Calculo Integral - CONAMAT

MR

MR

Cálculo integral

Arturo Aguilar Márquez Fabián Valapai Bravo Vázquez Herman Aurelio Gallegos Ruiz Miguel Cerón Villegas Ricardo Reyes Figueroa REVISIÓN TÉCNICA

Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.) Ing. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.) Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México

Prentice Hall

Datos de catalogación bibliográfica COLEGIO NACIONAL DE MATEMÁTICAS Cálculo integral Primera edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2010 ISBN: 978-607-442-514-7 Área: Matemáticas Formato: 20 25.5 cm

Páginas: 184

Todos los derechos reservados Editor: Lilia Moreno Olvera e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Alejandro Gómez Ruiz Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño PRIMERA EDICIÓN, 2010 D.R. © 2010 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5° Piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031 Prentice-Hall es marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: 978-607-442-514-7 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09

4VIRXMGI,EPP IWYREQEVGEHI

Para los que enseñan y para los que aprenden Ing. Arturo Santana Pineda

El poder de las matemáticas El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana, por lo tanto, domina al mundo.  Ing. Arturo Santana Pineda

Prefacio

E

l Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda, decidió plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto actúa con lógica. A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación con el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va convencido de que es fácil aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afín. De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula.

Enfoque El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoría que se trata es lo más básica posible, sólo se abordan los conceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoría analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor. De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos convencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.

Estructura El libro está formado por seis capítulos, los cuales llevan un orden específico tomando en cuenta siempre que el estudio de las matemáticas es un proceso en construcción, es decir, cada capítulo se liga con los conocimientos adquiridos en los capítulos anteriores. Cada capítulo está estructurado con teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de manera tal que el lector comprenda el procedimiento y posteriormente resuelva los ejercicios correspondientes. Las respuestas a los ejercicios se encuentran al final del libro, de tal forma que el estudiante verifique si los resolvió correctamente y compruebe su aprendizaje. Además, en algunos capítulos aparece una sección de problemas de aplicación, la cual tiene como objeto hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana y así mostrar la eficacia de aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema. Como recomendación se propone que se resuelvan los ejercicios preliminares de aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, geometría analítica y cálculo diferencial que se encuentran al final del libro, para que el lector haga un diagnóstico de sus conocimientos en dichas áreas los cuales son fundamentales para iniciar el aprendizaje del cálculo integral. En caso de tener algún problema con dichos ejercicios se recomienda retomar los temas correspondientes y consultarlos en los libros de aritmética y álgebra, geometría y trigonometría, geometría analítica y cálculo diferencial de la serie CONAMAT.

VII

Cálculo

integral

El estudio del cálculo integral comienza con las propiedades de las sumas y la suma de Riemann. En el segundo capítulo se estudia la forma de resolver integrales inmediatas (fórmulas de integración, cambio de variable, integración completando el trinomio cuadrado perfecto); posteriormente, en el tercer capítulo, se ven integrales de diferenciales trigonométricas (casos de potencias trigonométricas); los métodos de integración (sustitución trigonométrica, integración por partes, fracciones parciales, sustitución por una nueva variable, integrales de diferenciales binomiales y transformaciones) en el cuarto. En el capítulo quinto se contemplan las aplicaciones de la integral: área bajo la curva, entre dos curvas, volúmenes, longitud de arco y aplicaciones de la integral. Para el capítulo sexto se introduce al estudiante a las ecuaciones diferenciales, con la intención de mostrarle una aplicación del cálculo y que con eso pueda iniciar un curso formal sobre el tema.

VIII

Agradecimientos Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional. Arturo Santana Pineda Director General de CONAMAT

A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Chema e Hiram los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi familia (Echeverría, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán. Arturo Aguilar Márquez

A mis padres María Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo y Herman. Fabián Valapai Bravo Vázquez

Una vez mi padre me dijo que “un hombre triunfador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes”, agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida. Herman A. Gallegos Ruiz

A toda mi familia muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueño. Miguel Cerón Villegas

A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueño. Ricardo Reyes Figueroa

Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro. Los autores

IX

Acerca de los autores Arturo Aguilar Márquez. Llegó como estudiante al Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de Actuaría en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT. Fabián Valapai Bravo Vázquez. Desde muy temprana edad, con la preparación de profesores de CONAMAT, participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo, estudió la carrera de Diseño Gráfico en la Escuela Nacional de Artes Plásticas. Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaría en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15 años en el Colegio Nacional de Matemáticas. Miguel Cerón Villegas. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene más de 15 años de experiencia en docencia. Ricardo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institución donde ha impartido las materias de Matemáticas y Física durante 19 años. Realizó sus estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.

XI

Contenido Cálculo integral Prefacio, VII Agradecimientos, IX Acerca de los autores, XI

Capítulo 1 Sumas Definición, 4. Propiedades, 4. Suma de Riemann (rectángulos inscritos y circunscritos), 6.

Capítulo 2 Integrales inmediatas Definición, 12. Integrales por cambio de variable, 13.

Capítulo 3 Integrales de diferenciales trigonométricas Integrales de la forma:

∫ cot v dv n

∫ sen

m

v dv ,

∫ cos

n

v dv , con m y n impar, 34. Integrales de la forma:

con n par o impar, 36. Integrales de la forma:

grales de la forma: de la forma:

∫ sen

m

∫ tan

m

v ⋅ sec v dv ,

v dv y

n

∫ cos

n

∫ cot

m

∫ sec

n

v dv ,

∫ csc

n

∫ tan

n

v dv ,

v dv con n par, 38. Inte-

v ? csc v dv , 39. con n par y m par o impar, 39. Integrales n

v dv , con m y n par, 41. Integrales de la forma

∫ sen mx ⋅ sen nx dx , ∫ cos mx cos nx dx , 44.

∫ sen mx ⋅ cos nx dx ,

Capítulo 4 Métodos de integración Sustitución trigonométrica, 48. Integración por partes, 51. Integración por fracciones parciales, 55. Integración por sustitución de una nueva variable, 65. Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de x, 65. Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de a 1 bx, 66. Integración de las diferenciales binomias, 69. Transformaciones de diferenciales trigonométricas, 72.

Capítulo 5 Aplicaciones de la integral Constante de integración, 78. Integral definida, 81. Cálculo de una integral definida, 81. Propiedades 1 de la integral definida, 81. Área bajo la curva, 83. Fórmula de trapecios, 87. Fórmula de Simpson , 91. 3 Área entre curvas planas, 92. Rectángulos de base dx, 92. Rectángulos de base dy, 92. Volumen de sólidos de revolución, 96. Método de discos, 96. Método de las arandelas, 98. Método de capas, 100. Longitud de arco, 105. Aplicaciones a la economía, 107. Función de costos, 107. Función de ingresos, 108.

XIII

Cálculo

diferencial

Capítulo 6 Ecuaciones diferenciales Introducción, 112. Definición, 112. Ecuación diferencial de primer orden, 114. Variables separables, 114. Ecuaciones homogéneas, 124.

Solución a los ejercicios de cálculo integral, 131. Anexo: ejercicios preliminares, 147.

XIV

Cálculo integral

sim p l i fic a

ss ica át

imp

imp

cas simplificada emáti s• M at Ma te •

s da

ació en Breselenz, una aldea cercana a Dannenberg en el reino de Hannover, actualmente parte de Alemania. ss ica át

• Matemá t i adas c a s si lific mp lifi ca

da

N

1

• Matemáti c as

ticas simplificadas temá •M ate m

histórica

ticas simplificada s temá • Ma tem

Ma

cas simplificada emáti s• M at Ma te s•

Ma

•

Matem ática das • a c i f i s si l p mp im s lifi s ca it ca Reseña

das • Matemátic as lifica sim pli fic a

•

imp

Sumas

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m

ss ca á ti

Capítulo s cada plifi

das • Matemátic as lifica p sim m i pli ss a c fic i t a á

s da

m

•M ate m

sim

• Matemáti adas cas lific s i m pli fic a

Fue un matemático que realizó contribuciones muy importantes en análisis y geometría diferencial, algunas de ellas allanaron el camino para el desarrollo más avanzado de la relatividad general. Su nombre está conectado con la función zeta, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann.

s da

•M

atem

áticas simplificadas

•M a t e má


s ica át

da

s•

tem Ma

Los escritos de Riemann de 1854 llegaron a ser un clásico en las matemáticas y estos resultados se incorporaron a la teoría de la relatividad y gravitación de Einstein. La cátedra de Gauss en Gottingen fue ocupada por Dirichlet en el año 1855 y después de su muerte por Riemann. En esos tiempos sufrió de tuberculosis y estuvo sus últimos años en Italia en un intento por mejorar su salud. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

1 Capítulo

Matemáticas simplificadas

Definición La suma a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an se representa con el símbolo sigma ∑, de la siguiente forma: n

∑ a 5 a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an i

i 51

Ejemplo Determina

5

∑i

2

i 51

Solución Se sustituye i por los valores de 1 a 5, se eleva cada uno de ellos al cuadrado y se suman los resultados: 5

∑i

2

5 (1)2 1 (2)2 1 (3)2 1 (4)2 1 (5)2 5 1 1 4 1 9 1 16 1 25 5 55

i 51

De manera que,

5

∑i

2

5 55

i 51

Propiedades 1.

n

n

n

i 5a

i5a

i5a

∑ k 5 (n 2 a 1 1)k 3. ∑ c f (i ) 5 c ∑ f (i ) n

2.

∑ [ f (i ) 1 g(i )]

5

i5a

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Encuentra

n

n

n

i5a

i5a

i 51

∑ f (i ) 1 ∑ g(i ) 4. ∑ [ f (i ) 2 f (i 2 1)]

5 f (n ) 2 f (0 )

7

∑8

i 53

Solución Al aplicar la propiedad correspondiente a una constante, se obtiene: 7

∑8

5 (7 2 3 1 1)8 5 40

i53

2

Precisa el valor de

4

∑ (i

2

1 3i )

i 51

Solución Se aplican las propiedades de las sumas y se determina que: 4

∑ (i

2

1 3i ) 5

i 51

4

∑i

i 51

2

4

1 ∑ 3i 5 i 51

Se desarrollan, 4

∑i i 51

2

4

∑i

2

i 51

4

4

1 3∑ i i 51

5 (1)2 1 (2)2 1 (3)2 1 (4)2 5 30; 3 ∑ i 5 3 (1 1 2 1 3 1 4) 5 3(10) 5 30 i 51

Finalmente tenemos que: 4

∑ (i

2

1 3i ) 5 30 1 30 5 60

i 51

4

Capítulo 1

Cálculo integral • Sumas

3

Calcula el valor de

∑  2n 5

3

n50

2  2 n17 3 

Solución Al aplicar las propiedades de las sumas, se determina:

∑  2n 5

n50

3

2  2 n17 5 3 

5

∑ 2n

n50

3

5 5 5 5 2 2 5 2 ∑ n 1 ∑ 7 5 2 ∑ n3 2 ∑ n 1 ∑ 7 3 n50 n50 3 n50 n50 n50

Se desarrollan las sumas, 5

2 ∑ n 3 5 2[(0)3 1 (1)3 1 (2)3 1 (3)3 1 (4)3 1 (5)3] 5 450;

n50

2

2 2 2 5 ∑ n 5 2 3 (0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5) 5 2 3 (15) 5 210; 3 n50 5

∑7

5 7(5 2 0 1 1) 5 7(6) 5 42

n50

Por tanto, se precisa que: 2

∑  2n 2 3 n 1 7  5 450 2 10 1 42 5 482 5

3

n50

4

Determina el valor de

8

∑ (3ai

2

1 12bi 2 3c )

i56

Solución Al aplicar las propiedades de las sumas se encuentra que: 8

∑ (3ai

2

1 12bi 2 3c ) 5

i56

8

∑ 3ai

i 56

2

8

8

8

8

8

i 56

i 56

i56

i 56

i 56

1 ∑ 12b i 2 ∑ 3c 5 3a ∑ i 2 1 12b ∑ i 2 ∑ 3c

Se desarrollan las sumas,

8

3a ∑ i 2 5 (3a)[(6)2 1 (7)2 1 (8)2] 5 (3a)(149) 5 447a; i56

8

12b ∑ i 5 (12b)(6 1 7 1 8) 5 (12b)(21) 5 252b; i56

8

∑ 3c

5 (3c)(8 2 6 1 1) 5 (3c)(3) 5 9c

i56

Finalmente el resultado es: 8

∑ (3ai

2

1 12bi 2 3c ) 5 447a 1 252b 2 9c

i 56

5

1 Capítulo


Ejercicio 1 Realiza las siguientes sumas: 1.

4

∑i

4

7.

i 51

2.

3.

∑ (4 2 3i ) 8. ∑  6

3

i 52

i 51

∑  5

i 51

4.

8

2 2i   9. 4 

 2 

∑  n 21 

n53

5.





7

∑ ( 3i 2 2 )

3

4

∑ (n

2

ai 1 b   2a 

4

∑ (3n

2

2 5n 1 7)

n52

10.

n(n 1 1) n 51 n 1 2

11.

∑ (n

i 51

6.

 i − i2   3  i54  10

∑

5

∑ 6

3

2 n)

n53

2 4)

12.

n52

9

∑( i i 51

2

2 (i 2 1)2 )

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Suma de Riemann (rectángulos inscritos y circunscritos) Sea f (x) una función definida en el intervalo [a, b] el área A bajo la gráfica de f (x) en el intervalo dado, se obtiene realizando estimaciones con rectángulos inscritos o circunscritos como se ilustra.

Rectángulos inscritos sumas inferiores

Rectángulos circunscritos sumas superiores

Y

Y y = f (x)

y = f (x)

Área

Área

...

a

O

Δx

xi – 1 xi

...

xn – 1 b

X

n

Donde Dx 5

 b 2a A 5 lím ∑  f(a 1 (i 2 1)Dx) n→ `  n  i 51 b2a n

6

O

a

Δx

xi

xi – 1

n

xn – 1 b

 b 2a A 5 lím ∑  f(a 1 iDx) n→ `  n  i 51

X

Capítulo 1


Sumas básicas 1.

n

∑ k 5 kn i 51

2.

n

∑i 5 i 51

3.

n

∑i

n (n 1 1) n 2 1 n 5 2 2

5

n ( n 1 1)( 2 n 1 1) 2 n 3 1 3n 2 1 n 5 6 6

3

5

n 2 (n 1 1)2 n 4 1 2 n 3 1 n 2 5 4 4

4

5

2

i 51

4.

n

∑i

i 51

5.

n

∑i

n ( n 1 1)( 2 n 1 1) ( 3n 2 1 3n 2 1) 30

i 51

=

6 n 5 + 15 n 4 + 10 n 3 − n 30

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Encuentra el área limitada por la curva f(x) 5 x 2 1 2 y el eje x en el intervalo [1, 4]. Utiliza sumas superiores. Solución Gráfica n

 b 2a f (a 1 iDx ) Se sustituye en la fórmula A 5 lím ∑  n→∞  n  i 51

Y

Donde

Dx 5

b 2 a 4 21 3 5 5 n n n

3i  3 a 1 iDx 5 1 1 i   5 1 1  n n

3i   3i   f(a 1 iDx) 5 f  1 1  5  1 1   n  n

0

1

4

X

5

9i 2 6i 1 13 2 n n

Por consiguiente,

n n   27i 2 18i 9  3  9i 2 6i A 5 lím ∑  2 1 1 3 5 lím ∑  3 1 2 1  n→ ` n→ ` n n n  i 51 n  n i 51  n

n n  n 27i 2 18i 9 5 lím  ∑ 3 1 ∑ 2 1 ∑  n→ ` i 51 n i 51 n   i 51 n

 27 n 18 n 9 n  5 lím  3 ∑ i 2 1 2 ∑ i 1 ∑1  n→ ` n n i 51 n i 51   i 51

 27 2 n 3 1 3n 2 1 n 18 n 2 1 n 9  5 lím  3 ? 1 2? 1 ?n n→ ` n n n  6 2 

45 9   5 lím  27 1 1 2  5 27u 2 n→ ` n n  2 2 

Finalmente, el área es A 5 27u 2

7

2

12

1 Capítulo


2

Aplica sumas inferiores para encontrar el área limitada por la curva f(x) 5 x 2 2 1 y el eje x en el intervalo [1, 4] Solución

Y

1

4

X

Se aplica la fórmula n

 b 2a A 5 lím ∑  f(a 1 (i 2 1)Dx) n→∞  n  i 51

Donde:

b 2 a 4 21 3 5 5 n n n

Dx 5

a 1 (i 2 1)Dx 5 1 1 (i 2 1)

3 3i 3 5 2 11 n n n 2

 3i 3   3i 3  f (a 1 (i 2 1)Dx) 5 f  2 1 1 5  2 1 1 2 1 n n  n n 

5

9i 2 9 6  6 18  1i 2 2  1 2 2 n n  n n2 n

Al sustituir en la fórmula se obtiene:

n n 9 6 27 18   27  3  9  6 18   18 54  A 5 lím ∑    2 i 2 1  2 2  i 1 2 2  5 lím ∑  3 i 2 1  2 2 3  i 1 3 2 2  n→ ` n→ `       n n n n n n n n n n n    i 51  i 51

n n  n 27  18 54   27 18  5 lím ∑ 3 i 2 1 ∑  2 2 3  i 1 ∑  3 2 2  n→ ` n n n n   i 51  n i 51   i 51

 27 n  18 54  n  27 18  n  5 lím  3 ∑ i 2 1  2 2 3  ∑ i 1  3 2 2  ∑1 n→ ` n n  i 51  n n  i 51  n  i 51

 27 2 n 3 1 3n 2 1 n  18 54   n 2 1 n   27 18  5 lím  3 ? 1  2 2 3   1 n  3 2 2  n→ ` n n  2  6 n  n n 

27 9 9 27 27 27 18   5 lím 9 1 1 2 1 9 1 2 2 2 1 2 2  n→ ` n n n n n 2n 2n 

45 9   5 lím 18 2 1 2  5 18u 2 n→ ` n n  2 2 

Por tanto, A 5 18u 2

8

Capítulo 1


3

Determina el área limitada por la recta f(x) 5 2x 1 1 y el eje X, mediante sumas superiores en el intervalo [22, 3] Solución Al analizar la gráfica, se consideran 2 intervalos [22, 1] y [1, 3].

f (x) = − x + 1

Y

1

3 X

–2

Cálculo del área de [22, 1] Se aplica la fórmula: n

Donde Dx 5

3 n

 b 2a A 5 lím ∑  f (a 1 iDx ) n→∞  n  i 51 3i  3i  f (a 1 iDx ) 52 22 1  1 1 52 1 3  n n

Al sustituir en la fórmula, se obtiene: n  3   3i  9 A1 5 lím ∑    2 1 3 5 u 2 n→∞   2   n n i 51

Se realiza el cálculo del área de [1, 3], Se aplica la fórmula: n  b2a  A 5 lím ∑   f (a 1 iDx ) n→ ` n  i 51 

Donde Dx 5

2 n

2i  2i  f(a 1 iDx) 5 2 1 1  1 1 5 2 n n 

Se sustituye en la fórmula y se tiene como resultado: n  2   2i  A2 5 lím ∑    2  5 22u 2 n→ ` n i 51  n  

El signo negativo indica que el área se encuentra por debajo del eje x, pero para efectos del cálculo del área total, se considera su valor absoluto. Por tanto, el área buscada es: 9 13 A 5 A1 1 A2 5 u 2 1 2u 2 5 u 2 2 2

9

1 Capítulo


Ejercicio 2 Emplea sumas superiores para encontrar el área limitada por la curva, el eje X, las rectas dadas o el intervalo indicado. 1. f (x) 5 4x 1 5; x 5 2, x 5 5 2. f (x) 5 22x 1 6; x 5 1, x 5 4 3. f (x) 5 4 2 x 2; [22, 2] 4. f (x) 5 x 3 2 4x; [21, 1] 5. f (x) 5 2x 2 2 4x 1 3; x 5 0, x 5 2 Calcula el área limitada por la curva f(x) y el eje X en el intervalo indicado utilizando sumas inferiores o superiores. 6. f (x) 5

h x; [0, b] b

7. f(x) 5 3 2

1 2 x ; [23, 3] 3

8. f (x) 5 (x 2 2)3 1 1; [1, 3] 9. f(x) 5 x 3 2 4x 2 1 4x; [0, 3] 10. f (x) 5 5x 4; [1, 3]

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

10

Capítulo

I

sim p l i fic a

ss ica át

imp

imp

atem




El nombre “Chevichev” es una transliteración del alfabeto cirílico, por lo que a veces se encuentra con grafías diferentes, por ejemplo: Chevyshev, Tchebyshef y otras similares.

•M

s da

atemático ruso conocido por sus trabajos en teoría de aproximación de funciones, geometría diferencial, polinomios ortogonales y probabilidad. ss ica át

da

M

• Matemáti c as



Ma

histórica

Ma

•



s da

imp

•

m

ss ca á ti

s da

m

inmediatas

2

s cada plifi

das • Matemátic as lifica p sim m i ntegrales pli ss a c fic i t a á

s da


•M ate m

sim


•M a t e má


s ica át

da

s•

tem Ma

Su aportación en matemáticas es notable, debido a sus múltiples aplicaciones tanto en teoría de la aproximación de funciones por polinomios, como en análisis numérico (inversión de matrices, la evaluación numérica de integrales, la integración numérica de ecuaciones diferenciales, o la más precisa aproximación a una función). Pafnuti Lvovich Chevichev murió el 26 de noviembre de 1894 en San Petersburgo. Pafnuti Lvovich Chevichev (1821-1894)

2 Capítulo


Definición Si F(x) es una función con derivada f9(x) entonces, F(x) se llama integral indefinida o antiderivada de f 9(x). La antiderivada de una función no es única.

Ejemplo x 3, x 3 1 4, x 3 2 1 Son todas antiderivadas de f9(x) 5 3x 2, puesto que todas las antiderivadas de f9(x) quedan incluidas en F(x) 5 x 3 1 C, en donde C se llama constante de integración. Para denotar la integral indefinida de f9(x) se utiliza:

∫ f9(x)dx Entonces,

∫ 3x2dx 5 x 3 1 C Fórmulas 1. ∫ (du 1 dv 2 dw ) 5 ∫ du 1 ∫ dv 2 ∫ dw

10. ∫ cos v dv 5 sen v 1 C

2. ∫ a dv 5 a ∫ dv

11. ∫ sec 2 v dv 5 tan v 1 C

3. ∫ dx 5 x 1 C

12.

∫ csc

2

v dv 52cot v 1 C

dx 5

x n 11 1 C , n Z 21 n 11

13. ∫ sec v tan v dv 5 sec v 1 C

5. ∫ v n dv 5

v n 11 1 C , n Z 21 n 11

14.

∫ csc v cot v dv 52csc v 1 C

15.

∫ tan v dv 52ln u cos vu 1 C 5 ln u sec vu 1 C

16.

∫ cot v dv 5 lnusen vu 1 C

4.

6.

∫x

∫

n

dv 5 lnu vu 1 C v

7. ∫ a v dv 5

av 1C ln a

8. ∫ ev dv 5 ev 1 C

17. ∫ sec v dv 5 ln u sec v 1 tan vu 1 C

9. ∫ sen v dv 52cos v 1 C

18.

∫ csc v dv 5 ln u csc v 2 cot vu 1 C

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Determina el resultado de

∫ x 4dx

Solución x 4 11

x5

∫ x dx 5 4 1 1 1 C 5 5 1 C 4

12

Capítulo 2

Cálculo integral • Integrales inmediatas

2

Encuentra

∫ 3ab 2x 4dx

Solución

∫ 3ab x 2

3

¿Cuál es el resultado de

4

dx 5 3ab 2 ∫ x 4 dx 5 3ab 2

x 4 11 3ab 2 x 5 1C 5 1C 4 11 5

∫ (5x 3 1 2x 2 2 6x 1 3)dx?

Solución

∫ (5 x

4

3

1 2 x 2 2 6 x 1 3)dx 5 5 ∫ x 3dx 1 2 ∫ x 2 dx 2 6 ∫ x dx 1 3∫ dx 5 5

5

5 4 2 3 6 2 x 1 x 2 x 1 3x 1 C 4 3 2

5

5 4 2 3 x 1 x 2 3x 2 1 3x 1 C 4 3

Obtén

∫

dx x

Solución

1 2 11

∫ 5

x 3 11 x 2 11 x1 1 1 12 26 1 3x 1 C 3 11 2 11 1 11

1

1 1 2 dx dx x 2 x2 5 ∫ 1 5 ∫ x 2 dx 5 1 C 5 1 C 5 2xx 2 1 C 5 2 x 1 C 1 1 x 2 11 x2 2 2

¿Cuál es el resultado de ∫ 2

3 dx ? x3

Solución

∫2

3 23x22 3 dx dx x2311 523∫ 3 523∫ x −3dx 523 1C 5 1C 5 2 1C 3 2x 2311 22 x x

Integrales por cambio de variable Algunas integrales no se pueden resolver de forma inmediata, entonces se tratará de ser posible transformar la integral a una de las siguientes expresiones v n 11

∫ v dv 5 n 1 1 1 C ∫ n

dv 5 lnuvu 1 C v

En las integrales que se resuelven por cambio de variable, se sigue el siguiente procedimiento: 1. Se identifica la variable. 2. Se obtiene la diferencial de esta variable y se efectúa el despeje de la misma. 3. Se realiza la sustitución correspondiente.

13

2 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Realiza la siguiente integral:

∫ 2(2 1 x

3 2 2

) x dx

Solución Se elige, de la siguiente forma, la nueva variable que se va a integrar: v 5 2 1 x 2 S dv 5 2x dx Se realizan las sustituciones y se resuelve la integral para obtener el resultado. 3 2 2

3 2 2

3 2

3

5

5

11

v2 v2 2(2 1 x 2 ) 2 2 ( 2 1 x ) x dx 5 ( 2 1 x ) ( 2 x ) dx 5 v dv 5 1 C 5 1 C 5 1C ∫ ∫ ∫ 3 5 5 11 2 2 Por consiguiente, 5

3 2

2(2 1 x 2 ) 2 ∫ 2(2 1 x ) x dx 5 5 1 C 2

2


∫

m 1 nx dx

Solución v 5 m 1 nx, dv 5 ndx donde dx 5

dv n

Al realizar las sustituciones se genera la integral: 3

∫

m 1 nx dx 5 ∫ ( m 1 nx )

1 2

3

3

1 1 1 v2 2v 2 2( m 1 nx ) 2 1 C5 1C dx 5 ∫ v 2 dv 5 ⋅ 1 C 5 3 n n 3nn 3n 2

3

Finalmente,

3

∫

2( m 1 nx ) 2 m 1 nx dx 5 1C 3n

Encuentra el resultado de

∫ x (2 1 x

3 2

) dx

Solución v 5 2 1 x 3, dv 5 3x 2dx donde dx 5

dv 3x 2

∫ x (2 1 x

) dx 5 ∫ x ⋅ v 2

3 2

dv dv 5 v2 3x 2 ∫ 3x

En este ejemplo el cambio de variable no se puede efectuar debido a que la nueva integral tiene dos variables. Entonces, se realiza el producto indicado y se resuelve la integral.

∫ x (2 1 x

3 2

) dx 5

∫ (4 1 4 x

3

1 x 6 ) x dx 5 ∫ ( 4 x 1 4 x 4 1 x 7 )dx 5 2 x 2 1

Por consiguiente,

∫ x (2 1 x

4 x8 ) dx 5 2 x 2 1 x 5 1 1 C 5 8

3 2

14

4 5 x8 x 1 1C 5 8

Capítulo 2


4

Precisa la siguiente integral indefinida: dx

∫ 2 1 3x Solución v 5 2 1 3x, dv 5 3dx donde

dv 5 dx 3

dx

1 dv 1 dv 1 1 5 ∫ 5 lnuvu 1 C 5 lnu2 1 3xu 1 C v 3 v 3 3

∫ 2 1 3x 5 ∫ 3 ⋅ Por tanto,

dx

1

∫ 2 1 3x 5 3 lnu2 + 3xu 1 C 5

Resuelve la siguiente integral: eu d u

∫ c 1 ae

u

Solución dv 5 e udu a

v 5 c 1 ae u, dv 5 ae ud u donde, eu d u

∫ c 1 ae

u

5∫

1 dv 1 dv 1 1 ⋅ 5 ∫ 5 lnuvu 1 C 5 lnuc 1 aeu u 1 C a v a v a a

Por consiguiente, eu d u

∫ c 1 ae 6

u

1 5 lnuc 1 aeu u 1 C a

Encuentra la primitiva de sen 5 x

∫ 1 2 cos 5 x dx Solución v 5 1 2 cos 5x, dv 5 5 sen 5x dx donde

dv 5 sen 5x dx 5

Se realiza la sustitución: sen 5 x

1 dv 1 dv 1 1 5 ∫ 5 ln uvu 1 C 5 ln u1 2 cos 5 xu 1 C v 5 v 5 5

∫ 1 2 cos 5 x dx 5 ∫ 5 ⋅ Por tanto,

sen 5 x dx

1

∫ 1 2 cos 5 x 5 5 ln u1 2 cos 5 xu 1 C 15

2 Capítulo


Ejercicio 3 Efectúa las siguientes integrales: 1.

∫ x dx

2 6  3 20. ∫  5 2 2 2  dx x x x

2.

∫ 5 x dx

21.

∫

3. ∫ bx 3dx

22.

∫

4.

6

4

∫

3

at dt 6t dt

23. ∫ (8 x 5 2 5 x 4 2 4 x 3 2 6 x 2 2 2 x 2 3) dx

3x 2 dx

5. ∫ a dx

24. ∫ (ax 3 2 bx 2 2 cx 1 d ) dx

6.

∫

3 dx 4

  x2 3x 25. ∫  2 2 2 5 b  dx 2 a  a 1b 

7.

∫

dx 3

 x4 2 6x3 2 7x  26. ∫   dx x 

8.

∫

3

 3 2  27. ∫  5 2 2 5  dx  x x

x dx

5   4 28. ∫  3 2 4  dx  x x

9. ∫ 5 4 x dx 10.

dx

∫x

3

4 1  5  29. ∫  y 2 2 5 y 3 2 2 y 4 2 y  dy  

5 1  27  y 2 y3 2 y4   30. ∫ dy 2   y  

5 dx 11. ∫ 4 x 12.

∫

4 dx x

31.

∫

3

t (5t 2 2 3t 1 2 ) dt

13.

∫

dx x

32.

∫

3

4

7t dt

14.

∫

6 dx 3 x

33. ∫ ( 3x 1 4 )6 dx

15.

∫

16.

∫

a dx

17.

∫

5 dx 2x

18.

∫

5

3

34. ∫ (ax 2 2 b )5 x dx

x 3 dx

x2

35. ∫ t 2 (t 3 2 4 )2 dt

36. ∫ (a 2 by )4 dy 37. ∫ (t 2 2 6 )2 dt

bx dx

 5  19. ∫  3 2 4 3 x  dx  x 

38.

16

∫ x( x 1 4 ) dx 2

Capítulo 2


39.

∫x

2

( x 1 1)3 dx

58.

∫ cos 4 x(1 2 sen 4 x ) dx

40.

∫

m 1 ny dy

59.

∫ csc

41.

∫

5 x 2 3 dx

60.

∫

42.

∫

61.

∫ 12 sen ax dx

43.

∫

62.

∫

44.

∫(

x 2 4 dx

63.

∫ cot x (2 1 ln usen xu) dx

45.

∫ ( 3x

x dx 2 2 4 )4

64.

∫ (1 2 cos

46.

∫ ( 3x 2 4 )

47.

∫ (2 x

t dt

2

at 1 b

3

dx 9 x 21

)

2

5 dx

2

x 2b

48.

∫

49.

∫ at 1 b

50.

∫ 3x

51.

∫ x13

52.

∫ 2x

53.

∫ (x

)

x 3 1 cot x dx

sec 2 x tan 2 x dx 1 2 sec 2 x cos ax

x

e

e x 21 x

sen 2 x dx 2 x )3

66.

∫ cot mx csc

2

mx dx

67. ∫ cos 2 4 x sen 4 x dx

dx

cos 5 x dx sen 5 x 1 4

68.

∫

69.

∫

4x 1 2 dx x12

70.

∫

( 3x 2 1 2 ) dx x 21

4 x dx 2 26

71.

∫ y ln

(2 x 2 3) dx 2 2 3 x 1 6 )2

72.

∫ 2 x ln 3x

73.

∫x

x dx 2 24

dx

54. ∫ ( x 2 2 2 ) x 3 2 6 x 1 3 dx

dy

n

y n 21dy ∫ (ayn 1 b)m

74.

∫x

56.

∫e

75.

∫ csc

57.

( 4 2 ln ux 1 3u)3 dx ∫ x13

(1 2 e 3 x )2 dx

2

y

dx

55.

3x

dx

2

x dt

2

65. ∫ sen 2bx cos bx dx

8 x dx 2 1 5 )4

(

3

ax n 11 1 b dx

1

12

3

2

1 dx x2

3x cos 3x dx

 2 3 4  2 1 dx 76. ∫  3 2 ( x 1 1) x 1 1   ( x 1 1)

17

2 Capítulo


 3 4  77. ∫  2 dx  x 1 2 x 1 5 

81.

∫ sen w

 3 5  78. ∫  1 dx  2 x 2 1 3x 2 4 

82.

∫

83.

∫

79.

∫

sen x 3

cos 2 x

dx

dw 12 cot w

2

3 sen y cos y 1 2 2 sen 2 y

dy

11 cos a da 3

80. ∫ sen x sen 2 x dx 3

84.

∫

sen 4 x

dx

11 4

cos x

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales de funciones exponenciales Las siguientes fórmulas se emplean para integrar funciones exponenciales v ∫ a dv 5

av 1 C y ln a

∫ e dv 5 e v

v

1C

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Encuentra la integral indefinida de

∫e

2x

dx

Solución Se escoge la variable de acuerdo con la fórmula que se va a emplear, en este caso, v 5 2x, su diferencial dv 5 2dx donde, dx 5

dv 2

Se realiza el cambio de variable y el resultado es,

∫e

2x

dx 5 ∫ ev

1 dv 1 v 1 5 e dv 5 ev 1 C 5 e2 x 1 C 2 2∫ 2 2

Finalmente,

∫e 2


∫e

x 3

2x

1 dx 5 e2 x 1 C 2

dx

Solución v5

x 1 , dv 5 dx donde, 3dv 5 dx 3 3

Por consiguiente, al realizar la sustitución se obtiene:

∫e

x 3

x

dx 5 3∫ ev dv 5 3ev 1 C 5 3e 3 1 C

18

Capítulo 2


3

∫a

Obtén la función primitiva de

nx

dx

Solución dv 5 dx n

v 5 nx, dv 5 n dx donde, Se realiza la sustitución,

∫a

nx

dx 5

1 v 1 av a nx a dv 5 ⋅ 1C 5 1C ∫ n n ln a n ln a

Por tanto,

∫a 4


nx

dx 5

a nx 1C n ln a

dx

∫e

2x

Solución v 5 22x, dv 5 22dx donde, dx

∫e

2x

dv 5 dx 22

5 ∫ e22 x dx 52

1 v 1 1 1 e dv 52 ev 1 C 52 e22 x 1 C 5 2 x 1 C 2e 2∫ 2 2

Ejercicio 4 Realiza las siguientes integrales: 1.

∫e

4x

10.

∫2

x

11.

∫

e x dx

dx

12.

∫

dx 3x

13.

∫5

dx

x

2. ∫ 8 e 2 dx 3.

∫e

4.

∫

ax 1 b

e

3x

3

e x dx

e 3 x dx dx 4x 1

e8 x 5. ∫ 5 x dx e 6.

∫e

7.

∫ 2x e

cos 4 x

2

ex 14. ∫ 3 dx x

sen 4 x dx

2 x3

dx

8. ∫ b 4 x dx 9.

∫3

2x

15.

∫ 

3

16.

∫x

2

4

e x  dx  3

( 3 2 e x ) dx

17. ∫ (2 x 2 3)e x

dx

18.

19

∫

dt 5

e2 t

2

2 3 x 11

dx

2 Capítulo


19.

1 sec 2 x

∫e

t 3dt

20.

∫e

21.

∫4

2t

x

4

sen 2 x dx

28. ∫ (10 3x 2 2 x ) dx

x  x  29. ∫  e n 2 a n  dx  

 e4 x 2 5  30. ∫  dx  e2 x 

⋅ e2 x dx

x  2x  22. ∫  e 4 1 e 2  dx  

 12 eax  31. ∫  ax  dx  e 

23. ∫ (e 3 x 2 2 )2 dx

32.

2

24.

x ∫ x ⋅ 5 dx 2

25. ∫ (e2 x 2 e22 x )2 dx 26.

∫e

27.

∫x

tan 3 x

2

ecos x ∫ csc 2 x dx earc sen 2 x

33.

∫

34.

∫ 11 x

12 4 x2 earc tan x 2

dx

dx

35. ∫ ( 32 x 1 34 x )2 dx

sec 2 3x dx

3

5 x dx

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales de funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se integran con las siguientes fórmulas y en algunos casos auxiliándose de un cambio de variable. 1. ∫ sen v dv 52cos v 1 C 2. ∫ cos v dv 5 sen v 1 C 3. ∫ sec 2 v dv 5 tan v 1 C 4.

∫ csc

2

v dv 52cot v 1 C

5. ∫ sec v tan v dv 5 sec v 1 C 6.

∫ csc v cot v dv = − csc v + C

7.

∫ tan v dv 52ln u cos vu 1 C 5 ln u sec vu 1 C

8.

∫ cot v dv 5 lnusen vu 1 C

9. ∫ sec v dv 5 ln u sec v 1 tan vu 1 C 10.

∫ csc v dv 5 ln u csc v 2 cot vu 1 C 20

Capítulo 2


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Obtén el resultado de

∫ cos my dy

Solución Se hace un cambio de variable y se obtiene su diferencial: v 5 my, dv 5 mdy, donde,

dv 5 dy m

Se sustituye y se resuelve la integral: dv

1

1

1

∫ cos my dy 5 ∫ cos v m 5 m ∫ cos v dv 5 m sen v 1 C 5 m sen my 1 C 2

¿Cuál es el resultado de

∫ sec 7x dx ?

