EJE RCICI O 1: 1: En los primeros 10 días del mes de diciembre una célula vegetal creció en tal forma que t días después del 1 de diciembre el volumen de la célula aumentaba a razón de (12 - t )-2 micrómetros cúbicos por día. Si el día 3 de diciembre el volumen de la célula era 3 μm3, ¿cuál fue el volumen el 8 de diciembre?
SOLUC SOL UCII ON: Sabemos por dato que el día 3 la célula crece 3 μm3, es decir 2 días después del primero de
diciembre eso es el día “t”, luego para el día 8 de diciembre se tendrá que han pasado 7 días o “t” días después del primer día mes de diciembre. Luego: Volumen célula vegetal = =
∫7(12)
-2
-1 7
(12) 12) ⌉
2
= (12 - 7)-1 - (12 - 2)-1
= - +
= 0.1
Sumando a los 3 μm3 del dato tenemos: 3.1 μm3.
RESPUESTA: El volumen para el día 8 de diciembre para la célula vegetal será de 3.1 μm3.
EJ ER CICI O 2: Una compuerta de una presa vertical en un dique tiene la forma de un trapecio, con 8 pies en la parte superior y 6 pies en el fondo con una altura de 5 pies, como se muestra en la imagen “a” ¿Cuál es la fuerza del fluido en la compuerta cuando la parte superior esta 4 pies debajo de la superficie del agua?
SOLUCION:
Formular un modelo matemático para este problema, tomando el eje y, bisecar la compuerta y poner el eje x en la puerta del agua, como se muestra en la figura. “b” Así, la profundidad del agua en y en pies es: Profundidad = h (y) = -y
Para encontrar la longitud L ( y) de la región en y, localizar la ecuación de la recta que forma el lado derecho de la compuerta. Porque esta recta atraviesa los puntos (3, -9) y (4, -4) y – (-9) =
−−(−9) (x - 3) −3
y + 9 = 5 (x - 3) y = 5 x – 24 x =
+
En la figura se puede observar que la longitud de la región en y es Longitud = 2 x
= (y + 24) = L (y) Por último, integrando de y = -9 a y = -4 se puede calcular la fuerza del fluido para ser: F=
∫ ℎ ()()
=
62.4 ∫−9−() (24)
=
62.4() ∫−9−(24) 2
3 -4 2 = 62.4 ( 12) ] -9 3
= -62.4
−7 3
= 13936 libras.
RESPUESTA: La fuerza del fluido será de 13936 libras.
EJE RCICI O 3: Un tanque esférico de radio 8 pies esta medio lleno de aceite que pesa 50 libras/pie3. Encontrar el trabajo requerido para extraer el aceite a través de un orificio en la parte superior del tanque.
SOLUCI ON: Considerar el aceite dividido en discos de espesor ∆ y y radio x, como se muestra en la figura. Ya que el incremento o fuerza para cada disco está dado por su peso, se tiene: ∆ F = peso =
( )(volumen) 3
= π50 ( x2∆y) libras
Para un círculo de radio 8 y centro en (0. 8), se tiene: x 2 + (y - 8)2 = 82 x 2 = 16y - y2 y se puede escribir el incremento de fuerza como: ∆F = 50 (π x2∆y) = 50π (16y - y2 ) ∆ y En la figura observar que un disco debe moverse “ y” pies del fondo del tanque a una distancia de (16 - y) pies. Así, el incremento de trabajo es: ∆W = ∆F (16 - y)
= 50 π ( 16y - y2 ) ∆ y (16 - y) = 50 π (256y – 32y 2 + y 3) ∆y
Porque el tanque está medio lleno, y vale 0 a 8, el trabajo requerido para vaciar el tanque es: W=
∫ 50 π (256y – 32y + y )dy 2
3
3 4 8 3 )] 0
(128 . = 50 π 3 = 50 π
= 589782 libras pies.
Para estimar lo razonable del resultado ejemplo, considerar que el peso del aceite del tanque es:
(volumen)(densidad) = 3 π8(50) = 53616.5 libras . Elevando el medio tanque de aceite 8 pies involucraría trabajo de 8(53 616.5) = 428 932 libras-pie. Porque el aceite realmente se eleva entre 8 y 16 pies, parece razonable que el trabajo realizado sea 589 782 libras-pie.
RESPUESTA: El trabajo para extraer el aceite será de 53616.5 libras
EJ EMPLO 4: Un depósito cilíndrico circular de 2 metros de radio y 8 metros de altura, está lleno de agua. Hallar el trabajo realizado al bombear toda el agua hasta la base superior del depósito. El peso específico del agua igual a 1 000 kilopondios por metro cubico.
SOL UCI ÓN: Supongamos que el agua es impulsada por medio de un pistón que empuja al agua desde el fondo del depósito. En la figura, se representa al pistón situado a una distancia y metros del fondo. La fuerza necesaria para elevar el agua es igual a al peso del agua que gravita sobre el pistón, es decir, F( y) = πr 2 (8 - y) = 4πy(8 - y) con lo que el trabajo correspondiente a un desplazamiento ∆ y del pistón será 4π (8 -y) ∆ y. el trabajo necesario para vaciar el deposito es, en consecuencia: W=4π
∫(8)dy = 128 πy = 128 π(1 000) = 128 000 π kpm
RESPUESTA:
El trabajo realizado será de 128 000 π kilopondios.
