UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO
CUADERNILLO PARA EL DESARROLLO Y DESEMPEÑO DE COMPETENCIA COMPETENCIAS S DE LA ASIGNAT ASIGNATURA URA DE CALCULO INTEGRAL
BACHILLERATO CUATRIMESTRAL 120 201515
1
NOMBRE DEL ALUMNO MATRÍCULA
G R U PO
NOMBRE DEL PROFESOR
CUATRIMESTRE
CAMPUS
e-mail
Blog
HORARIO DE LA ASIGNATURA HO R A
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
!" # $" $" # %" %" # &" &" # &&" &&" # &'" &'" # &(" &(" # &)" &)" # &*"
SELLO O FIRMA DEL PROFESOR FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA
2
NOMBRE DEL ALUMNO MATRÍCULA
G R U PO
NOMBRE DEL PROFESOR
CUATRIMESTRE
CAMPUS
e-mail
Blog
HORARIO DE LA ASIGNATURA HO R A
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
!" # $" $" # %" %" # &" &" # &&" &&" # &'" &'" # &(" &(" # &)" &)" # &*"
SELLO O FIRMA DEL PROFESOR FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA FECHA DE REVISION + ENTREGA
2
ESARROLLO + DESEMPEO RUBRICA PARA LA EVALUACI,N DEL CUADERNILLO PARA EL DESARROLLO +
DE COMPETENCIAS
CALCULO INTEGRAL PUNTAJE
'.* PUNTOS
'. PUNTOS
Cumple con los siguientes elementos: Engargolado o carpeta. Orden en la paginación. Limpieza Lista de cotejo en cada entrega. Datos generales de la página 2 • •
PRESENTACI,N
• •
•
Cumple con los siguientes elementos: Las respuestas a las 01eg234a5 6o36e042ale5 Están escritas con tinta Letra legible En los espacios indicados. La resolución de los e7e16i6io5 01864i6o5 muestra 01864i6o5 muestra "asos del procedimiento y#o m$todo escritos a lápiz! con una buena distribución. Letra legible El resultado es resaltado con marcador de te%to o tinta. • • •
ORDEN + RDEN + ORGANI/ACI,N
•
• •
En las 01eg234a5 6o36e042ale5 TODAS las TODAS las respuesta son correctas.
ESTRATEGIA + STRATEGIA + 9O PROCEDIMIENTOS
CONCLUSI,N
En los e7e16i6io5 01864i6o5: e%plica claramente los pasos y las estrategias usadas en su resolución y llega al resultado correcto en TODOS los ejercicios
Cumple con los siguientes elementos: Folder y engrapado o con broce. Orden en la paginación. Limpieza Lista de cotejo en cada entrega. Datos generales de la página 2 Carece de ALGUNO de ALGUNO de los siguientes elementos: Las respuestas a las 01eg234a5 6o36e042ale5 Están escritas con tinta Letra legible En los espacios indicados. La resolución de los e7e16i6io5 01864i6o5 "asos del procedimiento procedimiento y#o m$todo escritos a lápiz! con una buena distribución Letra legible El resultado es resaltado con marcador de te%to o tinta. •
• • •
•
• • •
•
• •
En las 01eg234a5 6o36e042ale5 ALGUNAS de ALGUNAS de las respuestas NO son NO son correctas. )#O En los e7e16i6io5 01864i6o5: NO SIEMPRE e%plica SIEMPRE e%plica claramente los pasos y las estrategias usadas en su resolución! pero llega al resultado correcto en TODOS los ejercicios.
&.* PUNTOS
&. PUNTOS
Engargolado o carpeta! pero ALGUNO de los carece de ALGUNO de siguientes elementos: Orden en la paginación. Limpieza Lista de cotejo en cada entrega. Datos generales de la página 2
Folder y engrapado o broce! ALGUNO de pero carece de ALGUNO de los siguientes elementos: Orden en la paginación. Limpieza Lista de cotejo en cada entrega Datos generales de la página 2.
Carece de ALGUNOS de los siguientes elementos: Las respuestas a las 01eg234a5 6o36e042ale5 Están escritas con tinta Letra legible En los espacios indicados. La resolución de los e7e16i6io5 01864i6o5 "asos del procedimiento procedimiento y#o m$todo escritos a lápiz! con una buena distribución Letra legible El resultado es resaltado con marcador de te%to o tinta.
NO Cumple NO Cumple con más del &'( los siguientes elementos: Las respuestas a las 01eg234a5 6o36e042ale5 Están escritas con tinta Letra legible En los espacios indicados. La resolución de los e7e16i6io5 01864i6o5 "asos del procedimiento y#o m$todo escritos a lápiz! con una buena distribución Letra legible El resultado es resaltado con marcador de te%to o tinta..
En las 01eg234a5 6o36e042ale5 ALGUNAS de ALGUNAS de NO son las respuestas NO son correctas. )#O En los e7e16i6io5 01864i6o5: NO SIEMPRE e%plica SIEMPRE e%plica claramente los pasos y las estrategias usadas en su resolución! y ALGUNOS de ALGUNOS de los resultados NO son NO son correctos
En las 01eg234a5 6o36e042ale5 LA MA+ORIA NO son de las respuesta NO son correctas. )#O En los e7e16i6io5 01864i6o5: NUNCA e%plica NUNCA e%plica los pasos y las estrategias usadas en su resolución y ALGUNOS de ALGUNOS de los resultados NO son NO son correctos.
• • •
•
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•
• •
• • •
•
• • •
•
• •
'.* PUNTOS
&.* PUNTOS
*ealiza una CONCLUSION +ue CONCLUSION +ue incluye TODOS los TODOS los conceptos y sus relaciones mencionados en los contenidos estudiados durante el periodo de e,aluación! ) -e muestran los pasos generales de procedimientos y#o m$todos empleados en la resolución de ejercicios y problemas de aplicación.