Solución dv 5 dx 7

v 5 7x, dv 5 7dx donde,

1

1

1

∫ sec 7 x dx 5 7 ∫ sec v dv 5 7 ln u sec v 1 tan vu 1 C 5 7 ln u sec 7 x 1 tan 7 xu 1 C 3


∫ x cot x dx 2

Solución v 5 x 2, dv 5 2x dx donde,

dv 5 x dx 2

Se realiza el cambio de variable y se resuelve la integral: dv

∫ x cot x dx 5 ∫ cot v 2 2

4


∫

5

1 1 1 cot v dv 5 lnusen vu 1 C 5 lnusen x 2 u 1 C 2∫ 2 2

tan x dx x

Solución La fórmula que se va a utilizar es

∫ tan v dv 5 ln u sec vu 1 C , de manera que: v5

x , dv 5

dx donde, 2 x

dx 5 2dv x

Se realiza la sustitución y se resuelve la integral:

∫

tan x dx 5 2 ∫ tan v dv 5 2 ln u sec vu 1 C 5 2 ln u sec x u 1 C x

21

2 Capítulo


5

Determina

2 tan x

∫ 1 2 tan

2

x

dx

Solución Antes de resolver esta integral se recomienda emplear identidades trigonométricas. sen x 2sen x 2 2 sen x ⋅ cos 2 x 2 sen x cos x 2 tan x cos x cos x 5 5 5 5 2 2 2 2 cos x 2 sen x sen x cos x (cos 2 x 2 sen 2 x ) cos 2 x 2 sen 2 x 1 2 tan x 12 cos 2 x cos 2 x

sen 2 x cos 2 x

5

5 tan 2x

Al sustituir la identidad encontrada, se tiene

2 tan x

∫ 1 2 tan

2

x

dx 5 ∫ tan 2 x dx , donde: dv 2

v 5 2x, dv 5 2dx; dx 5 Se realiza la sustitución y se resuelve la integral. 2 tan x

∫ 1 2 tan

2

x

dx 5 ∫ tan 2 x dx 5

1 1 1 tan v dv 52 ln u cos vu 1 C 52 ln u cos 2 xu 1 C 2 2∫ 2

Ejercicio 5 Determina las siguientes integrales: 1. ∫ sen 5x dx 2.

∫ cos 6x dx

3. ∫ sen 4.

x dx 4

∫ tan bx dx

10.

∫ x sen 4 x dx

11.

∫x

12.

∫ sen x dx

2

2

cos

x3 dx 5

cos x 3

13. ∫ sec ax tan ax dx

x dx a

14.

∫ 3x sec

15.

∫ csc (3x 2 1)dx

dx 2 bx

16.

∫ cot(ax 2 b)dx

5. ∫ sec 2 dx

6.

∫ sen ax

7.

∫ cos

8.

∫ cos

9.

∫ csc 4 cot 4 dt

2

sen x dx 2 x t

t

2

4 x 2 dx

2

17. ∫ sec ax dx

18.

22

∫ x csc 4 x dx 2

Capítulo 2


19.

∫ cot x

 1 1 sen 2 x  30. ∫  dx  1 1 cos 2 x 

csc x dx

20. ∫ (cot bu 1 tan bu )2 d u

31. ∫ (cot 2 x 1 cot 4 x ) dx

21. ∫ (csc 3x 2 cot 3x )2 dx

32.

∫

22. ∫ (tan 5 x 2 sec 5 x )2 dx

33.

∫ sen w(1 2 4 cot w)

sen 3 x

23.

∫ 1 2 cos x dx

24.

∫ x cos(2 2 x

25.

cos 3 x dx sen x dw

2

 1 2 sen x  34. ∫  dx  1 1 sen x 

dy  y  y sen   cos    2  2

35.

∫

cos 2 x ∫ sen x dx

36.

∫ sec

26.

∫

1 1 sen 2 x dx

37.

∫

27.

∫

1 1 cos x dx 1 2 cos x

38.

∫e

28.

 p  ∫ sen  3 2 x   dx

39.

∫

sen( ln x 2 ) dx x

29.

∫ cos

40.

∫

x sec x dx 3x

2

) dx

−2

2

dw w 2 cos 2 w

2 tan a da 2 a 2 2 tan 2 a

sen 2u sen 2 u 1 1 2x

dθ

sen(e2 x ) dx

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales con expresiones de la forma v2 6 a2 , a2 2 v2 , v2 6 a2 , a2 2 v2 Fórmulas 1.

∫v

2

2.

∫v

2

3.

∫a

4.

∫

2

)

∫

dv 1 v2a 5 ln 1 C 6. 2 a 2 2a v 1 a

∫v

dv 1 a1v 5 ln 1 C 7. 2 v2 2a a 2 v

∫

a 2 2 v 2 dv 5

v 2 a2 v a 2 v 2 1 arc sen 1 C 2 2 a

∫

v 2 6 a 2 dv 5

v 2 a2 v 6 a 2 6 ln v 1 v 2 6 a 2 1 C 2 2

dv

v 5 arc sen 1 C 8. 2 2 a a 2v

23

dv

(

dv 1 v 5 arc tan 1 C 5. 1 a2 a a

v2 6 a2

5 ln v 1 v 2 6 a 2 1 C

dv v2 2 a2

v 1 5 arc sec 1 C a a

(

)

2 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫x

2

dx 1 36

Solución Se utiliza la fórmula:

∫v

2

dv 1 v 5 arc tan 1 C 1 a2 a a

se deducen las siguientes equivalencias y se sustituyen en la fórmula. v 2 5 x 2, v 5 x y dv 5 dx; a 2 5 36, a 5 6 Por consiguiente,

∫x 2


2

1 dx x 5 arc tan 1 C 1 36 6 6

dx 2 29

∫ 16 x

Solución Para resolver la integral se utiliza la fórmula:

∫v

2

dv 1 v2a 5 ln 1C 2 a 2 2a v 1 a

se determina la variable y se encuentra su diferencial, v 2 5 16x 2, v 5 4x, dv 5 4dx y

dv 5 dx; a 2 5 9, a 5 3 4

Finalmente, se realiza la sustitución y se resuelve la integral. 4x − 3 dx 1 dv 1 1 4x 2 3 1 5 5 ⋅ 1 C 5 ln +C ln 2 2 9 4 ∫ v 2 2 a 2 4 2( 3) 4 x 1 3 24 4 x + 3

∫ 16 x 3


m dx n2 x2 2 p2

∫

Solución a 2 5 p 2, a 5 p v2 5 n 2x 2; v 5 nx, dv 5 ndx donde,

dv 5 dx n

Se sustituye y se resuelve la integral, m nx 2 p mdx m dv m 1 nx 2 p ln ln 1C 5 5 ⋅ 1C 5 2 2 np nx 1 p 2 p 2 n ∫ v 2 2 a 2 n 2( p ) nx 1 p

∫n x 2

Se concluye que, mdx m nx 2 p 5 ln 1C 2 2 2p 2 np nx 1 p

∫n x 2

24

Capítulo 2


4

dx

∫

Precisa el resultado de

9 2 25 x 2

Solución Para resolver la integral se utiliza la fórmula,

∫

dv a2 2 v2

5 arc sen

v 1C a

se deduce a, v y la diferencial dv a 2 5 9, a 5 3; v 2 5 25x 2, v 5 5x, dv 5 5 dx donde,

∫

dx 9 2 25 x 2

5

dv 5 dx 5

1 dv 1 v 1 5x 5 arc sen 1 C 5 arc sen 1 C 5 ∫ a2 2 v2 5 a 5 3

Por tanto,

∫ 5


dx 9 2 25 x 2

5

1 5x arc sen 1 C 5 3

dx

∫

9x2 1 5

Solución a 2 5 5, a 5 5 ; v 2 5 9x 2, v 5 3x, dv 5 3 dx donde,

∫

dx 9x2 1 5

5∫

dv 1 dv 1 3 5 ∫ 2 5 ln 3x 1 9 x 2 1 5 1 C 2 2 2 3 3 v 1a v 1a

Ejercicio 6 Realiza las siguientes integrales: dx 6. 1 81

∫ 9x

dy 7. 1 b3

∫

25 2 9 x 2

dy 8. 2 16

∫

4 x2 2 7

1.

∫x

2.

∫ by

2

3.

∫y

4.

∫ 25 2 4 x

5.

∫ 2x

2

2

dx

2

dv 5 dx 3

9.

dx 2 16

10.

2

25

∫x ∫

2

dx 2 144 dx

dx

dx 4 x2 2 9 dx 2x2 2 8

2 Capítulo


4 dx x2 1 m2

11.

∫b

12.

∫v

13.

∫ x(ln

14.

∫ sec x(1 2 sen x )

15.

∫

92x

16.

∫

3 2 3x 2

17.

∫

18.

∫

19.

∫ 25a 2 a y

20.

∫

21.

∫ 5 2 2y

4

2 v dv 4 2 b4 dx x 1 4) dx

2

4

5 dx

e x dx e

x

x

e 14 dy

5 2 4y

2

3 2

dt 3t 2 1 5 dy

24.

∫

2

dx 1 b4 dy

4 2 2 y2

26.

∫

27.

∫

1 2 2 x 2 dx dm 82

m2 5

28.

∫

(2 x + 1)2 2 a 2 dx

29.

∫

28 1 343x 2 m dx x1 2 m

30.

∫ 2t

31.

∫

32.

∫ csc(2t ) ⋅ (5 2 cos

33.

∫ 1 1 cos

dt 17

2

( 3x 1 2 ) dx 5 x 2 2 16 dt

2

2t )

sen x dx 2 x

dx

34. ∫ t 2 ln 2 ( 3t ) 1 4 dt 1 ∫ ln( 3t ) t 2 ln 2 ( 3t ) 1 4 dt , 3x 2 1 4 demuestra que: 22.

∫

2

dy

∫x

25. ∫ e2 x 16 2 e 4 x dx

2

x dx

23.

(

)

t ln( 3t ) 2 2 t ln ( 3t ) 1 4 1 2 ln t ln( 3t ) 1 t 2 ln 2 ( 3t ) 1 4 1 C 2

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales en las que se completa un trinomio cuadrado perfecto En aquellas integrales con un denominador de la forma ax 2 1 bx 1 c, se utiliza el método de completar un trinomio cuadrado perfecto para llegar a las formas: v2 6 a2 ,

a2 2 v2 , v2 6 a2 , a2 2 v2

Según sea el caso.

26

Capítulo 2


Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫x

dx 1 4x 1 3

2

Solución Se completa el TCP, entonces, el denominador se expresa como: x 2 1 4 x 1 3 5 ( x 2 1 4 x 1 4 ) 2 4 1 3 5 ( x 1 2 )2 2 1 Donde, v 2 5 (x 1 2)2, v 5 x 1 2, dv 5 dx; a 2 5 1, a 5 1 Por consiguiente,

∫x 2

2


1 dx dx x 1 2 21 1 x 11 5 5 ln 1 C 5 ln 1C 1 4 x 1 3 ∫ ( x 1 2 )2 2 1 2(1) x 1 2 +1 2 x13

∫x

2

3dx 2 8 x 1 25

Solución La expresión x 2 2 8 x 1 25 5 ( x 2 2 8 x 1 16 ) 2 16 1 25 5 ( x 2 4 )2 1 9 Donde, v 2 5 (x 2 4)2, v 5 x 2 4, dv 5 dx; a 2 5 9, a 5 3 Finalmente,

∫x 3

2

3dx dx 1 x24  x24 1C 5 3∫ 5 3 ⋅ arc tan 1 C 5 arc tan   3  ( x 2 4 )2 1 9 2 8 x 1 25 3 3

Encuentra el resultado de la integral indefinida

∫ 2x

2

dx 2 2 x 11

Solución Se completa el TCP y el trinomio se convierte a la expresión equivalente.

1 1 1 1 1 1 1    2 x 2 2 2 x 1 1 5 2  x 2 2 x 1  5 2  x 2 2 x 1 2 1  5 2  x 2 2 x 1  2 1   4 4 2 2 4 4 2      2  1 1 5 2  x 2  1  2 4  

Se utiliza la fórmula,

∫v

2

dv 1 v 5 arc tan 1 C 1 a2 a a

se obtiene la variable, su diferencial y el valor de a, entonces, 2

1 1 1 1  v 2 5  x 2  , v 5 x2 , dv 5 dx; a 2 5 , a 5 4 2 2 2 

27

2 Capítulo


Se realizan los cambios y se resuelve la integral. 1 2 x 21 x2 1 1 1 dx dx 2 ∫ 2 x 2 2 2 x 1 1 5 2 ∫  1  2 1 5 2 ⋅ 1 arc tann 1 1 C 5 arc tan 21 1 C  x 2  1 2 2 2 2 4 Por tanto, el resultado de la integral es:

∫ 2x 4


2

dx 5 arc tan(2 x 2 1) 1 C 2 2 x 11

dx

∫

2 2 3x 2 4 x 2

Solución La expresión 3 1 3 9 9 1   2 2 3x 2 4 x 2 5 − 4  x 2 1 x 2  5 − 4  x 2 1 x 1 2 2  4 2 4 64 64 2    2 2   41  3 41  3  5 24  x 1  2  5 4  2  x 1   8 64  8     64 

Se deduce entonces la fórmula que se va a utilizar:

∫

dv a2 2 v2

v 5 arc sen 1 C a

Donde, 2

41 3 3 41  v 2 5  x 1  v 5 x 1 , dv 5 dx; a 2 5 , a5 64 8 8 8  Por tanto,

∫

dx 2 2 3x 2 4 x

2

5∫

dx  41  3  4  2 x 1      64 8  2

5

1 2

∫

dx 41  3 2 x 1  64  8

2

3 8x 1 3 x1 1 1 1 8x 1 3 8 1 C 5 ? arc sen 8 1 C 5 arc sen 1C 5 ⋅ arc sen 2 2 2 41 41 41 8 8

5


(2 x 1 5 ) dx 2 1 2x 1 5

∫x

Solución En este caso, la expresión se representa como: 2x 1 5 2x 1 2 3 5 1 x2 1 2 x 1 5 x2 1 2 x 1 5 x2 1 2 x 1 5 Se ha elegido esta separación debido a que, si v 5 x 2 1 2 x 1 5 entonces dv 2 (2 x 1 2 )dx

28

Capítulo 2


Por consiguiente,

( 2 x 1 5 ) dx 5 ( 2 x 1 2 ) dx 1 3

∫x Para la integral

2

∫x

1 2x 1 5

2

1 2x 1 5

∫x

2

dx 1 2x 1 5

(2 x 1 2 )dx , se realiza el cambio, 2 1 2x 1 5

∫x

v 5 x 2 1 2 x 1 5 , dv 5 (2 x 1 2 )dx y

dv

(2 x 1 2)

5 dx

Resultando: (2 x 1 2 )dx 5 ln( x 2 1 2 x 1 5 ) 1 C 2 1 2x 1 5

∫x Ahora, con la integral

∫x

∫x

2

2

dx , se realiza el siguiente cambio: 1 2x 1 5

dx dx dx 1 x 11 5 5 5 arc tan 1C 1 2 x 1 5 ∫ ( x 2 1 2 x 1 1)1 4 ∫ ( x 1 1)2 1 4 2 2

Finalmente, al sustituir se obtiene:

( 2 x 1 5 ) dx 5 ( 2 x 1 2 ) dx 1 3

∫x

2

∫x

1 2x 1 5

2

1 2x 1 5

∫x

2

dx 1 2x 1 5

1 x 11 arc tan 1C 2 2

5 ln( x 2 1 2 x 1 5 ) 1 3 ⋅

3 x 11 5 ln( x 2 1 2 x 1 5 ) 1 arc tan 1C 2 2

Por tanto, (2 x 1 5 ) dx 3  x 1 1 1C 5 ln( x 2 1 2 x 1 5 ) 1 arc tan  2  2  1 2x 1 5 2

∫x 6


e5 x 1 4 e 3 x dx

∫

e 3 x 1 6 e2 x 1 5 e x

Solución La integral se expresa de la siguiente manera: e5 x 1 4 e 3 x dx

∫

3x

2x

e 1 6e 1 5e

x

5

e x (e2 x 1 4 e x )dx

∫

e

x

2x

x

e 1 6e 1 5

∫

5

(e2 x 1 4 e x ) dx e2 x 1 6 e x 1 5

Se realiza la separación en el numerador

∫

(e2 x 1 4 e x ) dx 2x

x

e 1 6e 1 5

5

∫

(e2 x 1 3e x 1 e x ) dx 2x

x

e 1 6e 1 5

29

5

∫

(e2 x 1 3e x )dx 2x

x

e 1 6e 1 5

1

∫

e x dx 2x

e 1 6ex 1 5

2 Capítulo


Ahora, para la integral

∫

(e2 x 1 3e x )dx

, se realiza el siguiente cambio:

e2 x 1 6 e x 1 5

v 5 e 2x 1 6e x 1 5, dv 5 (2e 2x 1 6e x )dx 5 2(e 2x 1 3e x )dx Entonces, 1

1 1 v2 1 dv 5 ∫ 5 ⋅ 5 v2 5 2x x 1 2 2 v e 1 6e 1 5 2

(e2 x 1 3e x )dx

∫

Por consiguiente, para la integral de variable.

∫

e x dx e2 x 1 6 e x 1 5

5

∫ ∫

e x dx e2 x 1 6 e x 1 5

e2 x 1 6 e x 1 5

, se completa el trinomio cuadrado perfecto y se realiza el cambio

e x dx e2 x 1 6 e x 1 9 2 9 1 5

5

∫

e x dx e2 x 1 6 e x 1 9 2 4

5

∫

e x dx (e x 1 3)2 2 4

Donde, w 5 e x 1 3, dw 5 e x dx Entonces,

∫

e x dx (e + 3) 2 4 x

2

5

∫

dw 2

w 24

5 ln w 1 w 2 2 4 5 ln e x 1 3 1 (e x 1 3)2 2 4 5 ln e x 1 3 1 e2 x 1 6 e x 1 5

Por tanto, se concluye que:

∫

e5 x 1 4 e 3 x dx e 3 x 1 6 e2 x 1 5 e x

5

e2 x 1 6 e x 1 5 1 ln e x 1 3 1 e2 x 1 6 e x 1 5 1 C

Ejercicio 7 Determina las siguientes integrales: dx 1 6x

6.

∫ 2x

dx 1 8x

7.

∫a x

dx 1 5x 1 6

8.

∫e

dx 1 3x 1 1

9.

∫ 13w 2 2w

dx 1 5 x 2 14

10.

∫ 5 1 9a 2 2a

1.

∫x

2

2.

∫x

2

3.

∫x

2

4.

∫ 2x

2

5.

∫x

2

30

2

2

2x

dx 1 9x 1 4 2

dx 1 8 ax 1 15

3e x dx 1 9 e x 1 20 dw

2

2 15

da

2

Capítulo 2


dx 2 2x 1 8

11.

∫x

12.

∫e

13.

∫ (sen x 2 3)

14.

∫

15.

∫

4x 2 4x 1 3

16.

∫

3z 2 1 4 z

17.

∫

18.

∫x

ln x 1 7 ln x 1 6

19.

∫

2

20.

∫

21.

2

28. ∫ enx 3 1 2 enx 2 e2 nx dx

e2 x 1 3e x 2 3 dx 2x 1 2ex 2 3

dy

29.

∫

30.

∫

31.

∫

32.

∫

ax 1 3x ax 1 2 x

33.

∫

3y 2 1 13y 2 10

34.

∫ 3x

35.

∫ 92x

36.

∫ 9x

x 2 1 4 x 2 3 dx

37.

∫x

∫

4 2 3x 2 2 x 2 dx

38.

∫ 3x

2

22.

∫

3x 2 x 2 dx

39.

∫x

x15 dx 2 7x 1 6

23.

∫

3x 2 2 4 x dx

40.

∫ 3x

24.

∫x

x 4 2 x 2 2 20 dx

41.

∫

( 3x 1 2 )

25.

∫

2x 2 2 5 x 1 24 dx

42.

∫

3x 2 11

26.

∫

x 2 3x 1 1 2 dx 4 4

43.

∫

5 2 2x

27.

∫

44.

∫

cos x dx 2

23

dw

2

25 w 1 22 w 2 8 dx 2

dz

dx

2

2x 1 x

dx 2

dw w 2 9w 1 5

dx 2

3 2

x 2 4 x 2 21x

31

2

y 1 y 11 3x 2 1 4 x 1 1 dx dw 5w 2 2w2 dx 2

dy

(6 x 2 5 ) dx 2 1 4 x 11

3x 2 4 2

dx

4 2 7x dx 2 2 16

x 2 1 3x 1 5 dx 2 2 4 x 11

2

2

x22 dx 1 5x 2 4

2 x 1 21 dx 1 27 x 2 15

x2 2 4

dx

4 2 9x2

dx

16 x 2 1 25 4 2 3x 7 2 2x2

dx

dx

2 Capítulo


x16

45.

∫ 8 1 14 x 2 10 x

46.

∫

47.

∫

5 x 2 11 x 2 1 3x 2 5

2

48.

2 x 1 5 x 21

∫

5 x 11 4 2 2x 2 x2

dx

49. ∫ (2 x 1 1) x 2 2 3x 1 4 dx

dx

22x 2

dx

50. ∫ ( 3x 1 7 ) x 2 1 7 x 1 6 dx

dx


32


Capítulo

das • Matemátic as lifica p si m i ntegrales de pli s s diferenciales mtrigonométricas a c fic i t a má Matemá • s a d ti ca

sim p l i fic a

•M

ss ica át

imp


s da

atemático y físico francés nacido en Auxerre y fallecido en París, conocido por sus trabajos sobre la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas series de Fourier.

imp


da

M

• Matemáti c as



Ma

histórica

Ma

•


•

sim pli fic a

s da

cas

3

s cada plifi

lifi

s da

imp

s da

s as tic má

ss ica át


•M a t e má

Participó en la Revolución Francesa y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Se incorporó a la Escuela Normal Superior de París en donde tuvo entre sus profesores a Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace. Posteriormente ocupó una cátedra en la Escuela Politécnica.

atem


I

•M ate m

sim


s ica át

da

s•

tem Ma

Según él, cualquier oscilación periódica, por complicada que sea, se puede descomponer en serie de movimientos ondulatorios simples y regulares, la suma de los cuales es la variación periódica compleja original. Es decir se expresa como una serie matemática en la cual los términos son funciones trigonométricas. El teorema de Fourier tiene muchas aplicaciones; se puede utilizar en el estudio del sonido y de la luz y, desde luego, en cualquier fenómeno ondulatorio. El estudio matemático de tales fenómenos, basado en el teorema de Fourier se llama análisis armónico. Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830)

3 Capítulo


Integrales de la forma: ∫ sen m v dv , ∫ cosn v dv , con m y n impar En aquellas integrales cuya función seno o coseno sea una potencia impar, se realiza la separación en potencias pares y siempre sobra una lineal, la cual funcionará como diferencial; el resto se transforma mediante las siguientes identidades trigonométricas: sen 2 x 5 1 2 cos 2 x cos 2 x 5 1 2 sen 2 x

Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫ sen x dx 3

Solución Se separa la potencia de la siguiente manera:

∫ sen x dx 5 ∫ sen x sen x dx 3

2

Se sustituye sen 2 x 5 1 2 cos 2 x , de esta forma: v 5 cos x, dv 5 2sen x dx, 2dv 5 sen x dx

∫ sen x dx 5 ∫ sen x sen x dx 5 ∫ (1 − cos 3

2

x ) sen x dx 5

∫ (1 2 v

2

)(2dv ) 5 ∫ 2dv 1 ∫ v 2 dv

1 5 2v 1 v 3 1 C 3

1 5 2cos x 1 cos 3 x 1 C 3

5

Por consiguiente,

2

2

1

∫ sen x dx 5 3 cos 3


∫

3

1 cos 3 x 2 cos x 1 C 3

x 2 cos x 1 C

cos 3 x dx sen 4 x

Solución cos 3 x dx cos 2 x cos x dx 5 ∫ sen 4 x ∫ sen 4 x 5

∫

(1 2 sen 2 x )cos x dx sen 4 x

Se realiza el cambio de variable, v 5 sen x y dv 5 cos x dx,

∫

(1 2 v ) dv 5 2

v

4

dv

∫v

4

2∫

dv 5 v2

∫v

24

dv 2 ∫ v22 dv 5

v23 v21 1 1 2 5 2 3 1 1C v 23 21 3v

Pero v 5 sen x, entonces, 1 1 1 2 1 C 5 csc x 2 csc 3 x 1 C sen x 3sen 3 x 3 Finalmente,

cos 3 x dx 1 3 ∫ sen 4 x 5 csc x 2 3 csc x 1 C

34

Capítulo 3

Cálculo integral • Integrales de diferenciales trigonométricas

3


∫

sen 5 y dy cos y

Solución

∫

sen 5 y sen 4 y sen y dy (sen 2 y )2 sen y dy dy 5 ∫ 5∫ cos y cos y cos y

Se sustituye sen 2 y 5 1 2 cos 2 y en la integral: (1 2 cos 2 y )2 sen y dy ∫ cos y se realiza el cambio de variable, v 5 cos y, dv 5 2sen y dy, 2dv 5 sen y dy 2∫

(1 2 v )

2 2

v

dv

52∫

(1 2 2v

2

1 v 4 ) dv v

5 2∫

3 7 dv 1 2 ∫ v 2 dv 2 ∫ v 2 dv v

4 5 2 9 5 22 v 1 v 2 2 v 2 1 C 5 9

Al factorizar 22 v de la expresión se obtiene:

2 1   522 v  1 2 v 2 1 v 4  1 C , pero v 5 cos y 5 9   Finalmente, sen 5 y dy 2 1  2 4  ∫ cos y 522 cos y  1 2 5 cos y 1 9 cos y  1 C

Ejercicio 8 Resuelve las siguientes integrales: 1. ∫ sen 3 4 x cos 4 x dx 9. ∫ cos 3

x dx 3

2. ∫ cos 5 3x sen 3x dx

10. ∫ sen 5 x dx

3. ∫ sen 3ax dx

11. ∫ sen 5 ax dx

4. ∫ sen 3 5x dx

12. ∫ sen 5 4 x dx

5. ∫ sen 3

x dx 4

13. ∫ sen 5

x dx 2

6. ∫ cos 3 x dx

14. ∫ cos 5 y dy

7. ∫ cos 3 ax dx

15. ∫ cos 5 bx dx

8. ∫ cos 3 6x dx

16. ∫ cos 5

35

x dx 3

3 Capítulo


17. ∫ sen 7 u d u

21. ∫ sen 3 4 x cos 5 4 x dx

18. ∫ sen 7 3x dx

22. ∫ cos 3 x sen 5 x dx

19. ∫ cos 7 y dy

23.

∫

cos 5 2 x dx sen 2 x

20. ∫ cos 7 4 x dx

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales de la forma: ∫ tan n v dv , ∫ cot n v dv con n par o impar En este tipo de integrales se separan potencias pares y se sustituye por la identidad trigonométrica respectiva: tan 2 x 5 sec 2 x 2 1 cot 2 x 5 csc 2 x 2 1

Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫ tan

3

x dx

Solución Se realiza la separación de la potencia:

∫ tan

x dx 5 ∫ tan x tan 2 x dx

3

Se sustituye tan 2 x 5 sec 2 x 2 1 ,

∫ tan x(sec

x 2 1) dx 5 ∫ tan x ? sec 2 x dx 2 ∫ tan x dx

2

Al aplicar v 5 tan x, dv 5 sec2 x dx, para la primera integral, entonces:

∫ tan

3

x dx 5

∫ tan x ⋅ sec

2

x dx 2 ∫ tan x dx 5

2


v2

∫ v dv 2 ∫ tan x dx 5 2 2 (2ln cos x ) 1 C 5

∫ (sec 3x 1 tan 3x ) dx 2

Solución Se desarrolla el binomio al cuadrado y se obtiene:

∫ (sec

2

3x 1 2 sec 3x tan 3x 1 tan 2 3x ) dx

se realiza el cambio tan 2 x 5 sec 2 x 2 1

∫ (sec

2

3x 1 2 sec 3x tan 3x 1 sec 2 3x 2 1)dx

Se simplifican términos semejantes y resulta:

∫ (2 sec

2

3x 1 2 sec 3x tan 3x 2 1) dx

36

1 2 tan x 1 ln cos x 1 C 2

Capítulo 3


Se efectúa el cambio, v 5 3x, entonces dv 5 3dx y

dv 5 dx 3

Se procede a integrar 2

2 dv v dv 1 ∫ sec v tan v dv 2 ∫ 3 3

5

∫ 3 sec

5

2 2 1 sec 2 v dv 1 ∫ sec v tan v dv 2 ∫ dv 3∫ 3 3

5

2 2 1 tan v 1 sec v 2 v 1 C ; 3 3 3

2

pero v 5 3x, entonces finalmente se obtiene:

∫ (sec 3x 1 tan 3x ) 3


2

dx 5

2 2 tan 3x 1 sec 3x 2 x 1 C 3 3

∫ cot ax dx 5

Solución Al separar la integral

∫ cot ax dx 5 ∫ cot ax cot ax dx 5

3

2

Se realiza el cambio cot 2 ax 5 csc 2 ax 2 1

∫ cot ax(csc 3

2

ax 2 1)dx 5 ∫ cot 3ax csc 2 ax dx 2 ∫ cot 3ax dx

De nueva cuenta se tiene una potencia impar, por lo que se vuelve a separar y a sustituir la identidad:

5

∫ cot ax ? csc

5

∫ cot ax ⋅ csc

3

3

2

ax dx 2 ∫ cot ax cot 2 ax dx 5 ∫ cot 3ax csc 2 ax dx 2 ∫ cot ax (csc 2 ax 2 1)dx

2

ax dx 2 ∫ cot ax csc 2 ax dx 1 ∫ cot ax dx

v 5 cot ax y dv 5 2a csc2ax dx 1 3 1 1 v dv 1 ∫ vdv 1 ln sen ax 1 C a∫ a a

52

1 v4 1 v2 1 5 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ln sen ax 1 C a 4 a 2 a

 1  v4 v2 5 2  2 2 ln sen ax  1 C , a 4 2 

pero v 5 cot ax, por lo que finalmente,  1  cot 4 ax cot 2 ax 2 2 ln sen ax  1 C 4 2 

∫ cot ax dx 52 a  5

37

3 Capítulo


Ejercicio 9 Realiza las siguientes integrales: 1. ∫ tan 3 5x dx 7. ∫ tan 5 5x dx x dx 8. ∫ cot 4 5x dx 2

2. ∫ tan 3 3.

∫ cot

3

4.

∫ cot

3

5.

∫ cot

5

6.

∫ cot

5

4 x dx 9. ∫ tan 4 6x dx x dx 3

10. ∫ ( tan 3x 2 cot 3x )3 dx

6x dx

11. ∫ ( tan 2 2 y 1 tan 4 2 y ) dy

y dy 4

12. ∫ (cot 4 3x 1 cot 2 3x ) dx

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales de la forma: ∫ sec n v dv , ∫ csc n v dv con n par En este tipo de integrales se separa en potencias pares y se sustituye por la identidad trigonométrica respectiva. sec 2 x 5 1 1 tan 2 x ; csc 2 x 5 1 1 cot 2 x

Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫ sec

4

x dx

Solución

∫ sec

4

x dx 5 ∫ sec 2 x sec 2 x dx

Se realiza el cambio con la identidad sec2x 5 1 1 tan2x

∫ (1 1 tan x )sec 2

2

x dx

Al efectuar v 5 tan x y dv 5 sec2x dx se obtiene: 2 2 ∫ (1 + v )dv 5 ∫ dv 1 ∫ v dv 5 v 1

v3 1C 3

Pero v 5 tan x, entonces,

∫ sec

4

1 x dx 5 tan 3 x 1 tan x 1 C 3

38

Capítulo 3


2


∫ csc

4

x dx 4

Solución

∫ csc

x x x dx 5 ∫ csc 2 csc 2 dx 5 4 4 4

4



∫  1 1 cot

2

x 2 x  csc dx 4 4

Donde v 5 cot

1 x x y dv 52 csc 2 dx 4 4 4

entonces: 4 524 ∫ (1 1 v 2 )dv 524 ∫ dv 2 4 ∫ v 2 dv 524 v 2 v 3 1 C 3 pero v 5 cot

x , por consiguiente 4

∫ csc

4

x 4 x x dx 52 cot 3 2 4 cot 1 C 4 3 4 4

Integrales de la forma: ∫ tan m v ⋅ sec n v dv , ∫ cot m v ? csc n v dv con n par y m par o impar En este tipo de integrales se emplean las siguientes identidades trigonométricas: sec2x 2 tan2x 5 1; csc2x 2 cot2x 51

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Demuestra que

∫ tan x sec 2

4

1 1 x dx 5 tan 5 x 1 tan 3 x 1 C 5 3

Solución En la integral la secante tiene potencia par, entonces se realiza la separación de una secante cuadrada y se sustituye por la identidad trigonométrica correspondiente.

∫ tan x sec 2

4

x dx 5

∫ tan x sec 2

2

x sec 2 x dx 5 ∫ tan 2 x (1 1 tan 2 x ) sec 2 x dx

Al efectuar v 5 tan x y dv 5 sec2x dx finalmente se determina que: 5

∫ v (1 1 v 2

2

)dv 5

∫ (v

2

1 1 1 1 + v 4 )dv 5 v 3 1 v 5 1 C 5 tan 5 x 1 tan 3 x 1 C 3 5 5 3

39

3 Capítulo


2


∫ tan

3

x x sec 3 dx 4 4

Solución En la integral las potencias, tanto de la tangente como de la secante, son impares, por lo que la separación es para ambas funciones.

∫ tan

3

x x sec 3 dx 5 4 4

∫ tan

2

x x x x sec 2 tan sec dx 4 4 4 4

Luego tan 2

x x 5 sec 2 2 1 4 4

por consiguiente, 5

∫ tan

2

x x x x sec 2 tan sec dx 5 4 4 4 4



∫  sec

2

x x x x  2 1  sec 2 tan sec dx 4 4 4 4 

Ahora, al hacer v 5 sec

x 1 x x y dv 5 sec tan dx 4 4 4 4

se obtiene: 4 4 5 4 ∫ (v 2 2 1)v 2 dv 5 4 ∫ v 4 dv 2 4 ∫ v 2 dv 5 v 5 2 v 3 1 C 5 3

5

x 4 x 4 sec 5 2 sec 3 1 C 5 4 3 4

Ejercicio 10 Determina las siguientes integrales: 1. ∫ sec 4 3x dx 8. ∫ csc 4

5x dx 4

2. ∫ sec 4 ax dx 9. ∫ tan 2 8 x sec 4 8 x dx 3. ∫ sec 4

x dx 6

10. ∫ tan 2 ax sec 4 ax dx

4. ∫ csc 4 9x dx

11. ∫ tan 2

x x sec 4 dx 7 7

5. ∫ csc 4 bx dx

12. ∫ tan 2

5x 5x dx sec 4 3 3

6. ∫ csc 4

x dx 7

13. ∫ tan 3 5 x sec 3 5 x dx

7. ∫ sec 4

2x dx 3

14. ∫ tan 3 bx sec 3 bx dx

40

Capítulo 3


15. ∫ tan 3

x x sec 3 dx 6 6

26. ∫ tan 5 x sec x dx

16. ∫ tan 3

4x 4x dx sec 3 7 7

27. ∫ tan 2 x sec 3 2 x dx

17.

∫ cot

3

bx csc 3 bx dx

28. ∫ ctg 5 x csc 3 x dx

18.

∫ cot

3

4 x csc 3 4 x dx

29.

∫

sen 5 3x dx cos 8 3x

x dx 2

30.

∫

sec 6 x dx tan x

19. ∫ sec 6

 3u  20. ∫ csc 4   d u  2 

  t  31. ∫  sec 4 3t 2 csc 4    dt  2  

21. ∫ 2 x 2 sec 4 x 3 dx

32. ∫ csc 4 (2 x 2 1) dx

3

 1  22. ∫  1 1 2  dx ctg x  

33.

23. ∫ sec 6 a cos 2a da

34. ∫ csc 8 x dx

dt

24.

∫ cos

25.

∫ csc

4

4

2t

35.

∫

du u sen 6   5

∫ x(1 2 tan

4

x 2 ) dx

( 3x 2 1)dx

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales de la forma: ∫ sen m v dv y ∫ cosn v dv , con m y n par En estas integrales cuando las potencias de las funciones sen x y cos x son pares, se utilizan las identidades trigonométricas del doble de un ángulo: 1 1 1 1 1 sen v cos v 5 sen 2 v sen 2 v 5 2 cos 2 v cos 2 v 5 1 cos 2 v 2 2 2 2 2

Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫ sen x dx 2

Solución Se emplea la identidad correspondiente y se integra: 1

1



1

1

x

∫ sen x dx 5 ∫  2 2 2 cos 2 x  dx 5 2 ∫ dx 2 2 ∫ cos 2 x dx 5 2 2 2

41

sen 2 x 1C 4

3 Capítulo


2


∫ sen

4

2x dx

Solución 2

1 1 1 1 1   4 2 2 2 ∫ sen 2 x dx 5 ∫ (sen 2 x ) dx 5 ∫  2 2 2 cos 4 x  dx 5 ∫  4 2 2 cos 4 x 1 4 cos 4 x  dx Ahora se transforma la potencia par de cos 4x, utilizando la identidad: 1 1 cos 2 v 5 1 cos 2 v 2 2 Entonces, 1

1

∫  4 2 2 cos

11 1 1 3 1   4 x 1  1 cos 8 x   dx 5 ∫  2 cos 4 x 1 cos 8 x  dx 2 42 2 8 8   

Ahora bien, al integrar cada uno de los términos queda:

∫ sen 3


∫ cos

6

4

3 sen 4 x sen 8 x 2 x dx 5 x 2 1 1C 8 8 64

x dx 3

Solución La integral se expresa de la siguiente manera

∫ cos Se sustituye cos 2

6

x dx 5 3



∫  cos

3

2

x  dx 3

x 1 1 2x 5 1 cos 3 2 2 3 3

x dx 5 3

∫  2 1 2 cos

5

∫  8 1 8 cos

5

∫  8 1 8 cos

5

∫  16 1 8 cos

5

∫  16 1 8 cos

5

∫  16 1 8 cos

5

∫  16 1 2 cos

5

5 1 2x 3 4x 1 2x 2x cos dx dx 1 ∫ cos dx 1 cos dx 2 ∫ sen 2 ∫ ∫ 16 2 3 16 3 8 3 3

∫ cos

6

1

1

2x   dx 3 

1

3

2x 3 2x 1 2x  1 cos 2 1 cos 3  dx 3 8 3 8 3

1

3

2x 3  1 1 4x 1 2x  1  1 cos  1 cos 3  dx 3 82 2 3 8 3

 5

3

2x 3 4x 1 2x 2x  1 cos 1 cos 2 cos  dx 3 16 3 8 3 3

 5

3

2x 3 4x 1  2x  2x  1 cos 1  1 2 sen 2  cos  dx 3 16 3 8 3 3

 5

3

2x  2x 3 4x 1 2x 1 2x 1 cos 1 cos 2 sen 2 cos  dx 3 3 16 3 8 3 8 3

 5

1

2x 3 4x 1 2x 2x  1 cos 2 sen 2 cos  dx 3 16 3 8 3 3

42

Capítulo 3


Se aplica el cambio de variable para cada una de las integrales, v5

2x 2 4 4 2x 2 2x dv 5 dx z 5 x dz 5 dx w 5 sen , dw 5 cos dx 3 3 3 3 3 3 3

Entonces,

5

1 3 3 3 1 3 5 ⋅ ∫ cos z dz 2 ⋅ ∫ w 2 dw x 1 ⋅ ∫ cos v dv 1 2 2 16 4 8 2 16

5

3 w3 5 3 9 ⋅ 1C x 1 sen v 1 sen z 2 16 3 16 4 64

5

5 3 2x 9 4x 1 2x 1 2 sen 3 1C x 1 sen sen 16 4 3 64 3 16 3

Ejercicio 11 Verifica las siguientes integrales: 1. ∫ sen 2 3x dx

15. ∫ cos 4

x dx 3

2. ∫ sen 2 ax dx

16. ∫ cos 4

5x dx 3

3. ∫ sen 2

x dx 5

17. ∫ sen 6 x dx

4. ∫ sen 2

3x dx 4

18. ∫ sen 6 4 x dx

5. ∫ cos 2 5x dx

19. ∫ sen 6 ax dx

6. ∫ cos 2bx dx

20. ∫ sen 6

x dx 4

7. ∫ cos 2

x dx 7

21. ∫ sen 6

5x dx 2

8. ∫ cos 2

7x dx 2

22. ∫ cos 6 x dx

9. ∫ sen 4 8x dx

23. ∫ cos 6 3x dx

10. ∫ sen 4 ax dx

24. ∫ cos 6bx dx

11. ∫ sen 4

x dx 7

25. ∫ cos 6

x dx 2

12. ∫ sen 4

3x dx 4

26. ∫ cos 6

2x dx 5

27.

