CALCULO INTEGRAL UNIDAD : 3 BAUTSTA LUGO RUBISEL N0:15500959
3.1 AREAS El área es una medida de la extensión de una superficie superficie,, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse triangularse y y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término área como sinónimo de sup superf erfici icie, e, cua cuando ndo no exi existe ste con confus fusión ión ent entre re el con concept cepto o geo geomét métric rico o en s! mis mismo mo "superficie# y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico "área#. $in em%argo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometr!a diferencial. diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general &que es un concepto métrico &, se tiene que ha%er definido un tensor métrico so%re métrico so%re la superficie en cuestión' cuando la superficie está dentro de un espacio eucl!deo, eucl!deo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica eucl!dea.
(.).) *rea %a+o la gráfica de una función.
(.). *rea entre las gráficas de funciones. Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en e+e, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones. El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya ha%!amos estudiado. -a región a tra%a+ar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su %ase y su altura. -a diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, de%ido a que hay dos funciones involucradas.
Como podemos ver en la ráfica /, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante 0tapas1, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior. 2hora que ya sa%emos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cam%ia el asunto de la altura del rectángulo. 3 eso lo podemos representar as!' 4onde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida. 3a está visto que la integral definida es aplica%le, cuando se trata de hallar áreas, pero 5será aplica%le para hallar vol6menes formados por rotación de una función7, la respuesta a esta pregunta es si, si es posi%le calcular estos vol6menes, llamados vol6menes de revolución, mediante integración definida. 8ás adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión. 9gual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por e+emplo un cilindro. 4ado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelep!pedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su %ase por su altura.
de3.2 Longitud De Curvas La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunue fueron usados varios métodos !ara curvas es!ecíficas, la llegada del calculo tra"o consigo la fórmula general !ara obtener soluciones cerradas !ara algunos casos. #ormula $eneral La longitud de una curva !lana se !uede a!ro%imar al sumar !eue&os segmentos de recta ue se a"usten a la curva, esta a!ro%imación ser' m's a"ustada entre m's segmentos sean ( a la ve) sean lo m's !eue&o !osible. , escogiendo una familia *nita de !untos en C, ( a!ro%imar la longitud mediante la longitud de la !oligonal ue !asa !or dichos !untos.Cuantos m's !untos esco"amos en C, me"or seria el valor obtenido como a!ro%imación de la longitud de C. +- /01$- .45
/magen .4
6i la !rimera derivada de una función es continua en 7a,b8 se dice ue es suave ( su gr'fica es una curva suave. +- /01$- 2.45
/magen 2.4 Cuando la curva es suave, la longitud de cada !eue&o segmentos de recta se !uede calcular mediante el teorema de 9it'goras +dL5 2:+d%52+d(52.
3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución. Los sólidos de revolución son sólidos ue se generan al girar una región !lana alrededor de un e"e. 9or e"em!lo< el cono es un sólido ue resulta al girar un tri'ngulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rect'ngulo alrededor de uno de sus lados.6i giramos una región del !lano alrededor de un e"e obtenemos un sólido de revolución. -l volumen de este disco de radio ( de anchura = es< olumen del disco : >2? 9ara ver cómo usar el volumen del disco ( !ara calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n !articiones en la grafica. -stas divisiones determinan en el sólido n discos cu(a suma se a!ro%ima al volumen del mismo. @eniendo en cuenta ue el volumen de un disco es >2? , la suma de iemann asociada a la !artición, ( ue da un volumen a!ro%imado del sólido es<
-"em!lo La región entre ( el e"e % se gira alrededor del e"e % !ara generar un sólido. Hallar su volumen. egión ue rota alrededor del e"e %
3.4 Calculo De Centroides. En geometr!a, el centroide, centro geométrico o %aricentro de una figura plana o tridimensional forma dos : es la intersección de todas las l!neas rectas que dividen a : en dos partes de igual momento so%re la l!nea. 9nformalmente, es el 0promedio1 "media aritmética# de todos los puntos de :. -a definición se extiende a todo o%+eto : de n ;
dimensiones del espacio' su centro de gravedad es la intersección de todos los hiperplanos que dividen a : en dos partes de igual momento. En la f!sica, la pala%ra centroide significa que el centro geométrico del o%+eto de la forma, como antes, pero %aricentro tam%ién puede significar su f!sico centro de la masa o el centro de gravedad, seg6n el contexto. 9nformalmente, el centro de la masa "y centro de gravedad en un campo gravitatorio uniforme# es el promedio de todos los puntos, ponderado por el local de la densidad o peso espec!fico. $i un o%+eto f!sico tiene uniforme de densidad, entonces su centro de masa es el mismo que el centro de gravedad de su forma. En geograf!a, el centro de gravedad de una región de la superficie de la
Propiedades. El centroide geométrico de un o%+eto convexo siempre se encuentra en el o%+eto. =n o%+eto 2;convexa no puede tener un centro de gravedad que está fuera de la propia figura. El centro de gravedad de un anillo o un ta>ón de fuente, por e+emplo, se encuentra en la central de vac!o del o%+eto. $i el centro de gravedad se define, se trata de un punto fi+o de todas las isometr!as en su grupo de simetr!a. En particular, el centroide geométrico de un o%+eto se encuentra en la intersección de todos los hiperplanos de simetr!a. El centro de gravedad de muchas figuras " pol!gono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rom%o, c!rculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc# puede ser determinada por este principio. En particular, el centro de gravedad de un paralelogramo es el punto de encuentro de sus dos diagonales. Esto no es cierto para otros cuadriláteros. Por la misma ra>ón, el centro de gravedad de un o%+eto con simetr!a traslacional no está definido "o se encuentra fuera del espacio envolvente#, de%ido a una traducción no tiene ning6n punto fi+o.
