CÃ¡Lculo Integral

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Este libro pertenece a la segunda edición de la Serie Integral por Competencias, que Grupo Editorial Patria lanza con base en los nuevos programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), además cubre 100% los planes de la reforma y el Marco Curricular Común propuesto por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Te invitamos a trabajar con esta nueva serie, totalmente rediseñada y descubrir la gran cantidad de recursos que proporciona. En esta edición seguimos los cambios pedagógicos que realizó la DGB, en los que se integran objetos de aprendizaje, desempeños al concluir el bloque, competencias a desarrollar; además proponemos secciones de gran utilidad como: Situaciones didácticas Secuencias didácticas Rúbricas Portafolios de evidencias Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación (Listas de cotejo y Guías de observación), entre otras. Para el profesor, se incluye una guía impresa que ha sido especialmente realizada para facilitar la labor docente; en nuestro portal para esta serie, alumno y profesor encontrarán diversos objetos de aprendizaje en la dirección:

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

CALCULO Integral

K

DGB Serie integral por competencias

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DGB Ortiz Ortiz Ortiz

CALCULO Integral

CALCULO Integral Ortiz Ortiz Ortiz

EMPRESA DEL GRUPO

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Serie integral por competencias

CÁLCULO INTEGRAL Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

primera edición ebook 2014

CÁLCULO INTEGRAL Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

primera edición ebook 2014

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Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, México, D.F.

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Cálculo Integral. Serie integral por competencias

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Derechos reservados: ©2014, Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo ©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

Fax pedidos: ISBN ebook: 978-607-438-945-6

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Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico

teléfono:

(0155) 53 54 91 00

Primera edición ebook: 2014

Grupo Editorial Patria®

Contenido

Introducción a la asignatura y a tu libro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI Competencias genéricas del Bachillerato General. . . . . . . . . . . . . VIII Competencias disciplinares extendidas del campo de las matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Las secciones de tu libro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X

1.1 Diferencial de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Aproximación de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2

Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

3

Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

3.1 Suma de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4

Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

4.1 Áreas y volúmenes de sólidos de revolución. . . . . . . . . . . . 79

BLOQUE

BLOQUE

BLOQUE

BLOQUE

1

Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

1.3 Estimación de errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Función primitiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Definición de integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 P roblemas de aplicación: Ley de Newton, Crecimientos exponenciales y Oferta y demanda. . . . . . 80

Bibliografía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Vínculos en Internet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Introducción a la asignatura y a tu libro

Introducción a la asignatura y a tu libro

CÁLCULO INTEGRAL

Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

Cálculo integral responde a la actualización de los programas de estudio del Bachillerato General, mediante el cual se induce al estudiante a ser el protagonista de su propio aprendizaje. Es preciso que el alumno se percate de la importancia de las matemáticas en su desarrollo no sólo profesional sino también en su vida cotidiana, ya que a través de esta asignatura adquirirá habilidades para resolver problemas, verificar respuestas y efectuar generalizaciones de manera que pueda construir sus conocimientos, conceptos y procedimientos y lograr así un aprendizaje significativo. Cálculo integral contiene evaluaciones diagnósticas que permiten saber qué conocimientos previos tiene el alumno con respecto a cada tema, así como verificar sus avances e implementar diversas estrategias didácticas por medio del desarrollo de los contenidos temáticos. También se incluye una sección llamada instrumentos de evaluación que le posibilitará evaluar los conocimientos adquiridos en cada bloque. El enfoque actual del programa de Cálculo integral coloca el problema como el motor que promueve el aprendizaje. Se espera del estudiante una indagación de los conocimientos necesarios y suficientes para resolver el problema a través de la investigación en diversas fuentes bibliográficas y en Internet. En ese proceso de búsqueda que realiza el estudiante se procura apoyarlo con material que se incluye en el libro con ese fin. Cálculo integral apoya al estudiante y al docente en sus respectivas labores y su contenido se vincula con los cursos de Matemáticas 1, 2, 3 y 4, así como con Cálculo diferencial. El contenido se presenta en cuatro bloques. En el bloque 1, el estudiante aplica la diferencial en la estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. Se pretende ubicar al estudiante en la comprensión del concepto de diferencial y su aplicación para hacer aproximaciones a variables y estimar errores.

VI


En el bloque 2, el estudiante determina la primitiva de una función e integra funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. Incluye la función primitiva, la integral indefinida y métodos de integración: por cambio de variable, por partes, de potencias trigonométricas y por sustitución trigonométrica. Por su parte, en el bloque 3 el estudiante calcula e interpreta el área bajo la curva en el contexto de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. Asimismo se introduce la notación sigma como antecedente de una suma de Riemann y la integral definida para su aplicación en el cálculo del área bajo la curva así como el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. En el último bloque (bloque 4) el alumno resuelve problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. Presenta diversos problemas que tienen que ver con la obtención de áreas y volúmenes de sólidos de revolución, crecimientos exponenciales, oferta y demanda y otros. Asimismo se incluyen algunos problemas resueltos. Finalmente, Cálculo integral promueve las líneas curriculares que plantea el nuevo programa de estudios del Bachillerato General, con lo que se logra el desarrollo de habilidades de pensamiento, ya que los diversos problemas llevan al alumno a analizar, sintetizar y lograr la abstracción lógica y simbólica del lenguaje matemático. También, promueve valores, como la libertad para resolver una situación y expresar su propia opinión, democracia y tolerancia, mediante el trabajo en equipo, en el que a través de una comunicación adecuada se atiende y respeta la opinión del otro. Asimismo, mediante la autoevaluación se promueve en el alumno el desarrollo de un espíritu de búsqueda constante de la calidad. Esperamos que los estudiantes disfruten este libro hecho especialmente para ellos con el propósito fundamental de apoyarlos en el desarrollo de sus competencias. Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

VII

Competencias genéricas del Bachillerato General

Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar y las cuales les permitirán comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida y practicar una convivencia ade-

cuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Dichas competencias constituyen el perfil del egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se listan las competencias genéricas:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propios a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

VIII


Competencias disciplinares extendidas del campo de las matemáticas Competencias disciplinares extendidas

Bloques de aprendizaje

1

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2

3

4

X

X

X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

X

X

X

X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X

X

X

X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

X

X

X

X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X

X

X

X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

X

X

X

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

X

X

X

X

X

X

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X

IX

Las

Secciones deTu libro

Inicio de bloque Objetos de aprendizaje En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y pertinencia al nivel educativo en el que te encuentras.


¿Qué sabes hacer ahora? Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

3

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

3.1 Suma de Riemann

3.2 Definición de integral definida

Competencias por desarrollar

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad que tienes para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes.

Desempeños por alcanzar

Desempeños por alcanzar ¿Qué sabes hacer ahora?

Competencias por desarrollar n

Resuelve problemas de áreas mediante la sumas de Riemann en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.

1. Utiliza la notación sigma para representar la suma:

n

Resuelve problemas de áreas mediante la integral definida en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.

2. Obtén los elementos de la serie:

n

Asume una actitud constructiva y congruente con las competencias con las que cuenta en el uso de las TIC como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la curva en el contexto de la física, la geometría y la química.

Calcula e interpreta áreas bajo la curva mediante las sumas de Riemann en la resolución de problemas en un entorno teórico.

1 3 3 1 = , 2 = 1, 3 = 1 , 4 = 2 . 2 4 4

Compara el método de las sumas de Riemann con las áreas obtenidas mediante la integral definida y determina las fortalezas y debilidades de ambos métodos, comprobándolos mediante software graficador (GeoGebra, mathgv, graph).

1 2 3 ∙ ∙ ∙ 98 99 100. 4. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para calcular el área comprendida entre la parábola x y 2 y la recta y x 4.

5

∑i

3

5. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para obtener el volumen de un cilindro recto que mide 2 m de radio y 6 m de altura.

=

Obtiene integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes en un contexto teórico y las visualiza como herramientas en la resolución de problemas reales.

i =1

n

3. Encuentra la suma de Riemann para la función f (x) 6. x 2 eni el= 1 + 2 + 3 + ... + n. intervalo [0, 3] para la partición %: i =1

∑

3 1 1 x 0 = 0 , x 1 = , x 2 = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3; 4 2 4

Situación didáctica

2

BLOQUE

¿Cómo lo resolverías?

Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas...

Situación didáctica 1


Resuelve la siguiente integral:

¯

x 4 – 8x 2 5x 1 dx x2 – 4

Secuencia didáctica 1

n ¿Cómo se hace para descomponer la fracción propia resultan-

Que cada equipo utilice diferentes formas de representar el problema y que elabore un cuadro en el que se especifiquen longitudes de arco para distintas amplitudes y alcances.

n ¿Qué

Presenten los resultados en reunión plenaria, analicen y discutan las formas de resolver el problema.

n ¿Qué

Cada equipo debe investigar:

n ¿Qué

te en sus fracciones parciales? ocurre si el denominador es el producto de dos raíces reales y distintas? ocurre si el denominador es el producto de dos raíces reales e iguales? otros métodos existen para obtener rápidamente las fracciones parciales?

n ¿Qué tipo de función es el integrando? n ¿Cómo

se puede reescribir el integrando como una fracción

propia? confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una

Secuencia didáctica ¿Qué tienes que hacer? La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado que hacen, facilitan tu actividad y tus resultados.

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación del producto

Producto a elaborar

A fin de evaluar por producto las instrucciones se deben dar por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Presentar el procedimiento en el que se ilustren los pasos que se siguieron para resolver la integral.

22


Rúbrica de evaluación Para calcular la integral que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera.

Ejercicios

La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos.

Sugerencias de evidencias de aprendizaje n Identifica

la función y, si es necesario, la transforma en una fracción propia.

Bibliografía

n Descompone el polinomio del denominador en sus factores. n Realiza

las transformaciones necesarias en términos de un conjunto de integrales más simples de resolver.

n Resuelve la integral.

Ayres Frank Jr. Cálculo diferencial e integral, México, McGraw-Hill, 1999. Leithold L. Cálculo con geometría analítica, México, Harla, 1998. |||. El Cálculo, México, Oxford University Press, 2004.

Purcell Edwin et al. Cálculo diferencial e integral, México, Prentice Hall, 1999. |||. Calculus with differential equations, USA, Prentice Hall, 2006.



Scout M. Farraud y Nancy Jim Poxon. Cálculo, teoría y práctica, México, Sitesa, 1990.

Resuelve la siguiente integral:

Stewart J. Cálculo diferencial e integral, México, Thomson Editores, 1999.

de... 1 Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones ¯

BLOQUE

Swokowski Earl W. Cálculo con geometría analítica, México, Iberoamericana, 1988.

x ln x dx

Notación: Para representar la diferencial de una función se utiliza la letra d colocada antes de la función.

Ejemplo:

Si la función es y 4x , la diferencial se denota como:

Sea

3

Zill Dennis G. Cálculo con geometría analítica, México, Addison Wesley, 2000. |||. Cálculo con geometría analítica, México, Grupo Editorial Iberoamericana, 1990. |||, Differential equations with computer lab experiments, EUA, Thomson, 1998.

y 4x 3 5x 2 3x 2 dy df ( x ) f a(x ) 12x 2 10x 3 dx dx

Si se considera la variable independiente y la función de x, así: dx D(x) %x 1%x %x.

f aa (x )

Entonces, la diferencial de la variable independiente es igual a su incremento, es decir, dx %x. Con base en lo anterior, para una función y f (x), su diferencial se puede expresar como:

f aaa (x ) f aaaa (x )

dy f a(x)dx.

d 2 y d 2f ( x ) 24x 10 dx 2 dx 2

Vínculos en Internet

d 3 y d 3f ( x ) 24 dx 3 dx 3

http://mathworld.wolfram.com

4

http://demonstrations.wolfram.com

4

d y d f (x ) 0 dx 4 dx 4

http://www.mathworks.com http://www.gnu.org/software/octave/ http://www.maplesoft.com

Por lo que podemos decir que la diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por la diferencial de la va riable independiente. Si se utiliza esta notación, las diferenciales de las funciones y x , y 2x3, y 3x2 quedan expresadas de la siguiente forma: 2

http://www.maplesoft.com/studentcenter/index.aspx

Interpretación geométrica de la diferencial

Otras herramientas 23

Para la función de y x2.

y

Su diferencial es dy D(x2)dx, es decir:

y = f(x)

dy 2x dx.

Q

Para la función de y 2x3. Su diferencial es dy D(2x3)dx, o sea:

T

dy 6x2 dx.

P

R

Para la función de y 3x2. Su diferencial es dy D(3x2)dx, por tanto:

dy 6x dx.

x + x

x

x

A partir de la expresión:

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.


Proter/Morrey. Cálculo con geometría analítica, Addison Wesley Iberoamericana, 1988.

que se lee “diferencial de y”.

Ejemplos

Mendelson Elliott. Introducción al cálculo, México, McGraw-Hill, 1986.


dy 12x %x

La experiencia que logres a tráves de los talleres, actividades experimentales y de laboratorio te ofrece la posibilidad de desarro llar tus competencias y habilidades en la solución de problemas en situaciones cotidianas, además de estimular y fomentar tu aprendi zaje cooperativo durante el trabajo en equipo.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

2

Taller y actividad experimental

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Trabajo individual

Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

Rúbrica


En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

dy f a(x)dx. Si se despeja la derivada, se obtiene: dy f a(x) dx que también se puede escribir así: f a(x)

dy dx

En la figura anterior se representa la gráfica de la función y f (x). La recta PT es la tangente a la curva en el punto P. El punto P tiene las coordenadas (x, y) que también se pueden ex presar en la forma (x, f (x)), de manera que las coordenadas de Q son (x %x, f (x %x)). La distancia dirigida PR es %x dx y la distancia dirigida RQ es %y. En el triángulo rectángulo PRT, sabemos que:

donde la derivada se expresa como el cociente de la diferencial de y entre la diferencial de x. Esta forma de expresar la derivada de una función se conoce como notación de Leibniz, con la que se pueden representar las derivadas sucesivas de una función.

Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

tan B

RT PR

de donde RT PR tan B

Tu libro cuenta también con bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resul tarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje.

Ejemplos:

97

Aplica lo que sabes 1

BLOQUE

Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de...

Actividad de aprendizaje

12. Halla un valor aproximado del cambio de volumen de un cubo de hielo de 4 cm de arista cuando ésta disminuye a 3.95.

Calcula la diferencial de las funciones siguientes: 1. y 4x 3 2. y 3x 2 5x 2

BLOQUE

3. y 3 x 4. y

1 x2 – 1

4

Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales...

Isaac Newton

Encuentra un valor aproximado de las cantidades siguientes. Expresa la respuesta con tres cifras significativas. 6.

3

127

7.

140

8.

1 35

9.

3

9

10.

3

26

Está diseñada para que puedas aplicar tus conocimientos a situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.

Para tu reflexión

5. y 1– 4 x

(1642-1727)

13. Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto y la altura es el doble de su diámetro. Si la superficie interior se va a cubrir con una capa de pintura de 2 milímetros, encuentra la cantidad de pintura que se requiere.

Una de las mentes más brillantes y de inteligencia suprema que ha dado la humanidad. Sir Isaac Newton dio al mundo infinidad de principios, teoremas y aportaciones al pensamiento científico. Nació en Woolsthorpe, Inglaterra. Alumno del sabio Isaac Barrow, el gran Newton vivió una juventud que lo caracterizó por enfermarse constantemente; al lado de sus abuelos, aprendió a elaborar sus propios juguetes con algunos procedimientos mecánicos surgidos de su propia imaginación y creatividad. En 1653 uno de sus tíos insistió en enviarlo a estudiar a la Universidad de Cambridge, en donde obtuvo el grado de bachiller en 1665, cuando una peste que azotó la ciudad lo obligó a regresar a la granja de su madre. Gracias a esta situación, se dice que sentado bajo un árbol de manzanas, Newton observó la caída de uno de estos frutos y comenzó su interés por establecer relaciones entre la fuerza que hacía caer el objeto y la fuerza que sostenía a la Luna en su órbita, que a la postre se conocería como Ley de la Gravedad o Ley de la Gravitación Universal.

11. Encuentra un valor aproximado del aumento de volumen de una esfera de 20 cm de diámetro cuando el radio se incrementa 3 milímetros.

14. La medida de la arista de un cubo es de 5 m con un posible error de 0.02 cm. Estima el máximo error posible al calcular su área.

Su estudio no sólo se enfocó en el pensamiento científico, sino que mediante la presentación del entonces innovador esquema general del universo, cierra con broche de oro el periodo denominado Revolución Científica. En el caso específico del cálculo integral y diferencial, Newton desarrolló el uso de ambos principios, en el cálculo matemático, con la finalidad de formular sus leyes de la Física, aunque esta consideración la comparte en créditos con Gottfried Wilhelm Leibniz. Incluso, la aportación de su Teorema del Binomio y las Formas de Newton Cotes fueron complementos al avanzado estudio de las ramificaciones de las matemáticas contemporáneas.

Filósofo, alquimista, matemático, inventor, físico y teólogo, estableció las bases de la Mecánica Básica que cuenta con las leyes del Movimiento de Newton y que formulan la idea del comportamiento de cuerpos físicos y macroscópicos ubicados en reposo y a velocidades mínimas comparadas con la agilidad de la velocidad de la luz.

15. Halla el volumen aproximado de un tubo que mide 10 cm de largo si su radio interno y externo es de 0.63 y 0.65 cm, respectivamente.

Actividad de aprendizaje A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desa rrollo del bloque. Para tu reflexión

Primera ley de la Inercia, segunda ley de Fuerza y tercera ley de Acción y Reacción que conforman principios básicos que Newton dictaminó de la siguiente forma: 1) Todo cuerpo preserva en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él. 2) El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. 3) Con toda acción ocurre siempre una reacción igual o contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

12

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adqui riendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes pers pectivas para la misma información.

92

Instrumentos de evaluación

Lista de cotejo

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, siste matización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.

BLOQUE

4


Rúbrica

Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución de problemas del bloque 4. Nombre del alumno:

Nombre del alumno: cumple sí no

Criterios

Criterios

Observaciones


Aspecto a evaluar

Presentación

3 Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias...

BLOQUE

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparati vos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

Comentarios generales:

•

No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje.

5

1

∑ 1+ i i =1

2

5. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para calcu lar el volumen de un cono de radio r y altura a.

•

Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

=

6. Encuentra el área comprendida entre y 6x x y y x 2x. 2

2

3. Encuentra la suma de Riemann para la función y x3 en 1 el intervalo [ 1, 1] para la partición %: x1 1, x2 , 2 1 3 1 1 7 x3 , x4 1; Y1 , Y2 , Y3 , Y4 . 2 4 8 4 8

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello. 3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

3. Comenta con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada.

Rúbrica Nombre del alumno:

Asignatura:

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Integral definida

Conoce y utiliza la notación sigma. Interpreta y calcula numéricamente el área bajo la curva.

Conoce y utiliza la notación sigma. En la mayoría de los casos interpreta y calcula numéricamente el área bajo la curva.

Conoce y utiliza la notación sigma. En algunos casos interpreta y calcula numéricamente el área bajo la curva.

No conoce ni utiliza la notación sigma. No interpreta ni calcula numéricamente el área bajo la curva.

Deficiente (1)

Puntos

Calcula sumas de Riemann. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. Calcula el volumen de sólidos de revolución.

Calcula sumas de Riemann. En la mayoría de los casos aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. En la mayoría de los casos calcula el volumen de sólidos de revolución.

Calcula sumas de Riemann. En algunos casos aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. En algunos casos calcula el volumen de sólidos de revolución.

No calcula sumas de Riemann. No aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. No calcula el volumen de sólidos de revolución.

Total

Número de bloques del libro

Nombre del evaluador:

12. Representa las condiciones del problema y establece las relaciones entre los datos.

Fecha de evaluación:

13. Expresa algebraicamente las condiciones del problema y calcula el área delimitada. 14. Representa las condiciones del problema.

15. Establece las relaciones entre los datos y lo expresa algebraicamente.

16. Utiliza el teorema fundamental del cálculo integral y calcula el o los valores que resuelven el problema.

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? BLOQUE

4

¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?



¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Lista de cotejo

Monitoreo de evidencias

Núm.

Título

Rúbrica

Comentarios del profesor(a):

Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución de problemas del bloque 4. Fecha de elaboración

1

Nombre del alumno:

Nombre del alumno:

2 3

cumple sí no

Criterios

4

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

Presentación

5

70

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

17

Rúbrica

Criterios

Observaciones

Excelente (4) Resuelve problemas de aplicación de la integral

definida en el campo Problemas de de las ciencias exactas, aplicación de la naturales, sociales y integral definida administrativas.

Bueno (3) En la mayoría de los casos resuelve problemas de aplicación de la integral definida en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas.

Satisfactorio (2) En algunos casos resuelve problemas de aplicación de la integral definida en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas.

Deficiente (1)

Puntos

No resuelve problemas de aplicación de la integral definida en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

Portafolio de evidencias

11. Identifica y reconoce los elementos del problema.

94

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Criterios

Área bajo la curva

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Es una poderosa herramienta de análisis que te po sibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un proce dimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.

Aspecto a evaluar

1 3 5 7 9 11 13 2. Obtén los elementos de la serie:

4. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para calcu lar el área de la superficie limitada por la parábola y2 x y la recta y 2x.

Dominio del tema


7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

Desarrollo

•

Asegúrate de haber adquirido los conocimientos que se abordaron en este bloque. Para ello, realiza lo que se pide a continuación.


6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Conclusiones

Apellido paterno __________________ Apellido materno __________________ Nombre _______________ Grupo _____

Excelente (4) Resuelve problemas de aplicación de la integral

definida en el campo Problemas de de las ciencias exactas, aplicación de la naturales, sociales y integral definida administrativas.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.


Instrumentos de evaluación

Lista de cotejo

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.

Aspecto a evaluar

Total


6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.

Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Dominio del tema

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permi tirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas, otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Conclusiones

94

11. Identifica y reconoce los elementos del problema.

12. Representa las condiciones del problema y establece las relaciones entre los datos. 13. Expresa algebraicamente las condiciones del problema y calcula el área delimitada. 14. Representa las condiciones del problema.

15. Establece las relaciones entre los datos y lo expresa algebraicamente.

16. Utiliza el teorema fundamental del cálculo integral y calcula el o los valores que resuelven el problema.

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB. Nombre del evaluador: Fecha de evaluación:

95

Satisfactorio

En algunos casos resuelve problem aplicación de la in definida en el cam de las ciencias ex naturales, sociale administrativas.

Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

1


1.1 Diferencial de una función

1.2 Aproximación de variables 1.3 Estimación de errores


I nterpreta gráficamente el modelo matemático de fenómeno de su entorno y aproxima el comportamiento de su derivada a partir del cálculo de la diferencial.

n

A naliza el error obtenido mediante la aplicación de la diferencial para determinar la precisión en la medición de una magnitud y cómo afecta la confiabilidad de ésta en situaciones reales de su contexto.

n

E nfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar con aproximaciones y estimación de errores.

¿Qué sabes hacer ahora? Aplica la diferencial para resolver lo siguiente: 1. y = 3 x . 2. y =

1 . x –1 2

3. Obtén un valor aproximado de 3 128 .


4. E ncuentra el incremento de volumen de un cubo de dos metros de arista cuando ésta aumenta 0.005 m. 5. L a medida de la arista de un cubo es de un metro con un posible error de 0.001 m. Estima el máximo error posible al calcular su volumen con esta medida.

Calcula e interpreta aproximaciones de la derivada de modelos matemáticos relativos a diversas disciplinas, a partir de su representación gráfica y la determinación de su diferencial. Aplica la diferencial para determinar el error presente en el resultado de la medición de una magnitud en diferentes situaciones.

1 BLOQUE




Un alimento está envasado en un recipiente que tiene la forma de un cilindro circular recto. La altura del cilindro es el doble de su diámetro. Si la altura del cilindro es de 20 cm con un posible error de 0.02 cm, encuentra el error aproximado en la cantidad de mate rial utilizado para construir la superficie lateral del recipiente.



¿Qué tienes que hacer? n ¿Cuál es el valor que corresponde a la superficie lateral cuando

se toma la altura igual a 20 cm?

Que cada equipo represente las condiciones del problema. En re unión plenaria presenten los resultados y analicen y discutan las formas de resolver el problema.

n


n ¿Cuál

n

¿Cuál es el valor que corresponde a la superficie lateral cuando se toma la altura igual a 20.02 cm? es la diferencia entre los dos valores de la superficie lateral?

¿Cómo se puede determinar la superficie lateral del recipiente?

n ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la superficie lateral

n

Trabajo individual

datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

que se busca?

Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y rea lizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos técnicos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los

¿Cuál es el valor que se obtiene cuando se utiliza la diferencial de la expresión algebraica de la superficie lateral?

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación con respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


Producto a elaborar


Presentar un esquema que ilustre las condiciones del problema y el razonamiento para obtener la expresión algebraica que representa a la superficie lateral. Se debe incluir asimismo los cálculos para ob tener el valor que se pide.


Rúbrica de evaluación

Para calcular el valor que se pide se deben anexar los conceptos in vestigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 pun tos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta


¿Cómo sabes que lo hiciste bien? actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

Sugerencias de evidencias de aprendizaje n Determina

la diferencial de la expresión algebraica del área lateral de un cilindro recto.

n Determina el error aproximado en la cantidad de material uti

lizado.


La medida de la arista de un cubo es de 8.14 cm con un posible error de 0.005 cm. Estima el máximo error posible al calcular su volumen con esta medida.

1 BLOQUE





n

¿Cuál es el valor del volumen del cubo?


n

¿Cuál es el valor del volumen del cubo cuando se considera el posible error en la medida de la arista?

n

¿Cuál es la diferencia entre los dos valores calculados?

n

¿Cuál es el valor que se obtiene usando cuando se utiliza la diferencial de la expresión algebraica del volumen del cubo?

n

¿Cuál es el mayor error posible al calcular el volumen del cubo?

Cada equipo debe investigar: n

¿Cómo se puede determinar el volumen de un cubo?

n

¿Cómo se puede expresar algebraicamente el volumen de un cubo?

Trabajo individual Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y rea lizar los cálculos necesarios.

También es preciso realizar una confrontación de los datos obte nidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que pro cedan.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de los conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema.



Producto a elaborar


Presentar un esquema que ilustre las condiciones del problema y el razonamiento para obtener la expresión algebraica que representa el volumen del cubo. Se debe incluir asimismo los cálculos para ob tener el valor que se pide.


Para calcular el valor del máximo error posible que se pide se de ben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, és tos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, en el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

Sugerencias de evidencias de aprendizaje n

Determina la diferencial de la expresión algebraica del volu men de un cubo.

n

Determina el máximo error posible en el cálculo del volumen del cubo.


La diferencial 1.1 Diferencial de una función La diferencial de una función se define como el producto de la deri vada de la función por el incremento de la variable independiente.

Ejemplos 1. Para la función y = x 2. La diferencial de x 2 = 2x ∆x. 2. Para la función y = 2x 3. La diferencial de 2x 3 = 6x 2 ∆x. 3. Para la función y = 3x 2. La diferencial de 3x 2 = 6x ∆x. S i en este caso x = 2 y ∆x = 0.1, entonces el valor de la diferencial sería: diferencial de 3x 2 = 6x ∆x

= 6(2)(0.1)

= 1.2

Incluso, este ilustre matemático creó varias fórmulas para los volúmenes de las conocidas superficies de revolución, cilíndrica, cónica, esférica y coloidal, conocimientos que podemos apreciar en la actualidad en acciones tan comunes como la alfarería y el torneado industrial, en donde se moldean objetos con variadas superficies de revolución. En su tiempo su percepción en el estudio de las ciencias exactas no fue muy reconocido y adquirió notoriedad cuando otros estudiosos del tema lo dieron a conocer, como fue el caso de Isidoro de Mileto en el año 530 d. C. y Eutocio en el siglo vi. De hecho, aún después de la época del Renacimiento, varias ideas y pensamientos de Arquímedes fueron fundamentales para el desarrollo de esta etapa; finalmente, se sabe que para 1906 se dieron a conocer trabajos de Arquímedes no revelados hasta entones. Ese fue el caso específico del palimpsesto de Arquímedes, en donde el genio describió ideas concretas sobre el equilibrio de los planos, medida de un círculo, la esfera y el cilindro, espirales, además de las únicas copias conocidas sobre cuerpos flotantes, además del método de los teoremas Mecánicos y Stomachion. Se cuenta que la muerte de Arquímedes ocurrió entre los años de 214212 a. C., durante el sitio a su ciudad natal Siracusa, a manos de un soldado romano, quien lo asesinó a pesar de que había estrictas indicaciones del imperio por respetar su integridad.

Para tu reflexión

Arquímedes Arquímedes de Siracusa nació en el año 287 a. C., precisamente en Siracusa, Sicilia, dentro de la conocida Magna Grecia. Es considerado uno de los más grandes científicos de la antigüedad clásica, al haber sido creador de grandes fundamentos en los avances de la física, tales como la hidrostática y la estática, aunado a la explicación del principio de la palanca. Entre sus creaciones podemos contar con varios inventos y maquinaria, incluso las conocidas como armas de asedio, y la herramienta que lleva su nombre, el tornillo de Arquímedes, máquina gravimétrica helicoidal cuya función es la de elevar agua, cereal o material excavado. Además de estas magnas creaciones, Arquímedes es reconocido por ser uno de los más grandes matemáticos de toda la historia, principalmente por usar el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola basado en el sumatorio de una serie infinita. Además, dio pauta a la aproximación precisa del número pi, lo cual significó un avance contundente en el estudio de las ciencias exactas. De hecho, fue el creador de la definición de la espiral aritmética que fue nombrada en su honor y que se define como el lugar geométrico que se mueve a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen a una velocidad angular constante.

1 BLOQUE


Notación: Para representar la diferencial de una función se utiliza la letra d colocada antes de la función.

Ejemplo:

Si la función es y = 4x3, la diferencial se denota como:

Sea

y = 4x 3 - 5x 2 + 3x - 2

dy = 12x2 ∆x que se lee “diferencial de y”.

f ′(x ) =

f ′′ (x ) =

f ′′′ (x ) =

d 3 y d 3f ( x ) = = 24 dx 3 dx 3

f ′′′′ (x ) =

d 4 y d 4f ( x ) = =0 dx 4 dx 4

Si se considera la variable independiente y la función de x, así: dx = D(x) ∆x = 1∆x = ∆x. Entonces, la diferencial de la variable independiente es igual a su incremento, es decir, dx = ∆x. Con base en lo anterior, para una función y = f (x), su diferencial se puede expresar como: dy = f ′(x)dx. Por lo que podemos decir que la diferencial de una función es igual al producto de la derivada de la función por la diferencial de la va riable independiente. Si se utiliza esta notación, las diferenciales de las funciones y = x2, y = 2x3, y = 3x2 quedan expresadas de la siguiente forma:

dy df ( x ) = = 12x 2 - 10x + 3 dx dx

d 2 y d 2f ( x ) = = 24x - 10 dx 2 dx 2

Interpretación geométrica de la diferencial

Para la función de y = x2.

y

Su diferencial es dy = D(x2)dx, es decir:

y = f(x)

dy = 2x dx.

Q

Para la función de y = 2x . 3

Su diferencial es dy = D(2x3)dx, o sea:

T

dy = 6x dx. 2

α

P

R

Para la función de y = 3x2. Su diferencial es dy = D(3x2)dx, por tanto:

α

dy = 6x dx.

x + ∆x

x

x

A partir de la expresión: dy = f ′(x)dx. Si se despeja la derivada, se obtiene: dy = f ′(x) dx que también se puede escribir así: dy f ′(x) = dx

En la figura anterior se representa la gráfica de la función y = f (x). La recta PT es la tangente a la curva en el punto P. El punto P tiene las coordenadas (x, y) que también se pueden ex presar en la forma (x, f (x)), de manera que las coordenadas de Q son (x + ∆x, f (x + ∆x)). La distancia dirigida PR es ∆x = dx y la distancia dirigida RQ es ∆y. En el triángulo rectángulo PRT, sabemos que:

donde la derivada se expresa como el cociente de la diferencial de y entre la diferencial de x. Esta forma de expresar la derivada de una función se conoce como notación de Leibniz, con la que se pueden representar las derivadas sucesivas de una función.

tan a =

RT PR

de donde RT = PR tan a


y como PR = ∆x y tan a = f ′(x), entonces: RT = ∆x f ′(x). Anteriormente se estableció que dy = f ′(x)∆x, por tanto: RT = dy.

si x = 9, entonces:

=

Por tanto:

1 1 1 ⋅ = 2 9 6

1 f (8.7) ≅ 3 + (8.7 - 9) 6

Esto significa que la diferencial de una función en un punto corres ponde al incremento de la tangente a la curva en ese punto.

Mientras más cercano esté el punto Q del punto P, esto es, mientras más pequeño sea el incremento de x (∆x = dx) entonces la diferen cia entre ∆y - dy será cada vez más pequeña hasta el punto en que RT es aproximadamente igual a RQ.

1 ≅ 3 + (-0.3) 6

≅3-

≅ 2.95

En consecuencia, para algunos problemas, en lugar de tomar el in cremento de la función se utiliza su diferencial que es más fácil de calcular.

1 20

Nota: El signo ≅ se lee “es aproximadamente igual a”. El valor de 8.7 es:

1.2 Aproximación de variables En muchos problemas de orden práctico se requiere hallar el valor de f (c) de alguna función f (x) en un valor para el cual x = c. Para calcular el valor de f (c) se utiliza un valor de x próximo a c de manera que los valores f (x) y f ′(x) se puedan calcular con exac titud.

8.7 = 2.949576… El valor de 8.7 también se puede obtener si se utiliza la diferencial. Para la función y = x , con x = 9 como el valor más próximo a 8.7, que tiene raíz cuadrada exacta y ∆x = (8.7 - 9) = -0.3:

dy = Dx ( x )dx 1

Ejemplos: 1. Encuentra un valor aproximado de 8.7. Solución: Para encontrar un valor aproximado de f (c), donde f (x) = x y c = 8.7, se toma a 9 como el valor más próximo de 8.7, que tiene raíz cuadrada exacta: f (x ) = 9 = 3. La derivada de la función es:

f ′(x ) = Dx( x )

= Dx x 2

=

1 1 1 = ⋅ = 2 x 2 x

( ) 1

1

1 –2 x 2

=

1 –2 x dx 2

=

1 dx 2 x

=

dx 2 x

=

−0.3 2 9

=

–0.3 6

= -0.05

8.7 = 3 + (-0.05)

= 2.95

2. Encuentra un valor aproximado de 78. Solución: Un valor aproximado de f (c), donde f (x ) = x y c = 78 se puede obtener en la siguiente forma. Toma a 81 como el valor más próximo a 78, que tiene raíz cuadrada exacta: f (x ) = 81 = 9.

1 BLOQUE

Aplicas la diferencial en estimación de errores y aproximaciones de... Ejemplos:

La derivada de la función es: f ′(x ) = Dx ( x )

=

1 x 2

=

1 2 x

–

1. Encuentra el incremento de área del piso, que tiene la forma de un cuadrado, de una habitación que fue planeada para medir 4 metros por lado, pero que una vez construida su lado mide 4.003 metros.

1 2

Solución: El área del piso mide, para la habitación planeada:

Para el valor x = 81:

1 1 = = 2 81 2(9)

1 = 18

lado = l = 4 m

área = A = l 2 = (4 m)2 = 16 m2.

Para la habitación construida:

lado = l = 4.003 m

Por tanto:

área = A = l 2 = (4.003)2

f (78) ≅ 9 +

1 (78 - 81) 18

1 ≅9+ (-3) 18

≅9-

5 = 8 = 8.8333… 6

= 16.024009 m2.

La diferencia entre las dos áreas es: 16.024009 - 16 = 0.024009 m2. Por tanto, el incremento del área es de 0.024009 m2. Otra forma de obtener el incremento del área del piso consiste en utilizar la dife rencial.

1 6

Si la función que expresa el área es: y = x 2 entonces dy = 2x dx

El valor de 78 es: 78 = 8.831760… Otra forma de obtener el valor aproximado de diferencial.

78 es utilizando la

Para la función y = x , con x = 81 como el valor más próximo a 78, que tiene raíz cuadrada exacta y ∆x = 78 - 81 = -3. Dx = 78 - 81 = -3

dy =

dx –3 –3 1 = = = – = – 0.1666... 6 2 x 2 81 2(9) 78 = 9 - 0.1666… = 8.833…

como el lado (x ) del cuadrado mide 4 m y su incremento (∆x = dx ) mide 0.003 m:

dy = 2(4)(0.003) = 0.024 m2.

2. Encuentra el incremento de volumen de un cubo de 2 metros de arista cuando ésta aumenta en 0.002 m. Solución: Si la función que expresa el volumen es: y = x 3 entonces dy = 3x 2dx

1.3 Estimación de errores Otra aplicación de la diferencial tiene que ver con la determinación de errores. Los errores en el cálculo se dan a partir de pequeños errores en los datos. 10

como la arista del cubo mide 2 m y su incremento (∆x = dx ) mide 0.002 m:

dy = 3(2)2(0.002)

= 0.024 m3.


Para tu reflexión

Eudoxo (c. 408 a. C.-c. 355 a. C.) Astrónomo y matemático griego, quien analizó la sección áurea de un segmento, que significa hallar el punto C de forma que el cociente AB/AC sea igual al número de oro. Eudoxo, quien nació en la ciudad de Cnido, fue un ferviente discípulo de Platón, de quien estudió la escuela filosófica, aunque se desconoce la verdadera relación entre ambos, pues se manejó cierto recelo por parte de Platón debido a la popularidad que Eudoxo tuvo en aquellos tiempos. Esta experiencia lo llevó a crear una academia en su natal Grecia, específicamente en Cícico, sobre Filosofía, Matemáticas y Astronomía, además de generar su primera obra denominada Fenómenos, en donde describe con firmeza la salida y ocultación de los astros; incluso, en su época, fue el primero de los astrónomos en definir que el año contaba con una duración mayor de 6 horas a los 365 días ya establecidos. Eudoxo determinó el sistema de esferas concéntricas y dedujo la redondez de la Tierra y fue uno de los primeros en exponer un modelo planetario derivado de un esquema matemático, por ello se le consideró como el padre de la astronomía matemática. Asimismo, demostró los primeros teoremas de semejanza y proporcionalidad, además del método exhaustivo, pues con este último abordó el problema del cálculo de áreas y volúmenes, un caso específico de ello fue el de la pirámide, del cual expresó que el volumen es proporcional a un tercio de un prisma que cuente con la misma base. Otro ejemplo fue el expuesto al definir que un cono es la tercera parte de un cilindro que cuente con la misma base y altura; estos teoremas fueron demostrados mediante el método de exhaución o agotamiento, antecedente directo del cálculo integral, que es un procedimiento geométrico-matemático de aproximación a un resultado, con el cual aumenta el grado de precisión a medida que el cálculo avanza. Este método fue utilizado de manera magistral por Arquímedes y en nuestros tiempos, ambos fueron superados sofisticadamente y en rigor matemático por Leibniz e Isaac Newton. Finalmente debe mencionarse que existe una curva algebraica con su nombre, Kampyle de Eudoxo.

11

1 BLOQUE


Actividad de aprendizaje Calcula la diferencial de las funciones siguientes:

12. H alla un valor aproximado del cambio de volumen de un cubo de hielo de 4 cm de arista cuando ésta disminuye a 3.95.

1. y = 4x 3 2. y = 3x 2 - 5x + 2 3. y = 3 x 4. y =

1 x2 – 1

5. y = 1– 4 x Encuentra un valor aproximado de las cantidades siguientes. Expresa la respuesta con tres cifras significativas. 6. 3 127

13. U n tanque tiene la forma de un cilindro circular recto y la altura es el doble de su diámetro. Si la superficie interior se va a cubrir con una capa de pintura de 2 milímetros, encuentra la cantidad de pintura que se requiere.

7. 140 8.

1 35

9. 3 9 10. 3 26 11. E ncuentra un valor aproximado del aumento de volumen de una esfera de 20 cm de diámetro cuando el radio se incrementa 3 milímetros.

14. L a medida de la arista de un cubo es de 5 m con un posible error de 0.02 cm. Estima el máximo error posible al calcular su área. 15. H alla el volumen aproximado de un tubo que mide 10 cm de largo si su radio interno y externo es de 0.63 y 0.65 cm, respectivamente.

12


Instrumentos de evaluación Apellido paterno __________________ Apellido materno __________________ Nombre _______________ Grupo _____ Asegúrate de haber adquirido los conocimientos que se abordaron en este bloque. Para ello, realiza lo que se pide a continuación. 4. Un cono tiene de altura el triple de su radio. Si la medida del radio tiene un posible error de 0.03 cm, estima el máximo error posible al calcular el volumen del cono.

Aplica la diferencial para resolver lo siguiente: 1. y = 1 – 2 x

5. En el problema anterior encuentra el error aproximado al calcular el área de la base del cono.

1– x 2. y = 2 x 3. Obtén el valor aproximado de 229.

Rúbrica

Nombre del alumno:

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Conoce la definición de la diferencial de una función. En la mayoría de los casos utiliza la notación de diferencial. Interpreta geométricamente la diferencial de una función.

Conoce la definición de la diferencial de una función. En algunos casos utiliza la notación de diferencial.

No conoce la definición de la diferencial de una función. No utiliza la notación de diferencial. No interpreta geométricamente la diferencial de una función.

Obtiene un valor aproximado de una función aplicando la definición de diferencial. Obtiene un valor aproximado de una función utilizando la diferencial.

En la mayoría de los casos obtiene un valor aproximado de una función aplicando la definición de diferencial. En la mayoría de los casos obtiene un valor aproximado de una función utilizando la diferencial.

En algunos casos obtiene un valor aproximado de una función aplicando la definición de diferencial. En algunos casos obtiene un valor aproximado de una función utilizando la diferencial.

No obtiene un valor aproximado de una función aplicando la definición de diferencial. No obtiene un valor aproximado de una función utilizando la diferencial.

Determina errores mediante la aplicación de la diferencial.

En la mayoría de los casos determina errores mediante la aplicación de la diferencial.

En algunos casos determina errores mediante la aplicación de la diferencial.

No determina errores mediante la aplicación de la diferencial.

Conoce la definición de la diferencial de una Diferencial de una función. Utiliza la notación de diferencial. Interpreta función geométricamente la diferencial de una función.

Aspecto a evaluar

Aproximación de variables

Estimación de errores

Puntos

Total

13

1 BLOQUE


Rúbrica

Rúbrica para evaluar la Situación didáctica 1 del Bloque 1. Nombre del alumno:

Criterios

Excelente (4) Participa tanto en forma

Bueno (3) Participa tanto en forma

Trabajo individual como en equipo. individual como en equipo. Aporta un conjunto de ideas individual y Aporta ideas para plantear y en equipo resolver la situación didáctica. adecuadas para plantear y

Aspecto a evaluar

resolver la situación didáctica.

Secuencia didáctica


Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta algunas ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

No participa en forma individual ni en equipo. No aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis y discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis o la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra parcialmente en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

No presenta resultados en plenaria. No promueve el análisis ni la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. No se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para encontrar el error aproximado.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar el error aproximado.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar el error aproximado.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar el error aproximado.

Total

Rúbrica


Criterios




Aspecto a evaluar




Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos







Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para encontrar la estimación del error.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar la estimación del error.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar la estimación del error.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar la estimación del error.

Total

14


En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te posi bilitará anotar y recopilar tus experiencias de manera ordenada. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite.

Registro anecdótico Fecha:

Tarea:

Docente:

Registro de actividades

Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos

15

1 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la aplicación de la diferencial para aproximaciones o estimar errores del bloque 1. Nombre del alumno: Criterios

Presentación

1. C uenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. L as gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que puedan apreciarse con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. S e presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente. 8. S e hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. S e hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. L a investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

16

11. C omprende la definición de la diferencial de una función y utiliza la notación correspondiente. 12. Interpreta geométricamente la diferencial de una función. 13. Aplica la diferencial para determinar aproximaciones o estimar errores. 14. Aplica la definición de diferencial y utiliza la notación. 15. Representa e interpreta gráficamente la diferencial de una función. 16. Utiliza y aplica la diferencial para determinar aproximaciones o estimar errores.

cumple sí no

Observaciones



El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: • Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparati vos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso. • No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje. • Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. C omenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

1. R ealiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. H az un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

2. S elecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello. 3. T odas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

3. Comenta con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura:

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias

Núm.

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor(a):

1 2 3 4 5

17

1 BLOQUE


Lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una ✗, en cada espacio en donde se presente el atributo. Estructura

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna

5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido

8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias

13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad

16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total

18


Escala de clasificación

La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011) Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre presenta el atributo. Contenido

1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.

0

1

2

3

2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.

