, ∑ i = k(k2+ 1)
(2)
i =1
Substituindo a (2) em (1) vem, k +1
∑ i = k(k2+1) + (k +1) = k(k +1) +2 2(k + 1) = (k +1)(2k + 2) = (k + 1)[(k2 +1) + 1] i =1
n
Logo, por indução matemática, mostramos que a expressão
∑ i = n(n2+ 1) é verdadeira para n ≥ 1. i =1
E8) Use o PIF para mostrar que: n
1)
∑
ar i −1 = a + ar + ar 2 + L + ar n−1 =
i =1 n
2)
∑i
2
= 1 + 4 + 9 +L+ n 2 =
i =1 n
3)
∑
n ( n + 1)(2n + 1) 6
i3 = 1+ 8 + 27 + L + n 3 =
i =1
a − ar n , r ≠ 1 1− r
n 2 ( n + 1) 2 4
E9) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: n
1)
∑ (i −1) i =1
2
n
2)
∑ n(i + 2) i =1
n
3)
∑ ni(i + 1) i =1
11
4)
n
∑= 2 i 0
i
5)
n +3
∑ ni i =1
4.4. SOMATÓRIO DUPLO x 11 x 12 x 13 L x 1n x x 22 x 23 L x 2n 21 Seja a matriz A = M M M M x m1 x m 2 x m3 L x mn As somas dos elementos de cada uma das linhas de A são: n
n
∑ x , ∑x 1 j
j=1
n
2 j , L ,
j=1
∑x
mj
j=1
A soma de todos os elementos da matriz A é: n
n
∑
x 1 j +
m
n
j=1
∑
n
x 2 j + L +
j =1
∑
n
∑
x mj =
j=1
n
( x1 j + x 2 j + L + x mj ) =
j =1
m
∑∑ x
ij
j=1 i =1
Observações: n
m
∑∑ = =
a)
x ij =
j p i q n
ij
i q j p
m
x ∑∑ = =
b)
x ∑∑ = =
tem (n – p + 1)(m – q + 1) parcelas.
ij
j p i q
E10) Desenvolva os seguintes somatórios: 3
1)
4
∑∑ (xy −10)
5
3
∑∑ (x + y)
2)
x =1 y=2
3
2
3)
x = 2 y=2
4
∑∑ x
y
3
4)
x = 2 y =1
4
∑∑ (y − x ) j
i
i =1 j=2
E11) Calcule o valor de: 3
1)
2
∑∑
3
(xy − 5)
4
∑∑
2)
x =1 y =1
5
( x − j)
3)
i =1 j=2
3
∑∑
z2
x = 2 y= 2
4
4)
3
∑∑ (x +1)
2
x = 2 y=2
E12) Escrever sob a forma de somatório as expressões: 1) 23 + 24 + 25 + 33 + 34 +35
2)
1 1 2 2 3 3 4 4 + + + + + + + 4 5 4 5 4 5 4 5
E13) Encontre uma fórmula(em função de n) para cada um dos somatórios abaixo: 2 n i +1
1)
∑∑ i =1 j= 0
n
n
2)
n
∑∑
n
( i + j)
3)
i =1 j=1
n
∑∑ i =1 j=1
12
n
( n + i)
4)
i
∑∑ i i =1 j=3
4.5. RESPOSTAS E1) 1) 0 + 2 + 6 + 12 + 20 E2) 1)
∞
2) 2 – 3 + 4 – 5 + ...
∑= (− 1) .(2i + 1) i
2)
i 0
E3) 1) – 100
4
∑= i 0
3) a 0 + a1 + 2a 2 + 6a3 + 24a4 + 120a5
i! i +1
9
∑= i(ii ++ 12)
3)
i 1
2)170
E4) a50 =150 e a 10 = -27 E6) 1) –5
2) 90
3) –25
4) 40
5) 40
6) 151
7) 3
8) 10
E7) p(40) = 1681 não é primo, pois é divisível por 41. E9) 1)
n (2 n 2 − 3n + 1) 6
2)
n 2 ( n + 5) 2
3)
n 2 (n + 1)( n + 2) 3
E10) 1) –8 – 7 – 6 – 6 – 4 – 2 – 4 – 1 + 2
4) 2n+1 – 1
5)
n (n + 3)( n + 4) 2
2) 16 + 25 + 25 + 36 + 36 + 49 + 49 + 64
3) 2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 + 27 + 81 4) (y 2 – x1 ) + (y 3 – x1 ) + (y 4 – x1 ) + (y2 – x2) + (y3 – x2 ) + (y 4 – x2 )+ (y 2 – x3 ) + (y 3 – x3 ) + (y 4 – x3) E11)1) – 12 E12) 1)
3
2) 9x – 27 5
∑∑ = =
i j
i 2 j 3
2
E13) 1) n ( 2n + 5)
2)
4
3) 8z2
4) 100
5
i ∑∑ = = j i 1 j 4
2
2) n (n + 1)
n 2 (3n + 1) 3) 2
13
4)
n (n + 1)( 2 n − 5 ) 6
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES 5.1. INTRODUÇÃO As séries infinitas podem ser usadas para obter valores funcionais. Podemos representar certas funções como séries infinitas cujos termos contêm potências de uma variável x. Substituindo x por um número real c e determinando a soma infinita resultante, obtemos o valor de f(c). Isto é, em essência, o que uma calculadora faz quando calcula valores de funções. A representação por séries infinitas, de sen x , e x e outras expressões nos permite abordar problemas que 2
não podem ser resolvidos por métodos fini tos, como por exemplo, a integral ∫ e − x dx.