14. ∫ cos 4 bx dx

28. ∫ sen 4 3x dx

43

∫

cos x dx sec 5 x

13. ∫ cos 4 9x dx

3 Capítulo


29.

30.

∫

dy y csc 2

34. ∫ (sen x 11)3 dx

 x  x 35. ∫ sen 2   cos 2   dx  b  b

4

dx

∫ csc

2

x

2

cos 2 3x dx 31. ∫ 1 1 tan 2 3x

 u u 36. ∫  sen   2 cos    d u   3  3   

x 32. ∫ 2 cos 2   dx 2

37.

∫ cos

8

x dx

33. ∫ ( 3 2 cos a )2 da

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integrales de la forma ∫ sen mx ⋅ cos nx dx , ∫ sen mx ⋅ sen nx dx , ∫ cos mx cos nx dx En las siguientes integrales se utilizan las identidades trigonométricas:

∫ sen mx cos nx dx 52

cos( m 1 n ) x cos( m 2 n ) x 1C 2 2( m 1 n ) 2( m 2 n )

∫ sen mx sen nx dx 52

sen(m 1 n ) x sen(m 2 n ) x 1C 1 2( m 1 n ) 2( m 2 n )

∫ cos mx cos nx dx 5

sen(m 1 n ) x sen(m 2 n ) x 1 C , cuando m Z n 1 2( m 1 n ) 2( m 2 n )

Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫ sen 2 x cos 4 x dx

Solución

∫ sen 2 x cos 4 x dx 52

cos(2 1 4 ) x cos(2 2 4 ) x cos 6 x cos(22 x ) 1C 5 2 2 2 1C 2(2 1 4 ) 2(2 2 4) 12 24

52

44

cos 6 x cos 2 x 1 1C 12 4

Capítulo 3


2


∫ cos 3x cos x dx

Solución 5

sen( 3 1 1) x sen( 3 2 1) x 1 1C 2( 3 1 1) 2( 3 2 1)

5

sen 4 x sen 2 x 1 1C 2( 4 ) 2(2 )

5

sen 4 x sen 2 x 1 1C 8 4

∫ cos 3x cos x dx

Ejercicio 12 Determina las siguientes integrales:  2a   a 1. ∫ sen 2 x sen 3x dx 6. ∫ sen   cos   da  3  2 2. ∫ sen x cos 3x dx 7.

3 

1 

∫ cos  5 w cos  4 w dw

3. ∫ sen 5x sen x dx 8. ∫ sen(mx 1 b ) sen(mx 2 b ) dx 4. ∫ cos 7 y cos 3y dy 9. ∫ sen( 3x 1 4 ) sen( 3x 2 4 ) dx 5. ∫ cos( 5 x ) sen(2 x ) dx

10. ∫ sen 3w sen 2 w sen w dw


45

Capítulo

M

•

s da

• Matemáti c as

U



histórica

Ma

Ma

cas simplificada emáti s• M at Ma te


•


imp

•

m

ss ca á ti

s da

m

integración

4

s cada plifi

das • Matemátic as lifica p sim de m i étodos pli ss a c fic i t a á

s da


•M ate m

sim

sim p l i fic a

s da

•M

ss ica át

imp

atem

imp


da

no de los científicos matemáticos y físicos italianos más importantes de finales del siglo xviii. Inventó y maduró el cálculo de variaciones y más tarde lo aplicó a una nueva disciplina, la mecánica celeste, sobre todo al hallazgo de mejores soluciones al problema de tres cuerpos. También contribuyó significativamente con la solución numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica. En su clásica Mecanique analytique (Mecánicas analíticas, 1788), transformó la mecánica en una rama del análisis matemático. El tratado resumió los principales resultados sobre mecánica que se saben del siglo xviii y es notable por su uso de la teoría de ecuaciones diferenciales. Otra preocupación central de Lagrange fueron los fundamentos del cálculo. En un libro de 1797 enfatizó la importancia de la serie de Taylor y el concepto de función. Sus trabajos sirvieron de base para los de Augustin Cauchy, Niels Henrik Abel, y Karl Weierstrass en el siguiente siglo. ss ica át



•M a t e má


s ica át

da

s•

tem Ma

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

4 Capítulo


Sustitución trigonométrica a2 2 u 2 ,

Algunas integrales que involucran expresiones de la forma utilizando las siguientes transformaciones: Caso

Cambio

Diferencial

u 5 a sen z

du 5 a cos z dz

u 2 1 a2 y

u 2 2 a 2 , deben resolverse

Transformación

Triángulo a

a2 2 u 2

a 2 2 u 2 5 a cos z

z

u

a2 − u 2

u 2 1 a2

u 5 a tan z

du 5 a sec2z dz

u 2 1 a 2 5 a sec z

u 2 2 a2

u 5 a sec z

du 5 a sec z tan z dz

u 2 2 a 2 5 a tan z

u 2 + a2

u

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Obtén el resultado de Solución

∫

dy 3

( y2 1 7)2

Para resolver la integral se utiliza el segundo caso y se hacen los cambios propuestos, entonces u 2 5 y 2 S u 5 y, luego a 2 5 7 S a 5

7

Cambiando los elementos, se sustituyen en la integral: y5

∫

dy 2

( y 1 7)

3 2

5∫

7 sec2z dz

7 tan z dy 5

(

dy 2

y 17

)

3

5∫

(

7 sec 2 z dz 7 sec z

)

3

5∫

y 2 1 7 5 7 sec z

1 1 dz 5 cos z dz 5 sen z 1 C 7 sec z 7 ∫ 7

Este resultado se cambia a términos algebraicos por medio del triángulo, entonces y 2 +7

y

z 7 sen z 5

y y2 1 7

Se concluye que,

∫

dy

( y 1 7) 2

48

3 2

5

y 7 y2 1 7

1C

z a

u z a u 2 − a2

Capítulo 4

Cálculo integral • Métodos de integración

2

Resuelve

∫

x3 2

x 24

dx

Solución u 2 5 x 2 S u 5 x; a 2 5 4 S a 5 2 Para resolver la integral se aplica el tercer caso, por tanto, los cambios se sustituyen en la integral: x 5 2 sec u, dx 5 2 sec u tan u du y

x 2 2 4 5 2 tan u

Entonces,

∫

x3 x2 2 4

dx 5 ∫

(2 sec u )3 (2 sec u tan u ) d u 5 ∫ 8 sec 4 u d u 2 tan u

5 8 ∫ sec 2 u sec 2 u d u

5 8 ∫ (1 1 tan 2 u )sec 2 u d u

5 8 ∫ (sec 2 u 1 sec 2 u tan 2 u ) d u

5 8 ∫ sec 2 u d u 1 8 ∫ tan 2 u sec 2 u d u

5 8 tan u 1

Este resultado se cambia a términos algebraicos por medio del triángulo, entonces

x2 − 4

x U 2 En el triángulo tan u 5

x2 2 4 2

Por consiguiente,

∫

 x2 2 4 dx 5 8   2 x2 2 4  x3

 8  x2 2 4 1   3 2  

( 5 4 ( x 24)1 2

5

x2 2 4 3

( x 2 1 8) x 2 2 4 1C 3

49

3

  1C  

) 1C 3

8 3 tan u 1 C 3

4 Capítulo


3


∫

25 2 16 x 2 dx x

Solución v 2 5 16x 2 S v 5 4x; a 2 5 25 S a 5 5 Para resolver la integral se utiliza el primer caso, donde 4x 5 5 sen u, x 5

5 5 sen u, dx 5 cos u du y 4 4

25 2 16 x 2 5 5 cos u

La nueva integral es:

∫

25 2 16 x 2 dx 5 x

5 cos u 5 cos 2 u 1 2 sen 2 u ? cos u d u 5 5 ∫ du 5 5 ∫ du sen u sen u sen u 4 4

∫5

5 5 ∫ (csc u 2 sen u ) d u

5 5(ln csc u 2 cot u 2 (2cos u )) 1 C

5 5 ln csc u 2 cot u 1 5 cos u 1 C

Este resultado se cambia a términos algebraicos por medio del triángulo,

5

4x

U 25 − 16x 2

5 4x

csc u 5

cot u 5

25 2 16 x 2 4x

cos u 5

25 2 16 x 2 5

Finalmente,

∫

25 2 16 x 2 25 2 16 x 2 25 2 16 x 2 5 2 15 ⋅ 1C dx 5 5 ln 5 4x 4x x 5 5 ln

5 2 25 2 16 x 2 1 25 2 16 x 2 1 C 4x

50

Capítulo 4


Ejercicio 13 Resuelve las siguientes integrales: 1.

∫x

2.

∫

3.

∫

dx

dw (w 1 5 )

3 2

y 2 dy ( y 2 1 3)

4.

∫

5.

∫y

∫

12.

∫x

13.

∫

x 2 1 36

2

3 2

x 2 dx 16 2 x 2

dy 2

x 2 1 16 dx x

11.

2

y 1 25

dx 2

7 2 x2 y 2 dy 3

(9 2 y 2 ) 2

14.

∫y

15.

∫

3

32 y 2 dy x 2 dx

6x 2 x2

3

( 36 2 25 x 2 ) 2 6. ∫ dx x6 7.

∫

8.

∫x

a 2 da 4a 2 a 2

dx 25 x 2 1 16 x 3dx

16.

9.

∫

x 2 2 16

10.

∫

5 2 u2 dθ θ2

w3

∫

w2 1 7 x4

17.

∫

18.

∫x

19.

∫x

20.

∫w

32 x 2

dx

dx 3

3

⋅ x 2 2 11 x 2 1 4 dx

ln w 4 1 4 ln w 2 ln 2 w

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integración por partes Deducción de la fórmula Sean u y v funciones, la diferencial del producto es: d (uv ) 5 u ⋅ dv 1 v ⋅ du Se despeja u dv u dv 5 d (uv ) 2 v du Al integrar la expresión se obtiene la fórmula de integración por partes,

∫ u dv 5 u ⋅ v 2 ∫ v du 51

dw

dw

4 Capítulo


Donde: 1. u es una función fácil de derivar. 2. dv es una función fácil de integrar. 3.

∫ v du

es más sencilla que la integral inicial.

La integral por partes se aplica en los siguientes casos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Algebraicas por trigonométricas. Algebraicas por exponenciales. Exponenciales por trigonométricas. Logarítmicas. Logarítmicas por algebraicas. Funciones trigonométricas inversas. Funciones trigonométricas inversas por algebraicas.

Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫ x sen x dx

Solución Se determinan u y dv y mediante una diferencial e integral se obtienen du y v respectivamente.

u 5 x

du 5 dx

dv 5 sen x dx v5

∫ sen x dx

5 2cos x

Se aplica la fórmula:

∫ x sen x dx 52x cos x 2 ∫ 2cos x dx 52x cos x 1 ∫ cos x dx

2


5 2x cos x 1 sen x 1 C

∫ xe

x

dx

Solución Se eligen u y dv de la siguiente manera:

u 5 x

du 5 dx

dv 5 e x dx v5

∫ e dx 5 e

Se sustituyen los datos en la fórmula, entonces,

∫ xe dx 5 xe x

x

2 ∫ e x dx 5 xe x 2 e x 1 C

por tanto,

∫ xe dx 5 e ( x 21) 1 C x

52

x

x

x

Capítulo 4


3


∫ ln x dx

Solución

u 5 ln x

du 5

dv 5 dx

dx x

v5

∫ dx

5x

Al aplicar la fórmula se obtiene:

∫ ln x dx 5 x ln x 2 ∫ x ⋅ 4


dx 5 x ln x 2 ∫ dx 5 x ln x 2 x 1 C 5 (ln x 2 1) 1 C x

∫ arc tan x dx

Solución

u 5 arc tan x du 5

dv 5 dx

dx 11 x2

v5

∫ dx

5x

Por consiguiente, x dx

∫ arc tan x dx 5 x arc tan x 2 ∫ 1 1 x

2

La nueva integral se resuelve por cambio de variable, entonces se elige w 5 1 1 x 2, dw 5 2x dx Y el resultado es: x dx

∫ arc tan x dx 5 x arc tan x 2 ∫ 1 1 x

2

5 x arc tan x 2

1 dw 2∫ w

1 5 x arc tan x 2 ln w 1 C 2

Por consiguiente,

1

∫ arc tan x dx 5 x arc tan x 2 2 ln 1 1 x

53

2

1C

4 Capítulo


5


∫e

x

cos x dx

Solución

u 5 e x

ex

du 5

dv 5 cos x dx dx

v5

∫ cos x dx

5 sen x

Por tanto,

∫e

x

cos x dx 5 e x sen x 2 ∫ e x sen x dx

La nueva integral se resuelve integrando por partes, u 5 e x

dv 5 sen x dx

du 5 e x dx

v 5 2cos x

Resulta

∫e

x

(

cos x dx 5 e x sen x 2 ∫ e x sen x dx 5 e x sen x 2 (2e x cos x 2 ∫ 2e x cos x dx ) 5 e x sen x 2 2e x cos x 1 ∫ e x cos x dx

Entonces,

∫e Se despeja

∫e

x

cos x dx ;

∫e

x

x

cos x dx 5 e x sen x 1 e x cos x 2 ∫ e x cos x dx

cos x dx 1 ∫ e x cos x dx 5 e x sen x 1 e x cos x 1 C 2 ∫ e x cos x dx 5 e x sen x 1 e x cos x 1 C

Finalmente,

∫e

x

cos x dx 5

ex (sen x 1 cos x ) 1 C 2


∫ xe

3x

dx 8.

∫ x cos bx dx

2.

∫ xe

ax

dx 9.

∫ x cos 3 dx

3.

∫xe

4.

∫ x sen 5 x dx

11. ∫ 2 x ln x 2 dx

5.

∫ x sen ax dx

12.

∫x

5

ln x dx

6.

∫ x sen 4 dx

13.

∫x

4

ln 5 x dx

7.

∫ x cos 4 x dx

14.

∫x

n

ln x dx

x 3

dx

10.

x

54

x

∫x

2

ln x dx

)

Capítulo 4


15.

∫x

2

e x dx

28. ∫ e2 usen 2 u d u

16.

∫y

2

e 3 y dy

29. ∫ e 3 x cos 4 x dx

17.

∫x

3

e 4 x dx

30.

∫

18.

∫x

2

sen 3x dx

31.

∫ (ax 1 b)

19.

∫x

2

sen bx dx

32.

∫ (2 x 11)

20.

∫x

3

x cos dx 2

33.

∫

21.

∫ x csc

ax dx

34.

∫x e

22.

∫ y sec

my dy

35.

∫

2

2

t dt 5t 1 3 x dx

4

x 2 dx

5

ln(ln y ) dy y 3 2x

dx

arc cos x dx x

23. ∫ arc cos ax dx

36. ∫ e2 x cos x dx

24. ∫ arc sen bx dx

37. ∫ (arc cos y )2 dy

25. ∫ arc tan ax dx

38.

∫

26. ∫ arc sec mx dx

39.

∫

x 27. ∫ arc cot dx n

40. ∫ sen 2 (ln x ) dx

arc cos x dx x2 w2 16 2 w 2

dw

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integración por fracciones parciales Integrales de la forma P( x )

∫ Q( x ) dx Donde P (x) y Q(x) son polinomios tales que el grado de P(x) es menor que el grado de Q (x)  Caso I. El denominador tiene sólo factores de 1er grado que no se repiten A cada factor de la forma: ax 1 b Le corresponde una fracción de la forma, A ax 1 b Donde A es una constante por determinar.

55

4 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1


( 7 x 1 29 )dx 2 1 8 x 1 15

∫x

Solución Se factoriza el denominador 7 x 1 29 7 x 1 29 S 5 x 2 1 8 x 1 15 ( x 1 5 )( x 1 3)

7 x 1 29 A B 5 1 ( x 1 5 )( x 1 3) x 1 5 x 1 3

Se resuelve la fracción, 7 x 1 29 A( x 1 3) 1 B( x 1 5 ) 5 ( x 1 5 )( x 1 3) ( x 1 5 )( x 1 3) Luego, para que se cumpla la igualdad, 7x 1 29 5 A(x 1 3) 1 B(x 1 5) Se agrupan y se factorizan los términos semejantes, 7x 1 29 5 x(A 1 B) 1 3A 1 5B Resultando un sistema de ecuaciones,

{

A1B57 3A 1 5 B 5 29

la solución del sistema es: A 5 3 y B 5 4 Entonces:

2

∫x

∫x

 3 ( 7 x 1 29 ) 4  3 4 dx 5 3 ln x 1 5 1 4 ln x 1 3 1 C dx 5 ∫  dx 1 ∫ 1  dx 5 ∫ x 1 x 5 x 3 x 5 3 1 8 x 1 15 1 1 1  

2

( 7 x 1 29 )dx 5 ln ( x 1 5 )3 ⋅ ( x 1 3)4 1 C 2 1 8 x 1 15


( 4 x 2 2 )dx 3 2 x2 2 2x

∫x

Solución Se factoriza el denominador, 4x 2 2 4x 2 2 4x 2 2 5 5 x 3 2 x 2 2 2 x x ( x 2 2 x 2 2 ) x ( x 2 2 )( x 1 1) Se hace la equivalencia como sigue: 4x 22 A B C 5 1 1 x ( x 2 2 )( x 1 1) x x 2 2 x 1 1

56

Capítulo 4


Se resuelve la fracción, 4x 22 A( x 2 2 )( x 1 1) 1 Bx ( x 1 1) 1 Cx ( x 2 2 ) 5 x ( x 2 2 )( x 1 1) x ( x 2 2 )( x 1 1) 4x 22 A( x 2 2 x 2 2 ) 1 B( x 2 1 x ) 1 C ( x 2 2 2 x ) 5 x ( x 2 2 )( x 1 1) x ( x 2 2 )( x 1 1) Luego, para que se cumpla la igualdad, 4x 2 2 5 A(x 2 2 x 2 2) 1 B(x 2 1 x) 1 C(x 2 2 2x) Se agrupan y se factorizan los términos semejantes, 4x 2 2 5 x 2(A 1 B 1 C) 1 x (2A 1 B 2 2C) 2 2A Resultando un sistema de ecuaciones, A 1 B 1 C 5 0  2A 1 B 2 2C 5 4 , 22 A 52 2 la solución del sistema es: A 5 1, B 5 1, C 5 22 Entonces:

( 4 x 2 2 )dx dx dx dx 5 1 2 2∫ 5 lnux u 1 lnux 2 2 u 2 2 lnux 1 1u 1 C 3 2 x2 2 2x ∫ x ∫ x 2 2 x 11

∫x

5 lnuxu 1 lnu x 2 2u 2 ln(x 1 1)2 1 C

Se aplican las leyes de los logaritmos para simplificar la expresión: 5 ln

x2 2 2x x( x 2 2) ln C 1 5 1C ( x 1 1)2 ( x 1 1)2

Por consiguiente:

( 4 x 2 2 ) dx

∫x

3

2

2 x 2 2x

5 ln

x2 2 2x ( x 1 1)2

1C

 Caso II. Los factores del denominador son todos de 1er grado y algunos se repiten Si se tiene un factor de la forma (ax 1 b)n, se desarrolla una suma como sigue: A B C Z 1 1 1 ... 1 (ax 1 b )n (ax 1 b )n 2 1 (ax 1 b )n 2 2 ax 1 b En donde A, B, C y Z son constantes por determinar.

57

4 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1

( 3x 1 5 x ) dx ∫ ( x 21)( x 11) 2

Determina el resultado de:

2

Solución

3x 2 1 5 x A B C 5 1 1 ( x 2 1)( x 1 1)2 x 2 1 ( x 1 1)2 x 1 1

3x 2 1 5 x A( x 1 1)2 1 B( x 2 1) 1 C ( x 2 1)( x 1 1) 5 2 ( x 2 1)( x 1 1)2 ( x 2 1)( x 1 1)

5

A( x 2 1 2 x 1 1) + B( x 2 1) + C ( x 2 2 1) ( x 2 1)( x 1 1)2

Luego, para que se cumpla la igualdad: 3x 2 1 5x 5 x 2(A 1 C) 1 x(2A 1 B) 1 A 2 B 2 C Entonces se genera el sistema de ecuaciones: A 1 C 5 3  2 A 1 B 5 5,  A 2 B 2 C 5 0 su solución es: A 5 2, B 5 1, C 5 1 finalmente, ( 3x 2 1 5 x )dx

∫ ( x 21)( x 11)

2

5 2∫

dx dx dx 1 5 2 ln x 2 1 2 1 ln x 1 1 1 C 1 + x 2 1 ∫ ( x 1 1)2 ∫ x 1 1 x 11 5 ln ( x 1 1)( x 2 1)2 2

2

Resuelve

1 1C x 11

( y 4 2 8) dy 3 1 2 y2

∫y

Solución Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se efectúa la división. y4 2 8 4 y2 2 8 5 y221 3 3 2 y 1 2y y 1 2 y2 Entonces,

∫

(y

4

2 8 ) dy

3

y 1 2y

 4 y2 2 8 5∫ y22 + 3 y 1 2 y2 

2

  dy 

Se separan las integrales, 5

∫ y dy 2 2 ∫ dy 1 ∫

(4 y

2

2 8 ) dy

3

y 1 2y

58

2

5

y2 ( 4 y 2 2 8 )dy 2 2y 1 ∫ 3 2 y 1 2 y2

Capítulo 4


La integral

∫

( 4 y 2 2 8 )dy se resuelve mediante fracciones parciales, y3 1 2 y2 4 y2 2 8 4 y2 2 8 S 5 2 3 2 y 1 2y y ( y 1 2)

4 y2 2 8 A B C 5 1 1 y2 ( y 1 2) y2 y y 1 2

4 y2 2 8 A( y 1 2 ) 1 By( y 1 2 ) 1 Cy 2 y 2 ( B 1 C ) 1 y( A 1 2 B ) 1 2 A 5 5 y2 ( y 1 2) y2 ( y 1 2) y2 ( y 1 2) De la igualdad se obtiene el sistema de ecuaciones: B 1 C 5 4  A 1 2B 5 0 , 2 A 528

donde

A 5 24, B 5 2 y C 5 2 La integral se separa de la siguiente manera:

∫

( 4 y 2 2 8 )dy dy dy dy 4 524 ∫ 2 1 2 ∫ 1 2 ∫ 5 1 2 ln y 1 2 ln y 1 2 1 C y3 1 2 y2 y y y y12 y

4 5 1 2(ln | y | 1 ln y 1 2 ) 1 C y

4 5 1 2 ln y 2 1 2 y 1 C y

Se concluye que,

∫

( y 4 2 8 ) dy y 2 4 5 2 2 y 1 1 2 ln y 2 1 2 y 1 C y3 1 2 y2 2 y

Ejercicio 15 Obtén las siguientes integrales: 1.

x14 ∫ x 3 1 3x 2 1 2 x dx 7.

(16 x 2 2 48 x 1 15 ) dx ∫ 2 x 3 2 7 x 2 1 3x

2.

4 x 2 2 2 x 11 ∫ 4 x 3 2 x dx 8.

(8 1 3x 2 x 2 ) dx ∫ (2 x 1 3)( x 1 2)2

3.

( x 2 1 11x 2 30 ) dx ∫ x 3 2 5 x 2 1 6 x 9.

2 x 2 2 5 x 1 4 dx ∫ ( x 2 2 )3

4.

(12 1 10 x 2 2 x 2 ) dx ∫ x3 2 4 x

10.

2 x 2 2 10 x 1 14 ∫ ( x 2 3)3

5.

(29 x 2 9 ) dx ∫ x( x 2 2 9)

11.

( x 2 1 x 2 1) ∫ x 3 1 2 x 2 1 x dx

6.

7x2 2 4 ∫ x 1 x2 2 2x

12.

∫ ( y 2 m)( y 2 n)

3

59

dy

4 Capítulo


w 2 2 9 w 1 25 dw 2 2 9 w 1 20

13.

∫w

14.

15.

∫x

16.

∫w

17.

∫ 2x

18.

∫ (w 2 6)(w

19.

∫ 12 x

dx

23.

∫ 16 x 2 x

∫ ( y 2 3)( y 2 2)( y 21)

24.

∫ 6x 2 x

32 5x dx 2 6x2 1 9x

25.

∫ (1 2 m )

26.

∫ ( y 1 5) ( y 2 5)

27.

∫ x( x 1 6)

28.

∫ (2 x 2 1)

8x 2 3 dx 2 2 7 x 11

29.

∫ ( x 2 1)

20.

( x 2 x 2 )dx ∫ 3x 3 1 26 x 2 1 64 x 1 32

30.

x3 ∫ ( x 2 3)2 ( x 1 3)2 dx

21.

∫x

5x2 2 5 dx 2 9 x 2 1 23x 2 15

31.

∫ x ( x 2 2)

22.

∫

dy

3

3 dw 3 2w

(11x 2 7 ) dx 2 2 3x 2 2 w 2 dw

3

2

2 36 )

3

5 2 4x dx 2 2 x3 m

dm

2

y dy 2

( x 1 2 )dx 2

x2 11

3

11 x5

4

dx

dx

x 3 21

3

2

dx

2 x 5 1 x 4 2 39 x 3 2 22 x 2 1 112 x 1 96 dx 4 x 3 2 25 x 2 1 38 x 2 8

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente  Caso III. El denominador contiene factores de segundo grado y ninguno de ellos se repite A todo factor de la forma ax 2 1 bx 1 c, le corresponde una fracción de la forma: Ax 1 B ax 2 1 bx 1 c En donde A y B son constantes por determinar.

60

Capítulo 4


Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫

( 4 x 2 1 6 )dx x 3 1 3x

Solución La expresión 4 x2 1 6 4 x2 1 6 5 x 3 1 3x x ( x 2 1 3) entonces: 4 x2 1 6 A Bx 1 C 5 1 2 2 x ( x 1 3) x x 13

4 x2 1 6 A( x 2 1 3) 1 ( Bx 1 C ) x 5 x ( x 2 1 3) x ( x 2 1 3)

4 x2 1 6 x 2 ( A + B ) 1 Cx 1 3A 5 2 x ( x 1 3) x ( x 2 1 3)

De la igualdad resulta el sistema: A 1 B 5 4  C 5 0  3A 5 6 donde A 5 2, B 5 2, C 5 0 Entonces,

∫

( 4 x 2 1 6 )dx 2 dx (2 x 1 0 )dx dx x dx 5 2 lnux u 1 ln(x 2 1 3) 1 C 5∫ 1∫ 5 2∫ 1 2∫ 2 x 3 1 3x x x2 1 3 x x 13

5 ln x 2 1 ln(x 2 1 3) 1 C

5 ln x 2(x 2 1 3) 1 C

Por consiguiente,

∫

( 4 x 2 1 6 )dx 5 ln x 2(x 2 1 3) 1 C x 3 1 3x

61

4 Capítulo


2


(x2 1 x) dx 2 1 1)

∫ ( x 2 3)( x

Solución Se realiza la separación mediante fracciones parciales, x2 1 x A Bx 1 C A( x 2 1 1) 1 ( Bx 1 C )( x 2 3) 5 1 2 5 2 x 11 ( x 2 3)( x 2 1 1) ( x 2 3)( x 1 1) x 2 3

5

A( x 2 1 1) 1 Bx 2 2 3Bx 1 Cx 2 3C ( x 2 3)( x 2 1 1)

x2 1 x x 2 ( A 1 B ) 1 x (−3B 1 C ) 1 A 2 3C 5 2 ( x 2 3)( x 1 1) ( x 2 3)( x 2 1 1)

De la igualdad resulta el sistema de ecuaciones:  A 1 B 51  23B 1 C 5 1  A 2 3C 5 0 donde 6 1 2 A 5 , B 52 y C 5 5 5 5 Al sustituir en la integral, se obtiene: 2  1  2 x 1  dx 6 dx ( x 2 1 x )dx 5 5  ∫ ( x 2 3)( x 2 11) 5 5 ∫ x 2 3 1 ∫ x 2 11

6 1 x dx 2 dx 5 ln x 2 3 2 ∫ 2 1 5 5 x 11 5 ∫ x 2 11

6 1 2 5 ln x 2 3 2 ln( x 2 1 1) 1 arc tan x 1 C 5 10 5 6

5 ln

( x 2 3) 5 2

( x 1 1)

1 10

2 1 arc tan x 1 C 5

Finalmente: 6

(x2 1 x) ( x 2 3) 5 2 ∫ ( x 2 3)( x 2 11) dx 5 ln 2 1 1 5 arc tan x 1 C ( x 1 1)10

 Caso IV. Los factores del denominador son todos de segundo grado y algunos se repiten Si existe un factor de segundo grado de la forma (ax 2 1 bx 1 c)n Se desarrolla una suma de n fracciones parciales, de la forma: Yx 1 Z Ax 1 B Cx + D Vx + W 1 1 1 ... 1 2 2 2 n 21 2 (ax 1 bx 1 c ) n ax 1 bx 1 c (ax 1 bx 1 c ) (ax 1 bx 1 c ) 2

62

Capítulo 4


Ejemplos

EJEMPLOs

1


∫

( 4 x 2 1 2 x 1 8 )dx x ( x 2 1 2 )2

Solución Se realiza la separación mediante fracciones parciales:

4 x 2 1 2 x 1 8 A Bx 1 C Dx 1 E 5 1 2 1 x ( x 2 1 2 )2 x x 1 2 ( x 2 1 2 )2

4 x 2 1 2 x 1 8 A( x 2 1 2 )2 1 ( Bx 1 C )( x 3 1 2 x ) 1 ( Dx 1 E ) x 5 x ( x 2 1 2 )2 x ( x 2 1 2 )2

4 x 2 1 2 x 1 8 A( x 4 1 4 x 2 1 4 ) 1 ( Bx 4 1 2 Bx 2 1 Cx 3 1 2Cx ) 1 ( Dx 2 1 Ex ) 5 x ( x 2 1 2 )2 x ( x 2 1 2 )2

Se agrupan términos semejantes, 4 x 2 1 2 x 1 8 x 4 ( A 1 B ) 1 Cx 3 1 x 2 ( 4 A 1 2 B 1 D ) 1 x (22C 1 E ) 1 4 A 5 x ( x 2 1 2 )2 x ( x 2 1 2 )2 De la igualdad anterior se obtiene el siguiente sistema: A 1 B 5 0 4 A 1 2 B 1 D 5 4  2C 1 E 5 2 4 A 5 8 C 5 0  donde A 5 2, B 5 22, C 5 0, D 5 0 y E 5 2 La integral se puede separar en:

∫

( 4 x 2 1 2 x 1 8 )dx dx dx 2 x dx 5 2∫ 2 ∫ 2 1 2∫ 2 x ( x 2 1 2 )2 x x 12 ( x 1 2 )2 5 2 ln x 2 ln x 2 1 2 1 2 ∫

dx ( x 1 2 )2 2

La última integral se resuelve por sustitución trigonométrica y el resultado es:

∫ (x

2

2 dx x x arc tan 5 1 1C 1 2 )2 8 2 4( x 2 1 2)

Este resultado se sustituye en la integral.  2  ( 4 x 2 1 2 x 1 8 )dx x x 2 2 ∫ x( x 2 1 2)2 5 ln x 2 ln x 1 2 1 2  8 arc tan 2 1 4( x 2 1 2)  1 C Entonces se concluye que:

∫

 2 x 2 ( 4 x 2 1 2 x 1 8 ) dx x2 x 5 ln 2 1 arc tan  1C  1 2 2 2 4 2 2 14 x( x 1 2) x 12 x  

63

4 Capítulo


2

∫ (x


x 5 dx 1 4 )2

2

Solución Como el numerador es más grande en grado que el denominador, se realiza la división, 8 x 3 1 16 x x5 5x2 2 2 (x 1 4) ( x 1 4 )2 2

Entonces la integral se puede expresar de la siguiente manera: (8 x 3 1 16 x ) dx x 5 dx 5 2 xdx ∫ ( x 2 1 4 )2 ∫ ∫ ( x 2 1 4 )2 La integral

∫

(8 x 3 1 16 x ) dx ( x 2 1 4 )2

se realiza por fracciones parciales, 8 x 3 1 16 x Ax 1 B Cx 1 D ( Ax 1 B )( x 2 1 4 ) 1 Cx 1 D 5 + 5 x 2 1 4 ( x 2 1 4 )2 ( x 2 1 4 )2 ( x 2 1 4 )2

5

Ax 3 1 Bx 2 1 x ( 4 A 1 C ) 1 4 B 1 D ( x 2 1 4 )2

De la cual se obtiene el sistema de ecuaciones: A 5 8  B 5 0  4 A 1 C 5 16   4 B 1 D 5 0 donde A 5 8, B 5 0, C 5 216 y D 5 0

∫

(8 x 3 1 16 x )dx x dx x dx 8 5 8∫ 2 2 16 ∫ 2 5 4 ln x 2 1 4 1 2 x 14 ( x 2 1 4 )2 x 14 ( x 1 4 )2

Finalmente, este resultado se sustituye en la integral

∫ (x

(8 x 3 1 16 x )dx x 2  x 5 dx 8  5 ∫ xdx 2 ∫ 5 2  4 ln x 2 1 4 1 2 1C 2 x 14  1 4) ( x 2 1 4 )2 2 

2

5

64

8 x2 2 4 ln x 2 1 4 2 2 1C 2 x 14

Capítulo 4



dm ∫ m3 1 m2

11.

y5 ∫ 12 y 4 dy

2.

dm ∫ m3 1 m

12.

2 x 3 1 9 x 2 1 14 x 1 8 ∫ ( x 2 1 2 x )( x 2 1 2) dx

3.

x5 2 6x3 2 6x2 2 8 dx ∫ x3 2 6x

13.

(5 x 4 2 x 3 1 8 x 2 2 4 x 1 4 ) dx ∫ ( x 2 1 1)2 ( x 2 1)

4.

(2 x 5 1 x 4 1 37 x 3 1 28 x 2 1 171x 1 162 ) dx ∫ x ( x 2 1 9 )2

14.

( 3x 2 1 5 x 2 1) ∫ ( x 2 1 2 x 21)2 dx

5.

8 dy ∫ y 4 216

15.

x2 2 5x 1 3 ∫ ( x 2 2 6 x 1 8)2 dx

6.

x 4 21 ∫ x 3 2 x 2 1 9 x 2 9 dx

16.

∫ ( x 1 2)( x

7.

4 x 2 1 48 ∫ 16 2 x 4 dx

17.

( 4 x 4 1 x 3 1 30 x 2 1 7 x 1 49 ) dx ∫ ( x 2 1 4 )2 ( x 1 1)

8.

y3 1 5 y ∫ ( y2 1 1)2 dy

18.

( 3x 4 1 x 3 1 22 x 2 1 5 x 1 50 ) dx ∫ x ( x 2 1 5 )2

9.

x3 1 4 ∫ x 4 2 5 x 2 1 4 dx

19.

∫x

10.

∫x

dx ( x 2 1 5 )2

dx 28

3

20. Demuestra que

2

dx 1 2 x 1 4 )2

2

3x 5 1 13x 4 1 32 x 3 1 8 x 2 2 40 x 2 75 dx equivale a: ∫ x 2 ( x 2 1 3 x 1 5 )2

 11(2 x 1 3)  3 4 ( 3x 1 10 ) 1 35 11 5 ln x 4 ( x 2 1 3x 1 5 ) 2 arc tan  1C  1 2 2 2 121 11  x 11( x 1 3x 1 5 ) 

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Integración por sustitución de una nueva variable Algunas integrales que contienen exponentes fraccionarios o radicales no se pueden integrar de manera inmediata; por lo anterior se hace una sustitución por una nueva variable, de tal modo que la integral que resulte se pueda integrar por alguno de los métodos estudiados.

Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de x Una integral que contenga potencias fraccionarias de x, se puede transformar a otra mediante la sustitución: x 5 wn Donde n es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes fraccionarios.

65

4 Capítulo


Ejemplo Demuestra que

∫

1

dx 1 2

x 2x

1

1

5 2 x 2 1 4 x 4 1 4 ln x 4 2 1 1 C

1 4

Solución Se obtiene el menor denominador común que en este caso es 4, por lo que la sustitución es: x 5 w4 Luego, 1

1

x 2 5 w 2 , x 4 5 w y dx 5 4w 3dw Por tanto, la nueva integral resulta:

∫

dx 1 2

x 2x

1 4

5∫

4 w 3dw w2 2 w

Se integra,  4w3 w  wdw dw 5 4 ∫  w 1 1 1 2  dw 5 4 ∫ wdw 1 4 ∫ dw 1 4 ∫ 2 2 w 2w w w 2w 2  

∫w

4w2 w dw 1 4w 1 4 ∫ 2 w(w 2 1)

5

5 2w 2 1 4w 1 4 ∫

5 2w 2 1 4w 1 lnuw 2 1 u 1 C 1

Pero w 5 x 4 , se demuestra que

∫

1

dx 1 2

x 2x

1 4

1

dw 1C w 21

1

5 2 x 2 1 4 x 4 1 4 ln x 4 2 1 1 C

Diferenciales que contienen potencias fraccionarias de a 1 bx Una integral que contenga potencias fraccionarias de a 1 bx, se puede transformar en otra, mediante la sustitución: a 1 bx 5 w n Donde n es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes fraccionarios.