*ealiza una CONCLUSION +ue incluye ALGUNOS los ALGUNOS los conceptos y sus relaciones mencionados en los contenidos estudiados durante el periodo de e,aluación! )#O Carece de los pasos generales de procedimientos y#o m$todos empleados en la resolución de ejercicios y problemas de aplicación.
Si e341ega 6o0ia ;el 62a;e13illo ;e o41o<5= al2m3o<5= o 5e le o>5e1?a 6o0ia3;o. El Cuadernillo 3o 4e3;18 0234a7e ;e e?al2a6i@3 y la caliicación será 6e1o.
3
Estimado estdia!te" Estos son los tipos de reactivo que componen tus exámenes. Para responderlos es importante que leas cuidadosamente toda la pregunta, así como las opciones de respuesta antes de contestar
1# $o%mato Sim&'e ¿Quién descubrió América A! "ernán #ortes $! Américo %espucio #! #ristóbal #olón &! 'artín Alonso Pin(ón
TODAS las siguientes ciudades son capitales EXCE(TO) A! Paris $! 'adrid #! *isboa &! +talia
2#) *e%a%+i,a-i.! o%de!amie!to +ndica la secuencia en la que se ordenan cronológicamente los siguientes presidentes de la ep-blica 'exicana. . %icente /ox Quesada 0. 'iguel de la 'adrid "urtado 1. #arlos 2alinas de 3ortari 4. Ernesto 5edillo Ponce de *eón A! 0,1,,4 $! ,0,4,1 #! 0,1,4, &! 4,,1,0
/# Se'e--i.! de e'eme!tos de ! 'istado &e los siguientes animales mencionados en la lista, elige los cinco que pertenecen a la clase de los mamí6eros. . #ocodrilo 0. atón 1. 7so 4. Ardilla 8. ana 9. Puma :. Perro A! ,1,4,8,: $! 0,1,4,9,: #! ,0,1,9,: &! 0,1,4,8,9 4
# $o%mato de %e'a-i.! de -o'm!as E;E'P*7) elacione los conceptos con sus de6iniciones < e=emplos #oncepto &e6inición . #ambio 6ísico a! 2on aquellos que alteran la estructura interna de 0.#ambio químico la materia. b! 2on aquellos que no alteran la estructura interna de la materia E=emplo c! #ombustión d! Evaporación 7P#+7>E2) A! a, c? 0 b, d $! b, d? 0 a, c #! b, c? 0 a, d &! c, d? 0 a, b
5#) M'ti%%ea-tios +.@ Anali(a la siguiente grá6ica < responde las dos preguntas siguientes)
. *a denominación de la grá6ica anterior es) A! #olumnas $! *ineal #! "istograma &! Pastel 0. ¿#uál es la asignatura que obtuvo maaturales &! #. 2ociales
5
INTRODUCCIN Este #uadernillo para el desarrollo < desempeo de competencias tiene como ob=etivos orientar < preparar al estudiante para los exámenes parciales < extraordinario, así como de re6or(ar los conocimientos vistos en clase.
El #uadernillo para el desarrollo < desempeo de competencias de la asignatura
Ca'-'o I!te3%a' con Cat%o bloques, cada uno de ellos contiene conocimientos, Babilidades, valores < actitudes a desarrollar, además de una serie de indicadores de desempeo < actividades, las cuales deberá de resolver el alumno con el apo
$UNDAMENTACIN *a asignatura de C4LCULO INTERAL le permite al estudiante contar con una cultura matemática sólida, mediante la cual puede anali(ar cualitativa < cuantitativamente los di6erentes 6enómenos que se le presenten en su entorno cotidiano < pro6esional, por e=emplo) determinar el punto de equilibrio del costo de un artículo < el 6lu=o de inversión neta de una empresa? aplicar las le
En el $acBillerato 3eneral, se busca consolidar < diversi6icar los aprendi(a=es < desempeos, ampliando < pro6undi(ando el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar de 'atemáticas, el cual promueve la asignatura de #álculo +ntegral. 6
BLOUE I APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACI,N DE ERRORES + APROIMACIONES DE VARIABLES EN LAS CIENCIAS EACTAS: SOCIALES: NATURALES + ADMINISTRATIVAS. UNIDADES DE COMPETENCIA" •
•
Calcula e interpreta apro%imaciones de la deri,ada de modelos matemáticos relati,os a di,ersas disciplinas! a partir de su representación gráica y la determinación de su dierencial. /plica la dierencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en dierentes situaciones.
CONOCIMIENTOS" •
•
•
La dierencial. /pro%imaciones de ,ariables. Estimación de errores.
HABILIDADES" •
•
Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos! mediante la aplicación de procedimientos aritm$ticos y geom$tricos. E%plica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la e,olución istórica del estudio del cálculo y los contrasta con su aplicación en situaciones reales.
VALORES + ACTITUDES" •
•
•
•
•
Formula y resuel,e problemas matemáticos aplicando dierentes eno+ues. E%plica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. /rgumenta la solución obtenida de un problema! con m$todos num$ricos! gráicos! anal0ticos o ,ariacionales! mediante el lenguaje ,erbal! matemático y el uso de las tecnolog0as de la inormación y la comunicación. /naliza las relaciones entre dos o más ,ariables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 1nterpreta tablas! gráicas! mapas! diagramas y te%tos con s0mbolos matemáticos y cient0icos.
7
I.
INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE / L/ D1FE*EC1/L DE 3/ F3C14 CO5O 3/ /"*O615/C14 DE L/ 7/*1/C14 19E*"*E9/C14 EO5;9*1C/ DE E-9/.
DE L/ 7/*1/8LE DE"ED1E9E! CO 8/-E E L/
<. Con base en la igura +ue se muestra
ombra los elementos +ue se piden a continuación. Escribe una descripción de cada uno de ellos. ELEMENTO
NOMBRE
DESCRIPCI,N
x0
Δ x
x0 + Δ x
f ( x0)
f ( x0 + Δ x)
T
Δ y
dy
8
Δ y - dy
2. Con base en la igura anterior! describe la deinición operacional de la dierencial dy de una unción DIFERENCIAL DE UNA FUNCI,N
=. Escribe la condición de Δ x para +ue dy sea una >buena? apro%imación del ,alor Δ y DIFERENCIAL DE UNA FUNCI,N
II. INDICADOR DE DESEMPEO *ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ D1FE*EC1/L DE 3/ F3C14 CO 8/-E E L/ DEF11C14 O"E*/C1O/L DE E-9/ ) -3 /"L1C/C14 "/*/ EL C@LC3LO DE E**O*E- E "*O8LE5/- *EL/C1O/DO- / D1-919O- @5819O- DE /C9171D/D.