5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS Uma seqüência infinita é uma lista de números numa certa ordem. a1 , a2 , a3,...,a n ,... onde: a1 : 10 termo a2 : 20 termo .................. an: n-ésimo termo ou termo geral
Notações: { a1 , a2 , a3 ,...,a n,... } ou {an } Exemplos:
n são: 1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5 n + 1
a) Os termos da seqüência
Representação gráfica da seqüência :
an 1 0,9
Observa-se que: se n cresce sem limites, a n cresce aproximando-se de 1, isto é,
n lim a n = lim n + 1 = 1 n →∞ n →∞
0,5
Neste caso, dizemos que a seqüência converge para 1.
0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14
n
b)Os termos da seqüência
{ n − 2}∞n=2 são:
0, 1, 2 , 3 , 2,
5 ,...
Representação gráfica da seqüência : an 3 Observa-se que: se n cresce sem limites, a n também cresce sem limites, isto é, lim a n = lim n − 2 = ∞ n →∞
2
n →∞
1
Neste caso, dizemos que a seqüência diverge. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
n
5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA Dizemos que a seqüência {an } converge para um número real L, ou que tem por limite L quando
lim a n = L. Se lim a n não existe, dizemos que a seqüência {an } não converge(diverge).
n →∞
n →∞
Outros exemplos de seqüências:
a) an =
n −1 é o termo geral da seqüência n +1
1 2 3 0, , , ,... 3 4 5
b)A seqüência de Fibonacci é definida por a1 = 1, a 2 = 1 e a n+1 = an + an-1 , para n ≥ 2 Os termos da seqüência de Fibonacci são 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Esta seqüência tem importância especial na ciência da computação; o estado de um computador, a cada tique do seu relógio interno, depende do seu estad o no tique anterior. c) A seqüência dos números primos: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,...}
5.4. SÉRIES INFINITAS ∞
Se {an} é uma seqüência infinita, então uma expressão ∑ a n = a 1 + a 2 + ... + a n + ... é chamada série n =1
numérica infinita de termo geral an .
15
Exemplos: ∞
∑ n = 1 + 2 + 3 + ... + n + ...
a)
n =1
Soma parciais: S1 = 1, S 2 = 3, S3 = 6, S4 = 10, S5 = 15, ...,
Sn =
n (n + 1) 2
Representação gráfica da seqüência {S n }
n (n + 1) lim S n = lim 2 = ∞ n→∞ n→∞
Sn 15
Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. Dizemos, neste caso, que a série
10
∞
∑ n diverge.
5
n =1
0
1
2
3
4
5
n
∞
b) ∑ ( −1) n = −1 + 1− 1 + ... + ( −1) n + ... n =1
− 1, se n é impar , S n oscila 0, se n é par
Soma parciais: S1 = -1, S2 = 0 , S3 = -1, S4 = 0, S5 = -1, Sn = Representação gráfica da seqüência {Sn }
Sn
lim S n não existe.
n→∞
Portanto, a seqüência das somas parciais diverge. 0 Dizemos, neste caso, que a série
∞
∑ ( −1)
n
n
diverge.
n =1
c)
∞
∑ n =1
1 1 1 1 = + + + ... + 1n + ... n 2 4 8 2 2
1 3 7 , S = 15 , ..., , S2 = , S3 = 4 2 4 8 16 Representação gráfica da seqüência {Sn } Soma parciais: S1 =
n →∞
Sn
n
1 1 1 2 −1 lim = − = n →∞ 2 n n → ∞ 2 n
lim S n = lim
n S n = 2 n− 1 2
1
Portanto, a seqüência das somas parciais converge para 1. 0,5 ∞ 1 Dizemos, neste caso, que a série converge para 1. n n =1 2
∑
16
0
1
2
3
4
5
6
n
5.5. SOMA DE UMA SÉRIE ∞
∞
n =1
n =1
Dizemos que o número real S é a soma da série ∑ a n , ou que a série ∑ a n converge para S, se e somente se lim S n = S (o limite da seqüência das somas parciais S 1 , S2 , S3 ,...,Sn é S). Neste caso, n →∞
escrevemos S =
∞
∑=
∞
a n . Quando lim S n não existe, dizemos que a série ∑ a n diverge. A divergência n →∞
n 1
n =1
pode ocorrer porque Sn torna-se infinita ou Sn oscila quando n → ∞ . Outros exemplos de séries: 8
d) 2,4,6,8,10,12,14,16 é uma seqüência finita e 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = ∑ 2 n é uma série n =1
finita de termo geral an = 2n. e) 1, 2, 6, 24, 120,... é uma seqüência infinita e 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + ... =
∞
∑= n! é uma série infinita de n 1
de termo geral a n = n!. ∞ 1 1 1 1 1 f) A série harmônica 1 + + + ... + + ... = ∑ cujo termo geral a n = n 2 3 n n =1 n
5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS ∞
Uma série geométrica é uma série da forma a + ar + ar2 +ar3 + ...+arn-1 + ... = ∑ ar n −1 com a ≠ 0. n =1
Da página 16, exercício E8, 1 , a n-ésima soma parcial da série geométrica é Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 = Se | r | < 1 , lim r n = 0 , e assim lim n →∞ n →∞
a (1 − r n ) ,r≠1 1− r
a (1 − r n ) = a . 1− r 1− r
a(1 − r n ) Se | r | > 1, lim r não existe, e assim lim não existe. n →∞ 1 − r n →∞ n
Se r = 1, então Sn = na e portanto, lim S n não existe. n →∞
Se r = -1, então S n oscila e portanto, lim S n não existe. n →∞
A a s érie geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = A a série geométrica diverge se | r | ≥ 1
17
a 1−r
.