0

1

2

3

3. La información es concisa.

0

1

2

3

4. Relaciona los conceptos o argumentos.

0

1

2

3

5. Presenta transiciones claras entre ideas.

0

1

2

3

6. Presenta una introducción y conclusión.

0

1

2

3

7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.

0

1

2

3

8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.

0

1

2

3

9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.

0

1

2

3

10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia.

0

1

2

3

11. Se apoya en diversos materiales.

0

1

2

3

12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.

0

1

2

3

13. Muestra constante contacto visual.

0

1

2

3

14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.

0

1

2

3

Coherencia y organización

Aportaciones propias

Material didáctico

Habilidades expositivas

Total Puntaje total

19

Determinas la primitiva de una función e integras funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

2


2.1 Función primitiva 2.2 Integral definida

¿Qué sabes hacer ahora?


R esuelve problemas que involucren la obtención de la primitiva de una función y la interpreta en situaciones reales de su entorno.

n

D esarrolla la habilidad en el manejo de técnicas de integración en un contexto teórico.

n

V alora el trabajo en equipo como una alternativa para mejorar sus habilidades operacionales en el cálculo de integrales indefinidas.

Resuelve las integrales siguientes: 1.

∫ 3 xex

5x2

dx

∫

2. sen (3 x + 2) dx

∫

3. tan–1 x dx


∫

4. e x sen x dx 5.

∫

x 2 + 5 dx

Determina la primitiva de una función como antecedente de la integral en el campo de las Ciencias Exactas, Naturales, Sociales y Administrativas. Aplica el cálculo de las primitivas a problemas de su entorno referentes al ámbito de las ciencias. Obtiene integrales indefinidas de funciones algebraicas y trascendentes de manera inmediata y mediante el uso de técnicas de integración, en un contexto teórico como herramienta en la resolución de problemas reales.

2 BLOQUE




¿Cómo lo resolverías? Resuelve la siguiente integral:

∫

x 4 – 8x 2 + 5x + 1 dx x2 – 4



¿Qué tienes que hacer? n ¿Cómo se hace para descomponer la fracción propia resultan-

te en sus fracciones parciales?


n ¿Qué


n ¿Qué


n ¿Qué

n ¿Qué tipo de función es el integrando? n ¿Cómo

ocurre si el denominador es el producto de dos raíces reales y distintas? ocurre si el denominador es el producto de dos raíces reales e iguales? otros métodos existen para obtener rápidamente las fracciones parciales?

se puede reescribir el integrando como una fracción

propia?

Trabajo individual Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una

confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.


Producto a elaborar


Presentar el procedimiento en el que se ilustren los pasos que se siguieron para resolver la integral.

22



Para calcular la integral que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Sugerencias de evidencias de aprendizaje n Identifica

la función y, si es necesario, la transforma en una fracción propia.

n Descompone el polinomio del denominador en sus factores. n Realiza

las transformaciones necesarias en términos de un conjunto de integrales más simples de resolver.

n Resuelve la integral.

Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.



¿Cómo lo resolverías? Resuelve la siguiente integral:

∫

x ln x dx

23

2 BLOQUE





n


A partir de la derivada de un producto, ¿cómo se puede resolver la integral?

n

¿Cómo identificar las funciones que aparecen en el integrando?


n

¿Cómo hacer los cambios de variable?

n

¿Cómo reescribir la integral?


A partir de lo anterior:

n

¿Cuál es el método de integración aplicable para resolverla?

n

¿Se puede resolver haciendo únicamente un cambio de variable?

¿Puedes obtener la integral de manera directa o debes aplicar de nuevo el método?

Trabajo individual Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de los conceptos teóricos utilizados en la resolución del

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.


Producto a elaborar


Presentar un esquema que ilustre las condiciones del problema, el razonamiento para obtener la expresión algebraica que representa. Se deben incluir asimismo los cálculos para obtener la integral que se pide.


Para calcular la integral que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, en el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 24

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Sugerencias de evidencias de aprendizaje n

Analiza la integral y aplica el método de integración adecuado.

n

Identifica claramente las funciones que componen el integrando.

n

Es capaz de reescribir el integrando.

n

Obtiene la integral que se solicita.


2.1 Función primitiva Dadas las funciones

De esta manera, si se busca una f (x) que tiene como diferencial a f ′(x)dx, entonces:

f ′(x)dx

f (x)

x dx

1 2 ⋅x + c 2

x2 dx

1 3 ⋅x + c 3

D(x2 - 7) = 2x

x3 dx

1 4 ⋅x + c 4

D(x2 + 5) = 2x

...

1. f (x) = x

2

2. f (x) = x2 - 7 3. f (x) = x2 + 5 Sus respectivas derivadas son: D(x2) = 2x

Como puedes observar, las funciones 1, 2 y 3 tienen como derivada 2x. De esta manera, 2x es una función primitiva de f (x) = x2, pero también lo es de x2 - 7 y x2 + 5; es por ello que se dice una primitiva y no la primitiva, pues esta última expresión supondría que es única, lo cual no ocurre en estos y otros ejemplos semejantes.

en forma general

es decir

∫

1

∫ x dx = n + 1 ⋅ x n

Al realizar el proceso inverso 2x = 2 ⋅

1 ⋅ x n+1 + c n +1

xn dx

x2 + c = x2 + c 2

n+1

+c

∫

donde c es una constante.

Se llama integral indefinida de f (x) dx al conjunto de todas las funciones primitivas de una función f (x).

2.2 Integral indefinida

La integración indefinida es la operación que consiste en hallar integrales indefinidas. La integración indefinida es la operación inversa de la derivación o diferenciación.

Tomando en cuenta los ejemplos anteriores, de una manera general, se puede expresar:

Ejemplos:

∫ f ′(x)dx = f (x) + c

La derivada de una integral es el integrando:

∫

a la que se le llama integral indefinida.

1. D 2x dx = 2x

Mientras no se determina su valor a c se le llama constante de integración.

Comprobación:

La expresión que se encuentra a la derecha del signo ∫ se llama integrando. Como la integración y la derivación (diferenciación) son operaciones inversas, para comprobar una integración se hace la diferenciación del resultado y se debe obtener el integrando.

La integral de 2x dx es x 2 + C y la derivada de x 2 + C es 2x.

∫

2. D 3x 2dx = 3x 2 Comprobación: La integral de 3x 2dx es x 3 + C y la derivada de x 3 + C es 3x 2.

25

2 BLOQUE


Para comprobar el resultado de una integración indefinida se busca la derivada del resultado y se debe obtener el integrando.

∫u

2

7.

∫u

2

8.

∫

a -u

9.

∫

u ±a

10.

∫ sen u du = - cos u

11.

∫ cos u du = sen u

12.

∫ tg u du = - log cos u

13.

∫ ctg u du = log sen u

14.

∫ sec u du = log (sec u + tg u) = log tg  4 + 2 

15.

∫ csc u du = log (csc u + ctg u) = log tg 2

16.

∫ sec

2

u du = tg u

Que es el integrando.

17.

∫ csc

2

u du = - ctg u

Reglas básicas de integración

18.

∫ sec u tg u du = sec u

Ejemplo:

∫ 3x dx = x + C 2

3

Porque: D(x 3 + C ) = 3x 2 Que es el integrando.

La integral de la diferencial de una función es igual a la función más una constante:

du 1 u = arc tg 2 a a +a

6.

Ejemplos:

∫

1. d (sen x ) = sen x + C Comprobación: d (sen x ) = cos x dx;

∫ cos x dx = sen x + C.

∫

2. dx = x + C Porque D(x + C ) = 1

du 1 u-a 1 a-u = log o log 2 2a u+a 2a a+u +a du 2

2

du 2

2

= arc sen

u a

(

= log u + u 2 ± a 2

n

∫ c du = c ∫ du

19.

∫ csc u ctg u du = - csc u

2.

∫ (du + dv + dw + ... ) = ∫ du + ∫ dv + ∫ dw + ...

20.

∫e

3.

∫ u dv = uv - ∫ v du

21.

∫

4.

∫

5. 26

du

∫u

u n+1 , (n ≠ -1) n +1

= log u

u

u

1.

u n du =

)

u

du = e u

a u du =

au log a

Métodos de integración A continuación se trata lo relacionado con algunos métodos de integración que se utilizan de manera frecuente.


Integración por cambio de variable En ocasiones, el cálculo de una integral complicada requiere de un cambio en su variable independiente para transformarla en una integral más sencilla de realizar, en donde podamos identificar rápidamente alguna regla de integración (antiderivada) que nos permita resolverla. Imagina que debes resolver la siguiente integral:

∫ 5xe

3x2

Si consideramos que u es una función u = g(x), entonces el diferencial es du = g′(x)dx; por tanto si reescribimos (1) en términos de g(x) tenemos: F ( g ( x )) =

∫ f ( g (x)) g′(x)dx + C

Observa que la nueva expresión es consistente con la regla de la cadena para derivadas. Esto queda plasmado de manera formal como se muestra a continuación.

dx .

Observa que no existe una regla de integración directa que te permita resolver la integral, por esta razón debemos realizar una sustitución o cambio de variable.

Si u = g(x) es una función derivable en un intervalo donde la función f es continua, entonces:

∫ f ( g (x)) g′(x)dx = ∫ f (u)du .

Definamos a la función u como: u = 3x2 por tanto su derivada es:

Ejemplos:

du du = 6 xdx Aldespejar: = xdx 6

1. Obtén la siguiente integral:

entonces la integral se reescribe como:

∫ ( 2x + 3 ) dx . 2

5 u e du 6

∫

Solución:

al resolver tenemos que:

Elegimos:

5 u e +C 6

u = 2x + 3 Entonces su derivada es:

al recordar que u = 3x2, entonces:

∫ 5xe

3x2

du = 2 dx al sustituir en la integral original:

5 2 dx = e 3 x + C 6

Para comprobar el resultado basta con derivar la última expresión obtenida:

∫

al cambiar u por 2x + 3, el resultado da:

5 2  Dx  e 3 x  =  6

= 5e

2

x2 + x

∫ ( 4 − 3x

3x2

∫ f (u)du + C

3

+ C.

2. Obtén la siguiente integral: 2

− 2 x 3 )4

dx

Solución:

De forma general, decimos que si F es una antiderivada de f, entonces es claro que: F (u ) =

1

∫ ( 2x + 3 ) dx = 6 ( 2x + 3 )

5 2 = e 3 x (6 x ) 6

1 2 u3 u = +C 2 6

(1)

Elegimos:

u = 4 - 3x2 - 2x3

du = (-6x2 - 6x)dx

27

2 BLOQUE


al sustituir: −

1 6

1 1  = − − 3  6  3u 

du

∫u

4

=

1

1 2

1 3

18( 2 x + 3 x 2 − 4 )3

= + C.

2

= ( 4 + 3 x 3 )5 dx .

∫x

Proponemos: 3

u = 4 + 3x

6 + x dx .

En este caso la elección más conveniente de u es el argumento del radical, de esta forma:

du = 9x 2 dx ∴

u = 6 + x ⇒ x = u − 6

du = x 2 dx 9

y du = dx

al sustituir en la integral original:

al sustituir tenemos que:

1 5 u du 9

∫

=

al resolver:   +C 

=

1 6 = u +C 54

recordemos que u = 4 + 3x 3:


=

La selección evidente de u es el argumento de la función coseno, de esta forma: u = x 2 y du = 2xdx

2

u du

∫ (u

5 2

)

3

− 12u 2 + 36 u du

al aplicar la integral término a término:

∫

5

∫

3

= u 2du − 12 u 2 du + 36

∫

u du

al resolver: 7

x cos( x 2 )dx .

Solución:

∫ (u − 6 )

al realizar las operaciones algebraicas pertinentes tenemos:

1 = ( 4 + 3 x 3 )6 + C . 54

du = xdx 2

2

Solución:

su derivada es:

∫

1 sen( x 2 ) + C 2

5. Obtén la integral:

Solución:

1 u6  9 6

1 sen u + C 2

recordemos que u = x 2, entonces:


∫x

∫ cos u du

entonces:

18u 3

al cambiar u por el polinomio original: =−

28

al sustituir en la integral original tenemos que:

=

5

3

2 2 24 2 u − u + 24u 2 + C 7 5

sustituimos u = 6 + x, entonces: 7

=

5

3

2 24 ( 6 + x ) 2 − ( 6 + x ) 2 + 24( 6 + x ) 2 + C 7 5

al factorizar: 3

=

2 ( 6 + x ) 2 ( 5 x 2 − 24 x + 96 ) + C . 35


Para tu reflexión

Bernard Johann Bolzano (1781-1848) Nacido en Praga, actual República Checa, estudiante de la Facultad de Filosofía de Praga fue el autor del Teorema de Bolzano o del valor intermedio, que habla sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. De manera intuitiva, el resultado de este principio afirma que “si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo”. Este precepto fue presentado originalmente por Bolzano en el año 1817 y su visión era la de definir una noción general de la continuidad y presentar una prueba de estas definiciones. En el caso del Teorema de Bolzano-Weierstrass o de la subsucesión convergente y que caracteriza los conjuntos en secuencia compacta, éste es “un resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo dimensionalmente finito”. Dicho principio define que cada sucesión acotada en espacio euclídeo dimensionalmente finito tiene una subsucesión convergente. Una formulación equivalente es que un subconjunto de espacio euclídeo dimensionalmente finito es secuencialmente compacto, si y sólo si es cerrado y acotado. De acuerdo con sus conocimientos en matemáticas, Bolzano publicó tres libros Beiträge zu einer begrüdeteren Darstellung der Mathematik, en 1810: para posteriormente entregar segunda y terceras partes de esta serie que contienen un intento de impostación del cálculo infinitesimal que no recurre al concepto de infinitesimal. Para 1817, Bolzano regresa a la entrega de obras y presenta Wissenschaftslehre, con la única finalidad de elaborar una teoría del conocimiento y de la ciencia completa, para finalmente editar Grössenlehre, obra en la que intentó dar una interpretación a la matemática fundamentada en bases puramente lógicas, aunque sólo fue una parte del concepto que fue publicado en su totalidad después de su muerte, por algunos de sus alumnos que retomaron estos principios matemáticos.

29

2 BLOQUE

Actividad de aprendizaje Calcula las siguientes integrales: 1.

∫

3.

∫ ( 3x

4.

∫x

6. 7.

4

2

Durante el proceso de integración encontrarás funciones que no tienen la misma forma o aspecto de las reglas de integración directa; por esta razón se crearon técnicas para calcular integrales de funciones más complejas.

− 1)e x

3

−x

dx

Dx  f ( x ) g ( x )  = f ( x ) g ′( x ) + g ( x ) f ′( x )

cos ( x 5 ) dx

al despejar:

ex

x

+1

dx

2

f ( x ) g ′( x ) = Dx  f ( x ) g ( x )  - g ( x ) f ′( x ) .

Si aplicas la integral a cada miembro de la igualdad, obtienes:

4 dx 1 + 6x

∫ sec

Una de las técnicas de integración más utilizada es la integración por partes. Puedes obtener el método a partir de la regla de integración de un producto de funciones. Si f y g son funciones derivables, sabes que:

1 + ex

∫e ∫

x +1

dx

2.

5.

dx

∫ 1+

Integración por partes

( 4 − 6x ) dx

∫ f (x) g′(x)dx = ∫ Dx  f (x) g (x)  dx - ∫ g (x) f ′(x)dx

          


Obserrva que aplicamos la integral a una derivaada

8.

∫ sen( 4x + 1)dx

entonces:

9.

∫x

2

x 3 + 1 dx

10.

∫ 2x

x 2 − 1 dx

A la expresión anterior se le conoce como método de integración por partes. Una forma más sencilla de expresarla es considerando a:

11.

12.

13.

14.

15.

30

x2 + x

∫ ( 4 − 3x 1



∫  t + 1 ∫ (z

2

−3

z 2

+ 1)3

tan ( z )

∫ cos

2

(z )

dz

∫ z +e

z

− 2 x 3 )4

∫ f (x) g′(x)dx = f (x) g (x) - g (x) f ′(x)dx

(2)

u = f (x) y v = g(x)

dx

Por tanto sus derivadas son:  1  2  dt t dz

du = f ′(x) dx y dv = g′(x)dx. Entonces puedes reescribir el método de integración por partes de la siguiente manera:

∫ u dv = uv - ∫ v du

dz

∫

observa que estamos expresando la integral u dv en términos de v du ; esto significa que si eliges adecuadamente a u y dv, podrás evaluar fácilmente la segunda integral.

∫


Ejemplos: u=

∫

1. Evalúa x ln x dx . Solución: El primer paso para calcular la integral es identificar u y v de tal forma que puedas integrar utilizando las reglas básicas.

  

∫

x ln x dx u

du =

1 dx v = x

∫ x dx

=

entonces: x2 x ln x dx = ln x − 2

∫

2se s e s 2 s + − e ds 9 3 9

=

2se s e s 2e s 2se s e s + − = + +C 9 3 9 9 9

2 3x e 3x xe + +C 3 9

x 2

∫

x dx 2

al factorizar: 1 3x e ( 6 x + 1) + C . 9 El método de integración por partes también te ayuda a calcular integrales que contienen funciones trigonométricas.

factorizamos, por tanto: 1

2

∫

sustituimos s = 3x:

x x2 ln x − +C 2 4

∫ x ln x dx = 4 x

s

=

2

x2 1 x2 dx = ln x − 2 x 2

2

∫ 3 e ds

( 2 ln x − 1) + C

∫

3. Obtén la integral de x sen x dx . Solución:


∫ ( 2x + 1)e

3x

Solución: Nota que primero debemos efectuar un cambio de variable para obtener la integral; proponemos:

s = 3x

ds = 3dx

∫ x sen x dx

dx .

  

=

∫

∫

2

2 ds v = e s ds = e s 3

dv

u = ln x dv = xdx

2s + 1 dv = e s ds 3

 1  1 s  2s 1  2e s s e  + 1 ds =  + es  −  3  3  3 3 3

Así:

∫

du =

u

 1 s  2s e  + 1 ds 3   3

∫

dv

u = x dv = sen x dx du = dx v =

∫ sen x dx = − cos x

entonces:

Entonces la integral se reescribe como:

∫ x sen x dx = − x cos x − ∫ − cos x dx

= − x cos x + sen x + C .

Observa que ahora podemos integrar por partes, proponemos:

 1 s  2s e  + 1 du 3  3  ↓ u dv

∫

      

    


∫x

2

sen ( 3 x ) dx .

31

2 BLOQUE


Solución:

al integrar por partes proponemos:

Primero debes hacer un cambio de variable:

s = 3x

ds = 3dx

u = ln s dv = ds

du =

Entonces la integral se reescribe como:

−s ln s +

1 s 2 sen s ds 27

∫

u = s 2

∫ sen s ds = − cos s

al integrar por partes:

1 1 2 s 2 sen s ds = − s 2 cos s + s cos s ds 27 27 27

∫

        

∫

Observaa que también debe integrarse por partes

ahora proponemos:

du = ds v =

∫ cos s ds = sen s

al integrar por partes: 1 1 2 2 s 2 sen s ds = − s 2 cos s + s sen s − sen s ds 27 27 27 27

∫

∫

=−

1 2 2s 2 s cos s + sen s − cos s + C 27 27 27

al sustituir: s = 3x

∫x

2

1 2 2 sen ( 3 x ) dx = − x 2 cos ( 3 x ) + x sen ( 3 x ) + cos ( 3x ) + C . 3 9 27

5. Obtén la integral de:

∫ sen x ln (cos x ) dx . Solución: Observa que debemos efectuar un cambio de variable, proponemos:

s = cos x ds = -sen x dx

al reescribir de la integral:

∫

- ln s ds

32

Para tu reflexión

Karl Wilhelm Weierstrass (1815-1897) Uno de los matemáticos más deslumbrantes de Alemania, nacido en la comunidad de Ostenfelde, quien estudió en la Universidad de Münster, para después dedicarse a dar clases como profesor de Cátedra en la Universidad de Berlín, en donde tuvo bajo su tutela a varios genios de la época, como Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing Leo Königsberger Carl Runge y Sofía Kovalévskaya.

u = s dv = cos s ds

s

∫ s ds = s − s ln s + C

∫ sen x ln(cos x )dx = cos x − cos x ln(cos x ) + C

dv = sen s ds

du = 2s ds v =

∫

al sustituir:

proponemos:

ds v = ds = s s

Debido a sus grandes definiciones a los principios de Continuidad, Derivada de una Función y Límite, y que éstas se mantienen vigentes


en la actualidad, Weierstrass fue definido como el Padre del Análisis Moderno. Dentro de esta gran contribución al mundo de las matemáticas, Weierstrass desarrolló un conjunto de teoremas que no habían sido demostrados; tal es el caso del Teorema del Valor Medio de Lagrange para el Cálculo Diferencial o también conocido como Teorema de los incrementos finitos, que define como una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Asimismo, presentó una interpretación personal y mejora al Teorema de Bolzano, que a la postre quedaría como Bolzano-Weierstrass y que se dicta como el resultado fundamental referente a la convergencia en un espacio euclídeo dimensionalmente finito. Aparte, también llevo a cabo la demostración del Teorema de HeineBorel, en que se establecen condiciones para que un subconjunto sea compacto: es necesario hacer la distinción efectuada por el propio Weierstrass, pues cuando se refiere al caso particular de la recta real, recibe la definición de Heine-Borel, pues en algún otro caso, es frecuente llamarlo Teorema de Borel-Lebesgue. Ahora bien, como parte de sus aportaciones científicas y del pensamiento, se enfocó en el campo de la convergencia en series al igual que la teoría de funciones periódicas y funciones elítpticas. Sin embargo, lo que resalta en estos principios es su desarrollo al cálculo de variaciones, originalmente planteado por Johann Bernoulli y que es considerado como un problema matemático que consiste en buscar máximos y mínimos, expresamente definidos como extremos relativos de funcionales continuos sobre un espacio funcional.


∫ sen (ln ( x )) dx

2.

∫ x arc sen ( x ∫

(ln t ) dt t

4.

∫

x 2 sen h dx

∫

sen 2x

6.

∫x

8.

∫ arc cot ( 4t ) dt

9.

∫ x sen

10.

∫ x cot x csc x dx

2

cos 2 x dx

−1

x dx

∫

11. e 2 x cos 3 x dx 12.

∫ sen ( ∫

13. e

4x

x ) dx dx

14.

∫ x 6 dx

15.