Ejemplos

EJEMPLOs 2

1

Demuestra que

∫

1

( x 1 1) 3 1 1 ( x 1 1)

2 3

dx 5 (x 1 1) 2 3 ( x 11) 3 1 3 arc tan 3 x 1 1 1 C

Solución Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores de las potencias fraccionarias y se realiza el cambio, x 1 1 5 w3 2

donde

dx 5 3w 2 dw y ( x 11) 3 5 w 2,

66

Capítulo 4


Por tanto, la nueva integral resulta, 2

∫

( x 1 1) 3 1 + ( x 1 1)

2 3

dx

w2

∫ 11 w

2

( 3w 2 dw ) 5 3∫

w4 dw w2 11

Se resuelve la división y se integra: 3∫

 w4 1  dw 2 dw 5 3∫  w 2 2 1 1 2  dw 5 3∫ w dw 2 3∫ dw 1 3∫ 2 2 w 11  w 11 w 11  5 w 3 2 3w 1 3 arc tan w 1 C

1

x 1 1 5 w 3, entonces w 5 ( x 1 1) 3 5 3 x 1 1 , por consiguiente se deduce que: 2

∫ 2

Demuestra que

1

( x 1 1) 3 1 1 ( x 1 1)

2 3

dx 5 (x 1 1) 2 3 ( x 11) 3 1 3 arc tan 3 x 1 1 1 C

x14 22 x13 x 11 dx 5 2 x 1 3 2 ln 1C x12 x13

∫ ( x 1 2)

Solución La sustitución que se realiza es: w2 5 x 1 3 donde, x 1 1 5 w 2 2 2, x 1 2 5 w 2 2 1 y dx 5 2w dw Por tanto, la nueva integral resulta: x 11 ∫ ( x 1 2) x 1 3 dx 5

(w 2 2 2 ) w2 2 2 5 2 ( 2 ) w dw ∫ (w 2 21)(w) ∫ w 2 21 dw

Ahora bien, al resolver la división e integrar, se obtiene: 2∫

 w2 2 2 1  dw w 21 5 2w 2 ln 1C dw 5 2 ∫  1 2 2  dw 5 2 ∫ dw 2 2 ∫ 2 w 2 2 1 w2 21 1 w w 11  

w 2 5 x 1 3, entonces w 5

x 1 3 y al sustituir se obtiene: 5 2 x 1 3 2 ln

x 1 3 21 x 1 3 11

1C

Se racionaliza, 5 2 x 1 3 2 ln

x14 22 x13 1C x12

Por consiguiente, se comprueba que: x14 22 x13 x 11 dx 5 2 x 1 3 2 ln 1C x12 x13

∫ ( x 1 2)

67

4 Capítulo


Ejercicio 17 Resuelve las siguientes integrales: 1

1.

∫

3x 3 dx 11 x

8.

2 3

∫

dx 1 3

1

x 2 x6 12

1

2.

∫

x 5 dx 11 x

9.

3 5

∫

dx 1 2

1

x 2 2x 4 2 3 1

3.

4.

5.

∫ ∫

x dx

1

10.

( 3x 1 1) 3 x 3 11 x

2 3

dx

∫

dx 1   3 x 1 1 x   

∫

x 6 dx

∫

11.

∫

12.

∫

x 2 dx 1

2 x 3 11 (2 x 1 5 )dx x ( x 1 5) dx 1 2

1

( x − 3) 1 ( x − 3) 4

1

6.

7.

∫

41x

1 3

13.

∫

(t 2 1) dt t t 12

dx 1 2

1

x 2 x3 1

14. Demuestra que

1 3

equivale a:

( x 1 2) 11

1 5 1 1   1 1 1   2  8( x 1 2 ) 6 2 10( x 1 2 ) 2 1 15( x 1 2 ) 6  15 3 ln ( x 1 2 ) 6 1 ( x 1 2 ) 3 1 1 1 C 2 ( x 1 2 ) 1 1   8 8     

15. Demuestra que

∫

( x 1 2 ) 6 dx

∫ 12

dx 1 4

1

equivale a:

x 1 x3 1 5 1 1 1  3 7 12 1  12 1 x  x 12 2 x 2 1 2 x 12 2 x 3 1 3x 4 2 4 x 6 1 6 x 12 2 12  1 12 ln x 12 + 1 1 C 7 5 2 


68

Capítulo 4


Integración de las diferenciales binomias

p

Son aquellas integrales que contienen expresiones de la forma x w (a 1 bx t ) q con t . 0 y se reducen mediante los cambios de variable que se indican:  Caso I Si

w 11 5 L con L P Z su cambio de variable es: t 1

u 5 (a 1 bx t ) q

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Demuestra que

∫

x 2 dx 1 3 2

5

(4 1 x )

2 4 1 x3 1 C 3

Solución En la integral se observa que w 5 2, t 5 3, p 5 21 y q 5 2 entonces, w 11 2 11 5 5 1 , 1 P Z t 3 Por tanto, el cambio de variable es: 1

u 5 ( 4 1 x 3 ) 2 donde u 2 5 4 1 x 3 Se despeja la variable x y se determina la diferencial, 1

x 5 (u 2 2 4 ) 3 y dx 5

2 2 2 u (u 2 2 4 ) 3 du 3

Al sustituir en la integral, se obtiene:

∫

x 2 dx 1 3 2

(4 1 x )

2

2

1

2

5 ∫ x 2 ( 4 1 x 3 ) 2 dx 5 ∫ (u 2 2 4 ) 3 (u 2 )

5

2 2 du 5 u 1 C 3∫ 3

Pero 1

u 5 (4 1 x 3 ) 2 por consiguiente:

∫

x 2 dx 1 3 2

(4 1 x )

69

5

2 4 1 x3 1 C 3

1 2

2 2 2 ⋅ u (u 2 2 4 ) 3 du 3

4 Capítulo


2

2

Comprueba que

∫

x 3 dx 1

( x 2 1 1) 3

3( x 2 1 1) 3 (2 x 2 2 3) 5 1C 20

Solución En esta integral w 5 3, t 5 2, p 5 21 y q 5 3 entonces w 11 3 11 5 52 , 2 P Z t 2 El cambio de variable es, 1

u 5 (1 1 x 2 ) 3 donde u 3 5 1 1 x 2 Se despeja la variable x y se determina la diferencial, 1

x 5 (u 3 2 1) 2 y dx 5

3u 2 2 u 3 21

du

Se sustituye en la integral y se obtiene:

∫

x 3dx

2

1

( x 2 1 1) 3

3

1

2

5 ∫ x 3 (1 1 x 2 ) 3 dx 5 ∫ (u 3 2 1) 2 (u 3 )

5

1 3

⋅

3u 2 2 u 3 21

3 3 5 3 2 (u 3 2 1)u du 5 u 2 u 1C 2∫ 10 4

1

Pero u 5 (1 1 x 2 ) 3 , por tanto, al sustituir y simplificar el resultado 5

2 5 3 2 3 ( x 1 1) 3 2 ( x 2 1 1) 3 1 C 10 4

5

2 3 2 1 1 ( x 1 1) 3  ( x 2 1 1)2  1 C 2 2 5

3( x 2 1 1) 3 (2 x 2 2 3) 1C 5 20

∫

x 3 dx ( x 2 1 1)

1 3

2

Finalmente, 2

∫

x 3 dx 1

( x 2 1 1) 3

3( x 2 1 1) 3 (2 x 2 2 3) 5 1C 20

70

du

Capítulo 4


 Caso II Si

w 11 p 1 5 L , L P Z el cambio de variable es: t q 1

 a 1 bx t  q u 5  x t 

Ejemplo Demuestra que: 1

∫

dx 3

x 2 (1 1 x 4 ) 4

(1 1 x 4 ) 4 52 1C x

Solución En esta integral w 5 22, t 5 4, p 5 23 y q 5 4 entonces, 22 1 1 3 1 3 w 11 p 2 52 2 521 1 5 4 4 4 4 t q Por consiguiente, el cambio de variable es, 1

 11 x4 4 u 5  4  donde x 5  x 

1 4

4

u 21

y dx 5

2u 3 du

(u

4

5

2 1) 4

Al sustituir en la integral se obtiene, 3 22    u 4 2 4  2u 3du 1  (1 1 x ) dx 5 ∫  3 5∫x 5 ∫ 2  4 u 4 2 1   u 4 2 1   4  ( u 2 1) 4   x (1 1 x 4 ) 4 

dx

22

4

2

3 4

1

 11 x4  4 Pero u 5  , entonces de acuerdo con el resultado anterior  x 4  1

∫

dx 3

x 2 (1 + x 4 ) 4

71

(1 1 x 4 ) 4 52 1C x

   52∫ du 52u 1 C  

4 Capítulo


Ejercicio 18 Determina las siguientes integrales: 3

1.

2.

3.

∫

y 3 dy 5

(2 1 y 2 ) 2

∫x ∫

3

( 4 1 3x 4 ) 2 dx 6. ∫ x

7 2 5 x 2 dx 7.

x 5 dx 5 3 4

8.

(9 + x )

4.

∫ x (3 1 4 x

5.

∫

3

2 2 3

) dx 9.

∫ ∫

5 dx 1

x ( x 5 1 16 ) 4 dx 3

2

x (4 2 x 4 ) 4

∫x

5

2

( 3 + x ) 3 dx

x 2 dx 1

( x 2 + 1) 2

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Transformaciones de diferenciales trigonométricas Aquellas integrales que tengan una forma racional, cuyos elementos sean funciones trigonométricas seno y coseno, se emplean las siguientes sustituciones, mediante la transformación: De la identidad trigonométrica,  a  1 2 cos a tan 2   5  2  1 1 cos a a Se realiza el cambio tan   5 t 2 t2 5 Se despeja cos a, cosa 5

1 2 cos a 1 1 cos a

12 t 2 11 t 2

Dada la función trigonométrica cos a, se completa el triángulo rectángulo de la siguiente figura:

1 + t2

2t

A 1 – t2 Por tanto, sen a 5

2t 12 t 2 cos a 5 11 t 2 11 t 2

 dt  a luego, tan   5 t entonces da 5 2  2  2  11 t 

72

Capítulo 4


Ejemplos

EJEMPLOs

1


da

∫ 3 2 2 cos a

Solución Se emplea el cambio  dt  12 t 2 da 5 2  cos a 5 y  2 11 t 2  11 t  se sustituye en la integral 2 11 t 2 ∫  12 t 2 32 2 2  11 t

2 2 dt 11 t 2 5  5 arc tan dt 5 ∫ 2 dt 5 2 ∫ 2 5t 1 1 5t 1 1 5    11 t 2 

(

)

5 t  1C 

a Pero t 5 tan   , por tanto, se deduce que, 2 da

2

∫ 3 2 2 cos a 5 5  2


  a   5 arc tan  5 tan    1 C  2   

du

∫ 5sen u 21

Solución Se sustituye  dt  2t du 5 2  y sen u 5 2  1 1 t2 1 1 t   en la integral 2 11 t 2 ∫  2t  dt 5 2 21 5 2   11 t 

∫ 2t

2

dt 5 22 1 10t 2 1

dt

∫ (t 2 5)

2

2 24

52

6 t 22 6 25 ln 1C 12 t 1 2 6 2 5

u Pero t 5 tan   , por tanto, se concluye que, 2 du 6 ∫ 5 sen u 21 5 2 12 ln

73

u tan   2 2 6 2 5 2 1C u tan   1 2 6 2 5 2

4 Capítulo


Fórmulas equivalentes de transformación Otro cambio que se emplea en las integrales en forma racional que contienen funciones trigonométricas seno y coseno es: t

sen a 5

cosa 5

11 t 2

1 11 t 2

, tan a 5 t y da 5

dt 11 t 2

Cuyo triángulo es,

1+ t 2

t

A 1 Se recomienda utilizar estas sustituciones cuando se tienen las expresiones: sen2 a, cos2 a y sen a cos a

Ejemplos

EJEMPLOs

1


dy

∫ (5 2 sen y)(5 1 sen y)

Solución La integral es equivalente a dy

∫ 25 2 sen y 2

Entonces, dy 5

dt t ; sen y 5 11 t 2 11 t 2

Al sustituir en la integral, se obtiene,

∫

dt 11 t 2  t 25 2   11 t 2 

   

2

5

∫

dt 11 t 2 5 24 t 2 1 25 11 t 2

∫ 24t

2 6  dt 6 5 arc tan  t  1 C 1 25 60  5 

2

Pero tan y 5 t, por tanto, se concluye que, dy

∫ (5 2 sen y)(5 1 sen y) 5

74

2 6  6 arc tan  tan y  1 C 60  5 

Capítulo 4


2


∫ 3 cos

2

(tan 3 x 1 1) dx x 2 2sen x cos x 1 sen 2 x

Solución Se sustituyen las equivalencias en la integral y se simplifican:

∫ 3 cos

( tan 2

3

x 1 1) dx 2

x 2 2 sen x cos x1 sen x

5

∫

(t

3

 dt  11   1 1 t 2 

)

2

 1   t  1   t  3  22   1  2 2 2 2  11 t   11 t   11 t   11 t 

(1 1 t 3 ) dt 11 t 2 5 ∫ 5 3 2t t2 2 1 11 t 2 11 t 2 11 t 2

∫

(1 1 t 3 ) dt 11 t 2 5 3 2 2t 1 t 2 11 t 2

La integral resultante se expresa de la siguiente manera,

∫t

(t 3 1 1)dt 5 2 2 2t 1 3



∫  t 1 2 1 t

2

t 25   dt 2 2t 1 3 

Se resuelve cada una de las integrales,

5

t2 1 2t 1 2

∫t

2

5

t2 1 2t 1 2

∫t

2

5

t2 1 1 2t 1 ln t 2 2 2t 1 3 2 4 2 2

5

t2 1 t 21 1 1 2t 1 ln t 2 2 2t 1 3 2 4 arc tan 1C 2 2 2 2

t 21 2 4 dt 2 2t 1 3 t 21 dt 2 4 2 2t 1 3

∫t

2

dt 2 2t 1 3 dt

∫ (t 21)

2

12

Pero t 5 tan x, entonces: 1 2 1  tan x 2 1  tan x 1 2 tan x 1 ln tan 2 x 2 2 tan x 1 3 2 2 2 arc tan  1C 2 2 2  

75

2

(t 3 1 1) dt 2 2 2t 1 3

∫t

4 Capítulo


Ejercicio 19 Determina las siguientes integrales: du

1.

∫ 4 1 5 cos u 9. ∫ cos

2.

∫ 1 1 2 cos u

3.

∫ sen a 1 8 sen a cos a

4.

∫ 12 cos x 1 sen x

5.

∫ (1 1 sen b)

6.

∫ sen w 1 cos w 21

7.

∫ 1 2 tg u

8.

∫ 3 sen u 2 cos u

du

da

2

dx

3

2

db

dw

du

du


76

2

du u 1 sen 2 u

du

10.

∫ 4 sec u 21

11.

∫ 6 2 3 sen a 1 4 cos a

12.

∫ 2 1 3sec x

13.

∫ 1 1 tan b dβ

14.

∫ sen u 2 cos u du

15.

∫ 4 sen u 2 3 cos u du

16.

∫ sen w 2 5 sen w ⋅ cos w 1 cos

da

dx

1 2 tan b

sen u

3 sen u 1 4 cos u

dw

2

2

w

•M ate m

A

sim p l i fic a

s da

•M

ss ica át

imp

atem

imp


s da

atemático francés, Cauchy fue pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. ss ica át


da

M

• Matemáti c as



Ma


•

histórica

5

s cada plifi


•

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m

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de la integral

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Capítulo sim

das • Matemátic as lifica p sim m i plicaciones pli ss a c fic i t a á

Ma



s ica át

da

s•

tem Ma


•M a t e má

En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.


Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual, toma el concepto de límite como punto de partida del análisis y elimina de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos ahora otorgan rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que queda eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente. Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

5 Capítulo


Constante de integración Dada la integral indefinida ∫ f 9( x ) dx 5 F ( x ) 1 C , representa la familia de funciones de F(x) donde C recibe el nombre de constante de integración.

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Determina la función cuya derivada sea e 2x Solución La derivada de la función que se busca es: f 9( x ) 5 e2 x Se integra f9(x) para obtener f(x) f ( x ) 5 ∫ e2 x dx 1 f ( x ) 5 e2 x 1 C 2 Si C 5 22, 0, 2 se obtiene una famila de curvas para f(x),

Y

f (x) = e2x + 3 f (x) = e2x f (x) = e2x – 2

X

Finalmente, la función que se busca es: f(x) 5

2

1 2x e 1C 2

Determina la ecuación de la curva, cuya pendiente de la recta tangente en el punto (4, 5) es y 9 5 Solución Se integra y 9 5

2 x 11 3

y5∫

(2 x 1 1) 2 2 x 1 1 dx S y 5 1C 3

Al sustituir las coordenadas del punto (4, 5) se obtiene el valor de C, 3

(2( 4 ) 1 1) 2 55 1 C S 5 5 9 1 C S C 5 24 3 De acuerdo con el resultado anterior, la ecuación de la curva es: 3

(2 x 1 1) 2 y5 24 3

78

2 x 11

Capítulo 5

Cálculo integral • Aplicaciones de la integral

3

Encuentra la ecuación de la curva cuya pendiente de la recta tangente en el punto (3, 1) es igual a 2xy Solución La derivada es implícita, entonces, dy 5 2 xy dx Ahora, se agrupan las variables, dy 5 2 x dx y Se integra la expresión y se obtiene:

∫

dy 5 2 x dx S ln y 5 x 2 1 C y ∫

Al sustituir las coordenadas del punto (3, 1), se encuentra el valor de la constante de integración, ln 1 5 32 1 C S 0 5 9 1 C S C 5 29 Por consiguiente, la ecuación de la curva es: ln y 5 x 2 2 9 S y 5 e x

4

2

29

m m y acelera a un ritmo de (3t 2 5) 2 . Determina la velocidad a la que viaja s s la motocicleta al transcurrir 4 segundos. Una motocicleta viaja a razón de 10

Solución

dv 5 a, entonces, dv 5 a dt dt Integrando esta expresión, se obtiene la velocidad v La aceleración se define como

∫ dv 5 ∫ (3t 2 5) dt

3 S v 5 t 2 2 5t 1 C 2

m Para un tiempo inicial t 5 0, la velocidad de la motocicleta es 10 , estos datos se sustituyen en la función para s obtener el valor de C. 10 5

Por consiguiente, v 5

3 2 m (0 ) 2 5(0 ) 1 C donde C 5 10 2 s

3 2 t 2 5t 1 10, luego, la velocidad de la motocicleta al cabo de 4 segundos es: 2 v5

3 2 m ( 4 ) 2 5( 4 ) 1 10 5 14 2 s

79

5 Capítulo


Ejercicio 20 1. La pendiente de la recta tangente a una curva es x 1 3. Obtén la ecuación de la curva si pasa por el punto (2, 4) p  2. La derivada de una función está dada como f 9(x) 5 cos  x 2  . Encuentra f (x) si ésta contiene al punto de 2  coordenadas (2p, 1) 3. Una curva pasa por el punto (3, e 3) y su derivada en este punto es igual a xe x. Determina la ecuación de dicha curva.  2 a 3p  4. Precisa la ecuación de la curva que pasa por el punto  ,  y cuya derivada en este punto es  3 2  5. Determina la ecuación de la curva, cuya derivada es

4a2 2 9 x2 x2

dx  19 1  5 3y 2 2 4 y cuando pasa por el punto  2 ,  dy  8 2

6. Obtén la ecuación de la curva que pasa por el punto (2ln 4, 1) y cuya derivada es x952

3y 2 2 12 y 1 3 (2 2 y )2 ( y 1 1)

 2 7. Precisa la ecuación de la curva que pasa por el punto  5,  y cuya pendiente de la recta tangente en este punto  3 es y9 5 x x 2 2 9 y 5 p 8. Encuentra la ecuación de la curva que pasa por el punto  ,  y cuya derivada en dicho punto es x95 sen 4 2 4 2  y13 9. La derivada de una función es . Encuentra la función cuando pasa por el punto (23, 21). 22x 10. La pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (0, 4) es

2x2 y . Encuentra la ecuación de la curva. x 2 11

 p 11. La derivada de una función en el punto  0,  es x 2 sen2 y. Obtén la función.  4 12. Determina la función del desplazamiento de una partícula que lleva una velocidad constante de 11 m/s y al transcurrir 8 segundos se desplazó 73 m. m 13. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba y 3 segundos después su velocidad es de 30.6 . Calcula la velos cidad del lanzamiento. m 14. Una partícula parte del reposo y se mueve con una aceleración de (t 1 2) 2 , para un tiempo de 4 segundos su s m velocidad es de 12 . Determina la distancia recorrida en este tiempo. s 15. En un proceso de enfriamiento, conforme transcurre el tiempo, la rapidez de pérdida de temperatura (T) es el cuádruplo de los t minutos transcurridos. Si al principio del proceso el material tenía una temperatura de 64º C, determina la temperatura al transcurrir t minutos. 16. Desde lo alto de un edificio se deja caer un objeto y tarda 6 segundos en llegar al suelo. Calcula la altura del edificio. m 17. Desde la parte más alta de una torre se arroja hacia abajo un cuerpo con una velocidad de 8 y tarda 3.2 segundos s en tocar al suelo. Calcula la altura de la torre y la velocidad con la que choca el cuerpo contra el suelo. m Nota: g 5 9.8 2 s

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente 80

Capítulo 5


Integral definida Representa el área que forma la función f(x) con el eje X en el intervalo [a, b].

Y y = f (x)

Área x=a

O

x=b

X

Teorema fundamental b

∫ f ( x ) dx 5 F (b) 2 F (a) a

a 5 límite inferior b 5 límite superior

Cálculo de una integral definida a) Se integra la diferencial de la función. b) Se sustituye la variable de la integral que se obtuvo, por los límites superior e inferior, y los resultados se restan para obtener el valor de la integral definida.

Propiedades de la integral definida b

1.

∫

a

2.

∫

a

3.

∫

a

4.

∫

a

b

b

b

a

f ( x ) dx 52∫ f ( x ) dx b

cf ( x ) dx 5 c [ F (b ) 2 F (a )] donde c es una constante b

b

a

a

( f ( x ) 6 g( x )) 5 ∫ f ( x ) dx 6 ∫ g( x ) dx c

b

a

c

f ( x ) dx 5 ∫ f ( x ) dx 1 ∫ f ( x ) dx con c P [a, b]

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Demuestra que

∫

a 0

(a 2 2 x 2 )dx 5

2a 3 3

Solución Se integra,

a

 2 x3  2 2 ( a 2 x ) dx 5 a x 2   ∫0 30  a

se sustituyen los límites  2a 3 a3   a3 03  5  a 2 (a ) 2  2  a 2 (0 ) 2  5 a 3 2 5 3  3 3 3 

81

5 Capítulo


2

Demuestra que:

∫

dx 4 5 3 3x 2 2

6 2

Solución Se integra y se sustituyen los límites,

∫ 3

6 2

6

2 dx 8 4 4 2  2  2 2  5  3(6 ) 2 2 2 3(2 ) 2 2  5  ( 4 ) 2 (2 ) 5 2 5 3x 2 2  5  3 3 3 3 3  3x 2 2 3  3 2 3

∫

Verifica que la integral definida

π 4 0

sen 2 x dx 5

p22 8

Solución Se integra la expresión

∫

p 4 0

sen 2 x dx 5

∫

p 4 0

Se sustituyen los límites

p

1 1 1 1  4  2 cos 2 x  dx 5  x 2 sen 2 x  4 2 2 2  0

p

1 1 1  p  1 1 4  p   1   2 x 2 4 sen 2 x  5  2  4  2 4 sen 2  4  2  2 (0 ) 2 4 sen 2(0 )   0 1 p 1 p22 p 1  p    5  2 sen   2 0 2 sen(0 ) 5 2 5 8 4 2 8 4 4 8     

Finalmente tenemos que:

∫ 4

Demuestra que:

∫

e 1

π 4 0

sen 2 x dx 5

p22 8

1 x ln x dx 5 (e2 1 1) 4

Solución Se integra por partes,

∫

e 1

e

x ln x dx 5

Se sustituyen los límites,

 x2  1  x2 1 e ln x 2 ∫ x dx 5   ln x 2    1 2  1 2 2 2

e

 x2   e2  1  1    12  1   e2  1  1 e2 1 1 2  2  ln x 2 2   5  2  ln e 2 2   2  2  ln 1 2 2   5 2  1 2 2  1 4 5 4 1 4 5 4 (e 1 1)   1    Por consiguiente, e 1 2 ∫ 1 x ln x dx 5 4 (e 1 1)

5

Calcula el valor de la integral

∫

4 0

x

2 2 dx

Solución Se integra y se sustituyen los límites: 4

∫

4

0

 42 1 1   02 1 1   2x 1 1  2 2 2 2  5 8 2 2 5 6   2 dx 5 5   ln 2   ln 2   ln 2  ln 2 ln 2 ln 2       0 x 2

82

Capítulo 5


Ejercicio 21 Determina el valor de las siguientes integrales: 2

1.

∫

0

2.

∫

22

3.

∫ (

4.

∫

5.

∫

11.

∫

( x 1 5 ) dx

12.

∫

1

x 1 3x dx

13.

∫

2

( x 2 2 4 x 1 3)dx

14.

∫

3

sen x cos x dx

15.

∫

0

4 2 x2

6.

∫

0

3 sen x dx

16.

∫

e2 e

cos(ln x )dx x

7.

∫

3 2 0

dx x 24

17.

∫

0

8.

∫

e

dx 2x

18.

∫

3

9.

∫

19.

∫

p 4 0

cos 2 x dx

10.

x dx ∫ 21 x 2 1 4

∫

p 6 0

tan 3 (2x ) dx

2

)

4

0

2 21

p p 2

p

4

p p 3

x

3

( x 2 2 2 x ) dx

2

1 1 cos x dx

2

20.

e 2 dx

22 5

xe x dx

p p 2

cos 3 x sen x dx

dx x 2 2 3x 1 2

6

dx

3

dx

1

3 2

( x 1 1) 2

5

( 7 x 2 11)dx x 2 2 3x 1 2

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Área bajo la curva El área limitada por la curva y 5 f(x) continua en [a, b], el eje X y las rectas x 5 a, x 5 b, es: Área 5

∫

b a

b

f ( x ) dx 5 ∫ y dx a

El área limitada por la curva x 5 f(y) continua en [c, d ], el eje Y y las rectas y 5 c, y 5 d, es: Área 5

∫

83

d c

d

f ( y ) dy 5 ∫ x dy c

5 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Obtén el área limitada por la recta y 5 22x 1 3 desde x 5 22 hasta x 5 1 Solución

Y

x = –2

x=1

X

1

Área 5

∫ f ( x ) dx

22 1

5

∫ (22 x 1 3) dx 5 2x

22

2

2

1

1 3x 22

5 [2(1)2 1 3(1)] 2 [2(22 )2 1 3(22 )]

5 2 2 (210 ) 5 12u 2

Encuentra el área comprendida entre la curva y 5 2x 2 x 2 y el eje X Solución Se buscan los puntos de intersección de la curva con el eje X,

Y x =0 0

x2= 2

X

2x 2 x 2 5 0, x(2 2 x) 5 0 donde x 5 0, x 5 2 2

2

 2 x3  2 ∫0 (2 x 2 x )dx 5  x 2 3  0

Área 5

 (2 )3   2 (0 )3  8 4 Área 5 (2 )2 2 2 (0 ) 2 5 4 2 5 u2 3   3  3 3 

84

Capítulo 5


3

x y las rectas x 5 2 y x 5 4 x 21

Determina el área limitada por el eje X, la curva f(x) 5 Solución

Y

y=1 X

4

Área 5

x

∫ x 2 1 dx 5 [ x 1 ln( x 2 1)]

4

2

2

4

5 [4 1 ln(4 2 1)] 2 [2 1 ln(2 2 1)]

5 2 1 ln(3) 5 3.098 u 2

Calcula el área limitada por la curva f(x) 5

3 , limitada por el eje Y y las rectas y 5 2, y 5 7 x22

Solución Se despeja x de la función y se obtiene 3 x5 12 y

Y y=7

y=2 X

7

Área 5

3



7

2

2

7

∫ x dy 5 ∫  y 1 2 dy 5 [ 3 ln y 1 2 y ] 2

   7 5  3 ln   1 10  u 2  2  

85

5 Capítulo


5

Encuentra el área limitada por el eje X, la función f(x) 5 cos x y las rectas x 5 0 y x 5 p Solución Se traza la gráfica de la función f(x) 5 cos x

Y A1 P 0

π 2

X

3π 2

A2

Parte del área sombreada queda por debajo del eje X, así que se multiplica por 21 ÁreaT 5 A1 2 A2 5

∫

p 2 0

p

cos x dx 2 ∫ p cos x dx 2

p p p p    5 [ sen x ] 02 2 [ sen x ] p 5 sen 2 sen 0  2 sen p 2 sen  2 2    2

5 1 2 [21] 5 1 1 1 5 2u 2

Ejercicio 22 Determina las áreas comprendidas entre las curvas y las rectas dadas. 1. f (x) 5 2x 1 1, x 5 1, x 5 4

12. y 5

2. f (x) 5 x 2, x 5 0, x 5 3

13. x 5 y 2 1, y 5 1, y 5 5

3. f (x) 5 4. f (x) 5

x 3,

x , x 5 1, x 5 4

14. y 5 9 2 x 2, el eje X

x 5 2, x 5 5

x , x 5 0, x 5 9

15. y 5

2 , x 5 0, x 5 3 x 11

5. f(x) 5 4 2 x 2, x 5 22, x 5 2

16. f (y) 5 y 3 2 y, y 5 21, y 5 1

6. f(x) 5 x 2 2 6x 1 9, x 5 3, x 5 6

17. y 5 (a x)3, x 5 2

7. f (x) 5

x 1 3 , x 5 23, x 5 1

18. x 5

8. f (x) 5

x 2 2 , x 5 2, x 5 11

19. f (x) 5 x x 2 2 1 , x 5 1, x 5

9. f (x) 5 sen x, x 5 0, x 5

p 2

20. y 5

10. f(x) 5 x 2 2 2x 1 1, x 5 21, x 5 3 11. x 5

2 2 ,x5 a a

y23 , y 5 3, y 5 5 y22

x 2 21 , x 5 0, x 5 4 x2 1 2

21. x 5 ln y, y 5 1, y 5 4

1 (5 2 4y 2 y 2), el eje Y 6

22. y 5

86

x 4 2 x4

, x 5 0, x 5 1

10

Capítulo 5


23. x 5

2y 92y

2

, y 5 0, y 5 2

24. y 5 3 sen 2x, x 5 0, x 5 p 25. y 5 e 2x, x 5 0, x 5

2

3x 2 4 , x 5 4, x 5 6 x2 2 x 2 6

30. f(x) 5

1 2

31. x 5 ye y, y 5 22, y 5 0

26. y 5

4 2 x2 , x 5 22, x 521 x2

32. y 5

27. x 5

4 2 y 2 , y 5 22, y 5 2

33. x 5

28. y 5 x 2 cos x, x 5 2

3y 2 5 , y 5 4, y 5 6 y 2 2y 2 3

29. x 5

p , x 5 0 2

34.

x , x 5 4, x 5 9 x 21 e

3

3

y2

y

, y 5 1, y 5 8

x 2 y2 1 5 1, x 5 2a, x 5 a a2 b2

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Fórmula de trapecios Determinada la función y 5 f(x), el área aproximada que está limitada por la curva en el intervalo [a, b] es: 1 1  A 5  f ( xo ) 1 f ( x1 ) 1 f ( x2 ) 1 ... 1 f ( xn )  D x donde xo 5 a, xn 5 b 2 2  n 5 número de partes iguales en las que se divide el intervalo [a, b] Dx 5

b2a n

es la longitud de cada parte.

y f(x)

f(xn )

f(x0 )

$x

a x0

$x

x1

87

...

$x

x2 . . . xn1

b xn

5 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Calcula

∫

 x2  2  2 5

  dx utilizando la fórmula de trapecios, dividiendo el intervalo [2, 5] en 6 partes iguales. 

Solución

Y

f (x ) =

2

x2 2

X

5

Los datos son: xo 5 2, n 5 6, x 6 5 5 Con los cuales se obtiene la longitud de cada parte: Dx 5

522 5 0.5 6

Se determinan las ordenadas de los puntos mediante la función y 5

x2 , 2

x n

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

f (xn)

2

3.125

4.5

6.125

8

10.125

12.5

Se aplica la fórmula de trapecios para obtener el área en el intervalo [2, 5],

1 1  A 5  (2 ) 1 3.125 1 4.5 1 6.125 1 8 1 10.125 1 (12.5 )  (0.5 ) 2 2 

A 5 19.5625 u 2

88

Capítulo 5


2

Evalúa la siguiente integral

∫

2 22

x 3 1 8 dx con n 5 10 intervalos.

Solución

Y

f (x ) = x 3 + 8

–2

2

X

Los datos son: x0 5 22 , n 5 10, x10 5 2 Se obtiene el valor de Dx, 2 2 (22 ) 5 0.4 10

Dx 5

Se realiza la tabla para encontrar las ordenadas de xn , sustituyendo en: f (x) 5 x 3 1 8

xn

22

21.6

21.2

20.8

20.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

f (xn)

0

1.975

2.504

2.736

2.817

2.828

2.839

2.917

3.118

3.477

4

Se aplica la fórmula de área de trapecios, 1 1  A 5  (0 ) 1 1.975 1 2.504 1 2.736 1 2.817 1 2.828 1 2.839 1 2.917 1 3.118 1 3.477 1 ( 4 )  0.4 2 2  Por consiguiente, el área es 10.884 u 2

89

5 Capítulo


3

Encuentra

∫

p 2 0

sen x 2 dx tomando 5 intervalos.

Solución De acuerdo con la integral se tienen los siguientes datos: x0 5 0, xn 5

p y n 5 5 2

La longitud de cada trapecio está determinada por, p 20 p Dx 5 2 5 5 10 Se realiza la tabulación para obtener las ordenadas de la función f(x) 5 sen x 2

x n

f (xn )

p p 3p 2p p 0 10 5 10 5 2 0

20.5877 20.5877 0.5877

0.5877

0

Entonces, se concluye que, 1  p  1 Área 5  (0 )1 20.5877 1 −0.5877 1 0.5877 1 0.5877 1 (0 )    5 0.7385 u 2 2   10  2

Ejercicio 23 Utiliza la fórmula de trapecios para obtener las siguientes áreas: 3

1.

∫

1

2.

∫

2

3.

∫

21

4.

∫

0

5.

∫

1

6.

∫

1

7.

∫

1

4

x 2 dx con n 5 5 (2 x 2 1) dx con n 5 8

1

x 2 1 x 3 dx con n 5 4 3

x dx con n 5 8 x14

5

3

ln x dx con n 5 8

2

3

x 5 2 x dx con n 5 5 ex

2

21

dx con n 5 6


Capítulo 5


Fórmula de Simpson

1 3

Dada la función y 5 f(x), el área limitada por la función y el eje X en el intervalo [a, b] está determinada por: Área 5

Dx ( f ( xo ) 1 4 f ( x1 ) 1 2 f ( x2 ) 1 4 f ( x3 ) 1 2 f ( x4 ) 1 ... 1 f ( xn )) 3

Donde: xo 5 a, xn 5 b, Dx 5

b2a y n 5 número par de intervalos. n

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Evalúa

∫

3 1

x dx con n 5 4 intervalos.

Solución Los datos son: xo 5 1, x4 5 3, n 5 4 Se determina el valor de Dx, Dx 5

b2a 3 21 5 5 0.5 n 4

Se sustituyen los valores de xn en la función y 5

x para obtener las ordenadas,

x n

1

1.5

2

2.5

3

f (xn)

1

1.224

1.414

1.581

1.732

Por consiguiente,

2

0.5 (1 1 4 (1.224 ) 1 2(1.414 ) 1 4 (1.581) 1 1.732 ) 3

Área 5

Área 5 2.796 u 2

Evalúa

∫

2

x

0

3

x 11

dx con n 5 6 intervalos.

Solución x0 5 0, xn 5 2, n 5 6, Dx 5

220 1 5 , 6 3

entonces el área es:

1 Área 5 3 (0 1 4 (0.327 ) 1 2(0.585 ) 1 4 ( 0.707 ) 1 2(0.726 ) 1 4 (0.702 ) 1 0.66 ) 3

Área 5

1 (10.226 ) 5 1.136 u 2 9

91

5 Capítulo


Ejercicio 24 Utiliza el método de Simpson

1 para evaluar las siguientes integrales: 3 1

1.

∫

0

2.

∫

1

3.

∫

x

2

4

4 2

con n 5 4 intervalos 4.

∫

x 5 2 2 dx con n 5 6 intervalos 5.

∫

x 3 11 3

x 3 11 dx con n 5 6 intervalos x 11

8 0

p

0

cos x 2 dx con n 5 4 intervalos

x 3 11 dx con n 5 8 intervalos x

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Área entre curvas planas Rectángulos de base dx El área comprendida entre las curvas f(x) y g(x), tomando rectángulos de base dx, está definida como: A5

∫

b

a

[ f ( x ) 2 g( x )] dx

Y

g (x) f (x)

f (x 1) g (x 1) a

O

x1

b

X

Rectángulos de base dy El área comprendida entre las curvas f(y) y g(y), tomando rectángulos de base dy, se define como: d

A5

∫

Y

f (y)

c

[ f ( y ) 2 g( y )] dy

g (y)

d

y1

c g (y1)

f (y1)

X

Es conveniente graficar las funciones para determinar la fórmula que se debe utilizar.