E1) Determine se a série é convergente ou divergente, se convergente encontre a soma.
1 1 1 1) 1 + + + + ... 2 4 8
3 9 27 2) 1 + + + + ... 2 4 8
∞
3) ∑ ( −1) n+1 n =1
E2) Determine a série infinita que tem a seguinte seqüência de somas parciais: n 2 4n 2n 1){Sn } = 2){Sn } = 3){Sn } = n + 1 3n + 1 n + 1
4){Sn } = {2 n }
E3) Expresse a dizima periódica 0,222... como uma fração comum.
5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES ∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
a) Se ∑ a n converge e c é um número real, então ∑ ca n também converge e ∑ ca n = c ∑ a n . n =1
Exemplo:
5 é convergente. Justifique. 2n
∞
∑
n =1
∞
∞
∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
n =1
n =1
b) Se ∑ a n e ∑ b n convergem , então ∑ ( a n ± b n ) também converge e ∑ ( a n ± b n ) = ∑ a n ± ∑ b n . n =1
Exemplo:
∞
∑(
n =1
1 1 − n ) é convergente. Justifique. n 2 3
∞
∞
∞
n =1
n =1
c) Se ∑ a n converge e ∑ b n diverge, então ∑ (a n ± b n ) diverge. n =1
Exemplo:
1 ∑ ( n + 2n ) é divergente. Justifique. n =1 3 ∞
Observação: Se
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
∑ a n diverge e ∑ b n diverge, então ∑ ( a n ± b n ) pode convergir ou divergir.
∞
d) Se ∑ a n converge, então lim a n = 0 . n =1
n →∞
Justificativa: Se
∞
∑ a n converge, lim S n = S e lim S n −1 = S. Como Sn = a1 + a2 + ... an-1 + an , an = Sn – Sn-1 . n →∞
n =1
n→∞
Logo, lim a n = lim S n - lim S n−1 = S – S = 0 n →∞
n→∞
n →∞
E4) Verifique se a série converge, em caso afirmativo, determine a sua soma: ∞ ∞ ∞ 1 1 1) ∑ n 2) 1 3) ∑ (série telescópica) n =1 n ( n + 1) n =1 2 n =1
∑
Para muitas séries é difícil ou praticamente impossível encontrar uma fórmula simples para Sn . Em tais casos, são usados alguns testes que não nos fornecem a soma S da série; dizem-nos apenas se a soma existe. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série.
18
5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA ∞
Se lim a n ≠ 0 , então a série infinita ∑ a n diverge. n →∞
Observação:
n =1
O lim a n = 0 não garante a convergência da série. n →∞
E5) Prove que as séries seguintes são divergentes:
n 2 +1 n =1 n 2 ∞
∞
2) ∑ 2 .(− 1) n+1
1) ∑
3)
n =1
1 2 3 n + + + ... + + ... 3 5 7 2n + 1
5.9. TESTE DA INTEGRAL ∞
Sejam ∑ a n uma série de termos positivos e f uma função continua, tal que f(n) = a n , para todo n. n =1
∞
Então ∑ a n converge ⇔ n =1
∞
∫ f (x)dx converge. 1
E6) Determine se a série dada é convergente ou divergente.
1 2 n =1 n ∞
∞
1 n =1 n
∞
3) ∑
2) ∑
1) ∑
n =1
1 n
∞
4) ∑ e − n n =1
∞
5) ∑
n =1
1 n ln n
∞
6) ∑ ne −n n =1
5.10. SÉRIE-P Uma série do tipo
∞
∑ n1 é denominada série- p e, converge se p >1 e diverge se n =1
p
Justificativa: Para p = 1, a série -p torna-se
p ≤ 1.
∞ 1
∑= n, e é chamada série harmônica. Diverge(exercícioE6, 1 ) n1
b
b x − p+1 dx 1 −p Se p ≠ 1, = = = lim x dx lim lim ( b1−p − 1) p 1 x b →∞ 1 b →∞ − p + 1 1 − p b →∞ 1 1 1 1 1 Para p > 1, . Logo a série p converge. lim ( b 1− p − 1) = lim ( p −1 − 1) = 1 − p b →∞ 1 − p b →∞ b 1− p 1 lim ( b1−p − 1) = ∞ . Logo a série p diverge. Para 0 < p < 1, 1 − p b→∞ 1 Para p< 0, lim a n = lim p = lim n −p = ∞ . Logo, a série p diverge. n →∞ n →∞ n n→ ∞
∫
∞
∫
Para p = 0, a série-p torna-se
∞
∑ 1 que é uma série divergente. n =1
Portanto, a série-p é convergente somente quando p > 1.
19
5.11. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE ∞
Sejam ∑ a n e n =1
∞
∑b
n
an = c, onde c é um número positivo, n →∞ b n
séries de termos positivos . Se lim
n =1
então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
E7) Determine se a série dada é convergente ou divergente. 1)
∞
∑ n =1
5)
1 1 + 3n
∞
∑n n =1
n 2
+1
2)
∞
∑n n =1
6)
∞
1 2
3)
+2
∑ n =1
2 2 n −1
4)
∞
∑n n =1
4
1 + n2 +2
∞
∑ nn+1 n =1
3
5.12. SÉRIES ALTERNADAS ∞
∞
n =1
n =1
Uma série alternada é uma série da forma ∑ ( −1) n +1 a n ou ∑ ( −1) n a n com a n > 0.