∫ ( 4 x + 2 )e

x

3x

dx

Integración de potencias trigonométricas Las integrales trigonométricas están asociadas al uso de operaciones algebraicas sobre funciones trigonométricas conocidas como identidades (trigonométricas); en esta sección aprenderás a aplicar estas identidades para evaluar integrales que tienen como argumento productos de potencias de funciones trigonométricas.

) dx

Potencias de seno y coseno

2

3.

5.

2

7.

ex

∫

I. Cuando necesitamos evaluar una integral sen n x dx o bien cos n x dx , donde n es un entero positivo impar, debemos recurrir a la identidad:

∫

sen2 x + cos2 x = 1 dx

∫ sen x ln (cos x ) dx

de la siguiente manera: 1. Separamos al factor senn x en dos factores en donde uno tendrá una potencia par y el otro una potencia 1. senn x dx = (senn - 1 x)(sen x)dx. 33

2 BLOQUE


Posteriormente debemos expresar al factor (senn -1 x) como una potencia de sen2 x de la siguiente manera:

aplicamos la identidad correspondiente para sen2 x de tal forma que:

n-1 = (sen 2 x ) 2 (sen x ) dx

 1 - cos 2 x  2 =  dx  2

n

finalmente evaluamos la integral.

sustituimos: sen2 x = 1 - cos2 x

2. Cuando el factor es cosn x dx lo reescribimos como una potencia de cos2 x:

entonces: = (1 - cos 2 x )

n -1 2 ( sen x dx )

n

cos n x dx = (cos 2 x ) 2 dx

finalmente debemos hacer un cambio de variable u = cos x e integrar.

aplicamos la identidad correspondiente para cos2 x de tal forma que:

2. Cuando el factor es cosn x dx debemos proceder de forma similar separándola de la siguiente manera:

 1 + cos 2 x  2 =  dx .  2

n-1

cos x dx = (cos n

x)(cos x)dx

observa que al ser n un número impar, estamos separando al factor en una potencia par por una potencia 1, lo cual es consistente con las reglas de los exponentes.

n

3. Cuando tenemos un factor compuesto de la forma senn x cosm x, donde n y m son enteros positivos pares, reescribimos los factores como potencias de sen2 x y cos2 x:

Ahora hay que expresar al factor (cosn - 1 x) como potencia de cos2 x de la siguiente forma:

n

m

sen n x cos m x dx = (sen 2 x ) 2 (cos 2 x ) 2 dx

n-1

n

= (cos 2 x ) 2 (cos x ) dx

sustituimos: cos2 x = 1 - sen2 x

m

 1 - cos 2 x  2  1 + cos 2 x  2 =    dx  2 2

ahora lo que tenemos que hacer es evaluar la integral.

entonces: = (1 - sen

2

∫

n-1 x ) 2 (cos x ) dx

ahora proponemos u = sen x e integramos utilizando el método de sustitución o cambio de variable.

1. Si el exponente n de la función seno es impar:

∫

II. Cuando necesitamos evaluar una integral sen n x dx , cos n x dx o sen n x cos m x dx , donde m y n son números enteros positivos pares utilizamos las siguientes identidades para simplificar la expresión:

∫

III. Si necesitamos evaluar una integral sen n x cos m x dx y al menos uno de los exponentes es un número entero impar, procedamos de forma similar al caso I.

∫

1 - cos 2 x 1 + cos 2 x cos 2 x = sen x = 2 2

sen n x cos m x dx = sen n -1x(sen x )(cos m x )dx = (sen 2 x )

sen2 x = 1 - cos2 x entonces:

n

n

sen n x dx = (sen 2 x ) 2 dx 34

x ) dx

recordamos que:

2

1. Cuando el factor es sen x dx lo reescribimos como una potencia de sen2 x:

n -1 2 ( sen x )(cos m

= (1 - cos

2

n -1 x ) 2 (cos m

x )(sen x )dx

lo que nos resta es evaluar la integral haciendo uso del método de sustitución.


2. Si el exponente m de la función coseno es impar: sen x cos x dx = sen x(cos n

m

n

m -1

= sen x(cos n

2

x )(cos x )dx

m -1 x ) 2 (cos x ) dx

cos2 x = 1 - sen2 x

= sen x(1 - sen n

2

m -1 x ) 2 (cos x ) dx

Ahora debemos evaluar la integral mediante el método de sustitución. Ejemplos: 1. Evalúa la integral:

∫

Solución:

7

sen x dx .

Observa que esta integral tiene la misma forma que estudiaste en la sección I.1, entonces:

∫ sen x dx = ∫ sen x sen x dx = ∫ ( sen 6

=

∫ (1 − cos

2

2

x )3 sen x dx

Solución:

5

=−

∫ − (u

2

2

− 1)3 du =

(u − 1)3 (u + 1)3 du =

∫

1 3 = u7 − u5 − u3 − u + C 7 5

du = cos x dx

2

x )2 cos x dx

∫ ( sen x − 1) 2

=

∫ (u

=

∫ (u − 1) (u + 1)

=

∫ (u

=

1 5 2 3 u − u +u +C 5 3

2

cos x dx

2

− 1)2 du 2

4

2

du

− 2u 2 + 1) du

como u = sen x =

∫ (u

2

− 1)3 du

1 5 2 sen x − sen3 x + sen x + C 5 3

1 sen x  3 sen4 x − 10 sen2 x + 15  + C . 15

3. Evalúa la integral:

∫ sen x cos 3

(u 6 − 3u 4 + 3u 2 − 1) du

1 7 3 cos x − cos5 x + cos3 x − cos x + C 7 5

1 cos x [ 5 cos6 x − 21cos4 x + 35 cos2 x − 35 ] + C . 35

5

x dx.

Solución: Observa que la integral es parecida al caso III:

∫ sen x cos 3

como u = cos x

=

cos x dx =

u = sen x

=

o bien

∫ (cos

o bien

=

=

2

al simplificar:

∫

x cos x dx =

seleccionamos:

du = -sen x dx

4

∫ (1 − sen x )

=

∫

u = cos x

∫ cos

x dx =

x )3 sen x dx = − (cos2 x − 1)3 sen x dx

seleccionamos:

5

∫ cos

entonces:

7

∫ cos x dx . Observa que la integral es consistente con el caso I.2:

recordamos que:


5

x dx =

∫ sen x sen x 2

∫ (1 − cos

2

cos5 x dx

x ) sen x cos5 x dx

=

= − (cos2 x − 1) sen x cos5 x dx

∫

35

2 BLOQUE


En este caso n = 4 y m = 2, entonces:

seleccionamos: u = cos x

∫ sen x 4

du = -sen x dx

∫

5

hacemos un segundo cambio de variable:

1

1 8

=

dt = 2u du

=

∫ 2t

=

1 (t 3 − t 2 ) dt 2

=

=

1 4 1 3 t − t +C 8 6

al integrar:

2

(t − 1) dt

∫

=

como t = u 2 =

1 8 1 6 u − u +C 8 6

u = cos x

=

1 8 1 cos x − cos6 x + C 8 6

o bien =

1 cos6 x [ 3 cos2 x − 4 ] + C. 24

4. Evalúa la integral: 4

cos2 x dx .

Solución: Observa que la forma de la integral es similar al caso II. Para resolver este ejemplo usaremos una fórmula de reducción: n

=

∫

senn − 2 x cosm x dx −

1 cosm + 1 x senn − 1x . n +m

Nota que de esta forma es más sencillo evaluar la integral, recuerda que: sen2 x =

36

1 8

x dx −

1 1 sen3 x cos3 x − sen x cos3 x . 6 8

 1 + cos 2 x  1 1 3 3 3  dx − sen x cos x − sen x cos x 2 6 8

∫ 

x 1 1 1 + sen ( 2 x ) − sen3 x cos3 x − sen x cos3 x + C . 16 32 6 8

Aunque en la sección II revisamos la metodología formal para resolver integrales de potencias pares de seno y coseno así como productos de potencias pares de seno y coseno, en la resolución de ejemplos utilizaremos fórmulas de reducción que te ayudarán a resolver integrales de una forma más rápida y sencilla; toma en cuenta que las fórmulas de reducción se usan cuando los exponentes son pares. 5. Evalúa la integral:

∫ sen

6

x dx .

La fórmula de reducción que utilizaremos es la siguiente:

∫

senn x dx =

1 − cos 2 x 1 + coss 2 x y cos2 x = . 2 2

n −1 senn − 1 x cos x senn − 2 x dx − n n

∫

Identificamos que n = 6, entonces:

cosm x dx =

n −1 n +m

2

Solución:

∫ sen x

∫ sen x

∫ cos

Aplicamos la identidad para cos2 x :

∫

Aplicamos la fórmula de reducción por segunda vez, en este caso n = 2 y m = 2:

t = u 2

1 1 sen2 x cos2 x dx − sen3 x cos3 x . 2 6

2

= u (u − 1) du

cos2 x dx =

∫

5 1 sen6 x dx = sen4 x dx − sen5 x cos x . 6 6

∫

Observa que nuevamente tenemos una integral de una función seno con exponente par, por lo que aplicaremos de nueva cuenta la fórmula de reducción: =

5 1 5 sen2 x dx − sen5 x cos x − sen3 x cos x 8 6 24

∫


la identidad para sen2 x es: 2 sen x =

=

1 − cos 2 x 2 5 8

 1 − cos 2 x  1 5 5 sen3 x cos x  dx − sen x cos x − 2 6 24

∫ 

al integrar: =

5x 5 1 5 − sen 2 x − sen5 x cos x − sen3 x cos x + C . 16 32 6 24


∫ cos

4

x dx .

Solución: La fórmula de reducción que utilizaremos en este caso es la siguiente:

∫

cosn x dx =

n −1 n

∫

cosn − 2 x dx +

sen x cosn − 1 x n

en este ejemplo n = 4:

∫ cos

4

x dx =

3 4

∫ cos

2

x dx +

1 sen x cos3 x 4

usamos la siguiente identidad para cos2 x:

cos2 x =

1 + cos 2 x 2

3 = 4

∫

 1 + cos 2 x  1 3   dx + sen x cos x 2 4

al integrar: =

3x 3 1 + sen ( 2 x ) − sen x cos3 x + C . 8 16 4

un factor primordial en el conocimiento del Cálculo Integral y presentada en su Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota. En este libro explica el desarrollo del método exhaustivo o por agotamiento, incorporado en la teoría infinitesimal y algunas inserciones geométricas de Kepler; como resultado, Cavalieri encontró fácilmente el volumen y área de varias figuras geométricas. Esta importante relación dio pauta al principio de Cavalieri, el cual determina que “Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces igual volumen”.

Para tu reflexión

Cavalieri, Bonaventura Francesco (1598-1674) Matemático nacido en Milán, Italia. Discípulo ferviente de Galileo Galilei con quien mantuvo contacto directo mediante cartas (al menos 112) en donde compartieron conocimientos e ideas básicas. Fue profesor de Astronomía en Bolonia, específicamente desde 1629, cuando expuso al mundo su teoría de los indivisibles, misma que es

Debido a constantes críticas a su teoría de los indivisibles, pues no estaba completa en su primer libro, Cavalieri publicó una segunda obra denominada Exercitaciones geometricae sex, que cumplió con ese requisito y entonces fue considerada una fuente confiable y principal de las matemáticas y, por ende, del cálculo integral. Una tercera obra de Cavalieri a la que nombró Directorium Generale Uranometricum, contenía la mayor parte de la introducción de los logaritmos y fungió como una herramienta computacional en su país; incluso, las tablas de logaritmos que publicó, fueron utilizadas por los astrónomos debido al uso de logaritmos en funciones trigonométricas.

37

2 BLOQUE



∫

1  1  cos  x  sen  x  dx 2  2 

∫ sen 4 x cos

3.

∫ sen x cos

4.

∫ sen x cos dx

5.

∫ tan

6

6.

∫ tan

6

7.

∫ x cot

4

7

3

4 x dx

2

x sec 4 x dx

(1608-1647)

3x dx

2

( 2 x 2 ) dx

sec3 x

9.

∫ cos ( 4 x ) sen ( 4 x ) dx

10.

∫ sen

11.

∫ 6x

12.

∫ cos x

13.

∫ sen x sen 2x sen 3x dx

14.

∫ tan z dz

4

x

dx

9

3

4

 

x 5  cos  2

x  dx 2

tan9 ( x 2 + 1) dx

cos2 3 x dx

4

cos4 x sen6 x

dx

Nacido en Faenza, Italia, fue educado bajo la tutela de su tío Jacob Torricelli, al quedar huérfano desde muy temprana edad; después del estudio de las humanidades adoctrinadas por su pariente, estudió ciencias en Roma, con el benedictino Benedetto Castelli.

Fue en este periodo que Torricelli efectuó uno de los descubrimientos más importantes de su carrera: el principio del barómetro, mismo que demostró la existencia de la presión atmosférica, y el cual, tiempo después fue confirmado por otro gran sabio de las ciencias exactas, Pascal, quien efectuó mediciones a grandes alturas para reafirmar este

∫ tan

38

Evangelista Torricelli

Este paso por Roma, le ayudó a ser recomendado por el benedictino para que el propio Galilelo Galilei lo acogiera y de esta forma fuera su pupilo durante los últimos tres meses de vida del sabio italiano. Después del deceso de Galileo, Torricelli viajó a Florencia para dar clases de matemáticas en la academia de esta ciudad, con las distinciones de físico y matemático que le fueron otorgadas por el duque Fernando II de Toscana.

x dx

8.

∫

Para tu reflexión

6

2.

15.


principio, refutando así la teoría aristotélica que definía que “La naturaleza tiene horror al vacío”. Otra gran aportación al estudio de las ciencias por parte de Torricelli, fue la medición que lleva su nombre, Presión Torr, que se define como la presión ejercida en la base de una columna de un milímetro de mercurio con cierta densidad y bajo la acción de la gravedad estándar. En 1644, publicó su obra Opera Geométrica, en donde incluyo varios trabajos sobre las propiedades de las curvas cicloides y al exponer las soluciones al problema de la cuadratura de las curvas, fue duramente criticado por su contemporáneo Roberval, quien lo acuso de haber cometido plagio en estos resultados.

Ejemplos: 1. Calcula la integral:

∫

16 − x 2 x2

dx .

Solución: Mediante la sustitución adecuada removeremos el radical al siguiente triángulo:

Un principio más descubierto por Torricelli, fue el que menciona que “Si una serie de cuerpos están conectados de modo tal que debido a su movimiento, su centro de gravedad no puede ascender o descender, entonces dichos cuerpos están en equilibrio”. El paraboloide de revolución fue otra de las menciones expuestas por el sabio italiano, en donde la definió como “la envolvente de todas las trayectorias parabólicas descritas por los proyectiles desde un punto con igual velocidad”.

4

Antes de su muerte llevó a cabo el perfeccionamiento del método de los indivisibles de Cavalieri, así como las mejoras correspondientes al microscopio y al telescopio de esos años, incluso, varias de las lentes que Torricelli fabricó y grabó con su nombre, aún se encuentran a resguardo en algún lugar de Florencia.

x

θ _ √ 16 − x2 Figura 2.1

De donde podemos establecer las siguientes relaciones: sen θ =

Integración por sustitución trigonométrica

al despejar: x = 4 sen θ y θ = arcsen

El método de sustitución trigonométrica tiene como finalidad reemplazar la variable de integración por una función trigonométrica para facilitar el proceso de integración; este método es de mucha utilidad cuando el integrando contiene algún término

al derivar:

con las siguientes formas: a 2 - u 2 , a 2 + u 2 o bien u 2 - a 2 . Mediante el uso de un triángulo rectángulo adecuado, podemos cambiar el radical por una función trigonométrica.

Por ejemplo, podemos transformar el término sustitución u = a tan θ de la siguiente manera:

a 2 + u 2 con la a 2 + a 2 tan 2 θ =

a 2 (1 + tan 2 θ) = a 2 sec 2 θ = a sec θ con a > 0 y θ en el primer cuadrante.

x 4

x 4

dx = 4 cos θ d θ Entonces: 16 − x 2 = 16 − 16 sen2 θ = 16( 1 − sen2 θ ) = 16 cos2 θ = 4 cos θ

Al sustituir en la integral

∫

16 − x 2 x

2

dx =

4 cos θ

∫ 16 sen

2

θ

( 4 cos θ ) d θ =

cos2 θ

∫ sen

2

θ

dθ

39

2 BLOQUE


al recordar cot θ = =

del triángulo obtenemos:

cos θ sen θ

∫ cot

2

θ d θ

∫

sec θ =

∴ x = 6 sec θ

(csc2 θ − 1) d θ =

=

= - cot θ - θ + C

∫

∫

csc2 θ d θ − d θ

cot θ =

16 − x 2 x

∫

x2

∴

x 2 − 36 dx = x

∫

=

2

x − 36 = 6 tan θ

6 tan θ

∫ 6 sec θ ( 6 sec θ tan θ ) d θ ∫ 6 tan

2

θ d θ

Recordamos que tan2 θ = sec2 θ - 1

∫

∫

∫

= 6 (sec 2 θ − 1) d θ = 6 sec2 θ d θ − 6 d θ

Entonces la solución es: 16 − x 2

x 2 − 36 6

Entonces:

del triángulo obtenemos:

tan θ =

dx = 6 sec θ tan θ d θ

sabemos que cot 2 θ = csc2 θ - 1

x 6

16 − x 2 x dx = − − arcsen + C . x 4

= 6 tan2 θ - 6θ + C

al sustituir para regresar a la variable original =

2. Calcula la integral:

∫

x 2 − 36 − 6 arctan 6

x 2 − 36 +C. 6


x 2 − 36 dx . x

∫

16 + x 2 dx .

Solución:

Solución:

Identificamos que el radical tiene la forma u 2 − a 2 , por lo que consideraremos a x como la hipotenusa de un triángulo rectángulo y a 6 como uno de los catetos.

Identificamos que el radical tiene la forma a 2 + u 2 por lo que la sustitución más adecuada implica considerar a x y 4 como catetos al ser ambos positivos dentro del radical, entonces el triángulo rectángulo más conveniente es:

_ √16 + x 2

x

_ √x 2 − 36

x

θ 6 Figura 2.2

40

θ 4 Figura 2.3


de donde obtenemos: x 4

tan θ =

x = 4 tan θ

dx = 4 sec2 θ d θ

16 + x 4

sec θ =

Ahora el radical tiene la forma a 2 − u 2 ; por comodidad proponemos el siguiente triángulo:

2

16 + x 2 = 4 sec θ

al sustituir:

∫

16 + x 2 dx =

∫ 4 sec θ( 4 sec

2

∫

θ ) d θ = 16 sec3 θ d θ 1 x−– 2

Observa que tenemos un caso de potencia trigonométrica. Lo conveniente es usar la fórmula de reducción:

∫

secn x dx =

tan x secn − 2 x n − 2 + n −1 n −1

∫ sec

n−2

1 – 2

x dx

θ

entonces:  tan θ sec θ 1 16 sec θ d θ = 16  + 2 2 

∫

∫

_ 1 − x − – 1 2 – 4  2

 sec θ d θ  

√

= 8 tan θ sec θ + 8 ln(tan θ + sec θ)

Figura 2.4

al sustituir para regresar a la variable original x x 16 + x 2  16 + x 2  + 8 ln  + = 8  ⋅    4 4 4 4

∫

x 1 16 + x 2  16 + x 2 dx = x 16 + x 2 + 8 ln  +  4 2 4


∫

Solución:

x − x 2 dx .

A simple vista notamos que el radical no tiene la forma de ninguno de los tres casos, pero a partir de la estructura del polinomio podemos completar el trinomio cuadrado perfecto: x − x2 =

=

de donde obtenemos:

sen θ =

θ = arc sen ( 2 x – 1)

x =

1 ( sen θ + 1) 2

dx =

1 cos θ d θ 2

2

cos θ =

Entonces reescribimos la integral:

∫

2

x − x dx =

∫

1  1 −x −  4  2 1 2

2

2

2

1  1 −  x −  dx 4  2

1 2

1 2 = 2x – 1

1 1 + x − x2 − 4 4 1  1 −x −   4 2

x –

1  1 1 −  x −  = cos θ   4 2 2

41

2 BLOQUE


sustituimos

∫

2

1  1 −  x −  dx =  4 2 =

1

1



1

∫ 2 cos θ  2 cos θ  d θ = 4 ∫ cos

2

θ d θ

 1 θ 1  + sen 2 θ  + C 42 4

=

1 2 arcsen 2 x − 1 + sen θ cos θ + C 8 16

=

2  1 1 1  1 arcsen ( 2 x − 1) + ( 2 x − 1)  −x −   4  8 4 2

∫

x − x 2 dx =

(

En el caso de las ecuaciones diferenciales, determinantes y probabilidad, Cauchy fue un estudioso de la materia y perfeccionó varios principios ya establecidos por algunos matemáticos de renombre, como en el caso del análisis infinitesimal.

)

  +C 

1 2x − 1 x − x2 +C arcsen ( 2 x − 1) + 8 4

Para tu reflexión

Agustin Louis Cauchy (1789-1857) Nacido en París y estudiante de ingeniería en la École Polytechnique. Obtuvo su título con un nombramiento académico sobresaliente que lo llevó a ser considerado como ingeniero de la milicia bajo el mando de Napoleón Bonaparte en 1812, con la finalidad de dar una transformación al puerto de Cherbourg y convertirlo en uno de los más importantes de Europa. Debido a que no gozaba de buena salud, decidió abandonar su trabajo en la ingeniería y se enfocó en la investigación científica intensiva, además de llevar a cabo la publicación de varias de sus obras más importantes, así como efectuar la demostración del Teorema del número poligonal de Fermat, después de mucho tiempo de estudiarlo. Para 1816, fue nombrado profesor de mecánica de su alma mater y algunos años después fue promovido como miembro de la Academia Francesa de las Ciencias, para cubrir el lugar que dejó su contemporáneo Gaspard Monge. Cauchy fue uno de los primeros pensadores del conocido análisis matemático, que estudia los número reales y los complejos, así como las funciones derivadas de tales. En este caso, el desarrollo parte de una fórmula rigurosa del cálculo, y que tiene como fin el estudio de continuidad, integración y la diferencialidad de varias y diversas formas.

42

Se distinguió por haber sido un apegado investigador de la convergencia y la divergencia de las series infinitas, específicamente el enfoque en la evaluación plena de la suma de un número finito de términos sucesivos, para después llevar a cabo la identificación del comportamiento de la serie a medida que el mismo número finito crece indefinidamente, todo, mediante el uso de un pasaje al límite.

Sin embargo, un golpe duro para Cauchy fue el creer y defender que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas, sin embargo, tiempo después se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad.



2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

10.

11.

∫x ∫

∫

(2 +

2

16.