<. Calcula la dierencial dy de las siguientes unciones. -impliica algebraicamente el resultado. FUNCI,N
a.
y
DESARROLLO
= 3 x 2 − 5 x + 1
−5 x + 4
x 2
b.
y
=
c.
y
= Sen( x 3 − 1)
d.
y
= ln(Tan ( x 2 + x − 1))
e.
y
x = e 2− x 1
e
9
2. Calcula la dierencial dy de las siguientes unciones. -impliica algebraicamente el resultado. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a. f ( x ) = x 4 + 5 x 3 − 2 x + 6
= (3 s + 1)(2s − 3)
b.
y
c.
g ( x) =
−4
g. u = ln( x) . F ( z ) = (ln z )(e2 z +1 )
1 x
d.
h(t )
e.
r (θ ) = Sen(θ −
=
2
. s(r ) = e 2 r
−1 2 r − 2 3
i.
t + 4 3π 8
)
j.
V (r ) =
4r
y = ae 4 x −1
=. 3tiliza el concepto de dierencial dy para apro%imar el ,alor de cada uno de los casos siguientes. Comprueba la apro%imación Acalcula el errorB con ayuda de tu calculadora cient0ica. VALOR A CALCULAR
a.
DESARROLLO
17
b.
3
c.
Sen( 47 0 )
d.
Cos (175 )
30
0
10
. Determina el ,alor de Δ y! dy y el error para las condiciones dadas en cada caso. CONDICIONES
f ( x ) = x 2
a.
= 3; ∆ x = 0.001
=
t 2
− 1;
= 5; ∆t = 0.0002
t 0
V ( r ) =
c.
− x + 2;
x0
s (t )
b.
DESARROLLO
4 3
3
π r
;
= 2.55; ∆r = −0.01 r 0
P (t ) = 10e 0.003t
d.
t 0 = 0;
∆t = 6
. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina el ,alor estimado ∆ y ! de ∆ y − dy . *esuel,e en tu cuaderno de apuntes.
dy
y el error en el cálculo
a. f ( x ) = x 4 + 5 x 3 − 5 x 2 − 2 x − 26 cuando x = 2 y ∆ x = 0.003 b. y =
x + 1 x 3
−1
cuando x = 2 y ∆ x = 0.5
c. f ( x) = 3 x + 5 cuando x = 21 y ∆ x = 1 d.
f ( x) = Sen( x ) cuando x
e.
f ( x)
2
=
π 3
y
∆ x =
π 3
= e x − 2 cuando x = 5 y ∆ x = 0.001 11
&. 1n,estiga y escribe las deiniciones de Error 5edio y Error "orcentual! con base en el concepto de dierencial. ERROR MEDIO + ERROR PORCENTUAL
III. INDICADOR DE DESEMPEO
*E-3EL7E "*O8LE5/- DE /"L1C/C14 391L1/DO EL COCE"9O DE D1FE*EC1/L DE 3/ F3C14.
<.
*esuel,e los siguientes problemas utilizando los conceptos de dierencial! error medio y error porcentual! segn se re+uieran en cada caso. /nota el proceso y resultados en tu cuaderno de apuntes. a. Debido al uso! un bal0n de ierro +ue tiene <' cm de radio! sure un desgaste asta +ue su radio disminuye a .2 cm. Determina la disminución en el ,olumen y el área del bal0n. b. 3n disco metálico se dilata de manera +ue su radio aumenta de <& cm a <&.' cm. Calcula el ,alor apro%imado del incremento del área. c.
3n tubo de cobre tiene una longitud de 2& cm de largo. -i el diámetro interior del tubo es de 2 cm y el espesor de $ste es de '.& cm! calcula el ,alor apro%imado del cobre empleado en el tubo.
d. 3n tan+ue cil0ndrico tiene un radio de & m. La altura mide G m con un error posible de 2.' cm. E,ala una apro%imación al error má%imo del ,olumen. El ,olumen de un cilindro está dado por V = 2π r h 2
e. 3n mó,il se mue,e segn la relación s(t ) = 5t 2 + t ! donde s (t ) representa el espacio recorrido medido en metros y t el tiempo medido en segundos. /B HCuál es la distancia recorrida entre el lapso de I a I.''= sJ 8B Estima el error ∆ s − ds en el cálculo de la distancia recorrida en los mismos tiempos. .
Determina un ,alor apro%imado de: /B
g. Conociendo +ue log 200.2 .
log 200
3
10
! 8B
4
14 sin uso de la calculadora.
= 2.30103 . Determina el ,alor apro%imado! si uso de calculadora! para
12
BLOUE II DETERMINAS LA PRIMITIVA DE UNA FUNCI,N E INTEGRAS FUNCIONES ALGEBRAICAS + TRASCENDENTES COMO UNA HERRAMIENTA A UTILI/AR EN LAS CIENCIAS EACTAS: SOCIALES: NATURALES + ADMINISTRATIVAS UNIDADES DE COMPETENCIA" •
•
•
Determina la primiti,a de una unción! como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias E%actas! aturales! -ociales y /dministrati,as. /plica el cálculo de las primiti,as a problemas de su entorno reerentes al ámbito de las ciencias. Obtiene integrales indeinidas de unciones algebraicas y trascendentes de manera inmediata y mediante el uso de t$cnicas de integración! en un conte%to teórico como erramienta en la resolución de problemas reales
CONOCIMIENTOS" •
Funciones primiti,as.
•
1ntegral 1ndeinida.