5.13. TESTE DE LEIBNIZ Seja uma série alternada. Se a n ≥ an+1 e lim a n = 0 , então a série converge. n →∞
E8) Determine se as séries alternadas convergem ou divergem. ∞
1) ∑ ( −1) n+1 n =1
∞
4) ∑ ( −1) n n =1
n+2 n( n + 1)
( −1) n n =1 n ∞
∞
3) ∑ ( −1) n −1
2) ∑ ∞
5) ∑ ( −1) n−1 n =1
n =1
2n 4n − 3
2n 4n 2 − 3
O conceito a seguir permite que utilizemos testes para séries de termos positivos para determinar a convergência de outros tipos de séries.
20
5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL ∞
∞
n =1
n 1
a)Se ∑ | a n | =|a1 | + |a 2 | + |a 3 | +...+|an | +... converge, dizemos que uma série ∑ a n é absolutamente = convergente. ∞
b)Se ∑ a n converge e n =1
∞
∑
∞
| a n | diverge, dizemos que ∑ a n converge condicionalmente n =1
n =1
E9) Determine se a série dada é absolutamente convergente.
( −1) n+1 n =1 n
( −1) n +1 n =1 n 2
( −1) n +1 n =1 2 n −1
∞
∞
∞
2) ∑
1) ∑
( −1) n+1 5) n n =1 ∞
∑
6)
∞
4) ∑ 3 n
3) ∑
n =1
∞
( −1) n ( n + 1) n2 n =1
∑
Observações: ∞
a)Se ∑ a n é uma série de termos positivos, então | a n | = a n , portanto a convergência absoluta coincide n =1
com a convergência. ∞
∞
n =1
n =1
b) Se uma série infinita ∑ a n é absolutamente convergente, então ∑ a n é convergente.
5.15. TESTE DA RAZÃO ∞
Seja ∑ a n uma série infinita com a n ≠ 0, para todo n. n =1
a) Se lim
∞ a n +1 < 1, então ∑ a n converge absolutamente. an n =1
b) Se lim
∞ a n +1 a > 1 ou lim n +1 = ∞ , então ∑ a n diverge. an n →∞ a n n =1
c) Se lim
a n +1 = 1, então nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste. an
n →∞
n →∞
n →∞
E10) Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∞ ∞ 1 ∞ n! ∞ 1 n! 1) ∑ 2) ∑ 2 3) 4) ∑ n ( −1) n +1 2 n =1 n! n =1 n n =1 2 n n =1
∑
5)
∞
( −1) n +1 n n =1
∑
∞
6) ∑ ( −1) n n =1
3n n!
7)
3n 2 n =1 n
∑
Observação: O teste da razão é mais adequado quando an
em série-p.
21
∞
8)
∞
∑ (−1) n =1
n +1
n 2n − 1
contém potências e produtos e não funciona
5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS Série de potências de x é uma série infinita da forma Uma série infinita da forma
∞
∑= b
n ( x − c)
n
∞
b n x n = b + b x + b x + b x + ... + b x + ... ∑ n =0 0
1
2
2
3
3
n
n
= b0 + b1 (x-c) + b 2 (x-c)2 + b3 (x-c)3 + ... + b n (x-c)n + ... é uma
n 0
série de potências centrada em c. Quando em uma série de potências a variável for substituída por um número, a série resultante é numérica e pode convergir ou não.
5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA ∞
∑= b
Para cada série de potências
n (x
− c) n , exatamente uma das seguintes afirmações é verdadeira.
n 0
a) A série converge somente quando x = c.
c
ℜ
b) A série converge absolutamente para todo x real.
c) Existe um número real positivo R, tal que a série é absolutamente convergente se | x – c | < R e é divergente se | x – c | > R. Neste caso, R é chamado raio de convergência da série e (c – R , c+ R) é o intervalo de convergência da série.
c-R ?
c
c+R ?
Procedimento para encontrar o intervalo de convergência de uma série de potências. 1. Aplicar o teste da razão. 2. Resolver a inequação resultante. 3. Analisar os extremos individualmente. E11) Determine os intervalos de convergência das séries: 1) ∑
xn n
2) ∑
∞
n
∞
∞
n =1
5) ∑ nx n =0
∞
n =0
xn n =0 n!
n+2 (x-2)n n 3
6) ∑ n! (x + 1)
∞
3) ∑
∞
n
7) ∑ x
n =0
n =0
22
n
10 n (10 − x ) n n! n =1 ∞
4) ∑
8)
∞
∑
n =1
xn n
5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS Uma série de potências de x pode ser encarada como uma função de variável x, f(x) =
∞
∑= b
n (x
− c) n ,
n 0
onde o domínio de f é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergent e. Cálculos numéricos utilizando série de potências são a base para a construção de calculadoras. Cálculos algébricos, diferenciação e integração podem ser realizados com o uso de séries. O mesmo acontece com as funções trigonométricas, trigonométricas inversas, logarítmicas e hiperbólicas. E12) Ache uma função f representada pela série de potências 1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... E13) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(1/10) a)
usando os dois primeiros termos da série.
b) usando os três primeiros termos da série. c)
usando os quatro primeiros termos da série.
d) usando os cinco primeiros termos da série. E14) Ca lcule o valor de f(1/10) usando a lei. E15) Comparando os valores encontrados em E13 e E14, o que se pode concluir ? E16) Considere o exercício E12 e calcule o valor aproximado de f(2) a)
usando os dois primeiros termos da série.
b) usando os três primeiros termos da série. c)
usando os quatro primeiros termos da série.
