Calculo Numérico

Apresentação Motivação Solução de problemas numéricos Referências

Aula introdutória de Cálculo Numérico Leonardo V. Alves [[email protected] [[email protected] ] Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Ciência da Computação Disciplina de Cálculo Numérico - DCC034

http://www.dcc.ufmg.br/~lalves

05 e 07 de agosto de 2008


Bibliografia Programa Avaliações Calendário

Material utilizado

Livro Texto Filho, Frederico Ferreira Campos. Algoritmos Numéricos. Segunda Edição, Editora LTC. Material suplementar Calculadora científica Scilab



Material utilizado

Livro Texto Filho, Frederico Ferreira Campos. Algoritmos Numéricos. Segunda Edição, Editora LTC. Material suplementar Calculadora científica Scilab



Programa da disciplina

Tópicos a serem estudados nesta disciplina: 1

Introdução ao cálculo numérico

2

Sistemas Lineares

3

Interpolação

4

Ajuste de curvas

5

Integração numérica

6

Raízes de equações



Introdução ao cálculo numérico

1

Como resolver um problema numérico?

2

Notações algorítmicas

3

Implementação de algoritmos

4

Tipos de erros

5

Aritmética de ponto flutuante

6

Scilab


Sistemas Lineares

1

Conceitos básicos

2

Eliminação de Gauss

3

Decomposição LU

4

Decomposição de Cholesky

5

Aplicações de decomposição

6

Métodos iterativos

7

Análise de erros



Interpolação

1

Polinômios interpoladores

2

Polinômios de Lagrange

3

Polinômios de Newton

4

Polinômios de Gregory-Newton




Ajuste de curvas

1

Regressão linear

2

Qualidade do ajuste

3

Regressão linear múltipla

4

Diferença entre regressões e interpolações


Integração numérica

1

Métodos de Newton-Cotes

2

Método de Gauss-Legendre

3

Integrações duplas




Raízes de equações

1

Isolamento de raízes

2

Método da bisseção

3

Métodos baseados em aproximação linear

4

Métodos baseados em tangente



Avaliações

Os 100 pontos serão distribuídos da seguinte forma: Prova 1 (30 pontos) Prova 2 (30 pontos) 4 trabalhos práticos (10 pontos cada)



Calendário Datas importantes: 05/08: Aula inaugural 02/10: Primeira prova 27/11: Segunda prova 12/12: Término do semestre Feriados e recessos no semestre: 15/08: Feriado municipal: Assunção de Nossa Senhora 20/10: Semana da UFMG - Conhecimento e Cultura 08/12: Feriado municipal: Imaculada Conceição Carga horária total: 72 aulas


Perguntas?

???



Por que estudamos cálculo numérico? Segundo o livro [1]: “O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador”. Deixem os cálculos para as máquinas calcularem!!! Aplicações em Matemática: Obtenção de soluções numéricas; Solução numérica para problemas sem solução analítica;


Por que estudamos cálculo numérico? Segundo o livro [1]: “O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por intermédio de um computador”. Deixem os cálculos para as máquinas calcularem!!! Aplicações em Matemática: Obtenção de soluções numéricas; Solução numérica para problemas sem solução analítica; Exemplo: Distribuição gaussiana normal utilizada em probabilidade e estatística;



2

e− x d x

Mas as soluções numéricas não são exatas!


Por que estudamos cálculo numérico? Aplicações em Física, Engenharia e Química: Transformação de problemas físicos em modelos numéricos; Solução numérica para os modelos propostos; Exemplos: Cálculo da velocidade de um corpo em movimento retilíneo uniforme;