HABILIDADES" •
•
•
*esuel,e problemas +ue in,olucren la obtención de la primiti,a de una unción y la interpreta en situaciones reales de su entorno. Desarrolla la abilidad en el manejo de t$cnicas de integración en un conte%to teórico. 7alora el trabajo en e+uipo como una alternati,a para mejorar sus abilidades operacionales en el cálculo de integrales indeinidas.
VALORES + ACTITUDES" •
•
•
•
•
Formula y resuel,e problemas matemáticos aplicando dierentes eno+ues. E%plica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. /rgumenta la solución obtenida de un problema! con m$todos num$ricos! gráicos! anal0ticos o ,ariacionales! mediante el lenguaje ,erbal! matemático y el uso de las tecnolog0as de la inormación y la comunicación. /naliza las relaciones entre dos o más ,ariables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 1nterpreta tablas! gráicas! mapas! diagramas y te%tos con s0mbolos matemáticos y cient0icos.
13
1.
INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE /
L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE 3/ F3C14 CO5O L/ /91 DE*17/D/ O "*151917/ DE L/ F3C14 ) CO 8/-E E E-9O DE9E*51/ L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE F3C1OE- ELE5E9/LE- .
<. Describe el concepto de /nti deri,ada o "rimiti,a de una Función: ANTI DERIVADA DE UNA FUNCI,N
2. En la notación de la 1ntegral 1ndeinida A/nti Deri,adaB de una unción
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ombra los elementos +ue se piden a continuación. Escribe una descripción de cada uno de ellos. ELEMENTO
NOMBRE
DESCRIPCI,N
f ( x)
∫ ......dx F ( x) C
=. Describe la interpretación geom$trica de la Constante de 1ntegración INTERPRETACI,N GEOMÉTRICA DE LA CONSTANTE DE INTEGRACI,N
14
11.
INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE 3/ F3C14 391L1/DO L/- FO*53L/- DE 19E*/C14 "/*/ F3C1OE- ELE5E9/LE- ) "*O"1ED/DE- DE L/ 19E*/L 1DEF11D/.
<. Con base en el concepto de /nti deri,ada! escribe la Formula de la 1ntegral 1ndeinida nmero real cuales+uiera distinto de -1. FORMULA DE LA INTEGRACI,N PARA
∫ x
α
∫ x
α
∫ x
α
dx con K un
dx
dx
2. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada INTEGRAL
DESARROLLO
a.
∫ x
4
dx =
b.
∫ x
9
dx =
c.
∫ x
−3
d.
∫ x
e.
∫
4
.
∫
x dx =
g.
∫
x 3 dx =
.
∫
1
i.
∫
1
1 5
dx =
dx
=
x 5 dx =
3
7
4
x
x 3
dx
=
dx =
15
=. 3tilizando la órmula para la integral en tu cuaderno de apuntes a. b. c. d.
∫ x
∫ s
2
7
dx
4
∫ w
e.
α
dx ! determina las siguientes 1ntegrales 1ndeinidas. *esuel,e 1
∫
s
ds
1
∫ x
∫ x
dx
−6
dw
9
.
∫
x dx
g.
∫
φ 3 d φ
.
5
4
∫ x
− 75
i.
∫ T
j.
∫
ds
.
6 − 11
dT
2
u 7 du
∫
3
1 V
7
dV
dx
. Escribe las P1o0ie;a;e5 ;e la I34eg1al Dei3i;a +ue se piden en cada caso: INTEGRAL INDEFINIDA
a.
∫ kdx
b.
∫ xdx
FORMULA
c.
∫ x
−1
1 dx dx = ∫ dx = ∫ x x
&. Completa las siguientes F@1m2la5 para las distintas integrales indeinidas! donde k es una constante cuales+uiera: INTEGRAL INDEFINIDA
a.
∫ k ⋅ f ( x)dx
b.
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx
FORMULA
M. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida! utilizando las ormulas elementales del cálculo y las propiedades de la 1ntegral 1ndeinida. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
∫ 9 x
2
b.
∫ ( x
+ 2 x 3 − 7 x + 8)dx
c. ∫
5
dx
6 x 3 dx
θ 3 2 θ 7 2 d θ d. ∫ − θ + − 3 + + 2 2 5 θ θ
3w4 5w3 dw − + 2 w2 − 3w + 1 e. ∫ 4 2
.
∫ 4t −
g.
∫ x
3
3
2
−
2t + 5 x
3
+
dt 6t
5 4
1 dx + x x
3
16
111. INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ CO-9/9E DE 19E*/C14 D/D/- COD1C1OE- A11C1/LE-B DE L/ "*151917/ DE L/ F3C14 / 19E*/*.
<. Calcula la constante de integración para la integral indeinida de la unción dada! bajo las condiciones iniciales +ue se indican. INTEGRAL + CONDICIONES
a.
b.
f ( x) = 12 x 2
f ( x) = 6 x
4
DESARROLLO
− 6 x + 2 con F (2) = 8
+ 5x − 1 con F ( −3) = 6
2. Calcula la constante de integración para la integral indeinida dadas! bajo las condiciones iniciales +ue se indican. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
∫ (ω
2
− 4ω − 3) d ω con R (π )
= −1
x 2 3 dx con H (1) = 10 b. ∫ − x − 1 + x 2
c.
∫
d.
∫ 5
3
5 8 x dx con F ( 2)
4 y
−2+
1 y
2
=0
dy con
u ( −5) = 2
17
17. INDICADOR DE DESEMPEO
*E-3EL7E "*O8LE5/- DE /"L1C/C14 391L1/DO EL COCE"9O DE 19E*/L 1DEF11D/ ) CO-9/9E DE 19E*/C14.
<. *esuel,a los siguientes problemas aplicando la integral indeinida. /nota el proceso en tu cuaderno de apuntes. -e estima +ue dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiara a razón de 4 + 5t 3 personas por mes. -i la población actual es de <'!''' HCuál será la población dentro de G mesesJ
b.