E17) Calcule o valor de f(2) usando a lei. E18) Comparando os valores encontrados em E16 e E17, o que se pode concluir ? E19) Considere o exercício E12 e obtenha uma representação em sériede potências para 1)g1 (x) =
1 1+ x
2) g2 (x) = −
1 1− x
23
3) g3 (x) =
1 1− x2
5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS Se f(x) =
∞
∑= b
n (x
− c) n está definida no intervalo (c – R , c + R) para algum R > 0, então:
n 0
a)f é derivável e f ’(x) =
x
∞
∑ n =1
nb n (x − c) n −1 =
b)f é integrável e ∫ 0 f ( t ) dt =
E20) Seja f(x) =
1 1− x
∞
( n + 1)b n +1 ( x − c) n , para todo x ∈ (c – R , c + R). ∑ n =0
∞
b n (x − c) n +1 , para todo x ∈ (c – R , c + R). + n 1 n =0
∑
∞
= ∑ x n , determine: n =0
1) f ’(x) e a série que representa f ’(x) 2) ∫ f ( x )dx e a série que representa ∫ f (x ) dx 3) ∫ 01 / 2 f ( x )dx e a série que representa ∫ 01 / 2 f ( x )dx
5.20. SÉRIES DE TAYLOR Se f é uma função que admite uma representação em séries de potências f(x) =
∞
∑= b
n (x
− c) n , quem
n 0
são os bn ? f(x) = b 0 + b 1 (x-c) + b 2(x-c)2 + b3 (x-c)3 + b4 (x-c)4 + ... + b n (x-c)n + ... ⇒ f(c) = b 0 f ’(x) = b 1 + 2b2 (x-c) + 3b 3 (x-c)2 + 4b4 (x-c)3 + ... + nb n (x-c)n-1 + ... ⇒ f ’(c) = b 1 = 1!b 1 e b 1 =
f ' (c ) 1!
f ’’(x) = 2b2 + 3.2b 3 (x-c) + 4.3b 4 (x-c)2 + ... + n(n- 1)b n (x-c)n-2 + ... ⇒ f ’’(c) = 2b 2 = 2!b2 e b 2 =
f ' ' (c) 2! f ' ' ' ( c) 3!
f ’’’(x) = 3.2b 3 + 4.3.2b4 (x-c) + ... + n(n-1)(n-2)bn (x-c)n-3 + ...
⇒ f ’’’(c) = 3.2b 3 = 3!b 3 e b 3 =
f (IV)(x) = 4.3.2b 4 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3)bn (x-c)n-4 + ...
⇒ f (IV)(c) = 4.3.2b 4 = 4!b 4 e b 4 = f
M
M
(IV )
(c) 4!
M
∞ f (n) (c) f (n) ( c) Logo b 0 = f(c) e b n = para n ≥ 1 e portanto f(x) = f(c) + ∑ ( x − c) n que é denominada n! n =1 n!
série de Taylor para f de centro em c, para todo x perten cente ao intervalo de convergência. 24
Se c = 0, a série de Taylor assume a fo rma f ( n) ( 0) n f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) 3 f(x) = f(0) + f ’(0)x + x + ... x + x + ... + 2! 3! n! que é denominada série de Maclaurin para f.
E21) Encontre a série de Taylor de centro em c = 1 para: 1) f(x) = ln x
2) f(x) = e x
3) f(x) =
1 x
E22) No exercício anterior, para que valores de x a série encontrada representa a função f ? E23) Encontre a série de Taylor de centro em c = 0 para: 2
1) f(x) = ln(1+ x)
2) f(x) = e x
3) f(x) = e x
5) f(x) = sen x
6) f(x) = sen 2x
7) f(x) = cos x
25
4) f(x) = e -2x 8) f(x) =
1 x −1
5.21. RESPOSTAS E1) 1) Conv. S = 2
2) Div.
2 1 1 E2) 1) 2 + + + + L 3 3 5 2 E3) 9 E6) 1) Div.
2)
3) Div.
1 1 1 1 1 5 11 19 + + + + L 3) + + + + L 2 14 35 65 2 6 12 20
E4) 1) Conv. S = 1
2) Conv.
2) Div.
3)Div.
3) Conv. S = 1
4) Conv.
5) Div.
6) Conv.
E7) 1) Conv.
2) Conv.
3)Div.
4) Conv.
5) Conv.
E8) 1) Div.
2) Conv.
3)Div.
4) Conv.
5) Conv.
E9) 1) Conv. Abs.
2) Conv. Cond.
E10) 1) Conv.
2) Conv.
3) Conv. Abs.
3) Div.
8) Div.
E11) 1) [-1,1)
7) (-1,1)
8) [-1,1)
E12) f(x) =
E14) 1,111...
E16) a) 3
b) 7
4) Div.
4) Div.
7) Div.
1 1− x
6) Conv.
5) Conv. Cond.
5) Conv. Cond.
2) (-1,5)
3) ℜ
, (-1,1)
E13) a) 1,1
c) 15
4) 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + ..
4)
ℜ
6) Conv. Cond.
6) Conv. Abs. 5) (-1,1)
6) {-1}
b) 1,11 c) 1,111
E17) –1
E19) 1)
∞
d) 1,1111
∑= ( −1)
n
xn , | x | < 1
n 0
2)
∞
−x ∑ n =0
n
,|x|<1
∞
∑ n =0
3)
∞
2) – ln (1 – x ) ,
2)
xn n =1 n
∑
e.( x − 1) n n! n =0 ∞
∑
E23) 1)
5)
3) -ln
3)
∞
∑= (−1)
1 E20) 1) f ’(x) = , (1 − x ) 2
2n
x ,|x|<1
1 , 2 n
E21) 1)
E22) 1) (0,2]
( −1) n −1 ( x − 1) n n n =1
∑
2) ℜ
2)
xn n =0 n!