∫

17.

∫x

18.

∫

19.

∫

20.

∫x

x2 + 9

4x – x 2 x 2 + 5 dx

21.

∫

22.

∫

dx 3

x2 – 9

16 – x 2 x2

∫

+ ex

2 – x – x 2 dx dx 9 − x2 dx 5

x2 − 8 5x + 3

dx

1 − 2x + x 2 9 + 25 x 2 dx dx x2 − 4 x2 − 9 x2

23.

∫

ln x 3 ln x 2 – 4

50 + 13 x − x 2

3

81 – 4 x 2 dx x 2x – 8 1– x – x2

dx

dx

ex (e

5x

x

− 7e +

24.

∫

27 − 3 x 3

25.

∫

12 − 8 x 2 dx

26.

∫

e t dt (e 2t + 6e t + 34 ) 2

dx

x2 − 4

dx

7 + 4 x 2 dx

∫x

∫

∫

dx

∫

13.

15.

e

2x

3

∫x

∫

dx

(6 – x 2 )2

∫

12.

3 x 2 )2

dx

∫

∫

4x 2 dx

∫x

∫

dx 2

dx

14.

x2

5 16 ) 3

dx

dx

dx 3

(2 + x 2 )2

27.

∫x

28.

∫x

x dx 2

2

x − 9 x + 20

2

49 − x 2 dx

43

2 BLOQUE

Instrumentos de evaluación Apellido paterno __________________ Apellido materno __________________ Nombre _______________ Grupo _____ Asegúrate de haber adquirido los conocimientos que se abordaron en este bloque. Para ello, realiza lo que se pide a continuación. Resuelve las integrales siguientes: 4.

∫

1. e 4 x sen 3x dx

∫

2. z 2 cos 2 z dz

5.

∫

tan 3 x dx sec x

∫

et dt (e 2 tt + 8e + 7)

∫

3. (sec 5 x + csc 5 x ) dx


Criterios

Aspecto a evaluar


Integral indefinida

Métodos de integración: por partes, por cambio de variable, de potencias trigonométricas, por sustitución trigonométrica

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos

Determina la primitiva de una función como la antiderivada.

En la mayoría de los casos determina la primitiva de una función como la antiderivada.

En algunos casos determina la primitiva de una función como la antiderivada.

No determina la primitiva de una función como la antiderivada.

Integra funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar.

En la mayoría de los casos integra funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar.

En algunos casos integra funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar.

No integra funciones algebraicas y trascendentes como una herramienta a utilizar.

Total


Nombre del evaluador:


44


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la aplicación de un método de integración del bloque 2. Nombre del alumno:

Criterios

cumple sí no

Observaciones

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema

10. L a investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. C onoce y aplica los conceptos básicos de derivación y regla de la cadena. 12. Conoce y aplica los conceptos básicos de integración. 13. Resuelve la integral que se solicita. 14. Analiza el problema y aplica el método de integración adecuado. 15. Identifica con claridad las funciones que componen el integrando. 16. Es capaz de reescribir el integrando y obtener la integral que se solicita.

45

2 BLOQUE


Rúbrica


Criterios




Aspecto a evaluar




Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos







Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para encontrar la integral.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar la integral.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar la integral.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar la integral.

Total

Rúbrica


Criterios




Aspecto a evaluar




Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos







Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para encontrar la integral.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar la integral.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar la integral.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar la integral.

Total

46


Te presentamos una propuesta de hoja de observaciones que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.

Hoja de observaciones para el trabajo por equipos Equipo 1

Criterios

Equipo 2

Equipo 3

Equipo 4

Equipo 5

Intercambian ideas antes de hacer las pruebas. Colaboran en la elaboración de las pruebas. Atienden y respetan las opiniones de los demás. Utilizan los materiales con precaución. Proponen explicaciones de lo que observan. Aplican términos científicos en sus explicaciones. Registran y sistematizan sus observaciones. Claves D (Deficiente), S (Satisfactorio), B (Bueno), E (Excelente)

Nombre de los integrantes del equipo:


47


3


3.1 Suma de Riemann


¿Qué sabes hacer ahora?

Competencias por desarrollar n n n

R esuelve problemas de áreas mediante la sumas de Riemann en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.


R esuelve problemas de áreas mediante la integral definida en cualquier disciplina que tenga relación con su entorno.

2. Obtén los elementos de la serie:

A sume una actitud constructiva y congruente con las competencias con las que cuenta en el uso de las TIC como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de áreas bajo la curva en el contexto de la física, la geometría y la química.

1 + 2 + 3 + ∙ ∙ ∙ + 98 + 99 + 100. 5

∑i

3

=

i =1

3. E ncuentra la suma de Riemann para la función f (x) = x 2 en el intervalo [0, 3] para la partición ∆:

3 1 1 x 0 = 0 , x 1 = , x 2 = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3; 4 2 4


1 3 3 ξ1 = , ξ 2 = 1, ξ3 = 1 , ξ 4 = 2 . 2 4 4

Calcula e interpreta áreas bajo la curva mediante las sumas de Riemann en la resolución de problemas en un entorno teórico.

4. A plica el teorema fundamental del cálculo integral para calcular el área comprendida entre la parábola x = -y 2 y la recta y = x + 4.

Compara el método de las sumas de Riemann con las áreas obtenidas mediante la integral definida y determina las fortalezas y debilidades de ambos métodos, comprobándolos mediante software graficador (GeoGebra, mathgv, graph).

5. A plica el teorema fundamental del cálculo integral para obtener el volumen de un cilindro recto que mide 2 m de radio y 6 m de altura.

Obtiene integrales definidas de funciones algebraicas y trascendentes en un contexto teórico y las visualiza como herramientas en la resolución de problemas reales.

n

6.

∑i = 1+ 2 + 3 + ... + n. i =1

3 BLOQUE

Calculas e interpretas el área bajo la curva en el contexto de las ciencias...



Calcula el área de la región delimitada por la parábola y = x2, y las rectas x = 0, y = 1.




n ¿Qué


n ¿Cuál es la región del plano cuya área se busca?


n ¿Cómo se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo

se puede representar en el plano las condiciones del problema?

recta y = 1?

n ¿Cómo se puede calcular el área de esa región? 1

n ¿Cómo

n ¿Cuál es el punto de intersección de la parábola y = x

figura se forma si se trazan perpendiculares a los ejes desde el punto de intersección anterior?

2

con la

Trabajo individual

∫

integral para calcular x 2 dx ? 0

n ¿Cuál es el área de la región del plano delimitada por la pará

bola y = x2 y las rectas x = 0, y = 1?

Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y rea lizar los cálculos necesarios.


Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema.



Producto a elaborar


Presentar un esquema que ilustre las condiciones del problema y el razonamiento para obtener la expresión algebraica que representa a la superficie cuya área se quiere calcular. Se deben incluir asimis mo los cálculos para obtener el valor que se pide.

50



Para calcular la medida del área que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Sugerencias de evidencias de aprendizaje n Representa gráficamente las condiciones del problema. n Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para obte

ner la medida del área que se pide.

La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta ac tividad se integrará al portafolio de evidencias parta la evaluación del mes.



Aplica la definición de integral definida para calcular el volumen de un cono de radio r y altura a.

51

3 BLOQUE





n


¿Cómo se puede expresar algebraicamente el volumen de un cilindro?

n

¿Cómo se puede expresar el volumen del cono utilizando la definición de la integral definida?

n

¿Cómo se puede expresar y en función de x a partir de la ecua ción de la generatriz del cono?

n

¿Cómo se puede expresar el volumen del cono al sustituir y en función de x?

n

¿Cuál es el volumen del cono?

Cada equipo debe investigar n

n

¿Cómo se puede representar en el plano las condiciones del problema? Sugerencia: representar la altura a sobre el eje x y el radio r sobre el eje y. ¿Cómo se puede representar al cono como una suma de n ci lindros?



Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, regis trado y calculado para que el equipo efectúe una comparación y selección de los conceptos teóricos utilizados en la resolución del



Producto a elaborar


Presentar un esquema que ilustre las condiciones del problema y el razonamiento para obtener la expresión algebraica que represen ta al volumen del cono. Se deben presentar asimismo los cálculos para obtener el volumen del cono.


Para obtener la expresión algebraica del volumen del cono que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos reali zados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en la presentación, en el esfuerzo rea lizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta ac tividad se integrará al portafolio de evidencias parta la evaluación del mes. 52

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Sugerencias de evidencias de aprendizaje n

Representa gráficamente las condiciones del problema.

n

Establece relaciones entre variables para expresar el volumen de un cilindro recto.

n

Aplica la definición de integral definida.


Propuesta de situación didáctica Determina el valor de las sucesiones en el intervalo que se indica. 10

1.

∑(2i − 3) = i =1

10

2.

2 1. y = x , 0 ≤ x ≤ 3;

∑

∆: x 0 = 0, x 1 =

(i + 1)3 =

i =1

ξ1 =

10

3.

Encuentra la suma de Riemann para la función dada, en el intervalo que se indica, con la partición ∆ y los valores de ξi .

1

∑ 2i − 1 =

1 1 1 , x 2 = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3 4 4 2

1 7 3 , ξ = , ξ = 2, ξ 4 = 2 . 8 2 8 3 4

2. y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 3;

i =1

7

4.

∑ i =1

3 = i(i − 2)

5

5.

∆: x 0 = 0, x 1 =

ξ1 =

3. y =

∑3 = i

1 9 3 1 , ξ2 = , ξ3 = 1 , ξ 4 = 2 . 2 8 4 2 x , 0 ≤ x ≤ 3;

i =1

5

6.

i =1

7.

1 7 1 , ξ2 = 1, ξ3 = 1 , ξ 4 = 2 . 2 8 2

4. y = x 3 , −1 ≤ x ≤ 2;

i =1

1 3 1 ∆: x 0 = −1, x 1 = − , x 2 = , x 3 = 1 , x 4 = 2 4 4 2

∑i (i + 1) = i

∑ 1+ i

2

=

i =1

3

9.

ξ1 =

7 3 1 , x 2 = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3 8 4 4

10

5

8.

∆: x 0 = 0, x 1 =

i

∑i +1=

3 1 1 , x 2 = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3 4 2 4

∑2

i

=

1 1 1 7 ξ1 = − , ξ2 = , ξ3 = 1 , ξ 4 = 1 . 2 2 4 8 5. y = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3;

i =−3

∆: x 0 = 0, x 1 =

3 1 1 , x = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3 4 2 2 4

10

10.

∑3i (1 + i ) = i =1

ξ1 =

1 7 3 , ξ2 = 1, ξ3 = 1 , ξ 4 = 2 . 2 8 4

53

3 BLOQUE


Introducción 6. y =

1 x + 1, 0 ≤ x ≤ 3; 2

∆: x 0 = 0, x 1 =

ξ1 =

7 1 1 , x 2 = 1 , x 3 = 2 , x 4 = 3 8 4 2

3 1 3 , ξ = 1 , ξ3 = 2, ξ 4 = 2 . 4 2 8 4

La letra sigma ( Σ ) del alfabeto griego corresponde a la letra s ma yúscula de nuestro alfabeto. Se le utiliza para representar la suma de muchos términos. Ejemplos: 10

1.

∑i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 i =1

2

7. y = 4 − x , 0 ≤ x ≤ 2; 1 3 1 ∆: x 0 = 0, x 1 = , x 2 = , x 3 = 1 , x 4 = 2 4 4 2 ξ1 =

1 7 3 , ξ = , ξ = 1, ξ 4 = 1 . 8 2 8 3 4

Se lee la suma de los términos cuando i varía desde 1 hasta 10. La letra i representa el índice de la suma, aunque se puede usar cualquier otra letra. En este ejemplo: 1 es el límite inferior de la suma y 10 es el límite superior de la suma. 5

2.

∑( 2i ) = 2(1) + 2( 2 ) + 2( 3 ) + 2( 4 ) + 2( 5 ) i =1

8. y =

1 x + 3, 1 ≤ x ≤ 4; 4

3 1 ∆: x 0 = 1, x 1 = 1 , x 2 = 2, x 3 = 3 , x 4 = 4 4 4 1 7 3 1 ξ1 = 1 , ξ2 = 1 , ξ3 = 2 , ξ 4 = 3 . 2 8 4 2

= 2 + 4 + 6 + 8 + 10

10

3.

∑2i − 1 = [2(1) − 1] + [2( 2 ) − 1] + [2( 3) − 1] + [2( 4 ) − 1] + i =1

[ 2( 5 ) − 1] + [ 2( 6 ) − 1] + [ 2( 7 ) − 1] + [ 2( 8 ) − 1] + [ 2( 9 ) − 1] + [ 2( 10 ) − 1]

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

4

4.

∑ j

2

= 12 + 22 + 32 + 42

j =i

9. y = ( x + 1)2 , −3 ≤ x ≤ 2;

= 1 + 4 + 9 + 16

n

∆: x 0 = −3, x 1 = −2, x 2 = −1, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 2

5.

i =1

1 1 1 1 1 ξ1 = −2 , ξ2 = −1 , ξ3 = − , ξ 4 = , ξ5 = 1 . 2 2 2 2 2

La notación sigma tiene las siguientes propiedades. n

1. 10. y =

1 , 1 ≤ x ≤ 3; x

3 1 ∆: x 0 = 1, x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 4 4 1 1 ξ1 = 1 , ξ2 = 2, ξ3 = 2 . 4 2

54

∑i = 1 + 2 + 3 + . . . + n ∑c = cn i =1 n

2.

∑

cf ( i ) = c

i =1

n

∑fi( ) i =1

n

3.

∑

[ F ( i ) + G ( i )] =

i =1

4.

n

∑

F (i ) +

i =1

n

∑G (i ) i =1

∑ [F (i ) − F (i − 1)] = F (n ) − F (o )


Para tu reflexión

René Descartes (1596-1650) Personaje filosófico, físico, matemático y astrónomo. Nació en La Haye, Turena Francesa. También fue conocido como Renatus Cartesius. Debido a sus grandes aportaciones a las ciencias exactas se le denominó como el padre de la Geometría Analítica, al agregar al álgebra en esta nomenclatura y las matemáticas a las ciencias físicas. Precursor de la filosofía moderna que abarca la etapa del renacimiento y la reforma protestante, hasta los últimos diez años del siglo xx: aunado a ser considerado como un máximo exponente de la revolución científica. Descartes elaboró varios trabajos que contribuyeron al pensamiento filosófico, tales como Discurso del Método en 1673 y Meditaciones Metafísicas en 1641.

en la que se funda la duda, basado en dos premisas: “1) que un argumento incompatible con la hipótesis del genio, o del azar adverso, etc., es comparativamente ‘más sólido que’ la respectiva hipótesis escéptica; y 2), que ni ese argumento, ni el juicio que lo considera superior al alegato opuesto, merecen ser juzgados circulares.” Descartes murió en Estocolmo, a los 53 años bajo el diagnóstico de padecer Neumonía, aunque tiempo después, en 1980, se puso en duda esta determinación, pues el historiador alemán Eike Pies encontró en la Universidad de Leiden un documento secreto que habría sido redactado por el médico holandés Johan Van Wullen, quien atendió a Descartes en su lecho de muerte y en donde se establecía que sus síntomas, náuseas, vómito y escalofríos no eran propios de una neumonía sino de un posible envenenamiento por arsénico.

Cartesius, su nombre que derivó en la definición cartesiano, dio el origen al principio Cogito ergo sum (Pienso, luego existo) y que es conocido como un fundamento esencial del Racionalismo Occidental. En matemáticas, el plano Cartesiano debe este nombramiento a su fundador y aportaciones a la geometría analítica. Es importante señalar que el método utilizado y propuesto por Descartes consistía en “descomponer los problemas complejos progresivamente en partes más sencillas, hasta dar con los más básicos”. De esta forma “deberían captarse las naturalezas simples, que llegan a presentarse a la razón de un modo evidente”. Esto fue tomado por Descartes para llevar a cabo una reconstrucción de todo lo complejo, exigiendo una nueva relación establecida entre las mencionadas ideas simples, la misma evidencia de éstas. En el ramo de la filosofía racionalista moderna, Descartes es considerado como el iniciador por su postura que supone el punto de ruptura definitiva con la Escolástica, que es la corriente Teológica-Filosófica que dominó en el pensamiento medieval, basada en una coordinación entre Fe y Razón, que siempre se resume en la subordinación de la Razón ante la Fe, es decir, que la Filosofía es sierva de la Teología. Finalmente en El problema del Círculo, donde Descartes dice no intentó demostrar la existencia de Dios sino refutar la hipótesis

55

3 BLOQUE


Área

Utilizando la fórmula para calcular el área de un trapecio se obtiene:

Como introducción al cálculo de áreas, consideremos el trapecio que se ilustra en la siguiente figura, el cual está limitado por el seg mento AB de la recta x - 2y = -3, sobre el eje x, donde los puntos A y B tienen como abscisa a = 1 y b = 5, respectivamente.

A=

( 2 + 4 )4 ( 6 )4 = = 12. 2 2

Si en la figura anterior al intervalo [a, b] lo dividimos en cuatro sub intervalos iguales (o desiguales) se pueden formar los rectángulos interiores y exteriores que se indican en la siguiente figura.

B

A

a=1

b=5 Figura 3.1

1

Si en la recta x -2y = -3 se despeja la y se tiene que:

x - 2 y = -3 -2 y = -3 - x

2

3

4

Figura 3.2

Las alturas de los rectángulos interiores son:

y=

-3 - x -2

para x = 1

y=

1+ 3 4 = =2 2 2

y=

-(3 + x ) -2

para x = 2

y=

2+3 5 = = 25 . 2 2

y=

3+ x x +3 = 2 2

para x = 3

y=

3+3 6 = =3 2 2

para x = 4

y=

4+3 7 = = 35 . 2 2

entonces las ordenadas de los puntos A y B son: para x = a = 1 para x = b = 5

y= y=

1+ 3 =2 2

Por tanto, la suma de las áreas de los rectángulos interiores es:

5+3 =4 2

= 2 + 2.5 + 3 + 3.5 = 11

Por tanto, las medidas de los segmentos son:

ab = 5 - 1 = 4

aA = 2

bB = 4

56

5

= 1 × 2 + 1 × 2.5 + 1 × 3 + 1 × 3.5 Si ahora consideramos los rectángulos exteriores, las alturas son: para x = 2

y=

2+3 5 = = 25 . 2 2

para x = 3

y=

3+3 6 = =3 2 2


para x = 4

y=

4+3 7 = = 35 . 2 2

para x = 5

y=

5+3 8 = =4 2 2

La suma de las áreas de los rectángulos exteriores es:

= (1.5 - 1)(2.25) + (2 - 1.5)(2.5) + (2.5 - 2)(2.75) + (3 - 2.5)(3) + (3.5 - 3)(3.25) + (4 - 3.5)(3.5) + (4.5 - 4)(3.75) + (5 - 4.5)(4)

= (0.5)(2.25) + (0.5)(2.5) + (0.5)(2.75) + (0.5)(3) + (0.5)(3.25) + (0.5)(3.5) + (0.5)(3.75) + (0.5)(4)

= 2.5 + 3 + 3.5 + 4 = 13

= 1.125 + 1.25 + 1.375 + 1.5 + 1.625 + 1.75 + 1.875 + 2

entonces el área del trapecio se encuentra comprendida entre 11 y 13, es decir:

= 12.5

La suma de las áreas de los rectángulos exteriores es: = 1 × 2.5 + 1 × 3 + 1 × 3.5 + 1 × 4

11 < área del trapecio < 13

11.5 < área del trapecio < 12.5

Consideremos ahora los siguientes valores de x. x y

1 2

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

los correspondientes valores de y son: para x = 1.5

y=

15 . + 3 45 . = = 225 . 2 2

para x = 2

y=

2+3 5 = = 25 . 2 2

para x = 2.5

y=

25 . + 3 55 . = = 275 . 2 2

para x = 3

3+3 6 y= = =3 2 2

para x = 3.5

y=

35 . + 3 65 . = = 325 . 2 2

para x = 4

y=

4+3 7 = = 35 . 2 2

para x = 4.5

y=

45 . + 3 75 . = = 375 . 2 2

entonces

La suma de las áreas de los rectángulos interiores es:

= (1.5 - 1)(2) + (2 - 1.5)(2.25) + (2.5 - 2)(2.5) + (3 - 2.5)(2.75) + (3.5 - 3)(3) + (4 - 3.5)(3.25) + (4.5 - 4)(3.5) + (5 - 4.5)(3.75)

= (0.5)(2) + (0.5)(2.25) + (0.5)(2.5) + (0.5)(2.75) + (0.5)(3) + (0.5)(3.25) + (0.5)(3.5) + (0.5)(3.75)

= 1.125 + 1.25 + 1.375 + 1.5 + 1.625 + 1.75 + 1.875

= 11.5

5 4

si se continúa con el proceso de subdivisión de intervalos y suma de áreas de rectángulos interiores y exteriores, cada una de las su mas, por defecto y por exceso, nos darán un valor cada vez más aproximado del área que se busca. Como se puede observar, el cálculo del área del trapecio utilizando la fórmula correspondiente, es relativamente simple comparado con el procedimiento, particularmente laborioso, realizado hasta ahora. Su propósito es explicar un procedimiento que se pueda ge neralizar para determinar el área bajo una curva. Veamos ahora el cálculo del área de la región, que está en el primer cuadrante, acotada por la curva cuya ecuación es y = x2 y el eje x en el intervalo [1, 3]. La región se ilustra en la siguiente figura:

10

5

Figura 3.3

57

3 BLOQUE


Para determinar la altura de los rectángulos interiores y exteriores se tiene que: para x = 1

y =1 =1

para x = 2

y=2 =4

para x = 3

y = 32 = 9

2

2

Las alturas de los rectángulos son:

2

 3 3 9 . y =   = = 225 para x = = 15 .   2 2 4 para x = 2

la suma de las áreas de los rectángulos interiores es:

= ( 2 - 1)(1) + (3 - 2)(2)

= (1)(1) + (1)(2)

= 1 + 2 = 3

y = 12 = 1

para x = 1

para x =

y = 22 = 4 2

 5 25 y =   = = 625 .  2 4

5 2

para x = 3


= (2 - 1)(2) + (3 - 2)(9)

= (1)(2) + (1)(9)

= 2 + 9 = 11

Estos valores se pueden disponer en la tabla: 1.5

Entonces el área bajo la curva en el intervalo [1, 3] se encuentra comprendida entre 3 y 11, es decir:

10

x

1

y

1

3 2 9 4

2.5 2

4

2.25

3 < área bajo la curva < 11 Si en la figura anterior dividimos el intervalo [1, 3] en cuatro sub intervalos iguales (o desiguales) se pueden formar los rectángulos in teriores y exteriores que se indican:

y = 32 = 9

5 2 25 4

3

9

6.25


= (1.5 - 1)(1) + (2 - 1.5)(2.25) + (2.5 - 2)(4) + (3 - 2.5)(6.25)

= (0.5)(1) + (0.5)(2.25) + (0.5)(4) + (0.5)(6.25)

= 0.5 + 1.125 + 2 + 3.125 = 6.75


= (1.5 - 1)(2.25) + (2 - 1.5)(4) + (2.5 - 2)(6.25) + (3 - 2.5)(9)

= (0.5)(2.25) + (0.5)(4) + (0.5)(6.25) + (0.5)(9)

= 1.125 + 2 + 3.125 + 4.5 = 10.75

5

entonces 6.75 < área bajo la curva < 10.75 Figura 3.4

58

Si ahora utilizamos ocho subintervalos en el intervalo [1, 3].