-e estima +ue dentro de t aNos el ,alor de cierta parcela se incrementara a razón constante de V ' (t ) dólares por aNo. alle una e%presión para la cantidad en la cual aumentará el ,alor de la tierra en los pró%imos & aNos. La utilidad marginal Aderi,adaB de cierta compaN0a es 100 − 2q dólares por unidad cuando se producen q unidades. -i la utilidad es de PI'' dólares cuando se producen <' unidades HCuál será la utilidad má%ima posible de la compaN0aJ
c.
d.
7.
2
a.
-e sabe +ue un árbol crece de tal orma +ue despu$s de t aNos su altura h (t ) cambia a razón de h´(t ) = 0.23 t 2 + t pies#aNo. -i el árbol ten0a 2 pies de altura cuando se plantó HCuál será la altura despu$s de 2I aNosJ
INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE F3C1OE- /LE8*/1C/- ) 9*/-CEDE9E391L1/DO D1-919/- 9;C1C/- DE 19E*/C14: INTEGRACI,N POR CAMBIO DE VARIABLE! 19E*/C14 "O* "/*9E-! 19E*/C14 DE F*/CC1OE- "/*C1/LE- E 19E*/C14 "O* -3-9193C14 9*1OO5;9*1C/.
<. Describe los m$todos y procedimientos para la 1ntegración de unciones algebraicas y trascendentes utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 0o1 Cam>io ;e Va1ia>le. DESCRIPCI,N DE LA TÉCNICA DE INTEGRACI,N POR CAMBIO DE VARIABLE
18
2. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas o trascendentes! utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 0o1 Cam>io ;e Va1ia>le. INTEGRAL
DESARROLLO
a. ∫ ( x − 5) 7 dx
b.
∫ 8(8 x + 3)
5
dx
c.
∫ (2 x + 3)
d.
∫
e.
∫ Cos
4
= ∫ (8 x + 3)5 8dx
dx
3 s − 1ds
4
(θ ) Sen(θ )d θ
=. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas o trascendentes! utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 0o1 Cam>io ;e Va1ia>le . *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
∫
2 2 y + 3
dy =
b.
∫ Sen(8t ) dt
c.
∫ 3e
d.
∫ ( x
3ω
3
∫ T
.
∫
3
∫ e
3ω
2 y + 3
3d ω
− 5) 2 (3 x 2 )dx
6T
e.
d ω =
∫
2dy
∫ x
.
∫ ( x
i.
∫ 2 x − 3dx
j.
∫ te
.
∫
2
−1
dT
5v 2v
g.
2
+3
3 x 2 + 1dx 5
− 5 x ) ( 5 x 4 − 5)dx 8
dx 2
3t
dt
2ϕ dϕ 4 − ϕ 2
dv
"*15E*/ E7/L3/C14 " /*C1/L
19
71. INDICADOR DE DESEMPEO *ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE F3C1OE- /LE8*/1C/- ) 9*/-CEDE9E391L1/DO D1-919/- 9;C1C/- DE 19E*/C14: 19E*/C14 "O* C/581O DE 7/*1/8LE! INTEGRACI,N POR PARTES ! 19E*/C14 DE F*/CC1OE- "/*C1/LE- E 19E*/C14 "O* -3-9193C14 9*1OO5;9*1C/.
<. Describe los m$todos y procedimientos para la 1ntegración de unciones algebraicas y trascendentes utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 Po1 Pa14e5. DESCRIPCI,N DE LA TÉCNICA DE INTEGRACI,N POR PARTES
2. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas o trascendentes! utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 0o1 Pa14e5. INTEGRAL
a.
∫ xe
b.
∫ x
c.
∫ r
d.
∫ y
2
−x
DESARROLLO
dx
e x dx
3
2
ln(r )dr
Sen(3 y )dy
20
=. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas o trascendentes! utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 0o1 Pa14e5. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
∫ t
b.
∫ x
5
c.
∫ x
5
d.
∫ ω
e.
∫ θ Cos(4θ )d θ
.
∫ e
2
−3 w
g.
∫ e
e 4 x dx
.
∫ Sen(3 x)Cos( x)dx
ln( x )dx
i.
∫ xSen(2 x)dx
j.
∫ 9te
.
∫
e 3t dt
7
ln(ω )d ω
3
3s
3
Cos ( −2 w)dw
3t +5
dt
x 2 ln( x)dx
Sen( 2 s )ds
711. INDICADOR DE DESEMPEO *ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE F3C1OE- /LE8*/1C/- ) 9*/-CEDE9E391L1/DO D1-919/- 9;C1C/- DE 19E*/C14: 19E*/C14 "O* C/581O DE 7/*1/8LE ! 19E*/C14 "O* "/*9E- ! INTEGRACI,N DE FRACCIONES PARCIALES E 19E*/C14 "O* -3-9193C14 9*1OO5;9*1C/.
<. 5enciona los Cuatro Casos del m$todo para la 1ntegración de unciones algebraicas utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 Po1 F1a66io3e5 Pa16iale5. CASOS DE LA INTEGRACI,N POR FRACCIONES PARCIALES
21
2. Describe los m$todos y procedimientos para la 1ntegración de unciones algebraicas utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 Po1 F1a66io3e5 Pa16iale5 ;el Ca5o I . DESCRIPCI,N DE LA TÉCNICA DE INTEGRACI,N POR FRACCIONES PARCIALES
=. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas! utilizando la t$cnica de 1ntegración por F1a66io3e5 Pa16iale5 Ca5o I. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. 2 x + 1
a.
∫ x
b.
∫ x
2
+ 7 x + 6
x + 1
−9
2
dx
dx
x + 16 dx x + 2 x + 8
c.
∫
d.
∫ x
e.
− 2 x − 1 ∫ x 2 − 3 x − 10 dx
2
3
3 x − 2 dx − x 2 − 2 x
x 2
22
. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas! utilizando la t$cnica de 1ntegración por F1a66io3e5 Pa16iale5 Ca5o II: III IV . *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a. b.