92

Capítulo 5


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Determina el área limitada entre las curvas y 5 x 3 1 1 y x 2 y 1 1 5 0 Solución Se buscan los puntos de intersección de ambas curvas igualando las funciones: x 3 11 5 x 11

x3 2 x 5 0

x ( x 2 2 1) 5 0

x ( x 2 1)( x 1 1) 5 0

Por consiguiente, x 5 0, x 5 1 y x 521 y = x3 + 1

Y

y=x+1

1 0

–1

1

X

–1 Se eligen rectángulos verticales de base dx para calcular el área, por tanto, 0

Área 5

∫

21

5

∫

21

5

∫

21

0

0

1

( y1 2 y2 )dx 1 ∫ ( y2 2 y1 )dx siendo y1 5 x 3 1 1 y y2 5 x 1 1 0

1

[( x 3 1 1) 2 ( x 1 1)] dx 1 ∫ [( x 1 1) 2 ( x 3 1 1)] dx 0

1

( x 3 2 x ) dx 1 ∫ ( x 2 x 3 ) dx 0

Pero entonces,

∫

0 21

Área 5

1

1

0

0

( x 3 2 x )dx 52∫ ( x 3 2 x )dx 5 ∫ ( x 2 x 3 )dx

∫

1 0

1

1

0

0

( x 2 x 3 )dx 1 ∫ ( x 2 x 3 )dx 5 2 ∫ ( x 2 x 3 )dx 1

 x2 x4  5 2 2  4 0 2

 (1)2 (1)4  2 5 2  4   2

1 1 1 1 5 2  2  5 2   5 u2 4 2 2 4

Finalmente, el área comprendida entre las curvas es

1 2 u 2

93

5 Capítulo


2

Obtén el área limitada por las curvas y 2 5 4x, 4x 1 y 2 6 5 0 Solución Se buscan las intersecciones de las curvas igualando los despejes en x, y2 6 2 y 5 4 4

y2 1 y 2 6 5 0

( y 1 3)( y 2 2 ) 5 0

y 523; y 5 2

Y

y2 = 4x

4x + y – 6 = 0 X

Se eligen rectángulos horizontales de base dy, para calcular el área, por tanto,

Área 5

∫

2 23

[x1 2 x2 ] dx 5

∫

 6 2 y y2 2  23 4  4 2

  dy 

5

1 2 (6 2 y 2 y 2 )dy 4 ∫ 23

5

1 y2 y3  6 y 2 2  4 2 3  23

5

 ( 2 )2 ( 2 ) 3  (23)2 (23)3   1  2 2 ( 2 ) 2 2 6 3   6(2 ) 2   3   4  2 3  2

5

1 8 9 27  12 2 2 2 1 18 1 2  4  3 2 3

5

1  125    4 6 

5

125 2 u 24

2

Finalmente, tenemos que el área comprendida por las curvas es

94

125 2 u 24

Capítulo 5


3

Encuentra el área limitada por las curvas x 2 1 y 2 2 2x 2 24 5 0 y y 2 2 8x 1 16 5 0 Solución Los puntos de intersección entre las curvas se obtienen al resolver el siguiente sistema:  x 2 1 y 2 2 2 x 2 24 5 0  y 2 2 8 x 1 16 5 0  Al multiplicar por 21 la segunda ecuación y sumar con la primera, se obtiene, x 2 1 6x 2 40 5 0 S (x 1 10)(x 2 4) 5 0 S x 5 210; x 5 4 Se sustituye el valor de x 5 4 en la ecuación de la parábola,

y 2 2 8(4) 1 16 5 0

y 2 2 16 5 0

y 5 64

Por consiguiente, los puntos de intersección son los puntos (4, 4) y (4, 24) y el área está determinada por: Área 5

Y

∫

4 24

( x2 2 x1 ) dx

y2 – 8x + 16 = 0

X

x2 + y2 – 2x – 24 = 0 Se despeja x de ambas ecuaciones:

x 2 1 y 2 2 2 x 2 24 5 0

y 2 2 8 x 1 16 5 0

x 2 2 2 x 1 1 5 24 2 y 2 1 1

28 x 52y 2 2 16

( x 2 1)2 5 25 2 y 2

x5

x 2 1 5 25 2 y 2

x 5 25 2 y 2 1 1

y 2 1 16 8

Al final se sustituyen en la fórmula del área:

A5

  24 

∫

4

(

)

 y 2 1 16  25 2 y 2 1 1 2   dy 5  8 

  y2 25 2 y 2 2 2 1  dy  24 8  

∫

4

4

y  25 y y3 5  25 2 y 2 1 arc sen 2 2 y  2 5 24 2 24 3 4  24  25 25 43 4  24  (24 ) 2 4 2  2 (24 ) 5  25 2 4 2 1 arc sen   2 25 2 (24 )2 1 arc sen  2 2 2 5 24 2 5 24 2         5 [ 6 1 11.59 2 2.66 2 4 ] 2 [ −6 2 11.59 1 2.66 1 4 ] 5 21.86 u 2

95

5 Capítulo


Ejercicio 25 Obtén el área limitada entre las siguientes curvas: 1. y 5 x 2; y 5 x 1 2 8. 5x 2 1 16y 2 5 84; 4x 2 2 y 2 5 12 2. x 5 y 3; x 2 1 y 5 0 9. 3x 2 1 16y 2 48 5 0; x 2 1 y 2 5 16 3x x12

3. y 5 4x 2 x 2; y 5 x 2

10. y 5 x 3; y 5

4. y 2 2 4x 2 6y 1 1 5 0; y 5 2x 1 3

11. y 2 5 x; x y 2 1 2x 5 3

5. 4x 2 2 17x 2 15y 1 30 5 0; y 5

12.

x14

x 1 y 5 2 ; x 2 1 y 2 5 16

1 13. x 5 9 2 y 2; x 5 1 2 y 2 9

6. x 2 1 y 2 5 18; x 2 5 6y 2 9 7. x 2 1 y 2 5 25; y 2 2 8x 1 8 5 0

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Volumen de sólidos de revolución Se generan al girar un área plana en torno a una recta conocida como eje de rotación o revolución. Para calcular el volumen se puede utilizar cualquiera de los siguientes métodos.

Método de discos Se utiliza cuando el eje de rotación forma parte del contorno del área plana.

Eje de rotación, el eje X Y

Eje de rotación, el eje Y Y Eje

f(x)

f(y)

d dx f(y)

f(x) a

x

Eje b

X

dy

y c X

V 5 p∫

b a

[ f ( x )]2 dx

V 5 p∫

96

d c

[ f ( y)]2 dy

Capítulo 5


Eje de rotación, la recta y = k

Eje de rotación, la recta x = h

Y

f(y)

Eje x = h

Y

f(x)

d dx f(x) – k

f(y) – h

Eje

x

y

y=k

a

dy

c

b

X X

V 5 p∫

b a

[ f ( x ) 2 k ]2 dx

V 5 p∫

d c

[ f ( y) 2 h]2 dy

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Encuentra el volumen que se genera al hacer girar el área limitada por la parábola y 2 5 4x y la recta x 2 2 5 0 alrededor del eje X. Solución Al hacer girar el rectángulo de altura f (x) y ancho dx alrededor del eje X, se forma un disco de volumen, dV 5 py 2 dx Integrando desde x 5 0 hasta x 5 2, se obtiene el volumen del sólido, 2

2

0

0

2

V 5 p ∫ y 2 dx 5 p ∫ ( 4 x )dx 5 2 px 2  5 8 pu 3 Y

0

x–2=0 2

y = 4x

Eje O

97

2

X

5 Capítulo


2

Encuentra el volumen generado al hacer girar el área limitada por la parábola y 2 5 4x en torno a la recta x 2 2 5 0 Solución Para generar el sólido se deben girar los rectángulos alrededor del eje x 5 2, que es paralelo al eje Y, por tanto el volumen de los discos es: dV 5 p(2 2 x ) 2 dy Integrando desde y 5 22 2 hasta y 5 2 2 se obtiene el volumen del sólido.

Y

Eje

y2 = 4x

2 2

dy

O

X

−2 2

x–2=0 V 5 p∫

2 2 22 2

(2 2 x )2 dy con x 5 V 5 p∫

2

2

2 2 2 2  y2  y2  y4  2 2  dy 5 2 p ∫  2 2  dy 5 2 p ∫  4 2 y 2 1  dy  0 2 0 4  4  16    

2 2 22

y2 , sustituyendo y simplificando: 4

2 2

 y3 y5  5 2p 4 y 2 1  3 80  0 

5

128 2 pu 3 15

Método de las arandelas Se emplea cuando el eje de rotación no es parte del contorno del área limitada por las curvas, esto significa que se generan sólidos de revolución con un hueco en el centro, al tipo de discos con hueco en el centro que se utilizan para hallar el volumen se denomina, arandela.

Volumen de una arandela Sea V el volumen de la arandela, entonces se define como la diferencia de volúmenes de los cilindros de radio r2 y r1 V 5 V1 2 V2 5 pr2 2 h 2 pr12 h 5 p(r2 2 2 r12 )h

r2 r1 h

98

Capítulo 5


 Eje de rotación horizontal

Y

g (x)

Y

Y

f (x)

f (x1) g (x1) a

dx x1

b X

X

X

El volumen generado en torno al eje X se define como: V5 p∫

b a

( [ f ( x)] 2 [ g( x)] ) dx 2

2

 Eje de rotación vertical

Y

f (y)

y1 c

Y

g (y)

Y d dy g (y1)

f (y1) X

X

X

El volumen generado en torno al eje Y se define como: V 5 p∫

d c

([ f ( y)] 2 [ g( y)] ) dy 2

2

Ejemplo Determina el volumen que se genera al girar el área limitada por la circunferencia x 2 1 y 2 5 25 y la recta x 2 7y 1 25 5 0 en torno al eje X. Solución Y

f(x) g(x)

(3 , 4 ) (–4 , 3 )

x – 7y + 25 = 0 X

x 2+ y 2 = 25

99

5 Capítulo


Se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección, x 2 1 y 2 5 25

x 2 7 y 1 25 5 0

y 56 25 2 x 2

y5

6 25 2 x 2 5

(

6 25 2 x 2

)

2

x 1 25 7

x 1 25 7

 x 1 25  5  7 

2

x 2 1 x 2 12 5 0 (x 1 4)(x 2 3) 5 0 Por consiguiente, las abscisas de los puntos son x 5 24 y x 5 3, los cuales resultan ser los límites de integración. El eje de rotación no es parte del contorno de la superficie, por lo que se emplea la fórmula: V 5 p∫

b a

([ f ( x)] 2 [ g( x)] ) dx 2

2

Donde f(x) es la circunferencia y g(x) la recta. Al calcular el volumen se obtiene:

2 2 3  3  x 2 1 50 x 1 625   x 1 25   V 5 p ∫  6 25 2 x 2  2  dx 5 p ∫  25 2 x 2 2  dx   24  24  49  7     

2 3  600 2 50 x 2 50 x  3 50 2 5 p∫   dx 5 49 p ∫ 24 (12 2 x 2 x ) dx 24  49

5

x2 x3  50  p 12 x 2 2  49  2 3 24

5

50  (−4 )2 (−4 )3  32 33   p  12( 3) 2 2  2  12(−4 ) 2 2  3  49  2 3  2

3

Por consiguiente, se deduce que el volumen es igual a: V 5

175 p u3 3

Método de capas En este método el volumen de la capa se expresa en función de la circunferencia media, la altura y el espesor de la capa cilíndrica, engendrada al girar el rectángulo en torno al eje de rotación. Y La gráfica de la derecha muestra el área comprendida por la función y 5 f(x) con f (x) . 0, el eje X y las rectas x 5 a y x 5 b. Al girarla sobre el eje Y se genera el sólido de revolución, éste se divide en n capas o casquetes cilíndricos, unos dentro de otros, con la finalidad de obtener f(x) el volumen del sólido.

x=a

100

x=b

X

Capítulo 5


Y

Y

f(x)

X

X '

El volumen de un casquete cilíndrico se define como el volumen del cilindro exterior menos el interior, entonces: V 5 V2 2 V1 5 pr2 2 h 2 pr12 h 5 ph(r2 2 2 r12 ) 5 ph (r2 1 r1)(r2 2 r1)

pero r5

r1 1 r2 y Dr 5 r2 2 r1 2

entonces: V 5 2pr hDr

r2

r1

r

Δr h

 Eje de rotación el eje “y” En el plano cartesiano se elige el i-ésimo casquete cilíndrico de dimensiones r 5 xi , h 5 f(xi ) y Dr 5 Dx, al sumar los volúmenes de los n casquetes cilíndricos cuando n es muy grande se obtiene: n

V 5 lím ∑ 2 p xi f ( xi )Dx 5 2p ∫ xf ( x )dx n→ `

b

a

i 51

 Eje de rotación el eje “x” n

V 5 lím ∑ 2 p yi f ( yi )Dy 5 2p ∫ y f ( y ) dy n→ `

d

c

i 51

101

5 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Utiliza el método de capas para hallar el volumen que se genera al girar sobre el eje Y el área limitada por la curva y 5 3x 2 2 2x 3 y las rectas x 5 0 y x 5 1. Solución Gráfica del área a rotar y del sólido de revolución seccionado en capas

Y

Y

y = f(x)

y = f(x)

0

1

Y

X

X

X

Luego, el volumen se define: 1

1 1 2  2 3 3  V 5 2 p ∫ x ( 3x 2 2 2 x 3 )dx 5 2 p ∫ ( 3x 3 2 2 x 4 )dx 5 2 p  x 4 2 x 5  5 2 p  (1)4 2 (1)5  0 0 5 0 5 4 4 

7 3 2 7 15 2 8  5 2p   5 5 2p  2  5 2p  p u3 10 4 5  20   20 

2

Obtén el volumen que genera el área plana acotada por la parábola x 2 1 4x 2 4y 1 8 5 0 y la recta x 1 2y 2 4 5 0, al girar en torno a la recta x 2 1 5 0 Solución 2

Y

x + 4x– 4y + 8 = 0 Y

Eje

x + 2y – 4 = 0 y2 y1 –6

0

x=1

X

x=1

X

Para encontrar los puntos de intersección de la recta y la parábola se igualan las ordenadas y se resuelve la ecuación para x. x2 1 4 x 1 8 4 2 x 5 S x 2 1 6x 5 0 x (x 1 6) 5 0 4 2

x 5 0, x 5 26

102

Capítulo 5


La altura del rectángulo está determinada por y2 2 y1 5

4 2 x x2 1 4 x 1 8 6x 1 x2 2 52 2 4 4

la distancia del rectángulo al eje de rotación es (1 2 x) y su ancho dx, al aplicar la fórmula se obtiene el volumen, 0

0  6x 1 x2   2p 0 3 p  x4 5x3 2 3x 2  V 5 2 p ∫ (1 − x )  2 dx 5 (x 1 5 x 2 2 6 x ) dx 5  1  ∫ 26 26 2 4 3 4 4     26

Finalmente, el volumen resulta ser: V 5 72 pu 3

3

Determina el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar sobre el eje X el área limitada por la curva x 2 1 y 2 5 9 y la recta y 2 1 5 0 Solución

Y

Y

x2 + y2 = 9

Y

3

y=1

1

X

X

X

El volumen se genera tanto en el lado positivo como en el lado negativo del eje X, por tanto: 3

V 5 2 ∫ 2p y 1

(

)

3

9 2 y 2 dy 5 4p ∫ y 1

(

)

9 2 y 2 dy

Se resuelve la integral: 3

3  2 2  ( 9 2 ) y  V 5 4p 2   3  1 

Al evaluar se obtiene como resultado 3 3   16 2  64 2 (9 2 9 ) 2 (9 2 1) 2   V 5 4p 2 1 5 4p  pu 3  5   3 3  3 3   

103

5 Capítulo


Ejercicio 26 Resuelve los siguientes problemas: 1. Determina el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva y 5 alrededor del eje X.

x de 0 a 4

2. Calcula el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva f(x) 5 rectas x 5 2, x 5 11, alrededor del eje X.

x 2 2 y las

3. Obtén el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva f (x) 5 x 2 y las rectas x 5 0, x 5 3 alrededor del eje X. 4. Determina el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por la curva f (x) 5 las rectas y 5 2, x 5 0 alrededor del eje Y.

x y

5. Determina el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva f (x) 5 x 3, y las rectas x 5 0, y 5 8, alrededor del eje Y. 6. Determina el volumen del sólido que se genera al hacer girar la región limitada por la curva y 5 x 2 y las rectas x 5 0, y 5 16 alrededor del eje Y. 7. Determina el volumen que origina la superficie limitada por la parábola y 1 x 2 5 0 y la recta y 1 4 5 0, al girar en torno del eje Y. 8. Obtén el volumen que se genera al rotar en torno al eje X el área limitada por la curva y 5 4 2 x 2 y la recta y 5 0. 9. Encuentra el volumen que se genera al hacer girar la superficie limitada por la curva y 5 x 5 22 y x 5 2 en torno al eje X.

x 2 1 1 y las rectas

10. Determina el volumen que se genera al hacer girar la superficie limitada por la curva x 2 2 y 2 1 1 5 0 y las rectas y 5 1.5, y 5 3 en torno al eje Y. 11. Precisa el volumen que se genera al rotar en torno al eje X la superficie limitada por la semielipse 9x 2 1 25y 2 2 54x 2 144 5 0 y el eje X. 12. Obtén el volumen generado al girar en torno al eje Y la superficie limitada por las curvas y 5 x 2 y y 5

x.

13. Encuentra el volumen que se origina al girar en torno al eje X, la superficie limitada por las curvas y 5 x 2 y y5 x. 14. Determina el volumen generado por las curvas x 2 1 y 2 5 25 y y 2 2 6x 1 15 5 0, al girar en torno al eje Y. 15. Precisa el volumen que se genera al rotar en torno al eje X la superficie limitada por la curva y 5 4x 2 x 2 y la recta x 2 y 5 0 16. Calcula el volumen generado al rotar en torno al eje X, la superficie limitada por la parábola x 2 2 6x 2 8y 1 17 5 0 y la recta x 2 4y 1 5 5 0 17. Encuentra el volumen que se genera por la superficie limitada por la circunferencia x 2 1 y 2 5 1, cuando gira en torno a la recta x 1 3 5 0 18. Calcula el volumen que se genera al girar la superficie limitada por la parábola y 2 1 4x 2 6y 2 11 5 0, y la recta 2x 1 y 2 9 5 0, en torno a la recta y 1 1 5 0 19. Obtén el volumen que se genera al rotar en torno a la recta x 2 2 5 0, la superficie limitada por la curva 4x 2 1 y 2 1 48x 1 128 5 0 20. Encuentra el volumen que se genera por la superficie limitada por la primera arcada de la función sen x, al girar en torno a la recta 2x 2 3p 5 0


Capítulo 5


Longitud de arco Sea la función y 5 f(x) continua en el intervalo [a, b], entonces la longitud de arco se define como:

∫

L5

b a

1 1 [ f 9( x )] dx 2

Demostración Se eligen n puntos del arco AB y se unen los puntos adyacentes mediante cuerdas, las cuales tendrán longitud Ds, la línea quebrada resultante tendrá longitud n

∑ Dsi

sn 5

Y f(x1)

f(x2)

A

a

i 51

f(xi–1) f(xi) y = f(x) Δyi Δxi B

x2

x1

xi-1 xi

b X

El límite al que tiende esta longitud cuando Dsi tiende a cero es la longitud (L) del arco AB, siendo 2

Dsi 5 Dxi 2 1 Dyi 2 5

 Dy  1 1  i  Dxi  Dxi 

y por el teorema del valor medio: Dyi f ( xi ) 2 f ( xi −1 ) 5 5 f 9( x ) Dxi xi 2 xi 2 1 para cualquier valor de x que cumpla xi 2 1 , x , xi , entonces: L 5 lím

Dsi → 0

n

∑

i 51

1 1 [ f 9( x )] Dx 5 2

∫

b a

1 1 [ f 9( x )] dx 2

En forma semejante, si la curva tiene por ecuación x 5 h(y ), entonces la longitud de la curva está determinada por: L5

∫

d c

105

1 1 [ h9( y )] 2 dy

5 Capítulo


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Determina la longitud del arco de la curva y 5 x 2, en el intervalo [2, 4] Solución Se deriva la función y se obtiene y 9 5 2x Al sustituir en la fórmula,

L5

∫

4

1 1 (2 x )2 dx 5 ∫

2

1 1 4 x 2 dx

)

(

4

1 1  5  x 1 1 4 x 2 1 ln 2 x 1 1 1 4 x 2  4 2 2

1 8 1 65 5 2 65 2 17 1 ln 5 12.170 u 4 4 1 17

Y

y = x2

–2

2

4 2

4

X 3

Obtén la longitud del arco de la curva, cuya ecuación es x 5 y 2 , entre los puntos (0, 0) y (64, 16) Solución Al derivar con respecto a Y se obtiene, dx 3 12 5 y dy 2 Ahora, se sustituye en la fórmula:

L5

∫

16 0

2

16  3 1 9 1 16 1 1  y 2  dy 5 ∫ 1 1 y dy 5 ∫ 4 1 9 y dy 0 4 2 0 2  16

 ( 4 1 9 y )3   5  27  0  5 66.685 u

106

Capítulo 5


Ejercicio 27 Encuentra la longitud de arco en los intervalos dados de cada una de las siguientes curvas. 1. y 2 5 x 3

1#x#4

2. x 5 y 2

0#x#1

3. f(x) 5

2 ( x 2 1)3 3

1#x#4

3

4. f(x) 5 4 x 2 5. f (x) 5

0#x#1 3 2

2 2 ( x 2 1) 3

1#x#3

6. f (x) 5 ln cos x

p p #x# 2 4

7. f (x) 5 ln sen x

p p #x# 6 2

8. y 5 ln x 2

1#x#5

9. y 5 ln x 10. y 5

3 #x#

1 x3 1 6 2x

8

2 # x # 5

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Aplicaciones a la economía Función de costos El costo total para producir, vender y distribuir un artículo es igual a la suma de los costos fijos más los costos variables. C (x)t 5 C f 1 Cv Los costos variables dependen del número de unidades x, mientras que los costos fijos no. Estos últimos permanecen constantes, algunos son el pago de la renta, el mantenimiento, y otros más en los cuales no importa si se produce, vende y distribuye una pieza, mil o cualquier otra cantidad y se representan, como: C (x 5 0) 5 Cf El costo marginal es el costo para producir una unidad adicional más cuando ya se tiene un nivel de producción determinado y se expresa como la derivada del costo total respecto al número de unidades: Costo marginal 5

dC ( x ) dx

De forma contraria, si lo que se conoce es el costo marginal, entonces el costo total es la integral: C 5 ∫ C9( x ) dx Cuando se resuelve esta integral se obtiene una constante de integración, la cual se puede conocer mediante las condiciones iniciales, la cual regularmente es equivalente a los costos fijos.

107

5 Capítulo


Ejemplo El costo marginal que emplea un fabricante de pernos está dado por Obtén la función de costo total.

dC ( x ) 5 302 2 0.04x y el costo fijo es de $12. dx

Solución El costo total se obtiene resolviendo la integral: C5

∫ (302 2 0.04 x ) dx

C 5 302x 2 0.02x 2 1 K Pero K, en realidad, son los costos fijos Cf , entonces: C(x 5 0) 5 302(x) 2 0.02(x)2 1 K, pero se sabe que C(x 5 0) 5 Cf , entonces: Cf 5 12 5 K Entonces la función del costo total es: C (x) 5 302x 2 0.02x 2 1 12

Función de ingresos La demanda de un producto se define como p (x), mientras el ingreso total es el producto del precio, por el número de unidades x, que se venden. I(x) 5 p(x) ? x El ingreso marginal está en función de la cantidad demandada y matemáticamente se representa como la derivada del ingreso total, con respecto a la cantidad x Ingreso marginal 5

d I (x) dx

Si lo que se desea obtener es el ingreso total y se tiene el ingreso marginal, entonces se procede a efectuar una integración: I ( x ) 5 ∫ I 9( x ) dx En este caso, cuando se integra y se encuentra la constante ésta será siempre igual a cero, ya que si no se comercializa ninguna pieza x, no existirán ingresos.

Ejemplos

EJEMPLOs

1

La función del ingreso marginal al producir una bicicleta está dada por la función mina la función del ingreso total y la función de demanda total. Solución El ingreso total se obtiene resolviendo la integral:

∫ ( 3x

2

2 2 x 1 20 )dx

I(x) 5

I(x) 5 x 3 2 x 2 1 20x 1 C

108

dI ( x ) 5 3x 2 2 2x 1 20, deterdx

Capítulo 5


Pero I(x 5 0) 5 0, por tanto, se obtiene el valor de C I(x 5 0) 5 (0)3 2 (0)2 1 20(0) 1 C S 0 5 C Entonces la función del ingreso total es: I(x) 5 x 3 2 x 2 1 20x Para obtener la función de demanda se despeja a p(x), de la relación: I(x) 5 p(x) ? x S p(x) 5

I (x) x

Entonces, se obtiene: p(x) 5

2

x 3 2 x 2 1 20 x 5 x 2 2 x 1 20 x

Una compañía manufacturera sabe que la función del ingreso marginal de un producto es I 9(x) 5 20 2 0.002x, en donde I9(x) se cuantifica en pesos y x es el número de unidades. Con base en la información antes mencionada, determina: a) b) c) d )

La función de ingresos totales La función de la demanda del producto Los ingresos totales al venderse 500 unidades El precio, cuando se venden 3 500 artículos

Solución a) La función de los ingresos totales se obtiene al resolver la integral: I(x) 5

∫ (20 2 0.002 x ) dx

I(x) 5 20x 2 0.001x 2 1 C La condición I(x 5 0) 5 0, por tanto, se obtiene el valor de C I(0) 5 20(0) 2 (0.001)(0)2 1 C S 0 5 C Entonces la función del ingreso total es: I(x) 5 20x 2 0.001x 2 b) Para obtener la función de demanda se despeja a p(x), de la relación: I(x) 5 p(x) ? x S p(x) 5

I (x) x

Entonces, se determina que: p(x) 5 c) d)

20 x 2 0.001x 2 5 20 2 0.001x x

Para determinar los ingresos totales al venderse 500 artículos, se sustituye en: I (x) 5 20x 2 0.001x 2 I(500) 5 20(500) 2 (0.001)(500)2 I(500) 5 10 000 2 250 I(500) 5 $ 9 750 Si se desea obtener el precio, cuando se venden 3 500 unidades, se sustituye en: p (x) 5 20 2 0.001x p (3 500) 5 20 2 0.001(3 500) p (3 500) 5 20 2 3.5 p (3 500) 5 $16.5

109

5 Capítulo


Ejercicio 28 Resuelve los siguientes ejercicios: 1. El costo marginal para producir un perno metálico está dado por C9(x) 5 20 2 x 2 x 2, además se sabe que el costo fijo es $4.00 Determina: a) La función de costo total b) El costo de producir 5 unidades 2. La función del ingreso marginal de un cierto producto es I9(x) 5 3x 2 2 2x 1 5, determina la función de ingreso total. 3. La función f(x) 5 4e 0.005x, representa el costo marginal de producción de un buje de cobre, en donde los costos fijos están dados por Cf 5 $200.00. Obtén: a) La función del costo total b) El costo cuando se producen 500 piezas 4. El ingreso marginal que tiene registrado un productor de bicicletas de montaña es: I 9(x) 5 8 1 3(2x 2 3)2, determina la función del ingreso total y la demanda. 5. El gerente de una empresa productora de dulces sabe que su costo marginal está dado por la función

dC ( x ) 5 dx

5 , 2 x 11

además sabe que el costo de producir 40 dulces, es $53.00. Encuentra: a) La función del costo total b) El costo de fabricar 220 piezas

6. Una máquina de coser industrial se deprecia en función del tiempo t, según la función P9(t ) 5 2

Determina: a) La función del precio P(t), de la máquina, t años después de su adquisición b) ¿Cuál es su valor después de 5 años?

8160 . ( 3t 1 2 )2

7. Una compañía deprecia una computadora en función del tiempo t medido en años, según la función

24 000 dP (t ) 52 (t 1 3)4 dt

en donde P(t), es el precio de la máquina t años después de su adquisición. ¿Cuál es su valor después de 2 años?


110

Capítulo

E

•

s da

• Matemáti c as


I


histórica

Ma

Ma

cas simplificada emáti s• M at Ma te


•


imp

•

m

ss ca á ti

s da

m

diferenciales

6

s cada plifi

das • Matemátic as lifica p sim m i cuaciones pli ss a c fic i t a á

s da


•M ate m

sim

sim p l i fic a

s da

•M

ss ica át

imp

atem

imp


da

nventó un método para determinar aproximadamente el tiempo de un fósil. Su teoría (de la datación o fechamiento con radiocarbono), está basada en que la razón de la cantidad de carbono 14 al carbono ordinario es constante de tal forma que la cantidad proporcional absorbida por los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Por lo que cuando muere un organismo la absorción de este elemento cesa y empieza a desintegrarse (vida media de un material radiactivo). ss ica át



•M a t e má


s ica át

da

s•

tem Ma

De tal forma que solo basta con comparar la cantidad de carbono 14 presente en el fósil, con la relación constante que existe en la atmósfera. Con base en la vida media del carbono que es aproximadamente de 5600 años se plantea la variación de una cantidad inicial C0 de carbono 14 en el fósil con respecto al tiempo, obteniendo una ecuación diferencial de la siguiente forma: dC0 5 kC0 en donde C0 5 C0(0) dt La cual resolveremos en este capítulo. Willard Libby (1908-1980)

6 Capítulo


Introducción Casi cualquier problema del mundo real se puede resolver mediante la formulación de un modelo matemático que, al resolverlo con los conocimientos adquiridos (en particular de cálculo), permita obtener conclusiones matemáticas, las cuales posteriormente nos permitirán hacer una interpretación acerca del fenómeno sobre el cual gira el problema y entonces podremos hacer predicciones sobre el mismo. Estas predicciones siempre se deben verificar con los datos nuevos que se derivan de la práctica. Es decir, si las predicciones no coinciden con los datos nuevos, entonces hay que ajustar el modelo. La mayoría de estos problemas a resolver surgen en la física, la química y las ciencias sociales (crecimiento de población, decaimiento radiactivo, problemas donde interviene la velocidad y la aceleración, antigüedad de un fósil, etc.…). En muchas ocasiones, cuando se utiliza el cálculo, es porque se presenta una ecuación diferencial surgida del modelo encontrado, por esta razón una de las aplicaciones más importantes del cálculo son, sin duda, las ecuaciones diferenciales. En este capítulo sólo se dará una introducción a las ecuaciones diferenciales (definición, clasificación, algunos métodos de solución y ejemplos de aplicación); es decir, no se pretende dar un curso completo, sólo haremos referencia a lo básico para que el alumno posteriormente pueda iniciar un curso formal de ecuaciones diferenciales.

Definición Una ecuación diferencial es aquella que tiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. La representación de una ecuación diferencial en su forma general es: F ( x, y, y9, y 0 ? y -, ..., y n ) 5 0 Con x variable independiente, y 5 f(x) variable dependiente (en este caso la función desconocida), y9, y0, y-, …, y n, sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. El grado de una ecuación diferencial es el grado de la derivada de mayor orden que aparece en ella. Por ejemplo: Ecuación

Orden

Grado

dy 2x57 dx

Primero

Primero

2 xy92 y 5 6

Primero

Primero

d2y dy 1 5 524 y dx 2 dx

Segundo

Primero

( y 0 )2 1 2( y9)3 1 2 y 5 x

Segundo

Segundo

Tercero

Primero

2

2 y - 2 4 ( y 0 ) 2 y95 6 x

Si una ecuación tiene una variable independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria, ya que sus derivadas son ordinarias. Por ejemplo: y92 2 x 5 8 y 0 2 y95 x y - 2 xy 0 1 2 y( y9)2 2 xy 5 0 Si una ecuación diferencial tiene dos o más variables independientes, se llama ecuación entre derivadas parciales, ya que las derivadas son parciales: x

0z 0z 0z 1 y t 1 5 xyt 0x 0y 0t

112

Capítulo 6

Cálculo integral • Ecuaciones diferenciales

La solución de una ecuación diferencial es una función y 5 f(x) que junto con sus derivadas sucesivas se transforma en una identidad al ser sustituidas en ella.

Ejemplo Comprueba que y 5 f ( x ) 5 x 3 1 3x 2 1 6 x 1 1 , es solución de la ecuación 3y 2 xy91 3 5 y 0 1 3(2 x 1 x 2 ) Solución Se obtienen la primera y segunda derivada de f(x) y 5 f ( x ) 5 x 3 1 3x 2 1 6 x 1 1

Función

y95 f 9( x ) 5 3x 2 1 6 x 1 6

Primera derivada

y 0 5 f 0( x ) 5 6 x 1 6

Segunda derivada

Se sustituyen y, y9, y0 en la ecuación 3y 2 xy91 3 5 y 0 1 3(2 x 1 x 2 )

3( x 3 1 3x 2 1 6 x 1 1) 2 x ( 3x 2 1 6 x 1 6 ) 1 3 5 (6 x 1 6 ) 1 3(2 x 1 x 2 ) 3x 3 1 9 x 2 1 18 x 1 3 2 3x 3 2 6 x 2 2 6 x 1 3 5 6 x 1 6 1 6 x 1 3x 2

3x 2 1 12 x 1 6 5 3x 2 1 12 x 1 6

Por tanto, y 5 f ( x ) 5 x 3 1 3x 2 1 6 x 1 1 es solución de la ecuación. Una solución general es una función de una variable que tiene un número de constantes arbitrarias no conocidas igual al orden de la ecuación y que al sustituirla en la ecuación se transforma en una igualdad. Una solución particular es una función de una sola variable que se obtiene de la solución general, obteniendo el valor de sus constantes y que al sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad.

Ejemplo Dada la ecuación diferencial y 0 2 3y91 2 y 5 5 2 2 x Determina cuál de las siguientes funciones es solución e indica de qué tipo es: a) y 5 C1e x 1 C2 e2 x 2 x 1 1 b) y 52e x 2 x 11 Solución a) Se sustituye y 5 C1e x 1 C2 e2 x 2 x 1 1 en la ecuación con sus respectivas derivadas y si se transforma en una igualdad, entonces sí es solución y será del tipo general.

y 5 C1e x 1 C2 e2 x 2 x 1 1

y95 C1e x 1 2C2 e2 x 2 1

y 0 5 C1e x 1 4C2 e2 x

y 0 2 3y91 2 y 5 (C1e x 1 4 C2 e2 x ) 2 3(C1e x 1 2C2 e2 x 2 1) 1 2(C C1e x 1 C2 e2 x 2 x 1 1) 2x 2x x x x 5 C1e 2 3C1e 1 2C1e 1 4 C2 e 2 6C2 e 1 2C2 e2 x 1 3 2 2 x 1 2 5 5 2 2x

C1, C2 son constantes no conocidas, por tanto es una solución general.

113

6 Capítulo


b) Se sustituye y 52e x 2 x 11 en la ecuación con sus respectivas derivadas y si se transforma en una igualdad, entonces sí es solución y será particular.

y 52e x 2 x 11

y952e x 21

y 0 52e x

y 0 2 3y91 2 y 5 (2e ) 2 3(2e x 2 1) 1 2(2e x 2 x 1 1) 52e x 1 3e x 2 2 e x 1 3 2 2 x 1 2 5 5 2 2x

x

La solución tiene constantes definidas C1 5 21, C2 5 0, por tanto es una solución particular.

Ecuación diferencial de primer orden Ahora se resolverán algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden con el método de variables separables y homogéneas. Al resolver ecuaciones diferenciales seguramente se necesitarán ciertos métodos de integración, por ello te sugerimos tomarte algunos minutos en repasar los capítulos anteriores.

Variables separables La técnica más simple es la aplicada en una ecuación diferencial que se reduce a la forma: M(x)dx 1 N (y)dy 5 0 Donde M (x) es una función que depende de x y N(y) es una función que depende de y. Con ello han sido separadas las variables, por lo cual la ecuación diferencial es del tipo de variables separables. Su solución se obtiene por integración directa:

∫ M ( x )dx 1 ∫ N ( y)dy 5 C Donde C es una constante arbitraria.