Por que estudamos cálculo numérico? Aplicações em Física, Engenharia e Química: Transformação de problemas físicos em modelos numéricos; Solução numérica para os modelos propostos; Exemplos: Cálculo da velocidade de um corpo em movimento retilíneo uniforme;

d(t) = v · t + d0


Por que estudamos cálculo numérico? Aplicações em Física, Engenharia e Química: Transformação de problemas físicos em modelos numéricos; Solução numérica para os modelos propostos; Exemplos: Cálculo da velocidade de um corpo em movimento retilíneo uniforme; Cálculo das correntes das malhas em circuitos elétricos;

d(t) = v · t + d0

i1 R 1 − i2 R 2 = V 1

−i R 1

2

+ i2 R 3 = V 2


Por que estudamos cálculo numérico? Aplicações em Física, Engenharia e Química: Transformação de problemas físicos em modelos numéricos; Solução numérica para os modelos propostos; Exemplos: Cálculo da velocidade de um corpo em movimento retilíneo uniforme; Cálculo das correntes das malhas em circuitos elétricos; Cálculos estequiométricos em reações químicas;

d(t) = v · t + d0 KMnO4 + H 2 SO4 + NaNO2 → K 2 SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H 2 O

i1 R 1 − i2 R 2 = V 1

−i R 1

2

+ i2 R 3 = V 2


Exemplo Exercício Solução Análise

Como resolver um problema numérico?

Definição do problema; Modelagem matemática; Solução numérica; Análise dos resultados;



Resolvendo o problema de calcular



a

Definição: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este é o nosso problema real .



a para






a




a para

Transformação do problema real no problema original :



a → x 2 = a → f ( x ) = x 2 − a = 0






a




a para




a → x 2 = a → f ( x ) = x 2 − a = 0

Implementação do algoritmo: permite resolver o problema no computador






a




a para




a → x 2 = a → f ( x ) = x 2 − a = 0

Implementação do algoritmo: permite resolver o problema no computador

Análise dos resultados: verificar se as soluções obtidas pela implementação da solução do problema original são adequadas para o problema real .



Resolver o problema de calcular



a

Seja o seguinte método iterativo para calcular a raiz quadrada de um número:

x k+1 =

1

· ( x k + ) 2 x k 

Seja x 0 o valor inicial de x k . Calcule 3 casas decimais):

a = 4 e x 0 = 1 a = 9 e x 0 = 1 a = 4 e x 0 = −1 a = 9 e x 0 = −1

a

a para os seguintes valores (até




x k+1 = i

1 2



4

· ( x k + x i

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 = i 0

1 2



4

· ( x k + x i

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0

1

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1

1

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1

1 2,5

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2

1 2,5

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2

1 2,5 2,05

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

1 2,5 2,05

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

1 2,5 2,05 2,00061

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 = i

1 2



9

· ( x k + x i

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 = i 0

1 2



9

· ( x k + x i

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0

1

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1

1

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1

1 5

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2

1 5

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2

1 5 3,4

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

1 5 3,4

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

1 5 3,4 3,0235

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3 4

1 5 3,4 3,0235

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3 4

1 5 3,4 3,0235 3,0001

com x 0 = 1

a x k

)




x k+1 = i

1 2



4

· ( x k + x i

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 = i 0

1 2



4

· ( x k + x i

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0

-1

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1

-1

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1

-1 -2,5

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2

-1 -2,5

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2

-1 -2,5 -2,05

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

-1 -2,5 -2,05

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



4

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

-1 -2,5 -2,05 -2,00061

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 = i

1 2



9

· ( x k + x i

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 = i 0

1 2



9

· ( x k + x i

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0

-1

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1

-1

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1

-1 -5

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2

-1 -5

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2

-1 -5 -3,4

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

-1 -5 -3,4

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3

-1 -5 -3,4 -3,0235

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3 4

-1 -5 -3,4 -3,0235

com x 0 = −1

a x k

)




x k+1 =

1 2



9

· ( x k +

i

x i

0 1 2 3 4

-1 -5 -3,4 -3,0235 -3,0001

com x 0 = −1

a x k

)



Análise dos resultados

Quais das soluções anteriores condizem com o problema original?




Quais das soluções anteriores condizem com o problema original? Todas!




Quais das soluções anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as soluções se aplicam ao problema real?




Quais das soluções anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as soluções se aplicam ao problema real? Não!




Quais das soluções anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as soluções se aplicam ao problema real? Não! Quais? Por que?




Quais das soluções anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as soluções se aplicam ao problema real? Não! Quais? Por que? Apenas as duas primeiras. A raiz quadrada de um número é sempre não negativa.

Calculo Numérico

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