4 x − 1 dx x 2 + 4 x + 4
∫
x − 6
∫ x
2
+1
dx
+ x − 1 dx + 2) 3 ( x − 1)
3 x 2
c.
∫ ( x
d.
∫ ( x + 3)
2
5 x + 2 2
( x − 2)
dx
7111. INDICADOR DE DESEMPEO *ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ EL C@LC3LO DE L/ 19E*/L 1DEF11D/ DE F3C1OE- /LE8*/1C/- ) 9*/-CEDE9E391L1/DO D1-919/- 9;C1C/- DE 19E*/C14: 19E*/C14 "O* C/581O DE 7/*1/8LE ! 19E*/C14 "O* "/*9E- ! 19E*/C14 DE F*/CC1OE- "/*C1/LE- E INTEGRACI,N POR SUSTITUCI,N TRIGONOMÉTRICA .
<. 5enciona los 9res Casos del m$todo para la 1ntegración de unciones algebraicas! utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 Po1 S254i426i@3 T1igo3om41i6a. CASOS DE LA INTEGRACI,N POR SUSTITUCI,N TRIGONOMÉTRICA
23
2. Describe los m$todos y procedimientos para la 1ntegración de unciones algebraicas utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 Po1 S254i426i@3 T1igo3om41i6a. DESCRIPCI,N DE LA TÉCNICA DE INTEGRACI,N POR SUSTITUCI,N TRIGONOMÉTRICA
=. "ara cada uno de los ejercicios siguientes! determina la 1ntegral 1ndeinida dada de unciones algebraicas! utilizando la t$cnica de I34eg1a6i@3 0o1 S254i426i@3 T1igo3om41i6a . *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
∫
b.
∫ x
c.
∫
d.
∫
e.
9 − 4 x 2 x
dx
dx 2
4+ x
2
x 2 2 x − x 2
dx
x 2 − 4 dx
(16 − 9 x )
∫
2 3/ 2
x
6
dx
-E3D/ E7/L3/C14 " /*C1/L
24
BLOUE III CALCULAS E INTERPRETAS EL REA BAJO LA CURVA EN EL CONTETO DE LAS CIENCIAS EACTAS: SOCIALES: NATURALES + ADMINISTRATIVAS UNIDADES DE COMPETENCIA" •
•
•
•
/naliza y resuel,e problemas matemáticos +ue modelan razones de cambio para cuantiicar el cambio 0sico! +u0mico! biológico! económico! entre otros! despu$s de transcurrido un tiempo. Calcula e interpreta áreas bajo la cur,a mediante las -umas de *iemann en la resolución de problemas en un entorno teórico. Compara el m$todo de las -umas de *iemann con las áreas obtenidas mediante la integral deinida y determina las ortalezas y debilidades de ambos m$todos! comprobándolo mediante sotQare graicador. Obtiene integrales deinidas de unciones algebraicas y trascendentes en un conte%to teórico y las ,isualiza como erramientas en la resolución de problemas reales.
CONOCIMIENTOS" •
-umas de *iemann.
•
1ntegral deinida.
HABILIDADES" •
•
•
•
*esuel,e problemas de áreas mediante la sumas de *iemann en cual+uier disciplina +ue tenga relación con su entorno. *esuel,e problemas de áreas mediante la integral deinida en cual+uier disciplina +ue tenga relación con su entorno. /sume una actitud constructi,a y congruente con las competencias con las +ue cuenta en el uso de las 91CRs como erramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la cur,a en el conte%to de la 0sica! la geometr0a y la +u0mica.
ACTITUDES" •
•
•
•
•
Formula y resuel,e problemas matemáticos aplicando dierentes eno+ues. E%plica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. /rgumenta la solución obtenida de un problema! con m$todos num$ricos! gráicos! anal0ticos o ,ariacionales! mediante el lenguaje ,erbal! matemático y el uso de las tecnolog0as de la inormación y la comunicación. /naliza las relaciones entre dos o más ,ariables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 1nterpreta tablas! gráicas! mapas! diagramas y te%tos con s0mbolos matemáticos y cient0icos.
25
1.
INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE L/ O9/C14 DE -35/9O*1/ ) L/ E5"LE/
E EL C@LC3LO DE E6"*E-14 ) -193/C1OE- S3E 17OL3C*E -35/- -3CE-17/- .
<. Describe la notación de -umatoria Σ: NOTACI,N DE SUMATORIA
2. Calcula el ,alor de las siguientes sumatorias. 6
a.
∑= ( 9 − 2k ) T k 1 4
b.
∑ (3
2
− ) T
=1 5
c.
∑[ 3 − 10] T =1
7
d.
∑ ( n − 3)( n − 2) T n =0 8
e.
∑ ! +! 2 T ! =0
5
.
∑ (3k
2
− 1) 2 T
k =1
11.
INDICADOR DE DESEMPEO
19E*"*E9/
L/ -35/ DE 19E*7/LO D/DO.
*1E5/
CO5O 3 C/-O DE -35/9O*1/- ) L/ E5"LE/ E EL C@LC3LO DE @*E/- 8/UO L/ C3*7/ -O8*E 3
<. En la gráica siguiente! elige un inter,alo cerrado [ a, " ] del dominio de la unción. >-ombrea? el área +ue determine el área limitada por f ( x) y el inter,alo elegido.
26
2. Escribe la Dei3i6i@3 ;e la S2ma4o1ia ;e Riema33 . SUMATORIA DE RIEMANN
=. Describe la I34e101e4a6i@3 geom41i6a ;e la S2ma4o1ia ;e Riema33. INTERPRETACI,N GEOMÉTRICA DE LA SUMATORIA DE RIEMANN
. /plicando 52ma4o1ia ;e Riema33! calcula el ,alor del área bajo la cur,a determinadas por las unciones dadas! en el inter,alo y ∆ x indicados. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
y
= 2 x 2 − 6 x + 1 en el inter,alo [ 0,2] y ∆ x = 0.5
b.
y
= x3 − 5 x 2 + 7 x − 1 en el inter,alo [ 3,4] y ∆ x = 0.2
c.
y
=
x2
− 5 en el inter,alo [ 3,5] y ∆ x = 0.25
+ 2 en el inter,alo [ 2,3.6] y ∆ x = 0.2 x + 4 e. y = 3x − 4 en el inter,alo [ 2,6] y ∆ x = 0.5 d. y =
x 2
27
111. INDICADOR DE DESEMPEO
19E*"*E9/ / L/ 19E*/L 1DEF11D/ CO5O EL C/-O DEL LV519E DE 3/ - 35/ DE * 1E5/ ) L/ E5"LE/ L/ C3*7/ -O8*E 3 19E*7/LO D/DO.