Ejemplos

EJEMPLOs

1

Resuelve la ecuación

dy 5 6x2 dx

Solución La ecuación se transforma a: dy 5 6x 2 dx Se integran ambos miembros de la ecuación

∫ dy 5 ∫ 6 x dx 2

y 5 2x 3 1 C Por consiguiente la solución es: y 5 2x 3 1 C

114

Capítulo 6


2

Resuelve la ecuación (1 1 y 2)dx 1 xydy 5 0 Solución Se trasponen los términos:

(1 1 y 2)dx 1 xydy 5 0 (1 1 y 2)dx 5 2xydy

Se multiplica por

1 y se simplifica: x (1 1 y 2 )

1 1 2 (2xydy) 2 (1 1 y )dx 5 x (1 1 y ) x (1 1 y 2 ) dx ydy 52 x 1 1 y2

Se integra cada lado de la igualdad:

∫

dx ydy 52∫ 1 C1 1 1 y2 x

1 ln x 52 ln(1 1 y 2 ) 1 C1 2 Se sustituye C1 5 ln C2 1 ln x 52 ln(1 1 y 2 ) 1 ln C2 2 1 ln x 1 ln(1 1 y 2 ) 5 ln C2 2 Se aplica la propiedad ln a m 5 m ln a ln x 1 ln 1 1 y 2 5 ln C2 Se aplica la propiedad ln ab 5 ln a 1 ln b ln x 1 1 y 2 5 ln C2 x 1 1 y2 5 C

(x

1 1 y2

) 5 (C ) 2

2

2

Se despeja y, se sustituye (C2)2 5 C x 2 (1 1 y 2 ) 5 C 1 1 y2 5 y2 5

y5

Por tanto, la solución general es: y 5

C x2

C C 2 x2 21 5 2 x x2

C 2 x2 1 C 2 x2 5 5 C 2 x2 2 x x x

1 C 2 x2 x

115

6 Capítulo


3

Resuelve la ecuación (y 2 1 xy 2)

dy 1 x 2 2 yx 2 5 0 dx

Solución La ecuación se transforma en:

(y 2 1 xy 2)

dy 1 x 2 2 yx 2 5 0 dx

y 2(1 1 x)

dy 1 x 2(1 2 y) 5 0 dx

Se factoriza cada término

y 2(1 1 x)dy 1 [x 2(1 2 y)]dx 5 0 Se multiplica cada término por

1 (1 1 x )(1 2 y )

1 1 [y 2(1 1 x)]dy 1 [x 2(1 2 y)]dx 5 0 (1 1 x )(1 2 y ) (1 1 x )(1 2 y )

y2 x2 dy 1 dx 5 0 12 y 11 x y2 x2 dy 5 2 dx 12 y 11 x

Al integrar ambos miembros de la igualdad y2 x2 dy 5 2 ∫ 12 y ∫ 11 x dx se divide y se obtiene que

y2 1 5 2y 2 1 1 12 y 12 y

x2 1 5x211 11 x x 11

Regresando a la integral



1 

∫  2y 2 1 1 1 2 y  dy 2 ∫ ydy 2 ∫ dy 1 ∫ 2

 1  5 2 ∫  x 21 + dx x 1 1  

dy dx 5 2 ∫ xdx 1 ∫ dx 2 ∫ 12 y x 11

1 2 1 y 2 y 2 lnuy 2 1u 5 2 x 2 1 x 2 lnux 1 1u 1 C1 2 2

Se multiplica por 2 2y 2 2 2y 2 2 lnuy 2 1u 5 2x 2 1 2x 2 2 lnux 1 1u 1 2C1 x 2 2 y 2 2 2x 2 2y 1 2 lnux 1 1u 2 2 lnuy 2 1u 5 C Al aplicar la propiedad ln a m 5 m ln a y al factorizar x 2 2 y 2 se obtiene: (x 1 y)(x 2 y ) 2 2(x 1 y) 1 ln(x 1 1)2 2 ln(y 2 1)2 5 C

116

Capítulo 6


Al aplicar la propiedad ln

a 5 ln a 2 ln b b

(x 1 y)(x 2 y) 2 2(x 1 y) 1 ln

( x 1 1)2 5C ( y 2 1)2

(x 1 y)(x 2 y 2 2) 1 ln

( x 1 1)2 5C ( y 2 1)2

 x 1 1 (x 1 y)(x 2 y 2 2) 1 ln  5C  y 2 1 

2

Finalmente, la solución general es: 2

 x 1 1 5C (x 1 y)(x 2 y 2 2) 1 ln   y 2 1 

4

Resuelve (1 1 y 2)dx 5 xdy Solución Se multiplica por el factor

1 , cada término de la igualdad x (1 1 y 2 ) 1 1 2 xdy 2 (1 1 y )dx 5 x (1 1 y ) x (1 1 y 2 ) dx dy 5 x 1 1 y2

Al integrar se obtiene:

dx 5 x

dy

∫

∫ 11 y

lnuxu 5 arc tan(y) 1 C1

2

Se aplica la definición de logaritmo natural, si ln b 5 c, entonces e c 5 b

x 5 e arc tan(y) 1 C1

x 5 e arc tan(y) ? e C1

x 5 e arc tan(y) ? C

x 5 Ce arc tan(y)

Por tanto, la solución es: x 5 Ce arc tan(y) Otra forma de representar la solución es la siguiente:

lnuxu 5 arc tan(y) 1 C1 lnuxu 2 C1 5 arc tan(y)

Se sustituye ln C 5 2C1

lnuxu 1 ln C 5 arc tan(y)

117

6 Capítulo


Se aplica la propiedad ln ab 5 ln a 1 ln b lnuCxu 5 arc tan(y) Se obtiene la tangente de cada término de la igualdad

tan(lnuCxu) 5 tan(arc tan(y))

tan(lnuCxu) 5 y

Finalmente, la solución es: tan(lnuCxu) 5 y

5

Resuelve e 2y (1 1 y 9) 5 1 Solución Se resuelve el producto

e 2y (1 1 y9) 5 1

e 2y 1 e 2y y 9 5 1

La ecuación se transforma en:

e 2y 1 e 2y

e 2y

dy 51 dx dy 5 1 2 e 2y dx

e 2y dy 5 (1 2 e 2y )dx e2y dy 5 dx 1 2 e2y

Se integra cada término de la igualdad

e2y dy ∫ 1 2 e2y 5

∫ dx

lnu1 2 e 2y u 5 x 1 C1

lnu1 2 e 2y u 2 C1 5 x

lnu1 2 e 2y u 1 lnuCu 5 x

lnuC(1 2 e 2y )u 5 x

C(1 2 e 2y ) 5 e x

Por consiguiente, la solución es: e x 5 C(1 2 e 2y )

118

Capítulo 6


6

Determina la solución particular de la ecuación diferencial y9 5

3x 2 2y

para la cual y52 cuando x50 Solución

y9 5

3x 2 2y

dy 3x 2 5 dx 2y

2y dy 5 3x 2 dx

∫ 2y dy

5

∫ 3x dx 2

y2 5 x3 1 C

En la solución general se sustituyen los valores de: y 5 2, x 5 0

y2 5 x3 1 C

(2)2 5 (0)3 1 C

Por tanto, C54 Este resultado se sustituye en la solución general, se despeja y y2 5 x3 1 C

y5

x3 1 C

y5

x3 1 4

Por tanto, la ecuación particular es: y5

119

x3 1 4

6 Capítulo


7

Cerca de la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad de un cuerpo que cae es de 9.81

m , s2

esto es posible si se desprecia la resistencia del aire. Si se arroja un cuerpo hacia arriba desde una altura inicial de 30 m, con una velocidad de 20

m , determina su velocidad y su altura tres segundos más tarde. s

Solución La altura s se tomara positiva hacia arriba, entonces la velocidad v es positiva, pero la aceleración a es negativa ya que la atracción de la gravedad tiende a disminuir v, por tanto la solución esta dada por la ecuación diferencial. dv 5 29.81 dt Con las condiciones iniciales v 5 20 La ecuación

m y s 5 30 m s

dv 5 29.81, se resuelve por el método de variables separables, es decir: dt dv 5 29.81 dt

dv 5 29.81 dt

∫ dv

5 2 ∫ 9.81dt 1 C

v 5 29.81t 1 C

En el instante t 5 0, v 5 20

m , entonces s

v 5 29.81t 1 C

20 5 29.81(0) 1 C

C 5 20

Por tanto v 5 29.81t 1 20 Luego, v 5

ds , entonces se tiene una segunda ecuación diferencial. dt

ds 5v dt

ds 5 29.81t 1 20 dt

Al resolver la ecuación diferencial por variables separables resulta: ds 5 29.81t 1 20 dt

∫ ds

5

∫ (29.81t 1 20)dt 1 K

s52

120

9.81 2 t 1 20t 1 K 2

Capítulo 6


Se determina el valor de K, con los valores iniciales s 5 30, t 5 0

s52

30 5 2

9.81 2 t 1 20t 1 K 2 9.81 2 (0) 1 20(0) 1 K 2

Por tanto, K 5 30, entonces la solución es: s52

9.81 2 t 1 20t 1 30 2

Finalmente se obtiene el valor de la velocidad y la altura 3 s más tarde. v 5 29.81t 1 20 5 29.81(3) 1 20 5 229.43 1 20 5 29.43 s 5 2

8

m s

9.81 2 9.81 2 t 1 20t 1 3052 (3) 1 20(3) 1 305(24.905)(9) 1 20(3) 1 305244.14 1 60 1 30545.86 m 2 2

5 N . Si la ra2 0 zón en la que se reproducen es proporcional al número de bacterias, ¿en cuánto tiempo se cuadriplicará la cantidad inicial de bacterias? Se tiene un cultivo con una cantidad N0 de bacterias, al pasar una hora el número de bacterias es de

Solución

 dN 0  , es proporcional al número de bacterias, Si la razón de reproducción, la variación de N0 respecto al tiempo   dt  entonces se tiene la siguiente ecuación: dN 0 5 kN0 dt La cual es una ecuación de variables separables, al resolverla se obtiene:

dN 0 5 kdt N0

ln N0 5 kt 1 C1

e kt1C1 5 N0

N0(t) 5 e kt1C1

N0(t) 5 e kt e C1

donde N0(t) 5 Ce kt Cuando t 5 0 entonces N0(0) 5 Ce k(0) 5 Ce 0 5 C(1) 5 C, pero sabemos que la cantidad inicial de bacterias es N0, es decir C 5 N0, por tanto N0(t) 5 N0e kt. 5 Encontremos el valor de k, para eso tenemos que N0(1) 5 N0, de donde 2

N0e k(1) 5

5 N 2 0

N0e k 5

5 N 2 0

121

6 Capítulo


Se divide entre N0 ek 5

5 2

Se aplica logaritmo natural en ambos lados

ln e k 5 ln

5 2

k 5 ln

5 2

k 5 0.9163 Por tanto. la función solución a nuestro problema es N0(t) 5 N0e 0.9163t Si queremos saber en cuánto tiempo se cuadriplicará la población, entonces se plantea la siguiente igualdad: 4 N0 5 N0e 0.9163t Se divide entre N0 4 5 e 0.9163t Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros:

ln 4 5 ln e 0.9163t

ln 4 5 0.9163t ln 4 5t 0.9163

t < 1.51

En aproximadamente 1.51 horas se cuadriplicará la población inicial.

9

Al analizar el hueso de un fósil se encontró que la cantidad de carbono 14 era la centésima parte de la cantidad original. ¿Cuál es la edad del fósil? Solución Existe un método basado en la cantidad de carbono 14 (C 2 14) que existe en los fósiles. El químico Willard Libby inventó la teoría de la datación con radiocarbono, la cual se basa en que la razón de la cantidad de carbono 14 en la atmósfera es constante, lo que trae como consecuencia que la cantidad de este isótopo en los organismos es proporcional al que existe en la atmósfera. Al morir un organismo deja de absorber carbono 14, es decir la cantidad absorbida de este elemento cesa, y al ser un elemento radiactivo se va desintegrando (recuerda que la vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de este elemento). Entonces basta con comparar la cantidad proporcional de carbono 14 en el fósil con la cantidad constante en la atmósfera. Para hacer esto se toma en cuenta la vida media del carbono 14 que es aproximadamente de 5600 años. Ahora regresemos a nuestro problema: digamos que C0 es la cantidad inicial de carbono 14 en el fósil, entonces la variación de esta cantidad respecto al tiempo es proporcional a la cantidad inicial, es decir: dC0 5 kC0 dt en donde C0 5 C0(0)

122

Capítulo 6


La ecuación diferencial obtenida es parecida al modelo del ejemplo 10, al resolverlo se obtiene: C0(t) 5 C0e kt Para obtener el valor de k, consideremos que la vida media del carbono 14 es de 5600 años, esto quiere decir que:

C0 5 C0(5600) 2

C0 5 C0e 5600k 2 Se divide entre C0 1 5 e 5600k 2 Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros

ln

1 5 ln e 5600k 2

ln

1 5 5600k 2

1 2 5k 5600 ln

k 5 20.00012378 Por tanto, C0(t) 5 C0e 20.00012378t

Si nos dicen que la cantidad de carbono 14 era la centésima parte de la cantidad original, entonces basta con plantear la siguiente igualdad.

C0 5 C0e 20.00012378t 100

1 5 e 20.00012378t 100

ln

1 5 ln e 20.00012378t 100

ln

1 5 20.00012378t 100

1 100 5t 20.00012378 ln

de donde

t < 37 204 Por tanto, el fósil tiene aproximadamente 37 200 años.

123

6 Capítulo


Ejercicio 29 1.

dy x3 5 2 dx y

11. (24y 1 y 2)dx 1 x (x 2 6)dy 5 0

2.

dy 3x 2 5 dx y(1 2 x 3 )

12. 4x 3 2 y 3y 9 5 0

3.

dy 6x2 5 dx 5 1 y2

13. y 9 5

2 x 11 y3 11 1 dy 5 0 y

4. (4 2 y 2)dx 2 (4 2 x 2)dy 5 0

14. e x dx 2

5. (9 1 y 2)dx 1 4xy dy 5 0

15.

3 2 dx 1 dy 5 0 x y

6. (2y 2 2 xy 2)y9 1 2x 2 2 yx 2 5 0

16.

dy x2 y 2 y 5 dx y14

7. x

y 2 2 2 dx 1 y x 2 2 2 dy 5 0

17. y 9 5 x 2 sen 2x

8. e 3y (y9 1 3) 5 2 9.

18.

dy 5 cos2 y cos 2x dx

dy 5 e 2x 23y dx

19. ydx 1 x ln xdy 5 0 20. (1 1 e x )e y y 9 5 y 21

10. y 9 5 cos(x 1 y)

 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente Ecuaciones homogéneas f (x, y) es una función homogénea de grado n si f(ax, ay) 5 anf(x, y) Por ejemplo: f(x, y) 5 3x 4 2 x 2y 2 es homogénea, hagamos la evaluación:

f(ax, ay) 5 3(ax)4 2 (ax)3(ay) 5 3a4x 4 2 a4x 3y 5 a4(3x 4 2 x 3y) 5 a4f(x, y)

f (ax, ay) 5 a4f(x, y)

por tanto es homogénea de grado 4. Una ecuación diferencial M(x, y)dx 1 N(x, y)dy 5 0 se llama homogénea si M(x, y) y N (x, y) son homogéneas. Por ejemplo: 2 x x x La ecuación arc cos dy 1 x ln dx 5 0 es homogénea ya que para y y y M(x, y) 5

x2 x x arc cos y N (x, y) 5 x ln y y y

se tiene que: M (ax, ay ) 5

(ax )2 ax a 2 x 2 x x2 x arc cos 5 arc cos 5 a arc cos 5 aM ( x, y ) ay ay ay y y y N (ax, ay ) 5 ax ln

124

ax x 5 ax ln 5 aN ( x, y ) ay y

Capítulo 6


Ambas son homogéneas de grado 1, por tanto, la ecuación

x2 x x arc cos dy 1 x ln dx 5 0 es homogénea. y y y

Para resolver una ecuación homogénea se utiliza la siguiente transformación: y 5 vx de donde dy 5 vdx 1 xdv

Ejemplo Resuelve la ecuación (4x 2 3y)dx 1 (2y 2 3x)dy 5 0 Solución Sustituimos y 5 vx de donde dy 5 v dx 1 x dv en la ecuación:

(4x 2 3(vx))dx 1 (2(vx) 2 3x)(vdx 1 xdv) 5 0

(4x 2 3vx)dx 1 (2vx 2 3x)(vdx 1 xdv) 5 0

Se multiplica y simplifica:

4xdx 2 3vxdx 1 2v 2xdx 1 2vx 2dv 2 3xvdx 2 3x 2dv 5 0

(2v 2x 2 3vx 2 3vx 1 4x)dx 1 (2vx 2 2 3x 2)dv 5 0

(2v 2 2 6v 1 4)xdx 1 (2v 2 3)x 2dv 5 0

2(v 2 2 3v 1 2)xdx 1 (2v 2 3)x 2dv 5 0

Se multiplica por el factor

1 x 2 (v 2 2 3v 1 2 ) 2(v 2 2 3v 1 2 ) xdx (2 v 2 3) x 2 dv 50 1 2 2 2 2 x (v 2 3v 1 2 ) x (v 2 3v 1 2 ) 2 dx (2 v 2 3)dv 1 2 50 x v 2 3v 1 2 2 dx (2 v 2 3)dv 52 2 x v 2 3v 1 2

Se integra

2∫

dx (2 v 2 3)dv 52∫ 2 x v 2 3v 1 4

2 ln x 1 C1 5 2lnuv 2 2 3v 1 2u 1 C2 2ln x 1 lnuv 2 2 3v 1 2u 5 C2 2 C1

Se hace la sustitución C3 5 C2 2 C1 y se aplican las propiedades ln a n 5 n ln a, ln x 2uv 2 2 3v 1 2u 5 C3 Se aplica la definición de logaritmo ln b 5 c quiere decir e c 5 b x 2(v 2 2 3v 1 2) 5 e C3

125

6 Capítulo


Se sustituye C 5 e C3 x 2(v 2 2 3v 1 2) 5 C De y 5 vx se despeja v, v 5

y para sustituirla en la función. x

 y2   y x 2    2 3  1 2 5 C     x  x 

 y2   y x 2    2 3  1 2 5 C     x x  

 y2  y x 2  2 2 3 1 2 5 C x x 

x 2 y 2 3x 2 y 1 2x 2 5 C 2 x2 x

y 2 2 3xy 1 2x 2 5 C

Se factoriza (y 2 2x)(y 2 x) 5 C Por tanto, la solución es (y 2 2x)(y 2 x) 5 C Existen ecuaciones que son lineales pero no homogéneas, aunque se pueden reducir a ellas, haciendo una traslación. Estas ecuaciones tienen la forma: (a1x 1 b1y 1 c1)dx 1 (a2x 1 b2y 1 c2)dy 5 0 En donde si a1b2 2 a2b1 Z 0, la ecuación se reduce a la forma homogénea (a1x 9 1 b1y 9)dx9 1 (a2x 9 1 b2y 9)dy9 5 0 Al hacer una traslación por medio de las transformaciones:

x 5 x 9 1 h

dx 5 dx 9

y 5 y 9 1 k

dy 5 dy 9

(h, k) es el punto de intersección de las rectas a1x 1 b1y 1 c1 5 0, a2x 1 b2y 1 c2 5 0 Si a1b2 2 a2b1 5 0, la ecuación se reduce a una ecuación de variables separables P(x, t)dx 1 Q(x, t)dt 5 0 Mediante la transformación a1x 1 b1y 5 t de donde dy 5

126

dt 2 a1dx b1

Capítulo 6


Ejemplos

EJEMPLOs

1

Resuelve la ecuación (2x 2 y 1 4)dx 1 (3x 1 2y 2 1)dy 5 0 Solución Tenemos la ecuación (2x 2 y 1 4)dx 1 (3x 1 2y 2 1)dy 5 0 En donde (2)(2) 2 (3)(21) 5 4 1 3 5 7 Z 0, por tanto resolvemos el sistema de ecuaciones: 2x 2 y 1 4 5 0 3x 1 2y 2 1 5 0 Al resolverlo se obtiene que el punto (h, k) 5 (21, 2), se sustituye en las fórmulas de transformación:

x 5 x 9 1 h

y 5 y9 1 k

x 5 x 9 2 1

y 5 y9 1 2

dx 5 dx 9

dy 5 dy9

Posteriormente en la ecuación dada:

(2[x9 2 1] 2 [y9 1 2] 1 4)dx9 1 (3[x9 2 1] 1 2[y9 1 2] 2 1)dy9 5 0

(2x9 2 2 2 y9 2 2 1 4)dx9 1 (3x9 2 3 1 2y9 1 4 2 1)dy9 5 0

(2x9 2 y9)dx 9 1 (3x9 1 2y9)dy 9 5 0 Se obtuvo una ecuación homogénea y se sustituye y 9 5 vx9 dy 9 5 vdx9 1 x9dv

(2x9 2 vx9)dx 9 1 (3x9 1 2vx9)(vdx 9 1 x9dv) 5 0

2x 9dx9 2 vx 9dx9 1 3x 9vdx 9 1 3x92dv 1 2v 2x 9dx9 1 2vx 92dv 5 0

2v 2x 9dx9 1 2vx 9dx9 1 2x9dx 9 1 2vx92dv 1 3x 92dv 5 0

2(v 2 1 v 1 1)x9dx 9 1 (2v 1 3)x92dv 5 0 Se multiplica por el factor:

1 x92 (v 1 v 1 1) 2(v 2 1 v 1 1) x9dx9 (2 v 1 3) x92 dv 50 1 2 2 x92 (v 2 1 v 1 1) x9 (v 1 v 1 1) 2 dx9 (2 v 1 3)dv 52 2 x9 v 1 v 11

127

6 Capítulo


Se integran ambos lados

2∫

dx9 (2 v 1 3)dv 52∫ 2 x9 v 1 v 11

2∫

dx9 (2 v 1 1 1 2 )dv 52∫ x9 v2 1 v 11

2∫

2 dv dx ' (2 v 1 1)dv 52∫ 2 2 x' v 1 v 11 ∫ v2 1 v 11

2∫

dx9 dv (2 v 1 1)dv 52∫ 2 2 2∫ 1 1  2 x9 v 1 v 11  v 1 v 1  1 1 2 4 4

2∫

dx9 dv (2 v 1 1)dv 52∫ 2 2 2∫ 2 x9 v 1 v 11 1 3   v 1  1 2 4

  3 v1   1  2  1C 2 ln x91 C1 52ln(v 2 1 v 1 1) 2 2  arc tan   2 3   3   2  2  

  2v 1 3    2   2 2 ln x91 ln(v 2 1 v 1 1) 1 2  arc tan    5 C2 2 C1 3   3      2

 2  2v 1 3   ln x92 (v 2 1 v 1 1) 1 2  arc tan   5C 3     3

Al sustituir v 5

y9 x9

   y9    2  2  x9  1 3     y9  2 y9  ln x9    1 1 1 1 2  arc tan   5C x9  3  3   x9         

  2 y91 3x9   2  2     9 9 y y x9 ln x '2  2 1 1 1 1 2  arc tan   5C x9   x9 3  3      

 2 y91 3x9   y92 1 x9y91 x '2  4 5C ln x92   1 3 arc tan  x '2  3x '  

2

Se sustituye x9 5 x 1 1, y 9 5 y 2 2  2( y 2 2 ) 1 3 ( x 1 1)   ( y 2 2 )2 1 ( x 1 1)( y 2 2 ) 1 ( x 1 1)2  4 arc tan  ln( x 1 1)2  1 2  5C  ( x 1 1)   3 3 ( x 1 1)  

128

Capítulo 6


2

Resuelve la ecuación: (x 2 2y 2 1)dx 1 (3x 2 6y 1 2)dy 5 0 Solución En la ecuación se tiene que (1)(26) 2 (3)(22) 5 26 1 6 5 0, entonces utilizamos la transformación:

a1x 1 b1y 5 t,

dy 5

dt 2 a1dx b1

x 2 2y 5 t,

dy 5

dt 2 dx dt 2 dx 52 22 2

Se sustituye en la ecuación:

(x 2 2y 2 1)dx 1 (3(x 2 2y) 1 2)dy 5 0

 dt 2 dx  (t 2 1)dx 1 (3t 1 2)  2  50  2 

tdx 2 dx 2

3 3 tdt 1 tdx 2 dt 1 dx 5 0 2 2 3 3 tdt 1 tdx 2 dt 5 0 2 2

tdx 2

2tdx 2 3tdt 1 3tdx 2 2dt 5 0

5tdx 2 (3t 1 2)dt 5 0

5tdx 5 (3t 1 2)dt 1 Se multiplica por el factor t 1 (5tdx 5 (3t 1 2)dt) t 2 5dx 5 3dt 1 dt t Se integran ambos miembros 5 ∫ dx 5 3∫ dt 1 2 ∫

dt t

5x 5 3t 1 2 ln t 1 C 5x 5 3(x 2 2y) 1 2 ln(x 2 2y) 1 C1 5x 5 3x 2 6y 1 2 ln(x 2 2y) 1 C1 1 Se multiplica por el factor 2

2x 1 6y 2 2 ln(x 2 2y) 5 C1

x 1 3y 2 ln(x 2 2y) 5 Se sustituye C 5

1 C 2 1

1 C 2 1

x 1 3y 2 ln(x 2 2y) 5 C

Por tanto, la solución es: x 1 3y 2 ln(x 2 2y) 5 C

129

6 Capítulo


Ejercicio 30 1. xdy 5 (2x 1 2y)dx

11. (x 2 y)y 9 1 (y 2 2x) 5 0

2

2.

dy 3xy 1 y 5 dx x2

3. xy

dy 5 2x 2 1 2y 2 dx

4. y 9 5 5.

12. x y 9 5

x 2 1 y2 1 y

13. (x 1 y)y 9 1 y 5 x

x2y 2x

14. x

dy y x 52 23 dx x y

y dy 5 y 1 xe x dx

15. (y 2 2 5xy)y 9 2 (xy 2 5x 2) 5 0

6. (x 2 2 y 2)y9 5 xy

16. (x 1 y 1 1)dx 1 (2x 1 2y 2 1)dy 5 0

7. (4x 2 2 5xy 1 y 2) 1 x 2y9 5 0

17. (x 1 y 2 2)dx 1 (x 2 y 1 4)dy 5 0

8. (x 2 1 y 2)y9 5 y 2

18. (x 1 y)dx 1 (3x 1 3y 2 4)dy 5 0

9. (2x 2 y)dy 5 (2y 1 x)dx

19. (2x 2 5y 1 3)dx 1 (22x 2 4y 1 6)dy 5 0

10. y 9 5

y y 1 4 sec x x


130

Solución a los ejercicios de cálculo integral

Cálculo integral

Capítulo 1

23.

4 x6 2 x 5 2 x 4 2 2x 3 2 x 2 2 3x 1 C 3

24.

ax 4 bx 3 cx 2 2 2 1 dx 1 C 4 3 2

Ejercicio 1 1. 354 5. 14 560 9. 63 853 2. 240 6. 17 10. 70 5 322 3. 2 7. 2 11. 414 4 3 4.

b 223 8. 3  1 1   2a  70

12. 81

26.

1. 57u 2 5. 2. 5u 2 6.

10 2 9 2 u 9. u 3 4 bh 2 u 2

3x 2 2 5 bx 1 C 2 a

4

5x 5 27. 5 x 2 1C 2 4

3

28. 6 x 2 2

20 x 3 1C 3 7

5

3

5

2

30.

2 y 2 3y 3 4 2 1 3 1C 5 2 3y 4

31.

3t 3 t 9t 2 t 3t t 1C 2 1 2 7 2

32.

3t 7t 1C 4

33.

( 3x 1 4 )7 1C 21

34.

(ax 2 2 b )6 1C 12 a

35.

(t 3 2 4 )3 1C 9

3

Ejercicio 3

3

3

3

12. 4 ln x 1 C

2.

x5

1 C

4 4 x3 13. 1C 3

3.

bx 4 1 C 4

14. 9 x 2 1 C

5. ax 1 C

2

x4 2 2x 3 2 7x 1 C 4

7

Capítulo 2

3x 3 1 C 3

3 a 1b

2

2 y 2 15 y 3 8 y 4 2 y 2 29. 1C 2 2 2 7 7 5 3

7 2 u 8. 2u 2 2

4.

2

10. 242u 2

32 2 3. u 7. 12u 2 3

x7 1. 1 C 7

x3

3 5

Ejercicio 2

4.

25.

3

5

15.

5x x3 1C 8

16. 3a

3

x 1C

36. 2

(a 2 by)5 1C 5b

6.

3 x 1 C 4

17.

5 ln x 1 C 2

37.

t5 2 4t 3 1 36t 1 C 5

7.

1 x 1 C 3

18.

2 x bx 1C 3

38.

x4 8x3 1 1 8x 2 1 C 4 3

8.

3x 3 x 1 C 4

19.

15 x 2 3 2 3x x 1 C 2

39.

x 6 3x 5 3x 4 x 3 1 1 1 1C 6 5 4 3

40.

2( m 1 ny) m + ny 1C 3n

9. 4x

4

x 1 C

3

20. 2

3 2 1 2 6 ln x 1 C 4 x4 x

3

10. 2

1 1 C 2x2

21.

3t 3 at 1C 4

41.

2(5 x 2 3) 2 1C 15

11. 2

5 1 C 3x 3

22.

2t 6t 1C 3

42.

1 at 2 1 b 1 C a

132

Solución a los ejercicios

43.

13 (9 x 2 1)2 1 C 6

64. 2

44.

x 2 16 x x 2 1 16x 1 C 2 3

65.

45. 2

1 2

18( 3x 2 4 )

1C

3

1 1C 2(1 2 cos2 x )2

1 sen3 bx 1 C 3b

66. 2

cot 2 mx 1C 2m cos 3 4 x 1C 12

46. 2

5 1C 3( 3x 2 4 )

67. 2

47. 2

2 1C 3(2 x 2 1 5 )3

68.

(

69. 4x 2 ln(x 1 2)6 1 C

48. 49.

2

x 2b 3

)

3

1C

70.

1 ln(at 1 b) 1 C a

1 50. lnu3x 2 2 4u 1 C 6

1 1C ( x 2 2 3x 1 6 )

2( x 3 2 6 x 1 3) 54. 9 55. 2

56. 2 57. 2 58. 2

59. 2

( 4 2 ln ux 1 3u)4 1C 4 4

3 2

)

3 2

1C

75. 2

1 csc 3x 1 C 3

76. 2

1 3 1 1 4 ln(x 1 1) 1 C ( x 1 1)2 x 1 1

77. ln

( x 1 2 )3 1C ( x 1 5 )4 3

5

78. ln (2 x 2 1) 2 ( 3x 2 4 ) 3 1 C 79. 23 3 cos x 1 C

1C

1 lnu1 2 sen axu 1 C a

(

3

1C

60. 2 1 2 sec 2 x 1 C 61. 2

1  1  1 2 2  x 3 

1C

(1 2 e3 x )3 1C 9

2( 3 1 cot x ) 3

1 lnuln 3xu 1 C 2

2(ax n 11 1 b ) 2 73. 1C 3a(n 1 1) 74.

3 2

1 1C;mZ1 an( m 2 1)(ay n 1 b )m 21

(1 2 sen 4 x ) 16

1 1C ln y

3

52. lnux 2 2 3u 1 C 53. 2

3x 2 1 3x 1 lnu(x 2 1)5u 1 C 2

71. 2

72.

51. lnux 1 3u 1 C

2 sen 5 x 1 4 1C 5

62.

4 x e 21 3

63.

(2 1 ln usen xu)2 1C 2

1C

80.

2 sen5 x 1 C 5

81. 2 12 cot w 1 C 82. 2

3 2 cos2 y 2 1 1 C 2

83. 2 12 cos a 1 C 84.

133

7 4 tan 4 x 1 C 7

Cálculo integral Ejercicio 4 1.

Ejercicio 5

1 4x e 1 C 4

19. 2

1 e 2

20. 2

1 1C 4 8 e2 t

x

2. 16 e 2 1 C

1 sec 2 x

1C

1 ax 1 b e 1 C a

21.

4.

2 e 3

x 2   x 22. 2  e 2 2 2 e 4  1 C  

1 C

1 5. e 3x 1 C 3

1 4 23. e6 x 2 e 3x 1 4x 1 C 6 3

1 6. 2 e cos 4x 1 C 4

5x 24. 1C ln 25

2 7. e x3 1 C 3

1 4x 25. (e 2 e 24x) 2 2x 1 C 4

8.

b4 x 1 C 4 ln b

2.

4.

1 sen 6x 1 C 6

6. 2 7.

1 tan 3x e 1C 3

9. 24 csc

5x 1C 3 ln 5

10. 2

10.

2 x ex 1 C 1 1 ln 2

28.

10 3x 2x 2 1C 3 ln 10 ln 2

11.

13. 2

1 1 C 5 4 x ln 625

 x 1 nx  29. n  e n 2 a 1C ln a   30.

31. 2

1 2x1C aeax

32.

3 3 4x 15. e 1 C 4

1 arc sen 2x 33. e 1C 2

1 x3 e 1 C 3

17. e x 2 2 3x 1 1 1 C

18. 2

5 5

2 e2 t

1 C

2 (csc 3x 2 cot 3x) 2 x 1 C 3

22.

2 (tan 5x 1 sec 5x) 2 x 1 C 5

23.

1 [sen2 x 2 2 cos x] 1 C 2

24. 2

1 sen(2 2 x 2) 1 C 2

25. lnucsc x 2 cot xu 1 cos x 1 C 26. sen x 2 cos x 1 C 27. lnucos x 2 1u 1 C p  28. cot  2 x  1 C 3  29. 2cot w 1 C

2e cos2 x

31. 2

1 cot3 x 1 C 3

32.

2 sen x (cos2 x 1 4 ) 1C 5

33.

1 lnu1 2 4 cot wu 1 C 4

14.

3 tan 4x 2 1 C 8

34.

2[ x cos x 2 2(sen x 2 1)] 1C cos x

1C

34 x ( 3 ⋅ 34 x 1 8 ⋅ 32 x 1 6 ) 1C 24 ln 3

1 (2 tan x 2 x) 1 C 2

1 sec ax 1 C a

1 cot(3x 2 1) 1 C 3

 y 35. 22ln cot   1 C  2

16.

1 lnusen(ax 2 b)u 1 C a

36. ln sec 2a 1 C

17.

1 lnusec ax 1 tan axu 1 C a

37. 2 sen 2 u 1 1 1 C

18.

1 lnucsc 4x 2 2 cot 4x 2u 1 C 8

38. 2

1 cos(e 2x ) 1 C 2

39. 2

1 cos(ln x 2) 1 C 2

34. e arc tan x 1 C

35.

1 csc2 x 1 C 2

30.

13.

15. 2

1

1 cos 4x 2 1 C 8

x3 5 sen 1 C 3 5

12. 2

1 2x (e 1 5e 22x) 1 C 2

1 2 14. 2 e x 1 C 2

16. x 3 2

t 1 C 4

21.

3

27.

2 3x e 1 C 3

1 cot ax 1 C a

8. sec x 1 C

32 x 1 C 2 ln 3

12.

x 1 C a

1 tan bx 1 C b

9.

11. 3 3 e x 1 C

x 1 C 4

1 lnusec bxu 1 C b

5. a tan

2

26.

1 cos 5x 1 C 5

3. 24 cos

4 x ⋅ e2 x 1C 2 1 ln 4

3.

3x

1. 2

19. 22 csc x 1 C 20.

134

1 (tan bu 2 cot bu) 1 C b

40.

2 ln sec x 1 tan x 1 C 3

Solución a los ejercicios Ejercicio 6 1.

2.

1  x arc tan   1 C  9 9 1  y arc tan   1 C  b b2

1 y24 3. ln 1 C 8 y14

13.

14.

1 5 1 2x 1 C ln 20 5 2 2 x

5.

2 ln 16

6.

1 x24 1 C ln 72 x 1 4

18.

7.

1 3x 1 C arc sen 3 5

19.

8.

1 ln 2 x 1 4 x 2 2 7 1 C 2

20.

9.

1 2x 1 C arc sec 3 3

11.

12.

25.

26.

27.

1  ln x  1C arc tan   2  2

32. 2

1 1 1 sen x 1C ln 2 1 2 sen x

16.

34.

5 3 arc sen(x) 1 C 3

(

)

5 x 1 5 x 2 2 16 1 C

5  5 1 cos 2t  1C ln 20  5 2 cos 2t 

(

)

t ln( 3t ) 2 2 t ln ( 3t ) 1 4 1 2 ln t ln( 3t ) 1 t 2 ln 2 ( 3t ) 1 4 1 C 2

Ejercicio 7

)

1.

ex 1 4 1 x 1 C 8. 3 ln x 1C ln e 15 6 x16

 2 5y  1 arc sen   1C 2  5 

2.

1 x 1 2w 2 3 ln 1 C 9. ln 1C 8 x18 7 w25

1 5 1 ay ln 1C 10 a 2 5 2 ay

3. ln

x12 1 C x13

10.

3 ln 3 t 1 3t 2 1 5 1 C 3

4. ln

2x 1 1 1 C x 11

11.

21.

10 10 y 1 5 ln 1C 20 10 y 2 5

5.

1 x22 1 C ln 9 x17

12. x 1

22.

3 ln 3x 1 3x 2 1 4 1 C 3

6.

1 2x 1 1 1 C ln 7 x14

13.

3 sen x 2 3 2 3 ln 1C 6 sen x 2 3 1 3

7.

1 ax 1 3 1 C ln 2a ax 1 5

14.

5  5w 2 11  arc sen   1C  5 9 

15.

1 ln 2x 2 1 1 4x 2 2 4x 1 3 1 C 2

 e2 x  e2 x 1C 16 2 e4 x 1 4 arc sen  4  4 

16.

3 ln 3z 1 2 1 9 z 2 1 12 z 1 C 3

x 2 arc sen 2 x 1 C 12 2x2 1 2 4

17.

2 ln 4 x 1 1 1 2 4 x 2 1 2 x 1 C 2

2x 2 4 1 C 2x 1 4

2 ln x 1 x 2 2 4 1 C 2

17. 2 ln

 b2 x  4 arc tan  1 C bm  m 

23.

v2 2 b2 1 ln 2 1 C 2 v 1 b2 2b

24.

2

ex 1 ex 1 4 1 C

x 1 arc tan 2 1 C b2 b 1 2y 1C arc sen 2 2

 10 m  5 arc sen   1C  20 

(

)

(

)

 7xm  2 7 m 2m 2m 29.   49x 1 4 1  7m  ln 7x 1 49x 1 4 1 C 2 m      14 t  14 arc tan   1C 14  7 

1 2a 2 1 1C ln 11 a 2 5  7 ( x 2 1)  7 arc tan   1C 7 7   1 ex 2 1 1C ln 4 ex 1 3

18. ln 2 ln x 1 7 1 2 ln 2 x 1 7 ln x 1 6 1 C

a2  2 x11  28.  4 x 2 14 x112a 2 2 ln 2 x111 4 x 2 14 x112a 2 1 C  4  4

30.

(

33. 2arc tan(cos x) 1 C

 x2  1 15. arc sen   1 C 2  3

4.

10.

2 5  3 31.   5 x 2 2 16 1   ln  5  5 

19. ln 2 w 2 9 1 2 w 2 2 9 w 1 5 1 C

20.

x12 2 7 x 1 4 x 2 3 2 ln x 1 2 + x 2 1 4 x 2 3 1 C 2 2

21.

 41( 4 x 1 3)   4 x 1 3  41 2 2 arc sen   1  8  4 2 3x 2 2 x 1 C 32 41  

135

Cálculo integral

9  2 x 2 3  2 x 2 3 3x 2 x 2 1 arc sen  22.  1C  4   3  8 23.

41. 3 x 2 2 4 1 2 ln x 1 x 2 2 4 1 C

( 3x 2 2 ) 3x 2 2 4 x 2 3 2 ln 3x 2 2 1 9 x 2 2 12 x 1 C 6 9

42. 2

11 3x 1 4 2 9x2 1 C arc sen 2 3 2 3

 2x 2 2 1  4 81 x 2 x 2 2 20 2 ln 2x 2 2 1 1 2 x 4 2 x 2 2 20 1 C 24.  16  8 

43.

5 1 ln 4 x 1 16 x 2 1 25 2 16 x 2 1 25 1 C 4 8

121  2x 1 5   2x 1 5  24 2 5 x 2 x 2 1 arc sen  25.  1C  4   11  8

44.

 14 x  3 7 2 2 x 2 1 2 2 arc sen   1C 2  7 

23  2 x 1 3 2 x 1 3x 1 8 1 ln 2 x 1 3 1 2 x 2 1 3x 1 8 1 C 26.   8  16

45.

129 (10 x 1 129 2 7 )67 2 ln 2580 (10 x 2 129 2 7 )67 1

27. 2 ln

28.

46. 5 x 2 1 3x 2 5 2

x 2 2 1 x 2 4 x 2 21 1 C

 enx 2 1  1  enx 2 1  3 1 2 enx 2 e2 nx 1 2 arc sen  1C   n  2   2  

47.

31.

32.

33.