= (1.25 - 1)(1.5625) + (1.5 - 1.25)(2.25) + (1.75 - 1.5)(3.0625) + (2 - 1.75)(4) + (2.25 - 2)(5.0625) + (2.5 - 2.25)(6.25) + (2.75 - 2.5)(7.5625) + (3 - 2.75)(9)

= (0.25)(1.5625) + (0.25)(2.25) + (0.25)(3.0625) + (0.25)(4) + (0.25)(5.0625) + (0.25)(6.25) + (0.25)(7.5625) + (0.25)(9)

= 0.390625 + 0.5625 + 0.765625 + 1 + 1.265625 + 1.5625 + 1.890625 + 2.25

= 9.6875

10

5

entonces 7.6875 < área bajo la curva < 9.6875

Figura 3.5

Se puede construir la siguiente tabla: x

y

1

1

1.25

1.5625

1.5

2.25

1.75

3.0626

2

4

Georg Friedrich Bernhard Riemann

2.25

5.0625

(1826-1866)

2.5

6.25

2.75

7.5625

3

9

Nació en Alemania, en el poblado de Bresenlenz, en una familia combatiente en las guerras napoleónicas, su infancia y juventud se caracterizaron por dos esquemas, en primer lugar por la muerte de su madre junto con sus hermanos a temprana edad, y su agilidad para efectuar operaciones de cálculo con una facilidad envidiable.


= (1.25 - 1)(1) + (1.5 - 1.25)(1.5625) + (1.75 - 1.5)(2.25) + (2 - 1.75)(3.0625) + (2.25 - 2)(4) + (2.5 - 2.25)(5.0625) + (2.75 - 2.5)(6.25) + (3 - 2.75)(7.5625)

= (0.25)(1) + (0.25)(1.5625) + (0.25)(2.25) + (0.25)(3.0625) + (0.25)(4) + (0.25)(5.0625) + (0.25)(6.25) + (0.25)(7.5625)

= 0.25 + 0.390625 + 0.5625 + 0.765625 + 1 + 1.265625 + 1.5625 + 1.890625

= 7.6875

En los dos ejemplos anteriores, si el número de subintervalos tien de a infinito, es decir, si la amplitud de cada intervalo tiende a cero, se puede demostrar que el límite de la suma de las áreas de los rec tángulos interiores es igual al límite de la suma de las áreas de los rectángulos exteriores y que corresponde a la medida del área que se busca.

Para tu reflexión

Antes de los 20 años de edad, Riemann estudió Filosofía y Teología en Gottingen, pues mantuvo la idea de complacer a su padre, Friedrich Bernhard Riemann, y convertirse en pastor igual que él, quien incluso lo impulsó a estudiar Matemáticas y juntó todo el dinero posible para que su hijo pudiera llevar a cabo esta petición. A pesar de iniciar con esta aventura en 1847, no fue sino hasta 1859 que formuló por primera vez la conocida Hipótesis de Riemann, que es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la Función Zeta de Riemann, misma que se considera una función de importancia significativa en la Teoría de los números, debido a la extrema relación con la distribución de los llamados números primos. Sin embargo, este teorema no ha sido comprobado a pesar del incansable estudio para resolverlo, aun cuando escuelas importantes

59

3 BLOQUE


como el Instituto Clay de Matemáticas, de Cambridge Massachussets, ha ofrecido premios de hasta un millón de dólares a quien pueda presentar o desarrollar una demostración correcta de la conjetura, la cual ha recibido menciones a favor o en contra sobre su certeza. En el área de Análisis Matemático, la integral de Riemann es una forma de abordar el problema de la Integración: otro caso es el de la Variedad de Riemann, que refleja una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente puede equiparse con un producto interior con la finalidad de que éste varíe ligeramente punto a punto. Lo anterior permite que se definan varias nociones métricas entre las que podemos enunciar la longitud de las curvas, ángulos, áreas o volúmenes, curvaturas, gradientes de funciones o en el caso específico de la divergencia de campos vectoriales. Otra gran aportación de este genio matemático, fue la conocida como la Superficie de Riemann, que involucra la variedad compleja de una dimensión uno similar; como consecuencia, la variedad real subyacente se transformará por lógica en dimensión 2. Finalmente, podemos resaltar la geometría de Riemann como parte de estudio de las Variedades Diferenciales con métricas de Riemann, en donde de una aplicación a cada punto de variedad se le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, se considera una aplicación ligeramente variante de un punto a otro.

3.1 Suma de Riemann Con el propósito de generalizar lo anterior, consideremos que se desea calcular el área limitada por la función y = f (x) sobre el eje x, en el intervalo [a, b]. Procedemos a subdividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de b-a = ∆x . longitud n Trazamos los rectángulos interiores y exteriores. Para el cálculo de la suma de las áreas de los rectángulos interiores, se toma como altura el valor de la función en el extremo inferior de cada subintervalo. Para el cálculo de la suma de las áreas de los rectángulos exteriores, se toma como altura el valor de la función en el extremo superior de cada subintervalo. 60

La suma de las áreas de los rectángulos interiores se expresa por: = ( x1 - a) f (a) + ( x 2 - x1 ) f ( x1 ) +

( x3 - x 2 ) f ( x 2 ) + . . . + (b - x n-1 ) f ( x n-1 )

La suma de las áreas de los rectángulos exteriores se expresa por: = ( x1 - a) f ( x1 ) + ( x 2 - x1 ) f ( x 2 ) +

( x3 - x 2 ) f ( x3 ) + . . . + (b - x n-1 ) f (b)

Se puede obtener una suma intermedia para lo cual se toma un va lor intermedio en cada subintervalo y el que le corresponde bajo la función. De esta manera, si en el primer subintervalo se toma un valor c1 tal que a < c1 < x1 y f (c1). En el segundo intervalo se toma el valor de c2 donde x1 < c2 < x2 y f (c2).


Continuando con este proceso se puede expresar la suma de los n rectángulos como:

Solución: 4

S n = f (c1 )∆x + f (c 2 )∆x + . . . + f (c i )∆x + . . . + f (c n )∆x.

∑f ( ξ )∆ x = f ( ξ )∆ x + f ( ξ )∆ x + f ( ξ )∆ x + f ( ξ )∆ x i

Si se utiliza la notación sigma, la expresión anterior queda en la forma: Sn =

i =1

i

1

2

2

3

3

4

4

 7   1 3   11  1    2 −  +    3 − 2  4 2 4 4 4

Para continuar con este proceso de generalización, consideremos que en el intervalo [a, b] se toman puntos intermedios tales que:

 1  7   5   5  =    +   +  2  8  4  8

a = x0 < x1 < x2 < ∙∙∙ < xn-1 < xn = b. donde los puntos intermedios no están a igual distancia unos de otros, por lo que la longitud del primer subintervalo es x1 - x0 = ∆1x, la del segundo subintervalo es x2 - x1 = ∆2x, la del i-ésimo subintervalo es:

1

 1  7   1  3 7  =    − 0 +  1   −  +  2  8   4  2 8

n

∑ f (c )∆x .

i

i =1

 7   −3   11  3      +     4 4 4 4

=

7 25 21 33 + + + 16 32 16 16

Con todos estos subintervalos del intervalo [a, b] se puede formar un conjunto al que se le llama partición del intervalo [a, b].

=

14 + 25 + 42 + 66 147 19 = =4 32 32 32

En este conjunto de subintervalos, al subintervalo más largo se le llama norma de la partición que se denota por || ∆ || .

La norma de ∆ es la longitud del subintervalo más largo, entonces

xi - 1 - xi = ∆ix.

Si para cada subintervalo de la partición ∆ se elige un punto ξ tal que x0 ≤ ξ1 ≤ x1 en [x0, x1], x1 ≤ ξ2 ≤ x2 en [x1, x2], xi - 1 ≤ ξi ≤ xi en [xi - 1, xi] se puede formar la suma: f ( ξ1 )∆1x + f ( ξ 2 )∆ 2 x + . . . + f ( ξ i )∆ i x + . . . + f ( ξ n )∆ n x

3

|| ∆ || = 4 . Cuando los valores de la función son negativos, la interpretación geométrica de la suma de Riemann corresponde a la suma de las medidas de los rectángulos que están sobre el eje x más los negativos de las medidas de los rectángulos que están bajo el eje x.

que con la notación sigma se expresa como: n

∑ f (ξ )∆ x

i =1

1

i

A esta suma se le conoce como una suma de Riemann.

Para tu reflexión

Julius Wilhelm Richard Dedekind

(1831-1916)

Ejemplo: 2

Para la función f (x) = x con 0 ≤ x ≤ 3, encuentra la suma de Riemann 7 3 para la función f en [0, 3] para la partición ∆: x 0 = 0, x 1 = , x 2 = , 8 2 1 1 1 7 11 x 3 = 2 , x 4 = 3 y ξ1 = , ξ2 = 1 , ξ3 = , ξ4 = . 4 2 4 4 4

Matemático alemán nacido en la ciudad de Brunswick y educado en las ciencias matemáticas en la Universidad de Gotinga, en donde presentó su tesis doctoral sobre la teoría de las integrales eulerianas, la cual estuvo supervisada por el propio Johann Carl Friedrich Gauss, de quien fue el último alumno. Con la finalidad de ampliar su panorama de estudio se enfocó en el estudio de las funciones Abelianas y Elípticas, junto con quien sería

61

3 BLOQUE


uno de sus grandes amigos, Bernhard Riemann. Esta complicidad ayudó a Dedekind a definir sus verdaderas áreas de trabajo, la Teoría de los números Algebraicos y el Álgebra. En el año 1854, tanto Dedekind como su compañero Riemann, habilitan como profesores asistentes Privatdozent, y es entonces que ambos exponen sus tesis, aunque Riemann sobresale en estos trabajos gracias a su Lección de Habilitación, que de alguna forma, impulsa a Dedekind a presentar años más tarde, sus obras trascendentales. Además de estos preceptos, su interés por las ciencias exactas lo llevo a ser considerado como el primero de su época en comprender el significado fundamental de las nociones de grupo, ideal y cuerpo, en el campo preciso del Álgebra y su derivación en la geometría algebraica. Su trabajo sobre los números naturales fue también fundamental, para cimentar lo que a la postre sería la teoría de conjuntos con sus colegas Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, con quienes dieron el fundamento de los Axiomas de Peano. Sobre el trabajo de Dedekind, Felix Klein, amante del poder y las grandes empresas, escribió: “Su fuerza estaba en la capacidad de penetrar profundamente en los principios de su ciencia; fue en esencia un hombre de natural contemplativo, al que quizá le faltaba empuje y capacidad de decisión.”


y por definición es:

∫

Dada una función f (x) si consideramos un intervalo (a, b), en el que a < b (y el signo y sentido de la variación constante), y forma mos la suma: n

∑ f (x ) x i =1

′ i

i

y esta suma tiene límite (independiente del modo de división en subintervalos y de los valores x′i tomados en cada uno de ellos) al tender a infinito el número de subintervalos (o sea, tender a cero su amplitud), este límite se llama integral definida de f (x)dx entre los extremos de a y b (o entre los límites a y b). Se representa por el símbolo:

∫

b

a

62

b

a

n

f ( x )dx = lím

∆x i →0

∑ f (x ) x i =1

′ i

i

Teorema fundamental del cálculo integral Si f es continua en [a, b] y F ( x ) =

∫

b

a

∫

b

a

f ( x )dx , entonces:

f ( x )dx = F (b) - F (a).

Para denotar la diferencia F (b) - F (a) se utiliza la expresión f ( x )dx

b

F ( x ) . a


Ejemplos:

∫

1

Solución: Área =

∫

5

1

∫

5

1

x dx + 2

∫

3 dx 2

5

1

( − x 2 + 4 x ) dx =

∫

4

0

− ( x 2 − 4 x )dx 4

x +3 dx . 2

x +3 dx = 2

4

0

1. Encuentra el valor exacto de la integral definida: 5

∫

 x3   64  = −  − 2 x 2  = −  − 2( 16 )  0  3   3

 64   64 96  32 2 + = = 10 = −  − 32  =  − 3  3 3  3   3

4. Encuentra el área delimitada por la intersección de las gráficas de y = x 2 y y = x . Los puntos de intersección son (0, 0) y (1, 1).

5

 x 2 3x  = +  2 1  4

 25 15   1 3  =  + − +  2  4 2  4

=

Solución:

55 7 48 − = = 12. 4 4 4

4 3

Este resultado es el que obtuvimos como área del trapecio limitado por el segmento AB de la recta x - 2y = -3 sobre el eje x, entre los puntos a = 1 y b = 5, con el que se inició el estudio del área.

∫

1

1 0

∫

1

Área =

3

x  x 2dx =    3 1 3

2

27 1 − 3 3

=

26 2 = =8 . 3 3

5

∫

1

0

x dx −

1

∫x 0

2 3 x3  =  x 2 −  3 0 3

=

dx

2 1 1 − = 3 3 3

4

4

3

3

2

2

1

1 2

2

Solución:

Solución:

1

4

5. Halla el área limitada por y = x 2, el eje x y las rectas x = -2, x = 2.

3. Halla el área delimitada por y = -x 2 + 4x y el eje x.

0

3

1

Figura 3.6

1

Figura 3.7

x 2dx .

Solución: 3

_ y = √x

2

2. Encuentra el valor exacto de la integral definida: 3

y = x2

3

4

−3

5

−2

−1 0

1

2

3

Figura 3.8

63

3 BLOQUE


Área =

=

∫

2

x 2dx =

−2

3

x 3

4

2

−2

8  −8  8 8 16 −  = + = . 3  3  3 3 3

6. Encuentra el área comprendida entre y = 6x - x 2 y y = x 2 - 2x. Solución:

 x3   x3  − x2 =  3x 2 −  −    3 0  3

0 = x 2 + x 2 - 2x - 6x

2x 2 - 8x = 0

2(x 2 - 4x ) = 0

x 2 - 4x = 0

x(x - 4) = 0

x1 = 0

x 2 = 4

0

    64   64 =  3( 16 ) − − (0 − 0)  −   − 16  − ( 0 − 0 )    3    3 

= 48 −

64 64 − + 16 3 3

= 64 −

128 192 − 128 64 2 = = = 21 u 2 3 3 3 3

6x - x 2 = x 2 - 2x

4

7. Halla el área entre la parábola x = y 2 y la recta y = 3x - 4. Solución:

si x = 0, y = 6x - x 2

y = 6(0) -02

y=0 si x = 4, y = 6(4) - 42

= 24 - 16

=8

(4, 8) Figura 3.10

Los puntos de intersección se obtienen resolviendo el sistema:

x = y 2

y = 3x - 4

al sustituir x = y 2 en y = 3x - 4 se tiene que:

(0, 0)

y = 3y 2 - 4

de donde: Figura 3.9

Área =

∫

4

0

( 6 x − x 2 ) dx − 4

64

∫

4

0

( x 2 − 2 x ) dx

2 3  3  2 =  6x − x  −  x − 2x   2 3 0  3 2 

4

0

3y 2 - y - 4 = 0

3y 2 - 4y + 3y - 4 = 0

3y 2 + 3y - 4y - 4 = 0

3y ( y + 1) - 4( y + 1) = 0

(3y - 4)( y + 1) = 0


por lo que:

de donde: 3y − 4 = 0 ⇒ y 1 =

4 3

A=

4 3

y +4  − y 2  dx =   −1  3

∫

∫

4 3

y 4 2  + − y  dy . 3 3

−1 

y + 1 = 0 ⇒ y 2 = −1 Por el teorema fundamental:

al sustituir estos valores en la ecuación de la recta se obtiene:

y = 3x − 4

4 = 3x − 4 3 al multiplicar la ecuación por 3: 4  3  = 3x − 4  3 

4 = 9x - 12

de donde:

4 + 12 = 9x

16 = 9x

16 =x 9

 16 4  por lo tanto, un punto de intersección es  ,  . Al sustituir el  9 3 valor de y = -1 en y = 3x - 4:

-1 = 3x - 4

-1 + 4 = 3x

3 = 3x

3 =x 3

1=x

 y2 2 y3  A= + y−  3   6 3

4 3

−1

3   42  4      3 2  4   3    ( −1)2 2 ( −1)3   +  − − = + ( −1) −   6 3  3 3   6 3 3 

 16 64  9 8 27 = + − 9 3  6

   1 2 −1  − − −   6 3 3 

 16 8 64   1 2 1  =  + − − − +   54 9 81   6 3 3 

 64 + 144 − 128   1 1  =  − 6 − 3 162    

 88   1 − 2  = −   162   6 

 88   −1 88 1 − = + =   162   6  162 6

=

188 + 27 115 = . 162 162

entonces el otro punto de intersección es (1, -1). Para integrar a lo largo del eje x sería necesario dividir en dos partes la región entre la recta y la parábola, la que está por encima y la que está por debajo del eje x. Conviene entonces integrar a lo largo del eje y tomando las ordenadas de los puntos de intersección. Para ello, se resuelve la ecuación y = 3x - 4 para x en términos de y :

y = 3x - 4

A partir de los ejemplos anteriores, el cálculo de áreas planas, con siste en: n

Trazar la gráfica de las curvas que limitan el área que se busca.

n

Identificar los puntos de intersección de las curvas.

y + 4 = 3x

n

Determinación de la zona cuya área se desea calcular.

y +4 =x 3

n

Elección de la variable a integrar.

n

Integración bajo los límites. 65

3 BLOQUE


Para tu reflexión

Isaac Barrow (1630-1677) Nacido en Londres, Inglaterra, teólogo, matemático y profesor en la Universidad de Cambridge, de carácter serio y un tanto agresivo desde la infancia pudo superar su paso por el Trinity College, para después residir en Cambridge como investigador interno. Después de varios años de enseñar griego, geometría y finalmente ser nombrado el primer profesor Lucasiano, en Cambridge, publicó dos trabajos matemáticos, uno de ellos en geometría y el segundo en óptica. En el primero de estos libros contribuyó contundentemente a la aplicación del cálculo diferencial directamente a la geometría. Debe mencionarse que Barrow fue el maestro directo del científico Isaac Newton, quien fue el único contemporáneo que pudo superarlo; ambos trabajaron con el Teorema Fundamental del Cálculo que afirmaba que “la derivación e integración de una función son operaciones inversas y que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma”. Este principio fue fundamental para el trabajo y desarrollo de Barrow y su aprendiz Newton en el estudio del análisis matemático y que convergió al cálculo aproximado de área integrales con el cálculo diferencial de esta época, al demostrarse que el estudio del área bajo una función estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, lo que dio como resultado la operación inversa a la derivación. De esta forma nace la conocida Regla de Barrow y que también se definió como El segundo Teorema Fundamental del Cálculo, que adapta a las funciones continuas y que permitió calcular la integral de una función, basada en el uso de una integral definida de la propia función al ser integrada: “Dada una función f (x ) continua en el intervalo [a, b ] y sea F (x ) cualquier función primitiva de f, es decir F ′(x ) = f (x ). Entonces ∫ab f (x )dx = F (b ) - F (a ).” Barrow murió a los 47 años. La mayoría de sus últimos escritos se encuentran enfocados a la teología, principalmente sermones, en donde uno de los que resaltaron fue la obra maestra Pope’s Supremacy.

66

a

b


Volumen Cuando con respecto a un eje del plano, eje de revolución, se hace girar una función, se genera un cuerpo que se conoce como sólido de revolución. La función y el eje de revolución determinan la forma del sólido.

a

Consideremos la función constante y = f (x) en el intervalo [a, b] de la gráfica y el giro que se indica para obtener un cilindro.

b Figura 3.13

Si una función de la forma y2 = 4x se hace girar alrededor del eje x, el sólido en el intervalo [0, 2] nos queda de la siguiente forma.

y = f(x)

a

a

b

b

Figura 3.11

Si una función de la forma y = mx + b corta al eje x en el punto (a, 0) y se considera sobre la recta un punto B, que tiene abscisa b, entonces se genera un cono. Figura 3.14

B

a

b

Si se considera que el sólido de revolución que se genera está for mado por una infinita suma de discos cuyas caras circulares tienen por área A = πr2, donde r = f (x), entonces el volumen de cada dis co se puede expresar como: V=

Figura 3.12

∫

b

a

π( f ( x ))2 dx

donde a y b son los extremos que representan las rectas que la limitan. 67

3 BLOQUE


De esta manera, para el primer ejemplo, supongamos que la fun ción es y = f (x) = r, a = 1, b = 4, entonces el volumen del cilindro nos queda así: V =

∫

4

1

En el tercer ejemplo, la función es y2 = 4x y las rectas x = 0, x = 2. El volumen del sólido es:

2

π( f ( x )) dx

V=

=

∫

4

1

2

πr dr

2

∫

2

π( 4 x )2 dx

0

0

π( 4 x )dx 2

  x2   =  π( 4)    2  0 

4

r3 π( 4)3 π(1) = π = 3 1 3 3 =

=

∫

2

= π(2)x 2 0

63 π . u 3 . = 21π ≈ 6594 3

= π(2)(2)2 - π(2)(0)2

En el caso del segundo ejemplo, supongamos que la función es y = x - 1 y las rectas x = 1, x = 5.

= 8π

El volumen del cono es:

≈ 251328 . u 3 .

V=

∫

5

∫

5

∫

5

1

π( f ( x ))2 dx =

∫

5

1

π( x - 1)2 dx

Calcula el volumen del sólido que se genera al girar la función y = 9 - x2 alrededor del eje y y limita con el eje x. Los puntos de intersección de la curva con los ejes, son:

=

1

π( x - 2 x + 1)dx 2

si x = 0

entonces

=

1

πx dx 2

∫

5

1

2 πxdx +

∫

5

1

πdx

5

2  3  =  πx - 2 πx + πx  2  3 1

y = 9 - (0)2

y=9

el punto de intersección es (0, 9).