E EL C@LC3LO DE @*E/- 8/UO
<. Escribe la Dei3i6i@3 ;e la I34eg1al Dei3i;a . INTEGRAL DEFINIDA
2. Describe los elementos +ue se muestran en la 3o4a6i@3
"
∫ f ( x)dx
;e la I34eg1al ;ei3i;a .
a
INTEGRAL DEFINIDA
=. Calcular las siguientes integrales deinidas. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes 4
12
a. b.
7
1 − 1 dt ∫ 1 t 2 t 3
3
e
∫
g.
dx
∫ 3 xdx
.
1
2
+ 1) dT
1
2
c.
∫ 8T ln( 4T
) ∫ ( r + 4 dr 2
−2
π
i.
2
∫ 2Tan ( 2φ ) Se#(2φ )d φ
−π
2
2
d.
∫ e
2x
dx
1
∫ ( 4 s
j.
2
+ 2 s + 1) ds
0
e−2
.
∫ 2ω
5
−3
2 x −1
dx
1
∫ x + 2 dx
−1
6
.
∫ e
−1
3
e.
1
3ω 2 d ω
0
l.
∫ Sen(2θ )d θ
−π
28
. Describe la i34e101e4a6i@3 geom41i6a ;e la i34eg1al ;ei3i;a
"
∫ f ( x)dx . a
INTEGRAL DEFINIDA
&. Calcular el área bajo la gráica de y = f ( x) en el inter,alo [ a, " ] indicado. *ealiza en es+uema del problema. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes.
= 4 x 2 − 3 en el inter,alo [1,4]
a.
y
b.
f ( x) = Sen( x), en
c. f ( x) =
1 x
2
el inter,alo [ 0, π 2 ]
en el inter,alo [1,3]
d. f ( x) = e − x+3 en el inter,alo [ − 1,2]
= x 3 − 3 en el inter,alo [ 0,2]
e.
y
.
f ( x) = ln( x + 4) en
el inter,alo [ − 2,4]
29
BLOUE IV RESUELVES PROBLEMAS DE APLICACI,N DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN SITUACIONES REALES EN EL CAMPO DE LAS CIENCIAS EACTAS: SOCIALES: NATURALES + ADMINISTRATIVAS UNIDADES DE COMPETENCIA" •
•
•
•
/plica el concepto de sólido de re,olución en el diseNo de: en,ases! depósitos y contenedores en general! de ormas omog$neas y eterog$neas. /plica las integrales deinidas en la solución de problemas de leyes de eQton Acentro de masa! trabajo realizado por una uerza! mo,imiento de part0culasB y# o crecimientos e%ponenciales! resol,i$ndolos de manera autónoma utilizando los procesos aprendidos. /plica las integrales deinidas para resol,er problemas de oerta y demanda de un bien AproductoB o un ser,icio.
CONOCIMIENTOS" •
@reas y ,olmenes de sólidos de re,olución.
•
Ley de eQton.
•
Crecimientos e%ponenciales.
•
Oerta y demanda.
HABILIDADES" •
•
•
•
1dentiica casos actibles de aplicación de la integral deinida en el ámbito de las ciencias e%actas! naturales y sociales. /plica la integral deinida para resol,er problemas en el campo disciplinar de las matemáticas! 0sica! biolog0a y econom0a! administración y inanzas. 7alora el uso de las 91CRs como erramientas para el modelado y la simulación de problemas de aplicación de integrales deinidas en cual+uier conte%to disciplinar. /sume una actitud constructi,a! congruente a sus competencias para proponer maneras de solucionar un problema de su entorno mediante la aplicación de la integral dierenciada.
VALORES + ACTITUDES" •
•
•
•
•
Formula y resuel,e problemas matemáticos aplicando dierentes eno+ues. E%plica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. /rgumenta la solución obtenida de un problema! con m$todos num$ricos! gráicos! anal0ticos o ,ariacionales! mediante el lenguaje ,erbal! matemático y el uso de las tecnolog0as de la inormación y la comunicación. /naliza las relaciones entre dos o más ,ariables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 1nterpreta tablas! gráicas! mapas! diagramas y te%tos con s0mbolos matemáticos y cient0icos.
30
I.
INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE LO- 9EO*E5/- F3D/5E9/LE-
DEL C@LC3LO ) LO- /"L1C/ E L/ *E-OL3C14 DE D17E*-/- -193/C1OE- 35;*1C/-.
<. Escribe el enunciado del Teo1ema F23;ame34al ;el C8l62lo . TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO
2. Escribe el enunciado del Teo1ema ;el Valo1 Me;io. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO
=. Describe la I34e101e4a6i@3 Geom41i6a ;el Teo1ema ;el Valo1 Me;io . INTERPRETACI,N GEOMÉTRICA DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO
. "ara los siguientes ejercicios encuentra el ,alor z +ue satisaga el Teo1ema ;el Valo1 Me;io. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. 3
a.
∫ ( x
2
+ 1) dx
0
1
b.
∫ 2e
2x
dx
0
31
&. Con base en la 1nterpretación eom$trica del 9eorema del 7alor 5edio deine El Valo1 Me;io o P1ome;io ;e f e3 [ a, " ] VALOR MEDIO
M. Encuentra el ,alor promedio de las unciones dadas en el inter,alo indicado. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes.