∑
3)
x 2n n =0 n!
∑
4)
( −1) n +1 x 2 n−1 ( 2n − 1)! n =1
6)
( −1) n +1 ( 2x) 2 n−1 ( 2 n − 1)! n =1
7)
(−1) n .x 2 n ( 2n )! n =0
8)
∑ ∞
∑
3) (0,2)
n 0
( −1) n+1 x n n n =1 ∞
nx n−1 ∑ n =1
∞
1 1 1 1 + + + +L 2 8 24 64
( x − 1) n
∞
∞
∞
∑
26
∞
∞
∑
( −2) n . x n n! n =0 ∞
∑ ∞
∑= −x
n 0
n
2
6. OS CONJUNTOS ℜ E ℜ 2
ℜ
6.1. O CONJUNTO
3
ℜ2 = ℜx ℜ = {( x, y ) / x, y ∈ ℜ} y y1
P(x1 ,y 1)
0
x1
P(x,y) ∈ Ox ⇔ y = 0 P(x,y) ∈ Oy ⇔ x = 0
x
E1) Represente graficamente os conjuntos: 1) {(x,y) ∈ ℜ 2
2) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y ≥ x 2 }
/ y = 2x}
4) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y < 3 - x}
3) {(x,y) ∈ ℜ2 / x < 2} 6) {(x,y) ∈ ℜ2 / x2 + y2 ≥ 1}
5) {(x,y) ∈ ℜ2 / 1 ≤ y < 2 }
7) {(x,y) ∈ ℜ 2 / y < e x }
6.2. O CONJUNTO
ℜ
3
ℜ 3 = ℜxℜ xℜ = {( x, y , z ) / x , y , z ∈ ℜ} z
P(x,y,z) ∈ Ox ⇔ y = z = 0
yOz
z1
P(x,y,z) ∈ Oy ⇔ x = z = 0 P(x,y,z) ∈ Oz ⇔ x = y = 0
P (x1,y 1 ,z1) xOz
y1
O
P(x,y,z) ∈ xOy ⇔ z = 0
y
P(x,y,z) ∈ xOz ⇔ y = 0
x1
P(x,y,z) ∈ yOz ⇔ x = 0
xOy x
E2) Represente graficamente os pontos: 1) (0,2,0)
2) (-2,0,0)
3) (0,0,3)
7) (2,3,4)
8) (3,-2,-1)
9) (-1,-3,2)
4) (2,3,0)
5)(-1,0,2)
6) (0,-4,2)
10) (3,3,3)
11) (2,4,-3)
12) (-1,-2,-3)
E3) Represente graficamente os planos(equação de um plano do ℜ 3 : ax + by + cz + d = 0): 1) z = 0
2) z = 4
8) x – y + 2z – 4 = 0
3) y = 0
4) y = -2
5) x = 0
9) 3x + 2y – 6 = 0
6) x = 3
10) x + z – 2 = 0
27
7) 2x –3y + 4z – 12 =0 11 ) 4y + 2z – 8 = 0
7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 7.1. INTRODUÇÃO Quando dizemos que a medida do volume de um paralelepípedo retângulo depend e das medidas das suas dimensões, queremos dizer que: conhecidas as medidas das arestas a, b e c, podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = abc . A equação V = abc define V como função de a, b e c, pois dados os valores das variáveis independentes
a, b e c , existe em correspondência um único valor para a variável dependente V. Uma relação deste tipo é denominada de função de três variáveis. Uma função de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1 ,x2 ,...,xn ) faz corresponder um único número real. E1) Seja a função dada f(x,y) = x2 + y 2 (duas variáveis). Encontre: a) f(1,2)
b) f(0,0)
c) f(-3, -4)
d) Dom f
e) Im f
O gráfico de f é uma superfície do ℜ 3 (parabolóide abaixo). z
Observação: As
funções de três ou mais variáveis não
podem ser representadas graficamente.
x
0
y
E2) Seja a função dada por f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 . Determine: 1) f(0,0,0)
2) f(-1,-1,1)
E3) Seja a função dada por f(x,y) = 1) f(1,0) E4) Seja f(x,y) = 1) f(1,0)
2) f(3,-7)
1 x2 − y
3) f(1,2,3)
4) Dom f
5) Im f
3x . Determine: y−x 3) f(1,- 1)
4) Dom f
5) a representação gráfica do Dom f
. Determine:
2) f(3,-7)
3) f(1,-1)
4) Dom f
28
5) a representação gráfica do Dom f
E5) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 1 1) f(x,y)= x + y − 1 2) f ( x , y) = 3) f(x,y)= ln (x2 - y + 1) 2x − y + 1
4) f(x,y) =
ln x x −1
7.2. CURVAS DE NÍVEL Ck = ( x , y) ∈ ℜ 2 / f ( x , y) = k Seja a função dada por z= x2 + y 2 . As curvas de nível para z = 0 , z =1 , z = 2 e z = 4 são : z=0 ⇒ x2 + y2 = 0 (x = y = 0 ) z=1 ⇒ x2 + y2 = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 ) z=2 ⇒ x2 + y2 = 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio
2 )
z=4 ⇒ x2 + y2 = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 )
Mapa de curvas de nível
y 2 2 1
z =4 z=2
Observação: As
z=1
z=0 00
-2 - 2 -1
1
se interceptam. 2
2
x
-1 - 2 -2
Gráfico da Função (parabolóide) z
y x
29
curvas de nível nunca
E6) Esboce as curvas de nível das funções: 1) z = y - x2 para z = 0, z =1 e z =2 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2 E7) Seja a função dada por z = 4 − x 2 − y 2 1) Faça as curvas de nív el para z = 0, z = 1 e z = 2 2) Represente graficamente a função
7.3. RESPOSTAS E1) 1) 5
2) 0
3) 25
E2) 1) 0
2)
3
E3) 1) – 3
2) –
9 10
E4) 1) 1
2)
1 4
3)
14
3) −
3)
3 2
2 2
E5) 1) {(x , y) ∈ ℜ 2 / y ≥ − x + 1} 3) {(x , y) ∈ ℜ 2 / y < x 2 + 1}
4) ℜ 2
5) [ 0, +∞)
4) ℜ3
5) [ 0, +∞)
4) {(x , y ) ∈ ℜ 2 / y ≠ x}
4) {(x, y) ∈ ℜ2 / y < x 2 } 2) {( x , y) ∈ ℜ 2 / y ≠ 2 x + 1} 4) {( x, y) ∈ ℜ 2 / x > 0 e x ≠ 1}
30
8. DERIVADAS PARCIAIS f ( x + ∆x ) − f ( x ) pode ser ∆ x →0 ∆x interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f ’(x) = lim
ao gráfico de f. Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, q uando y varia e x permanece constante.