Si y = 0

entonces  125 π π  -  - (25 π - π) + (5 π - π) =   3 3 124 π - 24 π + 4 π = 3 124 π - 20 π = 3 ≈ 1298528 . - 62832 . ≈ 6702 . u 3 . 68

0 = 9 - x2

x2 = 9

x =± 9

x = ±3.

Los puntos de intersección con el eje x, son (-3, 0), (3, 0). Al despejar x en función de y:

y = 9 - x2 x2 = 9 - y x = 9- y


entonces

∫

9

=

∫

9

=

∫

9

∫

9

V=

=

0

0

0

0

Además de esta sublime aportación al campo matemático, Fermat fundó junto con Blaise Pascal la Teoría de las Probabilidades, la cual estudia los fenómenos aleatorios estocásticos, que son simplemente resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas.

2

π( f ( y)) dy π( 9 - y )2 dy

Independientemente de lo expuesto por René Descartes en su tiempo, el propio Fermat también descubrió el Principio Fundamental de la Geometría Analítica, sin tener alguna relación con el sabio francés.

π(9 - y)dy π(9)dy -

∫

9

0

Por otra parte, sus conocimientos vastos sobre la Teoría de los Números lo llevaron a generar el último teorema de Fermat, uno de los más famosos en la historia de las ciencias exactas y que dicta: “Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen número entero a, b y c, tales que se cumpla la igualdad (con a, b y c no nulos).”

π ydy

Debido a la complejidad de esta notación, durante más de 300 años varios matemáticos intentaron comprobar lo expuesto por Fermat y no fue sino hasta 1995, cuando Andrew Wiles pudo demostrarlo y entonces se anexó su nombre al teorema para quedar como Fermat-Wiles.

9

 πy 2  =  9 πy  2 0   31416 . (81) 314 . 16(0)  = 9(31416 . )(9) - 9(21416 . )(0) -   2 2  ≈ 2544696 . - 1272348 .

“El príncipe de los aficionados”, como fue apodado por Eric Temple Bell, fue uno de los científicos más sobresalientes no sólo de su época sino de la actualidad, tan es así que es uno de los pocos genios a los que se les ha dado la distinción de nombrar a un asteroide con su apellido, además de que se le ha denominado Fermat a un cráter lunar de más de 39 kilómetros de diámetro.

≈1272348 . u 3.

Para tu reflexión

Pierre de Fermat (1601-1665) Junto con René Descartes, el jurista Pierre de Fermat fue uno de los grandes matemáticos de la mitad del siglo xvii, pues su afición por las ciencias exactas lo llevó a descubrir el cálculo diferencial, mucho antes que Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz ampliaran el panorama sobre esta ciencia exacta. El análisis matemático y el mismo cálculo llevaron a este genio a ahondar en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones, o en su caso, como campos objetos del análisis. Debemos recordar que el principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la definición conocida como derivada, que es la medición de la rapidez con la que el valor de la función en cuestión cambie el valor de su variable independiente. Movimiento, posición, tiempo y velocidad fueron los conceptos agregados a la función que obligó a Pierre de Fermat a proponer los inicios del cálculo diferencial, mismos preceptos que fueron mejorados por varios intelectuales años adelante.

69

3 BLOQUE

Instrumentos de evaluación Apellido paterno __________________ Apellido materno __________________ Nombre _______________ Grupo _____ Asegúrate de haber adquirido los conocimientos que se abordaron en este bloque. Para ello, realiza lo que se pide a continuación. 1. Utiliza la notación sigma para representar la suma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 2. Obtén los elementos de la serie: 5

1

∑ 1+ i i =1

2

4. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para calcu lar el área de la superficie limitada por la parábola y2 = x y la recta y = 2x. 5. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para calcu lar el volumen de un cono de radio r y altura a.

=

6. Encuentra el área comprendida entre y = 6x - x2 y y = x2 - 2x.

3. Encuentra la suma de Riemann para la función y = x3 en 1 el intervalo [-1, 1] para la partición ∆: x1 = -1, x2 = - , 2 1 3 1 1 7 x3 = , x4 = 1; x1 = , x2 = - , x3 = , x4 = . 2 4 8 4 8


Aspecto a evaluar


Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Integral definida

Conoce y utiliza la notación sigma. Interpreta y calcula numéricamente el área bajo la curva.

Conoce y utiliza la notación sigma. En la mayoría de los casos interpreta y calcula numéricamente el área bajo la curva.

Conoce y utiliza la notación sigma. En algunos casos interpreta y calcula numéricamente el área bajo la curva.

No conoce ni utiliza la notación sigma. No interpreta ni calcula numéricamente el área bajo la curva.

Calcula sumas de Riemann. Aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. Calcula el volumen de sólidos de revolución.

Calcula sumas de Riemann. En la mayoría de los casos aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. En la mayoría de los casos calcula el volumen de sólidos de revolución.

Calcula sumas de Riemann. En algunos casos aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. En algunos casos calcula el volumen de sólidos de revolución.

No calcula sumas de Riemann. No aplica el teorema fundamental del cálculo integral para determinar el área bajo la curva. No calcula el volumen de sólidos de revolución.

Área bajo la curva

Deficiente (1)

Puntos

Total

70


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el área de la región delimitada del bloque 3. Nombre del alumno: Criterios

cumple sí no

Observaciones

Presentación


Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema

10. L a investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Identifica y reconoce los elementos del problema. 12. Representa las condiciones del problema y establece las relaciones entre los datos. 13. E xpresa algebraicamente las condiciones del problema y calcula la medida del área delimitada. 14. Representa las condiciones del problema. 15. Establece las relaciones entre los datos y lo expresa algebraicamente. 16. U tiliza el teorema fundamental del cálculo integral y calcula la medida del área delimitada.

71

3 BLOQUE


Rúbrica


Criterios




Aspecto a evaluar




Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos







Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

Total

Rúbrica


Criterios




Aspecto a evaluar




Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos







Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para calcular el volumen del cono.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para calcular el volumen del cono.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para calcular el volumen del cono.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para calcular el volumen del cono.

Total

72


Rúbrica de plenaria

Nombre del alumno:

NIVEL

Presentación

Aspecto a evaluar

Organización y claridad

Calidad y cantidad de información

Coherencia

Tolerancia a la crítica

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Puntos

Utiliza de manera convincente el tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo.

Utiliza de manera convincente dos elementos de tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una buena postura frente al grupo.

Utiliza de manera convincente sólo un elemento en tono de voz, gestos o entusiasmo. Mantiene una postura aceptable ante el grupo.

No utiliza de manera convincente el tono de voz, los gestos ni el entusiasmo. Mantiene mala postura y mala ubicación frente al grupo.

Todo el tiempo expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el intercambio de ideas.

En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara y ordenada. Muestra organización en el desarrollo de ideas.

En algunos momentos expresa sus puntos de vista de manera clara, pero no de manera ordenada. No muestra organización en el desarrollo de ideas.

No expresa sus puntos de vista. No hay organización en el intercambio de ideas.

Presenta información suficiente, adecuada y sustentable para rebatir las ideas y opiniones.

Presenta información adecuada y sustentable pero insuficiente para rebatir las ideas y opiniones.

Parcialmente presenta información suficiente para rebatir las ideas.

No presenta información suficiente o adecuada para rebatir las opiniones.

Muestra coherencia en sus comentarios, denota su conocimiento sobre el tema. Maneja los términos adecuados y correctos.

Muestra coherencia en sus comentarios y denota conocimiento del tema. Maneja parcialmente los términos adecuados y correctos.

Muestra parcial coherencia en sus comentarios. Denota mínimo conocimiento del tema. Maneja algunos términos adecuados y correctos.

No muestra coherencia en sus comentarios. No maneja los términos correspondientes o adecuados.

En todo momento muestra respeto a la crítica del equipo contrario. Acepta las menciones y opiniones sin manifestar molestia.

La mayor parte del tiempo muestra respeto a la crítica del equipo contrario. Acepta las menciones y opiniones sin manifestar molestia.

Algunas veces muestra intolerancia a la crítica. Manifiesta cierta molestia ante las menciones y opiniones recibidas.

Muestra intolererancia a la crítica. Manifiesta molestia ante las menciones y opiniones recibidas.

Total

73

Resuelves problemas de aplicación de la integral definida en situaciones reales en el campo de las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas

4


4.1 Áreas y volúmenes de sólidos de revolución

4.2 Problemas de aplicación: Ley de Newton, Crecimientos exponenciales y Oferta y demanda


I dentifica casos factibles de aplicación de la integral definida en el ámbito de las ciencias exactas, naturales y sociales.

n

A plica la integral definida para resolver problemas en el campo disciplinar de las matemáticas, física, biología y economía, administración y finanzas.

n

Valora el uso de las TIC como herramientas para el modelado y la simulación de problemas de aplicación de integrales definidas en cualquier contexto disciplinar.

n

A sume una actitud constructiva, congruente a sus competencias para proponer maneras de solucionar un problema de su entorno mediante la aplicación de la integral diferenciada.

¿Qué sabes hacer ahora? 1. La densidad lineal de una barra de un punto a x metros de un extremo es √5 + x 2 kilogramos por metro, obtén la masa y el centro de masa si la barra mide 2 metros. 2. Mientras se levanta un costal de harina de trigo hasta una altura de tres metros, la harina escapa a una razón tal que el número de kilogramos perdidos es proporcional a la raíz cuadrada de la altura alcanzada en ese momento. Si el costal contenía 25 kg y perdió 5 kg mientras se levantó a tres metros, calcula el trabajo efectuado al levantar el costal.


3. Un meteorito está a x kilómetros del centro de la Tierra y cae hacia la superficie. La fuerza de gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de un cuerpo al centro de la Tierra. Calcula el trabajo realizado por la gravedad si el peso del meteorito es K kilogramos en la superficie de la Tierra, considera que nuestro planeta tiene un radio de R kilómetros.

Aplica el concepto de sólido de revolución en el diseño de envases, depósitos y contenedores en general, de formas homogéneas y heterogéneas. Aplica las integrales definidas en la solución de problemas de leyes de Newton (centro de masa, trabajo realizado por una fuerza, movimiento de partículas) y/o crecimientos exponenciales, resolviéndolos de manera autónoma utilizando los procesos aprendidos. Aplica las integrales definidas para resolver problemas de oferta y demanda de un bien (producto) o un servicio.

4 BLOQUE




Demuestra que el área A de un círculo de radio r es: A = pr2.


Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente las condiciones del problema.

¿Qué tienes que hacer? n ¿Cómo se expresa el área anterior por medio de una integral definida?


n ¿Cuáles son sus límites?

Cada equipo deberá investigar:

n ¿Cuál es el valor que se obtiene?

n ¿Cuál es la ecuación de una circunferencia de radio r? n ¿Cómo se despeja y de la ecuación anterior?

n ¿Cómo se calcula la integral?

n ¿Qué parte del área del círculo representa ese valor? n ¿Cuál es el área del círculo de radio r?

un círculo de radio r, ¿cómo se puede bosquejar el área bajo la curva en el primer cuadrante?

n Para



Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema.



Producto a elaborar


Presentar dibujos que ilustren las condiciones del problema y el procedimiento seguido para resolverlo. El razonamiento matemá tico incluyendo los cálculos a realizar la demostración que se pide.

76



Para cada una de las partes del procedimiento de demostración se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el mate rial utilizado, la creatividad en la presentación, el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etcétera. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva luación del mes.


¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Indicadores de desempeño n Identifica y reconoce los elementos del problema. n Sabe aplicar la definición de integral definida y cómo calcularla. n Realiza la demostración que pide el problema.

Sugerencia de evidencias de aprendizaje n Determina el modelo matemático de la integral definida. n Resuelve la integral y realiza la demostración.


Demuestra que la longitud C de una circunferencia de radio r es: C = 2pr.

77

4 BLOQUE



Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente las condiciones del problema. En reunión plenaria presenten los resultados, analicen y discutan las formas de resolver el problema. Cada equipo deberá investigar: n

¿Cuál es la ecuación de una circunferencia de radio r?

n ¿Cuál es la derivada de y con respecto a x? n

Para una circunferencia de radio r, ¿cómo se puede bosquejar el arco de la curva en el primer cuadrante?


¿Qué tienes que hacer? n ¿Cómo

se expresa la longitud de ese arco por medio de una integral definida?

n ¿Cuáles son sus límites? n ¿Cómo se calcula la integral? n ¿Cuál es el valor que se obtiene? n ¿Qué parte de la longitud de la circunferencia representa ese

valor? n ¿Cuál es la longitud de la circunferencia de radio r?


Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, re gistrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de los conceptos teóricos utilizados en la resolución del

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.


Producto a elaborar


Presentar dibujos que ilustren las condiciones del problema y el procedimiento seguido para resolverlo. El razonamiento matemá tico debe incluir los cálculos para realizar la demostración que se pide.


Para cada una de las partes del procedimiento de demostración se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, en el esfuerzo realizado, la forma en que se presenta, los libros consultados, etc. La descrip ción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de la calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la eva luación del mes.

78

¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Indicadores de desempeño n Identifica y reconoce los elementos del problema. n Sabe aplicar la definición de integral definida y cómo calcularla. n Realiza la demostración que pide el problema.

Sugerencia de evidencias de aprendizaje n Determina el modelo matemático de la integral definida. n Resuelve la integral y realiza la demostración.


Introducción

a

A continuación se mencionan diversos campos del conocimiento en los que se aplica la integral. Física y mecánica n

Área de una región plana.

n

Área de una región plana comprendida entre dos curvas.

n

Volúmenes de sólidos de revolución.

n

Cálculo de trabajo y esfuerzo.

n

Cálculo de velocidades y aceleraciones de móviles.

n

Cálculo de momentos y centros de masa.

n

Cálculo de la longitud de arco de una curva.

n

Cálculo de la presión ejercida por un fluido.

2.44

–1.5

∫

=w

Determinar cantidades que intervienen en una reacción.

Cálculo del valor presente de un ingreso continuo.

Curvas de aprendizaje.

=w

Aplicar las leyes de la oferta y la demanda, así como la deter minación de costo o beneficios en la producción de bienes o servicios.

n

Coeficientes de desigualdad para la distribución del ingreso de una población.

n

Maximización de la utilidad con respecto al tiempo.

n

Superávit del consumidor (dinero ahorrado por el consumi dor al comprar un artículo a un precio dado).

n

Superávit del producto o excedente del producto (ganancia del productor al vendedor a un precio menor que el dado).

4.1 Áreas y volúmenes de sólidos de revolución Una compuerta de una esclusa tiene forma rectangular y está en posición vertical; mide 3 metros de ancho y 2.44 metros de altura. Su borde superior coincide con la superficie del agua. Encuentra la presión que se ejerce sobre la compuerta.

0

F=

ab 2 w 2

ha dh b

 a 0

 h2   a 2  = w  ⋅a  -  ⋅a  2  2 

Economía n

∫

b

 h2 = w 2

Pedagogía n

L dh = a dh F = w h ⋅ a dh

Finanzas n

1.5 3

Química n

b

L

ab 2 2

= 1 000

(3)(244 . )2 2

= 8 930 kg

Para tu reflexión

Gottfried Withelm Leibniz (1646-1716) Definido como el último gran genio universal, Von Leibniz, como se hizo llamar en los últimos años de su existencia física, vivió entre los siglos xvii y xviii, siendo jurista, político, matemático y filósofo en su natal Alemania; después de la muerte de su padre, tuvo la herencia de contar con una biblioteca personal la cual estudió y le generó una sapiencia sin mesura. A su paso por el mundo científico, Leibniz dejó legados importantes en muchas áreas, desde la Epistemología, la Metafísica, la Lógica y la

79

4 BLOQUE


Filosofía de la religión, hasta la Geología, la Jurisprudencia, la Historia y finalmente, las matemáticas. A los 12 años, el pequeño Leibniz ya tenía el conocimiento del latín que usó el resto de su vida en cada uno de sus obras y comenzaba a adaptar el griego a su vocabulario.

de Dios. Publicó numerosos panfletos, a nombre de la Casa de Brunswick, entre los que se destaca De jure suprematum.

En específico, Leibniz fue el fundador de cálculo infinitesimal en una versión alejada de la expuesta por Sir Isaac Newton, incluso, la notación emitida por Leibniz es la que hasta la fecha es utilizada en estas operaciones, aunque en su momento, la Real Sociedad de Londres lo acusara de haber plagiado este trabajo y dio inicio la disputa sobre la paternidad del cálculo.

4.2 Problemas de aplicación: Ley de Newton, Crecimientos exponenciales y Oferta y demanda

El cálculo infinitesimal cuenta con variantes aplicaciones en la ciencia e ingeniería; en concreto, se usa para dar respuesta a problemas que no bastan con el apoyo del Álgebra. En contexto, este cálculo se constituye por dos preceptos importantes algebraicos, además de incluir al cálculo diferencial y al cálculo integral, ambos en mezcla racional bajo el teorema fundamental del cálculo, el cual fue trabajado por Arquímedes y perfeccionado por Barrow, Newton y finalmente por Leibniz. Otra de sus grandes aportaciones fue el sistema binario, base fundamental y coyuntural para el desarrollo operativo, arquitectónico y virtual de las computadoras de nuestros tiempos. Racionalista en su pensamiento, contribuyó con vastas nociones a la Biología, ingeniería, a las ciencias de la información así como a la teoría de la probabilidad.

A continuación te presentamos una relación con problemas de aplicación de integrales.

Economía-producción 1. Una empresa de manufactura observa sus ciclos de producción y tras producir 800 unidades de su producto determina que el tiempo del ciclo requerido para ensamblar una unidad es de: f ( x ) = 100 x

-

1 2

horas

Calcula las horas requeridas para producir 450 unidades adi cionales.

Durante su vida, el genio alemán publicó varios panfletos y textos académicos, además de dos libros filosóficos, De Ars combinatoria y la Teodicea, la cual fue considerada como el conocimiento filosófico

Solución:

∫

800+ 450

800

100 x

-

1 2

dx =

∫

1250

800

= 100

∫

1 - 100 x 2 dx 1 1250 - 2

800

x

dx

1250

80

 1 = 100  2 x 2 800

1 1   = 100  2(1250) 2 - 2(800) 2 

=100(141421 . )

=141421 . horas


8. Calcula el área delimitada por las gráficas de las funciones f (x) = x2 y g(x) = x + 1. 9. Calcula el área delimitada por las gráficas de la parábola f (x) = x2 + x - 3 y el eje x. 10. Calcula el área del recinto comprendido por la gráfica de la función f (x) = 3x3 + 2x2 + 2x + 3, el eje x y las rectas x = 2 y x = 6. 11. Calcula el área de la región del plano encerrado por la gráfica de la función f (x) = ex y g(x) = ln(x) de x = 0 a x = 1. 12. Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones f (x) = x y g(x) = 3 x . 2. Tras observar durante semanas la producción de una empresa un ingeniero estima que la empresa produce 600 unidades al mes a razón de:

f (x) =

1 3 x + 4x horas. 5

Encuentra el tiempo extra que deberá de pagarse si deben de producirse 70 unidades extra al requerimiento el siguiente mes.

13. Calcula el valor del coeficiente b sabiendo que el área delimi tada por la parábola y = x2 + bx - 2 y la recta 2x + y + 1 = 0 4 es . 3

Volumen de sólidos de revolución 14. Calcula el volumen del sólido engendrado por revolución de p p la gráfica f (x) = sen x entre - y . 2 2 15. Halla el volumen del área plana comprendida entre y = -x2 - 3x + 6 y x + y = 4 si se genera una revolución alre dedor del eje x. 16. Encuentra el volumen del sólido de revolución comprendido por el giro de la región plana localizada entre x = 0, y = x3 y x = 2 al girar respecto al eje x. 2 respecto al eje y y limitada por las rectas y = 1, y = 5. Calcula el volumen de dicho sólido.

17. Un sólido se genera al girar la hipérbola x =

Ley de Newton Áreas planas 3. Calcula el área de la región delimitada por la gráfica de la fun ción f (x) = -x2 + 5x, el eje x y las rectas x = 1 y x = 4. 4. Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de la función f (x) = x2 - 4x, el eje x y las rectas x = 2 y x = 3.

18. Si se lanza un objeto vertical mente hacia arriba con una velocidad inicial de 60 m/s, ¿qué altura alcanzará después de los primeros 4 segundos?

5. Calcula el área comprendida entre la gráfica de la función p 3p f (x) = cos x, el eje x y las rectas x = y x = . 2 2 6. Calcula el área de la región limitada por las gráficas de las fun ciones f (x) = 3x2 - x + 3 y g(x) = x2 - 3, entre x = -2 y x = 2. 7. Calcula el área comprendida entre las gráficas de las funciones f (x) = x3 + 2x2 y g(x) = x + 2, entre x = -2 y x = 1. 81

4 BLOQUE


Crecimiento exponencial

Crecimiento exponencial

19. Una población A(t) de animales aumenta con una rapidez anual dada por R(t) = 300 + 40 t, donde t está medido en años. Calcula cuánto aumenta la población entre los años cin co y ocho.

21. Se encontró un papiro egipcio que tiene una relación de car bono 14 con carbono 12 igual a 0.4 de la relación correspon diente a la de un material similar actual. Estima la edad del papiro al ciento de años más próximo.

Economía 20. Si se considera una tasa inflacionaria de 4% anual para los próximos cinco años:

a) Verifica que la razón de cambio de c respecto a t medido en años, es proporcional a c. ¿Cuál es la constante de pro porcionalidad?

b) Determina la función que da el costo c de bienes o servi cios en los años de ese lustro.

c) Si el precio de un servicio hoy es de $500.00, estima el precio del mismo servicio dentro de 4 años.

Velocidad 300 m3 , p( 4 + t 2 ) h calcula el tiempo necesario para llenarla si se sabe que su ca pacidad es de 60 m3.

22. Si se llena una piscina a una velocidad de

23. Una partícula se mueve de forma recta de manera que su ace leración es a(t) = t + 8 y su velocidad inicial es de v(0) = 3.

82

a) Encuentra la función de la velocidad de esta partícula.

b) Calcula la distancia recorrida en los primeros 6 segundos.


Aceleración 24. Se desea saber la altura de un edificio y para este fin, se deja caer una piedra desde la azotea y se toma el tiempo en que lle ga al suelo. Si la piedra demora 12 segundos en llegar al piso, ¿cuál es la altura del edificio?