= ( x − 1) 2 en el inter,alo [ 2,5]
a.
f ( x)
b.
f ( x) = Sen( x − π ) en
c. f ( x) =
5 3 x − 1
el inter,alo [ 0, 2π 5 ] .
en el inter,alo
[ 2 3 ,1]
d. f ( x ) = x 3 + 1 en el inter,alo [1, 4] e. f ( x) = e 2 x−1 en el inter,alo
[0,2]
I. Escribe las órmulas para el cálculo de las integrales deinidas utilizando la Regla ;el T1a0e6io y la Regla ;e Sim05o3 REGLA DEL TRAPECIO
VALOR MEDIO
32
II. INDICADOR DE DESEMPEO
*ECOOCE LO- 5;9ODO- ) "*OCED151E9O- "/*/ *EL/ DEL 9*/"EC1O ) L/ *EL/ DE -15"-O.
C/LC3L/* EL @*E/ 8/UO L/ C3*7/ "O* 5ED1O DE 5;9ODO- 35;*1CO- CO5O L/
<. 3sando la Regla ;el T1a0e6io la Regla ;e Sim05o3 con el ,alor de n indicado! estima la siguiente integral deinidas. *esuel,e en tu Cuaderno de apuntes. 1
a.
∫ 0
1 1 + x
2
dx con n
=4
3
b.
∫ ( x
2
2
1
+ 1)dx con
n
= 4.
1
c.
∫ 4 + x
2
dx con n
=4
0
1
d.
∫ x
2
+ 1dx con
n=2
−1 π
e.
∫ Cos ( x)dx con n = 6 0
2. Con base en el concepto de integral deinida escribe la e%presión para calcular el área entre cur,as. 5uestra la 1nterpretación eom$trica. REA ENTRE CURVAS
III. INDICADOR DE DESEMPEO
/"L1C/ EL COCE"9O DE 19E*/L DEF11D/ E LE C/LC3LO ELE5E9O- E D17E*-/- -193/C1OE- EO5;9*1C/-.
<. allar el área +ue se pida en cada caso! traza la gráica del problema. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a. El área entre la cur,a
y
= x 2 − 4 x y las rectas x = 1 y x = 3
b. El área entre la cur,a x = y 2 − 4 y y las rectas c. El área entre las cur,as
y
= 9 − x 2 y
y
d. El área entre las cur,as x = 4 − y 2 y y e. El a$rea entre las cur,as
y = 0 y y
=2
= x+3
= − x
y = e x W y = e
− x
y las rectas x = 0 y x = 2 33
2. Describe el m$todo para calcular por medio de la 1ntegral deinida la S20e1i6ie y el Vol2me3 ;e 23 S@li;o ;e Re?ol26i@3. SUPERFICIE + VOLUMEN DE UN S,LIDO DE REVOLUCI,N
=. Escribe las Formulas para calcular la S20e1i6ie y el Vol2me3 ;el S@li;o ;e Re?ol26i@3 generados por la rotación de la cur,a con respecto a cada uno de los ejes coordenados. SUPERFICIE DEL S,LIDO DE REVOLUCI,N
VOLUMEN DEL S,LIDO DE REVOLUCI,N
34
. allar la supericie y el ,olumen del sólido de re,olución generado al rotar la cur,a dada en cada caso entre los ,alores indicados y la rotación indicada. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
y = 2 x 2 !
b.
y = x 3 !
c.
x 2
d.
x = 4 y 2 !
e.
y
de x = 2 a x = 5 con respecto al eje $
de x = 0 a x = 3 con respecto al eje $
− y 2 = 16 ! de de
y
= 2 a
y = 4 con
y = 1 a y = 5 con
respecto al eje %
respecto al eje %
= 9 − x 2 con respecto al eje $
IV. INDICADOR DE DESEMPEO
/"L1C/ EL COCE"9O DE 19E*/L DEF11D/ E L/ *E-OL3C14 DE "*O8LE5/- DE D17E*-O- @5819O- DE /C9171D/D.
&. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes! los siguientes problemas de aplicación de la integral en distintos ámbitos! indica claramente el m$todo empleado. *esuel,e en tu cuaderno de apuntes. a.
Co54o ma1gi3al. El costo marginal de producir la
x X$sima caja de ocos es 5−
x 10000
) el costo ijo es de P 2'!'''.''. Encuentre la unción de costo C ( x ) b.
Ta5a ;e I34e15. Entre <' y <G! la tasa de inter$s desconectada en Uapón bajo '.I puntos porcentuales por aNo. Dado +ue la tasa de inter$s descontada era M( en <2! use una integral indeinida para determinar una órmula para la tasa de inter$s & (t ) a partir de <' A t = 0 representa <'B! y apl0+uela para calcular la tasa de inter$s en <G.
c.
Ga54o. -uponga +ue la tasa de gasto ederal! en dólares! aumentó más o menos en orma lineal desde P&'!'''.'' millones en <I2 asta P
d.
Em0leo. En <G! el nmero de personas con empleo en el estado de ue,o León era de <.=< millones apro%imadamente. El siguiente modelo cuadrático apro%ima la tasa de incremento en el empleo! en miles de personas al aNo de <GG a < en ese estado. ( (t ) = 25t
2
− 137t + 68
En la +ue t es la cantidad de aNos a partir de <GG. /pli+ue el modelo y la cira de empleo para <GG en ue,o León para obtener un modelo de la cantidad total de personas! ) (t ) empleadas en ese estado! en unción del tiempo e.
Mo?imie34o 1e64il3eo. La ,elocidad de una part0cula +ue se mue,e en l0nea recta se representa por v(t )
= t 2 + 1
Deduzca una ecuación de la posición en unción del tiempo s (t ) ! si la posición inicial es de <' m para t = 0 .
Mo?imie34o 1e64il3eo. -e lanza una piedra directamente acia abajo desde una altura de ='' m con una ,elocidad inicial de <' m#s. •
allar su altura en unción del tiempo h (t ) .
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HCuál es su ,elocidad a los & sJ
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HCuándo ará contacto con sueloJ
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