∂f e f ou ∂f e são definidas y ∂y ∂x f ( x , y + ∆y) − f ( x, y) f y (x,y) = lim ∆ y→0 ∆y
As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por f x ou
f ( x + ∆x, y ) − f ( x , y ) ∆x→0 ∆x
por f x (x,y) = lim
e
Nota: ∂ é uma variante da letra grega δ (delta minúsculo). E1) Determine as derivadas parciais 1) z = 4x2 y – 5x3 y 2 + 2x – y 5) z =
∂z e ∂z das funções: ∂x ∂y 3) z = ln(xy 2 )
2) z = x y
2x − 3 y 7) z = (2x – y)exy 2 x + 4y 1 1 10) z = − + ln e xy x 2y
2 xy 3x − 2y
6) z =
9) z = 2xcos (1- xy)
4) z =
x 2 + y 2 −1
8) z = 2x2 ysen 2y
8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). z t z = f(x,y)
P 0
y1= k
y
x1 x
z= f(x,k)
Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1 ,y1 ) representa a declividade da superfície no ponto (x1 ,y1 ) na direção paralela ao eixo x, isto é
∂f (x ,y ) = a 1 1 t ∂x
31
Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1 ,y1 ) representa a declividade da superfície no ponto (x1,y 1 ) na direção paralela ao eixo y, isto é
∂f (x1 ,y1 ) = a t ∂y
E2) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 1) z = x2 + y 2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 2) z = x2 + y 2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8) 3) z = 34 − 9x 2 − 4 y 2 com o plano y = 2, no ponto (1,2,3) E3) Dada a função f(x,y) = y 2 +
1 2
x +y
1) o domínio de f
2
, determine : 2) f x (3,4)
3) f y (3,4)
4) a declividade da reta tangente à curva intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no ponto (3,4).
8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Derivadas puras:
∂ ∂f = ∂ 2f = f ; ∂ ∂f = ∂ 2 f = f ∂ x ∂ x ∂x 2 xx ∂y ∂y ∂y 2 yy
Derivadas mistas ou cruzadas:
∂ ∂ 2f ∂ ∂ f = ∂ 2f = f ∂f ; = = f yx ∂ y ∂x ∂y∂x xy ∂ x ∂y ∂x ∂y
E4) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 1) z = x2 y – xy 2 + 2x – y 6) z = x3 y 2
7) z = xe -y
2) z = xy
3) z = ln(xy)
8) z = xsen 2y
4) z = e − xy
9) z = cos (x2 -y)
2
5) z =
2y x
10) z = xln e xy
Observação:
As derivadas parciais de segunda ordem mistas, são iguais para funções continuas com derivadas parciais continuas.
8.3. HESSIANO Chama-se Hessiano da função z = f(x,y) a função H(x,y) =
32
f xx ( x , y)
f xy ( x , y )
f yx (x , y)
f yy ( x, y )
E5) Calcule o Hessiano da função dada por: 1)f (x,y) = x3 – y 3 + 2xy – 1 no ponto (2,-1)
2) f(x,y) = x2 y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (-1,-1)
8.4. RESPOSTAS E1) 1) 8xy – 15x2 y 2 + 2 ; 4x2 – 10x3 y – 1 x
4)
6)
x 2 + y 2 −1
2) y ;
y
;
5)
x 2 + y 2 −1
− 2x 2 + 6xy + 8y − 3x 2 − 8 x ; 2 ( x 2 + 4 y) 2 (x + 4y ) 2
3)
2 y
− 4y 2 6x 2 ; (3x − 2y) 2 (3x − 2 y) 2
9) 2cos(1-xy) + 2xysen(1-xy) ; 2x2 sen(1-xy)
1 1 +y ; 2 +x 2 2y x
E2) 1) 4
2) 4
3) -3
E3) 1) ℜ 2 − {( 0,0 )}
2) −
3 125
3)
996 125
E4) 1) 2y ; -2x ; 2x – 2y 2
E4)
2) 0 ; 0 ; 1
2
2
3) − 4y 2 ;0; − 2 3 x x
5)
7) 0 ; xe -y ; -e-y
8) 0 ; -4xsen 2y ; 2cos 2y
9) –2sen(x2 -y) – 4x2 cos(x2 – y) ; -cos(x2 – y) ; 2xcos(x2 – y) 2) -4
33
996 125
1 ; − 1 ;0 y2 x2
6) 6xy2 ; 2x3 ; 6 x2y
4) y 4 e − xy ; 2xe − xy (2xy 2 − 1) ; 2e − xy ( xy 3 − y)
E5) 1) 68
1 2 ; x y
7)e xy (2xy – y 2 + 2) ; exy(2x2 – xy – 1)
8) 4xysen 2y ; 2x2(sen 2y + 2ycos 2y) 10) −
x
10) 2y ; 0 ; 2x
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo ,yo ) do domínio de f é ponto de
máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo ,y o) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≤ f(xo ,y o ). O número f(xo ,y o ) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,y o ) do domínio de f é ponto de
mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo ,y o) e raio r tal que, para todo ponto P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) ≥ f(xo ,y o ). O número f(xo ,y o ) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. z (a,b) é ponto de máximo relativo de f (c,d) é ponto de mínimo relativo de f
d
b
y
a c x Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,y o ) do domínio de f é ponto de
máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≤ f(xo ,y o ). O número f(xo ,y o ) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,y o ) do domínio de f é ponto de
mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) ≥ f(xo ,y o ). O número f(xo ,y o ) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f.