Solución: 3

 t3  v(t )dt = (t - 2t )dt =  - t 2  = 0  3 0 0 0

∫

3

∫

3

2

lo que significa que el objeto se encuentra en la misma po sición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.

Velocidad

b) La distancia recorrida en ese tiempo. La velocidad puede escribirse como v(t) = t (t - 2) de modo que v(t) ≥ 0 si 2 ≤ t ≤ 3 y la velocidad es negativa si 0 ≤ t ≤ 2. La distancia recorrida es:

Solución:

25. Un helicóptero que sobrevuela a una altura de 40 metros re quiere soltar víveres para apoyar a una población. Por razones de seguridad se debe calcular la velocidad con la que los víve res se impactarán contra el piso. ¿Cuál es esa velocidad?

∫

3

0

v(t )dt =

3

∫ (t 0

2

- 2t )dt +

3

∫ (t

2

2

3

- 2t )dt

 t3  t3   = - - t 2  +  - t 2   3 0  3 

8 8 = - + 4+9-9- + 4 3 3

8 = metros 3

3

2

v(t)

1

26. Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante v(t) = t2 - 2t metros por segun do. Calcula:

a) El desplazamiento del objeto durante los primeros 3 se gundos.

1

1

2

3

t

1

83

4 BLOQUE


2t + 1 m , calcula la dis t +t2 s tancia recorrida durante los primeros 7 segundos.

27. Si la velocidad de un móvil es v(t) =

28. Un fósil recientemente descubierto tiene una relación de car bono 14 con carbono 12 igual a 0.1 de la relación correspon diente a la de un material orgánico actual. Estima la edad del espécimen al ciento de años más cercano.

La función densidad de probabilidad f (x) para el tiempo x (en días) es considerada costosa y que se tenga que vender el ve hículo está dada por f (x) = -0.2-0.2x, 0 ≤ x ≤ ∞. Encuentra la probabilidad de que un auto esté fuera de servicio por más de 20 días antes de ser vendido, así como la probabilidad de que un auto esté fuera de servicio un máximo de 10 días antes de ser vendido. 30. Determina si las funciones dadas son densidad de probabilidad: h(x) = x-3, 1 ≤ x ≤ ∞ g(x) = -2e-5x, 0 ≤ x ≤ ∞ l(x) =

x ,0≤x≤∞ 15

31. Un centro de servicio para reparación de electrodomésticos está en servicio 12 horas al día y las operaciones, a excepción de los casos de urgencia, se programan para realizarse en las siguientes 12 horas laborales. La función densidad de proba 1 x2 , 10 ≤ x ≤ 12. Determi + bilidad está dada por f (x) = 24 576 na la probabilidad de que el centro de servicio opere entre 8 y 10 horas al día y calcula la probabilidad de que el centro opere menos de 8 horas al día.

Economía 29. Una compañía cuenta con una gran cantidad de carros “rule ta” para uso de sus empleados. Los registros de tiempo cuando uno de estos vehículos está fuera de servicio por descompos tura sirven como base para decidir cuándo debe venderse el vehículo.

84


32. Si la función de densidad es y = 45 - x2 evalúa el excedente del consumidor si:

7 x0 = 3

Velocidad y aceleración Si un punto se mueve en línea recta de tal manera que a es la ace leración en el instante t, v es la velocidad y e es el espacio recorrido, entonces, con base en la física, se puede establecer que:

El artículo es gratuito ( y0 = 0).

a=

Oferta y demanda

dv de , v= dt dt

A partir de las ecuaciones anteriores:

x2

33. Si la función de oferta es y = 4e y x0 = 2 calcula el excedente del productor. Si la función de demanda es y = 32 - y2 y la función de ofer ta es y = 8x + 1, determina el excedente del consumidor y el excedente del productor en un mercado ideal de libre compe tencia. 34. Si la función de oferta es y = 16 + x y x0 = 9, obtén el exce dente del productor. 1 35. Las funciones de oferta y demanda son y = (1 + 4x) y 5 1 y = (16 - x)2, respectivamente. Si se establece un impuesto 5 adicional de 4 por unidad de producto, calcula la disminución y el excedente del consumidor. 36. La cantidad vendida y el precio monopólico se determinan por las funciones de demanda y = 30 - 6x2 y costo marginal y = 4x + 5, de manera que se maximice la utilidad. Calcula el excedente del consumidor. 37. La cantidad vendida y el precio del producto en un merca do de monopolio se determinan por la función de demanda x2 y = 36 - x2 y el costo marginal y = 6 + de manera que se 3 maximice la utilidad obtenida. Calcula el excedente del con sumidor. 38. La cantidad vendida y el precio del producto están determi 1 nados por la función de demanda y = (16 - x)2 y de costo 4 x3 total y = + 6x de tal manera que se maximice la utilidad. 4 Determina el excedente del consumidor. 39. Si la función de demanda corresponde a la parte de la hipér 8 bola equilátera y = - 2 situada en el primer cuadrante x +1 1 y la función de la oferta es y = (x + 4), calcula el excedente 2 del productor y el del consmidor en un mercado de libre com petencia. 40. Las funciones de demanda y oferta son y = 18 - x , y = 3x + 2, respectivamente. Determina el excedente del consumidor y el excedente del productor. 2

2

dv = adt, de = vdt Considerando que la aceleración es una función conocida del tiem po, la velocidad se obtiene al integrar la primera ecuación, esto es:

∫

v = adt + c Por otra parte, si la velocidad es una función conocida del tiempo, el espacio se obtiene al integrar la segunda ecuación, es decir: e = ∫vdt + c En general, si la velocidad es una función del tiempo y se conoce su valor en un instante t0, al sustituir esos valores, después de integrar, se puede obtener el valor de la constante c. Ejemplo: Un cuerpo, que parte del reposo, cae con la aceleración constante de la gravedad g. Encuentra su velocidad v y el espacio e, recorrido en función del tiempo t. Solución: De acuerdo con las condiciones del problema: A partir de la igualdad: se obtiene:

dv ––– = g dt dv = gdt

que al integrar nos da:

∫

v = gdt = gt + c Como el cuerpo parte del reposo, entonces v = 0 en el instante t = 0. Si se sustituyen estos valores en la ecuación:

v = gt + c

0 = g(0) + c

por tanto: c=0 en consecuencia:

v = gt

(4.1)

85

4 BLOQUE


Sólidos de revolución

A partir de la ecuación: se obtiene:

Método de discos

de v = ––– dt

4 Demostrar que el volumen de una esfera es: V = p r 3 . 3

de = vdt

(4.2)

y como v = gt, al sustituir (4.1) en (4.2), nos queda: de = gtdt que al integrar nos da:

gt 2 e = gtdt = ––– + c 2

∫

y

1 = –– g t 2 + c 2

r

0

cuando t = 0, e = 0 y en consecuencia c = 0, por lo que: 1 e = –– g t 2 2

Ejemplo: Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad de 7 metros por segundo. Encuentra la distancia que recorre a los t segundos. Solución: El cuerpo cae con una velocidad a la que se agrega el efecto de la gravedad, entonces la aceleración a es: de donde:

De la ecuación de la circunferencia de radio r se despeja y2:

dv = gd

x2 + y2 = r2

∫

v = gd = gt + c

Para t = 0 v = v0 entonces:

entonces:

de v = ––– dt

e = vd = (gt + v0)dt

V=

∫ ∫ e = ∫vdt = ∫(gt + v )dt 0

e = v0t + 1/2 gt 2

que al sustituir la velocidad inicial nos queda:

86

e = -7 t + 1/2 gt 2

y2 = r2 - x2 Como el volumen de la esfera es el doble del volumen que se obtie ne cuando x varía desde 0 a r, entonces:

v = gt + v0

como:

Con base en la figura, el volumen de cada disco es: V = py2dx (donde x varía de 0 a r)

dv a = ––– dt

Utilizando el método de discos sabemos que cada uno se puede expresar como el producto del área de su base por su altura.

∫

r

0

p y 2 dx

al sustituir y2 por r2 − x2: V =2

∫

r

0

p(r 2 - x 2 )dx

∫

r

= 2 p (r 2 - x 2 ) dx 0

 = 2p  

r

∫r 0

2

dx -

r  x3 = 2p  r 2x 0 3 

∫

r

0

 x 2 dx  

  0 r

  r3  = 2p  r 3 -  - 0   3  

V =2

∫

r

0

p(r 2 - x 2 )dx

∫

r

= 2 p (r 2 - x 2 ) dx 0

 = 2p  

∫

r

0


 x 2 dx  0 

∫

r 2 dx -

r  x3 = 2p  r 2x 0 3 

r

de donde:

  0 r

y2 =

  r3  = 2p  r 3 -  - 0   3  

Entonces:

 r3  = 2p  r3 -  3 

V=

2  = 2p  r3  3  =

r2 2 x a2

=

4 pr 3 3

∫

a

0

p y 2 dx

 r2  p  2 x 2  dx 0  a 

∫

a

pr 2 x 3 = 3a 2

Demuestra que el volumen de un cono de radio r y altura a es: 4 pr 3 a V= 3

= =

dx r

y

a

0

pr 2 a 3 3aa 2 pr 2 a 3

Demuestra que el volumen de un cilindro recto de radio r y altura h tiene un volumen V = pr2h.

a

0

Utilizando el método de discos se encuentra que cada uno se pue de expresar como el producto del área de su base por su altura.

h

De acuerdo con la figura, el volumen de cada disco es de la forma: V = py2dx (donde x varía de 0 a a). Por la definición de la integral definida, el volumen V del cono se puede expresar como: V = lím

n

∑ f (x )∆x = ∫

n→∞

r =1

i

i

a

0

py 2 dx

Si se expresa y en función de x, la ecuación de la generatriz del cono es: r y= x a

r

Utilizando el método de discos se encuentra que cada uno se pue de expresar como el producto del área de su base por su altura. Con base en la figura, el volumen de cada disco es de la forma: V = pr2dx 87

4 BLOQUE


Por la definición de integral definida, el volumen V del cilindro se puede expresar como: V = lím

n

∑ f (x )∆x = ∫

n→∞

i

r =1

= pr 2 x

i

h

0

Área entre curvas y = 4 - x2; eje x

A=2

0 = 4 - x2

pr 2 dx

-2

( 4 - x 2 )dx 0

 1  = 2  4x - x3  3  -2 

x2 = 4 x = ±2

h

∫

0

x1 = 2, x2 = -2

= pr h - pr (0)

   1 = 2  0 -  -8 - (-8)   3   

= pr 2 h

= 2(533 . ) ≈ 1066 . u2

2

0 2

Demuestra que la longitud c de una circunferencia de radio r es c = 2p r. Demuestra que el área A de un círculo de radio r es A = pr2. y = x3, y = 8, x = 0, en torno al eje y.

x= y

V=

3

∫

8

0

=p

8

1 p( y 3 )dy

−2

2

2 8 y 3 dy 0

∫

8

dy

3 5  = p y3   5  0

y = 4x - x2, eje x; x = -2, x = 1

. u = 6319

x2 = 4x

3

0 = 4x - x2 A=-

x=4

-2

( 4 x - x 2 )dx +

∫

4

0

( 4 x - x 2 )dx

0

  8   64  = -  0 -  8 +   +  32 -  3    3   Vi =

p  1 2 r =1 ←  pr hh = 1 3 3

Vf =

∫ pr dx

=

i

= 1066 . + 1066 .

2

0

i

4

p

∫ pr dx = 3 4

0

p p 2p 3 V V = Vi + V f = - = 3 5 15

88

0

y

  1  1  = -  2x 2 - x3  +  2x 2 - x3  3  -2  3 0 

y = x, y = x2; eje x

∫

−2

4


x2 - y + 1 = 0; x - y + 1 = 0 2

y = x + 1

y=x+1

0 = x2 + 1

0=x+1

A= =

x = -1

∫

i

∫

i

0

0

( x - 1) - ( x + 1) 2

y2 = x, x - 2y = 3 3 + 2y = y

2

(- x + x ) dx

3

(3 + 2 y - y 2 )dx

-1

3 + 2y - y2 = 0

2

∫

3

 y3  =  3 y + y2 -  3  -1 

i

 x3 x2  = - +   3 2 0

 1 = [9 + 9 - y] -  -3 - 1 +  3 

1 1 =- + 3 2

=9+

11 34 = 3 3

. u2 = 016

y = 2 - x2; y = -x 0 = 2 - x2

0 = -x

x = 2

x=0

2

A=+

∫

0

-1

x + x-2+ 2

∫

2

0

x = 1 - y2, x = y2 -1

x +x-2 2

0

1 - y2 = y2 - 1 0

 x3 x2   x3 x2  = +  + - 2x  +  + - 2x  3 2  -1  3 2  -2 . + 05 . + 2) + (-266 . + 2 + 4) = + (-033 = + 1.17 + 334 . = 45 . u

2

1 - y2 - y2 + 1 = 0 2 − 2y2 = 0 2(1 - y2) = 0 y = -1 y=1 2

 2 (1 - y)2  +  2 y - 2 y 3  =  y  = 8    3   3  3

∫

89

4 BLOQUE


y = x + 5, y = 2, y = -1, y2 = x

A=

2

 y3 y 2  ( y 2 - y + 5)dy =  - + 5 y  -1 3 2  -1

∫

2

0

-2

( 4 x - x 2 )dx +

∫

4

0

( 4 x - x 2 )dx 4

0

  1  1  = -  2x 2 - x3  +  2x 2 - x3  3 3 0   -2 

y   1 1  =  - 2 + 0 - - - + 5 3 2 3     =

∫

  8   64  = -  0 -  8 +   +  32 -  3    3  

32 35 33 + = 3 6 2

= 1066 . + 1066 .

2

4

−2

4

−1

Integración por partes

∫

3x 3 e 4 x

2

-1

∫

dx x 3 e 4 x

2

-1

dx = =

v=e

4 x2 - 1

dv = e 4 x

2

-1

8 x dx

dv = x 3 v=

x4 4

y = 4x − x2; eje x; x = -2, x = 1 0 = 4x - x2 x2 = 4x

2 x 4 4 x2 - 1 8x e - e 4 x - 1 dx x 4 4

∫

4

x 4x e 4

2

-1

-

1 4x e 4

∫

2

-1

x 4 dx

Presión de líquidos La presión de un líquido sobre una superficie horizontal se expresa por: p = wh donde p es la presión, w* es el peso de la unidad de volumen del lí quido y h es el tirante de agua, es decir, la altura del nivel del líquido sobre la faja considerada. La fuerza F que actúa sobre una faja considerada de longitud L es:

dF = área × tirante × densidad = Ldh × h × w

o sea que: F = w ∫ Lh dh donde se debe expresar L en términos de h.

x=4 x = −2, x = 1

90

*El valor de w es de un gramo por centímetro cúbico de agua o su equivalen te 62.5 libras por pie cúbico. Para otros líquidos se debe tomar su densidad correspondiente.


Ahora bien, si la longitud L de la faja considerada, que se encuentra a x unidades de profundidad bajo la superficie del líquido, es f(x), donde f es continua en [a, b] entonces: F=

∫

b

a

=w

de donde: 2

L 2   = 5 − h 2

w × f ( x )dx

∫

b

a

L = 25 − h 2 2

× f ( x )dx

L = 2 25 − h 2 El elemento de área de la tira es:

Ejemplo:

dA = 2 25 − h 2

Encuentra el valor de la presión que ejerce el agua sobre un semicírculo de 5 cm de radio si su diámetro horizontal coincide con la superficie libre del líquido.

entonces:

∫

p = whdA =

5

∫ wh

= 2w

h

M

y

5 N

x

L 2 2   + h = 5 2

∫

5

0

25 − h 2dh

h 25 − h 2dh

al integrar por cambio de variable se obtiene: 5 2 p = − w  25 − h 2 ( 25 − h 2 ) 0 3

=−

2  25 − 25 ( 25 − 25 )  −  5(225 )   3

=−

2  0 − 125  3

Podemos elegir los ejes en la posición que nos convenga. 2

2

0

=

250 3

= 83.3 gramos

91

4 BLOQUE


Para tu reflexión

Isaac Newton (1642-1727) Una de las mentes más brillantes y de inteligencia suprema que ha dado la humanidad. Sir Isaac Newton dio al mundo infinidad de principios, teoremas y aportaciones al pensamiento científico. Nació en Woolsthorpe, Inglaterra. Alumno del sabio Isaac Barrow, el gran Newton vivió una juventud que lo caracterizó por enfermarse constantemente; al lado de sus abuelos, aprendió a elaborar sus propios juguetes con algunos procedimientos mecánicos surgidos de su propia imaginación y creatividad. En 1653 uno de sus tíos insistió en enviarlo a estudiar a la Universidad de Cambridge, en donde obtuvo el grado de bachiller en 1665, cuando una peste que azotó la ciudad lo obligó a regresar a la granja de su madre. Gracias a esta situación, se dice que sentado bajo un árbol de manzanas, Newton observó la caída de uno de estos frutos y comenzó su interés por establecer relaciones entre la fuerza que hacía caer el objeto y la fuerza que sostenía a la Luna en su órbita, que a la postre se conocería como Ley de la Gravedad o Ley de la Gravitación Universal. Filósofo, alquimista, matemático, inventor, físico y teólogo, estableció las bases de la Mecánica Básica que cuenta con las leyes del Movimiento de Newton y que formulan la idea del comportamiento de cuerpos físicos y macroscópicos ubicados en reposo y a velocidades mínimas comparadas con la agilidad de la velocidad de la luz. Primera ley de la Inercia, segunda ley de Fuerza y tercera ley de Acción y Reacción que conforman principios básicos que Newton dictaminó de la siguiente forma: 1) Todo cuerpo preserva en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él. 2) El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. 3) Con toda acción ocurre siempre una reacción igual o contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.

92

Su estudio no sólo se enfocó en el pensamiento científico, sino que mediante la presentación del entonces innovador esquema general del universo, cierra con broche de oro el periodo denominado Revolución Científica. En el caso específico del cálculo integral y diferencial, Newton desarrolló el uso de ambos principios, en el cálculo matemático, con la finalidad de formular sus leyes de la Física, aunque esta consideración la comparte en créditos con Gottfried Wilhelm Leibniz. Incluso, la aportación de su Teorema del Binomio y las Formas de Newton Cotes fueron complementos al avanzado estudio de las ramificaciones de las matemáticas contemporáneas.


Rúbrica


Criterios

Excelente (4)

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica. Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis y discusión de las formas de resolver la situación Secuencia didáctica. Se involucra en la didáctica indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica. Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Evaluación Efectúa las rectificaciones del que procedan y participa producto en la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

Aspecto a evaluar

Trabajo individual y en equipo

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta un conjunto de ideas adecuadas para plantear y resolver la situación didáctica. Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis o la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta algunas ideas para plantear y resolver la situación didáctica. Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra parcialmente en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica. Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.


Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

Puntos

No presenta resultados en plenaria. No promueve el análisis ni la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. No se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica. No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar el área solicitada.

Total

Rúbrica


Criterios

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica. Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis y discusión de las formas de resolver la situación Secuencia didáctica. Se involucra en la didáctica indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica. Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones Evaluación que procedan y participa del en la redacción del informe producto final para demostrar que la longitud C de una circunferencia de radio r es: C = 2pr.

Trabajo individual y en equipo

Aspecto a evaluar

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta un conjunto de ideas adecuadas para plantear y resolver la situación didáctica. Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis o la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta algunas ideas para plantear y resolver la situación didáctica. Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra parcialmente en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica. Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para demostrar que la longitud C de una circunferencia de radio r es: C = 2pr.


Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para demostrar que la longitud C de una circunferencia de radio r es: C = 2pr.

Puntos

No presenta resultados en plenaria. No promueve el análisis ni la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. No se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica. No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para demostrar que la longitud C de una circunferencia de radio r es: C = 2pr.

Total

93

4 BLOQUE


Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la resolución de problemas del bloque 4. Nombre del alumno:

Criterios

Presentación

1. C uenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula. 2. Tiene una redacción que es adecuada y clara. 3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos. 4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible. 5. L as gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema. 6. S e presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo


Conclusiones

Dominio del tema

10. L a investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

94

11. Identifica y reconoce los elementos del problema. 12. Representa las condiciones del problema y establece las relaciones entre los datos. 13. Expresa algebraicamente las condiciones del problema y calcula el área delimitada. 14. Representa las condiciones del problema. 15. Establece las relaciones entre los datos y lo expresa algebraicamente. 16. U tiliza el teorema fundamental del cálculo integral y calcula el o los valores que resuelven el problema.

cumple sí no

Observaciones


Rúbrica

Nombre del alumno:

Criterios Aspecto a evaluar

Problemas de aplicación de la integral definida

Excelente (4) Resuelve problemas de aplicación de la integral definida en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas.


Satisfactorio (2) En algunos casos resuelve problemas de aplicación de la integral definida en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas.

Deficiente (1)

Puntos

No resuelve problemas de aplicación de la integral definida en el campo de las ciencias exactas, naturales, sociales y administrativas. Total


Nombre del evaluador: Fecha de evaluación:

95

4 BLOQUE

96



Bibliografía Ayres Frank Jr. Cálculo diferencial e integral, México, McGraw-Hill, 1999. Leithold L. Cálculo con geometría analítica, México, Harla, 1998. . El Cálculo, México, Oxford University Press, 2004. Mendelson Elliott. Introducción al cálculo, México, McGraw-Hill, 1986. Proter/Morrey. Cálculo con geometría analítica, Addison Wesley Iberoamericana, 1988. Purcell Edwin et al. Cálculo diferencial e integral, México, Prentice Hall, 1999. . Calculus with differential equations, USA, Prentice Hall, 2006. Scout M. Farraud y Nancy Jim Poxon. Cálculo, teoría y práctica, México, Sitesa, 1990. Stewart J. Cálculo diferencial e integral, México, Thomson Editores, 1999. Swokowski Earl W. Cálculo con geometría analítica, México, Iberoamericana, 1988. Zill Dennis G. Cálculo con geometría analítica, México, Addison Wesley, 2000. . Cálculo con geometría analítica, México, Grupo Editorial Iberoamericana, 1990. , Differential equations with computer lab experiments, EUA, Thomson, 1998.

Vínculos en Internet http://mathworld.wolfram.com http://demonstrations.wolfram.com http://www.mathworks.com http://www.gnu.org/software/octave/ http://www.maplesoft.com http://www.maplesoft.com/studentcenter/index.aspx

97

CÃ¡Lculo Integral

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