)

2  4w 2 5  arc sen  1C  5  2

(

)

5 ( x 1 1) 1C 5

( 4 x2 2 2 ) x2 2 3 x 1 4 21 7 e 49. ln 1C 2 (2 x 2 3 1 x 2 2 3x 1 4 )21

(16 x 2 1 84 x 2 2 ) x 2 1 7 x 1 6

2 a ln 2 ax 1 3 1 2 ax 1 3 ax 1 2 1 C a

175 175 e 50. ln 1C 16 (2 x 1 7 1 2 x 2 1 7 x 1 6 )−1

3 ln 3 (6 y 1 13) 1 6 3y 2 1 13y 2 10 1 C 3

Capítulo 3

1 ( x 1 1) ln 1C 2 ( 3x 1 1)7 11

34.

1C

2 13 2 4 x 1 5 1 8 2 x 1 5 x 2 1 ln 1C 2 x 1 x 22 2 4 10 8 13 e

48. 25 4 2 2 x 2 x 2 2 4 arc sen

(

129

37 ln 2x 1 3 1 2 x 2 1 3x 2 5 1 C 2

29. ln 2y 1 1 1 2 y 2 1 y 1 1 1 C 3  3x + 2  ln 3 3x 2 1 4x 1 1 1 3x 1 2 1 C 3x 2 1 4x 1 1 2 30.   6  18

129

Ejercicio 8 1 sen4 4x 1 C 16

35. 2

1 lnu(3 2 x)5(3 1 x)13u 1 C 6

1.

36. 2

1 lnu(3x 1 4)5(3x 2 4)2u 1 C 9

2. 2

37. ln

ex ( x 2 3 2 2) ( x 1 3 2 2)

6 317 2

6 327 2

1 cos6 3x 1 C 18

3.

1 1 cos3 ax 2 cos ax 1 C 3a a

4.

1 1 cos3 5x 2 cos 5x 1 C 15 5

5.

4 x x cos3 2 4 cos 1 C 3 4 4

1C

38.

73 ln (6 x 1 5 1 73 ) 438

39.

1 ( x 2 6 )11 ln 1C 5 ( x 2 1)6

6. sen x 2

40.

1 4 101 2 x 1 9 2 101 ln x 2 1 9 x 2 5 1 ln 1C 3 101 2 x 1 9 1 101

7.

73 1 17

(6 x 1 5 2 73 )

73 2 17

1C

136

sen 3 x 1C 3

1 sen 3ax sen ax 2 1C a 3a


8.

sen 3 6x 1 sen 6x 2 1C 18 6

9. 3 sen

x x 2 sen3 1 C 3 3

10. 2cos x 1

2 1 cos3 x 2 cos5 x 1 C 3 5

 1  cot 4 6 x cot 2 6 x 5. 2  2 2 ln sen 6 x  1 C 6 4 2  y 1 y y 1 6. 24  cot 4 2 cot 2 2 ln sen  1 C 4 4 2 4 4 7.

1 1 1 tan 4 5 x 2 tan 2 5 x 1 ln sec 5 x 1 C 20 10 5 1 1 cot 3 5 x 1 cot 5 x 1 x 1 C 15 5

1 2 1 11. 2 cos ax 1 cos3 ax 2 cos5 ax 1 C a 3a 5a

8. 2

1 1 1 12. 2 cos 4 x 1 cos3 4 x 2 cos5 4 x 1 C 4 6 20

9.

1 1 tan 3 6 x 2 tan 6 x 1 x 1 C 18 6

x 4 x 2 x 13. 22 cos 1 cos3 2 cos5 1 C 2 3 2 5 2

10.

1 2 1 4 4 tan 3x 1 cot 2 3x 1 ln sen 3x 1 ln cos 3x 1 C 5 6 6 3 3

2 1 14. sen y 2 sen 3 y 1 sen 5 y 1 C 3 5

1 2 1 4 tan 3x 1 cot 2 3x 1 ln sen 6 x 1 C 6 6 3

11.

1 3 tan 2 y 1 C 6

15.

1 2 1 sen bx 2 sen 3bx 1 sen 5bx 1 C b 3b 5b

x x 3 x 16. 3 sen 2 2 sen 3 1 sen 5 1 C 3 3 5 3 17.

1 3 cos 7 u 2 cos5 u 1 cos 3 u 2 cos u 1 C 7 5

18.

1 1 1 1 cos7 3 x 2 cos5 3 x 1 cos3 3 x 2 cos 3 x 1 C 3 3 21 5

1 3 19. 2 sen 7 y 1 sen 5 y 2 sen 3 y 1 sen y 1 C 7 5 1 3 1 1 20. 2 sen 7 4 x 1 sen 5 4 x 2 sen 3 4 x 1 sen 4 x 1 C 28 20 4 4 1 1 21. 2 cos6 4 x 1 cos8 4 x 1 C 24 32 22. 23.

1 6 1 sen x 2 sen8 x 1 C 6 8  2sen 2 2 x sen 4 2 x  sen 2 x  1 2 1 1C  5 9 

Ejercicio 9 1.

1 1 tan 2 5 x 1 ln cos 5 x 1 C 10 5

1 12. 2 cot 3 3y 1 C 9 Ejercicio 10 1.

1 1 tan 3x 1 tan 3 3x 1 C 3 9

2.

1 1 tan ax 1 tan 3 ax 1 C 3a a

x x 3. 6 tan 1 2 tan 3 1 C 6 6 1 1 4. 2 cot 9 x 2 cot 3 9 x 1 C 9 27 1 1 5. 2 cot bx 2 cot 3bx 1 C b 3b x 7 x 6. 27 cot 2 cot 3 1 C 7 3 7 7.

3 2x 1 2x tan 1 tan 3 1C 2 3 2 3

4 5x 4 5x 8. 2 cot 2 cot 3 1C 5 4 15 4 9.

1 1 tan 3 8 x 1 tan 5 8 x 1 C 24 40

10.

1 1 tan 3 ax 1 tan 5 ax 1 C 3a 5a

1 1 3. 2 cot 2 4 x 2 ln sen 4 x 1 C 8 4

11.

7 3x 7 5x tan 1 tan 1 C 3 7 5 7

3 x x 4. 2 cot 2 2 3 ln sen 1 C 2 3 3

12.

1 3 5x 3 5x tan 1 tan 5 1 C 5 3 25 3

2. tan 2

x x 1 2 ln cos 1 C 2 2

137

Cálculo integral

13.

1 1 sec5 5 x 2 sec3 5 x 1 C 25 15

3 1  34. 2cot x  cot 6 x 1 cot 4 x 1 cot 2 x 1 1 1 C 7  5

14.

1 1 sec5 bx 2 sec3 bx 1 C 5b 3b

35.

15.

6 5x x sec 2 2 sec 3 1 C 5 6 6

Ejercicio 11

16.

7 4x 7 4x sec5 2 sec3 1C 20 7 12 7

1.

1 1 x 2 sen 6 x 1 C 2 12

1 1 tan x 2 2 tan 3 x 2 1 C 2 6

17. 2

1 1 csc 5 bx 1 csc 3 bx 1 C 5b 3b

2.

1 1 x 2 sen 2ax 1 C 2 4a

18. 2

1 1 csc 5 4 x 1 csc 3 4 x 1 C 20 12

3.

1 5 2 x 2 sen x 1 C 2 4 5

x 2 x 1 x 19. 2 tan  1 1 tan 2 1 tan 4  1 C 2 3 2 5 2

4.

1 1 3 x 2 sen x 1 C 2 3 2

2   3u  1  3u   20. 2  cot   1 cot 3    1 C  2  3  2  3

5.

1 1 x 1 sen 10 x 1 C 2 20

6.

1 1 x 1 sen 2bx 1 C 2 4b

2 1   22. tan x  1 1 tan 2 x 1 tan 4 x  1 C   3 5

7.

1 7 2 x 1 sen x 1 C 2 4 7

1 23. tan a 2 tan 5 a 1 C 5

8.

1 1 x 1 sen 7 x 1 C 2 14

9.

3 1 1 x 2 sen 16 x 1 sen 32 x 1 C 8 32 256

1 1 25. 2 cot ( 3x 2 1) 2 cot 3 ( 3x 2 1) 1 C 3 9

10.

3 1 1 x 2 sen 2ax 1 sen 4 ax 1 C 8 4a 32a

26.

1 5 2 sec x 2 sec 3 x 1 sec x 1 C 5 3

11.

3 7 2 7 4 x 2 sen x 1 sen x 1 C 8 4 7 32 7

27.

1 3 sec 2 x 1 C 6

12.

3 1 3 1 x 2 sen x 1 sen 3 x 1 C 8 3 2 24

13.

3 1 1 x 1 sen 18 x 1 sen 36 x 1 C 8 36 288

14.

3 1 1 x 1 sen 2bx 1 sen 4bx 1 C 8 4b 32b

15.

3 3 2 3 4 x 1 sen x 1 sen x 1 C 8 4 3 32 3

16.

3 3 10 3 20 x 1 sen x 1 sen x 1 C 8 20 3 160 3

1 1 32. 2 cot (2 x 2 1) 2 cot 3 (2 x 2 1) 1 C 2 6

17.

5 1 3 1 x 2 sen 2 x 1 sen 4 x 1 sen 3 2 x 1 C 16 4 64 48

10  u  u   u  33. 2cot   ⋅  5 1 cot 2   1 cot 4    1 C  5  5   5  3

18.

5 1 3 1 x 2 sen 8 x 1 sen 16 x 1 sen 3 8 x 1 C 16 16 256 192

21.

24.

2 1 3 3 3  tan x 1 tan x  1 C 3 3

1 1 tan 2t 1 tan 3 2t 1 C 2 6

1 2 1 28. 2 csc 7 x 1 csc5 x 2 csc3 x 1 C 7 5 3 29.

1 2 1 sec 7 3 x 2 sec5 3 x 1 sec3 3 x 1 C 21 15 9

2 1  30. 2 tan x  tan 4 x 1 tan 2 x 1 1 1 C 9  5 31.

1 2 t 1 t tan 3t 1 2 cot   1 tan 3 3t 1 cot 3   1 C  2 9  2 3 3

138


19.

5 1 3 1 x 2 sen 2ax 1 sen 4 ax 1 sen 3 2ax 1 C 16 4a 64 a 48a

4.

20.

5 1 3 1 1 x 2 sen x 1 sen x 1 sen 3 x 1 C 16 2 16 12 2

5. 2

21.

5 1 3 1 x 2 sen 5 x 1 sen 10 x 1 sen 3 5 x 1 C 16 10 160 120

22.

5 1 3 1 x 1 sen 2 x 1 sen 4 x 2 sen 3 2 x 1 C 16 4 64 48

7.

23.

5 1 1 1 x 1 sen 6 x 1 sen 12 x 2 sen 3 6 x 1 C 16 12 64 144

10 17 10 7 sen  w  1 sen  w  1 C  20   20  17 7

8.

24.

5 1 3 1 x 1 sen 2bx 1 sen 4 bx 2 sen 3 2bx 1 C 16 4b 64 b 48b

x cos 2b sen 2 mx 2 1C 2 4m

9.

x cos 8 sen 6 x 2 1C 2 12

10.

1 1 1 cos 6 w 2 cos 4 w 2 cos 2 w 1 C 24 16 8

25.

5 1 3 1 x 1 sen x 1 sen 2 x 2 sen 3 x 1 C 16 2 32 24

26.

5 5 4 15 8 5 4 x 1 sen x 1 sen x 2 sen 3 x 1 C 16 8 5 128 5 96 5

27.

5 1 3 1 x 1 sen 2 x 1 sen 4 x 2 sen 3 2 x 1 C 48 16 4 64

28.

3 1 1 x 2 sen 6 x 1 sen 12 x 1 C 8 12 96

29.

1 1 3 1 1 y 2 sen 2 y 1 C 5 y 2 sen y 1 sen 2 y 1 C 2 4 8 2 16

30.

1 ( x 2 sen x cos x ) 1 C 2

31.

3 1 1 x 1 sen 6 x 1 sen 12 x 1 C 8 12 96

32. x 1 sen x 1 C 19 1 33. a 2 6 sen a 1 sen 2a 1 C 2 4 5 3 1 34. x 2 sen 2 x 2 4 cos x 1 cos 3 x 1 C 2 4 3

1 1 sen 10 y 1 sen 4 y 1 C 20 8 1 1 cos 7 x 1 cos 3x 1 C 14 6

3  7a   a 6. 2 cos   2 3 cos   1 C  6   6 7

Capítulo 4 Ejercicio 13 1.

2.

1 ln 6

x 2 1 36 2 6 1C x

w 5 w2 1 5 y

3. 2

y2 1 3

1C

1 ln

(

)

y2 1 3 1 y 1 C

2  x  x 16 2 x 4. 8 arc sen   2 1C  4 2

y 2 1 25 1C 25 y

5. 2

(36 2 25 x 2 )5 1C 180 x 5

35.

x b 4x 2 sen   1 C  b 8 32

6. 2

36.

3 u 3  2u   u  u 2 sen   1 4 cos 2   1 3 sen   1 C  3  3  3 2 4

2  a 2 2  (a 1 6 ) 4a 2 a 7. 6 arc sen  2 1C   2  2

37.

35 1 7 1 1 x 1 sen 2 x 1 sen 4 x 2 sen 3 2 x 1 sen 8 x 1 C 128 4 128 24 1024

1 ln 4

9.

( x 2 1 32 ) x 2 2 16 1C 3

Ejercicio 12 1.

1 sen x sen 5 x [ 5 sen x 2 sen 5 x ] 1 C 5 2 1C 10 2 10

1 cos 4 x cos 2 x 2. 2 [cos 4 x 2 2 cos 2 x ] 1 C 52 1 1C 8 8 4 3.

1 1 sen 4 x 2 sen 6 x 1 C 8 12

25 x 2 1 16 2 4 1C 5x

8.

10. 2

11.

139

 5 u 5 2 u2 2 arc sen   1C u  5 

x 2 1 16 1 4 ln

x 2 1 16 2 4 1C x

Cálculo integral

13.

11. x 2(ln x 2 2 1) 1 C

7 2 x2 1C 7x

12. 2

y 9 2 y2

y 2 arc sen 1 C 3

14.

5 3 1 (3 2 y 2 ) 2 2 (3 2 y 2 ) 2 1 C 5

15.

2 x 2 3 ( x 1 9) 6 x 2 x 27 arc sen 2 1C 2 3 2

(w 2 2 14) w 2 1 7 1C 16. 3  3 x   2x3 1 9x  27 2 17. arc sen   2  3 2 x 1 C 8 8  3  

18.

 11x 2 2 121  x 2 2 11 11 arc tan  1C 1 242 11 22 x 2   3

( 3x 2 2 8 )( x 2 1 4 ) 2 19. 1C 15  2 ( ln w 2 2 )  2 20. 2 arc sen   2 4 1 4 ln w 2 ln w 1 C 4  

12.

1 x6   ln x 2  1 C 6 6

13.

1 x5   ln 5 x 2  1 C 5 5

14.

1  x n 11  ln x 2 1C n 1 1  n 1 1 

15. e x (x 2 2 2x 1 2) 1 C 16.

2 e3 y  2 2  y 2 y 1  1 C 3  3 9

17.

3 e4 x  3 3 2 3  x 2 x 1 x 2  1 C 4  4 8 32

18. 2

2 2 x2 cos 3x 1 cos 3x 1 x sen 3x 1 C 3 27 9

19. 2

2 2 x2 cos bx 1 3 cos bx 1 2 x sen bx 1 C b b b

x x x x 20. 2 x 3sen 1 12 x 2 cos 2 96 cos 2 48 x sen 1 C 2 2 2 2 1 1 21. 2 x cot ax 1 2 ln sen ax 1 C a a 22.

Ejercicio 14

1 1 y tan my 2 2 ln sec my 1 C m m

1.

1 3x  1 e  x 2  1 C 3  3

23. x arc cos ax 2

1 1 2 a2 x 2 1 C a

2.

1 ax  1 e  x 2  1 C a  a

24. x arc sen bx 1

1 1 2 b2 x 2 1 C b

25. x arc tan ax 2

1 ln(1 1 a 2 x 2 ) 1 C 2a

x

3. 3e 3 (x 2 3) 1 C x 1 4. 2 cos 5 x 1 sen 5 x 1 C 5 25

26. x arc sen mx 2

x 1 5. 2 cos ax 1 2 sen ax 1 C a a

x n 27. x arc cot 1 ln n 2 1 x 2 1 C n 2

x x 6. 24 x cos 1 16 sen 1 C 4 4

28.

1 2u e (sen 2 u 2 cos 2 u ) 1 C 4

7.

x 1 sen 4 x 1 cos 4 x 1 C 4 16

29.

1 3x e ( 4 sen 4 x 1 3 cos 4 x ) 1 C 25

8.

x 1 sen bx 1 2 cos bx 1 C b b

30.

2(5t 2 6) 5t 1 3 1C 75

x x 9. 3x sen 1 9 cos 1 C 3 3 10.

1 x3   ln x 2  1 C 3 3

32. 2

1 ln mx 1 m 2 x 2 2 1 1 C m

24 x 2 1 8 x 1 1 1C 96(2 x 1 1)4

31. 2

33. ln y[ln(ln y ) 2 1] 1 C

3 1 34. 2 (2 x 2 2 2 x 1 1)e2 x 1 x 3e2 x 1 C 8 2

140

( 3ax 1 b ) 1C 6 a 2 (ax 1 b )3


35. 2 x arc cos x 2 2 1 2 x 1 C 36.

2 2x 1 e cos x 1 e2 x sen x 1 C 5 5 2

14.

1 ( y 2 3)( y 2 1) ln 1C 2 ( y 2 2 )2

15.

4 1 x 1 ln 1C x 23 3 x 23

2

37. y(arc cos y ) 2 2(arc cos y) 1 2 y 2 2 y 1 C

w2 21 1C w

12 12 x2 arc cos x 38. 2 2 ln 1C x x

16. 3 ln

1  w 39. 2 w 16 2 w 2 1 8 arc sen   1 C  4 2

17.

1 ln ( x 2 2 )6 (2 x 1 1)5 1 C 2

18.

1 3 ln[(w 2 6 )3 (w 1 6 )] 2 1C 4 w26

19.

1 (4 x 2 1)3 ln 1C 3 3x 21

20.

1 ln 10

40.

1 1 1 x 2 x cos 2(ln x ) 2 x sen 2(ln x ) 1 C 5 2 10 5

2 1 x cos(ln x 2 ) 1 x sen 2 (ln x ) 2 x sen(ln x 2 ) 1 C 5 5

Ejercicio 15 2

1. ln

2. ln

x ( x 1 2) 1C ( x 1 1)3 3 2

1 2

(2 x 1 1) (2 x 2 1) 1C x

1 3

( x 1 4) (3 x 1 2)

21. 25 ln

1 3

2

2 1C x14

( x 2 3)2 1C ( x 2 5 )3

( x 2 3)4 ( x 2 2)2 3. ln 1C x5

22.

595 x 3 27 2 211 1 x 1 ln 4 x 2 1 1 C x1 6 16 32 128

( x 2 2 )3 4. ln 3 1C x ( x 1 2 )2

23.

x2 1 ln 1C 32 16 2 x 2

24.

1  x 25 (2 2 x )9  ln 1C 30  ( x 1 3)34 

25.

1 1 ln 1 2 m 1 C 12 m

26.

1 y25 1 ln 2 1C 20 y 1 5 2( y 1 5)

3 1 2 1C ( x 2 2 ) ( x 2 2 )2

27.

1 x 2 ln 2 1C 18 x 1 6 3( x 1 6)

2 1 2 1C ( x 2 3) ( x 2 3)2

28.

1 8x 11 ln 2 x 2 1 2 1C 8 16(2 x 2 1)2

29.

x2 60 x 2 2 105 x 1 49 1 4x 2 1 10 ln x 2 1 1 C 2 6( x 2 1)3

5. ln

x ( x 1 3) 1C ( x 2 3)2

6. ln x 2 ( x 2 1)( x 1 2 )4 1 C 5

2

7. ln x (2 x 2 1) ( x 2 3) 1 C 5

(2 x 1 3) 2 2 8. ln 2 1C ( x 1 2)3 x+2 2

9. ln( x 2 2 ) 2

2

10. ln( x 2 3) 2

11. ln 12.

( x 1 1)2 1 2 1C x x 11

1 y2m ln 1C m2n y2n

13. w 2 5 ln

w24 1C w25

30. ln x 2 2 9 2

31.

141

9 1C 2 x 2 2 18

1 1 7 3  x22 1 1 1 ln 8 x 2 4 x 8( x 2 2 ) 16  x

 1C 

Cálculo integral Ejercicio 16 1. ln

Ejercicio 17

m 11 1 2 1C m m

2.

m2 1 ln 1C 2 m2 11

3.

x3 1 x4 1 ln 2 1C 3 3 ( x 2 6)11

(

5.

1 y22 1  y ln 2 arc tan   1 C  2 4 y12 2

6.

x2 8  x 1 x 2 4 ln x 2 1 9 2 arc tan   1 C  3 2 3

8.

2  9  23 3  x 2 ln x 1 1  1 C 2 

2.

3 5 53 5 x 2 ln x 5 1 1 1 C 3 3 5

 x2  1 1  x 4. 2 x 1 arc tan   1 ln  1C 2  3  x 2 1 9  2 x 2 1 9 3

7. 2 ln

1.

)

21x  x 1 2 arc tan   1 C  2 22x

2

(3 x 1 1) 3 (3 x 1 1) 3 3. 2 1C 15 6 4.

2  2 2 2    1 2 1 1 x 3   1 1 x 3  2  1 1 x 3  1 1 1 C 5 3      

1  1  5. 6  x 6 2 arc tan x 6  1 C   5 1 1 1 1  1  1 6. x 6 x 3 1 4 2 5 x 6  x 3 2 6  x 3 1 4 2 120 ln x 6 1 x 3 1 4 1 C   1

1

1

7. 2 x 1 3x 3 1 6 x 6 1 6 ln x 6 2 1 1 C

1 2 ln y 2 1 1 2 2 1C y 11 2

1

66 7 6

2

3

9.

1 ( x 2 2) ( x 1 2) ( x 1 1) ln 1C ( x 2 1)5 6

10.

 3 ( x 1 1)  1 3 ( x 2 2 )2 ln 2 2 arc tan   1C 24 x 1 2 x 1 4 12 3  

11.

y2 1 1 1 y2 ln 2 1C 4 1 2 y2 2

12. 2 ln uxu 1

 2 x 5 2 arc tan   1C 2  2 

13. ln ( x 2 1 1)( x 2 1)3 2

1

1 3 2 3 67 3 65 1 1 3 1 x 2 x 1 x2 2 x6 1 arc tan 2 x 6 1 C 7 10 4 8 16

1

15. ln

x24 3 1 1 1 1C x 2 2 4( x 2 2) 4( x 2 4)

16.

 3 ( x11)  1 5 3 ( x12 )2 x14 ln 2 1 arc tan   1 24 ( x 2 12 x14 ) 1C 32 x 12 x14 144 3  

17.

x28 1  x 1 arc tan   1 ln  2 8( x 2 1 4 ) 16

x 2 1 4 ( x 1 1)3 1 C

 5 x 1 5 3 18. ln ux 4 (x 2 1 5 )u 1 arc tan  1C 1 2 2 5  5  2( x 1 5 ) 19. 2

5 x 1C 5

11. 4 x 2 2 5 arc tan

9 2  x 1 1 2 2  1  3x 1 1  14. ln 2 +C 16  x 1 1 1 2  4  x 2 1 2 x 2 1 

 5 x ( 3x 2 1 10 ) 3 5 1 arc tan   1C 50 x ( x 2 1 5 ) 250  5 

20. No se incluye solución por ser demostración.

2 x 6 21

1 1 1  1  x4 2 3 9. 2 x 4  x 4 1 4  1 14 ln x 2 2 2 x 4 2 3 1 13 ln 1 1C   x 4 11

10.

1 1 2x 1C 2( x 2 1 1)

arc tan

1 1 1 7 3 2 ce 7 8. x 3 1 2 x 2 2 3x 3 2 18 x 6 1 ln 1C 3 1 1 2  3  6 x 2 x 1 2  

1

1

12. 2( x 2 3) 2 2 4 ( x 2 3) 4 1 4 ln ( x 2 3) 4 1 1 1 C

13. 2 t 1 2 2

2 ln 2

t 12 2 2 t 12 1 2

1C

14 a 15. No se incluye solución por ser demostraciones. Ejercicio 18 1. 2

2. 2

3.

142

4 1 3y 2 3 (2 1 y 2 )3

1C

3 1 (15 x 2 1 14 )( 7 2 5 x 2 ) 2 1 C 375

4  x 3 1 36   1C 9  4 90 1 x 3   


4.

5 3 (20 x 2 2 9 )( 3 1 4 x 2 ) 3 1 C 1280

5.

x x2 11 1 2 ln x 2 1 1 1 x 1 C 2 2

 4 1 3x 4 2 2  6. 2 ln  e  4 1 3x 4 1 2 

7.

1  ln 2 

4 4

4 1 3 x 4 (16 1 3 x 4 ) 12

u 10 3 2 10 1 tan 2 8. ln 1C u 10 3 1 10 1 tan 2 9. 1C

 4 x 5 1 16   1 arc tan   1C    2 x 1 16 1 2  x 5 1 16 2 2

(4 2 x 4 ) 4 1C 4x

8 18 27  3 9. ( 3 1 x ) 3  ( 3 1 x )2 2 ( 3 1 x ) 1  1 C 11 8   14

Ejercicio 19 u 1 3 1 tan 2 1. ln 1C 3 3 2 tan u 2

2.

3.

u 2 1C u 3 2 tan 2

1 tan a 1C ln 8 tan a 1 8 tan

x 2

x tan 1 1 2

1 1 2 cot

7.

12.

x  5 tan x 3 5  2  1C 2 arc tan   2 5 5    

     b  b    b 13. ln  cos2    ⋅  tan   1 2 − 1 ⋅  tan   2 2 2 1 1 C  2   2      2

1 14. ln 2

w 2

 u  u tan 2   1 2 tan   2 1  2  2 u 1 1C 2 2  u tan   1 1  2

  u     u  tan  2  1 3  3 tan  2  2 1   1C   15. ln 2  u sec    2

16. 1C

21 2 tan w 2 21 2 5 ln 1C 21 2 tan w 1 21 2 5

Capítulo 5

   b  b 2  3 tan 2   1 3 tan   1 2   2  2   1C 5. 2 3   b   tan  2  1 1  

6. ln

    a  11  2 tan  2  2 3  2 11 1C arc tan  11.   11 11    

3 1 tan

3 ln 3

4. ln

  u   15 tan  2   8 2u 1C 15 arc tan  10. 15 3    

5

1

8. 2

1 ln 1 1 2 tan u 1 C 2

1C

u tan 2 1 1 1 u 2 ln 1 1C 2 1 2 2 tan u 2 tan 2 u 2 2 2

Ejercicio 20 1. 2y 5 x 2 1 6x 2 8 p  2. f (x) 5 sen  x 2  1 2  2 3. y 5 e x (x 2 1) 2 e 3 3x   4. x  y 1 3 arc sen 2 3p 1 4 a 2 2 9 x 2 5 0   2a 5. x 5 y 3 2 2y 2 2 2 6. x 5

143

3 2 ln(2 2 y)( y 1 1)2 2 3 22y

Cálculo integral Ejercicio 22

3

( x 2 2 9 ) 2 62 2 3 3

7. y 5

8. 16 x 5 28 2 3p 1 6 y 2 8 sen y 1 sen 2 y

1. 18u2

18. (2 2 ln 3)u2 5 0.901u2

2. 9u2

19. 9u2

3.

4 1 3x 9. y 5 22x

609 2 u 4

4. 18u2

10. y 5 4 e2( x 2 arc tan x )

5.

11. x 3 1 3 cot y 2 3 5 0

32 2 u 3

6. 9u2 12. s (t) 5 11t 2 15 7.

m 13. 60 s 2 14. 10 m 3

11. 6u2 12.  2  52 e 2 1 e  

4 1. 2 3

11.

2. 20

12. 4e 5

3.

88 3

13. 2

1 4

8 14. ln    5

4. 6 1 5. 2 2

15.

6. 6

16. sen(2) 2 sen(1)

7. 2ln 4 7

17.

8. ln 2 2 9.

1 2

2

10. ln

8 5

p 3

2 2

18. ln(432) 19.

p12 8

20.

1 3   2 ln(2 ) 2 2

14 2 u 3

5 )u2

24. 6u2

26.

16 2 u 3

p 5 0.261u2 12

23. 2(3 2

9. 1u2

16. 176.4 m

Ejercicio 21

22.

25.

10. m s

21. (ln 256 2 3)u2 5 2.54u2

8. 18u2

15. T 5 648 2 2t 2

17. 75.776 m; 39.36

16 2 u 3

20. 1.388u2

1 (e 2 1) 5 0.859u2 2 32

p 5 0.684u2 3

27. 2pu2 28.

p2 2 8 5 0.467u2 4

147  29. ln  5 1.77u2  25 

13. 8u2

16 30. ln   5 1.673u2  3

14. 36u2

31. (3e 22 2 1)u2

15. ln(16) 5 2.77u2

3   32.  2 1 ln    5 2.405u2  2  

16.

1 2 u 2

33. 3(e 2 2 e)u2

17.

8 2 u con a Z 0 a

34. (abp)u2

Ejercicio 23 1. 8.72u2 5. 1.519u2 2. 10u2 6. 2.6439u2 3. 0.836u2 7. 685.0499u2 4. 2.413u2 Ejercicio 24 1. 1.139u2 4. 3.2069u2 2. 14.226u2 5. 1.2499u2 3. 3.5226u2

144

Solución a los ejercicios Ejercicio 25

Ejercicio 27

1.

9 2 u 8. 13.33u2 2

2.

5 2 u 9. (8p 2 16)u2 12

3.

8 2 u 3

4. 9u2 5.

103 2 u 18

 3p  6. 3  2 1 u 2  2 

 11  3  10.  2 6 ln    u 2  2  4

1. 7.6337u 6. ln 2 1 1 < .8813u 2. 1.4789u 7. 2ln 2 2 3 < 1.3169u 3. 4.66u 8. 5.2563u 4. 4.1493u 9. 1.2027u 5. 4u

12.

4 ( 3p 2 2 )u 2 3

13. 32u2

Ejercicio 28 1. a) C (x) 5 4 1 20x 2

243 3. pu3 5

11. 60pu3 12.

3 pu3 10

3 13. pu3 10

4.

32 pu3 5

14.

384 pu3 5

5.

96 pu3 5

15.

108 pu3 5

6. 128pu3

b) $49.83

3. a) C (x) 5 800(1.00501)x 1 200

81 pu3 2

x2 x3 2 2 3

2. I (x) 5 x 3 2 x 2 1 5x

Ejercicio 26

2.

393 u 20

11. 1.94u2

7. 21.849u2

1. 8pu3

10.

81 16. pu3 5

b) $9945.99

 I ( x ) 5 4 x 3 2 18 x 2 1 35 x 4.  2  p( x ) 5 4 x 2 18 x 1 35 5. a) C (x) 5 5 2 x 1 1 1 8

b) $113.00

6. a) P (t ) 5

2720 3t 1 2

b) $160.00

7. $64.00

Capítulo 6 Ejercicio 29 1. 3x 4 2 4y 3 5 C

7.

8pu3

512 8. pu3 15 9.

10.

17.

6p2u3

18.

90pu3

2. (1 2 x 3)2 5 Ce 2y

2

3. y 3 2 6x 3 1 15y 5 C

28 pu3 3

19. 128p2u3

51 pu3 8

20. 4p2u3

4.

( x 2 2 )( y 1 2 ) ( x 1 2 )( y 2 2 ) 5 C, o 5C ( x 1 2 )( y 2 2 ) ( x 2 2 )( y 1 2 )

5. x (9 1 y 2)2 5 C 6. (x 1 2)2 1 (y 1 2)2 5 C 2 ln[(y 2 2)(x 2 2)]8 7.

x2 2 2 1

y2 2 2 5 C

8. 2 2 3e 3y 5 Ce 29x 9. tan y 2 sen x ? cos x 5 C 10.

1 2 cot(x 1 y) 5 x 1 C sen( x 1 y) 2

3

 x   y24 11.  5C  x 2 6   y 

145

Cálculo integral 12. 4x 4 2 y 4 5 C 13.

y4

1 4y 5

14. y 5 Ce e

4x 2

1 4x 1 C

6. y 5 e

2 Cy2 2 x 2 2 y2

x

15. x 3y 2 5 C

7. ln x 2

x 5C y 2 2x

8. y 5 2

 3  x 3 x tan  ln Cy 1 2  2  2

16. 3y 1 12 ln y 5 x 3 2 3x 1 C x3

17.

csc 2 y 2 cot 2 y 5 Ce 3

18. 2e 3y 2 3e 2x 5 C

9. y 5 x tanQln C(y 2 1 x 2)4R

c

19. x 5 e y 20. e y (y 2 1) 1 ln(e2x 1 1) 5 C

1. Cx2 2 2x 2 y 5 0

3.

2

y x

2

x 2 Cx 4. y 5 3

x 2 1 y2

12. y 5 Cx 2 2

13. y 2 1 2xy 2 x 2 5 C

2Cx 3 2. y 5 1 2 Cx 2 2x 2

sen

11. y 2 2 2xy 1 2x 2 5 C

Ejercicio 30

Cx 4

10. x 4 5 Ce

2

14. lnuxu 1 e y2

50

1 2 2

5. Cx 4 1 3x 2 2 y 2 5 0

y x

5C

15. x 2 2 y 2 5 C 16. x 1 2y 1 3 lnux 1 y 2 2u 1 C 17. x 2 1 2xy 2 y 2 2 4x 1 8y 5 C 18. x 1 3y 1 2 ln(2 2 x 2 y) 5 C 19. (4y 2 x 2 3)(y 1 2x 2 3)2 5 C

146

Anexo: Ejercicios preliminares

Cálculo integral

Operaciones con números enteros: 1. 6 – 4

17.

−12 3

2. – 8 + 6

18.

15 −5

3. 3 + 7

19.

−28 −14

4. – 5 – 7

20. − ( − 3 + ( 5 − 2 ( − 1 + ( − 4 + 7

5. – 2 – 5 + 6 + 4

21.

6. – 3 – 6 – 8 +5 + 4 + 7

22.

7. 8 + 6 + 3 – 5 – 9 – 2

23.

8. 4 + 5 – 1 + 2 – 7 – 3

24.

9. – 2 + 6 – 8 – 12 + 10 – 3 – 7

25. 6 – 2(1 – 3 – 4) + (5 – 2 + 7)

10. 1 – 5 + 9 – 3 + 16 – 8 + 13

26.

13 + 15 7

11. 3 (– 2)

27.

−3 − 12 − 5 10

12. (–5)(–4)

28.

30 + 6 9+3

13. – 6(5)

29.

14 − 2 2+4

14. (4)(3)(5)

30.

8+5+ 7 6−3−7

15. 2(–4)(–3)

31.

2(5 − 7) + 20 5+3

)

32.

(4 − 3) + 3(2 + 4 − 1) 5(4) − 6(3)

16. 3 − ( − 4

)

) ) ) ( − 2 )+( + 5 ) − 4 −( 6+8 − 2 ) 7 − ( 5 + 3 ) − ( −1− 9 + 4 ) + ( − 8 ) 5 − ( − 4 − 3 ) − (7 + 2 −1 )

Descomposición en factores primos los siguientes números: 33. 6

40. 460

34. 8

41. 225

35. 20

42. 576

36. 50

43. 980

37. 72

44. 1000

38. 120

45. 1120

39. 225

46. 1800

Determina el MCD de los siguientes números: 47. 24, 36 y 42

50. 18, 24, 72 y 144

48. 20, 35 y 70

51. 12, 28, 44 y 120

49. 32, 28 y 72 Determina el mcm de los siguientes números: 52. 3, 10, 12

55. 8, 12, 16 y 24

53. 8, 9, 12 y 18

56. 4, 6, 15 y 18

54. 2, 3, 6 y 12

148


Efectúa las siguientes operaciones con fracciones: 3 7 57. + 2 2

1 3 1 78. 1 + − 2 4 8

58.

4 8 + 5 5

3 2 1 79. 1 + 2 + 3 4 6 2

59.

2 3 1 + + 7 7 7

1 5 80. 5 − 2 + 4 3 7

60.

9 3 7 + + 4 4 4

81.

61.

5 6 15 8 + + + 11 11 11 11

1 5 82. 2 − 1 − 3 12

1 2 5 62. 2 + 5 + 3 3 3

6 1 1 7 − − − 5 4 15 20

1 13 83. 4 − 4 6

63.

17 9 − 5 5

84.

1 1 5 − −3 4 12 6

64.

13 7 − 6 6

85.

1 9 × 4 7

1 7 65. 2 − 4 4

86.

7 5 × 6 8

3 1 7 66. 1 − 3 + 2 8 8 8

87.

4 3 × 3 8

2 12 18 67. 3 − − 7 7 7

88.

1 2 × 6 3

3 1 3 3 68. 1 + 3 − 2 − 4 4 4 4

3 9 89. 2 × 5 8

69.

1 3 + 6 2

90.

70.

7 1 + 4 8

1 3 91. 1 × 2 3 8

71.

7 5 + 12 3

92.

1 13 10 × × 3 6 78

72. 1 +

2 3

93.

4 1 2 × × 3 6 8

73. 2 +

2 1 + 3 6

94.

4 1 5 × × × 15 3 20 16

74.

1 1 1 + + 2 6 3

95.

1 2 ÷ 5 15

75.

1 1 1 + + 6 15 30

96.

5 1 ÷ 4 2

76.

5 4 1 + + 2 3 24

97.

5 4 ÷ 6 3

77.

8 4 2 + − 5 15 9

98.

4 1 ÷ 15 6

149

3 1 ×3 5 4

Cálculo integral

1 9 99. 2 ÷ 4 8 100.

101.

1 1 ÷2 6 4

4 ÷5 3

102. 4 ÷

12 5

Efectúa las siguientes operaciones: 3

103. 62

115.

104. 43

116. 4 16

27

105. ( −2

)4

117.

5

32

106. ( −3

)3

118.

5

243

119.

18 2

120.

75 3

121.

80 5

107. −52  3 108.  −   2

4

 3 109. −    2

4

110. 4

122.

1 9

111.

25

123.

64 25

112. 81

124.

36 49

113.

125.

9 121

64

114. 3 8

Racionaliza las siguientes expresiones: 1 126. 3 127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

1

134.

7 2

135.

2 4

136.

6 6

137.

5 3

138.

2 3 1

139.

3 2

150

6 4 3 2 5 5 14 2 7 5− 5 5 1 3 −1 2 1+ 3 6 3− 7


140. 141.

1− 3

3− 2

142.

1+ 3 3− 2

143.