8étodo de l!nea de plomada. El centroide de una lámina de dos dimensiones uniformes, tales como "a# a continuación, se puede determinar, de forma experimental, utili>ando una plomada y un alfiler para encontrar el centro de masa de un cuerpo delgado de densidad uniforme que tiene la misma forma. El cuerpo está en manos de la clavi+a insertada en un punto cerca del per!metro del cuerpo, de tal manera que puede girar li%remente alrededor del perno y la plomada se de+a caer desde el pasador "%#. -a posición de la plomada se tra>a en el cuerpo. El experimento se repite con la clavi+a insertada en un punto diferente del o%+eto. -a intersección de las dos l!neas es el centro de gravedad de la figura.
Este método puede ser extendido "en teor!a# a las formas cóncavas en el centro de gravedad se encuentra fuera de la forma, y los sólidos "de densidad uniforme#, pero las posiciones de las l!neas de plomo de%en ser registrados por cualquier otro medio de di%u+o.
(.? otras aplicaciones Aplicaciones de la Ine!"al Dentro de los !roblemas tí!icos ue se !ueden e%!resar de manera directa mediante integrales ( com!lementarios al !roblema b'sico de A'rea ba"o la curvaB se tienen< rea entre curvas. 6ólidos de revolución . Longitud de curvas. Centroides de figuras !lanas. 0omentos de /nercia de cuer!os !lanos .
-l ob"etivo de la !resente sección es estudiar cada una de esas diferentes a!licaciones ( se comen)ar' con la a!licación m's comn ( ue a su ve) motivó los conce!tos b'sicos de la integral< el 'rea ba"o la curva.
#"ea en"e la c$"%a & el e'e ( -n efecto, (a lo hemos se&alado, integral no es lo mismo ue 'rea, (a ue el conce!to de integral es realmente un conce!to mucho m's am!lio ( ue se !uede a!licar a infinidad de situaciones novedosas. 9or otro lado, reali)ando las correcciones necesarias res!ecto de los valores negativos ue !ueda tomar una función en un intervalo la integral calcula !erfectamente el 'rea entre el e"e % ( una curva dada. 9ero el conce!to de 'rea se !uede am!liar a es!acios delimitados entre diversas curvas en el !lano, estudiemos ahora esa generali)ación.
#"ea en"e c$"%as La integral re!resenta la acumulación de las !eue&as variaciones en una situación dada, !or ello !odemos res!onder a la !regunta< 6i se tiene una curva ECu'nto mideF ECómo la midoF EGué son las !eue&as variaciones en ese casoF
Lon!i$d de $na c$"%a La integral como conce!to nace alrededor del c'lculo numérico, !or lo ue muchas de las integrales ue se nos !resentan en la vida cotidiana ni tan siuiera son !lanteadas analíticamente; sin embargo, eso no las hace intiles; !or el contrarioI -l !otencial analítico de la integral se logra ante la sim!licidad del conce!to no de"a de ser una sumaIIIII 9ero ahora con las com!utadoras, esas sumas las !odemos hacer de manera mu( eficiente.
Ine!"aci)n n$*+"ica -s verdad ue la motivación del la integración lo fue el conce!to geométrico de 'rea, !ero (a hemos concluido ue en realidad la !odemos em!lear en cualuier situación ue se !ueda re!resentar !or el !roducto de dos cantidades ( el volumen es uno de esos casos, veamos los siguientes cuer!os geométricos ( como la integral nos au%ilia a calcular volmenes.
S$pe",cies & s)lidos de Re%ol$ci)n
-n los cuer!os físicos ocurren muchos fenómenos asociados a su geometría, dentro de esos fenómenos se !resenta la ocurrencia de la masa, el !eso ( !or tanto los efectos de la atracción gravitatoria, observemos ahora dos conce!tos físicos necesarios !ara el estudio de cantidades físicas como las mencionadas.
-o*enos de Ine"cia Las a!licaciones de la integral son mu( am!lias ( en este a!artado se han !resentado algunas de las m's comunes, ( con este estudio se am!lia el !anorama !ara ue en nuestra visión de la naturale)a, en los actos ue nos rodean todos los días, observemos como la acumulación es un hecho cotidiano.