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9.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS Seja z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto D ⊂ ℜ 2 . Um ponto (xo ,y o ) ∈D é um ponto de f se as derivadas parciais f x(xo ,y o ) e f y (xo ,yo ) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plan o tangente é horizontal ou não existe. E1) Encontre os pontos críticos das funções: 1) f(x,y) = x2 + y 2
2) f(x,y) = x3 + y 3 – 3x2 –3y
3)f(x,y) = 4x – 2y + 4
4)f(x,y) =
x 2 + y2
9.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES TESTE DO HESSIANO Seja z = f(x,y) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (xo ,yo ) um ponto crítico de f. a)Se H(xo ,y o ) > 0 e f xx(xo ,y o ) > 0 então (xo ,yo ) é ponto de mínimo relativo de f. b) Se H(xo ,y o) > 0 e f xx(xo,y o ) < 0 então (xo ,y o ) é ponto de máximo relativo de f. c) Se H(xo ,y o) < 0 então (xo ,yo ) não e ponto extremante, é ponto de sela. d) Se H(xo ,y o) = 0, nada se pode afirmar. E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 1)f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y – 4 2) f(x,y) = x2 + y 2 – 2x + 1 3) f(x,y) = x3 + 3xy + y 2 – 2 4) f(x,y) = 8x3 - 3x2 + y2 + 2xy + 2 5) f(x,y) = 3x2 + y 2 – xy + 5 6) f(x,y) = x3 + y2 – 6xy + 6 7) f(x,y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8
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9.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS Seja z = f(x,y) a função da qual se quer determinar o máximo ou mínimo sujeito à condição R(x,y) = 0. z
z máx de f sem restrição máx de f com restrição
0
y
0
x
restrição R y
x
1. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO. Consiste em substituir x (ou y) obtido a partir da restrição R(x,y) = 0, na função f. Obtém-se dessa forma uma função de uma só variável, e o problema se reduz à determinação de máximos e mínimos da função de uma variável. E3) Seja L(x,y) = -2x2 - y2 + 32x + 20y a função lucro de uma indústria que produz e comercializa dois produtos em quantidades x e y. Calcular o lucro máximo, sabendo que a produção da indústria é limitada em 24 unidades.
2. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Consiste em construir a função de Lagrange L(x,y, λ ) = f(x,y) - λ R(x,y) e resolver o sistema ∂L = 0 ∂x ∂L = 0 ∂y R( x, y) = 0
Os possíveis pontos extremantes de f sujeita a restrição R(x,y) = 0 são os pontos (x0 ,y 0) tais que (x0 ,y 0 , λ ) são soluções do referido sistema. E4) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2 , de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear. Determine as dimensões do terren o de tal modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Nesse caso, qual o custo mínimo para c ercá-lo ?
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E5) Ache o ponto de máximo ou de mínimo das funções a seguir: 1)f(x,y) = x2 + y2 , sujeito a x + y – 4 = 0
2)f(x,y) = 2x + y – 10 , sujeito a xy = 200
3)f(x,y) = 9 - x2 - y2 , sujeito a x + y – 2 = 0
4) f(x,y) = x1 / 2 y 1 / 2 , sujeito a 2x + 10y = 60
E6) Suponha que a função Produção para uma empresa é z = 10x 1 / 2 y 1 / 2 e que a função Custo associada é C = 2x + 2y + 10. Suponha, ainda, que o fabricante limita seu custo em 46 e decida em que ponto se tem a produção máxima com o custo fixado em 46.
9.4. RESPOSTAS E1) 1) (0,0)
2) (0,-1),(0,1),(2, -1) e (2,1)
3) Não tem
E2) 1) (0,-1) é ponto de sela , (1,-1) e (- 3,-1) são pontos de mínimo
4) (0,0)
2) (1,0) é ponto de mínimo
3 9 3) (0,0) é ponto de sela; ( , − ) é ponto de mínimo 2 4 1 1 4) (0,0) é ponto de sela; ( ,− ) é ponto de mínimo 3 3
6) (0,0) é ponto de sela ; (6,18) é ponto de mínimo
5) (0,0) é ponto de mínimo 7) (-1,1) é ponto de sela ; (1,1) é ponto de mínimo
E3) 204 E4) 10 m, 6 m e R$ 12000,00 E5) 1) (2,2)
2) (10,20)
3) (1,1)
4) (15,3)
E6) (9,9)
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