1− 2

3+ 2 2 5+3 2 2 5− 2

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: 144. Un número aumentado en 6. 145. El triple de un número. 146. El doble de un número disminuido en 5. 147. El producto de dos números. 148. Un número excedido en 8. 149. Las tres cuartas partes de un número. 150. La diferencia de dos cantidades. 151. El cociente de dos números. 152. Dos números cuya suma es 45. 153. El cuadrado de una cantidad. 154. La diferencia de los cuadrados de dos números. 155. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades. 156. La mitad de la suma de dos números. 157. Las dos terceras partes de la diferencia de dos números. 158. La raíz cuadrada de la suma de dos cantidades. 159. Dos números enteros consecutivos. 160. Dos números enteros pares consecutivos. 161. El quíntuple de un número aumentado en 3 unidades equivale 18. 162. Las dos terceras partes de un número disminuidas en 4 equivalen a 6. Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, si x = 3, y = – 2, z = 1, w = – 4 163. 4x – 2

174. 1 – 3(x – y) + 2(3w – z)

164. 6y + 8

175. x2 + 3xz – w2

165. 4z – 3w

176.

x2 + z y−w

166. 3x – 2y

177.

x 1 1 − + y w 6

167. y + 3z

178. ( x + y − ( 3z + w

168. 2x + 3y – z

179.

169. 4x + y + 2w

180.

170. 5x – 3y + 2w

181. y x − w z

171. 2(x – y)

182.

2xyz w

172. 5x – 3(2z – w)

183.

3x − y + 2z w −1

)2

173. 4(x – y) – 3(z – w)

151

)2

x 3 y3 w3 + + z3 − 3 4 4 x 2 + w2

Cálculo integral

Reduce las siguientes expresiones: 184. 4x – 7x + 2x

193. ab 2 + 2bc 2 + 3ab 2 − 2bc 2 − 4 ab 2

185. 9y + 3y – y

194. 5 x 2 y3 + 2 xy 2 − 3 y 4 + 4 xy 2 − 2 x 2 y3 − 2 xy 2

186. 5ab2 + 7ab2 – 16ab2

195. – m2 + 7n3 – 9m2 – 13n3 + 5m2 – n3

187. 4x4yz3 – 6x4yz3 + 7 x4yz3

196. 8a2 – 15ab + 12b2 + 2a2 + 6ab – 14b2 + 5a2 + 8ab + 17b2

188. 5x – 3y + 2z – 7x + 8y – 5z

197.

1 3 4 3 3 4 ab c − ab c − ab 3c 4 4 4

189. 14a – 8b + 9a + 2b – 6a + b

198.

2 5 1 1 5 x − y−z − x+ y+ z 3 6 2 3 9

190. 7m2 – 10m2 + 8m2 – m2

5 7 1 1 199. − a 2 b − ab 2 + a 2 b + 5ab 2 − 6a 2 b − ab 2 3 2 4 3

191. 4 x 2 − 5 xy + 3 y 2 − 3 x 2 + 4 xy + 3 y 2

200.

x 2 4 xy y 2 x 2 2 xy 6 y 2 + − − − + 8 9 5 4 3 5

192. −3a 2 + 5b 2 + 8c 2 + 4 a 2 − 3b 2 − 7c 2 Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

)

201. ( 5 x − 7 y − 2 z + ( x − y + 7 z

)

216. (3xy)(– 5xy)

) ( ) ( 203. ( x + 2 x − 1) + ( 3 x − 2 x + 3) 204. ( x − 3 x − 4 ) + ( x + 2 x + 3) 205. ( 3 x + 2 x − 5 x + 6 ) + ( −2 x − x + 7 x + 1) 206. ( x + 6 xy + 4 y ) + ( 5 x − 3 xy − 4 y ) 207. ( x + x y + 5 xy − 2 y ) + ( −3 x y − 6 xy + 8 y ) 2 2 2 2 202. 3 x + 2 xy − 5 y + −2 x + 3 xy − y 2

217. (6x2y5z3)(–3 x5y4z2)

( )( ) 219. ( 3 x y ) ( −2 x y ) 220. −6 xy ( 4 x y ) 221. ( 2a b c ) ( −5a bc )

2

3

5 2 4 6 218. a c 4 a bc

2

3

2

3

2

2

3

2

2

2

2

2 3

3

2

3

2

 1 2 2 3 2 5 1 208.  x + x − 3 +  x − x +  6 3 2  2 4

2

5 4

2

3 4

2

3

 2 2   15 3  222.  x yz   − yz    4 5

3

)

(

4 9 3  2 5 3  223. 12a b c  − a b c   3

  1 1 5  1 5 3 209.  x 3 − 1 +  x 2 − x +  +  − x 3 − x 2 + x −  2 8  3 6 4   6

  2 3 224.  a 2 b 3c  − a 5c 2    6 4

 1 3  1  2 1 1 5 3 3  2 1 210.  x 4 − x 3 + 1 +  x 2 + x −  +  x 4 + 3 x 3 − 2 x 2 − x − 5 225.  a 3 b 2c  a 4 bc 2   ac  a 4 b 2  2 2 4  3 5  2 2  7  3 4 5

)

211. ( 2 x − 8 y − 5z − ( x − 6 y − 4 z

( 213. ( 4 x

) (

212. 6 x 2 + x − 5 − 3 x 2 − x − 5 3

) (

)

)

− 5x 2 + 6 x + 7 − 2 x 3 − 6 x 2 + 4 x + 4

2 3 2  5x   x 4 x x 3x −  − 1 −  − + 214.  x 3 − + 2 6 8 5   4 6 

226. (3m3n)(5m2 – 9mn) 227. –4a3b7(3 – 2a2b2)

)

(

)(

228. 2a 2 b 5a 2 − 7ab + 3b 2

)

229. (– a)(7a4 – a3 + 7a – 5)

1 3 3 2 1 3  3 3 5 2 1 1 215.  x − x + x +  −  x − x + x +  4 8 7  4 8 6 14  2

(

4 5 3 2 2 3 230. −3a b a + 4 a b − ab − 5b

152

)


6a 4 b 7

231. (4xy)(5x3 –6x2 – 7x)

239.

232. (– 5a2b)(a2 – 3ab + 9b2)

240.

233. (4x5y2)(6x3y2 – 7x2y3 + 4xy5)

241.

234. (3x – 5)(x + 7)

2 3 242. − x 3 y ÷ − x 2 y 5 5

235. (a + 6)(a – 9)

243.

236. (–2x + 7)(4 – 3x)

244.

237. (x2 – 6x – 8)(3x2 – 8x + 1)

245.

2a 2 b 5 18 x 6 y3 −3 x 5 y3 18a 3 b 2c 4 12ab 2c3

3x 2 + 6 x 2x 9a 2 b − 6a 3 2a 2 x 3 − 2 x 2 + 5x x

 1 1 246.  a 5 b8 − a 3 b 5 − 4 a 3 b 4  ÷ 3a 3 b 2  3

238. (7x3 – 4x2y + xy2)(2x2y – 4xy2 + 4y3) Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado: 247. (x + 3)2

254. (3 – 2x)2

248. (a – 4)2

255. (5x + 4y3)2

249. (y – 6)2

256. (9x3 – x2y)2 2  257.  x 1   5

2

250. (x + 5)2

1  258.  y 2   3

2

251. (2m – 5)2 252. (3x – 1)2

 x 259.  − 3 y 2   2

253. (3x + 4)2

 2 b2  260.  −  a 3 

2

2

Obtén el resultado del producto de binomios conjugados: 261. (x + 5)(x – 5)

268. (a – 4b)(a + 4b)

262. (m – 3)(m + 3)

269. (3xy – 2z)(3xy + 2z)

263. (x + 6)(x – 6)

270. (m – 5n)(m + 5n)

264. (y – 1)(y + 1)

271. (3p + 5q)(3p – 5q)

265. (7 – x)(7 + x)

5 2 5 2  272.  x − y  x + y 5 3 5  3

266. (5 + 4x) (5 – 4x)

 m n  m n 273.  +   −   2 3  2 3

267. (3x + 5y)(3x – 5y)

 1 3  1 3 274.  1   2   2x 5y   2x 5y 

153

Cálculo integral

Desarrolla los siguientes cubos de binomios: 275. (x + 1)3

281. (x + 2y)3

276. (y – 2)3

282. (4x – 3y)3

277. (x + 3)3

283. (1 – 5xy)3

278. (a – 4)3

1  284.  x 1 y 2   x y 285.  2   3 2

3

279. (5 – x)3

 1 3 286.  1   x y

3

280. (3x – 2)3

3

Factoriza las siguientes expresiones empleando el factor común: 287. 4x – 12

294. 8x3 – 24x2 + 16x

288. 3x + 15

295. 15a2 + 25a3 – 35a4

289. 24x2 – 36x

296. 6a2b – 3ab

290. 8xy – 16y

297. 12x2y – 18xy2

291. 3x2 – 6x

298. 4x2y3 – 8x3y4 + 5x4y5

292. y3 + y2

299. 18a5b – 9a3b2 – 6a2b3 + 12ab4

293. m5 + m4 – m2

300. 33x2y3z4 + 66x2y3z3 – 22x2y3z2

Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: 301. x2 – 1

308. 100 – x2

302. y2 – 9

309. 25m4 – 81n2

303. x2 – 16

310. 9x4 – y4

304. 4x2 – 25

311.

1 2 9 2 x − y 16 49

305. 25 – x2

312.

1 2 9 2 z − w 4 25

306. 16x2 – 9

313. y 2 −

307. 81 – 4y2

314.

36 6 z 25

x2 16 − 9 25 y 2

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 315. x2 + 2x + 1

321. m2 + 2mn2 + n4

316. y2 – 4y + 4

322. 16x2 + 8x + 1

317. a2 + 6a + 9

323. 9y2 – 24y + 16

318. x2 – 10x + 25

324. x 2 + x +

319. a2 – 2ab + b2

2 1 325. y 2 − y + 3 9

320. y2 + 12y + 36

326.

154

1 4

x2 + 4 x + 16 4


327.

m2 2m 9 2 1 2 n n 9

328. x 2 − x +

1 4

329. 144x2 + 120xy + 25y2 Factoriza los trinomios de la forma x2 + bx + c 330. x2 + 3x + 2

337. y2 + y – 20

331. x2 – 5x + 6

338. n2 – 2n – 63

332. x2 + 9x + 20

339. z2 – 18 – 7z

333. x2 – 14x + 24

340. x2 – 8x – 48

334. m2 + 7m + 12

341. x2 + x – 132

335. x2 – 9x + 18

342. a2 – 2a – 35

336. a2 + 4a – 12

343. y2 + 2y – 168

Factoriza los siguientes trinomios ax2 + bx + c: 344. 3x2 – 14x + 8

350. 6b2 + 5b – 25

345. 6a2 + 7a + 2

351. 2x2 – 3x – 2

346. 4x2 – 13x + 3

352. 5y2 – 12y + 4

347. 5x2 – 7x + 2

353. 4x2 – 5x – 6

348. 2x2 – 5x – 12

354. 7y2 + 16y – 15

349. 6m2 + 11m + 3

355. 20x2 – x – 1

Factoriza las siguientes sumas y diferencias de cubos: 356. x3 + 1

362. 125x3 – y3

357. y3 – 8

363. 8x6 + 27y6

358. x3 – 64

364. 1 – x9y9

359. y3 + 27

365.

x3 1 1 8 125

360. 64 – 27x3

366.

x 3 64 1 27 x 3

361. x3 + 8y3

367.

1 8 2 x 3 y3

Simplifica las siguientes expresiones: 368.

3x 2x2

372.

( x 2 2 ) ( x 1 1) x22

376.

x2 1 6x 1 9 x2 2 9

369.

4 x y3 2 x 2 y2

373.

x 21 (1 2 x ) x

377.

x2 2 2x x 2 6x 1 8

370.

x 2 ( x 2 5) 5x2

374.

x 2 ( 3x 1 2 ) x ( 3x 1 2 )

378.

9x2 2 4 6x2 2 x 2 2

371.

x (3 2 x ) 32 x

375.

x 2 1 3x 1 2 x 11

379.

8 x 3 21 4 x 2 4 x 11

155

2

2

Cálculo integral

Expresa como exponentes fraccionarios los siguientes radicales: 5 x 3y4

380.

x

385.

381.

3x

386.

382.

x3

387.

4

a 1b

383.

( 5 x )5

388.

5

(2 x 2 3)2

2a

389.

7

5 x 1 3y

384.

3

4

x12

Expresa como radical las siguientes expresiones: 2

1

390. x 3

395. ( x 1 8 ) 2

1

1

391. x 4

396. ( 3x 1 1) 6 1

2

392. (6 x ) 3

397. (2 a 2 5b ) 3 3

 22 x 5 398.   x 2 y 

4 3 5 3

393. ( 4 x y ) 1

 2 5 394.  3   xy  Aplica los teoremas correspondientes de exponentes y radicales para simplificar las siguientes expresiones: x3

399. (x3)4

409.

400. (4x2)3

410.

401. (5xy4)2

411.

(ax )3

402. x–3

412.

( 3 x )5

403. (2xy)–2

413.

32 x 3

3

x5

5

 2x3  404.  2   3y 

414. 3 16 x 5

x4

405.

415. 125 x 3

406. 16 x 2 y 4 25 6 2 x y 49

407. 408.

3

( x 2 1 1)3

416. 417.

4

( x 1 a )5

27 x 3 y 6

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: 418. x + 6 = 4

425. 8x = – 3 + 5x

419. y – 2 = 0

426. 9 – 10x = 7x + 8x

420. 3x = 15

427. 3(x – 5) + 3 = 10

421. 4x – 5 = 3

428. 5 + 2 (4x – 1) = 0

422. 2x + 5 = 6x

429. 6(1 – x) – 2(x – 2) = 10

423. 6x – 2 = 2x – 12

430. 3(9 + 4x) – 9 = 18

424. 4 + 9x – 11x = 6x + 8

431. 3(4x + 9) = 6 + 5(2 – x)

156


432.

2 3 5 x – 1 5 5

436. 2

433.

x x 1 x 2 5 2 12 3 3 4

437.

3 4 3 (2 x 2 1) 2 ( x 1 2 ) 5 ( x 1 1) 2 5 4

434.

1 7x x 2 5 32 4 8 4

438.

x14 x 2 55 4 2

435.

1 3 1 3x 2 x 52 2 4 2 5 8

439.

2x 2 3 x 1 52 6 4

13 17 x 2 2 5x 2 1 3 12 3

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: 440. x2 + 4x + 3 = 0

448. x2 – 2x – 63 = 0

441. x2 – 5x + 6 = 0

449. y2 + y – 20 = 0

442. x2 + 7x + 12 = 0

450. a2 + 2a = 48

443. x2 – 14x + 24 = 0

451. 5x2 – 7x + 2 = 0

444. x2 + 9x + 20 = 0

452. 2x2 – 5x – 12 = 0

445. y2 – y – 56 = 0

453. 7x2 + 16x = 15

446. x2 + 4x – 12 = 0

454. 6x2 + 7x = –2

447. x2 – 9x + 18 = 0

455. 20x2 – x – 1 = 0

Resuelve los siguientes sistemas: x 1 y 5 4 456.  x 2 y 5 2

2 x 2 y 1 3z 5 1  466.  x 2 3y 2 2 z 5 16  3x 1 2 y 1 5 z 52 7

x 1 2 y 51 457.  x 1 y 5 2

5 x 1 y 2 2 z 52 6  467.  3x 1 4 y 1 2 z 5 13 2 x 2 y 2 3z 52 11

 3x 2 y 5 4 458.   x 1 3y 52 2

6 x 1 2 y 1 z 52 18  468.  x 2 3y 2 4 z 52 3  4 x 1 2 y 1 3z 52 6

 3x 2 2 y 5 4 459.   x 1 6 y 52 2

 2 x 1 3y 2 4 z 5 0  469. 6 x 2 6 y 1 z 5 5 6 x 1 12 y 2 6 z 52 1

 4 x 2 26 5 y 460.   3x 1 5 y 2 31 5 0

x 2 y 5 2  470.  x 1 2 z 52 1  3y 2 z 5 5

2 x 5 y 461.  x 5 y 1 2

x 1 2 y 51  471.  3y 2 2 z 5 1  4 x 1 3z 5 6

4 x 2 5 y 5 2 462.  5 x 1 3y 5 21

x 2 3 5 0 472.  2 y 1 2y 2 x 5 0

6 x 1 2 y 5 2 463.  5 x 2 3y 5 11

2 x 2 y 5 0 473.  2 x 1 y 5 8

5 x 1 8 y 52 1 464.  6 y 2 x 5 4 y 2 7

x 1 y 21 5 0 474.  2  x 2 3y 2 7 5 0

x 1 y 2 z 5 4  465. 2 x 2 3y 1 4 z 52 8  3x 1 2 y 1 z 5 6

157

Cálculo integral

Aplica el teorema de Pitágoras para determinar el valor de “x” en los siguientes triángulos rectángulos: 475.

478.

15

x=?

3

12 x=?

4 476.

479.

7

13 x=?

x=?

24 5 477.

480.

8

x=?

x=?

6 12

8

Escribe las funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos: 481.

482.

A

A

5

3

C

4

13

12

C

B

158

5

B


Deriva las siguientes funciones: d 483. 8 dx

507.

d x dx

531.

d x2 dx x 2 1 1

484.

d 2 dx 5

508.

d 3 x dx

532.

d x25 dx x 1 3

485.

d 2 a dx

509.

d 3 2 x dx

533.

d x2 11 dx x 2 2 4

486.

d 3ab dx

510.

d (9x – 7) dx

534.

d sen x dx

487.

dx dx

511.

d (3ax + 1) dx

535.

d cos 2x dx

488.

d 3x dx

512.

d 2 (x + 3x – 5) dx

536.

d sec 5x dx

489.

d 7ax dx

513.

d 2 (x + a2) dx

537.

d cot x2 dx

490.

dx 5 x dx 6

514.

d 3 (x – 3x2 + 8x – 3) dx

538.

d tan(x2 – 5) dx

491.

d bx dx

515.

d  x3 5x2 x  2 1  dx  3 2 6

539.

d csc(1 – x3) dx

492.

d x dx 4

516.

d 2 (x – 5)4 dx

540.

d x e dx

493.

d 2x dx 3

517.

d 2 (x + a2)5 dx

541.

d –x e dx

494.

d 2 x dx

518.

d 2 (x + 3x – 7)3 dx

542.

d 5x e dx

495.

d 5 x dx

519.

d 3 (x + x2 + x)5 dx

543.

d x2 e dx

496.

d 23 x dx

520.

d x14 dx

544.

d 4ex2 – x dx

497.

d 13 x dx

521.

d x2 1 5 dx

545.

d x 2 dx

498.

d –1 x dx

522.

d 12 x4 dx

546.

d x3 a dx

499.

d –3 x dx

523.

d dx

3

3x 1 1

547.

d x2 + 3x 5 dx

500.

d 6x2 dx

524.

d dx

4

x 4 1 16

548.

d ln x dx

501.

d 5x4 dx

525.

d 4x2(3x2 + 5) dx

549.

d ln x3 dx

502.

d 3 4 x dx 4

526.

d (x – 5)(x + 2) dx

550.

d ln(x + 3) dx

503.

d x7 dx 4

527.

d (x + 6)(x – 6) dx

551.

d ln(x2 + 5) dx

504.

d 3x–4 dx

528.

d 2 (x + x)(x2 – 1) dx

552.

d ln(x2 – 3x) dx

505.

d 1 dx x 5

529.

d (5x2 – 3x)(2x2 + x) dx

553.

d ln(x2 + 2x + 1) dx

506.

d 2 dx 3x 3

530.

d x dx x 1 2

159

Soluciones a ejercicios preliminares

Cálculo integral

Operaciones con números enteros: 1. 2 2. –2 3. 10 4. –12 5. 3 6. –1 7. 1 8. 0 9. –16 10. 23 11. –6

12. 20 13. –30 14. 60 15. 24 16. 7 17. –4 18. –3 19. 2 20. 13 21. 3 22. –16

84. −

23. –3 24. 4 25. 28 26. 4 27. –2 28. 3 29. 2 30. –5 31. 2 32. 8

38. 23 × 3 × 5 39. 32 × 52 40. 22 × 5 × 23 41. 52 × 13 42. 26 × 32

43. 22 × 5 × 72 44. 23 × 53 45. 25 × 5 × 7 46. 23 × 32 × 52

85.

9 28

86.

35 48

1 87. 2

49. 22 = 4 50. 2 × 3 = 6

51. 22 = 4

Determina el mcm de los siguientes números: 52. 22 × 3 × 5 = 60 53. 23 × 32 = 72

54. 22 × 3 = 12 55. 24 × 3 = 48

56. 22 × 32 × 5 = 180

58.

12 2 =2 5 5

59. 6 7 19 3 60. =4 4 4

27 9 1 5 52 71. 12 4 4 72. 73.

5 2 =1 3 3 17 5 =2 6 6

74. 1

34 1 61. =3 11 11

8 4 75. = 30 15

62. 29 = 9 2 3 3

76.

63.

8 3 =1 5 5

64. 1

93 24

5

31 8

17 1 =2 8 8

9 1 66. = 1 8 8

79.

91 7 =7 12 12

67. –1

80.

68.

69.

2 1 = 4 2

6 3 1 = =1 4 2 2 10 5 2 = =1 6 3 3

15 7 70. =1 8 8

3 1 =1 2 2

96.

5 1 =2 2 2

8 3 =1 5 5

99. 2

90.

39 19 =1 20 20

100.

2 27

91.

19 1 =3 6 6

101.

4 15

92.

5 54

102.

5 3

51

2 3

1 93. 18

53

7 8

103. 36 104. 64 105. 16 106. – 27 107. – 25

111. 5

81 108. 16

116. 2

81 109. − 16

118. 3

110. 2

120. 5

139 13 =6 21 21

32 8 81. = 60 15 82.

1 4

83.

25 1 =2 12 12

121. 4

112. 9 113. 8

122.

1 3

123.

8 5

124.

6 7

125.

3 11

114. 2 115. 3 117. 2 119. 3

Racionaliza las siguientes expresiones: 126.

3 3

132.

2 6

127.

7 7

133.

3 2

128.

2

134.

2 5 25

129.

2 6 3

130.

6 5 5

74 29 77. =1 45 45 78.

65.

95.

Efectúa las siguientes operaciones:

Efectúa las siguientes operaciones con fracciones: 57. 5

5 16

98.

117 37 89. =2 40 40

Determina el MCD de los siguientes números: 47. 2 × 3 = 6 48. 5

94.

5 97. 8

1 88. 9

Descomposición en factores primos los siguientes números: 33. 2 × 3 34. 23 35. 22 × 5 36. 2 × 52 37. 23 × 32

44 11 2 = − = −3 12 3 3

139. 9 + 3 7 140. 3 − 2

131.

160

3 2

135. 7 136. 5 − 1 137.

3 +1 2

138. 3 − 1

141. −1 − 2 2 142. 5 − 2 6 143.

13 + 4 10 9


Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: 144. x + 6 145. 3x 146. 2x – 5 147. xy 148. x + 8

159. x, x + 1

(

155. x − y

3x 4 150. x – y 151.

158.

153. x2 154. x 2 − y 2

149.

156.

x y

x+y

152. x, 45 – x

157.

)

3

160. 2x, 2x + 2 161. 5x + 3 = 18 162.

227. −12a 3 b 7 + 8a 5 b 9

178. 0 179. 24 180. 5 181. –4 182. 3 13 183. − 5

13 12

1 12 5 4 a b c 10

235. a 2 − 3a − 54

232. −5a 4 b + 15a 3 b 2 − 45a 2 b 3

236. 6 x 2 − 29 x + 28

233. 24 x 8 y 4 − 28 x 7 y 5 + 16 x 6 y 7

237. 3x 4 − 26 x 3 + 25 x 2 + 58 x − 8

234. 3x 2 + 16 x − 35 238. 14 x 5 y − 36 x 4 y 2 + 46 x 3 y 3 − 20 x 2 y 4 + 4 xy 5 239. 3a 2 b 2

3 197. − ab 3 c 4 2 198.

1 1 4 x− y− z 6 2 9

199. − 200. −

89 2 7 a b + ab 2 12 6 x 2 2 xy − + y2 8 9

212. 3x 2 + 2 x

201. 6 x − 8 y + 5 z

3

2

202. x 2 + 5 xy − 6 y 2

213. 2 x + x + 2 x + 3

203. 4 x 2 + 2

214.

204. x 3 + x 2 − x − 1

9 b − 3a 2

240. – 6x 241.

3 2 a c 2

244.

242.

2 x 3

245. x 2 − 2 x + 5 1 2 7 1 4 4 3 a b − b − b 9 6 3

2

206. 6 x + 3xy

1 3 1 2 1 5 x − x − x+ 4 8 24 14

5 1 5 208. x 2 + x − 4 6 2 1 1 1 9 209. − x 3 + x 2 + x − 6 6 2 8

247. x 2 + 6 x + 9

255. 25 x 2 + 40 xy 3 + 16 y 6

248. a 2 − 8a + 16

256. 81x 6 − 18 x 5 y + x 4 y 2

249. y2 – 12y + 36 250. x2

2

257. x 1

+ 10x + 25

4 5 2

x1

4 25 1

251. 4m 2 − 20m + 25

258. y 2 2

252. 9x2 2 6x 1 1 253. 9 x 2 + 24 x + 16

x2 259. − 3xy 2 + 9 y 4 4

254. 9 − 12 x + 4 x 2

260.

4 a2

−

3

y1

9

4b 2 b 4 + 3a 9

Obtén el resultado del producto de binomios conjugados:

2

262. m − 9

7

9 5

263. x2 – 36

217. −18 x y z 218. 4a 9 bc 8 219. −6 x 7 y 7 220. −24 x 3 y 4

11 4 1 3 13 2 13 19 210. x + x − x + x− 221. −10a 5 b 5 c 4 12 2 7 10 4 3 211. x − 2 y − z 222. − x 2 y 2 z 4 2

270. m 2 − 25n 2

261. x2 – 25

2

216. −15 x y 3

Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado:

3 3 7 2 1 x − x +x− 4 8 5

215. −

205. x 3 + x 2 + 2 x + 7

207. x − 2 x y − xy + 6 y

3 x+3 2

246.

Realiza las siguientes operaciones con polinomios:

2

243.

195. –5m2 – 7n3 196. 15a2 – ab + 15b2

184. –x 185. 11y 186. –4ab2 187. 5x4yz3 188. –2x + 5y – 3z 189. 17a – 5b 190. 4m2 191. x2 – xy + 6y2 192. a2 + 2b2 + c2 193. 0 194. 3x2y3 + 4xy2 – 3y4

2

229. −7a 5 + a 4 − 7a 2 + 5a

231. 20 x 4 y − 24 x 3 y − 28 x 2 y

Reduce las siguientes expresiones:

3

228. 10a 4 b − 14a 3 b 2 + 6a 2 b 3

230. −3a7 b 5 − 12a 6 b 6 + 3a 5 b 7 + 15a 4 b 8

2 x −4=6 3

(x 2 y)

171. 10 172. –3 173. 5 174. –40 175. 2 176. 5 177. −

1 224. − a7 b 3 c 3 4 225.

Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, si x = 3, y = – 2, z = 1, w = – 4 163. 10 164. –4 165. 16 166. 13 167. 1 168. –1 169. 2 170. 13

226. 15m 5 n − 27m 4 n 2

2

x+y 2 2

223. −8a 9 b12 c 4

2

271. 9 p 2 − 25q 2

264. y2 – 1 265. 49 − x 2 266. 25 –

16x2

267. 9 x 2 − 25 y 2 2

268. a − 16b

2

269. 9 x 2 y 2 − 4 z 2

161

272.

25 2 4 2 x − y 9 25

273.

m2 n2 − 4 9

274.

1 4x

2

2

9 25 y

2

Cálculo integral

Factoriza los siguientes trinomios ax2 + bx + c:

Desarrolla los siguientes cubos de binomios: 275. 276. 277. 278. 279. 280. 281. 282.

x3 + 3x2 + 3x + 1 y3 – 6y2 + 12y – 8 x3 + 9x2 + 27x + 27 a3 – 12a2 + 48a – 64 125 – 75x + 15x2 – x3 27x3 – 54x2 + 36x – 8 x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 64x3 – 144x2y + 108xy2 – 27y3

283. 1 – 15xy + 75x2y2 – 125x3y3

344. 345. 346. 347. 348. 349.

1 3 3 2 3 284. x 1 x y 1 xy 2 1 y 3 8 4 2 285.

x 3 x 2 y xy 2 y 3 2 1 2 27 6 4 8

286.

1 9 27 27 1 1 1 x 3 x 2 y xy 2 y 3

4(x – 3) 3(x + 5) 12x(2x – 3) 8y(x – 2) 3x(x – 2) y2(y + 1) m2(m3 + m2 – 1)

294. 295. 296. 297. 298. 299. 300.

8x(x2 – 3x + 2) 5a2(3 + 5a – 7a2) 3ab(2a – 1) 6xy(2x – 3y) x2y3(4 – 8xy + 5x2y2) 3ab(6a4 – 3a2b – 2ab2 + 4b3) 11x2y3z2(3z2 + 6z – 2)

350. 351. 352. 353. 354. 355.

(2b + 5)(3b – 5) (x – 2)(2x + 1) (y – 2)(5y – 2) (x – 2)(4x + 3) (y + 3)(7y – 5) (4x – 1)(5x + 1)

Factoriza las siguientes sumas y diferencias de cubos:

Factoriza las siguientes expresiones empleando el factor común: 287. 288. 289. 290. 291. 292. 293.

(x – 4)(3x – 2) (3a + 2)(2a + 1) (x – 3)(4x – 1) (x – 1)(5x – 2) (x – 4)(2x + 3) (2m + 3)(3m + 1)

356. 357. 358. 359. 360. 361. 362. 363. 364.

(x + 1)(x2 – x + 1) (y – 2)(y2 + 2y + 4) (x – 4)(x2 + 4x + 16) (y + 3)(y2 – 3y + 9) (4 – 3x)(16 + 12x + 9x2) (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) (5x – y)(25x2 + 5xy + y2) (2x2 + 3y2)(4x4 – 6x2y2 + 9y4) (1 – x3y3)(1 + x3y3 + x6y6)

2 x 1  x 1  x + 365.  +   −  2 5   4 10 25  2 4 16   x 4  x 366.  +   − + 2   3 x  9 3 x 

 1 2  1 2 4 367.  −   2 + + 2   x y  x xy y 

Simplifica las siguientes expresiones: Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados: 301. 302. 303. 304. 305. 306. 307. 308. 309. 310.

(x – 1)(x + 1) (y – 3)(y + 3) (x – 4)(x + 4) (2x – 5)(2x + 5) (5 – x)(5 + x) (4x – 3)(4x + 3) (9 – 2y)(9 + 2y) (10 – x)(10 + x) (5m2 – 9n)(5m2 + 9n) (3x2 – y2)(3x2 + y2)

368. 3 1 3  1 311.  x 2 y  x 1 y 4 7 4 7 

369.

3 1 3  1 312.  z 2 w   z 1 w  2 5 2 5 

2y x

370.

x25 5

6  6   313.  y 2 z 3   y 1 z 3   5  5 

371. x 372. x + 1

x 4 x 4 314.  2   1   3 5y   3 5y 

373. –

(x + 1)2 (y – 2)2 (a + 3)2 (x – 5)2 (a – b)2 (y + 6)2 (m + n2)2 (4x + 1)2 (3y – 4)2

1  324.  x 1   2

2

1  325.  y 2   3

2

 x 326.  1 4   2

2

(x + 2)(x + 1) (x – 3)(x – 2) (x + 5)(x + 4) (x – 12)(x – 2) (m + 4)(m + 3) (x – 6)(x – 3) (a + 6)(a – 2)

x13 x23

377.

x x24

378.

3x 1 2 2x 11

379.

4 x2 1 2x 11 2x 21

Expresa como exponentes fraccionarios los siguientes radicales: 1

2

2

329. (12x + 5y)2

337. 338. 339. 340. 341. 342. 343.

385.

1 3 4 4

(5x y )

1

 m 3 327.  2   3 n 1  328.  x 2   2

380. x 2

Factoriza los trinomios de la forma x2 + bx + c: 330. 331. 332. 333. 334. 335. 336.

1 x

376.

374. x

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: 315. 316. 317. 318. 319. 320. 321. 322. 323.

375. x + 2

3 2x

(y + 5)(y – 4) (n – 9)(n + 7) (z – 9)(z + 2) (x – 12)(x + 4) (x + 12)(x – 11) (a – 7)(a + 5) (y + 14)(y – 12)

1

381. ( 3x ) 2

386. ( x 1 2 ) 2

3

1

382. x 2

387. (a 1 b ) 4 5

2

383. (5 x ) 2

388. (2 x 2 3) 5

1

1

384. (2 a ) 3

389. (5 x 1 3y) 7

Expresa como radical las siguientes expresiones:

( x)

2

x18

395.

390.

3

x2 5

391.

4

x

396.

6

3x 1 1

392.

3

6x

397.

3

( 2 a 2 5 b )2 5 ( 3 2 a 2 5 b )

393.

3

(4x y )

398.

5

 22x  22 x 5 5   x 1 y   21y

394.

162

5

3

3 5 4

2 xy 3

5

(

3

4 x 3 y5

)

4

3

3

2


Aplica los teoremas correspondientes de exponentes y radicales para simplificar las siguientes expresiones: 399. x12 400. 64x6 401. 25x2y8 402.

1 x3

403.

1 1 5 (2 xy)2 4 x 2 y 2

3

410. x x 2

412. (3x)2 3x = 9x2 3x 413. 4x 2x 3

414. 2x 2 x

5 3 407. xy 7

416. (x2 + 1) x 2 1 1 417. (x + a) 4 x 1 a

3xy2

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: 418. x = –2 419. y = 2 420. x = 5 421. x = 2 422. x =

5 4

423. x = –

5 2

1 424. x = – 2

430. x = 0 431. x = – 432. x =

425. x = –1

7 3

9 25

436. x = –

427. x =

22 3

437. x =

428. x = –

3 8

429. x = 0

22 5

2 5

426. x =

1  x 5 2  1  469.  y 52 3  z 5 0 

x 5 7 460.  y 5 2

x 5 3  470.  y 5 1  z 522 

 x 522 461.   y 524 x 5 3 462.  y 5 2

x 5 3  471.  y 521  z 522  ( 3, 23) 472.  ( 3, 1) (−4, 28 ) 473.  (2, 4 )

x 51  465.  y 5 2  z 521 

(−5, 6 ) 474.  (2, 21)

x 5 4  466.  y 522  z 523 

32 29

77 29

Aplica el teorema de Pitágoras para determinar el valor de “x“ en los siguientes triángulos rectángulos:

438. x = –16 439. x =

x 51 458.   y 521

x 5 3 464.   y 522

433. No existe solución

435. x =

 x 522  468.  y 525 z 5 4 

x 51 463.   y 522

11 17

434. x = –

 x 521  467.  y 5 3 z 5 2 

x 51  459.  1  y 52 2

2

415. 5x 5x

405. x2 406. 4xy2

x 5 3 456.  y 51 x 5 3 457.   y 521

411. ax ax

32 x15 404. 243y10

408.

409. x x

Resuelve los siguientes sistemas:

30 7

475. x = 5

478. x = 9

476. x = 12

479. x = 25

477. x = 10

480. x = 4 5

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: 440. 441. 442. 443. 444. 445. 446. 447. 448. 449. 450.

x = –3, x = –1 x = 3, x = 2 x = –4, x = –3 x = 12, x = 2 x = –5, x = –4 y = 8, y = –7 x = –6, x = 2 x = 6, x = 3 x = 9, x = –7 y = –5, y = 4 a = –8, a = 6

451. x = 1, x =

Escribe las funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos:

2 5

452. x = 4, x = –

3 2

453. x = –3, x =

5 7

454. x = – 455. x =

4 5 3 cos A = 5 4 tan A = 3

481. sen A =

2 1 ,x=– 3 2

1 1 ,x=– 4 5

5 4 5 sec A = 3 3 cot A = 4 csc A =

5 13 csc A = 13 5 12 13 cos A = sec A = 13 12 12 5 tan A = coot A = 5 12

481. sen A =

163

3 5 4 cos B = 5 3 tan B = 4

sen B =

5 3 5 sec B = 4 4 cot B = 3 csc B =

12 13 csc B = 13 12 5 13 cos B = sec B = 13 5 5 12 tan B = coot B = 12 5

sen B =

Cálculo integral

Deriva las siguientes funciones: 483. 0

502. 3x3

484. 0

7x6 503. 4

485. 0 486. 0

504. –

487. 1 488. 3

505. –

489. 7a 490.

5 6

507.

1 492. 4

508.

2 493. 3 509.

494. 2x

496.

12 x5

5x4

3

3

2

2 3

514.

– 6x + 8 1 6

515. x2 – 5x +

499. –

3 x4

516. 8x(x2 – 5)3

20x3

541. –e–x

12 x4 1 ( 3x 1 1)2

3

5

x3

(x

4

1 16 )

3

(

5

542. 5e5x

1 3

(

( 3x 1 1)

)

4

2

543. 2xex

2

x3 x 4 1 16 )

2

544. (8x – 4)ex

)

3

545.

517. 10x(x2 + a2)4

2x

–x

ln 2 3

546. 3x2(ax ln a) 2

547. (2x + 3)(5x

525. 48x3 + 40x

+ 3x

ln 5)

548.

1 x

549.

3 x

2 530. ( x 1 2 )2

550.

1 x13

531.

2x ( x 1 1)2

551.

2x x2 1 5

532.

8 ( x 1 3)2

552.

2x 2 3 x 2 2 3x

553.

2x 1 2 2 5 x 11 x2 1 2x 11

526. 2x – 3

529.

1 x2

500. 12x

540. ex

2x3

528. 4x3 + 3x2 – 2x – 1

512. 2x + 3

3x2

539. 3x2 csc(1 – x2)cot(1 – x2)

x 15

527. 2x

498. –

501.

( x)

510. 9

513. 2x

3x

5

1

33 x

1

538. 2x sec2(x2 – 5)

4

2

511. 3a

x

537. –2x csc x2

2

524.

2 x

3 12 x 2

497.

523.

1

33 x2

536. 5 sec 5x tan 5x

522. –

5 x6

1

1 2 x14

521.

2 506. – 4 x

491. b

495.

520.

40x3

–

3x2

2

533. –

10 x ( x 2 2 4 )2

518. (6x + 9)(x2 + 3x – 7)2

534. cos x

519. (15x2 + 10x + 5)(x3 + x2 + x)4

535. –2 sen 2x

164

– 6x

Calculo Integral - CONAMAT

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