TRABAJO COLABORATIVO Cristiam Osorio 1026267010
CALCULO INTEGRAL
100411_440
OCTUBRE 2017
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACION COLOMBIA 2017
Introducción El cálculo integral es una de las áreas más importante de las matemáticas ya que abarca principios del algebra, geometría, trigonometría y gracias a que agrupa esta diversidad de temas permite dar soluciones eficaces a problemas de gran complejidad que nos afrontamos en la cotidianidad como lo son e cálculo de áreas, volúmenes entre otros. Con esta actividad aplicamos los conocimientos adquirido en lo que llevamos transcurrido del curso donde pudimos apreciar temas de gran importancia para el cálculo integral como lo son las integrales indefinidas, anti derivadas, integrales definidas y algunos problemas aplicativos donde se puede utilizar el cálculo integral.
Desarrollo de la actividad Primera parte Solución punto 1
3 + 2 + 2 10 34 + 32 + 10 + 1+
Al integrar tenemos
Solución punto 2
Para resolver la integral debemos aplicar la siguiente propiedad algebraica de la imagen 1
Imagen 1 Propiedad algebraica Al aplicar tenemos
1 + = 1+1+1+ = 1 +1 + 1+1 + = 1+1 + 1 1 1+1 arctan + + + cos + + cos
Por ende la integral queda
Al integrar tenemos
Solución punto 3
Al separar las integrales tenemos
1
2
3
Para la integral 1, aplicamos la siguiente identidad trigonométrica de la imagen 2:
Imagen 2 Propiedad trigonométrica Por ende la integral queda
1 1 = 1 1 tan =
Al separar la integral tenemos
Al integrar tenemos
Para la integral 2, tenemos
Para realizar dicha integral debemos utilizar la siguiente identidad de la imagen 3:
Imagen 3 Propiedad trigonométrica Por ende la integral queda
1 + cos2 2 12 1 + cos2 = 12 + 21 sin2
Sacamos la constante e integramos
Para la integral 3, tenemos
Cancelando términos semejantes obtenemos
Para realizar dicha integral debemos utilizar la siguiente identidad de la imagen 4:
Imagen 4 Propiedad trigonométrica
Por ende la integral queda
1 cos2 2 12 1 cos2 = 12 21 sin2 tan + 12 + 21 sin2 + 12 12 sin2+ 1+ 1
Sacamos la constante e integramos
Finalmente agrupando los resultados tenemos
Solución punto 4
Usamos la identidad trigonométrica que se muestra en la imagen 5
Imagen 5 identidad trigonométrica Reemplazamos y la integral queda
1 +1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1
Al separar la integral tenemos
1
Para la integral 1 tenemos
2
3
1 11 = =tan 1 11 = =tan 1 1 =1 =
Para la integral 2 tenemos
Para la integral 3 tenemos
Agrupando finalmente tenemos
Parte 2 Solución punto 5
tan+ tan = 2tan +
2 + 42 12 2+ 2+ 2 = 12 2 = 4 + sin = cos = sin = sin sin sin = −
Para resolver la anterior integral factorizamos y luego integramos
Solución punto 6
Integramos por sustitución
Reemplazando tenemos que
Se cancelan los sin(x) y la expresión queda
Al integrar tenemos
Reemplazando U tenemos
Solución punto 7
Integramos por sustitución
− = 1 + 1cos + + 1 = + 1 = 1 = 1 1 1 1
Factorizando y reemplazando tenemos
Despejando x tenemos
Remplazando nuevamente
Simplificando e integrando
2 + 3 = 2 + 2|| 3 + +21 + 2| + 1| 3 + 1 + 1 + cos
Reemplazando la u nuevamente tenemos la siguiente respuesta
Solución punto 8
Para resolver dicha integral se utiliza la propiedad de la imagen 6
Imagen 6 Propiedad algebraica Al aplicar dicha propiedad la integral queda de la siguiente forma
1 1 cos
Luego usando la identidad de la imagen 7 tenemos
Imagen 7 Propiedad trigonométrica Reemplazando tenemos
1 c os 1cos = 1
Para la integral 1 tenemos
1 = cot cos = sin = cos = cos cos = cos = −
Para la integral 2 tenemos
Aplicamos sustitución
Sustituyendo en la integral
Al integrar tenemos
2
1 sin1
Reemplazando u
Agrupando finalmente todos los términos tenemos
cot sin1+ = sin1 cot +
Parte 3 9. Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial descrito por , donde t está medido en días. Según lo anterior, determinar el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros 10 días de operación de la empresa.
= .
Solución
= . = . = = 2.718 = 2718 ´, = ∫√ . = = [√ ]
10. Aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para determinar
Solución
Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos
´
= ∫ = ()∗
´ = (√ ) ∗ (√ )´
Para
Y la derivada de
√
es
Reemplazando y agrupando
√ = = √ ′ = ′ = 12 − = 21 ´ = 2√
11. La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se reemplazan una vez se haya desarrollado el proceso de integración, b
teniendo en cuenta el siguiente criterio:
f ( x)dx F (b) F (a), generalmente a
conocido como el segundo teorema fundamental del cálculo.
[cos( x) tan( x)]dx
Evaluar la siguiente integral:
Solución
Como
tan =
Reemplazamos
0
costan sin cos
sin = = cos cos0 = 1 + 1 = 1 + 1 = 2
=0 , ≤ ≤ = , ≤ ≤ , > ∫
12. Un objeto en el origen, en el instante por segundos.
Evaluar la integral
tiene velocidad, medida en metros
de acuerdo con las anteriores consideraciones
Solución Reemplazamos los límites tal cual nos indica la función a tramos
20 + 2 + 5 20 1
2
3
Para la integral 1 tenemos el siguiente resultado
40 20 = 40 = 40 0 = 40 0 = 40 Para la integral 2 tenemos el siguiente resultado 2 = 2 = 260 240 = 120 80 = 40 Para la integral 3 tenemos el siguiente resultado 1 40 6 0 5 20 = 5 40 = 5140 40 560 40 = 700 490 300 90 = 210 210 = 0 Por ende ∫ 20 + 2 + 5 20 = 40 + 40 + 0 = 80
Conclusiones
Se reconoce adecuadamente la temática del curso y se cumple con las actividades propuestas en la guía. El cálculo proporciona las bases teóricas y conceptuales para formular principios en varias áreas del saber. De este trabajo se concluye que el curso del cálculo integral es de vital importancias en nuestro desempeño como tecnólogos u ingenieros ya que esta es una herramienta que ponemos en práctica a diario en nuestro mundo laboral. Es de vital importancia tener conocimientos previos en áreas como algebra, geometría, calculo diferencial y matemáticas básicas ya que una integral se puede resolver de diversas formas y si no se tiene el conocimiento se pueden cometer errores los cuales nos den respuestas erróneas.
Referencias Rodríguez, A. (2015, noviembre, 23). Fundamentos de integración. [Video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7148 Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&doc ID=11013520&tm=1460996037386 Aguayo, J. (2011). Cálculo integral y series. Chile: Editorial ebooks Patagonia J.C. Sáez Editor. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&do cID=10526589&tm=1460997326001 Anaya, F., Arroyo, F., & Soto, C. (1995). Cálculo integral: academia de matemáticas. México: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&doc ID=10444874&tm=1460997502015 Rondón, J. (2010). Cálculo integral . Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7146